Circulo de MOrh
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MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA DE LA
FUERZA ARMADA
(UNEFA)
NUCLEO SUCRE- EXTESIÓN CARÚPANO
DOCENTE: INTEGRANTES:
Ing. Ángel Martínez Elba Rosina Cedeño B.
Sebastian Antón R.
María Gabriela Maestre N.
Luis Enrique Díaz C.
José Ángel Salazar F.
NOVIEMBRE DEL 2010
INTRODUCCIÓN
Para lograr un diseño satisfactorio el ingeniero debe realizar un
proceso de análisis bastante riguroso; tomando en cuenta que la
seguridad y la economía son sin duda uno de los factores más
importantes para el diseño estructural. Algunas veces se sacrifica la
economía pero nunca la seguridad
Este análisis trata de la resistencia de los materiales y el mismo
desarrolla sistemáticamente la relación entre cargas aplicadas
externamente y los efectos internos resultantes. Las cargas y las
deformaciones inducidas en el cuerpo, se estudian de manera detalladas.
Estas cargas de una u otra manera se estudian para deducir su
comportamiento y luego tomar la decisión acertada con respecto al
material y al diseño del mismo.
Esta totalidad de cálculos se simplifica de gran manera al utilizar una
representación gráfica denominada “circulo de Mohr”, nombre que lleva
gracias a su autor.
Este método permite al ingeniero obtener dichos cálculos de una
manera más sencilla y práctica, adaptando los mismos a las
características a un círculo. Esto forma una base para entender los
problemas de diseño y su solución de un modo fundamental, y
proporciona el respaldo para efectuar un trabajo de diseño seguro y
económico.
TIPOS DE ESFUERZOS:
ESFUERZO DE TRACCIÓN
Consideremos una barra sólida, sometida a la acción de dos fuerzas
iguales y opuestas, además colineales. Ambas estarán en equilibrio,
por lo que el sólido no puede desplazarse y se verifica la ecuación de
equilibrio: P +(-P) =0
Tomemos un sector de la barra y aumentemos su tamaño hasta ver sus
moléculas. Veremos pequeñas fuerzas tirando de cada molécula, que
tratan de alejarlas de sus vecinas. Sin embargo la atracción entre
moléculas opone resistencia con una fuerza igual y contraria, lo que
finalmente impide que las moléculas se alejen entre si.
Si tomamos un par de ellas veremos:
-Pi Fi -Fi Pi
Siendo Pi la acción sobre cada molécula generada por las fuerzas “P” y
“Fi “ las reacciones que opone el material generada por la atracción
molecular (o Atómica)
Si se aumenta “P” por algún medio, aumenta la reacción Fi , que podrá
crecer hasta un determinado límite, más allá del cual las moléculas se
separan irremediablemente, y como consecuencia la barra aumentará su
longitud en forma permanente.
HIPOTESIS DE NAVIER
A fin de facilitar el estudio del comportamiento de los metales frente a los
distintos esfuerzos, Navier propuso la siguiente hipótesis:
Si un sólido es homogéneo, puede imaginárselo como una sucesión
de innumerables secciones transversales paralelas entre si y
perpendiculares a su eje longitudinal .
Podemos imaginarnos a la barra como un mazo de naipes, firmemente
pegados entre sí. Cada sección transversal sería tan delgada como
el diámetro de un átomo.
Al mirar la barra de costado veríamos:
Si tomamos este modelo propuesto por Navier, podríamos extenderlo
un poco más, y pensar en un sólido idealmente homogéneo, donde cada
sección
transversal seria una especie de placa, con el espesor de un átomo,
donde todos sus átomos están perfectamente ordenados y
dispuestos según un arreglo matricial cuadrado .
Sobre cada átomo de cada una de las secciones, actuará una fuerza
Pi , de manera que podríamos escribir : Pi = P/n, siendo “n” el número
de átomos que hay en la sección transversal. Así entonces podríamos
decir que P=∑
i=0
i=n
Pi ( P es la suma algebraica de todas las fuercitas Pi
que actúa sobre cada uno de los “n” átomos) .
TENSIÓN
El modelo atómico de las secciones transversales, resulta muy
adecuado para entender en detalle el comportamiento de un sólido
ideal. Pero los materiales reales distan mucho de esta definición, de
hecho hay una gran asimetría entre lo ideal y la realidad.
A fin de salvar esta dificultad, podemos pensar en un modelo más
“macro”.
Si dividimos a cada sección transversal en un número finito “N” de
secciones unitarias elementales, podíamos decir que al aplicar la fuerza
P, sobre cada sección unitaria elemental actúa una fuerza F i . Así
entonces diremos que P= ∑i=0
i=N
Fi, donde Fi nos indica la fuerza en Kg
que le toca soportar a cada elemento unitario de superficie.
El número de secciones elementales unitarias se puede calcular
fácilmente dividiendo el área de la sección transversal por el área unitaria
: N=S /Si (siendo : S = N . Si ) .
Dado de P= N. Fi y S=N . Si , si dividimos miembro a miembro ambas
expresiones, obtendremos : P/S = Fi/Si , pero como Si= 1, entonces :
P/S = Fi
En adelante a esta fuerza por unidad de longitud, se la designará con la
letra sigma () y la llamaremos: TENSION.
De modo que podremos expresar que σ=P/S
Entonces llamaremos TENSION, al cociente entre la fuerza P aplicada
al elemento y su sección transversal.
ESFUERZO DE COMPRESIÓN:
El esfuerzo, al igual que en el caso anterior es perpendicular a la sección
transversal del cuerpo, pero este esfuerzo tiende a acortar dicho cuerpo
Es la resultante de las tensiones o presiones que existe dentro de un
sólido deformable o medio continuo, caracterizada porque tiende a una
reducción de volumen o un acortamiento en determinada dirección.
ESFUERZO CORTANTE:
Se dice que una sección de una pieza está sometida a cizallamiento o
cortadura cuando sobre ella actúa un esfuerzo cortante, es decir, una
resultante de fuerzas paralelas al plano de la sección. Dado que la
existencia de esfuerzo cortante implica la existencia de un momento
flector variable, una rebanada diferencial de una pieza sometida a
cortadura está también sometida a flexión. Veremos en lo que sigue que,
a menudo, es necesario recordar este hecho para proceder al estudio de
las tensiones producidas por la combinación de momento flector variable
y esfuerzo cortante. Adicionalmente, pueden actuar sobre la sección un
esfuerzo axil y/o un momento torsor. En tal caso, y suponiendo que el
principio de superposición es aplicable, l resultad obtenidos en este
Capítulo deben completarse con los obtenidos en los Capítulos
correspondientes.
Este tipo de solicitación formado por tensiones paralelas está
directamente asociado a la tensión cortante. Para una pieza prismática se
relaciona con la tensión cortante mediante la relación:
ESFUERZO DE FLEXIÓN
Cuando sobre el cuerpo actúan fuerzas que tienden a doblar el
cuerpo. Esto produce un alargamiento de unas fibras y un acortamiento
de otras. Este tipo de esfuerzos se presentan en puentes, vigas de
estructuras, perfiles que se curvan en máquinas, etc.
Combinación de las fuerzas de tracción y de compresión que se
desarrollan en la sección transversal de un elemento estructural para
resistir una fuerza transversal.
ESFUERZO DE TORSION
En física, a esfuerzo de torsión (τ) (también llamado a momento) es a
vector eso mide la tendencia de una fuerza a rotar un objeto sobre un
cierto eje (centro). La magnitud de un esfuerzo de torsión se define como
el producto de una fuerza y de la longitud del brazo de palanca (radio).
Apenas pues una fuerza es un empuje o un tirón, un esfuerzo de torsión
se puede pensar en como torcedura.
Unidad del SI para el esfuerzo de torsión está metros del neutonio (N m).
En LOS E.E.U.U. unidades acostumbradas, se mide adentro pies-libras
(pie·lbf) (también conocido como “pies de la libra”). El símbolo para el
esfuerzo de torsión es τ, Letra griega tau.
ESFUERZOS COMBINADOS
El estado más general de esfuerzo en un punto puede representarse por
seis componente; el mismo estado de esfuerzo se representará mediante
un conjunto diferente de componentes si se rotan los ejes.
Se estudia un estado de esfuerzo tridimensional en un punto dado y se
desarrolla ecuaciones para el cálculo del esfuerzo en un plano de
orientación arbitraria en ese punto, se analizan las rotaciones de un
elemento cúbico con respecto a cada uno
de los ejes principales de esfuerzo y se observará que las
transformaciones de esfuerzos pueden describirse mediante tres círculos
de Mohr diferentes. Se observa que en el caso de un estado de esfuerzo
plano en un punto dado, el máximo valor del esfuerzo cortante, obtenido
antes considerando rotaciones en el plano de esfuerzo, no representan
necesariamente el máximo esfuerzo cortante en ese punto.
También hay varios criterios de fluencia para materiales dúctiles bajo
esfuerzo, como una aplicación de los esfuerzos tensionales
tridimensionales, para predecir si un material fluirá en algún punto crítico.
Dos criterios comunes son: el criterio de la máxima resistencia a cortante
y el criterio de la máxima energía de distorsión. Los dos criterios que se
analizan son: el esfuerzo normal máximo y el criterio de Mohr.
EJEMPLO
Ejemplos
Tensiones Combinadas y Círculo de Mohr
En este ejemplo, en el cual una barra circular se carga en un
extremo con una fuerza descendente y momento de tensión. La fuerza
genera flexión en la barra con el momento máximo en el punto en el que
la barra se une a su apoyo o soporte. El momento da origen a una tensión
por tracción en la parte superior de la barra en el sentido “x” en el punto
que se denomina A, donde la magnitud de la tensión es
Donde Z, es el coeficiente de sección de la barra redonda. Ahora, el
momento de torsión provoca tensión por esfuerzo de corte por torsión en
el plano x-y en el punto A cuya magnitud es de,
Donde Zp es el coeficiente de sección polar de la barra. Después, el
punto A se ve sujeto a una tensión por tracción combinada con esfuerzo
de corte, el caso especial que se muestra en el círculo de Mohr.
Caso General de Tensión Combinada
Para visualizar el caso general de tensión combinada, resulta de
utilidad considerar un elemento pequeño de la pieza que soporta carga
sobre el cual ejercen acción la tensión normal y tensión por esfuerzo de
corte en forma combinada.
Para este análisis se toman en cuenta una condición de tensión
bidimensional. Los ejes x y y se alinean con los ejes correspondiente en la
pieza que se está analizando.
Las tensiones normales σx y σy pueden deberse a una fuerza de
tracción directa o de flexión. Si las tensiones normales fuesen por
compresión (negativas), los vectores apuntarían en sentido opuesto, hacia
el elemento que genera tensión.
La tensión por esfuerzo de corte quizás se deba a corte directo,
esfuerzo de corte por torsión o esfuerzo de corte vertical. La notación con
doble subíndice ayuda a orientar el sentido de las tensiones por esfuerzo
de corte. Por ejemplo, τ xy indica la tensión por esfuerzo de corte que
actúa en la cara del elemento que es perpendicular al eje x y paralela al
eje y. Una tensión positiva por esfuerzo de corte es una que tiende a
hacer girar al elemento que genera tensión en el sentido de las manecillas
del reloj.
Aquí se muestra de que τ xy es positiva y τ yx es negativa. Sus
magnitudes deben ser iguales para mantener el elemento en equilibrio.
Es necesario determinar las magnitudes y signos de cada una de
estas tensiones para mostrarlas de manera adecuada en el elemento que
genera tensión.
Tensiones normales máximas: tensiones principales.
La combinación de las tensiones norma y por esfuerzo de corte que
genera la tensión normal máxima recibe el nombre de tensión principal
máxima. σ1. La magnitud de s1 se puede calcular por medio de la
ecuación siguiente:
σ 1=σx+σ y2
+√( σ x−σ y2 )2
+τ xy2
La combinación de la tensión que se aplica, la cual genera la tensión
normal mínima se denomina como tensión principal mínima, σ2. Su
magnitud se puede calcular a partir de
σ 2=σx+σ y2
−√( σ x−σ y2 )2
+τxy2
Particularmente en análisis experimental de tensión, es importante
conocer la orientación de las tensiones principales. El ángulo de
inclinación de los planos, en los cuales ejercen acción las tensiones
principales, a los que se da nombre de planos principales, se puede
encontrar a partir de la ecuación
Φσ=12arctan [ 2 τ xy
(σ x−σ y ) ]
Este ángulo se mide a partir del eje x positivo del elemento original
que genera tensión hasta la tensión principal máxima, σ1. Así, la tensión
principal mínima, σ2 está en el plano 90º a partir de σ1.
Cuando el elemento que genera tensión está orientado tal como se
analizó de manera que las tensiones principales actúan sobre él, la
tensión por esfuerzo de corte es cero. El elemento que genera tensión
resultante quedaría:
Tensión máxima por esfuerzo de corte.
En una orientación distinta del elemento que genera tensión surgirá
la tensión máxima por esfuerzo de corte. Su magnitud se puede calcular a
partir de la ecuación:
τ max=√( σx−σ y2 )+τ xy2
El ángulo de inclinación del elemento en el que se genera la tensión
máxima por esfuerzo de corte se calcula de la manera siguiente:
Φτ=12arctan [−(σ x−σ y )/2 τ xy ]
El ángulo entre el elemento principal que genera tensión y el
elemento que genera la tensión máxima por esfuerzo es siempre 45º.
En el elemento que genera la tensión máxima por esfuerzo de corte
habrá tensiones normales de igual magnitud que actúan en sentido
perpendicular a los planos en los que ejercen acción las tensiones
máximas por esfuerzo de corte. Estas tensiones normales tienen el valor:
σ=(σ x+σ y )2
CIRCULO DE MOHR
Debido a la gran cantidad de términos y signos que ello implica y a
los numerosos cálculos que se requieren para calcular las tensiones
principales y la tensión máxima por esfuerzo de corte, existe una
probabilidad más bien alta de incurrir en errores. Utilizar el auxiliar gráfico
que se conoce como el círculo de Mohr contribuye a reducir al mínimo los
errores y proporciona un “sentido” más preciso de la condición relativa a
la tensión en los puntos que interesan.
La información que se necesita para construir el círculo de Mohr, es,
desde luego, la misma que se requiere para calcular los valores a que se
hizo mención antes, porque el enfoque gráfico es una analogía de los
cálculos.
¿Cómo se construye?
1.- Realice el análisis de tensión para determinar las magnitudes y
los sentidos de la tensión normal y de la tensión por esfuerzo de corte que
ejercen acción en el punto que interesa.
2.- Dibujar el elemento que genera tensión en el punto que interesa.
Las tensiones normales en dos planos, cualquiera que sean,
perpendiculares entre si se dibujan con tensiones por tracción positivas:
que se proyecta hacia afuera del elemento. Las tensiones por compresión
son negativas: su sentido es hacia dentro de la cara. (Si se grafica la
resultante de todas las tensiones normales que actúan en los sentidos
que se selecciona se considera que las tensiones por esfuerzo de corte
son positivas si tienden a hacer girar el elemento en el sentido de las
manecillas del reloj (cw) y negativas si el giro es en sentido contrario.
3.- Establezca un sistema de coordenada rectangular en el cual el
eje horizontal positivo representa tensiones normales positivas (por
tracción), y el eje vertical positivo representa tensiones positivas por
esfuerzo de corte (en el sentido de las manecillas del reloj) por lo tanto, el
plano que se crea se designara como el plano σ – τ .
4.-Trace los puntos en el plano σ-τ que corresponde a las tensiones
que ejercen acción en la cara del elemento que genera tensión. Si el
elemento se dibuja en el plano x-y los dos puntos a graficar son σx, τ xy y σy,
τ yx.
5.-Trace la línea que conecta los dos puntos.
6.- la línea resultante cruza el eje σ en el centro del círculo de Mohr
en el promedio de las dos tensiones normales que se aplican, donde:
σ promedio=(σx+σ y )2
Nótese que en el elemento que genera tensión que se ilustra σx es
positiva σy es negativa τ xy es positiva y τ yx es negativa. Esto es Arbitrario a
fin de ilustrar. Quiere decir que puede existir cualquier combinación de
valores positivos y negativos.
También se nota una formación de triagulo recto, el cual tiene los
lados a, b y R. donde
R=√a2+b2
Al revisar se puede observar que:
a=(σ x−σ y)2
b=τ xy
Circulo de Mohr terminado de forma parcial pasos 1-6
El punto que se identifica con O se encuentra a una distancia de σx-a a
partir del origen del sistema de coordenadas.
7.- Dibuje el círculo completo con el centro en O y un radio de R.
8.-El punto donde el circulo cruza el eje O a la derecha proporciona
el valor de la tensión principal máxima, σ1.
9.-El punto donde el circulo cruza el eje O a la izquierda proporciona
la tensión principal mínima, σ2.
10.-Las coordenadas de la parte superior del círculo proporcionan la
tensión máxima por esfuerzo de corte y la tensión normal que actúa sobre
el elemento que tiene la tensión máxima por esfuerzo de corte.
Los siguientes pasos indican como calcular los ángulos de
inclinación del elemento que genera la tensión principal y el elemento que
genera la tensión máxima por esfuerzo de corte en relación al eje x
original.
Nota: Es importante señalar que los ángulos del círculo de Mohr son
el doble de los ángulos reales. La línea a partir de O a través del primer
punto que se gráfico σx τ xy representa el eje y original. En elemento
original, estos ejes están separados por una distancia de 90º, no 180º, de
allí donde viene la característica de doble ángulo del círculo de Mohr.
11.- El ángulo 2Φσ se mide a partir del eje x según se define al eje σ1.
Nota: Es importante señalar el sentido a partir del eje x hacia eje σ
(en el sentido de las manecillas del reloj o contrario al de las manecillas
del reloj (ccw)). Esto es necesario para representar en forma correcta la
relación del elemento que genera la tensión principal con el elemento que
genera la tensión original.
12.- El ángulo a partir del eje x en el círculo hasta la línea vertical
que pasa por τmax proporciona 2τ . A partir de la geometría del círculo se
puede observar que:
2Φτ=90 º−2Φσ
13.- El paso final en el proceso de utilizar el circulo de Mohr consiste
en dibujar los elementos que generan tensión resultantes en su relación
adecuada con el elemento original.