Características del Sistema Decimal Indoarábigo

Características del Sistema Decimal Indoarábigo

El Sistema Decimal es uno de los más perfectos y se utiliza en la mayor parte del mundo. Es un Sistema Internacional, porque permite escribir cualquier número por muy grande que sea con pocos símbolos (sólo 10), gracias a que es posicional.

Recordarás que es posicional porque el valor de cada dígito depende del lugar que ocupa dentro de un numeral. A este valor se le llama valor relativo, y facilita también los algoritmos de las operaciones aritméticas.

Son dos las características del sistema decimal:

1. Cada dígito de un numeral tiene dos valores

En un numeral, cada dígito (también se le puede llamar cifra y va del 0 al 9) que lo constituye tiene dos valores:

Valor absoluto, el valor del dígito (o de la cifra; en el 34 el valor absoluto del 3 es 3).

Dos valoresValor relativo, el valor de acuerdo a la posición que ocupa el dígito (o la cifra) en el numeral (En el 34, el valor relativo del 3 es 30).

A continuación, se presenta una tabla que aclara esta idea. Obsérvala y contesta lo que se solicita más adelante.

Analicemos el caso del 2 en el primer numeral de la tabla:

Numeral Valor absoluto Valor relativo

85 317 234 2 200

2. Los números del sistema decimal obedecen a un orden y una clase bien definida

El orden y la clase se explican a continuación

Orden

El orden se basa en la idea de agrupamientos de 10 en 10: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.

10 unidades de un orden forman una unidad del orden superior siguiente:

10 unidades de un orden forman una unidad del orden superior siguiente:

Lectura y escritura de los números del sistema decimal

Para poder leer, escribir y comprender adecuadamente los números del sistema decimal, por muy grandes que sean, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a la que pertenecen. El orden permite conocer con precisión el valor relativo, o sea la posición de cada cifra del número en consideración. Vamos a entenderlo bien:

Observa nuevamente la tabla.

Una vez conocidas las partes separadas por órdenes de un número, éste se lee y se forma como se indica en el siguiente ejemplo:

85 317 234

Se lee: 8 decenas de millón, 5 unidades de millón, 3 centenas de millar, 1 decena de millar, 7 unidades de millar, 2 centenas, 3 decenas, 4 unidades.

Lo que significa que este número se forma con:

El sistema decimal además de ser posicional es también aditivo, porque el valor relativo de cada cifra se obtiene al multiplicar la cifra por el orden que indica su posición. Fíjate en el caso anterior: 8 por 10 000 000, 5 por 1 000 000, 3 por 100 000, etc., y los resultados de estas

multiplicaciones se van sumando para formar el número que se está considerando, en este caso, el 85 317 234. Este número queda formado así:

85 317 234 = 80 000 000 + 5 000 000 + 300 000 + 10 000 + 7 000 + 200 + 30 + 4

Esta forma de escritura se llama notación desarrollada o extendida. Entonces la notación desarrollada consiste en escribir una cantidad como la suma de los valores relativos (o sea, de las posiciones) de cada cifra que la constituye.

Ahora sabes que, conocidas las partes separadas por órdenes que tiene un número, éste se forma como antes se indicó. Ejemplo:

Completemos ahora todos los espacios en blanco que permitan formar el número que se presenta a continuación, según el ejemplo que vimos anteriormente.

Los números enteros positivos son los que hasta ahora hemos tratado, pero no son los únicos. Estudiaremos los números decimales más adelante, en la unidad relativa a los racionales.

¿Cómo le vas a hacer para acordarte de los conceptos que hemos revisado: valor posicional y orden? Detente un momento y piensa: ¿qué es el valor posicional? Ahora, ¿cómo me voy a acordar de que el valor posicional es el valor relativo que tiene una cifra por el lugar que ocupa en un numeral? Quizá uses una clave personal como “decena” para acordarte que el 3 en 34 no vale 3 sino 30; quizá uses otra estrategia. Lo importante es que sepas cómo te acordarás. Tómate un momento para registrarlo en tu memoria.

Clase

Como se indicó, para poder leer, escribir y comprender de forma adecuada los números del sistema decimal, se requiere entender bien su composición de acuerdo al orden y clase a la cual pertenecen. Ya hablamos del orden, ahora analizaremos la clase.

Podemos también observar que el agrupamiento de tres cifras recibe el nombre de clase o periodo, y para una mayor comprensión al escribir el numeral, la clase se separa por medio de un pequeño espacio, como en los ejemplos siguientes:

1. En el número 85 317 234

En cada una de las clases, los dígitos se leen de forma normal (ochenta y cinco, trescientos diecisiete, doscientos treinta y cuatro, etc.), y se le añade el nombre de la clase o un derivado, por ejemplo "millones","mil", etc.

Por tanto este número 85 317 234 se lee como:

Ochenta y cinco millones trescientos diecisiete mil doscientos treinta y cuatro unidades.

2. En el número 625 529 718 432

En primer lugar se consideran cada una de las clases que están entre los grupos de tres cifras.

Por tanto este número 625 529 718 432 se lee como:

Seiscientos veinticinco mil quinientos veintinueve millones, setecientos dieciocho mil cuatrocientos

Resolución de problemas aplicando operaciones aritméticas con números naturales

Revisa los problemas que se presentan a continuación. Tal vez en este momento sientas que no puedes resolverlos, pero al terminar la unidad relativa a números naturales que en seguida inicia, serás capaz de resolver éstos y más.

Dos amigos salen en bicicleta de sus casas situadas a 16 kilómetros una de la otra. Caminan sobre el periférico en sentidos opuestos, para encontrarse. Uno de ellos va a 7 km por hora, el otro a 9 km por hora. Si salieron a las 6 de la mañana. ¿a qué hora se encontrarán?

Una papelería tenía cierta cantidad de mochilas al inicio del ciclo escolar. Vendió 115 mochilas, y recibió 137 mochilas de la bodega. Después vendió 70 mochilas. Si en este momento le quedan 204 mochilas, ¿cuántas tenía al principio?

Dos estudiantes deciden trabajar durante sus vacaciones, con un sueldo de $1 800 por cada 5 días. Si uno de ellos recibe un pago de $120 diarios, ¿cuál es el salario diario de su compañero?

Un propietario posee tres terrenos separados, con una extensión de 425m2, 850m2 y 1 700m2 respectivamente. Él desea venderlos a una empresa constructora que dividirá los terrenos en partes exactamente iguales. ¿Cuál es la medida que deben tener los terrenos para que todos tengan la misma superficie?

Los números Naturales

El propósito de este tema es que conozcas y desarrolles las habilidades que te permitan operar correctamente con los números naturales y adquieras las bases para entender que los conjuntos numéricos fueron creciendo por las necesidades cada vez mayores de una sociedad en evolución.

"Dios creó a los números naturales, lo demás es invención del hombre"

Estas palabras han causado polémica respecto a qué persona las pronunció. Algunos autores señalan que fueron dichas por el matemático alemán Leopold Kronecker (1823-1891), y otros afirman que son del matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932). Sean de uno o de otro, son muy significativas, y nos hacen pensar en la respuesta a la pregunta. ¿Cuáles números consideras que aparecieron primero, según las necesidades que tuvo el hombre de contar? La respuesta es: aquéllos que surgen de forma evidente en la naturaleza, por eso se llaman naturales.

Hasta este momento hemos mencionado números, pero sin hacer clasificación alguna de ellos. Empezaremos por los números naturales. Ya antes señalábamos que son los que surgen de manera evidente en la naturaleza porque son los que sirven para contar.

Entonces, ¿que números formarán el conjunto de los naturales? Más fácil, ¿cuál será el primer número natural que apareció sobre la Tierra? Antes de contestar esta pregunta es importante tener claro que las Matemáticas son como un juego: para poder trabajar con ellas, de la misma manera que en cualquier juego, necesitamos conocer las reglas, para saber qué se puede o no hacer, y así jugar bien.

Diderot afirmaba que "se podía establecer una semejanza entre el matemático y un jugador, ya que, en el fondo, ambos jugaban según unas reglas, las reglas abstractas que ellos mismos habían creado".

Adición de números naturales

Si nos ponemos a pensar qué hacemos cuando queremos saber cuántos dulces hay en dos bolsitas, hacemos algo que parece complejo, aunque sabemos que sumar es muy sencillo. Esta operación consiste en contar los números de la misma naturaleza, y recopilar el resultado correspondiente en una sola expresión llamada suma. Los elementos de la misma naturaleza que se agrupan se llaman sumandos, y el resultado se llama suma, ejemplo: 3+3=6

Propiedad de cerradura para la adición

Debes tener presente que el conjunto de números naturales es un conjunto cerrado para la operación de adición, porque si a un número natural le sumamos otro número natural el resultado también es un número natural. Entonces, si el conjunto de números naturales cumple con la propiedad de cerradura para la adición, significa que son suficientes los elementos que forman este conjunto para realizar cualquier operación de adición, y en consecuencia es posible dar el resultado con un elemento del mismo conjunto, o sea, con otro número que también sea natural.

Para que esta propiedad quede más clara, imagínate que tenemos un conjunto formado solamente por dos elementos, el número 1 y el número 2, te preguntamos: ¿este conjunto cumple con la propiedad de cerradura para la adición?, es decir, si quiero sumar estos dos números, 1+2 = 3 ¿el resultado lo puedo dar con un elemento del mismo conjunto? La respuesta es no, porque el resultado de esta suma es 3, y 3 no forma parte de este conjunto. En conclusión, este conjunto que sólo tiene dos elementos (el 1 y el 2), no es un conjunto cerrado para la operación de adición. Como el conjunto de los números naturales sí es un conjunto cerrado para la adición, me permite afirmar que, si tengo un natural y le sumo otro de la misma naturaleza, el resultado dará también un número natural.

Retomando la pregunta ¿qué números forman el conjunto de los naturales? Respondemos: sólo sabemos que el 1 es natural, aunque gracias a la propiedad de cerradura para la operación de adición podemos obtener el resto de los naturales de la manera siguiente. El uno es natural, si lo sumamos a sí mismo obtenemos el 2, por la propiedad de cerradura, el 2 es natural y repetimos este procedimiento como sigue:

http://132.248.48.45/unadm/file.php/122/PropeMate/unidad_1/img/txt/A4_Peano.doc

http://132.248.48.45/unadm/file.php/122/PropeMate/unidad_1/img/txt/A4_Peano.doc

http://132.248.48.45/unadm/file.php/122/PropeMate/unidad_1/img/txt/A3_Kronecker.doc

Fíjate, “n” representa cualquier número. Podría ser 138, 722, 914, 5 678, 89 437, o cualquier otro natural que quieras, ya que ésta es una manera matemática de decir que los números naturales siguen, siguen y siguen hasta el infinito.

Concluimos, entonces, que el conjunto de números naturales está formado así:

Naturales: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,...n, n+1, n+2…, hasta el infinito.Por lo tanto, todos los números enteros y positivos que existen se llaman naturales.

Los números cardinales (o simplemente cardinales) son números que expresan cuántos hay de algo, como uno, dos, tres, cuatro, cinco.

Responden a la pregunta "¿Cuántos?"

Ejemplo: Hay cinco monedas.

(Los Números ordinales expresan la posición de algo en una lista, como primero, segundo, tercero, cuarto, quinto etc.)

¿Para qué pueden usarse los naturales?

Uso de los números naturales

Estos números son muy importantes, además de servir para contar, también sirven para ordenar. Cuando desempeñan el primer papel, se les llama cardinales, cuando se utilizan para asignar un orden reciben el nombre de ordinales.

Si tienes mil pesos, podrás comprar el regalo (cardinal).Si ganas la carrera te premiarán con el primer lugar (ordinal).

Orden en los números naturales

Compara las superficies de los Estados que se mencionan en la tabla siguiente, escribe en el espacio el símbolo que corresponde a la respuesta correcta y a continuación su significado, debes elegir uno de los tres símbolos que se presentan a continuación >, <, =, mayor que, menor que o igual a respectivamente. Fíjate en escribir los términos tal como se te indica antes de presionar el recuadro Revisar respuestas.

Orden en los números naturales

Ejemplo:

El Estado de Baja California Sur tiene una superficie de 73 475 Km2 y el Estado de Zacatecas de 73 252 Km2. ¿Cuál de los dos Estados tiene una superficie mayor?

Solución: Como en 73 475 y en 73 252 las cifra de los millares es la misma, comparamos la cifra de las centenas. En este caso: 73 475 > 73 252

En general, cuando se comparan dos números naturales (enteros y positivos) se realizan los pasos siguientes:

1. Si es distinto el número de cifras, el que tiene más es mayor.2. Cuando el número de cifras es el mismo, se compara la primera cifra de la izquierda de cada número.

Si alguna de ellas es mayor, entonces ése es el número más grande.3. Si son iguales se repite el proceso con la cifra siguiente y así sucesivamente.

Ejemplos

1. Compara 236 889 con 236 887

Solución: Como ambos números tienen la misma cantidad de cifras, comparamos de izquierda a derecha, de acuerdo a lo indicado.

La primera cifra en la que existe diferencia es la de las unidades; como 9 > 7 entonces 236 889 > 236 887.

Los números naturales (enteros y positivos) cumplen con una relación de orden que permite compararlos. Entonces, al comparar dos números enteros y positivos supongamos que los representemos por a, b- sólo puede cumplirse una de las tres situaciones que se presentan a continuación:

Plano unidimensional Este plano se llama así porque es de una sola dimensión y se representa con una sola recta horizontal. En esta recta se encuentran dibujados puntos colocados a una longitud unitaria uno del otro a partir del cero (te recordamos que el cero no es un número natural, el primer número natural es el 1) para que puedas observar que cada número natural tiene su punto correspondiente en esta recta.

En esta recta, cualquier número a la derecha siempre será mayor (>) que cualquiera que esté a su izquierda. Observa el ejemplo siguiente.

Coloca el cursor sobre los numeros de color naranja y ve la respuesta:

Algoritmo de la adición con notación desarrollada

La notación desarrollada ayuda a entender razonadamente el algoritmo de las operaciones aritméticas, evitando su aprendizaje como “recetas de cocina”, porque claramente se confirma que sólo se pueden sumar las unidades con las unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc., (es decir, dígitos de la misma naturaleza). El proceso se inicia con las unidades.

Los ejemplos siguientes lo ratificarán. Efectuaremos las sumas utilizando notación desarrollada empezando con las unidades.

Algoritmo de la adición con notación desarrolladaLa notación desarrollada ayuda a entender razonadamente el algoritmo de las operaciones aritméticas, evitando su aprendizaje como “recetas de cocina”, porque claramente se confirma que sólo se pueden sumar las unidades con las unidades, decenas con decenas, centenas con centenas, etc., (es decir, dígitos de la misma naturaleza). El proceso se inicia con las unidades.

Los ejemplos siguientes lo ratificarán. Efectuaremos las sumas utilizando notación desarrollada empezando con las unidades.

Ejemplos:

¿Por qué al sumar se utilizan procesos de "llevar"? ¿Esto qué significa? Analiza el ejemplo que sigue, al sumar verticalmente 59 y 96, decimos 9 + 6 = 15, escribimos 5 y llevamos una. ¿Qué significa llevar una?

Como se mostró y muestra en los ejemplos siguientes, debemos sumar unidades con unidades, decenas con

decenas, centenas con centenas, etc. Si al estar haciendo esto nos queda en la columna de las unidades un resultado con decenas, o en la columna de las decenas un resultado con centenas, se escribe el número en notación desarrollada y se acomoda cada dígito en su lugar. Por ejemplo 9 + 6 da 15. El 15 se descompone en 10 + 5, se escribe el 5 en las unidades y se dice que se lleva 1 porque efectivamente se lleva una decena, que se escribe con un “1” en la columna de las decenas. Después, debemos sumar todos los elementos de la misma naturaleza (unidades con unidades, decenas con decenas, etc.), y finalmente dar el resultado en forma condensada.

Analiza los siguientes ejercicios:

Algoritmo de la adición usando notación condensadaHacer todo lo anterior cada vez que sumamos sería muy tardado. Vamos a usar la forma más práctica, la notación condensada. El procedimiento es el mismo: se suman cifras de la misma naturaleza, es decir, unidades con unidades, decenas con decenas, etc., empezando con las unidades.

Toma lápiz y papel, realiza las siguientes sumas con notación condensada, y compara tu resultado con el aquí mostrado. Recuerda que se suman unidades con unidades, decenas con decenas, etc. Se inicia con las unidades.

Si has observado, las operaciones que siempre realizamos son binarias, es decir, sólo podemos sumar dos números al mismo tiempo. Si queremos sumar más de dos, tenemos que sumar primero dos de ellos, y al resultado sumarle el siguiente número. El problema anterior, en el que pide la maestra tres formas diferentes de sumar 3, 5 y 8, sirve de ejemplo:

Para sumar 3, 5 y 8, podemos agrupar dos sumandos, ya sea como se indica a la izquierda o como se indica a la derecha:

De cualquier manera se obtiene 16.

Fíjate que en la suma, sin importar qué sumandos agrupes para sumarlos primero, siempre tendrás el mismo resultado.A esta propiedad se le llama asociativa de la adición, porque indica cómo asociar los números para poderlos sumar correctamente y que el resultado no se altere.

Jerarquía de las operaciones (primera parte)Ya se habló de la propiedad asociativa, que es muy importante conocer para saber cómo se pueden sumar más de dos números cuando la asociación no se ha señalado previamente con los respectivos paréntesis. Por ejemplo, si nos piden sumar 3 + 8 + 6, sin marcar los paréntesis, sabemos ya, por la propiedad asociativa, que:

Por tanto, no existe problema alguno con la decisión que se tome, puesto que tendremos siempre el mismo resultado.

Pero ¿qué hacer si tenemos la expresión 5 + 6 • 8?

Si sumamos primero 5 + 6 = 11 y luego lo multiplicamos por 8 da como resultado 88.

Pero, si multiplicamos primero 6 por 8 = 48 y a este resultado le sumamos 5, se obtiene 53, que es un resultado diferente al anterior: 88. Entonces, cuál es el resultado correcto?

Para una situación como ésta, existen reglas que indican la jerarquía de las operaciones, y son las siguientes:

1. Se realizan primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.2. Después se efectúan las sumas y restas también en ese orden.

Entonces, en la expresión 5 + 6 • 8 la respuesta correcta es 53 porque, de acuerdo a las reglas sobre la jerarquía de la operaciones, se llevan a cabo primero las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha, o sea, primero multiplicamos 6•8 = 48; y después se efectúan las sumas y restas también de izquierda a derecha, y por lo tanto a esta cantidad se le suma 5. Queda así: 48 + 5 = 53. A continuación observa los siguientes ejemplos

Hay diferentes maneras de expresar la división. Por ejemplo, para expresar seis entre dos podemos usar las siguientes:

Jerarquía de las operaciones (segunda parte)

Pueden presentarse casos donde las expresiones ya tienen los paréntesis ( ) que indican el orden en el

que se desea realizar las operaciones, u otros tipos de símbolos de agrupamiento o asociatividad, como corchetes [ ] y llaves { }. En estos casos es necesario conocer las reglas para aplicarlas correctamente.

Si existe sólo un tipo de símbolos que denotan la asociatividad, primero se efectúan las operaciones dentro de esos símbolos, siguiendo las reglas ya explicadas (primero multiplicación y división y luego sumas y restas). Después se llevan a cabo las operaciones señaladas.

Ejemplo:

Si existen varios símbolos de asociatividad, uno dentro de otro, primero se realizan las operaciones de los símbolos interiores y luego las de los exteriores.

Ejemplo:

Cuando un signo de multiplicación está junto a un paréntesis, el signo se puede suprimir. Ejemplo:6•(4 + 8) puede quedar como 6 (4 + 8).

DivisiónImagínate que tenemos 12 chocolates y 3 bolsas. Necesitamos repartir los chocolates en cada bolsa, en forma equitativa. ¿Cuántos chocolates deben estar en cada bolsa?

Se divide el número de chocolates entre las tres bolsas:

El resultado de la división indica que corresponden 4 chocolates en cada bolsa.

Esta división también puede presentarse de la manera siguiente:

Así como el caso anterior la división de 12 entre 3 se prestó para ejemplificarla con una repartición de chocolates, ahora tú inventa una historia para cada una de las siguientes divisiones:

Entonces, ¿qué es dividir?

Dividir significa encontrar un número, de tal forma que al multiplicarlo por el divisor, nos dé como resultado el dividendo. Ese número encontrado se llama cociente

O encontrar un número que al multiplicarlo por el denominador dé el numerador.

Dividir 12 entre 3 consiste en encontrar un número que al multiplicarlo por 3 nos dé 12. ¿Qué número multiplicado por 3 da como resultado 12? Únicamente el 4, este es el resultado de esa división y se llama cociente.

Algoritmo de la división con notación desarrollada

Dividiremos 426 entre 2 y entre 3. Para que sea más fácil la explicación denotaremos la división así:

En estos casos las divisiones son exactas (recuerda que estamos en la unidad relativa a los números naturales). Las divisiones con residuo diferente a cero serán tema de los números racionales.

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados utilizando notación desarrollada, hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí.

Algoritmo compacto de la división

Dividiremos:

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados hasta que los entiendas bien. Compara tu procedimiento con el presentado aquí.

Divisibilidad

Para hablar de divisibilidad debemos primero recordar qué significa el factor de un número natural (lo vimos en la multiplicación). Analicemos los casos siguientes:

Entonces ¿qué es un factor?Un número es un factor de otro cuando al dividirlo, la división es exacta, o sea, cuando el residuo es cero. En los casos anteriores, 3 es factor de 12 porque el 3, al dividir al 12, da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.

4 es factor de 12 porque al dividirlo da un resultado exacto, por lo que el residuo es 0.

Lo mismo sucede con 3 y 7 en relación al 21.

De acuerdo a lo señalado, podemos afirmar que si un número natural es factor de otro, también es su divisor. Así vemos que la división está ligada con la multiplicación. Analiza el ejemplo: 3 • 4 = 12; 3 y 4 son factores de 12 y también son sus divisores. Comprobemos:

La divisibilidad es una parte de la aritmética que se encarga de estudiar las condiciones que deben cumplir dos números naturales para que uno de ellos divida al otro de forma exacta. Esas condiciones se llaman criterios de divisibilidad y aquí abordaremos algunos que te permitirán obtener divisores de una manera más fácil, rápida, y eficiente. Los criterios de divisibilidad te indicarán si un número natural se puede dividir entre 2, o entre 3, o entre 5, de manera exacta.

Divisibilidad entre 2Un número natural es divisible entre dos cuando termina en cero o en cifra par. (Te acuerdas que los números naturales terminados en 2, 4, 6 y 8 son pares, ¿verdad? Los terminados en 1, 3, 5 y 7 son impares).

Ejemplos: 620 y 432. Al dividir 620 entre 2 da como resultado 310 y el residuo es cero. Al dividir 432 entre 2 da 216 y el residuo es cero. Vemos que el 620 y el 432 son divisibles entre 2 (es decir, se divide entre 2 y el residuo es 0).

Divisibilidad entre 3Un número natural es divisible entre 3 si al sumar sus cifras se obtiene un número divisible entre 3.

Ejemplos:

1) 111

Al sumar sus cifras (1+1+1) se obtiene 3. Entonces seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 37 y el residuo es cero.

2) 54 132

Al sumar sus cifras se obtiene 15, 15 entre 3 es 5 y el residuo es cero. Entonces el 54 132 seguro se puede dividir exactamente entre 3, ¿lo hacemos? En este caso el cociente resultante es 18 044 y el residuo es cero.

3) 321 000

Al sumar sus cifras se obtiene 6, que sí es divisible entre 3, ya que da 2 y el residuo es cero. Entonces el 321 000 seguro se puede dividir exactamente entre 3, en este caso el cociente resultante es 107 000 y el residuo es cero.

Muy importante¿Qué pasaría si el número fuera 321 001? Al sumar sus cifras se obtiene 7. Siete no es divisible entre 3, porque la división no es exacta, ya que el residuo no es cero, por lo tanto, 321 001 no se puede dividir exactamente entre 3. Es importante que entiendas que al hablar de divisor o divisible se está dando a entender que la división debe ser exacta, o sea que el residuo debe ser cero. Esto no significa que existen divisiones que no se pueden hacer, podemos afirmar que las divisiones siempre se pueden hacer, aunque no siempre son exactas. Los casos de las no exactas se estudiarán en el tema de números racionales. Te recordamos que estamos en la unidad relativa a números naturales, o sea, números enteros y positivos.

Divisibilidad entre 5Si la última cifra del número es 0 ó 5, entonces el número es divisible entre 5.

Ejemplos:

1) 655 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 131 y el residuo es cero.

2) 2 345 es divisible entre 5, ya que termina en 5. El cociente es 469 y el residuo es cero.

3) 311 210 es divisible entre 5, ya que termina en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es cero.

Pero 311 214 no es divisible entre 5, porque este número no termina en 5 ni en 0. El cociente es 62 242 y el residuo es 4.

Toma lápiz y papel y resuelve los mismos ejercicios antes revisados, hasta que entiendas bien los criterios de divisibilidad. Compara tu resultado con el presentado.

Problema 1

Una tienda de artículos deportivos decide adquirir un lote de sombreros para el sol en $50 250.00 con un costo de $375.00 por sombrero. Estaba muy cerca la época de vacaciones en la que la mayoría de las personas acostumbran pasarlas en la playa, por lo que parecía un buen negocio. Vendió una parte del lote con una ganancia de $325.00 en cada sombrero. Desafortunadamente, no pudo vender todos los sombreros antes del final de la temporada de vacaciones, por lo cual tuvo necesidad de rematar el resto, obteniendo en total $22 750.00, con lo que perdió $50.00 en cada sombrero. ¿Cuántos sombreros compró la tienda? ¿Cuánto ganó finalmente? Para resolver este problema o cualquier otro que se te presente, te recomendamos desglosar paso a paso cada afirmación que se hace en dicho problema. Para que sea más dinámica su resolución, llena los espacios que se encuentran vacíos. Escribe los números sin dejar espacio entre cada uno de ellos, por ejemplo no escribas 50 250 sino 50250. Escribe las palabras sin usar mayúsculas; asimismo no escribas signo de pesos ($).

OJO: para este ejercicio utilizaremos lo siguiente:Operación Símbolo para la operaciónSuma +Resta -Multiplicación *División /

Problema 2Jaime estudia y trabaja y desea comprar un coche para poder trasladarse más rápido y cumplir con mayor eficacia sus obligaciones. Para su adquisición tendría que pagar $120 diarios, además de considerar sus gastos personales de $27 000 al año. Está buscando un trabajo adicional, ya que tendría que ganar $800 mensuales más de lo que ahora gana para poder adquirir el coche y solventar sus gastos personales. ¿Cuál es su sueldo mensual? ¿Cuál es el sueldo mensual que debería ganar para comprar el coche y solventar sus gastos personales?

Máximo Común Divisor (MCD)

Problema

Una tienda de telas desea evitar pérdidas de dinero sobre los retazos que le van quedando de los cortes que vende, por lo que ha decidido dividirlos de tal manera que todos sean del mismo largo, sin que le sobre o le falte tela y evitar el desperdicio. Con unos retazos que sobran, de 240, 168 y 48 cm, desea confeccionar pañuelos, porque la tela tiene un ancho que puede usarse para pañuelos. ¿Cuál será la máxima medida en que debe dividirlos para que todos sean del mismo largo?

Este problema muestra la importancia de saber encontrar el máximo común divisor de estos tres números, ya que éste es la respuesta del problema. El Máximo Común Divisor (MCD) llamado también Máximo Factor Común (MFC) de dos o más números es el más grande de sus divisores (o factores) comunes. Se escriben con mayúscula para distinguirlos del mínimo común múltiplo (mcm) que veremos al terminar este tema. Con el MCD puedes resolver el caso de los pañuelos.

Primero: para encontrar el MCD, fíjate en el siguiente procedimiento. Necesitamos realizar la descomposición en factores primos, ya que ésta determina cuántos divisores tiene cada uno de estos números. Esta descomposición ya la sabemos hacer.

Segundo: ya que tenemos los divisores (factores primos) de cada número, analizamos cuáles son los divisores comunes llamados también factores comunes.

Vamos a escribirlos juntos para que nos sea más fácil determinarlos.

240 = 2 4 • 3 • 5

168 = 2 3 • 3 • 7

48 = 2 4 • 3

Observamos que los divisores o factores comunes de estos tres números son 2 y 3, ya que 5 y 7 no son comunes a los tres números en consideración.

Tercero: el máximo común divisor de ellos es 23 • 3 = 24. ¿Por qué 23?. Vemos que en los tres casos hay 23 y también 3 (en 240, 168 y 48 tenemos 23 • 3). Fíjate que 5 y 7 sólo están presentes en un caso, no en los tres, por lo que no son divisores ni factores comunes.

Entonces la respuesta al problema planteado es que los retazos deben dividirse en 24 cm. de longitud.

¿Cuántos pedazos de 24 cm de largo saldrían de cada retazo? Es importante contestar esta pregunta para comprobar que no falta ni sobra tela que se desperdicie.

Respuesta:

Del retazo de 240 cm salen exactamente 10 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.



¿Te das cuenta de la importancia de saber obtener el MCD?

Mínimo común múltiplo (mcm) de un natural

Contesta la siguiente pregunta ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8?

Como su nombre lo indica, el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Para contestar la pregunta, necesitamos conocer, en primer lugar, cuáles son los múltiplos de cada uno de estos números.

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,…4n… ¿Cómo se obtiene? Multiplicando el 4 por n, es decir, si n vale 1, 4n=4; si n vale 2, 4n=8; si n vale 3, 4n=12; si vale 1 000 sería 4 000; que por supuesto es múltiplo de 4.

Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…6n,…

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…8n…

Ya sabemos cuáles son los múltiplos del 4, 6 y 8 y cómo se obtienen. Ahora, vamos a fijarnos cuáles son los 3 primeros múltiplos comunes de estos tres números.

Primeros tres múltiplos comunes de estos tres números: 24, 48 y 72.

Finalmente, ¿cuál es el mínimo (el menor) común múltiplo de estos tres números? El 24.

Conclusión: el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es el 24.

Otra forma de obtener el mcm es eligiendo cada uno de los factores primos de estos números, una vez que cada uno se ha factorizado. Si alguno aparece varias veces, se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca. El producto de estos factores constituye el mcm.

Ejemplo: Tenemos los números 4, 6 y 8; 4 = 2 2 ; 6 = 2 • 3; 8 = 2 3. Se elige cada uno de los factores primos del 4, 6 y 8, pero como el 2 aparece varias veces se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca en todos, es decir, en este caso se elige 2 3. Además aparece el 3, por lo que el mcm de 4, 6 y 8 es: 2 3 • 3 = 24.

Observa que el mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números debe ser divisible entre cada uno de ellos. Recuerda que ser divisible significa que al dividirse, la división debe ser exacta, o sea el residuo debe ser cero.

Lo comprobamos 24: 4 = 6 y el residuo es cero.

24: 6 = 4 y el residuo es cero.

24: 8 = 3 y el residuo es cero.

Las aplicaciones de mínimo común múltiplo las manejaremos en el tema de números racionales.

UNIDAD 2

Los números enterosObjetivo específico

Recordar algunas características del conjunto de los números enteros y de las operaciones de suma y multiplicación con enteros, para así enriquecer tu desempeño aritmético y poder acceder con mejores herramientas al estudio del Álgebra.

¡La mejor forma de aprender es hacer!En el transcurso de este subtema te presentamos ejemplos y situaciones que te ayudarán a entender las operaciones con números enteros. Después de una breve explicación, se incluyen preguntas o ejercicios para que vayas reforzando lo aprendido o incluso para que tú descubras en un ejemplo concreto, algún aspecto que vas a estudiar de manera general. ¡La mejor forma de aprender es hacer!

También hay momentos de autoevaluación para que puedas saltarte actividades cuando ya poseas el conocimiento que se va a trabajar en alguna sección. El propio programa se encargará de llevarte a las secciones adecuadas para ti. ¡Adelante!

Contesta las siguientes preguntas sobre características básicas del conjunto de los números enteros para que conozcas tu nivel de dominio. Si obtienes cinco aciertos, ya sabes lo correspondiente a esta sección y el programa te llevará a la siguiente, en la que se trabaja la suma de enteros. De no ser así, repasaremos juntos los elementos que te permitirán seguir avanzando.

Quiénes son los números enterosEn los temas anteriores revisamos el sistema de numeración decimal para repasar algunas características de la forma en que se escriben los números reales.También repasamos algunos aspectos de las operaciones aritméticas de números naturales. ¿Recuerdas que los naturales empiezan con el número uno y los demás se generan al sumar una unidad al anterior?

Ahora iniciamos un repaso sobre el conjunto de los números enteros, que también es un subconjunto de los números reales. En los enteros, además de los naturales, agregamos el cero y los enteros negativos, por lo que sus elementos son:

{- 5, - 4, - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2 , 3, 4, 5, }

Ya sabes que la introducción del cero permitió construir sistemas de numeración posicional y su importancia es incuestionable, pero te preguntarás ¿por qué es necesario considerar los números con signo negativo?

La necesidad de hacer distinciones

Veamos cómo utilizar los signos para representar éstas y otras situaciones.

Algunas convenciones para asignar signosPara representar estas situaciones, donde además de la cantidad requerimos especificar antes y después, por debajo o por arriba de cero, ganancia o pérdida, goles a favor o en contra, aumento o disminución del peso, etcétera, podemos recurrir a los números con signo. Es decir, los números enteros nos ayudan a hacer distinciones de ciertas características.

Observa los ejemplos de la siguiente tabla en los que se proporcionan algunas convenciones para la asignación de signos.

SituaciónSigno Negativo Signo Positivo

Fechas en años Antes de Cristo Después de Cristo

Temperatura en °C Bajo cero Sobre cero

Goles anotados En contra A favor

Finanzas Pérdidas Ganancias

Control de peso Disminución Aumento

Transacciones bancarias Retiros Depósitos

¡Vamos al Everest!El relieve de nuestro planeta es otro aspecto en el que podemos utilizar números con signo para distinguir entre altitud y profundidad. Analiza la siguiente información:

El Everest, el pico más alto del mundo, se encuentra en la cordillera del Himalaya entre Nepal y el Tíbet a 8 848m sobre el nivel del mar, por el contrario, la Fosa de las Islas Marianas es el sitio más profundo del que se tiene conocimiento y se localiza en el oeste del océano Pacífico teniendo una profundidad de 11 520 m bajo el nivel del mar. Asignemos el cero al nivel del mar;

Representaciones gráficas donde se usa el orden de los enteros

Al igual que los números naturales, los enteros también nos ayudan a ordenar sucesos, medidas, ubicaciones, rendimientos y otros rubros. Los naturales son insuficientes para señalar un orden cuando existe la necesidad de hacer una distinción como ya viste en los ejemplos previos. Veamos dos situaciones.

Primer ejemplo. En Historia se utiliza lo que se denomina una línea del tiempo, como un recurso gráfico para ubicar diversos sucesos en función de la fecha en la que se llevaron a cabo.

Observa que junto con la fecha que señala cuándo sucedió un acontecimiento se incorporan dibujos y frases en la franja y también se colocan otros hechos.

Esto ayuda a vislumbrar cuáles sucesos son simultáneos, anteriores o posteriores al que se está estudiando. Sin embargo, por los dibujos de diferente tamaño, no siempre es posible respetar el mismo espacio que se asigna a una cantidad fija de años transcurridos, ya que la línea del tiempo no es un instrumento de medida. Su objetivo radica en sintetizar con un diagrama el devenir de los acontecimientos y las posibles vinculaciones entre ellos. Lo que sí es indispensable es colocar las fechas en orden.

Ubicación de los números enteros en la recta real

La recta de los números reales o recta numérica, es un modelo gráfico que nos permite visualizar cómo deben colocarse los números reales y en particular los enteros, sin importar que se refieran a temperaturas, años transcurridos, longitudes sobre o bajo el nivel del mar, ganancias o pérdidas, etc; por lo que se utiliza en diversas disciplinas de estudio. Muchos científicos la consideran la señal de máxima evolución del hombre, por las posibilidades de representación y de predicción que permite.

La recta numérica consiste en una línea recta en la que:

• Indicamos que hay un orden, de izquierda a derecha, al insertar la punta de una flecha en el extremo derecho.

• Elegimos un punto en ella para colocar el cero.

• Elegimos el tamaño del segmento que representará la unidad, y a partir de éste señalamos marcas equidistantes, tanto a la derecha como a la izquierda del cero.

• Los números positivos van a la derecha del cero, mientras que los negativos, a la izquierda.

• Consideramos que a la derecha de cualquier número están los que son mayores que él, mientras que a la izquierda los que son menores.

Con estos cinco aspectos en mente, nuestra recta numérica tiene la configuración siguiente:

El orden en los enteros

Como te habrás podido dar cuenta, la ubicación de los enteros en la recta numérica o recta real nos ayuda a visualizar la forma en que están ordenados. Recuerda que de manera gráfica se estipula que el orden ascendente va de izquierda a derecha.

Así, de forma casi inmediata, podemos saber que cualquier número positivo es mayor que cero y que cualquier número negativo es menor que cero. Sin embargo, también es útil contar con otra forma de describir este hecho. En símbolos lo representamos como sigue:

a > 0 (se lee: a es mayor que cero) cuando a es positivo

b < 0 (se lee: b es menor que cero) cuando b es negativo

Si a y b fueran longitudes asociadas al relieve de nuestro planeta, y asignáramos valores relacionados con este accidente geográfico (como el nivel del mar representa al cero del relieve) podremos convenir que:

• Cualquier lugar cuya altitud sea mayor que el nivel del mar, tiene una altitud a

http://unadm.cuaed.unam.mx/unadm/file.php/122/PropeMate/unidad_2/prop11_mat_uni2p1.html

positiva, es decir, a > 0.

• A cualquier sitio por debajo del nivel del mar, como es el caso de la Fosa de las Marianas, el número que le asignaremos, b, es negativo b < 0.

Investiga cuál es la altitud de los siguientes sitios: la Ciudad de México, Holanda, Nueva Orleáns, Machu Picchu en Perú y el lugar donde vives. De acuerdo a esta convención, colócales el signo que les corresponda, y representa el hecho de que sea positivo o negativo con la notación adecuada. Por otra parte, una mayor altitud tiene ventajas y desventajas. Cuando te conectes vía Chat con tus compañeros, compartan sus resultados y además comenten sobre los beneficios e inconvenientes de la altitud de los lugares implicados, en relación con la salud y con los aparatos eléctricos.

Comparación de números cuando ninguno de los dos es cero

Primer caso. Comparación de dos enteros positivos distintos

¿Quién es más joven, tú o tu papá?

En el caso de los enteros positivos (los naturales), su orden ya lo estudiaste y prácticamente desde pequeños sabemos distinguir cuándo un entero positivo es menor que otro (tu edad o la de tu papá). En Matemáticas, este hecho se formaliza de la siguiente manera:

Es claro que si tú eres menor que tu papá, él es mayor que tú. En el recuadro siguiente se describe el caso análogo:

Segundo caso. Comparación de dos enteros negativos

¿Cómo comparamos dos enteros negativos distintos?

Aunque no es tan evidente como con los positivos, también podemos llegar a una idea sencilla que sea posible simbolizar. Apoyémonos primero en la parte visual.

Observa cómo están colocados en la recta numérica. Toma dos enteros negativos distintos y reflexiona un par de minutos cuál de ellos es menor y cómo podríamos expresarlo de manera general. También te puede ayudar pensar en temperaturas bajo cero, en fechas antes de Cristo, o en alguna otra situación que te ayude a darle

significado a los números negativos.

El menor es el más lejano

Probablemente pensaste en frases como las siguientes:

"Un número negativo es menor que otro si está a su izquierda" o bien, "cuando tengo dos números negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero".

Ambas son correctas. La primera la estipulamos para ubicar los números en la recta real. La segunda nos habla de "lejanía" respecto al cero. No obstante, en las dos seguimos dependiendo de la recta numérica.

Exploremos la idea de "lejanía" de la segunda frase, que involucra el concepto de distancia en la recta numérica. Seguramente encontraremos formas alternativas (qué podamos representar con símbolos) para determinar cuándo un número negativo es menor que otro.

Los números simétricos

Observa de nuevo la recta numérica. Sitúate en el cero y contesta para ti mismo en cada caso:

a) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 7 y cuántos del 0 al - 7?

b) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 3 y cuántos del 0 al - 3?

c) ¿Cuántos pasos hay del 0 al 5 y cuántos del 0 al - 5?

d) ¿Qué observas en general para cada una de estas parejas de números?

Podemos pensar el número de "pasos" que hay desde el cero a cualquier número entero, como su distancia al origen (el cero).

Con esta aclaración, lo que seguramente observaste en la pregunta del inciso d) es algo como lo siguiente:

Cada una de esas parejas de números, por ejemplo 7 y - 7, tienen la misma distancia al origen, pero en direcciones opuestas (derecha o izquierda).

Por esa razón, se dice que 7 y - 7 son opuestos uno del otro.

Eso sucede con cualquier otra pareja de números cuya única diferencia sea el signo. Podemos escribirlo de manera general como sigue:

Cabe resaltar que:

- Si es positivo n, su opuesto es negativo -n.

- Si es negativo - n, su opuesto n es positivo.

Valor absoluto de un número

Una forma de calcular la distancia de un número entero al cero u origen de la recta real, sin tener que calcular el número de "pasos", consiste en obtener su valor absoluto, es decir, asignar el valor que representa ese número sin importarnos en qué dirección está.

El valor absoluto de un número a se representa como |a| y nos indica la distancia que hay del número a al cero.

Así, el valor absoluto de 3 es 3 y el valor absoluto de - 3 es también 3, ya que ambos se encuentran a tres "pasos" del cero. En símbolos tenemos:

|3| = 3 y |-3| = 3

Para otros números, se tiene una situación análoga:

Nota: Recuerda que la notación que vas a manejar a lo largo del curso para cantidades grandes es: 1_000 o sea con un espacio 1 000.

Por ejemplo: |1 000| = 1 000 y |-1 000| = 1 000 ¡ya no tenemos que contar 1 000 sobre la recta numérica!

El valor absoluto para saber cuál es mayor

Con el valor absoluto podemos además reescribir la segunda frase que se tenía para comparar dos números enteros distintos de la siguiente manera:

Frase original: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es el que está más alejado del cero"

Frase reformulada: "Cuando tengo dos enteros negativos distintos, el menor es aquél cuya distancia al cero es mayor"

Esta última idea la podemos simbolizar de la siguiente manera:

Si a y b son dos enteros negativos distintos,

a < b cuando |a| > |b|

Seguramente te preguntarás para qué escribir con símbolos una idea que era tan clara. Gran parte del poder de aplicación de la Matemática radica precisamente en la posibilidad de

utilizar símbolos para representar muy diversas situaciones. Ello permite además efectuar operaciones con esos símbolos.

SUMA DE ENTEROS CON SIGNO. PRIMERA PARTE

Empezaremos con ejemplos sencillos. En este caso, sumaremos solamente DOS números enteros.

La siguiente actividad te ayudará para que tú mismo descubras cómo sumar números enteros con el signo. Para esta actividad utilizaremos bandas de colores (azules y rojas) en las que se señala determinado número de casillas. Por lo tanto hay bandas (o tiras) de varios tamaños.

SUMA DE ENTEROS

Caso 1. Para sumar enteros a y b con signos iguales:

• Sumamos sus valores absolutos |a| + |b|

• El signo de la suma es el signo común

Caso 2. Para sumar enteros a y b con signos distintos:

• Vemos cuál de ellos tiene mayor valor absoluto (está más alejado del 0). Supongamos que sea a

• Restamos sus valores absolutos en este orden |a| - |b|

• Al resultado le asignamos el signo de a

Suma de enteros con signo. Segunda parte

¿Crees que la situación se complique mucho cuando tengas que sumar varios enteros con signo?

Si TODOS son positivos o TODOS son negativos, es muy simple, ya que es similar a sumar naturales. Sólo hay que cuidarse de poner al resultado final el signo + o el signo - respectivamente.

Te preguntarás, ¿y si hay positivos y negativos?

En Matemáticas es frecuente usar la siguiente estrategia: "Cuando te encuentres en una situación nueva o más difícil, busca la manera de convertirla a otra que ya conoces o que es más sencilla"

¿Se te ocurre cómo? Reflexiona un momento.

Una forma de simplificar la tareaPor las propiedades que viste de la suma en números naturales, que de hecho también se cumplen en los enteros, podemos asociarlos como nos sea conveniente y también intercambiarlos de lugar. Así que una manera de simplificar la nueva situación consiste en:

Resta de enterosQuizás supones que te esperan muchos minutos más frente a la computadora para aprender a restar enteros. No es así. De hecho al aprender a sumar ya hiciste restas sin darte cuenta.

Trabajamos la suma para incorporar varios conceptos de los enteros que son de utilidad incluso en el manejo del álgebra, y a la vez para propiciar que lo revisado tuviera un significado para ti. Esto te ayudará a avanzar mucho más rápido en las secciones que faltan.

Ya sabes calcular restas con números naturales. También sabes sumar enteros con signo.

¿Cómo efectuar restas cuando los números tienen signos positivo y negativo?

Muy sencillo: ¡Para restar, sólo hay que sumar el número opuesto!

¿Por qué? La resta es la operación inversa de la suma, y el opuesto de un número es su inverso aditivo, como ya habíamos mencionado.

Veamos los siguientes ejemplos:

Observa que el primer ejemplo se remite a la resta en números naturales. Puedes omitir el uso del opuesto y hacer el cálculo directamente. Con la práctica también podrás calcular directamente restas como las de los tres últimos ejemplos.

Actividad de exploración

¿Te gusta el futbol? Imagínate la siguiente situación

En el Estadio Olímpico Universitario de la UNAM, se va a realizar el duelo Pumas contra América. Por la rivalidad entre estos dos equipos de la ciudad de México, se agotan las 60 000 localidades.

Hay boletos de $70.00 en la planta alta y de $130.00 en la planta baja.

A los trabajadores universitarios les obsequian boletos, lo que representa una pérdida para el patronato equivalente al precio del boleto. Se regalan 10 000 boletos: 8 000 de la planta alta y 2 000 de la planta baja.

Los aficionados que no trabajan en la UNAM pagan su boleto. Se destinan $30.00 de cada boleto para sufragar diversos gastos, por lo que la ganancia por persona representa $30.00 menos del precio del boleto. Se venden 30 000 boletos de planta alta y 20 000 de planta baja.

¿Cuánto se recaudará en ese partido?

Busquemos una forma de manejar tanta información.

Calculando pérdidas y ganancias parciales

El total recaudado en el partido, considerando ganancias y pérdidas, lo podemos obtener sumando el total de pérdidas, casilla A, con el total de ganancias, casilla B.

Arrastra las dos expresiones que se encuentran en la parte inferior del cuadro hasta el espacio correspondiente.

Calculando las ganancias del partidoCuando nosotros hacemos una venta, es claro que para calcular nuestras ganancias, tenemos que restar las pérdidas al total recaudado. Es lo mismo que haremos en el caso del partido. Pero como ya vimos, restar equivale a sumar cuando al sustraendo le asignamos signo negativo. Así a - a = a + (-a), ¿recuerdas?

En el caso del partido entre Pumas y América, lo que tenemos es:

Ganancia : 40 (30 000) + 100 (20 000) + ( -70 (8 000)+( -130 )(2 000))

Ahora sólo hay que efectuar los productos y sumas indicados:

Ganancia: G = 1 200 000 + 2 000 000 + ( -560 000 - 260 000 )

G = 3 200 000 + ( -820 000 ). Esta suma, ¡ya la sabes hacer!

G = 2 380 000 pesos

¿Te fijaste que tuvimos que realizar multiplicaciones con enteros con signo? La idea fue tan natural que pudimos hacerlo antes de conocer las reglas que existen para ello. Tomemos dos de las multiplicaciones que realizamos y reflexionemos en lo que hicimos:

a) 40 (30 000) = 1 200 000

b) -70 (8 000) = -560 000

Nos fue claro que lo que recibimos por boleto ( 40 pesos ), al multiplicarlo por el número de boletos es dinero que percibimos, es decir el resultado es positivo. Mientras que al multiplicar los setenta pesos que perdemos por boleto regalado (-70 pesos) por el total de boletos regalados de ese precio, tenemos una pérdida y por lo tanto el signo del resultado debe ser negativo. ¿Estás de acuerdo?

Revísalo de nuevo si lo requieres para que pasemos a ver las reglas de los signos para la multiplicación.

La reglas de los signos en la multiplicación de enteros

Esperamos que este ejemplo te ayude a comprender mejor las reglas de los signos que se utilizan para multiplicar enteros con signo.

Como puedes ver las reglas rescatan lo que hicimos en el problema de calcular las ganancias para el partido Pumas vs. América. Cuando ambos números eran positivos (signos iguales) nuestro resultado así lo fue. Cuando tuvimos uno positivo y uno negativo (signos distintos), nuestro resultado fue negativo. Los matemáticos tienen una demostración de que así se cumple en todos los casos, por ello las conocemos como reglas. Para aprender, lo importante es que recuerdes un ejemplo en que las reglas tengan un significado para ti. Esperamos que te sirva el que te presentamos, busca o inventa tú otros ejemplos en los que los signos te sirvan para hacer distinciones.

Ahora revisemos con más cuidado la primera regla. En ella se habla de dos números con el mismo signo. Ya vimos que esto es muy claro cuando ambos son positivos. De hecho es la multiplicación que se realiza con números naturales y que nos enseñan a multiplicar en la primaria. Pero, ¿qué sucede si los dos números son negativos? La regla nos dice que el resultado debe ser positivo, ¿por qué? Reflexiona un momento y acompáñanos a ver por qué.

Dos negativos nos dan positivoLa multiplicación de enteros es de hecho una suma abreviada.

¿Recuerdas la idea del opuesto de un número entero? n y -n son números opuestos.

Con ella, podemos explicar por qué al multiplicar dos enteros negativos el resultado es positivo.

Veamos: tomemos dos números positivos a y b. Sus opuestos, son negativos.

• Ya sabemos que (a)(-b) = -ab. Es decir el resultado es negativo.

• ¿Qué signo debe tener su opuesto? ¡Claro! Debe ser positivo, es decir ab es positivo.

• Pero como (a)(-b ) = - ab. El opuesto de - ab es también el opuesto de (a)(-b ). Es decir: -(a)(-b ) = ab

Y ¡ya tenemos que el producto de dos negativos es positivo!

Veamos algunos ejemplos:

• ( 34 )( -12 )= -408

• ( -15 )( 23 ) = -345

• ( 25 )( 52 ) = 1300

• ( -123 )( -20 ) = 2460

• ( 42 )( -17 ) = -714

Ahora realiza tú los siguientes ejercicios. En los cuatro primeros te apoyamos con colores, en los dos restantes identifica bien si ambos tienen el mismo signo o los dos son de signo diferente.

¿Y la división de enteros?Ya revisamos las operaciones de suma, resta y multiplicación de números enteros con signo. En todas ellas, el resultado es de nuevo un número entero. ¿Te acuerdas de la propiedad de cerradura? En el caso de la división ésta NO se cumple, ya que al dividir dos enteros el resultado NO siempre es un entero, como podemos ver en los siguientes ejemplos.

Este tipo de números, llamados números racionales, los estudiarás en la siguiente sección del programa.

Decimales¿No te parece que utilizar moneditas de 5, 10, 20 y 50 centavos es una lata? Eso de estar contando moneditas, y luego para cargarlas en la bolsa, son tan pequeñas que si no tienes cuidado, ¡hasta te rompen las bolsa del pantalón! Si bien es cierto que es una lata utilizarlas, también es cierto que no dejan de ser dinero y que tienen gran valor. En la Ciudad de México hay aproximadamente 1 000 000 de monedas de centavos en circulación.

Pero aun así, ¿sabes que el cambio que no recibes en el supermercado, e incluso las propinas, significa una gran ganancia para estas tiendas? Por eso cuando vas de compras es común encontrar productos que incluyen centavos en su precio.

Las divisas forman un elemento económico muy importante en nuestro país. Resulta que la entrada de divisas al país ayuda a mantener la estabilidad económica de México. Una forma de obtener divisas es por medio del turismo, otra es la importación de productos mexicanos y la más mencionada en los medios de comunicación es la cantidad de dólares que envían los mexicanos, que se encuentran en otros países.

¿Te has fijado que en las noticias, periódicos o programas de radio, casi siempre informan acerca del valor del dólar, tanto a la compra como a la venta? La compra es cuando tú tienes dólares y los vendes al banco o casa

de cambio, etc. Ellos dicen qué precio están dispuestos a pagar por esos dólares que tú ofreces. La cantidad que se refiere a la venta indica la cantidad en pesos mexicanos que debes pagar por un dólar. La diferencia entre la compra y la venta es significativa, sobre todo cuando hablamos de una gran cantidad de divisas. He ahí la ganancia que se tiene de las divisas.

Bien, ahora queremos saber cómo hacer los cambios de divisas. Es importante que indiquemos la fecha, ya que el precio del dólar depende de muchos factores, y por lo mismo varía todos los días, aunque hay ocasiones en las que la variación no es notable. Sólo es cuestión de centavos, aunque como lo hemos estado mencionando desde el inicio de esta unidad, algunos centavos pueden hacer la diferencia, pero sólo se observa en cantidades mayores.

Al realizar una división con números decimales es importante que el divisor (el número que está fuera de la casita) esté expresado como número entero. El dividendo (el número que esta dentro de la casita) puede ser un número entero o un número decimal.

Por ejemplo, si el divisor es 1.2 y el dividendo 652.25, para convertir el divisor en entero, lo podemos multiplicar por 10, ya que eso implicará que se recorra el punto decimal una posición hacia la derecha. Sin embargo, para no alterar la división, es importante multiplicar también el dividendo. De manera que:

Bien, ahora que el divisor es entero, se realiza el procedimiento de la división igual que en las operaciones con números enteros. Es importante mencionar que si el dividendo es decimal, sólo hay que subir el punto decimal cuando se escribe el cociente.

La división puede continuar según la cantidad de números decimales que requieras como solución. Por lo tanto la solución del ejercicio original es 652.25/1.2=543.5

En el ejemplo anterior multiplicamos por 10 al divisor para convertirlo en entero. En realidad lo que estamos haciendo es recorrer el punto decimal, de manera que si multiplicamos por 100, recorreremos dos unidades el punto decimal; si multiplicamos por 1 000, recorreremos 3 unidades el punto decimal. Fíjate como la cantidad de 0 en el múltiplo es la cantidad de posiciones que recorremos el punto. Eso implica que si ya se acabaron los números, entonces hay que agregar ceros a la derecha del número.

1.2X10=12

1.2X100=120. Como ya no hay número se agregó un cero.

1.2X1 000=1 200. Como sólo hay 1 número después del punto decimal, hay que agregar dos ceros para que sean las 3 posiciones que mencionamos anteriormente.

Cuando hablamos del procedimiento para convertir decimales a enteros, multiplicábamos por 10. ¿Sabes por qué por 10? Porque la numeración que utilizamos es decimal, es decir, consta de 10 dígitos (0 al 9) y su base es 10. La numeración está agrupada en conjuntos de 10, o sea, del 0 al 9 hay 10 números, del 10 al 19 hay 10 números, del 20 al 29 hay 10 dígitos, y así sucesivamente. Una propiedad de los múltiplos de 10 es que siempre terminan en 0.

Veamos algunos ejemplos:

10X10=100

10X10X10=1 000

10X10X10X10=10 000

Fíjate en la primera multiplicación: son 2 veces el número 10 y hay 2 ceros en el resultado. En la segunda hay 3 números 10 y hay 3 ceros en el resultado. Finalmente hay 4 veces el 10, y 4 ceros en el resultado. Si multiplico 6 veces el 10, ¿cuántos ceros habrá en el resultado?

Pero antes de continuar quisiera decirte que a los múltiplos de 10 también los podemos escribir como potencias, es decir, escribir un 10 como base; para indicar que lo que vamos a multiplicar son números 10 y un exponente que indica el número de veces que multiplicamos el 10.

10²=10X10=100

10³=10X10X10=1 000

104=10X10X10X10=10 000

106=10X10X10X10X10X10=1 000 000

Ahora, con esta nueva notación, podemos escribir:

124 000 000=124X10X10X10X10X10X10=124X106

Esta es una forma de escribir números muy grandes de manera abreviada, y se conoce como notación científica. Lo que en realidad estamos haciendo es indicar que después del 4 hay que recorrer el punto decimal hacia la derecha 6 posiciones. En este caso los decimales son ceros, y también por eso podemos hacer este tipo de notaciones, o sea, los ceros después del punto decimal pueden o no ir, y no alteran el resultado.

Fíjate que el exponente indica el número de posiciones que debemos recorrer el punto. Cuando el punto no está

escrito, se entiende que éste se encuentra después del último número. Además, el exponente es positivo. Pero, ¿qué pasaría si el exponente es negativo? ¿Hacia dónde debemos recorrer el punto?

Fíjate que aunque no aparezca el punto después del 524, se maneja como si estuviera después del 4. Entonces es después de esa posición que se comienza a contar hacia la izquierda el número que corresponde al exponente.

Escribe el número que corresponde a la notación científica:

Números racionalesSeguro has comido una pizza. Quizá una hawaiana, tal vez de champiñones con queso o de pepperoni. Según la cantidad de personas, algunas veces falta y en ocasiones hay personas a las que les toca doble rebanada. A veces pensamos que eso no es justo, porque todos queremos comer la misma cantidad.En una fracción tenemos dos componentes:

El denominador es un número entero que nos indica la cantidad de partes en las que vamos a dividir un objeto conocido como unidad. El denominador nunca es cero.

El numerador es un número entero que indica la cantidad de elementos que vamos a utilizar de un objeto dividido.

Por ejemplo:

Otra forma de hacer una división de fracciones es multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda fracción. Primero recordemos que el recíproco de una fracción se obtiene al intercambiar el numerador con el

denominador. Es decir, lo que había en el denominador ahora será numerador y el numerador pasará al denominador. Por ejemplo:

Si una fracción es su recíproco es . El recíproco de .

Primero resolvemos una división con el método que conocemos:

Ahora resolveremos la misma división utilizando el recíproco de y realizamos la multiplicación:

Características del Sistema Decimal Indoarábigo

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