capitulo 5-Integracion

MATEMÁTICAS PARA ECONOMISTAS Carlos Orihuela Romero, MSc

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION 125

CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACIÓN En los capítulos anteriores se analizó el cálculo diferencial, el cual trata sobre la tasa de cambio de las funciones. Diferenciación es el proceso de hallar la derivada F´(x) de una función F(x). Sin embargo, algunas veces en economía se conoce la tasa de cambio de una función F´(x) y lo que se desea es obtener la función F(x) o la función original. Así, el proceso inverso de la diferenciación es denominado integración o antidiferenciación. De esta forma, la función original F(x) es llamada integral o antiderivada de F´(x). En general, las integrales pueden clasificarse en indefinidas y definidas. 5.1 Integral Indefinida Haciendo f (x) = F´(x), la antiderivada de f (x) se expresa matemáticamente como:

( ) ( )f x dx F x c= +∫ (5.1)

El lado izquierdo de la expresión (5.1) se lee: “la integral indefinida de f de x con respecto a x”. El símbolo denota una integral mientras que “c” es la constante de

integración. ∫

5.1.1 Reglas básicas de integración a) Regla 1: La integral de una constante k es:

kdx kx c= +∫ (5.2)

Ejemplo 5-1. 5dx 5x c= +∫

b) Regla 2: La integral de una potencia es:

n n1x dx x cn 1

+= ++∫ 1 (n 1≠ − ) (5.3)

Ejemplo 5-2. 3 41x dx x c4

= +∫



c) Regla 3: la integral de una función exponencial es:

kxkx aa dx c

k lna= +∫ (5.4)

Ejemplo 5-3. 3x

3x 22 dx c= +3ln2∫

d) Regla 4: La integral de una función exponencial natural es:

kxkx ee dx c

k= +∫ (5.5)

Ejemplo 5-4. 3x

3x 3x 9e9e dx 9 e dx c3

−− −= = +

−∫ ∫

e) Regla 5: la integral de una función logarítmica es:

1 dx lnx cx

= +∫ ( x 0 ) > (5.6)

Ejemplo 5-5. 1 13x dx 3 dx 3lnx cx

− = =∫ ∫ +

c

5.1.2 Condiciones iniciales y condiciones de frontera En muchos problemas una condición inicial (y=y0 cuando x=0) o una condición de frontera (y=y0 cuando x=x0) es dada para determinar la constante de integración, c. Permitiendo una sola determinación de c. Por ejemplo, si

y 2dx 2x= = +∫

sustituyendo y = 11 cuando x = 3,hallamos el valor de c:

11 = 2(3) + c → c = 5 Por lo tanto, y = 2x + 5. Note que aun cuando c es especificado, permanece

como integral indefinida porque x no esta especificado. Entonces, la integral 2x+5 puede asumirse como un infinito número de valores.

2dx∫


5.2 Integral Definida El teorema fundamental del calculo establece que el valor numérico de una integral definida de una función continua f(x) tras un intervalo desde a-b esta dado por la integral indefinida F (x) + c evaluada al limite más alto de integración (b), menos la misma integral evaluada al limite más bajo de integración (a). Puesto que “c” es común a ambos, la constante de integración es eliminada en la sustracción

b baa f(x)dx F(x) F(b) F(a)= = −∫ (5.7)

De esta forma, el área bajo de una función desde a hasta b puede ser expresada como una integral definida de f(x) tras un intervalo a hacia b, como se aprecia en el siguiente Gráfico 5-1.

Gráfico 5-1

y y=f(x)

0 a b x Esta técnica tiene diversas aplicaciones en la economía puesto que permite obtener áreas de funciones continuas de una forma relativamente sencilla. De esta forma, las integrales definidas permiten obtener valores numéricos mientras que las integrales indefinidas solo permiten obtener funciones.

Ejemplo 5-6. Las integrales definidas de (1) y (2) serán: 41 10xdx∫

3 31 (4x 6x)dx+∫

(1) 44 2 2 2

1 110xdx 5x 5(4) 5(1) 75= = − =∫

(2) 33 3 4 2 4 3 4 2

1 1(4x 6x)dx x 3x (3) (3) (1) 3(1) 104⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ = + = + − + =⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫




5.3 Excedente del consumidor y el excedente del productor Una función de demanda P1 = f1(Q) como en el Gráfico 5-2a representa los diferentes precios que el consumidor esta dispuesto a pagar por diferentes cantidades de un bien. Si el mercado esta en equilibro en un punto como (Q0, P0), entonces los consumidores estarán dispuestos a pagar más de P0. El beneficio total para los consumidores esta representado por el área sombreada, la cual se denomina excedente del consumidor, EC. Esta área equivale a la diferencia entre lo que el consumidor esta dispuesto a pagar y lo que realmente paga.

0Q

1 00EC f (Q)dQ Q P= −∫ 0 (5.8)

Una función de oferta P2 = f2(Q) como en el gráfico, representa el precio al cual diferentes cantidades de un bien será ofertado. Si el equilibrio de mercado sucede en (Q0, P0), los productores que ofertan a un precio menor a P0 se beneficiaran. Este beneficio o ganancia es llamado excedente del productor, EP, el cual equivale al área sombreada del Grafico 5-2b. Esta área equivale a la diferencia entre el precio que el productor vende y precio límite al cual el productor estaría dispuesto a vender su producto.

0Q0 0 20EP Q P f (Q)dQ= − ∫ (5.9)

Gráfico 5-2a Gráfico 5-2b

Ejercicio 108: Dada una función de demanda, p = 42 – 5q – q2, y asumiendo que el precio de equilibrio es 6, obtenga el excedente del consumidor. Solución. Para encontrar el nivel de producción asociado a p = 6:

P

f1(Q)

P0

Q0 Q

P f2(Q)

P0

Q0 Q


42 – 5q – q2 = 6, q0 = 4 Ahora, el excedente del consumidor será:

( ) ( )( )4 20EC 42 5q q dq 4 6= − − −∫ Gráfico 5-3

42 3

0

1EC 42q 2.5q q 243

⎡ ⎤= − − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( )EC 168 40 21.3 0 24 82.7= − − − − =

2p 42 5q q= − −

p

EC

6

4 q

Ejercicio 109: Dada la función de oferta, p = (q+3)2, encuentre el excedente del productor cuando p0=81. Solución.

( )( ) ( )6 20EP 81 6 q 3 dq= − +∫ Gráfico 5-4

( )6

3

0

1EP 486 q 33⎡ ⎤= − +⎢ ⎥⎣ ⎦

EP 252=

( )2p q 3= +

p

EP

81

q 6

Ejercicio 110: Dada la función de demanda pd = 25 – q2 y la función de oferta ps = 2q + 1 y asumiendo competencia perfecta, encuentre el a) Excedente del consumidor.




b) Excedente del productor. Solución. En competencia perfecta, demanda = oferta:

22q 1 25 q+ = − de donde q0 = 4, lo que implica p0 = 9 a) Excedente del consumidor:

( ) ( )( )4 20EC 25 q dq 9 4= − −∫

4

3

0

1EC 25q q 363

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )31EC 25 4 4 0 36 42.673

⎡ ⎤= − − − =⎢ ⎥⎣ ⎦

a) Excedente del productor

( )( ) ( )40EP 9 4 2q 1 dq= − +∫

420

EP 36 q q 16⎡ ⎤= − + =⎣ ⎦

Gráfico 5-5

sp 2q 1= +

2

dp 25 q= −

EC

EP

q

p

25

9

1

4



Ejercicio 111: Dadas las funciones de demanda y oferta:

2Ps 4Q 2Q 100= + + (Oferta)………………………….. (1)

2Pd 3Q 3Q 1400=− + + (Demanda)……………………… (2)

a) Para hallar el precio y cantidad de equilibrio debemos igualar las ecuaciones (1) y

(2) y resolver.

2 24Q 2Q 100 3Q 3Q 1400+ + =− + +

27Q Q 1300 0− − =

Q 13.7=

P 878.03=

b) Excedente de consumidor se hallará por integración ya que tenemos una función

de demanda no lineal.

878.03

13.7

P = 24Q 2Q 100+ +

P = 23Q 3Q 1400− + +

P

Q

EC

P 1400

878.03

100 Q

13.7

EC

EP

2P 4Q 2Q 100= + +

2P 3Q 3Q 1400= − + +



• 13.7 2

0Ec ( 3Q 3Q 1400).dQ p.q= − + + −∫

3 2 213.70

3Q 3Q 3QEc 1400Q / (13.7)(878.03)3 2 2

−= + + + −

3 23(13,7) 3(13,7)Ec 1400(13,7) 0 (13,7)(878,03)3 2

⎡ ⎤−= + + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

Ec 4861.17=

• 13.7 2

0Ep p.q (4Q 2Q 100)dQ= − + +∫

3 213.70

Q 2QEp (13.7)(878.03) (4 100Q) /3 2

= − + +

3 2(13,7) (13,7)Ep (13,7)(878,03) 4 2 100(13,7) 03 2

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦−

Ep 7042.85=

c) El gobierno decide aplicar un impuesto al producto de 120 y 10 cual genera una

desigualdad en el precio que paga cada agente (Pc ≠ Pp)

Pp pc t= − ………………………………………………………(1)

Nuestras nuevas funciones:

Demanda Pc = ………………… (2) 23Q 3Q 1400− + +

(Se agrega el impuesto al productor)

Oferta Pp = +120…… (3) 24Q 2Q 100+ +

c.1) Nuevo equilibrio: Reemplazamos (2) y (3) en (1) y resolvemos la ecuación.

2 23Q 3Q 1400 4Q 2Q 220− + + = + +

1Q 13.06=


Hallamos el precio para cada agente (consumidor y productor) reemplazando Q1 en

(2) y (1)

Pc 928.38=

Pp 928.38 120 808.38= − =

c.2) La recaudación fiscal (recaudación del gobierno al implantar el impuesto) será el

cuadrado ABCD del grafico 3.

RF (13.06)(120)=

RF 1567.2=

c.3) Por integración hallamos los nuevos excedentes de consumidor y productos

P =4Q + 2Q + 22012

Pc= 928.38

Q13.06

A B

CD

2P=4Q + 2Q + 100

P = 878.03

Pp = 808.38

13.7

P =4Q + 2Q + 22012

P=4Q + 2Q + 1002

Pp = 808.38

P = 878.03

13.06

A

CB

D

PES

Ep

T

EC

13.7Q

Pc= 928.38

P

P




1

13,06 2c cc

E ( 3Q 3Q 1400).d(Q) P q= − + + −∫ 1

1

3 213,06

C 03Q 3QE 1400Q / (928,38)(13,06)

3 2= − + + −

3 2

13(13,06) 3(13,06)Ec 1400(13,06) 0 (928,38)(13,06)

3 2−

+ + − −

1CE 4187,64=

13,06 21 C 1 0

EP P .q (4Q 2Q 220).d(Q)= − + +∫

3 213,06

1 04Q 2QEP (928,38)(13,06) 220Q /

3 2⎡ ⎤

= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

3 2

1(13,06) 2(13,06)Ep (928,38)(13,06) 4 220(13,06) 0

3 2⎡ ⎤

= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

−

1EP 6110,8=

c.4) PES total (PESc + PESp) será el triangulo ACD del gráfico 5, y se hallará por una

diferencia de integración de la función demanda y oferta.



13,7 13,72 2

13,06 13,06PES 3Q 3Q 1400 d(Q) 4Q 2Q 100 .dQ⎡ ⎤ ⎡= − + + − + +⎣ ⎦ ⎣∫ ∫ ⎤⎦

3 2 3 213,7 13,713,06 13,06

3Q 3Q 4Q 2QPES 1400Q / 100Q /3 2 3 2

⎡ ⎤= − + + − + +⎢ ⎥

⎣ ⎦

PES 577,9 539,52= −

PES 38,38=

Pes (consumidor) ABC= Δ del gráfico. Y se hallara por la diferencia entre la integral

de la función de demanda y el rectángulo ADKL.

= − − + − −∫13,7 2

13,06( 3Q 3Q 1400)dQ (878,03)(13,7 13,06)

−= + + −

3 213,713,06

3Q 3Q 1400Q / 561,943 2

577,9 561,94= −

15,96=

Pes (productor) = Δ BCD del gráfico 5. Y se hallara por la diferencia entre el

rectángulo ADKL y la integral de la función de oferta.

13,7 2

13,06(878,03) (13,7 13,06) (4Q 2Q 100)= − − +∫ +

3 213,713,06

Q 2Q561,94 (4 100Q) /3 2

= − + +

561,94 539,52= −

22,42=



d) Variación de bienestar

o 0 0B Ep Ec 7042,85 4861,17= + = +

0B 11904,02=

1B = (con impuesto)

1 1 1B Ep Ec 6110,8 4187,64= + = +

1B 10298,44=

1 0B B 1605,58− = (Disminuye)

e) El gobierno decide aplicar un subsidio unitario sobre la producción de 120.

…………………………………(1) PP Pc= + s

1

Nuestras nuevas funciones

…….. (2) 2demanda Pc 3Q 3Q 1400→ = − + +

Quitando el subsidio a la oferta

-120………… (3) 2POferta P 4Q 2Q 100→ = + +

e.1) Nuevo equilibrio: Reemplazamos (2) y (3) en (1) y resolvemos la ecuación.

2 23Q 3Q 1400 4Q 2Q 20− + + = + −

1Q 14,3=

Hallamos el precio para cada agente (consumidor y productor) reemplazando Q1 en

(2) y (1)

Pc 827,72=

PP 827,72 120= +



PP 947,72=

e.2) El gasto de estado por implantar el subsidio ( A del gráfico 3. BCD)

(14,31)(120)1717,2

==

e.3) PES total será ABCΔ , y se hallará por una diferencia de integración de la

función de oferta y demanda.

14,31 14,312 2TOTAL 13,7 13,7

PES (4Q 2Q 100)dQ ( 3Q 3Q 1400).dQ= + + − − − +∫ ∫

P

Q

D

M

N

R

EP

2P 4Q 2Q 100= + +

13.7 14.31

2P 4Q 2Q 20= + − N

A

B

C

2P 3Q 3Q 1400= − − +


3 2 3 214,31 14,31

TOTAL 13,7 13,74Q 2Q 3Q 3QPES 100Q / 1400Q /

3 2 3 2⎛ ⎞

= + + − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

= 556,74 469,38−

TOTALPES 87,36=

PES (productor) = Δ ABD del grafico 4. Y se hallara por la diferencia entre la integral

de la función de oferta y el rectángulo ADKL.

14,31 2productor 13,7

PES 4Q 2Q 100 (14,31 13,7)(878,03)= + + − −∫

3 214,31

productor 13,74Q 2QPES 100Q / 535,5983

3 2= + + −

productorPES 21,14=

Pes (consumidor) = Δ ADC del grafico 4. Y se hallara por la diferencia entre el

rectángulo ADKL y la integral de la función de demanda.

14,31 2consumidor 13,7

PES (14,31 13,7) (878,03) 3Q 3Q 1400= − − − − +∫

3 214,31

consumidor 13,73Q 3QPES 535,5983 1400Q /

3 2⎛ ⎞

= − − − +⎜ ⎟⎝ ⎠

consumidorPES 66,22=




2P 3Q 3Q 14= − − + 00

e.4) Por integración hallamos los nuevos excedentes del consumidor y productor. Excedente del consumidor se hallara por la diferencia del rectángulo NRDC del grafico 5 y la PES (consumidor)

[ ]

14,31 21 13,7

3 314,31

1 13,7

1

1

1

EC (878,03 827,72)(14,31) (878,03)(14,31 13,7) 3Q 3Q 1400

3Q 3QEC 719,94 535,6 ( 1400Q) /3 2

EC 719,94 535,6 (469.3793)

EC 719,94 66,22

EC 653,72

′= − − − − − − +

⎡ ⎤− −= − − − +⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − −

= −

=

∫

Excedente del productor se hallara por la diferencia del rectángulo MBND del grafico

5 y la PES (productor)

P

Q

D

M

N

R

EP

2P 4Q 2Q 100= + +

13.7 14.31

2P 4Q 2Q 20= + − N

A

B

C


14.31 21 13,7

3 314,31

1 13,7

1

1

1

Ep (947,72 878,23)(14,31) 4Q 2Q 100 (14,31 13,7)(878,03)

4Q 2QEp 997,26 ( 100Q / 525,5983)3 2

Ep 997,26 (556,7 535,5983)

Ep 997,26 21,14

Ep 976,12

⎡ ⎤= − − + + − −⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − − + −

= − −

= −

=

∫

f) Variación de bienestar

0 c 0B Ep Ec 7042,85 4861,17= + = +

0B 11904,02=

1B (con subsidio)=

1 1 1B Ep Ec 976,12 653,72 1629,84= + = + =

1 0B B 10274,18− = − (disminuye)



5.4 Problemas resueltos La integral es ampliamente aplicada en la economía. Quizá su mayor uso es en el campo de la microeconomía, puesto que se utiliza para calcular el excedente del consumidor y el excedente del productor. Sobretodo en la valoración económica de los impactos ambientales Ejercicio 112: La tonelada de un mineral cuesta US$ 46. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0.09 + 0.0006x2 US$/semana. ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas?. Solución. Como

( )10

2 2

0

dP 0.09 0.0006x 0.09 0.0006x dxdx

= + ⇒ +∫

El precio dentro de 10 semanas será:

103

0

0.0002xP 46 0.09x 46 1.1 47.13

⎡ ⎤= + + = + =⎢ ⎥

⎣ ⎦

Ejercicio 113: Obtenga la cantidad producida de maximiza la utilidad y las correspondiente utilidad total (asumiendo competencia perfecta) si IMg = 24 - 6q – q2 y CMg = 4 - 2q – q2 , siendo Img el ingreso marginal y Cmg, el costo marginal. Solución. Asumiendo competencia perfecta, las curvas de ingreso marginal y costo marginal se interceptan y determinan el precio y la cantidad demandada. Entonces,

24 - 6q – q2 = 4 – 2q –q2 q = 5 Como UMg = IMg - CMg ( UMg: utilidad marginal) entonces,

UMg = 20 – 4q




El dato es la utilidad marginal ( dUUMgdq

= ) y se desea obtener es la utilidad total (U).

Entonces, es necesario “integrar” la primera función para (UMg) obtener la segunda función (U) o función original.

( )50U 20 4q d= −∫ q

520

U 20q 2q 50⎡ ⎤= − =⎣ ⎦

Se ha evaluado desde 5 a 0 puesto que q = 5 es el valor que maximiza la utilidad, es decir, el punto máximo. Ejercicio 114: La tasa de inversión neta esta dada por I (t) = 140t3/4, y el stock inicial de capital en t = 0 es 150. Determine la función de capital K. Solución. La función K será: 3 4 3 4K 140t dt 140 t dt= =∫ ∫

7 4 7 44K 140 t c 80t c7

⎛ ⎞= + =⎜ ⎟⎝ ⎠

+

pero c = K0 = 150 entonces, K = 80t7/4 + 150 Ejercicio 115: Hallar la cantidad producida que maximice la utilidad y determinar la utilidad total en dicho punto s las funciones de ingreso marginal y costo marginal son respectivamente, I´(x) = 25 - 5x - 2x2 C´(x) = 10 - 3x – x2 Solución. Una forma de solucionar es obtener el ingreso total y el costo total para luego obtener el beneficio y finalmente, determinar el máximo valor de la última función. La forma más directa es obtener el beneficio marginal y luego determinar el beneficio. Con esta última se determina el valor máximo.

I´ - C´ = B´



25 – 5x - 2x2 – (10 - 3x – x2) = B´ 15 – 2x –x2 = B´ (beneficio marginal)

Integrando B' se obtiene B:

32 2 xB (15 2x x )dx 15x x

3= − − = − −∫

Determinando el máximo en B:

2dB 15 2x x 0 x 3dx

= − − = ⇒ = Evaluando este valor en B se tiene 27.

Ejercicio 116: La propensión marginal a ahorrar es 1/3. Cuando la renta es cero el consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo. Solución. dc ds 21dx dx 3

= − =

2 2c dx x3 3

= = +∫ C

x = 0 ⇒ c(0) =11 ⇒ C = 11 Por lo tanto: 2c x 13

1= +

Ejercicio 117: Si la función de demanda es P = 85 - 4x – x2, hallar el excedente del consumidor cuando a) x = 5 y b) P = 64 Solución. a) x = 5

52

0EC (85 4x x )dx 5x40= − − −∫

EC = 133.3 b) P = 64 264 85 4x x= − − (para obtener el valor de x) x = 3


32

0EC (85 4x x )dx 3x64= − − −∫

EC = 36 Ejercicio 118: La cantidad demandada y el correspondiente precio –en competencia perfecta- se determinan con las funciones de demanda y oferta respectivamente:

y 2dP 36 x= −

2

oxP 64

= + . Determinar el excedente del consumidor y productor

Solución. Primero se determina el precio de equilibrio: Pd = Po

22 x36 x 6

4− = +

De donde: x 2 6= , P (coordenadas de integración) 12=

2 6

2

0EC (36 x )dx (2 6)(12)= − −∫

EC 32 6 78.4= ≈

22 6

0

xEP (2 6)(12) (6 )dx4

= − +∫

EP 8 6 19.6= ≈ Ejercicio 119: Una compañía esta considerando la adición de vendedores a su nómina. El costo del empleo de vendedores adicionales es: 5y2 = 48x, donde “y” es el costo del empleo, “x” es el número de vendedores adicionales empleados, siendo el ingreso adicional: (R-2)2 = 4(x+10), donde R es el ingreso. La compañía empleará vendedores adicionales hasta cuando el costo de esta adición iguale al ingreso adicional. Se pide obtener: a) El número de vendedores adicionales (Recuerde que en este caso, Img = Cmg) y el costo respectivo b) Ingreso neto total (ingreso menos costo)




Solución.

De la primera condición: 25yx

48= (costo marginal)

De la segunda condición: 2Rx R

4= − −9 (ingreso marginal)

Igualando x, y además dado que R=y (Img = Cmg):

7y2 – 48y - 432 = 0 De donde: y=12 y entonces, x=15 Para encontrar el ingreso neto total solo se requiere encontrar el área entre la curva superior y la curva inferior, delimitada por el “equilibrio” (12,5). Es decir, el área encerrada entre ambas curvas que equivalen al ingreso marginal menos costo marginal. Note que la integración debe realizarse en el eje Y, y no en el eje X dado que la integración será en términos de y. Sea el ingreso total neto (ITN):

12

2 2

0

5 1ITN y y y 9) dy48 4

⎛ ⎞= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

1223

0

y 7ITN 9y y 72 108 84 962 144

⎡ ⎤= + − = + − =⎢ ⎥⎣ ⎦

Si hubo equivocación entre la diferencia de ambas curvas, es decir, en lugar de Cmg -Img se planteó Img - Cmg el resultado sería el mismo pero con signo negativo. Nótese

x

y, R 5y2=48x

(R-2)2=4(x+10)


que en este caso lo correcto es la diferencia Cmg - Img porque estamos evaluando en el eje Y y no en el eje X, donde SI debería ser lo contrario. Ejercicio 120: Dadas las funciones de oferta y demanda: p = 20 – 0.05x y p = 2 + 0.0002x2, encuentre:

a) Precio y cantidad de equilibrio b) Excedente del productor y excedente del consumidor y bienestar social c) Si el precio de equilibrio aumenta 2 unidades, obtenga la variación del bienestar Solución.

a) 20 – 0.05x = 2 + 0.0002x2

0.0002x2 + 0.05x - 18 = 0 x0 = 200 ⇒ p0 = 10

b) 200

0 0EC (20 0.05x 10)dx= − −∫

2002

0 0EC 10x 0.025x 1000⎡ ⎤= − =⎣ ⎦

200 2

0 0EP (10 (2 0.0002x ))dx= − +∫

2003

00

xEP 8x 0.0002 10672

⎛ ⎞= − =⎜ ⎟⎝ ⎠

B0 = EC0 + EP0 = 2067 c) Ahora: P1 = 12, reemplazando este precio en la función de demanda se tiene que: x1 = 160

1601 0

EC (20 0.05x)dx (12)(160)= − −∫

1602

10

0.05EC 20x x (12)(160)2

⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦

1EC 640=

1x 2

1 1 1 0EP p x (2 0.0002x )dx= − +∫

160 21 0

EP (12)(160) (2 0.0002x )dx= − +∫




16031 0

EP (12)(160) 2x 0.0002(x / 3)⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

EP1 = (12) (160) – 593.07 = 1326.93

B1 = EC1 + EP1 = 640 +1326.93 = 1966.93 ∆B = B1 – B0 = 1966 - 2067 = -101 Ejercicio 121: La propensión marginal a ahorrar es 1/3. Cuando la renta es cero el consumo es 11 millones. Hallar la función de consumo.

Solución.

Por identidades sabemos que c = 1 - s, por lo tanto hallando su derivada se obtiene dc ds 21dx dx 3

= − = , de allí por integración a la propensión marginal a consumir hallamos

la función de consumo 2 2c dx x3 3

= = +∫ C (ecuación general), por último con los

datos dados en el problema se puede obtener la solución particular para la función de consumo x = 0 ⇒ c (0) =11 ⇒ C = 11.

Por lo tanto: 2c x 13

= + 1.

Ejercicio 122: Asuma que el kilo de huevo cuesta S/. 4.6. Los estudios indican que dentro de x semanas, el precio estará cambiando a una tasa de 0.09 + 0.0006x2 soles x semana. ¿Cuánto costará el kilo de huevo dentro de 10 semanas? Solución. La tasa de cambio esta representada por la siguiente ecuación:

102 2

0

dp 0.09 0.0006x (0.09 0.0006x )dxdx

= + ⇒ +∫

Es el aumento del precio en 10 semanas. Entonces, dentro de 10 semanas:

102

0

P 4.6 (0.09 0.0006x )dx 4.6 1.1 5.7= + + = + =∫


CAPITULO 5: INTRODUCCIÓN A LA INTEGRACION

5.5 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. La cantidad vendida y el correspondiente precio, en situación de monopolio se

determina por la función de demanda ( )20 q− y el costo total es 1p 14

=

3qc 5q4+ . Determinar el excedente del consumidor. Rpta: 26/3 =

2. Cuando la maquina tiene x años, la tasa a la cual está cambiando su valor es de

220 (x – 10) soles por año. ¿En que cantidad se deprecia la maquina al cumplir dos años y cual es su precio de reventa en un tiempo si su costo fue de S/- 12,000. Rpta: S/. 3,960.

3. Dado 30.1dC dY 0.6

Y= + y C = 45 cuando Y=0, obtenga la función de consumo,

C. Rpta: C = 0.6Y + 0.15 Y2/3 +45 4. La propensión marginal al ahorro esta dada por dS/sY = 0.5 – 0.2Y-1/2. Existe

desahorro de 3.5 cuando el ingreso es 25, es decir, 5S 3.= − cuando Y=25. Obtenga la función de ahorro. Rpta: S = 0.5Y – 0.4Y1/2 - 14.

5. El costo marginal esta dado por CM = dCT/cQ = 25 + 30Q – 9Q2. El costo fijo es

55. Encuentre (a) el costo total, (b) el costo medio y (c) la función costo variable. Rpta. (a) 25Q + 15Q2 - 3Q3 + 55,

(b) 25 + 15Q – 3Q2+ 55/Q, (c) 25Q +15Q2 - 3Q3.

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