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CAPÍTULO II

MARCO TEÓRICO

1- Antecedentes de la Investigación Para la realización de este proyecto se indagaron una serie de

investigaciones relacionadas con el mismo, que ayudaron de una u otra

forma a desarrollar esta investigación; a continuación se hace referencia

a algunas de ellas:

Andueza y Aguirre (2008) realizaron el “Diseño de un Manipulador

Robótico con tres grados de libertad para fines educativos” el trabajo se

utilizo para fines educativos en el área de automatización industrial,

robótica y control de proceso, en el proceso se realizo el cálculo de la

cinemática directa e inversa del manipulador robótico y de igual manera el

modelo dinámico se realizan pruebas de simulación del comportamiento

del manipulador mediante la creación de rutinas en Matlab y se comparan

con los resultados obtenidos mediante el uso de la Toolbox de Robótica

de Matlab desarrollada por Peter Corke.

El proyecto de investigación antes planteado corresponde a un

aporte significativo y de gran importancia para esta investigación debido

que para llevar a cabo la comprobación del comportamiento del modelo

matemático se tomara en cuenta las herramientas y pasos necesarios

para llevar a cabo el diseño, desarrollo y comprobación del modelo

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matemático.

Canga (2007) en su investigación sobre “Manipulador Robótico

para la fase de pintura de carrocerías en línea de producción automotriz”

su objetivo principal fue desarrollar un manipulador robótico para la fase

de pintura de carrocerías en líneas de producción automotriz, las

variables de estudio fueron manipulador robótico y fase de pintura, y

siendo una investigación de tipo factible y aplicada.

La metodología utilizada fue la propuesta por Angulo (1999) la cual

consta de nueve (9) fases descritas de la siguiente manera: definición de

las especificaciones, esquema general del hardware, ordinograma

general, implementación de hardware, adaptación entre el hardware y el

software, ordinogramas modulares y codificación del programa,

integración del hardware con el software, depuración del software y

finalmente prototipo definitivo con sus respectivas pruebas finales.

El resultado de esta investigación, permitió conocer un poco más

sobre cómo llevar a cabo la movilidad de las articulaciones del robot, así

como los procesos necesarios para el diseño del manipulador robótico, lo

que constituye un aporte a esta investigación al momento de llevar a cabo

el análisis de los movimientos del robot.

Ahora bien, Madrid y otros (2007) realizaron el “D iseño y

Fabricación de un Brazo Robot de Cinco Grados de Libertad Articulado

Verticalmente: Control y Potencia” en el 8º Congreso Iberoamericano de

Ingeniería Mecánica en Perú, su objetivo del artículo fue dar a conocer el

desarrollo de las etapas de control y potencia. El control fue dividido en

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dos etapas: el control de la cinemática o planificación de trayectorias y el

control dinámico o control del movimiento del robot. Con el control del

movimiento, el brazo sigue el camino trazado por el planificador de

trayectorias, y por ese motivo utilizó el modelo dinámico directo del robot

desarrollado en otra etapa del proyecto.

Con el modelo dinámico inverso se realizó la selección de los

motores tomando en cuenta el par máximo de cada articulación; el diseño

del algoritmo de control de posición, se realizó con una estructura PID

(Proporcional Integral Derivativo), considerando el método del control

desacoplado. Finalmente, con la generación de trayectorias desarrollada

se comprobó el sistema en lazo cerrado basándose en simulaciones

dinámicas.

Por otro lado, para que la etapa de potencia amplificara las señales

digitales de control a niveles de corriente adecuadas para activar los

motores, se implementó una estructura tipo Puente H y se aplicó la

técnica PWM (Pulse With Modulation ó Modulación por Ancho de Pulsos)

para el control de velocidad. Para la implementación en tiempo real del

control del brazo se utilizaron encoders, conectados en el eje del motor de

cada articulación, para medir posición y velocidad.

El estudio de esta investigación permitió conocer los

procedimientos necesarios para el diseño de un robot y los pasos

necesarios para la implementación de algoritmos de control, lo que

corresponde un aporte para esta investigación al momento de llevar a

cabo el modelado matemático de la cinemática de los manipuladores

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robóticos.

Para concluir, Vásquez (2005) realizó el “Diseño Mecánico de un

Brazo Manipulador Industrial Robótico Hidráulico (MIRH1) de Cinco

Grados de Libertad”, su objetivo general fue desarrollar el diseño de

detalle de la estructura mecánica de un manipulador industrial robótico

hidráulico (MIRH1) de cinco grados de libertad, sustentado en el análisis

cinemático del mismo. El desarrollo del proyecto fue basado en la

proyección de modelos virtuales, sistemas computacionales de diseños

mecánicos, sistemas informáticos y estructura del manipulador.

La investigación de Vásquez se tomara para llevar a cabo el

análisis de la cinemática del manipulador, ya que especifica y da detalle

de los procedimientos y pasos necesarios para llevar a cabo lo que

corresponde al modelo matemático y la estructura del diseño del

manipulador.

Cada una de las indagaciones anteriormente expuestas, son de

gran importancia para la elaboración de este proyecto porque se

encuentran directamente relacionadas con las variables de esta

investigación, de igual manera presentan un aporte de innovación y

teorización, así como de base investigativa para completar de manera

satisfactoria el desarrollo de este estudio.

2- Bases Teóricas

La utilización de las bases teóricas se basan principalmente en

recopilar información necesaria que se relacionen con el tema de estudio,

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éstas sirven como referencia para los diversos factores que se encuentran

involucrados directamente con el proyecto a realizar a continuación se

muestran las más resaltantes.

2.1- Manipulador

Ollero (2001) define manipulador como un instrumento

programable multifuncional diseñado para mover materiales, piezas,

herramientas o dispositivos especiales, mediante movimientos variados,

programados para la ejecución de distintas tareas.

Craig (2006) manipulador es “un conjunto de cuerpos conectados

en una cadena mediante articulaciones. Estos cuerpos se llaman vínculos

o segmentos. Las articulaciones forman una conexión entre un par

adyacente de vínculos”.

Pinto (2006), Vehículo, maquina o herramienta a través del cual se

realiza el traslado, manejo y diseño de piezas grandes o pequeñas que

requieran cierto grado de precisión, generalmente utilizado en la industria

metalúrgica.

Ahora bien, como lo definen Pinto, Ollero y Craig, manipulador es

una máquina o herramienta conectada mediante articulaciones encargada

del manejo y diseño de piezas y que puede ser utilizada como un

instrumento programable multifuncional para mover piezas, materiales o

dispositivos utilizados en la industria.

2.2- Robótica

Legendre (1988) define la robótica como un conjunto de métodos y

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medios derivados de la informática cuyo objeto de estudio concierne en la

concepción, la programación y la puesta en práctica de mecanismos

automáticos que pueden sustituir al ser humano para efectuar

operaciones reguladoras de orden intelectual, motor y sensorial.

Perez (2001), es el conjunto de conocimientos teóricos y prácticos

que permiten concebir, realizar y automatizar sistemas basados en

estructuras mecánicas poliarticuladas, dotados de un determinado grado

de "inteligencia" y destinados a la producción industrial o al sustitución del

hombre en muy diversas tareas. Un sistema robóticos puede describirse,

como "Aquel que es capaz de recibir información, de comprender su

entorno a través del empleo de modelos, de formular y de ejecutar planes,

y de controlar o supervisar su operación". La robótica es esencialmente

pluridisciplinaria y se apoya en gran medida en los progresos de la

microelectrónica y de la informática, así como en los de nuevas disciplinas

tales como el reconocimiento de patrones y de inteligencia artificial.

RoboticSpot (2004), la robótica es la ciencia encaminada a diseñar

y construir aparatos y sistemas capaces de realizar tareas propias de un

ser humano.

Según lo planteado por Legendre, Perez y RoboticSpot, robótica es

un conjunto de métodos y medios de mecanismos automáticos, basadas

en estructuras mecánicas poliarticuladas y destinadas a la sustitución del

hombre para ejecutar operaciones y realizar diversas tareas que resulten

agotadoras y repetitivas. En general, la robótica cubre muchos términos

pero todos giran en torno a la misma idea.

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2.3- Manipulador Robótico Según Ollero (2001) basado en la Asociación de Industrias

Robóticas (RIA) define a un robot industrial como un manipulador

programable multifuncional diseñado para mover materiales, piezas,

herramientas o dispositivos especiales mediante movimientos variados,

programados para la ejecución de distintas tareas. En la robótica subyace

la idea de sustituir equipos capaces de automatizar operaciones

concretas por máquinas de uso más general que puedan realizar distinta

tareas.

De igual forma, Barrientos (1997) se basa en la RIA y también hace

referencia a la Organización Internacional de Estándares (ISO) la cual

define a un robot industrial como un manipulador multifuncional

reprogramable con varios grados de libertad.

Por el mismo modo, la Federación Internacional de Robótica (IFR)

en su informe técnico ISO/83737 (1988), concreta que un robot industrial

de manipulación se entiende a una máquina de manipulación automática

reprogramable y multifuncional con tres o más ejes que pueden

proporcionar y orientar materias, piezas, herramientas o dispositivos

especiales para la ejecución de trabajos diversos en las diferentes etapas

de la producción industrial, ya sea en una posición fija o en movimiento.

Por lo anteriormente expuesto, se puede afirmar que un

manipulador robótico es un robot industrial que tiene como finalidad la

ejecución de diferentes trabajos como es la construcción de piezas y que

esta máquina puede ser reprogramable y a la vez multifuncional con tres

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o más ejes.

2.3.1- Clasificación de los Manipuladores Robóticos

Ruíz, Craig y Ollero concuerdan que los manipuladores robóticos

se clasifican en función del espacio de trabajo que ellos pueden alcanzar

o en el cual se pueden mover o desplazar.

Se tiene el espacio cartesiano o rectangular, el espacio de trabajo

cilíndrico y el espacio de trabajo polar o esférico.

a) Brazo Manipulador Cartesiano, este tipo de brazo manipulador

trabaja sobre un espacio que se constriñe únicamente a las coordenadas

cartesianas. Es decir, el área de trabajo generada es una caja o cubo.

Tiene tres grados de libertad, los cuales corresponderán a los

movimientos de los ejes X, Y y Z, de igual forma el desplazamiento que

realiza el robot entre un punto y otro es lineal.

Figura 1. Brazo Manipulador Robótico Cartesiano. Fuente: Educatrónica (2007).

b) Brazo Manipulador Cilíndrico, este tipo de manipulador se

envuelve en su mismo espacio geométrico que permite trabajar con

coordenadas cilíndricas, es decir, gracias a sus características, permite la

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generación de movimientos que describen cilindros. En otras palabras, el

área de trabajo se refiere al espacio generado entre dos cilindros

concéntricos de la misma altura.

Figura 2. Brazo Manipulador Robótico Cilíndrico. Fuente: Educatrónica (2007).

c) Brazo Manipulador Polar, Este robot utiliza la interpolación por

articulación para moverse en sus dos primeras movimientos (rotacional y

angular) y una interpolación lineal para la extensión y retracción, el área

de trabajo es el espacio comprendido entre dos hemisferios concéntricos,

permite la generación y el movimiento en un espacio semejante al espacio

generado por el movimiento de una escalera como se muestra en la

siguiente figura.

Figura 3. Brazo Manipulador Robótico Polar. Fuente: Educatrónica (2007).

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2.4- Modelo Pilar (2003) El objetivo de un modelo consiste en reproducir la

realidad de la forma más fiel posible tratando de entender cómo se

comporta el mundo real y obteniendo las respuestas que pueden

esperarse de determinadas acciones.

El modelo se define como una función objetivos y restricciones que

se expresan en términos de las variables (alternativas) de decisión del

problema.

2.5- Modelo Matemático Pilar (2003) un modelo matemático comprende principalmente tres

conjuntos de elementos determinados por la variable decisión, parámetros

de decisión y restricciones y función objetivo. A continuación se explica

brevemente cada una de ellas:

a. Variable Decisión

Las variables son las incógnitas o decisiones que deben

determinarse según se vaya resolviendo el problema. A las variables de

decisiones se les suelen llamar actividad y a sus valores niveles de la

actividad.

b. Parámetros de Decisión y Restricciones

Los parámetros pueden ser determinísticos o probabilísticos y son

los valores conocidos que se relacionan con las variables, restricciones y

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la función objetivo. Las restricciones son aquellas limitaciones que se

deben tomar en cuenta ya que restringen a la variable decisión en un

rango de valores que resulta factible.

c. Función Objetivo

Define la medida de efectividad que obtiene el sistema cuando los

valores de las variables decisión con sus respectivos parámetros y

restricciones dan como resultado una mejora del sistema.

2.5.1- Representación Simbólica de un Robot Spong (2006) define que un robot manipulador está compuesto de

enlaces conectados por articulaciones que forman una cadena

cinemática. Las articulaciones son generalmente rotatorio (de revolución)

o lineal (prismático). Un conjunto de revolución es como bisagra y permite

el giro relativo entre dos enlaces. Un conjunto prismático permite un

movimiento lineal relativo entre dos enlaces. A un conjunto de revolución

se le denota R y al conjunto prismático se le denota P. A continuación se

muestra un brazo de tres enlaces y articulaciones de revolución es un

brazo RRR.

Figura 4. Representación Simbólica de un Robot

Fuente: Spong (2006).

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2.5.2- Configuración del Espacio Spong (2006) La configuración del manipulador es una

especificación completa de la localización de cualquier punto del

manipulador. El conjunto de todas las posibles configuraciones es llamado

el espacio de configuración. Un objeto se dice que tiene n grados de

libertad, si su configuración puede ser mínima especificada por n

parámetros. Así, el número de grados de libertad (GDL) es igual a la

dimensión del espacio de configuración. Para un robot manipulador, el

número de las articulaciones determina el número de GDL.

Un objeto rígido en tres dimensiones en el espacio

tiene seis grados de libertad: tres para el posicionamiento y tres para la

orientación (por ejemplo, rodar, ángulos de cabeceo y guiñada). Por lo

tanto, un manipulador típicamente debe poseer al menos seis grados de

libertad independiente. Con menos de seis grados de libertad del brazo no

puede llegar a cada punto de su entorno de trabajo con orientación

arbitraria.

Algunas aplicaciones como alcanzar alrededor o detrás de los

obstáculos pueden requerir más de seis GDL. Un manipulador que tenga

más de seis enlaces se conoce cinemáticamente como un

manipulador redundante. La dificultad de controlar un manipulador

aumenta rápidamente con el número de enlaces.

2.6- Dispositivo Mecánico de un Robot Spong (2006) considera que hay una serie de aspectos físicos

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de manipuladores robóticos que no se toman en cuenta necesariamente

al desarrollar los modelos matemáticos. Estos incluyen aspectos

mecánicos (por ejemplo, cómo son las uniones de hecho implementadas),

la precisión y las herramientas que se adjunta al final del efector. Estos

elementos son la fuente de poder, área de aplicación,

método de control, geometría y sistema del robot.

2.7- Cinemática de los Manipuladores Spong (2006) especifica que aunque hay muchas maneras

posibles de usar las articulaciones prismáticas y de revolución para

construir cadenas cinemáticas, en la práctica sólo son utilizados

comúnmente unos pocos de estos. Se describen brevemente los más

utilizados típicamente a continuación:

1. Manipulador Articulado (RRR)

El manipulador articulado también se le llama de revolución o

manipulador antropomorfo. El manipulador de revolución establece la

libertad de movimiento relativamente grande en un espacio compacto la

articulación de paralelogramo, aunque típicamente menos diestro que el

manipulador de codo, sin embargo, tiene varias ventajas que lo convierten

en un diseño atractivo y popular. Es conveniente decir que este tipo de

manipuladores es comúnmente llamado manipulador codo.

La característica más notable del ligamento de un manipulador

paralelogramo es que el actuador para tres conjuntos se encuentra en un

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enlace, este tipo de manipuladores es más simple que los manipuladores

tipo codo por lo cual hace que sea más fácil de controlar. A continuación

se muestra la estructura de un manipulador tipo articulado figura 5 y en la

figura 6 el espacio de trabajo del mismo:

Figura 5. Estructura de un manipulador Articulado. Fuente: Spong (2006).

Figura 6 . Espacio de trabajo de un manipulador tipo Articulado . Fuente: Spong (2006).

2. Manipulador Esférico (RRP)

Si se reemplaza o sustituye el tercer codo del manipulador antes

descrito, el manipulador de revolución por un prisma se transformaría en

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una articulación esférica, el termino se deriva del hecho de que las

coordenadas esféricas define la posición del efec tor final con respecto a

un marco cuyo origen se encuentra en la intersección de los tres ejes z

son los mismos que las tres primeras variables articulares. En la figura 7

se muestra la estructura de dicho brazo y en la figura 8 el espacio de

trabajo del mismo.

Figura 7. Estructura del manipulador Esférico.

Fuente: Spong (2006).

Figura 8 . Espacio de trabajo del manipulador Esférico.

Fuente: Spong (2006).

3. Manipulador SCARA (RRP) Este tipo de manipuladores es utilizado para operaciones de

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montaje adaptadas. Este tipo de manipuladores es bastante diferente al

manipulador esférico, en su aspecto exterior y en su gama de

aplicaciones, este tipo posee las articulaciones Z0, Z1 y Z2 mutuamente

en paralelo. En las figuras 9 y 10 se muestran la estructura de dicho brazo

y el espacio de trabajo del mismo.

Figura 9. Estructura del manipulador SCARA. Fuente: Spong (2006).

Figura 10. Espacio de trabajo del manipulador SCARA.

Fuente: Spong (2006).

4. Manipulador Cilíndrico (RPP)

En este tipo de manipulador la primera articulación es de revolución

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y produce una rotación alrededor de la base, mientras que las

articulaciones segunda y tercera son prismáticas. Como su nombre lo

indica, las variables comunes son las coordenadas cilíndricas del efector

final con respecto a la base. En la figura 11 se muestra la estructura de

dicho manipulador y en la figura 12 se muestra el espacio de trabajo del

mismo.

Figura 11. Estructura del manipulador Cilíndrico.

Fuente: Spong (2006).

Figura 12. Espacio de trabajo del manipulador Cilíndrico.

Fuente: Spong (2006).

5. Manipulador Cartesiano

Este es un tipo de manipulador cuya primera tres articulaciones son

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prismáticas se conoce como un manipulador cartesiano. Para el

manipulador cartesiano las variables conjuntas son las coordenadas

cartesianas del efector final con respecto a la base. La descripción

cinemática de este tipo de manipuladores es el más simple de todos. Son

útiles para aplicaciones de montaje en mesa y, como los robots de

pórtico, para las transferencias de material o de carga.

Figura 13. Estructura del manipulador Cartesiano. Fuente: Spong (2006).

Figura14. Espacio de trabajo del manipulador Cartesiano.

Fuente: Spong (2006).

6. Manipulador Paralelo

Es aquel en donde un subconjunto de los enlaces forman una

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cadena cerrada. Más específicamente, este tipo de manipuladores, tiene

dos o más cadenas cinemáticas independientes que conectan la base con

el efector. La descripción cinemática de los robots paralelos es

fundamentalmente diferente de la de los robots enlace serie y por lo tanto

requiere de diferentes métodos de análisis.

2.8- Cinemática de un Robot Craig (2006) La cinemática de un robot estudia el movimiento del

mismo con respecto a un sistema de referencia, sin considerar las fuerzas

que la ocasionan. Se interesa en la descripción analítica del movimiento

espacial del robot como una función del tiempo, y en particular por las

relaciones entre la posición y la orientación de la herramienta del robot

con los valores que toman las coordenadas de sus articulaciones. Existen

dos problemas fundamentales para resolver la cinemática de un robot, se

explican a continuación:

2.8.1- Cinemática Directa El método utilizado para la cinemática directa, consistirá en las

propiedades geométricas y temporales del movimiento del robot

especificando posición y orientación del mismo. Se tomara como sistema

de referencia del manipulador siguiendo la notación Denavit-Hartenberg

(1955).

• Método Denavit-Hartenberg

El problema de la cinemática directa se reduce a encontrar la

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matriz de transformación homogénea (T) que relacione la posición y

orientación del extremo del robot respecto a su sistema de referencia fijo

(base del robot). La matriz T está en función de los parámetros de las

articulaciones del robot. Para un robot de n grados de libertad tenemos.

X= fx (q1, q2 ,q3,q4,….qn)

Y= fy (q1, q2 ,q3,q4,….qn)

Z= fz (q1, q2,q3,q4,….qn)

a= fa (q1, q2,q3,q4,….qn)

ß= fß (q1, q2,q3,q4,….qn)

? = f? (q1, q2,q3,q4,….qn)

Donde:

q1…n = Son las variables de las articulaciones.

Para articulaciones revolutas las variables son ángulos.

Para articulaciones prismáticas las variables son distancias.

x, y,z = Coordenadas de la posición del extremo del robot.

a, ß, ? = Ángulos de la orientación del extremo del robot.

Debido a que el sistema explicado anteriormente solo podía ser

utilizado sin que fuera complicado para manipuladores de dos (2) grados,

Denavit y Hartenberg (D-H) en 1955, propusieron un método matricial,

este método establece en forma sistemática un sistema coordenado para

cada elemento de la cadena cinemática, es decir, con este método se

pretende identificar los parámetros que describen un eslabón y los que

describen la conexión entre eslabones. La representación de D-H da

como resultado una matriz de transformación homogénea 4x4 que

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representa cada uno de los sistemas coordenados de los elementos en la

articulación con respecto al sistema de coordenadas del elemento previo.

Mediante transformaciones secuénciales, el efector final se puede

expresar en las coordenadas de la base que constituye el sistema inercial.

Según la representación propuesta se escoge los sistemas de

coordenadas asociados a cada par, será posible pasar de uno al siguiente

mediante 4 transformaciones básicas que dependen exclusivamente de

las características geométricas del par.

Estos parámetros se definen para representar las relaciones de

traslación y rotación en los enlaces adyacentes y se identifican como:

longitud del eslabón o distancia medida a lo largo del eje X i (ai), ángulo de

torsión del eslabón o ángulo entre Zi-1 y Zi medido en torno al eje X i entre la

intersección de los ejes Xi y Z i-1 y el origen {Si} (ai), offset del eslabón o

distancia medida a lo largo de Zi-1 entre el origen del {S i-1} y la intersección

de los ejes Xi y Z i-1 (di) y el ángulo de la unión o ángulo entre Xi-1 y Xi,

medido en torno a Zi-1 (? i). ? ?? ?? ? ? ????? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? donde i= número de

eslabones y ? = transformada homogénea.

Para que la matriz Aii-1 se relacione con los sistemas de

coordenadas Oi y Oi-1 es necesario que los sistemas de coordenadas se

determine n mediante los siguientes pasos:

1- Numerar y etiquetar el eslabón fijo (base) como 0.

2- Numerar y etiquetar los eslabones móviles desde 1 hasta el n

eslabón móvil.

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3- Localizar y numerar el eje de cada articulación y etiquetarla

comenzando desde z0 hasta zn-1. Si la articulación es rotativa, el eje será

su propio eje de giro. Si la articulación es prismática, el eje será a lo largo

del cual se produce el desplazamiento.

Para establecer el sistema de coordenadas de base:

4- Establecer el sistema coordenada de la base estableciendo el

origen como O0 en cualquier punto de Z0. Arbitrariamente establecer los

ejes X0 y Y0 respetando la regla de la mano derecha.

Para establecer los sistemas coordenados de las demás

articulaciones.

5- Localizar el origen Oi .

- En la intersección del eje Zi con la línea normal común a la

intersección de Zi y Z i-1.

- En la intersección de Z i y Zi-1, si es que Z i y Zi-1 se interceptan.

- En la articulación i, si Z i y Zi-1 son paralelos.

6- Establecer Xi .

- A lo largo de la línea normal común entre los ejes Z i y Z i-1 que

pasa por Oi .

- En la dirección normal al plano formado por Z i y Z i-1, si es que

estos dos ejes se interceptan.

7- Establecer Yi de acuerdo a la regla de la mano derecha.

Para realizar el establecimiento del sistema coordenado de la

herramienta .

8- localizar el sistema coordenado n-ésimo en el extremo del robot.

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Si es una articulación rotacional, establecer Zn a lo largo de la dirección

Zn-1 y establecer el origen On de la manera que más convenga a lo largo

de Zn preferente en el centro de la pinza o la punta de cualquier

herramienta que el robot tenga montada.

9- Establecer Xn y Yn de acuerdo a la regla de la mano

derecha. Si la herramienta es una pinza, es común establecer el eje Yn

entre los “dedos” de la pinza y Xn será orto normal a Zn y Yn.

Por último, obtener las Matrices de Transformación Homogéneas.

10- Crear una tabla con los parámetros D -H de los eslabones:

Eslabón i ? ? ? ? ? i ? ?

Realizar la matriz D-H de transformación homogénea Aii-1 para

cada eslabón de acuerdo a los datos de la tabla del punto anterior.

11- Obtener la matriz de transformación que relacione el sistema

coordenado de la base con el sistema coordenado del extremo del robot,

resultando en la posición y orientación del sistema coordenado de la

herramienta expresada en coordenadas de la base.

? ? ? ? ? ? ? ?? ????? ??

Las cadenas cinemáticas se describirán indicando los cuatro

parámetros de D-H de las articulaciones. En la primera articulación de la

cadena, el valor de los parámetros a0,a0, es arbitrario y se toma como

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cero. Si la articulación es de rotación, el parámetro di correspondiente se

considera también cero. Cuando la articulación es prismática, el

parámetro ? i se hace igual a cero.

Así, la variable de una articulación i de rotación se representara

mediante el ángulo ? i y la de una prismática mediante el desplazamiento

di. Los otros dos parámetros de la articulación son la distancia ai-1 entre el

eje de la articulación i-1 y el eje de la articulación i, medida sobre la línea

perpendicular común, y el ángulo a i-1 entre estos dos ejes (ángulo entre

las proyecciones de los dos ejes en un plano cuya normal es la

perpendicular común), medido como rotación alrededor de la

perpendicular común hasta hacer coincidir las direcciones de los ejes.

Cuando el eje i-1 y el i interceptan, el valor del parámetro ai-1 es cero.

• Método de Euler

Otra manera de determinar la cinemática directa es utilizando el

método de Leonhard Euler. Para llevar a cabo la evaluación del diseño

cuando se presenta un ángulo de rotación se utilizara lo que se llama

como ángulos de Euler, este científico propuso que se podría emplear una

secuencia especifica de rotaciones para especificar la orientación de un

cuerpo rotando con respecto a un punto fijo. Para explicar cómo se llevo a

cabo esta serie de ecuaciones se tomara en cuenta el experimento del

científico F. Klein que estudio el movimiento de un trompo pesado.

En la figura 15 se muestran los movimientos del experimentó de

Klein y como fue analizado por Euler. Primeramente se considera un

ángulo F con respecto al eje Z, y se emplea la regla de la mano derecha,

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para emplear de esta manera la regla de la mano derecha y rotación

positiva. Esto sigue con una rotación ? con respecto al eje X’ en el que

empleo nuevamente la regla de la mano derecha.

Figura 15. Método de Euler secuencia ( Z, X’).

Fuente: Soutas (2008).

De esta manera, se demuestra la orientación de un cuerpo en el

espacio se puede definir en términos de transformaciones rotacionales

ortogonales sucesivas, definidas por las siguientes transformaciones:

[?? ? ? ? ? ?? ??• ? ?? ??• ? ??? ? ?? ? ? ? El 1 en la diagonal corresponde al coseno del ángulo entre los ejes

Z y Z’ lo que indica que hay una rotación con respecto al eje Z. Los otros

elementos en la misma fila o columna son cero ya que la suma de los

cuadrados de los elementos de cualquier fila o columna de una matriz de

transformación de rotación ortogonal debe ser igual a uno.

Por otro lado, la segunda transformación de las coordenadas (X’,Y’,Z’) a

las coordenadas (X”,Y”,Z”) es una rotación con respecto al eje X’ y está

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dada por la siguiente matriz.

?? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ??•?? ? ??• ? ??? ? ? Quedando de esta manera explicado cómo se lleva a cabo el

análisis de los ángulos de rotación.

2.8.2- Cinemática Inversa

El objetivo que se alcanza mediante el estudio de la cinemática

inversa, permite formular expresiones que permiten determinar los valores

adoptados por las coordenadas articulares del manipulador, para que su

extremo se posicione y se oriente según una determinada localización

espacial. Para ello se ha utilizado una resolución no sistemática, ya que la

misma depende de la configuración del robot y en consecuencia pueden

existir múltiples soluciones, por lo que se ha planteado una solución

cerrada basada en relaciones geométricas. Determina los valores de las

articulaciones que satisfagan condiciones deseadas de posición,

velocidad o aceleración en el espacio.

Para resolver el problema de encontrar los ángulos de articulación

requeridos para colocar la trama de la herramienta ?? ? relativa a la trama

estación ?? ? se divide en dos partes. Primero se realizan transformaciones

de trama para encontrar la trama de la muñeca ?? ? relativa a la trama

base ?? ? y después se utiliza la cinemática inversa para resolver de esta

manera los ángulos de articulación.

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2.8.3 Método de la Jacobiana El jacobiano es una forma multidimensional de la derivada.

También puede usar notación vectorial para escribir estas ecuaciones: ? ? ? ?? ? Considerada de otra manera esta notación se puede denotar como:

? ? ? ? ?? ? ? ?

Es decir, las Jacobianas son transformaciones lineales que varían

en el tiempo. En el campo de la robótica el método jacobiano se utiliza

para relacionar velocidades de articulaciones con velocidades cartesianas

en la punta del brazo, es decir, a través de la Jacobiana directa se conoce

lo relacionado con las velocidades del extremo del robot, conociendo

como base las velocidades de cada articulación, por otro lado, la

Jacobiana inversa obtiene las velocidades articulares si se conoce la

velocidad del extremo del robot cada una se analiza tomando en cuenta

las ecuaciones características de la cinemática directa y inversa.

2.9- Sistema de Coordenadas

Serway (2008) para definir el sistema de coordenadas

primeramente se definirá la posición de un punto en el espacio, lo cual se

hace por medio de coordenadas. Un punto en una recta se puede

localizar con una coordenada, un punto en un plano se localiza con dos

coordenadas y tres coordenadas se requieren para localizar un punto en

el espacio. Un sistema de coordenadas para especificar ubicaciones en el

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espacio consta de un punto fijo de referencia 0 llamado origen. Un

conjunto de ejes especificados, o direcciones, con una escala apropiada y

leyendas en los ejes. Instrucciones que nos digan como marcar un punto

en el espacio con respecto al origen y ejes.

Un sistema de coordenadas cómodo que se utiliza con frecuencia,

es el sistema de coordenadas cartesianas o a veces llamado

coordenadas rectangulares.

Para localizar un punto en el espacio se utiliza las coordenadas

polares planas (r, ?) en este tipo de coordenadas se selecciona un punto

en el origen y una línea de referencia, donde se especifica entonces la

distancia r del origen al punto y el ángulo ? entre la línea de referencia y

una línea trazada del origen al punto (frecuentemente se considera como

línea de referencia el eje x positivo de un sistema de coordenadas

cartesianas). El ángulo ? se considera positivo cuando se mide en

sentido contrario al giro de las agujas del reloj y negativa en sentido

contrario desde la línea de referencia.

3- Definición de Términos Básicos

A continuación se definen los términos que se consideran son

importantes para el mejor entendimiento del proyecto de investigación:

Angulo: Stanley (1998) es la unión de dos rayos no colineales, los

cuales tienen el mismo extremo.

Articulaciones: Larousse (2007) es la unión entre dos piezas

rígidas que permite cierto movimiento entre ellas.

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Conexión: Larousse (2007) es la acción de conectar un aparato,

una máquina u otro sistema eléctrico a su fuente de energía o dos

aparatos o partes de un sistema eléctrico entre sí.

Diseño : Larousse (2007) define diseño como la actividad creativa

que tiene por fin proyectar objetos, tipografías, logotipos, etc. para

después fabricarlos.

Eje : Larousse (2007) es una barra cilíndrica que atraviesa un

cuerpo giratorio y le sirve de sostén en un movimiento libre o le transmite

una energía mecánica de giro.

Función: Stewart (2010) una función f es una regla que asigna a

cada elemento x de un conjunto de dominio (D), exactamente un

elemento, llamado f(x) que es el valor de f en función de x, de un conjunto

E.

Jacobiano: Larousse (2007) es la matriz que describe la relación

entre la velocidad de las articulaciones y el efector final.

Máquina: Larousse (2007) define la maquina como un conjunto de

piezas acopladas entre sí que transforma una forma de energía en otra

para hacer un trabajo determinado.

MATLAB: Gilat (2005) MaTrix LABoratory, "laboratorio de matrices"

puede ser utilizado en computación matemática, modelado y simulación,

análisis y procesamiento de datos visualización y representación de

gráficos, así como para el desarrollo de algoritmos.

Método de Gauss: Campos (2003) consiste en obtener un sistema

equivalente a partir de una matriz dado, utilizando operaciones

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fundamentales en los renglones de la matriz ampliada, con el propósito de

llegar a una matriz triangular superior donde la diagonal está formada por

la identidad.

Método de Gauss-Jordán: Campos (2003) es una modificación de

la matriz de Gauss consiste en transformar a la matriz de coeficientes en

la matriz identidad, lo que cual evita que se realice una sustitución hacia

atrás, ya que las soluciones son directas.

Piezas: Larousse (2007) cada una de las partes que, unidas con

otras, forman un objeto. Puede referirse a un objeto intangible o abstracto.

Es un elemento individual considerado generalmente indivisible.

Robot: López (1995) es un manipulador reprogramable y

multifuncional diseñado para mover material, partes, herramientas o

dispositivos especializados mediante movimientos programables variables

para ejecución de diversas tareas.

Traslado: Larousse (2007) significa cambiar objetos o cosas de un

lugar. Movilizar de un lugar a otro una pieza u objeto.

Vínculo: Larousse (2007) es hacer que una cosa dependa de otra,

es decir, es utilizado para interconectar dos o más objetos.

4- Sistema de Variables El Sistema de Variable estará definido por medio de su forma

conceptual y operacional con el fin de representar las diferentes

condiciones en las que los objetos de estudio serán asumidos desde el

inicio de la investigación, a continuación se muestran las dos (2)

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variables que corresponden a las más significativas para realizar dicho

proyecto investigativo: Modelo Matemático y Manipulador Robótico.

4.1- Modelo Matemático 4.1.1- Concepto Stewart (2010) define que el modelo matemático es una

descripción matemática (con frecuencia por medio de una función o una

ecuación) de un fenómeno real como lo es el tamaño de una población, la

demanda para un producto, la rapidez de un cuerpo en caída, la

concentración de un producto en una reacción química, entre otros. El

propósito del modelo es entender el fenómeno y quizá hacer predicciones

acerca de su futuro comportamiento.

Un modelo matemático, nunca es una representación

completamente precisa de una situación física: es una idealización. Un

buen modelo simplifica la realidad suficiente para permitir cálculos

matemáticos pero es bastante preciso como para dar conclusiones

valiosas.

4.1.2- Definición Operacional

El modelo matemático se desarrollará tomando en cuenta la

dimensión de este proyecto el manipulador robótico y considerando que

los indicadores del mismo, está formado por los elementos y las

características que esté posee, es decir, el modelo se determinara

considerando la estructura, las trayectorias y ángulos de movilidad del

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manipulador robótico de tres ejes. De igual forma, será desarrollado por

medio del estudio analítico de la geometría del movimiento del

manipulador, utilizando como procedimientos esenciales la cinemática

directa e inversa.

Para entender el procedimiento , es importante identificar los

elementos que conforman al manipulador robótico, considerando las

articulaciones y los grados de movilidad (área de trabajo) que esté

presente, ya que de esta manera, se puede idealizar con mayor exactitud,

las ecuaciones matemáticas que lo conforman, aspecto fundamental para

desarrollar el objetivo pri ncipal de esta investigación.