Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología ...

Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología

Avanzada del Instituto Politécnico Nacional

Filtrado de señales estacionarias por deconvolución: estimación de parámetros.

Tesis que para obtener el grado de Doctorado en Tecnología Avanzada Presenta:

Consuelo Varinia García Mendoza

Directores de Tesis:

Dr. José de Jesús Medel Juárez

Dr. Pedro Guevara López

Diciembre de 2009

Resumen

En este trabajo se presenta un estimador de parámetros recursivo con base al modelo matricial

de deconvolución como proceso de filtrado, con el cual es posible conocer la dinámica interna del

modelo tipo caja negra con respuesta lineal, y con evolución invariante en el tiempo.

La extensión del proceso de convolución a un periodo de tiempo conformado por un

grupo de intervalos en los cuales el sistema no cambia de contexto, permite hacer una

aproximación al producto matricial con base en el cual el sistema real, dadas sus entradas y

salidas dentro de ese periodo de tiempo, será visto como un sistema multivariable al no cambiar

de contexto y al mantener sus condiciones de invariancia, de manera que es necesario el uso de la

pseudoinversa en la estimación, ya que se observan problemas de inversión y de singularidad en

su desarrollo. De igual forma, las medidas de dispersión respecto a una referencia, considerando

la traza tanto de la matriz de referencia como de su estimada, permiten describir al error

cuadrático medio, error en decibeles y Bode, todos desarrollados de manera recursiva,

estableciendo un enlace con sus estados inmediatos anteriores para el consumo de la menor

cantidad de recursos computacionales.

Se realiza una descripción de las condiciones de estabilidad a cubrir por el estimador

tomado en cuenta los criterios de Lyapunov. De manera ilustrativa, se presentó una simulación

utilizando MatLab® ver. 7, en la que las formas extendidas dentro de un intervalo de tiempo son

vistas como matrices no cuadradas, permaneciendo el sistema invariante respecto a un vector de

entrada, y se tiene como resultado un proceso de estimación recursivo. Se concluyó que en el

proceso de deconvolución, la estimación extendida es una herramienta para sistemas no

cuadrados con evolución invariante en el tiempo.

En la investigación del estado del arte nos encontramos con diversos filtros como son el

filtro de mínimos cuadrados, Wiener y De la Rosa por lo cual nos dimos a la tarea de

desarrollarlos bajo los modelos de convolución y deconvolución expresados en diferencias finitas

y utilizarlos como referencia en el análisis del desempeño del estimador propuesto en esta tesis.

Por otra parte se presenta una aplicación del filtro estimador como un estimador del ruido

el modem QPSK.

Descriptores: Deconvolución, pseudoinversa de un matriz, funcional del error, diagrama

recursivo de Bode, estabilidad de Lyapunov.

Abstract

This work presents a parameter estimator in recursive form based in deconvolution matrix model

as a discrete filter process, in which is possible to know the internal convolution dynamics

respect to black box with time invariant lineal answer. Extending the convolution process to a

period conformed by a group of intervals where the system doesn’t change, allows the

approximation to matrix description in base to the real system, giving their inputs and outputs in

the same period, generating a multivariable description, without change the context holding its

invariance conditions, needs the pseudoinverse estimation, because observe in it singularities and

inversion problems. In the same way the dispersion measures respect to the reference,

considering the trace as the reference matrix as its estimated, described by the mean square error,

Decibels and Bode, all of its developed in recursive form, allowing to link between its immediate

past states to consume the minimal computational resources.

The stability conditions evolved required estimator, considered in this case the Lyapunov

Criteria. In illustrative sense, develop us the simulation in where the extended matrixes are non

square form and bounded temporally into time interval, considering time invariant conditions

respect to bounded input, having a recursive estimator as a final result. In this work concluded

considering that the deconvolution as an estimator is a tool required for non square systems

invariant in the time.

In the state of the art research we find various filters such as least-squares filter, Wiener

and De la Rosa for this reason we developing them under the convolution and deconvolution

models, and use them as reference in the analysis of performance of the estimator filter proposed

in this thesis.

Also presents an application of the estimator filter as an estimator filter of noise on QPSK

modem.

Keywords: Deconvolution, inverse matrix, pseudoinverse, functional error, recursively,

Lyapunov stability.

ÍNDICE

CAPITULO 1. EL PROBLEMA DE ESTIMACION DE PARAMETROS

1.1 Introducción _________________________________________________ 1

1.2 Planteamiento del Problema ______________________________________ 3

1.3 Hipótesis __________________________________________________ 4

1.4 Justificación __________________________________________________ 4

1.5 Objetivos __________________________________________________ 5

1.5.1 Objetivo General ______________________________________ 5

1.5.2 Objetivos Específicos ________________________________ 5

CAPITULO 2. ESTADO DEL ARTE DE MODELOS DE DECONVOLUCIÓN

2.1 Estado del arte de modelos de deconvolución ____________________ 6

2.2 Comentarios __________________________________________________8

CAPITULO 3. RESULTADOS TEÓRICOS

3.1 Convolución en diferencias finitas _______________________________ 10

3.2 Modelos de deconvolución matricial _______________________________ 11

3.3 Convolución por transformada de Fourier _________________________ 12

3.3.1 Convolución en diferencias finitas _________________________ 12

3.3.2 Convolución recursiva en diferencias finitas _____________ 12

3.4 Convolución por transformada Z _______________________________ 13

3.4.1 Convolución en diferencias finitas _________________________ 13

3.4.2 Convolución recursiva en diferencias finitas _____________ 13

3.5 Descripción de errores de manera recursiva _________________________ 14

3.5.1 Error cuadrático medio _________________________________ 14

3.5.2 Error expresado en decibeles _________________________________ 14

3.5.3 Error expresado en Bode _________________________________ 15

3.6 Modelos desarrollados a través de la convolución en diferencias finitas ____15

3.6.1 Modelo de deconvolución basado en un modelo de

identificación de sistemas __________________________________15

3.6.1.1 Simulación __________________________________16

3.6.2 Estimador por Mínimos Cuadrados ____________________________18

3.6.2.1 Simulación __________________________________19

3.6.3 Filtro de Wiener ________________________________________20

3.6.3.1 Simulación __________________________________21

CAPITULO 4. FILTRO ESTIMADOR POR DECONVOLUCIÓN

4.1 Filtro estimador por deconvolución ___________________________ 24

4.2 Filtro estimador por deconvolución de forma recursiva __________ 25

4.3 Estabilidad del filtro estimador ____________________________25

4.4 Simulación _____________________________________________ 26

4.5 Propuesta de aplicación del filtro estimador por deconvolución como

estimador de ruido en el modem QPSK _____________________ 31

CAPITULO 5 . CONCLUSIONES

5.1 Conclusiones ___________________________________________________ 36

Referencias _______________________________________________________________ 38

Anexo 1. Pruebas ___________________________________________________ 41

Anexo 2. Programas ___________________________________________________ 59

Anexo 3. Procesos Estocásticos _____________________________________________ 66

1

CAPITULO 1 El problema de estimación de parámetros

1.1 Introducción

La idea de la deconvolución, ha sido utilizada en diferentes áreas del quehacer humano

con el objetivo de describir qué es lo que ocurre con alguna de las dos señales (de acuerdo con la

figura 0) que conforman al sistema, con la menor cantidad de pérdidas de información posible. La

deconvolución es analizada por diferentes métodos, tales como los vistos en las referencias: [1],

[2], [3], [4], [8], [9], [11], [14], [23] y [24], por ejemplo: deconvolución ciega, iterativa, basada

en un método de estimación de sistemas, etc. Todos esos métodos buscan minimizar el error

generado respecto a la señal original y su identificada y así minimizar éste en función a la señal

original.

La deconvolución como concepto de acuerdo con la figura 0, ha sido usada para la

restauración de información degradada por cualquier proceso físico [11].

Se han utilizado diversas técnicas en la búsqueda de 𝐺(𝑡 − 𝑥) para evitar la degradación de la

señal a estimar, por ejemplo, los algoritmos iterativos como el de estimación de máxima

verosimilitud en microscopía, que es referente al filtrado en el proceso de reconstrucción de

imágenes, como se observa en la figura 1, [2]; la deconvolución ciega en astronomía, que

sucesivamente va mejorando una estimación inicial del objeto real hasta alcanzar cierto criterio

de calidad preestablecida respecto al modelo de referencia.

Figura 0 Diagrama a bloques del sistema visto como un modelo tipo caja negra.

𝐺(𝑡 − 𝑥) 𝐹(𝑡) 𝐶(𝑡)

2

En el análisis de medidas sísmicas por el método de división espectral [3]; o mediante la

transformación discreta de paquetes de ondeletas [2]. Específicamente Snieder [23] propuso una

técnica para obtener la respuesta sísmica de un edificio basada en la deconvolución de los

movimientos registrados en los diferentes niveles de la construcción y observando la respuesta

estructural respecto a las vibraciones del suelo como se observa en la figura 2.

El uso de transformaciones lineales, ha ocasionado que dé como resultado una

divergencia respecto a la información esperada [14]. ¿Qué es lo que sucede? básicamente se diría

que hay pérdida de información durante la transformación directa (convolución) e inversa

(deconvolución), y que esa pérdida es sumada a las pérdidas ya existentes en la propia

información al viajar de un dispositivo a otro, o al cambiar de medio [20].

Figura 1 Diagrama a bloques del proceso de formación de una imagen degradada a

causa de desenfoque y ruido de la cámara.

Figura 2 Diagrama a bloques de la respuesta sísmica de un edificio de acuerdo al

modelo tipo caja negra

Vibraciones del

suelo por un

acelerógrafo

Movimientos de los

diferentes niveles de

construcción

registrados por los

acelerógrafos

Respuesta sísmica del

edificio

Desenfoque y

Ruido

Imagen

Degradada

Objeto

Real

3

La deconvolución vista como un proceso de filtrado cuenta con dos áreas básicas:

estimación de parámetros e identificación de estados, [9] y [14].

Se ha enfocado este trabajo a la estimación de parámetros, al sentar las bases que permitan

dar sustento a la reconstrucción de señales, como por ejemplo se pueden citar a [4] y [14].

Para lograr esta etapa de filtrado (la deconvolución), es necesario considerar sus

propiedades matriciales establecidas entre los vectores 𝐹(𝑡) y 𝐶(𝑡), que permiten llegar a la

señal deseada 𝐺 (𝑡 − 𝑥) de acuerdo con un criterio previamente establecido. Lo que permite

contar con la menor perdida de información, observando a la deconvolución como una matriz de

parámetros y no tan solo con una secuencia, como puede verse en [10], [12] y [20].

De forma que el estimador propuesto presenta un mayor nivel de convergencia con

respecto a los resultados descritos en [4] y [6], al usar el método del rotacional [15] lo que

permitió observar que el estimador es óptimo.

1.2 Planteamiento del Problema

La convolución 𝐶(𝑡) es el resultado del producto interno entre un modelo tipo caja negra

retardado 𝐺(𝑡 − 𝑥) , y la señal de excitación 𝐹(𝑡) como se observa en la figura 3.

Figura 3 Diagrama a bloques del sistema visto como un modelo tipo caja negra.

En el modelo tipo caja negra no se conoce la dinámica interna del sistema, que en función

de la figura 3, es descrita por 𝐺(𝑡 − 𝑥) . Entonces es necesario preguntarse cómo evoluciona

𝐺(𝑡 − 𝑥) al ser conocidas la señal de excitación 𝐹(𝑡) y la señal de respuesta𝐶(𝑡).

Para conocer cómo evoluciona 𝐺(𝑡 − 𝑥) se requiere de la operación inversa, la

deconvolución.

𝐺(𝑡 − 𝑥) 𝐹(𝑡) 𝐶(𝑡)

4

1.3 Hipótesis

¿Es posible desarrollar un filtro descriptor de las dinámicas internas de un sistema tipo caja negra

a través del proceso de deconvolución de forma recursiva?

1.4 Justificación

En el desarrollo de la teoría de control, el filtrado ha tenido un auge importante dada la necesidad

de describir las condiciones requeridas para llevar a un sistema hacia una referencia.

En los trabajos desarrollados en el siglo pasado al respecto, se considero realizar una

transformación lineal a través de Laplace, por ejemplo; llevando a describir la dinámica interna

del sistema (caja negra) en una vecindad de lo que debería ser correcto, perdiendo calidad y

ganando sencillez en su implementación. Base sobre la cual, los filtros digitales tuvieron su auge

y se convirtieron en herramientas para la predicción de comportamiento de sistemas específicos,

tales como la descripción de la trayectoria del Apolo 11 por medio del filtro de Kalman. Filtrado

que requería de un grupo de heurísticas que permitieran conocer la dinámica de las ganancias

dentro de la caja negra para realizar la descripción y predicción que se requería sobre su

comportamiento. Que llegó al grado de integrar a la Inteligencia Artificial, para a través de rasgos

de experiencia minimizar la selección de las mejores “reglas de evolución” de esas ganancias.

El problema del filtrado no había sido resuelto sino evadido y solventado por ciencias

auxiliares, no importando la cantidad de recursos de computo que se requirieran para dar una

respuesta considerada confiable o adecuada para un caso en específico.

Estas circunstancias, la de realizar una transformación lineal de un proceso de

convolución, en un tiempo específico es vista tan solo como un producto punto con ganancias y

señales de excitación fijas; entonces cómo lograr describir la dinámica del sistema visto como

5

caja negra, si este tiene una evolución temporal para las condiciones de excitación y de medio

ambiente en donde se encuentre.

1.5 Objetivos

1.5.1 Objetivo General

Desarrollar un filtro estimador recursivo discreto a través de la deconvolución para sistemas de

primer orden, lineales e invariantes en el tiempo.

1.5.2 Objetivos Específicos

Desarrollar la convolución discreta.

Desarrollar la deconvolución.

Desarrollo completo de los teoremas de convolución de Fourier y Z en forma recursiva.

Desarrollar otros filtros para tener una referencia sobre el desempeño del filtro estimador

propuesto.

Desarrollar el filtro estimador por deconvolución.

Garantizar la estabilidad del estimador.

Desarrollar de forma recursiva al error cuadrático medio, decibeles y Bode para observar en

línea la convergencia de los estimadores.

Proponer una aplicación del filtro.

6

CAPITULO 2. Estado del arte de los modelos de deconvolución

Parte importante de este trabajo es presentar los trabajos que se han realizado para estimar,

representar y analizar la dinámica de los sistema vistos como móldelos tipo caja negra.

2.1 Estado del arte de los modelos de deconvolución

Oppenheim y Ogata en [20] y [19] mencionan que las señales se pueden representar como una

combinación lineal de impulsos retardados y que este hecho junto con las propiedades de

superposición e invariancia en el tiempo permite realizar una caracterización completa de

cualquier sistema estacionario en términos de su respuesta a un sistema unitario. A esta

representación la llama suma de convolución en el caso discreto:

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘 𝑕[𝑛 − 𝑘]

∞

𝑘=−∞

(1)

Por su parte autores como Holbrook, Kreysig [10] y [12] indican que la integral de

convolución de las funciones 𝑓 y 𝑔 , en el caso continuo está dada por:

𝑕 𝑥 = 𝑓 ∗ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑝 𝑔 𝑥 − 𝑝 𝑑𝑝 = 𝑓 𝑥 − 𝑝 𝑔 𝑝 𝑑𝑝∞

−∞

∞

−∞

(2)

Autores como Cordero y Glen [3], [26] mencionan que las herramientas del análisis de

Fourier son útiles en el análisis de vibraciones. Esto se debe a que las vibraciones se puede

representar mediante una combinación lineal de exponenciales complejos. La transformada

continua de Fourier proporciona una representación para vibraciones como combinaciones

lineales de exponenciales complejas de la forma 𝑒𝑗𝑤𝑡 . También mencionan que la interacción

entre las vibraciones 𝐹 𝑡 y 𝐺(𝑡 − 𝑥) de la figura 3, está dada por la transformada de Fourier de

la convolución entre ellas:

ℱ 𝐹 ∗ 𝐺 = 2𝜋 ℱ(𝐹)ℱ(𝐺) (3)

7

Snieder en [23] propone una técnica para obtener la respuesta sísmica de un edificio

𝐺(𝑡 − 𝑥) basada en la deconvolución en el dominio de la frecuencia. La cual es representada

como la división de las transformadas de Fourier de las señales a deconvolucionar y se expresa

como:

ℱ 𝐺 =ℱ 𝐹 ∗ 𝐺

ℱ 𝐹 (4)

Grewal y Haykin mencionan en [8] y [9], respectivamente que uno de los estimadores

más importantes es el filtro de Wiener, que en su forma más general, consiste en una señal de

entrada 𝑥 𝑛 , una respuesta deseada 𝑑(𝑛), y un filtro lineal de respuesta impulsional 𝑕(𝑛).

Este filtro es alimentado por 𝑥(𝑛) y produce a su salida 𝑦(𝑛). La diferencia entre la señal

deseada 𝑑 𝑛 , y la señal de salida del filtro 𝑦(𝑛), es el error de estimación 𝑒(𝑛), como se

observa en la figura 5.

Figura 5. Filtro de Wiener

El objetivo del filtrado de Wiener es determinar la respuesta al impulso del sistema 𝑕(𝑛)

de forma que el error 𝑒(𝑛) sea, en un sentido estocástico, lo más pequeño posible, a través de la

minimización del valor cuadrático medio del error.

Figura 4. Diagrama a bloques del sistema de vibraciones visto como un modelo tipo

caja negra.

𝐺(𝑡 − 𝑥) 𝐹(𝑡) 𝐶(𝑡)

𝑥(𝑛)

𝑕(𝑛)

𝑑(𝑛)

𝑒(𝑛)

𝑦(𝑛)

8

𝜉 = 𝐸 𝑒2 𝑛 (5)

Esta función de costo posee una dependencia de segundo orden con los coeficientes del

filtro, y tiene un mínimo que determina los coeficientes óptimos, es decir, el mejor diseño del

filtro.

Heimer y Cohen en [28] presentan un algoritmo de deconvolución ciega (la entrada y el

sistema mismo son desconocidos, de los cuales sólo se conoce la salida) multicanal de señales

sísmica a través de las capas de la Tierra tomando como base el modelo estocástico de Markov-

Bernuolli.

Dupré, Fadili y Starck en [29] proponen un algoritmo de deconvolución de imágenes, a

través de la transformada wavelet, cuando los datos están contaminados por ruido de Poisson,

proponiendo su aplicación en astronomía y microscopia.

En [30] Vonesch y Unser presentan un algoritmo de deconvolución utilizando la

transformada wavelet. Minimizan una base de datos de un modelo de segundo grado lo cual les

permite implementar su algoritmo en microscopia 3-D.

Cornwell en [31] menciona que en radioastronomía el algoritmo de filtrado más utilizado

es el algoritmo de limpieza propuesto por Högbom [27] el cual iterativamente minimiza el error

de la imagen sucia obtenida con la transformada inversa de Fourier.

Zhou y Do en [32] presentan un método de deconvolución multidimensional a través de

la inversa de la matriz de convolución y utilizando bases de Gröbner.

De la Rosa en [4] propone un modelo de deconvolución basada en el modelo de

identificación de sistemas (Mc Bride [33]), en donde la señal estimada es representada por series

de Fourier y el proceso de deconvolución se logra a través de la inversión de una matriz de

coeficientes.

2.2 Comentarios

Gran parte de los algoritmos de deconvolución desarrollados, que tienen aplicación en

análisis de de vibraciones, microscopia y astronomía, se basan en el análisis de Fourier [4], [8],

9

[9], [23], [26], [31], específicamente en su transformada o en un tipo especial de la transformada

de Fourier; la transformada wavelet de acuerdo con [2], [3], [29] y [30].

También se han utilizado el filtro de Wiener [8] y [9], en algoritmos de deconvolución

ciega [28], en donde solo es conocida la salida del sistema, sin embargo la teoría de Wiener

propone al sistema como un modelo caja negra en donde son conocidas tanto las entradas y

salidas del mismo.

Además en algunos trabajos se menciona que el proceso de deconvolución se lleva a cabo

a través de la inversión de la matriz de convolución o coeficientes [4] y [32]. Sin embargo

revisando la teoría de la convolución es posible identificar que la matriz de convolución es una

matriz singular y por lo tanto no puede ser invertida tradicionalmente a menos que se utilice la

pseudoinversa, de acuerdo con [13] y [18].

10

CAPITULO 3. Resultados Teóricos

En este capítulo se presentan diversos teoremas que fueron desarrollados a lo largo de la tesis.

Los teoremas de convolución y deconvolución que permitieron el desarrollo del filtro estimador

en el capitulo siguiente. La descripción extendida de los teoremas de convolución de Fourie y Z

de acuerdo a la teoría de convolución y su desarrollo en forma recursiva para el caso discreto. La

modificación de los Filtros de De la Rosa, Mínimos Cuadrados y Wiener considerando los

teoremas de convolución y deconvolución propuestos con su respectivas simulaciones que

permiten tener una referencia sobre el desempeño del filtro estimador por deconvolución.

También se desarrollan de forma recursiva al error cuadrático medio, decibeles y Bode para

observar en línea la convergencia de los filtros.

3.1 Convolución en diferencias finitas

Teorema 1 (convolución en diferencias finitas). La convolución en diferencias finitas dentro de

un conjunto de intervalos de tiempo con métricas contenidas en T, está dada de forma matricial:

𝐶(𝑇)𝑚𝑥1 = 𝐺(𝑇)𝑚𝑥𝑛 𝐹(𝑇)𝑛𝑥1 (6)

𝐶 ∈ 𝑅[𝑚𝑥1] es el vector de respuesta, resultado del producto matricial entre la matriz ampliada

𝐺 ∈ 𝑅[𝑚𝑥𝑛] (compuesta por filas de vectores desplazados de acuerdo al intervalo de tiempo

correspondiente) y el vector fijo 𝐹 ∈ 𝑅[𝑛𝑥1], que representa a la ventana de excitación para todos

los intervalos de tiempo con métricas contenidas en la métrica del intervalo de tiempo extendido

T.

Prueba 2 (véase anexo 1).

11

3.2 Modelos de deconvolución matricial

Teorema 2 (primer modelo de deconvolución matricial). La deconvolución para encontrar 𝐹𝑚𝑥1 con

error = 0, donde 𝐺𝑚𝑥𝑚 es una matriz cuadrada no singular, está dada:

𝐹𝑚𝑥1 = 𝐺𝑚𝑥𝑚−1 𝐶𝑚𝑥1 (7)


Teorema 3 (segundo modelo de deconvolución matricial). La deconvolución para encontrar 𝐹𝑚𝑥1 con

error = 0, con 𝐺𝑚𝑥𝑛 que es una matriz ampliada rectangular, se expresa:

𝐹𝑛𝑥1 = 𝐺′𝑛𝑥𝑚 𝐺𝑚𝑥𝑛 + 𝐺′𝑛𝑥𝑚 𝐶𝑚𝑥1 (8)


Teorema 4 (tercer modelo de deconvolución matricial). La deconvolución para encontrar 𝐺𝑚𝑥𝑛 con

error = 0, está dada por:

𝐺𝑚𝑥𝑛 = 𝐶𝑚𝑥1 𝐹′1𝑥𝑛 𝐹𝑛𝑥1 𝐹′1𝑥𝑛 +, 𝑐𝑜𝑛 𝑚 ≠ 𝑛 (9)


12

3.3 Convolución por transformada de Fourier

Ya que gran parte de los algoritmos de deconvolución, que tienen aplicación en microscopia y

astronomía, se basan en la transformada de Fourier o en tipo especial de esta, tal como la

transformada wavelet; se desarrolló la convolución a través de la transformada de Fourier de

acuerdo a la teoría de convolución y su construcción en forma recursiva para el caso discreto, en

los siguientes teoremas.

3.3.1 Convolución en diferencias finitas

Teorema 5 (convolución en diferencias finitas a través de la transformada de Fourier). La

convolución en diferencias finitas a través de la Transformada de Fourier dentro de un conjunto

de intervalos de tiempo con métricas contenidas en T, está dada por:

𝐶𝑠 = 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹(𝑥)

𝑒2𝜋𝑖𝑙𝑥𝑘

𝑛

𝑥=1

𝑚

𝑙=1

𝑠

𝑘=1

(10)

Prueba 5(véase anexo 1).

3.3.2 Convolución recursiva en diferencias finitas.

Teorema 6(convolución recursiva en diferencias finitas a través de la transformada de

Fourier). La convolución recursiva en diferencias finitas a través de la Transformada de Fourier

dentro de un conjunto de intervalos de tiempo con métricas contenidas en T, está dada por:

𝐶𝑠 =𝐺 𝑚− 𝑛 𝐹 𝑛

𝑒2𝜋𝑖𝑚𝑛

𝑠

+ 𝐼𝑛−1 + 𝐻𝑚−1 + 𝐶𝑠−1 (11)


13

3.4 Convolución por transformada Z

3.4.1 Convolución en diferencias finitas

Teorema 7 (convolución en diferencias finitas a través de la Transformada Z). La

convolución en diferencias finitas a través de la Transformada Z dentro de un conjunto de

intervalos de tiempo con métricas contenidas en T, está dada por:

𝐶𝑐 = 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹(𝑥)

𝑧𝑘

𝑛

𝑥=1

𝑚

𝑙=1

𝑠

𝑘=1

(12)


Teorema 8 (convolución recursiva en diferencias finitas a través de la Transformada Z). La

convolución recursiva en diferencias finitas a través de la Transformada Z dentro de un conjunto

de intervalos de tiempo con métricas contenidas en T, está dada por:

𝐶𝑐 =𝐺 𝑚− 𝑛 𝐹(𝑛)

𝑧𝑠+ 𝐹𝑛−1 + 𝐸𝑚−1 + 𝐶𝑐−1 (13)


Como se puede observar al utilizar el teorema 1 en el desarrollo de los teoremas 5 y 7

aparecen términos que no son considerados en los teoremas tradicionales, con lo cual se intuye

que si se utilizaran los teoremas 5 y 7 en los algoritmos de deconvolución desarrollados en las

áreas de microscopia, análisis de vibraciones y astronomía entre otras, se contaría con mayor

información para recuperar las imágenes, señales o vibraciones degradas por algún ruido.

14

3.5 Descripción de errores de manera recursiva

A continuación se presentan tres modelos recursivos para conocer el nivel de convergencia del

los modelos de estimación que se verán más adelante.

3.5.1 Error cuadrático medio

Teorema 9 (error cuadrático medio). El valor medio del error expresado de manera recursiva

(RMSE de sus siglas en inglés: Recursive Mean Square Error) se encuentra en el funcional

descrito por el segundo momento de probabilidad de la diferencia de la traza de la señal original

ampliada (𝑕𝑖 ∶= 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎 ( 𝐺𝑚×𝑛)𝑖) dentro del grupo de intervalos con métricas 𝑡𝑖 ↑ 𝑇, 𝑖 =

1, 𝑛 ,𝑛 ∈ 𝑍+ respecto a la traza estimada (𝑕 𝑖 ≔ 𝑡𝑟𝑎𝑧𝑎 (𝐺 𝑚×𝑛)𝑖), diferencia descrita con base en

el error de estimación, definida como 𝐼𝑖:= 𝑕𝑖 − 𝑕 𝑖:

𝑅𝑀𝑆𝐸𝑛 =1

𝑛 𝐼𝑛

2 + (𝑛 − 1)𝑅𝑀𝑆𝐸𝑛−1 (14)


3.5.2 Error expresado en decibeles

Teorema 10 (error expresado en decibeles). En relación con el teorema 9, de acuerdo con el

error de estimación definido para el presente caso en función de la traza, tanto de la señal de

referencia como de su estimada 𝑒𝑖 ≔ 𝑕𝑖 𝑕 𝑖 . Es descrito en decibeles de forma recursiva:

𝐷𝑛 = 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑛−1

2𝑛 𝑒𝑛

2 + 𝐷𝑛−1 (15)


15

3.5.3 Error expresado en Bode

Teorema 11 (error expresado en Bode). La descripción recursiva de es:

𝐵𝑛 = 5 𝑙𝑜𝑔10 𝑛 − 1

2𝑛 𝑒𝑛

2 + 𝐵𝑛−1 (16)


3.6 Modelos desarrollados a través de la convolución en diferencias finitas

En esta sección se desarrollará el modelo de deconvolución basado en un modelo de

identificación de sistemas, el estimador por mínimos cuadrados y el filtro de Wiener de acuerdo

con los teoremas 1 y 4.

3.6.1 Modelo de deconvolución basado en un modelo de identificación de sistemas

Teorema 12: Considérese un sistema descrito para un conjunto de intervalos de tiempos

ti, 𝑖 = 1,𝑚 , en T.

𝑌′1𝑥𝑚 = 𝐴′

1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚 .

(17)

Donde el vector de parámetros estimado:

𝐴 ′1𝑥𝑚 = 𝑌′1𝑥𝑚𝐸′𝑚𝑥𝑚 (𝐸𝑚𝑥𝑚 𝐸′𝑚𝑥𝑚 )+. (18)


16

Teorema 13: Considérese al sistema (17), su identificador tiene la forma:

𝑌 𝑚𝑥1 = 𝐻𝑚𝑥𝑛 𝑋 𝑛𝑥1 . (19)

El identificador de los estados internos es:

𝑋′ 1𝑥𝑛 = 𝐴 ′1𝑥𝑚

𝜑′𝑚𝑥𝑛

,

(20)

Donde la matriz de funciones de acuerdo con [4]

𝜑𝑛𝑥𝑚 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑚

𝑁 . (21)


3.6.3.1 Simulación

A continuación se presentan las simulaciones en MatLab® ver. 7, del modelo de deconvolución

basado en un modelo de identificación de sistemas (véase programa 1 en anexo 2). Para este

modelo tenemos una señal original descrita como 𝐹 𝑥 = 0.006 ∗ cos 𝑥 + 0.02 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛, y la

salida descrita como 𝐶(𝑦, 𝑥) = 0.3 ∗ cos(𝑦 − 𝑥) + 0.02 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛.

En la figura 6, se observan la señal original F al centro y señal identificada Fe con el

modelo de deconvolución expresado en el teorema 13.

17

Fig. 6 Señal original F al centro y señal identificada Fe

La figura 7 muestra el error cuadrático medio (teorema 9) entre F y su identificación Fe ,

el cual es del orden de 10-4

.

Fig. 7 Funcional del error de la diferencia entre F y su identificación Fe.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Iteración

F,

Fe

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Iteración

RM

SE

18

En la figura 8 se presenta el error de identificación en decibeles (teorema 10) entre la

señal original y su estimada, el cual tuvo un orden de convergencia de 10 4.

Fig. 8 Error de identificación en decibeles.

3.6.2 Estimador por Mínimos Cuadrados

Teorema 14. Dado el sistema del tipo ARMA (22):

𝑦𝑘 = 𝑎𝑦𝑘−1 + 𝑤 𝑘 (1) (22)

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

4

EID

Iteración

19

Su estimador de parámetro 𝑎𝑛 por el método de mínimos cuadrados de manera recursiva es:

𝑎𝑛 = 𝑀𝑛 + 𝑎𝑛−1𝐹𝑛 (2) (23)


3.6.2.1 Simulación

A continuación se presentan las simulaciones en MatLab® ver. 7, del estimador por mínimos

cuadrados (véase programa 2 en anexo 2). Para este estimador tenemos una señal original

descrita como 𝐹 𝑥 = 0.006 ∗ cos 𝑥 + 0.02 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛, y la salida descrita como 𝐶(𝑦, 𝑥) = 0.3 ∗

cos(𝑦 − 𝑥) + 0.02 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛.

En la figura 9, se observan la señale original F al centro y señal identificada Fe con el

estimador por mínimos cuadrados expresado en el teorema 14.

Figura 9. Señal original F al centro y señal identificada Fe

La figura 10 muestra el error cuadrático medio (teorema 9) entre F y su identificación Fe ,

el cual es del orden de 10-5

.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Iteración

F,F

e

20

Figura 10. RMSE de acuerdo con la diferencia entre F y su identificación Fe

3.6.3 Filtro de Wiener modificado a través de la pseudoinversa.

Teorema 15: Considérese al sistema

𝑦 𝑛 = 𝑕 𝑛 ∗ 𝑥 𝑛 (24)

Y que respecto a una referencia d n el error de identificación es descrito como:

𝑒 𝑛 = 𝑑 𝑛 − 𝑦 𝑛 (25)

Donde 𝑒 𝑛 es el error de identificación. La descripción del parámetro interno 𝑕 𝑛 es descrito

como:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

5

10

15

20

25

30

Iteración

RM

SE

21

𝐻𝑚𝑥1 = 𝐸 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝑋𝑚𝑥𝑚 +𝐸 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝐷𝑚𝑥1 (26)


3.6.3.1 Simulación

A continuación se presentan las simulaciones en MatLab® ver. 7, del filtro de Wiener (véase

programa 3 en anexo 2). Para este estimador tenemos una señal original descrita como 𝐹 𝑥 =

0.006 ∗ cos 𝑥 + 0.02 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛, y la salida descrita como 𝐶(𝑦, 𝑥) = 0.3 ∗ cos(𝑦 − 𝑥) + 0.02 ∗

𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛.

En la figura 11, se observan la señal original F al centro y señal identificada Fe con el

filtro de Wiener expresado en el teorema 15.

Figura 11. Señal original F al centro y señal identificada Fe

0 50 100 150 200 250 300-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

Iteración

F,F

e

22

La figura 12 muestra el error cuadrático medio (teorema 9) entre F y su identificación Fe , el cual

es del orden de 10-22

.

Figura 12. RMSE de acuerdo con la diferencia entre F y su identificación Fe

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3x 10

-22

Iteración

RM

SE

23

CAPITULO 4. Filtro estimador por deconvolución.

El problema a resolver como filtro una vez dado un modelo de tipo caja negra es describir la

dinámica interna del sistema; es decir, es necesario preguntarse cómo evoluciona 𝐺𝑚𝑥𝑛 al ser

conocidas, tanto la excitación 𝐹𝑛𝑥1 como la respuesta 𝐶𝑚𝑥1, tal y como se ve en el diagrama a

bloques de la figura 13.

Figura 13. Diagrama a bloques del sistema visto como un modelo tipo caja

negra.

El proceso de estimación, dado el modelo tipo caja negra de acuerdo a la figura 13, ayuda

a conocer la dinámica interna del sistema de referencia 𝐺𝑚𝑥𝑛 . Para ello es necesario saber qué es

lo que entra y sale de la caja con sus retardos, necesitando para ello usar el proceso de

deconvolución. De esta forma, la innovación es descrita por la diferencia existente entre la señal

de respuesta 𝐶𝑚𝑥1 respecto a la señal identificada 𝐶 𝑚𝑥1, teniendo así a dos sistemas en operación

paralela, como se ve en la figura 14.

𝐹𝑛𝑥1 𝐶𝑚𝑥1

24

Figura 14. Diagrama a bloques del sistema visto como un modelo tipo

caja negra y la de su identificador respecto a la dinámica

interna.

Para describir a 𝐺𝑚𝑥𝑛 , que corresponde con el diagrama a bloques a la expresión (6) y por

medio de su estimado 𝐺 𝑚𝑥𝑛 , se requiere considerar el proceso de innovación de la función

convolucionada, y al usar el rotacional del funcional del error, encontrar el valor óptimo para el

sistema identificado 𝐶 𝑚𝑥1.

Como se puede ver en el siguiente resultado, es necesario el uso de la pseudoinversa del

vector de entradas 𝐹 ∈ 𝑅[𝑛×1], evitando que el proceso de estimación contenga una condición de

singularidad.

4.1 Filtro estimador por deconvolución

Teorema 16 (estimador por deconvolución en diferencias finitas). Considérese al sistema

extendido de la expresión (6) dentro de la métrica del intervalo de tiempo T, su respuesta

identificada en relación con la figura 14, es óptima y tiene la forma:

𝐶 𝑚𝑥1 = 𝐺 𝑚𝑥𝑛 𝐹𝑛𝑥1 . (27)

Al ser su estimador 𝐺𝑚𝑥𝑛 una función respecto a la señal de excitación 𝐹𝑛𝑥1 y a la de salida

𝐶𝑚𝑥1:

Caja negra

𝐺 =? 𝐶

𝐶 𝐹

25

𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 = 𝐹𝑛𝑥1 𝐹𝑇

1𝑥𝑛 +𝐹𝑛𝑥1 𝐶

𝑇1𝑥𝑚 (28)

En donde el operador +

en el exponente indica que se ha realizado la pseudoinversa de

acuerdo con [13] y [18].

Comentario. El estimador es óptimo al considerar el punto de equilibrio usado en (101)

para describir (28).


4.2 Filtro estimador por deconvolución de forma recursiva

Teorema 17 (estimador recursivo). El estimador (28), expresado de manera recursiva para

condiciones estacionarias en dos intervalos adyacentes con métricas descritas como T y T – 1, es:

𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 ,𝑇 = 𝑃𝑠𝑛𝑥1,𝑇𝐶𝑇

1𝑥𝑚 ,𝑇+ 𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 ,𝑇−1 (29)


4.3 Estabilidad del filtro estimador

La respuesta del sistema es estable, considerando que al ser un sistema discreto expresado en

diferencias finitas de manera global de acuerdo con (27), existe una descripción de Lyapunov que

cubre la trayectoria del sistema dentro de una región, condición que cubre el estimador,

convergiendo a la matriz de parámetros.

26

Teorema 18 (estabilidad robusta). Considérese el sistema descrito en (6) como un sistema

afín, teniendo la siguiente estructura:

𝐹 𝑇 𝑛𝑥1 = 𝐺 𝑇 𝑛𝑥𝑛𝐹(𝑇 − 𝜀)𝑛𝑥1 (30)

Con 𝐺 𝑇 𝑛𝑥𝑛 : = 𝐼 − 𝐺 𝑇 − 𝜀 𝑛𝑥𝑛 𝜀 , es estable si cumple en el sentido de Lyapunov:

𝑀𝑛×𝑛𝑇 𝑇 𝑃 𝑛×𝑛(𝑇) + 𝑃 𝑛×𝑛 𝑇 𝑀𝑛×𝑛(𝑇) ≤ 0 (29)


4.4 Simulación

En esta sección se considera al contar tan sólo con la información del emisor y del receptor, que

el estimador realice su trabajo de conocer la dinámica interna del modelo tipo caja negra (véase

programa 4 en anexo 2). A continuación se presentan las simulaciones en MatLab®

ver. 7, del

filtro con una señal original descrita como 𝐹 𝑥 = 0.006 ∗ cos 𝑥 + 0.02 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛, y la salida

descrita como 𝐶(𝑦, 𝑥) = 0.3 ∗ cos(𝑦 − 𝑥) + 0.02 ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛.

El problema es encontrar la secuencia de vectores renglón que conforman a la matriz

𝐺 𝑦, 𝑥 , considerando a la señal fija 𝐹 𝑥 para un rango de 9 vectores cada uno de ellos formado

por un vector de 100 elementos. Se tiene de manera secuencial su descripción en la figura 15:

27

Figura 15. Señal original fija F para un intervalo de tiempo de 100 iteraciones

evolucionando 9 veces.

La respuesta de salida del sistema descrito en (6), dada su condición interna, fue simulada

y se presenta en la figura 16.

Figura 16. Señal de salida 𝐶𝑚𝑥1 vista a través de las 900 iteraciones.

De acuerdo con la figura 14, dada la excitación y la respuesta del sistema (6), así como la

matriz extendida formada por los 9 vectores fila, se presenta de manera ilustrativa como una

secuencia de 900 iteraciones. La estimación de acuerdo con la expresión (29) se presenta en la

figura 17.

28

Figura 17. Señal estimada 𝐺 de acuerdo con (4), escribiendo a sus 900

elementos de forma secuencial respecto de 𝐺.

Con el funcional del error descrito en (14), obtenido de manera recursiva a través de las

trazas de las matrices extendidas 𝐺 y 𝐺 , fue posible observar el nivel de convergencia como lo

muestra el resultado en la figura 18.

Figura 18. Funcional del error descrito como RMSE de acuerdo con (14) y a las

trazas de las matrices extendidas 𝐺 y 𝐺 .

0 100 200 300 400 500 600 700 800 9000

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

Iteración

RM

SE

29

Se presenta el error de estimación en decibeles entre la señal original y su estimada de

acuerdo con (15), observando en la figura 19, que hay un decaimiento que permite decir que el

estimador converge a la información de la señal de referencia

Figura 19. Error de estimación en decibeles (D) de acuerdo con (15) para las 900

iteraciones.

Haciendo variar la amplitud de los ruidos tanto de la señal de entrada como de salida de

acuerdo con las siguientes reglas: 𝐹 𝑥 𝑠 = 0.006 ∗ cos 𝑥 + 0.02 ∗ (𝑠

𝑠−1) ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛, 𝐶(𝑦, 𝑥)𝑠 =

0.3 ∗ cos(𝑦 − 𝑥) + 0.02 ∗ (1

𝑠−1)∗ ∗ 𝑟𝑎𝑛𝑑𝑛, con 𝑠 = 1,10 , que representa el hacer que el sistema

evolucione en este caso 9000 veces, pero que en cada 900 iteraciones se reinicia y se incremente

s en una unidad hasta llegar a nueve. El resultado son 10 gráficas de funcionales de error que, al

sobreponerlas, son ilustradas en la figura 20.

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0x 10

4

EID

Iteración

30

Figura 20. Funcional del error descrito como RMSE de acuerdo con (14) y a

la variación de los ruidos tanto en C como en F.

El estimador recursivo que se encuentra en función de dos estados de tiempo adyacentes

(su presente y su pasado inmediato), logra describir de una manera aproximada el

comportamiento interno del sistema convolucionado dentro de un intervalo de tiempo. La

secuencia de matrices en la convolución permitió construir un sistema extendido formado por

vectores fila, que al momento de realizar la simulación, permite establecerlos como una secuencia

dentro de un proceso, como se puede observar en las figuras 15, 16, 17.

31

4.5 Aplicación del filtro estimador para describir el ruido en una red LAN.

Como se observa en la figura 21, cuando la señal de red viaja a través de la línea eléctrica de un

emisor a un receptor con la tecnología PLC (Power Line Comunications), la señal de red emitida

es perturbada por el ruido en la línea eléctrica, es decir la señal de red es convolucionada con el

ruido que hay en la línea eléctrica, y por lo tanto la señal que llega al receptor ya no es la misma

a la que fue emitida como se comenta en [34].

Figura 21. Red LAN a través de la línea eléctrica.

La señal de red emitida se observa en la figura 22.

32

Figura 22. Señal de red

Utilizando el Filtro por Deconvolción (22) es posible describir el ruido que afecta a la

señal de red como se muestra en la figura 23.

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

Iteración

Señal de R

ed

0 50 100 150 200 250 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Iteración

Ruid

o E

stim

ado

33

Figura 23. Ruido estimado con el Filtro por Deconvolución

El cual corresponde a un ruido tipo impulsivo.

El funcional del error del estimador es del orden de 10-22

unidades, como se

observa en la figura 24.

Figura 24. RMSE de acuerdo con la identificación del ruido

Se presenta el error de estimación del ruido en decibeles con (15), observando en

la figura 25, un decaimiento que permite observar la convergencia de la información a la

señal de referencia

0 50 100 150 200 250 3000

1

2

3

x 10-22

Iteración

RM

SE

34

Figura 25. Error de convergencia en decibeles

De acuerdo con el teorema 15, y al resultado de la figura 22, al utilizar el filtro de Wiener

modificado es posible describir el ruido que afecta a la señal de red como se muestra en la figura

26.

Figura 26. Estimación del ruido con el Filtro de Wiener.

0 50 100 150 200 250 300-1000

-900

-800

-700

-600

-500

-400

-300

-200

-100

0

ED

Iteración

0 50 100 150 200 250 300-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Ruid

o E

sstim

ado

Iteración

35

El funcional del error del estimador es del orden de 10-20

unidades, como se observa en la

figura 27.

Figura 27. Funcional del error de acuerdo al RMSE

Se presenta el error de estimación del ruido en decibeles con (15), observando en la figura

28, un decaimiento que permite observar la convergencia de la información a la señal de

referencia.

0 50 100 150 200 250 3000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4x 10

-20

Iteración

RM

SE

36

CAPITULO 5. Conclusiones

En este trabajo se presentó un modelo matricial que permitió observar a la convolución dentro de

un intervalo de tiempo T como un producto de matrices, una de ellas extendida respecto del

vector fijo al que se le dio el nombre de vector de excitación o de entrada, observando que en

todo este proceso no se perdiera el orden.

Se consideró el modelo tipo caja negra de acuerdo con la figura 4, para realizar la

deconvolución y estimar a la matriz 𝐺 de una manera recursiva.

El funcional del error de estimación se describió a través de las trazas tanto de la matriz

extendida de referencia como de su estimado para todos los intervalos de tiempo descritos en T.

En la simulación se propusieron dos funciones periódicas con la adición de perturbaciones

que afectaron tanto la entrada como la salida del modelo tipo caja negra.

Dentro de lo que fue el error de estimación, en la simulación se observó un nivel de

convergencia del orden de 10-25

unidades.

En relación con la estabilidad, esta es robusta, requiriendo que el modelo considerado

tuviera una forma cuadrática de Lyapunov como la expresada en la demostración del teorema 18.

Este tipo de descripción es válida para sistemas discretos a trozos, y se cumple la condición de

semidefinida negativa.

Gran parte de los algoritmos de deconvolución desarrollados, que tienen aplicación en

análisis de de vibraciones, microscopia y astronomía, se basan en el análisis de Fourier [4], [8],

37

[9], [23], [26], [31], específicamente en su transformada o en un tipo especial de la transformada

de Fourier; la transformada wavelet de acuerdo con [2], [3], [29] y [30].

También se han utilizado el filtro de Wiener [8] y [9], en algoritmos de deconvolución

ciega [28], en donde solo es conocida la salida del sistema, sin embargo la teoría de Wiener

propone al sistema como un modelo caja negra en donde son conocidas tanto las entradas y

salidas del mismo.

Además en algunos trabajos se menciona que el proceso de deconvolución se lleva a cabo

a través de la inversión de la matriz de convolución o coeficientes [4] y [32]. Sin embargo

revisando la teoría de la convolución es posible identificar que la matriz de convolución es una

matriz singular y por lo tanto no puede ser invertida tradicionalmente a menos que se utilice la

pseudoinversa, de acuerdo con [13] y [18].

38

Referencias

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Methods of Deconvolution and their Application in the Deconvolution of

Experimental Spectra of Positron Annihilation, Elsevier Science Publishers, Vol. A,

1997, p.p. 506.

2. M. Chacón, Procesamiento Digital de Imágenes, Ed. Trillas, 2007.

3. S. Cordero, CNDG-Library Geophysical Institute of Peru, Vol. 4, 2003, pp.131.

4. J. I De la Rosa, et al., Comparación de cuatro algoritmos que dan solución numérica

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C10-2, 2006, pp. 135.

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10. J.G. Holbrook, Transformadas de Laplace Para Ingenieros en Electrónica (Limusa,

1990).

11. P. A. Jansson, Deconvolution with Applications in Spectroscopy (Academic Press,

1984).

12. E. Kreyszig, Matemáticas Avanzadas

para Ingeniería (Vol. I, Limusa, 2003).

13. D. C. Lay, Linear Algebra and its Applications (Pearson, 1999).

14. J. J. Medel, Computación y Sistemas 5-3 (2008) 215.

15. J. E. Marsden, A. J. Tromba, Cálculo Vectorial (Addison Wesley, 1988).

16. J. J. Medel, P. Guevara, D. Cruz, International Conference on Mathematical Methods

39

and Computational Techniques in Electrical Engineering 7 (2005) 214.

17. W. Mendenhall, T. Sincich., Probability and Statistics for Engineering and Science

(Prentice Hall, 1997).

18. B. Noble, J.W. Daniel, Applied Linear Algebra (Prentice Hall, 1989).

19. K. Ogata, Discrete Time Control Systems (Prentice Hall, 1996).

20. A. V. Oppenheim, A.S. Willsky, Señales y Sistemas (Pearson, 1998).

21. A. S. Poznyak, K. Najim, Learning Automata and Stochastic Optimization (Springer-

Verlag, 1997).

22. V. S. Pugachev, Introduction to the Theory of Probability (Mir Moscú, 1973).

23. R. Snieder, J. Sheiman, C. Rodney, Phys. Rev. E 73 (2006) 066620.

24. M. A. Toledo, J. J. Medel, International Conference on Automation and Information,

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25. D. Cruz, Modelo para Tiempos en Arribo de Tareas en Tiempo Real Concurrentes,

2007.

26. G. White, Introducción al análisis de vibraciones (AZIMA DLI, 1990).

27. J. A. Högbom, Radio Astronomy at the Fringe, ed. J. A. Zensus, M. H. Cohen, & E.

Ros, ASP Conf. Ser., 300 (2003) 17.

28. A. Heimer, I. Cohen, Multichannel Seismic Deconvolution Using Markov–Bernoulli

Random-Field Modeling, IEEE Trans. on Geoscience and Remote Sensing, Vol. 47,

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Noisy Images Using Sparse Representations, IEEE Trans. on Image Processing, Vol.

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30. C. Vonesch, M. Unser, A Fast Thresholded Landweber Algorithm for Wavelet-

Regularized Multidimensional Deconvolution, IEEE Trans. on Image Processing, Vol.

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31. T. J. Cornwell, Multiscale CLEAN Deconvolution of Radio Synthesis Images, IEEE

Journal of Selected Topics in Signal Processing, Vol. 2, No. 5 October 2008

32. J. Zhou, M. N. Do, Multidimensional Multichannel FIR Deconvolution Using

Gröbner Bases, IEEE Trans. on Image Processing, Vol. 15, No. 10, October 2006.

33. L. E. McBride, H. W. Schaefgen, K. Steiglitz, Time-Domine Approximation by

Iterative Methods, IEEE Trans. on Circuit Theory, Vol. CT-13, December 1996,

pp.381

40

34. G. Garrido, ,Gestión TMN para la determinación de Calidad de Servicio (QoS) en los

canales de comunicación BPL de baja y media tensión, Tesis Doctoral en proceso,

ESIME- Culhuacan.

41

ANEXO 1. Pruebas

Prueba 1. La convolución de forma aproximada por diferencias finitas con métricas de los

intervalos de tiempo 𝑡𝑖 ∈ 𝑇, y con 𝐶𝑖 ≔ 𝐶(𝑡𝑖), ∀𝑖 = 1,𝑚 , 𝑚 ∈ 𝑍+ , es descrita como:

𝐶 𝑡𝑖 = 𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥𝑗

𝑛

𝑗=1

𝐹(𝑥𝑗 )

(30)

Desarrollando la sumatoria de (30) con el índice i fijo se tiene:

𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥1 𝐹 𝑥1 + 𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥2 𝐹 𝑥2 + ⋯ + 𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥𝑛 𝐹 𝑥𝑛

(31)

Vectorialmente (31) para ∀𝑖 = 1,𝑚 ,𝑚 ∈ 𝑍+ es:

𝐶𝑖 =

𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥1

𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥2 ⋮

𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥𝑛

1𝑥𝑛

𝑇

𝐹 𝑥𝑗=1

𝐹 𝑥𝑗=2

⋮𝐹 𝑥𝑗=𝑛

𝑛𝑥1

(32)

Sabiendo que el vector extendido 𝐹 𝑥𝑗=1,𝑛 es fijo para todos los intervalos de tiempo con

métricas contenidas en la métrica del intervalo de evolución del sistema T, la secuencia del vector

de salida que abarca todos los intervalos contenidos en el intervalo de evolución T con 𝐶𝑖 𝑖=1𝑚

queda expresada de acuerdo con (33):

42

𝐶𝑚𝑥1 = 𝐺 𝑡1 − 𝑥1 … 𝐺 𝑡1 − 𝑥𝑛

⋮ ⋮ ⋮𝐺 𝑡𝑚 − 𝑥2 … 𝐺 𝑡𝑚 − 𝑥𝑛

𝐹 𝑥1 ⋮

𝐹 𝑥𝑛

(33)

Y que simbólicamente se tiene:

𝐶(𝑇)𝑚𝑥1 = 𝐺(𝑇)𝑚𝑥𝑛 𝐹(𝑇)𝑛𝑥1■ (34)

Comentario. En (34), al considerar que el desplazamiento temporal entre los vectores fila

𝐺 𝑡𝑖 − 𝑥𝑗 para todos los casos contenidos en T no afecta a la descripción matricial del sistema,

se tiene un vector de excitación fijo 𝐹 𝑋 ,𝑋 = 𝑥𝑗 , 𝑗 = 1,𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑍+ .

Prueba 2. Dada la expresión de convolución del teorema 1, con 𝐺𝑚𝑥𝑚 una matriz ampliada no

singular cuadrada es posible encontrar 𝐹𝑚𝑥1 a través de la inversa de 𝐺𝑚𝑥𝑚

𝐹𝑚𝑥1 = 𝐺𝑚𝑥𝑚−1 𝐶𝑚𝑥1. ■ (35)

Prueba 3. Dada la expresión de convolución del teorema 1 y siendo 𝐺𝑚𝑥𝑛 una matriz ampliada

rectangular, se multiplica por su transpuesta, para encontrar una matriz cuadrada:

𝐺′𝑛𝑥𝑚 𝐶𝑚𝑥1 = 𝐺′𝑛𝑥𝑚 𝐺𝑚𝑥𝑛 𝐹𝑛𝑥1 (36)

Pero dado que 𝐺′𝑛𝑥𝑚 𝐺𝑚𝑥𝑛 es una matriz singular es necesario obtener su pseudoinversa como

una aproximación para conocer a 𝐹𝑛𝑥1

𝐹𝑛𝑥1 = 𝐺′𝑛𝑥𝑚 𝐺𝑚𝑥𝑛 + 𝐺′𝑛𝑥𝑚 𝐶𝑚𝑥1. ■ (37)

43

Prueba 4. Dada la expresión de convolución del teorema 1 y ya que 𝐹𝑛𝑥1 no es una matriz

cuadrada; se multiplica por su transpuesta para usar los métodos tradicionales de inversión:

𝐶𝑚𝑥1 𝐹′1𝑥𝑛 = 𝐺𝑚𝑥𝑛 𝐹𝑛𝑥1 𝐹′1𝑥𝑛 (38)

Pero, dado que 𝐹𝑛𝑥1 𝐹′1𝑥𝑛 es un matriz singular se obtiene su pseudoinversa para despejar

𝐺𝑚𝑥𝑛 de (38), se tiene:

𝐺𝑚𝑥𝑛 = 𝐶𝑚𝑥1 𝐹′1𝑥𝑛 𝐹𝑛𝑥1 𝐹′1𝑥𝑛 +. ■ (39)

Prueba 5. Dado que el teorema 1 también puede expresarse como:

𝐶(𝑙) 𝑙=1𝑚 = 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹(𝑥)

𝑛

𝑥=1

𝑚

𝑙=1

(40)

Y la transformada de Fourier para la función 𝑟 𝑚,𝑛 esta dada por:

ℱ 𝑟 𝑚,𝑛 = 𝑟(𝑚,𝑛)

𝑒2𝜋𝑖𝑕𝑠

𝑠

𝑕=1

(41)

Si 𝑟 𝑚, 𝑛 : = 𝐶(𝑙) 𝑙=1𝑚 , la transformada de Fourier de la convolución en diferencias finitas es

(10) ■.

44

Prueba 6. Realizando la separación del último término de la sumatoria de (10), se tiene:

𝐶𝑠 = 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹(𝑥)

𝑒2𝜋𝑖𝑙𝑥𝑠

𝑛

𝑥=1

𝑚

𝑙=1

+ 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹(𝑥)


𝑛

𝑥=1

𝑚

𝑙=1

𝑠−1

𝑘=1

(42)

Si 𝐶𝑠−1 = 𝐺 𝑙−𝑥 𝐹(𝑥)


𝑛𝑥=1

𝑚𝑙=1

𝑠−1𝑘=1 , entonces:

𝐶𝑠 = 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹 𝑥


𝑛

𝑥=1

𝑚

𝑙=1

+ 𝐶𝑠−1 (43)

Reescribiendo el primer termino de (43) en función del último elemento de la sumatoria:

𝐶𝑠 = 𝐺 𝑚 − 𝑥 𝐹 𝑥

𝑒2𝜋𝑖𝑚𝑥

𝑠

𝑛

𝑥=1

+ 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹 𝑥


𝑛

𝑥=1

𝑚−1

𝑙=1

+ 𝐶𝑠−1 (44)

Si 𝐻𝑚−1 = 𝐺 𝑙−𝑥 𝐹 𝑥


𝑛𝑥=1

𝑚−1𝑙=1 , entonces:

𝐶𝑠 =𝐺 𝑚 − 𝑛 𝐹 𝑛

𝑒2𝜋𝑖𝑚𝑛

𝑠

+ 𝐺 𝑚 − 𝑥 𝐹 𝑥


𝑠

𝑛−1

𝑥=1

+ 𝐻𝑚−1 + 𝐶𝑠−1 (45)

Si 𝐼𝑛−1 = 𝐺 𝑚−𝑥 𝐹 𝑥


𝑠

𝑛−1𝑥=1 , entonces se tiene (11) ■.

45

Prueba 7. Considerando (40) y la transformada Z para la función 𝑟 𝑚,𝑛 esta dada por:

ℱ 𝑟 𝑚,𝑛 = 𝑟(𝑚,𝑛)

𝑧𝑘

𝑠

𝑕=1

(46)

Si 𝑟 𝑚, 𝑛 : = 𝐶(𝑙) 𝑙=1𝑚 , la transformada de Z de la convolución en diferencias finitas es:

𝐶𝑐 = 𝐺 𝑙 − 𝑥 𝐹(𝑥)

𝑧𝑘 ■

𝑛

𝑥=1

𝑚

𝑙=1

𝑠

𝑘=1

(47)

Prueba 8. De manera similar a la prueba 6 pero cambiando el núcleo de transformación tenemos:

𝐶𝑐 =𝐺 𝑚 − 𝑛 𝐹(𝑛)

𝑧𝑠+ 𝐹𝑛−1 + 𝐸𝑚−1 + 𝐶𝑐−1 (48)

Siendo 𝐹𝑛−1 = 𝐺 𝑚−𝑥 𝐹(𝑥)

𝑧𝑠𝑛−1𝑥=1 , 𝐸𝑚−1 =

𝐺 𝑙−𝑥 𝐹(𝑥)

𝑧𝑠𝑛𝑥=1

𝑚−1𝑙=1 y

𝐶𝑐−1 = 𝐺 𝑙−𝑥 𝐹(𝑥)

𝑧𝑘𝑛𝑥=1

𝑚𝑙=1

𝑠−1𝑘=1 ■.

Prueba 9 (forma directa). El RMSE, al usar el segundo momento de probabilidad respecto a la

diferencia del error de estimación Ii para 𝑖 = 1,𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑍+:

𝑅𝑀𝑆𝐸𝑛 : =1

𝑛 (𝐼𝑖

𝑛

𝑖=1

)2. (49)

Para el último término con i = n de (49):

46

𝑅𝑀𝑆𝐸𝑛 = 1

𝑛 𝐼𝑛

2 + (𝐼𝑖

𝑛−1

𝑖=1

)2 (50)

El RMSE retardado con 𝑖 = 1,𝑛 − 1 y condiciones estacionarias de acuerdo con [16], [17], [21]

y [22]:

𝑅𝑀𝑆𝐸𝑛−1 =1

𝑛 − 1 𝐼𝑖

2

𝑛−1

𝑖=1

. (51)

Al describir este último resultado de acuerdo con (50):

𝐼𝑖2

𝑛−1

𝑖=1

= (𝑛 − 1)𝑅𝑀𝑆𝐸𝑛−1 (52)

El RMSE, considerando (52) en (50), se obtiene (14). ■

Prueba 10. El error dentro de la secuencia de estimación se define como un vector expandido:

𝑒1𝑥1,𝑛 = 𝐸 𝑒1𝑥𝑛 ,𝑖𝑒𝑛𝑥1,𝑖𝑇

1/2 (53)

El comportamiento de error en decibeles de forma estocástica respecto a su segundo momento de

probabilidad para la secuencia 𝑖 = 1,𝑛 ,𝑛 ∈ 𝑍+ , es:

𝐷𝑛 = 20 𝑙𝑜𝑔10 𝐸 𝑒1𝑥𝑛 ,𝑖𝑒𝑛𝑥1,𝑖𝑇

𝑖=1,𝑛

1/2

. (54)

Su descripción discreta:

47

𝐷𝑛 = 10 𝑙𝑜𝑔10 1

𝑛 𝑒𝑖

2

𝑛

𝑖=1

(55)

Expandiendo respecto a su último término:

𝐷𝑛 = 10 𝑙𝑜𝑔10 1

𝑛 𝑒𝑛

2 +1

𝑛 𝑒𝑖

2

𝑛−1

𝑖=1

. (56)

Usando las propiedades de los logaritmos:

𝐷𝑛 = 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑒𝑛2 − 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑛 + 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑒𝑖

2

𝑛−1

𝑖=1

.

(57)

Para las propiedades de decaimiento estacionario, en el mismo sentido de los conceptos

anteriores, la descripción en decibeles para 𝑖 = 1, 𝑛 − 1 :

𝐷𝑛−1: = 10 𝑙𝑜𝑔10 1

𝑛 − 1 𝑒𝑖

2

𝑛−1

𝑖=1

. (58)

Utilizando las propiedades de los logaritmos:

𝐷𝑛−1 = 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑒𝑖2

𝑛−1

𝑖=1

− 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑛 − 1 . (59)

Donde 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑒𝑖2𝑛−1

𝑖=1 en términos de 𝐷𝑛−1:

48

10 𝑙𝑜𝑔10 𝑒𝑖2

𝑛−1

𝑖=1

= 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑛 − 1 + 𝐷𝑛−1. (60)

Sustituyendo (60) en (57), se obtiene:

𝐷𝑛 = 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑒𝑛2 − 10 𝑙𝑜𝑔10 2𝑛 + 10 𝑙𝑜𝑔10 𝑛 − 1 + 𝐷𝑛−1.

(61)

Reescribiendo, y usando las propiedades de los algoritmos se obtiene (15).■

Prueba 11. El error estocástico considera las propiedades de Bode y la descripción del error

respecto al segundo momento de probabilidad. Para 𝑖 = 1, 𝑛 , 𝑛 ∈ 𝑍+ es:

𝐵𝑛 = 10 𝑙𝑜𝑔10 𝐸 𝑒1𝑥𝑛𝑒𝑛𝑥1𝑇 𝑖=1,𝑛

1/2 (62)

Considerando las propiedades de los logaritmos, se obtiene (16). ■

Comentario 3. El Bode recursivo de acuerdo con (16) y respecto con (54), cumple 𝐵 𝑛 =

0.5 𝐷 𝑛 en un sentido logarítmico.

Prueba 12. De acuerdo con (17), para estimar 𝐴′1𝑥𝑚 al aplicar la transpuesta de la matriz

𝐸𝑚𝑥𝑚 a ambos lados de la igualdad 𝑌′1𝑥𝑚𝐸′𝑚𝑥𝑚 = 𝐴′

1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚 𝐸′𝑚𝑥𝑚 , es posible obtener la

pseudoinversa del producto de 𝐸𝑚𝑥𝑚 𝐸′𝑚𝑥𝑚 y así encontrar (18).■

Prueba 13. Transponiendo (19)

𝑌′ 1𝑥𝑚 = 𝑋 ′1𝑥𝑛 𝐻′𝑛𝑥𝑚 (63)

Y considerando la condición (18), se tiene respecto del identificador:

49

𝑌′ 1𝑥𝑚 = 𝐴′1𝑥𝑚𝜑′𝑚𝑥𝑛

𝐻′𝑛𝑥𝑚 , (64)

𝐸𝑚𝑥𝑚 = 𝜑′𝑚𝑥𝑛

𝐻′𝑛𝑥𝑚 . (65)

Escribiendo (64) en términos de (65):

𝑌′ 1𝑥𝑚 = 𝐴′1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚 . (66)

El proceso de innovación 𝑄, descrito como:

𝑄 = 𝑌′1𝑥𝑚 − 𝑌′ 1𝑥𝑚 (67)

Su gradiente estocástico respecto de los parámetros de la señal fija 𝜕𝑄

𝜕𝐴′1𝑥𝑚 = 0

𝜕𝑄

𝜕𝐴′1𝑥𝑚 = 𝑌′1𝑥𝑚 − 𝐴′1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚

2 . (68)

𝜕𝑄

𝜕𝐴′1𝑥𝑚 = 2 𝑌′1𝑥𝑚 − 𝐴′

1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚 −𝐸′𝑚𝑥𝑚 .

(69)

𝜕𝑄

𝜕𝐴′1𝑥𝑚 = −2𝑌′1𝑥𝑚𝐸

′𝑚𝑥𝑚 + 2 𝐴′

1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚 𝐸′𝑚𝑥𝑚 . (70)

Desarrollando a (70) respecto de 𝐴′1𝑥𝑚 :

2 𝐴′1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚 𝐸′𝑚𝑥𝑚 = 2𝑌′1𝑥𝑚𝐸

′𝑚𝑥𝑚 . (71)

Y reduciendo

𝐴 ′1𝑥𝑚 𝐸𝑚𝑥𝑚 𝐸′𝑚𝑥𝑚 = 𝑌′1𝑥𝑚𝐸′𝑚𝑥𝑚 . (72)

Despejando 𝐴 ′1𝑥𝑚 de (72), a través de la pseudoinversa tenemos:

50

𝐴 ′1𝑥𝑚 = 𝑌′1𝑥𝑚𝐸′𝑚𝑥𝑚 (𝐸𝑚𝑥𝑚 𝐸′𝑚𝑥𝑚 )+ . (73)

Conociendo (73) y dado que [4] propone 𝜑𝑚𝑥𝑛 = 𝐶𝑜 𝑛,𝑝 = 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝜋𝑝

𝑁 , es posible encontrar la

señal fija identificada:

𝑋′ 1𝑥𝑛 = 𝐴 ′1𝑥𝑚

𝜑′𝑚𝑥𝑛

■ (74)

Prueba 14. Considérese que el sistema (22) respecto de la señal retardada de su propia salida

respecto de su segundo momento de probabilidad es:

𝐸 𝑦𝑘𝑦𝑘−1 = 𝑎𝐸 𝑦𝑘−12 + 𝐸 𝑤 𝑘𝑦𝑘−1 (75)

Tal que la descripción de la ganancia sea:

𝑎𝑘 =𝐸 𝑦𝑘𝑦𝑘−1 − 𝐸 𝑤 𝑘𝑦𝑘−1

𝐸 𝑦𝑘−12

(76)

Expresando los momentos de probabilidad de manera discreta con las propiedades de ergodicidad

se tiene:

𝑎𝑛 =

1𝑛 𝑦𝑘𝑦𝑘−1𝑛𝑘=1 −

1𝑛 𝑤 𝑘𝑦𝑘−1𝑛𝑘=1

1𝑛 𝑦𝑘−1

2𝑛𝑘=1

(77)

De forma estacionaria retardada (77):

51

𝑎𝑛−1 =

1𝑛 − 1

𝑦𝑘𝑦𝑘−1𝑛−1𝑘=1 −

1𝑛 − 1

𝑤 𝑘𝑦𝑘−1𝑛−1𝑘=1

1𝑛 − 1

𝑦𝑘−12𝑛−1

𝑘=1

(78)

Abreviando de manera simbólica:

𝑎𝑛−1 =𝑅𝑛−1 − 𝑆𝑛−1

𝑄𝑛−1 (78)

Al desarrollar cada elemento de (77):

𝑎𝑛 =

1𝑛 𝑦𝑛𝑦𝑛−1 + 𝑦𝑘𝑦𝑘−1

𝑛−1𝑘=1 −

1𝑛 𝑤 𝑛𝑦𝑛−1 + 𝑤 𝑘𝑦𝑘−1

𝑛−1𝑘=1

1𝑛 𝑦𝑛−1

2 + 𝑦𝑘−12𝑛−1

𝑘=1 (79)

Sustituyendo (78) en (79)

𝑎𝑛 =𝑦𝑛𝑦𝑛−1 − 𝑤 𝑛𝑦𝑛−1 + 𝑛 − 1 (𝑅𝑛−1 − 𝑆𝑛−1)

𝑦𝑛−12 + (𝑛 − 1)𝑄𝑛−1

(80)

Y al considerar que (𝑅𝑛−1 − 𝑆𝑛−1) requiere estar dividido por 𝑄𝑛−1 para tener 𝑎𝑛−1 se reescribe

(80)

𝑎𝑛 =𝑦𝑛𝑦𝑛−1 − 𝑤 𝑛𝑦𝑛−1 + 𝑛 − 1 (𝑅𝑛−1 − 𝑆𝑛−1)

𝑄𝑛−1

𝑄𝑛−1

𝑦𝑛−12 + (𝑛 − 1)𝑄𝑛−1

(81)

52

Lo que se reduce a:

𝑎𝑛 =𝑦𝑛𝑦𝑛−1 − 𝑤 𝑛𝑦𝑛−1 + 𝑛 − 1 𝑄𝑛−1𝑎𝑛−1

𝑦𝑛−12 + (𝑛 − 1)𝑄𝑛−1

(82)

Con 𝑀𝑛 =𝑦𝑛𝑦𝑛−1−𝑤 𝑛𝑦𝑛−1

𝑦𝑛−12 +(𝑛−1)𝑄𝑛−1

y 𝐹𝑛 = 𝑛−1 𝑄𝑛−1

𝑦𝑛−12 +(𝑛−1)𝑄𝑛−1

; se tiene:

𝑎𝑛 = 𝑀𝑛 + 𝑎𝑛−1𝐹𝑛 ■ (83)

Corolario Mínimos Cuadrados: Considérese que la varianza de la señal de salida retardada sea

descrita como:

𝑄𝑛−1 =1

𝑛 − 1 𝑦𝑘−1

2

𝑛−1

𝑘=1

(84)

Respecto de su último término:

𝑄𝑛−1 =1

𝑛 − 1 𝑦𝑛−1

2 + 𝑦𝑖−12

𝑛−2

𝑖=2

(85)

53

𝑄𝑛−2 =1

𝑛 − 2 𝑦𝑖−1

2

𝑛−2

𝑖=2

(86)

Su forma recursiva es:

𝑄𝑛−1 =1

𝑛 − 1 𝑦𝑛−1

2 + (𝑛 − 2)𝑄𝑛−2 (87)

Prueba 15: De acuerdo con (24),

𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 − 𝑙 𝑕 𝑙

𝑚

𝑙=1

𝑛=1,𝑚

(88)

Y tiene la forma matricial

𝑋𝑚𝑥𝑚𝐻𝑚𝑥1 (89)

Con funcional de error expresado por:

𝜉(𝑛) = 𝐸 𝑒2 𝑛 (90)

54

Y con (25) en (90)

𝜉(𝑛) = 𝐸 𝑑 𝑛 − 𝑦 𝑛 2 𝑛=1,𝑚

(91)

En forma ampliada

𝜉(𝑛) = 𝐸 𝑑 𝑛 − 𝑥(𝑛 − 𝑙)𝑕 𝑙

𝑚

𝑙=1

2

𝑛=1,𝑚

(92)

En forma vectorial

𝜉 𝑚×1 = 𝐸 𝐷𝑚𝑥1 − 𝑋𝑚𝑥𝑚𝐻𝑚𝑥1 2

(93)

Tal que su gradiente estocástico respecto de la señal fija se describe como:

𝜕𝜉 𝑚×1

𝜕𝐻𝑚𝑥1= 𝐸

𝜕 𝐷𝑚𝑥1 − 𝑋𝑚𝑥𝑚𝐻𝑚𝑥1 2

𝜕𝐻𝑚𝑥1

(94)

Y que al desarrollar, se tiene que la derivada de 𝑋𝑚𝑥𝑚𝐻𝑚𝑥1 respecto de 𝐻𝑚𝑥1 generará una

matriz ortogonal a 𝑋𝑚𝑥𝑚

2𝐸 𝐷𝑚𝑥1 − 𝑋𝑚𝑥𝑚𝐻𝑚𝑥1 𝑋𝑚×𝑚′ = 0

(95)

Con la congruencia correspondiente:

𝐸 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝐷𝑚𝑥1 − 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝑋𝑚𝑥𝑚𝐻𝑚𝑥1 = 0 (96)

En donde la señal fija respecto a la esperanza matemática es un vector de parámetros:

55

𝐸 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝐷𝑚𝑥1 = 𝐸 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝐻𝑚𝑥1 (97)

Que requiere ser estimado, y para evitar las singularidades respecto al resultado anterior, se

considera la pseudoinversa:

𝐻𝑚𝑥1 = 𝐸 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝑋𝑚𝑥𝑚 +𝐸 𝑋𝑚𝑥𝑚 𝐷𝑚𝑥1 .■

(98)

Prueba 16. Transponiendo (27), el proceso de innovación cuadrático 𝑄𝑇 es descrito como:

𝑄𝑇1𝑥𝑚 : = 𝐶𝑇1𝑥𝑚 − 𝐶 𝑇1𝑥𝑚

2 (99)

El rotacional del proceso de innovación ∇ × 𝑄𝑇𝐺′𝑛𝑥𝑚

es:

𝜕×𝑄𝑇

𝜕𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 =

𝜕× 𝐶𝑇1𝑥𝑚 −𝐹𝑇1𝑥𝑛 𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚

2

𝜕𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 . (100)

De forma que la derivada direccional de 𝐹𝑇1𝑥𝑛 𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 respecto de 𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 es 𝐹𝑛𝑥1, al ser

resultante ortogonal el vector derivado y aplicando (99) en (100):

𝜕 × 𝑄𝑇

𝜕𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚

= −2𝐹𝑛𝑥1 𝐶𝑇

1𝑥𝑚 + 2𝐹𝑛𝑥1 𝐹𝑇

1𝑥𝑛 𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚

(101)

En su punto de equilibrio, el rotacional del proceso de innovación es:

2𝐹𝑛𝑥1 𝐶𝑇

1𝑥𝑚 = 2𝐹𝑛𝑥1 𝐹𝑇

1𝑥𝑛 𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 (102)

56

Y que al organizar (102), el estimador es descrito en (28). ■

Prueba 17. Considérese a (28) con 𝑃𝑠𝑇:=[ 𝐹𝑛𝑥1,𝑇 𝐹𝑇

1𝑥𝑛 ,𝑇 +𝐹𝑛𝑥1,𝑇] ∈ 𝑅[𝑛×1], se escribe para el

conjunto de métricas de los intervalos que conforman a T:

𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 ,𝑇 = 𝑃𝑠𝑛𝑥1,𝑡

𝑇

𝑡=1

𝐶𝑇1𝑥𝑚 ,𝑡 (103)

Con condiciones estacionarias para el periodo de tiempo inmediato anterior:

𝐺 𝑇𝑛𝑥𝑚 ,𝑇−1 = 𝑃𝑠𝑛𝑥1,𝑡

𝑇−1

𝑡=1

𝐶𝑇1𝑥𝑚 ,𝑡 (104)

Y que al ver (104) en (103), tomando el último término 𝑃𝑠𝑛𝑥1,𝑇 de (103) se logra la obtención

de (29). ■

Prueba 18. Existe una matriz 𝑆𝑛𝑥𝑚 que permite tener la forma

𝐹 𝑇 = 𝐺 𝑛𝑥𝑛 (𝑇)𝐹(𝑇)𝑛𝑥1 (105)

Que en diferencias finitas tiene la estructura de (30) de acuerdo con:

𝐺 𝑇 𝑛𝑥𝑛 : = 𝐼𝑛𝑥𝑛 − 𝐺 𝑇 − 𝜀 𝑛𝑥𝑛 𝜀 (106)

Al ser:

57

𝐺 𝑇 𝑛𝑥𝑛 : = 𝑆(𝑇)𝑛𝑥𝑚 𝐺(𝑇)𝑚𝑥𝑛 (107)

Es estable si cumplen en el sentido de Lyapunov las condiciones siguientes:

𝑉 𝑇 = 𝐹 𝑇 𝑇𝑃𝐹 𝑇 (108)

Dada la función candidata definida positiva y que en el caso que su incremento sea semidefinido

negativo, es decir, que Δ𝑉 𝑇 ≤ 0.

La función candidata en su primera diferencia finita es: ∆𝑉(𝑡) = 𝜀𝑉 (𝑡), en donde:

𝑉 𝑇 = 𝐹 1×𝑛𝑇 𝑇 𝑃𝑛×𝑛𝐹𝑛×1 𝑇 + 𝐹1×𝑛

𝑇 𝑇 𝑃𝑛×𝑛𝐹 𝑛×1 𝑇 (109)

Y al considerar que se tiene el sistema afín:

𝐹 𝑛×1(𝑇) = 𝐺 𝑛×𝑛 𝑇 𝐹𝑛×1(𝑇) (110)

Al sistema (28), y en diferencias finitas a (30), donde:

𝐺 𝑛×𝑛 𝑇 − 𝜀 ≔ [𝐼𝑛×𝑛 − 𝐺 𝑛×𝑛 𝑇 − 𝜀 ] (111)

Así como:

𝑀𝑛×𝑛(𝑇) ≔ 𝐺 𝑛×𝑛(𝑇)𝐺 𝑛×𝑛 𝑇 − 𝜀 (112)

Y

𝑃 𝑛×𝑛(𝑇) ≔ 𝑃 𝑛×𝑛𝐺 𝑛×𝑛 𝑇 − 𝜀 (113)

58

Al desarrollar todo el proceso algebraico, considerando que la matriz 𝑃 es del tipo hermit, se

cumple (29). ■

59

ANEXO 2. Programas

Programa 1. Modelo de deconvolución basado en un modelo de identificación de

sistemas.

clc

clear all;

close all;

mm=900;

nn=900;

%Matriz de la función original H

for n=1:nn

H(n)=.006*cos(n)+0.02*randn;

end

%Matriz de la función desplazada o ventana G

for m=1:mm

for n=1:nn

d=m-n;

X(m,n)=0.3*cos(d)+0.02*randn;

end

end

%Matriz funciones componente

N=nn;

for n=1:nn

for m=1:nn

FI(m,n)=cos((n*pi*m)/N);

60

end

end

E=X*FI;

%Vector de parametros

A=H*E'*pinv(E*E');

%Matriz de la función deconvolucionada He

He=A*FI';

%Error cuadrático medio recursivo

MSE(1)=(H(1)-He(1)).^2;

for n=2:nn

MSE(n)=(1/n.^2)*[((H(n)-He(n)).^2)+((n-1).^2*MSE(n-1))];

end

%Decibeles

D(1)=10*log10(H(1).^2/He(1).^2);

for n=2:nn

D(n)=10*log10(((n-1)/(2*n))*(H(n).^2/He(n).^2))+D(n-1);

end

%Gráfica de Deconvolución para encontrar F(x) y Fe(x)

figure

plot(H,'black')

figure

plot(He, 'black')

figure

plot(H, 'black')

hold on

plot(He, 'black')

%Grafica del error cuadratico medio

61

figure

plot(MSE, 'black')

%Gráfica de Decibeles

figure

plot(D, 'black')

Programa 2. Estimador por Mínimos Cuadrados

clc

clear all;

close all;

nn=1000;

y(1)=.006*cos(1)+0.02*randn;

y(2)=.006*cos(2)+0.02*randn;

Q(1)=y(1).^2;

a(1)=0;

w(2)=0.2*randn;

a(2)=[(y(2)*y(1))-(w(2)*y(1))+Q(1)*a(1)]/[y(1).^2+Q(1)];

for n=3:nn

y(n)=.3*y(n-1)+0.2*randn;

w(n)=0.2*randn;

Q(n-1)=[1/(n-1)]*[y(n-1).^2+(n-2)*Q(n-2)];

a(n)=[y(n)*y(n-1)-w(n)*y(n-1)+(n-1)*Q(n-1)*a(n-1)]/[y(n-1).^2+(n-

1)*Q(n-1)];

ye(n)=a(n)*y(n-1)+w(n);

ar(n)=.3;

62

end

MSE(2)=(ar(2)-a(2)).^2;

for n=3:nn

MSE(n)=(1/n.^2)*[(ar(n)-a(n)).^2+(n-1).^2*MSE(n-1)];

end

Decibeles(2)=5;%20*log10(ar(2).^2/a(2).^2)

for n=3:nn

Decibeles(n)=20*log10(ar(n).^2/a(n).^2)+Decibeles(n-1);

end

BodeAr(2)=8;%10*log10(ar(n).^2)

for n=3:nn

BodeAr(n)=10*log10(ar(n).^2/n)+10*log10((n-1)/n)+BodeAr(n-1);

end

BodeA(2)=7;%10*log10(a(2).^2)

for n=3:nn

BodeA(n)=10*log10(a(n).^2/n)+10*log10((n-1)/n)+BodeA(n-1);

end

figure

plot(y,'r');

hold on

plot(ye,'b');

figure

plot(MSE,'b');

figure

plot(Decibeles,'r');

figure

plot(BodeAr,'b');

63

figure

plot(BodeA,'g');

Programa 3. Filtro de Wiener modificado a través de la pseudoinversa.

clc

clear all;

close all;

mm=300;

nn=300;

for n=1:nn

H(n)=.006*cos(n)+0.02*randn;

end

for m=1:mm

for n=1:nn

d=m-n;


end

end

C=H*X';

He=pinv(X*X)*(X*C');

MSE(1)=(H(1)-He(1)).^2;

for n=2:nn

MSE(n)=(1/n.^2)*[(H(n)-He(n)).^2+(n-1).^2*MSE(n-1)];

end

64

Decibeles(1)=20*log10((H(1)/He(1)).^2);

for n=2:nn

Decibeles(n)=20*log10((H(n)/He(n)).^2)+Decibeles(n-1);

end

BodeH(1)=10*log10(H(n).^2)

for n=2:nn

BodeH(n)=10*log10(abs(H(n).^2/n))+10*log10((n-1)/n)+BodeH(n-

1);

end

BodeHe(1)=10*log10(He(n).^2)

for n=2:nn

BodeHe(n)=10*log10(abs(He(n).^2/n))+10*log10((n-

1)/n)+BodeHe(n-1);

end

figure

subplot 311

plot(Decibeles,'r')

subplot 312

plot(BodeH,'b')

subplot 313

plot(BodeHe, 'g')

figure

plot(MSE, 'b')

figure

plot(H,'r')

hold

plot(He,'b')

65

Programa 4. Filtro estimador por deconvolución en diferencias finitas.

clc

clear all;

close all;

mm=300;

nn=200;

%Se define la función fija F(x)

for n=1:nn

H(n)=.006*cos(n)+0.02*randn;

end

%Se define la función desplazada G(x)

for m=1:mm

for n=1:nn

d=m-n;


end

end

%Convolución

C=H*X';

%Deconvolución Matricial para encontrar G(x)

Xe=(C'*H)*(pinv(H'*H));

%Error cuadrático medio recursivo

MSE(1)=(X(1)-Xe(1)).^2;

for n=2:mm

MSE(n)=(1/n.^2)*[((X(n)-Xe(n)).^2)+((n-1).^2*MSE(n-1))];

end

%Decibeles

66

D(1)=10*log10(X(1).^2/Xe(1).^2);

for n=2:nn

D(n)=10*log10(((n-1)/(2*n))*(X(n).^2/Xe(n).^2))+D(n-1);

end

%Gráfica de Deconvolución para encontrar F(x) y Fe(x)

figure

plot(X,'k')

figure

plot(Xe,'k')

%Grafica del error cuadratico medio

figure

plot(MSE, 'k')

%Gráfica de Decibeles

figure

plot(D,'k')

67

ANEXO 3. Proceso Estocásticos.

En este anexo se revisaran algunas definiciones y propiedades concernientes a procesos

estocásticos.

Un procesos estocástico, 𝑥𝑛 ,𝑛 𝜖 𝑁 es una colección de variables aleatorias indexadas

por un parámetro real 𝑛 definido en un espacio de probabilidad Ω,𝐹,𝑃 donde Ω es el espacio

de elemental de eventos 𝑤, 𝐹 la 𝜎 −algebra y 𝑃 la medida de probabilidad. Un 𝜎 −algebra de 𝐹

es un conjunto de subconjuntos Ω (colección de subconjuntos) 𝐹(𝑥𝑛) denota el 𝜎 −algebra

generada por un conjunto de variables aleatorias 𝑥𝑛 . El 𝜎 −algebra representa el conocimiento

acerca del proceso en un tiempo 𝑛.

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