Capitulo 9 (1)

455

VertederosCaptulo IX

CAPITULO IXVERTEDEROS

9.1 Objeto de los vertederos. Tipos

El vertedero ha sido definido por Balloffet como una abertura (o mejor, escotadura) de contornoabierto, practicada en la pared de un depsito, o bien en una barrera colocada en un canal oro, y por la cual escurre o rebasa el lquido contenido en el depsito, o que circula por el roo canal. Una escotadura es el entrante que resulta en una cosa cuando est cercenada, ocuando parece que lo est, como si le faltara all algo para completar una forma ms regular.

En la Figura 9.1 se aprecia una escotadura rectangular de longitud L .

En general, un vertedero suele tener una de las dos finalidades siguientes: a) medir caudalesy b) permitir el rebose del lquido contenido en un reservorio o del que circula en un ro o canal.Estas funciones no son excluyentes.

Los vertederos resultan muy tiles para medir caudales. Los que tienen el objetivo exclusivode medir, lo hacen por lo general con caudales relativamente pequeos.

Tambin puede construirse un vertedero para permitir el rebose del lquido al llegar a un ciertonivel. A esta estructura se le denomina aliviadero.

En realidad en un vertedero siempre estn presentes ambas funciones. En las obras deingeniera hidrulica, por ejemplo en una presa, se construyen vertederos para que cumplan lafuncin de aliviaderos. Sin embargo, son a la vez estructuras aforadoras, es decir, que midencaudales.

Existen diferentes tipos de vertederos. Pueden clasificarse por el tipo de cresta, por losniveles de aguas abajo, por su forma, por las condiciones laterales, por su inclinacin conrespecto a la corriente y por otras circunstancias.

456

Arturo RochaH

idrulica de tuberas y canales

Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada

2Vg

2

P : es el umbral : es el coeficiente de CoriolisH : es la cargaL : es la longitud del vertederoB : es el ancho del canal de aproximacinV : es la velocidad de aproximacin

0

HV0

P

H

0V 2

g2

P

h = VA

B

4H B

> 3H > 3H

M. G. V. M. R. V.

Aguas muertas

Paramento

Escotadura

L

Napa vertiente

0

457


Para una mejor comprensin de los aspectos tericos vinculados a la descarga por vertederoses necesario que el lector recuerde y tenga presente algunos conceptos de descarga pororificios, estudiados en un curso anterior de Hidrulica o de Mecnica de Fluidos.

Un vertedero da lugar a un chorro, es decir, a una napa vertiente, tal como se aprecia en laFigura 9.1. Sobre el vertedero y en sus inmediaciones hay un movimiento rpidamente variado(M. R. V.). Es un remanso de depresin originado en la transformacin de energa potencialen energa cintica. Hacia aguas arriba, en una seccin AB, hay un movimiento gradualmentevariado (M. G. V.). Se acepta que en la seccin AB rige la ley hidrosttica. Esta seccin seencuentra a una cierta distancia del vertedero. Referencialmente se considera que estadistancia es igual a 4 H , siendo H la carga sobre el vertedero. Obsrvese que inmediatamenteaguas arriba del umbral de vertedero hay una zona de estancamiento o de aguas muertas.

Se denomina carga sobre el vertedero a la altura H con respecto a un plano horizontal quepasa por la cresta, medida en la seccin AB.

En la Figura 9.1 se muestra tambin la altura del umbral P del vertedero (paramento), que esla distancia entre el fondo y la cresta del vertedero.

Existen fundamentalmente dos tipos de napa vertiente en funcin de la presin que la rodea.

En la napa libre la presin que hay en el espacio comprendido entre el paramento del vertedero(umbral), las paredes del canal inmediatamente aguas abajo de l y la parte inferior de la napavertiente es igual a la atmosfrica. En consecuencia, en todo el contorno de la napa la presines igual a la atmosfrica. En estas condiciones se forma el perfil, o trayectoria de la napa,representado en la Figura 9.1. En la Figura 9.2 se observa la red de corriente correspondiente aesas condiciones (chorro libre).

Figura 9.2 Red de corriente caracterstica de una napa vertiente libre ( HP >>> )

pghV

pg

Vh

H

P

458

Arturo RochaHidrulica de tuberas y canales

En la Tabla 9.1 se aprecia las coordenadas tpicas correspondiente a un chorro libre, segnFranke, siempre que la altura del umbral sea mucho mayor que la carga sobre el vertedero

( HP >>> ).

Para conseguir la condicin de chorro libre puede ser necesario ventilar debidamente el espacioantes mencionado ubicado debajo del chorro. Para ello, si es necesario, se colocan tomas deaire que garantizan la comunicacin con la atmsfera.

Cuando el chorro es libre las condiciones de descarga (la napa) se mantienen bastanteconstantes y el vertedero es as confiable para medir caudales. Esto es deseable en unvertedero.

TABLA 9.1

COORDENADAS CARACTERISTICAS DE UNA NAPA VERTIENTE LIBRE ( HP >>> )

P > H

H

x

1,00

z

z z

x PARTE

INFERIOR

PARTE

SUPERIOR

x PARTE

INFERIOR

PARTE

SUPERIOR

- 3,00

- 2,00

- 1,00

0

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,75

-

-

-

- 0,125

- 0,035

- 0,005

0

- 0,010

- 0,030

- 0,060

- 0,105

- 0,125

1,000

0,985

0,950

0,830

0,805

0,775

0,745

0,705

0,665

0,620

0,570

0,540

0,75

0,80

0,90

1,00

1,20

1,40

1,54

1,60

1,80

2,00

2,50

3,00

- 0,125

- 0,155

- 0,210

- 0,270

- 0,41

- 0,59

- 0,74

- 0,80

- 1,05

- 1,31

- 2,10

- 3,11

0,540

0,510

0,450

0,380

0,22

0,03

- 0,125

- 0,19

- 0,43

- 0,70

- 1,50

- 2,50

459

VertederosC

aptulo IX

Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida

La presin en el espacio comprendido entre el

paramento del vertedero y la napa vertiente es

menor que la atmosfrica y dicho espacio se

encuentra lleno de aire.

La napa vertiente (el chorro) no es estable: es

oscilante.

El espacio comprendido debajo de la napa est

lleno de agua y aire. El aire se ha ido arrastrando.

El chorro es inestable.

Desaparece el aire en el espacio ubicado debajo

de la napa y ste queda lleno de agua. La lmina

queda adherida al paramento del vertedero.

460


Cuando el espacio antes descrito, ubicado debajo de la napa vertiente, tiene una presinmenor que la atmosfrica el chorro no tiene descarga libre y se acerca al paramento delvertedero. Se dice entonces que la napa est deprimida. En estas condiciones el chorro sevuelve inestable y el vertedero no resulta adecuado para medir caudales.

Puede darse que el espacio debajo de la napa, en el que se produzca una presin menor quela atmosfrica, est libre de agua, parcialmente con agua o totalmente lleno de agua, talcomo se aprecia en la Figura 9.3. Finalmente, la napa pasa de deprimida a adherente yadquiere una trayectoria vertical, pegada (adherida) al paramento. Esto se produce con caudalespequeos.

Las condiciones de lmina vertiente adherida o deprimida deben evitarse, pues inducen aerror en la medicin del caudal.

Clasificacin de los vertederos por el tipo de cresta

Por el tipo de cresta se distingue dos grandes tipos: vertederos en pared delgada y vertederosen pared gruesa. La diferencia est en el tipo de contacto entre la napa vertiente y el paramento.

En los vertederos en pared delgada el contacto entre el agua y la cresta es slo una lnea, esdecir, una arista. Para que un vertedero se considere en pared delgada no es indispensableque la cresta sea delgadsima como la de la Figura 9.1. La pared puede tener un cierto

espesor. Si ste es menor que 3/2H se considera que el vertedero es en pared delgada,como se deduce de la observacin de la Figura 9.4 que corresponde a una napa vertiente encresta delgada.

Figura 9.4 Detalle de las caractersticas geomtricas de la napa vertiente en un vertedero enpared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1

Ventilacin

H23

H0,23

H0,11

H0,66

P >> H

p

H p

P

0,85 H

0,27 H0,15 H

461


En cambio, en los vertederos en pared gruesa el contacto es un plano. El flujo se adhiere a lacresta. En la Figura 9.5 se observa tres vertederos en pared gruesa. El vertedero tipo c seconsidera en pared gruesa propiamente dicha, en tanto que los tipos a y b se llaman de paredintermedia.

En la Figura 9.1 se observa las caractersticas generales de la descarga sobre un vertederoen pared delgada. Se aprecia como se forma la napa vertiente, cuyas dimensiones relativasaproximadas se dan en la Figura 9.4. La cresta del vertedero es aguda (de umbral achaflanado)y el contacto es slo una lnea. En los vertederos en pared delgada la napa se caracterizaporque en todo su contorno la presin es igual a la atmosfrica, lo que es indispensable parala correcta medicin de caudales.

Velocidad de aproximacin

Se denomina velocidad de aproximacin (velocidad inicial o de llegada) a la velocidad mediaque corresponde a la seccin AB (Figura 9.1) en la que el escurrimiento se produce en toda laseccin. Obsrvese que hacia aguas abajo de la seccin AB la seccin transversal que

participa del escurrimiento es menor. La velocidad de aproximacin 0V es

( )HPBQ

AQ

V+

==0 (9-1)

siendo B el ancho del canal de aproximacin. Si el umbral P fuese mucho mayor que H

entonces 0V tendera a cero.

Esta velocidad inicial da lugar a una energa cintica Vh cuya expresin es

gV

hV 2

20a= (9-2)

Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, segn dibujo de Balloffet

(a) (b) (c)

462


Siendo a el coeficiente de Coriolis.

Clasificacin de los vertederos por los niveles de aguas abajo

Este es un criterio de clasificacin muy importante. En el vertedero libre el nivel de aguasabajo es inferior al de la cresta.

En cambio, el vertedero sumergido o incompleto se caracteriza porque el nivel de aguas abajoes superior al de la cresta, tal como se ve en la Figura 9.19. Esto no significa necesariamente,como ha sido claramente sealado por Domnguez, que dicho nivel tenga influencia en elescurrimiento sobre el vertedero, porque puede suceder que no lo tenga y en cambio otro,aun inferior a la cota del umbral, la puede tener en otras circunstancias. Un vertedero, pues,definido como incompleto o ahogado por la cota del escurrimiento de aguas abajo, no essinnimo de vertedero influenciado por dicho nivel.

Clasificacin por las condiciones laterales de descarga

Los vertederos pueden ser con contracciones laterales o sin ellas.

Los vertederos con contracciones laterales son aquellos en los que la longitud L del vertederoes menor que el ancho B del canal de aproximacin. Para que se produzca contraccioneslaterales completas es necesario que la distancia entre cada extremo del vertedero y la pareddel canal sea por lo menos de H3 . Es recomendable tambin que la altura P del umbralsea por lo menos igual a H3 , tal como se ve en la Figura 9.1.

Naturalmente que si LB = es un vertedero sin contracciones laterales.

Clasificacin de los vertederos segn su forma

Segn la forma hay diferentes tipos de vertederos: rectangulares, triangulares, trapeciales,circulares, parablicos, poligonales y muchas otras posibilidades geomtricas, tal como seobserva en la Figura 9.6.

Clasificacin de los vertederos por la inclinacin del paramento

El paramento de los vertederos suele ser vertical, pero puede estar inclinado hacia aguasarriba o hacia aguas abajo, tal como se ve en la Figura 9.7. El vertedero inclinado hacia aguasabajo disminuye la contraccin. En consecuencia, para una misma carga H el gasto aumentacon la inclinacin hacia aguas abajo. Si la inclinacin fuese hacia aguas arriba ocurrira locontrario. Existe tambin el llamado vertedero entrante, que aparece en la misma figura.

463


Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos

(a) Rectangular (b) Triangular (c) Trapecial

(d) Circular (e) Parablico

(f) Parbola semicbica (g) Mixto

(h) Hiperblico (i) Proporcional

464


Vertederos inclinados con respecto a la direccin de la corriente

Los vertederos suelen estar ubicados normalmente a la corriente. Sin embargo, eventualmente,forman un cierto ngulo con ella, tal como se ve en la Figura 9.8.

Otros tipos de vertederos

Existen otros tipos de vertederos como

- Desarrollados- Abatibles- Inflables- Laterales- De Planta Circular (Morning Glory), etc.

Algunos de ellos se aprecian en la Figura 9.9.

Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c)

Figura 9.8 Vertedero que forma un ngulo con la direccin de la corriente

B L

q

(a) (b) (c)

H

465


Figura 9.9 Otros tipos de vertederos

Vertedero de planta circular

Vertedero proporcionalEl caudal es proporcional a la

carga H

Combinacin de orificio y vertedero

Vertedero desarrollado Vertedero Inflable

cmara inflable

466


9.2 Vertederos rectangulares. Frmula terica de descarga

A continuacin se presenta la deduccin de la frmula general de descarga de un vertederorectangular. En la Figura 9.10 se muestra parcialmente un estanque en una de cuyas paredeshay un orificio rectangular de ancho L . Los otros elementos caractersticos se muestran en lafigura.

2Vg

20a

h2h1

yL

dy

Figura 9.10 Esquema para la deduccin de la frmula de descarga en un vertedero rectangular

Para efectos de clculo consideramos que en el orificio hay una pequea franja de reaelemental, de ancho L y espesor dy , a travs de la cual pasa el siguiente caudal

VLdyVdAdQ ==

siendo V la velocidad correspondiente. Para el clculo de esta velocidad se aplica elteorema de Bernoulli y se obtiene

+=

gV

ygV2

22

0a

Por lo tanto,

Ldyg

VygdQ

+=

22

20a

467


Integrando se obtiene el caudal a travs del orificio

Lg

Vh

gV

hgQ

+-

+=

23

20

2

23

20

1 222

32 aa

Esta frmula es para un orificio. Para un vertedero debe darse que 2h = 0. Si, adems,llamamos H a 1h , que es la carga, se tiene

Lg

Vg

VHgQ

-

+=

23

20

23

20

222

32 aa (9-3)

que es la frmula terica de descarga de un vertedero. Esta frmula no toma en cuenta lafriccin, ni los efectos debidos a la contraccin vertical de la napa. En consecuencia, para

obtener el gasto real se debe aplicar un coeficiente c de descarga. Entonces el gasto real es

Lg

Vg

VHcgQ

-

+=

23

20

23

20

222

32 aa (9-4)

El coeficiente de descarga c se obtiene experimentalmente.

Si tuvisemos un vertedero en el que la velocidad de aproximacin fuese tan pequea quepudiese despreciarse, entonces, para 0V = 0 se obtiene la descarga terica

23

232

LHgQ = (9-5)

La descarga real se obtiene aplicando un coeficiente de descarga c y se llega a

23

232

cLHgQ = (9-6)

g

Vh

2

20

1 a+

g

Vh

2

20

2 a+

Ldyg

Vy

21

20

2

+agQ 2=

468


que es la ecuacin de descarga caracterstica de los vertederos rectangulares. La posibilidadde despreciar la velocidad de aproximacin depende de su valor y de la precisin con la queestemos trabajando. Referencialmente se seala que si la seccin transversal del canal deaproximacin es mayor que LH8 se puede despreciar la velocidad de aproximacin.

Obsrvese que en un vertedero rectangular el caudal es directamente proporcional a la longituddel vertedero y a la potencia 3/2 de la carga.

La determinacin del coeficiente de descarga c ha sido objeto desde el siglo XIX de numerososestudios experimentales. En general, el coeficiente de descarga c de un vertedero dependede varios factores: carga H , naturaleza de los bordes, altura del umbral, propiedades delfluido, etc.

Las diversas investigaciones experimentales para determinar el coeficiente de descarga sehan desarrollado para diferentes condiciones. Cada investigacin tiene, en consecuencia, uncampo de aplicacin. Si nos salimos de l no hay seguridad en los resultados.

La aproximacin que da cada frmula es bastante buena, siempre que se aplique dentro delos lmites fijados en los trabajos experimentales. En las Figuras 9.1 y 9.4 se aprecia lascaractersticas generales de la napa vertiente en un vertedero rectangular.

Los estudios experimentales han partido de la frmula terica 9-3 y han seguido diversoscaminos. En algunas investigaciones simplemente se introduce un coeficiente, en otras seintroduce una longitud o una carga ficticia para tomar en cuenta los efectos originados enfenmenos no considerados en la deduccin de la frmula terica.

En lo que respecta a vertederos rectangulares hay dos grandes grupos de ellos: sincontracciones y con contracciones laterales.

De las numerosas frmulas existentes se presenta las siguientes: Francis (1852), Rehbock(1911), Bazin-Hegly (1921), Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos (1924) y Kindsvater-Carter (1959).

Obsrvese que si en la frmula 9-3 consideramos VhgV =22

0 y tomamos factor comnH , entonces se obtiene

-

+=

23

23

23

1232

Hh

HhLHgQ VV aa (9-7)

si comparamos esta frmula con la 9-6 se obtiene una interpretacin de un coeficiente dedescarga que toma en cuenta el efecto de la velocidad de llegada y cuyo valor es

469


23

23

1

-

+

Hh

Hh VV aa (9-8)

9.3 Frmula de Francis

James B. Francis realiz ms de 80 experimentos, entre 1848 y 1852, en vertederosrectangulares en pared delgada con el objetivo de encontrar una expresin para el coeficientede descarga.

Francis realiz sus experiencias en Lowell, Massachusetts, dentro de determinadascondiciones, las que constituyen los lmites de aplicacin del coeficiente de descarga queobtuvo.

La mayor parte de las experiencias las hizo con un vertedero de 10 ft de longitud (3,05 m); sinembargo, experiment tambin con otras longitudes.

En lo que respecta a la carga, sta estuvo comprendida entre 0,18 m y 0,50 m, que constituyenlos lmites de aplicacin de la frmula. Se recomienda tambin que la altura del umbral Pest comprendida entre 0,60 m y 1,50 m. Se recomienda tambin que la relacin HL / seamayor que 3.

La frmula obtenida por Francis considera la velocidad de aproximacin 0V y la posibilidad de

contracciones laterales.

La frmula de Francis es

-

+

-=

23

20

23

20

2210622,02

32

gV

gV

HnH

LgQ (9-9)

En el sistema mtrico se considera

84,1836,1622,0232 = g (9-10)

Obsrvese que el coeficiente 0,622 es adimensional, en cambio el coeficiente 1,84 esdimensional.

En el sistema de unidades inglesas se tendra

470


33,3622,0232 = g (9-11)

En el sistema mtrico la frmula general de Francis queda as

-

+

-=

23

20

23

20

221084,1

gV

gVHnHLQ (9-12)

en la que el caudal Q est en m3/s, la longitud del vertedero L en metros, la carga H enmetros, la velocidad de aproximacin 0V en m/s. Se designa como n el nmero decontracciones (0, 1, 2).

Se observa que el criterio que usa Francis para considerar el efecto de las contracciones esel de considerar que como consecuencia de ellas se produce una reduccin de la longitud del

vertedero. Aparece as una longitud efectiva

-

10nHL en funcin del nmero n de

contracciones. Obsrvese que si HL 2,0 aparecera cero o un valor negativo para el caudal.

Si se considera que la velocidad de aproximacin es muy pequea y que puede despreciarse,

entonces 0V = 0 y la frmula de Francis queda as

23

1084,1 H

nHLQ

-= (9-13)

Si, adems, no hubiese contracciones laterales, entonces 0=n y la frmula de Francisquedara reducida a

23

84,1 LHQ = (9-14)

Para aplicar la frmula general de Francis (Frmula 9-9) es necesario recurrir a un mtodo de

tanteos y aproximaciones sucesivas, puesto que para calcular 0V se requiere conocer lacarga H .

Lo que se recomienda es hacer un clculo preliminar a partir de la frmula (9-14), asumiendo

que la velocidad 0V de aproximacin fuese cero y que no hubiese contracciones. Con esevalor preliminar obtenido se aplica la ecuacin general, se compara los resultados obtenidosy se prosigue hasta lograr la aproximacin deseada.

471


Si la frmula es aplicada correctamente y el vertedero fue bien colocado se puede lograraproximaciones de 3 %. Si se usase el vertedero para medir caudales que den lugar acargas muy pequeas, fuera de los lmites de aplicacin de la frmula de Francis, se obtendraresultados menores que los reales.

9.4 Otras frmulas para vertederos rectangulares

a) Frmula de Bazin, ampliada por Hgly

En 1886 Bazin luego de una larga serie de cuidadosos experimentos, estableci una frmulapara calcular la descarga en vertederos rectangulares sin contracciones.

En 1921 Hgly public, a partir de las investigaciones de Bazin, una nueva frmula para elclculo de la descarga de un vertedero rectangular en pared delgada con contracciones o sinellas. La llam frmula completa de Bazin. Tambin se le conoce con el nombre de frmulade Bazin-Hgly.

La frmula de Bazin-Hgly se aplica a vertederos cuyas cargas estn comprendidas entre0,10 m y 0,60 m, cuyas longitudes estn entre 0,50 m y 2,00 m y en los que la altura delumbral se encuentre entre 0,20 m y 2,00 m.

La frmula de Bazin-Hgly parte de la ecuacin 9-6, de descarga de un vertedero

23

232

cLHgQ =

en la que para un vertedero con contracciones laterales el valor de c es

+

+

+--=

22

55,0100405,0

045,06075,0PH

HBL

HBLB

c (9-15)

en la que B es el ancho del canal.

Si el vertedero fuese sin contracciones, entonces LB = y el coeficiente de descarga sera

++

+=

2

55,0100405,0

6075,0PH

HH

c (9-16)

472


b) Frmula de la Sociedad Suiza de Ingenieros y Arquitectos

Esta frmula de descarga para vertederos rectangulares en pared delgada fue adoptada en1924. La frmula parte de la ecuacin 9-6 de descarga de un vertedero

23

232

cLHgQ =

En esta frmula tambin hay dos coeficientes, segn que haya contracciones o no.

El coeficiente c para un vertedero con contracciones es

++

+

-

+

+=

2

2

2

21

16,11000

3615,3037,0578,0

PHH

BL

HBL

BL

c (9-17)

B es el ancho del canal.

Los lmites de aplicacin de esta frmula para el coeficiente de descarga en vertederosrectangulares con contracciones son

80,0025,0 H

BL m

BL 30,0 m

BP 30,0

1PH

El coeficiente de descarga c para un vertedero sin contracciones es

++

++=

2

211

6,1100011615,0

PHH

Hc (9-18)

La carga H est en metros. Los lmites de aplicacin de este coeficiente son

0,025 m < H 0,80 m

473


P 0,30 m

PH

1

c) Frmula de Kindsvater - Carter

Es una de las frmulas de mayor confiabilidad. Se aplica a todos los vertederos rectangulares,con contracciones o sin ellas. Fue establecida por C. E. Kindsvater y R. W. Carter y data de1959.

La frmula es

( )( )23

232

HLe KHKLgcQ ++= (9-19)

Como puede apreciarse, en lugar de la longitud del vertedero se usa la longitud efectiva, quees la suma de la longitud L del vertedero ms un valor LK que se encuentra a partir de unaexpresin obtenida experimentalmente y que aparece en la Figura 9.11. HK es un valor iguala 0,001 m, que se adiciona a la carga para constituir la carga efectiva. ec es el coeficientede descarga propio de la frmula. Tiene origen experimental y aparece en la Figura 9.12.

Entre los requerimientos para una correcta aplicacin de la frmula estn los siguientes.

La carga H debe medirse a una distancia igual a 4 5 veces la mxima carga.

El vertedero debe ser propiamente en pared delgada. La cresta debe ser de 1 2 mm deespesor.

0

L

KL

(mm

)

0,2 0,4 0,6 0,8 1

5

4

3

2

1

0

-1

B

Figura 9.11 Grfico para la determinacin de LK

0

L

KL

(mm

)

0,2 0,4 0,6 0,8 1

5

4

3

2

1

0

-1

B

474


El nivel de la superficie libre de aguas abajo debe estar por lo menos 6 cm debajo de la crestadel vertedero.

La carga debe ser superior a 3 cm. El umbral debe ser por lo menos de 10 cm.

La longitud del vertedero y el ancho del canal deben ser superiores a 15 cm.

La relacin entre la carga H y la altura P del umbral debe ser menor que 2,5.

Si la longitud del vertedero es igual al ancho del canal ( BL = ), entonces no hay contracciones.

Ejemplo 9.1 En un canal de 6 m de ancho se ha instalado un vertedero rectangular en pared delgada,

de 2 m de longitud. La altura del umbral es 1,50 m. Calcular el caudal para una carga de 0,50 m.

Solucin. Se observa que se trata de un vertedero con dos contracciones y que la distancia de cada

extremo del vertedero a las paredes del canal es apropiada para asegurar buenas condiciones de

contraccin. As mismo, la altura del umbral tambin garantiza una buena contraccin.

Dadas las dimensiones del vertedero y la carga que se presenta son varias las frmulas que podran

usarse.

Frmula de Francis

Para iniciar el clculo se puede usar la ecuacin 9-14 considerando como que no hubiese contracciones

ni velocidad de acercamiento importante

Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial

H0,5

P

0 1 1,5 2,52

ISO (1980) LMNO

00,4

0,6

0,7

0,8

0,9

= 1LB

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

Coe

ficie

nte

de d

esca

rga

ec

475


( ) === 2323

50,0284,184,1 LHQ 1,301 m3/s

Esta sera la descarga del vertedero para las condiciones sealadas ( 0=n ; 00 =V ). A partir del caudal

encontrado se puede calcular la velocidad de aproximacin (ec. 9-1)

( ) 108,026301,1

0 ==

+==

HPB

Q

A

QV m/s

Aplicando la ecuacin 9-2, para 1=a , se obtiene

Se trata de un valor bastante pequeo, sin embargo vamos a considerarlo y aplicamos la ecuacin 9-12

( )

-+

-= 2

323

1084,1 VV hhH

nHLQ

( ) ( )

-+

-= 2

323

0006,00006,050,010

50,02284,1Q

238,1=Q m3/s

Obsrvese que este valor del caudal es casi 5 % menor del que se obtuvo suponiendo que no haba

contracciones y que la velocidad de aproximacin era despreciable. Podra hacerse un nuevo clculo

de la velocidad de aproximacin y repetir todo el procedimiento, pero como en este caso es tan

pequea no vale la pena hacerlo.

Se hubiera podido partir de la ecuacin 9-13, entonces

( ) 236,150,09,184,110

84,1 23

23

==

-= H

nHLQ m3/s

103,012236,1

0 ==V m/s

( ) ( ) 238,10005,00005,050,09,184,1 2323 =

-+=Q m3/s

m 0,00062gV

h20

V ==

m

0,00052gV

h20

V ==

476


Por lo tanto, segn la frmula de Francis el caudal es 1,238 m3/s. Si quisiramos calcular el coeficiente

de descarga con la ecuacin 9-8, se obtendra

0015,150,0

0005,050,0

0005,011

23

23

23

23

=

-

+=

-

+=

H

h

H

hc VV aa

que es prcticamente igual a la relacin entre 1,238 y 1,236 m3/s.

Frmula de Bazin

El coeficiente c de descarga para la frmula de Bazin est dado por la ecuacin 9-15

+

+

+

--=

22

55,0100405,0

045,06075,0PH

H

B

L

HB

LBc

reemplazando los valores conocidos se obtiene

+

+

+

--=

22

50,150,050,0

62

55,0150,0

00405,06

26045,06075,0c

588,0=c

y el gasto es

227,1232 2

3

== LHgcQ m3/s

Frmula de la Sociedad Suiza

Para un vertedero con contracciones el coeficiente de descarga viene dado por la ecuacin 9-17

++

+

-

+

+=

2

2

2

21

16,11000

3615,3037,0578,0

PH

H

B

L

H

BL

B

Lc

Reemplazando los valores conocidos se obtiene

+

+

-

+

+=

2

2

2

00,250,0

62

21

16,11000

62

3615,3

62

037,0578,0H

c

477


De donde,

595,0=c

El caudal es

( ) 242,150,02595,0232

232

23

23

=== gcLHgQ m3/s

Frmula de Kindsvater

Se aplica la ecuacin 9-19

( )( )23232

H Le KHKLgcQ ++=

HK es 0,001 m. Para el clculo de LK se usa la Figura 9.11 y a partir de 33,0=BL

se obtiene

LK = 0,025 m.

Para el clculo de ec se usa la Figura 9.12 y para 33,0=PH

se obtiene ec = 0,59

Por lo tanto,

( )( ) 237,1001,050,00025,02232

59,0 23

=++= gQ m3/s

CUADRO COMPARATIVO

INVESTIGADOR Q (m3/s) e (m3/s) %

Francis 1,238 + 0,002 0,16 %

Bazin 1,227 - 0,009 0,73 %

Sociedad Suiza 1,242 + 0,006 0,48 %

Kindsvater 1,237 - 0,001 0,08 %

Promedio 1,236 0 0

Al haber aplicado estas cuatro frmulas se observa que, independientemente del error que cada una

de ellas tiene, los resultados son bastante coincidentes y las diferencias con respecto al promedio son

inferiores al 1 %.

478


d) Frmula de Rehbock

Rehbock realiz desde 1911 numerosas experiencias en el Laboratorio de Hidrulica deKarlsruhe con vertederos rectangulares. Sus experiencias fueron muy cuidadosamente hechasy trat de disminuir la influencia de las condiciones de aproximacin.

La frmula de 1929 para el coeficiente de descarga en vertederos rectangulares en pareddelgada sin contracciones es

23

0011,01

00009,00813,06035,0

+

++=

HPPH

c (9-20)

H y P estn en metros. El coeficiente c se aplica a la ecuacin 9-6.

Se recomienda usar la frmula para cargas comprendidas entre 0,025 m y 0,60 m.

9.5 Vertederos triangulares

Para deducir la frmula de descarga en un vertedero triangular se plantea la siguiente figura

Consideremos el gasto a travs de

la pequea franja elemental dx .

La longitud de la franja es

( )H

xHb -

El rea de la franja es

( )dx

HxHb -

Considerando a esta franja como un orificio y despreciando la velocidad de aproximacin seobtiene el caudal

( ) dxxHxgHb

dxgxxHHb

dQ

-=-= 2

121

22

Integrando entre 0=x y Hx = se obtiene

2 a

b

dx H

x

479


23

2154

HgbQ =

Pero, atan2Hb = , de donde

25

2tan158

HgQTEORICO a= (9-21)

25

2tan158

HgcQREAL a= (9-22)

La frmula de descarga para un vertedero triangular de un ngulo dado y para coeficiente cconstante puede expresarse as

25

KHQ =

siendo,

gcK 2tan158 a=

La necesidad de este coeficiente de descarga c se justifica porque en la deduccin de lafrmula no se ha tomado en cuenta la contraccin de la napa y otros efectos que si estnpresentes en el flujo real.

Otra forma de calcular la descarga a travs de un vertedero triangular verticalmente simtricoes considerar que la ecuacin de uno de los dos lados del tringulo es

atanyx =

ady H

y

de donde, el caudal es

( ) -a=H

ydyyHcgQ

021

tan22

integrando se obtiene

480


25

tan2158

HcgQ a=

que es la ecuacin de descarga de un vertedero triangular.

De un modo similar se puede obtener la descarga para vertederos de otras formas geomtricas.La dificultad est en conocer los correspondientes coeficientes de descarga.

Si el vertedero estuviese formado por un tringulo asimtrico en el que los ngulos con respecto

a la vertical fuesen 1a y 2a se puede considerar el promedio respectivo.

Entre las ventajas de los vertederos triangulares se puede citar las siguientes. Como la descargadepende de la potencia 5/2 de la carga se puede tener mayor precisin en la medicin decaudales pequeos. As mismo, en los vertederos triangulares es muy pequea la influenciade la altura del umbral y de la velocidad de llegada. Para ello se requiere que el ancho delcanal de aproximacin sea igual o mayor a 5 veces la carga sobre el vertedero.

HB 5 (9-23)

A los vertederos triangulares se les suele conocer por su nombre en ingles: V-notch, queliteralmente significa escotadura en V .

Los vertederos triangulares son muy sensibles a la rugosidad de la cara de aguas arriba y a laexactitud en la medicin de la carga. Para cargas pequeas influye la viscosidad y la tensinsuperficial.

El coeficiente c depende de varios factores; entre ellos estn el ngulo del vertedero y lacarga. La forma de conocer el coeficiente de descarga es mediante estudios experimentales.

En el Laboratorio de Hidrulica de la Universidad de Chile los ingenieros L. Cruz - Coke, C.Moya y otros realizaron entre 1923 y 1924 una amplia investigacin experimental del flujo envertederos de 15, 30, 45, 60, 90 y 120. En la Figura 9.13, tomada de la Hidrulica deDomnguez, se aprecia los resultados. Para cada ngulo del vertedero y para cada valor de

la carga se obtiene el coeficiente m que es 8/15 del coeficiente de descarga c . Por lo tanto,

mc8

15=

El gasto se calcula con la frmula 9-22. Se determin, como parte del estudio, que los erroresno son superiores al 5 %.

481


Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares

Es interesante analizar la Figura 9.13. Se observa claramente que para cada ngulo elcoeficiente aumenta al aumentar la carga, mientras stas sean pequeas. A partir de uncierto valor de la carga, alrededor de 3 4 cm, el aumento de la carga implica una disminucindel coeficiente. Finalmente, para valores mayores de la carga (mayores, mientras ms pequeosea el ngulo) se llega a un valor prcticamente constante. Estos valores prcticamenteconstantes hacia los que tiende el coeficiente de cada vertedero y las cargas respectivas sonpara cada ngulo los que aparecen en la Tabla 9.2

TABLA 9.2

COEFICIENTES EN VERTEDEROS TRIANGULARES

ANGULO ( a2 ) 15 30 45 60 90 120

>H 0,25 0,205 0,185 0,17 0,14 0,12

m 0,343 0,33 0,325 0,32 0,313 0,322

c 0,643 0,619 0,609 0,6 0,587 0,604

K 0,2 0,392 0,596 0,818 1,386 2,471

CRUZ COKE Y MOYA

H

MIGUEL Y FIGARI

otros ngulos120

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,250,25

0,30

0,35

0,40

m

a152

3045

90

120 60

482


Aplicando la Tabla 9.2 se podra tener una frmula simple para cada vertedero de un ciertongulo, la que se podra aplicar para valores de la carga H mayores que un cierto valor. As,se tendra

Para 15 25

2,0 HQ = (para 25,0H m)

Para 30 25

392,0 HQ = (para 205,0H m)

Para 45 25

596,0 HQ = (para 185,0H m)

Para 60 25

818,0 HQ = (para 17,0H m)

Para 90 25

386,1 HQ = (para 14,0H m)

Para 120 25

471,2 HQ = (para 12,0H m)

Para el caso particular de los vertederos triangulares de 90 se tiene que 902 =a ( )45=ay el gasto terico es

25

25

3612,22158

HHgQT == (9-24)

James Thomson (1861) realiz experiencias con vertederos triangulares. Es muy conocida sufrmula para vertederos triangulares de 902 =a . Sus experimentos abarcaron cargas entre5 y 18 cm. Posteriormente (1908) James Barr demostr experimentalmente que la frmula deThomson poda extenderse hasta 30=H cm. La frmula es

25

2158

593,0 HgQ =

o bien,

25

4,1 HQ =

que es la conocida frmula de Thomson para vertederos de 90. H est en metros y elcaudal Q en m3/s.

A partir de las mediciones de Thomson y Barr, M. A Barnes present la siguiente frmula

48,237,1 HQ =

que es equivalente a la de Thomson y para la cual su autor seala que el error es inferior a 1/5 de1 %.

Obsrvese que frmulas como la de Thomson y de Barnes slo son aplicables a partir de uncierto valor de la carga H obtenido experimentalmente.

483


9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti

Los vertederos trapeciales son muy poco usados para medir caudales. En consecuencia,casi no hay informacin sobre sus coeficientes de descarga.

Para el clculo de la descarga terica se suele considerar que la seccin est conformadapor tres partes: una central, que es rectangular, y dos laterales, que son triangulares. Seobtiene as que la descarga en un vertedero trapecial issceles es

25

223

1 tan2158

232

HgcLHgcQ a+=

H

L

aa

Se tiene muy poca informacin experimental sobre los valores de los coeficientes de descarga

de estos vertederos. Balloffet seala que es frecuente considerar 6,021 == cc , a pesar dela falta de justificacin terica o experimental.

En 1887 el ingeniero Italiano Cipolletti estudi y propuso un tipo especial de vertedero trapecial,cuyas caractersticas se sealan a continuacin.

Vertedero de Cipolletti

Es un vertedero trapecial dedeterminadas caractersticasgeomtricas.

El gasto se considera formado de dospartes

- Una parte a travs de la aberturarectangular.

- Otra parte a travs de lostringulos.

L

H

d

d2

a

L

H

d

d2

a

484


Por consideraciones geomtricas se cumple que

Hd=atan

Los taludes deben calcularse de modo que el aumento del gasto producido por ellos seaprecisamente igual a la disminucin del gasto causado por las contracciones en un vertederorectangular de longitud L . Consideremos que el gasto terico a travs de los tringulos es

23

2158

HgdQ =

La disminucin del gasto en un vertedero rectangular con dos contracciones se obtiene apartir de una frmula tipo Francis

( ) 23

2,0232

HHgQ =

Igualando

( ) 23

23

2,0232

2158

HHgHgd =

se obtiene

14=

dH

Es decir, 41tan =a que es la condicin de un vertedero tipo Cipolletti. Esto implica '2 14=a .

Experimentalmente se ha determinado que el coeficiente de descarga de un vertedero Cipolletties 0,63.

El gasto en el vertedero Cipolletti es el correspondiente a un vertedero rectangular de longitudL , sin contracciones

23

232

63,0 LHgQ =

L es la base del trapecio. O bien, en el sistema mtrico

23

86,1 LHQ =

Para una correcta operacin del vertedero Cipolletti se debe cumplir las siguientes condiciones.

La carga debe ser mayor que 6 cm, pero debe ser inferior a 3L . La altura P del umbral debeser mayor que el doble de la mxima carga sobre el vertedero. La distancia b , sealada en la

485


Figura 9.14, debe ser mayor que el doble de la mxima carga. El ancho del canal deaproximacin debe estar comprendido entre H30 y H60 . La carga debe medirse a unadistancia de 4 H del vertedero.

L

0,25

1

P

B

b

H

Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti

La correccin por velocidad de aproximacin puede hacerse de un modo similar al que se hizocon la frmula de Francis.

El vertedero Cipolletti se usa en mediciones de campo, en distribucin de aguas y otrossistemas compatibles con la aproximacin de este vertedero. No se recomienda su uso enlaboratorios o en mediciones de precisin. Si se cumplen las condiciones de instalacin el

error puede ser 5 %.

9.7 Condiciones para la instalacin y operacin de vertederos

Los vertederos instalados para medir caudales deben reunir una serie de condicionesindispensables para garantizar su confiabilidad. Entre ellas estn las siguientes

1. El primer y ms importante punto para una buena y confiable medicin de caudalescon un vertedero es la apropiada seleccin del tipo de vertedero. As por ejemplo, unvertedero triangular es muy indicado para medir caudales pequeos (puesto que enellos el caudal depende de la potencia 5/2 de la carga). En cambio, para medircaudales relativamente altos, un vertedero rectangular sin contracciones podra serel ms indicado. Ms adelante se seala los errores que se pueden producir en elclculo del caudal como consecuencia de un error en la medicin de la carga.

486


2. Luego viene la correcta seleccin de la frmula. Para cada tipo de vertederos existennumerosas frmulas de origen experimental. Cada una de ellas tiene un rango deaplicacin. Mientras estemos dentro de esos rangos se puede tener una altaaproximacin en la medicin de caudales. Si estamos fuera de los rangos deexperimentacin, la confiabilidad del resultado es dudosa.

3. Para un vertedero rectangular con contracciones existen ciertas recomendacionesde carcter general, adems de las que pueden originarse en cada frmula, las queaparecen en la Figura 9.15, debida a G. E. Russell, y que es producto de larecomendacin de varios investigadores.

H

H>3>3H>3H

H>3

L

P

Figura 9.15 Valores orientativos de las mnimas distancias a tenerse en cuentapara instalar un vertedero rectangular con contracciones.

Se observa que la longitud L del vertedero, el umbral P y la distancia a las paredesdel canal debe ser por lo menos igual al triple de la mxima carga sobre el vertedero.En estas condiciones la velocidad de aproximacin ser despreciable.

4. En los vertederos en pared delgada la cresta debe ser aguda, recta y horizontal. Elvertedero debe colocarse normalmente a la direccin de las lneas de corriente.

Para efectos de una buena conservacin se recomienda que la cresta sea de bronce.

El vertedero debe colocarse perfectamente vertical y su cara de aguas arriba debemantenerse lisa.

El vertedero debe instalarse en un tramo recto, que lo sea en una longitud no inferior

a 10 veces la longitud L de la cresta del vertedero.

487


5. La altura del umbral P no debe ser inferior a 0,30 m ni a 3 veces la mxima cargasobre el vertedero.

6. La velocidad de aproximacin debe mantenerse pequea. La seccin transversal

del canal de aproximacin ( )[ ]PHB + debe ser por lo menos igual a 6, o mejor8 veces, la seccin de la napa vertiente LH .

7. Debe tomarse las medidas pertinentes para que la napa vertiente quede perfectamenteaireada. En todo su contorno la presin debe ser igual a la atmosfrica. Si fuesenecesario, debe instalarse dispositivos de aireacin.

8. Si las condiciones de aproximacin del flujo no son tranquilas debe colocarseelementos disipadores de energa, es decir tranquilizadores, como pantallas, ladrilloshuecos, mallas, etc.

9. La carga debe medirse cuidadosamente, fuera del agua en movimiento, medianteuna toma adecuada (principio de vasos comunicantes), a una distancia deaproximadamente cuatro veces la carga ( H4 ) de modo que no haya influencia delmovimiento rpidamente variado que se origina sobre la cresta del vertedero. Tampocose debe medir la carga a mayor distancia del vertedero, porque entonces aparecerala influencia debida a la pendiente de la superficie libre del canal.

10.Las condiciones de aguas abajo (nivel del agua) deben ser tales que no influyan enla napa.

11. Los vertederos de dimensiones especiales, que no cumplen las condiciones antessealadas, deben ser cuidadosamente calibrados.

9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha)

En la Figura 9.16 aparece un vertedero de cresta ancha en el que la longitud de la cresta,

plana y horizontal, es b . El vertedero es de descarga libre, es decir, no influenciado por lascondiciones de aguas abajo.

Para que el vertedero se comporte como de pared gruesa es necesario que el espesor b dela cresta sea mayor que los dos terceras partes de la carga

Hb32 (9-25)

puesto que si no se cumple esta condicin el vertedero podra ser de pared delgada (verFigura 9.4) o de pared intermedia.

488


Figura 9.16 Perfil caracterstico de un vertedero en pared gruesa

Se considera que la longitud mxima de b debe estar alrededor de H15

En el vertedero en pared gruesa mostrado en la Figura 9.16 se aprecia el perfil caracterstico

de la superficie libre. La energa especfica aguas arriba es gVH 220+ , la que debe ser

igual a la energa sobre la cresta, suponiendo que no haya friccin ni prdidas de carga y que

el coeficiente a de Coriolis sea igual a 1. Por lo tanto,

gV

yg

VH

22

220 +=+

siendo V la velocidad media del flujo sobre la cresta. De la ltima ecuacin se obtiene que lavelocidad media sobre la cresta es

-+= y

gV

HgV2

22

0

Aguas arriba del vertedero se ha considerado que el flujo es subcrtico ( 1F . Enalgn lugar intermedio, como el mostrado se produce un flujo crtico.

2V

g

20

y

P

b

H

g2

2V

cy =

489


El flujo sobre el vertedero es crtico ( )cyy = . Es decir, que el flujo resuelve el cruce delvertedero hacindolo con el mnimo contenido de energa.

Si se tratase de una seccin rectangular de ancho L , entonces

+==

gV

Hyy c 232 20

(9-26)

Por lo tanto, el gasto terico sobre el vertedero es

-+

+== c

20

20

c y2gVH 2g

2gVH

32LVLyQ

De donde,

23

23

13,3 cc yLyLgQ == (9-27)

Esta frmula se suele expresar en funcin de la energa de aguas arriba

2

32

023

2gV

HLg32

Q

+

=

Si la velocidad de aproximacin es muy pequea y/o su efecto se considera indirectamente,entonces el gasto terico es

23

23

32

LHgQ

= (9-28)

En el sistema mtrico el gasto terico sobre un vertedero rectangular en pared gruesa es

23

7,1 LHQ = (9-29)

En el sistema ingls sera

490


23

09,3 LHQ = (9-30)

Para obtener el gasto real deber introducirse en la ecuacin 9-29 un coeficiente de descarga

c . Su valor se obtiene experimentalmente y depende de varios factores

23

7,1 LHcQ = (9-31)

George E. Russell, presenta algunos valores del coeficiente, provenientes de tres investigadores,para diversos valores de longitud L del vertedero, del umbral P y de las condiciones delborde de aguas arriba del vertedero. Los resultados aparecen en la Tabla 9.3.

Si el nivel del flujo aguas abajo del vertedero fuese mayor que el de la cresta de ste, lascondiciones de clculo seran diferentes.

TABLA 9.3COEFICIENTES EN VERTEDEROS DE CRESTA ANCHA

EXPERIMENTADOR L P CARGA 1,7c

BORDE DE AGUAS ARRIBA REDONDEADO

Bazin

U.S. Deep Waterways Board

Woodburn

2

2

3

0,75

1,40

0,53

0,09 a 0,50

0,25 a 1,50

0,15 a 0,45

1,42 a 1,61

1,55

1,53 a 1,57

BORDE DE AGUAS ARRIBA AGUDO

Bazin

U.S. Deep Waterways Board

Woodburn

2

2

3

0,75

1,40

0,53

0,06 a 0,45

0,27 a 1,50

0,15 a 0,45

1,33 a 1,45

1,31 a 1,38

1,44 a 1,45

(Todas las dimensiones en metros)

9.9 Vertederos laterales

Los vertederos laterales son aberturas (escotaduras) que se hacen en una de las paredes(taludes) de un canal. Su funcin es la de evacuar el exceso de caudal. En consecuencia, sonaliviaderos. A continuacin se presenta algunas nociones sobre estos vertederos.

En la Figura 9.17 se aprecia el esquema caracterstico de un vertedero lateral de longitud Lpracticado en un canal con flujo subcrtico ( 1

491


h0

H0 H1

h1h

HQ0 QP

L

i

Q1

Q 0

Q

1Q

x

Figura 9.17 Vertedero lateral

Se observa las lneas de corriente y su desvo como consecuencia del vertedero lateral, cuyo

caudal es conducido fuera del canal. En la Figura 9.17 se observa la longitud L del vertederoy el umbral P . El caudal inicial en el canal es 0Q . El caudal que pasa por el vertedero es Qy el caudal remanente es 1Q . Evidentemente que Q es el exceso de caudal que se quiereeliminar del canal.

10 QQQ -=

0V es la velocidad correspondiente al caudal 0Q y 1V lo es del caudal 1Q , 0H es la cargaen el punto inicial del vertedero y 1H , es la carga en el punto final. H es la carga (variable)en cualquier punto del vertedero a la distancia x del punto inicial. Como se trata de unrgimen subcrtico el valor de la carga h aumenta desde 0H hasta 1H en el punto final delvertedero, lo que puede comprobarse experimental y tericamente suponiendo que la energaes constante a lo largo de la cresta, tal como lo seala Balloffet. Se supone en la siguientededuccin que la variacin de la carga es lineal a lo largo del vertedero. Por lo tanto, la carga

492


a la distancia x del punto inicial es

xL

HHHH 010

-+= (9-32)

El gasto es

dxxL

HHHgcQ

L 2

3

0

01023

2

-+=

(9-33)

De donde,

01

25

025

1

HHHH

L2gc154

Q--= (9-34)

Como longitud del vertedero puede considerarse la longitud efectiva, la que siguiendo el criterio

de Francis es 10nH

L - . Si el vertedero es muy largo, ms de H10 , puede despreciarse el

efecto de las contracciones. El coeficiente c se obtiene experimentalmente.

9.10 Errores en el clculo del gasto como consecuencia de un error enla medicin de la carga

a) Vertedero rectangular

La ecuacin de descarga de un vertedero rectangular es

23

KHQ =

La variacin del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuacin anterior

21

5,1 KHdHdQ =

de donde,

dHKHdQ 21

5,1=

comparando con el gasto se obtiene,

HdH

QdQ 5,1= (9-35)

493


Luego, un error, por ejemplo del 1 % en la medicin de H , producira un error de 1,5 % en elclculo de Q .

b) Vertedero triangular

La ecuacin de descarga de un vertedero triangular es

25

KHQ =

La variacin del gasto con respecto a la carga se obtiene derivando la ecuacin anterior

dHKHdQ 23

5,2=

de donde,

HdH

QdQ 5,2= (9-36)

En consecuencia, un error del 1 % en la medicin de H representar un error del 2,5 % enel clculo de Q .

9.11 Vaciamiento de un depsito por un vertedero

El vaciamiento de un depsito se puede producir por medio de un vertedero de cualquier formay caractersticas. La condicin de vaciamiento implica que el nivel de la superficie libre seadescendente. Se trata entonces de la descarga de un vertedero con carga variable. El caudalva disminuyendo paulatinamente. Este tipo de vertedero puede presentarse como aliviaderode presas.

Depsito

2H

H

H1

L

2H

H

H1

dH

Figura 9.18 Vaciamiento de un depsito por medio de un vertedero

Depsito

2H

H

H1

L

2H

H

H1

dH

494


En la Figura 9.18 se aprecia un vertedero rectangular de longitud L que realiza el vaciamiento

de un estanque, entre los niveles 1H (nivel inicial) y 2H (nivel final). H es una carga variable

comprendida entre 1H y 2H .

Consideremos que durante un intervalo de tiempo infinitamente pequeo dt , la carga H sepuede asumir, para efectos de aplicacin de una de las frmulas de vertederos, como si fuese

constante. El volumen descargado por el vertedero durante el tiempo dt debe ser

dtLHgcdV 23

232=

Este volumen descargado debe ser igual al producto del rea de la seccin transversal A del

depsito por dH , que es la variacin de niveles. Luego,

AdHdtLHgc =23

232

(9-37)

Se est suponiendo que el rea transversal A del estanque es constante. Sin embargo, en

muchos casos no lo es. El rea A puede ser una funcin de la carga. Una posibilidad es queesta funcin pueda expresarse matemticamente de un modo simple. Tal sera el caso, porejemplo, de paredes inclinadas 45 u otro ngulo. En los embalses naturales no existe esafuncin matemtica. Se recurre entonces a una sumatoria. Tambin se est suponiendo queel coeficiente de descarga es constante. De la expresin 9-37 se obtiene por integracin

==2

1

2

12

3

2

302

32

232

H

H

H

H

t

H

dH

Lgc

A

LHgc

AdHdt

Por lo tanto, el tiempo requerido para que el nivel de la superficie libre baje de 2H a 1H es

-=

12

11

232

2

HHLgc

At

(9-38)

495


Obsrvese que si 2H tiende a cero, el tiempo requerido tender a infinito, lo que no concuerdacon la realidad. Esto se debe a que tanto la carga H como el rea de descarga estaranaproximndose a cero simultneamente. En todo caso hay que recordar que las frmulaspara el clculo de la descarga de un vertedero slo son aplicables a partir de una cierta cargamnima.

Cuando por una razn u otra no es posible integrar se debe recurrir a una sumatoria aplicandolas frmulas conocidas en intervalos muy pequeos. Este mtodo se emplea tambin cuando

el depsito tiene adems el aporte de un caudal Q que a su vez puede ser funcin deltiempo. La magnitud de los intervalos depender de la precisin buscada y de las caractersticasde la informacin disponible.

Ejemplo 9.2 Un depsito profundo tiene paredes verticales. La seccin transversal es de 30 por 50

metros. En una de las paredes se ha instalado un vertedero rectangular de 0,50 m de longitud. La cresta

del vertedero es aguda y se encuentra en la cota 122,30 m. Considerar que el coeficiente de descarga

es constante e igual a 0,6. Calcular: a) el tiempo necesario para que el nivel de la superficie libre

descienda de la cota 122,50 m a la cota 122,35 m, b) el gasto instantneo al principio y al final del

intervalo, c) el caudal medio durante el intervalo.

Solucin.

a) Aplicando la ecuacin 9-38 se obtiene

-

=

-=

20,0

1

05,0

1

5,026,032

500 1211

232

2

12 gHHLgc

At

t = 7 576,7 segundos

b) La ecuacin de descarga por el vertedero es (considerando 00 =V y sin contraccin).

23

23

885,0232

HLHgcQ ==

Para la condicin inicial H = 0,20 m y Q = 0,0792 l/s

Para la condicin final H = 0,05 m y Q = 0,0099 l/s

c) El volumen total descargado es

( ) 22515,0503021 ==- HHA m3

496


El caudal medio es

0297,07,576 7

225 ==TiempoVolumen

m3/s

Para realizar el clculo del tiempo de vaciamiento de un estanque mediante una sumatoria seprocede a elaborar una tabla como la 9.4 en la que slo se ha presentado, como ejemplo, lasprimeras filas del clculo correspondiente al ejemplo 9.2.

Se procede as

1. Se empieza por considerar n valores de la carga comprendidos entre 1H y 2H(columna 1). Para el ejemplo 9.2 estos valores podran ser 0,20 m, 0,19 m, 0,18 m,etc.

2. Luego se calcula los correspondientes valores de HD , es decir, ( )12 HH - paracada dos valores sucesivos de la carga (columna 2).

3. A continuacin se calcula la carga media del intervalo, que es ( )2121

HH +

(columna 3).

4. A partir de la carga media obtenida se calcula el correspondiente caudal de descarga,y se considera los coeficientes que resulten ms apropiados (columna 4).

5. Ahora se calcula el volumen descargado que es igual al producto del rea transversalcorrespondiente del estanque, la que puede ser variable, por la diferencia de carga(columna 5).

6. Para obtener el intervalo de tiempo correspondiente se encuentra la relacin entreel volumen descargado y el correspondiente caudal (columna 6).

7. Finalmente, se acumula los tiempos parciales y se obtiene el tiempo total.

TABLA 9.4

EJEMPLO 9.2

1 2 3 4 5 6 7

H HD H Q Volumen tD t

0,19

0,18

0,17

0,01

0,01

0,01

0,195

0,185

0,175

0,0762

0,0704

0,0648

15

15

15

196,9

213,0

231,5

196,9

409,9

641,4

etc.

497


9.12 Vertedero sumergido

Se dice que un vertedero est sumergido cuando el nivel de aguas abajo es superior al de lacresta del vertedero. La condicin de sumergencia no depende del vertedero en s, sino de lascondiciones de flujo. Un mismo vertedero puede estar sumergido o no, segn el caudal que sepresente. Las condiciones de aguas abajo, por ejemplo un remanso, pueden determinar queun vertedero quede sumergido. El vertedero sumergido puede ser de cualquier tipo o forma.

En la Figura 9.19 se observa un vertedero sumergido en el cual H es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas arriba y la cresta del vertedero; h es la diferencia de nivelentre la superficie libre de aguas abajo y la cresta del vertedero. Se denomina sumergencia ala relacin que existe entre h y H .

H

h

Figura 9.19 Esquema tpico de un vertedero sumergido

Los vertederos sumergidos se presentan en diversas estructuras hidrulicas. En ellas elvertedero acta como un aliviadero, ms que como un elemento de aforo. Las frmulas para elclculo de la descarga de un vertedero sumergido son menos precisas que las correspondientesa un vertedero libre, razn por la cual no se les usa para medir caudales.

Si la relacin Hh , es decir la sumergencia, est prxima a la unidad o cuando es muypequea, suele presentarse aguas abajo un flujo ondulado, como se aprecia en la Figura9.20. Es por eso que se recomienda hacer el clculo slo para

8,02,0 Hh

(9-39)

498


Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajode un vertedero sumergido

Uno de los criterios ms antiguos para determinar el caudal en un vertedero sumergido es elDu Buat, de 1816. Este mtodo considera que el gasto total est formado por dos gastos

parciales. 1Q que es el que escurre a travs de un vertedero libre virtual cuya cresta se

supone que coincide con el nivel de aguas abajo y 2Q que es el que escurre por un orificiovirtual cuya altura es la diferencia de nivel entre el de aguas abajo y la cresta del vertedero. Enconsecuencia, para un vertedero sumergido rectangular, de cresta aguda el gasto es

21

20 2

23

20

23

20 1 2

222

232

-++

-

-+= hg

VHLhgcg

Vhg

VHLgcQ (9-40)

1Q = vertedero libre 2Q = orificio

La precisin de esta frmula depender de la precisin con la que se pueda determinar los

coeficientes 1c y 2c para este caso particular. Numerosos investigadores trataron de encontrardichos coeficientes, pero los resultados no fueron satisfactorios ni coincidentes. Se suele

considerar que 62,021 == cc , lo que si bien no tiene mayor justificacin terica resulta tilpara los clculos prcticos.

Algunos autores, como Herschel, resuelven el problema de hallar la descarga en un vertederosumergido a partir de una modificacin de la frmula de Francis

( )23

84,1 NHLQ = (9-41)

499


en donde H es la carga del vertedero considerado como si fuese libre y N es un coeficientede reduccin de la carga del vertedero supuesto libre, que depende de la sumergencia. Losvalores experimentales obtenidos aparecen en la Tabla 9.5.

TABLA 9.5

VALORES DE N PARA USARSE EN LA FORMULA 9-41

Hh

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0

0,1

1,000

1,005

1,004

1,003

1,006

1,002

1,006

1,000

1,007

0,998

1,007

0,996

1,007

0,994

1,006

0,992

1,006

0,989

1,005

0,987

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,985

0,959

0,929

0,892

0,846

0,787

0,982

0,956

0,926

0,888

0,841

0,780

0,980

0,953

0,922

0,884

0,836

0,773

0,977

0,950

0,919

0,880

0,830

3,766

0,975

0,947

0,915

0,875

0,824

0,758

0,972

0,944

0,912

0,871

0,818

0,750

0,970

0,941

0,908

0,866

0,813

0,742

0,967

0,938

0,904

0,861

0,806

0,732

0,964

0,935

0,900

0,856

0,800

0,723

0,961

0,932

0,896

0,851

0,794

0,714

0,8

0,9

0,703

0,574

0,692

0,557

0,681

0,539

0,669

0,520

0,656

0,498

0,644

0,471

0,631

0,441

0,618

0,402

0,604

0,352

0,590

0,275

Villemonte en 1947, en la Universidad de Wisconsin, estableci una frmula genrica paravertederos sumergidos de diferente forma

385,0

1 1

-=

n

Hh

QQ (9-42)

n depende del tipo de vertedero (3/2 para vertedero rectangular, 5/2 para vertedero triangular,,

etc.), 1Q es el caudal que se producira si el vertedero fuese libre.

500


Ejemplo 9.3 En un canal de 6,20 m de ancho en el que el tirante normal es de 1,10 m se instala un

vertedero rectangular sin contracciones y con borde agudo de 0,80 m de umbral. La superficie libre se

sobreeleva en 1 m. Determinar el caudal.

Solucin.

H = 1,30 m

2,10 m

1,00 m

0,30 m

0,80 m

h = 0,30 m

1,10 m

g

V

2

20

Como no se conoce el caudal no se puede calcular 0V . Supongamos inicialmente que su valor es cero.

El gasto se obtiene a partir de la ecuacin

21

23

)(262,0)(232

62,0 hHLhghHLgQ -+-=

Reemplazando los valores conocidos se obtiene

Q = 11,35 (1,30 - 0,30) 3/2 + 5,11 (1,30 - 0,30)1/2

Q = 16,46 m3/s

Ahora se puede introducir el efecto de la velocidad de aproximacin

26,110,220,6

46,160 =

=V m/s ooo 08,02

20 =g

V m

Q = 11,35 (1 + 0,08)3/2 + 5,11 (1 + 0,08)1/2

Q = 18,05 m3/s

Si usamos la frmula de Francis con los coeficientes de Herschel se tiene

23,030,130,0 ==

Hh

ooo 977,0=N (Tabla 9.4)

501


77,17)38,1977,0(35,11)(84,1 23

23

=== NHLQ m3/s

Si usamos la frmula de Villemonte

[ ] 956,0)23,0(11 1385,0 2/3 1385,0

1 =-=

-= QQ

Hh

QQn

4,1838,120,683,184,1 23

23

1 === LHQ m3/s

59,17956,04,18 ==Q m3/s

CUADRO COMPARATIVO

FORMULA RESULTADO

Frmula completa

Francis Herschel

Villemonte

18,05 m3/s

17,77 m3/s

17,59 m3/s

Promedio 17,8 m3/s

502


PROBLEMAS PROPUESTOS

(Captulo IX)

1. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Deducir una expresin para lavelocidad media, en funcin de la carga, para una seccin transversal correspondiente a lazona de mxima contraccin.

2. Se tiene un vertedero en pared delgada con cresta aguda. Calcular la carga que debe tener elvertedero para que la velocidad en el eje de la napa vertiente en la zona de mxima contraccinsea de 0,80 m/s.

3. En un canal de 7,20 m de ancho se ha colocado un vertedero rectangular en pared delgadade 3,20 m de largo. El umbral es de 2,0 m.

Si la carga es 0,61 m calcular el caudal usando varias frmulas; discutir su aplicabilidad,preparar un cuadro comparativo de los resultados considerando el efecto de la contraccin.

Calcular la longitud adicional que debera tener el vertedero para compensar el efecto de lascontracciones.

4. En un canal de 3,20 m de ancho se ha instalado a todo lo ancho un vertedero rectangular enpared delgada de 2 m de alto. Se ha medido la carga y se obtuvo 0,61 m. Calcular el caudal.Usar varias frmulas, discutir su aplicabilidad y preparar un cuadro comparativo de losresultados.

5. Calcular el ancho que debe tener un canal rectangular que tiene un caudal de 12 m3/s, paraque al colocar un vertedero cuyo umbral tiene una altura de 1 m , la superficie libre se eleve0,20 m por encima de la cresta. Considerar que el vertedero es de cresta aguda y que el flujode aguas abajo no influye en la descarga sobre el vertedero.

Si la sobreelevacin fuese de 0,70 m cul debera ser el ancho? Comentar las diferenciasen el clculo de ambos casos a propsito de la consideracin de la velocidad de aproximacin.

6. Un canal rectangular de 2 m de ancho tiene una pendiente de 0,0007 y un coeficiente C deChezy de 53 m1/2/s.

Si se coloca un vertedero, sin contracciones, de 1,20 m de umbral y cresta aguda, la cargasera de 0,60 m. Cul debera ser el ancho del canal para que conservando el mismo tirantenormal se comporte como de mxima eficiencia hidrulica?

503


7. En un canal de 1,20 m de ancho que tieneun caudal de 500 l/s se va a instalar unaplaca como la mostrada en la figura, la queda lugar a un orificio y a un vertedero. Si laplaca tiene 0,75 m de alto, calcular laabertura a del fondo para que el orificio yel vertedero descarguen el mismo caudal.

8. En la figura se muestra dos tanques comunicados por un orificio. El sistema es alimentado demodo que ingresan 500 l/s. El tanque A tiene un vertedero rectangular en pared delgada de0,80 m de longitud, que descarga libremente. El tanque B tiene un vertedero triangular de 60.Las cotas respectivas se muestran en el dibujo. Se pide: a) cul es la descarga de cadavertedero, si el dimetro del orificio es de 8?; b) cul debe ser el dimetro del orificio paraque ambos vertederos descarguen el mismo caudal?

109,00

108,00

100,80100,00

A B

9. El agua que pasa a travs de un vertedero triangular de 90 es recogida en un tanque cilndricode 0,80 m de dimetro. Se encontr que para una carga de 0,25 m sobre el vertedero el niveldel agua en el tanque cilndrico aumenta 0,352 m en 4 segundos. Hallar el coeficiente dedescarga del vertedero.

10. La expresin general del flujo por un vertedero triangular es del tipo

= q

nf , 2 gHHgHHQ

expresin en la que

H : es la carga, n : la viscosidad cinemtica, q : es el ngulo del vertedero.

0,75

H

a

504

Experimentos llevados a cabo para el agua en un vertedero de 90 dieron la frmula

5,2386,1 HQ =

Aplicando la similitud dinmica demostrar que el porcentaje de error que representa el uso dela frmula prctica para medir el gasto, cuando el fluido es un lquido cuya viscosidad cinemticaes 12 veces la del agua, ser del 5 % por defecto.

11. Un fluido de viscosidad cinemtica n pasa a travs de un vertedero triangular, de un cierto

ngulo, con el objeto de calcular la descarga Q conociendo la altura H .

Demostrar por medio del anlisis dimensional que

=

nj

21

23

21

25

gH

gH

Q

Para un vertedero con un ngulo de 30 la descarga viene dada por la expresin

5,2392,0 HQ =

Hallar el gasto en un vertedero similar por el que pasa un fluido que tiene una viscosidadcinemtica seis veces mayor que la del agua, cuando la carga H es de 25 cm.

12. Se tiene un vertedero triangular en el que el caudal viene dado por la expresin 2/56,0 HQ = .

Determinar la precisin con la que debe medirse la carga para que el error resultante norepercuta en un error superior al 1 % al calcular el gasto.

13. Determinar la descarga terica del vertedero mostrado en la figura

45

0,90 m

600,50 m

45

0,90 m

600,50 m

505

14. Calcular la descarga terica del vertedero mostrado en la figura, para una carga de0,12 m.

0,12 m

0,25 m

30

15. Calcular la descarga terica del vertedero mostrado en la figura, cuyo ancho en la base es1,23 m.

1,23 m

60H = 1 m

x

y

2y = x

16. Deducir la ecuacin del gasto en funcin de la carga para un vertedero de seccin parablica.

17. La frmula de descarga terica de un vertedero es 27cHQ = . Establecer la forma del

vertedero y la ecuacin respectiva.

18. Un vertedero rectangular y un vertedero triangular de 90 estn colocados en serie en uncanal. El vertedero rectangular tiene 2,0 m de longitud. Calcular la carga sobre el vertederotriangular, si para un caudal de 50 l/s la carga sobre el vertedero rectangular es de 0,1 m.

19. En un canal de 9 m de ancho hay un caudal de 18 m 3/s. Se va a colocar un vertedero a todo loancho del canal, de modo de producir una sobreelevacin de 0,40 m en el nivel del agua. Lavelocidad de aproximacin al vertedero debe ser de 0,50 m/s. Calcular la altura que debetener el umbral del vertedero.

1,23 m

60H = 1 m

x

y

2y = x

506

TABLAS GENERALES

TABLA 1

TABLA DE DIMENSIONES

SISTEMA

ABSOLUTO

SISTEMA

GRAVITACIONAL CANTIDADES

MLT FLT

LONGITUD

AREA

VOLUMEN

TIEMPO

VELOCIDAD

VELOCIDAD ANGULAR

ACELERACIN LINEAL

VISCOSIDAD CINEMATICA

GASTO

MASA

FUERZA

DENSIDAD

PESO ESPECIFICO

VISCOSIDAD DINAMICA

TENSION SUPERFICIAL

MODULO DE ELASTICIDAD

PRESION

CANTIDAD DE MOVIMIENTO

ENERGIA (Y TRABAJO)

POTENCIA

L

L2

L3

T

LT -1

T-1

LT -2

L2 T-1

L3 T-1

M

MLT-2

ML-2 T-2

ML-1 T-1

MT-2

ML-1 T-2

ML-1 T-2

MLT-1

ML2 T-2

ML2 T-3

L

L2

L3

T

LT -1

T-1

LT -2

L2 T-1

L3 T-1

FT2 L-1

F

FT2 L-4

FL -3

FTL -2

FL -1

FL -2

FL -2

FT

LF

LFT -1

507

TABLA 2

PROPIEDADES MECANICAS DEL AGUA

Temperatura

T

(C)

Densidad r

(Kg - s2/m4)

Peso

especfico g

(Kg/m3)

Viscosidad

dinmica m

(Kg - s/m2)

Viscosidad

cinemtica

n

(m2/s)

0,0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

100

101,94

101,94

101,94

101,94

101,74

101,63

101,53

101,33

101,12

100,92

100,71

100,51

100,31

100,00

99,69

99,39

98,98

98,67

98,37

98,06

97,66

1 000

1 000

1 000

1 000

998

997

996

994

992

990

988

986

984

981

978

975

971

968

965

962

958

1,81 x 10 -4

1,55 x 10 -4

1,33 x 10 -4

1,17 x 10 -4

1,04 x 10 -4

0,909 x 10-4

0,815 x 10-4

0,732 x 10-4

0,663 x 10-4

0,606 x 10-4

0,552 x 10-4

0,508 x 10-4

0,468 x 10-4

0,439 x 10-4

0,410 x 10-4

0,381 x 10-4

0,356 x 10-4

0,336 x 10-4

0,317 x 10-4

0,298 x 10-4

0,287 x 10-4

1,78 x 10 -6

1,52 x 10 -6

1,30 x 10 -6

1,15 x 10 -6

1,02 x 10 -6

0,894 x 10-6

0,803 x 10-6

0,722 x 10-6

0,656 x 10-6

0,600 x 10-6

0,548 x 10-6

0,505 x 10-6

0,467 x 10-6

0,439 x 10-6

0,411 x 10-6

0,383 x 10-6

0,360 x 10-6

0,341 x 10-6

0,322 x 10-6

0,304 x 10-6

0,294 x 10-6

508

TABLA 3

PROPIEDADES FISICAS DEL AIRE(a la presin atmosfrica)

Temperatura

T

(C)

Densidad r

(gr - masa/cm3)

Viscosidad

absoluta m

(dina - s/cm2)

Viscosidad

cinemtica

n

(cm2/s)

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

1,293 x 10-3

1,093

0,946

0,834

0,746

0,675

0,616

0,567

0,525

0,488

0,457

1,709 x 10 -4

1,951

2,175

2,385

2,582

2,770

2,946

3,113

3,277

3,433

3,583

0,1322

0,1785

0,2299

0,2860

0,3461

0,4104

0,4782

0,5490

0,6246

0,7035

0,7840

509

BIBLIOGRAFIA

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ARTURO ROCHA FELICES

PUBLICACIONES

LIBROS

- Introduccin a la Hidrulica Fluvial, publicado por la Facultad de IngenieraCivil de la Universidad Nacional de Ingeniera, Lima, 1998.

- Agua para Lima en el Siglo XXI, publicado por el Consejo Departamental deLima del Colegio de Ingenieros del Per, junio, 1996.

- Recursos Hidrulicos, publicado por el Colegio de Ingenieros del Per, Captulode Ingeniera Civil. Coleccin del Ingeniero Civil (Libro 16), Lima, 1993.

- Seminario: Diseo de Presas de Tierra, con otros autores. Captulocorrespondiente a Sedimentacin dentro del Embalse, publicado por el ComitPeruano de Grandes Presas, Lima, 1993.

- Transporte de Sedimentos Aplicado al Diseo de Estructuras Hidrulicas,publicado por el Colegio de Ingenieros del Per, Captulo de Ingeniera Civil.Coleccin del Ingeniero Civil (Libro 1), Lima, 1990.

- Wasserableitungen aus Flssen mit Sedimentbewegung, tesis doctoral.Universidad de Hannover. Memorias del Instituto Franzius, Hannover, Volumen35, 1970.

- Transporte de Sedimentos, coautor, publicado por el Departamento deHidrulica e Hidrologa, Universidad Nacional de Ingeniera, Lima, 1969.

FOLLETOS

- Curso Corto sobre Sedimentos, publicado con ocasin del curso organizadopor el Instituto Interamericano de Ciencias Agrcolas (IICA), Buenos Aires, 1978.

- Introduccin Terica al Estudio de Bocatomas. Lima, 1978.- Control de Avenidas, publicado por la Direccin General de Aguas con ocasin

del Segundo Curso Nacional sobre Operacin, Conservacin y Desarrollo deDistritos de Riego, Lima, 1973.

- Modelos Fluviales de Lecho Mvil, publicado como Boletn Tcnico 4-007por el Laboratorio Nacional de Hidrulica, Lima, noviembre de 1966.

- Seleccin de Escalas para un Modelo de Lecho Mvil por medio de laComputacin Electrnica, ponencia presentada al II Congreso Latinoamericanode Hidrulica (Caracas, 1966) y publicada en las Memorias del Congreso yreproducida como Boletn Tcnico 4-006, por el Laboratorio Nacional deHidrulica, Lima, agosto de 1966.

513

- Sobre la Influencia de la Aceleracin Complementaria de Coriolis en losModelos Hidrulicos, publicado como Boletn Tcnico 4-003, por el LaboratorioNacional de Hidrulica, Lima, febrero de 1966.

- Consideraciones Generales sobre los Modelos Hidrulicos, publicado comoBoletn Tcnico 4-002, por el Laboratorio Nacional de Hidrulica, Lima, diciembrede 1965.

- Incorporador de Sedimentos a un Modelo de Lecho Mvil, publicado comoBoletn Tcnico 4-001, por el Laboratorio Nacional de Hidrulica, Lima, noviembrede 1965.

PONENCIAS EN EVENTOS INTERNACIONALES

- La problemtica de la sedimentacin de embalses en el aprovechamientode los ros peruanos, aplicada al embalse de Poechos. Primer CongresoInternacional de Hidrulica, Hidrologa, Saneamiento y Medio Ambiente, HIDRO2006. Lima, 2006.

- Aspectos sedimentolgicos del Manejo de Cuencas en zonas ridassujetas al Fenmeno de El Nio. II Simposio Latinoamericano de Control dela Erosin. Lima 2004.

- Las Grandes Obras de Riego en la Costa Peruana, ponencia presentada alI Encuentro de las Ingenieras Civiles Iberoamericanas, publicada en lasMemorias, Cceres, Espaa, mayo, 1992.

- Problemtica de la Sedimentacin en los Proyectos de Irrigacin, ponenciapresentada al VII Seminario Latinoamericano de Riego y Drenaje (Santiago deChile, diciembre 1983), publicada en las Memorias del Seminario y reproducidaen la revista El Ingeniero Civil, N 46, Ene-Feb. 1987.

- Parmetros Descriptivos de la Distribucin de Slidos en una Bifurcacin,publicada en las Memorias Post Congreso del V Congreso Latinoamericano deHidrulica, Lima, 1972.

- Discurso Inaugural del V Congreso Latinoamericano de Hidrulica,publicado en las Memorias del Congreso, Lima, 1972.

- Distribution de Materiel Solide dans le Bifurcations des lits alluvionnaires,ponencia presentada al XIV Congreso Mundial de la Asociacin Internacional deInvestigaciones Hidrulicas (I.A.H.R.), publicada en las Memorias del Congreso,Pars, 1971.

- Sobre la Determinacin del Coeficiente de Rizos, coautor, ponenciapresentada al III Congreso Latinoamericano de Hidrulica (Buenos Aires, 1968),publicada en las Memorias del Congreso y reproducida como Boletn Tcnico 4-009, por el Laboratorio Nacional de Hidrulica, enero de 1969.

514

PONENCIAS EN EVENTOS NACIONALES

- El dinamismo fluvial y la seguridad de las obras viales frente a eventoshidrometeorolgicos extremos: Meganios y sequas. V Congreso Obrasde Infraestructura Vial I. C. G. Julio, 2006.

- La inundacin de Zaa de 1720. XI Congreso Nacional de Ingeniera Civil.Iquitos, 2003.

- Aspectos sedimentolgicos del manejo de cuencas en zonas ridas sujetasal Fenmeno de El Nio. XI Congreso Nacional de Ingeniera Civil. Iquitos,2003.

- Caracterizacin hidrometeorolgica de los Meganios en la costa norteperuana. XI Congreso Nacional de Ingeniera Civil. Iquitos, 2003 y reproducidoen la revista El Ingeniero Civil N 135 Set.-Oct. 2004.

- El Riesgo Sedimentolgico (E.R.S.) en los proyectos de embalse. XICongreso Nacional de Ingeniera Civil. Iquitos, 2003.

- Consideraciones de diseo de estructuras hidrulicas sujetas al Fenmenode El Nio. XI Congreso Nacional de Ingeniera Civil. Iquitos, 2003 y reproducidoen la revista COSTOS Ao 09 Edicin 118 Enero 2004.

- Algunas reflexiones sobre la formacin del ingeniero civil. XI CongresoNacional de Ingeniera Civil. Iquitos, 2003.

- Interaccin del comportamiento fluvial y las obras viales durante elFenmeno de El Nio. II Congreso Nacional de Obras de Infraestructura Vial.ICG. Lima, 2003.

- Los modelos como herramienta valiosa para el diseo hidrulico.Conferencia dictada en el ciclo organizado por el Laboratorio Nacional deHidrulica y publicada en las Memorias. Febrero 2003.

- El Impacto del Fenmeno de El Nio en las Estructuras Hidrulicas,conferencia dictada en el I Foro Regional de Ingeniera Civil del Norte Peruano,publicada en El Ingeniero Civil N 116, mayo-junio del 2000.

- Bases para la Formacin del Ingeniero Civil del Futuro, ponencia presentadaal X Congreso Nacional de Ingeniera Civil, con otros autores, publicada en ElIngeniero Civil, N 94, Ene-Feb. 1995.

- El Desarrollo de la Regin Grau y el Convenio Peruano-Ecuatoriano deAprovechamiento Hidrogrfico Conjunto , ponencia presentada al VIIICongreso Nacional de Ingeniera Civil (setiembre, 1990), publicada en lasMemorias del Congreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, N 69,Nov-Dic. 1990.

- Qu pasa con los Grandes Proyectos de Irrigacin de la Costa Peruana?,ponencia presentada al Frum Ingeniera Civil para el Desarrollo Nacional.Facultad de Ingeniera Civil, Universidad Nacional de Ingeniera, marzo, 1987Revista El Civil, N 3 Agosto, 1988.

- Los Recursos Naturales en la Constitucin Poltica del Per, ponenciapresentada al VI Congreso Nacional de Ingeniera Civil (1986) y expuesta en elFrum Los Recursos Naturales y la Ingeniera en el Desarrollo del Pas,organizado por el Colegio de Ingenieros del Per, abril, 1985.

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- Sedimentacin Acelerada de Embalses, ponencia presentada al IV CongresoNacional de Ingeniera Civil (noviembre 1982), publicada en las Memorias delCongreso y reproducida en la revista El Ingeniero Civil, N 25, Jul-Ago. 1983.

- Algunos Aspectos de la Erosin, Transporte y Control de Sedimentos enel Ro Amarillo (China), Aplicables a la Realidad Peruana, ponenciapresentada al II Congreso Nacional de Ingeniera (marzo, 1981), publicada enlas Memorias del Congreso y reproducida por la revista Ingeniera, N 12, delColegio de Ingenieros del Per (mayo, 1982).

- El problema de los sedimentos en los ros peruanos. II Congreso Nacionalde Ingeniera Civil, Arequipa 1978.

- Aspectos Hidrulicos del Control de Avenidas, Simposium Deslizamientos(Huaicos) e Inundaciones, Colegio de Ingenieros del Per, Lima, 1972.

ARTICULOS EN REVISTAS

- La costa norte peruana y su vulnerabilidad frente al Fenmeno de El Nio.Revista Tcnica del Captulo de Ingeniera Civil del Colegio de Ingenieros delPer-CDL, Ao 8 N 29, 2006.

- Anlisis del comportamiento de los slidos en una bifurcacin. RevistaTcnica de la Facultad de Ingeniera Civil, UNI, Ao 2, N 3- Noviembre 2005.

- La bocatoma, estructura clave en un proyecto de aprovechamientohidrulico. Revista Tcnica de la Facultad de Ingeniera Civil, UN

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