Clase 11 Series y Sucesiones-2
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Series y Sucesiones Objetivo: Comprender las progresiones aritméticas y
geométricas y sus aplicaciones en inversiones, amortizaciones y prestamos.
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Definición de Sucesión
Una sucesión o progresión es una lista ordenada de números.◦2,5,8,11…◦3,6,12,24,48…◦0,1,1,2,3,5,8,13,21,… Fibonacci
Puede ser finita o infinita.Los términos de la sucesión se denominan
T1, T2,…, Tn
Tn es el término general
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Progresiones Aritméticas y el Interés simple
El señor Muñoz pide prestado $5,000. al banco a un interés del 1% mensual. Esta de acuerdo en pagar $200. al capital cada mes, mas los intereses del balance.
Una sucesión es una progresión aritmética si la diferencia entre cualquier termino es la misma y de denomina d
a=250, d=248-250=-2 a, a+d, a+2d, a+3d Tn=a+(n-1)d
Capital Intereses Abono
5,000 50 250
4,800 48 248
4,600 46 246
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Ejercicios
Calcule la formula para la serie:◦1,5,9,13…◦Calcule el termino 15 y el 20.
Una empresa tiene un equipo que costo $1,700. el cual se deprecia $150. anualmente. El valor de desecho es $200. Cual es la vida del equipo?◦a=1,550◦d=1,400-1,550=-150◦Tn=a+(n-1)d, Tn=1,550+(n-1)(-150)
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Ejercicios
Los pagos mensuales de un préstamo que debe Alicia forman una serie aritmética. Si los pagos sexto y decimo fueron de $345 y $333 respectivamente. De cuanto será el decimo quinto?
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Suma de n términos
En ocasiones es importante saber cuanto suman cada uno de los términos, para saber cuanto se ha pagado o cuanto he ganado. Esto se hace con la siguiente formula:
Calcule cuanto ha pagado el Sr. Muñoz al termino del primer año, cuando termina de pagar y cuanto pago de intereses en total.
dnan
Sn )1(22
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Tarea
1. Encuentre Tn para:1. 5,3,1,-1…2. 2,3.5,5,6.5,…3. Si el tercero y el séptimo son 18 y 30
encuentre el Termino 15.4. Una maquina con un costo de $1500, al cabo
de 9 años vale $420. Calcule la depreciación anual.
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Definición de Progresiones Geométricas
Si la razón de cada termino de una progresión, es siempre la misma con respecto al termino anterior, se tiene una progresión geométrica y esta razón constante se denomina Razón común.
El interés compuesto es un ejemplo de una progresión geométrica.
M=C(1+i)n C=1000, i=10% calcule… Encuentre la razón común en: 2,6,18,54…
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Formula y ejemplos
Los términos en una serie geométrica están dados por la formula: Tn=arn-1
Encuentre los términos 5 y 10 de la serie anterior:
Una maquina se deprecia a una tasa del 20% de su valor anualmente. Su costo original fue de $10,000. y su valor de deshecho es $3,000. encuentre la vida efectiva de la maquina.◦a=10,000. r=4/5
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Suma de terminos
Para sumar los términos de una serie se utiliza la formula (si r<1)
Si r>1
rra
Sn
n 1
)1(
1)1(
rra
Sn
n
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Ejercicio planes de ahorro
Cada año una persona invierte $1000 en un fondo de ahorro que le brinda 8% anual. Cual es la cantidad que tiene ahorrada después de 10 años?
1)1(
rra
Sn
n
645,16108.1
)108.1(1000 11
S
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Cada mes una persona invierte $1000 en un fondo de ahorro que le brinda 2% mensual. Cual es la cantidad que tiene ahorrada a fin de año?
a=1000r=1.02n=13
Ejercicio planes de ahorro
33.680,14102.1
)102.1(1000 13
S
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Ejercicios
1. Una maquina se deprecia al 25% de su valor anual. Su costo fue de $10,000. cuando valdrá menos del 10% en libros?
2. Alfredo hipoteca su casa a 5 años con una deuda de 19,500. Planea ahorrar una determinada cantidad cada mes con una tasa del 10% anual. Con capitalizaciones mensuales. Cuanto debe de ahorrar cada mes para lograr pagar el adeudo en la fecha de pago de la hipoteca.
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Valor presente
Valor actual del dinero cuyo monto se considera equivalente a un ingreso o egreso futuro de dinero.
Ejemplo: Un estudiante decide vender su auto. Tiene 2 compradores uno le da $66,000 ahorita y el otro le da $6,000. al mes a una tasa del 1.5% mensual arriba de la inflación. A quien le conviene mas vendérselo?