Probabi l idad

C O N C E P T U A L I Z A C I Ó N

La probabil idad se establece como la frecuencia relativa (Y,), que se obtiene de dividir la frecuencia absoluta entre el total de frecuencias dentro de un arreglo de frecuencias o una distribución de frecuencias, que establece la posibil idad de ocurrencia de los x¡ valores en el arre­glo o de los x¡ puntos medios en la distribución. Por regla general, la máxima posibil idad de ocurrencia corresponde al o los valores moda­les del conjunto.

Considere que un evento es un suceso específico, el cual puede ocurrir de una sola manera (en caso de seleccionar a un turista) o en una cantidad mayor (en caso de seleccionar a un turista estadounidense del total de turis­tas de diferentes nacionalidades), sin embargo, para su representación, úni­camente se considera el resultado final que se obtendría del evento mismo. Por ejemplo, si desea seleccionarse a un turista estadounidense de entre un total formado por turistas estadounidenses, europeos, asiáticos y sudameri­canos, el evento sería representado por E = selección de un turista estado­unidense, independientemente de cuántos turistas estadounidenses se ten­gan. En otra situación, si se desea contar con un grupo de personas donde se tengan exactamente dos mujeres, el evento se representaría por E = dos mujeres en el grupo.

Ejemplo 6.1. De la siguiente distribución de frecuencia, obtener la frecuencia relativa y comprobar que la máxima de éstas coincide con el punto medio (X¡) modal.

131

132

Clase F

3-7 3 8-12 7

13-17 9 18-22 12 23-27 11 28-32 8

Solución

Clase F X, F

3-7 3 5 3/50 = 0.06 = 6% 8-12 7 10 7/50 = 0.14 = 14%

13-17 9 15 9/50 = 0.18 = 18% 18-22 12 20 12/50 = 0.24 = 24% 23-27 11 25 11/50 = 0.22 = 22% 28-32 8 30 8/50 = 0.16 = 16%

2 50 100%

Valor modal X^ = 20 con F,• = 12 y Fr = 24 %, este último es el máximo valor de frecuencia relativa obtenido, por lo que queda comprobado que la máxima frecuencia relativa Fr corresponde al valor modal de la distri­bución.

De lo anterior se desprende que el valor de XA = 20 tiene una posibi­lidad de ocurrir nuevamente:

P(X4 = 20) = 24%

Nótese en el ejemplo anterior que los eventos son cada una de las clases de la distribución, independientemente del número de veces que se repite cada una de ellas.

P R O B A B I L I D A D A PRIORIY P R O B A B I L I D A D A POSTERIORI

Generalmente se necesita de cierta información base para determi­nar la probabilidad de ocurrencia dada por la experiencia o mediante arreglos.

133

PROBABILIDAD A PRIORI

Cuando se determina la posibilidad de ocurrencia de un evento (dentro de un conjunto), sin necesidad de llevar a cabo una prueba pre­via (experimento), se dice que se está calculando la probabilidad a prio­ri del evento, que es el cociente que resulta de dividir al número de eventos favorables (que hay que seleccionar), entre el total de eventos posibles.

Si m = eventos favorables y n = eventos totales en m =s n, entonces:

Si un turista puede seleccionar entre dos destinos, para llevar a cabo su periodo vacacional o de tiempo libre, tendrá que el conjunto de selección está formado por dos eventos. Seleccionar el destino uno ( A ) , y/o seleccionar el destino dos ( A ) , que se representa por álgebra de conjunto de la siguiente manera:

S = {Di, A } = conjunto donde puede seleccionarse el destino uno o el destino dos.

S se conoce como el espacio muestral. Como debe seleccionar uno de los dos destinos, entonces la proba­

bilidad de seleccionar el destino uno es uno de los dos:

/>(£>,) = I = 0.5 = 50 %

y la probabi l idad de seleccionar el destino dos, también es uno de los dos:

P ( A ) = I = 0.5 = 50 %

Lo que establece que los eventos (destinos) son equiprobables, lo que quiere decir que hay la misma probabilidad de ocurrencia.

Ejemplo 6.2. Un turista desea conocer cuál es la probabilidad de seleccionar uno de entre cinco posibles establecimientos de hospedaje. Considere que es su primer viaje.

134

Solución

El espacio muestral S, para la situación presentada es el siguiente:

S = {H\, H2, H3, HA, H5}

donde la probabilidad de seleccionar a uno de los cinco establecimien­tos considerados se expresa para:

P(H{) = 1/5 = 0.20 = 20%

H2 p m = 1/5 = 0.20 = 20%

H3 p m = 1/5 = 0.20 = 20%

H4 p m = 1/5 = 0.20 = 20%

H5 p m = 1/5 = 0.20 = 20%

Tiene 20 % de probabilidades de elegir a cualesquiera de los cinco, por ser eventos equiprobables.

Sin embargo, no siempre las probabilidades a priori son equiproba­bles. Por ejemplo, se tienen cinco turistas japoneses, seis alemanes y tres estadounidenses, la probabilidad de seleccionar a un turista de cada nacionalidad es diferente:

Para japoneses PQaponés) = 5/14 = 35.71 % Para alemanes P(alemán) = 6/14 = 42.86 % Para estadounidenses /^estadounidense) = 3/14 = 21.43 %

PROBABILIDAD A POSTERIOR!

Cuando se determina la posibilidad numérica de ocurrencia de un evento (elemento de un conjunto), con una prueba previa (experimento) se está calculando la probabilidad a posterioñ del evento.

Esta probabilidad es el cociente que resulta de dividir al número de resultados favorables (que hay que seleccionar), entre el total de resul­tados obtenidos (después de la experimentación).

Si m = resultados favorables y n = resultados totales, con m < n, entonces:

Si un turista ha viajado 20 veces, de manera que en 12 de estos via­jes ha concurrido al destino uno, y los restantes al destino dos, y desea

CAP. 6. PROBABILIDAD 135

seleccionar uno de estos dos destinos para su próximo viaje durante su periodo vacacional, el conjunto de selección está formado por 12 viajes al destino uno y ocho viajes al destino dos, que representado por el es­pacio muestral es el siguiente:

S = {Dh Di, Di, Di, Di, Di, Di, Du Du Dh Dh Dh D2, D2, D2, D2, D2, D2, D2, D2}

y en forma simplificada:

S= { 1 2 A , 8 D 2 }

Como desea seleccionar uno de los destinos, entonces la probabili­dad de seleccionar el destino uno es la siguiente:

P(P0 = 12/20 = 0.60 = 60%

Y la probabilidad de seleccionar el destino dos:

PXPd = 8/20 = 0.40 = 40%

En este caso las probabilidades son diferentes, no equiprobables.

Ejemplo 6.3. Supongamos que un turista viaja por octava vez en el presente año y se ha hospedado tres veces en el hotel Hi, cuatro veces en el hotel H2 y una vez en el hotel H3. ¿Cuál es la probabilidad de que en su siguiente viaje se hospede en cualesquiera de estos tres hoteles?

Solución

El espacio muestral S, para la situación presentada es, en forma sim­plificada:

S={3-Hu4-H2,l-H3)

donde la probabil idad de seleccionar a uno de estos hoteles se expre­sa para:

Hi PQHi) = 3/8 = 0.375 = 37.5%

H2 PCHd = 4/8 = 0.500 = 50.0%

H3 p m = 1/8 = 0.125 = 12.5%

136 PARTE I I

Es importante destacar que según el número de experimentos, va creciendo la probabilidad a posteriorí y tiende a la probabilidad a priori (probabilidad ideal).

C A R A C T E R Í S T I C A S P R I N C I P A L E S P A R A E L M A N E J O D E P R O B A B I L I D A D E S

Una forma de establecer la aplicación correcta de las probabilida­des en la Administración Turística es con el conocimiento de lo que se espera obtener dentro de ciertos límites o situaciones.

PROBABILIDAD D E L ESPACIO MUESTRAL

El espacio muestral es aquel conjunto que contiene todos los eventos posibles que pueden ocurrir, por tanto la probabilidad de éste es uno:

P(_S) = 1 o 100%

Independientemente que los eventos representen una o varias so­luciones.

Ejemplo 6.4. Un conjunto de turistas extranjeros está formado por un italiano, un rumano, un africano y un serbio, ¿cuál es la probabilidad de seleccionar un turista extranjero?

Solución

Ya que todos los elementos del espacio muestral son turistas extran­jeros, invariablemente si se selecciona a una persona de ese conjunto, será un turista extranjero, por lo que la probabilidad es de 1 o 100 %.

Ejemplo 6.5. El espacio muestral es un conjunto de turistas de na­cionalidad diferente, como el siguiente:

5 = {10 guatemaltecos, 15 canadienses, 5 españoles}

¿Cuál es la probabi l idad de seleccionar un turista del espacio muestral?

137

Solución

Dado que el espacio muestral está formado por turistas extranjeros, si estamos en México, la probabilidad es la siguiente:

P(S) = 30/30 = 1 = 100%

PROBABILIDAD DE LOS EVENTOS D E L ESPACIO MUESTRAL

Si los eventos (E¡) de un espacio muestral son partes mutuamente excluyentes (generalmente) de éste, la probabil idad de ocurrencia de cada uno debe ser menor a 100 % y mayor a 0 %, de manera que la suma de las probabilidades de todos los eventos sea igual a la probabilidad del espacio muestral:

El E2 £3 ... En

P(E{) P(E2) PCEj) ... P(En) 5 = espacio muestral

0% <P(E¡) < 100% o 0 <P{E¡) < 1 entonces:

PCEO + P(E2~) + PCE¿) + ...+ P(En) =P(S) = l 00 %

PROBABILIDAD DEL EVENTO IMPOSIBLE

Todo conjunto de elementos tiene como subconjunto al conjunto vacío, si la probabilidad del conjunto es 100%, la probabilidad del con­junto vacío será de 0 %, y se representa:

P(<j>) = 0 donde § = conjunto vacío

PROBABILIDAD D E OCURRENCIA D E DOS o MÁS EVENTOS

a) Si los eventos de un espacio muestral son mutuamente excluyen-tes, entonces la probabilidad de ocurrencia de uno u otro es la suma de sus respectivas probabilidades.

Ei : £2 En S = espacio muestral

138 PARTE I I

entonces:

PQEl0E2) = PQE, u £ 2 ) = + ^ 2 )

P{ExoE2oEio...oEn) = P(EX u E2 u £ 3 u . . . u En)

= P(EO + ^ 2 ) + ^ 3 ) + - +

Debido a que la disyunción lógica es una unión de conjuntos y al mismo tiempo una suma aritmética.

¿>) Si los eventos de un espacio muestral son mutuamente excluyen-tes, entonces la probabilidad de ocurrencia de uno y otro es la mult ipl i ­cación de las probabilidades individuales, por tanto, si:

Ei E2 £3 E„ S = espacio muestral

entonces:

P(EiyE{) = P{EX n £ 2 ) = P{EX)P{E2-)

P{ExyE2yE^y...yEn) = P{EX n E2 n E3 n . . . n £ „ )

= P{EOP{E2)P(Ei-)...P{En^

Se considera que la conjunción lógica es una intersección de con­juntos y al mismo tiempo una multiplicación aritmética.

En los casos a y b en que los eventos son independientes, la proba­bil idad de ocurrencia de un evento no afecta a la de otro evento dentro del mismo espacio muestral.

c) Si los eventos de un espacio muestral se traslapan parcialmente por tener elementos en común, la probabilidad de ocurrencia de uno u otro es la siguiente:

139

P(E,oE2) = P(EX u E2) = P(E{) + P ( £ 2 ) - ^ £ 2 )

/>(£iy£ 2 ) = P{E, n £ 2 ) = V>(£0 + P(E2) - u £ 2 )

Cuando los eventos de un espacio muestral contienen elementos en común, se dice que son eventos dependientes, esto es, que la probabili­dad de ocurrencia de un evento afecta a la de otro de los eventos dentro del mismo conjunto.

Ejemplo 6.6. De un grupo de cinco turistas, 10 hombres de negocios y cinco paseantes, se desea saber cuál es la probabilidad de seleccionar a un turista o a un paseante.

Solución

Como los eventos turistas, hombres de negocios y paseantes son mutuamente excluyentes y la probabilidad solicitada una disyunción de eventos, se tendrá:

/'(turista o paseante) = futurista U paseante) = P(turista) + /^paseante) = 5/20 + 5/20 = 10/20 = 0.5 = 50 %

Ejemplo 6.7. Un grupo de turistas tiene una probabilidad de 30 % de visitar el Centro Histórico de la Ciudad de México; 20 % de probabilida­des de visitar la Plaza de las Tres Culturas y 15 % de visitar ambas zonas. ¿Cuál es la probabilidad de que visiten una u otra de las zonas?

Solución

visitar Centro Histórico = vch visitar Plaza de las Tres Culturas = vpt

P(vcli) = 30% P(vpf) = 20%

PQuch n vpf) = P(vch y vpt) = 15%

por tanto: P(vch U vpf) = P(vch) + P(vpf) - P(vch n vpt)

= 30% + 2 0 % - 15% = 35%

140

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Si la probabilidad de ocurrencia de un evento depende completa­mente de la ocurrencia de otros eventos, dentro del mismo espacio mues­tral, se dice que el segundo evento está condicionado a la ocurrencia del primer evento.

Por ejemplo, una cancelación de un boleto de avión está condicio­nada a que con anterioridad se haya vendido ese mismo boleto de avión, por tanto, la cancelación depende completamente de que se haya llevado a cabo la venta de un servicio turístico. Entonces la pro­babil idad de que ocurra una cancelación, dado que se realizaron ven­tas, está dada por:

, , , . P(venta y cancelación) P(Lancelacion\nay ventas) = — -

PQventa)

En términos generales, si la ocurrencia de B depende de que ocurra A, entonces:

P(A)

donde:

P(B\A) = probabilidad de ocurrencia del evento B, dado que ya ocurrió el evento A,

P(A n B) = probabilidad conjunta de A y B, y P(A) = probabilidad de A.

Ejemplo 6.8. La siguiente tabla muestra el número de turistas, por nacionalidad y destino (tabla de doble entrada) que vienen a México.

Destino

Nacionalidad Ciudad Playa

Estadounidense 35 15 Nicaragüense 10 20 Argentino 5 25

CAP. 6. PROBABILIDAD 141

Determinar:

á) La probabilidad de que un turista que siendo estadounidense se encuentre en la playa.

b) La probabilidad de que un turista que se encuentra en la ciudad sea argentino.

c) La probabilidad de que en la playa se encuentre un turista que no es estadounidense.

Solución

á) Al simbolizar:

Turista estadounidense = TN Destino de playa = P

por tanto:

P(TN n P) P(P\TN) =

P(77V)

de la tabla se desprende que:

PCTN n P) es igual al número de turistas estadounidenses que están en playa entre el total de turistas:

PCTN n P) = 1 5 = — = 13.64 % V J 35 + 15 + 10 + 20 + 5 + 25 110

PCTN) es igual al número de turistas estadounidenses entre el total de turistas, por tanto:

50 PQTN) = — = 45.45 %

v J 110

entonces: 15

P(P\TN) = = — = 30 % 50 50 H 0

Es la probabilidad de que un turista estadounidense se encuentre en la playa.

142 PARTE II

b) Al simbolizar:

Destino de ciudad = C Turista argentino = TS

por tanto:

y J P(C)

Con la información de la tabla:

P(TS n Q es igual al número de turistas argentinos que se encuen­tran en la ciudad entre el total de turistas, por consiguiente:

P(TS o C) = — = 4.54 % v J 110

P(C) es igual al número de turistas en ciudad entre el total de turistas:

50 P(C) = — = 45.45 %

v J 110

entonces:

5

P(TS\C) = ±P- = — = 10% y J 50_ 50

110

Es la probabilidad de que un turista que se encuentra en la ciudad sea argentino.

c) Al simbolizar:

Destino de playa = P Turista estadounidense = TN Turista no estadounidense = TN'

por tanto:

PCTN'n P) P(TN\P) =

P(P)

CAR 6. PROBABILIDAD 143

De la tabla se sabe que 60 turistas son no estadounidenses (son nicara­güenses o argentinos), entonces P(TN' D P) es igual al número de turistas no estadounidenses y que se encuentran en la playa entre el total de turistas:

45 PCTN'n P~) = — = 41 %

y J 110

Se sabe que P(P) es igual al número de turistas que están en playa entre el total de turistas:

prp) = J?2_ = 54.54 % v J 110

entonces:

y ; 60 60 110

Es la probabilidad de que en la playa se encuentre un turista que no es estadounidense.

R E G L A DE ELIMINACIÓN Y T E O R E M A D E B A Y E S

Una aplicación muy común de la probabil idad condicional, en la actividad turística, se presenta cuando un espacio muestral formado por eventos mutuamente excluyentes se encuentra traslapado parcialmente por un evento, cuya ocurrencia está supeditada a la ocurrencia de al me­nos uno de los eventos del espacio muestral.

Esquemáticamente la situación se presenta de la siguiente forma:

Ei

e 2 e 3

E n

e n ,

144 PARTE I

donde la ocurrencia de e\ está condicionada a la ocurrencia de E\ y no viceversa; lo mismo ocurre con los demás eventos e,.

Los ejemplos de este t ipo de aplicación son los siguientes:

a) Las áreas de venta de una agencia de viajes y las cancelaciones que se pueden presentar.

b) Los tipos de habitación de un hotel y el t ipo de turista que se hospeda en ellas.

c) Las salas de un museo y la motivación que tiene el visitante ha­cia éstas, etcétera.

Regla de eliminación

Establece la probabilidad de que ocurra el evento que se traslapa parcialmente a los eventos del espacio muestral en condiciones norma­les de operación. Se obtiene mediante la siguiente expresión:

P(e) = P(E{)P(ex\Ex) + P(E2)P(e2\E2)

+ P(E$P(e3\Ed + ... + P(£ n)P(e„\£ n)

donde:

P(E¡) = probabilidad de ocurrencia del evento /-ésimo del espacio muestral, y está dado por:

PÍE,) = n ( 5 )

con:

n(E¡) = número de elementos en E¡ n(S) = total de elementos del espacio muestral (S)

P(ei\E¡) = probabilidad de ocurrencia de la parte del evento que se traslapa parcialmente (e,) sobre el evento E¡ del espacio muestral, dado que ya ocurrió el evento E¡, por tanto:

<Ed

n(E¡ n e¡) = número de elementos en la intersección de E¡ con e, n(E¡) = número de elementos en el evento E,

CAP, 6. PROBABILIDAD 145

Ejemplo 6.9. Una agencia de viajes vende mensualmente en prome­dio, 80 boletos de avión, 120 tours por la ciudad, 10 paquetes turísticos de playa y 90 reservaciones hoteleras. Sus estadísticas muestran que por lo general, y también como promedio mensual, le cancelan 10 bole­tos de avión, 12 tours, 2 paquetes turísticos y 9 reservaciones hoteleras, por lo que desea saber cuál es la probabil idad de tener al menos una cancelación el próximo mes de operaciones.

Solución

En una representación esquemática se presenta de la siguiente manera:

Boletos de avión

Ei = 80

Cancelac ión boleto de avión

d = 10

Tours E, = 120

Cancelac ión tours

e2 = 12

Paquete turíst ico E-i = 10

Cancelac ión paquete turíst ico

e 3 = 2

Reservación hotelera E 4 = 90

Cance lac ión reservación

hote lera e„. = 9

S = agencia de viajes

por tanto: P(vender boleto de avión) = P(EX) = 80/300 - 26.67 %

P(vender tours) = P(E2) = 120/300 = 40.00%

/^vender paquetes turísticos) = P(Ed) = 10/300 = 3.33%

P(vender reservaciones hoteleras) = P(E4) = 90/300 = 30.00 %

En consecuencia:

P(cancelación dado que se venden boletos de avión) = P(ei\E\) = 10/80 = 12.50%

P(cancelación dado que se venden tours) = P(e2\E2) = 12/120 = 10.00%

f(cancelación dado que se venden paquetes turísticos) = P(e3\E3) = 2/10 = 20.00%

P(cancelación dado que se venden reservaciones hoteleras) = P(e4\E4) = 9/90= 10.00%

146 PARTE I I

La probabilidad de al menos una cancelación será de:

Píe-) = Ü - ( Í 2 ) + M ( « . ) + — ( - ) + — ( — ) = — = 11.00 % 7 300 W 300 120 J 300 10 y 300 90^ 300

Ejemplo 6.10. Un hotel de ciudad cuenta con el siguiente núme­ro de habitaciones: 40 sencillas, 70 dobles, 30 triples y 10 suites. Sus servicios los presta tanto a hombres de negocios como a turistas. Se sabe por sus registros que los hombres de negocios reservan habi-tualmente 70% de las habitaciones sencillas, 40% de las dobles, 10% de las tr iples y 50% de las suites. Se desea conocer la probabi l idad de que al menos una habitación sea reservada por un hombre de ne­gocios.

Solución

La representación esquemática se presenta de la siguiente manera:

Habitación sencil la E x = 40

Cancelac ión habi tac ión

senci l la P(e,\Ei) = 70%

Habitación doble

E 2 = 70

Cancelac ión habi tac ión

doble P(e2\E2) = 4 0 %

Habitación t r i p l e

E 3 = 30

Cancelac ión habi tac ión

t r i p l e P(e3\E3) = 10%

Habitación suite

E 4 = 10

Cancelac ión habitación

suite P(e4\E4) = 5 0 %

Agencia de viajes

entonces: P(habitación sencilla) = P(E{) = 40/150 = 26.67%

/'(habitación doble) = t\E¿) = 70/150 = 46.67%

/'(habitación triple) = P(£"3) = 30/150 = 20.00%

/'(habitación suite) = P(£ 4 ) = 10/150 = 6.67%

por consiguiente:

P(habitación sencilla reservada por hombre de negocios) = 70 %

P(habitación doble reservada por hombre de negocios) = 40 %

CAP. 6. PROBABILIDAD 147

/'(habitación triple reservada por hombre de negocios) = 10%

/"(habitación suite reservada por hombre de negocios) = 50 %

La probabilidad de que al menos una habitación sea rentada por un hombre de negocios se obtiene de la siguiente manera:

P(e) = 4?-(0.7) + — ( 0 . 4 ) + — ( 0 . 1 ) + ^-(0.5) = 42.67 % v J 150V J 150 v J 150 ^ J 150 v J

Teorema de Bayes

En este caso se supone que el evento que se traslapa parcial­mente, sobre los eventos mutuamente excluyentes del espacio mues­t ra l , ya ocurrió, por lo que se desea conocer la probabi l idad de que éste pertenezca a una de esas partes, por lo que ahora cada parte queda condicionada a que ya ocurrió el evento que se les traslapa parcialmente.

El teorema de Bayes se expresa como:

FXEj)P(e^2_ ñ e )

Ejemplo 6.11. Si del ejemplo 6.9 se sabe que existe una cancela­ción, ¿cuál es la probabilidad de que ésta corresponda a un paquete turístico?

Solución

Se sabe que la probabilidad de vender un paquete turístico es PCE3) = 10/300; la probabilidad de cancelación de un paquete turístico dado que se venden paquetes turísticos es la siguiente:

PXe^E¿) = 2/10 = 20.00%

Asimismo se determinó que la probabilidad de que se tenga al me­nos una cancelación es:

P(e) = 33/300= 11.00%

148 PARTE I I

por tanto, la probabilidad de que la cancelación recibida pertenezca a un paquete turístico se obtiene mediante:

10 300 10, / W e 3 ) = = A = 6.06 %

v 3 3 J 33 33 33 300

DISTRIBUCIÓN D E P R O B A B I L I D A D

Una distribución de probabilidad es la relación que se da entre los diferentes eventos de un espacio muestral y sus respectivas probabilida­des de ocurrencia. En esta situación, si tiene que elegirse entre dos per­sonas de las cuales una es turista y la otra no, entonces la probabilidad de seleccionar al turista es de 50%, y la probabil idad de seleccionar al que no es turista es de 50%. Así, se tienen dos eventos posibles en el espacio muestral para seleccionar entre dos personas y dos probabilida­des de ocurrencia, que relacionados en una tabla muestra su distribu­ción de probabilidad.

Evento Probabilidad

Seleccionar turista 50 % Seleccionar no turista 50 %

Otra forma de identificar una distribución de probabilidad es relacio­nar los elementos de un arreglo de frecuencia, o de una distribución de fre­cuencia (como se muestra en la primera parte de este libro) con su respecti­va frecuencia relativa, la cual se considera como la probabilidad de ocurrencia de los elementos o las clases, del arreglo de frecuencia o la distri­bución de frecuencia, respectivamente. De esta manera se puede trabajar en forma inductiva con información proveniente de la estadística descriptiva.

Dentro del contexto de las distribuciones de probabilidad, se pueden identificar los siguientes dos tipos de distribución y de aplicación útil para la administración turística: la distribución de probabilidad por eventos (probabilística, discreta) y la distribución de probabilidad por probabili­dades (discretas o continuas), entre las que se encuentran la distribución binomial (discreta), la distribución de Poisson (discreta), y la distribu­ción normal (continua).

149

DISTRIBUCIÓN D E PROBABILIDAD POR EVENTOS

Es una distribución discreta de probabilidad (considera únicamen­te valores enteros) que relaciona los diferentes eventos del espacio mues­tral con su probabilidad a priori, o a posteriori, en donde al conjunto de valores que representan a los eventos del espacio muestral se le conoce como variable aleatoria.

Por ejemplo, si se desea seleccionar un grupo de 5 personas que contenga al menos una mujer, los eventos se representarían por: E\ = grupos con una mujer; E2 = grupos con dos mujeres; E3 = grupos con tres mujeres; £ 4 = grupos con cuatro mujeres; E5 = grupos con cinco mujeres. Por consiguiente, la variable aleatoria sería el espacio muestral:

5 = {1,2, 3, 4,5}

Ejemplo 6.12. Se desea seleccionar a un grupo de cinco personas de entre 10 mujeres y cinco hombres. Sea la variable aleatoria el número de mujeres que contiene el grupo final, ¿cuál es la distribución de probabi­lidad que le corresponde al suceso?

Solución

Los valores de la variable aleatoria serían:

5 = {0 ,1 ,2 , 3, 4 ,5}

Como debe haber cinco personas y se tienen 10 mujeres y cinco hombres, se pueden tener únicamente mujeres en el grupo o únicamen­te hombres; sin embargo puede existir una combinación de hombres y mujeres que dé el total de cinco personas como se desea, todo esto da lugar a los valores de la variable aleatoria expuestos anteriormente.

Para cada uno de los valores de la variable aleatoria se determina el total de maneras diferentes en que se pueden dar. Mediante la aplicación de las técnicas de conteo se obtiene lo siguiente:

«(grupos con cero mujeres) = I O Q I • 5 C 5 = ( 1 ) 0 ) = 1

«(grupos con una mujer) íoCi • 5C4 = (10)(5) = 50

«(grupos con dos mujeres) 10C2 • 5C3 = (45)(10) = 450

«(grupos con tres mujeres) 10C3 • 5C2 = (120)(10) = 1200

«(grupos con cuatro mujeres) = 10Q • 5 C , - (210)(5) = 1050

«(grupos con cinco mujeres) = 10C5 • 5C0 = (252)(1) = 252

150 PARTE I I

total de grupos = i 5 C 5 = 3003

P(grupos con cero mujeres) = 1/3003 0.033%

/'(grupos con una mujer) = 50/3003 = 1.66%

/'(grupos con dos mujeres) = 450/3003 = 14.98%

/'(grupos con tres mujeres) = 1200/3003 = 39.96%

F(grupos con cuatro mujeres) = 1050/3003 = 34.97%

F(grupos con cinco mujeres) = 252/3003 = 8.39%

Entonces la distribución de probabilidad por eventos queda como sigue:

Si X¡ = Variable aleatoria y P(X¡) = Densidad de probabilidad de la variable aleatoria:

x,

0 1/3003 = 0.033% 1 50/3003 = 1.66% 2 450/3003 = 14.98% 3 1200/3003 = 39.96% 4 1050/3003 = 34.97% 5 252/3003 = 8.39%

2 3003/3003 = 100.00%

Con la distribución de probabilidad se tiene preparado el sistema para su análisis estadístico.

Valor esperado, varianza y desviación estándar

En el caso de la estadística inductiva la medida de posición que más se utiliza, sobre todo en el ámbito del turismo y para efectuar el análisis de los resultados, es la media aritmética probabilística o valor esperado o esperanza matemática (eventualmente se emplea la moda como el valor de mayor probabilidad de ocurrencia). De las medidas de dispersión, las que se emplearán para el análisis serán exclusivamente la varianza y la desviación estándar.

CAP. 6. PROBABILIDAD 151

El valor esperado, simbolizado por la letra n (mu), es la suma de los productos obtenidos de multiplicar cada valor de la variable aleatoria por su correspondiente probabilidad de ocurrencia, lo cual se representa:

La varianza, a 2, es la diferencia que resulta de restar, a la suma de los productos de cada valor de la variable aleatoria al cuadrado por su correspondiente probabilidad de ocurrencia, el valor esperado elevado al cuadrado. Se representa:

Finalmente la desviación estándar, o, es el resultado de extraer la raíz cuadrada de la varianza:

Como se mencionó en el apartado referente al teorema de Chebyshev, éste también es ampliamente aplicado para el análisis de la información probabilística, asimismo sucede con la regla empírica, ya que según el tipo de distribución de probabilidad será su aplicación. Si la distribución es asimétrica (caso de las distribuciones binomial y Poisson, generalmente) se emplea el teorema de Chebyshev; y si la distribución es simétrica, la regla empírica (en el caso de la distribución normal o de las distribuciones binomial y Poisson con tendencia a normal).

Por el teorema de Chebyshev se establece que para una distr ibu­ción asimétrica:

a) En el intervalo comprendido entre sumarle y restarle dos veces la desviación estándar al valor esperado, u. ± 2o, se tiene al me­nos 75 % de los valores de la variable aleatoria.

ti) En el intervalo comprendido entre restarle y sumarle tres veces la desviación estándar al valor esperado, \x. ± 3a, se tiene al me­nos 89 % de los valores de la variable aleatoria.

En cambio, para cualquier distribución simétrica (forma de campa­na) por la regla empírica se dice que:

n u = X [ X , . / T O ]

^ = t[xfP{X,)}-^

152 PARTE I I

En el intervalo comprendido entre restarle y sumarle una vez la des­viación estándar al valor esperado, u. ± l a , se tiene 68.27 % de los valores de la variable aleatoria.

En el intervalo comprendido entre restarle y sumarle dos veces la desviación estándar al valor esperado, \i ± 2a, se tiene 95.45 % de los va­lores de la variable aleatoria.

En el intervalo comprendido entre restarle y sumarle tres veces la desviación estándar al valor esperado, [i ± 3a, se tiene 99.73% de los va­lores de la variable aleatoria.

En el intervalo comprendido entre restarle y sumarle cuatro veces la desviación estándar al valor esperado, n ± 4a, se tiene 99.99 % (aproxi­madamente 100.00%) de los valores de la variable aleatoria.

Ejemplo 6.13. De un conjunto de turistas, seis alemanes y siete es­pañoles, se desea formar un grupo de seis turistas para visitar las salas de un museo localizado en la zona arqueológica de Chichén Itzá. Sea la variable aleatoria el número de turistas alemanes que puede haber en el grupo, determinar:

a) Los valores de la variable aleatoria. ti) El valor esperado de turistas alemanes en el grupo. c) La varianza. d) La desviación estándar. e) Interpretar los resultados.

Solución

á) Ya que en el grupo final debe haber seis turistas, éste puede estar conformado de la siguiente manera:

• 0 alemanes y 6 españoles • 1 alemán y 5 españoles • 2 alemanes y 4 españoles • 3 alemanes y 3 españoles • 4 alemanes y 2 españoles • 5 alemanes y 1 español • 6 alemanes y 0 españoles

Por tanto, los valores de la variable aleatoria en cuanto al número de alemanes que puede contener el grupo final son los siguientes:

X,= {0, 1,2,3, 4, 5,6}

CAP. 6. PROBABILIDAD 153

£>) Para obtener el valor esperado se debe calcular la probabilidad de ocurrencia de cada valor de la variable aleatoria.

P(0) = (6Co)(?C 6)

13 Ce (1X7) 1716

7 1716

0.41 %

P(l) = (eCOGCs) 13 C6

(6)(21) 1716

126 1716

7.34 %

P(2) = ( 6 C 2 ) ( 7 C 4 )

13 Ce (15)(35)

1716 _ 525 " 1716

= 30.60 %

P(3) = (6C3X7C3) 13C6

(20X35) 1716

700 ~ 1716

= 40.79 %

P(4) = ( 6 C 4 ) ( 7 C 2 )

13 Ce (15)(21)

1716 315 1716

= 18.36 %

P(5) = 13 Ce

(6)(7) 1716

42 1716 ~

2.45 %

/>(6) = (eCe)(7Co)

13 Ce (1)0) 1716

1 1716

0.06 %

Note que la densidad de probabilidad no crece y decrece en la mis­ma proporción, lo que indica que la distribución es asimétrica.

Si se presenta como distribución de probabilidad y calculando X¡P(X¡); X¡¿; y X¡¿P{X¡), se obtienen los datos de la siguiente tabla:

Xi X,P(Xd x,2 X,2P(Xd

0 7/1716 0 0 0 1 126/1716 126/1716 1 126/1716 2 525/1716 1050/1716 4 2100/1716 3 700/1716 2100/1716 9 6 300/1716 4 315/1716 1260/1716 16 5 040/1716 5 42/1716 210/1716 25 1 050/1716 6 1/1716 6/1716 36 36/1716

2 //////////////////// 4752/1716 ////////// 14 652/1716

154 PARTE I I

por tanto:

4752 2.77 turistas alemanes

1716

c) Cálculo de la varianza:

J 1716 v 1716 7

= 0.86982 (turistas alemanes en el grupo) 2

</) Cálculo de la desviación estándar:

a = %/a2" = Vo.86982 = 0.9326 turistas alemanes en el grupo

e) Con los resultados anteriores puede concluirse lo siguiente:

• El número posible de arreglos que se pueden formar con los turistas alemanes y españoles es de 1716, se toma como varia­ble aleatoria a los turistas alemanes.

• Si se selecciona al azar a un grupo de los 1716, el valor espe­rado de turistas alemanes en éste sería de 2 a 3 con alta ten­dencia a 3 (2.77), si se considera que la variable involucrada es discreta.

• Con el teorema de Chebyshev (por ser una distribución asimé­trica) se establece que 75 % de los 1716 posibles grupos contienen de 0.9048 a 4.6352 (2.77 ± 1.8652) turistas alemanes, que por ser variable discreta se redondearía de 1 a 5, esto es, 1287 grupos; por tanto el 25% restante de los grupos o no contienen turis­tas alemanes o todos los del grupo final son turistas alemanes.

DISTRIBUCIÓN D E PROBABILIDAD POR PROBABILIDAD

Este t ipo de distribución puede ser discreta o continua (según el número de observaciones o experimentos o su comportamiento) . Su principal característica radica en que se tiene una probabilidad base de ocurrencia, p, y que se aplica a una serie de N eventos sucesivos (con orden único), esto es, en cierta forma no pueden realizarse eventos fuera de su tiempo de ocurrencia, y al mismo tiempo cada uno tiene la posibi­lidad de ser favorable o desfavorable (la ocurrencia puede ser a favor o en contra).

CAP. 6. PROBABILIDAD 155

Un ejemplo de lo anterior sería el de conocer la potabil idad p de ganar un viaje (determinada a priori o a posteriorí) que correspondería a la probabilidad base. Si se tiene la oportunidad de participar en TV sor­teos, éstos corresponderían a los eventos sucesivos ya que cada sorteo se realiza (generalmente) uno después de otro hasta completar el total de sorteos; asimismo, se establece la probabi l idad de ganar un viaje (evento favorable) o de perder un viaje (evento desfavorable) en cada uno de los sorteos.

Si se presentan todas las alternativas posibles con su respectiva probabilidad de ocurrencia, se obtendría la distribución de probabilidad por probabilidad correspondiente.

Distribución binomial

Como es una distribución de probabilidad por probabilidades dis­creta, se identifica para su aplicación cuando:

a) La probabilidad base es centralizada, esto es, su valor está com­prendido dentro del intervalo de 5% a 95%, inclusive, o sea, 5% < p < 9 5 % .

b) El número de observaciones o experimentos /V es menor o igual a 10 (Nz 10).

c) Se emplea para determinar la probabilidad puntual de obtener k éxitos o resultados favorables de un total de N observaciones o experimentos, y tiene como antecedente la probabilidad, a priori o a posteriorí del éxito de un resultado favorable y se auxilia de la siguiente expresión:

P(k;N, p ) = ( ^ ) p V ^

donde:

k = número de éxitos propuesto, N = número de observaciones o experimentos, p = probabilidad base de obtener un éxito, y q = probabilidad base de no obtener un éxito.

P + Q*= 1

En este tipo de distribución, los diferentes valores de k repre­sentan a la variable aleatoria, cuando se conocen o establecen

156 PARTE I I

todos los posibles resultados de éxito que pueden lograrse. Sin embargo, para el análisis estadístico no se requiere más que co­nocer el valor esperado a través de la expresión:

[i = Np

así como la varianza y la desviación estándar por:

c 2 = Npq o = yJNpq

no obstante, si es necesario, se podrá realizar todo el trabajo de análisis estadístico indicado en la sección "Distribución de probabil idad por eventos" de este capítulo, con los mismos re­sultados.

Ejemplo 6.14. El gerente de un restaurante estima que la probabili­dad de tener a un turista como comensal es de 25 %. Si en un momento del día ingresan al restaurante 8 personas, determinar:

o) La probabilidad de que al menos una de las personas sea turista. b) La probabilidad de que ninguna de ellas sea turista. c) La probabilidad de que todos sean turistas. d) El valor esperado de turistas dentro de estas ocho personas. e) Interprete los resultados a partir de la varianza y la desviación

estándar.

Solución

Ya que 25 % se encuentra dentro del intervalo de 5 % a 95 %, es una probabi l idad base centralizada, lo que da paso a la distribución bino­mial . Por el número de personas que ingresan, N = 8, se establece que el número es menor a 10, lo que confirma que se trata de una distribución binomial, por lo que se aplican las expresiones de ésta para resolver los incisos del a al e.

a) La probabilidad de que al menos una de las personas sea turista (una o más) se obtiene mediante la suma de las probabilidades de tener 1 O 2 O 3 O 4 O 5 O 6 O 7 U 8 turistas:

PQú menos 1) = P(k = 1) + P(k = 2) + P(k = 3) + P(k = 4)

+ P(k = 5) + P(k = 6) + P(k = 7) + P(k = 8)

CAR 6. PROBABILIDAD 157

P(k = 1) = />(1;8,0.25) =

= 0.2670 = 26.70 %

/>(/? = 2) = P(2; 8,0.25) =

= 0.3115 = 31.15 %

P(k = 3) = P(3;8,0.25) =

= 0.2076 = 20.76 %

P(k = 4) = P(4;8,0.25) =

= 0.0865 = 8.65 %

/>(/? = 5) = P(5;8,0.25) =

= 0.0231 = 2.31 %

P ( * = 6) = P(6;8,0.25) =

= 0.0038 = 0.38 %

P(k = 7) = P(7;8,0.25) =

= 0.0004 = 0.04 %

(0.25)'(0.75) 7 = 8(0.25)(0.133484)

v 2 ,

v3/

(0.25) 2(0.75) 6 = 28(0.0625)(0.177978)

(0.25) 3(0.75) 5 = 56(0.015625)(0.2373)

(0.25) 4(0.75) 4 = 70(0.0039)(0.3164)

v5y

v6y

(0.25) 5(0.75) 3 = 56(0.00098)(0.42187)

(0.25) 6(0.75) 2 = 28(0.00024)(0.5625)

v7y (0.25) 7(0.75) 1 = 8(0.00006)(0.75)

P(k = 8) = P(8;8,0.25) =

= 0.000015 = 0.0015 % v8y

(0.25) 8 (0.75)° = 1(0.000015)(1)

158 PARTE II

Al sumar todos los valores como se indicó, se tiene que:

PQú menos 1) = 0.8999 = 89.99%

Una forma sencilla y rápida de resolver el problema sería restarle a la probabilidad del espacio muestral la probabilidad de que ningún co­mensal sea turista, k = 0.

P(al menos 1) = 1 - P(k = 0) = 1 - P(0; 8, 0.25) = 1 - ( 8C 0)(0.25)° (0.75) 8

= 1 - 1(1)(0.100113) = 0.8999 = 89.99% LQQD

b) p(ningún turista) = P(k = 0) = 0.100113 = 10.01 % c) p(todos turistas) = P(k = 8) = 0.0000153 = 0.0015 %

rf) El valor esperado es el siguiente:

¡i = Np = 8(0.25) = 2 turistas de los ocho comensales.

e) Como puede notarse, por los resultados obtenidos, la distribución es asimétrica por lo que al aplicar el teorema de Chebyshev se tiene que:

• El valor esperado es de dos turistas entre ocho comensales reci­bidos, lo que corresponde a la más alta probabilidad de la distri­bución.

• Si se suma y resta dos veces la desviación estándar al valor espe­rado se obtiene lo siguiente:

LI ± 2a = 2 ± 2^Ñpq = 2 ± 2^8(0.25X0.75) = 2 ± 2.45

Existe una probabilidad de 75 % de que la verdadera media se en­cuentre dentro del intervalo de cero a cuatro (-0.45 a 4.45, pero se redondea por ser resultados puntuales), o 75% de los posibles resultados tendrán de cero a cuatro turistas de los ocho comen­sales.

• Si se suma y resta tres veces la desviación estándar al valor espe­rado, resulta:

\L ± 3o = 2 ± 3jÑp~q = 2 ± 3^8(0.25X0.75) = 2 ± 3.67

Existe una probabilidad de 89 % de que la verdadera media se en­cuentre dentro del intervalo de cero a seis (-1.67 a 5.67, pero se redondea por ser resultados puntuales y el valor negativo se lleva

CAP. 6. PROBABILIDAD 159

a cero), 89 % de los posibles resultados tendrán de cero a seis turis­tas de los ocho comensales.

Caso especial. Distribución binomial con tendencia a normal

Ésta se presenta cuando la probabilidad base es centralizada, pero el número de observaciones o experimentos es mayor a l 0 ( 5 / o ¿ p < 95% y TV > 10).

Por tanto, deberán calcularse el valor esperado y la desviación es­tándar por medio de las expresiones de la distribución binomial, con la finalidad de conocer las características principales de la distribución nor­mal y resolver el problema, ahora, como una distribución continua.

En el apartado "Distribución normal" de este capítulo, se verá cómo se emplea la distribución normal para resolver este t ipo de casos.

Distribución de Poisson

Como es una distribución de probabilidad por probabilidad es dis­creta, y se identifica para su aplicación cuando:

á) La probabilidad base es extrema, esto es, su valor puede ser me­nor a 5 % o mayor a 95 %, o sea, 5 % > p > 95 %.

b) El número de observaciones o experimentos ./Ves mayor a 10 (N > 10).

c) El valor esperado, u,, de éxitos será menor o igual a 10, [i =s 10. d) Se emplea para determinar la probabilidad puntual de obtener k

éxitos o resultados favorables de un total de TV observaciones o experimentos, se tiene como antecedente la probabilidad, a prio­ri o a posteriorí del éxito de un resultado favorable, y se auxilia de la siguiente expresión:

P{k; N, p ) = ^ ~

donde:

k = número de éxitos propuesto N = número de observaciones o experimentos (j. = valor esperado

160 PARTE I I

p = probabilidad base de obtener un éxito e = número neperiano = 2.71828182... (base de los logaritmos

naturales) ! = símbolo de factorial

Aquí los diferentes valores que puede adoptar k representan a la va­riable aleatoria, que relacionados con su probabilidad de ocurren­cia, proporcionan la distribución de probabilidad correspondiente. Sin embargo, para el análisis estadístico no se requiere más que calcular el valor esperado con la expresión:

[i = Np

así como la varianza y la desviación estándar por:

a 2 = |i a = Via

nótese que en este caso exclusivamente, la varianza y el valor esperado son iguales en magnitud, aunque no de unidades. Si se requiere pueden efectuarse todos los pasos indicados en "Dis­tribución de probabilidad de eventos" para obtener los elementos para el análisis estadístico, aunque en la distribución de Poisson esta labor sería muy ardua, sobre todo s\Nes muy grande.

Ejemplo 6.15. El gerente administrat ivo del hotel El Descanso es­tablece que 1 % de sus huéspedes regresarán en su próximo periodo vacacional. Si cuenta en un momento dado con 900 huéspedes, deter­minar:

a) La probabilidad de que al menos uno regrese. b) La probabilidad de que nueve regresen. c) La probabilidad de que ninguno regrese. d) El valor esperado de huéspedes que regresarían. e) Interprete sus resultados haciendo uso de la desviación estándar.

Solución

Se establece una probabilidad base de 1 % (menor a 5 %) lo que indi­ca distribución de Poisson, así como 900 es mayor a 10 y \x = 900 (0.01) = 9 lo que confirma la utilización de las expresiones de la distribución de Poisson.

CAR 6. PROBABILIDAD 161

a) Si considera que /'(al menos 1 regrese) = 1 - P(k = 0, ninguno re­grese), entonces:

P(0;900,0.01) = = e"9 = 0.0001234 = 0.01234 %

y se tiene PQai menos 1) = 1 - 0.0001234 = 0.999877 = 99.99% de que al menos un huésped regrese en su próximo periodo vacacional.

¿>) En este caso k = 9, por tanto:

9 V 9

P(9; 900,0.01) = = (1067.63)(0.0001234) = 0.131755 = 13.18 %

de probabilidad de que nueve huéspedes regresen en su próximo perio­do vacacional.

c) Aquí k = 0, por tanto:

P(0; 900,0.01) = = e 9 = 0.0001234 = 0.01234 %

la probabilidad es tan pequeña que se establece como cuasi-cero. d ) Como se indicó anteriormente, para confirmar la distribución de

Poisson, el valor esperado es de nueve huéspedes que regresen en su próximo periodo vacacional.

e) o 2 = n, entonces la varianza tiene un valor de nueve y la desvia­ción estándar de tres (por ser la raíz cuadrada de la varianza), por tanto, al ser una distribución asimétrica y al aplicar el teorema de Chebyshev, se tiene:

• Si se suma y se resta dos veces la desviación estándar al valor esperado:

\i ± 2o = 9 ± 2(3) = 9 ± 6

Hay 75 % de probabilidades de que el valor esperado verdadero se encuentre dentro del intervalo de tres a 15; asimismo, se esta­blece que 75% de los resultados posibles contenga de tres a 15 huéspedes que regresen en su próximo periodo vacacional.

• Si se suma y se resta tres veces la desviación estándar al valor esperado:

\i ± 3a = 9 ± 3(3) = 9 ± 9

162 PARTE II

Hay 89 % de probabilidades de que el valor esperado verdadero se encuentre dentro del intervalo de 0 a 18; asimismo, se estable­ce que 89% de los resultados posibles contengan de 0 a 18 hués­pedes que estén regresando en su próximo periodo vacacional.

Caso especial. Distribución de Poisson con tendencia a normal

Se presenta cuando la probabilidad es extrema, el número de obser­vaciones o experimentos es mayor a 10 y el valor esperado es mayor a 10 (5% > p > 9 5 % , N> 10, (A > 10).

Por tanto, deberán calcularse el valor esperado y la desviación es­tándar mediante las expresiones de la distribución de Poisson, con la finalidad de conocer las características principales de la distribución normal y resolver el problema, ahora, como una distribución continua.

En el apartado siguiente se verá cómo se emplea la distribución nor­mal para resolver este t ipo de casos.

Distribución normal

Por ser una distribución continua no permite el cálculo de probabi­lidades puntuales (ya que éstas serán siempre cuasi-cero) sino que es­tablece la probabilidad de intervalos, definida por el área bajo la curva normal comprendida entre los límites del intervalo propuesto. Se mues­tra simétrica y en forma de campana, su eje de simetría es el valor de la esperanza matemática (valor esperado), como se muestra en la siguien­te figura:

CAP. 6. PROBABILIDAD 163

En estas circunstancias se observa que siempre la máxima concen­tración de valores se encuentra alrededor del valor esperado.

Dada su condición de continua, permite obtener las probabilidades de intervalos no necesariamente dados por límites enteros, sin embargo para su aplicación en la Administración Turística siempre se deberán emplear intervalos con límites enteros, ya que no podrá especificarse, por ejemplo, 1.63 viajes o 63.175 turistas.

Los elementos principales que identifican a la distribución normal son los siguientes:

N = número de observaciones o experimentos (puede ser del tama­ño del universo)

¡JI = valor esperado o = desviación estándar

Por lo que cada conjunto de datos presentará una curva normal característica que se obtiene con la expresión:

y ( * f ) = - 7 = e o~v27i

Sin embargo, por la inefectividad de estar determinando la curva de cada caso en particular, se emplea una curva normal estándar con base en el valor estándar de normalización, z, el cual se define algebraicamente como:

7 - x'-»

¿i

\ .a ecuación para éste es la siguiente:

1 r ( z ( ) = ^ = e ^

V271

donde su máxima ordenada se tendrá cuando z = 0 (X¡ = u) y es de 0.39894228.

El valor estándar de normalización (z) corresponde al número de veces que se suma y se resta la desviación estándar (o) al valor esperado, por consiguiente, si z = 1, \x ± l a ; si z = 2, ¡x ± 2a; si z = 3, y. ± 3a; si z = 4, u ± 4a; etc. En esta situación se puede notar que corresponde a los inter­valos de confianza dados por la regla empírica para funciones simétricas:

164

\i-2o<n<\i + 2o

\i-3o^\i<,\i + 3a

[ J i - 4 a < | i < | i + 4a

Como la distribución normal es asintótica (sus ramas se aproximan al eje horizontal pero nunca lo tocan, ni en el infinito), ésta se extiende desde -<» a +00.

Como se indicó anteriormente, la probabilidad es el área bajo la curva normal en el intervalo correspondiente, por tanto, si el intervalo es de -00 a +00, la probabilidad o área bajo la curva normal es de 100% y corresponde al espacio muestral.

Para facilitar el trabajo de aplicación a la Administración Turística, se considerará que para cualquier valor de z a +4 o < -4 , el área bajo la curva normal será de 100%, como se muestra a continuación paraz = ±4.

= 0.99994 = 99.994 % = 100 %

(Las áreas bajo la curva normal para valores de z de 0 a 4 o 0 a - 4 y para dos decimales de ésta, y con referencia al origen, se dan en la tabla de áreas bajo la curva normal como anexo 1.)

PROCEDIMIENTO PARA EL CÁLCULO DE LAS PROBABILIDADES POR DISTRIBUCIÓN NORMAL

a) Identificar cualesquiera de las tres siguientes alternativas de aplica­ción de la distribución normal:

• Binomial con tendencia a normal. • Poisson con tendencia a normal. • Conocidas exclusivamente N, [i y a.

b) Calcular los valores estándar de normalización para cada límite del intervalo correspondiente con la expresión:

•¿i

los valores de \i y o dependen de las alternativas identificadas en el paso anterior. Recuerde que para cada distribución de probabilidad el cálculo es diferente.

CAP. 6. PROBABILIDAD 165

c) Obtener por medio de la tabla de áreas bajo la curva normal (véase anexo) la correspondiente a cada valor de z. (Fijar en la primera colum­na el entero y el primer decimal de z, y en el primer renglón se fija el se­gundo decimal, su correspondencia en el cuerpo de la tabla proporcio­nará el área buscada desde el eje de simetría hasta el valor de z o -z . )

d) Indicar en un esquema la posición de cada valor de z y su respectiva área para determinar la solución correspondiente al intervalo pro­puesto.

e) Dar una conclusión al problema.

Ejemplo 6.16. Un turista viaja cinco veces cada año en promedio a diversos destinos en el mundo, dos de estos viajes son a Italia, aunque pueden ser más. Para el próximo año tiene programados 15 viajes y de­sea saber cuál es la probabilidad de que:

á) Menos de 4 de esos viajes sean a Italia. 6) De 2 a 6 sean a Italia. c) Más de 8 sean a Italia. d) Al menos 5 sean a Italia. e) Entre 4 y 7 sean a Italia. f) Exactamente 3 sean a Italia.

Solución

Considerando dos de cinco viajes a Italia que realiza en promedio anual, la probabi l idad de viajar a este destino es de 2/5 (40%), lo que muestra una probabilidad centralizada que corresponde a una distribu­ción binomial. El número de observaciones o experimentos (número de viajes programados) es mayor a 10 (N = 15), por tanto, corresponde al caso especial de la distribución binomial con tendencia a normal. Por consiguiente, para determinar las características principales de la distri­bución normal, se emplearán las expresiones proporcionadas por la dis­tribución binomial:

\i = Np = 15(0.4) = 6

a 2 = Npq = 15(0.4)(0.6) = 3.6 a = V^6 = 1.8974

a) Para este inciso los límites de intervalo son cuatro y cero (menos de cuatro viajes a Italia hasta cero viajes a Italia). Por ser una distribu­ción continua, un valor menor a 4 podría ser 3.99999999..., por lo que no afectará al proceso el manejar cuatro como límite.

166 PARTE I I

Por tanto, si, Xi = 4 y X2 = 0

Z l = fcü = =-1.05 a 1.8974

z2 = = = -3.16 a 1.8974

Por la tabla de áreas bajo la curva normal:

zx = -1.05; AZl = 0.35314

z 2 = -3.16; AH = 0.49921

esquemáticamente:

No olvidar que las áreas se miden desde el eje de simetría hasta cada uno de los límites del intervalo, por tanto:

P(Xi < 4~)=AZ2-AZ¡ = 0.49921 - 0.35314 = 0.14607 - 0.1461 = 14.61%

En conclusión, la probabilidad de menos de cuatro viajes a Italia de los 15 programados, es de 14.61 %.

¿>) Siendo los límites X\ = 2 y X2 = 6, entonces:

CAP. 6. PROBABILIDAD 167

y sus áreas correspondientes son las siguientes:

z i = -2.11; AZ] = 0.48257

z2 = 0; Az., = 0.0

esquemáticamente:

P(2 s X¡ s 6) = AZl - AZ2 = 0.48257 - 0.0 = 0.48257 - 0.4826 = 48.26 %

Conclusión, la probabil idad de dos a seis viajes a Italia, de los 15 programados, es de 48.26%.

c) Los límites en este caso son Xx = 8 y X2 = 15, por tanto:

Z x = = = 1.05 a 1.8974

X2 - u 1 5 - 6 , _ , z2 = — — " = = 4.74

a 1.8974

sus áreas correspondientes son las siguientes:

zx = 1.05; Az¡ = 0.35314

z2 = 4.74; AH = 0.50000

esquemáticamente:

P(8 <X¡) = AH - AH = 0.50000 - 0.35314 = 0.1467 = 14.67 %

Conclusión, la probabilidad de viajar más de ocho veces a Italia, de los 15 viajes programados es de 14.67%.

d ) Al menos cinco es cinco o más, por tanto los límites son X\ = 5 y X2= 15, así:

Xx - | i _ 5 - 6 a " 1.8974

= -0.53

X2 - u 1 5 - 6 z 2 = — — - = = 4.74

a 1.8974 sus áreas correspondientes son las siguientes:

z i = -0.53;

z 2 = 4.74;

0.20194

AZ2 = 0.50000

esquemáticamente:

169

P(5 < X,• < 15) = AZx + Az¿ = 0.20194 + 0.50000 = 0.70194 - 0.7019 = 70.19%

Conclusión, la probabilidad de viajar al menos cinco veces a Italia, de los 15 viajes programados, es de 70.19 %.

e) Los límites podrían ser 4.000000001 y 6.9999999, por tanto, em­plear 4 y 7 no modificaría en nada los resultados.

Xi-\i 4 - 6 1.8974

= -1.05

Z2

X2-\i _ 7 - 6 a " 1.8974

= 0.53

las áreas correspondientes serán:

zi = -1.05;

z 2 = 0.53;

AZi = 0.35314

AZn = 0.20194

esquemáticamente:

P(4<X, < 7)=AZl+Az¿ = 0.35314 - 0.20194 = 0.55508 - 0.5551 = 55.51 %

En conclusión, la probabilidad de que realice entre cuatro y siete viajes a Italia, de los 15 programados es de 55.51 %.

f) Exactamente tres, únicamente existe un límite, por tanto, no hay intervalos y se considera un valor puntual, cuya probabilidad es cuasi-cero.

170 PARTE I I

Conclusión, la probabilidad de que viaje exactamente tres veces a Italia es 0%.

Ejemplo 6.17. Con base en sus estadísticas, el área de banquetes del hotel El Descanso establece que el número promedio de invitados a su salón El Baile, con capacidad para 800 personas, es de 400, con una desviación estándar de 60. Desea determinar cuál es la probabilidad de tener su próximo evento en este salón:

a) De 300 a 500 invitados. b) Menos de 350 invitados. c) Más de 600 invitados.

Solución

á) Los límites son Xx = 300 y X2 = 500, así:

Xx-\i 300 - 400 60

= -1.67

Zo = X2-\L 500 - 400

60 = 1.67

las áreas correspondientes son las siguientes:

z2= 1.67;

zx = -1.67; A2l = 0.45254

AZ2 = 0.45254

esquemáticamente:

300 400 500

171

P(350 < X¡ < 500) = A2l + AH = 0.45254 + 0.45254 = 0.90508 - 0.9051

= 90.51%

Conclusión, la probabilidad de tener de 300 a 500 invitados en el salón El Baile es de 90.51 %.

6) Los límites son Xx = 350 y X2 = 0, así:

X, - n 350 - 400 Q Q

Zi = — — —U.oo a 60

X2-\i 0 - 4 0 0 c _ z 2 = — = = -6.67

a 60 las siguientes son las áreas correspondientes:

zi = -0.83; AH = 0.29673

z 2 = -6.67; A22 = 0.5000

esquemáticamente:

P(X¡ < 350) = AZl - AZí = 0.5000 - 0.29673 = 0.20327 - 0.2033 = 20.33 %

Conclusión, la probabilidad de tener menos de 350 invitados en el salón El Baile es de 20.33 %.

c) Los límites son Xx = 600 y X2 = 800, así:

172

= X^-ji = 600 - 400 Z l a 60

X2-\L 800 - 400 c a n z2 = = — = b.b/ a 60

las siguientes son las áreas correspondientes:

z i = 3.33; Az¡ = 0.499574

z2 = 6.67; AZ2 = 0.5000

esquemáticamente:

P(X¡ > 600) = - Az¡ = 0.5000 - 0.49957 = 0.00043 - 0.0004 = 0.04 %

Conclusión, la probabilidad de tener más de 600 invitados en el sa­lón El Baile es de 0.04%.

R E S U M E N

La probabilidad es una herramienta de gran util idad en la Adminis­tración Turística, debido a la gran cantidad de situaciones que se pre­sentan en situación de riesgo o incertidumbre. Con ésta se pueden con­siderar situaciones que de otra manera tal vez no podrían considerarse en cuanto a posibilidad de ocurrencia.

CAR 6. PROBABILIDAD 173

La posible ocurrencia de fenómenos o situaciones en el ámbito tu­rístico siempre debe ser cuantificada, de manera que se tenga un valor representativo de su ocurrencia, que permita emitir juicios más acerta­dos y apegados a la realidad.

Tal vez la aplicación en forma continua y amplia no se dé, sin em­bargo, tener una idea clara y en forma numérica del comportamiento de una situación, lo que puede establecerse por las distribuciones de pro­babilidad, permitirá al administrador turístico ser un buen tomador de decisiones.

La probabilidad muestra sus bondades en tanto el que las maneja encuentra en ellas una fuente interminable de información para la toma de decisiones.