Captulo 4:

ANLISIS DE SENSIBILIDAD PARA MODELOS CONSTITUTIVOS DE ELASTO-PLASTICIDAD

En el captulo precedente, se ha presentado una visin general del problema del anlisis de

sensibilidad no lineal, sin precisar el tipo de comportamiento constitutivo del material. En el

presente captulo se analizan las problemticas que aparecen, en un anlisis de sensibilidad,

cuando el material sigue un comportamiento elastoplstico. El modelo elastoplstico que se utiliza

para desarrollar las expresiones se basa en el criterio de plasticidad de Von Mises y una ley de

endurecimiento lineal, los detalles de la formulacin se encuentran en un anexo al final de este

captulo.

4.1 ANLISIS DE SENSIBILIDAD EN ELASTOPLASTICIDAD

4.1.1 ESTADO DEL ARTE DEL PROBLEMA

A continuacin, se comentarn los distintos planteamientos que aparecen en la literatura sobre el

tema especfico que nos ocupa, la sensibilidad en elastoplasticidad. En general, puede decirse que

han sido interesantes y numerosas las aportaciones de los distintos autores que han tratado la

cuestin.

En el captulo anterior sobre no linealidad del material en general, aparecan algunas formulaciones

con modelos constitutivos de tipo analtico que conducan a expresiones explcitas, mediante las

cuales era relativamente fcil calcular la sensibilidad. En la misma lnea, pero con un modelo un

poco ms completo, se encuentra la aportacin de Haslinger et al. (1992)[H1]. El objetivo del

artculo es la optimizacin estructural y para realizarla se apoyan en el clculo de las derivadas de

las variables de diseo. Citan como modelo de plasticidad la formulacin de Washizu1. Las

hiptesis de comportamiento del material se basan en definir una funcin explcita segn la cual el

material cumplira una ley no lineal de Hooke:

ij ll ij ij ij llu e e e( ) ( )( )= + 213

4.1.1

1 La referencia est en K. Washizu, 1974. Variational methods in elasticity and plasticity. Oxford. Pergamon Press.

4.2 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

siendo en este caso , el tensor de tensiones, e el tensor de deformaciones, , una constante

elstica y , una funcin del invariante de deformaciones. En concreto se propone la siguiente

expresin:

( ) ( )

=+

0

0 0 0

0

01ln ln /sisi

4.1.2

siendo:

( )[ ] = + + +13 611 222

112

222

122

1 2

e e e e e/

4.1.3

El planteamiento general de la formulacin se realiza a partir de las ecuaciones discretas de

equilibrio del problema y la aplicacin de la diferenciacin directa (DDM) conduce a unas

expresiones explcitas del modelo de plasticidad que simplifican notablemente el problema.

Posteriormente Vidal et al. (1993) [V1] centran su investigacin en la cuestin pendiente de la

derivacin de un modelo implcito2 de plasticidad, de acuerdo con las teoras clsicas aceptadas por

la comunidad cientfica y expuestas en el anexo A4.1. El desarrollo es general, con anlisis de

formas y con un marcado carcter terico. De hecho, pretenden que sea aplicable a cualquier

modelo elastoplstico y plantean la derivacin directa DDM de la ecuacin integral de equilibrio. El

artculo empieza presentando el problema de plasticidad y, a continuacin, aborda el anlisis de

sensibilidad del modelo a partir de una formulacin variacional, llegando a deducir unas

expresiones integrales un tanto crpticas. Finalmente, discretiza con elementos finitos y obtiene otra

expresin integral para el anlisis de sensibilidad. En las ltimas pginas del artculo, aparece el

ejemplo de una tubera sometida a presin con un modelo de plasticidad de Von Mises sin ningna

ley de endurecimiento. Por desgracia, ni siquiera para este ejemplo sencillo, se muestra, en ningn

momento, como se traduciran las expresiones integrales para el clculo de sensibilidades. Dicha

omisin dificulta notablemente la interpretacin de los distintos trminos de su formulacin y su

correcta implementacin en un cdigo general de elementos finitos. Sin embargo, a pesar de esas

inconveniencias el artculo seala varios puntos interesantes:

1. Para los problemas con modelos dependientes de la historia, es decir estados de equilibrio que

dependen de los estados anteriores, los autores recomiendan el mtodo de diferenciacin

directa DDM y no el mtodo adjunto AVM, por dos razones. En primer lugar, porque el AVM

slo se preocupa de la sensibilidad de un funcional y no de la sensibilidad en la respuesta

estructural, en consecuencia dificultara la sensibilidad a lo largo de la historia dependencia. En

2 We formulate analytical sensitivity expressions that are consistent with numerical algorithms for elastoplasticity that use implicit methods to integrate the constitutive equations and return mappings to enforce the consistency conditions [V1]

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.3

segundo lugar, sealan que el problema adjunto no se puede definir hasta haber resuelto el

problema de equilibrio con lo cual se complica notablemente el anlisis.

2. Consideran adecuado el planteamiento incremental propuesto por Ryu et al. (1985) [R1], en

concreto opinan que es la forma natural de calcular los problemas con dependencia de la

historia. Adems, afirman que el clculo de sensibilidades no aade coste computacional, dado

que no se necesitan iteraciones para resolver el anlisis. En resumen, el planteamiento consiste

en incrementar la carga, llegar a un equilibrio mediante un esquema predictor-corrector y

calcular la sensibilidad en el estado equilibrio.

3. La necesidad de usar la matriz consistente de la formulacin en el sistema de ecuaciones del

anlisis de sensibilidad. En el articulo se puede leer The consistent sensitivity formulation

produces extremely accurate results in all cases tested[] The inconsistent sensitivity

formulation produces significat error. Esta consideracin viene refrendada por Kleiber en

artculos posteriores y ser motivo de comentarios en las pginas siguientes.

El mismo grupo de trabajo aparece con un nuevo artculo, Michaleris et al. (1994) [M2]

reformulando todo el problema e introduciendo una nueva notacin, completamente diferente de la

clsica de los elementos finitos en ingeniera, para dar mayor generalidad a sus expresiones. En este

artculo, s que aparece un ejemplo de aplicacin, un problema unidimensional elastoplstico

analtico con dos barras en el que calculan las frmulas deducidas de la teora previa. En definitiva,

el artculo presenta una estrategia nueva para hallar la sensibilidad en un enfoque bastante alejado

de la concepcin clsica de los elementos finitos.

Un enfoque distinto es el establecido por Arora et al.(1995) [A1]. En su caso tambin pretenden

conseguir unas expresiones de carcter general del problema donde se incluya el diseo de formas.

Afortunadamente, en este artculo la notacin es mucho ms cercana a la habitual del MEF y

adems se describe con mayor claridad la implementacin prctica en un cdigo de elementos

finitos. Cabe destacar que el clculo de la pseudocarga se realiza mediante diferencias finitas, por

ello es posible afirmar que su formulacin es de tipo semianaltico. En el texto se hace un esfuerzo

por resaltar los problemas de discontinuidad de la derivada de la ecuacin constitutiva y su efecto

sobre el clculo de sensibilidades. Las principales aportaciones que hace son:

1. Dado que la curva constitutiva elastoplstica de comportamiento presenta una discontinuidad

en la derivada cuando se llega a la carga ltima elstica, el clculo de la sensibilidad presentar

una discontinuidad en ese punto. Concretamente demuestran que no se puede derivar una

nica ecuacin de equilibrio en el punto, sino que slo se pueden obtener derivadas

direccionales a ambos lados del punto de plastificacin.

2. Tambin confirman que el clculo de sensibilidades debe hacerse segn un esquema

incremental histrico-dependiente.

4.4 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

3. Al igual que Vidal et al. [V1] consideran el mtodo de diferenciacin directa ms apropiado que

el mtodo adjunto, porque el problema adjunto depende del funcional y no de la ecuacin de

equilibrio y, por lo tanto, no se podra definir la solucin hasta que la respuesta total de la

ecuacin de equilibrio fuera generada.

Finalmente, cabe citar como aportacin ms clara sobre el tema los artculos de Kleiber et al.

(1995)[K1] y (1996)[K2]. Numerosos son los escritos, ya comentados en otros captulos, donde este

grupo de autores plantean unas expresiones integrales de carcter general para problemas no

lineales en diferentes tipos de anlisis y su posterior discretizacin. En general, siempre describen

un planteamiento acorde con la concepcin y notacin clsica de los elementos finitos de manera

que las expresiones son fciles de identificar.

Sea la ecuacin constitutiva en forma incremental diferencial:

( ) ( )& , & , = +D H 4.1.4 donde son las deformaciones y la variable interna de la formulacin.

Planteando la ecuacin de equilibrio incremental diferencial y la consabida discretizacin en

elementos finitos, se tiene:

B dV ftV

& & = 4.1.5

La integracin de la ecuacin se hace conforme a un esquema discreto que convierte la ecuacin

diferencial en ecuacin incremental:

B dV ftV

= 4.1.6

La derivacin de esta ecuacin respecto a un parmetro de diseo q conduce a:

Bddq

dVddq

ftV

= 4.1.7

Donde el trmino:

( )ddq q

ddq

ddq

Dddq

B utt

tt = + + +

4.1.8

Por lo tanto, se obtendra substituyendo en 4.1.7:

B DBdVd

dqu

ddq

f Bq

ddq

ddq

t

V

tt

tt

t

V = + +

4.1.9

Con un planteamiento parecido al de Vidal et al., tanto en [K1] como en [K2], los autores se

preocupan por el problema de la sensibilidad de parmetros en un rgimen de plasticidad clsica, de

manera que las expresiones para un problema de formas no se contemplan Los ejemplos que se

presentan son un moldeado de metales y una placa con cargas en el plano medio con un modelo de

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.5

plasticidad de endurecimiento lineal. En ambos casos la estrategia de resolucin es de tipo

incremental, calculando las sensibilidades al final de cada etapa de carga utilizando la matriz

consistente de la formulacin. En un artculo posterior tambin tratan el problema de

elastoplasticidad en tensin plana [K3] intentando resolver las dificultades aadidas que tiene

dicha formulacin. Las conclusiones son parecidas a las de los autores anteriores.

4.1.2 ALGUNAS INCGNITAS POR DESVELAR

De los planteamientos previos se pueden deducir algunos puntos obscuros:

1. Todos los autores proponen una estrategia incremental, de manera que se resuelve la ecuacin

de equilibrio y a continuacin, la ecuacin de sensibilidad. Este planteamiento parece adecuado

para problemas sin endurecimiento o de tipo lineal. Sin embargo, en el caso de un

endurecimiento no lineal, intuitivamente parece que pueden surgir problemas.

La evaluacin de la derivada del residuo contiene el trmino, derivada de la variable interna

d dqt , que a su vez depende de la deformacin plstica, vase la frmula A4.1.4 o A4.1.5.

Dichas variables se actualizan en cada iteracin de la ecuacin constitutiva, por lo tanto parece

ms lgico calcular la derivada tambin de forma iterativa en lugar de hallarla al final del paso de

carga, ya que por el camino se habr perdido informacin.

2. Las expresiones en notacin clsica de los elementos finitos sobre analisis de sensibilidad de

formas no estn claramente establecidas ya que las aportaciones de Creto pecan de

excesivamente variacionales sin que se vea claramente quin es quin en alguno de los

trminos, las de Arora son semianalticas y las de Kleiber se reducen a la sensibilidad de

parmetros.

A la vista de todo ello, se procede a desarrollar en esta tesis una nueva formulacin basada en una

aproximacin tangente del problema e intentando mejorar algunos de los puntos negativos

descritos anteriormente.

Ilustracin 4.1: Posibles problemas para endurecimientos no

lineales

4.6 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

4.2 PLANTEAMIENTO INCREMENTAL CON SENSIBILIDAD DE

FORMAS

Para la deduccin de las expresiones que han de conducir al anlisis con sensibilidad de formas en

elastoplasticidad, en este trabajo se propone otra estrategia de derivacin de la ecuacin de

equilibrio. En primer lugar, se destaca que no se va a utilizar una notacin variacional de tipo

matemtico, sino que se van a definir las expresiones del anlisis de sensibilidad a travs de la

notacin comn en ingeniera. En segundo lugar, resaltar que se propone la derivacin directa

sobre la ecuacin incremental discretizada en forma matricial, de manera que se obtendrn con

detalle las derivadas de los trminos del residuo, matrices tangentes y conceptos asociados al

clculo constitutivo elastoplstico. Finalmente, sealar que se propone una nueva forma de calcular

la derivada de la deformacin plstica a travs de un proceso iterativo.

4.2.1 GENERALIDADES

Supuesto el equilibrio en un incremento de carga dada, se puede escribir la ecuacin discretizada

con elementos finitos de la forma:

B D B dV u P B dVTVelem

t t t

Velem = + 4.2.1

Esta expresin da lugar a la forma matricial del problema:

K u P RTt t t = + 4.2.2

La derivacin de esta ecuacin 4.2.2 con respecto a una variable de diseo q da lugar a la expresin

siguiente:

( )dK

dqu K

d udq

dPdq

dRdq

TT

+ = 4.2.3

Esta ecuacin es similar a la 2.3.8 definida en el captulo 2, con la diferencia que en este caso el

clculo es incremental.

Aceptando que :

d udq

dudq

=

4.2.4

se podr definir la actualizacin de la sensibilidad a travs del incremento, segn:

t t tdu

dqdudq

dudq

+

= +

4.2.5

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.7

Reagrupando convenientemente la expresin 4.2.3 y usando 4.2.4 se definira:

Kdudq

dPdq

dRdq

dKdq

uTT = 4.2.6

Ntese que la estructura de la ecuacin anterior es parecida a la 2.3.9 que se defini en el captulo 2.

Pero ahora el trmino de pseudocargas tiene una nueva expresin; comprese con 2.3.10 del

captulo 2:

fdPdq

dRdq

dKdq

uT* = 4.2.7

El algoritmo 4.1 describe el funcionamiento general del clculo de la sensibilidad en el caso de

elastoplasticidad:

Por lo tanto, la caracterstica diferencial con respecto al planteamiento del captulo 2 radica en la

naturaleza incremental de los clculos y en la formacin de una nueva pseudocarga. Asimismo, la

matriz de rigidez que se utiliza en el sistema corresponde a la matriz consistente de la formulacin,

tal y como proponan los autores anteriormente reseados.

Algoritmo 4.1 Anlisis de sensibilidad en elastoplasticidad

incremento en pseudotiempo

t t+

Resolucin de la ecuacin incremental de equilibrio

K u P RTt t t = +

Formacin de pseudocarga

f* 4.2.7

Resolucin del sistema

Kdudq

fT

= *

actualizacin sensibilidad t t tdu

dqdudq

dudq

+

= +

4.8 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

La forma alternativa intuitiva de calcular la sensibilidad, consistira en la derivacin de la ecuacin

de equilibrio iterativa, tal y como propona Gopalakrishna en el captulo anterior para un problema

no lineal en general. Pero esto va a aumentar de forma desorbitada el coste computacional de la

sensibilidad.

4.2.2 LA PSEUDOCARGA

A continuacin se presentan cada uno de los trminos de la pseudocarga 4.2.7 en el caso de

elastoplasticidad. El primero de ellos, dP dq , ya se defini en el captulo 2 como la derivada

explcita de las fuerzas externas con respecto a la variable de diseo.

La derivacin del residuo

El segundo trmino de 4.2.7 contiene la derivada del residuo del paso anterior. Suponiendo una

integracin sobre elementos isoparamtricos, la derivada se expresara segn:

dRdq

ddq

B dVd

dqB JdVt

Velem

to

Velem o

= = 4.2.8

y entonces:

dRdq

dBdq

J dV Bddq

JdV BdJdq

dVt ot

ot

oVVVelem ooo

= + +

4.2.9

De la frmula 4.2.9 todos los trminos son conocidos, excepto la derivada de la tensin en el paso

anterior de carga. A partir de la ecuacin constitutiva de elastoplasticidad en trminos totales, se

tiene que:

( )t t t pD = 4.2.10 y por lo tanto:

( )t t t pD B u = 4.2.11 entonces aplicando la derivada:

( )t

t tp

t tp

tt

pt

tpd

dqdDdq

B u DdBdq

u D Bdudq

D B uddq

= +

+

+

4.2.12

En general, los coeficientes que contienen las propiedades elsticas del material no van a cambiar

bajo una modificacin en el diseo de la forma y, por consiguiente, el primer trmino es

despreciable. Como trmino nuevo aparece la sensibilidad en el paso t (el anterior al actual de

equilibrio y en consecuencia supuestamente conocido) y la derivada de la deformacin plstica.

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.9

La derivacin de la deformacin plstica

La resolucin del problema se realiza a travs de iteraciones sucesivas, por lo tanto, la deformacin

plstica se crea como adicin de pequeos incrementos. Algunos de los autores mencionados

anteriormente, Vidal [V1], comentan dicha realidad y en concreto describen la siguiente frmula

para su obtencin:

( )t t pk t t pk k t t k t t k+ + + + + + + += + 1 0 1 1 1, & f , 4.2.13 Sin embargo, cuando deben calcular dicho trmino, en su formulacin, proponen la siguiente

simplificacin:

t t k k

k

nitern nt+ = & & &f & &f 4.2.14

En consecuencia, toman el valor real por lo siguiente:

t pt t

p pk

k

nitert t

p pkt = + + & & 4.2.15

de manera que slo aprovechan la informacin de la ltima iteracin de la ecuacin constitutiva

para calcular la sensibilidad:

tp

t tp p

nddq

ddq

tddq

+

&

4.2.16

De hecho definen un mtodo de Euler-backward aplicado al incremento total de carga y no a las

iteraciones constitutivas. Esta idea de calcular todo en la ltima posicin la recalcan especialmente

con comentarios del tipo: the sensitivity computations are relatively inexpensive, since no

iterations are required in the sensitivity analysis.

Sin embargo, dicho mtodo puede incluir errores porque se desprecian los clculos de las

iteraciones intermedias. Solamente en el caso de problemas bien puestos, con plasticidades

sencillas o con pasos muy cortos de tiempo parece que intuitivamente puede dar siempre buenos

resultados.

En vista de todo ello, en este trabajo se propone una alternativa iterativa para evaluar el trmino de

la derivada de la deformacin plstica. De esta manera, la sensibilidad de la deformacin plstica se

actualizara en cada ciclo iterativo de la integracin de Euler-backward, mientras que el clculo de

la sensibilidad de la estructura se seguira realizando al final del paso de carga. Dicha aproximacin

incrementa, lgicamente, el coste computacional pero no excesivamente, dado que slo se actualiza

un vector de deformaciones plsticas y no es necesario resolver ningn sistema de ecuaciones ni

formar costosas matrices.

4.10 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

Por consiguiente, la ecuacin 4.2.16 no se utilizara y en su lugar se calculara:

tp

t tp p

iter

iter

nddq

ddq

ddq

= +

=

&

1 4.2.17

De la ecuacin 4.2.17 se observa que el primer trmino es ya conocido del paso anterior de carga y,

por lo tanto, slo interesa encontrar la derivada de la deformacin plstica en cada ciclo iterativo

del esquema de integracin de la ecuacin constitutiva y sumarla.

Se define para la iteracin n-sima la derivacin de la regla de flujo, es decir:

[ ]ddq

ddq

pn

n n& & f

= 4.2.18

y por consiguiente:

ddq

ddq

ddq

pn n

n& &

f &fn

n = + 4.2.19

Ntese que en la frmula 4.2.19 aparecen las derivadas del vector de flujo y del multiplicador

plstico.

A continuacin se desarrollan las expresiones para obtener la derivada de la deformacin plstica

prescindiendo del subndice, pero dando por entendido que el clculo es a nivel de iteraciones.

La derivada del flujo plstico

Haciendo uso de las expresiones constitutivas de la plasticidad del apartado 4.1 se obtiene el

vector de flujo para Von Mises segn A4.1.10.

Por lo tanto, si se deriva de dicha expresin la componente isima del vector de flujo, se obtiene:

ddq

ddq J J

ddq J

dJdq

i i ifi'

' '

' '

'

'

=

=

32

3

2 22 2 22

para i x y z= , , 4.2.20

ddq

ddq J J

ddq J

dJdq

i i ifi' ' '

'

=

=

32

2 32

2 2 2

2 para i xy xz yz= , , 4.2.20bis

De las expresiones superiores slo se necesitan las derivadas de las tensiones desviadoras

normales porque las tangenciales seran las mismas, con lo que se define:

ddq

ddq

ddq

ddq

ddq

i i x y y '

= + +

13

para i x y z= , , 4.2.21

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.11

Finalmente, se necesita conocer la derivada del segundo invariante del tensor desviador de

tensiones, siendo ste el que aparece en A4.1.7, y derivando dicha expresin se obtiene:

( )dJdqddq

ddq

ddqi j

i j

i ji

i

i

2 13

2'

=

+

4.2.22

Por consiguiente, se puede definir la derivada del vector de flujo en funcin de las derivadas de los

estados tensionales previos, que son lgicamente conocidos.

Derivada del multiplicador plstico

Recurdese que tambin es necesaria la derivada del escalar plstico. Su expresin se deduce de la

ecuacin de consistencia y se obtiene la expresin A4.1.16 para el caso de flujo asociado. Por lo

tanto, si se derivase se tendra:

( )

ddq

d dq d dqH

Hd

qD

dDdq

Dd

qdHdq

& g hf:D: f

g hf:D: f

fd

: : f f: : f f: :f

d

=

+

+

+ + +

2

4.2.23

En el caso de plasticidad de Von Mises con endurecimiento lineal se particularizara el numerador

de 4.2.23 con las siguientes ecuaciones derivadas de las A4.1.6 y A4.1.13:

ddq J

dJdq

g'

'

=3

2 2

2 4.2.24

ddq

Hddq

h=

4.2.25

y en virtud de la definicin de la variable interna A4.1.12 se tiene que:

ddq

H ddq

ddq

ddq

p pp

= + +

g g

g & &&1

4.2.26

Donde todas las tensiones y derivadas de tensiones son conocidas de la iteracin anterior.

El algoritmo 4.2 aclara el procedimiento que se debe seguir para calcular segn un esquema iterativo

la derivada de la deformacin plstica.

4.12 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

Derivada de la matriz tangente

Los ltimos trminos de la pseudocarga corresponden a la derivada de la matriz de rigidez tangente

que se expresa segn:

Algoritmo 4.2 Clculo iterativo de la derivada de la deformacin plstica

iteraciones

= D D p

actualizacin de la variable interna

4.1.12

criterio de fallo 4.1.6-13

( ) ( ) ( )F , g h =

( )F , 0 o

iter > MX_ITER

vector de flujo 4.1.10

multiplicador plstico 4.1.16

deformacin plastica 4.1.26

d Dd Dd p =

Ecuacin Equilibrio

derivacin de la variable interna

4.2.26

derivacin del criterio de fallo

4.2.24-25

derivada del vector de flujo 4.2.20 y 20 bis

derivada del multiplicador plstico

4.2.23

derivada de la deformacin plastica

4.2.19

S

No

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.13

dKdq

ddq

BD BdVt TVielem

= 4.2.27

Suponiendo una integracin sobre elementos isoparamtricos

dKdq

ddq

BD BJdVt T oVielem o

= 4.2.28

En consecuencia:

dKdq

dBdq

D BJdV BdDdq

BJdV

BDdBdq

J dV BD BdJdq

dV

tT o

V

To

Vielem

T oV

T oV

o o

o o

= + +

+

4.2.29

En el apartado A4.1.3 se ha comentado que existen dos matrices tangentes en la formulacin. La

clsica se deduce de la condicin de consistencia terica de la elastoplasticidad, pero no es

consistente con el esquema de integracin utilizado. En cambio, la segunda [S2] s que es

consistente con la integracin y genera una matriz tangente de mayor calidad, de manera que son

necesarias menos iteraciones de Newton-Raphson para converger. Sin embargo, ambas matrices

son de naturaleza tangente, esto quiere decir que la aproximacin de calcular la sensibilidad en el

ltimo paso de carga ser correcta si:

Se han hecho pocas iteraciones.

El problema est formulado con un modelo sencillo de plasticidad.

Por lo tanto, debe asumirse que la calidad de la sensibilidad tangente siempre ser menor que el

clculo a travs de una matriz de naturaleza secante, tal y como se muestra en la ilustracin 3.4 del

captulo 3.

A continuacin se calcularn las sensibilidades de ambas matrices tangentes, la consistente y la no

consistente para obtener dos posibles formulaciones del clculo de sensibilidades.

Matriz no consistente

La matriz se defina en plasticidad asociada segn la expresin A4.1.30, entonces la expresin

derivada conduce a:

( ) ( )

( )

dDdq

dDdq

H DD D

ddq

H D

dHdq

ddq

DdDdq

Dddq

D D

T =

+

+

+ + +

122

f: : ff

ff: : f

f: : f f: : f f: :

ff f

4.2.29

4.14 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

Donde todos los trminos de la expresin 4.2.29 son conocidos de las expresiones desarrolladas

anteriormente.

Matriz consistente con la integracin

De derivar la ecuacin A4.1.31 se deduce:

( ) ( )

( )

dDdq

dRdq

H RR R

ddq

H R

dHdq

ddq

RdRdq

Rddq

R R

T =

+

+

+ + +

122

f: : ff

ff: : f

f: : f f: : f f: :

ff f

4.2.30

La ecuacin A4.1.32 no se puede derivar directamente, pero si se multiplica por la izquierda con la

matriz Q , se puede reexpresar la relacin del modo siguiente:

QR D= 4.2.31

y realizando la diferenciacin del producto:

dQdq

R QdRdq

dDdq

+ = 4.2.32

A continuacin se aisla facilmente el trmino que interesa, obteniendo:

dRdq

QdDdq

QdQdq

R= 1 1 4.2.33

El ltimo trmino contiene matrices desconocidas, por ello es necesario derivar la expresin A4.1.33

para obtener:

dQdq

dIdq

ddq

DdDdq

Dddq

= + + +

& f & f & f

4.2.34

En la expresin anterior, el primer trmino es nulo porque la matriz identidad es constante. El ltimo

es desconocido, por lo tanto slo falta derivar la expresin A4.1.34. Se obtiene:

ddq J J

dJdq

AJ

dJdq

ddq

ddq

t tt

f

f ff

f ff

' '

'

'

'

= +

1

2 3

12

12 2

2 2

2

2

2 4.2.35

En conclusin el clculo de la pseudocarga se realiza en dos etapas:

En cada iteracin de la ecuacin constitutiva se calcula la derivada de la deformacin plstica

segn el algoritmo 4.2.

Al final del equilibrio se calculan el resto de trminos de la pseudocarga y se utiliza la matriz

consistente para resolver el sistema de ecuaciones de sensibilidad.

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.15

ANEXO 4.1: EL MODELO CONSTITUTIVO DE ELASTOPLASTICIDAD

El comportamiento plstico de un material viene, caracterizado fundamentalmente por la aparicin

de unas deformaciones irreversibles que se producen a partir de un cierto nivel de tensin. Es decir,

durante el proceso de carga la estructura se deforma y, posteriormente, si existe un proceso de

descarga, el esqueleto resistente no ser capaz de recuperar la forma original. Lgicamente, la

aproximacin lineal elstica no puede reproducir correctamente un comportamiento de este tipo.

Hay diferentes enfoques tericos que pretenden reproducir dicho fenmeno, desde teoras donde

se plantea una relacin constitutiva no lineal explcita como en los modelos de plasticidad de

Ramberg-Osgood, hasta los modelos endocrnicos de plasticidad sin superficie de fluencia de

Valanis, pasando por las distintas formulaciones de la plasticidad clsica. El problema de la

elastoplasticidad ha sido ampliamente estudiado y puede encontrarse abundante literatura sobre

los planteamientos anteriormente citados en: Malvern (1969) [M1], Owen et al. (1980)[O1], Simo et

al. (1988) [S1], Lubliner (1990) [L1], Chen et al. (1991) [C1] y Crisfield (1991) [C2].

A4.1.1 LA RELACIN CONSTITUTIVA

La relacin constitutiva que pretende reproducir el efecto de deformaciones irrecuperables en el

material est basada en el concepto de superficie de fluencia o de plastificacin. Segn esta teora,

mientras el estado tensional se encuentre en el interior de la superficie lmite el punto se comportar

en rgimen elstico; en cambio, cuando est sobre dicha superficie se encontrar en rgimen

plstico. Por lo tanto, la idea bsica es que el estado tensional se pueda mover sobre la superficie y

en su interior pero nunca salir de ella.

Ilustracin 4.2: Comportamiento elasto-

plstico

4.16 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

A partir del concepto de superficie lmite, se han desarrollado aproximaciones que pretenden

reproducir, de forma lo ms fidedigna posible, los diferentes comportamientos constitutivos que

existen en la realidad. As, por ejemplo, en el planteamiento ms sencillo la superficie de fluencia

permanece constante y las deformaciones pueden crecer indefinidamente, esto da lugar a la teora

de plasticidad perfecta. Por el contrario, en los comportamientos constitutivos ms complejos la

superficie lmite evoluciona a medida que la deformacin va aumentando y en consecuencia, el

estado tensional puede arrastrar consigo a la superficie de fluencia y seguir mantenindose sobre

ella, lo que se denomina ley de endurecimiento. De igual modo y, con los parmetros convenientes,

dicha ley puede simular el fenmeno de ablandamiento del material.

A continuacin se describen las principales caractersticas del modelo de plasticidad que se ha

considerado en este trabajo.

Hiptesis 1:

En la teora ms usual de plasticidad, no es posible establecer una correspondencia biunvoca entre

las deformaciones y las tensiones totales basada exclusivamente en una relacin analtica. Sin

embargo, s que es posible escribir la evolucin de la ecuacin constitutiva en forma incremental.

En concreto, la plasticidad considera que la deformacin infinitesimal total consiste en la suma de

una parte elstica y una parte plstica, de manera que:

& & & = +e p A4.1.1

Por lo tanto, la relacin constitutiva incremental infinitesimal puede escribirse de la siguiente

manera:

& ( & & ) = D p A4.1.2

Ilustracin 4.3: Superficie de fluencia

Ilustracin 4.4: Relacin constitutiva

incremental

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.17

Hiptesis 2:

Los modelos de plasticidad se caracterizan por la existencia de un criterio de fluencia o criterio de

fallo, el cual indica en qu estado se encuentra el material.

( ) ( ) ( )F , g h = 0 A4.1.3 Matemticamente, el criterio define la superficie lmite y, como se ha comentado, el estado tensional

del material siempre tiene que estar en su interior, verificando el rgimen elstico, o en el contorno,

verificando el rgimen plstico.

El trmino ( )g representa una norma del estado tensional que est soportando el

material y su expresin depende de la teora con

la que se trabaje: Tresca, Von Mises, Rankine,

Mohr-Coulomb o Drucker-Prager. Las distintas

formulaciones posibles se deben escoger en funcin del tipo de material. En general, los dos

primeros estan relacionados con materiales metlicos, mientras que los dos ltimos se utilizan en

geomateriales.

Por su parte, el trmino ( )h es un estado tensional mximo terico admisible por el material, ese estado depende de unas variables internas relacionadas con la deformacin plstica que ha

absorbido el material. Por ejemplo se pueden establecer relaciones con respecto a:

deformacin plstica equivalente: & pt

dt0

A4.1.4

trabajo plstico: & pt

dt0

A4.1.5

Se observa que las variables internas dependen de la historia de cargas, entonces ( )h puede evolucionar a travs de la ley de endurecimiento, o de ablandamiento, en los modelos ms

complejos.

Ilustracin 4.5: Visualizacin del criterio de fallo

Ilustracin 4.6: Aspecto de las superficies de fluencia en el plano

para diferentes criterios de fallo.

4.18 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

En el presente trabajo, las expresiones generales de sensibilidad se han deducido con carcter

general, pero numricamente slo se han desarrollado para la plasticidad de Von Mises. Por ello,

parece interesante detallar las ecuaciones a las que conduce dicha teora.

Se define la la norma del estado tensional segn:

( )g ' = 3 2J A4.1.6

siendo J2' el segundo invariante del tensor desviador, que se expresa en las componentes normales

del tensor de tensiones segn:

( ) ( ) ( )[ ]J x y y z z x xy xz zy2 2 2 2 2 2 216' = + + + + + A4.1.7 El trmino de ( )h se explicitar en la hiptesis 4.

Hiptesis 3:

Supngase un incremento de carga de la estructura. En estas circunstancias, se puede hacer la

hiptesis de comportamiento lineal y predecir un estado tensional a partir de la teora de la

elasticidad. Si las tensiones en un determinado punto no verifican el criterio de fallo, significa que

se est fuera de la superficie de fluencia, y que se debe modificar convenientemente el nivel de

deformaciones plsticas para retornar el estado tensional a la superficie. Dicha modificacin, de las

deformaciones, se hace efectiva mediante la regla de flujo:

& &Q & r

p = = A4.1.8

siendo Q un potencial plstico que depende del tipo de material y & un multiplicador plstico que

cumple con la condicin de consistencia plstica que se comentar en la hiptesis 5. Asimismo, la

derivada del potencial recibe el nombre de vector de flujo r . En la plasticidad para materiales

metlicos el potencial Q se identifica con la propia superficie de fluencia F ,dando lugar a la

llamada plasticidad asociada, en cuyo caso:

rF

f= =

A4.1.9

Ilustracin 4.7: Regla de flujo

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.19

Matemticamente el criterio de fallo y el multiplicador plstico cumplen las llamadas condiciones de

Kuhn-Tucker que tienen el siguiente sentido fsico:

Verificacin del criterio de fallo, ( )F , 0 Exigencia del crecimiento del multiplicador plstico para evitar que la deformacin plstica

pueda disminuir, & 0

Finalmente la condicin de pertenecer a la superficie del potencial, & F = 0

En la plasticidad de Von Mises la expresin A4.1.9 combinada con la A4.1.6, conducen a la

siguiente regla de flujo:

{ }f , , , , ,' ' ' 't x y z xy xz yzJ=3

22 2 2

2

A4.1.10

donde i' son las componentes del tensor desviador de tensiones y, por lo tanto, se calcularan

segn la siguiente expresin:

( ) i i x y z' = + +13 para i x y z= , , A4.1.11

Hiptesis 4:

A medida que aumenta la deformacin plstica segn la regla de flujo y el estado tensional retorna

a la superficie de fluencia, la estructura disipa toda la energa de deformacin acumulada por el

exceso en el incremento lineal de tensin. En este proceso, la deformacin irreversible modifica a la

propia superficie de fluencia, ya que las variables internas dependen de la deformacin plstica, de

manera que el modelo debe acompaarse de una ley de evolucin de la superficie. Bsicamente

existen cuatro tipos:

Sin endurecimiento: es el caso de la plasticidad perfecta donde la superficie lmite de fluencia

siempre permanece constante.

Endurecimiento isotrpico: supone que la superficie se expande uniformemente para todo

estado tensional.

Endurecimiento cinemtico:supone que la superficie de plastificacin se traslada en el espacio

de tensiones.

Endurecimiento mixto: vendr definido por la mezcla de los dos anteriores.

Ilustracin 4.8: Otros endurecimientos

Ilustracin 4.9: Endurecimiento isotrpico

4.20 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

En el desarrollo numrico de la tesis se ha utilizado la siguiente ley de endurecimiento isotrpico,

donde la variable interna se ha definido en funcin del trabajo plstico de deformacin:

( ) = 1

0 g&

p

t

dt A4.1.12

y como ley de endurecimiento:

( )h = +o H A4.1.13

donde o es la tensin mxima elstica admisible unidimensional y H una constante que tendra el

sentido del mdulo de plasticidad, en un espacio unidimesional de tensiones-deformaciones.

Hiptesis 5:

Finalmente, slo resta exigir la condicin de consistencia plstica, segn la cual, el estado tensional

nunca podr salir de la superficie de fluencia y, por lo tanto, se deber cumplir que:

&F = 0 A4.1.14 o bien desarrollando la expresin:

F

& f &= = 0 A4.1.15

y en caso de endurecimiento:

F

&F

&+ = 0 A4.1.16

Combinando A4.1.15 con las ecuaciones de las hiptesis anteriores A4.1.8 y A4.1.2, y con la ley de

endurecimiento A4.1.13, se deduce la expresin incremental del multiplicador plstico. En concreto

para el problema definido:

( ) ( )& g h

H f:D: f

=

+

A4.1.16

Por ltimo, cabe sealar que el modelo elastoplstico disipa una energa de deformacin a travs de

la deformacin plstica que se convierte en irrecuperable:

& & = p A4.1.17

Grficamente se representara segn la ilustracin 4.10:

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.21

A4.1.2 EL MODELO NUMRICO

Supuesto un problema estructural, se puede formular el Principio de los Trabajos Virtuales como

ecuacin de balance energtico y obtener una ecuacin de equilibrio del sistema:

tV

t

V

t

S

dV u b dV u tds = + A4.1.18

con condiciones de contorno en desplazamientos en una parte del dominio:

u uo = A4.1.18bis

En este caso, la discretizacin en elementos finitos conduce a un sistema no lineal para el paso de

carga t t+ :

B dV N bdV N tdst t tVnelem V

tt t t t t

Snelemnelem

+ + + = + A4.1.19

El sistema es no lineal, porque la integral de las tensiones que aparece en el trmino de la izquierda

de A4.1.19 no puede calcularse directamente. Recurdese, que existe una deformacin plstica que

va cambiando continuamente y, por lo tanto, debido a la naturaleza incremental diferencial de la

ecuacin constitutiva se tiene que:

t t t

t

t t

t

t t

D dt dtp++ +

= +

& & A4.1.20

Con lo cual, es imposible definir una ecuacin secante de equilibrio de fuerzas que nos conduzca a

un sistema del tipo:

K u fs = A4.1.21

Sin embargo, s que se puede aproximar la relacin incremental diferencial A4.1.2 mediante una

relacin incremental finita, obtenindose:

( ) = D p A4.1.22

Ilustracin 4.10: Energas de la curva elasto-

plstica

4.22 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

Por consiguiente, la resolucin numrica del problema se inicia definiendo una relacin incremental

finita entre las tensiones y las deformaciones.

Asimismo, la ecuacin de equilibrio A4.1.19 se puede derivar y obtener una ecuacin de equilibrio

en forma incremental del tipo:

K u ft = A4.1.23

Por lo tanto, en el planteamiento general de la resolucin del problema no lineal, se formulan

ecuaciones y metodologas de tipo incremental, tanto a nivel de equilibrio de fuerzas como de

tensiones.

La implementacin numrica de la elastoplasticidad generalmente se realiza mediante esquemas de

prediccin-correccin. En realidad, en todo programa de elementos finitos no lineal, suelen existir

dos algoritmos de este tipo: el primero funciona globalmente a nivel de equilibrio de fuerzas,

iterando sucesivamente para disipar las solicitaciones externas impuestas. El segundo, a nivel de

fuerzas internas, iterando para situar el estado tensional sobre la superficie de fluencia en el caso de

existencia de plastificacin para cada punto de integracin.

La resolucin del equilibrio de fuerzas externas suele hacerse en base a esquemas de tipo Newton-

Raphson, con todas sus variantes posibles y siguen, de forma general, las lneas directrices del

algoritmo 4.3. En este caso, supuesto un incremento de carga en el problema, se puede resolver el

sistema incremental de ecuaciones A4.1.23 con la adecuada matriz de rigidez tangente. Hay varias

opciones posibles, pero el uso de una matriz consistente con la integracin de las ecuaciones

constitutivas acelera la convergencia del mtodo y reduce el coste computacional, tal y como

postulan Simo et al. (1985) [S2]. En el apartadoA4.1.3 se comentarn aspectos sobre el clculo de la

matriz tangente consistente y no consistente que afectan al anlisis de sensibilidad.

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.23

En la evaluacin del residuo de fuerzas, se realiza una actualizacin de las tensiones del material en

cada punto. Por tanto, es necesario otro esquema de prediccin-correccin que permita devolver el

estado tensional a la superficie de fluencia en el caso de que se haya producido plastificacin. En

consecuencia, supuesto un incremento del estado de deformaciones, se actualizara el estado

tensional segn la siguiente relacin :

t t t

t

t t

D D dtp++

= +

& A4.1.24

Diversas estrategias son posibles para calcular dicha integral de forma discreta, pero es bastante

usual aproximarla mediante la regla trapezoidal, segn la cual se tendra:

( )[ ]& & & p p t p t t pt

t t

dt t = + ++

1 A4.1.25

Si se considera = 0 , se obtiene el mtodo de Euler-forward; aunque dicho esquema conduce de

forma sencilla a una solucin de naturaleza explcita, no es recomendable porque, en general, los

Algoritmo 4.3 Esquema predictor-corrector de fuerzas

Incremento de fuerzas

t t tf f f+ = +

prediccin t t tu u+ =

iteraciones i

verificar

R f B dVi t t t t t i

V

= + +

R i <

Resolver equilibrio K u RT

i i i =

actualizar t t i t t i iu u u+ + += + 1

actualizar t t i+ + 1

Ecuacin constitutiva

S

No

4.24 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

errores se acumulan rpidamente. En cambio, = 1 2 es de uso bastante corriente y da lugar al

mtodo de Crank-Nicholson. Finalmente, si se toma = 1 , el mtodo recibe el nombre de Euler-

backward , esta ltima opcin tiene la ventaja de generar buenos resultados, incluso con grandes

incrementos de carga.

Ntese que el mtodo de Euler-backward conduce a evaluar el incremento de la deformacin

plstica en funcin del ltimo punto de equilibrio conseguido. Por lo tanto, expresando A4.1.8 en

forma incremental y particularizndola para la plasticidad asociada, se tendra:

Algoritmo 4.4 Esquema predictor-corrector constitutivo elastoplstico

Conocido u Prediccin

= Bu

contador iter

= D D p

Actualizacin de la variable interna A4.1.12

criterio de fallo A4.1.6-13

( ) ( ) ( )F , g h =

( )F , 0 o

iter > MX_ITER

vector de flujo A4.1.10

multiplicador plstico A4.1.16

incremento deformacin plstica A4.1.26

Ecuacin Equilibrio

s

no

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.25

p t t= + f A4.1.26

En el caso de la plasticidad de Von Mises, el mtodo de Euler-backward presenta la particularidad

de situar el nuevo estado tensional sobre la superficie de fluencia en una nica iteracin. Adems,

debido a que el modelo de Von Mises tiene una superficie de fluencia cilndrica, el vector de flujo

siempre ser radial y perpendicular a dicha superficie en los casos de deformacin plana y tres

dimensiones. En consecuencia, el clculo del incremento del multiplicador plstico conduce

directamente a una posicin correcta de equilibrio segn la ilustracin 4.10:

En cambio, dicha propiedad no se cumple en el estado de tensin plana, porque en este ltimo caso

la superficie de fluencia se ve como la interseccin esviada de un cilindro y un plano. Por lo tanto,

se genera una elipse que no permite asegurar que el flujo en el punto de partida conducir a un

punto en el cual el flujo tambin ser perpendicular en la llegada.

El no cumplimiento de la perpendicularidad de la direccin del flujo con el que se determina el

estado tensional, determina una violacin en las hiptesis de la teora de elastoplasticidad. Para

Ilustracin 4.11: Estado tensional y retorno a la superficie de

fluencia

Ilustracin 4.12: Error en el retorno para tensin

plana

4.26 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

garantizar dicha condicin, Crisfield [C2], propone realizar varias iteraciones en el interior del

esquema de prediccin-correccin del estado tensional. La idea bsica es calcular un residuo con la

hiptesis de que el verdadero flujo s es perpendicular y realizar unas iteraciones hasta eliminarlo.

Dado que esta tesis est orientada al anlisis de sensibilidad no se consider necesario introducir

dicha sugerencia, entre otras razones porque bsicamente no alterara de forma notable la

deduccin de las ecuaciones principales de sensibilidad.

A4.1.3 ACERCA DE LA MATRIZ TANGENTE

En el algoritmo 4.3 se ha comentado que el sistema de equilibrio de fuerzas se calcula con una matriz

de rigidez tangente, esto es:

K B D BdVtt

tV

= A4.1.27

Por ello, es necesario el clculo del tensor constitutivo tangente. En una aproximacin diferencial

ideal y terica, se tendra que:

( )& & = D t A4.1.28 Dicha expresin correspondera a la pendiente en el punto de la curva de equilibrio tensin-

deformacin para el nivel t de cargas.

A partir de la formulacin incremental presentada anteriormente, se tiene que:

= D D f A4.1.29

si se substituye en la ecuacin anterior la expresin del multiplicador plstico A4.1.16 se obtiene el

mdulo tangencial consistente con la formulacin pero no con el esquema de integracin utilizado:

D DD DH DT

no consist_ f ff: : f

=

+ A4.1.30

Dicha expresin conduce a una matriz tangente de rigidez que se puede utilizar en el mtodo

iterativo de Newton-Raphson.

No obstante, Simo et al. (1985)[S2] demostraron que dicha matriz no es consistente con el esquema

de integracin de Euler-backward y, por consiguiente, el uso de esta expresin destruye la

convergencia cuadrtica del mtodo de Newton Raphson. En consecuencia, dedujeron un nuevo

tensor tangente que, esta vez, s que actua como una autntica aproximacin al tensor ideal

diferencial. La definicin de dicha matriz constitutiva tangente se escribir siguiendo la notacin de

Crisfield [C2].

Una vez se ha llegado al equilibrio de la ecuacin constitutiva, se define:

D RR RH RT

consist =

+f f

f: : f A4.1.31

Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad 4.27

Siendo:

R Q D= 1 A4.1.32

y

Q I D= +

f A4.1.33

La expresin de la derivada del vector de flujo tiene la siguiente expresin en un estado

tridimensional de tensiones:

( ) ( )

fg g

f f t=

1

2

2 1 11 2 11 1 2

66

6

1 A4.1.34

Concluyendo se puede decir que existe ms de una matriz tangente, pero que la consistente con el

esquema de integracin de Euler-backward acelera el proceso de convergencia de Newton

Raphson.

4.28 Anlisis de sensibilidad para modelos constitutivos de elastoplasticidad

BIBLIOGRAFA ESPECFICA DEL CAPTULO

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