CAPITULO 1 INVENTARIOS En este capitulo hablaremos de los ...

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CAPITULO 1

INVENTARIOS

En este capitulo hablaremos de los inventarios, su razón de ser, la teoría de

inventarios, los modelos de inventario y su complejidad.

Para el desarrollo del capítulo fue de gran utilidad Hadley [3] (1963) pues de éste se

tomaron los supuestos y las ecuaciones matemáticas para los modelos que SISI/ TS/ AG/

SR resuelve. La mayor parte de la teoría que se presenta a continuación se obtuvo de

Winston [10] (1994), también se cita a Gould [2] (1992) y a Prawda [8] (1980). Para

mostrar la complejidad de las ecuaciones de costos fue de gran utilidad Posada [7] (1988).

1.1 Definición.

Por inventario se entiende un conjunto de recursos útiles que se encuentran ociosos

en algún momento (Prawda [8] (1980)).

1.2 ¿Por qué mantener inventario?

Gould [2] (1992) lista varias razones por las que se mantiene inventario:

1) Los inventarios minimizan el tiempo entre la oferta y la demanda.

2) La posibilidad de almacenar inventarios contribuye con frecuencia a bajar los costos de

producción, pues es más económico producir algunos artículos en grandes lotes aun

cuando no haya pedidos inmediatos para ellos.

3) Los inventarios proporcionan una forma disfrazada de almacenar trabajo.

Capítulo 1 Inventarios 12

4) El inventario es la forma de proporcionar al consumidor un servicio oportuno del

artículo que necesita.

1.3 Objetivo de los modelos de inventario.

De acuerdo a Winston [10] (1994), la teoría de inventarios surge con la finalidad de

determinar las reglas que la gerencia pueda aplicar para reducir al mínimo los costos

relacionados con el mantenimiento de existencias y cumplir con la demanda del

consumidor. Así los modelos de inventario responden a las siguientes preguntas:

1) ¿Cuándo se debe pedir un producto?

2) ¿Cuánto se debe pedir del producto?

1.4 Costos de los modelos de inventario.

Los costos en los que incurren los modelos de inventario se presentan a

continuación:

• Costo unitario de compra ( C ).- Es el costo variable relacionado con la compra de una

unidad. Comúnmente éste comprende el costo variable de la mano de obra, el costo

variable indirecto y el costo de materia prima relacionado con la compra o producción

de una unidad. Si los artículos son proporcionados por una fuente externa se debe

incluir en el costo unitario de compra el costo de embarque.

• Costo de almacenamiento (Ca).- Es el costo de tener una unidad de inventario durante

un lapso de tiempo. Comprende el costo de almacenamiento, de seguro, de impuesto

sobre existencias, de la posibilidad de degradación, robo u obsolescencia. El costo más

importante, comprendido dentro del costo de almacenamiento, es el costo de

oportunidad en el que se incurre por sujetar capital al inventario.


• Costo de agotamiento o escasez (Cs).- Se dice que hay escasez, agotamiento o faltante

cuando un cliente pide un producto y su demanda no se cumple a tiempo. Si el cliente

acepta una entrega en una fecha posterior se tiene el caso de venta pendiente, si no

acepta una entrega atrasada se tiene el caso pérdida de venta.

1.5 Hipótesis para los modelos de inventario.

Para que sean válidos los modelos de inventario se deben satisfacer las siguientes

hipótesis (Winston [10] (1994)):

1) Pedido repetitivo.- La decisión de pedir se repite en forma regular. Es decir, se coloca

un pedido, a medida que se consume el inventario se colocará otro y así sucesivamente.

2) Periodo continuo.- Un pedido se puede hacer en cualquier ocasión. Los modelos de

inventario que permiten esto se llaman modelos de revisión continua. Si la cantidad

de inventario disponible se revisa en forma periódica y sólo se tienen pedidos en forma

periódica, tenemos un modelo de revisión periódica.

1.6 Modelos de inventario estocástico.

Un inventario estocástico es aquel en el cual la demanda y/o el tiempo de entrega es

aleatorio con una distribución conocida. Los modelos que se estudian en este capítulo son

los siguientes:

• Modelo <Q, r>

• Modelo <R, r>

• Modelo <R, T>

• Modelo <nQ, r, T>


• Modelo <R, r, T>

1.6.1 Modelo <Q, r>

Este modelo tiene una política de revisión continua de inventario en la que se pide

una cantidad Q cuando el inventario alcanza el punto de reorden r (Winston [10] (1994)).

Una condición que se debe satisfacer es el hecho de que el tiempo de entrega sea diferente a

cero.

Los siguientes supuestos se hacen (Hadley [3] (1963)):

1) El costo C unitario del artículo es una constante independiente de Q.

2) El costo de ordenar Co es por pedido.

3) Nunca hay más de una orden unitaria saliendo.

4) El costo de operar el sistema de procesar información es independiente de Q y de r.

5) El punto de reorden r es positivo.

CASO VENTA PENDIENTE.

El costo anual incluye el costo de ordenar, el costo de mantener inventario y el costo

de escasez.

El costo promedio anual de ordenar es:

QD

Co

donde D es la demanda promedio anual.


El costo promedio anual de almacenamiento es:

−+ µrQ

Ca2

donde µ es la demanda esperada durante el tiempo de entrega

El costo promedio anual de escasez es:

−

∫

∞

rrrHdxxxh

QD

Cs )()(

donde h(x) es la distribución marginal de la demanda durante el tiempo de entrega y H(x) es

la acumulativa complementaria de h(x).

La ecuación de costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):

−

+

−++

= ∫

∞

rrrHdxxxh

QD

CsrQ

CaQD

CorQCT )()(2

),( µ

El comportamiento en el tiempo del inventario se muestra en la figura 1.1

CASO PERDIDA DE VENTA.

Los siguientes supuestos se hacen (Hadley [3] (1963)):

1) El costo C unitario del artículo es una constante independiente de Q.

2) Nunca hay más de una orden unitaria saliendo.

3) El costo de operar el sistema de procesar información es independiente de Q y de r.

0

Figura 1.1.- Modelo <Q, r> Caso Venta Pendiente t

Nivel del Inventario

Q+r

r

Ventas pendientes

Posición delInventario

Inventario Neto


Lo que cambia en la ecuación de costo total es el costo de escasez:


−

++

−++

= ∫∞

rrrHdxxxh

QD

CsCarQ

CaQD

CorQCT )()(2

),( µ

El comportamiento en el tiempo del inventario se muestra en la figura 1.2

1.6.2 Modelo <R, r>

Debido a los supuestos del modelo <Q, r> se puede hacer un pedido exactamente

cuando el nivel de inventario alcanza el punto de reorden r. Supongamos que en cualquier

instante puede llegar una demanda de más de una unidad, el supuesto permite que se haga

un pedido cuando el nivel del inventario es menor a r. Por ejemplo, si nuestro nivel de

inventario es 32 y el punto de reorden es 30 y llega un pedido de cinco unidades, se hace un

pedido cuando el nivel del inventario es 28 en lugar de hacerlo cuando es de 30. En este

caso una política <Q, r> no minimiza el costo anual, entonces se debe aplicar una política

<R, r>.

La política <R, r> consiste en hacer un pedido cuando el nivel del inventario sea

igual o menor a r, siendo la cantidad a pedir aquella que permita llevar el nivel del

inventario a R . Las ecuaciones para los casos venta pendiente y pérdida de venta son las

mismas que las del modelo <Q, r>.

−

+ ∫∞

rrrHdxxxh

QD

CsCa )()(

0

Figura 1.2.- Modelo <Q, r> Caso Pérdida de Venta

t


Q+r

r


Inventario Neto


La figura 1.3 muestra el comportamiento del inventario a lo largo del tiempo para el

caso venta pendiente mientras que la figura 1.4 lo muestra para el caso pérdida de venta.

1.6.3 Modelo <R, T>

Este es un modelo de revisión periódica. T denota el tiempo que transcurre entre

pedido y pedido, en cada revisión se ordena una cantidad de tal manera que el nivel del

inventario llegue a R. Se hacen los siguientes supuestos (Hadley [3] (1963)):

1) El costo Cr de hacer una revisión es independiente de las variables R y T.

2) El costo C del artículo es una constante independiente de la cantidad a ordenar.

3) Se incurre en ventas pendientes sólo en cantidades muy pequeñas.

4) El costo de escasez Cs es independiente de la longitud del tiempo que exista desde la

carencia hasta que ésta se satisface.

5) Cuando el tiempo de entrega es una variable aleatoria se asume que las órdenes se

reciben en el mismo orden en que se colocaron. Además, los tiempos para las diferentes

órdenes pueden ser tratados como variables aleatorias independientes.

CASO VENTA PENDIENTE.

El costo promedio anual de revisión es:

T

Cr1


T

Co1

0 Figura 1.3.- Modelo <R, r> Caso Venta Pendiente

t


R

r

Ventas pendientes


Inventario Neto

Q2Q1

0 Figura 1.4.- Modelo <R, r> Caso Pérdida de Venta

t


R

r


Inventario Neto

Q2Q1


El costo promedio anual de almacenamiento es:


donde

f(x, τ + T) si el tiempo de entrega τ es constante

f(x, τ + T)g(τ)dτ si el tiempo de entrega τ es una variable aleatoria.

Siendo g(τ) la distribución del tiempo de entrega.

La ecuación para el costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):

La figura 1.5 muestra el comportamiento del inventario a lo largo del tiempo.

CASO PERDIDA DE VENTA

Se debe hacer una pequeña corrección al costo promedio anual de almacenamiento:

−−

2DT

RCa µ

−∫

∞

RdxTxhRx

TCs ),()(

1

−+

−−+

+= ∫

∞

RdxTxhRx

TCs

DTRCa

TCoCrTRCT ),()(

12

1)(),( µ

−+−− ∫

∞

RdxTxhRx

DTRCa ),()(

2µ

h(x,T)

0

Figura 1.5.- Modelo <R, T> Caso Venta Pendiente

t


R

Ventas pendientes


Inventario Neto

T 2T 3T 4T


La ecuación del costo promedio anual total es (Hadley [3] 1963):

La figura 1.6 muestra el comportamiento del inventario a través del tiempo.

1.6.4 Modelo <nQ, r, T>

Este modelo es de revisión periódica, en él la cantidad a ordenar es un entero

múltiplo de Q. Por ejemplo, la cantidad a ordenar es nQ donde n = 1, 2, 3... El valor de n se

elige de tal forma que sea el entero más grande que permite que una vez que ha sido

colocada una orden el nivel del inventario sea adecuado, es decir, que se encuentre dentro

del intervalo [r, r + Q].

Se tienen los siguientes supuestos (Hadley [3] (1963)):

1) La demanda en periodos diferentes es una variable aleatoria independiente.

2) Se demanda una unidad a la vez.

3) El costo C unitario es una constante independiente de la cantidad a ordenar

MODELO PARA CUANDO LA DEMANDA ES GENERADA POR UN PROCESO

POISSON .


−

++

−−+

+= ∫

∞

RdxTxhRx

TCs

CaDT

RCaT

CoCrTRCT ),()(2

1)(),( µ

TCr

1

0

Figura 1.6.- Modelo <R, T> Caso Pérdida de Venta t


RPosición delInventario

Inventario Neto

T 2T 3T 4T



donde por es la probabilidad de colocar una orden en cualquier tiempo de revisión.

donde H(j, DT) es la distribución acumulativa complementaria de h(j,DT).

El costo promedio anual de almacenar es:

donde B(Q, r, T) es el número promedio de unidades demandadas anualmente en periodo de

escasez.

∑ ∫ ∑+

+=

+ ∞

=

−=Qr

ru

T

ux

dDxpuxQT

TrQB1

),()(1

),,(τ

τξξ

donde ξ se encuentra entre τ y τ +T y p(x,Dξ) es la probabilidad de que x unidades sean

demandadas en el tiempo ξ.


donde E(Q, r, T) es el número promedio de veces que habrá escasez en un año.

orpT

Co

1

∑=

=Q

jor DTjH

Qp

1

),(1

),,(),,( TrQCsBTrQCsE +

),,(22

12

TrQCaBDTQ

Ca +

−−+ µ


[ ]{ }∑ ∑=

∞

+=

−+−−=Q

j jrx

DxpTDxpjrxTrQE1

),()(,)(),,( ττ

La ecuación del costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):

MODELO PARA UNA DEMANDA GENERADA POR UN PROCESO NORMAL.

Cuando la demanda es generada por un proceso normal con media λt y varianza Dt

en un intervalo de tiempo de longitud t, los costos son iguales a los del caso de una

demanda generada por un proceso Poisson por lo que la ecuación del costo total anual es la

misma lo que cambia es el cálculo de por, E(Q, r, T) y B(Q, r, T):

donde φ es la función de densidad, λT es la media y DT es la varianza en el tiempo T.

),()(

),,(22

12

),,(

rTQBCaCs

TrQCsEDTQ

CapTCo

TCr

TrnQCT or

+

++

−−+++= µ

∫ ∫ ∫+ + ∞

−−=Qr

r

Tr

r udtdud

Dt

t

Dtu

QTTrQB ξλξφξ 1

)(1

),,(

∫

−=Q

or dyDT

TyQ

p0

1 λφ

dudDDTD

T

TDQTTrQE

Qr

r uξ

τλτξ

φττ

τλξφ

τ∫ ∫+ ∞

−−

++−

+=

1

)(

)(

)(

11),,(


En la figura 1.7 se muestra el comportamiento del inventario a través del tiempo

para el caso venta pendiente mientras que en la 1.8 se muestra éste para el caso pérdida de

venta.

1.6.5 Modelo <R, r, T>

Es un modelo de revisión periódica que sigue una política de tipo R, r, es decir, se

hace un pedido cuando el nivel del inventario es igual o menor a r, siendo la cantidad a

pedir aquella que lleve el nivel del inventario a R.

Se deben de tomar en cuenta los siguientes supuestos (Hadley [3] (1963)):

1) Los procesos estocásticos que generan la demanda no cambian con el tiempo.

2) Las demandas en diferentes períodos son independientes.

3) Los tiempos de entrega son constantes.

En esta doctrina no se requiere colocar una orden en cada revisión, el tiempo

transcurrido entre dos órdenes siempre será un múltiplo del tiempo T, por ello el número de

periodos por año es una variable aleatoria, por lo tanto la longitud del ciclo también lo es y

puede asumir únicamente valores de nT donde n =1, 2, 3,...

MODELO PARA CUANDO LA DEMANDA SE COMPORTA COMO VARIABLE

DISCRETA.


TCr

1

0

Figura 1.7- Modelo <nQ, r, T> Caso Venta Pendiente

t


Q+r


Inventario Neto

T 2T 3T 4T

r

n=1

n=3

n=2

Ventas Pendientes

0

Figura 1.8- Modelo <nQ, r, T> Caso Pérdida de Venta

t


Q+r


Inventario Neto

T 2T 3T 4T

r

n=1

n=3

n=2



El costo de almacenamiento y venta pendiente por ciclo es:

donde p(n)(R-r-j, T) es la probabilidad de que exactamente R-r-j unidades se demanden en

un período de longitud nT y C(r+j, T) es el costo esperado de mantener inventario y de

incurrir en ventas pendientes.

El número esperado de períodos en un ciclo es:

donde H(j, T) es la distribución acumulativa complementaria de h(j,T).

La ecuación del costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):

∑∑∞

=

−

=

+−−0 1

)( ),(),(n

rR

j

n TjrCTjrRp

[ ] ),(,1 1

)1( TjHTjrRnpn

rR

j

n∑∑∞

=

−

=

− −−

[ ]∑∑

∑∑∞

=

−

=

−

∞

=

−

=

−−

+−−++=

1 1

)1(

0 1

)(

),(,

),(),(

),,(

n

rR

j

n

n

rR

j

n

TjHTjrRnpT

TjrCTjrRpCo

TCr

TrRCT

T

Co1


El comportamiento del inventario a través del tiempo para el caso venta pendiente

se muestra en la figura 1.9 mientras que para el caso pérdida de venta se muestra en la

figura 1.10

MODELO PARA CUANDO LA DEMANDA SE COMPARTA COMO VARIABLE

CONTINUA.

Este modelo se emplea cuando R, r y la demanda son variables aleatorias continuas.

Suponemos, de acuerdo a Hadley [3] (1963), que el tiempo de entrega es constante.



El costo de almacenamiento esperado por ciclo es:

∑∫∞

=

−++−−

10

)( ),(),(),(n

Rr n TRCdxTxrCTxrRV

donde v(n)(R-r-x, T)dx es la probabilidad de que al tiempo t0 +nT la posición del inventario

se encuentre entre x y x+dx dado que ninguna orden se ha puesto desde el tiempo t0.

C(r+x, T) es el costo esperado de mantener inventario e incurrir en ventas pendientes, C(R,

T) es este mismo costo y corresponde al tiempo t0.

TCr

1

T

Co1

0

Figura 1.9- Modelo <R, r, T> Caso Venta Pendiente

t


R


Inventario Neto

T 2T 3T 4T

r

Ventas Pendientes

0 Figura 1.10- Modelo <R, r, T> Caso Pérdida de Venta

t


RPosición delInventario

Inventario Neto

T 2T 3T 4T

r


La longitud esperada de los ciclos es:

donde V(x, T) es la acumulativa complementaria de v(x, T), ésta última es la función de

densidad de la demanda en un periodo.


1.7 Complejidad de las ecuaciones de costos.

Para obtener los parámetros de cada modelo es necesario derivar la ecuación con

respecto a cada uno de ellos. Así el sistema de ecuaciones para el modelo <Q,r> en el caso

venta pendiente es el siguiente (Posada [7] (1988)):

Este sistema de ecuaciones es relativamente sencillo de resolver, una dificultad es

que tenemos el parámetro r en el límite inferior de la integral.

−+−−∑∫∞

=

− −

20

)1( ),(),(),(n

rR n TrRVdxTxVTxrRnvT

−+−−

++−−++=

∑∫

∑∫∞

=

− −

∞

=

−

20

)1(

10

)(

),(),(),(

),(),(),(),,(

n

rR n

n

rR n

TrRVdxTxVTxrRnvT

TRCdxTxrCTxrRvCo

TCr

TrRCT

[ ] CarCCsCoDQ /)(2 ** +=

∫∞

=* )/()()( *

rCsDCaQdxxf


El sistema de ecuaciones de los otros modelos es más complejo, por ejemplo para el

modelo <R,T> el sistema de ecuaciones para el caso venta pendiente es el siguiente (Posada

[7] (1988)):

[ ]),(/ TRHTIC π=

∫∞

=R

dxTxhTRH ),(),(

donde

f(x, τ + T) si el tiempo de entrega τ es constante

h(x, T)

222 )(),( ττττ

τdgTxfmax

min∫ + si el tiempo de entrega τ es una variable aleatoria.

Se observa que es imposible resolverlo analíticamente, la solución se daría mediante

un método numérico.

A medida que avanzamos, en el orden en que fueron presentados los modelos, la

complejidad es mayor.

En cada uno de los modelos que se han presentado observamos que se deben

derivar integrales o sumatorias que contienen en sus límites los parámetros que buscamos,

por ello resulta complejo encontrar óptimos matemáticamente y surge la opción de utilizar

heurísticos para proporcionar buenas soluciones.

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