Cap&Cua III
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Revista de la Escuela de Ingenierías y Arquitectura de la Corporación Universitaria del Meta
Transcript of Cap&Cua III
Rector
Rafael Mojica Garcia
Comite Editorial
Luis Eduardo RojasRamiro Hernan PolancoJuan Alejandro ChicaVictor Manuel GutierrezAlexander Gomez
Comiteacute Cientifico
Ramiro Hernan PolancoJuan Alejandro ChicaAlexis Pinzon Solano
Decano Escuela de Ingenieriasy AruitecturaLuis Eduardo Rojas
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
UNA APROXIMACIOacuteN HACIA LA MICROSCOPIA DE BARRIDO
Luis E Garzoacuten
Instituto de Ciencia de Materiales de Barcelona Spain
Email lucho_garzonyahooes
1 CONTENIDO
Desde hace alguacuten tiempo escuchamosla palabra Nano iquestPero Nano querealmentepuede significar Podriacuteamos decir quees una palabra de moda sin embargoel mundo a nivel nano describe la escalaque estaacute en el orden de una billoneacutesimaparte de longitud de un metro Bajo estecontexto encontramos componentesmoleculares moleacuteculas que hanincrementado el intereacutes en todas lasaacutereas de la ciencia como fiacutesica quiacutemicabiologiacutea e ingenieriacutea
Las cosas de la mayoriacutea de estas aacutereascientiacuteficas cubren relativamentelongitudes de escala pequentildeas porejemplo la escala de la constante dePlanck a nivel de la quiacutemicamacromolecular o eltamantildeo de los organismos
En estos oacuterdenes de magnitudencontramos entonces el rango tiacutepico delas ciencias de materiales que estaacutenentre
El desarrollo de la ciencia en el siglo 20fue gracias al trabajo arduo tanto en elcampo experimental como teoacuterico enfiacutesica especialmente con la mecaacutenicacuaacutentica consideraacutendose el siglo de orode la fiacutesica Con el desarrollo yadvenimiento de los llamados equiposde Microscopia de Barrido (ScanningProbe Microscopy-SPM) entre otraspermitioacute observar cambios en losmateriales a tamantildeo molecular y auacuten enprocesos bioloacutegicos Pero cuandopensamos en microscopios recordamosentonces los microscopios oacutepticos omicroscopios electroacutenicos los cualescrean la imagen de un objetofocalizando la radiacioacutenelectromagneacutetica como el fotoacuten oelectrones sobre su superficie En 1981
investigadores de IBM fueron capacesde utilizar el meacutetodo de Young paracrear el Microscopio de Barrido porefecto Tuacutenel o Scanning TunnelingMicroscope (STM) donde usaron elhecho que la emisioacuten del campo deelectrones entre una punta metaacutelica yuna superficie depende de la distanciaentre la punta y esa superficie paramuestras conductoras este hecho fuepresentado en la solucioacuten de laecuacioacuten de onda de una partiacuteculaconfinada en un campo central defuerzas con la mecaacutenica cuaacutentica
Ya en 1985 Binnig y Quate mostraron elMicroscopio de Fuerza Atoacutemicautilizando una pequentildea punta sobre uncantileacutever o micro palanca siendo esteel corazoacuten del instrumento de medicioacutenporque este es el que debe ser llevado ala proximidad de la superficie objeto deanaacutelisis para dar una imagen a traveacutes delas fuerzas moleculares de interaccioacutenentre punta y la muestra Lacaracteriacutestica general de estas sondas opuntas de barrido es que estaacutenensambladas sobre un chip de silicio onitruro de silicio con alguacuten tipo derevestimiento seguacuten sea su utilidadigualmente las puntas pueden ser desilicio con recubrimientos de Cr-Pt Cr-Iro diamante muy utilizadas hoy diacutea pararealizar experimentos de conduccioacuteneleacutectrica en las muestras Esteensamblaje de punta-cantilever puedetener diferentes geometriacuteas como laforma V o simplemente un fleje el cualtiene diferente propiedades torsionalesAdemaacutes los cantileacutever son clasificadospor su constante de fuerza y frecuenciade resonancia que depende el tipo demuestra seriacutea utilizada para muestrasblandas o duras tanto en aire liquido oultra alto vacio El microscopio de
Fuerza Atoacutemica puede medir ladeflexioacuten vertical o torsional delcantileacutever con alta resolucioacuten Un haz delaser es reflejado desde la parteposterior del cantileacutever recubierto poruna delgada laacutemina metaacutelica que hacede espejo que lo proyecta hacia unsistema de deteccioacuten o fotodetectoresdonde las deflexiones y torsiones sonregistradas adecuadamente medianteuna electroacutenica Para conseguir lainformacioacuten de las propiedades fiacutesicasde las superficies que estaacuten siendoanalizadas una imagen es formada ygrabada por las fuerzas de interaccioacutenentre la punta y la muestra mientras serealiza el scan o barrido sobre lasuperficie Las muestras objetos deestudio se colocan en un porta muestrasadheridas adecuadamente a un objetometaacutelico y puestas en el microscopiofaacutecilmente sin embargo teacutecnicas comoen medio liquido requieren de cuidadosespecialmente en el sistema deoptimizacioacuten de la sentildeal proveniente dellaser y perturbaciones en el liquidodebido al movimiento del piezoeleacutectricoencargado de realizar movimientos en 3dimensiones
Hay diferentes modos de trabajo en laMicroscopia de Fuerzas el maacutes populares el modo contacto o llamado tambieacutenmodo de fuerza constante aquiacute la puntaes llevada al contacto con la superficiede la muestra y la deflexioacuten delcantileacutever es mantenida constantedurante el scan o barrido por unfeedback loop La figura 1 muestra larelacioacuten de la distancia entre punta ymuestra y que dependiendo esadistancia sentiriacutea fuerzas atractivas orepulsivas y que finalmente sedenotariacutea el tipo de modo enadquisicioacuten
Fig1 Grafica de las fuerzas entre punta ymuestra y modos de operacioacuten de lateacutecnica SPM
En el llamado modo no contacto o mododinaacutemico una sonda oscilando esllevada cerca a la superficie sin tocarladonde ella experimenta las fuerzas deVan der Waals que inducen eldesplazamiento de la frecuencia deresonancia del cantileacutever de alto valoren constante de fuerza generalmentemayor a 3 Nm -1
La adquisicioacuten de imagen es conseguidamanteniendo la frecuencia constante oamplitud constante durante el barridoutilizando el feedback ya sea de laamplitud o la frecuencia Utilizando elhecho que la teacutecnica en dinaacutemico evitael contacto con la muestra otrosmeacutetodos de medida se ha implementadohoy diacutea como la teacutecnica Kelvin Probe
donde aparte de oscilar el sistemapunta-fleje se le pone un voltaje a lapunta y asiacute aproximar el sistema a uncondensador formado por la punta queesta con carga debido al voltaje aplicadoy la muestra que estaacute conectada atierra Con esta teacutecnica se puedenestudiar sistemas complejos de nanomateriales y que dan muchas lucessobre estados electroacutenicos ydistribuciones de carga superficial
Las siguientes galleriacuteas de imaacutegenescorresponden a las teacutecnicas SPM dondese encuentran estudios de biomoleacuteculasy materiales como silicio con resolucioacutenatoacutemica mediante la Microscopia deFuerzas Atoacutemicas y de Efecto Tuacutenel
La nanotecnologiacutea nos permitiraacuteentonces dar un paso maacutes allaacute paraminiaturizar dispositivos electroacutenicosmicro mecanismos y por queacute no entrara una nueva etapa del desarrollotecnoloacutegico
Fig 2 Modo Tapping (No contacto) Imagende topografiacutea de las cadenas ADN del timo
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] httpwwwnanoteces [2] Pier CarloBraga and Davide Ricci MicroscopyBiomedical Methods and Aplications Vol242 [3] Venables Jhon A Introduction toSurfaces and Thin Film and ProcessCambridge University Press 2003
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Loacutegica Modal Hibrida Nociones Baacutesicas
Luis Germaacuten Polanco Contreras
Estudiante de Matemaacuteticas Universidad de los AndesEmail lgpolanco75uniandeseduco Tel (571) 861 9092
1 CONTENIDO
Las loacutegicas modales en general noshablan de modelos relacionados porejemplo estudiamos loacutegicas modalesbaacutesicas a partir de modelos de Kripkeque constan de un conjunto W depuntos o nodos una relacioacuten binaria
(y usualmente llamamos unmarco a la pareja (W R) ) y unavaluacioacuten V que asigna a cada letraproposicional una conjunto de puntosdel modelo donde son validas y atraveacutes del operador que nos permiteverificar la validez de una formula enalguacuten sucesor de un punto del modelo yanaacutelogamente el operador que nospermite verificar validez en todo lossucesores de un punto del modeloluego de revisar estos puntos nosdamos cuenta que la loacutegica modalbaacutesica es muy expresiva acerca de larelacioacuten misma entre sus puntospodemos verificar propiedades sobresucesores y en casos como la loacutegicatemporal sobre los antecesores pero
bajo ninguacuten caso podemos hablamossobre los puntos mismos del modelo yes la loacutegica modal hibrida la que buscasolucionar este asunto en otraspalabras requiere hablar de un aquiacute yahora dentro de los modelos de laloacutegica modal baacutesica
Este problema es solucionado demanera muy elegante sencilla ysobretodo muy poderosa como loafirman Areces y Blackburn al decircertainly any modal logics can behybridized and in our view many ofthem should be[1] al introducir unconjunto de nominales que seriacuteasencillamente un conjunto de nombrespor asignar a cada punto del modeloeste conjunto se denota usualmente
como y debe ser disjuntodel conjunto de letras proposicionales
con la introduccioacuten deeste cambio a la loacutegica modal baacutesica lasformulas bien formadas serian entonces
Por ejemplo es unaformula bien formada de la loacutegica modalhibrida Maacutes adelante explicaremos elsignificado del nuevo operador unario
Los modelos de estas loacutegicas modaleshibridas son ideacutenticos en el mundo W yen la relacioacuten R a los modelos de laloacutegica modal baacutesica pero el punto deinflexioacuten importante se encuentra en lavaluacioacuten V que se convierte en unafuncioacuten con dominio
Ahora debemos remarcar dospropiedades importantes de losnominales primero los nominales son elprincipal mecanismo de hibridacioacuten paralas loacutegicas modales y estos juegan el unpapel similar al que juegan los teacuterminosen la loacutegica de primer orden (sonelementos baacutesicos y que recibennombres propios por su importancia enel modelo) sin embargo estos sonformulas en siacute mismos como loacaramos anteriormente
En segundo lugar debemos anotar que
debe ser un singleton pues cadanominal se refiere a un uacutenico elementodel mundo del modelo y no deberiacuteahaber dos puntos con el mismo nombrepues asiacute no estariacuteamos daacutendole a cadapunto la importancia local que estamosbuscando para diferenciarlos yestudiarlos particularmente
Para completar ahora los conceptosbaacutesicos sobre la loacutegica modal hibridadebemos antildeadir dos clausulas devalidez puntual a las ya conocidas parala loacutegica modal baacutesica obteniendo entotal
Esto nos estaacute indicando que losnominales son validos en un uacutenico punto
de modelo () y el operador tambieacuten conocido como el operador desatisfacibilidad estaacute dando un salto al
punto nombrado por i es decirsignificariacutea ldquoφ se satisface en el puntollamado irdquo () o como lo indican Arecesy Blackburn ldquoit moves the point ofevaluation to the state named by i andchecks whether φ is true thererdquo [1]
Entonces podemos preguntarnos por
formulas de la forma que nos estaacutediciendo que el nominal j vale en el
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
UNA APROXIMACIOacuteN HACIA LA MICROSCOPIA DE BARRIDO
Luis E Garzoacuten
Instituto de Ciencia de Materiales de Barcelona Spain
Email lucho_garzonyahooes
1 CONTENIDO
Desde hace alguacuten tiempo escuchamosla palabra Nano iquestPero Nano querealmentepuede significar Podriacuteamos decir quees una palabra de moda sin embargoel mundo a nivel nano describe la escalaque estaacute en el orden de una billoneacutesimaparte de longitud de un metro Bajo estecontexto encontramos componentesmoleculares moleacuteculas que hanincrementado el intereacutes en todas lasaacutereas de la ciencia como fiacutesica quiacutemicabiologiacutea e ingenieriacutea
Las cosas de la mayoriacutea de estas aacutereascientiacuteficas cubren relativamentelongitudes de escala pequentildeas porejemplo la escala de la constante dePlanck a nivel de la quiacutemicamacromolecular o eltamantildeo de los organismos
En estos oacuterdenes de magnitudencontramos entonces el rango tiacutepico delas ciencias de materiales que estaacutenentre
El desarrollo de la ciencia en el siglo 20fue gracias al trabajo arduo tanto en elcampo experimental como teoacuterico enfiacutesica especialmente con la mecaacutenicacuaacutentica consideraacutendose el siglo de orode la fiacutesica Con el desarrollo yadvenimiento de los llamados equiposde Microscopia de Barrido (ScanningProbe Microscopy-SPM) entre otraspermitioacute observar cambios en losmateriales a tamantildeo molecular y auacuten enprocesos bioloacutegicos Pero cuandopensamos en microscopios recordamosentonces los microscopios oacutepticos omicroscopios electroacutenicos los cualescrean la imagen de un objetofocalizando la radiacioacutenelectromagneacutetica como el fotoacuten oelectrones sobre su superficie En 1981
investigadores de IBM fueron capacesde utilizar el meacutetodo de Young paracrear el Microscopio de Barrido porefecto Tuacutenel o Scanning TunnelingMicroscope (STM) donde usaron elhecho que la emisioacuten del campo deelectrones entre una punta metaacutelica yuna superficie depende de la distanciaentre la punta y esa superficie paramuestras conductoras este hecho fuepresentado en la solucioacuten de laecuacioacuten de onda de una partiacuteculaconfinada en un campo central defuerzas con la mecaacutenica cuaacutentica
Ya en 1985 Binnig y Quate mostraron elMicroscopio de Fuerza Atoacutemicautilizando una pequentildea punta sobre uncantileacutever o micro palanca siendo esteel corazoacuten del instrumento de medicioacutenporque este es el que debe ser llevado ala proximidad de la superficie objeto deanaacutelisis para dar una imagen a traveacutes delas fuerzas moleculares de interaccioacutenentre punta y la muestra Lacaracteriacutestica general de estas sondas opuntas de barrido es que estaacutenensambladas sobre un chip de silicio onitruro de silicio con alguacuten tipo derevestimiento seguacuten sea su utilidadigualmente las puntas pueden ser desilicio con recubrimientos de Cr-Pt Cr-Iro diamante muy utilizadas hoy diacutea pararealizar experimentos de conduccioacuteneleacutectrica en las muestras Esteensamblaje de punta-cantilever puedetener diferentes geometriacuteas como laforma V o simplemente un fleje el cualtiene diferente propiedades torsionalesAdemaacutes los cantileacutever son clasificadospor su constante de fuerza y frecuenciade resonancia que depende el tipo demuestra seriacutea utilizada para muestrasblandas o duras tanto en aire liquido oultra alto vacio El microscopio de
Fuerza Atoacutemica puede medir ladeflexioacuten vertical o torsional delcantileacutever con alta resolucioacuten Un haz delaser es reflejado desde la parteposterior del cantileacutever recubierto poruna delgada laacutemina metaacutelica que hacede espejo que lo proyecta hacia unsistema de deteccioacuten o fotodetectoresdonde las deflexiones y torsiones sonregistradas adecuadamente medianteuna electroacutenica Para conseguir lainformacioacuten de las propiedades fiacutesicasde las superficies que estaacuten siendoanalizadas una imagen es formada ygrabada por las fuerzas de interaccioacutenentre la punta y la muestra mientras serealiza el scan o barrido sobre lasuperficie Las muestras objetos deestudio se colocan en un porta muestrasadheridas adecuadamente a un objetometaacutelico y puestas en el microscopiofaacutecilmente sin embargo teacutecnicas comoen medio liquido requieren de cuidadosespecialmente en el sistema deoptimizacioacuten de la sentildeal proveniente dellaser y perturbaciones en el liquidodebido al movimiento del piezoeleacutectricoencargado de realizar movimientos en 3dimensiones
Hay diferentes modos de trabajo en laMicroscopia de Fuerzas el maacutes populares el modo contacto o llamado tambieacutenmodo de fuerza constante aquiacute la puntaes llevada al contacto con la superficiede la muestra y la deflexioacuten delcantileacutever es mantenida constantedurante el scan o barrido por unfeedback loop La figura 1 muestra larelacioacuten de la distancia entre punta ymuestra y que dependiendo esadistancia sentiriacutea fuerzas atractivas orepulsivas y que finalmente sedenotariacutea el tipo de modo enadquisicioacuten
Fig1 Grafica de las fuerzas entre punta ymuestra y modos de operacioacuten de lateacutecnica SPM
En el llamado modo no contacto o mododinaacutemico una sonda oscilando esllevada cerca a la superficie sin tocarladonde ella experimenta las fuerzas deVan der Waals que inducen eldesplazamiento de la frecuencia deresonancia del cantileacutever de alto valoren constante de fuerza generalmentemayor a 3 Nm -1
La adquisicioacuten de imagen es conseguidamanteniendo la frecuencia constante oamplitud constante durante el barridoutilizando el feedback ya sea de laamplitud o la frecuencia Utilizando elhecho que la teacutecnica en dinaacutemico evitael contacto con la muestra otrosmeacutetodos de medida se ha implementadohoy diacutea como la teacutecnica Kelvin Probe
donde aparte de oscilar el sistemapunta-fleje se le pone un voltaje a lapunta y asiacute aproximar el sistema a uncondensador formado por la punta queesta con carga debido al voltaje aplicadoy la muestra que estaacute conectada atierra Con esta teacutecnica se puedenestudiar sistemas complejos de nanomateriales y que dan muchas lucessobre estados electroacutenicos ydistribuciones de carga superficial
Las siguientes galleriacuteas de imaacutegenescorresponden a las teacutecnicas SPM dondese encuentran estudios de biomoleacuteculasy materiales como silicio con resolucioacutenatoacutemica mediante la Microscopia deFuerzas Atoacutemicas y de Efecto Tuacutenel
La nanotecnologiacutea nos permitiraacuteentonces dar un paso maacutes allaacute paraminiaturizar dispositivos electroacutenicosmicro mecanismos y por queacute no entrara una nueva etapa del desarrollotecnoloacutegico
Fig 2 Modo Tapping (No contacto) Imagende topografiacutea de las cadenas ADN del timo
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] httpwwwnanoteces [2] Pier CarloBraga and Davide Ricci MicroscopyBiomedical Methods and Aplications Vol242 [3] Venables Jhon A Introduction toSurfaces and Thin Film and ProcessCambridge University Press 2003
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Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Loacutegica Modal Hibrida Nociones Baacutesicas
Luis Germaacuten Polanco Contreras
Estudiante de Matemaacuteticas Universidad de los AndesEmail lgpolanco75uniandeseduco Tel (571) 861 9092
1 CONTENIDO
Las loacutegicas modales en general noshablan de modelos relacionados porejemplo estudiamos loacutegicas modalesbaacutesicas a partir de modelos de Kripkeque constan de un conjunto W depuntos o nodos una relacioacuten binaria
(y usualmente llamamos unmarco a la pareja (W R) ) y unavaluacioacuten V que asigna a cada letraproposicional una conjunto de puntosdel modelo donde son validas y atraveacutes del operador que nos permiteverificar la validez de una formula enalguacuten sucesor de un punto del modelo yanaacutelogamente el operador que nospermite verificar validez en todo lossucesores de un punto del modeloluego de revisar estos puntos nosdamos cuenta que la loacutegica modalbaacutesica es muy expresiva acerca de larelacioacuten misma entre sus puntospodemos verificar propiedades sobresucesores y en casos como la loacutegicatemporal sobre los antecesores pero
bajo ninguacuten caso podemos hablamossobre los puntos mismos del modelo yes la loacutegica modal hibrida la que buscasolucionar este asunto en otraspalabras requiere hablar de un aquiacute yahora dentro de los modelos de laloacutegica modal baacutesica
Este problema es solucionado demanera muy elegante sencilla ysobretodo muy poderosa como loafirman Areces y Blackburn al decircertainly any modal logics can behybridized and in our view many ofthem should be[1] al introducir unconjunto de nominales que seriacuteasencillamente un conjunto de nombrespor asignar a cada punto del modeloeste conjunto se denota usualmente
como y debe ser disjuntodel conjunto de letras proposicionales
con la introduccioacuten deeste cambio a la loacutegica modal baacutesica lasformulas bien formadas serian entonces
Por ejemplo es unaformula bien formada de la loacutegica modalhibrida Maacutes adelante explicaremos elsignificado del nuevo operador unario
Los modelos de estas loacutegicas modaleshibridas son ideacutenticos en el mundo W yen la relacioacuten R a los modelos de laloacutegica modal baacutesica pero el punto deinflexioacuten importante se encuentra en lavaluacioacuten V que se convierte en unafuncioacuten con dominio
Ahora debemos remarcar dospropiedades importantes de losnominales primero los nominales son elprincipal mecanismo de hibridacioacuten paralas loacutegicas modales y estos juegan el unpapel similar al que juegan los teacuterminosen la loacutegica de primer orden (sonelementos baacutesicos y que recibennombres propios por su importancia enel modelo) sin embargo estos sonformulas en siacute mismos como loacaramos anteriormente
En segundo lugar debemos anotar que
debe ser un singleton pues cadanominal se refiere a un uacutenico elementodel mundo del modelo y no deberiacuteahaber dos puntos con el mismo nombrepues asiacute no estariacuteamos daacutendole a cadapunto la importancia local que estamosbuscando para diferenciarlos yestudiarlos particularmente
Para completar ahora los conceptosbaacutesicos sobre la loacutegica modal hibridadebemos antildeadir dos clausulas devalidez puntual a las ya conocidas parala loacutegica modal baacutesica obteniendo entotal
Esto nos estaacute indicando que losnominales son validos en un uacutenico punto
de modelo () y el operador tambieacuten conocido como el operador desatisfacibilidad estaacute dando un salto al
punto nombrado por i es decirsignificariacutea ldquoφ se satisface en el puntollamado irdquo () o como lo indican Arecesy Blackburn ldquoit moves the point ofevaluation to the state named by i andchecks whether φ is true thererdquo [1]
Entonces podemos preguntarnos por
formulas de la forma que nos estaacutediciendo que el nominal j vale en el
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
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Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
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ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
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Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
investigadores de IBM fueron capacesde utilizar el meacutetodo de Young paracrear el Microscopio de Barrido porefecto Tuacutenel o Scanning TunnelingMicroscope (STM) donde usaron elhecho que la emisioacuten del campo deelectrones entre una punta metaacutelica yuna superficie depende de la distanciaentre la punta y esa superficie paramuestras conductoras este hecho fuepresentado en la solucioacuten de laecuacioacuten de onda de una partiacuteculaconfinada en un campo central defuerzas con la mecaacutenica cuaacutentica
Ya en 1985 Binnig y Quate mostraron elMicroscopio de Fuerza Atoacutemicautilizando una pequentildea punta sobre uncantileacutever o micro palanca siendo esteel corazoacuten del instrumento de medicioacutenporque este es el que debe ser llevado ala proximidad de la superficie objeto deanaacutelisis para dar una imagen a traveacutes delas fuerzas moleculares de interaccioacutenentre punta y la muestra Lacaracteriacutestica general de estas sondas opuntas de barrido es que estaacutenensambladas sobre un chip de silicio onitruro de silicio con alguacuten tipo derevestimiento seguacuten sea su utilidadigualmente las puntas pueden ser desilicio con recubrimientos de Cr-Pt Cr-Iro diamante muy utilizadas hoy diacutea pararealizar experimentos de conduccioacuteneleacutectrica en las muestras Esteensamblaje de punta-cantilever puedetener diferentes geometriacuteas como laforma V o simplemente un fleje el cualtiene diferente propiedades torsionalesAdemaacutes los cantileacutever son clasificadospor su constante de fuerza y frecuenciade resonancia que depende el tipo demuestra seriacutea utilizada para muestrasblandas o duras tanto en aire liquido oultra alto vacio El microscopio de
Fuerza Atoacutemica puede medir ladeflexioacuten vertical o torsional delcantileacutever con alta resolucioacuten Un haz delaser es reflejado desde la parteposterior del cantileacutever recubierto poruna delgada laacutemina metaacutelica que hacede espejo que lo proyecta hacia unsistema de deteccioacuten o fotodetectoresdonde las deflexiones y torsiones sonregistradas adecuadamente medianteuna electroacutenica Para conseguir lainformacioacuten de las propiedades fiacutesicasde las superficies que estaacuten siendoanalizadas una imagen es formada ygrabada por las fuerzas de interaccioacutenentre la punta y la muestra mientras serealiza el scan o barrido sobre lasuperficie Las muestras objetos deestudio se colocan en un porta muestrasadheridas adecuadamente a un objetometaacutelico y puestas en el microscopiofaacutecilmente sin embargo teacutecnicas comoen medio liquido requieren de cuidadosespecialmente en el sistema deoptimizacioacuten de la sentildeal proveniente dellaser y perturbaciones en el liquidodebido al movimiento del piezoeleacutectricoencargado de realizar movimientos en 3dimensiones
Hay diferentes modos de trabajo en laMicroscopia de Fuerzas el maacutes populares el modo contacto o llamado tambieacutenmodo de fuerza constante aquiacute la puntaes llevada al contacto con la superficiede la muestra y la deflexioacuten delcantileacutever es mantenida constantedurante el scan o barrido por unfeedback loop La figura 1 muestra larelacioacuten de la distancia entre punta ymuestra y que dependiendo esadistancia sentiriacutea fuerzas atractivas orepulsivas y que finalmente sedenotariacutea el tipo de modo enadquisicioacuten
Fig1 Grafica de las fuerzas entre punta ymuestra y modos de operacioacuten de lateacutecnica SPM
En el llamado modo no contacto o mododinaacutemico una sonda oscilando esllevada cerca a la superficie sin tocarladonde ella experimenta las fuerzas deVan der Waals que inducen eldesplazamiento de la frecuencia deresonancia del cantileacutever de alto valoren constante de fuerza generalmentemayor a 3 Nm -1
La adquisicioacuten de imagen es conseguidamanteniendo la frecuencia constante oamplitud constante durante el barridoutilizando el feedback ya sea de laamplitud o la frecuencia Utilizando elhecho que la teacutecnica en dinaacutemico evitael contacto con la muestra otrosmeacutetodos de medida se ha implementadohoy diacutea como la teacutecnica Kelvin Probe
donde aparte de oscilar el sistemapunta-fleje se le pone un voltaje a lapunta y asiacute aproximar el sistema a uncondensador formado por la punta queesta con carga debido al voltaje aplicadoy la muestra que estaacute conectada atierra Con esta teacutecnica se puedenestudiar sistemas complejos de nanomateriales y que dan muchas lucessobre estados electroacutenicos ydistribuciones de carga superficial
Las siguientes galleriacuteas de imaacutegenescorresponden a las teacutecnicas SPM dondese encuentran estudios de biomoleacuteculasy materiales como silicio con resolucioacutenatoacutemica mediante la Microscopia deFuerzas Atoacutemicas y de Efecto Tuacutenel
La nanotecnologiacutea nos permitiraacuteentonces dar un paso maacutes allaacute paraminiaturizar dispositivos electroacutenicosmicro mecanismos y por queacute no entrara una nueva etapa del desarrollotecnoloacutegico
Fig 2 Modo Tapping (No contacto) Imagende topografiacutea de las cadenas ADN del timo
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] httpwwwnanoteces [2] Pier CarloBraga and Davide Ricci MicroscopyBiomedical Methods and Aplications Vol242 [3] Venables Jhon A Introduction toSurfaces and Thin Film and ProcessCambridge University Press 2003
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Loacutegica Modal Hibrida Nociones Baacutesicas
Luis Germaacuten Polanco Contreras
Estudiante de Matemaacuteticas Universidad de los AndesEmail lgpolanco75uniandeseduco Tel (571) 861 9092
1 CONTENIDO
Las loacutegicas modales en general noshablan de modelos relacionados porejemplo estudiamos loacutegicas modalesbaacutesicas a partir de modelos de Kripkeque constan de un conjunto W depuntos o nodos una relacioacuten binaria
(y usualmente llamamos unmarco a la pareja (W R) ) y unavaluacioacuten V que asigna a cada letraproposicional una conjunto de puntosdel modelo donde son validas y atraveacutes del operador que nos permiteverificar la validez de una formula enalguacuten sucesor de un punto del modelo yanaacutelogamente el operador que nospermite verificar validez en todo lossucesores de un punto del modeloluego de revisar estos puntos nosdamos cuenta que la loacutegica modalbaacutesica es muy expresiva acerca de larelacioacuten misma entre sus puntospodemos verificar propiedades sobresucesores y en casos como la loacutegicatemporal sobre los antecesores pero
bajo ninguacuten caso podemos hablamossobre los puntos mismos del modelo yes la loacutegica modal hibrida la que buscasolucionar este asunto en otraspalabras requiere hablar de un aquiacute yahora dentro de los modelos de laloacutegica modal baacutesica
Este problema es solucionado demanera muy elegante sencilla ysobretodo muy poderosa como loafirman Areces y Blackburn al decircertainly any modal logics can behybridized and in our view many ofthem should be[1] al introducir unconjunto de nominales que seriacuteasencillamente un conjunto de nombrespor asignar a cada punto del modeloeste conjunto se denota usualmente
como y debe ser disjuntodel conjunto de letras proposicionales
con la introduccioacuten deeste cambio a la loacutegica modal baacutesica lasformulas bien formadas serian entonces
Por ejemplo es unaformula bien formada de la loacutegica modalhibrida Maacutes adelante explicaremos elsignificado del nuevo operador unario
Los modelos de estas loacutegicas modaleshibridas son ideacutenticos en el mundo W yen la relacioacuten R a los modelos de laloacutegica modal baacutesica pero el punto deinflexioacuten importante se encuentra en lavaluacioacuten V que se convierte en unafuncioacuten con dominio
Ahora debemos remarcar dospropiedades importantes de losnominales primero los nominales son elprincipal mecanismo de hibridacioacuten paralas loacutegicas modales y estos juegan el unpapel similar al que juegan los teacuterminosen la loacutegica de primer orden (sonelementos baacutesicos y que recibennombres propios por su importancia enel modelo) sin embargo estos sonformulas en siacute mismos como loacaramos anteriormente
En segundo lugar debemos anotar que
debe ser un singleton pues cadanominal se refiere a un uacutenico elementodel mundo del modelo y no deberiacuteahaber dos puntos con el mismo nombrepues asiacute no estariacuteamos daacutendole a cadapunto la importancia local que estamosbuscando para diferenciarlos yestudiarlos particularmente
Para completar ahora los conceptosbaacutesicos sobre la loacutegica modal hibridadebemos antildeadir dos clausulas devalidez puntual a las ya conocidas parala loacutegica modal baacutesica obteniendo entotal
Esto nos estaacute indicando que losnominales son validos en un uacutenico punto
de modelo () y el operador tambieacuten conocido como el operador desatisfacibilidad estaacute dando un salto al
punto nombrado por i es decirsignificariacutea ldquoφ se satisface en el puntollamado irdquo () o como lo indican Arecesy Blackburn ldquoit moves the point ofevaluation to the state named by i andchecks whether φ is true thererdquo [1]
Entonces podemos preguntarnos por
formulas de la forma que nos estaacutediciendo que el nominal j vale en el
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Fig1 Grafica de las fuerzas entre punta ymuestra y modos de operacioacuten de lateacutecnica SPM
En el llamado modo no contacto o mododinaacutemico una sonda oscilando esllevada cerca a la superficie sin tocarladonde ella experimenta las fuerzas deVan der Waals que inducen eldesplazamiento de la frecuencia deresonancia del cantileacutever de alto valoren constante de fuerza generalmentemayor a 3 Nm -1
La adquisicioacuten de imagen es conseguidamanteniendo la frecuencia constante oamplitud constante durante el barridoutilizando el feedback ya sea de laamplitud o la frecuencia Utilizando elhecho que la teacutecnica en dinaacutemico evitael contacto con la muestra otrosmeacutetodos de medida se ha implementadohoy diacutea como la teacutecnica Kelvin Probe
donde aparte de oscilar el sistemapunta-fleje se le pone un voltaje a lapunta y asiacute aproximar el sistema a uncondensador formado por la punta queesta con carga debido al voltaje aplicadoy la muestra que estaacute conectada atierra Con esta teacutecnica se puedenestudiar sistemas complejos de nanomateriales y que dan muchas lucessobre estados electroacutenicos ydistribuciones de carga superficial
Las siguientes galleriacuteas de imaacutegenescorresponden a las teacutecnicas SPM dondese encuentran estudios de biomoleacuteculasy materiales como silicio con resolucioacutenatoacutemica mediante la Microscopia deFuerzas Atoacutemicas y de Efecto Tuacutenel
La nanotecnologiacutea nos permitiraacuteentonces dar un paso maacutes allaacute paraminiaturizar dispositivos electroacutenicosmicro mecanismos y por queacute no entrara una nueva etapa del desarrollotecnoloacutegico
Fig 2 Modo Tapping (No contacto) Imagende topografiacutea de las cadenas ADN del timo
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] httpwwwnanoteces [2] Pier CarloBraga and Davide Ricci MicroscopyBiomedical Methods and Aplications Vol242 [3] Venables Jhon A Introduction toSurfaces and Thin Film and ProcessCambridge University Press 2003
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Loacutegica Modal Hibrida Nociones Baacutesicas
Luis Germaacuten Polanco Contreras
Estudiante de Matemaacuteticas Universidad de los AndesEmail lgpolanco75uniandeseduco Tel (571) 861 9092
1 CONTENIDO
Las loacutegicas modales en general noshablan de modelos relacionados porejemplo estudiamos loacutegicas modalesbaacutesicas a partir de modelos de Kripkeque constan de un conjunto W depuntos o nodos una relacioacuten binaria
(y usualmente llamamos unmarco a la pareja (W R) ) y unavaluacioacuten V que asigna a cada letraproposicional una conjunto de puntosdel modelo donde son validas y atraveacutes del operador que nos permiteverificar la validez de una formula enalguacuten sucesor de un punto del modelo yanaacutelogamente el operador que nospermite verificar validez en todo lossucesores de un punto del modeloluego de revisar estos puntos nosdamos cuenta que la loacutegica modalbaacutesica es muy expresiva acerca de larelacioacuten misma entre sus puntospodemos verificar propiedades sobresucesores y en casos como la loacutegicatemporal sobre los antecesores pero
bajo ninguacuten caso podemos hablamossobre los puntos mismos del modelo yes la loacutegica modal hibrida la que buscasolucionar este asunto en otraspalabras requiere hablar de un aquiacute yahora dentro de los modelos de laloacutegica modal baacutesica
Este problema es solucionado demanera muy elegante sencilla ysobretodo muy poderosa como loafirman Areces y Blackburn al decircertainly any modal logics can behybridized and in our view many ofthem should be[1] al introducir unconjunto de nominales que seriacuteasencillamente un conjunto de nombrespor asignar a cada punto del modeloeste conjunto se denota usualmente
como y debe ser disjuntodel conjunto de letras proposicionales
con la introduccioacuten deeste cambio a la loacutegica modal baacutesica lasformulas bien formadas serian entonces
Por ejemplo es unaformula bien formada de la loacutegica modalhibrida Maacutes adelante explicaremos elsignificado del nuevo operador unario
Los modelos de estas loacutegicas modaleshibridas son ideacutenticos en el mundo W yen la relacioacuten R a los modelos de laloacutegica modal baacutesica pero el punto deinflexioacuten importante se encuentra en lavaluacioacuten V que se convierte en unafuncioacuten con dominio
Ahora debemos remarcar dospropiedades importantes de losnominales primero los nominales son elprincipal mecanismo de hibridacioacuten paralas loacutegicas modales y estos juegan el unpapel similar al que juegan los teacuterminosen la loacutegica de primer orden (sonelementos baacutesicos y que recibennombres propios por su importancia enel modelo) sin embargo estos sonformulas en siacute mismos como loacaramos anteriormente
En segundo lugar debemos anotar que
debe ser un singleton pues cadanominal se refiere a un uacutenico elementodel mundo del modelo y no deberiacuteahaber dos puntos con el mismo nombrepues asiacute no estariacuteamos daacutendole a cadapunto la importancia local que estamosbuscando para diferenciarlos yestudiarlos particularmente
Para completar ahora los conceptosbaacutesicos sobre la loacutegica modal hibridadebemos antildeadir dos clausulas devalidez puntual a las ya conocidas parala loacutegica modal baacutesica obteniendo entotal
Esto nos estaacute indicando que losnominales son validos en un uacutenico punto
de modelo () y el operador tambieacuten conocido como el operador desatisfacibilidad estaacute dando un salto al
punto nombrado por i es decirsignificariacutea ldquoφ se satisface en el puntollamado irdquo () o como lo indican Arecesy Blackburn ldquoit moves the point ofevaluation to the state named by i andchecks whether φ is true thererdquo [1]
Entonces podemos preguntarnos por
formulas de la forma que nos estaacutediciendo que el nominal j vale en el
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] httpwwwnanoteces [2] Pier CarloBraga and Davide Ricci MicroscopyBiomedical Methods and Aplications Vol242 [3] Venables Jhon A Introduction toSurfaces and Thin Film and ProcessCambridge University Press 2003
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Loacutegica Modal Hibrida Nociones Baacutesicas
Luis Germaacuten Polanco Contreras
Estudiante de Matemaacuteticas Universidad de los AndesEmail lgpolanco75uniandeseduco Tel (571) 861 9092
1 CONTENIDO
Las loacutegicas modales en general noshablan de modelos relacionados porejemplo estudiamos loacutegicas modalesbaacutesicas a partir de modelos de Kripkeque constan de un conjunto W depuntos o nodos una relacioacuten binaria
(y usualmente llamamos unmarco a la pareja (W R) ) y unavaluacioacuten V que asigna a cada letraproposicional una conjunto de puntosdel modelo donde son validas y atraveacutes del operador que nos permiteverificar la validez de una formula enalguacuten sucesor de un punto del modelo yanaacutelogamente el operador que nospermite verificar validez en todo lossucesores de un punto del modeloluego de revisar estos puntos nosdamos cuenta que la loacutegica modalbaacutesica es muy expresiva acerca de larelacioacuten misma entre sus puntospodemos verificar propiedades sobresucesores y en casos como la loacutegicatemporal sobre los antecesores pero
bajo ninguacuten caso podemos hablamossobre los puntos mismos del modelo yes la loacutegica modal hibrida la que buscasolucionar este asunto en otraspalabras requiere hablar de un aquiacute yahora dentro de los modelos de laloacutegica modal baacutesica
Este problema es solucionado demanera muy elegante sencilla ysobretodo muy poderosa como loafirman Areces y Blackburn al decircertainly any modal logics can behybridized and in our view many ofthem should be[1] al introducir unconjunto de nominales que seriacuteasencillamente un conjunto de nombrespor asignar a cada punto del modeloeste conjunto se denota usualmente
como y debe ser disjuntodel conjunto de letras proposicionales
con la introduccioacuten deeste cambio a la loacutegica modal baacutesica lasformulas bien formadas serian entonces
Por ejemplo es unaformula bien formada de la loacutegica modalhibrida Maacutes adelante explicaremos elsignificado del nuevo operador unario
Los modelos de estas loacutegicas modaleshibridas son ideacutenticos en el mundo W yen la relacioacuten R a los modelos de laloacutegica modal baacutesica pero el punto deinflexioacuten importante se encuentra en lavaluacioacuten V que se convierte en unafuncioacuten con dominio
Ahora debemos remarcar dospropiedades importantes de losnominales primero los nominales son elprincipal mecanismo de hibridacioacuten paralas loacutegicas modales y estos juegan el unpapel similar al que juegan los teacuterminosen la loacutegica de primer orden (sonelementos baacutesicos y que recibennombres propios por su importancia enel modelo) sin embargo estos sonformulas en siacute mismos como loacaramos anteriormente
En segundo lugar debemos anotar que
debe ser un singleton pues cadanominal se refiere a un uacutenico elementodel mundo del modelo y no deberiacuteahaber dos puntos con el mismo nombrepues asiacute no estariacuteamos daacutendole a cadapunto la importancia local que estamosbuscando para diferenciarlos yestudiarlos particularmente
Para completar ahora los conceptosbaacutesicos sobre la loacutegica modal hibridadebemos antildeadir dos clausulas devalidez puntual a las ya conocidas parala loacutegica modal baacutesica obteniendo entotal
Esto nos estaacute indicando que losnominales son validos en un uacutenico punto
de modelo () y el operador tambieacuten conocido como el operador desatisfacibilidad estaacute dando un salto al
punto nombrado por i es decirsignificariacutea ldquoφ se satisface en el puntollamado irdquo () o como lo indican Arecesy Blackburn ldquoit moves the point ofevaluation to the state named by i andchecks whether φ is true thererdquo [1]
Entonces podemos preguntarnos por
formulas de la forma que nos estaacutediciendo que el nominal j vale en el
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Loacutegica Modal Hibrida Nociones Baacutesicas
Luis Germaacuten Polanco Contreras
Estudiante de Matemaacuteticas Universidad de los AndesEmail lgpolanco75uniandeseduco Tel (571) 861 9092
1 CONTENIDO
Las loacutegicas modales en general noshablan de modelos relacionados porejemplo estudiamos loacutegicas modalesbaacutesicas a partir de modelos de Kripkeque constan de un conjunto W depuntos o nodos una relacioacuten binaria
(y usualmente llamamos unmarco a la pareja (W R) ) y unavaluacioacuten V que asigna a cada letraproposicional una conjunto de puntosdel modelo donde son validas y atraveacutes del operador que nos permiteverificar la validez de una formula enalguacuten sucesor de un punto del modelo yanaacutelogamente el operador que nospermite verificar validez en todo lossucesores de un punto del modeloluego de revisar estos puntos nosdamos cuenta que la loacutegica modalbaacutesica es muy expresiva acerca de larelacioacuten misma entre sus puntospodemos verificar propiedades sobresucesores y en casos como la loacutegicatemporal sobre los antecesores pero
bajo ninguacuten caso podemos hablamossobre los puntos mismos del modelo yes la loacutegica modal hibrida la que buscasolucionar este asunto en otraspalabras requiere hablar de un aquiacute yahora dentro de los modelos de laloacutegica modal baacutesica
Este problema es solucionado demanera muy elegante sencilla ysobretodo muy poderosa como loafirman Areces y Blackburn al decircertainly any modal logics can behybridized and in our view many ofthem should be[1] al introducir unconjunto de nominales que seriacuteasencillamente un conjunto de nombrespor asignar a cada punto del modeloeste conjunto se denota usualmente
como y debe ser disjuntodel conjunto de letras proposicionales
con la introduccioacuten deeste cambio a la loacutegica modal baacutesica lasformulas bien formadas serian entonces
Por ejemplo es unaformula bien formada de la loacutegica modalhibrida Maacutes adelante explicaremos elsignificado del nuevo operador unario
Los modelos de estas loacutegicas modaleshibridas son ideacutenticos en el mundo W yen la relacioacuten R a los modelos de laloacutegica modal baacutesica pero el punto deinflexioacuten importante se encuentra en lavaluacioacuten V que se convierte en unafuncioacuten con dominio
Ahora debemos remarcar dospropiedades importantes de losnominales primero los nominales son elprincipal mecanismo de hibridacioacuten paralas loacutegicas modales y estos juegan el unpapel similar al que juegan los teacuterminosen la loacutegica de primer orden (sonelementos baacutesicos y que recibennombres propios por su importancia enel modelo) sin embargo estos sonformulas en siacute mismos como loacaramos anteriormente
En segundo lugar debemos anotar que
debe ser un singleton pues cadanominal se refiere a un uacutenico elementodel mundo del modelo y no deberiacuteahaber dos puntos con el mismo nombrepues asiacute no estariacuteamos daacutendole a cadapunto la importancia local que estamosbuscando para diferenciarlos yestudiarlos particularmente
Para completar ahora los conceptosbaacutesicos sobre la loacutegica modal hibridadebemos antildeadir dos clausulas devalidez puntual a las ya conocidas parala loacutegica modal baacutesica obteniendo entotal
Esto nos estaacute indicando que losnominales son validos en un uacutenico punto
de modelo () y el operador tambieacuten conocido como el operador desatisfacibilidad estaacute dando un salto al
punto nombrado por i es decirsignificariacutea ldquoφ se satisface en el puntollamado irdquo () o como lo indican Arecesy Blackburn ldquoit moves the point ofevaluation to the state named by i andchecks whether φ is true thererdquo [1]
Entonces podemos preguntarnos por
formulas de la forma que nos estaacutediciendo que el nominal j vale en el
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Por ejemplo es unaformula bien formada de la loacutegica modalhibrida Maacutes adelante explicaremos elsignificado del nuevo operador unario
Los modelos de estas loacutegicas modaleshibridas son ideacutenticos en el mundo W yen la relacioacuten R a los modelos de laloacutegica modal baacutesica pero el punto deinflexioacuten importante se encuentra en lavaluacioacuten V que se convierte en unafuncioacuten con dominio
Ahora debemos remarcar dospropiedades importantes de losnominales primero los nominales son elprincipal mecanismo de hibridacioacuten paralas loacutegicas modales y estos juegan el unpapel similar al que juegan los teacuterminosen la loacutegica de primer orden (sonelementos baacutesicos y que recibennombres propios por su importancia enel modelo) sin embargo estos sonformulas en siacute mismos como loacaramos anteriormente
En segundo lugar debemos anotar que
debe ser un singleton pues cadanominal se refiere a un uacutenico elementodel mundo del modelo y no deberiacuteahaber dos puntos con el mismo nombrepues asiacute no estariacuteamos daacutendole a cadapunto la importancia local que estamosbuscando para diferenciarlos yestudiarlos particularmente
Para completar ahora los conceptosbaacutesicos sobre la loacutegica modal hibridadebemos antildeadir dos clausulas devalidez puntual a las ya conocidas parala loacutegica modal baacutesica obteniendo entotal
Esto nos estaacute indicando que losnominales son validos en un uacutenico punto
de modelo () y el operador tambieacuten conocido como el operador desatisfacibilidad estaacute dando un salto al
punto nombrado por i es decirsignificariacutea ldquoφ se satisface en el puntollamado irdquo () o como lo indican Arecesy Blackburn ldquoit moves the point ofevaluation to the state named by i andchecks whether φ is true thererdquo [1]
Entonces podemos preguntarnos por
formulas de la forma que nos estaacutediciendo que el nominal j vale en el
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
punto llamado i es decir que i y jdenotan el mismo punto del modelo y dealguna manera esto nos da unacaracterizacioacuten de igualdad para losnominales o igualdad para estados opuntos del modelo (podemos decidirfaacutecilmente por medio del operador cuando dos puntos son el mismo)Adicionalmente la formula nosindica que el punto nombrado por j esun sucesor del nominal i asiacute quepodemos saber cuando un nominal essucesor de otro gracias al operador yobtenemos una teoriacutea modal parasucesioacuten de estados (modal theory ofstate succession [1])
Podriacutea parecer que el operador no haadicionado nada realmente nuevo allenguaje modal pero si o vemosaplicado a la loacutegica temporal porejemplo viendo W como un conjunto detiempos y R la relacioacuten de futuro la
formula nos dice que lainformacioacuten φ es almacenada en eltiempo i permitieacutendonos encontrar estainformacioacuten de manera faacutecil y raacutepida pormedio del ldquosaltordquo que el operador formaliza
Con la adicioacuten de los nominales y laextensioacuten de la nocioacuten de validezaparecen entonces formulasinteresantes de analizar como porejemplo
pues si suponemos que
entonces tenemos que sies
porque y
lo cual obliga que existan tales
que y
pero como sabemosque i es un nominal tenemos
necesariamente que y por
tanto Pero si enla foacutermula original cambiaacuteramos i poralguna letra proposicional la formulapodriacutea ser faacutecilmente invalidadamientras que en la loacutegica modal hibridaes vaacutelida para todos sus modelos
El operador de satisfacibilidad presenta algunas propiedadesinteresantes como la distributividadsobre la implicacioacuten Lema En todos losmodelos de la loacutegica modal hibrida vale
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos esto significa
que si v es elpunto denotado por i entonces
si entonces tenemos
que debemos tener entonces
que luego podemos deducir
que y
y por tanto ypor tanto
La autodualidad Lema la formula
es cierta en losmodelos de la loacutegica modal hibrida
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
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ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
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ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
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SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Dem Sea M un modelo y w un punto delmodelo Supongamos por contradiccioacuten
queluego tenemos que
y entonces podemos deducir que
si i denota el nodo v
tenemos que ylo cual es una contradiccioacuten
Y sobre todo puede actuar de puenteentre la semaacutentica y la sintaacutectica debidoa que
Ahora introduciremos el concepto devinculacioacuten la idea se sigue del hechoque aunque los nominales son formulasdeben actuar cono contantes al estilo delas constantes en la loacutegica de primerorden es decir que deberiacuteamos poderasignar ciertas ldquovariables nominalesrdquo alos puntos para poder hablar de suspropiedades locales generales esto sepuede solucionar a traveacutes del vinculolocal darr que explicado de manera burdadarr vincula un nominal al punto deevaluacioacuten maacutes precisamente vincula alestado una variable de estado (ovariable nominal) que es baacutesicamenteun nominal que puede vincularse a unestado mientras los nominales como talson fijos podemos realizar una analogiacuteaentre las constantes y variables de laloacutegica de primer orden con losnominales y las variables de estadoviendo los nominales como constantes ylas variables como variables de estado
asiacute pues las constantes (nominales) sonfijas mientras que las variables laspodemos usar (o vincular a estadosdeterminados) para hablar del nodo encuestioacuten
Por ejemplo la formulaesta nombrando el estado actual como xy dice que no es posible alcanzar elestado x por medio de la relacioacuten R delmodelo esta foacutermula distingue puntosreflexivos de puntos irreflexivos en losmodelosPor medio de este vinculador local paralos nominales podemos definir entoncesvarias propiedades de marcos que noeran definibles en la loacutegica modalbaacutesica como la anti simetriacutea laasimetriacutea la irreflexibilidad o la nodiscrecioacuten de un modelo Ya vimos
como la formula define lapropiedad de irreflexivilidad en marcos
Por ejemplo la antisimetria se puededefinir por medio de la formula
esta foacutermula estaacute diciendo literalmenteque llamamos al estado actual x y existeun estado i que podemos alcanzar pormedio de la relacioacuten R del modelodesde x adicionalmente en el estado ivale que este estaacute relacionado pormedio de R con el estado x entoncessucede que en i vale x luego estamoshablando del mismo nodo del modelo ypor tanto la relacioacuten es antisimetrica
De manera anaacuteloga podemos ver que la
formula
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
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Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
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ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
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Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
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ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
BIBLIOGRAFIacuteA
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Trabajo de Grado (Economista)Universidad de los Llanos ColombiaFacultad de Ciencias Humanas
BERNAL TORRES Cesar AugustoMetodologiacutea de la investigacioacuten para laadministracioacuten y economiacutea Santa fe deBogotaacute Editorial Prentice Hall 2000
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GUTIERREZ Mariacutea LorenaMejoramiento de las condiciones deacceso al creacutedito para lasmicroempresas Fundacioacuten coronaUniversidad de los Andes y FundacioacutenFord 2004
MENDEZ ALVAREZ Carlos EduardoMetodologiacutea disentildeo y desarrollo delproceso de investigacioacuten Terceraedicioacuten Editorial Mc Graw Hill 2003ISBN 958-41-02036
PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
REPUBLICA DE COLOMBIA Ley 590del 2000
REPUBLICA DE COLOMBIA Decreto4090 del 2006
SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
define la asimetriacutea pues podemos leeren esta que si propiedades de lospuntos mismos permitieacutendonos en estemismo sentido definir propiedades demarcos que no eran definiblesdotaacutendonos de mayor expresividad
Ahora que hemos introducido la nocioacutende vinculador local podemos extenderlaa vinculadores globales que hacen usode los cuantificadores universales forall y existde donde obtenemos como resultadoformulas del estilo quese interpreta como ldquoexiste un punto delmodelo llamado x desde el cual sepuede alcanzar por medio de una R-transicioacuten el punto nombrado xrdquo O por
ejemplo quesignificariacutea que ldquopara todos los puntosllamados x no existe un punto llamado yque sea sucesor de xrdquo o mejor dicho xseriacutea un punto aislado del modeloHemos comprobado que aun con elpoder expresivo de la loacutegica modalbaacutesica hemos podido extenderla demanera que enriquezcamosenormemente su expresividad sobretodo a nivel local y de marcos llamamosal esta actual x y en este existe alguacutensucesor nombrado i entonces en i valeque ninguno de sus sucesores se llamax
Con los ejemplos dados anteriormentepodemos evidenciar como la inclusioacutende los nominales el operador desatisfacibilidad y el vinculante localhemos dotado a la loacutegica modal baacutesicade mayor expresividad sobrepermitiendo de esta manera el estudiodetallado de muchas propiedadesinteresantes sobre los modelos ydaacutendonos herramientas para el
fortalecimiento de la teoriacutea de modelosen la loacutegica modal
2 REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
[1] Areces C y Blackburn P HybridLogic Bringing them all Together ILLCUniversity of Amsterdam y INRIALorraine 2001 [2] Areces Carlos LogicEngineering The case of Descriptionand Hybrid Logics ILLC DissertationSeries DS-2000-5 PhD thesis ILLCUniversity of Amsterdam 2000 [3]Blackburn P y Seligman J Hybridlanguages Journal of Logic Languageand Information 4251ndash272 1995
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
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Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
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ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
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Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
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ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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GUTIERREZ Mariacutea LorenaMejoramiento de las condiciones deacceso al creacutedito para lasmicroempresas Fundacioacuten coronaUniversidad de los Andes y FundacioacutenFord 2004
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PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
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REPUBLICA DE COLOMBIA Decreto4090 del 2006
SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCua
JORNADA
El pasado 29 de marzo del presente antildeo se llevo a cabo en por parte de la Escuela deIngenieriacuteas y Arquitectura de la Corporacioacuten Universitaria del Meta la V JornadaCientiacutefica en donde fueron presentados los proyectos de investigacioacuten trabajados porlos profesores de los programas profesores investigadores de la escuela y estudiantesde los diferentes semilleros de los componen
Las exposiciones fueron las siguientesIngenieriacutea Agroindustrial 3Ingenieriacutea Electroacutenica 4Ingenieriacutea Industrial 7Investigador Germaacuten Chicangana Montoacuten 1Investigador Carlos Diacuteaz 1
Las memorias del evento seraacuten publicadas via digital seguacuten indican los organizadoresdel evento
PASTEURIZACIOacuteN DE LA LECHESIMULACIOacuteN EN PROMODELDanny Alberto guerreroYury Paola Meacutendez BINGINDUSTRIAL
PROCESO DE PRODUCCIOacuteN DEBIOGASKATHERINE BARRIOSMONICA HOYOSMAURICIO PAREDES
ProModelAdriana Marcela Blanco AbrilMiller Rodriacuteguez RodriacuteguezJairo Saacutenchez Villamizar
Algodoacuten Hidroacutefilo a Partir De Fibra EnRama BrutaBryan Rocha Bernal
Juan Camilo Riacuteos RiacuteosLina Rociacuteo Fajardo LuqueJohan Emmanuel Garciacutea
APROXIMACIOacuteN A LA VALORACIOacuteNURBANA DESDE LA OacutePTICAMEMORIA URBANACarlos Alberto Diacuteaz Riveros
Crema dental y AmbientadorTannia Lorena Montantildeeacutez solanoDelia Andrea mejia arenasMairaacute Andrea BeltraacutenMario Javier contento
ELABORACION DE LAHAMBURGUESA NT ICONTEC 1325
ELABORACION DE VELAS YJABONES PARA EL HOGAREMMANUEL FELIPE REY ALAYON
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
ANTIMICROBIANOS NATURALES ENLA CONSERVACION DE ALIMENTOSCristhina Isabel Ordoacutentildeez Cuesta
Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
MARTIN FRANCISCO CLAVIJOCASTILLOCESAR A TAPIA UMOAMAURICIO MORENO BARON
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Los Sismos y que significanGerman Chicangana
PREPARACIOacuteN DE MERMELADACON PULPA DE CARAMBOLOJuan Felipe Sierra LaverdeAMBIENTADOR MAGICOERIKA ANDREA BAUTISTA DIAZLIZETH ADRIANA GARCIA
LORENA HOYOSBIODIESEL DE JATROPHA CURCAS
Propiedades del grafito y fabricacioacutende laacutempara USB
APROVECHAMIENTO ARTESANALDE RESIDUO PROVENIENTE DELPESCADO (ESCAMA)CLAUDIA MORENOCARLOS CHAPARRONELSON RESTREPO
CONCIENTIZACIOacuteN DELDESPERDICIO DE ENERGIacuteA ENCOLOMBIAJuan Alejandro Chica Garciacutea
Colombia a pesar de ocupar un valioso lugar dentro de los paiacuteses de produccioacuten deenergiacutea mas limpia del mundo es a su vez uno de los paiacuteses que de mayor formadesperdicia la energiacutea en los cuatro sectores predominantes Residencial IndustrialTransporte y Comercial
Como dato para tomar conciencia durante las 2 horas 24 minutos que duraron lasexposiciones de la V Jornada Cientiacutefica de la Escuela de Ingenieriacuteas y Arquitectura enColombia se desperdiciaron 788788 Kwh de energiacutea eleacutectrica solo en el sectorresidencial lo cual equivale en pesos a poco mas de 252 millones de pesos
USO DE LOS NUacuteMEROSALEATORIOSAdriana Marcela Blanco Abril
LA SIMULACIOacuteN Y EL AZARJairo Sanchez Villamizar
DISTRIBUCIOacuteN GEOMEacuteTRICAE HIPERGEOMETRICAAdriana Marcela Blanco AbrilDISTRIBUCIOacuteN NORMALAdriana Marcela Blanco Abril
DISTRIBUCIOacuteN DISCRETAJairo Sanchez Villamizar
IMPORTANCIA DE LOSMODELOS EN LA INDUSTRIAJairo Saacutenchez Villamizar
MARKOV EN EL MUNDOMarian Katherine Galeano
SOFTWARE DE SIMULACIOacuteNMoacutenica Lorena Hoyos
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
BIBLIOGRAFIacuteA
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Trabajo de Grado (Economista)Universidad de los Llanos ColombiaFacultad de Ciencias Humanas
BERNAL TORRES Cesar AugustoMetodologiacutea de la investigacioacuten para laadministracioacuten y economiacutea Santa fe deBogotaacute Editorial Prentice Hall 2000
GUJARATI Damodar EconometriacuteaCuarta Edicioacuten Editorial Mc Graw Hill2003 ISBN 958-600-585-2
GUTIERREZ Mariacutea LorenaMejoramiento de las condiciones deacceso al creacutedito para lasmicroempresas Fundacioacuten coronaUniversidad de los Andes y FundacioacutenFord 2004
MENDEZ ALVAREZ Carlos EduardoMetodologiacutea disentildeo y desarrollo delproceso de investigacioacuten Terceraedicioacuten Editorial Mc Graw Hill 2003ISBN 958-41-02036
PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
REPUBLICA DE COLOMBIA Ley 590del 2000
REPUBLICA DE COLOMBIA Decreto4090 del 2006
SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
EL MESIAS II
Harold 1 Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 2
Autor Harold Balcaacutezar Hernaacutendez 18 antildeos de edad bachiller del ColegioDepartamental de la Esperanza actualmente Estudiante de segundosemestre de Ingenieriacutea Industrial de la Corporacioacuten Universitaria del MetaCel 3125558150 Direccioacuten de residencia Conj Galicia Casa 15 Int 2Correo Electroacutenico harold9205 hotmailcom
Author Harold Balcaacutezar Hernaacutendez age 18 bachelor of ColegioDepartamental de la EsperanzaCurrently second-semester of Industrial Engineering of the CorporacionUniversitaria Del Meta Cel 3125558150 office of Residence conj GaliciaCasa 15 Int 2E-mailharold9205hotmailcom
RESUMEN
El Mesiacuteas II un par de zapatos capaces de soportar el peso de una personapara asiacute poder desplazarse sobre el agua Estos zapatos estaacuten construidosde materiales reciclables como botellas de gaseosa plaacutesticas tubos de pvctienen una longitud de 190 cm y un ancho de 50 cm Para la elaboracioacuten deestos zapatos se tuvieron en cuenta tres puntos muy importantesflotabilidad estabilidad y arrastre Los cuales permitieron un buendesempentildeo en la piscinaLa clave del eacutexito estaba concentrada en un punto el maacutes importante laestabilidad la cual se podiacutea mejorar bajando un poco el centro de gravedadpor debajo del nivel del agua permitiendo que el punto de apoyo fueradebajo de la rodilla daacutendole asiacute mucha maacutes estabilidadOtro punto imprescindible de estos zapatos era el arrastre pues estoscontaban con un sistema de aletas las cuales permitiacutean el desplazamientosobre el agua
Palabras clave Estabilidad Flotabilidad Arrastre
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCua
ABSTRACT
Messiah II a pair of shoes can withstand the weight of a person to travelover water These shoes are made of recyclable materials such as plasticsoda bottles PVC pipe have a length of 190 cm and a width of 50 cm Forthe development of these shoes were taken into account three importantpoints flotability stability and draw This allowed a good performance inthe pool The key to success was concentrated in one point the mostimportant stability which could be improved a bit down the center ofgravity below the water level allowing the point of support was below theknee giving much more stability
Another essential point of these shoes was a drag since they had a set offins which allow the movement of water
Keywords Flotability Stability Draw
1 MATERIALES Y MEacuteTODOS
Los materiales para los zapatosson botellas de gaseosa tubopvc pegante para pvc tornillospasantes tuercas lija cuerdasilicona alambre laminas de zincy listones de madera
Para la flotabilidad se utilizaron25 botellas plaacutesticas a las que sele introdujo aire comprimido pormedio de una vaacutelvula de siliconapara aumentar su flotabilidad
Para la estabilidad se bajo unpoco el centro de gravedad pordebajo del nivel del aguapermitiendo que el punto de apoyofuera debajo de la rodilla daacutendoleasiacute mucha maacutes estabilidad
Para el arrastre se disentildeo en cadazapato un juego de aspas quegiran de zinc de 20 ancho por40cm largo las cuales sedoblaban hacia atraacutes cuando el
zapato se desplazaba haciaadelante y cuando se moviacutea haciaatraacutes estas quedaban quietaspermitiendo traccioacuten con en aguay asiacute poder avanzar
2 RESULTADOS
Uno de los hallazgos fue laaceptacioacuten que tubo la vaacutelvula desilicona con el aire comprimidopermitiendo que no se escapara
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
BIBLIOGRAFIacuteA
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Trabajo de Grado (Economista)Universidad de los Llanos ColombiaFacultad de Ciencias Humanas
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GUTIERREZ Mariacutea LorenaMejoramiento de las condiciones deacceso al creacutedito para lasmicroempresas Fundacioacuten coronaUniversidad de los Andes y FundacioacutenFord 2004
MENDEZ ALVAREZ Carlos EduardoMetodologiacutea disentildeo y desarrollo delproceso de investigacioacuten Terceraedicioacuten Editorial Mc Graw Hill 2003ISBN 958-41-02036
PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
REPUBLICA DE COLOMBIA Ley 590del 2000
REPUBLICA DE COLOMBIA Decreto4090 del 2006
SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
21 Figuras y Tablas
Vista superior
190 cm
40cm
Fig 1Se observa el par de zapatos consus respectivas medidas
Vista lateral
Fig 2En esta figura podemos observarel punto de apoyo en forma deestribo tambieacuten se observa quelas aspas estaacuten verticalmentepermitiendo es agarre con elagua
agua
Fig 3
En esta figura se observa comolas aspas giran para permitir queel agua fluya sin producirresistencia alguna
3 DISCUSIOacuteN
Al bajar el centro de gravedadpermitioacute que los zapatos tuvieranmucha maacutes estabilidad estoacompantildeado de botellas plaacutesticascon aire comprimido el cual lesdaba el doble de flotabilidad y unbuen sistema de arrastre loszapatos lograron un buendesempentildeo sobre el agua
Se recomienda empezarresumiendo los resultados que sehan encontrado y coacutemoresponden a la preguntaplanteada en la introduccioacuten Sediscute sobre las implicacionesdel estudio y la relevancia quetiene para el aacuterea delconocimiento Se sugiere noconcluir maacutes cosas de las que losresultados permitan En estaseccioacuten se suelen incluir lasconclusiones del trabajo ymencionar tambieacuten los trabajosfuturos que se pueden realizar enel tema
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCuaComiteacute editorial
Parametros de Presentacion de Artiacuteculos Cientificos
Las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad
de Villavicencio en el periodo 2005-2006
Lic Luis Alexys Pinzoacuten Castro 1
1 Licenciado en Matemaacuteticas y Fiacutesica de la Universidad de los LlanosEspecialista en computacioacuten para la docencia de la Universidad AntonioNarintildeo Especialista en Estadiacutestica aplicada de la fundacioacuten Universitarialos Libertadores Actualmente estudiante de Maestria en docencia de lasciencias exactas y naturales de la Universidad Nacional de ColombiaDirector Programa de Licenciatura en Matemaacuteticas y Fiacutesica Universidadde los Llanos Coordinador grupo de Semillero de investigacioacuten enestadiacutestica y sus aplicaciones praacutecticas Statea-7 Corporacion Universitariadel Meta Colaborador Grupo de estudio Cavendish software en fiacutesicavalidacioacuten manual interacciones fiacutesicas Asesor estadiacutestico secretaria dePlaneacioacuten y Desarrollo del Departamento del Meta Docente de Postgrado Universidad del Meta y Universidad del Tolima cursos deEstadiacutestica Bioestadiacutestica y evaluacioacuten y formulacioacuten de proyectos
RESUMEN(Times New Roman 12pt)
En el estudio las principales causas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por el banco de las oportunidades en la ciudad de Villavicencioen el periodo 2005-2006 se brindan algunos conceptos sobre el disentildeo deun modelo economeacutetrico que permitiacutea determinar no solo la probabilidadde incumplimiento de pago por parte de los usuarios sino tambieacuten losfactores que afectan esta probabilidad Tambieacuten se ofrecen algunascaracteriacutesticas de la metodologiacutea utilizada en esta aacutereaAdemaacutes se aborda los meacutetodos de investigacioacuten cuantitativa como elanaacutelisis de varianza la multicolinealidad la prueba de bondad de ajuste laprueba de Hosmer la heteroscedasticidad etc
Palabras clave modelo banco de las oportunidades metodologiacutea modelologit pruebas estadiacutesticas confiabilidad
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
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SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCua
ABSTRACT
In the study the main causes of risk of microcredit by the bank of theopportunities in the city of Villavicencio in the period 2005-2006 willprovide some ideas on the design of an econometric model that allowednot only determine the probability of failure payment by the users but alsothe factors that affect this probability They also offer some features of themethodology used in this areaIt also addresses methods of quantitative research such as analysis ofvariance the multicolinealidad the goodness of fit test the test of Hosmerthe heteroscedasticidad etc
KEY WORDS model bank opportunities methods logit model statisticaltesting reliability
4 INTRODUCCIOacuteN
En Colombia la situacioacuten econoacutemica delos uacuteltimos antildeos ha generado que elsector de la economiacutea informal hayacrecido paulatinamente por diversascausas por ejemplo la reduccioacuten depersonal como poliacutetica de las empresaspara disminuir costos ha dado comoresultado el traslado de trabajadores alsector informal No obstante losnegocios que se han desarrollado eneste sector tienen profundas y criacuteticaslimitaciones para crecer y ser auto-sostenibles porque carecen de recursosfinancieros suficientes para invertir encapital de trabajo y ampliacioacuten de lacapacidad instalada Esta poblacioacuten notiene muchas oportunidades de acceder
a la banca privada debido a suscondiciones socioeconoacutemicas ademaacutesde estar carente de garantiacutea real paraobtener un creacutedito
La estructura normativa del sistemafinanciero mundial no tiene como suprincipal objetivo otorgar creacuteditos a estesegmento de la poblacioacuten por lo que laresponsabilidad se le terminaatribuyendo al Estado como funcioacutensocialSe han realizado investigacionestendientes a determinar las principalescausas de riesgo de los microcreacuteditosotorgados por diferentes bancos a nivelmundial pero en la ciudad deVillavicencio no por lo que un estudio deeste tipo en el Banco de lasOportunidades teniendo en cuenta quelos creacuteditos apoyan proyectos
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
productivos financieramente viables yque en aspectos como la tasa de intereacutescobrada los costos operativos y lasolidez patrimonial le permiten concederdichos creacuteditos con un porcentaje demorosidad bajo fue una alternativanovedosa para el pie de monte llaneroPor consiguiente para determinar lasposibles causas de riesgo de dichainstitucioacuten se propuso la aplicacioacuten delmodelo de regresioacuten logiacutestica binariadonde se estudiaron los datos y cifrasproporcionadas por el Banco de lasOportunidades de la ciudad deVillavicencio y mediante la utilizacioacutendel software SPSS 160 se construyo elmodelo economeacutetrico que permitioacutedeterminar la probabilidad deincumplimiento en la colocacioacuten de losmicrocreacuteditos de inversioacuten y hallar elnivel de significancia que tiene elmodelo
DESARROLLO
El microcreacutedito1 surge como unpreacutestamo formal acoplado a lascondiciones de los ciudadanos de bajosrecursos econoacutemicos a losmicroempresarios y a los pequentildeos ymedianos industriales con fines definanciar sus proyectos laboralesmasificando de esta forma el acceso alcreacutedito popular
1 La ley 590 de 2000 define el microcreacutedito comoaquellas operaciones activas de creacutedito otorgadas amicroempresas cuyo saldo de endeudamiento con larespectiva entidad no supere veinticinco (25) salariosmiacutenimos legales mensuales vigentes
La experiencia en Latinoameacuterica ha sidoexitosa y muy interesante ya que losdiferentes paiacuteses incluyendo Colombiahan desarrollado programas soacutelidos yfundaciones que han fortalecido losprogramas de microcreacuteditos para laspersonas maacutes necesitadas y comoapoyo a poliacuteticas nacionales de cadapaiacutes lamentablemente el problemaradica en que la poblacioacuten en sumayoriacutea no se percata de los esfuerzosque realizan estas fundaciones ya queno existen mecanismos o herramientaspara promocionarlos No obstante espertinente recalcar que la manera maacutesviable de servir a la comunidad conescasos recursos econoacutemicos o pordebajo de la liacutenea de la pobreza es atraveacutes de los llamados esfuerzossostenibles se hace inoficioso regalarledinero a alguien en particular que notendraacute con que alimentarse el siguientemes Resulta mucho maacutes primordialproveer trabajo capacitacioacuten y recursosfinancieros para que estas mismaspersonas puedan generar riquezaeconoacutemica y puedan servir de ejemplo alos futuros prestatarios de aquellosmicrocreacuteditos de inversioacuten productiva
ldquoEn Colombia Medelliacuten ha sido una delas ciudades pioneras del paiacutes endifundir el microcreacutedito El banco de lasoportunidades de Medelliacuten ha logradocolocar cerca de 20 mil millones depesos con maacutes de 9000 creacuteditosotorgados a bajas tasas de intereacutes y conapenas una cartera vencida del 5 Elprograma se acompantildea de asesoriacutea y
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
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2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
estiacutemulos que facilitan su difusioacuten eimpacto social En Medelliacuten el procesose acompantildea de un programadenominado emprenderismo social quecomprende apoyo para la formalizacioacutencapacitacioacuten asesoriacutea empresarial yfacilidades de pagordquo2
Por otra parte el Meta y la Alcaldiacutea deVillavicencio han lanzado dosimportantes programas El Banco de lasOportunidades e INCUBAR Meta estocon el fin de popularizar el microcreacuteditoen Villavicencio
El Banco de las Oportunidades se haconvertido en un mecanismo orientado afortalecer las microempresas o generarla creacioacuten de nuevas unidades en lacapital del Meta ldquoEsta entidad inicioacuteactividades en marzo de 2005 y haaprobado preacutestamos cerca de 881millones de pesos con mas 128 creacuteditosentre 500 mil y cuatro millones depesos Estos creacuteditos se han entregadoa personas que pertenecen a losestratos 1 2 y 3 de Villavicencio con unintereacutes del 12 por ciento anualrdquo3
El microcreacutedito va mas allaacute de estudiaruna solicitud y entregar un dineroel costo de creacutedito no soacutelo incluye latasa de intereacutes sino tambieacuten la eleccioacutendel momento adecuado de reembolso y
2 FIERRO PATINtildeO Manuel Javier Las bondadesdel micro finanzas En El Correo del Meta delManguareacute a la Maranduacutea Villavicencio (07 Jul2006)
3 EL TIEMPO Perioacutedico Colombia 12 de abril de2007
las multas en asocio con los valorespredeterminados4
En Villavicencio obtener un microcreacuteditono es faacutecil Hay que hacer filasinterminables insistir con mucha calmay esperar con mucha paciencia esdefinitivamente costoso No es unaalternativa hacia la fortuna no obstantea pesar de todos los inconvenientes esuna esperanza para las personas quehan sontildeado con tener un negocio que legenere un mejor bienestar socio-econoacutemico y poder salir adelante en uncompetitivo mercado laboral que cadadiacutea cobra maacutes viacutectimas
Surgiriacutea la duda si la obtencioacuten de unmicrocreacutedito es una verdaderaalternativa para salir de la pobreza ouna aguda decadencia hacia elendeudamiento O la duda que tramitanlas mentes de los Villavicencies iquestCuaacutelesson las variables importantes que tienenen mente las instituciones financierasen especial el banco de lasoportunidades para que les seaotorgado un microcreacutedito
Para ello es importante tener en cuentala parafernalia estadiacutestica yeconomeacutetrica del asunto como lo es laseleccioacuten de una poblacioacuten estudio laseleccioacuten de las variables consideradascomo predictivas La categorizacioacuten delas mismas ademaacutes de este asuntoesencial vienen las pruebas como entodo sin pruebas no nos podemos dar
4 Shaidur R Khandker Op Cit Paacuteg 42
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
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Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
cuenta de la importancia de los datosverdaderos es decir se necesita lavalidacioacuten de la informacioacuten ademaacutes delas fuentes de que los propios datos secomportan de una manera especialestas pruebas en esencia son el anaacutelisisde varianza la multicolinealidad lamejor bondad de ajuste no podriacutea faltarla prueba de Hosmer que en conjunto esmuy importante la curva de COR sindejar de lado la tan importante pruebade normalidad casi insistimos que laprueba de normalidad es a lainformacioacuten como la vacuna de lapenicilina es a la infectologia por tantoes trascendental a nuestra vista y unamuy importante para la verificacioacuten delos famosos supuestos de un modelo esla prueba de heteroscedasticidadmediante la cual se busca que lasvarianzas de cada una de las variablesno sean tan diferentes bueno pero enfin no podriacuteamos en la actualidadrealizar manejo de informacioacuten ypruebas ademaacutes de correr modelos sinla ayuda de herramientas tecnoloacutegicaspoderosas aunque no somos allegadosa la empresa que produce SPSSsabemos que es un software muypoderoso y amigable para el usuarioluego despueacutes de pruebas tras pruebapara cada modelo realizado nos hemossorprendido con una definitivainteresante
Las variables predictivas que para noviolentar el supuesto de que el mejormodelo es aquel que tiene el menornuacutemero de variables que lo explican sin
violar los supuestos antes mencionadosson cuatro la vivienda (propia o enarriendo) el destino del creacutedito(creacioacutende microempresa servicios microempresariales y fortalecimiento demicroempresa) si tiene o no codeudor ylos meses que en alguacuten creacutedito anteriorha tenido retraso en los pagos con elmencionado modelo nos lleva a lassiguientes implicaciones
1 los clientes que viven en viviendaarrendada son 017 porciento vecesmaacutes propensos a ser deudoresmorosos que aquellos que tienencasa propia siacute los otros factorespermanecen constantes
2 que los clientes que destinan sucreacutedito a los servicios microsempresariales son 28 porcientoveces menos propensos a serdeudores morosos que aquellos queorientan su creacutedito a la creacioacuten ofortalecimiento de su microempresasiacute los demaacutes factores permanecenconstantes
3 los clientes que poseen codeudorpara respaldar su creacutedito son 25porciento veces menos propensos aser deudores morosos que aquellosque no cuentan con codeudor siacute losdemaacutes factores permanecenconstantes
4 los clientes que tengan mayorescuotas atrasadas son 020 porcientoveces maacutes propensos a serdeudores morosos que aquellos queestaacuten al diacutea en sus cuotas siacute los
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
BIBLIOGRAFIacuteA
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Trabajo de Grado (Economista)Universidad de los Llanos ColombiaFacultad de Ciencias Humanas
BERNAL TORRES Cesar AugustoMetodologiacutea de la investigacioacuten para laadministracioacuten y economiacutea Santa fe deBogotaacute Editorial Prentice Hall 2000
GUJARATI Damodar EconometriacuteaCuarta Edicioacuten Editorial Mc Graw Hill2003 ISBN 958-600-585-2
GUTIERREZ Mariacutea LorenaMejoramiento de las condiciones deacceso al creacutedito para lasmicroempresas Fundacioacuten coronaUniversidad de los Andes y FundacioacutenFord 2004
MENDEZ ALVAREZ Carlos EduardoMetodologiacutea disentildeo y desarrollo delproceso de investigacioacuten Terceraedicioacuten Editorial Mc Graw Hill 2003ISBN 958-41-02036
PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
REPUBLICA DE COLOMBIA Ley 590del 2000
REPUBLICA DE COLOMBIA Decreto4090 del 2006
SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
otros factores permanecenconstantes
Por lo anterior verificamos que losmejores clientes para el banco de lasoportunidades en la ciudad deVillavicencio son aquellos que tienenvivienda los que destinan su creacutedito alos servicios micro empresarialesademaacutes de aquellos que respaldan susmicrocreacuteditos con codeudor y que nuncahan tenido problemas con el sistemafinanciero
El Banco de las Oportunidades Puedeusar los resultados que arrojo el modelode regresioacuten logiacutestica para disentildear suspoliacuteticas es decir esta institucioacuten podriacuteaatraer maacutes usuarios que quierandestinar sus creacuteditos a servicios microempresariales porque son menosriesgosos que aquellos que deseanorientar su preacutestamo al montaje de unnegocio Por otra parte solicitar uncodeudor como respaldo econoacutemico esotro factor importante al momento deaprobar un creacutedito ya que eacuteste incidepositivamente en la probabilidad depago
Y bueno para concluir con el tema atratado queremos llamar la atencioacutensobre dos cosas importantes la primeraes simple si el sistema del banco de lasoportunidades aparece en el espacio denuestra ciudad como una alternativapara las personas necesitadas de saliradelante como ellos mencionan en lasentrevistas realizadas no puede tenerseel presente modelo como camisa defuerza para otorgar los creacuteditos pues lamayoriacutea de personas de escasosrecursos no tienen vivienda propia ni
tendriacutean codeudor y lo peor es posibleque alguacuten diacutea hayan quedado mal en lospagos de alguacuten presunto creacutedito pero lasegunda recomendacioacuten soluciona enparte el primer problema que consisteque dentro del portafolio de serviciosque pueda ofrecer el Banco de lasOportunidades debe existir un programade capacitacioacuten a los clientes en temasempresariales a traveacutes de convenioscon entidades especializadas en estetipo de ensentildeanza como por ejemplo elSena Fundacioacuten Femenina etc estotraeraacute un sentido de perteneciacutea delcliente hacia la entidad que percibanque ademaacutes de financiarlo lo capacitapara que logre el crecimiento de sumicroempresa y debe existir unprograma de capacitacioacuten a los clientesen temas empresariales a traveacutes deconvenios con entidades especializadasen este tipo de ensentildeanza como porejemplo el Sena Fundacioacuten Femeninaetc esto traeraacute un sentido deperteneciacutea del cliente hacia la entidadque perciban que ademaacutes de financiarlolo capacita para que logre el crecimientode su microempresa
BIBLIOGRAFIacuteA
AGUILAR Giovanna Anaacutelisis de lamorosidad en las instituciones microfinancieras en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
AVELLANEDA RINCON ElenaDiagnoacutestico del microcreacutedito otorgadopor las entidades financieras deVillavicencio para formular un sistemabaacutesico de recaudo y seguimientoVillavicencio (Meta) 2006 121 p
Trabajo de Grado (Economista)Universidad de los Llanos ColombiaFacultad de Ciencias Humanas
BERNAL TORRES Cesar AugustoMetodologiacutea de la investigacioacuten para laadministracioacuten y economiacutea Santa fe deBogotaacute Editorial Prentice Hall 2000
GUJARATI Damodar EconometriacuteaCuarta Edicioacuten Editorial Mc Graw Hill2003 ISBN 958-600-585-2
GUTIERREZ Mariacutea LorenaMejoramiento de las condiciones deacceso al creacutedito para lasmicroempresas Fundacioacuten coronaUniversidad de los Andes y FundacioacutenFord 2004
MENDEZ ALVAREZ Carlos EduardoMetodologiacutea disentildeo y desarrollo delproceso de investigacioacuten Terceraedicioacuten Editorial Mc Graw Hill 2003ISBN 958-41-02036
PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
REPUBLICA DE COLOMBIA Ley 590del 2000
REPUBLICA DE COLOMBIA Decreto4090 del 2006
SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Trabajo de Grado (Economista)Universidad de los Llanos ColombiaFacultad de Ciencias Humanas
BERNAL TORRES Cesar AugustoMetodologiacutea de la investigacioacuten para laadministracioacuten y economiacutea Santa fe deBogotaacute Editorial Prentice Hall 2000
GUJARATI Damodar EconometriacuteaCuarta Edicioacuten Editorial Mc Graw Hill2003 ISBN 958-600-585-2
GUTIERREZ Mariacutea LorenaMejoramiento de las condiciones deacceso al creacutedito para lasmicroempresas Fundacioacuten coronaUniversidad de los Andes y FundacioacutenFord 2004
MENDEZ ALVAREZ Carlos EduardoMetodologiacutea disentildeo y desarrollo delproceso de investigacioacuten Terceraedicioacuten Editorial Mc Graw Hill 2003ISBN 958-41-02036
PISCIOTTI Marcela La crisis del sectorbancario en Colombia modelo dedesempentildeo financiero y previsioacuten dequiebras Trabajo de grado (Magiacutester enEconomiacutea)Universidad JaverianaColombia Facultad de Cienciaseconoacutemicas y Administrativas
PORTOCARRENtildeO Felipe Estructurade mercado y Competencia delmicrocreacutedito en el Peruacute Consorcio deInvestigacioacuten Econoacutemica y Social (CIES)y Fundacioacuten Ford 2003
REPUBLICA DE COLOMBIA Ley 590del 2000
REPUBLICA DE COLOMBIA Decreto4090 del 2006
SHAIDUR Khandker Fighting PovertyWith Microcredit experience inBangladesh Published for the WorldBank Oxford University Press 1998
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
DISTRIBUCION DE POISSON EN SIMULACION MILLER RODRIGUEZRODRIGUEZ
El contenido de este ensayo esta redactado por el estudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo latutoriacutea del docente Ing Ramiro Polanco pertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de laCorporacioacuten Universitaria del Meta el autor reside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) enla calle 13 12-31(Los Moriches) con direccioacuten de corre electroacutenicomilleradrian31hotmailcom
Es importante para el completodesarrollo de nuestra carrera (ingenieriacuteaindustrial) conocer las herramientas quenos van a ayudar en el mundo laboraltales herramientas son por ejemplo lasimulacioacuten de problemas cotidianosmediante modelos matemaacuteticosTeniendo en cuenta lo anterior vamos aresaltar la importancia de la simulacioacutenDesde la aparicioacuten de los primerostrabajos a mediados de este siglo lateacutecnica de simulacioacuten ha ocupado unlugar de privilegio entre las herramientasde la investigacioacuten operativa Sinembargo hasta bien entrados los antildeosochenta ese intereacutes en la investigacioacuteny el entrenamiento acadeacutemico no pudoencontrar un correlato en el aacutembitoempresario Es que auacuten cuando sereconociacutean los enormes atractivos de lasimulacioacuten como soporte a la toma dedecisiones las dificultades en laaplicacioacuten de esta teacutecnica a la vida realde las compantildeiacuteas (modelos costosos deconstruir y validar muy poco flexiblesfrente a condiciones cada diacutea maacutesinestables y habitualmente concebidosy manejados por expertos no por losreales operadores del sistema)
atentaban contra su efectiva aplicacioacutena la problemaacutetica de las empresas Conel advenimiento de la revolucioacuteninformaacutetica iniciada a fines de ladeacutecada pasada y la consolidacioacuten delas plataformas graacuteficas (WindowsMacintosh) la simulacioacuten ha comenzadoa recuperar el terreno perdidoconstituyendo hoy una herramientaimprescindible en aacutereas tales como lainvestigacioacuten y el desarrollo de nuevosproductos la ingenieriacutea ambiental yotros
Es nuestro intereacutes presentar aquiacute laaplicacioacuten de estas teacutecnicas a lasoperaciones logiacutesticas un aacutembito dondelas ventajas de la simulacioacuten han sidoparticular y tradicionalmentereconocidas pero en las que existetodaviacutea (en especial en nuestro paiacutes) unenorme camino a recorrer Antes deexponer algunos ejemplos deaplicaciones concretas en operacioneslogiacutesticas sin embargo vale la penadetenerse un momento a repasarbrevemente los fundamentos y lasventajas de la simulacioacuten como
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
metodologiacutea de anaacutelisis de decisiones ya reconocer los elementos principalesde un modelo de simulacioacutendesarrollado con el apoyo deherramientas informaacuteticas disentildeadas eneste nuevo ambiente
La simulacioacuten como metodologiacutea deanaacutelisisAun cuando no las reconozcamos bajoeste nombre distintas formas desimulacioacuten son habitualmenteconocidas desde los simuladores devuelo o de conduccioacuten de automoacutevileshasta las proyecciones de flujos defondos constituyen ejemplos de modelosque emulan sistemas reales Es que lasimulacioacuten tal como la definiera Bobillieren 1976 constituye una teacutecnica para laconstruccioacuten y ejecucioacuten de un modelode un sistema real con la finalidad deestudiar el comportamiento de eacuteste sinromper su entorno De esta manera elmodelo es susceptible de ser sometidoa las condiciones de incertidumbrepropias de cualquier sistema operativoreal determinando su reaccioacuten ycomportamiento sin riesgo de que esaintervencioacuten suponga peligro ointerferencia con la realidad Aplicada ala realidad empresaria la simulacioacutenaparece entonces como unaherramienta de suma utilidad a la horade testear hipoacutetesis de trabajo antes desu desarrollo e implementacioacuten lo quepermite aspirar a draacutesticas economiacuteasde dinero de tiempo y de esfuerzoNuestra experiencia demuestra que lamodelizacioacuten de un sistema operativopermite ademaacutes profundizarnotablemente la comprensioacuten delmismo a partir de la explicitacioacuten de lasrelaciones entre los distintos elementoscontenidos en eacutel y del reconocimientode las variables de mayor impacto en su
desempentildeo El correcto desarrollo yaplicacioacuten de un modelo de simulacioacutensupone un proceso habitualmenteestructurado en cuatro pasos bull Enprimer teacutermino la construccioacuten de unmodelo conceptual representativo delsistema real Este proceso deabstraccioacuten es clave para asegurar nosoacutelo la efectividad de la modelizacioacuten -esto es que los comportamientos seajusten a los de la vida real- sinotambieacuten la eficiencia en el compromisode recursos para su desarrollo En estesentido un buen modelo no es aquelque intenta copiar integralmente larealidad sino aquel que reproduce soacutelola parte relevante del sistema bajoanaacutelisis bull en segundo lugar estemodelo conceptual deberaacute sertransformado en un programacomputacional que soporte la operacioacutendel mismo Es en esta etapa detraduccioacuten del modelo a un lenguaje deprogramacioacuten donde las nuevasherramientas informaacuteticas han tenido unimpacto criacutetico simplificando yreduciendo maacutes de cinco veces eltiempo requerido para llevar adelanteesta tarea que soliacutea ocupar entre elsesenta y el ochenta por ciento deltimming total de un proyecto demodelizacioacutenbull Esta reduccioacuten de los tiempos deprogramacioacuten ha permitido destinar eltiempo a la tarea de verdadero valor eneste proceso el anaacutelisis de losresultados de la simulacioacuten sometiendoal sistema modelizado a diferentescondiciones operativas y proponiendodistintas estrategias de despliegue derecurso midiendo su desempentildeo demanera objetiva
bull Finalmente y en particular enproyectos que supongan niveles de
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
riesgo o de compromiso de recursosespecialmente relevantes la validacioacutendel modelo constituye un punto de vitalimportancia El desarrollo deexperiencias pilotos ad hoc o laaplicacioacuten al modelo de datos histoacutericosAhora que nos dice la literatura acercade la distribucioacuten de poison En teoriacuteade probabilidad y estadiacutestica ladistribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poissones
Donde λ es un paraacutemetro positivo querepresenta la frecuencia esperada delfenoacutemeno modelado por la distribucioacutenTanto el valor esperado como lavarianza de una variable aleatoria condistribucioacuten de Poisson son iguales a λLos momentos de orden superior sonpolinomios de Touchard en λ cuyoscoeficientes tienen una interpretacioacutencombinatoria De hecho cuando el valoresperado de la distribucioacuten de Poissones 1 entonces seguacuten la foacutermula deDobinski el n-eacutesimo momento iguala al
nuacutemero de particiones de tamantildeo n Lamoda de una variable aleatoria dedistribucioacuten de Poisson con un λ noentero es igual a λ el mayor de losenteros menores que λ (los siacutembolosrepresentan la funcioacuten parte entera)Cuando λ es un entero positivo lasmodas son λ y λ minus 1 La funcioacutengeneradora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces duranteun periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud de
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
ruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valorespeciacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentes
en un mes determinado Aplicando lafoacutermula anteriorP(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular lasdistribuciones binomiales se puede usara cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
EJEMPLOS DE APLICACIOacuteN DEPOISSON EN SIMULACION
En una universidad se ha observadoque el 60 de los estudiantes que se
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Matriculan lo hacen en una carrera deCiencias mientras que el otro 40 lohacen determinado diacutea se realizan 20matriculas calcular la probabilidad deque1 haya igual nuacutemero de matriculas enCiencias y en Humanidades2 el nuacutemero de matriculas en Cienciassea menor que en Humanidades3 haya al menos 8 matriculas enCiencias4 no haya mas de 12 matriculas enCiencias5 Si las cinco primeras matriculas sonde Humanidades calcular laprobabilidad de quea) en total haya igual nuacutemero dematriculas en Ciencias y enHumanidadesb) en total haya al menos 6 en Cienciasmaacutes que en Humanidades
Solucioacuten Sea raquo una variable aleatoriaque mide el nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 20matriculas Suponiendo que losestudiantes eligen su carrera de formaindependiente entre ellos y teniendopresente (seguacuten el enunciado) que laprobabilidad de que alguien se matriculeen Humanidades es 1iexcl06 = 04 se tieneque esta variable es una binomial deparaacutemetros n = 20 y p = 04 siendo P(raquo = k) = μ20 k paracent 04k cent (1 iexcl 04)20iexclk para todo k = 0 20 1 Laprobabilidad de que haya igual nuacutemerode matriculas es P (raquo = 10) = μ20 10paracent0410 cent (1 iexcl 04)20iexcl10 = 011714 2Para calcular la probabilidad de que elnumero de matriculas en Ciencias seamenor que el nuacutemero de matriculas enHumanidades debe obtenerse P (raquo gt10) = 1 iexcl Fraquo (10) = 1 iexcl 08725 = 012753 La probabilidad de que haya al menos
8 matriculas en Ciencias es equivalentea la probabilidad de que haya comomaacuteximo 12 matriculas en HumanidadesPor lo tanto P (raquo middot 12) = Fraquo (12) = 09790 4 La probabilidad de que no hayamaacutes de 12 matriculas en Ciencias es P(raquo cedil 8) = 1 iexcl Fraquo (7) = 1 iexcl 04159 = 058515 Noacutetese que las matriculas sonindependientes entre siacute por lo que si lascinco primeras son en Humanidadespodemos definir una nueva variable acutetambieacuten binomial pero con paraacutemetrosn = 20 iexcl5 = 15 y p = 04 que determinael nuacutemero de matriculas enHumanidades de un total de 15matriculas De esta forma a) Laprobabilidad de que en total haya igualnumero de matriculasen Ciencias quede matriculas en Humanidades es P (acute= 5) = Facute (5) iexclFacute iexcl5iexclcent= 04032 b) Laprobabilidad de que en total haya almenos 6 matriculas en Ciencias maacutesque en Humanidades es P (acute middot 2) = Facute(2) = 0 0271
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
3 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Revista CapampCuaEnsayos
IMPORTANCIA DE LA DISTRIBUCION BINOMIAL Y DE POISSON
MILLER RODRIGUEZ RODRIGUEZ El contenido de este ensayo fue redactado por elestudiante Miller Rodriguez Rodriguez bajo la tutoriacutea del docente Ing Ramiro Polancopertenecientes a la escuela de ingenieriacuteas de la Corporacioacuten Universitaria del Meta el autorreside en la ciudad de Cumaral Meta (Colombia) en la calle 13 12-31(Los Moriches) condireccioacuten de corre electroacutenico milleradrian31hotmailcom
DISTRBUCION BINOMIAL
A menudo cuando nos encontramosestudiando una carrera universitariasomos bombardeados con muchainformacioacuten por parte de la academiasin embargo no hallamos conciencia dela importancia de dicha informacioacutenmenospreciando la aplicacioacuten de estosconocimientos al igual atacamos sinmisericordia al docente cuando por noprestar atencioacuten a la clase noentendemos lo ensentildeado y paraescudar la falta de atencioacuten expresamoscomentarios como ldquoiquestpara que me va haservir esto en mi vida laboralrdquo Bienahora los invito a reflexionar sobre losiguiente seraacute que la distribucioacutenbionomiacuteal nos puede servir para algopara averiguarlo debemos entender deque estamos hablando comencemos porestudiar la historia de este tipo dedistribucioacuten fue desarrollada por JakobBernoulli (Suiza 1654-1705) es laprincipal distribucioacuten de probabilidaddiscreta Una distribucioacuten deprobabilidad ampliamente utilizada deuna variable aleatoria discreta es la
distribucioacuten binomial Esta describevarios procesos de intereacutes para losadministradores Describe datosdiscretos resultantes de un experimentodenominado proceso de Bernoulli enhonor del matemaacutetico suizo JacobBernoulli quien vivioacute en el siglo XVII
Empleo del proceso de BernoulliPodemos servirnos de los resultados deun nuacutemero fijo de lanzamientos de unamoneda como ejemplo de un procesode Bernoulli Este proceso lodescribimos asiacute1 Cada ensayo (cada lanzamiento ennuestro caso) tiene soacutelo dos resultadosposibles lado A o lado B siacute o no eacutexito ofracaso2 La probabilidad del resultado decualquier ensayo (lanzamiento)permanece fija con el tiempoTrataacutendose de una moneda laprobabilidad de que salga del lado Asigue siendo de 05 en cadalanzamiento cualquiera que sea elnuacutemero de veces que la moneda seaarrojada
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
3 Los ensayos son estadiacutesticamenteindependientes es decir el resultado deun lanzamiento no afecta al de cualquierotro lanzamiento Cada proceso deBernoulli tiene su propia probabilidadcaracteriacutestica Pongamos el caso en quesiete deacutecimas partes de las personasque solicitaron cierto tipo de empleopasaron la prueba Diremos entoncesque la probabilidad caracteriacutestica fue de07 pero podemos describir losresultados de la prueba como unproceso de Bernoulli soacutelo si tenemos laseguridad de que la proporcioacuten de losque fueron aprobados permanecioacuteconstante con el tiempo Desde luego laotra caracteriacutestica del proceso deBernoulli tambieacuten deberaacute ser satisfechaCada prueba deberaacute arrojar tan soacutelo dosresultados (eacutexito o fracaso y losresultados de las pruebas habraacuten de serestadiacutesticamente independientes En unlenguaje maacutes formal el siacutembolo prepresenta la probabilidad de un eacutexito yel siacutembolo q (1- p) representa laprobabilidad de un fracaso Pararepresentar cierto nuacutemero de eacutexitosutilizaremos el siacutembolo r y parasimbolizar el nuacutemero total de ensayosemplearemos el siacutembolo n para ilustrarde una manera maacutes sencilla lo dichoanteriormente analicemos el siguienteejemplo Supongamos que unexperimento aleatorio tiene lassiguientes caracteriacutesticas En cadaprueba del experimento soacutelo sonposibles dos resultados el suceso A(eacutexito) y obtenido en cada prueba esindependiente de los resultadosobtenidos anteriormente Laprobabilidad del suceso A es constantela representamos por p y no variacutea deuna prueba a otra La probabilidad de es1- p y la representamos por q Elexperimento consta de un nuacutemero n de
pruebas Todo experimento que tengaestas caracteriacutesticas diremos que sigueel modelo de la distribucioacuten Binomial Ala variable X que expresa el nuacutemero deeacutexitos obtenidos en cada prueba delexperimento la llamaremos variablealeatoria binomial La variable binomiales una variable aleatoria discreta soacutelopuede tomar los valores 0 1 2 3 4n suponiendo que se han realizado npruebas Como hay que considerartodas las maneras posibles de obtenerk-eacutexitos y (n-k) fracasos debemoscalcular eacutestas por combinaciones(nuacutemero combinatorio n sobre k)Ladistribucioacuten Binomial se suelerepresentar por B(np) siendo n y p losparaacutemetros de dicha distribucioacuten Elanterior fue un ejemplo de la forma quemenos nos gusta con teacuterminosenredados y con poca aplicabilidad peroahora vamos a analizar y a demostrarcon el siguiente ejemplo que ladistribucioacuten binomial es faacutecil de entendery es importante en nuestra vidacotidiana imaginemos una escuelaprimaria donde los alumnos llegan tardea menudo Cinco alumnos estaacuten en eljardiacuten de nintildeos La directora lleva tiempoestudiando el problema habiendollegado a la conclusioacuten de que hay unaprobabilidad de 04 de que un alumnollegue tarde y de que los alumnoslleguen independientemente uno de otroiquestCoacutemo trazamos una distribucioacutenbinomial de probabilidad que ilustre lasprobabilidades de que 01234 oacute 5estudiantes lleguen tardesimultaacuteneamente Para hacerlonecesitaremos utilizar la foacutermulabinomial donde P= 04 Q= 06 N= 5
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
Existe una foacutermula binomialProbabilidad de r eacutexitos en n ensayos es N R (N-R) PR QN-R Recordemosque el siacutembolo factorial Significa porejemplo que es 3 = 321 =6 Losmatemaacuteticos definen 0 = 1 Realicemosel caacutelculo de cada valor de R Para R= 0obtenemos que
DISTRIBUCION DE POISSON
En teoriacutea de probabilidad y estadiacutesticala distribucioacuten de Poisson es unadistribucioacuten de probabilidad discretaExpresa la probabilidad de un nuacutemero kde eventos ocurriendo en un tiempo fijosi estos eventos ocurren con unafrecuencia media conocida y sonindependientes del tiempo discurridodesde el uacuteltimo evento Fue descubiertapor Simeacuteon-Denis Poisson que la dio aconocer en 1838 en su trabajoRecherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles et
matiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios en materiascriminales y civiles) La funcioacuten dedensidad de la distribucioacuten de Poisson
es Donde λ esun paraacutemetro positivo que representa lafrecuencia esperada del fenoacutemenomodelado por la distribucioacuten Tanto elvalor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribucioacuten dePoisson son iguales a λ Los momentosde orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienenuna interpretacioacuten combinatoria Dehecho cuando el valor esperado de ladistribucioacuten de Poisson es 1 entoncesseguacuten la foacutermula de Dobinski el n-eacutesimomomento iguala al nuacutemero departiciones de tamantildeo n La moda deuna variable aleatoria de distribucioacuten dePoisson con un λ no entero es igual a el mayor de los enteros menores que λ(los siacutembolos representan la funcioacutenparte entera) Cuando λ es un enteropositivo las modas son λ y λ minus 1 Lafuncioacuten generadora de momentos de ladistribucioacuten de Poisson con valoresperado λ es
esLas variables aleatorias de Poissontienen la propiedad de ser infinitamentedivisibles La divergencia Kullback-Leibler desde una variable aleatoria dePoisson de paraacutemetro λ0 a otra deparaacutemetro λ es
La distribucioacuten de Poisson se aplica avarios fenoacutemenos discretos de lanaturaleza (esto es aquellos fenoacutemenosque ocurren 0 1 2 3 veces durante
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
un periodo definido de tiempo o en unaacuterea determinada) cuando laprobabilidad de ocurrencia delfenoacutemeno es constante en el tiempo o elespacio Ejemplos de estos eventos quepueden ser modelados por ladistribucioacuten de Poisson incluyen Elnuacutemero de autos que pasan a traveacutes deun ciertopuntoenunaruta(suficientemente distantes de lossemaacuteforos) durante un periodo definidode tiempo El nuacutemero de errores deortografiacutea que uno comete al escribiruna uacutenica paacutegina El nuacutemero dellamadas telefoacutenicas en una centraltelefoacutenica por minuto El nuacutemero deservidores web accedidos por minuto Elnuacutemero de animales muertosencontrados por unidad de longitud deruta El nuacutemero de mutaciones dedeterminada cadena de ADN despueacutesde cierta cantidad de radiacioacuten Elnuacutemero de nuacutecleos atoacutemicos inestablesque decayeron en un determinadoperiodo de tiempo en una porcioacuten desustancia radiactiva La radiactividad dela sustancia se debilitaraacute con el tiempopor lo tanto el tiempo total del intervalousado en el modelo debe sersignificativamente menor que la vidamedia de la sustancia El nuacutemero deestrellas en un determinado volumen deespacio La distribucioacuten de receptoresvisuales en la retina del ojo humano Lainventiva de un inventor a traveacutes de sucarrera La distribucioacuten de Poissonseguacuten hemos sentildealado se refiere aciertos procesos que pueden serdescritos con una variable aleatoriadiscreta La letra X suele representaresa variable y puede ademaacutes asumirvalores enteros (0123 etc) Utilizamos la letra X mayuacutescula pararepresentar la variable aleatoria y la xminuacutescula para designar un valor
especiacutefico que puede asumir la Xmayuacutescula La probabilidad deexactamente x ocurrencias en unadistribucioacuten de Poisson se calculamediante la foacutermula P(x) = l x e-l x lx = Lambda (nuacutemero medio deocurrencias por intervalo de tiempo)elevada a la potencia x e-l = e= 271828elevado a la potencia de lambdanegativa x = x factorial EjemploSupoacutengase que estamos investigando laseguridad de un crucero muy peligrosoLos archivos de la policiacutea indican unamedia de cinco accidentes por mes eneacutel El nuacutemero de accidentes estaacutedistribuido conforme a la distribucioacuten dePoisson y la divisioacuten de seguridad encarreteras quiere calcular la probabilidadde exactamente 0 1 23 y 4 accidentesen un mes determinado Aplicando lafoacutermula anterior
P(0) = (5)0 (e-5) 0 = 000674P(1) = (5)1 (e-5) 1 = 003370P(2) = (5)2 (e-5) 2 = 008425P(3) = (5)3 (e-5) 3 = 014042P(4) = (5)4 (e-5) 4 = 017552
Para saber cual es la probabilidad en 3o menos sumaremos las probabilidadesde 0123 lo que seraacute igual a
P(0) = 000674P(1) = 003370P(2) = 008425P(3) = 014042 P(3 o menos) = 026511
Dado que la probabilidad de que haya 3o menos accidentes es de 026511entonces la probabilidad de que ocurranmaacutes de tres debe ser = 1 ndash026511 =073489 La distribucioacuten de Poissoncomo una aproximacioacuten a la distribucioacutenbinomial Algunas veces si se deseaevitar el tedioso trabajo de calcular las
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
distribuciones binomiales se puedeusar a cambio la de Poisson pero debecumplir con ciertas condiciones como n=gt20 p=lt005 En los casos en que sesatisfacen tales condiciones podemossustituir la media de la distribucioacutenbinomial en lugar de la media de ladistribucioacuten de Poisson de modo que lafoacutermula quedariacutea asiacute P(x) = (np) X e-np x Teniendo en cuenta todo loanteriormente dicho podemos llegar a laconclusioacuten que si ponemos en praacutecticalos conocimientos aprendidos en laacademia seraacuten de gran provecho ennuestra vida laboral
REFERENCIA BIBLIOGRAacuteFICA
1uarr Hamza K (1995) The smallestuniform upper bound on the distancebetween the mean and the median ofthe binomial and Poisson distributionsStatist Probab Lett 23 21ndash25
2 Obtenido dehttpeswikipediaorgwikiDistribuciC3B3n_binomialCategoriacutea Distribuciones discr etas
2 Recherches sur la probabiliteacute desjugements en matiegraveres criminelles etmatiegravere civile (Investigacioacuten sobre laprobabilidad de los juicios enmaterias criminales y civiles)
