Circulo de MohrChristian Otto Mohr

Nació el 8 de octubre de 1835 en Wesselburen, Alemania y murió el 2 de octubre de 1918 en Dresde. Fue un gran ingeniero civil e hizo grandes aportaciones a la Teoría de Estructuras. El mas conocido y útil aun en la actualidad a pesar de los desarrollos tecnológicos es el método para determinas los esfuerzos máximos y mínimos de compresión y tensión además de los esfuerzos cortantes y aplicable a los momentos de inercia es el Circulo de Morh.

Conceptos Básicos

Esfuerzo de Compresión

Un cuerpo se encuentra sometido a compresión si las fuerzas aplicadas tienden a aplastarlo o comprimirlo. Los pilares y columnas son ejemplo de elementos diseñados para resistir esfuerzos de compresión. Cuando se somete a compresión una pieza de gran longitud en relación a su sección, se arquea recibiendo este fenómeno el nombre de pandeo.

Esfuerzo de Compresión

Esfuerzo de Tensión

Decimos que un elemento está sometido a un esfuerzo de tensión cuando sobre él actúan fuerzas que tienden a estirarlo. Los tensores son elementos resistentes que aguantan muy bien este tipo de esfuerzos.

Esfuerzo de Tensión

Esfuerzo Cortante

Es el esfuerzo al que está sometida a una pieza cuando las fuerzas aplicadas tienden a cortarla o desgarrarla. El ejemplo más claro de cortadura lo representa la acción de cortar con unas tijeras.

Esfuerzo Cortante

Análisis de Transformación de Esfuerzos o Esfuerzo Plano

Desde el punto de vista del material, las características propias determinan si es más resistente a las cargas normales o a las cargas cortantes, es por eso que de aquí nace la

importancia de transformar un estado de tensiones general en otro particular que puede ser más desfavorable para un material.

En el análisis del esfuerzo plano se emplea una situación en donde dos caras de un cubo diferencial de material se encuentren libres de esfuerzos, es importante recalcar que el esfuerzo plano se encuentra en cualquier punto de la superficie del elemento que no se encuentre sujeto a una fuerza externa.

Ya definido el modo de análisis de esfuerzo plano, mediante una rotación de ángulo Theta sobre el eje del plano se busca obtener los esfuerzos máximos de compresión tensión del material.

Tratando de determinar el esfuerzo normal σx’ y el esfuerzo cortante τx’y’ ejercidos sobre la cara perpendicular al eje x’, se considerará un elemento prismático con caras respectivamente perpendiculares a los ejes “x”, x’ y “y”

Para poder hacer suma de fuerzas y equilibrar este elemento, es necesario multiplicar cada esfuerzo por el área en la que se aplican para obtener las fuerzas involucradas. Considerando que los esfuerzos incógnitos se aplican en un área ‘da’. Se tiene que este trozo de cuña tiene un área basal ‘da Cos a’ y un área lateral ‘da Sen a’.

Obteniendo las ecuaciones de equilibrio en la dirección x se tiene que:

x’ da = x da cos θ cos θ  +  y da sen θ sen θ +  xy da cos θ sen θ  +  xy sen θ cos θ 

x’ = x sen2 θ  +  y cos2 θ  +  2 xy cos θ sen θ 

x’ = (x + y)/2   +   (x - y)/2   (cos  2 θ)  +   xy  (sen  2 θ) θ

Obteniendo las ecuaciones de equilibrio en la dirección y se tiene que:

x’y’ da = y da cos θ sen θ -  xy da sen θ sen θ   +  xy cos θ cos θ -  x da sen θ cos θ  

x’y’ =  y   cos θ sen θ   -  xy  sen2 θ  +  xy  cos2 θ -  x sen θ cos θ 

x’y’ =  xy  (cos  2 θ)  - (x - y)/2   (sen  2 θ)

Con estas expresiones es posible calcular cualquier estado de esfuerzo equivalente a partir de un estado inicial. El esfuerzo normal máximo se deduce derivando x’ con respecto al ángulo θ 

dx’ /d θ  =  0  = - (x - y) (sen  2 θ)  +    2 xy  (cos  2 θ)

tan 2 θ  = 2 xy / (x - y)

La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen: θ  y   θ  + 90

Al evaluar usando estos valores para el ángulo θ se obtienen los esfuerzos normales máximo (1) y mínimo (2). Es importante destacar que si se iguala x’y’ = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (1 y  2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero.Por lo tanto los esfuerzos principales o máximos son:

1 =  (x + y) / 2  +

2  =  (x + y) / 2   - 

El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo θ.

dtx’y’ / d  =  0  =  -2 xy  (sen  2)  - ( x - y ) (cos  2)

tan  2 =  - ( x - y ) / 2 xy

Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos y se obtiene:

1 = + 

2 = - 

Las ecuaciones que se han desarrollado son ecuaciones paramétricas de una circunferencia, esto quiere decir que no dependen de una trayectoria en específico para ser realizadas y al reinscribirse para formar la circunferencia se obtiene:

x’ = ( x + y )/2   +   (( x - y )/2   (cos  2))  +   xy  (sen  2)

x’y’ =  xy  (cos  2)  - (( x - y )/2 )  (sen  2)

La primera ecuación se acomoda de la siguiente forma:

x’  -  ( x + y )/2   =  (( x - y )/2   (cos  2))  +   xy  (sen  2)

Elevando al cuadrado se tiene:

(x’ - (x + y)/2)2 =(x - y)2/4  (cos 2)2 + (x - y) (cos 2) xy  (sen 2) + xy2  (sen 2)2

Elevando al cuadrado la segunda ecuación se tiene:

x’y’2 =  xy

2  (cos 2)2  -  xy  (cos 2) (x - y) (sen 2) + (x - y)2/4  (sen 2)2 

Sumando ambas expresiones:

(x’  -  ( x + y )/2)2   + x’y’2  =  xy

2  +  (( x - y )2/2)2

Los esfuerzos originales son datos, y por lo tanto constantes del problema, por lo que:

xy2  +  (( x - y )2/2)2   =  b2

( x + y )/2  =  a

Reescribiendo queda:

(x’  -  a)2   + x’y’2  = b2

Si los ejes son:

x = x’

y = x’y’

Comparando la ecuación que se obtuvo con la ecuación de la circunferencia

( x - a )2 + y2  =  b2

Se obtiene que x = a; y = 0 con un radio r = b

A esta circunferencia se le denomina Círculo de Mohr, el cual tiene las siguientes características:

Centro en: x = ( x + y )/2 ;  y = 0

Radio de: r2 = xy2  +  (( x - y )2/2)2

Gráficamente se obtiene lo siguiente:

Círculo de Mohr para esfuerzos

Caso bidimensional

En dos dimensiones el círculo de Mohr permite determinar la tensión máxima y mínima, a partir de dos mediciones de la tensión normal y tangencial sobre dos ángulos que forman 90º:

Usando ejes rectangulares, donde el eje horizontal representa la tensión normal y el eje

vertical representa la tensión cortante o tangencial para cada uno de los planos anteriores. Los valores del círculo quedan representados de la siguiente manera:

Centro del círculo de Mohr:

Radio del círculo de Mohr:

Las tensiones máximas y mínimas vienen dados en términos de esas magnitudes simplemente por:

Estos valores se pueden obtener también calculando los valores propios del tensor tensión que en este caso viene dado por:

Círculo de Mohr para momentos de inercia

Para sólidos planos o casi-planos, puede aplicarse la misma técnica del círculo de Mohr que se usó para tensiones en dos dimensiones. En muchas ocasiones es necesario calcular el momento de inercia alrededor de un eje que se encuentra inclinado, el círculo de Mohr puede ser utilizado para obtener este valor. También es posible obtener los momentos de inercia principales. En este caso las fórmulas de cálculo del momento de inercia medio y el radio del círculo de Mohr para momentos de inercia son análogas a las del cálculo de esfuerzos:

Centro del círculo:

Radio del círculo:

Ejercicios Resueltos

Bibliografía

Círculo de Mohr para esfuerzos. Universidad Pontificia de Chile. ¿?. Disponible en http://www2.ing.puc.cl/~icm2312/apuntes/circulo/circulo.html. Obtenido el 24 de octubre de 2008.

Círculo de Mohr Fundamentos y Aplicaciones. Carlos Ramiro Vallecilla Bahena. Ebook. ¿? Disponible en http://www.lalibreriadelau.com/catalog/product_info.php/manufacturers_id/14/products_id/655?sid=5d41d937316a50eb781341cf7b7a449b. Obtenido el 23 de octubre de 2008.

Círculo de Mohr. ¿?. Disponible en: http://www.ing.unlp.edu.ar/aeron/catedras/est2/descargas/Circulo%20de%20Mohr.pdf Obtenido el 24 de octubre de 2008.

Instituto Tecnológico de Estudios Superiores Monterrey

Campus Toluca

Mecánica de Materiales I

Círculo de Mohr

Felipe de Jesús Dávila Morales

1101924

Rodrigo Feliciano Valdez Martínez

1102537

2 de Diciembre de 2008