UNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA

UNIDAD IZTAPALAPA

Proyecto de Ingeniería Electrónica

Título del proyecto:

Cavidades resonantes cónicas

Alumno:

Hugo Andrés Guarneros Ramírez

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INDICE

Índice ………………………………………………………………………………..1

1 Introducción……………………………………………………………………......2

1.1 Ecuaciones de Maxwell ………………………………………………………...2

1.2 Funciones Asociadas de Legendre …………………………………………4

1.3 Funciones Esféricas de Bessel …………………………………………………6

2. Cavidad Cónica ………………………………………………………………...7

2.1 Campo Eléctrico en los Modos TM en Cavidades Cónicas ………………….10

3. Resultados ………………………………………………………………………...11

4. Fotos de los resultados de las mediciones experimentales ………………….12

5. Comparación de Resultados Teóricos y Experimentales ………………………….14

6. Aplicaciones …………………………………………………………………15

7. Conclusiones …………………………………………………………………16

8. Bibliografía…………………………………………………………………………17

9. Anexo …………………………………………………………………………18

2

INTRODUCIÓN

Una cavidad resonante puede ser construida si consideramos una guía de ondaque terminamos en cortocircuito y si a una distancia de media longitud de onda en suinterior (en la guía) colocamos otra cavidad, este dispositivo permite la existencia deondas estacionarias, cuyas frecuencias de media longitud de onda y múltiplos enteros dela longitud de la guía estarán presentes en la cavidad resonante formada. En otraspalabras: la estructura resuena a esas frecuencias, por lo que se llama cavidad resonante.Si acoplamos la estructura a un generador de ondas, que nos proporciona ondas confrecuencia diferente, por medio de un bucle de hilo conductor a través de un orificio y,situados convenientemente, se podrán excitar estas ondas estacionarias. El análisis de laestructura conduce al cálculo de los modos TEXYZ y TMXYZ. El acoplamiento se realizapara excitar el modo de interés. Los modos tienen tres subíndices debido a que la ondaestacionaria se puede propagar en las tres direcciones del espacio, así la existencia demodos superiores indica que la cavidad resonará a la frecuencia fundamental y a susarmónicos [1]-[2]-[4].

1.1 Ecuaciones de Maxwell.

La forma diferencial de las ecuaciones de Maxwell es más útil en análisis modalde los campos en las cavidades, estas son [1]:∇ × = … (1.1.1)∇ × = − … (1.1.2)∇ × = … (1.1.3)∇ ∙ = 0 … (1.1.4)∇ ∙ = … (1.1.5)Donde: es la intensidad de campo eléctrico, es la densidad de flujo magnético, es

la intensidad de campo magnético, es la densidad de flujo eléctrico, es la densidadde corriente eléctrica y es la densidad de carga eléctrica. Además, la ecuación (1.1.1)es la forma diferencial de la ley de Faraday, la (1.1.2) es la forma diferencial de la leyde Ampere-Maxwell y la (1.1.3) es la ecuación de continuidad. La ecuación (1.1.4) seobtiene a partir de tomar la divergencia de (1.1.1) y es la forma diferencial de la ley deGauss para campo magnético. Mientras que al tomar la divergencia de (1.1.2) ysustituyéndola en (1.1.3) obtenemos (1.1.5), que es la forma diferencial de la ley deGauss para el campo eléctrico.Para resolver las ecuaciones de Maxwell, necesitamos más información con respecto ala forma en que se relacionan , , y entre si. Para medios isotrópicos, son lassiguientes: = … (1.1.7)= … (1.1.8)= … (1.1.9)Donde es la permitividad, la permeabilidad y la conductividad, en general sondependientes en frecuencia y además complejas.

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En muchos problemas, es tratada como una fuente de densidad de corriente en vez de

una densidad de corriente inducida y el problema es determinar y sujetos a lascondiciones de frontera especificas. En ese sentido (1.1.1) y (1.1.2) pueden escribirsecomo: ∇ × = … (1.1.10)∇ × = − … (1.1.11)Las ecuaciones (1.1.10) y (1.1.11) son dos ecuaciones vectoriales con dos vectores

desconocidos ( y ). Eliminando en (1.1.10) o en (1.1.11), podemos obtener lasecuaciones vectoriales de onda homogénea:

∇ × ∇ × − = … (1.1.12)∇ × ∇ × − = ∇ × … (1.1.13)Donde = /√Como vamos a tratar el interior de la cavidad resonante cónica como un vacio, dentro dela cavidad tanto el campo eléctrico ( ) como el magnético ( ) obedecen a laecuación de onda vectorial [3]-[4]:∇ ( ) = ( ) … (1.1.14)Donde se utiliza para representar o . Debido a que estamos interesados en losmodos de resonancia de la cavidad, vamos a estar buscando soluciones de la ecuaciónde onda que representan las ondas estacionarias. Estas soluciones se comportanarmónicamente con el tiempo, es decir, la variación temporal de cada uno serácompletamente descrita por un factor multiplicativo de la forma ( ) o cos( ). En

una onda estacionaria y estarán 90° fuera de fase, y vamos a elegir el origen de talque: ( ) = sin( ) … (1.1.15)( ) = cos( ) … (1.1.16)Donde estamos escribiendo y para representar los patrones espacialesindependientes en tiempo para los campos vectoriales. Estos campos independientes entiempo deben satisfacer la ecuación vectorial de Helmholtz:

∇ + = 0 … (1.1.17)Las condiciones de contorno que tendremos que imponer son: que el campo eléctricoen cada pared de la cavidad no puede tener una componente paralela a ella, sino que

debe ser totalmente ortogonal a la pared, o puede ser cero allí. El campo magnético , alcontrario, no puede tener una componente ortogonal a la pared, o bien debe ser cero allí,o se encuentra paralelo a la pared [4].

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Para cumplir con estas condiciones, tendremos que trabajar en un sistema decoordenadas en el que las paredes de la cavidad resonante tengan una descripciónsimple. Si nos posicionamos en la pared truncada del cono esférico de manera que su ejese encuentra en el eje z de nuestro sistema de coordenadas, los vértices estarán en elorigen, y en coordenadas polares ( , , ). Donde es la distancia desde el origen, esel ángulo desde el eje z y es el ángulo del plano xz. Las paredes laterales del conoestán descritas por , el extremo más estrecho (el principio del cono) será descrito por

, que puede hacerse mucho muy pequeño, y el final del cono por .

Vamos a buscar soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz que cumplan conestas condiciones de frontera. Como primer paso, se observa un conjunto completo de

soluciones de la ecuación escalar de Helmholtz (donde se sustituye por una funciónescalar f) constituida por productos de las funciones de las tres coordenadas esféricas, yes la siguiente: ( , , ) = ±( ) ( ) ( ) … (1.1.18)±( ) = √ ± ( ) … (1.1.19)( ) = (cos ) … (1.1.20)( ) = cos … (1.1.21)Donde J es una función de Bessel y P es una función asociada de Legendre. Paraasegurar la continuidad en = 0 con = 2 , el parámetro m debe ser un entero, puedeser negativo, positivo o cero, y los valores permitidos de n estarán relacionados con lascondiciones de frontera.

1.2 Funciones asociadas de Legendre

La ecuación asociada a Legendre es [1]:sin + ( + 1) = 0 … (1.2.1)Para coordenadas esféricas y cavidades esféricas, tenemos el caso donde v es un entero,n y θ están dentro de 0 ≤ θ ≤ π. En este caso, las dos soluciones independientes de(1.2.1) son las funciones asociadas de Legendre de tipo I (cos ) y de tipo II(cos ) .

La ecuación (1.2.1) se puede escribir en otra forma útil haciendo la sustitución= cos , esto es:(1 − ) − 2 + ( + 1) − = 0 … (1.2.2)

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Consideremos primero el caso, m=0, donde (1.2.2) se reduce a la ecuación ordinaria deLegendre: (1 − ) − 2 + ( + 1) = 0 … (1.2.3)La solución para (1.2.3) que es finita sobre el rango -1 ≤ u ≤ 1, son los polinomios deLegendre ( ), que pueden ser escritos como una suma finita.

( ) = ∑ (−1) (2 − 2 )!2 ! ( − )! ( − 2 )! … (1.2.4)Donde L=n/2 o (n-1)/2, en todo caso es un entero, una expresión alterna para lospolinomios de Legendre está dada por la formula de Rodríguez:

( ) = 12 ! ( − 1) … (1.2.5)Los primeros polinomios de Legendre de menor orden son:( ) = 1( ) =( ) = (3 − 1)( ) = (5 − 3 )( ) = (35 − 30 + 3) … (1.2.6)Las ecuaciones (1.2.6) pueden escribirse en términos de θ, así:(cos ) = 1(cos ) = cos(cos ) = (3 cos 2 + 1)(cos ) = (5 cos 3 + 3 cos )(cos ) = (35 cos 4 + 20 cos 2 + 9) … (1.2.7)Diferenciando el polinomio de Legendre se pueden obtener soluciones a la ecuaciónasociada de Legendre.

( ) = (−1) (1 − ) ( ) … (1.2.8)Para m>n ( ) = 0, también ( ) = ( ). Las funciones asociadas de Legendrede menor orden con n=3, son:

( ) = −(1 − )( ) = −3(1 − )

6

( ) = 3(1 − )( ) = − (1 − ) (1 − 5 )( ) = 15(1 − )( ) = −15(1 − ) … (1.2.9)Una manera útil de calcular un número mayor de funciones asociadas de Legendre espor relaciones recurrentes. Una fórmula de recurrencia en n está dada por:( − − 1) ( ) + (2 + 1) ( ) − ( + ) ( ) = 0 … (1.2.10)Una formula recurrente en m es:( ) + ( ) / ( ) + ( + )( − + 1) ( ) = 0 … (1.2.11)

1.3 Funciones esféricas de Bessel

La función radial R que se requiere en geometrías esféricas satisface la siguienteecuación diferencial [1]:

+ [( ) − ( + 1)] = 0 … (1.3.1)Para cavidades esféricas, requerimos únicamente la función esférica de Bessel de tipo I( ), donde n es un entero, porque es finito en el origen. Esta función Bessel estárelacionada a la función cilíndrica Bessel de orden n+½:

( ) = 2 ( ) … (1.3.2)Sin embargo la función esférica de Bessel es más simple porque puede ser escrita comoun número finito de términos. Por ejemplo, las primeras cinco funciones esféricas deBessel de tipo I, con el argumento kr = x, son:( ) = sin( ) = [− cos + sin ]( ) = [−3 cos + (−1 + 3 ) sin ]( ) = [(1 − 15 ) cos + (−6 + 15 ) sin ]( ) = [(10 − 105 ) cos + (1 − 45 + + 105 ) sin ] … (1.3.3)El resultado anterior puede ser obtenido de la fórmula de Rayleigh:

( ) = − 1 sin … (1.3.4)Que es válida para cualquier valor entero no negativo de n.

7

2. Cavidad Cónica

Los modos en la cavidad cónica son considerados a partir de la siguiente figura.

Fig. 1. Cavidad cónica resonante.

Escribiremos }ˆ,ˆ,ˆ{ eeer para los vectores unitarios en cada dirección del plano

coordenado en cualquier punto. Ahora, podemos generar soluciones vectoriales a partirde soluciones escalares, esto es, dada una solución escalar f, los campos vectoriales [4]:

...(2.2.1))ˆ( rerfM ...(2.2.2))ˆ( rerfN

resolverán la ecuación vectorial de Helmholtz. Entonces si f es tomado de nuestroconjunto de soluciones escalares de la ecuación de Helmholtz, tenemos entoncespara M:

...(2.2.3)ˆ)())(cos(ˆ)('

sin

)(cos)(

eFd

PdeF

PrRM

mn

mn

...(2.2.4))sin()(' mmF

...(2.2.5)sin

)(cos)()(cos)cos())(cos()( 1'

mn

mn

mn PnmPn

d

PdQ

El campo vectorial M no tiene componente radial, lo que significa que en las tapaslaterales del cono no tendrá ninguna componente ortogonal a las paredes de la cavidad.Esa es la condición de contorno que debe ser satisfecha por el campo magnético B, asíque vamos a tomar a M como una posible solución de B.

Para simplificar las cosas vamos a limitar el resto del análisis de los modos con m=0, esdecir, modos que no tienen ninguna dependencia de φ, y por lo tanto sonrotacionalmente simétricos alrededor del eje z. Tenemos entonces:

...(2.2.6)ˆ)()( ' eQrRB

...(2.2.7)sin

)(cos)(cos)cos()(

01'

nm

n PPnQ

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2. Cavidad Cónica

Los modos en la cavidad cónica son considerados a partir de la siguiente figura.

Fig. 1. Cavidad cónica resonante.

Escribiremos }ˆ,ˆ,ˆ{ eeer para los vectores unitarios en cada dirección del plano

coordenado en cualquier punto. Ahora, podemos generar soluciones vectoriales a partirde soluciones escalares, esto es, dada una solución escalar f, los campos vectoriales [4]:

...(2.2.1))ˆ( rerfM ...(2.2.2))ˆ( rerfN

resolverán la ecuación vectorial de Helmholtz. Entonces si f es tomado de nuestroconjunto de soluciones escalares de la ecuación de Helmholtz, tenemos entoncespara M:

...(2.2.3)ˆ)())(cos(ˆ)('

sin

)(cos)(

eFd

PdeF

PrRM

mn

mn

...(2.2.4))sin()(' mmF

...(2.2.5)sin

)(cos)()(cos)cos())(cos()( 1'

mn

mn

mn PnmPn

d

PdQ

El campo vectorial M no tiene componente radial, lo que significa que en las tapaslaterales del cono no tendrá ninguna componente ortogonal a las paredes de la cavidad.Esa es la condición de contorno que debe ser satisfecha por el campo magnético B, asíque vamos a tomar a M como una posible solución de B.

Para simplificar las cosas vamos a limitar el resto del análisis de los modos con m=0, esdecir, modos que no tienen ninguna dependencia de φ, y por lo tanto sonrotacionalmente simétricos alrededor del eje z. Tenemos entonces:

...(2.2.6)ˆ)()( ' eQrRB

...(2.2.7)sin

)(cos)(cos)cos()(

01'

nm

n PPnQ

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2. Cavidad Cónica

Los modos en la cavidad cónica son considerados a partir de la siguiente figura.

Fig. 1. Cavidad cónica resonante.

Escribiremos }ˆ,ˆ,ˆ{ eeer para los vectores unitarios en cada dirección del plano

coordenado en cualquier punto. Ahora, podemos generar soluciones vectoriales a partirde soluciones escalares, esto es, dada una solución escalar f, los campos vectoriales [4]:

...(2.2.1))ˆ( rerfM ...(2.2.2))ˆ( rerfN

resolverán la ecuación vectorial de Helmholtz. Entonces si f es tomado de nuestroconjunto de soluciones escalares de la ecuación de Helmholtz, tenemos entoncespara M:

...(2.2.3)ˆ)())(cos(ˆ)('

sin

)(cos)(

eFd

PdeF

PrRM

mn

mn

...(2.2.4))sin()(' mmF

...(2.2.5)sin

)(cos)()(cos)cos())(cos()( 1'

mn

mn

mn PnmPn

d

PdQ

El campo vectorial M no tiene componente radial, lo que significa que en las tapaslaterales del cono no tendrá ninguna componente ortogonal a las paredes de la cavidad.Esa es la condición de contorno que debe ser satisfecha por el campo magnético B, asíque vamos a tomar a M como una posible solución de B.

Para simplificar las cosas vamos a limitar el resto del análisis de los modos con m=0, esdecir, modos que no tienen ninguna dependencia de φ, y por lo tanto sonrotacionalmente simétricos alrededor del eje z. Tenemos entonces:

...(2.2.6)ˆ)()( ' eQrRB

...(2.2.7)sin

)(cos)(cos)cos()(

01'

nm

n PPnQ

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Este campo cumple automáticamente las condiciones de contorno requerido para elcampo magnético en la pared lateral del cono, ya que no tiene componenteperpendicular a las paredes laterales. Ahora bien, las ecuaciones de Maxwell en el vacíodan:

...(2.2.8)1

t

E

cB

Bc

E

2

)9.2.2...(ˆ))(cos()(ˆ)(cos)1()(

11

2

e

d

PdrRePnnrR

r

cE

mn

rm

n

)10.2.2...()()()(1

2

1)( )()()(31 2

32

12

1

krJkrJr

kkrJ

rrR nnn

La simplificación de Q1(ө) a un múltiplo de Q(ө)=Pnm(cos ө) se desprende directamente

de la ecuación diferencial satisfecha por las funciones de Legendre.

Para cumplir con las condiciones de contorno para el campo eléctrico en la paredlateral, necesitamos que la componente radial del campo desapararesca, y por lo tantoQ1(ө)=0. Habrá un conjunto infinito de discretos (pero no enteros) valores de n quecumplen esta condición, con una opción en cuanto al número de ceros de Q1 que seproducen para valores de ө menores que өW. Para nuestro caso өW=40°. Podemos trazarQ1(өW) contra n como se muestra en la gráfica 1.

Vemos que hay tres valores menores de n que satisfacen la condición de contornodentro del rango graficado: 3, 7 y 12. Podemos entonces graficar Q1(ө) para estosvalores, en la gráfica 2 hay tres curvas, que representan el grado de n, es decir, losvalores enteros aproximados de n, tomados de la gráfica 1 en donde la curva cruza porcero.

Gráfica 2. Tres valores pequeños de n.

Gráfica 1. Obtención de los valores de n.

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A continuación, tenemos que conocer las condiciones de contorno para el campoeléctrico en la dos tapas de los extremos, donde las componentes de campo en ladirección deben desaparecer. Esto es más complicado, porque no podemos hacerlosimplemente ajustando la frecuencia ω, también se tienen que mezclar las dos versionesdiferentes de ± que obtenemos mediante la elección del signo + o - en la definición.Vamos a definir: ∝( ) = cos ∝ ( ) + sin ∝ ( ) … (2.2.11)Para demostrar cómo las condiciones de frontera pueden ser satisfechas por lacombinación adecuada de ∝ y , vamos a elegir valores específicos para la tapa deradios: r1 = 0.3 cm y r2 = 10 cm. Graficamos entonces las líneas, donde ∝( ) = 0 (enrojo) y ∝( ) = 0 (en verde), para un valor fijo de n (en este caso, es el menor valorque cumpla con la condición de contorno de la pared lateral con θw = 40°) en unintervalo de valores de ∝ y . Recordar que = . En la gráfica 3 observamos elresultado.

Gráfica 3. Intersección de k y ∝ para obtener los valores pequeños de k.

Donde la línea verde y la roja de las curvas de la gráfica 3 se cruzan hemos encontradolas condiciones de frontera de las dos tapas de los extremos. (Para k <0,3 las curvasestán tan cerca que parece que se superponen en esta figura, pero en realidad no seintersecan). En la gráfica 4, ∝( ) se gráfica para las tres soluciones con los valoresmás pequeños de k obtenidos de la gráfica 3.

Como era de esperar, los valores sucesivos de producen un número creciente de cerosextra de ∝, además de los ceros requeridos para y .

Gráfica 4. Tres primeros valores pequeños de k.

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Los modos de campo que hemos discutido hasta ahora, en donde el campo magnéticose deriva del campo y el campo eléctrico corresponde con el campo , consistenen bucles de inducción magnética que circulan en torno al eje del cono, y un campoeléctrico cuya dirección se encuentra siempre dentro de un plano que pasa por los ejes.

Nos referiremos a estos modos como: transversal magnético, o los modos TM, ya queson muy similares a los modos que llevan este nombre en la teoría de guía de ondas.Aunque se trata de ondas estacionarias y guías de onda que contienen onda viajeras, sipensamos en el eje del cono como el sentido longitudinal, entonces el campo magnéticoen estos modos es ortogonal, o transversal, en esa dirección.

La solución en el dominio de la frecuencia de las ecuaciones de Maxwell para losmodos TM de la cavidad cónica en el vacío en coordenadas esféricas (r,θ,φ) se expresacomo [2]-[3]-[4]:

= + = 1 = 1sin= 0 = − sin = … (2.2.12)Como ya vimos, la función F satisface la ecuación de onda y de (1.1.18) tenemos:

( , , ) = 1√ ( ) cos( ) cos( ) … (2.2.13)El índice m de los polinomios de Legendre es un numero entero, dado que el valor devariación de los campos con coordenadas φ tiene periodicidad 2л.

2.1 Campo Eléctrico para modos TM en Cavidades Cónicas.

Las componentes de campo eléctrico para los modos TM en cavidades cónicas estándadas por [3]:

= ( + 1)( ) ( ) (cos ) cos= − ( ) sin (cos ) sin= ( ) (cos ) sin … (2.2.14)Donde:

( ) = ( ) = ( )√ = 2√ ± ( ) − 1√ ( )( ) = (cos ) = cos (cos ) − ( + ) (cos )sin … (2.2.15)

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Resultados

La Cavidad Cónica construida es como muestra la figura 2, a la cual se lehicieron pequeños agujeros donde se introdujo la sonda que leía el valor de amplitud depotencia para una frecuencia cualquiera, la señal de entrada está localizada justo en elpico inferior de la cavidad, en donde el radio r1=0.3 cm, y esta consta de una señal conun rango de frecuencias de 40 MHz a 4 GHz, los agujeros en las diferentes zonas de lacavidad nos permitieron medir la potencia de la señal y encontrar cual es la frecuenciade corte para la cavidad, aunque es notable que debido al tamaño reducido de estacavidad resonante no se pudieron obtener resultados de potencia para la zona delcasquete esférico, incluso cuando por separado la cavidad de media esfera presentofrecuencias de corte. Se necesita proporcionar frecuencias mayores para que existierancampos E y B en el casquete esférico o en todo caso ajustar el ángulo del cono junto consus radios, pero no se realizaron porque el equipo de medición tenía un rango limitadode frecuencias y porque la construcción de otra cavidad no era posible. Se mide tambiénel SWR, y si la cavidad tenía un efecto capacitivo o inductivo que representa por unaparte el almacenamiento de energía en forma de campo eléctrico y por otro lado elalmacenamiento energético en forma de campo magnético, el efecto de resistenciadistribuida se presento a lo largo de la cavidad lo que modela la disipación de potenciadebido a que no es ideal el conductor de la cavidad resonante. También se obtuvo lafase de la frecuencia resonante. Los valores obtenidos se muestran en la tabla 1 y estánagrupados por nivel. Las mediciones no muestran valores para la parte de la semiesferaacoplada al cono, que en conjunto formaron la cavidad resonante, ya que no se obtuvolectura alguna para ninguna frecuencia.

Figura 2. Cavidad cónica resonante con orificios para sonda de medición

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Resultados

La Cavidad Cónica construida es como muestra la figura 2, a la cual se lehicieron pequeños agujeros donde se introdujo la sonda que leía el valor de amplitud depotencia para una frecuencia cualquiera, la señal de entrada está localizada justo en elpico inferior de la cavidad, en donde el radio r1=0.3 cm, y esta consta de una señal conun rango de frecuencias de 40 MHz a 4 GHz, los agujeros en las diferentes zonas de lacavidad nos permitieron medir la potencia de la señal y encontrar cual es la frecuenciade corte para la cavidad, aunque es notable que debido al tamaño reducido de estacavidad resonante no se pudieron obtener resultados de potencia para la zona delcasquete esférico, incluso cuando por separado la cavidad de media esfera presentofrecuencias de corte. Se necesita proporcionar frecuencias mayores para que existierancampos E y B en el casquete esférico o en todo caso ajustar el ángulo del cono junto consus radios, pero no se realizaron porque el equipo de medición tenía un rango limitadode frecuencias y porque la construcción de otra cavidad no era posible. Se mide tambiénel SWR, y si la cavidad tenía un efecto capacitivo o inductivo que representa por unaparte el almacenamiento de energía en forma de campo eléctrico y por otro lado elalmacenamiento energético en forma de campo magnético, el efecto de resistenciadistribuida se presento a lo largo de la cavidad lo que modela la disipación de potenciadebido a que no es ideal el conductor de la cavidad resonante. También se obtuvo lafase de la frecuencia resonante. Los valores obtenidos se muestran en la tabla 1 y estánagrupados por nivel. Las mediciones no muestran valores para la parte de la semiesferaacoplada al cono, que en conjunto formaron la cavidad resonante, ya que no se obtuvolectura alguna para ninguna frecuencia.

Figura 2. Cavidad cónica resonante con orificios para sonda de medición

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Resultados

La Cavidad Cónica construida es como muestra la figura 2, a la cual se lehicieron pequeños agujeros donde se introdujo la sonda que leía el valor de amplitud depotencia para una frecuencia cualquiera, la señal de entrada está localizada justo en elpico inferior de la cavidad, en donde el radio r1=0.3 cm, y esta consta de una señal conun rango de frecuencias de 40 MHz a 4 GHz, los agujeros en las diferentes zonas de lacavidad nos permitieron medir la potencia de la señal y encontrar cual es la frecuenciade corte para la cavidad, aunque es notable que debido al tamaño reducido de estacavidad resonante no se pudieron obtener resultados de potencia para la zona delcasquete esférico, incluso cuando por separado la cavidad de media esfera presentofrecuencias de corte. Se necesita proporcionar frecuencias mayores para que existierancampos E y B en el casquete esférico o en todo caso ajustar el ángulo del cono junto consus radios, pero no se realizaron porque el equipo de medición tenía un rango limitadode frecuencias y porque la construcción de otra cavidad no era posible. Se mide tambiénel SWR, y si la cavidad tenía un efecto capacitivo o inductivo que representa por unaparte el almacenamiento de energía en forma de campo eléctrico y por otro lado elalmacenamiento energético en forma de campo magnético, el efecto de resistenciadistribuida se presento a lo largo de la cavidad lo que modela la disipación de potenciadebido a que no es ideal el conductor de la cavidad resonante. También se obtuvo lafase de la frecuencia resonante. Los valores obtenidos se muestran en la tabla 1 y estánagrupados por nivel. Las mediciones no muestran valores para la parte de la semiesferaacoplada al cono, que en conjunto formaron la cavidad resonante, ya que no se obtuvolectura alguna para ninguna frecuencia.

Figura 2. Cavidad cónica resonante con orificios para sonda de medición

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Para determinar la frecuencia de corte teoricamente hacemos uso del primer valor de kobtenido de la gráfica 3, que justamente es el primer valor más pequeño y que tiene unvalor de k1=0.497 cm-1, entonces tenemos:

Hzx

xmxcmkcf

c

f

ck s

ms

m

ccc 9

8181

104.22

103502

1035.2

2

GHZfc 4.2

Y como se muestra en la tabla 1, la frecuencia de corte experimental fue de 2.6GHz,entonces el valor teórico está bien aproximado para la cavidad resonante cónica que seutilizo en el experimento si se consideran las imperfecciones que pudo tener comopequeños bordes irregulares y que no es un conductor perfecto. A continucación semuestran los valores de potencia, frecuencia, efecto capacitivo e inductivo y swrobtenidos experimentalmente.

Tabal 1. Resultados obtenidos experimentalmente.

Como podemos observar de la tabla 1 de resultados la frecuencia de corte que estápresente en todos los niveles menos en los más alejados es 2.6 GHz que es donde sepresenta el primer modo, el segundo se encuentra a los 2.8 GHz, el tercero a los3.3 GHz aproximadamente, en algunas regiones de la cavidad resonante existe lapresencia de campo eléctrico, esto ocurre en todos los niveles del cono pero no en todoslos puntos de medición y se observa claramente debido a la acción capacitiva queocurría en puntos como (F, B, L, C, H M, D y J), también existió la presencia decampos magnéticos en algunas zonas de la cavidad resonante y se puede observardebido a la acción inductiva que presento en los puntos (K, P, G, Q e I), alrededor detoda la cavidad resonante existió una resistencia distribuida que disipó la potencia ycuyo valor se encuentra entre los 50 ohms que era también la impedancia de la sondaque inyectaba la señal. La misma tabla muestra el valor de campo eléctrico obtenidodirectamente de la magnitud de la potencia de la señal en cada punto de la cavidad quepresentaba efecto capacitivo y que aunque es un valor pequeño no se puedecorrelacionar perfectamente con el valor obtenido teóricamente debido a que quizá elconductor de la cavidad no es perfecto y que además existieron problemas con el equipode medición, lo que experimentalmente se reflejo en variaciones en todos los valores.Los espacios en negro indican que en ese punto no se logro obtener ninguna medición.

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Foto 1. Nivel 3, punto M.

Foto 2. Nivel 2, punto G

Foto 3. Nivel 5, punto J

Fotos de los resultados de las mediciones experimentales.

La foto 1 muestra el valor en decibeles de la potencia de la señal obtenida al hacer lamedición en el punto M en donde se encontró presencia de campo eléctrico, como sepuede ver el primer modo se observa muy pegado al segundo modo que es el picosiguiente de punto rojo y el tercero todavía es más pequeño, después de estos tres ya nose observa otro que nos permita una lectura confiable debido a que se observa muchadistorsión en la señal.

La foto 2 muestra el segundo modo a una frecuencia de 2.8 GHz, en este caso podemosobservar que claramente existen dos modos más que son los que están a 3 GHz y3.3GHz, la señal de potencia esta en magnitud porque el nivel no nos permitía unalectura clara de la señal.

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Foto 4. Nivel 1, punto P

La foto 3 muestra la señal en el último nivel de medición de la cavidad resonante y sepuede ver que la lectura del tercer modo resulta difícil de percibir y solo se percibe loque podría ser el quinto modo que se encuentra en 3.7 GHz obteniendo mucha variaciónde potencia para frecuencias menores lo que no permite percibir los modos más bajos.

En el primer nivel se pueden observar hasta seis modos, el primero se encuentra a2.6GHz y los otros a frecuencias mayores (en la tabla 1 hasta el cuarto modo). En estecaso resulta fácil la lectura de la frecuencia para los modos porque el nivel 1 es el máscercano a la sonda que inyecta la señal a la cavidad resonante, es por eso que también lapotencia de la señal es muy alta en comparación con el último nivel.

Comparación de Resultados Teóricos y Experimentales.

A continuación se muestra la gráfica 5 que es el campo eléctrico con respecto a r (radio)para los valores experimentales obtenidos en los diferentes niveles de la cavidadresonante cónica:

Gráfica 5. Variación del campo eléctrico en los distintos niveles de la cavidad resonantepara el primer modo que ocurre a la frecuencia de 2.6 GHz.

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A continuación se presenta en la gráfica 6 el campo eléctrico con respecto a r (radio)obtenido en la simulación:

Gráfica 6. Campo eléctrico de la simulación para los diferentes niveles de la cavidadresonante para el primer modo que ocurre a la frecuencia de 2.6 GHz.

Como se puede observar en la gráfica 6 y 7 el comportamiento simulado es muydiferente al obtenido experimentalmente pero aun así podemos observar que latendencia del campo eléctrico es aumentar en medida que avanzamos hacia los nivelessuperiores, el comportamiento simulado del campo eléctrico es muy pequeño que casiparece cero, en el experimento los valores son mayores a medida que se avanza hasta elnivel 4, después de aquí el campo eléctrico tiene una tendencia a aumentar en intensidaden cuanto a la simulación se refiere, mientras que para los datos obtenidos en elexperimento aunque no se tiene lectura para todos los niveles el campo eléctrico tiene apermanecer constante, claro es que en la simulación no se consideran factores como elequipo de medición, que tenia por momentos problemas de lectura, pero en generalexiste presencia de campo eléctrico alrededor de todos los niveles aunque en menorintensidad para los niveles más bajos, en el experimento se tomo lectura del campoeléctrico justo en puntos espaciados para cada nivel y en ese sentido puede existircampo eléctrico en algún otro punto de ese nivel pero no en la región de medición, espor eso que en algunos lugares no se obtenía lectura alguna y claro está que en lasimulación el campo eléctrico se encuentra en todo el cono y no solo en puntosespecíficos, es por eso que creemos existe coherencia en las mediciones, esto es, existepresencia de campo eléctrico en cada nivel de medición o bien en las diferentes regionesde la cavidad resonante cónica y tanto en la simulación como en el experimento secorrobora debido a que aunque no es exactamente la misma intensidad de campo haypresencia de campo eléctrico en la cavidad resonante, al menos en la parte cónica. Elmismo efecto ocurre si se gráfica el campo eléctrico para el segundo y tercer modo.

Aplicaciones

Una aplicación que está surgiendo es la de utilizar las cavidades resonantescónicas como filtros combline que consiste en emplear varillas cónicas comoconductores centrales en los resonadores. Esta forma permite una reducción de la carga

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capacitiva de una longitud dada del resonador, como consecuencia, puede ser empleadouna brecha más grande en el extremo de la varilla (que es particularmente convenienteen los filtros de alta potencia) [5].

Otra aplicación es la de utilizar lo que se denomina axicon based con resonadorescónicos en un laser de vapor de cobre. En estos resonadores cónicos uno de los espejosde la cavidad es cónico (axicon) con un ángulo del vértice adecuado y el otro espejo esplano o con superficie curva. Estos resonadores son efectivos en mejorar el enfoque delhaz reduciendo la divergencia [6].

Una reciente aplicación aun no comprobada es la utilización de una cavidad cónicaresonante para la propulsión de un cohete (EmDrive). El dispositivo es un magnetróncon una forma especial, la cavidad del resonador está totalmente cerrada y su área esmayor en un extremo. El inventor afirma que el dispositivo genera empuje a pesar deque la energía no detectable sale del dispositivo. El inventor propone utilizarlo como unsistema de propulsión de naves espaciales que no utiliza combustible (distinta de laeléctrica). El funcionamiento del dispositivo como se describe aparentemente violavarias leyes básicas de la física, en particular la conservación del momento, aunque elinventor insiste en lo contrario [7].

Conclusiones

En la búsqueda de la frecuencia de corte para una cavidad resonante cónica seobtuvieron resultados teóricos y experimentales satisfactorios ya que según los cálculosteóricos tuvimos una frecuencia de corte muy bien aproximada a la experimental con loque comprobamos el correcto desarrollo matemático para su obtención. En ellaboratorio se observaron las frecuencia de corte y sus armónicos pero no se pudo deltodo correlacionarlo con el análisis teórico y mas consistentemente con las gráficassimuladas, aun así se puede observar que en las zonas próximas a las medidas en elexperimento se encontró la presencia de campos eléctricos y magnéticos y fue posiblemedir la cantidad en potencia de los campos mencionados, otro factor importante es elrango de frecuencias que manejaba el analizador de redes que se utilizó para elexperimento ya que se requerían frecuencias más altas para encontrar campos eléctricosy magnéticos en el casquete esférico de la cavidad que debido al tamaño de la cavidadno fue posible su medición para verdaderamente comprobar si era cero o no en estazona. La determinación de si era campo eléctrico o magnético en cada punto fuededucida de que en ciertos puntos de medición se encontraba un efecto capacitivo y enotros un efecto inductivo lo que implicaba que en un caso era eléctrico y en el otromagnético. En cuanto al análisis teórico se debe tener especial cuidado a las unidades deen que se está trabajando, esto es, los radios están proporcionados centímetros lo queimplica que el parámetro k nos dará en el inverso de los centímetros pero al momento dedeterminar la frecuencia de corte se requiere que este parámetro se cambie a metros paraque se obtenga la frecuencia real, de otra manera no se llegara a un resultado verdadero.Es importante hacer una revisión detallada de las ecuaciones que permitieron el cálculodel campo eléctrico en la cavidad resonante cónica para llegar a ecuaciones máseficientes y que requieran menos iteraciones ya que esto al ser también un trabajo que secomprueba por medio de una simulación puede tomar mucho tiempo en obtenerresultados y evidentemente puede requerir un ordenador más rápido.

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Bibliografía

[1] Hill, David. Electromagnetic Fields in Cavities. Ed. Wiley. Pág. 3-5, 237-243.

[2] Cheng, David. Fundamentos de electromagnetismo para ingenieros. Ed. Pearson.Pág. 39-47, 64, 253.

[3] Tsakanian, Andranik. 2005. Analytical calculation of wake fields in conical cavity.ELSEIVER. Pág. 299-300.

[4] http://gregegan.customer.netspace.net.au/SCIENCE/Cavity/Cavity.html

[5] http://ieeexplore.ieee.org/xpl/freeabs_all.jsp?arnumber=1262244

[6] http://wenku.baidu.com/view/4d1dff3b87c24028915fc39c.html

[7] http://www.emdrive.com/

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Anexo

Programa de simulación en Matlab: Para encontrar el campo eléctrico en unacavidad cónica resonante.

close all; clc; clear all;%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++% Calculos realizados para una frecuencia de 2.5 GHz y r1=.3 cm, r2=10 cm% para conocer las condiciones de frontera de E en las paredes del cono.% hacemos Q1(teta)=0.%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++tetacono1=input('Proporcione el grado de teta para el cono: ');frec=input('Dame la frecuencia en [Hz]: ');radio1=input('Dame el radio 1 en [cm]: ');radio2=input('Dame el radio 2 en [cm]: ');omega=2*pi*frec;

teta=tetacono1*pi/180+1e-9; m=0;ntope=50; ntopemas=ntope+1;Pnm(1:ntopemas,1:ntopemas)=0; Pnm2(1:ntopemas,1:ntopemas)=0;x=cos(teta); puntos=[6,15,24];for nconta=1:1:ntope;

Pnm=legendre(nconta,x);ndis=nconta-1;Pnmdism=legendre(ndis,x);[renP colP]=size(Pnm);[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);for nval=1:1:renP

Pnm2(nval,nconta)=Pnm(nval,colP);endfor nvaldis=1:1:renPdis

Pnm2dis(nvaldis,nconta)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);endn(nconta)=nconta;nmas=nconta+1;QPrim(nconta)=[nconta*cos(teta)*Pnm2(1,nconta)*(cos(teta))-

(m+nconta)*Pnm2dis(1,nconta)*(cos(teta))]/sin(teta);Q(nconta)=Pnm2(1,nconta)*cos(teta);Q1(nconta)=nconta*(nconta+1)*Q(nconta);

endfigure; plot(n,Q1); hold on; plot(puntos,0,'*'); grid;title('Valores de n para Q_{1}(\theta) para encontrar E en las paredes del cono')ylabel('Q1(\theta)'); xlabel('n'); hold off%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ntope=25;ntopemas=ntope+1;Pnm(1:ntopemas,1:ntopemas)=0;Pnm2(1:ntopemas,1:ntopemas)=0;nconta1=input('proporcione el valor n1: '); %6.335nconta2=input('proporcione el valor n2: '); %15.293nconta3=input('proporcione el valor n3: '); %24.2789contador=0;%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++% 3 Valores de n que satisfacen las condiciones de contorno.% Gráficamos Q1(teta) para los tres valores mas pequeños de n.% ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

for tetacono=0:1:tetacono1;teta=tetacono*pi/180+(1/frec);contador=contador+1;tetagr1(contador)=tetacono;x=cos(teta);Pnm=legendre(nconta1,x);ndis=nconta1-1;Pnmdism=legendre(ndis,x);[renP colP]=size(Pnm);

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[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);for nval=1:1:renP

Pnm2(nval,nconta1)=Pnm(nval,colP);endfor nvaldis=1:1:renPdis

Pnm2dis(nvaldis,nconta1)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);endn(nconta1)=nconta1;nmas=nconta1+1;QPrimtet1(contador)=[nconta1*cos(teta)*Pnm2(1,nconta1)*(cos(teta))-

(m+nconta1)*Pnm2dis(1,nconta1)*(cos(teta))]/sin(teta);Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta1);Q1teta_nconta1(contador)=nconta1*(nconta1+1)*Qtet(contador);

end

% ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++for tetacono=0:1:tetacono1;

teta=tetacono*pi/180+(1/frec);contador=contador+1;tetagr2(contador)=tetacono;x=cos(teta);Pnm=legendre(nconta2,x);ndis=nconta2-1;Pnmdism=legendre(ndis,x);[renP colP]=size(Pnm);[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);for nval=1:1:renP

Pnm2(nval,nconta2)=Pnm(nval,colP);endfor nvaldis=1:1:renPdis

Pnm2dis(nvaldis,nconta2)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);endn(nconta2)=nconta2;nmas=nconta2+1;QPrimtet2(contador)=[nconta2*cos(teta)*Pnm2(1,nconta2)*(cos(teta))-

(m+nconta2)*Pnm2dis(1,nconta2)*(cos(teta))]/sin(teta);Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta2);Q1teta_nconta2(contador)=nconta2*(nconta2+1)*Qtet(contador);

end

% ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++for tetacono=0:1:tetacono1;

teta=tetacono*pi/180+(1/frec);contador=contador+1;tetagr3(contador)=tetacono;x=cos(teta);Pnm=legendre(nconta3,x);ndis=nconta3-1;Pnmdism=legendre(ndis,x);[renP colP]=size(Pnm);[renPdis colPdis]=size(Pnmdism);for nval=1:1:renP

Pnm2(nval,nconta3)=Pnm(nval,colP);endfor nvaldis=1:1:renPdis

Pnm2dis(nvaldis,nconta3)=Pnmdism(nvaldis,colPdis);endn(nconta3)=nconta3;nmas=nconta3+1;QPrimtet3(contador)=[nconta3*cos(teta)*Pnm2(1,nconta3)*(cos(teta))-

(m+nconta3)*Pnm2dis(1,nconta3)*(cos(teta))]/sin(teta);Qtet(contador)=Pnm2(1,nconta3);Q1teta_nconta3(contador)=nconta3*(nconta3+1)*Qtet(contador);

end

x0=(0:.01:tetacono1); figure;

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plot(tetagr1,Q1teta_nconta1,'b',tetagr2,Q1teta_nconta2,'g--',tetagr3,Q1teta_nconta3,'r-*')hold on; plot(x0,0,'k-'); grid; hold offtitle('Q_{1}(\theta) para valores de n que satisfacen la condiciónde contorno')xlabel('\theta'); ylabel('Q_{1}(\theta)');legend('n=6','n=15','n=24')%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++% Para los modos tranversales TM% +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++C=3e8;conR=0;cont=0;cont2=0; cont3=0;n=input('Proporcione el menor valor de n: ');k=omega/C;

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++% Condiciones de frontera de las tapas esfericas de la cavidad conica.% Para gráficar a K con respecto de alfa tenemos que hacer R1^{alfa}(r1)=0% y R1^{alfa}(r2)=0, despejando la ecuación obtenemos algo asi:%% alfa=arcotan(Rmas(r1)/Rmenos(r1))% alfa=arcotan(Rmas(r2)/Rmenos(r2))%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

r1=radio1; r2=radio2; %los radios estan dados en centimetrosk1=[0:.01:k]; [tamhk1,tamk1]=size(k1);

for apk1=1:1:tamk1k1var=k1(apk1);cont=cont+1;J1masr1(cont,1)=besselj(n+.5,k1var*r1); J1menosr1(cont,1)=besselj(-n-.5,k1var*r1);J2masr1(cont,1)=besselj(n-.5,k1var*r1); J2menosr1(cont,1)=besselj(-n+.5,k1var*r1);J3masr1(cont,1)=besselj(n+1.5,k1var*r1); J3menosr1(cont,1)=besselj(-n-1.5,k1var*r1);

Rmasr1(cont,1) =(0.5)*[(J1masr1(cont,1).*(1/sqrt(r1^3)))+((J2masr1(cont,1)-J3masr1(cont,1)).*(k1var/sqrt(r1)))];Rmenosr1(cont,1)=(0.5)*[(J1menosr1(cont,1).*(1/sqrt(r1^3)))+((J2menosr1(cont,1)-

J3menosr1(cont,1)).*(k1var/sqrt(r1)))];

alfar1(cont,1)=atan(Rmasr1(cont,1)/Rmenosr1(cont,1));end

for apk1=1:1:tamk1k1var=k1(apk1);cont2=cont2+1;J1masr2(cont2,1)=besselj(n+.5,k1var*r2); J1menosr2(cont2,1)=besselj(-n-.5,k1var*r2);J2masr2(cont2,1)=besselj(n-.5,k1var*r2); J2menosr2(cont2,1)=besselj(-n+.5,k1var*r2);J3masr2(cont2,1)=besselj(n+1.5,k1var*r2); J3menosr2(cont2,1)=besselj(-n-1.5,k1var*r2);

Rmasr2(cont2,1) =(0.5)*[(J1masr2(cont2,1).*(1/sqrt(r2^3)))+((J2masr2(cont2,1)-J3masr2(cont2,1)).*(k1var/sqrt(r2)))];

Rmenosr2(cont2,1)=(0.5)*[(J1menosr2(cont2,1).*(1/sqrt(r2^3)))+((J2menosr2(cont2,1)-J3menosr2(cont2,1)).*(k1var/sqrt(r2)))];

alfar2(cont2,1)=atan(Rmasr2(cont2,1)/Rmenosr2(cont2,1));end

figure;subplot(1,2,1); plot(alfar1(:,1),k1,'r',alfar2(:,1),k1,'g-')axis([0,0.5,0,26])xlabel('\alpha'); ylabel('k');title({'Condiciones de frontera eligiendo \alpha y \omega adecuadamente';'para r1=0.3 cm y r2=10 cm'})legend('r1','r2','location','SouthEast')subplot(1,2,2); plot(alfar1(:,1),k1,'r',alfar2(:,1),k1,'g-')

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axis([-0.003,0.005,0,1.5])xlabel('\alpha'); ylabel('k');title({'Condiciones de frontera eligiendo \alpha y \omega adecuadamente';'para r1=0.3 cm y r2=10 cm con zoom a lazona de interes'})legend('r1','r2','location','SouthWest')

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++% A continuacion se presentan los vales mas pequeños de k de la gráfica% anterior:% Gráfica de R1^{alfa}(r) con dichas k's (condiciones de frontera)%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

%+++++++++++++++++++++++++++++%kcf1=input('Proporciona el 1er valor menor de k: ');alfa=input('Proporciona el 1er valor menor de alfa: ');%+++++++++++++++++++++++++++++%

radio=[radio1:.1:radio2];[tamhradio tamradio]=size(radio);for apradio=1:1:tamradio

radiovar=radio(apradio);conR=conR+1;valradio(conR,1)=radiovar;

J1mas(conR,1)=besselj(n+.5,kcf1*radiovar); J1menos(conR,1)=besselj(-n-.5,kcf1*radiovar);J2mas(conR,1)=besselj(n-.5,kcf1*radiovar); J2menos(conR,1)=besselj(-n+.5,kcf1*radiovar);J3mas(conR,1)=besselj(n+1.5,kcf1*radiovar); J3menos(conR,1)=besselj(-n-1.5,kcf1*radiovar);

Rmas(conR,1) =(0.5)*[(J1mas(conR).*(1/sqrt(radiovar^3)))+((J2mas(conR)-J3mas(conR)).*(kcf1/sqrt(radiovar)))];

Rmenos(conR,1)=(0.5)*[(J1menos(conR).*(1/sqrt(radiovar^3)))+((J2menos(conR)-J3menos(conR)).*(kcf1/sqrt(radiovar)))];

R1alfa(conR,1)=cos(alfa)*Rmas(conR)+sin(alfa)*Rmenos(conR);end

%+++++++++++++++++++++++++++++%kcf2=input('Proporciona el 2do valor menor de k: ');alfa2=input('Proporciona el 2do valor menor de alfa: ');%+++++++++++++++++++++++++++++%

conR=0;for apradio=1:1:tamradio

radiovar=radio(apradio);conR=conR+1;valradio(conR,1)=radiovar;

J1mas(conR,1)=besselj(n+.5,kcf2*radiovar); J1menos(conR,1)=besselj(-n-.5,kcf2*radiovar);J2mas(conR,1)=besselj(n-.5,kcf2*radiovar); J2menos(conR,1)=besselj(-n+.5,kcf2*radiovar);J3mas(conR,1)=besselj(n+1.5,kcf2*radiovar); J3menos(conR,1)=besselj(-n-1.5,kcf2*radiovar);

Rmas(conR,1) =(0.5)*[(J1mas(conR).*(1/sqrt(radiovar^3)))+((J2mas(conR)-J3mas(conR)).*(kcf2/sqrt(radiovar)))];

Rmenos(conR,1)=(0.5)*[(J1menos(conR).*(1/sqrt(radiovar^3)))+((J2menos(conR)-J3menos(conR)).*(kcf2/sqrt(radiovar)))];

R1alfa2(conR,1)=cos(alfa2)*Rmas(conR)+sin(alfa2)*Rmenos(conR);end

%+++++++++++++++++++++++++++++%kcf3=input('Proporciona el 3er valor menor de k: ');alfa3=input('Proporciona el 3er valor menor de alfa: ');%+++++++++++++++++++++++++++++%

conR=0;for apradio=1:1:tamradio

radiovar=radio(apradio);conR=conR+1;valradio(conR,1)=radiovar;

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J1mas(conR,1)=besselj(n+.5,kcf3*radiovar); J1menos(conR,1)=besselj(-n-.5,kcf3*radiovar);J2mas(conR,1)=besselj(n-.5,kcf3*radiovar); J2menos(conR,1)=besselj(-n+.5,kcf3*radiovar);J3mas(conR,1)=besselj(n+1.5,kcf3*radiovar); J3menos(conR,1)=besselj(-n-1.5,kcf3*radiovar);

Rmas(conR,1) =(0.5)*[(J1mas(conR).*(1/sqrt(radiovar^3)))+((J2mas(conR)-J3mas(conR)).*(kcf3/sqrt(radiovar)))];

Rmenos(conR,1)=(0.5)*[(J1menos(conR).*(1/sqrt(radiovar^3)))+((J2menos(conR)-J3menos(conR)).*(kcf3/sqrt(radiovar)))];

R1alfa3(conR,1)=cos(alfa3)*Rmas(conR)+sin(alfa3)*Rmenos(conR);endx1=[0:.01:valradio];figure; plot(valradio,R1alfa(:,1),'r',valradio,R1alfa2(:,1),'b-',valradio,R1alfa3(:,1),'g-');hold on; plot (x1,0,'k-'); grid; hold off;xlabel('r'); ylabel('R_{1}^{\alpha}(r)');title('Gráfica para los tres valores mas pequeños de k')

%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++% Para gráficar el campo electrico Er, Eteta%++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

x=cos(teta);k=input('Dame el valor mas pequeño de k para determinar E: ');n=input('Dame el valor mas pequeño de n para determinar E: ');r=10;Pnm=legendre(n,x);[tamhPnm tamPnm]=size(Pnm);

%Radio del cono, r1=0.3, r2=10 [cm] ;%r1:radio donde se inyecta la señal, r2: radio del casquete semi esférico

rcone=[radio1:1.7:radio2];[tamhrcone,tamrcone]=size(rcone);

%Funciones Bessel que forman parte de f(r,teta,fi)Jr=besselj(n+.5,k*rcone);[tamhJr tamJr]=size(Jr);Jr32=besselj(n+1.5,k*rcone);[tamhJr32 tamJr32]=size(Jr32);nmenos1=n-1;

%Función Legendre que forma parte de f(r,teta,fi)Pnm_menos1=legendre(nmenos1,x); %Su deribada es Q(teta)[renPdis colPdis]=size(Pnm_menos1);

epsilon=8.85*10^-12;contador=0;for aptPnm=1:1:tamhPnm-1

contador=contador+1;valPnm(contador)=Pnm(aptPnm)valPnm_menos1(contador)=Pnm_menos1(aptPnm);valJr(contador)=Jr(aptPnm)valJr32(contador)=Jr32(aptPnm);rconevar=rcone(aptPnm);Gnr(contador,1)=((1/(sqrt(r^3)))*(valJr(contador)))-((1/sqrt(r))*valJr32(contador));Qtheta=((n*x*valPnm(contador))-((n)*Pnm_menos1))/(sin(teta));Er(contador,1)=((n*(n+1)*k)/((k*r)^(3/2)))*valPnm(contador)*valJr(contador)*10e-3;Efhi(contador,1)=-Gnr(contador)*(1/sin(teta))*valPnm(contador)*10e-3;Etheta(contador,1)=Gnr(contador)*Qtheta(contador)*10e-3;sigma(contador,1)=epsilon*Er(contador,1);

end

figure;plot(rcone,Er(:,1),'*'); gridxlabel('r [cm]'); ylabel('E_{r}');title({'Campo E_r que varia en función de r';'para r_{1}=0.3 cm y r_{2}=10 cm'})

theta=[-19:6.7:19];figure;plot(theta,Efhi(:,1),'*');gridxlabel('\phi [grados]'); ylabel('E_{\phi}');title({'Campo E_\phi que varia en función de \phi';'para \phi[-20 a 20] grados '})