CAPITULO 3VIBRACIN LIBRE DE SISTEMAS DE UN GRADO DELIBERTAD ALREDEDOR DEL PUNTO DE EQUILIBRIOTodo elemento o sistema que posea caractersticas inerciales y elsticas es capaz de vibrar ya sea por el resultado de una excitacin instantnea (vibracin libre) o permanente (vibracin forzada). Esta consideracin es de gran importancia en el estudio de las vibraciones en maquinaria ya que uno de los criterios a seguir en el anlisis de vibracin es determinar si dicha vibracin es producto de una excitacin forzada o por un fenmeno natural conocido como resonancia, en tal caso es importante determinar las caractersticas naturales de la vibracin y que es conocida precisamente como la frecuencia natural.Existen diferentes mtodos y formas para determinar la frecuencia natural de elementos o sistemas vibratorios, algunos de ellos son analticos otros experimentales y en algunos caos por la combinacin de ambos. En este captulo se presentan algunos mtodos analticos que permita bajo ciertas condiciones representar un sistema vibratorio en un modelo simple que facilite su anlisis y permita un estudio detallado, entre ellos el clculo de la frecuencia natural.Este modelo consiste en un sistema masa resorte o un sistema masa resorte amortiguador, de un grado de libertad y en la que no se ve afectado por fuerzas externas salvo la excitacin; adems se considerara que el sistema presenta oscilaciones alrededor del punto de equilibrio con el fin de facilitar el anlisis, esto al considerarlo como un sistema lineal. Este modelo aunque sencillo es basto y suficiente para comprender muchos de los fenmenos relacionados con las vibraciones mecnicas en maquinaria industrial.Objetivo general. Establecer las ecuaciones matemticas (modelo matemtico) que describen el comportamiento de un sistema vibratorio libre de un grado de libertad amortiguado y no amortiguado. VIBRACIN LIBRE NO AMORTIGUADAAunque la prdida de energa en sistemas vibratorios siempre est presente, existe ocasiones en las que la frecuencia de la vibracin libre conocida como frecuencia naturalse ve casi inalterada al despreciar el amortiguamiento, entonces se puede eliminar este efecto y considerarlo como un sistema sin amortiguamiento. El resultado es un modelo simple de analizar y que adems proporciona una serie de conclusiones importantes.El clculo de la frecuencia natural es de gran importancia ya que nos permite conocer la frecuencia a la cual un sistema no debe ser excitado porque aparecera el efecto de la resonancia manifestndose como grandes amplitudes de vibracin.Por otro lado, puesto que un sistema vibratorio tiene tantas frecuencias naturales como sea el nmero de grados de libertad, en este caso nos enfocaremos solo al caso de un sistema de un solo grado de libertad y calcular entre otras cosas la frecuencia natural o de resonancia.VIBRACIN LIBRE AMORTIGUADADespus de estudiar el modelo representativo de un sistema libre sin amortiguamiento el paso siguiente es ampliar estos conceptos al estudio de un modelo en el que el amortiguamiento est presente, el amortiguamiento en un sistema vibratorio est presente ya sea por la naturaleza propia de alguno de sus elementos o bien por la presencia de un elemento amortiguador.Uno de los tipos de amortiguamiento ampliamente usados para representar la perdida de energa en sistemas vibratorios es el del tipo viscoso, este tipo de amortiguamiento tiene la caracterstica de que la fuerza ejercida por el mismo es directamente proporcional a labvelocidad, de manera que un amortiguador de este tipo posee una constante de amortiguamiento al que llamaremos c; por lo tanto la fuerza del amortiguador fd esta dado por:

Donde: x es la velocidad en un instante.

MTODOS DE ANLISISEstos mtodos generalmente toman diversos criterios para el uso de su metodologa, sin embargo se basan prcticamente en dos cuestionamientos: a) existe o no amortiguamiento y b) que tipo de movimiento(s) existe(n). En base a esto se procede hacer uso de alguno de ellos.Lo anterior no indica que si un sistema posee ciertas caractersticas forzosamente tendr que hacerse uso de un mtodo en especial para su anlisis, ms bien indica que este solo facilitara dicho anlisis.Primero se presentan mtodos tradicionales en la literatura como lo es el mtodo de pares y el mtodo de energas, posteriormente se proponen dos mtodos replanteados de los dos anteriores, estos facilitaran y agilizaran la solucin de problemas y que se llaman el mtodo de elementos equivalentes y el mtodo de sistemas equivalentes.El mtodo de pares se basa en la segunda ley de newton para movimiento angular con el fin de modelar matemticamente un sistema vibratorio con movimiento angular alrededor de un punto fijo y as encontrar un modelo equivalente simple.El mtodo de energas se basa en la ecuacin de la conservacin de la energa con el fin de modelar matemticamente un sistema vibratorio con movimiento lineal, angular o ambos y as encontrar un modelo equivalente simple.El mtodo de elementos equivalentes con el fin de modelar matemticamente un si tema vibratorio y cuyos elementos puede expresarse por una representacin equivalente individual y as encontrar un modelo equivalente simple.El mtodo de sistemas equivalentes se basa en la ecuacin del trabajo y energa con el fin de modelar matemticamente un sistema vibratorio con movimiento lineal, angular o ambos y as encontrar un modelo equivalente simple.Tal vez se preste a confusin el porqu del uso de varios mtodos, pues bien, resulta que el mtodo de Newton tanto para movimiento lineal como angular es la base del anlisis de sistemas dinmicos y no presenta limitantes, es decir, pueden ser usados en cualquier anlisis; mientras tanto los dems mtodos son un derivado de estas expresiones y facilitan el anlisis bajo ciertas condiciones, por ejemplo los mtodos energticos facilitan el anlisis de sistemas con combinacin de movimientos.Los primeros mtodos de momentos y energas son comunes en la literatura de vibraciones, los de elementos equivalentes y sistemas equivalentes, son propuestos para facilitar considerablemente el anlisis de los sistemas dinmicos, estos pueden ser aplicados sin problema a sistemas de un grado de libertad, pero para sistemas de varios grados de libertad se limita considerablemente y por lo tanto hay que hacer uso de los mtodos de Newton.Existe un mtodo llamado el mtodo de LaGrange que se utiliza en sistemas de varios grados de libertad, ya que aqu es donde tiene su potencialidad.Por ltimo, independientemente del mtodo, todos tienen como objetivo llegar a unaexpresin matemtica y que es precisamente la ecuacin diferencial del movimiento libre pasando solo por diferentes procedimientos, sin embargo, todos se orientan a seleccionar una coordenada de referencia para la cual hacen uso de las mismas ecuaciones algebraicas, geomtricas y/o procedimientos de linealizacin para expresar todas las coordenadas del movimiento de los diferentes elementos en trminos de esta coordenada, esto se debe a que en la ecuacin diferencial del movimiento se hace referencia a la aceleracin, velocidad y desplazamiento de una misma coordenada.Obviamente el seleccionar en un sistema diferentes coordenadas como referencia se tendrn ecuaciones diferenciales y que en apariencia resultan ser diferentes, sin embargo, representan el comportamiento del mismo sistema solo que en diferente coordenada, por lo tanto la frecuencia natural no cambia con el solo hecho de seleccionar diferentes coordenadas como referencia.