Cap 6 ( Modelos Continuos

Introducción a la Probabilidad, los Procesos Estocásticos y la Estadística en Ingeniería

Rafael Díaz Página 6-1 20/10/03

CAPÍTULO 6Modelos Probabilísticos Continuos

Contenido del Capítulo

6.1) INTRODUCCIÓN.

6.2) MODELO UNIFORME.

6.3) MODELO TRIANGULAR.

6.4) MODELO EXPONENCIAL.

6.5) MODELO NORMAL.6.5.1) Cálculo de Probabilidades en el Modelo Normal.

6.6) MODELO LOG-NORMAL.6.6.1) Cálculo de Probabilidades en el Modelo Log-Normal.

6.7) MODELO GAMMA.6.7.1) Cálculo de Probabilidades en el Modelo Gamma.

6.8) PROBLEMAS PROPUESTOS.



6.1) INTRODUCCIÓN.

En el Capítulo 5 se analizaron los modelos probabilísticos discretos más comunes.Este capítulo presenta los modelos probabilísticos continuos que tienen mayoraplicación práctica. De nuevo se debe recordar que en los Capítulos 3 y 4 sedesarrollaron algunas características como son las funciones de distribución y dedensidad así como los valores esperados más comunes.

6.2) MODELO UNIFORME.

Considere un experimento aleatorio que consiste en medir el instante en que ocurreun cierto evento en el intervalo de tiempo (a, b). Si se piensa que es igualmenteprobable que el evento ocurra en cualquier instante entonces la probabilidad de queocurra en un intervalo de ancho t no depende de la ubicación del intervalo dentro deldominio sino del ancho del intervalo. Esta consideración es la base de la definicióndel modelo Uniforme Continuo.

Definición 6.1: El modelo uniforme continuo es una variable aleatoria donde laprobabilidad de que un evento ocurra en un intervalo de ancho t es proporcional aese intervalo.

♦♦

Notas: - La variable aleatoria se define al asignar a cada instante deocurrencia de un cierto evento un número real en el intervalo(MIN, MAX).

- El modelo uniforme continuo se denotará comoUC(MIN,MAX), donde MIN es el menor valor que puede tomarla variable y MAX es el mayor valor que puede tomar lavariable.

- La asignación de probabilidades de cada valor de la variable estádada por la ecuación 6.1.

( )P UC MIN MAX t t t tt t

MAX MIN( , ) / ( , )= ∈ =

−−1 2

2 1 (ec. 6.1)

Como consecuencia de la Ecuación 6.1, la función de distribución acumulativa deprobabilidades y la función de densidad de probabilidades vienen dadas por lasecuaciones 6.2 y 6.3, respectivamente.

F x

x MIN

x MIN

MAX MINMIN x MAX

x MAX

X ( )

,

,

,

=

<−

−≤ <

≥

si

si

si

0

1

(ec. 6.2)



f x MAX MINx MIN MAX

X ( ), , )

= −∈

1 si (

0, en cualquier otro caso(ec. 6.3)

Las Figuras 6.1 y 6.2 muestran, respectivamente, las funciones de distribución y dedensidad para el modelo Uniforme Continuo.

FX(x)

1

MIN MAX x

Figura 6.1:Función de Distribución Acumulativa de Probabilidadesdel Modelo Uniforme Continuo.

fX(x)

1/(MAX-MIN)

MIN MAX x

Figura 6.2:Función de Densidad de Probabilidades delModelo Uniforme Continuo.



La Tabla 6.1 muestra los valores esperados más importantes correspondientes almodelo uniforme continuo.

ValorEsperado

Varianza Función Generadorade Momentos

FunciónCaracterística

MIN MAX+2

( )MAX MIN− 2

12

e e

t MAX MIN

MAXt MINt−−( )

e e

jw MAX MIN

MAXjw MINjw−−( )

Tabla 6.1: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Uniforme Continuo.

Ejemplo 6.1: Considere el experimento aleatorio de escoger un número aleatorioen la computadora. El comportamiento de una muestra grande de estos números secorresponde con el modelo uniforme continuo con MIN = 0 y MAX = 1.

♦♦

Ejemplo 6.2: Considere el experimento aleatorio de escoger un elemento resistivoy medirle su resistencia (en Ohm). El fabricante indica que todos esos elementostienen un valor nominal de 1000 Ω y una tolerancia del 10% por lo que el valor dela resistencia se puede explicar mediante el modelo uniforme continuo conparámetros MIN = 900 Ω y MAX = 1100 Ω

♦♦

Ejemplo 6.3: Considere una variable aleatoria uniformemente distribuida en elintervalo (5, 10). ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de la variable esté en elintervalo (7, 9)?

La probabilidad solicitada será

pdx

MAX MIN

dx x=

−= = =∫ ∫

7

9

7

9

7

9

5 5

2

5

♦♦



6.3) MODELO TRIANGULAR.

El modelo uniforme deja de ser útil cuando la probabilidad de ocurrencia de unintervalo depende de la ubicación de ese intervalo dentro del dominio por lo que laexplicación de los fenómenos probabilísticos se debe realizar mediante otrosmodelos. Uno de estos modelos es el Triangular que debe su nombre a la forma detriángulo que tiene su función de densidad de probabilidades.

Definición 6.2: El modelo Triangular es una variable aleatoria donde la funciónde densidad de probabilidades viene dada por la Ecuación 6.4.

♦♦

Notas: - La variable aleatoria se define para valores reales en el intervalo(MIN, MAX).

- El modelo Triangular se denotará como T(MIN, MODA, MAX),donde MIN es el menor valor que puede tomar la variable,MODA es el valor para el cual la función de densidad tiene unmáximo y MAX es el mayor valor que puede tomar la variable.

( )( )

( )( )

f x

x MIN

x MIN

MAX MIN MODA MINx MIN MODA

MAX x

MAX MIN MAX MODAx MODA MAX

x MAX

X ( )

,

( ), , )

( ), , )

=

<−

− −∈

−− −

∈

>

si

si (

si (

0, si

0

2

2(ec. 6.4)

La Figura 6.3 muestra la función de densidad para el modelo Triangular.

fX(x)

2/(MAX-MIN)

MIN MODA MAX x

Figura 6.3: Función de Densidad de Probabilidades del Modelo Triangular.



La Tabla 6.2 muestra los valores esperados más importantes correspondientes almodelo triangular.

Valor Esperado Varianza

MIN MODA MAX+ +3

( ) ( ) ( )MIN MIN MODA MAX MAX MIN MODA MODA MAX− + − + −18

Tabla 6.2: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Triangular.

Ejemplo 6.4: Considere una variable aleatoria distribuida en forma triangular en elintervalo (0, 10) y con moda igual a 5. ¿Cuál es la probabilidad de que el valor de lavariable esté en el intervalo (7, 9)?

Para conocer la probabilidad solicitada se debe calcular el área bajo la función dedensidad en el intervalo correspondiente, para lo cual se puede hacer uso de larelación entre las áreas de los triángulos involucrados. Este análisis se puede ver enla Figura 6.4. Los valores de las constantes A y B en la Figura 6.4 serán 0.12 y 0.04,respectivamente. Por lo tanto, la probabilidad solicitada será el área del trapeciosombreado, es decir

p BASEA B

x=+

= −+

=

2

9 7012 0 04

2016( )

. ..

♦♦

fX(x)

0.2

A

B

5 7 9 10 x

Figura 6.4: Relación de Triángulos para la Solución del Ejemplo 6.4.



Ejemplo 6.5: Para la variable aleatoria del Ejemplo 6.4, calcular la probabilidad deque la variable tome valores en un intervalo de ancho dos desviaciones estándaralrededor del valor esperado.

Para conocer la probabilidad solicitada se debe calcular primero el valor esperado yla desviación estándar. Evaluando las expresiones en la Tabla 6.2 se obtiene que elvalor esperado es 5 y la desviación estándar es aproximadamente 2. Aprovechandolas características de simetría alrededor del valor 5 y el área del trapecio respectivo,se tiene que la probabilidad solicitada es

p BASEH H

x xM m=

+= −

+=

22

2 7 50 2 012

20 44( )

. ..

♦♦

6.4) MODELO EXPONENCIAL.

La Definición 5.7 de un Modelo Poisson implica el número de veces que ocurre uncierto resultado en un intervalo de tiempo dado. Asociado a este modelo se puedeestudiar el tiempo entre la ocurrencia de dos resultados consecutivos el cual, enconsecuencia, será un valor aleatorio. Uno de los modelos más sencillos que permiteestudiar esta variable es el Modelo Exponencial que debe su nombre a la forma desu función de densidad de probabilidades.

Definición 6.3: El modelo Exponencial es una variable aleatoria donde la funciónde densidad de probabilidades viene dada por la Ecuación 6.5.

♦♦

Notas: - La variable aleatoria se define para valores reales mayores quecero.

- El modelo Exponencial se denotará como EXPON(λ), donde λes un parámetro que representa el inverso del tiempo promedioentre la ocurrencia de dos eventos consecutivos.

f xx

e xX x( ),

,=

<

>

−

si

si

0 0

0λ λ (ec. 6.5)

La Figura 6.4 muestra la función de densidad para el modelo Exponencial.



Ejemplo 6.6: Para una variable aleatoria exponencial con parámetro λ calcule lafunción de distribución acumulativa de probabilidades.

Aplicando la Propiedad 3.5.2.2 se tiene

F xe dx eX x

xx( )

,

,=

′ = −

− ′ −∫

x < 0

x > 0

0

10

λ λ λ

La Figura 6.5 muestra la gráfica de la función de distribución acumulativa deprobabilidades de una exponencial.

♦♦

Figura 6.4: Función de Densidad de Probabilidades delModelo Exponencial.

La Tabla 6.3 muestra los valores esperados más importantes correspondientes almodelo exponencial.

ValorEsperado



1

λ1

2λλ

λλ

−<

tt,

λλ − jw

Tabla 6.3: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Exponencial.

λ

fX(x)

x



Figura 6.5: Función de Distribución Acumulativa deProbabilidades del Modelo Exponencial.

Ejemplo 6.7: Para una variable aleatoria exponencial con parámetro λ = 2, calculela probabilidad de que la variable tome valores mayores a su valor esperado.

Según la Tabla 6.3, el valor esperado será EX = 1/λ = 0.5. Entonces, laprobabilidad solicitada será

p e dx e ex x= = − =−∞

− ∞ −∫ 2 2

0 5

2

0 5

1

..

♦♦

Ejemplo 6.8: El tiempo de atención al cliente en la taquilla de un banco sigue unavariable aleatoria exponencial con un promedio de 5 minutos, calcule laprobabilidad de que ese tiempo sea mayor a su valor esperado.

Según la Tabla 6.3, el parámetro λ será igual a 1/EX = 1/5 = 0.2. Entonces, laprobabilidad solicitada será

1

5

2.0

5

2.02.0 −∞−∞

− =−== ∫ eedxep xx

♦♦

FX(x)

x

1



6.5) MODELO NORMAL.

El modelo uniforme deja de ser útil cuando la probabilidad de ocurrencia de unintervalo depende de la ubicación de ese intervalo dentro del dominio por lo que laexplicación de los fenómenos probabilísticos se debe realizar mediante otrosmodelos. Otro modelo que permite explicar este fenómeno es el Normal. La variablealeatoria normal es ampliamente utilizada en aplicaciones de la teoría de errorescometidos en una medición y así como en la explicación de las pruebas estadísticaspara analizar datos.

Su uso es tan común que se le ha dado en llamar ‘la madre de todas lasdistribuciones’ debido al comportamiento aproximado de cualquier tipo de variablealeatoria a través de una normal como lo expresa el Teorema del Límite Central(Ver Capítulo 11).

Definición 6.4: El modelo Normal es una variable aleatoria donde la función dedensidad de probabilidades viene dada por la Ecuación 6.6.

♦♦

Notas: - La variable aleatoria se define para todos los reales.- El modelo Normal se denotará como N(µ, σ), donde µ es el

valor esperado y σ es su desviación estándar.

f x e xX

x

( ) ,=−

−

1

2

1

2

2

σ π

µσ para todo valor real de (ec. 6.6)

Las Figuras 6.6 y 6.7 muestran la función de densidad para el modelo Normal paradistintos valores de µ y σ, respectivamente. En cada figura, el sentido de la flecha esel sentido en el cual crece el parámetro respectivo.

Figura 6.6: Función de densidad Normal para distintos valores de µ.

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5



Figura 6.7: Función de densidad Normal para distintos valores de σ.

La Tabla 6.4 muestra los valores esperados más importantes correspondientes almodelo normal.

ValorEsperado



µ σ 2

et

tµ

σ+

2 2

2 e jw wµ σ−2 2

2

Tabla 6.4: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Normal.

Definición 6.5: El modelo Normal Estándar es una variable aleatoria Normalcuyos parámetros son µ = 0 y σ = 1.

♦♦

Notas: - Para la variable aleatoria Normal Estándar se reserva la letra Z.- El modelo Normal Estándar se denotará como NZ.- La función de densidad normal estándar viene dada por la

Ecuación 6.7.

f z e zZ

z

( ) ,=−1

2

2

2

π para todo valor real de (ec. 6.7)

-6 -4 -2 0 2 4 6



A pesar de lo popular que es el modelo Normal presenta la gran dificultad de que noes sencillo el cálculo de probabilidades asociadas debido a que la función dada en laEcuación 6.6 no tiene primitiva conocida. Esto lleva a tener que expresar el cálculode áreas bajo una curva normal por métodos numéricos lo cual es muy tedioso yaque ese cálculo depende de los valores de µ y σ en la aplicación respectiva y de lascaracterísticas propias del método de integración numérica utilizado. Para evitaralgunos de los obstáculos mencionados se debe hacer uso de la Propiedad 6.5.1 quese presenta a continuación.

Propiedad 6.5.1:El modelo Normal N(µ, σ) se puede expresar en términos del

modelo Normal Estándar NZ mediante el cambio de variable ZX

=− µσ

.

Esta propiedad se puede probar a través de cálculo de la probabilidad de un eventotal como x1 < X < x2 dentro del espacio muestral de la variable Normal N(µ, σ),esto es

P x X x e dxx

x

x

1 2

1

21

2

2

1

2

< < =−

−

∫ σ π

µσ

Para resolver la integral se realiza un cambio de variable dado por ZX

=− µσ

, de

tal forma que dx = σdz lo que se refleja en los límites de integración como sigue

Para se tiene que

y para se tiene que

x x z zx

x x z zx

= = =−

= = =−

1 11

2 22

µσ

µσ

En definitiva,

P x X x e dx e dz e dz P z Z zx

x

x z

x

x

z

z

z

1 2

1

2 2 21 2

1

2

1

2

1

2

2

1

22

1

22

1

2

< < = = = = < <−

−

−

−

−

−

∫ ∫ ∫σ π π π

µσ

µσ

µσ

♦♦



6.5.1) Cálculo de Probabilidades en el Modelo Normal.

La Propiedad 6.5.1 reduce el problema del cálculo de probabilidades en un modeloNormal a considerar los parámetros del método de integración numérica utilizado.Para llegar a un resultado final se va a hacer uso del método de aproximación linealpara el cálculo de áreas que se describe a continuación.

Propiedad 6.5.2:Para calcular el área de una curva entre los valores a y b se puedeaproximar la curva mediante una recta y calcular el área del trapecio resultante,como se indica en la Figura 6.8.

Al analizar la Figura 6.8 se destacan la función f(x) y la recta que pasa por lospuntos (a, f(a)) y (b, f(b)). Para calcular el área de la función f(x) entre a y b sepuede calcular el área del trapecio de base (b – a) y alturas f(a) y f(b). El área deese trapecio se destaca en forma sombreada. Evidentemente que existe unadiferencia entre el cálculo exacto y el aproximado, pero esta diferencia será menoren la medida que el intervalo (a, b) sea el menor posible.

♦♦

yf(x)

f(b)

f(a)

a b x

Figura 6.8: Cálculo de Áreas por el Método de Aproximación Lineal.

En la Tabla 6.5 se presentan los valores de la Función de Distribución Acumulativade la Normal Estándar para valores de la variable z a partir de cero y hasta 4 conincrementos de 0.05. Esta información es suficiente para calcular cualquierprobabilidad asociada con el modelo Normal. En este momento es importantedestacar las características de simetría par que tiene la función de densidad delmodelo Normal Estándar. Estas características se resumen en la Propiedad 6.5.3.

Propiedad 6.5.3:La función de densidad de probabilidades de una variable NormalEstándar es una función par y, en consecuencia, la función de distribuciónacumulativa correspondiente cumple con las características siguientes, que sedestacan en la Figura 6.9.



1) FZ(0) = 0.52) FZ(z) = 1 – FZ(-z)3) P0 < Z < z = P-z < Z < 0 = FZ(z) – 0.54) P-z < Z < z = FZ(z) – FZ(-z) = 2FZ(z) - 1

♦♦

-z 0 z

Figura 6.9: Características de Simetría de la Normal Estándar.

Ejemplo 6.9: Para una variable aleatoria Normal Estándar calcule la probabilidadde que la variable tome valores en el intervalo (-2, 2).

Según la Tabla 6.5, la función de distribución acumulativa para z = 2 es 0.97725.Entonces, utilizando la Propiedad 6.5.3.4, la probabilidad solicitada será

P Z FZ x ( ) . .− < < = − = − =2 2 2 2 1 2 0 97725 1 0 9545

♦♦

Ejemplo 6.10:Sea X una variable aleatoria Normal con parámetros µ = 1 y σ = 1,calcule la probabilidad de que la variable tome valores en el intervalo (-2, 2).

En este caso, se debe hacer uso de la Propiedad 6.5.1 para transformar la variable X

en una variable Z, es decir, ZX

X=−

= −µ

σ1.

Entonces, la probabilidad solicitada será

( )P X P Z P Z F FZ Z ( ) ( )− < < = − − < < − = − < < = − −2 2 2 1 2 1 3 1 1 1 3

Según la Tabla 6.5, FZ(1) = 0.84134 y FZ(3) = 0.99865. Entonces, al sustituir en laexpresión anterior

( ) ( )P X F FZ Z ( ) ( ) . . .− < < = − − = − − =2 2 1 1 3 0 84134 1 0 99865 0 83999

♦♦

- 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4



z FZ(z) z FZ(z)

0 0,50000 2 0,97725

0,05 0,51994 2,05 0,979820,1 0,53983 2,1 0,982140,15 0,55962 2,15 0,984220,2 0,57926 2,2 0,986100,25 0,59871 2,25 0,987780,3 0,61791 2,3 0,989280,35 0,63683 2,35 0,990610,4 0,65542 2,4 0,991800,45 0,67364 2,45 0,992860,5 0,69146 2,5 0,993790,55 0,70884 2,55 0,994610,6 0,72575 2,6 0,995340,65 0,74215 2,65 0,995980,7 0,75804 2,7 0,996530,75 0,77337 2,75 0,997020,8 0,78814 2,8 0,997440,85 0,80234 2,85 0,997810,9 0,81594 2,9 0,998130,95 0,82894 2,95 0,99841

1 0,84134 3 0,998651,05 0,85314 3,05 0,998861,1 0,86433 3,1 0,999031,15 0,87493 3,15 0,999181,2 0,88493 3,2 0,999311,25 0,89435 3,25 0,999421,3 0,90320 3,3 0,999521,35 0,91149 3,35 0,999601,4 0,91924 3,4 0,999661,45 0,92647 3,45 0,999721,5 0,93319 3,5 0,999771,55 0,93943 3,55 0,999811,6 0,94520 3,6 0,999841,65 0,95053 3,65 0,999871,7 0,95543 3,7 0,999891,75 0,95994 3,75 0,999911,8 0,96407 3,8 0,999931,85 0,96784 3,85 0,999941,9 0,97128 3,9 0,999951,95 0,97441 3,95 0,99996

2 0,97725 4 0,99997

Tabla 6.5: Valores de la Función de Distribución Acumulativade Probabilidades del Modelo Normal Estándar.



Ejemplo 6.11:La altura de los estudiantes en una Universidad es una variablealeatoria Normal con parámetros µ = 1.75 m y σ = 10 cm, calcule la probabilidad deque una persona escogida al azar tenga una altura en el intervalo (µ, µ + σ).

En este caso, se debe hacer uso de la Propiedad 6.5.1 para transformar la variable X

en una variable Z, es decir, ZX X

=−

=−µ

σ175

10.

Entonces, la probabilidad solicitada será

P X P Z P Z F FZ Z ( ) ( )µ µ σ< < + =−

< <+ −

= < < = −

175 175

10

175 10 175

100 1 1 0

Según la Tabla 6.5, FZ(1) = 0.84134 y FZ(0) = 0.5. Entonces, al sustituir en laexpresión anterior

P X F FZ Z ( ) ( ) . . .µ µ σ< < + = − = − =1 0 0 84134 0 5 0 34134

♦♦

6.6) MODELO LOG-NORMAL.

Un modelo que permite explicar procesos de tipo multiplicativo es el modelo Log-Normal. Su nombre se deriva de la relación con el modelo normal. Una variable Xsigue una distribución Log-normal si la variable ln X sigue una distribución de tiponormal.

Definición 6.6: El modelo Log-Normal es una variable aleatoria donde la funciónde densidad de probabilidades viene dada por la Ecuación 6.8.

♦♦

Notas: - La variable aleatoria se define para los reales positivos.- El modelo Log-Normal se denotará como LN(µ, σ), donde µ es

el valor esperado y σ es la desviación estándar, del logaritmonatural de X.

f xx

e U xX

x

( ) ( )ln

=−

−

1

2

1

2

2

σ π

µσ (ec. 6.8)

Las Figuras 6.10 y 6.11 muestran la función de densidad para el modelo Log-Normal para distintos valores de µ y σ, respectivamente. En cada figura, el sentidode la flecha es el sentido en el cual crece el parámetro respectivo.



Figura 6.10: Función de densidad Log-Normal para µ = 0 y σ variable.

Figura 6.11: Función de densidad Log-Normal para σ = 1 y µ variable.

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

-1 1 3 5 7 9 11 13 15



La Tabla 6.6 muestra los valores esperados más importantes correspondientes almodelo log-normal.

Valor Esperado Varianza

eµ

σ+

2

2 ( )e eσ µ σ2 2

1 2− +

Tabla 6.6: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Log-Normal.

6.6.1) Cálculo de Probabilidades en el Modelo Log-Normal.

El cálculo de probabilidades en el modelo log-normal se realiza por medio de larelación logarítmica existente con el modelo normal. Este método se resume en laPropiedad 6.6.1.

Propiedad 6.6.1:El modelo Log-Normal LN(µ, σ) se puede expresar en términos

del modelo Normal Estándar NZ mediante el cambio de variable ZX

=−ln( ) µ

σ.

Esta propiedad se puede probar a través de cálculo de la probabilidad de un eventotal como x1 < X < x2 dentro del espacio muestral de la variable Log-NormalLN(µ, σ), esto es

P x X xx

e dxx

x

x

ln

1 2

1

21

2

2

1

2

< < =−

−

∫ σ π

µσ

Para resolver la integral se realiza un cambio de variable dado por ZX

=−ln( ) µ

σ,

de tal forma que dx = σxdz lo que se refleja en los límites de integración como sigue

( )

( )Para se tiene que

y para se tiene que

x x z zx

x x z zx

= = =−

= = =−

1 1

1

2 2

2

ln

ln

µ

σ

µ

σ

En definitiva,

P x X xx

e dx e dz e dz P z Z zx

x

x z

x

x

z

z

z

ln

ln

ln

1 2

1

2 2 21 2

1

2

1

2

1

2

2

1

22

1

22

1

2

< < = = = = < <−

−

−

−

−

−

∫ ∫ ∫σ π π π

µσ

µσ

µσ

♦♦



Como consecuencia de la Propiedad 6.6.1, la información suministrada por la Tabla6.5 es suficiente para el cálculo de probabilidades en el modelo log-normal.

Ejemplo 6.12:Para una variable aleatoria Log-Normal, LN(µ, σ), calcule laprobabilidad de que la variable tome valores mayores que eµ.

Según la Propiedad 6.6.1, la probabilidad solicitada es

P X e P Z .> = > =µ 0 0 5

♦♦

Ejemplo 6.13:Para una variable aleatoria Log-Normal, LN(5, 0.1), calcule su valoresperado, su varianza y la probabilidad de que la variable tome valores en elintervalo (100,175).

De la Tabla 6.6 se puede calcular que

( )E X e e V X e ex

( ) . , ( ) .. . .= = = = − =+ + +µ σ 2 2

2 5 0 12 2 5 0 01

2 0 01149157 1 22359

Según la Propiedad 6.6.1 y la Tabla 6.5, la probabilidad solicitada es

( )

P X P Z P Z

P X F FZ Z

ln( )

.

ln( )

.. .

( . ) ( . ) .

100 175100 5

01

175 5

01395 165

100 175 165 1 395 0 95049

< < =−

< <−

= − < <

< < = − − =

♦♦



6.7) MODELO GAMMA.

En el modelo Normal se puede apreciar la relación existente entre los posiblesvalores que pueden tomar los parámetros µ y σ, y la forma que adquiere la curva dedensidad de probabilidades al observar las Figuras 6.6 y 6.7. Una de las principalescaracterísticas que se desprenden de esas figuras es el carácter simétrico delfenómeno normal alrededor del valor esperado. En aquellos casos en los cuales esimportante que los posibles valores de la variable sean asimétricos, el modeloGamma explica satisfactoriamente el fenómeno.

Definición 6.7: El modelo Gamma es una variable aleatoria donde la función dedensidad de probabilidades viene dada por la Ecuación 6.9.

♦♦

Notas: - La variable aleatoria se define para los reales positivos.- El modelo Gamma se denotará como GA(α, β), donde α y β son

constantes positivas.- Γ(α) es la función Gamma, definida por la ecuación 6.10.- Como propiedades de la función Gamma se pueden destacar las

siguientes:- Si α > 1, entonces Γ(α) = (α - 1)Γ(α - 1).- Si n es entero positivo, Γ(n) = (n – 1)!

- Γ(1/2) = π

f x

xe

X

x

( ) ( ),

=≥

≥

− −α

αβ

β α

1

Γ x 0

0, x 0

(ec. 6.9)

Γ( )α α= − −∞

∫ y e dyy1

0

(ec. 6.10)

Asignándole distintos valores a los parámetros a y b se obtienen distintos miembrosde la familia Gamma que tienen sus nombres propios debido a la popularidad de losmismos. Las Definiciones 6.8, 6.9 y 6.10 destacan los tres miembros más comunes.

Definición 6.8: El modelo Gamma Estándar es una variable aleatoria Gammadonde β = 1 y α es variable por lo que su función de densidad de probabilidadesviene dada por la Ecuación 6.11.

♦♦



Notas: - El modelo Gamma Estándar se denotará como GE(α).

f x

xe

X

x

( ) ( ),

=≥

≥

−−

α

α

1

Γ x 0

0, x 0

(ec. 6.11)

Definición 6.9: El modelo Exponencial es una variable aleatoria Gamma donde βes variable y α = 1 por lo que su función de densidad de probabilidades viene dadapor la Ecuación 6.12.

♦♦

Notas: - La variable aleatoria exponencial se definió previamente en esteCapítulo (Definición 6.3).

- El parámetro λ en la Definición 6.3 es el inverso del valor de β.- El modelo Exponencial se denotó como EXPON(λ).

f xe

X

x

( ),

=≥

≥

−1

ββ x 0

0, x 0

(ec. 6.12)

Definición 6.10: El modelo Chi Cuadrado es una variable aleatoria Gamma dondeβ = 2 y α = v/2 (v entero positivo) por lo que su función de densidad deprobabilidades viene dada por la Ecuación 6.13.

♦♦

Notas: - El modelo Chi Cuadrado se denotará como χ2(v).- El parámetro v en la χ2 se denomina ‘grados de libertad’.

( )

≥

≥Γ=

−−

0 x 0,

0 x,)2/(2)(

22/

12/ x

v

v

X

ex

xf υ (ec. 6.13)

La Tabla 6.7 muestra los valores esperados más importantes correspondientes almodelo Gamma general y a varios miembros de la familia.



FamiliaGamma

ValorEsperado



General αβ αβ 2

( )1

1− βα

t ( )1

1 − jwβα

Estándar α α ( )1

1 − t α ( )1

1− jwα

Exponencial βλ

=1

βλ

22

1= ( )

1

1−=

−βλ

λt t ( )1

1−=

−jw jwβ

λλ

Chi-Cuadrado v 2v ( )1

1 2− t v ( )1

1 2− jwv

Tabla 6.7: Valores Esperados más Importantes para el Modelo Gamma.

Las Figuras 6.12, 6.13 y 6.14 muestran la función de densidad para el modeloGamma general, Gamma Estándar y Chi-Cuadrado para distintos valores de α y β,en cada caso.

Figura 6.12: Función de densidad Gamma.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7

α = 2, β = 1

α = 2, β = 1/3

α = 1, β = 1


Rafael Díaz

Figura 6.13:

Figura 6.14: Fu

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0 2

v

α = 1

Página 6-23

Función de densida

nción de densidad C

2 3 4

α = 2

4 6 8 10

= 2

v = 4

α = 3

20/10/03

d Gamma Estándar (β = 1).

hi-Cuadrado (β = 2, α = v/2).

5 6 7

12 14 16

v = 6



6.7.1) Cálculo de Probabilidades en el Modelo Gamma.

El cálculo de probabilidades en el modelo Gamma puede ser muy engorroso paravalores particulares de α y β. La Propiedad 6.7.1 permite expresar el modeloGamma general en términos del modelo Gamma Estándar lo cual reduce elproblema al cálculo de áreas bajo la curva de densidad Gamma Estándar.

Propiedad 6.7.1:El modelo Gamma General GA(α, β) se puede expresar entérminos del Gamma Estándar GE(α) mediante el cambio de variable Z = X/β.

Esta propiedad se puede probar a través de cálculo de la probabilidad de un eventotal como x1 < X < x2 dentro del espacio muestral de la variable Gamma GeneralGA(α, β), esto es

∫−−

Γ=<<

2

1)(

1

21

x

x

x

dxex

xXxP βα

α

αβ

Para resolver la integral se realiza un cambio de variable dado por Z = X/β, de talforma que dx = βdz lo que se refleja en los límites de integración como sigue

β

β

222

111

que tienese paray

que tienese Para

xzzxx

xzzxx

===

===

En definitiva,

)()()(

21

111

21

2

1

2

1

2

1

zZzPdzez

dzez

dxex

xXxPz

z

z

x

x

zx

x

x

<<=Γ

=Γ

=Γ

=<< ∫∫∫ −−

−−−−

αααβ

αβ

β

αβ

α

α

En la expresión anterior se nota la validez de la Propiedad 6.7.1 ya que Z sigue unadistribución Gamma Estándar.

♦♦

En el cálculo de áreas bajo la curva Gamma Estándar se puede obtener unaexpresión iterativa para el caso particular de que α sea un entero ya que la funciónde densidad respectiva viene dada por la Ecuación 6.14; esta expresión iterativa sedestaca en la Propiedad 6.7.2.



entero ,

0z 0,

0z ,)!1()(

1

ne

n

z

zfz

n

Z

≥

≥−=

−−

(ec. 6.14)

Propiedad 6.7.2:Sea In la siguiente expresión integral ∫ −=

−−

dzn

ezI

zn

n )!1(

1

. Entonces

In puede expresarse en términos de In-1 mediante la siguiente ecuación iterativa

0 ,0 ,)!1( 0

1

1 ≥=−

−=−−

− nIn

ezII

zn

nn

En la Tabla 6.8 se muestra el valor de In para distintos valores de n. La última fila dela Tabla 6.8 muestra el resultado general al que se puede llegar por inducción desdelas filas anteriores.

♦♦

n In

0 01 ze−−

2 )1( ze z +− −

3

++− −

21

2zze z

n

+− ∑

−

=

−1

1 !1

n

m

mz

m

ze

Tabla 6.8: Valor de In para distintos valores de n.

A partir del resultado obtenido en la Tabla 6.8 se puede obtener una Tabla devalores de la función de distribución acumulativa de probabilidades de una GammaEstándar para valores de α enteros. Estos valores se presentan en la Tabla 6.9 para ndesde 1 hasta 5. El lector podría, con la ayuda de un programa de cálculo, conocerlos respectivos valores para n mayores que 5.



x n=1 n=2 n=3 n=4 n=5

0 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000

0,5 0,3935 0,0902 0,0144 0,0018 0,00021 0,6321 0,2642 0,0803 0,0190 0,0037

1,5 0,7769 0,4422 0,1912 0,0656 0,01862 0,8647 0,5940 0,3233 0,1429 0,0527

2,5 0,9179 0,7127 0,4562 0,2424 0,10883 0,9502 0,8009 0,5768 0,3528 0,1847

3,5 0,9698 0,8641 0,6792 0,4634 0,27464 0,9817 0,9084 0,7619 0,5665 0,3712

4,5 0,9889 0,9389 0,8264 0,6577 0,46795 0,9933 0,9596 0,8753 0,7350 0,5595

5,5 0,9959 0,9734 0,9116 0,7983 0,64256 0,9975 0,9826 0,9380 0,8488 0,7149

6,5 0,9985 0,9887 0,9570 0,8882 0,77637 0,9991 0,9927 0,9704 0,9182 0,8270

7,5 0,9994 0,9953 0,9797 0,9409 0,86798 0,9997 0,9970 0,9862 0,9576 0,9004

8,5 0,9998 0,9981 0,9907 0,9699 0,92569 0,9999 0,9988 0,9938 0,9788 0,9450

9,5 0,9999 0,9992 0,9958 0,9851 0,959710 1,0000 0,9995 0,9972 0,9897 0,9707

10,5 0,9997 0,9982 0,9929 0,978911 0,9998 0,9988 0,9951 0,9849

11,5 0,9999 0,9992 0,9966 0,989312 0,9999 0,9995 0,9977 0,9924

12,5 0,9999 0,9997 0,9984 0,994713 1,0000 0,9998 0,9989 0,9963

13,5 0,9999 0,9993 0,997414 0,9999 0,9995 0,9982

14,5 0,9999 0,9997 0,998815 1,0000 0,9998 0,9991

15,5 0,9999 0,999416 0,9999 0,9996

16,5 0,9999 0,999717 1,0000 0,9998

17,5 0,999918 0,9999

18,5 0,999919 1,0000

Tabla 6.9: Valor de la Función de Distribución Acumulativa de Probabilidadesde una Gamma Estándar para Distintos Valores de n.



6.8) PROBLEMAS PROPUESTOS.

Cap 6 ( Modelos Continuos

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