Cap 02_ Anlisis Vectorial Del Movimiento

Mecánica (FMF 122) – Prof Rodrigo Vergara Rojas Capítulo 02) Análisis Vectorial del Movimiento

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Capítulo 02) Análisis Vectorial del Movimiento

La cinemática es aquella rama de la Física encargada de estudiar el movimiento de un cuerpo sin atender a las causas que lo originan. Con el fin de centrar la atención en el movimiento de traslación, para los análisis que vienen a continuación consideraremos cada cuerpo en movimiento como un punto geométrico al que se le asocia una cierta masa. Esta suposición es válida cuando las dimensiones del cuerpo son despreciables frente a la trayectoria que describe. En caso contrario, habría que considerar, además de la traslación, el movimiento de rotación del cuerpo, lo cual será visto más adelante en este curso. Se dice que un punto A se mueve respecto a otro punto B cuando su posición respecto al segundo está cambiando con el tiempo. Por definición, todo movimiento es relativo, por lo que hay que especificar un sistema de referencia. El movimiento de una partícula a través del espacio puede ser en

• Una dimensión, como en el caso del movimiento horizontal y la caída vertical de objetos

• Dos dimensiones (plano), como en el caso del movimiento de proyectiles y movimiento circular

• Tres dimensiones (espacio) Aunque, en la mayoría de las situaciones, el método más simple para localizar una partícula en el espacio es a través de las componentes cartesianas del vector posición, existen muchos problemas en que resulta conveniente trabajar con sistemas de coordenadas no cartesianas. Estudiaremos algunos de los sistemas de coordenadas más usados, evaluando en cada caso las variables cinemáticas, posición, velocidad y aceleración.

A) Análisis General en una Dimensión Considere la situación de la figura 1. La velocidad media del móvil entre t1 y t2 está dada por:

12

1221 tt

XXV

−−

=→ [1]

Considere que t1 = t y t2

= t + ∆t. Luego, X1 = X(t) y X2 = X(t + ∆t). Reemplazando en [1]

( ) ( )t

tXttXV 21 ∆

−∆+=→ [2]

0x

t = t1 t = t2

V(t1) = V1 V(t2) = V2

X(t1) = X1 X(t2) = X2

a0

Figura 1) Posición, velocidad y aceleración de un móvil en t = t1 y t = t2


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Al aplicar el límite de [2] cuando ∆t→0, se obtiene la velocidad instantánea del móvil, es decir,

( )tVVlim 210t=→→∆

. Aplicando la definición de derivada:

( ) ( ) ( ) ( )dtdX

tX't

tXttXlimtVVlim

0t210t==

∆−∆+==

→∆→→∆ [3]

En otras palabras, la primera derivada de la función de posición del móvil corresponde a su función de velocidad instantánea. Por otra parte, respecto a la figura 1, la aceleración media de cambio de posición del móvil (o “rapidez media de cambio de la velocidad instantánea del móvil”) entre t1 y t2 se define como:

12

1221 tt

VVA

−−

=→ [4]

Considere que t1 = t y t2 = t + ∆t. Luego, V1 = V(t) y V2 = V(t + ∆t). Reemplazando en [4]

( ) ( )t

tVttVA 21 ∆

−∆+=→ [5]

Al aplicar el límite de [5] cuando ∆t→0, se obtiene la aceleración instantánea del móvil, es decir,

( )tAAlim 210t=→→∆

. Aplicando la definición de derivada:

( ) ( ) ( ) ( )dtdV

tV't

tVttVlimtAAlim

0t21

0t==

∆−∆+==

→∆→→∆ [6]

En otras palabras, la primera derivada de la función de velocidad instantánea del móvil corresponde a su función de aceleración instantánea.

A partir de [3] y [6] se puede deducir que ( ) ( )2

2

dV d d dX d XA t V t

dt dt dt dt dt = = = =

, es decir, que

la segunda derivada de la ecuación de posición del móvil es igual a su ecuación de aceleración instantánea. Por otra parte, la idea de “área bajo la curva” (analizada para el caso de aceleración constante) se puede extender para el movimiento con aceleración variable. En general:

• El área bajo la curva A(t) v/s t entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de velocidad instantánea del móvil entre tales instantes V(t2) – V(t1)

• El área bajo la curva V(t) v/s t entre los instantes t1 y t2 es igual al cambio de posición del móvil entre tales instantes X(t2) – X(t1)

A partir de la idea de área bajo la curva se define el concepto de integral. Se puede demostrar que:

• Al integrar A(t) se obtiene V(t)


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• Al integrar V(t) se obtiene X(t) Todo lo anterior se resume en la figura 2

x v a

t t t

Pendiente Pendiente

( ) ( )[ ]txdtd

tv = ( ) ( )[ ]tvdtd

ta =

Area bajola curva

( ) ( ) dttatv ⋅= ∫Area bajola curva

( ) ( ) dttvtx ⋅= ∫

Figura 2) Relación entre x(t), v(t) y a(t)


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B) Análisis General del Movimiento en Coordenadas Cartesianas Se define el vector posición de un cuerpo en el espacio con el vector que va entre el origen del sistema de coordenadas cartesiano y el punto P de ubicación. En referencia a la figura 2, se puede decir que el vector

posición r�

de un cuerpo ubicado en el punto P está dado por:

zryrxrr zyxˆˆˆ ++=

�

Considere una partícula que se mueve a través del espacio, en una trayectoria generalmente curva, como se aprecia en la figura 3. Durante un

intervalo de tiempo ∆t, la partícula se mueve

desde el punto P1, donde su vector posición es 1r�

,

hasta el punto P2, donde su vector posición es 2r�

.

El cambio de posición (desplazamiento)

durante es intervalo es 12 rrr��

−=∆ . Se define la

velocidad media de cambio de la posición del móvil entre esos instantes como:

tr

t

rrv 12

∆∆=

∆−

=��

�

Se define la velocidad instantánea de cambio de posición como el límite de la velocidad media

cuando ∆t tiende a cero, por lo que corresponde a la derivada del vector posición.

dtrd

tr

limvlimv0t0t

��

=∆∆==

→∆→∆

A medida que ∆t tiende a cero, los puntos P1 y P2 se juntan cada vez más, y en el límite, el vector

r�

∆ se hace tangente a la curva de la trayectoria. Como la dirección de r�

∆ es también la dirección

de v�

, se concluye que, en todo punto de la trayectoria, el vector velocidad instantánea es tangente a la trayectoria, tal como se aprecia en la figura 4.

z

x

y

0

P1

P2

1r�

2r�

r�

∆

Trayectoria

Figura 3) Definición de vector posición

x0

P

rx

ry

rz

r�

Figura 2) Vector posición


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Las componentes vx, vy y vz de la velocidad en cada punto se pueden obtener derivando las respectivas componentes del vector posición respecto del tiempo. Así

zvyvxvv zyxˆˆˆ ++=

�

donde dtdr

v xx = ,

dt

drv y

y = y dtdr

v zz =

Considerando el mismo intervalo ∆t del análisis anterior, el cambio de

velocidad instantánea entre durante ese intervalo es 12 vvv��

−=∆ .

Se define la aceleración media de cambio de la posición del móvil entre esos instantes como:

tv

tvv

a 12

∆∆=

∆−

=��

�

Se define la aceleración instantánea de cambio de posición como el

límite de la aceleraci´n media cuando ∆t tiende a cero, por lo que corresponde a la derivada del vector velocidad instantánea.

dtvd

ta

limalima0t0t

��

=∆∆==

→∆→∆

Por construcción (ver figura 5), vemos que, a medida que ∆t tiende a cero, el vector v�

∆ siempre apunta hacia el lado cóncavo de una trayectoria curva, o sea, hacia el interior de cualquier curva descrita por la partícula. Además, cuando una partícula sigue una trayectoria curva, su vector aceleración siempre es distinto de cero aunque la magnitud de su velocidad sea constante. Las componentes ax, ay y az de la velocidad en cada punto se pueden obtener derivando las respectivas componentes del vector velocidad respecto del tiempo. Así

zayaxaa zyxˆˆˆ ++=

�

donde dt

dva x

x = , dt

dva y

y = y dt

dva z

z =

En términos del vector posición:

z

x

y

0

P1

P2 1r�

2r�

r�

∆

Trayectoria

1v�

2v�

Figura 4) Velocidad instantánea

1v�

2v�

v�

∆

Figura 5) Cálculo de cambio de velocidad


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2x

2

x dt

rda = ,

2

y2

ydt

rda = y

2z

2

z dt

rda =

En general, el vector aceleración a�

de una partícula puede descomponerse en dos componentes, según se aprecia en la figura 6:

• La componente ⊥a�

,

perpendicular al vector velocidad

v�

.

• La componente //

a�

, paralela (o

antiparalela) al vector velocidad

v�

. Cada una de estas componentes tiene efectos diferentes en el vector velocidad

• La componente //

a�

tiene el efecto de cambiar la magnitud y, eventualmente, el sentido de

v�

, pero no su dirección. En el movimiento en una dimensión, la aceleración tiene solamente

componente //

a�

.

• La componente ⊥a�

tiene el efecto de cambiar la dirección de v�

, pero no su magnitud. En el

movimiento circular uniforme (MCU) la aceleración tiene solamente componente ⊥a�

.

En la figura 7 se visualiza la relación geométrica existente entre los vectores v�

y a�

para diferentes tipos de movimiento.

v�

a�

⊥a�

//a�

PTangente en P

Normalen P

Figura 6) Componentes tangencial y normal de la

aceleración.

Figura 7) Relación geométrica entre los vectores velocidad y acelearción para diversos tipos de movimientos


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C) Análisis General del Movimiento: Coordenadas Polares Planas . Consideremos una partícula obligada a moverse en un plano. Sea XY dicho plano (por lo que, en el sistema de coordenadas cartesianas en 3 dimensiones, z = 0). Con referencia a la figura 15, se puede expresar la

posición del vector r = OP��

de magnitud

r = r�

en coordenadas cartesianas como:

ˆ ˆx yr = r x r y+

�

Las coordenadas polares r y φ están relacionadas con x e y por las siguientes ecuaciones

( )xr = r cos φ⋅

( )yr = r sen φ⋅

2 2x yr = r + r

( ) y

x

rtan =

rφ

Las coordenadas polares planas tienen asociados los siguientes vectores unitarios:

• Al vector unitario en la dirección definida al incrementar r dejando φ fijo, le llamaremos r .

• Al vector unitario de la dirección definida al incrementar φ dejando r fijo, le llamaremos φ

Dichos vectores se pueden expresar en la base cartesiana por:

( ) ( )ˆ ˆ ˆr = cos x + sen yφ φ

( ) ( )ˆ ˆ ˆ = -sen x + cos yφ φ φ

Obsérvese que la dirección de estos vectores cambia con φ, en particular

φ

φ

x

yr

rφ

xr

yr

O

Figura 8) Posición de un vector en el sistema de

coordenadas polares planas


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( ) ( )ˆˆˆ ˆ

dr -sen x + cos y =

dφ φ φ

φ=

( ) ( )ˆ

ˆˆ ˆd

-cos x - sen y = -rd

φ φ φφ

=

En coordenadas polares, el vector posición del punto P está dado por ˆr = r r⋅�

, donde r es en

general función del tiempo (r = r(t)), y r depende de φ, que a su vez también depende del tiempo (φ

= φ(t)) Para describir el movimiento de una partícula en coordenadas polares es necesario conocer r(t) y

φ(t) lo que permite determinar:

( ) ( ) ( )( )ˆr t = r t r tφ⋅�

El vector velocidad resulta ser

ˆˆˆ ˆ

dr dr dr dv = = r + r r r + r

dt dt d dtφ φ φ

φ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

��

ɺɺ

Por consiguiente la velocidad tendrá en general componentes según r y φ dadas por rv = rɺ y

v = rφ φ⋅ ɺ El vector aceleración es

( ) ( )

ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ2 2

dv d dr d d da = = r r + r = r r + r +r r

dt dt d dt d dt

r r + r +r r r r = r r r + r 2 r

φ φ φφ φ φ φ φ φ φφ φ

φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

��

ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ

y por lo tanto sus componentes según r y φ son 2ra r r φ= − ⋅ ɺɺɺ y a r 2 rφ φ φ= ⋅ + ⋅ ⋅ɺɺ ɺɺ


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D) Análisis General del Movimiento: Coordenadas Cilíndricas . Con referencia a la figura 9, las coordenadas

cilíndricas (ρ,φ, z) están definidas por las ecuaciones:

( )x = cosρ φ⋅

( )y = senρ φ⋅

z = z

o a la inversa

2 2 = x + yρ

( ) ytan =

xφ

z = z Las coordenadas cilíndricas tienen asociados los siguientes vectores unitarios:

• Al vector unitario en la dirección definida al incrementar r dejando φ y z fijos, le llamaremos

ρ .

• Al vector unitario de la dirección definida al incrementar φ dejando r y z fijos, le llamaremos

φ

• Al vector unitario de la dirección definida al incrementar z dejando r y φ fijos, le llamaremos

z

Los vectores ρ , φ y z forman una base ortonormal directa. Sus componentes cartesianas son:

( ) ( )ˆ ˆˆ = cos x + sen yρ φ φ

( ) ( )ˆ ˆ ˆ = -sen x + cos yφ φ φ

ˆ ˆz = z

Las derivadas de los vectores unitarios con respecto a φ son:

( ) ( )ˆ ˆˆ ˆd

-sen x + cos y = d

ρ φ φ φφ

=

φ ρ

φρ

z

Figura 9) Posición de un vector en el sistema de

coordenadas cilíndricas


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( ) ( )ˆ

ˆ ˆ ˆd

-cos x - sen y = -d

φ φ φ ρφ

=

ˆdz

0dφ

=�

En coordenadas cilíndricas, el vector posición del punto P está dado por ˆ ˆr = r + z zρ ⋅ ⋅�

, donde ρ

es en general función del tiempo (ρ = ρ (t)), z también lo es (z = z(t)) y r depende de φ, que a su

vez también depende del tiempo (φ = φ(t))

Para describir el movimiento de una partícula en coordenadas cilíndrica es necesario conocer ρ(t),

z(t) y φ(t) lo que permite determinar:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ˆˆr t = t t z t zρ ρ φ⋅ + ⋅�

El vector velocidad resulta ser

ˆ ˆˆ ˆˆ ˆdr d d d

v = = + + z z + + z zdt dt d dt

ρ ρ φρ ρ ρ ρ ρ φ φφ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅�

�ɺɺ ɺɺ

Por consiguiente la velocidad tendrá en general componentes según ρ , φ y z dadas por v = ρ ρɺ ,

v = φ ρ φ⋅ ɺ y zv = zɺ

El vector aceleración es

( ) ( )

ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆˆˆ ˆ ˆ2 2

dv d dr d d da = = + z z = + + z z

dt dt d dt d dt

+ + z z = + 2

φ φ φρ ρ ρ φ φ ρ ρ ρ ρ φ φ ρ φ φ φφ φ

ρ ρ ρ φ φ ρ φ φ ρ φ φ ρ φ ρ ρ ρ φ ρ ρ φ ρ φ

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

��

ɺ ɺ ɺɺ ɺɺ ɺɺɺ ɺɺ ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺɺɺɺɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ ˆz zφ + ⋅ɺɺ

y por lo tanto sus componentes según ρ , φ y z son 2aρ ρ ρ φ= − ⋅ ɺɺɺ , a 2φ ρ φ ρ φ= ⋅ + ⋅ ⋅ɺɺ ɺɺ y

za = zɺɺ . Cuando el movimiento está restringido al plano z = 0 la presente descripción coincide exactamente con la obtenida en coordenadas polares planas. Por otra parte, si la partícula se mueve sobre la superficie de un cilindro de radio R.


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( )t = Rρ

( ) ˆˆr t R + z zρ= ⋅ ⋅�

ˆ ˆv = R + z zφ φ⋅ ⋅ ⋅

�ɺ ɺ

ˆ ˆˆ2a = R + R z zφ ρ φ φ− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

�ɺ ɺɺ ɺɺ


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E) Análisis General del Movimiento: Coordenadas Esféricas. Con referencia a la figura 10, las coordenadas

esféricas (r,θ,φ) están relacionadas con las cartesianas a través de las siguientes ecuaciones.

( ) ( )x = r cos senφ θ⋅ ⋅

( ) ( )y = r sen senφ θ⋅ ⋅

( )z r cos θ= ⋅

Las coordenadas x e y se obtienen observando que la proyección de OP sobre el plano XY es

( )OP' = r sen θ⋅��

.

Los vectores unitarios r , θ y φ están

definidos, como en los casos anteriores, incrementando respectivamente r, θ y φ . Esa tríada así ordenada forma una base ortonormal directa. Sus expresiones en coordenadas cartesianas serán:

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆr sen cos x + sen sen y + cos zθ φ θ φ θ= ⋅ ⋅

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆcos cos x + cos sen y - sen zθ θ φ θ φ θ= ⋅ ⋅

• ( ) ( )ˆ ˆ ˆsen x + cos y φ φ φ= −

Se pueden obtener estas expresiones proyectando los vectores r , θ y φ sobre los ejes

cartesianos a partir de la figura 10; haciendo uso del vector auxiliar ρ de coordenadas esféricas,

• ( ) ( )ˆ ˆˆr sen + cos zθ ρ θ= ⋅

• ( ) ( )ˆ ˆˆcos - sen zθ θ ρ θ= ⋅

y usando las expresiones de coordenadas cilíndricas. Sin embargo existe un método sistemático para obtener esta descomposición en cualquier sistema de coordenadas. Se comienza expresando el vector posición en la base cartesiana.

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆr = r cos sen x + r sen sen y + r cos zφ θ φ θ θ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ �

Los vectores unitarios se obtienen derivando r �

respecto a la coordenada que es incrementada y luego normalizando el resultado. Es decir

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆr

= cos sen x + sen sen y + cos zr

φ θ φ θ θ∂ ⋅ ⋅ ∂

�

φ

θ

ρ

r

ρ

r

θ

φ

Figura 10) Posición de un vector en el sistema de coordenadas esféricas.


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Como r

= 1r

∂∂

�

, entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ

rrr = cos sen x + sen sen y + cos zrr

φ θ φ θ θ

∂∂= ⋅ ⋅ ∂∂

�

� cos sen sen

Similarmente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ

ˆ ˆ ˆθ

= r cos cos x + r sen cos y - r sen zr

φ θ φ θ θ∂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

Como r

= rθ

∂∂

�

, entonces

( ) ( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ

r

= cos cos x + sen cos y - sen zrθθ φ θ φ θ θ

θ

∂∂= ⋅ ⋅ ∂∂

�

�

Finalmente

( ) ( ) ( ) ( )ˆ ˆr

= -r sen sen x + r sen cos y θ φ θ φφ

∂ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂

�

Como ( )r = r sen θ

φ∂ ⋅∂

�

, entonces

( ) ( )ˆ ˆ ˆ

r

= -sen x + cos y rφφ θ φ

φ

∂∂= ∂∂

�

�

Para calcular la velocidad y la aceleración de una partícula es necesario tomar en cuenta que los vectores unitarios varían con el tiempo y por consiguiente nos resultará útil evaluar.

ˆˆr θ

θ∂ =∂

( )ˆˆr

senφ θφ

∂ = ⋅∂


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ˆ

rθθ

∂ = −∂

( )ˆ

ˆ cosθ φ θφ

∂ = ⋅∂

ˆ

0φθ

∂ =∂

�

( ) ( )ˆ

ˆr sen cosφ θ θ θφ

∂ = − ⋅ − ⋅∂

Tomando en cuenta que el vector posición se expresa en la forma

( ) ( ) ( ) ( )( )ˆ ,r t = r t r t tφ θ⋅�

, y que r, θ y φ son funciones del tiempo, resulta que

( )

ˆ ˆ

ˆ ˆˆ

dr dr d dr d dr drv = r r + r + r r + r + r

dt d dt d dt d d

r r + r + r sen

θ φ θ φθ φ θ φ

θ θ φ θ φ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

� � � � ��

ɺ ɺɺ ɺ

ɺ ɺɺ

Y que

( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )

ˆ ˆˆ

ˆ ˆˆ

ˆ

ˆ ˆ

dv r ra = = r r + r r

dt

r r r r

r sen r sen r cos

r sen r sen

θ φθ φ

θ θθ θ θ θ θ θ φθ φ

φ θ φ θ φ θ θ φ

φ φφ θ θ φ θ φθ φ

∂ ∂⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∂ ∂

∂ ∂+ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∂ ∂

+ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∂ ∂+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∂ ∂

��

ɺ ɺɺɺ ɺ ɺ

ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

ɺ ɺ ɺ ɺ

Sustituyendo las derivadas de los vectores unitarios obtenemos

( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

ˆ

ˆ

ˆ

2 2 2

2

a = r - r - r sen r

+ r 2 r r sen cos

2 r sen r sen 2 r cos

θ φ θ

θ θ φ θ θ θ

φ θ φ θ φ θ θ φ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

�ɺ ɺɺɺ

ɺ ɺɺ ɺɺ

ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ

Cuando el movimiento está restringido al plano XY se cumple que θ = π/2, = = 0θ θɺ ɺɺ , y se recuperan una vez más las expresiones de la velocidad y la aceleración en coordenadas polares planas.


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E) Análisis General del Movimiento: Coordenadas Curvilíneas o Intrínsecas.

Otro sistema de coordenadas que suele ser de gran utilidad es el sistema de coordenadas intrínsecas. El mismo describe el movimiento de una partícula a través de una única coordenada, llamada abscisa curvilínea y que la notaremos con la letra s; y una base ortonormal directa denominada el triedro intrínseco o tiedro de

Frenet, formada por los vectores tangencial

t ,normal n y binormal b . Esta descripción resulta altamente conveniente cuando, por alguna razón, se conoce a priori, la trayectoria específica que sigue la partícula en estudio. Efectivamente, en muchos problemas a estudiar, la partícula estará obligada a moverse sobre una curva predeterminada, sea porque se trata de una argolla andando por un alambre con una forma dada, un carro en una montaña rusa, o un producto manufacturado moviéndose sobre una cinta transportadora. En uno u otro caso existe cierta imposición al movimiento del cuerpo en estudio, que es lo que llamaremos vínculos. La abcisa curvilínea s(t) (ver figura 11) es la expresión matemática de dicha trayectoria conocida. Cuando el sentido de movimiento del cuerpo no cambia en el tiempo, s(t) también representa el espacio recorrido por la partícula. El triedro de Frenet (ver figura 12) consiste en un sistema ortogonal de tres vectores unitarios:

• Vector tangencial t , con dirección tangencial a la curva y el mismo sentido de la velocidad de la partícula

• Vector normal n , con dirección normal y sentido hacia la concavidad de la curva.

• Vector binormal b , con dirección binormal (normal a los otros dos vectores) A continuación pasaremos a definir cada uno de los elementos antes mencionados y decir cómo quedan escritas las cantidades cinemática velocidad y aceleración, en estas coordenadas.

Figura 11) Abcisa curvilínea.

b

n

t

Figura 12) Triedro intrínseco o de Frenet.


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Como hemos visto anteriormente, el vector posición ( )r = r t� �

,que en coordenadas cartesianas es

equivalente a dar tres ecuaciones escalares x = x(t), y = y(t), z = z(t), nos da la trayectoria de la partícula. Efectivamente, estas ecuaciones dan la posición de una partícula en función del tiempo y a medida que varía el tiempo irán describiendo una curva en el espacio. En forma genérica, no es necesario describir la trayectoria de la curva en función del tiempo, sino que la curva puede ser descrita en función de un parámetro arbitrario ξ; es decir, en coordenadas cartesianas una curva viene determinada dando tres funciones escalar x = x(ξ), y = y(ξ), z = z(ξ). Un parámetro usual conveniente es la longitud de la curva medida a partir de algún origen O. Este parámetro es la coordenada intrínseca s. La misma está definida considerando un incremento diferencial en el parámetro ξ que describa la curva, de forma que:

( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆx y z

dr = dx x + dy y + dz z = x + y + z ξξ ξ ξ

∂ ∂ ∂⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ∂ ∂ ∂

�

La distancia recorrida por el punto (diferencial de longitud de arco) es:

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2 2 x y zds = dr dr dx dy dz

ξ ξ ξ ∂ ∂ ∂= = + + = + + ∂ ∂ ∂

� �

por lo que la distancia total, o longitud de arco, recorrida desde el punto O (siendo que este corresponde a la posición en la curva en que el parámetro ξ = ξ0) es:

( )0

2 2 2x y z

s dξ

ξ

ξ ξξ ξ ξ

∂ ∂ ∂= ⋅ + + ∂ ∂ ∂ ∫

En el caso particular de la dependencia de la posición en el tiempo (x = x(t), y = y(t), z = z(t)), tendremos que, si la partícula pasa por el punto O en el instante t0.

( ) ( )0 0 0

2 2 2t t t2 2 2

t t t

x y zs t dt dt x +y +z dt v t

t t t∂ ∂ ∂ = ⋅ + + = ⋅ = ⋅ ∂ ∂ ∂

∫ ∫ ∫�

ɺ ɺ ɺ

donde ( ) 2 2 2v t x +y +z=�

ɺ ɺ ɺ es el módulo de la velocidad de la partícula.

De esta manera podemos ubicar la partícula en su movimiento sobre la curva, ya que ella se encontrará a una distancia s(t) del punto O. Observemos que con la definición anterior s(t), siempre crece con el tiempo; o sea, así s(t) es la distancia recorrida por la partícula sobre la curva. Sin embargo, en algunas aplicaciones, puede ser interesante considerar a la coordenada curvilínea s como una distancia con signo, medida sobre la


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curva que recorre la partícula, desde un punto O de la curva. El signo tendría relevancia para decirnos si la partícula se encuentra a un lado u otro de O. Para tener en cuenta esto, en la definición anterior de s en función del tiempo, alcanzaría que estemos atentos a cuándo la velocidad cambia de signo; y cuando lo haga, cambiemos el signo de la raíz, ya que el movimiento sería en

sentido contrario. Es decir, consideraríamos el módulo de la velocidad ( )v t�

con signo:

( ) 2 2 2v t x +y +z= ±�

ɺ ɺ ɺ según la partícula se mueva en un sentido u otro sobre la curva. La

conveniencia de una u otra definición vendrá dada por el problema particular en estudio. Vector Tangente y Velocidad. Vimos anteriormente que a medida que el incremento de tiempo entre dos instantes se torna infinitesimal, el desplazamiento correspondiente tiende a ser tangente a la curva, como se muestra en las figuras 4 y 5. Así que podemos definir el siguiente vector que es tangente a la curva:

ˆs 0

dr rt = lim

ds s∆ →

∆=∆

� �

Es fácil ver que, por la definición de coordenada curvilínea s, este vector tangente es un versor o vector unitario, ya que:

( )( )( )

ˆ ˆ2 22

2

2 2

dr dsdrt = 1 t 1

ds ds ds= = = ⇒ =��

Es inmediata la demostración de que la velocidad siempre está dirigida según la tangente:

ˆdr dr dsv r s t

dt ds dt= = = ⋅ = ⋅

� �� ɺ ɺ

Observar que esto es coherente con que ( )dss v t

dt= =ɺ sea el módulo con signo de la velocidad.

El signo dependerá de cómo orientemos el versor tangente t Normal, Binormal y Aceleración. Ahora observemos que este versor tangente, si bien siempre mantiene su módulo constante e igual a uno, cambia de dirección con el tiempo, a medida que la partícula va recorriendo la curva (salvo que esta sea una recta, caso particular que no nos interesa estudiar por este método). Por lo tanto podemos intentar derivar respecto al tiempo la siguiente igualdad:

ˆ ˆ t t 1 • = O sea


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( )ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆd t t 1 t t +t t = 0 2 t t = 0 t t = 0

dt• = ⇒ • • ⇒ ⋅ • ⇒ •ɺ ɺ ɺ ɺ

Esta es una propiedad general de los versores que varían en el tiempo, su derivada respecto al tiempo es perpendicular al propio vector. En este caso en particular se cumplirá también que:

ˆ ˆ ˆˆ dt dt ds dtt = = s

dt ds dt ds⋅ = ⋅ɺ

ɺ

por lo que como tɺ

es paralelo a ˆdt

ds, y este vector es también perpendicular al vector tangente.

Definiremos un versor que tenga la dirección de este último, y, como es perpendicular a la tangente le llamaremos versor normal:

ˆˆ

dtn =

dsρ ⋅

Siendo ˆ

-1

dt

dsρ = para que n sea versor. A ρ se le llama radio de curvatura de la trayectoria, y

la dirección de n la elegiremos de forma que ρ sea siempre positivo. Esto hará que, por convención,

n esté dirigido hacia el interior de la curva, o sea, en la dirección en que ella se dobla. El radio de curvatura será mayor cuanto más chico el módulo de la derivada, es decir, cuanto menor el cambio en la tangente respecto a la longitud de la curva, o sea, más abierta sea la curva. En el caso extremo

de que ˆdt

0ds

=�

, el radio de curvatura ρ tenderá a infinito y la normal no estará definida. Salvo en

algún punto singular de poco interés para nosotros, esto solo ocurre en el caso de una recta, en la que obviamente todas las direcciones perpendiculares a la tangente pueden definirse como versores normales sin perder generalidad. Finalmente, para determinar completamente el triedro de Frenet, definiremos otro versor, también normal a la curva pero al que llamaremos binormal, porque a partir de su definición, será perpendicular tanto a la tangente como a la dirección hacia la que se dobla la curva:

ˆ ˆ ˆb = t n×

Y con este versor binormal b , la tríada t , n y b será una base ortonormal directa. Finalmente, veremos como queda la aceleración de una partícula en este sistema de coordenadas

( )ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ 2

d s t dt ds na = v = s t +s t = s t +s = s t + s

dt ds dt ρ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

ɺ� � ɺɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ ɺ


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O sea

ˆˆ 2 n

a = s t + s ρ

⋅ ⋅�ɺɺ ɺ

Como vimos antes, la expresión de velocidad de una partícula escrita en coordenadas intrínsecas, nos dice que la misma es tangente a la curva. Ahora vemos que su aceleración tiene una componente tangencial, que depende de la rapidez con que aumenta el módulo de la velocidad

dss =

dt

ɺɺɺ , y otra componente según la normal, que es proporcional al módulo de la velocidad al

cuadrado y al inverso del radio de curvatura ρ. La aceleración no tiene componente según la binormal.

Cap 02_ Anlisis Vectorial Del Movimiento

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