Clase 14 Geometría de Proporcion I

1Geometra2010

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Clase N 14 Geometra de Proporcin I

PPTCANMTGEA04014V1

APRENDIZAJES ESPERADOS

Identificar tringulos congruentes y semejantes.

Resolver ejercicios que involucren segmentos divididos interior y exteriormente, armnicamente o en seccin urea.

Resolver ejercicios que involucren congruencia y semejanza de tringulos.

Resolver ejercicios que involucren equivalencia de figuras.


1.Figuras congruentes

Contenidos

1.1 Definicin

1.2 Tringulos Congruentes

3.1 Definicin3.2 Tringulos Semejantes

2. Figuras Equivalentes

3. Figuras semejantes

3.3 Elementos homlogos3.4 Razn entre reas y permetros


3.5 Postulados de semejanza

4.1 Divisin Interior

4.2 Divisin Exterior4.3 Divisin Armnica

4. Divisin de un segmento

4.4 Seccin urea o Divina


1. Figuras congruentes ( )1.1 Definicin

Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamao y la misma rea, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensin.

Ejemplos:


A

C

B D

F

E

1.2 Tringulos congruentesPara determinar si dos tringulos son congruentes, existen algunos criterios. Los ms utilizados son:

1 Lado, lado, lado (L.L.L.)Dos tringulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes.

Ejemplo:

88

1010

66

Los tringulos ABC y DEF son congruentes y se denota: ABC DEF


22 Lado, ngulo, lado (L.A.L.)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ngulo comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

5

3

5

3

Ejemplo:



3 ngulo, lado, ngulo (A.L.A)

Dos tringulos son congruentes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente.

A B

C

E

F

D

1212

Ejemplo:



2. Figuras EquivalentesSon aquellas que tienen la misma rea.

Ejemplo:El cuadrado de lado 2 , es equivalente al crculo de radio 2 de la figura:

rea = 4 rea = 4


3. Figuras semejantes (~)

Para que dos polgonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones:

3.1 Definicin

Se llaman lados homlogos a los lados que unen dos vrtices con ngulos congruentes.

G

F

J

I

H

A

E

D

C

B

1 que tengan sus ngulos respectivamente congruentes, y

2 que sus lados homlogos sean proporcionales.

Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamao y rea.


A

E

D

C

B

G

F

J

I

H

6

5

4

3

12

10

8

6

42

Adems, estn en razn 1:2.

Por ejemplo, los lados AB y GH son homlogos, como tambin lo son, BC y HI, CD y IJ, DE y JF, EA y FG.


Dos tringulos son semejantes si sus ngulos correspondientes son congruentes, y sus lados homlogos proporcionales.

3.2 Tringulos Semejantes

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

Los Lados homlogos estn en razn: 1:3 = k

5

3

15

94

12

Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

AB es homlogo a DEBC es homlogo a EFAC es homlogo a DF AB

DEBCEF

ACDF

13

= = = = k


3P

Q

R

A B

C

3.3 Elementos HomlogosLos lados homlogos en los tringulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales.

Ejemplo:

34

5

6

8

10

ABPQ

= BCQR

= CARP

= k 5 10

= 36

= 48

= 12

Adems, los elementos que cumplen la misma funcin en cada tringulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, tambin son homlogos y proporcionales.

= k


PR

6

8

10

Q

A B

C

34

5

hChR

Adems, =hChR

2,4

4,8=

12

= k


Recuerda: Teorema de Euclides

hC =a b

c

La razn entre los permetros de dos tringulos semejantes, es igual a la razn entre sus elementos homlogos.

3.4 Razn entre reas y Permetros

Ejemplo:Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

PABC PPQR

=12

24=

1

2= k


La razn entre las reas de dos tringulos semejantes, es igual al cuadrado de la razn entre sus elementos homlogos.

Ejemplo:Q

6

10

hR

PR 8

A B

34

5

C

hC

AB

PQ= = k5

10= 1

2

AABC APQR

=6

24=

1

4= k2


3.5 Postulados de semejanza1 Postulado AA.

Dos tringulos son semejantes si tienen dos ngulos respectivamente congruentes.

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

ABDF

BCFE

ACDE

= = = kAdems


ABC ~ DFE por AA

2 Postulado LLL.

Dos tringulos son semejantes si tienen sus tres lados respectivamente proporcionales.

Ejemplo:

ABC ~ FDE por LLLA B

C

E

F

D

ABFD

BCDE

ACFE

12

= = = = k

Adems BAC=DFE, CBA=EDF y ACB=FED


43 Postulado LAL.

Dos tringulos son semejantes si tienen dos lados respectivamente proporcionales y el ngulo comprendido entre ellos congruente.

Ejemplo:

A B

C

E

F

D

ABC ~ FED por LAL

Adems BAC=DFE y CBA=FED

BCED

412

515

13

= = = kACFD

=


Ejemplo:

Determinar la medida del segmento QR de la figura:

A B

C

4 10Q

R

P

6

Solucin:

10QR

46

= 60 = 4QR 15 = QREs decir:

ABPR

10QR

46

= =

Los tringulos de la figura son semejantes por AA y se tiene que ABC ~ PRQ , entonces:ABPR

CBQR

ACPQ

= = = k Con k razn de semejanza


4. Divisin de un segmento4.1 Divisin interior

CA B

Si el punto C divide interiormente al segmento AB en razn m:n, entonces:

Ejemplo:

QA B

ACCB

= mn

Si Q divide interiormente al segmento AB en la razn 3:5, y QB= 45, entonces, cunto mide AB?


QA B

45

AQQB

= 35

Solucin:

AQ45

= 35

AQ =345

5AQ = 27

27

Por lo tanto, AB mide 72


4.2 Divisin exteriorSi el punto D divide exteriormente al segmento AB en razn m:n, entonces:

BA D

Ejemplo:

BA D

20

ADBD

= mn

Si D divide exteriormente al segmento AB en la razn 5:2, y AD = 20, entonces, cunto mide BD?


ADBD

= 52

20BD

= 52 BD =

2025

BD = 8

BA D812

20Solucin:


54.3 Divisin armnicaDividir el segmento AB armnicamente en razn m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razn.

Ejemplo:

mACCB = = n

ADBD

Al dividir armnicamente el segmento AB en la razn 3:2, cunto mide BD y CB, si AB = 12?

A C B D

A C B D

12


Si C lo divide interiormente y D exteriormente, se cumple que:

12+y y

Solucin:

x y

ACCB

= 32

= 32 3x = 2(12 - x) 12- x x

3x = 24 - 2x5x = 24

ADBD

= 32

= 32 24 + 2y = 3y

365

x = 245

24 = y

245

24A C B D

12 - x

12


4.4 Seccin urea o DivinaEl punto X divide el trazo AB en seccin urea, si el trazo mayor es media proporcional geomtrica entre el trazo completo y el menor.

Si AX > BX, entonces:

Ejemplo:

XA B

PA B

ABAX =

AXBX

(AX)2 = ABBX

En la figura, P divide al segmento AB en seccin urea, con AP > PB. Cul es la ecuacin que permite calcular la medida de AP, si PB = 5?

5


Solucin:

(AP)2 = (AP + 5)5(AP)2 = 5AP + 25(AP)2 - 5AP - 25 = 0

5

PA B

(AP)2 = ABPB


Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, en las pginas 273, 274 y 276.

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