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INTRODUCCIN MTODO DE LA DOBLE INTEGRACIN MTODO DEL REA DE MOMENTOSDiagrama de momentos por partes Deformaciones de vigas en voladizo Deformaciones de vigas simplemente apoyadas Deflexiones en el centro del claro

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MTODO DE SUPERPOSICIN

En este captulo se desarrollan varios mtodos para determinar la curva de deflexin propiamente dicha y hallaremos las deflexiones en puntos especficos a lo largo del eje de la viga. El clculo de las deflexiones es muy importante dentro del anlisis y diseo estructural por ejemplo:

Para el anlisis de estructuras estticamente indeterminadas. Para anlisis dinmico, investigacin de vibraciones o las respuestas de edificios

a sismos.

Para determinar lmites permisibles para pisos industriales y edificios.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA CURVATURA DE DEFLEXIN

Elstica

P

Vigas prismticas

Ecuacin diferencial de la elstica

Ecuacin de la pendiente dela elstica

Ecuacin de la elstica

Las constantes de integracin C1 y C2, se consiguen aplicando una condicin de frontera o condiciones de borde, para lo cual se grafica la curva elstica aproximada de la viga y se observan aquello puntos donde es conocida bien sea la deflexin o el giro.

DEFINICIONESh

La deflexin v, es el desplazamiento en la direccin y de cualquier punto sobre

el eje de la viga.

El ngulo de rotacin

del eje de la viga es el ngulo entre el eje x y la tangente

a la curva de deflexin.

La pendiente de la curva de deflexin es la primera derivada de la expresin

para la deflexin, en trminos geomtricos, la pendiente es el incremento en la deflexin al pasar del punto m1 a m2, dividido entre el incremento de la distancia a lo largo del eje x, como y son infinitesimalmente pequeos, la pendiente es igual a la tangente del ngulo de rotacin

CONVENCIN DE SIGNOS Para recordar las convenciones de los signos que deben usarse en las ecuaciones anteriores:` ` `

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Los ejes x y y son positivos hacia la derecha y hacia arriba respectivamente. La deflexin v es positiva hacia arriba. La pendiente y el ngulo de rotacin son positivos en sentido contrario a las manecillas del reloj con respecto al eje x positivo. La curvatura es positiva cuando la viga se flexiona con concavidad hacia arriba. El momento flexionante es positivo cuando produce compresin en la parte superior de la viga.

Procedimiento general del mtodoh

Entonces se utilizara las ecuaciones anteriores para encontrar deflexiones en vigas, el procedimiento general consiste en:`

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Para cada regin de la viga, sustituimos la expresin para M en la ecuacin diferencial y la integramos a fin de obtener la pendiente A continuacin se integra de nuevo para obtener la deflexin correspondiente Cada integracin produce una constante, entonces habrn dos constantes, las cuales se evalan a partir de las condiciones conocidas propias de las pendientes y de las deflexiones, las condiciones son de tres tipos 1) condiciones de frontera, 2) condiciones de continuidad y 3) condiciones de simetra.

CONDICIONES EN VIGASh

Entonces se utilizara las ecuaciones anteriores para encontrar deflexiones en vigas, el procedimiento general consiste en:`

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Condiciones de frontera.- se refieren a las deflexiones y pendientes en los apoyos de una viga. Condiciones de continuidad.- se presenta en puntos donde las regiones de integracin concluyen, es decir la deflexin en un punto determinado X, para la parte izquierda de la viga es igual a la deflexin determinada para la parte derecha de la viga. Condiciones de simetra.- si una viga simple soporta una carga uniforme en toda su longitud, se conoce anticipadamente que la pendiente de la curva de deflexin (o elstica) en el centro del claro debe ser cero.

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Demostracin matemtica

Teorema I

Teorema II

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CONVENCIN DE SIGNOS

Vigas en voladizo

Vigas simplemente apoyadas

Sirve para la evaluacin de pendientes y ordenadas de la elsticas, se puede utilizar los resultados de algunos tipos sencillos de cargas para obtener, por suma de efectos, las soluciones correspondientes a cargas ms complicadas, esto es el fundamento de clculo del mtodo de superposicin. El procedimiento de este mtodo es determinar la pendiente y la deflexin en un punto de una viga por la suma de las pendientes y deflexiones producidas en ese mismo punto por cada una de las cargas cuando stas actan por separado. En vigas este principio es valido si se cumple lo siguiente: 1- Se aplica en materiales linealmente elsticos es decir vale la ley de Hooke. 2- Las deformaciones son pequeas. 3- La presencia de deformaciones no altera la accin de las cargas aplicadas.

La viga original en cantiliver, tiene tres cargas externas. Las deflexiones hacia arriba son positivas y hacia abajo negativas.