COLEGIO INTERNACIONAL SEK

Prof. Álvaro Elizondo Montoya.TEMA: PRISMAS Y PIRÁMIDES.

Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo: 9−

GEOMETRÍA ESPACIAL DE PRISMAS Y PIRÁMIDES.

DEFINICIÓN: Dados cuatro o más polígonos no coplanares, tales que cada uno de sus

lados sea común a dos de ellos y que el plano de cada uno de esos polígonos deje a los restantes

en un mismo semiespacio de los que él determina, se llama poliedro, al conjunto de los puntos

comúnes a todos los semiespacios a que pertenecen esos polígonos.

NOTA:

1. Los polígonos que determinan al poliedro se llaman caras del mismo, y los lados y vértices

de los polígonos se llaman aristas y vértices del poliedro.

2. Se estudiarán seguidamente algunos poliedros, en particular los llamados prismas.

NOTA: Si se consideran las rectas paralelas a, b, c, d y e, tales que tres de ellas no pertenecen

a un mismo plano y que el plano determinado por dos consecutivas deja a las restantes en un

mismo semiespacio de los que él determina, y si estas rectas se cortan con dos planos paralelos

α y β, queda determinado un cuerpo poliedro llamado prisma, que se destaca en la �gura.

Fig 1: Procedimiento para la obtención de un prisma.

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ELEMENTOS DEL PRISMA Los polígonos congruentes, ABCDE y A′B′C ′D′E ′ se

llaman bases del prisma, los paralelogramos AA′B′B; BB′C ′C; CC ′D′D; DD′E ′E y EE ′A′A

se llaman caras laterales del prisma. Las caras laterales y las bases de un prisma se llaman

en general caras del prisma. Las intersecciones de dos caras laterales, en el caso de la �gura

AA′; BB′; CC ′; DD′ y EE ′ se llaman aristas laterales del prisma y los lados de los polígonos

de las bases se llaman aristas de la base. El segmento perpendicular a los planos de las bases

comprendido entre los mismos se llama altura del prisma, así en el prisma de la �gura, la

altura es el segmento HH ′.

Fig 2: Prisma oblícuo de base pentagonal.

Si en vez de cinco paralelas, como en la �gura, se consideran tres, las bases son triángulos,

y al prisma se le llama prisma de base triangular; si se consideran cuatro, las bases son cua-

driláteros y al prisma de le llama prisma de base cuadrangular,..., etc.

PRISMA RECTO: Un prisma se dice recto, cuando las aristas laterales son perpendicu-

lares a los planos de las bases.

1. Las caras laterales de un prisma recto son rectángulos.

2. Las aristas laterales de un prisma recto son congruentes con la altura del prisma.

Fig 3: Prisma recto de base hexagonal.

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PARALELEPÍPEDO: Se llama paralelepípedo a un prisma cuyas bases son paralelo-

gramos.

1. Dos caras de un paralelepípedo que no tienen ningún punto en común, se llaman caras

opuestas.

2. Dos aristas paralelas de un paralelepípedo que no pertenecen a una misma cara, se llaman

aristas opuestas.

3. Dos vértices de un paralelepípedo que no pertenecen a una misma cara, se llaman vértices

opuestos.

4. Se llama diagonal de un paralelepípedo, al segmento que tiene por extremos dos vértices

opuestos.

Fig 4: Paralelepípedo oblicuo de base romboidal.

PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO: Se llama paralelepípedo rectángulo, al pa-

ralelepípedo cuyas bases son rectángulos y que tiene sus aristas laterales perpendiculares a los

planos de las bases.

1. Las seis caras del paralelepípedo rectángulo son rectángulos.

2. En todo paralelepípedo rectángulo las diagonales son congruentes.

3. En todo paralelepípedo rectángulo, el cuadrado de una de sus diagonales, es igual a la suma

de los cuadrados de las tres aristas que concurren en uno de sus vértices.

Como fórmula se escribe: d =√`2 + a2 + h2, donde, �d� es diagonal, �`� es largo, �a� es

ancho y �h� es altura.

Fig 5: Paralelepípedo rectángulo.

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CUBO: El cubo o hexaedro regular es un paralelepípedo rectángulo que tiene todas sus aristas

congruentes.

1. Las diagonales del cubo son congruentes.

2. El cuadrado de una diagonal (d) es igual a 3 veces el cuadrado de una de las aristas (a).

Como fórmula se escribe: d = a√3

Fig 6: Cubo o hexaedro regular.

SUPERFICIE DE LOS PRISMAS

SUPERFICIE LATERAL: Se llama super�cie lateral de un prisma, a la suma de las

super�cies de sus caras laterales.

NOTAS:

1. La super�cie lateral de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base por la

altura del prisma.

2. Si el prisma no es recto (o sea oblícuo), la super�cie lateral se obtiene multiplicando el

perímetro de la sección perpendicular a sus aristas laterales por una de estas aristas.

SUPERFICIE TOTAL: Se llama super�cie total AT del prisma, a la suma de la super�cie

lateral AL más la super�cie de las bases AB.

NOTAS:

1. La super�cie total de un prisma recto es igual al producto del perímetro de la base, por la

suma de la altura más la apotema de la base. Así: AT = p(h+ a)

2. Si el prisma no es recto, para hallar su super�cie total se emplea: AT = AL + 2 · AB

3. Si el prisma recto es un cubo, la expresión de la super�cie total se simpli�ca, pues sus seis

caras son cuadrados congruentes, llamando con �a� a la arista, se tiene: ACARA = a2 y

AT = 6a2

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VOLUMEN DE LOS PRISMAS

VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO RECTÁNGULO: El volumen de un pa-

ralelepípedo rectángulo es igual al producto de las tres aristas que concurren en un vértice.

Simbólicamente: V = a · b · c

Fig 7: Volumen de un paralelepípedo rectángulo: V = a · b · c

VOLUMEN DE UN CUBO: El volumen de un cubo es igual al cubo de su arista.

Simbólicamente: V = a3

Fig 8: Volumen de un cubo o hexaedro regular: V = a3

VOLUMEN DE UN PARALELEPÍPEDO CUALQUIERA: El volumen de un para-

lelepípedo cualquiera es igual al producto de la super�cie de la base por la altura. Simbólicamente:

V = Ab · h

Fig 9: Volumen de un paralelepípedo cualquiera: V = Ab · h

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VOLUMEN DE UN PRISMA: El volumen de un prisma es igual al producto de la

super�cie de la base por la altura. Simbólicamente: V = Ab · h

Fig 10: Volumen de un prisma: V = Ab · h

EJERCICIOS DE ÁREAS Y VOLUMENES DE PRISMAS:

1. Determine el área de la base (una base), el área basal (ambas bases), el área lateral, el área

total y el volumen de un cubo cuya arista mide 10 cm.

2. Una tienda de campaña tiene forma de prisma recto de base triangular, la altura de la

tienda es de 4 ft y la base corresponde a un rectángulo de 9 ft de largo y 6 ft de ancho.

Halle la cantidad de lona que se requirió para confeccionarla y el volumen de aire en su

interior.

3. ¾Cuántos cubos de un centímetro de arista se pueden colocar en una caja cuyas dimensiones

son: largo = 3, 5 cm; ancho = 2, 6 cm y altura = 7, 1 cm. ?

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4. El área total de un prisma recto de base cuadrada es de 360 cm2, si la arista lateral mide

el doble de la arista de la base, halle el volumen del prisma.

5. Si se desea cubrir unos moldes cuadrados para hacer queques con material antiadherente,

si los moldes tienen 6 cm de profundidad y 20 cm de lado y se dispone de antiadherente

para cubrir 100m2, ¾cuántos moldes podrán cubrirse?

6. Si se duplican las dimensiones de un paralelepípedo rectángulo, ¾en cuánto aumenta su

área y en cuánto aumenta su volumen?

7. Se desea construir con hormigón armado un tanque séptico sin tapa, si las dimensiones

de las paredes externas del tanque miden 2m el ancho, 3m el largo y 1, 8m de altura y

las paredes y el piso tienen 10 cm de espesor, ¾cuánto concreto se requiere para hacer esta

colada?

8. Halle el área total y volumen de un prisma recto de base hexagonal si la altura mide el

triple de la arista de la base y el área lateral es de 280 cm2.

7

9. En un acuario hay un estanque que tiene la forma de paralelepípedo rectángulo cuyas

dimensiones son 6m × 3m y 2m de altura, se sabe además que el nivel del agua llega

hasta 1,7m y una vez introducidos todos los peces el nivel sube 20 cm. Si se ha comprado

36 kg alimento y cada pez consume diariamente en kilogramos un equivalente numérico al

10% de su volumen en m3 por día, ¾cuántos días durará el alimento?

(Suponga que los peces no crecen de forma signi�cativa durante el periodo de alimentación.)

10. Un ingeniero civil desea constuir un paso a desnivel, por ello debe remover una porción

de terreno tal como se muestra en la �gura, si una vez removida la tierra esta se expande

en un 35% y las vagonetas contratadas pueden transportar 12m3 por cada viaje, ¾cuántos

viajes deberan contratarse para remover toda esta la tierra?

Si el costo de cda uno de los viajes es de 18000 colones y se deben considerar un 10%

de costo adicional por concepto de imprevistos, ¾cuánto dinero se debe desembolsar para

contratar el transporte de la tierra?

Fig 11: Asuma que los planos ABCD y A′B′C ′D′ son paralelos.

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Ejercicios adicionales:

1. Calcular la diagonal de un paralelepípedo rectángulo cuyas aristas miden 3 cm; 5 cm y 7 cm.

R/√83 cm

2. En un paralelepípedo rectángulo el largo es la mitad del alto y el triple del espesor. Sabiendo

que la arista mayor del paralelepípedo mide 15 cm. Calcular la diagonal del mismo.R/5√462cm

3. Calcular la diagonal de un paralelepípedo rectángulo de 10cm de altura y cuya base es un

cuadrado de 9 cm2 de super�cie. R/√118 cm

4. Calcular la diagonal de un paralelepípedo rectángulo de 10 cm de altura y cuya base es un

cuadrado de 20 cm de perímetro. R/5√6 cm

5. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo es de 12 cm. Calcular la altura sabiendo que

los lados de la base son de 6 cm y 5 cm respectivamente. R/√83 cm

6. Un paralelepípedo rectángulo tiene un cuadrado por base. Calcular la super�cie de la misma

sabiendo qua la diagonal del paralelepípedo es de 10 cm y la altura de 8 cm.R/18 cm2

7. La arista de un cubo es de 8 cm. Calcular la diagonal del mismo. R/8√3 cm

8. Sabiendo que una de las diagonales del cubo es de 874, 8mm, expresar en cm la arista del

mismo. R/729√3

25cm ≈ 50, 51 cm

9. La super�cie de la cara de un cubo es de 49 cm2 . Calcular la diagonal del mismo. R/7√3 cm

10. La diagonal de una cara de un cubo es de 12 cm. Calcular la diagonal del cubo. R/6√6 cm

9

11. ¾Cuál es la super�cie lateral de un prisma recto de 12 cm de altura cuya base es un pen-

tágono regular de 3 cm de lado? R/180 cm2

12. Calcular la super�cie lateral de un prisma recto cuyas aristas laterales tienen 15cm y cuya

base es un cuadrado de 4, 5 cm de lado. R/270 cm2

13. ¾Cuál es la super�cie lateral de un prisma recto de 8 cm de altura, cuya base es un hexágono

regular de 30 cm2 de super�cie? R/16√5

4√3 cm2 ≈ 27, 18 cm2

14. ¾Cuál es la super�cie lateral de un prisma recto de 15 cm de altura, cuya base es un

hexágono regular de 6, 92 cm de apotema? R/2076√3

5cm2 ≈ 719, 15 cm2

15. Un prisma recto de 30 cm de altura tiene por base un cuadrado de 7, 05 cm de diagonal.

¾Cuál es la super�cie lateral del prisma? R/423√2 cm2

16. ¾Cuál es la super�cie lateral de un prisma recto de 12 cm de altura, cuya base es un

cuadrado de 90, 25 cm2 de super�cie? R/456 cm2

17. ¾Cuál es la super�cie lateral de un prisma recto de 9 cm de altura, cuya base es un hexágono

regular de 10, 39 cm2 de super�cie? R/≈ 108 cm2

18. Un prisma recto de 25 cm de altura tiene por base un triángulo equilátero de 27, 68 cm2 de

super�cie. Calcular la super�cie lateral del prisma. R/≈ 600 cm2

19. ¾Cuál es la altura de un prisma recto, sabiendo que el perímetro de la base es de 22, 5 cm

y la super�cie lateral es de 202, 50 cm2 ? R/9 cm

20. Un prisma recto tiene una altura de 7 cm y una super�cie lateral de 175 cm2 . ¾Cuál es el

perímetro de la base? R/25 cm

21. ¾Cuántas caras tiene un prisma recto, cuya arista lateral es de 12 cm, un lado de la base

de 4 cm y la super�cie lateral es de 288 cm2 ? R/8

22. La super�cie lateral de un prisma recto es de 420 cm2. Si la base es un hexágono de

10, 38 cm2 de super�cie, ¾cuánto mide la altura del prisma? R/≈ 35 cm

23. Hallar la super�cie total de un prisma recto de 13 cm de altura, cuya base es un octógono

regular de 5 cm de lado y 6, 04 cm de apotema. R/761, 6 cm2

24. ¾Cuál es la super�cie total de un prisma recto de 20 cm de arista lateral, cuya base un

heptágono regular de 6 cm de lado y 6, 23 cm de apotema? R/1101, 66 cm2

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25. Hallar le super�cie total de un prisma recto de 15 cm de altura, cuya base es un rombo de

12 cm y 16 cm de diagonales.

26. Hallar la super�cie total de un prisma recto cuyas aristas laterales tienen 25 cm y cuyas

bases son cuadrados de 7, 5 cm de lado.

27. Un prisma recto de 45 cm de altura, tiene por base un cuadrado de 210, 25 cm2 de super�cie.

¾Cuál es la super�cie total del prisma?

28. Hallar la super�cie total de un prisma recto de 9 cm de altura, cuya base es un triángulo

equilátero de 2, 5 cm de lado.

29. ¾Cuál es la super�cie total de un prisma recto de 12 cm de altura, cuya base es un hexágono

regular de 5 cm de lado?

30. Un prisma recto de 20 cm de altura, tiene por base un rectángulo de 6 cm de lado y 10 cm

de diagonal. ¾Cuál es la super�cie total del prisma?

31. ¾Cuál es la super�cie total de un prisma recto de 30 cm de altura si su base es un triángulo

equilátero de 12, 11 cm de altura?

32. Un prisma recto de 15 cm de altura, tiene por base un cuadrado cuya diagonal es de 9 cm.

Calcular la super�cie total del prisma.

33. Calcular la super�cie total de un prisma recto cuya altura es el doble de un lado de la base

y ésta es un hexágono regular de 24 cm de perímetro.

34. Calcular la super�cie total de un prisma recto de 40 cm de altura cuya base es un hexágono

regular de 373, 68 cm2 de super�cie.

35. Calcular la super�cie total de un prisma recto de 22cm de altura, cuya base es un hexágono

de 5, 19 cm de apotema.

36. La super�cie total de un prisma recto es de 7, 02 cm2 su base es un cuadrado de 9 cm de

lado. ¾Cuál es su altura?

37. La super�cie total de un prisma recto es de 0, 1488 cm2; su base es un cuadrado de 144 cm2

de super�cie. ¾Cuántos cm. mide cada una de sus aristas laterales?

38. La super�cie total de un prisma recto es de 300 cm2; si la base es un pentágono regular de

15 cm2 de super�cie y 2 cm de apotema. ¾Cuál es el valor de la altura?

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39. La super�cie total de un prisma recto es de 1779 cm2. Si la base es un hexágono regular

de 8, 65 cm de apotema, calcular la altura del prisma.

40. La super�cie total de un prisma recto es de 280 cm2. Si la base es un rombo cuyas diagonales

tienen 6 cm y 8 cm, calcular la altura del prisma.

41. Expresar en cm2 la super�cie total de un cubo de 45mm de arista.

42. Calcular la super�cie total de un cubo de 8, 4 cm de arista.

43. El perímetro de una de las caras de un hexaedro regular es igual a 22, 40 cm. ¾Cuál es la

super�cie total del hexaedro?

44. La suma de todas las aristas de un cubo es de 372mm. Calcular la super�cie total del cubo.

45. La diagonal de una cara de un cubo es de 320mm. ¾Cuál es en cm2 la super�cie total del

cubo?

46. La diagonal de un cubo es de 10, 38 cm. ¾Cuál es la super�cie total del cubo?

47. La super�cie total de un cubo es de 4, 86 dm2. Expresar en cm el valor de la arista del

mismo.

48. La super�cie total de un cubo es de 675 cm2. Calcular la diagonal de una cara.

49. Si la super�cie total de un hexaedro regular es de 96. Calcule la longitud de cada una de

las diagonales del mismo.

50. Hallar el volumen de un paralelepípedo rectángulo de 15 cm de altura y cuya base es un

rectángulo de 5 cm de base y 2 cm de altura.

51. Calcular el volumen de un paralelepípedo rectángulo de 7 cm de largo, 18 cm de alto y 5 cm

de ancho.

52. ¾Cuántos litros de agua puede contener un recipiente en forma de un paralelepípedo rec-

tángulo cuyas dimensiones interiores son: largo, 3m; alto, 0, 90m y ancho, 1, 20m?

53. La diagonal de un paralelepípedo rectángulo es de 15 cm; la altura de 8 cm y un lado de la

base de 5 cm. Calcular el volumen.

54. El volumen de un paralelepípedo rectángulo es de 10 cm3. Calcular la diagonal del mismo

sabiendo que dos de sus aristas son de 8, 5 cm y 12 cm.

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55. Calcular el volumen de un cubo de 3, 5 cm de arista.

56. La super�cie de una de las caras de un cubo es de 30, 25 cm2 . ¾Cuál es el volumen del

cubo?

57. La diagonal de un cubo es de 25, 95 cm. Calcular el volumen del cubo.

58. La diagonal de una cara de un cubo es de 9, 87 cm. ¾Cuál es el volumen del cubo?

59. La super�cie total de un hexaedro regular es de 726 cm2 . Calcular su volumen.

60. Un cubo de 8 cm de arista es de hierro. Calcular la masa del cubo, sabiendo que la densidad

del hierro es 7, 8 gcm3 .

61. La super�cie total de un cubo es de 1350 cm2 . Calcular su masa sabiendo que es de cobre

cuya densidad es de 8, 8 gcm3

62. Un cubo tiene 8000 cm3 de volumen. Calcular la arista.

63. Un depósito cúbico contiene exactamente 729 litros. Expresar en cm el valor de la arista

interior.

64. Calcular la arista de un cubo, sabiendo que su volumen es equivalente a un paralelepípedo

rectangular cuyas aristas son respectivamente de 16 cm, 6, 4 cm y 5 cm.

65. La suma de las aristas de un depósito cúbico es de 10, 8m. Expresar en litros la capacidad

del recipiente; calcular su masa cuando está lleno de aceite (densidad del aceite: 0, 9 gcm3 ).

66. Calcular el volumen de un prisma de 15 cm de altura y cuya base es un pentágono regular

de 3 cm de lado y 20, 6mm de apotema.

67. Calcular el volumen de un prisma de 12 cm de altura y cuya base es un hexágono regular

de 4 cm de lado.

68. Calcular el volumen de un prisma de 20 cm de altura, cuya base es un cuadrado de 28 cm

de perímetro.

69. Calcular el volumen de un prisma de 9 cm de altura, cuya base es un triángulo equilátero

de 5 cm de lado.

70. ¾Cuál es el volumen de un prisma de 18 cm de altura, cuya base es un hexágono regular

de 5 cm de apotema?

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71. Calcular el volumen de un prisma de 25 cm de altura, cuya base es un triángulo equilátero

de 10 cm de altura.

72. Calcular el volumen de un prisma recto cuyas aristas laterales son de 24 cm y cuya base

es un cuadrado de 11, 28 cm de diagonal.

73. Un prisma de 2, 6 cm de altura tiene por base un hexágono regular inscrito en una circun-

ferencia de 1 cm de radio. Calcular su volumen.

74. Calcular el volumen de un prisma triangular de igual altura y base equivalente respectiva-

mente a una pirámide de 5, 4 cm de altura y 4, 5 cm2 de base.

75. Un prisma de 14 cm de altura tiene por base un triángulo rectángulo cuyos catetos son de

5, 4 cm y 7, 8 cm. Calcular su volumen.

76. Calcular el volumen de un prisma recto de 9 cm de diagonal cuya base es un cuadrado de

3, 2 cm de lado.

77. Un prisma de 15cm de altura tiene 360 cm3 de volumen. Calcular la super�cie de la base.

78. Un prisma recto tiene 2295 cm3 de volumen. Si la base es un hexágono de 360mm de

perímetro, calcular la altura del prisma.

79. Un depósito en forma de prisma recto tiene una capacidad de 1 080 000 litros. Sabiendo

que la base interior es un cuadrado de 12m de diagonal, calcular la altura del depósito.

80. Un prisma tiene 519 cm3 de volumen. Si la base es un triángulo equilátero de 10 cm de

altura, calcular la altura del prisma.

81. Un prisma de 2335, 5 cm3 de volumen tiene 18 cm de altura. Calcular el valor de un lado

del hexágono regular de la base.

82. Un prisma recto tiene 263, 250 cm3 de volumen. Si la base es un cuadrado de 45mm de

lado, calcular el valor de las aristas laterales del prisma.

83. Un prisma recto rectangular de 15cm de altura, tiene 5, 040 dm3 de volumen. Si uno de los

lados de la base es de 12 cm, ¾cuánto mide el otro lado de la base?

84. Un prisma recto de 11 cm de arista lateral tiene 134, 750 cm3 de volumen. ¾Cuál es el valor

del lado del cuadrado de la base?

85. Un prisma recto de 8 cm de altura tiene 162 cm3 de volumen. Calcular el valor de la

diagonal del cuadrado que tiene por base.

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PIRÁMIDES 1

ÁNGULOS TRIEDROS: Dadas tres semirrectas V A, V B y V C con un mismo origen V

y tales que no pertenecen a un mismo plano, determinan un ángulo triedro que es el conjunto

de puntos formado por la intersección de los tres semiespacios limitados, respectivamente, por

cada plano determinado por dos de esas semirrectas y que contiene a la otra semirrecta.

Fig 12: Ángulo triedro.

ÁNGULOS POLIEDROS: Se de�nen similarmente que los ángulos poliedros, solo que

en este se de�ne un número n de semirrectas con un mismo origen. (n ≥ 3)

Fig 13: Ángulo poliedro.

PIRÁMIDE: Dado un ángulo poliedro y un plano secante, se llama pirámide a la parte del

ángulo poliedro que se encuentra en el semiespacio respecto del plano que contiene al vértice del

ángulo poliedro.

Fig 14: Pirámide como resultado de la sección de un ángulo poliedro.

1TEOREMA DE EULER: En todo poliedro, el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más 2.

Simbólicamente: C + V = A+ 2 donde C indica el número de caras, V el número de vértices y A el número de aristas.

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ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE:

1. El vértice del ángulo poliedro, V, se llama vértice de la pirámide.

2. El polígono sección, ABCDE, se llama base de la pirámide.

3. Los triángulos que sobre cada cara del ángulo poliedro determina el plano de la base, se

llaman caras laterales de la pirámide.

4. Las intersecciones de dos caras laterales se llaman aristas laterales.

5. Los lados del polígono base se llaman aristas de la base.

6. El segmento trazado desde el vértice de la pirámide, perpendicular a la base se le llama

altura de la pirámide.

Fig 15: Elementos de la pirámide.

PIRÁMIDE REGULAR: Cuando la base de una pirámide es un polígono regular y el pie

de la altura es el centro de la base, la pirámide se dice regular.

Fig 16: Pirámide regular de base cuadrada.

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ELEMENTOS DE LA PIRÁMIDE REGULAR:

1. Las aristas laterales de una pirámide regular son congruentes.

2. Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles congruentes entre

sí.

3. Se llama apotema de una pirámide regular, al segmento determinado por el vértice

de la pirámide y el punto medio de un lado de la base.

SUPERFICIE LATERAL DE UNA PIRÁMIDE: La super�cie lateral de una pirá-

mide, es igual a la suma de la super�cie de sus caras laterales.

1. La super�cie lateral de una pirámide regular es igual al semiproducto del perímetro de la

base por la apotema de la pirámide.

2. La super�cie total de una pirámide regular es igual al semiproducto del perímetro de la

base por la suma de la apotema de la pirámide más la apotema de la base.

3. Si la pirámide regular es un tetraedro, en este caso particular, la expresión de su super�cie

total se simpli�ca, pues sus cuatro caras son triángulos equiláteros congruentes entre sí y

designando por �a� la arista, se tiene:

1. ÁREA LATERAL : AL =3 · a2

√3

4

2. ÁREA TOTAL : AT = a2√3

VOLUMEN DE UNA PIRÁMIDE 2: El volumen de una pirámide es igual a la tercera

parte del producto del área de la base por la altura. Simbólicamente: V =Ab · h3

Fig 17: Volumen de una pirámide: V =Ab · h3

2El volumen de un tetraedro regular de arista �a� se puede determinar por la fórmula: V =a3 ·√2

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EJEMPLOS:

1. La arista de la base de una pirámide regular de base hexagonal mide 12 cm, si la altura

mide el triple de la apotema de la base, halle el área total de la pirámide.

2. Halle el volumen de una pirámide regular de base cuadrada si se sabe que la altura coincide

en longitud con la diagonal de la base y la apotema de la pirámide mide 6 cm.

3. Se vierte el líquido que llena completamente una pirámide regular de base pentagonal en

un prisma que tiene una base de igual área que la pirámide e igual altura, ¾qué parte del

prisma queda sin llenar?

4. Dos pirámides regulares tienen por bases un hexágono regular y un triángulo equilátero, si

ambas pirámides tienen el mismo volumen y las aristas de la base son congruentes, halle

la relación entre las alturas de las pirámides.

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5. Halle el área total y el volumen de un tetraedro regular cuya arista mide 12√3 cm.

6. Halle la longitud de la altura de un tetraedro regular cuya arista mide 3√3m

7. Halle el área total y el volumen de una pirámide regular de base hexagonal, si el perímetro

de la base es de 24 cm y la apotema de la pirámide mide 2√19 cm.

8. Una pirámide regular de base cuadrangular tiene por arista de la base un segmento de 4 cm

de longitud y 8 cm de altura, si esta se secciona mediante un plano paralelo a la base de la

pirámide y esta sección tiene forma de cuadrado de lado 1 cm. Determine el volumen de

la pirámide truncada así obtenida.

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9. Compruebe que la razón entre el volumen de un tetraedro regular de arista �a� respecto a

su área total es dea√6

36

10. Halle el área total de una pirámide regular de forma tetraedríca si su base corresponde a

un triángulo de área 144√3 cm2 y la altura de la pirámide es de 3

√3 cm.

Ejercicios adicionales.

1. Calcule la longitud de una de las aristas laterales de una pirámide regular sabiendo que la

apotema de la pirámide es de 5 cm y las aristas de la base son de 6 cm.

2. Calcular las aristas laterales de una pirámide regular de 6 cm de altura y tal que la base

es un hexágono de 24 cm de perímetro.

3. Calcule la longitud de la apotema de una pirámide regular sabiendo que las aristas laterales

son de 29 cm y la base es un pentágono de 1m de perímetro.

4. Hallar la altura de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de 32 cm2 de super�cie

y cuyas aristas laterales tienen 5 cm.

5. Hallar la apotema de una pirámide regular de 15 cm de altura y cuya base es un cuadrado

de 7 cm de lado.

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6. En una pirámide el pie de la altura coincide con el centro de simetría de la base, que es

un rectángulo de 24 cm de largo y 18 cm de ancho. Siendo la arista lateral de la pirámide

es de 17 cm ¾cuántos centímetros mide su altura?

7. Una pirámide regular de 32 cm de altura tiene por base un hexágono de 8 cm de lado.

Expresar en cm el valor de la apotema de la pirámide.

8. En una pirámide su altura es de 12 cm y su pie coincide con el centro de simetría de la

base, que es un rectángulo de 15 cm y 9 cm de lados. Calcular cada una de las aristas

laterales de la pirámide.

9. Una pirámide regular de base cuadrada tiene 9 cm de altura y 15 cm de apotema. Calcular

la longitud de las arista lateral de la pirámide.

10. Una pirámide regular de 15 cm de altura, tiene por base un hexágono regular de 6 cm de

apotema. Calcular la longitud de las arista lateral de la pirámide.

11. Una pirámide regular de base hexagonal tiene 8 cm de altura y 10 cm de apotema. Calcular

la longitud de las arista lateral de la pirámide.

12. Las aristas laterales de una pirámide regular son de 6 cm y los ángulos que forman con el

eje son iguales a los que forman con la base. Calcular la altura de la pirámide.

13. ¾Cuál es la super�cie lateral de una pirámide regular de 2 cm de apotema si su base es un

cuadrado de 118cm de lado?

14. ¾Cuál es la super�cie lateral de una pirámide recta de 15 cm de apotema si su base es un

hexágono regular de 6 cm de lado?

15. Hallar la super�cie lateral de una pirámide regular de 8 cm de altura si su base es un

cuadrado de 4 cm de lado.

16. Hallar la super�cie lateral de una pirámide regular de 9 cm de altura cuya base es un

triángulo equilátero de 6 cm de lado.

17. Hallar la super�cie lateral de una pirámide regular de 12 cm de altura cuya base es un

hexágono de 8, 65 cm de apotema.

18. Calcular la super�cie lateral de una pirámide regular de 9 cm de altura cuya base es un

rombo cuyas diagonales miden 8 cm y 6 cm.

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19. Una pirámide regular de 15 cm de altura tiene por base un cuadrado cuya diagonal es de

11, 52 cm. Calcular la super�cie lateral de la pirámide.

20. Una pirámide recta cuya base es un hexágono regular de 5 cm de lado tiene 337, 50 cm2 de

área lateral. Calcular la apotema de la pirámide.

21. La super�cie lateral de una pirámide regular es de 200 cm2. Calcule el perímetro de la base

si la apotema de la pirámide es de 16 cm.

22. ¾Cuántas caras tiene una pirámide regular cuya apotema es de 12 cm, un lado de la base

de 3 cm y la super�cie lateral de 144 cm2?

23. Una pirámide regular de 12 cm de apotema, tiene 84 cm2 de super�cie lateral. Calcular la

diagonal del cuadrado que tiene por base.

24. Una pirámide regular tiene 750 cm2 de super�cie lateral. Calcular su altura, sabiendo que

la base es un hexágono regular de 8, 65 cm de apotema.

25. Calcular la altura de una pirámide regular sabiendo que su super�cie lateral es de 570 cm2

y que la base es un cuadrado de 90, 25 cm2 de super�cie.

26. Hallar la super�cie total de una pirámide regular de 25 cm de apotema si su base es un

octógono de 4 cm de lado y 4, 89 cm de apotema.

27. Determinar la super�cie total de una pirámide regular de 20 cm de apotema sabiendo que

su base es un hexágono de 8 cm de lado.

28. Hallar la super�cie total de una pirámide regular de base hexagonal de 30 cm de altura,

sabiendo que el radio de la circunferencia en que está inscrito el polígono es de 10cm.

29. Hallar la super�cie total de una pirámide recta de 15 cm de altura, cuya base es un cuadrado

de 81 cm2 de super�cie.

30. Hallar la super�cie total de una pirámide recta de 8 cm de altura, sabiendo que la longitud

de la circunferencia en que está inscrito el cuadrado de la base es de 25, 12 cm.

31. Hallar la super�cie total de una pirámide regular de 25 cm de apotema si su base es un

triángulo equilátero de 27, 68 cm2 de super�cie.

32. Calcular la super�cie total de una pirámide regular de 12 cm de altura si su base es un

hexágono de 41, 52 cm2 de super�cie.

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33. Hallar la super�cie total de una pirámide regular de 20 cm de altura cuya base es un

triángulo equilátero de 15, 57 cm2 de super�cie.

34. Calcular la apotema de una pirámide recta, si su super�cie total es de 24, 1290 cm2 y la

base es un cuadrado de 9 cm2 de super�cie.

35. Una pirámide recta de 343 cm2 de super�cie total tiene por base un cuadrado de 7 cm de

lado. Expresar en cm el valor de la apotema de la pirámide.

36. Calcular la apotema de una pirámide regular de 54 cm2 de super�cie total, cuya base tiene

una super�cie de 15 cm2 y una apotema de 5 cm.

37. La super�cie total de una pirámide regular de base hexagonal es de 740, 76 cm2 . La super-

�cie de la base es de 20, 76 cm2. Calcular la altura de la pirámide.

38. Hallar la super�cie total de un tetraedro regular de 10 cm de arista.

39. Hallar la super�cie lateral de un tetraedro regular de 6, 5 cm de arista.

40. Calcular la super�cie de un tetraedro regular, sabiendo que la suma de sus aristas es igual

a 30 cm.

41. Sabiendo que la altura de una de las caras de un tetraedro regular es de 9 cm, calcular la

super�cie del mismo.

42. Siendo 43, 35 cm2 la super�cie total de un tetraedro regular, calcular la arista del mismo.

43. Sabiendo que la super�cie total de un tetraedro regular es de 140, 13 cm2 calcular la altura

de una de sus caras.

44. Calcular el volumen de una pirámide regular de 18 cm de altura y cuya base es un pentágono

de 8 cm de lado y 5, 6 cm de apotema.

45. Calcular el volumen de una pirámide de 17, 6 cm de altura y cuya base es un rombo que

tiene diagonales de 6 cm y 8, 5 cm.

46. ¾Cuál es el volumen de una pirámide de 8 cm de altura, cuya base es un cuadrado de

9, 6 cm de perímetro?

47. La base de una pirámide es un rectángulo cuyos lados son de 6 cm y 8 cm. Calcular su

volumen sabiendo que la altura es el doble de la diagonal del rectángulo base.

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48. Hallar el volumen de una pirámide regular de 15 cm de altura y cuya base es un hexágono

de 4, 5 cm de apotema.

49. ¾Cuál es el volumen de una pirámide regular de 9 cm de arista lateral y cuya base es un

cuadrado de 36 cm2 de super�cie?

50. Calcular el volumen de una pirámide regular de 12 cm de apotema y cuya base es un

cuadrado de 64 cm2 de super�cie.

51. Calcular el volumen de una pirámide de 30 cm de apotema y cuya base es un cuadrado de

14, 10 cm de diagonal.

52. ¾Cuál es el volumen de una pirámide regular cuya arista lateral es de 10 cm y la base es

un hexágono de 5 cm de apotema?

53. Calcular el volumen de una pirámide regular de 16 cm de apotema cuya base es un hexágono

de 36 cm de perímetro.

54. ¾Cuál es el volumen de una pirámide regular cuya arista lateral es de 8 cm y la base es un

hexágono de 5 cm de apotema?

55. Hallar el volumen de una pirámide de 13 cm de apotema y cuya base es un triángulo

equilátero de 4 cm de lado.

56. Calcular el volumen de una pirámide cuya arista lateral es de 19 cm la base es un triángulo

equilátero de 8 cm de altura.

57. Hallar el volumen de una pirámide regular cuya apotema es de 21 cm y cuya base es un

triángulo equilátero de 18 cm de perímetro.

58. Un molde tiene la forma de una pirámide regular cuya arista lateral es de 8 cm y cuya

base es un rectángulo cuyos lados miden 3 cm y 4 cm. Calcular el volumen del molde.

59. Calcular la masa de una pirámide de mármol de 1, 20m de apotema y cuya base es un

hexágono de 42 cm de perímetro (densidad del mármol = 2,7gcm3 ).

60. Una pirámide recta de 20 cm de altura tiene por base un rombo de 8 cm y 15 cm de diago-

nales. Calcular la masa de esa pirámide si es de vidrio, cuya densidad es de 2,5gcm3

61. El volumen de una pirámide regular es 1440, 840 cm3. Si la super�cie de la base es de

345, 20 cm2, calcular el valor de la altura.

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62. El volumen de una pirámide recta es de 846 cm3. Si la base es un hexágono de 9 cm de

lado, calcular el valor de la altura de la pirámide.

63. Una pirámide regular tiene 441, 600 cm3 de volumen. Si la base es un hexágono de 4 cm de

lado, calcular la apotema de la pirámide.

64. Una pirámide regular tiene 368 cm3 de volumen; si la base es un hexágono de 8 cm de

apotema, calcular el valor de la arista lateral de la pirámide.

65. Una pirámide regular cuadrangular de 12 cm de altura, tiene 100 cm3 de volumen. Calcular

el valor de una arista lateral de la pirámide.

66. Una pirámide regular de 63 cm3 de volumen, tiene por base un cuadrado de 3 cm de lado.

Calcular el valor de la apotema de la pirámide.

67. Una pirámide recta tiene 160 cm3 de volumen. La base es un rectángulo de 8 cm y 6 cm de

lados. Calcular el valor de la arista lateral de la pirámide.

68. Una pirámide regular tiene 392 cm3 de volumen. Si la base es un cuadrado de 14 cm de

diagonal, calcular el valor de la apotema de la pirámide.

69. Deducir de la expresión que da el volumen de una pirámide, la fórmula del volumen de un

tetraedro regular, en función (en términos) de su arista.

70. Hallar el volumen de un tetraedro de 4, 5 cm de arista.

71. La super�cie total de un tetraedro es de 25√3 cm2. Calcular el volumen del mismo.

72. La super�cie de una cara de un tetraedro es de 4√3 cm2. ¾Cuál es el volumen del tetraedro?

73. El volumen de un tetraedro es de9√2

4cm3.. ¾Cuánto vale su arista?

74. El volumen de un tetraedro es de2√2

3cm3. Calcular su super�cie.

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