5 integracion

1

5. Integración

3

0 2

Falacias, falacias, ...

2

)2/1(22

2

)4/1(24

2

)2/1(22

2

121

11

3

2

1

nn

nL

L

L

L

0 1

!!21!!lim2

nn

L

4

Integrales de línea, de camino o de contorno reales

. cuando0 donde

),(lim),(1

ns

syxFdsyxF

k

kk

n

kk

n

B

A ||

kk ss

1x

1s

2s

ns

A

B

),( 11 yx),( 22 yx

),( nn yx

x

y

5

y

x

21 xy

0 )0,1(B

)1,0(AxyyxF ),(

...4

5

)1(4

451

...41)1(

),(

0

1

0

1

1

0

22

)0,1(

)1,0(

dyyy

dyy

yyy

dxxxx

xydsdsyxFB

A

dyy

ydy

dy

dxds

dxxdxdx

dyds

)1(4

451

411

2

22

El signo debe tomarse de modo que ds0 para los valores x e y en juego.En este caso +.

Otra manera:

21 xy Camino

6

kk

n

kk

n

B

AsyxFdsyxF

),(lim),(1

dx

dy

kx

ky

)(F

1)(F

x,y

x,y

Interpretación física de las integrales de línea:

Podemos definir las integrales con dx y dy:

B

Ads

B

Ads

Donde los incrementos de x e y son las proyecciones de los incrementos de s en el eje x e y respectivamente (observa que los incrementos de x e y pueden ser positivos o negativos).

7

y

x

21 xy

0 )0,1(B

)1,0(AxyyxF ),(

41

42)1(

),(

1

0

421

0

2

)0,1(

)1,0(

xx

dxxx

xydxdxyxFB

A

154

1),(0

1

)0,1(

)1,0( dyyyxydydyyxF

B

A

yx 1Ejercicio: recalcular las tres integrales recorriendo el camino en sentido inverso.

¿Negativo?

Ejemplo:

Camino:

21 xy Camino

8

y

x

21 xy

0 )0,1(B

)1,0(A xyyxF ),(

dxdx

dyyxFdyyxF

B

A

B

A ),(),(

154

)2)(1(1

0

2

)0,1(

)1,0(

)0,1(

)1,0(

dxxxx

dxdxdy

xyxydy

Calculemos de nuevo de otra forma:

Repetir para dx y dx/dy.

9

La integral depende del sentido en los que recorramos el camino Cen los casos de dx y dy:

dyyxFdyyxF

dxyxFdxyxF

A

B

B

A

A

B

B

A

),(),(

),(),(

Los incrementos de x e y cambian de signo cuando cambia el sentido de los vectores incremento de s. Pero el diferencial de s mantiene su signo independientemente del sentido, pues tomamos el módulo del vector: ||||

kkk sss

dsyxFdsyxFA

B

B

A ),(),(

10

Integrales de línea, de camino o de contorno en el plano complejo

.cuando0 donde

)(lim:)(1

nz

zzfdzzf k

n

kk

n

B

A

),(),()( yxivyxuzf

yixz kkk

Observa que la integral NO es el área bajo la curva.El valor depende del sentido: es una “suma de vectores”.Los Δz actúan como vectores, no como longitudes. Si f(z) = 1, ¿qué significa la integral?

1zA

B

1z

2z

nz

x

y

2z

nz

1x

ny

11

Conexión entre integrales de línea reales y complejas

CC

C C

CC

dxyxvdyyxui

dyyxvdxyxu

idydxyxivyxudzzf

),(),(

),(),(

])][,(),([)(

Con C indicamos el camino de la integral de línea.

12

)(

)(

)(

)(

)](')(')[(

)()(

Bt

At

Bt

AtC

dttiytxtf

dtdtdz

tzfdzzf

Integración de funciones complejas parametrizadas

Arco suave C de A a B: )()()( tiytxtz

Parametrización continua con t(A) t t(B) y con derivadas x’(t) e y’(t) continuas.

dttdy

idt

tdxdt

tdz )()()(

13

.41,,3por dadoestá donde

:Evalúa

2

ttytxC

dzzC

idttidttt

dtitittdzz

ittitttzf

ittzitttz

C

651953)92(

)23)(3( que, modo De

33))((

23)(' ,3)(

4

1

24

1

3

4

1

2

22

2

Ejemplo:

14

Evalúa donde C es el contorno de la figura

C

dziyx )( 22

C1 está definida por y = x = t, entonces z(t) = t + it,

con 0 t 1, z’(t) = 1 + i, f(z(t)) = t2 + it2 :

21

)()()( 222222

CCCdziyxdziyxdziyx

idttidtiittdziyxC 3

2)1()1)(()(

1

0

221

0

2222

1

La curva C2 está definida por x = 1, y = t con 1 y 2. Entonces:

z(t) = 1 + it, z’(t) = i, f(z(t)) = 1 + it2:

iiidziyx

idtidttidtitdziyx

C

C

3

5

3

7)

3

7(

3

2)(

3

7)1()(

22

2

1

2

1

22

1

222

2

15

Calcular la integral

Donde C es el arco de circunferencia , orientado positivamente.

C

dzzzz 2

))arg(0( ,1 zz

3

8

3

1

1

1

0

3

0 0

322

ii

iiii

C

i

ee

deeideiedzzzz

ezz

ExamenSEPTIEMBRE 02/03: P-1

17

Camino o contorno simple cerrado

Es un contorno que genera dos dominios: uno acotado (interior) y otro no acotado (exterior). Ambos dominios tienen al contorno como frontera.

Camino o contorno no simple cerrado

18

Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido positivo alrededor del contorno C cuando el interior queda a la izquierda del sentido de circulación.

C Cdzzfdzzf )()(

Para no recargar con símbolos

Decimos que la integración se lleva a cabo en sentido negativo si ocurre lo contrario.

C Cdzzfdzzf )()(

CCdzzfdzzf )()(Se cumple que:

19

Propiedades de las integrales de contorno

constante ,)()( kzdzfkzdzfkC C

CC C

zdzgzdzfzdzgzf )()()]()([

,)()()(21 CC C

zdzfzdzfzdzf

,)()(

C Cdzzfdzzf

20

Integrar la función a lo largo de la circunferencia: |z| = r.

zzf /1)(

Ejemplo

Introducimos un parámetro tvariando entre 20 t

y

xr

C

idti

dterire

dtdt

dztzfdzzf

titi

C

2

1

)()(

2

0

2

0

2

0

tiretzC )(:

Nota: podríamos haber usado

titrtzC sincos)(: Ejercicio: repetir con esta forma.

iz

dzC

2

22

Integrar la función a lo largo del cuadrado

zzf /1)(

Ejemplo

Introducir un parámetro t variando entre 11 t

y

x

i1

i1

i 1

i 1

1C

3C

2C

4C

1

12424

1

12323

1

12222

1

12121

1,

11

)(,1,)(:

1,

11

11

)(,,1)(:

1,

11

)(,1,)(:

1,

11

11

)(,,1)(:

dttit

Itit

ittzf

dtdz

ittzC

dttit

It

itit

tzfidtdz

titzC

dttit

It

itit

tzfdtdz

ittzC

dttit

Itit

ittzfi

dtdz

titzC

1

1

)()( dtdt

dztzfdzzf

C

23

y

x

i1

i1

i 1

i 1

1C

3C

2C

4C

i

i

ti

dtt

idtt

t

dtt

itdzzf

C

2

4/4/4

arctan4

1

1

14

14)(

11

1

12

1

12

1

12

iz

dz

C

2

0 (integrando impar en intervalo de integración par)

24

zzf /1)( Ejemplo: Repitamos trasladando el circuito de integración.

11 t

1

12424

1

12323

1

12222

1

12121

)2(1

)2(,

)2(1

2

2

1)(,1,2)(:

9

3,

9

3

3

1)(,,3)(:

)2(1

)2(,

)2(1

2

2

1)(,1,2)(:

1,

1

1

1

1)(,,1)(:

dtt

itI

t

it

ittzf

dt

dzittzC

dtt

itI

t

it

ittzfi

dt

dzittzC

dtt

itI

t

it

ittzf

dt

dzittzC

dtt

itI

t

it

ittzfi

dt

dzittzC

1

1

)()( dtdt

dztzfdzzf

C

x

i 1

i 1

i 3

i 3

1C

3C

2C

4C

yIntegrar la función a lo largo del cuadradoIntroducir un parámetro t variando entre

25

Usando las relaciones

2222

22

)(ln)(

)(

arctan1

)(

tbatba

dttb

a

bt

atba

dt

obtenemos

0C z

dz x

i 1

i 1

i 3

i 3

1C

3C

2C

4C

y

Donde C ahora es el “cuadrado unitario” anterior desplazado a la izquierda 2 unidades.

27

0C z

dzC

iz

dz

C

2C

0C z

dzC

0C z

dz

C

0C z

dzC

0C z

dz

C

Observa que:

28

0C z

dzC0

C z

dz

C

iz

dz

C

2

0C z

dzC

0C z

dz

0C z

dz

CC

C

29

C

dzzf 0)(C

Teorema integral de Cauchy

Si f (z) es analítica con derivada continua en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:

0C z

dz

C

f (z) es analítica en todo puntoexcepto en z = 0

0C

zdze

f (z) es analítica en todo punto

C

Ejemplos:

30

Para demostrar el teorema de Cauchy nos será necesario el

Teorema de Green (1828)

George Green (1793-1841).Resultado de sus trabajos en electromagnetismo.

y

Q

x

Q

y

P

x

PyxQyxP

y,,),,(),,(Seancontinuas en en todos los puntos dentro y sobre un contorno C, entonces:

dxdyyP

xQ

dyyxQdxyxPC DC

),(),(

31

.),(),(

),(),(

),(),(

31

1

0

0

1

1

0

1

0

1

0

10

01

CC

x

x

x

x

x

x

R

x

x

y

y

dxyxPdxyxP

dxyxPdxyxP

dxyxPyxP

dxdyy

Pdxdy

y

P

0x 1x

1y

0y1C

2C

3C

4C

Supongamos que la región R es un rectángulo como muestra la figura.

0),(;0),(42 CC

dxyxPdxyxP

Puesto que sobre los caminos C2 y C4 no hay variación en x:

32

cCC

CCR

dxyxPdxyxPdxyxP

dxyxPdxyxPdxdyy

P

),(),(),(

),(),(

42

31

Repitiendo análogamente para Q(x,y), y teniendo en cuenta que C3 y C1 no tienen variación en y, obtendremos:

cR

dyyxQdxdyy

Q),(

Y eso completa la demostración para un contorno rectangular recorrido en sentido positivo.

33

...)()()(21

CC CQdyPdxQdyPdxQdyPdx

Podemos usar infinitos rectángulos para recubrir “exáctamente” el área de R.

1C

2C

Recorriéndolos como indica la figura superior, se compensan las integrales en los caminos “horizontales”...

34

Demostración del teorema integral de Cauchy:

CCCC

C

dyyxuidxyxvidyyxvdxyxu

dzzf

),(),(),(),(

)(

),(:),(

),(:),(

yxvyxQ

yxuyxP

),(:),(

),(:),(

yxuyxQ

yxvyxP

0

dxdy

yv

xu

idxdyyu

xv

DD

0(Como f(z) es analíticacumple las ECR)

Como suponemos u(x,y), v(x,y) y susderivadas parciales continuas en todos los puntos dentro y sobre C:

37

C

dzzf 0)(

Teorema integral de Cauchy-Goursat

Si f (z) es analítica en todos los puntos dentro y sobre un contorno cerrado C, entonces:

Es menos restrictivo que el teorema integral de Cauchy. Goursat demostró el teorema integral de Cauchy sin imponer la restricción alguna sobre la derivada de f(z).

Edouard Jean-Baptiste Goursat(1838 – 1936)

38

?cos

1

2

C

dzz

f (z) es no analítica en z = /2, 3/2, ...

03

sin3

1

C

z

dzz

ze

2C

1C 0cos

1

1

C

dzz

f (z) es no analítica en z = 3

?3

sin3

2

C

z

dzz

ze

Ejemplos1C

2C

0)sin(

1 dz

zC

No es analítica en los puntos z = 0, 1, 2,...

0 1 2-1-2

C2i

39

Para demostrar el teorema de Cauchy-Goursat emplearemos la desigualdad ML:

MLdzzfC

)(longitud

de C

cualquier número tal que sobre CMzf )(Demostración:

nz

zzfdzzf k

n

kk

nC

cuando0 donde

)(lim)(1

Cotas para integrales de línea.

40

C. de longitud la es L donde;lim1

Lzdzn

kk

nC

Observemos que si |f(z)|=1, entonces:

Por la desigualdad triangular, tenemos:

C

k

n

kk

nk

n

kk

nC

dzzfzzfzzfdzzf )()(lim)(lim)(11

CC

dzzfdzzf )()(

41

Supongamos que: si z es un punto de C.Entonces:

MLzMzzf

zzfdzzf

n

kk

nk

n

kk

n

k

n

kk

nC

11

1

lim)(lim

)(lim)(

MLdzzfC

)(

Mzf )(

Desigualdad ML

42

Ejemplo: Encuentra una cota superior para el valor absoluto de:

donde C es el círculo |z| = 4.

zdze

C

z

1

Puesto que |z +1| |z| − 1 = 3, entonces:

Además, |ez| = ex, con |z| = 4, y tenemos

que el máximo valor de x es 4. Así:

31

4ezez

38

1

4ezd

ze

C

z

3||

1||||

1

zzz eze

ze

RL

Mzf

2)(

43

Demostrar la siguiente desigualdad:

4 Log

2 zdz

Im (z)

1

Re (z)

Respuesta.

L: longitud del arco:

M: max |Log z|Γ

MLzdz Log

2

L

2

20 , Log

argln Log

M

iz

zizz

4 Log

2 zdz

45

A

432

1

BC

DE

F

Demostración del teorema deCauchy-Goursat para camino triangular cualquiera:

Sea el camino triangular ABCA.Trazamos un triángulo auxiliar EFD a partir de los puntos mediosde los lados del triángulo ABC.Entonces:

dzzfdzzfdzzfdzzf

dzzfABCA

4321

)()()()(

)(

E = (A+B)/2; F = (B+C)/2; D=(C+A)/2

46

dzzfdzzfdzzfdzzfdzzfABCA

4321

)()()()()(

Aplicando la desigualdad triangular:

dzzfdzzfABCA

1

)(4)(

Sea },,,max{: 43211

Entonces:

Repitiendo el proceso con el triángulo1

dzzfdzzfABCA

2

)(4)( 2

47

Después de n pasos, tendremos:

dzzfdzzfn

n

ABCA

)(4)(

Hemos construido una sucesión de triángulos encajados:n

ABC ,...,,,, 321

gracias al principio de Cantor de compactos encajados:existe un punto z0 que pertenece a todos ellos. Y puesto que z0 está dentro o sobre ABC , y como por el enunciado f(z) es analítica en z0. Entonces:

))(())(()()( 0000 zzzzzzfzfzf recordemos que (z) depende de z y que (z)0 cuando z z0; es decir, que para todo podemos encontrar un tal que (z) siempre quez - z0.

1

0}{n

n z

48

nnn

n

dzzzzdzzzzfdzzf

dzzf

))(()()()(

)(

0

0

00

0

0

1)( zg0)( zzzg

Integrandos g(z) analíticos con primeras derivadas continuas. Podemos aplicar teorema integral de Cauchy.

nn

dzzzzdzzf ))(()( 0

49

Si P es el perímetro de ABC , entonces el perímetro n será:

nn

PP

2

nz

0z nn

PPzz

2|| 0

L

n

M

n

PPdzzzdzzf

nn 22)()( 0

Usando la desigualdad ML:

n

Pdzzf

n 4)(

2

50

Teníamos:

dzzfdzzfn

n

ABCA

)(4)(

22

44)( P

Pdzzf n

n

ABCA

0)( ABCA

dzzf

Y como se puede tomar arbitrariamente pequeño, entonces:

51

Puesto que todo polígono cerrado se puede triangular, aplicando el teorema de Couchy-Goursat a cadatriángulo podemos demostrar el teorema para un polígono cerrado arbitrario.

A

B

C D

E

nzz 0

1z

2z

1nz

Intentaremos aproximar una curva arbitraria a través de un polígono cerrado P de vértices z0, z1, z2, ... zn-1, zn= z0,tal y como hicimos para definir la integral de línea compleja.

52

nS

k

n

kk

nCzzfdzzf

)(lim)(1

Recordemos que: Para n finito, estamos aproximando la curva cerrada con un polígono P cerrado de n lados y de perímetro Sn.

nC nCSSdzzfdzzf )()(

Obviamente:

nC nCSSdzzfdzzf

)()(

Usando la desigualdad triangular:

1 2

Acotaremos y1 2

53

C nSdzzf )(Comencemos con 1

Cnn

dzzfS )(:lim

Entonces, dado cualquier > 0 existe un número N() tal que para n > N():

2)(

C nSdzzf

54

0)}()()({

...)}()()({

)}()()({

)(...)()(

0)(

1

2

1

1

0

1

2

1

1

0

22

11

n

n

n

n

z

z nn

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

P

dzzfzfzf

dzzfzfzf

dzzfzfzf

dzzfdzzfdzzf

dzzf

nSSigamos con acotemos:2

55

n

n

n

n

n

z

z

zn

z

z n

z

z

z

z

z

z

z

z

z

z

dzzfdzzfzf

dzzfdzzfzf

dzzfdzzfzf

11

2

1

2

2

1

1

1

0

1

0

)()}()({

...)()}()({

)()}()({0

22

11

0)}()({

...)}()({)}()({

1

2

1

1

021

n

z

z n

z

z

z

z

Sdzzfzf

dzzfzfdzzfzf

n

n

56

n

n

z

z n

z

z

z

zn

dzzfzf

dzzfzfdzzfzfS

1

2

1

1

0

)}()({

...)}()({)}()({ 21

n

n

z

z n

z

z

z

zn

dzzfzf

dzzfzfdzzfzfS

1

2

1

1

0

)}()({

...)}()({)}()({ 21

Utilizando la desigualdad triangular:

Multiplicando por –1 y cambiando el signo de los integrandos:

57

k

k

z

z k dzzfzf1

)}()({Para cada una de las k integrales (k=1,2, ..., n) usaremos la desigualdad ML.

Observemos que la “longitud” de cada integral es:

11

kk

z

zzzdz

k

k

Puesto que la curva cerrada que integramos es suave, podemos tomar el N() de lo suficientemente grande como para quecon n > N() la distancia entre f(zk) y f(z) esté por debajo de /2P, para todo k, donde P es el perímetro de la curva cerrada. Así podemos acotar todos los integrandos:

Pzfzf k 2)()(

1

58

De modo que:

n

n

z

z n

z

z

z

zn

dzzfzf

dzzfzfdzzfzfS

1

2

1

1

0

)}()({

...)}()({)}()({ 21

Teníamos:

2

...2 11201

P

nnn zzzzzzP

S

59

22)()( nC nC

SSdzzfdzzf

Recopilando:

Puesto que es arbitrario, entonces:

0)( C dzzf

61

Ejercicio

63

Principio de deformación de contornos(Teorema integral de Cauchy para un dominio doblemente conexo).

21

)()(CC

dzzfdzzf

Supongamos que f (z) es analítica en un dominio doblemente conexo D así como en las curvas que lo limitan.

Entonces:

D

1C2C

Recordatorio: Un dominio es un conjunto abierto conexo (no incluye los puntos frontera).

Nota: Simplemente conexo significa 1 contorno (y 0 agujeros) Doblemente conexo significa 2 contornos (y 1 agujeros) Triplemente conexo significa 3 contornos (y 2 agujeros) ...

Sentido negativo

64

0)(21

BACABC

dzzf1C

2C

A

B

BAC

ABC

dzzfdzzf

dzzfdzzf

)()(

)()(

2

1

BAAB

dzzfdzzf )()(Como:

0)()(21

CC

dzzfdzzf

0)(21

CCC

dzzf

Sentido positivo

Nota: Observa que los sentidos en que se recorren los circuitos en este dibujo y el anterior, no son los mismos...

65

21 C

z

C

z dzedzeEjemplo 1:

1C2C

D

(¡obvio!)

21

11

CC

dzz

dzz

Ejemplo 2: (no tan obvio)

66

0)(,0)(***

cc

dzzfdzzf

Otra demostraciónIntroduzcamos dos cortes, L1 y L2 ,que unen los dos contornos.

Sean C* y C** los dos nuevos contornos cerrados indicados por las flechas (1-2-3-4) y (5-6-7-8), respectivamente.

1L

2L

**C

*C1 2

3

45

6

7

8

Inicio

y

x

Ahora f (z) es analítica sobre y dentro de C* y C** . Por el teorema Integral de Cauchy:

67

Integramos alrededor del dominio D, a lo largo de 1-2-3-4-5-6-7-8. Así:

21

***

)()(

)()(

)()()(

8,63,1

87654321

CC

CC

dzzfdzzf

dzzfdzzf

dzzfdzzfdzzf

Las integrales a lo largo de L1 y L2 se anulan

Pero como las integrales a lo largo de C* y C** son cero,entonces:

0)()(21

CC

dzzfdzzf

con lo que se demuestra el enunciado.

1L

2L

**C

*C1 2

3

45

6

7

8Inicio

y

x

68

¿Por qué se denomina principio de deformación de contornos?

Si uno de los contornos puedetransformarse en el otro mediante una deformación continua y sin cruzar ninguna singularidad de f(z), entonces:

21

)()(CC

dzzfdzzf

y

x

i1

i1

i 1

i 1

1C

3C

2C

4C

iz

dzC

2

Recordemos:

69

Así que como la integral de f(z) = 1/z a lo largo de un círculo de radio r es 2i:

A partir del teorema integral de Cauchy para dominios doblemente conexosvemos que la integral de f(z) = 1/z a lo largo de cualquier camino que contenga este círculo es también 2i.

1C

2C

r

idzzC

21

1

z

1 es analíticaaquí

Ejemplo

70

C

dzzz

dz

)9( 22

Evaluar la integral

f (z) presenta singularidades en z = 0 y z = 3i. Esos puntos están fuera de la región sombreada como muestra la figura. Así:

donde C es un círculo de radio 2, centrado en 0, descrito en sentido positivo y un círculo de radio 1, centrado en 0, descrito en sentido negativo.

0)9( 22

C

dzzz

dz

Ejemplo

C

0

3i

-3i

1 2

71

Teorema de Cauchy-Goursat para dominios múltiplemente conexos

C

n

kCk

zdzfdzzf1

)()(

Supongamos que C, C1, …, Cn son curvas cerradas simples con orientación positiva, tales que C1, C2, …, Cn son interiores a C pero las regiones interiores a cada Ck, k = 1, 2, …, n, no tienen puntos en común. Si f es analítica dentro y sobre el contorno C, sin el interior de todos los Ck, k = 1, 2, …, n, entonces:

72

2C

1C

D

3C

No es necesario que los caminos cerrados no se corten, es decir que formen anillos. Por ejemplo:

Imaginemos que f(z) es analíticaen todos los puntos del dominio D de la figura. Tanto C2 como C3 forman anillos con C1. Por deformación de contornos:

31

21

)()(

)()(

CC

CC

dzzfdzzf

dzzfdzzf

32

)()(CC

dzzfdzzf

73

Ejercicio: Se sabe que una cierta función es f(z) es analítica en todo el plano

complejo salvo en los puntos z = 1, z = 2 y z = 3, y que

3,2,1 ,)( kadzzfkC k

siendo Ck : |z – k| = ½, orientado en sentido positivo.

Calcular , siendo Γi cada uno de los siguientes

contornos orientados positivamente:

(1) Γ1 : |z| = 4, (2) Γ2 : |z| = 5/2 y (3) Γ3 : |z – 5/2| = 1

i

dzzf )(

Respuesta:

Por el teorema de Cauchy-

Goursat en dominios

múltiplemente conexos:

32

21

321

3

2

1

)(

)(

)(

aadzzf

aadzzf

aaadzzf

74

y

x

C

i1

0

Integremos la función a lo largo de la recta C, que une los puntos 0 y 1+ i.

zzf )(

(1) Representar C en la forma z(t):

10)( ttittz

12)(

)1)(()()(

10

21

0

1

0

1

0

1

0

ttdtdttittit

dtititdtdt

dztzfdzzf

C

(2) Integramos: idt

dz1

Independencia del camino de integración

75

zzf )(

y

x

i1

0

2C

1C

10)( tttz

211

02

21

1

0

1

0

)1)((

)()(

tdtt

dtdt

dztzfdzzf

C

A lo largo de C2: 101)( ttitz

ititdtitdtiti

dtdt

dztzfdzzf

C

211

02

21

1

0

1

0

1

0

)())(1(

)()(

Ejemplo

Integrar la función a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i, como muestra la figura:

A lo largo de C1:

1

76

1C

dzz

y

x

i1

0

iidzzC

1

2

1

2

1

¿El valor de la integral entre dos puntos depende siempre del camino?

77

y

x

C

i1

0

Repitamos pero con a lo largo de la recta C, que unía los puntos 0 y 1+ i.

zzf )(

(1) Representar C en la forma z(t):

10)( ttittz

iittdti

dtititdtdtdz

tzfdzzfC

10

21

0

1

0

1

0

2

)1)(()()(

(2) Integramos:

78

zzf )(

y

x

i1

0

2C

1C

10)( tttz

211

02

21

1

0

1

0

)1)((

)()(

tdtt

dtdt

dztzfdzzf

C

A lo largo de C2: 101)( ttitz

ititdtitdtiti

dtdtdz

tzfdzzfC

211

02

21

1

0

1

0

1

0

)())(1(

)()(

EjemploRepitamos de nuevo con la función , pero ahora a largo del camino C = C1 + C2 que une los puntos 0 y 1+ i:

A lo largo de C1:

1

79

izdzC

y

x

i1

0

iizdzC

2

1

2

1

Ahora el valor de la integral no depende del camino.¿Qué diferencias hay entre f(z) = z y f(z)= ?z

80

Integrar la función a lo largo del camino Cuniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura

2)( zzf

Otro ejemplo

1022)( titttz

)219(3

1

)3/8(1)21(

)84()443()21(

)21()22(

)()(

1

0

22

1

0

2

1

0

i

ii

dtttitti

dtitit

dtdt

dztzfdzzf

C

y

x

i21

0

C

2

81

Integrar la función a lo largo del camino C = C1+ C2 uniendo 2 y 1+2i tal como muestra la figura

2)( zzf

Otro ejemplo

202)( tttz

3

8)44(

)1()2()(

2

0

2

2

0

2

dttt

dttdzzfC

y

x

i21

0 21C

2C

A lo largo de C1:

102)( ttittzA lo largo de C2:

idtti

dtititdzzfC

3

2

3

11)211(

)21()2()(

1

0

2

1

0

2

82

3/)219(2 idzzC

y

x

i21

0

3/)219(2 idzzC

El valor de la integrala lo largo de los dos caminos es el mismo.

2

¿Coincidencia?

83

Independencia del camino

1z

2z1C

2C

0)()(21

CC

dzzfdzzf

Supongamos que f (z) es analítica enun dominio simplemente conexo D

D

(por el teorema integral de Cauchy)

2

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

de largo lo ade largo lo a



)()(

)()(

0)()(

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

C

z

z

dzzfdzzf

dzzfdzzf

dzzfdzzf

84

Recuerda el potencial gravitatorio:

La energía potencial gravitatoria = m g hes independiente del camino...

masa m

altura h

85

Ejemplo: f(z)=|z|2

2||)( zzf

x1

i1+i

L0

L1

L2

y

101:

100:

10:

2

1

0

ttyxL

tytxL

ttytxL

3

4

3)1(|1|:

3

1||:

3

)1(2)1(|1|)1(||:

1

0

21

0

222

1

0

21

0

211

1

0

221

0

200

iiiidttidtitIL

dttdttIL

idttiidtiittIL

Observa que L0 L1+L2

86

Ejemplo: f(z)=z2

2)( zzf

x1

i1+i

L0

L1

L2

y

101:

100:

10:

2

1

0

ttyxL

tytxL

ttytxL

3

32)21()1(:

3

1:

3

22)1()1()(:

1

0

21

0

222

1

0

211

1

0

231

0

200

iidttitidtitIL

dttIL

idttidtiittIL

Observa que L0=L1+L2

87

y

x

144 yx

0 1

i

Ejemplo: calcular dz

z

i

11

A lo largo del camino C1:

Como f(z) = 1/z es analítica en todo el plano complejo excepto en z = 0. Podemos utilizar un camino más sencillo C2 (|z| = 1).

2

1

)()()(

2/

0

2/

021

idei

e

dd

dzzfdzzfdzzf

ii

CC

2C1C

88

1z

2z1C

2C

Si los caminos se cruzan, podemos hacer lo mismo para cada bucle, utilizando como puntos intermedios los puntos de intersección.

89

Si f es analítica en D entonces:

0)()(1

CCzdzfzdzf

1

)()(CC

zdzfzdzf

90

Independencia del camino

Consideremos la integral dzzfz

z1

0

)(

Si F (z) es analítica en un dominio simplemente conexo D, conderivada dF/dz = f(z) y, z0 y z1 están en D, entonces la integral de f(z) entre z0 y z1 es independiente del camino en D.

)()()( 01

1

0

zFzFdzzfz

z

donde )(zfdz

dF

0z

1z

)219(3

1

332

3

21

321

2

2 izz

dzzziz

i

p.ej.

De modo que podemos hablar de primitivas o antiderivadas como en variable real:

91

Ejemplos

(1)

i

ii

zdzzi

i

i

i

097.23

sinh2)sin(2

sincos

todo el plano complejo

C

(2) ?1

0

dzzi

( f (z) es no analítica en todo punto - depende del camino)

(3) iz

dzz

i

i

i

i

211

2

f (z) analítica en

este dominio

(ambas 1/z2 y 1/z son no analíticas en z = 0 - el camino de integración C debe eludir el punto)

92

. sobre constante será )( entonces analítica) es )((y

, dominioun en 0)(' Si

Dzfzf

Dzf

Diyxbayxf

Diyxbyxvayxu

vuvu

vuvu

vuivuzf

yyxx

xyyx

xxxx

)(i ),(

)(),(y ),(

0

y

0y 000)('

:Prueba

constante. una salvo única es )( de daantideriva o primitiva La zf

.)()( .)()( que modo De

).(-)( diferenciasu es lo también ,definiciónpor

analíticasson )(y )( que Puesto 0. G(z)-F(z)

).( de diferentes primitivas dos )(y )(Sean

:Prueba

CtezGzFCtezGzF

zGzF

zGzFdz

d

zfzGzF

94

y

x0 1

i1C

1

x01

2C

1

y

idi

deie

dzz

ii

C

0

0 11

1

idi

deie

dzz

ii

C

0

0 11

2

¿Por qué en este caso la integral depende del camino?

95

y

x0 1

i1C

1

ii

ii

zdzz

dzzC

)0(

)1arg(|1|log)1arg(|1|log

log11 1

1

1

11

Intentemos definir F(z) = Ln z como primitiva. En este caso una posible primitiva es:

CortePunto de ramificación

2/3arg2/-con

arg||loglog

z

zizz

96

x0 1

2C

1

y

CortePunto de ramificación

ii

ii

zdzz

dzzC

)2(

)1arg(|1|log)1arg(|1|log

log11 1

1

1

12

2/5arg2/con

arg||loglog

z

zizz

Intentemos definir una primitiva para este caso.Observe que NO puede ser la misma que en el caso anterior:

Y tomemos los cortes como los tomemos, siempre obtendremos este resultado.

99

Más sobre integración en contornos cerrados...Podemos usar el teorema Integral de Cauchy para integrar funciones en contornos cerrados siempre que éstas sean:

(a) analíticas, o (b) analíticas en ciertas regiones

Por ejemplo,

0C z

dzC

f (z) es analítica en todo punto excepto en z = 0

Pero, ¿qué sucede si el contorno encierra un punto singular?

C?

C z

dz

100

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

Fórmula Integral de CauchySea f (z) analítica en un dominio simplemente conexo D. Para cualquier punto z0 en D y cualquier contorno cerrado C en D que incluya z0:

D

0z

C

101

Ejemplo

Ilustremos la fórmula integral de Cauchy para el caso de f (z) = 1 y z0 = 0

00 z

C DLa fórmula integral de Cauchy

iidzzC

2121

f (z) es una función constante, es entera, así que C puede ser cualquier contorno cerrado en el plano complejo conteniendo z = 0.

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

se convierte en

102

Ejemplo

C

dzz

z

2

2

Evaluar la integral donde C es

20 z

z = 2 es un punto singular en el interior a C.

se convierte en:

21 z

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

La fórmula integral de Cauchy

8422

2

iidzz

z

C

f (z) es analítica en todo punto de modo que C puede ser cualquier contorno en el plano complejo conteniendo el punto z = 2.

103

0C

C0z

zier0

Demostración no rigurosa de la fórmula integral de Cauchy:

Por el principio de deformación de contornos:

0 00

)()(

CC

dzzz

zfdz

zz

zf

derzfideirer

erzfdz

zz

zf ii

Ci

i

2

0 000

2

00

00

0

)()()(

0

ii eir

d

dzerzz 000 ; Cambio de

variable:

104

Hemos tomado un r0 arbitrario. Hagámoslo infinitamente pequeño:

)(2)(

)()(lim

0

2

00

2

0 0

2

0 0000

zifdzif

dzfiderzfi i

r

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

¿Qué no es riguroso aquí?

105

0C

C0z

zier0

Demostración de la fórmula integral de Cauchy. Por el principio de deformación de contornos:

0 00

)()(

CC

dzzz

zfdz

zz

zf

2

0

1

0

0

0

0

00

0

00

0

)()(1)(

)()()()(

I

C

I

C

CC

dzzz

zfzfdz

zzzf

dzzz

zfzfzfdz

zz

zf

106

2

00

2

000

1 211

0

idideirer

dzzz

I i

Ci

0

0

02

)()(C

dzzz

zfzfIVamos a encontrar una cota ML para

02 rL M

zz

zfzf

zz

zfzf

0

0

0

0)()()()(

Tenemos:

Y necesitamos M tal que:

Para todo z en C0 : 00 rzz Como f(z) es continua en z0: 00 )()( zzsizfzf

Si tomamos )()( 00 zfzfrpara todo z sobre C0.

107

22

)()(0

00

02

0

rr

MLdzzz

zfzfI

C

Ya podemos aplicar la desigualdad ML: para02 rL

Mrr

zfzf

zz

zfzf

00

0

0

0 )()()()(

Epsilon puede ser tan pequeño como queramos (de hecho reducirlo es reducir el radio r0. Así que: 00 22 II

)(2)()(1

)()(

0

0

0

0

2

00

0

2

0

1

0

zifdzzz

zfzfdz

zzzfdz

zz

zf

I

C

iI

CC

108

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

Ejemplos

Evaluar las siguientes integrales:

C iz

dz(1) donde C es el círculo |z |=2

iz 0

1)( zf

f (z) es analítica en D y C incluye z0

1)( 0 zf

Ci

D

iiz

dz

C

2

109

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

C z

dz

12(2) donde C es el círculo |z+i |=1

Necesitamos un término en la forma 1/(z- z0) así que rescribimos la integral como:

En primer lugar, notemos que 1/(z2+1) presentapuntos singulares en z = i.

El contorno C incluye uno de esos puntos, z = -i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula

Ci

i

D

dziziz

iziz

dz

z

dz

CCC

1

))((12

110

C z

dz

12

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

iz 0

Ci

i

D

izzf

1)(

2/)( 0 izf

dziziz

iziz

dz

z

dz

CCC

1

))((12

111

Evaluar

donde C es el círculo |z – 2i | = 4.

SoluciónSolo z = 3i está dentro de C, y

iziz

z

z

z33

92

zdz

zC 92

:entonces ,3

)( Seaiz

zzf

iii

iifizdiziz

z

zdz

zCC

63

2)3(233

92

112

Otro ejemplo

)(2)(

00

zfidzzz

zf

C

Fórmula integral de Cauchy:

se convierte en

i

C

z

iedziz

e 2

iz 0

C D

C

z

dziz

eEvaluar donde C es cualquier contorno cerrado

conteniendo z = -i

f (z) es analítica en todo punto

113

C z

dz

14

C

i

i

1 1Tenemos que

CC izizzz

dz

z

dz

))()(1)(1(14

El contorno C incluye uno de esos puntos, z = +i.Ese es nuestro punto z0 en la fórmula

CC

dziz

zf

z

dz )(

14 ))(1)(1(

1)(

izzzzf

donde

4)2)(1)(1(

1)()( 0

i

iiiifzf

Ahora

2)(2

)(

1 00

4

zfidzzz

zf

z

dz

CC

donde C es el círculo |z+i |=1

114

C z

dzz

1

tan2 donde C es el círculo |z |=3/2

tan z es no analítica en /2, 3/2, , pero esos puntos están fuera de nuestro contorno de integración

C incluye dos puntos singulares, z = 1.Para poder usar la fórmula integral de Cauchy, debemos tener sólo un punto singular z0 dentro de C.

C

112/3 2/

Usaremos fracciones parciales:

)1)(1(

)1()1(

111

12

zz

zBzA

z

B

z

A

z

2/1,2/11

0)(

BABA

zBA

115

CCC

dzz

zdz

z

zdz

z

z

1

tan

2

1

1

tan

2

1

1

tan2

C

11 2/

1tan)(

tan)(

1

0

0

zf

zzf

z

)1tan()(

tan)(

1

0

0

zf

zzf

z

iidzz

z

C

785.9)1tan()1tan(2

12

1

tan2

121

0

!

2)(1

0 z

n

n

Cn dz

fd

n

idz

zz

zf

Por ejemplo,

Se pueden tratar funciones más complicadas con potencias de z-z0, con la fórmula:

Nota: cuando n=0 tenemos laFórmula Integral de Cauchy: 0

)(2)(

0z

C

zfidzzz

zf

Generalización de la fórmula integral de Cauchy

C zzC dz

zdidz

z

z

dz

zzdidz

z

zz

2

2

2

3

1

2

2

2

00

cos

2

cos,

32

1

3

f analítica en y dentro de C, z0 dentro de C

Esta fórmula también es conocida como la “formula para las derivadas de una función analítica.”

122

0

!

2)(1

0 z

n

n

Cn dz

fd

n

idz

zz

zf

Tomando f(z0) como una función de variable z0. Derivando con respecto a z0 y aplicando la regla de Leibnitz:

Partamos de la fórmula integral de Cauchy:

C

dzzz

zf

izf

00

)(

2

1)(

Demostración de la generalización de la fórmula integral de Cauchy

C

C

C

dzzz

zf

i

dzzzdz

dzf

i

dzzz

zf

idz

dzf

dz

d

20

00

000

0

)(

2

1

1)(

2

1

)(

2

1)(

Usar el mismo procedimiento para demostrar por inducción:

123

La generalización de la fórmula integral de Cauchy nos muestra algo excepcional:

Si una función f(z) es analítica en cierto dominio, entonces posee derivadas de todos los órdenes en dicho dominio. Y estas derivadas son a su vez también analíticas en el dominio.

Sea f(z) una función definida en todo punto de un entorno de z0. Si f(z) no es analítica en z0 es imposible encontrar una función F(z) tal que dF/dz = f(z) en todo punto del entorno. De existir F(z) sería analítica y por la fórmula generalizada de Cauchy, su segunda derivada df/dz existiría en todo punto del entorno considerado. Y entonces f(z) sería analítica en z0: una contradicción.

124

)(2)(

)(02

0

zfidzzz

zf

C

Ejemplo

Evaluar la integral

C

z

dzz

e2

donde C es el círculo |z |=2

C

00 zsea

zezf )(sea

f (z) es analítica en D, y C incluye z0

0

0 )(

)(

ezf

ezf z

D

iz

dze

C

z2

22

125

)(2

2

)(

)(03

0

zfi

dzzz

zf

C

Ejemplo

Evaluar la integral

C

dziz

z3

2

donde C es el círculo |z |=2

C

iz 0sea

2)( zzf sea

f (z) es analítica in D, y C incluye z0

2)(

2)(

0

zf

zf

D

iiz

dzz

C

2)( 3

2

126

Calcular

donde C es la circunferencia con sentido positivo.

C

z

dziz

e32

3z

i

C

zi

iz

Cn

n

C

z

ieIi

Idz

iz

e

ie

ezfezfiz

siendo

dzzz

zf

i

nzf

dziz

eI

23

2

200

10

0)(

3

22

!2

)()(;2

:

, )(

2

!

2

ExamenJUNIO 02/03: P-1

142

Resumen:

0)( C

dzzf con f (z) analítica dentro y sobre C.

(1)

)(2)(

0zifdzzz

zf

C o

con f (z) analítica dentro y sobre C(3)

( Teorema integral de Cauchy-Goursat )

(Fórmula integral de Cauchy )

con f (z) analítica dentro y sobre C(4)

( Fórmula para derivadas )

(2)

)()()( 01

1

0

zFzFdzzfz

z

donde )(zfdz

dF

F (z) analítica en un dominio simplemente conexo D, con derivada dF/dz = f(z) y z0 y z1 en D.

0

!

2)(1

0 z

n

n

Cn dz

fd

n

idz

zz

zf

143

Ejercicios: Demostrar

(1) El teorema de Morera:

(2) La desigualdad de Cauchy:

“Si f (z) es continua en un dominio simplemente conexo D y si 0)( C

dzzf

para cualquier camino cerrado en D, entonces f (z) es analítica en D”

nn

r

Mnzf

!)( 0

)( 0zr

CMzf en)(

C

(Probarlo usando la fórmula para las derivadas de una función analíticay la desigualdad ML)

(3) El teorema de Liouville“Si una función entera f (z) está acotada en valor absoluto para todo z, entoncesf (z) debe ser constante” – probarlo usando la desigualdad de Cauchy.

145

Desigualdad de Cauchy

• Si tomamos el contorno circular C: |z – z0| = r, utilizando la generalización de la fórmula integral de Cauchy y la desigualdad ML:

donde |f(z)| M para todos los puntos de C. nn

C nn

r

Mnr

rM

n

zdzz

zfnzf

!2

12

!

)(

)(2

!|)(|

1

10

0)(

147

Haciendo n = 1 en la desigualdad de Cauchy, tenemos que |f ’(z0)| M/r. Tomando r arbitrariamente largo, podemos hacer que |f ’(z0)| sea tan pequeño como queramos: |f ’(z0)| = 0. De modo que f es una función constante.

Teorema de Liouville

P.K. 1999 MM3: ODEs

Ejercicio. Sea la función entera tal que:

Con la ayuda del teorema de Liouville obtener la expresión general de f(z).

Czezf z ,)(

Respuesta.

Cze

zfCzezf

zz ,1

)(,)(

Por el teorema de Liouville: 1con ,.)(

ctee

zfz

Por tantozezf )(

5 integracion

Education

Transcript of 5 integracion