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Todos Jos derechos reservados:

1980, EDITORIAL LIMUSA, S.A. Balderas 95 , Primer piso, Mxico 1, D.F. Miembro de Ja Cmara Nacional de Ja Industria Editorial. Registro Nm. 121

Primera edicin: 1976 Primera reirn presin: 1980

Impreso en Mxico (334 7)

ISBN 968 - 18 - 0681 - 6

.1u--~

5,f\ .. . . "Ir:", . ,. . ~ .. :4_ t s '

~ lf: t8 iJ,L/il/q9 4!11- 1NJ

SERIES TOMO 11

YU TAKEUCHI

Profesor Titular de la Universidad Nacional de

Colombia

'l' t ~ EDITORIAL LIMUSA

MEXICO

PROLOGO

Este libro no es un cexto de estudio . Est dirigido a

personas interesadas en aprender a manejar y dominar sucesiones y s.rties .

Un buen conocimiento y mane ;o de las sucesiones y 1 as senes es indispensable para quu:n aspire a escudiar y pro fu!}

C O \:TE\JIDO

To m o 1 1

Capitu10 l\' Pl\.OOL'CTO IN FlNITO

2'i ProJucco 111fi111co 2(> C\lndic1ri11 de C,iuchv

Ej erci c1us .1diuo11alcs c,1ptulo \ ' Sl 'CESIO:'>i DE Fl''.'JCIONFS

, _ Limite de un,1 ..;uccs1(,n Je unc1011es -, 2!~ ( on,-crgc11ua u111 forme

~) \lgu11,1s prop1cd,1de" de l.1 converge11C1,1 ulllformc ::,o CundCI

E] EMPL O 56

p n

00 1 lll+--y!. n = 1 n +

( 1 + i )( 1 + f > ( 1 + ~ )( 1 )" '4-.. 5 2/~

n _._ 2 yl = n ~2.

1 + n:;:-T)

Como ? lP 1 = l n .~ - ! -. + oo ( n-oo ) , entonces el producto diverge a

n -

+ 00 "" 1 l (1 + --)

n=l n + 1 + 00

E] EM PL O 57

p n

n n=l

l 1-_J_I n + 1

( 1. i)(l ..l..; ( 1 __ 1_) :: 3

J_ ,Z ,% / ,J /

n .~ 1

. .L.. ~ _1_ O ( n ~ > , n + 1 n + 1

en ton ces el producto diverge a cero (no se puede decir /el produc-to converge a cero ! )

[J ( J _J__) .e O , n = l n -1 ll

NOTA En el caso del producto :

(J.-1- ), n '" 1 n

el primer factor es O. luego P n ~ O p ara todo n. Para evitar el re-sultado trivial lP n ! = l O, O, O, , O, 1 consideramos el prQ dueto a partir del segundo factor eliminando el factor nulo , as se obtiene el producto infinito del ejemplo '17 EfEMPLO 58

Sea

p n

(1

222

"" 11 1 n = 1

..l. )( 1 -S-> 2- 3

. . ') ' (n .._ 1 r

( 1 --'--- ) ( 11 - 1 r

u --4-;u - J....J 2 3

1 ,z' ,}'~

n+2 n .._ 1 2

1 1 ( I 1 ( 1 ~) ( 1 + ~) l +-3 ) ( 1 +---.. ) n+1 n+i

,Ji J.. ~ -;;;J 2 "'.

n+2

0 2 ( n - "")

entonces, el producto ininito 1 converge T o se a

n 1. 1 2 1 n=I (n + l)

Observacin

1 2

El producto 00 1 00 1 l (1 +--) diverge a + oo y e{ produc to n ( 1 -- ) 1 n +l 1 n+ l

diverge a O , y el p roducto de los dos p roductos divergentes :

00 1 00 _l_ 00 1 n r1 +--.J x n u . 1J = n r 1- 2 J 1 n+l 1 n+ 1 (n+l)

converge en el ejemplo 58, caso similar a l a serie infinita l a suma de dos series divergentes puede converger, por ejemplo

00 1 =l+-1-+J_+ ~

1 2 n I 3 5

00 1 = .l.. .J..._1 __

' .... --1 2n 2 4 6

y ~ 00 _I_. _1_ ] 1 2n 1 2 n

1 1 1 1 --+-:.-+ 2 3 4

EJEMPLO 59

Sea 00 l ((. I) n + -L] n= 1 n + 1

p n "" r .J...r....J(. !...J(i.. Jr. l. J 2 3 4 5 6 (n + 2 ) n + 1

{ (-1 )~.l.. si n es im p ar

= + OQ '

00

log 2

( . n ) n+I

t ( -1 ) n/2 : .._ 2 2(n + 1) si n es p ar.

223

entonces

lim P ll

-1... 2

y el producto in finito diverge,

F.fER C ICIO 159

L 2 lim P -- ll

Investigar l a convergencia o d i vergencia del p roducto infinito

,,.,~3-11 11 , 3 n=- n + 1

Sol uciu

ll 3 1 ( n 1)( 11 2 + n + 1)

(n+l)J +l 2 2 ( n + 2) ! ( n + 1 ) - ( n + 1) + 1 ! = ( n + 2) ( n + n + 1 ) ,

s ea p n n+l k 3 -l --;-

k = 2 k ) -e n tone e s

p _7 2 ') ( 3 ( 2-1)(- c 2~ 1) (3 . 1)(3 d+l) (n-l!(n---n+l) X n+l) " J

X ~ )( ,. X 2 ) 9 ( 2 +2!( ~-.- 2+2) (n+li[(n-li +(rz- 1)+1 (n+2i(11---n+li ll

l 2 3 !(n- 1J 3 1 ! 9 n ( n - 1)( n - 2)

1J se a,

2 3

(n ~oo)

3 l J ,, fl 3 1 1 el producto converge a 11=2 n

E] ER CJCIO 160

2 3

Hallar el p roducto p arcial e in vestigar l a convergencia o diverg encia

del producto infinito :

"" I1 11 =o

\'1Jl u ci11 Sea p 11

zn X x i

. 1 (1 -

11. 1 2k l ( l + x) k=o

en tonces , por inducci n se tiene :

224

< 1

'iiii.......__

p 2 + X-'- X +. + p n.1) ' (3) = 1 n

En realidad:

(A) P= l+ x.

(B) Suponemos v lida la reiacin (3), entonces

pn+ l p X ( J + Xzll ) ll

J ( 1 + X+ X- +- + x2 n. 1 )(1 - x 2" )

2n. 1 211 r:zn+lj l+X+- .L-X .._ X +:( -+-

De ( 3) se tiene

7 n+ l + X: - 1)

lim p n-+00 n

"'00 x1l ()

----.

J X l 1 el pro ducto converge a --

J X

2 6 Condicin de Cauchy

Dado un producto infinito l a , aplicando la condicin de Cauchy a 1 n n

!a sucesin 1 l k ! , junto con la exigencia de que el lmite sea di/e -k=l

rente de cero en caso de convergencia , obtenemos el s iguiente teorema :

1 TEOREMA 21

. El producto infinito .,,,

f1 aTI converge si y slo SI , n=l

dado f > O existe ,\/ tal que n );. .\/ implica

! n+ 1 x n+2 x ' ' ' x n+q 1 ' < ( para todo p = 1, 2, 3, (4)

La condicin ( 4) se llama Condicin de Cauchy para el producto infinito.

Demos traci n ( i) Suponganw s que

00

11 a n = I n

p ( P -i O ) , o se a

225

lim n__,

p n

lim n-.oo

n

n k k=l p

Como P f. O , dado e > O existe N tal que

n > N implica n

\ ~ k - P \ < mnimo de 1~ .El 1 k-1 4 2

' .

Entonces si n ;;:. N tenemos para todo q:

1 n+q r= 1 k n 1 n+q 1 1 n 1 n J?. < 1 n k - P + n k - P O , k= 1 ' 2 2 n

dividiendo la desigualdad (5) por \ Il k \ ( f. O ) se tiene k= 1

n+q n k 1 k= 1 --n

.:;: ( IPL / nn k 1 < .!.EL/IPI 27 ' 1 ' 2-2 o sea

n k k=l

1 n+q 1 Il_ k - 1 < ( k-n+l (i) Ahora, supongamos la condicin (4), entonces :

laN+lxN+2 x x aN+q \ < l+f para todo q,

( .

(5)

esto es, la sucesin 1 ln k 1 es acotada #JisJ1.a.. , o sea que existe k= 1

una constante M ( > O) tal que n

1 Il k 1 ,.::; M k=1 para todo n.

n En la desigualdad (4), multiplicando por \ Il k ! se tiene:

1 . . . . . . .

#Nota Basta escoger una cota M como sigue:

n ~ M =Mximo l ! l 1 ak '. ,n=1,2, N, :n 1 ak '. (l_._fl l.

226

1 [ 1{ ak] x and " k" 1

n n x a q- l ak\

sn = log pn = (log 1> + (/og 2) +. + (log n)

es la suma parcial de la serie

" (/og a ) n= 1 n

Se ve irunediacamente que P _. P "' O si y slo si n lo g P n = S n -+ lo g P (n .... "" ) ,

(6)

o sea que la serie ( 6) converge si y slo si el producto infinico l ~ n con verge . Se puede ver porqu hemos excluido el lmite O en caso de la CO.!!. vergencia del producto , ya que si P n .... O entonces la serie ( 6) di-verge ( log O NO EXISTE. ) Aplicando la condicin de Cau_ '.'v a la serie (A) se ciene :

n+q i r log k ! < ( k=n+l

(para n ;;;. N , para todo q > O )

o ! log l an+l x x n+q l 1 < f,

Enconces

ef < n+I X X n+ q < e(

Para 1 pequeo , tenemos la siguience frmula de aproximacin

e( =. 1 + f , e"( = 1 f ,

por lo canco se tiene :

1 f < n+ l x x n+q < l ... f ,

o sea

1n+1 x x n-..q - 1 \ < f (Condicin (4 ) ) .

EJEMPLO 60

En el eiemplo 57 , hemos visto que el producto

ge a cero. Observemos la serie:

228

""

""' -1 log ( 1 ..J..- n .._ 1

n 1

1 . -1.., ) d " 11 - 1 1ver

De> la desigualdad conocida :!:!.2.l!!. : fog(lx ) ' X (O < x < l )

se tieue :

' 1 - log ( I -- ) 11 = 1 11 ... 1

< ~"" _ _L. 11 =1 11 ... 1

-r"" __l_ n= J 11+ 1

U JROI . AR/O

"" Si el producto n n 1 converge cnconces

lim n --+OU

a,, = 1

Demostracin

En l a condicin (4), tomemo s q = 1

n+l - 1 < f

= 00

(7)

Fvidencemente , lim n = 1 es la condicin necesaria para la conver /1-+0C

gencia del producco ( Ejemplos 56, 57 ) . F:n el caso de la serie ~00 a11 la n = I

condicin correspondience fue

lim n = O, /l->00 ( Condicin necesaria para}_ a conv er )

gencia de l a serie ~ a n= l n

De la condicin (7) , es conveniente escribir los factores del producto n ( n = l , 2, 3. ) en la forma

n = 1 +un ( n=l,2,3, ),

as , nuestro producto infinito se expresa como : 00

11 ( 1 + un ) n=l

(8)

. . . . . . . . . . . . . . .

11 Nota

log ( 1 x) = x .2 . x3 2 3. < X, 229

y la condicin necesaria para la convergencia del producto infinito (8) es ,

~~un =O, (9)

C-Onvergencia absoluta

Dado un producto infinito (8) , si el producto

l00 ( 1 + \un l J n = 1

converge entonces se dice que el producto (8) converge absolutamente , y tenemos el siguiente teorema :

TEOREMA 22 La convergencia absoluta implica la convergencia del producto infinito

Demostracin

De la s iguiente desigualdad :~ 1 ( 1 + u 1)(1 + u 2) ( 1 't' u ) - 1 1

n+ n+ n+q

..S: (1 + jun+l \ )(1 + \un+2i> '' (1 + lnn+q\> - 1' ( 11)

l a condicin de Cauchy para el producto ( 10), implica la condicin de Ca!!. ch y p ara el producto (8)

Nota \U + A 1)( 1 + A2 ) ... (1 + Aq) - 1

= \(A 1 + A 2 + ... + Ac( .,_rA 1 A2 +A1 A 3 + l + .. + (A1 A2 ... Aq)\

~[\ A 1 + \A 2\ + .. + JAq\ l +l! A \\A 2\ + ... l + .. +[\A 1A 2\ ... \Aq\ ]

= ( 1 +JA1J>U + IA,2\ > ... (1 +\ Aq\> - l. Observacin

La serie 2. n converge si converge la serie 2. 1 n \ , mientras que el producto TI ( 1 + un 1 converge si converge el producto l ( l + \un\) 230

C-Orrespondiente a la serie de trminos positivos , 2 a , a ~ O , con-n n

sideremos el producto de la forma rr ( 1 + un) , un ~ o ' sea p n el produf_ co parcial :

n pn fl (1 +uk) = (J +uJ) X .. x (l +u) k= 1 n

entonces n+ 1 p n+ 1 = ~ = 1 ( 1 + u k) '"' (1 + u 1) .. (1 + un)( 1 + un+ 1)

= p n' ( 1 + un+l) Como un ') O para todo n , entonces l + un+ 1 ). 1 , o sea

P n+l ) P n ( para todo n ) ,

esco es , la sucesin !P n ! es creciente , entonces C '~ 0 ,emos el siguiente r~ sultado:

El producto infinito l 00 U+u) n=1 n

(un .O) COn ';erge1 diverge a +oo.

TEOREMA 23

El producto infinito n: ( 1 + un>, un ~ O para todo n, converge n-1

si y slo si la serie 2 00 u converge . n= 1 n

Demostracin

Sean sn = UJ +uz+ ... +un. pn = (l+u1>U+u2J ... (l+un)

de ta desigualdad:

sn = u 1+u 2 + ... +un~ (l+u 1J(l+u 2 J U+un) = Pn

se tiene que la convergencia del producto infinito implica la convergenda de ta serie. Por otra parte , tenemos la desigualdad : 11l:iJllp.

entonces

p n

( 1 + uk) ~ euk

(l+u 1 JU+u2) ... (l+un) ~

(uk ~ O )

u1 e

u2 un e , , , e

UJ + u2+,. +U,, e

s en

231

por lo tanto, la convergencia de la serie implica la acotacin de !P nl, o sea que el producto infinito converge'

:t ,'iota Si x ;:. O se tiene:

2 3 ex =l+x+....!...+.2'..... +

J 1 ' I - ) .

EJEMPLO 61

00 1 w n r 1 + -;;::rJ n = 1 n +

diverge ya que

j- 1 + X'

..,.oo_L -1 n + 1 + OQ.

( ) n e 1 - 1 Jl n = 1 ( n + 1)-

converge absolutamente ya que

ge 3

00 1 l con ver 1 (n+l) -

(i ii) 11 ~ n =2 n3 +l

""' 2 n ! 1 -~ ! converge absolutamente ya que n=2 n + 1

la serie 00 ?

..,. _...::--

2 nJ + 1 converge

i v) n "' ( 1 + ~) ' \x\ converge absolutamente ya que la serie n = I

~:'IO ' xn 1 = -

""

'l. X ! < 1 x in con ver ge si

EJEMPLO 62 Sean !an! Y lhnl dos sucesiones tales que

n b

= 1 + _!!_ '

lim bn = b > o ' n+l n n->oo

demostrar que lim a n =o. n->""

Solucin

Como lim bn = b > o' existe m tal que n->00

bk > o para todo k ~ m

Tenemos

232

........___

11 k

11 h il-~I h 1 h J b 11-~\ll - ~1 ... !1+~1 1 111. k

/ '

0 111- 1 a ,

m . ....:

111 1 111 - 2

a 111 '-JI

111-11. I

111+1

m"-11+1

m --i-11

a serie ,- Jl/f< -. \' O ' /LH' la serie dir '

entonces

u11 = (1, i ex/11 ll 1

pero , de la desigualdad ,.~.!::i..JiJ.JI L o t 2 1-(l + t!e 't

se lene que 2 X

( si / 1 )

u . --n , . 2 (para 11 mayor que xi ) . 11

Enm11ces l a serie s: 1 11 11 converge.

;f l:!!J.I..J. J_ \'ea j (t) ' 1-(l./)et e11/onces / (0) = O , j' ( ) = t eI

,, 10 r 111 11imo de /( ti es igual a c ero, o sea que f ( t! } O 1ara todo

) t \ ea g(t) - ,- I 1 ( 1 ti e i e11to11ces g(O) O,g(IJ ~ O,

g'(t) ' 2t te" 1 ~ t(2. e" 1 ),

por lo tanto, se tiene que g(t) /' O ;,i 1 / -1

'~ SOT.\ 2 ; 1ili=a11do el smbolo O te11emos

_\',}} 1 X ()( i.:,,2) (' 1/

- 2:. ) e Yi ;J ( 1 .!.Jil-~ 01..J, ( 1 11 11 IJ 11

_()(~) 11

? O) ( s-

Sea P n

entonces

el producto parcial :

Pn ~ U- u 1Hl - u 2 ; 11 - u ) 11

P,,_.. l ~ ( 1- 11 1! . ( J-1111 )( 1 -un+ l ) = Pn (l -11n+ li -:c pn

o sea que la sucesin ' P ! 1 11 es J ecrecience, e inferiormc>nce acocada por

O , luego cx1sce el 1 mice:

l im P 11 ~ p . ]J-.. cx.

FI l mitc P puede ser cero , enconccs cenemos el s iguience resulcado :

\ El producto J I r 1 - /1 ) 1

11 1 11

vergc , ) Ji n:r gc .i e ero L . --

T l'

ii! a < 1

lim n->OO

n n (J.a+l) k= 1 k

0"(1.a+I) k= 1 k

entonces la serie diverge.

ii i) a = 1

n (. 1 11 la serie ~ n ~(-i!fl

f:] E RC/ CIO 166 Veriicar la sigui ente identidad:

(1-...:;_)(l-.L) 1 2

( 1 ...LJ n

+oo'

diverge.

1 x . ~- xPara todo k natural ( k -:;:, n) se tiene :

_(.l)n ~x-1),.(xn-li JJ !

j(k) = . k - k(k-1! 2 !

k(k 1Hk 2) - ... - ( . l)k k(k 1) 1 3 ! k !

1 ---(~) (.1) +eJ (.1)2 -e) (.1)3 -(;') (.l)k = ( 1 1 k = o (desarrollo binomial) ,

entonces S! ti en e

f ( x! = O ( 1 -:!..) ( 1 : ..:;_ ) . . ( 1 . I 2

X \ -1

11

donde O es una constante. Reemplazando x = O tenemos :

~38

f (0) I = O ,

por lo tanto , obtenemos la identidad deseada

Evidentemente el producto

n"" ( 1 ~) (X ) 0) k= 1 k

dfoerge a cero ya que ' X -; +oo,

Por otra parte tenemos:

( l)k . x( X 1) , , . (X k + 1) k !

( 1) k (X 1) (X 2) . , . ( X k - 1) (k. 1) '

(.1;k+ 1(x li(x- 2) .. (xk. :Jl x-k) k !

2)

entonces :

1 ~ " (. l)k X (X 1) ., , (X k + 1) k= 1 k !

1 x- ~"" (-l)k(x- li ... xk-1) _ (.l)k+l(x J) (xk) k = 2' ( k. 1) .' k !

1 . 1. rk-l(.J) x- lxn- l1 m x .. . ( x-k) o ( X ' 0 ) ,

k~oc k .'

'J sea que la serie converge a cero.

Si x < O , el producto ininito diverge a - oo, y la serie tambin diver

ge a - oo .

Dei teorema 2'.!, y 24, es fcil ver la convergencia o divergencia de un

producto iofinico de la forma :

"" n U-uJ n=l n

comparndolo con la serie ser generalizado .

' "n

"" n u. u ; n = 1 11

( con u ' O n ,..

( u 11 ,;: O) , pero este mtodo NO puede

239

E] F..\IPLO 64 Sea

P2,, ln

11 .k ~ 1

ll ( I _ ( 1111 1 n= I -,-1-- )

u r. vk 1 . ;;:- )

1 1 1 1 ( 1 .'- 1)( J t--;- ) 11 - -') -1)(1 - ){ 1 ---;- ) ' -n 2 ..;.

(J .-1- ) 211

2 .. (>

.'n ton ces

Tambi:n

l im '1"""

, _ -_n_

-- .. ..

ln 1 ) ..

! im p 2n J " ........

p.... 1 -1.' l

l im 11 ,:"lt,,;

p ( 1 11

] ll -

211

1 ~,--! -11 - 1

por lo tanto, C! producto infinito CONVERGE a 1.

F]E.\11'1.0 6 5

Sea 11"' 11 1.111 1 11=1 - .. ..;:;- ).

11. ~(J _ _ ;_ ) 12i, ..;-:-

__ / _ ) _j__ J( 1 -.2k"' l ( 1 -{ 2k - 1

ento11ces tenemos

. 211 .. 1 1. l)k 1 11 1 11 11 . - 1 = n r 1. - Jr 1 _--1- 1 k= 2 -{k f= l -{2j -/2 .. 1

J . 2k - 1 '

.,

TI J n r 1 - - > - o r 11-"J =I 2 ... 1

. 1 y a tue ~-,-.- - - - ~.por /o tanto e l productn i 11i11.ito DIVERGE acero. -! . 1

En los ejemplos 64 y 65 , las dos series 240

"i_" (.Jnl n= 1 n

"i_" .J=J!nl n = 1 ..

convergen condicionalmenre, sin embargo el producco del ejemJio 64 conve1 ge y el producco del ejemplo 65 diverge . (Ver los ejercicios adicionales 171 , 172 y 17~)

EJ ER CIC/O 167

:n vestigar l a convergen cia o divergencia d e

n 00 l 1 (. 1) n 1 n= 2 n 1.

Sugerencia

I', =_!_ -n 2

_1_ 2

p 2n+l

2n -+ -p x ---- 2 2n 2n 1-l

EJERCICIO 168

Investigar la convergencia o divergencia de

Sugerencia

_l_ )( 1 r I . {2k":J

n 00 l 1 (. vn 1 n=2 -i/ n 1.

1- .Y2k ... 2

(1 ._~ )(1 -~ ) 12k .._1 y2k +l

1 2k + 1

241

EJERCICIOS ADICIONALES (Producto infinito)

EJERCICIO 169

"" Sea ~ _ 1 n n-

n

una serie convergente a S ( S f O), si la s-t1P

cial s = ~ k n k=l

e s diferente de cero para todo n, demostrar que

"" [ n ] l 1 _._ _ a 1 S n = 2 n-1

converge a S

Solucin n k n sk-1 + k Pn=a 1 n [1 +-] = 1 n

.k=2 sk.J k=2 sk-1

s s n sk 1 l -- = 1 _!!.. = 1_!!_ = s

k=2 sk-l S1 n 1

entonces se It.TJe :

Pn ~ S (n-+oo),

EJERCICIO ro

H al/ ar ei producto total de

"" CiJ n 2 [1 + 7' 1. 2 J ( ii)

00 1 n [1+--r-:L

2 " 1

Solucin (Aplicar ei e;ercicio 169 .)

(i) Sea n = z-n entonces

n l k s = ~ Z" =

n- l k= 1

luego :

2

242

1 . "? 2". 2 2"

-- rr 11+--! 2 2 2"-2

"" ( 1/2") 1 1 '

o sea

(ii) Sea

entonces

5n-1

lue go

o sea:

00 1 n 11+--! 2 2". 2 2

1 n = n(n+ 1)

n-1 2. k=l k(k+l)

n l 1 1 !--! k=l k k+l

1 n

1 "" J/n(n+l) . 1 oo 1 - n 11 + = - n 1 1+~1 2 2 ( n 1) / n 2 2 n 1

"" 1 - - l 1 n (n + 1 -

l 00 1 +~ ! = 2 2 n 1

EJERCICIO 17 1

=.!!...:....!__ n

Sea 2.00 (a J2 una serie convergente, demostrar que el producw in n= 1 n

finito : 00

rr ll+a! n= 1 n

00 converge si "" a

n= 1 n converge, diverge a + oo . " a

si ;= 1 n diverge a+"" y 00

diverge a cero si ~ a diverge a oo n=l n

Solucin

Para mayor senci//ez suponemos que lan l < 1 para todo n. E l ,,_ . id d . . Nota n a ueszgua a sigui ente: -

O < u lo g ( 1 + u ) < -t u 2 ( si u > O )

reemplazando u

< ...:.. __ u_ ( si 1 < u < O ) , 2 1 +u

m+l' m+2 ' sucesivamente se obtiene:

243

O < (a 1 +a 2 + ... +a q)-log )(1 ... a 1 )(1.._a _i (l+a JI m+ m+ m+ m+ m+Z m+q

1 2 2 2v < ? [ (am+1 1 + (am+2) + + (am+q) ] ,\

donde ,\ ln/I I, L . k, k = 1,2, 3, l .

O sea

o < 2. q a k - log llq ( 1 + a +k J k=I m+ k=I m

1 n..

,q 7 - (a J-k = 1 m+k

Como la serie ~ ( n J2 co 11 erg e, dado -.., O existe m tal que

de (13):

o <

00

~ k=I

( a . ;2 m~.;;:

2 ,\(

q q l a +k lag l ( I ~ a k ) ,-k = I m k=l m+

(para todo q)

( 13)

De acuerdo con l a condicin de Cauchv, el producto infinito converge si y slo si la serie ~ n converge. El producto diverge a l a s erie diverge a+"" ( """ resp r> ctivamente. i

Nota

) u > O. Sea - 1 2 j {u) - 2u u ~log(l+u)

entonces j(O) = O , f' (u) = u 2 / (1 + u) > O ,

por lo tanto, se tiene que /(u) > O.

ii) u < O. Sea 2 g (u) = -t -u- u + log ( 1 + u) ,

1 + u

entonces 2 2

u / 2( 1 + u) < O g (0) = o g (u)

porlotanto setieneque g (uJ > O si u < O. 244

+oo f O) si

De este ejercicio se ve inmediatamente que los productos

rr00 ri r-1>n-1 n= 1 + -n- )

rr ( 1 (. 1 )n 1 n=2 -n-- )

"" [ (. I)n 1]2 1 . ( l)n l ( I)n-1 convergen ya que .:.. n converge y as senes 2. :. _. __ n , n

convergen condicionalmente .

EJE RCICIO 172

'>e a :S n convergente condicionalmente, si ~ (an) 2 diverge a +oo, 00

demostrar que e/producto l (1 + a) diverge a CERO. n=l n

So/ucin Utilicemos la desigualdad :

2 1 u u lag ( I +u) > 21-;-;;- ( si u > o )

> J.. 2 2 u ( si O > u ', 1 )

entonces tenemos:

(am+i+ +m+q) - log[(l+am+li ( l+am+q )]

1 2 '> 7 l(am+l) + ( a )2 i / m+q l L 4-

ao nde L Sup 1 l , 1 + n , n 1, 2. 3 .. l .

o sea :

"'q nq 1 "'q 2 - a k-log (1 +a +k) > - _ (a ) .... oo (q-.oo). k=l m+ k=l m 2L k=l m-"-q

Entonces : q

log l ( 1 + a +k ) ... oo k=l m

( q ... 00) '

o sea que el producto infinito diverge a cero.

De este e1erc1c10 , se ve que los productos

245

00

l (1 + (.l)nl oo ...;; ) y n ( 1 - (. 1) n 1 .. .;; )

divergen a cero.

~OTA Para obtener el resulcado del ejercicio 172 basca suponer que

- n lim ~ k .. +oo , k= 1

""(a )2 n= 1 n

... 00.

EJ ERCJCIO 17 3

Sea 2. n convergente condiciona/mente, demostrar que ei producl-0

l ( 1 + n) converge , o diverge a cero de acuerdo con i a convergencia o divergencia de la serie Sugerencia

(a )2 n

Ejercicio 17 1 y ejercicio 17 2.

EJERCICIO 174 In ves ligar /a convergencia o divergencia de Jos sigui entes produc ws:

(i) 1 1 1 I 1 1 (1 +-7!(1 +3)(1.-; )(1 +-y)(I +-;!U 7) X. ( ii) ( 1 ~ )( 1 -+ )( 1 + -+ )( 1 -+ )( 1 -t )( 1 + f ) x (i;i)

00

n k= 1

Soiucin

+ (.1J'l _I 2

Dei ejercicio 171, el producto en (i) diveYge a +oo, y el producto en (ii) diverge a cero. El producto en (iii) diverge a cero de acuerdo con el ejercicio 172

so 1 uci n di recta (i) (1 + __ 1 - )(1 + _1_ )( 1 _1_ )

3n-1 3n 3n+l 1 1 1 l

l 1 + 3 n "'9,;2':'l 3n(9n 2 1)

1 + n

246

t

donde a = I n -

3n

Evidentemente :

l n

9 n2

.._, / _I_ + - \ 3n

""

3n(9n2 - 1) > o para todo n

o(-1..,)) = + oo n-

71/onces el producto l ( 1 n ) diverge a +oo, o sea que el producto en ( i) diverge a + oo.

(ii) I r 1 _z_ J( 1 _1 !( z + _z - J 3n-1 3n 3n+l

+--3 n(9nz - 1) 3n 9 n2

h n

donde

bn 1 --"l __ 3-;; + 9 11 2 3 n(9n2 . > O para todo n

Como la serie l bn diverge a +oo, entonces el producto n"" ( 1 bn) di verge a cero , o sea que el producto en Ui) diverge a cero

Otra so lucin

( i) r1 +J.H1 .._J..u._1_1

E/ ERC/C/O 17 5

Investigar la co11vergencia o divergencia del producto:

oo X fl cos-n= l zn

y h allar su producto total en c aso de convergencia.

Solucin

i ) cos ( x / 2n ) - 1 2 s en 2 rx / 2'1...J J (n -= 1, 2, 3, ) .

" 1 X J "" 1 2 X

n=l sen 2'1+1 ' ,. -;x / 211+1 ;2 : :..: Jxj-:::: ~ ..... "'oO ,

n = l 11 =1 -+

entonces el producto infinito converge absolutamente para todo x. n

"' ttl 11 k=l

p n

X cos-~

X X COS] COS- ., ...

X "< cos ji

= )11" 1 [ co s ___ - 2n ...

X cos-- _,... ... ...

'}ti (211.J)x]

cos 211

2n I 1 ( 2k J ) X = - 1 1 2 sen x ' = zn 1 1=1 cos

s en x ( x i 2n) se11 x x s en (x i 2'1) X

:f .'lo ta 11 X -,n I

- -- ' l cos k=l ~ - 2n l k = 1 cos

Para n = 1 , ( 14) e s evidente

s en

In - "" )

( 2k 1) X zn

Suponemos vlida la frmula ( 14) , entonces

n+l X 1 2n-1

X

2'1

X

:; N ola

( 2k 1) X n cos-- = --' cos zn+l cos X k=l 2k zn-1 1= 1 :!'1

1 2n-l ( 4k - 1) X ( 4-k J) X ___ , ~ ( cos + cos 2n+l 1 - in l R.= 1 on+ 1 248

( 14)

A:,__

=-1-2'1

EJERCICIO 176

Sea 2n-1

""

2'1 (2h-l)x "' h~l

cos-----zn+ i

_-_1_ { 2n

_1 1 + -1 n'

Demostrar que 11 U+a n= 2 n

converge a pesar de que la serie a di n

uerge

Solucin

2n- l + 2n

entonces

," - (a n=l 2n-1 - a 7 ) -n

por lo tanto , la serie ' a ll

Ahora , 2N l / 1 "'" n ) n= -

.'I 11 (1 n= 2

,'I 11 ( 1 n= 2

1 1 l --+ - .... --y;; ..; . n n '

00

' n = l _1

n ..... 00 ,

diverge a - 00

N 11 - 2 ( 1 + a 2n. 1 )( 1 + a 2n ) n-

{ ) (1 + -1- ' 1 { - n- ) --~)

,, -11

"" 00 1

11tonces el producto infinito 11 ( 1 a ) n l 1 1 --;;--:;- ) 2 n '' - converge ya que la s erie

EJ ERCICIO

Sean

"'-1-;, - .1, -

n

177

2 converge

a1 = O 211 1 = 1 ' 1 l l r (n / 1). 2n = -=- + n +- (n ~ 1),

yn .Yn nf "" demostrar que el producto n ( 1

11 = 1 n) converge a pesar de que las S.!;.

r res ' - a n

y :::: l an! 2 divergen.

Solucin 2N .'I '

a = :::: ( a1 1 - a7 ) ;=3 n n = 2 -n -n 249

N 1 - 1-! ~=21 n + nf + oo (n-oo) , 2N )2 2. (an N 1 1 1 1 2 2: In- + r - + n _.. __ J

n= 2 .;; nYn (11-oc), n= 3 Por otra parte:

2N N n (1 +a ) n= 1 n

4 ~= 2 ( 1 + 2n-l )(I + 2n)

N 1 1 1 1 4 l (1--UI+-+-+--> n=2 ln f n nV

N 1 =4 n r1-~>

n=2 2 (N + 1)

N 2 (N-oo),

Tambin: 2N+l 2N (1 -- -- ) - -1 ., 11 ( 1 -'- n) ...;;-:-T

'! = 1 11 (l+a J n=l n

entonces el producto nnfinito CONVERGE a 2 .

EJERCICIO 178

Sean

(N-oo),

1 2n = ;; 2n+l v;:-f+ (n:,. 1) , a 1 = O.

Demostrar que el producto

las dos series 2:. (. l)k k n"" 1 + (.l)k k 1 converge a pesar de que k=l y -::: (akJ 2 divergen.

Solucin

i) ( 1 -'- 2n )(1. 2n+l) (1 + _1 )(1 { 1 ' yn + 2 +

1 +-- -

,r:;- ' 1 - ,--.., ,,. yn+2+l ....;'nlyn+2+ll

,--,- / \'TI_.. i - \(n

1 ... - ~ ynlyn++l

250

~":".::.. .~",

( 1 /2) 1 + ,---,- --- -

..;; 1 yn + 2 + 1 !! Vn + 2 + yn ! 1 + O( 1/n3/ 2 )

entonces el producto infinito

rr00 (1 + 2n )(l. 2n+l ) n=l

converge, como lim a = O n-oo n

se ti ene que el producto infinito

1100 11 + (.l)n ni n= 1

converge.

ii) La divergencia de la serie ::S ( anJ 2 es evidente. 1

iii) 2n 2n+l = _). - ---,-vn vn+2+

v ;;--:-f - /;; + 1 y';; 1 ....;';-:-f + 1 1

(1 / 2) yn 1 J n + + 11 + - -- .__,,..

....;'n!Jn++ l!ly1n+i+v'nl

V-;;! y'n + + 1 1 + 0( 1/n3/2)

' + 00 ' / 3/2 y ... 0(1 u i converge, la pero como - ~ vnlvn~2+11 "

_;erie ::S (a2n 2 -d) diverge a +oo , o sea que n= 1 n

'>00

(. l)n a diver - n n=1

ge a - oo.

EJERCICIO 179

Sea 1 anl un a su ces in tal que

n ~ O , 1 + 2n+2

Demostrar que el producto

< < 2n+l 2n

+ 2n

00 k l l 1 ,,,. (.1) k 1 k=l ~ (.] )k k converge, y que la serie converge

(n= 1,2, ( 15)

converge si la serie

diverge a +"" si el

251

'

producto infinito converge,

Soiucin (i) Tenemos:

1 2n+2 2n z.._a > la 2n+2 2n+1 > 1 + 2n

o sea

+ a,., > I a,., > -n+2 ~n+l

- 2n ( 16)

Entonces:

P 2n ~ k . l 111 .._ (.l) k = p2n2 x (1. 2nl}(l-'- 2n) ', p2n-2 k=

esto es , la sucesin IP-. 1 l es decreciente y positiva, entonces existe el lmite:

Por otra parte,

:m p ~ -n

n -x:i c.

2n 1 k P,., 1 = l l 1 .._ (. 1! k l = ( 1 + a,., 2 )( 1 2 1 ) P2 3 > P2 3

-n k = I -n n n n ,

en!Dnces la sucesin I P2n-II es creciente, sea

l im P2n -1 = c ( 1 o ) n-oo

Si la serie ~ (. l)k k converge, entonces lim a = o. n-oo

n

l im P., -n n...oo

lim p2n-1 ( 1 + 2n ) l im P2n-l

o sea que

n...oo n...oo

n 'X) 11 + ( . vk k l = c = c' .. o . k=l

luego:

Ui! Supongamos ahora que el producto n 00 l 1 .._ (. l)k k i converge, se k= 1

tiene que

Sea s

entonces

S 2n+ 1 S 2n l

252

lim a n

n""'"

o.

n ~n (. l)k k k=l

2n+1 + 2n > 2n 2n+l > O (de ( 16)),

.'uego, la sucesin l Slnl es creciente, entonces

lim S 2n+l = d ( d puede ser + oo ) n-.oo

Pero como lim a n-.oo

2QI.i. ) e coz

2n

entonces:

2n

l + 2n

n = o,

lim s n

n-oo

- _1 --- Yn

.. +

se

=

tiene :

d

2n+l

,----.,.

y n + 2 +

2n+2

1 -'- 2n+2

por fo tanto se cumple la desigualdad ( 15)

',

'/n .._ 1 _ --., < v n -'-2 -1 __ 1 -(n + 1

...n T + 1

D., e jercicio 178 ei producto infinito n""' 1 + (-1 k k l converge. k=2

Po r otra parte

_1_ 2n 2n+l -;; ,-----V n + 2 +

..--.,.. ,,..

- ~ [ y n + 2 - y n + v n l \n-1.._1

> ,---, ---r" r---

y n-"- z ! v n + z - v n+ zl

mtonces

1 1

> ,,... . ' v n lv n+z+1l

1 n + z

"" ) ' fa, 2n+l ~= I -n +oo

E[ F:"RC!CIO 180 Sean

1 o . __ 1_

2n+l = Yn - 1 'n res tigar la convergencia o divergencia de:

2n __1 y; ,

25.3

() n"" 11+(-l}kak k=l

(ii) "" k ~ (. 1) k UiiJ ' demostrar

254

Solucin

Sea

Como

enton ces

p m

"" J r~1 t 1 1 -s) "' ns = ~= I pk

p dl / l 9 = n s m k=l\1-p k . = I - p S s J (p'S I - rp r . ...

S k k k - pk

m -' 1 0-!l ( . s -k= I \ 1 - pk

m 11 ( J ._ p S (p'S )2 k = 1 k k

"00 N - ( s N N 1 1 .. .. N = p ) (p" s ) 2

( S N p ) m m o 2

""'

"" N - N - ( .\J l N' ,\J ' , ' ..... m- 0 P p7 - p m r '

- m

o sea

""

' n= I pm .:..

ns

Pero tenemos evidentemente que

"" p m

";

m

.,..,

"' n=l

m ~ ( ,'/ I .'11,. .. . Nm=o P

N 1s " p m n=I ns m

entonces m 1 ""

"' ,. p ~ "'

-;;= l ns ,, m ~1 = 1 7 por lo /~lo se tiene :

"" lim p = ' m -;;" 1 -;;s m . ....o..:

_ ! _ ,,s

.. J

255

CAPITULO V

SIJCESION DE FUNCIONES

2 n L mite de una sucesin de funciones

Una famila concable ordenada de funciones 1 / 1 , donde l. // 11

es una func in definida en un dominio comn f) para codo /1 s e llama su cesin de funciones . Para cada punco x del dominio comn O , f,,(.>:J 1 es una sucesin de nmeros , luego podemos pensar en la convergencia o di vergencia de la sucesin numrica lf,/ x! 1. Si para TODO ' E D la su cesin numrica IJ) xi 1 converge. se dice que la sucesin de funcin ~ 1 converge pu11tuaimrnte ( converge ) en D . F.! lmite de 1/11 (.r:J 1 depende ev1dememence de cada punco X e D ' o s ea que el Jmice de lf,/x) 1 es una l'L' 'IUON de x, digamos / . / se llama FUNCION Lli\llTF. de la suces11n l;n 1 y se noca

/ = l im In (1) 1/->00

esto es

(x) = lim /11 ( x) p ara todo x E D 11-+00

EfEMPL O 66 ( Figura .. )

Sea { x E LO , l.. ] n l - nx si f,/xi X E lf . l ] . o SI l /n 1 es una suc esin de /u11ciones deinida en (O, 1 ] Por definicin,

f n (O) = ( 11 -0C j ,

Si E- (0 11 . existe N tal que I entonc es para todo n ) N X X, ,'I

s e ti eue que 1 l l uego / 11 ( x) = O .;;;. l.. J ,esto , . X ' y a que X JI N . n e s :

256

-

lim fn(x) ~ O , 11-+00

O sea que l a funcin lmite / e s:

l ~ /( x) = si X= 0 S i X f 0 , En la figura .f. 1 () , s e muestra cmo s e comporta la sucesin de / unciones i/11 ~ y fa s uc esin num rica l / 11 ( xJI p ara un xi O .

1 o X ---.l. 1 n ~

X ( i) 1 ii!

UG. .f. l

F. f f:l,f,P LO 67

Sea l . (0 = - X n 11 ' X R 1 = ( "" "") ffig .f.21.

i /11 j es una sucesin de U11cio11es dei11ida en R 1 ( ""' cxo ) , es e vidente :1ue

l im In( x! lim n -..... oc lJ .... C'

y

V

I

12 /3

..__f4

FIG. -12

/:'' 1:,11 /'[ _ () 68

Sea f,/ xi ~ x (I x n

/

X

ne. +J

X f: (0, 1 J l f"i g. .n). La grica de f11 se muestra Pn la f igura +3 " .'iota. De l a figura J.3 se ve que l /11 1 converge a O , en realidad:

fn(O! = O -+ O , si x-JO. fn(x) ~ x(l-xln O (11-oc) ya que O~ 1-x < 1, o

sea que para todo x ~ [O , 1 1 s e tiene

;; .'iota

de donde / 11( xi

lim f,/d = O n-oo

f~ ( x) ( 1 x n 1 l 1 ( n + 1 i x 1

tiene un mximo en x =--1-1 , y el v alor mximo es : n _._

! !- 1-! = - 1 - 1 n 11 ._ 1 n 1 _l_ n _ O (n_,,,,.,) -n+I

28 Convergencia uniforme Sea In una sucesin de flUlciones que converge a / en D , en

258

canees para cada x E D se ciene que fn(x) ~ j(x) , o sea, dado f > O exisce N cal que

n ;. N implica 1 fn(x) - /(x ) 1 < f . ( 2)

El nmero N depende evidencemence de y del punco dado x e D , por ejemplo () fn (x )

= r0 TI X en (0 .l ] ' n en [ J.. ' n

Si ! fn (x ) j < f entonces se tiene

-nx

.. o

1 - f X

( n -.oo ), ( Ejemplo 66)

esto es , el valor de n aumenta infinitamente cuando x se acerca al origen para que lfn (x )j setl menor que ! e

( ) fn(x) = ~ x X E R 1 = ( 00 00 ) . ( E j emplo 67 )

r ,, \ fn( x) I < f se tiene que 1 ' 1 n 1x < f .

n > ...l..!l f

es to e s , el v aio1 de n depende de x y de f .

( iii) / n ( x ) = x ( 1 x ) n O (n-+00 ) ( E;empfo 68 )

Sabemos que ei v alor mximo de \ fn(x) I en fO, ! ] es I l 1 n / (----,} =--ll --

n n_._; n+ l n+ < _]_

n + I

para f >. O dado si e scogemos n tal que --' -1 < ! entonces se tiene: n+

l n + l

I 1 _I_ n < ' jn(:d ! ~ n+1 l - n + 1 < f p ara todo x E [O, I]

O :;ea que existe n , independiente de x, para que \ fn( x) 1 sea menor que f , (Naturalmente, n depende de f , )

Como en el caso del e jemplo (iii) si exisce N, independience de

259

x ~ D ( que depende nicamente de f ) que sacisface la condicin (2) enton ces se dice que !fn ! converge uniformemence a f en D. La desigualdad-en (2) puede escribirse como:

j (x) - f < fn ( x) < j (x) ... f ,

esco es , la grfica de In (para rodo n ;, .\/ J debe escar en la franja compre!:! dida entre las gr ficas de / + ( y

/ - f En la figura -Vi se muescran los ejemplos ( i) , ( ii), v (iii) anceriormence cicados , en ( i) y l iii) una parce de

? r _,

FIG. 44

l-!-z"?~ Y//////

f{ () Q

!i) ( ii)

FIG. 45

(3)

i

/-f

o

(i ji)

la grafica de ln siempre sale uera de la franja subrayada aunque n sea

260

muv grande , en cambio en ( iii) la cocalidad de la grfica de f est con. , n

tenida en la franja subrayada si n es suficiencemence grande .

EJEMPLO 69 Sea fn(x) = nx(J. x)n en [O, l]. (Fig 46)

Si x = O , f n (O) = O - O ( n-oo) , si x ~ (0, l ] se tiene que

n ( 1 X J'I - O ! n..,oo)

ya que O ~ J X < Entonces:

fn(x) - O ( n-oo) para todo X E [O' 1 l. En la figura 46 e muestra l a grfica de fn , fn(x) ( :;; O) toma su ni

co mximo en x -- 1- , y ei valor mximo es '1 ! ~

! ( ___ 1 _ _ J = _ n_ 1 1 - _l _ n n n.,., n-1 n+I

f(x) =nx(lx)n, y n et

/~ (x) = n(l x)nl l-(n+ l)x~

f r_ l_) =...!!.- 11 - I n nri- l n+l ;-:1

- e (n-oo)

(

o X FIG. 46

/, (--11) n n +

! J __ 1_ n n ~ I ...... Como .., e (n-+oo). e cuando n-+oo entonces

Si f l siem pre existe l a p arte de la grfica de fn que est fuera de la franja subravada .''W ES U '.J/l'OR .\fE.

(l (: y < f Entonces la convergencia f n o

261

EJEMPLO 70 (FIG 47)

Sea fn(x) = e nx (0 , 00) en ,

evidentemente :

/ (x) = enx ~ o (n_,oo) para todo X > o. n

De la fi gura 47 s e v e inmediata-

mente que la con

ver genci a

In .... o .

no es unforme en (0, oo), en re a-lidad, si

' fn(x) i < , {l77X~77'V/HZ77759ZV/

se tiene o X X

enx < ' FIG. 47

o se a ,

- nx < log ,

entonc es:

n > fog E

X

Por lo tanto no e xiste n, independiente de x , tal que :fn(x) i s ea menor que para todo x > O, o sea que la convergencia fn _, O no es un /orm e en (0 , oo)

Si consideramos fn(x) = enx .... O en [ l, oo) , la convergencia es UN/ FORME ya que para < > O dado e scogemos .'J tal que

N > log < = log (1 / d ,

en/Onces para cualquier n ). N y para todo x ~ [l , oo) tenemos :

n :;:_ N > log f = -lag < X

< 1 ) ' ( ntese que X

262

~

o sea:

enx = fn(x) < (para tfJdfJ x E 1 t , "" ) J

Este ejempl.o nos ilustra sobre como la unifonniclacl ele la COflvcrgcn

Demostracin Dado ( > O existe N tai que

lfN( xJ /( x) 1 < d 3 para todo x ;;; D , (4)

Como N es continua en e , existe li t al que

:x - e 1 < n implica J, .. .( x) - f.v( c) 1 < d 3 . ( 5) P or lo t anto , s i x - e i> t en emos :

' j(x) - fd i = i j(x) - /N(x) + /N(x) - /N( c) + / N( c) - / (e) 1

~ :,KxJ- fN(x) \ -'- !f N(xJ-fN(c) 1 + "l cJ - j( cJ 1 ---,--- _________.. ---..-----

< ~ + ...!.. + ...!..= i

/\ /\ /\ d 3 (de ( 4)) d3( de 15)) t I 3 (de ( 4))

\lcese que el teorema 2 'i puede expresarse como

/im lim fn l x) x-c~

lim lim fn(x) n~oo~

3 3 3

j (x) f /cJ lcontinuidadde /n i rconvergencia J luniforme .d~ l a suceston

o sea que los dos i mites : l im y l im son intercambiables . n-oo x~c

7 1 EJEMPLO

1 il f,/ xi 1 nx en ro,J. 1 n

fn(x) = O en r.1., O] n

(Ejemplo 66 )

! ,, - / dr,,,d" f fx) e O si x -F O, /(0) = 1 ,\JO ES UNIFORME en [O,l]

ya '(Ue la /u11ci'" lmite f es discontinua en O a pesar de que In es CO.!!. tinua "'' () para ''"ifJ " . 11

\i

264

/ ( :x) = "

\xi >

2" X t x2n

''n/fJ1Jc e .\

X ~ R 1 = ( ."", ""). (FIG 48) 2n

X

1 ' x2n x 2n _ l

Si \xi < enbnces 2n X + ,/n ~ o .

Si x = l entonces f n( 1} = _I - = .J.. I + I 2

Por lo tanto, la funcin limite / es:

j( x)

I

J l

O si \xi < 1 /2 si X = :!;: J

si \xi > 1

o

FIG. 48

J.. 2

X

La co nvergencia fn f .\JO e s uni forme ya que l a funcin l imite / no es continua en .:;1 mientras qu e fn s e s continua en .=l.

EJ E RCICJO 185

fnves tigar si convergen uniformemente o no l as sucesiones lfn l

1 i) /( x) = ~ n "'{ . X R 1 = ( - "" "" ) ( FIG 49 i )

Uii f ( x ) = ..l. X n n '

X E f M , .\f) 1 M es una constante > O ) , (FIG 49 ii)

So/u ci n li) \ f(x) 1 = l sennx \ l

n ' .::; -'{ fo

( para todo X e R 1 ) .

Como _ 1_ - O I n~""), entonces -f

In - O uniformemente en R 1

265

(ii) I/ (x)J =J.:\~: -+ O (n-+00) , n n

enl-Onces fn -+ O uniformemente en [M ,M].

y

(ij FIG. 49

EJERCICIO 186

Investigar si convergen uniformemente o no las sucesiones lf n ! : (i) f (xJ = n 2 x (l x)n , x :; [O, l]. (FIG 50 i)

n

nx x e R 1 (FIG 50 i iJ Ui) fn(x) 2

+ n X

Soiucin (i) fn(O) = O ... O.

Si x E (O , 1] , n 2 ( l x )n ... O (n..-) ya que O ~ 1 x < l , entonces Ja funcin limil u f(x)-= O para todo x E [O, l].

Tenemos : /~ ( x) = n 2 (l x'Jn 1 p ( n + 1) x 1 ,

entonces f (x) toma 5" valor mximo en x = --1-1 n n+ , y ei valor mximo es: 2 f (__!_ = _n_ 11 __ l_n

nn+l n+l n+l

Como f (--1-1> -+ +oo (n.-o) , la convergencia no es unifonne en (O, l] n n+

266

...

(ve r Fig. 50 (i) ). X ---_, x_l + x2 (n-->7 - - si X / () (ii) fn( x)

.l. X n

f n(O) = O ... O

entonces la funcin lmite f es

1 l:x f (x) = s i X fe 0 si X= 0

La convergencia NO es uniforme ya que la funcin lmite no es crmlir1uu en O.

enemas

/~ (x) n ( 1 n x 2 .l

2 2 ( l + nx ) ,

/x1 suna /uncin impar, tiene un mximo 1

x=--.y 1n - { f ( l/ynJ=7 n , fn(_ J/\r,;)

o 1 X n ,,,_ 1 (i)

F/G, 50

1 , . en x = - y un mm1mo en

..

{ --y. (Fig. 50 fo').)

.l/tese que en ambos casos el vai-Or mximo de :Jn(x) I diverge a +""

267

E] E RCICIO 187 Investigar si convergen uniformemente o no las sucesiones l !n l:

( i) I (xJ = _,_ n x + n

en [O, oo) ( FIG 51 i)

2 ( ii) fn( x) e: nx en [O, oo) (FIG 51 ii) nxe

fol ucin r Evidentemente

=-=- o f,,(x) para todo x+n ( n...oo!

T~11emos 1

< -- --~ n (_!__.o, n \ /n( x) \ x+n

v rl/,nces la convergencia es uniforme en [O, oo).

!t i! n(O) = O _. O.

Si x 1- O se ti ene :

~ nloncf-'.5

Te nemo5

n 2 n e x

fn( x)

n ---y-

en x-- o (n-.oo) ,

o para todo x E [O,oo),

2 /~ ( x) = n -enx ! 1 - 2 n x 2 ! ,

X ~ 0,

o sea que I r xJ n ti ene un mximo en x = ~ , y el v aior mximo 12n

fn( 1/JT,z) =:;.. e" t. es :

Como fr/l l /2nJ. 1 00 ,laconvergencia NO es uniforme en [0,oo). rv .. , Piz. ll r;;1.

EfERCICJO 188

frwSltgar ~ con11~rgen uniformemente o no las sucesiones !/ni: 111

268

I r :x1 "

1 ---- '- u 1 =(-00,00),(FIG 52i) I , ,, x2

X

X (ii) fn(x) + n x.Z

X ~ R 1 (FIG 52 ii)

fn(x) =----(ji) nx+l

y

l. !l

o X ( i)

y

al /0

o (i)

Solucin () Evidentemente:

/ 11 (x)

X e (0 1 J) (F/G 53 i)

FIG. 5 1

X

FIG. 52

si

si / (x) = { ~

o

iv) fn(x)

.

~

I!{ln

X f. 0 X = 0,

X

nx +

( ii)

y

X E (0, 1) (FIG 53 ii)

----X

La convergencia .\JO es uniforme ya que la funcin lmite f no es continua en O ,

269

(ii) /~(x) f( x) = O para todo x E R 1 ,

Tenemos: 2 nx I -! ( x) = -- 2 2 n U + nx)

entonces fn(x) toma un mximo en / ( '- J/y";;) '-' _._ _L. ll - - ? .--

- vn l f,/ ;::-= ) 1 yn

Como

1 2 f

xo= -l'jn" un mnimo

o

en x

e 11 ton c es la con vergencia es uniforme en R 1 ( Fi g. 5 2 (ii) ) I

I -'( .

F.n ( i) , ? 4 O un iformemence en cualquier intervalo cerrado I _._ n x-

que no contenga al origen , digamos en [ b , , h O , en realidad:

O , l - 1 1 1 '-- --;

l ~J X - 1 ( f n +nx < ,,

~ \ X! n n

para todo n ) .'I se ti ene :

< ( . N

O sea que para to/Jo n ;;: ,'I s e obtiene:

i fn(x) \ < para todo X E:' RI

270

y

(iii) fn( x) .. O para todo x E (0, 1 ) ,

La convergencia NO es uniforme ya que

Sup f ( x) = xE(0, 1) n

En realidad, si \ fn(x ) I

n >

para todo n.

< se tiene : nx + I

rJ..- 1) / x' as hay que tomar valores de n cada vez ms grandes cuando x se acer-

ca al origen ( Fig. 53 ( i )) .

(iv) f,/ x ) __, O para todo La convergencia es uniforme en dado > O si x E (0 , f

ifn (x) \ nx _..

X

Si x .;; [ f , 1) tenemos :

X

ifn (x) ! X < n x + I

por lo tanto , si es cog emo s n

1 fn( x ) l < n < y

' () X ( il

E ( 0, 1).

(0 , l ) gracias al f actor x, en realidad , tenemos

~ X < (

X

nx n ,

tal que 1 ( - < ( o n > .l. ) ( se tiene para todo x E (0, 1) ( Fig. 53 ( ii)).

y

CD

(ii) FI G. 53

271.

EJERCICIO 189

lnvestigaT si convergen uniformemente o no las sucesiones lfn l

(i) fn (x) = Vn X sen

(;;) fn( x) y'; sen...:!.. n Solucin

en R1 = ( oo, oo )

en [ M ,.'rf] ,

P ara todo x

y

2

( ) (ii) 1 G. 5 5

y

1// 4'V 1 ~ / p //?// ((

() X b o X ( ) (i)

flG. 56

gn ( xi = e X - ( 1 ~ n TI en ton ces

, ( ) = x ( 1 . .JE_ )n 1 ..._ x ( 1 . x ; n > 0 g n X e - "1'- 11 ~ .. e - ._ 1J ./ ' o sea que gn(x) es una juncin creciente, luego:

:274

O ~ gn( x) ,:C gn ( b) = eb - ( 1 + ..!?.. n ' n tslO nos indica que la convergencia es uniforme en [O, b l ( Fig. 56 (i) ) .

1;;J f n(O) = O - O Si x > O entonces n x - +"" , luego

I tan nx rr / 2

Esto ' S :

" { ~ si X= 0 f n( x) - j( x ) si X > 0 . La convergencia NO es uniforme y a que la funcin limite f no es continua en x = O ( Fi g. 56 (i) )

Dada una sucesin de funciones ! f n l definida en D , la serie

"'00 ;; = 1 n

es la sucesin de las sumas parciales { Sn l donde sn ~ I + 12 + + In .

Se puede hablar de convergencia puntual y convergencia uni forme de la se-rie de funciones .

EJEMPLO -2

Sea n( x) :x.fl

S ( x) = "\n b n - X'" k=l

en ( I, 1 )

x(l.:x.fl ) I X

Como _.z ~ O en ( I, 1) se ti ene :

o sea:

S ( x) n

X

J - X

~"" :x.fl =--x-n= I 1 - x

puntualmente en ( I , 1) ,

p un tu aim en te en ( 1 , I )

Pero, l a convergencia de la serie ,'/O es uni form e en ( . J, 1) como p uede

275

l'erse a continuacin

('" ~ 1

o sea

de donde

Sn( x) X :-:;

x n+I

< entonces n+ ,

1X < ( I J - X

d J X ) ,

( 11 - I) log x : log ( "- fo g ( J X ) ,

e sto ! S

11 . I lag' - lag (1 x! fog X i

Si x se acerca a 1 ri 1 , log x : tiende a cero, asi .'\/ + 1

en 1x 1 / 1 .

en x i ' 1

Se ~ uede demostrar que la convergencia no es uniforme en x < 1, ( en x ' 1) por un razonamiento s imilar ai utilizado en el ej emplo 7 2.

277

29 Algunas propiedades de la convergencia uniforme

En los siguientes ejerc1c1os se darn algunas propiedades de la coo'CJ gencia uniforme de sucesiones de funciones .

EJERCICIO I 92

Supongamos que In - / uniformemente en D. Si In es acotado en D (para cada n ) , demostrar que existe una constan te M tal que

:n(x! I .:_; M para todo n y para todo X e D , (61

y que / es una /uncin acotada en D,

Si existe M que satisfaga la condicin (6) , se dice que !in l es Wll formemence acocada en O

Demostracin

Dado > O existe N tal que para todo n ;;:, ,\J tenemos:

ifn(x) - f{x) ! < para todo x E D , o sea

l fn(x) l < !/( x) \ + para todo X ~ D (7)

Tambin:

~ /(x) 1 < l jN(x! \ + para todo x e;. D

Sea W0 una cota de IN en D entonces

' / ( x) 1 < -~ 0 + (para todo x E- D ) ,

o sea que / es acotada en D. De (7) tenemos :

l / n ( x) 1 < .W 0 + + f . wo + 2( (para todo x F- O )

Sea .W una cota de ji (i 1, 2, , N 1 ) t'n O , sea

M = Mximo \M 1, ,\12 ,MN-1' M0 +2 l

M es una COTi! UNIFORME de todas las /unciones / ( i = 1,2,J, .... } en D.

278

- -

EJEMPLO 74

fn( x)

Pa7a cada n , fn

1 fn( x) \

1 ,z 1 X

es acotada

I ,z =-- =

J X

en [O , 1 )

en [O , 1 ) , en realidad:

2 n 1 +x+x + ... . +x < n.

f/x! -+ - en (O, 1) , como la funcin lmite no es acotada J X [O, l) , l a convergencia no es uniforme

EJERCICIO 193

en

Si lfnl y \gnl convergen uniformemente en O, demostrar que lfn +gnl

converge uniformemente n D

Demostracin In ~ / , y gn - g uniformemente en O.

Dado ( > o existe N . independiente de X e D ) tal que para todo n ) N tenemos

: f n ( x) - / ( x) \

entonces :

< ....L 2

\gn(x)-g(x) 1 < ....L 2 (para todo x E O ) ,

iJ,/ :e! + g,,( x) 1 - 1 jx) -'- g( x) 1 ~ .;S fn(x!-/(x) 1 + !gn(x)-g(x) \

Como In -+ f y t al que si n ~ N

gn .- g uniformemente en D, dado E > O existe N

fn(x) - j(x) 1

Entonces :

tenemos

< _E_ 2M

< ( 2M

para todo x E D. gn (x) - g(x) J

f n( x) gn( x) - / ( x) g ( x) 1 = l f n( x) gn ( xi - f ( x) gn( xi-'-/( xi gn( x) - f (xi g (xi 1

~ gn( x) 1 !f n(xi- j ( xi -'- j(x) 'gn(x)-g(x) 1

.$-

o sea q11e In gn

.11-(-2M

.lf _ _ 2M

( .

/g uniformemente en D. La acotacin de las dos sucesiones l/n : y lgn : es condicin indispen

sable para demostrar que In g n tiende a j g uni forrnemente , corno puede v~ se en los siguientes ejemplos .

EJEMPLO 75

Sean

fn( x) X ;. Tl ' g (xi n !

X ~n X "'.' (0 , 1 ) ,

Evidentemente tenemos que:

n / ( x) gn( x) - g ( x) uniformemente en (0, !), = - X X

Tenemos

fn(x) gn(xi 1 ---r n-

1 +. -X

n j (x)g(x) I

nx

Pero,

' f ( x) g ( x) - j ( x} g ( x) ! = 1--1 n n n

X 1 ..,- - .J... -

n n x > nx ,

esto es , dado , O , aunque n sea muv grande existe x "'.' (0, 1) tal

(basta tomar x

(ii) Sea h 11 = In gn entonces

hn(x) fn(x)gn(x) = ~ x(I + .J... ;.J... si x = O irracional n n l x( 1 1 1 + )(b+-;-) a ( 1 +,} )(1 + n ~ ) si x = T

Si x = al b ( racion ai) tenemos :

I a 1 1 ) h (a b) - a = - ( 1 + - + - , n n b n b

pero en cuai quier in tervaio lim ! a 1 + 00. luego

hn(a/b) -. a NO es uniforme.

:]ERCJCJO 195

Supongamos qu i n

memente acotada por .W - / uniformemente en O y que Un! es unifor

Si g es continua en j x I ~ M , demostrar que

g ( f,,J g ( j) uniformemente en O fo/ ucin

Como ix / x i .( M ! es compacto , g es uniformemente continua , o sea que , dado r > O existe fi tai que

y - z :; Yt .;:,: .W , :Zi ..( .W implica ;g

Dado > O existe N o tai que

n '} No implica lfn(x)-/(x) 1 < ~ para todo x E (a, b). 4

Sean n y k mayores que N 0 , por I a continuidad de fn y / k en [a, b l exist X E ( a, b) tal que

1 fn( x) - f n ( a) 1 < _!_ 4

ifk(:x) - fk(a) 1 < ..

luego tenemos :

lfn( a) - /k( a) 1 = \In( a)- f n( x) + f n( x)- /( x) + /( x)- M x) + /k( x)- h( a) 1 .;,,: ;n(a)-fn( x) I + !fn (xl-fx) \ + l/(x)- /k(x) 1 + /k (x)- / k( a) I

< ...!.. +....!... + .!. + .!..= ( 4 4 4 4

Es to es . l a sucesin lfn( a>! satisface l a condicin de C auchy ,o sea qar l fn (a) 1 converge. De la misma manera, 1/,/bll converge.

EJEMPLO 78

S ( x) n

"5..n ~ k=1

es continua e n [ - l , 1 ] p ara todo n

Si l a serie ::S:"" xk convergiera uni form emente en 1- l , 1 i entonces las k = 1 "" "" k do s s eries "5.. 1 v "5.. (- 1) deberan co n v er ger ! Eier cicio 196) , esto

k = 1 - k = 1 e s imposible. Por lo t anto, la convergencia de l a s erie .\JO e s uniforme t1f (- 1 ,1)

E f EMPLO 79

< 2 ( 5

1 +- (

5 I I

+-( +- = ( !i Nota 5 5

Esto e s , fn _, / uniformemente en fa, b ].

;;Nota I por ( I O), Jf(xk )- f (xk JI < -

1l . 5

lf !xk . ) - f ( xk) 1 /' 1 por (9) ' - ( ' 5

\/( xk) - fn( xk) 1 I por (IO). < - ( 5

\ltese que en este e jercicio la sucesin l /,/ x) ! no s monrona sino qll( cada una de las funciones In es montona (algunas pu d en ser crecientes~ otras pueden ser decrecientes , ver Ejemplo 8 l ) . El res ult ado 110 es vlido para intervalos abiertos 1 ver el ejemplo 8 0 )

EJEMPLO 80

Sea I ( x) = n n x .._

f' ll ( 0 1 )

e 1;id entemente fn es una uncin mon tona 1 decr e ci ente) p ara c ada n y

f n( x) o puntualm ente en (0, 1),

p ero l a convergencia NO es uni forme en 10, J) ( Ejemplo 19,Ejercicio 1811 1 iii) )

EfEMPLO 81

Sea fn l x) = (.l)n-1 X +- l n

en

e videnlemer1Le (Uda fn es montona, en realidad,

In e s creciente si n es impar,

/" es de(reciente s i n es p ar.

A d~m s

(O' 1] .

/ n 1 x i (} /JUnlualm e11te en [O, 11 ,

286

Como lf:/x! 1 < ~ , se tiene que In o uniformemente en [O, l ]. EJEMPLO 82

Sea len l una sucesin que converge a e > O , demostrar que

Soluci n

( e x n

X e uniformemente en [ -M,M].

Como c > O , supongamos que en > O p ara todo n

( cn)x es una funcin montona ( si en > 1 creciente, si en < 1 de

creciente ) , adems ex es una funcin continua en [. M, M] ,por lo tanta ( cn)x

EJ ERCICIO 198

X e uni/ormem ente en [. M, M ] ,

Set: lfn l una sucesin de /unciones montonas memente en [a, b], demostrar que / es montona.

que tiende a / uni /O;!

Demostracin

Supongamos que / no es montona, entonces existen x, y, z G [a, b] ta les que

X < y < Z j (x) < j ( y) , f( y ) > / (z)

X < y z j ( x) > / ( y) j (y) < j (z)

Supongamos que se tiene ( 11). Sea

.'rf nimo l /( y) - f (x). / (y)- j (z) l

entonces existe N tal que

n ). N implica \ fn(t) - f(t) \ < d2 para todo E [a, b].

Por lo tanto tenemos

fn(y )-fn(x) l fn (y)-f(y) l + lf(y) -f(x.l \ + l/(x) - fn(x) l > O ~

\V (

(11)

287

I fy>-1 n n lln(y)-f(y)\+lj(y)-l(:rJI+ l/(z)-f(z)\ > O ~ n \V

(

esto es , In no es montona ( abS11rdo , ) ,

EJERCICIO 199 Sea ! fn 1 una sucesin de funciones continuas en D. Si fn _, f i

jormemente en D, demostrar que

lim f n( xn) /( x) n_,.,

donde xn _, x (n""'"') , xn , x E D.

Demostracin

Dado > O existe N 1 tal que para todo n _;. N l tniemos:

!ln( t) - f( t) I < d 2 Como In es continua y In D , o sea, existe h tal que

para todo t E D (i)

/ es uniforme entonces f es continua es

EJERCICIO 200 ;

Sea lfn 1 una sucesin de funciones continuas en un conjunto compacto D , supongamos que

fn(x) f( x) puntualmente en D

Demostrar que In -+ I uniformemente en D s i y so1o si se cumplen las dos condiciones siguientes :

(i ) j es continua en D

(ii) Dado l > O existe m > O y J > O tales que

\ fk(x)-f(x) \ < O implica !fk+n( x) - f ( x) \ < l para todo n ~ m.

Demostracin (A] Supongamos que n / uni formemente en D.

Evidentemente I e~ continua en D.

Dado ( > O existe -n tal que para todo n :;:: m t enemos

!l n(x)- l(x) 1 < f para todo x E- D ,

\y - X i < h implica if(yJ-f(xJ I < d 2 (ii) 'I luego:

De X -+ n x , existe N2 tal que

n :;;. '"'2 implica 'Xn- X I < h (ii)

Sea N o

. 'rt ximo !N 1 , N 2 1 , si n '). :'1/0 tenemos de (ii) y (ii) :

\ fx11) -/(xJ \ < d 2 En ( i) tomando t = xn

if 11(xn) -f(xn) \ < d 2 .

De (iv) y (v) se tiene que

o sea que

288

lfn(xn) - f(x) \ < f

lim n->00

In( xn) / ( x)

(iv)

(v)

1 n+Ji.(x) - I ( x) \ < f para todo x E D, k = 1, 2 ,3, ...

'Jtese que 8 puede ser cualquiera .

[B] Supongamos que / sati sface las dos condiciones (i) y (ii )

Dado o > a . X ~ o existe h tal que

' lh( xJ - l< xoJ I < o/ l (ya que f n i x0 ) -+ / ( x0 ) l ( 12)

De l a continuidad de lb y / existe una vecindad de x0 , N(x0 ) , t al

que si x E N( x0 ) se tiene :

:fb(x) - lh(x0 J! < 813 , \f(x)- l(x0 ) \ < 0/3. ( 13)

De ( 12) y ( 13) se ti en e :

M xJ- f( x ) 1 < o si x E N( x0 ). ( 14)

289

Como 1 N( x 0 ) l x E D es un recubrimiento abierto del con; unto compacto o

D , existe un nmero finito de vecindades que forman nuevamente un '! cubrimiento abierto de D :

N(x) (j=I,2, ,p) p

U N(x.) j = I I ::" D

Sean k1 , k2 , , kp los subndices h en ( 12) correspondientes a 08 puntos xl , x2 , , xp , es decir :

llk/xJ - f{x) 1 < 8/3 ( j 1, 2, . p) sea

No Mximo 1 k , k2 , , k p ! + m

Si X .:. D entonces x pertenece a alguna vecindad, digamos x E- N(x;~

luego t enemos de ( 14) :

!/k_(x) - j(x) 1 < 8. '

Si n .). N0 enl!Onces n ~ N0 ~ k + m , aplicando la condicin (;;) tenemos :

i fn(x) - /( x) 1 < (.

EJERCICIO 2 01 (Teorema de Dini) e

Sea 1 In! una sucesin montona de /unciones continuas que tiende a una funcin continua en un conjunto compacto D, demostrrlT que

In I uniformemente en D. NOTA

i fn l es una SUCESION CRECIENTE si

fn(x) ~ ln+if xJ para todo n , y para todo x E D ,

1 fn l es una SUCES/ON DECRECIENTE si

fn(x) ~ ln+f x) prlTa todo n , y p'ara todo x E O.

290

Demostracin -

Supongamos que, para mayor sencillez, 1 fn ! es una sucesin creciente ,

Como / es uniformemente continua, dado < > O existe 8 taJ que

IY - x ! < l) implica \/(y)- j(:d 1 < d3 ( 15)

Para cada x fijo, fn(x) -.. j(x) , esto es, existe M x taJ que

l /M (x) - j (x) 1 < d3 X

(16)

Como ,lf es continua en D , existe 8 x (e scogemos 8 x menor que o) tai x

que

IY - X 1 < 8 X implica llM (y) - M (x) 1 < d3 . X X

( 17)

Por la compacidad del conjunto D existe un nm ero / ini to de puntos , di gam os x 1 , x 2 , , xp tales que

P. V N( X l) ) ) o . j = J J Xj i! Nota

Sea N

o Mximo IM 1, ,\f2 ,Mp! ( M . = .\f x.

Si X ~ D entonces X E .W xk , 8 ) para algn k xk

ton e es n ). .lt k , !u e go :

/ ( x) - j ( x) 1 = / ( x) - / ( xi .:,; / ( x) - /u ( x) n n "'k

,; j(x)- j (xk ) ' - j(xk) - f t--ik(xk) I + [/Mk(xk)-/Mk(x) \

_,,____.... ------A A A ( ( (

3 ( po T ( f 5 )) T

Observacin El teorema de Dini es un caso especial del ejercicio 198.

es una sucesin creciente , dado > O podemos escoger :

a = ( ' luego :

\ fk(x) - f(x) 1 = f(x) - fk(x) < implica

\/ k+_,/x) - f(x) \ f( x) - l k+n( x) .;:;_ f( x)-fk(x) < f.

EJEMPLO 83 Sea f n( x) en (0, 1) ,

n X+

l fn 1 es una sucesin dE - Pciente, en realidad:

fn(x) ln+if xl , "- > --..:..--nx+I (n-Ux---1

y o puntualmente en (0, 1) fn( x)

Si 1t.1 m = l

Adems , f n y /son continuas , sin embargo fn _. O NO es un forme en

(0, 1) (Ejemplo 79 , E;ercicio 188 Uii) ) ,

Este ejemplo nos muestra que el resultado del teorema de Oini no es v !ido si D no es compacto .

EJEMPLO 84

Sabemos que l( 1 + ~ )n 1 es una s11cesin creciente, y tiende a ex Adems , ( 1 + ..!.. )n y ex son continuas, e1t ton ces tenemos :

n

( 1 + ~ )n n

X e uniformemente en (O,B].

EJERCICIO 202 O tomemos o > O que satis faga l a condicin ( 18) .

Consideramos una parti cin del intervalo [a, b]

a = x0 , X, , xk ' xn = b

tal' que :r:k - xkl < 1i p ara todn k Como f n( xk) -> / ( xk) , existe Nk

tal que -

n .,.,,

.'ik im plica i fn(xk ) - /( xk ) ! < /

Sea .'i o .\f ximo \ N 0 , .'i 1 , , .'in l .

Si :~ .;;;. [a, b ] entonces :r: -:' fxkl'xk ] p ara algn k. Tenemos enlO!!. ces para n ). ,\J0 :

fn(x)- /( x) I ~ f n( x) - n( xk) ! _.. f n( xk) - '( xk) - j( xk) - /( x ) 1

30 Condicin de Cachy

Para una sucesin numrica se ha estudiado la condicin de Cauchy (Propiedad 20 ) , de manera similar tenemos el siguiente teorema :

TEOREMA 26 (Condicin de Cauchy)

Sea l /n ! una sucesin de funciones definidas en D. 1 In! converge uniformemente en D si y slo si , dado > O dienre de x E D , tal que

existe N , indepen-

n > N implica ! fn(x) - ln+/x) ! < (19)

para tod" x .;; D , para todo q = 1,2,3,

D emo straciCn

() Si In f ut:iformemente en D , dado > O existe :'V tal que

para todo n ;. .'V tenemos:

i fn(x)-f(x) ! < d2 para todo x ":- D

Como n + q ) .'IJ tenemos tambin

1/n+/x)-f(x) ! < d 2 para to do x ;:. O

De las dos desigualdades anteriores tenemos

'/ (x)- f (xJI ~ / (x) - f(x)I + /(x)-f (x)I

Solucin

fn( x) 1 + "in (n) xk k=1 k -;;J

1 + "\n ~ ( 1 _ J..)( 1 ; ) k=l k! n

(1-~-1)

. n ~ 1 2 k-1 xn+ 1 1< x) = 1 + 2:. -- ( 1 -- )( 1 - J ... ( 1 -- ) + --n+ k=l k! n+l n.._J n+1 (n+l)n+1

entonces :

O ( ln+I(x)-fn(x) ~+1 -- n (n + )n+l + 2:. k=l

.

~ (I __ I_) ... (J.(kll)) k .' n+l n+

_(J .l..) .. (1--i.:!.J ,, ,, hn+ 1 n bk k. 1 ] lcl

- 1+ :_ -[U--1) ... ( l--1)-(l--n) ... (J. n J] ' k=Ik! n + n+

/ 1( b) - / ( b) n+ "

Como n+q )

2:. ( fk+1 - fk k=n ln+q- /n

se tiene entonces :

O ..:;; ln+Jx) - fn(x)

~ aWfW ~v~e~i~rm~~N~D. n= 1 n n

Sugerencia

n~ ~p n~ l ak(x) Mx) \ ~ l \ak(x) \\ jk(x) 1 ~ M l \jk(x) 1 k=n+I k=n+l k=n+I '

/onde M es una cota uniforme de lan (x) . Aplicar Cauchy.

EJEMPLO R7

Sea f n(x) 1

( O si x < n ~ 1 2 TT 1

sen - si ---. ,:;;: X n +;

0 si + < X, X .(

la condicin d~

1 n

li) Demostrar que l !ni converge a una funcin continua /,pero que la coa v ergencia no es unifom1e.

(ji) Demostrar que la serie 2.00 f (x) converge absolutamente para too n= 1 n

x, ,fJero no uniformemente

Solucin (i) Para cada x jio , si n es su ficientemente grande tenemos que

x _j_ n

( en caso de x > O ) ,

lim fn(x) j ( x) o para todo x. n-.oo

Para todo n tenemos:

luego:

1 -,;- <

'(_!_; I n l n + 2

por lo tanto In ~ f

298

---, < n + 2:

1 n

2 1 sen rr ( n + 2) 1

no es uniforme (ver Fig. 57.).

/' ,

Si J

Si X ~ o.

. J l

X >

00

y

l fn (x) = n=l

fn( x)

7/

n

FlG. 5 7

luego f ( x) = O para todo n , entonces n

')' 00 o = o -:i=l

x :;. I , existen a lo m s dos nmeros naturales, n, tales que

-;;-:;: .( X ~ _I n

entonces l a serie 1 00 f ( x ) converge ahsolutamente. n= 1 n

Si

A.hora, consideremos l a suma :

,n+p k=n k (x )

1 X =---- '

n + 2

1 n+p ( ---r )

_, k n +2 k=n

p = I , 2,3 , ....

1

X

00 esto e s , ~ f (x ) NO satisface l a condici n de Cauchy p ara l a con

n= 1 n uergencia uniforme de l a serie de funciones.

EJER CICIO 204 00

Si 'l. f (x) con v erge uniform emente en D , demostrar que n = 1 n

299

:~:~-:;i~;c..1=

In O uniformemente en D.

!!!..gerencia

Aplicar la condicin de Cauchy (21) para el caso de q = 1.

TEOREMA 28 (Criterio .\1 de Weierstrass)

Sea lf n ( x) ! una sucesin de funciones acocadas en D , para cada 11 sea .\l n una constante tal que

!fn(x) \ .:$. Mn (para todo x ~ D ) , n = 1, 2, 3,

Si la serie numTica __. "" M -;; = 1 ' n

converge, entonces la serie de funcione

1" fn(x) n=I

converge uniformemente en D

Demostracin .._n+p -k - 1 fk( x) ' .

-n+ 1 -

~~ 1 ,.

Por el criterio M de Weierstrass se tiene que la serie converge uniformeiri~ te en [a, b]

Consideremos ahora un intervalo (O, b] ( [a, O) )

Tenemos : 2n 1 2n 2.. 2 ,> 2.. 22 k=n+l l + k x- k=n+I 1 + 4n x

Aun que n SPll muy grande , si escogemos x = __i_ E (0, b 1 2n

2n '

Si xE-[0,1-]

sn(x) - J...:._ 1 J + X

entonces

~+l(l. x) 11+1 < (1. dn+I ~~~~- ~ X ' I + X

luego existe N tal que ( 1 dNH < ( , por lo tanto :

n ):- N implica 1 s rxJ -~I < ( n I .._ x ( para todo x E [O, I] ) ,

o sea que Sn(x) (J. x) / {J +X) uniformemPn/e en ro, J].

Con este ejemplo vemos que la convergencia uniforme y absoluta de la serie .S: fn(x) no siempre garantiza ' 1 convergencia uniforme de la serie "> ' / ( x) i - n

E] EMPLO 9 I

Demostrar que la serie 00 2 ~ (- J)n x + n n= l n2

converge uniformemente en cualquier intervalo acotado, pero no converge aj soiutam ente para ningn vr:ior de x. Soiucin () Consideremos el intervalo f M ,.\1 l, dado t > O existe N tal f{llr s1 n ;:;.. N se ti en e :

n+q l f ~

..

~. _....___ .... ~

:t Nota - gn( x) ;. gn+l x) para todo x E D , todo n = 1,2,3, ...

gn _,. ti uniformemente en D

Demostracin n

Sea M rma cota uniforme de \A (x) 1 = ! 2. fk( x) 1 en O, n k=l

como

gn O uniformemente en O , dado f > O existe :V tai que para todo n ;;:. N tenemos:

lgn(x) 1 < f 2M

para todo X E- 0,

De (22) se tiene entonces

n+q 2. fk(x)gk(x) k=n+l

n+a ~ 2._ ' IAk(x) lgk(x) - gk+(x) l I + 1An+q

mente en [a, b J. (iiiJ 5i 1 . x = ln se tiene :

2n l fk{1 1 2n) / k=n+l

2n 1 k - sen k k =n+l k Tn

2n ?; l _l ( ...l .J,_ ) =o _!_

k=n+Ik 22n 4 11 Nota

en tonces la serie no satisface l a condicin de Cauchy p ara la convergencia uniforme en (0, :r l. ;t Nota:

1 sen x ; - x

Uv) f~ (x) = cos nx ,

si ;r 0 ~X ~ l

La se rie L j~ (x) = k cos nx .'10 converge ya que l eos nxl NO conver ge a cero.

EJ ERC/CIO 207

Demostrar el siguiente teorema (C riterio de Abel) :

Sea lgn(x) 1 una sucesin decrecience de funciones definidas en D. Si "" lg ( x) 1 es acotada uniformemente v si ~ f ( x) converge unifonnemen

n , n=l n te en D entonces la sene

k 00 f ( x) g ( x) n= l n n

converge uniformemente en D

Demostradn

Sea ,\1 una cota uniforme de lgn(x) l, como uniformemente entonces :

n

) 00

/ ( x) converge - In n=l

A (x) = l /L(x) n k= 1 "'

A(x) uniformemente en D ,

o sea, dado l > O existe N tal qwe pt1ra todo n ). N tenemos :

308

-... -.-....,._.,.-r, ..... ~--- . , ~~-

De (22)

( /An( x) - A(x) 1 < 411

tenemos:

1 ,n+q k=n+l f;,,(x) gk(x) 1

n+q = i l Ak(x)jgk(x)-gL (xJI + An+q(x)gn q (x)-A (x)g 1(x) 1

k = n+ I 11:+ + + n n+ '

(23)

n+q n+q = / l [Ak(x)-A(x)]lgk(x)-gk+(x) l + A(x) l !gk(x)-gk (x) 1

k=n+l k=n+l +

+[A q(x)-A(x)lgn q (xJ-fA (x)-A(x:] g 1tx) n+ + + - n n+

+ Afx) g (x - A(x)g 1( x) n+q+ n+ n+q ~ . /AL(x)-A(xJ/lgL(xJ-gk (xJ!+ / A q(x)-A(x) l/ g (x) !

' k=n+l "' "' + n+ n+q+

+ /An(x)-A(x) // gn+(x) /

n+q f- !A(x)[l lgk(x)-gk+(x) 1 + gn+q+(x) - g (x) 11 tlNota

k=n+I n+

n+q ~ _

EJEMPLO 93

Sea 1 00 a una serie convergente, si ln !( n ;:;. I) es una suce. n = I n

sin creciente , la serie

00

~ n (1n rx n =I

converge uniformemente en x .:;;. O.

Solucin

Como n+ 1 ) 1n en ronces

I O existe -'I tal que para todo n ;::. .''/ tenemos

fn (x ) - f( x ) l < pata todo x "' [a, b ] ( 25)

Si , adems , f es integrable en [ a, b l , integrando la desigualdad ( 25) se u ene

o sea:

. b 1 fn(x) - j( x) \ dx < a

h b

b J dx a

d b a) ,

b ' J / n ( x) dx - J f (x) dx ' l/ (x ) - f (x) l dx

a n a a

"

b 1 a

fn( xi- f (x ) : dx < ( b a ) ,

esta desi gualdad nos indica que h h

1 i ( x ) dx -

r /(xi dx

n . o

h b l im ) / ,/ x) dx = j i im fn (x ) dx , n-oo a a 11--"IQ

( 26 )

Fn otra s palabras , 'el 1 mite de la integral e s igual a la integral del 1 mi te, o ' ' . ,z m

n- oc V ( .. dx son intercambiables'.

Hemos supuesto 1 a integrabilidad de la funcin 1 mHe para garanuzar el resultado (26 ) , sin embargo podemos suprimir esta condicin como pu.~ de verse en el siguiente teorema :

311

( ~--1 ..... . --....--------

TEOREMA 30

Sea Un l una sucesin de funciones integrabes en [ a, b]

In uniformemente en [a, b]

entonces

( i) es integrable en ! a, b 1

( ii) b J fn(x) dx

a

Demostracin

Dado f > o existe N

j/N(x) - /(x) ! <

o sea

jN( x) - . f . 4(b al

b J f ( x) dx a

tal que

' para 4(b a)

fn-+00)

cio X ~ [a,b l 1

f < /( x) < /,,/x) - +fb a l

:-:- 1 .. . u ;

; .,

Sl

(27)

Como fN(x) es integrable en [a, b]. existe una p articin del intervalo (a.bl:

a = x0 , x 1 , , , xk , . . xn b ( ~k x = xk - xk 1 )

tal que n b ~- /N(tk) ~k x - J /N(x) dx ' k-1 a

< d 4

donde tk es cualquier punto del k-simo subintervalo [xkI' xk].

De la desigualdad (27) tenemos :#Nota

n , n n L fN(tk)~kx -- < k f(tk)~kx < ~ fN( tk) ~kx k=I 4 k=I k=l

f +-4 ,

utilizando (28):

b n b J fN(x) dx - _f_ < l f(tk) 1~e < J fN(x) dx a 2 k= l a

( + - 2

Sean V(/) , L(j) las ~ superior e inferior respectivamente

312

(28)

(29)

-.....

u r ! J ,u - ~f ' k=J, k J.kX , Mk Sup if( t) / t E- [xk. J xk] !

L ( j) ..,n k=l mkoe mk In/ i /(t)/ t E [xk-1 xk l !

entonces , de ( 29) tenemos : b b j f,'i ( x) d x - ~ ~ L ( /) ~ U ( /) ~ 1

a , .:: a

o sea

U(/! -U /! ~ f

/ N( x) dx + ..!.. 2

esto e s , la funcin / satis/ac

- ~

f o

rr .l. se nnx e "

F.J ERCICIO 208

rr dx r

(n _.oo ) o 1 dx ;r,

Sea ! f n ! una suc esin de u11 ciones i ntegrables en [ a, b] ,

/ n / uniformemente , demostrar t{u e

si

X

J / n( t) dt X

r 1rt1 dt uni fo rmem ent e en x "'" [a, b\. a

Solucin

Sabemos cue (t) es integrable en [ a, b], c>ntonces

X X J r tJ dt - f r ti dt a n a

X .( r 1 / n ( t) - / (ti d t

a

F.J EROCIO 20 9

X J l fn (t)- f (t! !dt a

b f f,/ tJ - f r t! ! dt a

- o (n->001.

(i l /)emostrar 1ue '"" ( -1 n _.i converg e uniformemente en lr, r l, donde n =o

O < r '- l

(iil Demostrar 1ue :

Sol11eju (i) S ea

entonces

og ( 1 '- X)

5 ( x) n

'. 5 (xi - __ l_ ! ~ n x + I

e sto e s 5 ( x! n

"" n - 1 ,- (. 11 ;; = 1

,n ( I)k _i k=o

1 (.xn+ I ,

! 1 + X

, -

x!1 i X \ < si

--n

1 - (.x )n+I 1 '- X

: 1n+I ,n+l X I ~ 1 - r 1 - T

uniformemente en r ., , r l. f "- X

Ui) Si 'x\ existe un nmero positivo r tal que

314

I

_. o (n--) ,

x E [r,r], r < 1,

Entonces : X f Sn(t) dt

o

o sea :

oo X l J (. I)n /l dt n =o o

( n_,.,) ( __ I_dt I + t

oo n+l l (. l)n __ x_ n=o n + 1

/og ( 1 + X) ,

00 ~ (. J )n I L n= 1 n

log(l+x).

La convergencia uniforme de ! /ni no es condicin necesaria para obce -ner el resultad> (21\) como puede verse en los ejemplos siguientes :

EJEMPLO 96

Sea / ( x) = 2 2 , demostrar que l/n (x) 1 converge ,1i:ntuai n I + n x

mente en [O, 1] pero no uniformemente. ~, Es posible integrar trmi-no por trmino esta sucesin ? Solucin

f n(O) l _.

f n( x) I + n2 x2

o si X f 0

entonces la funcin lmite f (x) es:

j (x) = 1 O SI X = 0 si X f 0

la cual e s discontinua en x = O , pero fn es continua para todo n , por lo tanto la convergencia no es uniforme.

I I J f (x) dx = J o n o

I dx 1 dx = 2 J 2 2 =-tan nx]

+ n2 x2 n o x + ( 1 In) 11 o

= ....!.... -tan l n _. O (n_."") n

I I J / (x) dx J O dx = O , o o

Por lo tanto tenemos :

315

~,.,. .~.--~------- -.. .

~

.. ,. .... ':.

I J fn( x) dx -o

EJEMPLO 97

Sabemos que

I J j(:d dx o

fn(x) = nx(l-x)n o puntualmente en [O, J].

y que la convergencia rw e s uniforme ! Ejemplo 69),

1 J fn( x) dx o

1 J nxllx)ndx o

1 J n ( 1 t ) tn d t ( t ()

n O In-=! , !n+l!(n - :

esto es ,

1 r o dx o

o

1 1 lim J f/x! dx j lim fn(x) dx ,

o n-.oo n ..... oo o

Ef EMPLO 9R

Demostrar que:

( i) lim en sen!) = f(fJ) i ~ r) ~ o. 17 s i 1) o . 17. n_,., Sl !ii) La convergencia en !i) no es unt)orme en [O, 17].

(iii) lim /7 en sen 8 d8 17 Ll J lim ensen1 dfJ fl-x> () o fl->00

Solucin

(i) F! vi den te

o .

I X)

(ii) e" n sen 8 es coutinua en [O, 17] pero la funcin lmite / no es continua en O , 17 entonces la convergencia no es uniforme.

(iii) Dado , > O , la sucesin le" n sen 8 l converge a cero unifo~emen te en ( f/3, 17-l/3] ,luego existe .\/ tal que

316

n ~ N implica

Por lo tanto :

le" n sen 81

r ~ ri;- ~ , ~

v que l a convergencia no es unicrme (Ejercicio 1 9 o ( i i)) . 1 I ? J / (x) dx = J nx(l. x-) 11 dx = __ n _ _. _!...

o n o 2( n + 1) 2 (n -> OQ).

1 1 r /( xj dx J O dx o ' o o

entonces

1 1 lim J fn (x) dx 1

o J l im /11 ( xi dx. o n ~~ n-rx>

El siguiente teorema de Arzel nos da otra condicin suficien:e para!@

rant1zar la integracin trmino por trmino de una sucesin. su .. :mostra c in es sumamente difcil pero d teorema es muy til para varias ;.plicaci2 nes , aqu lo enunciamos sin d emostracin

T".OREi\IA 3 1 ( Teorema de Arzel )

Sea l f 11 ! una sucesin de funciones integrables que tiende a f pu_!! tualrnente en [a, b 1. Si l/n ! es unifonnemente acotada y f es integ@ ble en [ a, b l entonces tenemos :

l im .b J f ( x) dx a n

b r l im fn(x) dx a n-oo

b J /( x) dx. a ti -'"

Y.!2.Ll Si /11 _. / , y 1 /11 1 e s uniformemente acotada en [a, b], se dice

que fn _. / A COT ADAM. ENTE en [a, b]. Segn el teorema de Arzel , en caso de convergencia acotada se puede

incegrar trmino por tnnino la sucesin dada .

En el caso de los ejemplos 96, 97 y 98 las sucesiones convergen ac_2 tadamente , en cambio , la sucesin en el ejemplo 99 no converge acotada mente . :-.ltese que la convergencia uniforme no siempre implica la conv~ genc1a acotada , por ejemplo : 318

/

,,, ' r.

'

.- 1

I 1 x + n -+ x uniformemente en (0, I] fn( x} =

pero ! /ni no es unifonnememe acocada en (0, 1 ].

El teorema de Arzel da una condicin suficiente para garantizar la integrac1on de una sucesin de funciones trmino por trmino .

EfEMPLO 100

Se a fn (x) n 312 x(1- x ) 11 en [O 1] '

evidentemente :

f,/x) --> f(x) =O puntualmente en [O,I].

La funcin f aJ ' 1 n toma su v or maximo en x =;;-;-r , y

f (-z_1 ) = nl/~_!!_.(J __ l_)n _. "" (n .... "") nn + n +l n+l

Entonces, l a convergencia In _. / no es uniforme ni acotada en [O, 1],

pero : I 1 3 " ' 3/2 j /11(x) dx = f n" "x(l-x)ndx =

o (n+ l)(n +2)

I 1 J f (x) dx = f O dx = O o o

EJ E RCICIO 210

Sea fn( x) xnI(l. 2 xfl),

demostrar que

lii j( x) "' " f ( x) ; = 1 n I

7::1 en [0,1).

( ii) e Es acotada l a convergencia en (i)? "" I l J f ( x) dx = O

n = 1 o n liii)

1 (iv) J /( x) dx log 2.

o

--> o ,

319

Solucin n () Sea S/xl = I jk(xl entonces

n S ( x) = l

n k=l b.J 7 ,n 2(n-ll X" - - X ,:,, X

k= I

_ 0 2n J _X ----)~ 2 X ---;----,- ( n-+00 1 - x- J X

2x ~ 1-x

Uil 1 x2n ~

1 xn ----

(1-x)-~(l~x"-S (xi 2x n X

;-; - 0 I _._ X+ 2 ~+l

_ x2

1 _ x2

-J +X

2_.z+l 1

Si X -+ - S (x) n , luego Sn(x) no es ,; cotada en [0, J)ypor -+ -oo

lo tanto la convergencia no es acotada,

Uiil 1 In ( x) dx o

en ton ces

00

~ f n= 1 o

fiv) 1 f j( x) dx = o

F.JERCICIO 211

Demostrar que

? () lim nen-sen8

ll41X>

I

f o

1 1 1 ? 1 J ~- dx - 2 J x-n dx o o

00 fn(x) dx = ' o = o n =I

1 --

1- dx

1 = log(l-xl ] J -'- X

o

o en (0, TT 1 ,

2 ---?-n -n

= log 2

(iil La convergencia en (i) no es acotada ni uniforme en (0, ;r).

iiil TT 2

'im I n e. se e de o . n-+oo o

320

o

So/u cin .:;.;;---

(j} E vidente

(ii! Para cada n Jiio , lim 8-.o

? (iii! o ~ " n e 11- sen e d8 o

< 7 rrr/2 - )

o

n 2 _l e rr n e

2 n e n sen e n ....,. oo

rr/2 n 2 sen O d8 2 J n e o

2 dFJ = ;~ ( 1 - e" n ) - O

~ 3 Convergencia unifonne y derivacin

(n-+oo) ,

Dada una sucesin de funciones !In! , derivables en (a, b 1 , la con ve!. gencia uniforme de In - / en (a, b) no garantiza !a derivacin tr-mino por trmino :

/~(x) - j'(x)

como puede observarse en los siguientes ejemplos

EJEMPLO 101

Sea fn( x) I b (E' . . n sen nx sa emos erczczo converge uniformemente en (a, b] (O < a < b punto x la serie

EJE,\fPLO 102

Sea

";""' (xi converge e - n n = 1

f n( x) X ? + TI x-

en/Dnces

206) que ~oo fn(x) n=I

rr ) , pero en ningn

In /( x) o uni/ormem ente en R 1 {F.jercicio 188 (ii) 1,

Tenemos : 1 - nx 2 {~ si X f o /~(x) =U+ nx2 12 ( n...oo) si X = o. como f' ( x) = O se tiene

321

lim /~ (x) j'( x) n-"""

EJEMPLO 103

Sea f n( x)

2""' fn(x) n=l

Si X f. 0 , lim n->00

/~ (0) .. j'(O) ,

2 4 2 , enwnces la serie n + n x

00

l n=I 2 4 2 n + n x

converge uni /orm em ente en ( oo, oo) ya que

L 00 lfn(x) 1 ~ n=I

"" 1 2 --;r < +"" n= 1 n

(Criterio M de Weierstrass

Sea

/(x)

entonces

luego :

/(x) - /(0)

entonces

""""' / ( x) ,,_. n n=I

" n=I

/(0) " __ n= I n2

2 4 2 n + n x

1 L__l2 42-~I= n-In +nx n

00

-2 n=l

00

2 X

1 + n 2x 2

/( x) f (0) = X

n=I 2 2 + n X (para x f. O }

X

Pero, 1 para X= m tenemos :

"" n= 1

en ronces

2 1 1 + n (-2) m

m > 2

n=I > 1 + -2 m

/( 1/m) - /(O) < _ ...:_ ....!!!_ ( I/m) m 2

1 2

/( 1/m) - /(0) > _:_ ~ (. 1/m} m 2

322

-~ ..,...,.---.,..~.-J:U::_:::zJiZAS( A

=-1-2

,m - m-

n= I l+---r _,_

m-

fl

AA

esto es ,

lim . f(x) - /(0) NO existe , X--0 X

0 sea que j'(O) no existe. Sin embargo:

entonces

Lx ''(x) = 2 ..,)2 In ( I + n x-

I /~(O) n=l

""' o n = 1

En el ejemplo l 1 , la serte

o .

00

I f' ( x) no converge , en el n=l n ejemplo

102 ! /~ 1 converg-:.: v j es derivable pero Iim /~ f /' , y en el eie!!! n4oo

"" plo 101 I /~ n=l

converge pero / no es derivable .

Sea 1 In 1 una sucesin de funciones derivables con su derivada continua en [ a, b l , si la sucesin de las derivadas , !/~ ! converge unifonnemente en [a, b] :

/~ - g uniformemente en [a, b] ,

se tiene (Teorema 30, Ejercicio 208 ) X X J ~ r 1> dt 4 J gr 1J dt

e e uni formem en te en [a, b l

donde e es cualquier punco fijo del incervalo [a, b] , esco es :

fn(x) - fn(c) X J g ( t) dt uni f>rm emente en

e [a, b l .

Si , suponemos que 1 fn( e) 1 converge , entonces se tiene :

X fn(x) 4 lim fn(c) + J g(t)dt

n-oo e uniformemente en [a, b 1.

C,omo /~ es continua, su lmite uniforme g es tambiri continua ,entonces

323

...

~ (

X J g(t) dt es e

uniformemente

derivable y su derivada es g(x) , esto es, lfn(x) 1 converp a una funcin derivable cuya derivada es el lmite de /~(:d:

...:!... lim f (x) = ' n ax n-oo

lim ~/ (x). n-oo dx n (.3 '

Para obtener la relacin ( 30) hemos supuesto las tres condiciones

(i) fn es derivable y ~ es conunua (ii) 1 /~ 1 converge w1formemente . (iii) Para algn punto e , lfn( cJ 1 es una sucesin convergente.

Para obtener el mismo resultado , se puede suprimir la continuidad de!' n

como puede verse en el siguiente teorema 32 , pero al suprim~r la hip/itesis de la continuidad de /,; la demostracin va a ser muy artificiosa.

TF.ORI':JIA 32

Sea l /n 1 una sucesin de funciones derivables en (a, b) , s1:

(i) I /~ l converge uniformemente en (a, b) , ( ii) Exisce un c "' ( a, b) tal que ! f n( c) 1 converge ,

entonces 1 /n i converge .:i una funcin derivable uniformemente en (a,b)

IV _E_ l im i f x) d n X n...,,,, l im ~ ( x)

n...oo

Demostracin

Dado un punto t '' (a, b) definimos la nueva sucesin lgn\ como si gu e:

''xi < i fn ( x) - fn( t) X - t !~ ( t)

si X f t ( 31)

Si X = t

De l a hiptesis (i), lgn(t)I converge. Aplicando la condicin de CaJchy a la sucesin lgn l vamos a demostrar que lgnl converge uniformemente en la, b). Tenemos: 324

g-Hl(x) - g,,(x) lfn+/x)-fn(x) l- l!n+/t)-fn(t) l

X - t (xl-t).

~ictallo el tf!OraitJ df!i valor eio a Ja funcin [fn+q - In] entre t y x Slt 1f!11e :

t.+Jx> - gn(x) l~+q(xo) - /~ ( xo) (32)

i/otle x0 estti e11tre t y x. Como !/~ l converge uniformemente en 11 , b), JIUio t: > O existe N tai qMe para todo n ) N tenemos

!1~+4?(x) - f~ (x) 1 < ( para todo x y todo q , tJlk)CeS ( J2) :

lt.+t/ x) - gn( x) 1 < f pare. todo x y todo q

o sea qiie lr.1 converge -ifon11eaente en ( a, b)

De ( J l J lolllldo t = e tenernos para todo X e (a, b)

f, (x)= f.(c) +g(xJ

intervalo (a, b), y la derivada es el lmit.e de la sucesin lf~ ! .

.:...~ Si fn(c) -+ A , gix) -+ G(x) entonces

lfn(x) - !A+ G(x)(x e) !I.,:;:: l fn(c) - Al + lx cJlgn(x)-G(x)I

.::;, lfn(c) - Al+ (b a) lgn(x) - G(x)I -+ O.

EJEMPLO 104

Sea Q = lxn ! el con;unto de todos los racionaies en [O, l ], sea

fn(x) = 1-1 2"

o

(x xn)2 1 sen x _ xn si x 1- xn

si x = xn,

Como I/ ( x) \ ~ 1 / :!' en [O, 1] , la serie 2. 00 f ( x) converge unifonnt. n n=I n

mente en fO, 1] (Criterio M de Weierstrass ) Sea

entonces

luego:

00

f(x) = fn(x) n=l

= 001(x -xn) 2 sen[x!xJ n= 1 2"

f es continua en [O, 1]. Tambin :

1; (:d l O si x = xn X X J i ~ 7'1" 1)senfx-+xn}- ;!' co.LL l si x =/; xn ~rx:-xnJ ,

i/~(x) 1 ~ lx-xn \ 2" .1 + <

1 ;ti. 1

+-3 2" . ;!' ;!'

00

Por el criterio \f de Weierstrass, la serie 2. _ 1 /~ (x) converge uniformeme!J. n-

te, del teorema 32 se tiene que f es derivable y

""'f x-x ~ r. 00, 1 r 1 j'( x) = 2. 1_ ~1 sen ]- ~ ;!' cos X-:-X J n=l :!' xxn n-1 L n

' donde en la suma l omitimos n = k si x = xk E- Q. 326

\~~~-~.}:';~".'> :~?

.'./OTA

Si x = xk E Q entonces

, ck -Xn \ [ J ] J [ 1 f (xk) = l nfJ sen 7-=x - l--, cos -1 nl-k 2 k n nlk 2 xk-xn

Como l _I_ cos---2k X - Xk

no tiende a cero cuando x ~ xk , /' no es con ti

11ua en xk ~ Q

E/F:RCIC/O 212 00

Sea f n( x) 3 4 2 demostrar que n + n X

k f (x) converge uni n = I n

formemente a una funcin f(x) en (.oo, oo) donde f es derivable y que

/' ( x) = ..,..oo f' (x) - n n=I

para todo X e ( "" , oo) , Soiucin

De la desigualdad:

- / 1 :r 2 ~ --"T

+ rl X n 1/ ( x) \ = 3

n n (paratodo xi

00

se tiene que la serie ~ f (x) converge uniformemente en n = 1 n

(oo,oo) ya

que " "" I / n ;.= converge 2x f~ ( x) = - 2 l 2

n ( 1 -,- nx )

como i f~(x) \ ~ lln 2 para todo x #~,la serie l /~ (x) converge uniformemente en ( oo , "") Aplicar ahora el teorema 32

:: .~ota

Si \ x i ~ 1 se tiene : 2x 2 2

2(1 22 1 -.:s 2(1 2)2 .:$.-Y n + nx n + n x n

Si [x \ > 1 se tiene

327

2x 2\x\ n2rnx2 )2 ~ ~ n 1 1 ,:_ 1 2(1 2)2 "" n + nx

EJEMPLO 105

Sea

Tambin:

Esto es

2 2 1 n X n e entonces fn( x)

In /( x) = O . . Rl uniormemente en

? ') /~ ( x) 2nx e n-x- _, O en R 1

1- lim f n( x) dx n....oo

lim 11....00

/~ (x)

sin embargo , /~ O no es un forme en cual quier intervalo que contq ga ai origen como se ve a continuacin :

Si 2 2 y 1 /~(xJ 2n \xi en x < f

entonces :

n jx \ < f n 2x 2 -e 2

( 33)

Sea x 0 la mayor raz de l a ecua

cin 2 -x

2 ex

l

si n = x0 /! xi se tiene r -L n 2 2 n 1x 0 1 - 2 e ~

o XO

PIG. 59

X

Para obtener la desigu aidad ( 33) se tiene

n > x0 / \x\ como x0 /i x\ oo cuando x ... O , /~ _, O no es uniforme en un inter-vaio que contenga ai origen

328

3 4 Convergencia en media

Sea l!nl una sucesin de funciones integrables en [a, bl, si para una funcin integrable f se tiene :

lim n->oo

b , ? f Jn(x) - f(x) [- dx = O a

se dice que 1 /nl converge a f en media y se nota:

l.i.m. In = f n ... oo

( 34-)

(35)

Si In _, f uniformemente en [a, b] , icotadamente en [ a, b ] , eviden cemente tenemos ( 34) , pero la convergen ci .i puntual no siempre implica la convergencia en media .

EJEMPLO 106

{ n0

xn Sea fn(x) S X 7'= 1 si X = J X ~ [O, l] ,

entonces

fn( x) / ( x) = O en [O, 1]

Pero, 1 2 1 2 ? 2 f !fn(x) - f(x) 1 dx = J n x-n dx = _n __

o o 2n + 00

esto es, fn no converge a cero en el sentido de la convergencia en media.

EJEMPLO 107

Sea f n( x) = [cos n"x ]n en [O 1] , entonces :

I f l fn(:x) - O 12 dx o

I 2 J (cos n"x) n dx o

n11 2n d 2 "/2 2 f cos t-!fr = * f .::os n t dt o o

329

2 1 1 l =-(l-2)(1--4) (l._

17 2n )..!!.. _. O ( n _. oo)

2

ya que el producto infinito TT00 (1 -1-) 2n

diverge a cero , esto es

l. i.m. (ros nTTx)n =O. n-+

Si x es un nmero racional, digamos pi q (p, q son naturales), ento11 ces para n = qm (m =natural) se tiene:

feos nTTx)n = ( cos rrqmJ!.. ]qm = ( cos mpTT)'fm q

2 (. l)m pq

esto es , 1 ( cos nTTx)n l no tiende a cero para x racional.

E] i"' PLO 108

\ ean 11 = f O, l] , 12 = (O, l l , 13 1 2

15 = f7--l. 16 (.i ..1..1, l 4 , 4 en general, si ../?, < n < zk+l ,

l n

4 n "- ..,k ?' , ~ l 2k .. Sea lfn una sucesin de /unciones tales que

In( x) ~ l 1 si X ;;;; l n o si X ,l fn en tone es :

1

( ; , l l , 14 = (O , ; J.

lf. l ],.

X ~ (o l] ,

f :ln(x) - O t 2 dx o

1 2 J lln(x) ! dx o

Longitud de In_. O (n..-),

o sea:

l.i.m. In = O. n-+oo

Pero, si x ".:; [O, 1] evidentemente se tiene

;;; 1 / x) = 1 lim In( x) = O ,

330

~

esto es, lln(x) l NO converge.

______ _[__ l o[ --1.. 1

2

r 12 T 13 1 ~-+-~~~~~~+-~~-'-~~~4 - 1 - 3

! T I r 4 T 5 HI_ 16 T 7 1

--r-- J.. J

r 18 1 ~ T'10 J 111 T 1IL1 113 T 114, 115 1 L 1 :I: 1 x--T l 1 J FIG. 60

Obsrvese que ef lmite en media de una sucesin de funciones , si ex~ te, no es 11ico ya que puede modificarse el valor de la funcin en un nm~ ro finito de puntos sin alterar el valor .de la integral , sin embargo , si e-xisten dos lmites en media

l.i.m. / 71 = I n-+oo

/.i.m. In n-+oo

g

tenemos:

:(x) - g(xJ! 2 = !/(x) - ln(x) + 171(x) - g(x) !2

..::;: 2 !l(x) - ln(xJ! 2 + 2 !f71 (x) - g(xJ 2

lo c:ial im