“CIRCUNFERENCIA CON CALCULADORA” - … · 2) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento...
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Nº 15 – FEBRERO DE 2009 C/ Recogidas Nº 45 - 6ºA 18005 Granada [email protected] ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 1 “CIRCUNFERENCIA CON CALCULADORA” AUTORÍA ISABEL MARÍA RUIZ FERNÁNDEZ TEMÁTICA MATEMÁTICAS Y NUEVAS TECNOLOGÍAS ETAPA 4º ESO Resumen Mediante la ayuda de la calculadora científica vamos a contribuir a la mejora de estructuras mentales de nuestro alumnado estudiando formas geométricas como la circunferencia y relacionando su ecuación con sus características geométricas. Además les ayudaremos a familiarizarse con la circunferencia tan presente en la Naturaleza y Arquitectura. Palabras clave Construcción de la ecuación de la circunferencia con ayuda de una calculadora científica. 1.- INTRODUCCIÓN Se trabajará en grupos de 4 ó 5 alumnos, disponiendo cada grupo del material necesario. En ningún momento se debe exigir la aplicación ciega de una determinada regla de cálculo, o la memorización de una expresión nemotécnica, con sus reglas de operación. Todo se deberá basar en los trabajos realizados por los grupos y en las posteriores puestas en común. Se dejará la calculadora para que todos la trabajen en grupo (si no hubiera una para cada alumno/a), y vayan probando posibles soluciones o posibles vías de resolución de los problemas planteados. El alumnado propondrá ejercicios donde ellos desarrollen su imaginación y eso quedará recogido en ese grupo para poderlo exponer al resto de la clase. Excepto en los momentos de debate y puesta en común, en las resultantes actividades es necesario disponer de una superficie amplia y despejada, mayor que la de las aulas usuales, por lo que habrá que hacer uso del SUM o de alguna otra dependencia disponible.
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Nº 15 – FEBRERO DE 2009
C/ Recogidas Nº 45 - 6ºA 18005 Granada [email protected]
ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007
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“CIRCUNFERENCIA CON CALCULADORA” AUTORÍA
ISABEL MARÍA RUIZ FERNÁNDEZ TEMÁTICA
MATEMÁTICAS Y NUEVAS TECNOLOGÍAS ETAPA 4º ESO
Resumen Mediante la ayuda de la calculadora científica vamos a contribuir a la mejora de estructuras
mentales de nuestro alumnado estudiando formas geométricas como la circunferencia y relacionando su ecuación con sus características geométricas. Además les ayudaremos a familiarizarse con la circunferencia tan presente en la Naturaleza y Arquitectura.
Palabras clave
Construcción de la ecuación de la circunferencia con ayuda de una calculadora científica.
1.- INTRODUCCIÓN
Se trabajará en grupos de 4 ó 5 alumnos, disponiendo cada grupo del material necesario. En
ningún momento se debe exigir la aplicación ciega de una determinada regla de cálculo, o la memorización de una expresión nemotécnica, con sus reglas de operación. Todo se deberá basar en los trabajos realizados por los grupos y en las posteriores puestas en común. Se dejará la calculadora para que todos la trabajen en grupo (si no hubiera una para cada alumno/a), y vayan probando posibles soluciones o posibles vías de resolución de los problemas planteados. El alumnado propondrá ejercicios donde ellos desarrollen su imaginación y eso quedará recogido en ese grupo para poderlo exponer al resto de la clase.
Excepto en los momentos de debate y puesta en común, en las resultantes actividades es necesario disponer de una superficie amplia y despejada, mayor que la de las aulas usuales, por lo que habrá que hacer uso del SUM o de alguna otra dependencia disponible.
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Como introducción a la calculadora en esta actividad se podrá exponer una viñeta como está para hacer recapacitar en el buen uso de las nuevas tecnologías en el aula.
Esta actividad está recogida en el currículo dentro del bloque de Geometría para 4º E.S.O. donde desarrollaremos:
a) “El reconocimiento, descripción y representación de figuras, cuerpos y composición geométricas”.
b) “La construcción en el plano y en el espacio de forma fundamentalmente manipulativa” 2.- MATERIALES UTILIZADOS
Se utilizarán diversos materiales para esta unidad didáctica: 1) calculadora ClassPad 300 de Casio, 2) cuerdas de diversas longitudes, 3) varillas de madera, de las utilizadas en modalismo, 4) tiras de cartón, similares a las piezas de un mecano, 5) circunferencias provistas de un soporte que permita hacerlas rodar controladamente, 6) lápices de colores, papel cuadriculado, etc.
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ISSN 1988-6047 DEP. LEGAL: GR 2922/2007 3.- ACTIVIDADES EN EL AULA 3.1.- Actividades introductorias: 1) Proponemos a debate: ¿Qué figura determina? Utiliza la parte de la calculadora que consideres más oportuna o más te ayude a visualizar el problema.
a) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. Figura 1
b) El lugar geométrico de los puntos del plano que estén a igual distancia respecto a un eje y un
punto. Figura 2
c) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dos rectas. Figura 3
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Una vez finalizada la discusión, se procederá a la obtención de las ecuaciones de cada uno de dichos lugares geométricos, con ayuda de las gráficas conocidas por todos los alumnos:
X
Y r
(a,b)
(x, y)
(0, 0)
F
Y
X
r
r
1
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Figura 1 Figura 2 Figura 3 A continuación pasaremos a ver estas ecuaciones obtenidas en coordenadas cartesianas en polares y en cada caso cuales claramente son las más convenientes.
Veamos otra práctica para reafirmar los conocimientos: 2) Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento AB, tal que A=(2, 2), B=(8, 0) Para ello recordaremos que la mediatriz es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que distan lo mismo de los extremos del segmento, o sea, con un punto cualquiera P=(x,y) que pertenece al lugar, se cumplirá d(P,A)=d(P,B)
A
B
P = (x, y)Y
X
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3) Apoyándonos en la idea de que la ecuación F (x, y) = 0 representa una curva, resulta sencillo encontrar los puntos de intersección de dos curvas. Para ello es preciso evidentemente, resolver simultáneamente las ecuaciones que las representan, lo cual se podrá transmitir fácilmente por un ejemplo. De forma algebraica:
a) Hallar los punto/s de intersección de las curvas: a1) x+2y+3=0; 3x+y-4=0
a2) x2+y2=4; 3x+y-4=0
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3.2.- Actividades de refuerzo: 1) Halla la ecuación de la circunferencia: centro C(3,2) y radio 4.
2) Calcula centro y radio de la circunferencia x2+y2-4x+2y-4=0.
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(escoger la escala adecuada pues si no parece una elipse)
3) Halla la ecuación de una circunferencia sabiendo que pasa por los puntos A(0,0), B(2,0) y C(1,1).
4) Halla la ecuación de la circunferencia concéntrica con la circunferencia de ecuación: x2+y2-4x+2y-3=0 y radio 2 unidades.
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5) Halla la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en la recta x+y-2=0 y pasa por los puntos A(4,-1) y B(-1,-2).
3.3.- Actividades de ampliación: 1) El triángulo de vértices ABC es isósceles. El lado desigual tiene por extremos A(3,1) y B(-2,3). El vértice C está en el eje de ordenadas. Hallar las ecuaciones de los lados del triángulo.
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2) Los ejes de coordenadas y las rectas 3x+4y-12=0 y x+y-6=0 forman un cuadrilátero del que se pide su perímetro y área. Sumamos todos los resultados:
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Para el área la da la calculadora:
3) Determina sobre la recta 3x-5y+25=0 un punto que diste lo mismo de A(3,4) y de B(7,8). Dibujamos los puntos y la recta:
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El punto intersección de la recta y de la mediatriz de A y B, será el punto buscado:
4) Calcula la ecuación de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r=4x-3y=0 y s=5x+12y-7 = 0. Dibujamos las dos rectas r viene dada por los puntos A y B y s por los puntos C y D:
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Calculamos las ecuaciones de sus dos bisectrices y su representación:
4.- CONCLUSIÓN 4.1.- Logros
Con estas actividades hemos conseguido en nuestro alumnado que aprenda, asimile y construya: a) la circunferencia con su ecuación canónica y su ecuación general, b) la ecuación general de segundo grado con dos incógnitas como ecuación de una circunferencia,
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c) la localización de las coordenadas cartesianas en el plano, d) estudiar la circunferencia como caso particular de lugares geométricos.
4.2.- Usos
Además han aprendido a manejar estos conceptos: a) las ecuaciones canónicas, en función de las coordenadas del centro y del radio, y general de
una circunferencia, b) las condiciones que deben cumplir los coeficientes de una ecuación general de segundo
grado con dos incógnitas para que sea la ecuación de una circunferencia, c) el cálculo de las coordenadas del centro y del radio a partir de la ecuación general, d) las coordenadas de puntos del plano, e) representar gráficamente algún lugar geométrico.
4.3.- Actitudes: Fomentar en el alumnado estos valores es la pieza clave para la finalización de dicha actividad:
a) Valoración de la geometría analítica como método de estudio de la circunferencia y sus propiedades.
b) Confianza en las propias capacidades para comprender las relaciones que se dan en figuras planas y resolver situaciones variadas.
c) Tenacidad en la búsqueda de soluciones a los problemas de la geometría analítica. 5. BIBLIOGRAFIA
http://www.calculadoras.com.mx/calculadoras-graficadoras-casio/classpad-300plus.php http://www.isftic.mepsyd.es/formacion/enred/ http://www.adideandalucia.es/ http://www.juntadeandalucia.es/averroes/ http://thales.cica.es/ http://www.aula21.net/primera/matematicas.htm
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Autoría
Nombre y Apellidos: Isabel María Ruiz Fernández Centro, localidad, provincia: I.E.S. “Sayena”, Castell de Ferro, Granada E-mail: [email protected]
