· COLEGIO NACIONAL DE MONSERRAT FÍSICA I 1 Tabla de contenido PROGRAMA DE FISICA I

2019

María Noel Gigena Basualdo

Colegio Nacional de Monserrat

12-3-2019

Física I

COLEGIO NACIONAL DE MONSERRAT FÍSICA I

1

Tabla de contenido PROGRAMA DE FISICA I .......................................................................................................4

PROGRAMA COMBINADO PARA EXAMEN ......................................................................7

CAPÍTULO 1: CIENCIA, SU OBJETO Y METODOLOGÍAS. ...............................................................9

MAGNITUDES FÍSICAS Y SU MEDICIÓN .................................................................................11

UNIDADES DE BASE O FUNDAMENTALES .............................................................................12

UNIDADES DERIVADAS ..........................................................................................................12

NOTACIÓN CIENTÍFICA Y PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL......................................14

CIFRAS SIGNIFICATIVAS .........................................................................................................16

Reglas para determinar el número de cifras significativas: ................................................17

Cifras significativas en cálculos ...........................................................................................17

GUÍA Nº 1 DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN ...................................................19

CAPÍTULO 2: INTRODUCCIÓN A LAS MEDICIONES DE LABORATORIO ......................................23

MEDICIONES e INCERTEZAS ...................................................................................................23

MEDICIONES EN FÍSICA.......................................................................................................23

MÉTODOS DE MEDICIÓN ....................................................................................................24

INCERTEZAS ........................................................................................................................24

PROMEDIO Y DESVIO ESTANDAR: ......................................................................................27

INCERTEZA ABSOLUTA, RELATIVA Y PORCENTUAL .............................................................31

GUÍA Nº 2.1- DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN ...............................................32

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES ............................................................................35

VECTORES ..............................................................................................................................36

Operaciones con vectores ..................................................................................................39

GUÍA Nº 2.2- DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN ...............................................54

CAPÍTULO 3: CINEMÁTICA, LA DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO ...........................................56

SISTEMA DE COORDENADAS .................................................................................................60

Marco de referencia ...............................................................................................................61

LA RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO ......................................................................................63

POSICIÓN ............................................................................................................................65

DESPLAZAMIENTO ..............................................................................................................65

VELOCIDAD .........................................................................................................................65

ACELERACIÓN .....................................................................................................................65

MOVIMIENTOS UNIDIMENSIONALES ....................................................................................66

EJE DE COORDENADAS, POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO ......................................................67

DISTANCIA Y DISTANCIA TOTAL RECORRIDA ........................................................................69

TIEMPO ..................................................................................................................................72

FUNCIÓN DE MOVIMIENTO ...................................................................................................73

VELOCIDAD MEDIA ................................................................................................................76

VELOCIDAD INSTANTÁNEA ....................................................................................................77

MRU .......................................................................................................................................79

ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN VELOCIDAD EN EL TIEMPO. ..............................81

ACELERACIÓN ........................................................................................................................82

ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO .............................84

MRUV .....................................................................................................................................85

Caída Libre ..........................................................................................................................88

Lanzamientos de cuerpos hacia abajo ................................................................................92

Tiro Vertical ........................................................................................................................93

MOVIMIENTOS BIDIMENSIONALES .....................................................................................100

Movimiento circular uniforme (M.C.U.) ..............................................................................101

El período .........................................................................................................................102

La frecuencia ....................................................................................................................102

GUÍA Nº 3 DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE APLICACIÓN .................................................104

CAPÍTULO 4: FUERZA Y EQUILIBRIO ........................................................................................126

¿Qué es una fuerza? ............................................................................................................126

Ley de Hooke .......................................................................................................................129

MOMENTO DE UNA FUERZA ...............................................................................................133

LA FUERZA PESO ..................................................................................................................134

Centro de gravedad de un cuerpo ....................................................................................135

LA FUERZA DE ROCE.............................................................................................................138

CONDICIONES GENERALES DE EQUILIBRIO .........................................................................139

Equilibrante: Es una fuerza de igual módulo y dirección que la resultante de un sistema

pero de sentido contrario.................................................................................................140

Tipos de Equilibrio ............................................................................................................140

TENSIONES EN CUERDAS. .................................................................................................145

Primera ley de Newton: principio de inercia ......................................................................151

Segunda ley de Newton: principio de masa ........................................................................152

Tercera ley de Newton: principio de acción y reacción ......................................................154

Ley de Gravitación Universal ...............................................................................................156

LAS MÁQUINAS SIMPLES .....................................................................................................159

PALANCA ..........................................................................................................................159


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Péndulo Simple ....................................................................................................................162


CAPÍTULO 5: HIDROSTÁTICA Y NEUMOSTÁTICA .....................................................................179

Densidad volumétrica ..........................................................................................................182

Presión .................................................................................................................................183

PRESIÓN HIDROSTÁTICA .....................................................................................................185

PRINCIPIO DE PASCAL ..........................................................................................................189

Presión atmosférica .............................................................................................................191

EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES ...........................................................................................192


CAPÍTULO 6: TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA ........................................................................207

TRABAJO MECÁNICO ...........................................................................................................207

ENERGÍA ...............................................................................................................................209

ENERGÍA CINÉTICA ...........................................................................................................210

ENERGÍA POTENCIAL ........................................................................................................210

FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS .............................................................212

POTENCIA.............................................................................................................................213


Bibliografía ...............................................................................................................................225

PROGRAMA DE FISICA I

Plan 2001- Sexto Año- Vigente a partir de 2006

1. EXPECTATIVAS DE LOGRO

• Conocer y manejar los conceptos básicos relacionados con las distintas ramas de la Física.

• Transferir los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas de la vida cotidiana y visualización de aplicaciones.

• Desarrollar una actitud crítica y reflexiva en el análisis y valoración de las experiencias realizadas.

• Conocer biografías de personalidades científicas relacionadas con la Física.

• Conocer los descubrimientos científicos que dieron origen a nuevos paradigmas a lo largo de la Historia.

2. CONTENIDOS CONCEPTUALES

UNIDAD 1: ESTÁTICA Subunidad 1-1: Magnitudes vectoriales: vector, concepto y elementos. Fuerza: concepto. Vector como representación gráfica de una fuerza. Sistemas de fuerzas: Fuerzas colineales concurrentes y paralelas. Resultante. Equilibrante. Condición gráfica y analítica del equilibrio de un sistema de fuerzas. Momento de una fuerza. Momento de un sistema de fuerzas. Equilibrio de momentos. Cupla. Momento de una cupla. Subunidad 1-2: Centro de gravedad de un cuerpo. Cuerpos suspendidos y cuerpos apoyados. Distintos tipos. Máquinas simples: palanca, distintos géneros, aplicaciones: Balanza, polea: fija y móvil, Aparejos, aplicaciones. Torno. Plano inclinado. UNIDAD 2: CINEMÁTICA Movimiento: sistema de referencia y trayectoria. Movimiento rectilíneo y uniforme (M.R.U). Velocidad. Leyes. Gráficos. Movimiento rectilíneo y uniformemente variado (M.R.U.V). Aceleración. Leyes. Gráficos. Caída de los cuerpos y tiro vertical. Movimiento Circular uniforme. Movimientos compuestos. Principio de independencia de los movimientos. Referencia histórica de Galileo. UNIDAD 3: DINÁMICA Principio de inercia. Principio de masa. Principio de acción y reacción Introducción a los sistemas de unidades: técnico, CGS, MKS y S.I. (Luego se trabajará solo con el S.I.). Fuerza centrípeta. Gravitación universal. Concepto de velocidad media e instantánea. Referencia histórica de Newton.


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UNIDAD 5: Trabajo, Potencia y Energía Trabajo. Potencia. Energía Mecánica: Cinética y Potencial. Unidades. Impulso y cantidad de movimiento. Péndulo, leyes. Análisis de la energía en el péndulo. UNIDAD 6: HIDROSTÁTICA. Fuerza y presión. presión en un punto de una masa líquida. Principio general de la hidrostática. Presión en el fondo y en las paredes de recipientes. Vasos comunicantes. Principio de pascal. Prensa hidráulica. Principio de Arquímedes, aplicaciones. UNIDAD 7: NEUMOSTÁTICA. Presión atmosférica. Barómetros. Principios de Pascal y Arquímedes para gases. Ley de Boyle y Mariotte, aplicaciones. Bombas. Energía potencial y cinética, aplicaciones. UNIDAD 8: CALOR. Termometría. Escalas Celsius, Kelvin, Fahrenheit. Dilatación de los sólidos, líquidos y gases. Ley de Gay Lussac. Cantidad de calor. Calor específico, calorímetros. Transmisión del calor: convección, radiación, conducción. Cambios de estado. Calor latente. Equivalente mecánico del calor. Principios de la termodinámica. Máquinas térmicas. 3. CONTENIDOS PROCEDIMENTALES

• El reconocimiento de un sistema de fuerzas y poder determinar la resultante y equilibrante de cualquier sistema.

• Distinción entre distintos tipos de cuerpos apoyados y suspendidos, pudiendo determinar el equilibrio y la posición del centro de gravedad.

• Identificación de los diferentes tipos de movimiento y graficar los distintos parámetros en función del tiempo. Resolver problemas relacionados con el movimiento.

• Reconocimiento y establecimiento del principio de causa- efecto.

• Iniciación en el manejo de unidades y sistemas de unidades, equivalencia y unidades de uso frecuente.

• Análisis de las propiedades de líquidos y gases en reposo y el comportamiento de las presiones en los mismos.

• Interiorizarse sobre los distintos sistemas de medición de temperatura y las equivalencias entre ellos.

• Aplicación del método científico.

• Estudio y reconocimiento de personalidades científicas relacionadas con la Física.

• Uso del instrumental especifico como recurso de la experimentación

4. CONTENIDOS ACTITUDINALES

• Respeto con sus pares y con los docentes a través de la realización de actividades de experimentación grupal.

• Puntualidad y orden en la realización y presentación de las diferentes actividades y trabajos prácticos.

• Cooperación y responsabilidad grupal en el desarrollo de los trabajos.

• Posición reflexiva y crítica en diferentes temáticas relacionadas con las actividades desarrolladas.

• Cuidado y manutención del orden en el ambiente de trabajo.

• Fomentar la autogeneración de material de estudio y de trabajo a través de la obligatoriedad de la carpeta.

5. METODOLOGÍA.

Una enseñanza renovada de las Ciencias debe dejar de lado la transmisión

fragmentada y descriptiva de contenidos que los estudiantes tienen que memorizar y basarse en el desarrollo de una actitud de aprendizaje continuo (de permanente construcción de los conocimientos) que les permita incorporar de manera independiente los avances de una ciencia inacabada y en permanente elaboración.

El desarrollo de la asignatura complementada con la realización de experiencias de laboratorio es la mejor forma de dictar Física porque genera una visión de unidad y aplicación en el mundo que nos rodea y es el más conveniente desde de punto de vista psicológicos de los alumnos que cursan esta etapa del plan de estudios.

En esta propuesta los docentes ayudarán al alumno a superar los obstáculos para la construcción de nuevos conocimientos.

Se establecerán distintas técnicas que interrelacionen los conceptos previos de

Ciencias Naturales y Matemáticas con los contenidos significativos para el alumno. No solo la realización de trabajos prácticos de laboratorio propuestos por el docente, sino la elaboración de experiencias que surjan de las necesidades del alumno para demostrar o justificar el concepto que desea aprehender. También diseñará los objetivos, planteará preguntas, examinará libros y otras fuentes y fundamentalmente comunicará los resultados obtenidos a través de exposiciones orales o informes escritos, individuales o grupales.

En síntesis, al igual que los científicos plantearán como perspectiva

metodológica la indagación con sus respectivas estrategias como resolución de problemas entre otras.

Lo que se pretende es que el alumno ponga a prueba su capacidad creativa e

investigativa que desarrolle su espíritu crítico, que valore y ponga en práctica la rigurosidad, que se interese por comunicar los resultados de sus trabajos y que sean capaz de trabajar cooperativamente, de plantearse nuevas preguntas y de buscar caminos creativos para poner a prueba sus ideas.


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PROGRAMA COMBINADO PARA EXAMEN

Física I Sexto año

Unidad 1 Movimiento rectilíneo y uniforme. Velocidad. Leyes. Gráficos. Aceleración. Leyes. Gráficos. Tiro y Caída de los cuerpos. Sistemas de fuerzas. Clasificación de los sistemas. Suma de fuerzas. Resultante y equilibrante. Cupla. Momento de una cupla. Máquinas simples: Plano inclinado. Torno. Poleas, aparejos. Aplicaciones, gráficos. Equilibrio Cuerpos suspendidos. Fuerza Presión, Principio de Pascal. Prensa hidráulica. Trabajo mecánico. Potencia. Energía potencial y cinética. Presión atmosférica. Barómetros. Principios de Pascal y Arquímedes para gases. Dinámica: principios y unidades. Impulso y cantidad de movimiento. Péndulo, leyes. Equivalente mecánico del calor. Concepto de velocidad media e instantánea. Unidad 2 Movimiento rectilíneo y uniformemente variado. Aceleración. Leyes. Gráficos. Movimiento circular. Sistemas de fuerzas Condición gráfica y analítica de un sistema de fuerzas colineales, concurrentes y paralelas, resultante y equilibrante. Momento de un sistema de fuerzas. Efectos. Péndulo, leyes. Análisis de la energía en el péndulo. Máquinas simples: Plano inclinado, Palanca, géneros. Aplicaciones, gráficos. Cuerpos apoyados: Equilibrio. Fuerza y Presión, Empuje, Principio de Arquímedes. Dinámica: principios y unidades. Ley de Boyle y Mariotte, aplicaciones. Concepto de velocidad media e instantánea. Principio de conservación de la energía. Calor latente. Cambios de estado. Unidad 3 Movimiento circular. Movimiento rectilíneo y uniformemente variado. Aceleración. Leyes. Gráficos. Tiro y Caída de los cuerpos. Sistema de fuerzas. Momento de una fuerza y de un sistema de fuerzas. Cupla. Equilibrio de momentos. Efectos. Momento de un sistema de fuerzas. Poleas, aparejos. Aplicaciones, gráficos. Centro de gravedad de un cuerpo. Cuerpos suspendidos. Cuerpos apoyados: Equilibrio. Fuerza y Presión, Principio general de la hidrostática, Presión en un punto de una masa líquida o gaseosa. Presión Atmosférica. Ley de Boyle y Mariotte, aplicaciones. Dinámica: principios y unidades. Trabajo mecánico. Potencia. Energía potencial y cinética. Impulso y cantidad de movimiento. Transmisión del calor: convección, conducción y radiación. Principios de la termodinámica. Unidad 4 Movimiento rectilíneo y uniforme. Velocidad. Leyes. Gráficos. Movimiento circular. Sistemas de fuerzas Condición gráfica y analítica de un sistema de fuerzas colineales, concurrentes y paralelas, resultante y equilibrante. Momento de una fuerza. Plano inclinado. Torno. Aplicaciones, gráficos. Centro de gravedad de un cuerpo. Cuerpos suspendidos. Cuerpos apoyados: Equilibrio. Fuerza y Presión,

Empuje, Principio de Arquímedes. Dinámica: principios y unidades. Trabajo. Potencia. Energía mecánica: cinética y potencial. Unidades. Fuerza y Presión, Principio general de la hidrostática, Presión en un punto de una masa líquida o gaseosa. Presión Atmosférica. Principio de conservación de la energía. Leyes de Gay Lussac. Cantidad de calor, calor específico, calorímetros. Gravitación universal. Unidad 5 Movimiento rectilíneo y uniforme. Velocidad. Leyes. Gráficos. Movimiento rectilíneo y uniformemente variado. Momento de una fuerza y de un sistema de fuerzas. Cupla. Equilibrio de momentos. Sistemas de fuerzas Clasificación de los sistemas. Suma de fuerzas. Resultante. Fuerza y Presión, Principio de Pascal. Prensa hidráulica. Trabajo mecánico. Potencia. Energía potencial y cinética. Máquinas simples: Plano inclinado, Palanca, géneros. Aplicaciones, gráficos. Cuerpos suspendidos: equilibrio. Péndulo, leyes. Dinámica: principios y unidades. Presión atmosférica. Barómetros. Principios de Pascal y Arquímedes para gases. Dilatación de los sólidos, líquidos y gases. Presión en el fondo y las paredes de recipientes. Vasos comunicantes. Unidad 6 Movimiento rectilíneo y uniforme. Velocidad. Leyes. Gráficos. Tiro y Caída de los cuerpos. Movimiento circular. Sistemas de fuerzas Condición gráfica y analítica de un sistema de fuerzas colineales, concurrentes y paralelas, equilibrante y resultante. Momento de una fuerza. Fuerza y Presión, Empuje, Principio de Arquímedes. Principios de Pascal y Arquímedes para gases. Ley de Boyle y Mariotte, aplicaciones. Dinámica: principios y unidades. Péndulo, leyes. Análisis de la energía en el péndulo. Máquinas simples: Plano inclinado. Torno. Poleas, aparejos. Aplicaciones, gráficos. Equilibrio Cuerpos apoyados. Concepto de velocidad media e instantánea. Principio de conservación de la energía. Termometría, escalas. Dinámica de los fluidos. NOTA: Los alumnos deberán presentar ante las autoridades de la mesa examinadora su correspondiente carpeta de curso debidamente autorizada a tal fin.


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“El objeto de todas las Ciencias es coordinar nuestras experiencias y enmarcarlas en un sistema lógico”

Albert Einstein

La Ciencia es la permanente investigación que busca descubrir hechos, establecer

relaciones entre otras cosas y descifrar las leyes que rigen el devenir del mundo. Mientras no se

intente proponer una definición escueta del complejo concepto global Ciencia, quizás podamos

estar de acuerdo en principio, en que la tarea primordial de la Ciencia es establecer, en el caos

que constituyen los fenómenos, una estructura coherente que tenga significado y de esta

manera interpretar y superar a la experiencia directa.

Muchos consideran que la Ciencia es un proceso mecánico de reunión de datos y creación de

teorías, sin embargo, no es así. La Ciencia es una actividad creadora que en muchos aspectos se

asemeja a otras actividades como la literatura y la pintura. Lo que diferencia al científico de los

demás creadores son las motivaciones: predecir la naturaleza para así controlarla, comprenderla

para así disfrutar de ella. Otro aspecto que diferencia a la ciencia de otras actividades creativas

está relacionado con la clase de conceptos y reglas que utiliza el científico y el tipo de

argumentos.

En cuanto a las Metodologías Científicas, es decir el camino que siguen las

investigaciones, no pueden reducirse a un único conjunto de recetas o pasos infalibles para la

resolución de problemas ya que al igual que en otras tareas no hay uno sino muchos métodos y

muy variados dependiendo de lo que se investigue, de quien lo haga, el momento y lugar donde

se lleve a cabo.

Un aspecto importante de la actividad científica es la observación de eventos. Pero la

misma observación requiere imaginación, porque los científicos no pueden incluir todo en una

sola descripción de lo que observan. Las teorías nunca derivaron de la observación directa. Se

crean para explicar las observaciones, son inspiraciones que provienen de las mentes humanas.

La Ciencia requiere la prueba de sus ideas o teorías, para ver si sus predicciones están

respaldadas por los experimentos. La experimentación cuidadosa es parte crucial de las ciencias.

Si bien la prueba de la teoría se puede considerar como característica de las ciencias, no se debe

suponer que una teoría se puede comprobar con algunas pruebas experimentales. Primero

porque ningún instrumento de medición es perfecto y segundo porque una confirmación exacta

no es viable ya que se debería comprobar la teoría en todos los casos posibles. Por ello una

teoría nunca se puede comprobar en forma absoluta. Los científicos aceptan una teoría nueva,

en algunos casos, porque sus predicciones tienen mejor concordancia cuantitativa con los

experimentos que las teorías anteriores, en general se acepta una teoría sólo si explica una

mayor cantidad de fenómenos. No obstante, la predicción cuantitativa no es el único resultado

importante de una teoría ya que a menudo nuestra percepción del mundo queda afectada.

Modelos, Teorías y Leyes

Cuando se intenta comprender un conjunto particular de fenómenos, con frecuencia

hacemos uso de un Modelo. Un Modelo, desde el punto de vista científico, es una especie de

analogía o imagen mental de los fenómenos en términos de algo que les es familiar. El objeto

de un modelo es ofrecernos un cuadro visual, algo que podemos captar, cuando no podemos

CAPÍTULO 1: CIENCIA, SU OBJETO Y METODOLOGÍAS.

ver qué está sucediendo en realidad. Éste nunca es perfecto, los investigadores tratan

constantemente de afinar sus modelos o establecer nuevos cuando los anteriores ya no son

adecuados.

La diferencia entre Teoría y un Modelo es que, un modelo es bastante sencillo y

proporciona una semejanza estructural del fenómeno estudiado mientras que una teoría es más

amplia, más detallada, y trata de resolver un conjunto de problemas, frecuentemente con

exactitud matemática.

Los Modelos pueden ser útiles y con frecuencia conducen a Teorías relevantes. Pero es

importante no confundir un modelo o una teoría, con el sistema real de los fenómenos mismos.

Una Ley son determinadas afirmaciones concisas pero generales, acerca de cómo se

comporta la naturaleza. A veces la afirmación o enunciado toma forma cuantitativa a través de

una relación o ecuación entre cantidades. Para ser considerado Ley un enunciado debe

encontrar validez experimental en todos los fenómenos hasta el momento estudiados. Para los

enunciados menos generales, se usa con frecuencia el término Principio. Naturalmente, la

diferencia entre Ley y Principios no siempre es completamente consistente.

Actividad 1: Leer los Textos: “Ciencia, su objeto y metodologías” y los fragmentos seleccionados

del capítulo I: “Acerca de la ciencia” del Libro Física Conceptual de Paul G. Hewitt. (Hewitt, 2007).

Actividad 2: Responde a las preguntas que aparecen en la sección final Repaso del Capítulo.

Actividad 3: En los comienzos el estudio de la Física se dividía según el fenómeno involucrado.

Busca información sobre qué estudian las siguientes ramas de la Física:

• Mecánica

• Acústica

• Óptica

• Electricidad

• Magnetismo

• Termodinámica

• Física Moderna Actividad 4: Investiga cómo se divide la Física en la actualidad, realiza una síntesis de la

información encontrada y completa el siguiente cuadro sinóptico con las subramas de la

Mecánica Clásica.

Mecánica

Clásica

Mecánica

Relativista

Mecánica

Cuántica

Macrocosmos

Mesocosmos

Microcosmos

FÍSI

CA


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¿Por qué es necesario medir?

Si bien es cierto que nuestros sentidos nos brindan

información del medio circundante, también lo es el hecho

de que éstos nos engañan en algunas ocasiones, por

ejemplo: en días fríos sentimos más helados los objetos metálicos que los de madera, aunque

ambos estén a la misma temperatura; o bien, cuántas veces hemos sido engañados por ilusiones

ópticas. Por lo tanto, no podemos confiar en nuestros sentidos como instrumentos precisos y

exactos al momento de cuantificar cantidades físicas, sino que, debemos utilizar los

instrumentos de medición adecuados, así como las unidades de medida apropiadas a cada

fenómeno.

¿Qué es medir?

Aun cuando es una acción que hacemos cotidianamente suele ser difícil de explicar que

es lo que hacemos cuándo medimos. En primer lugar,

podemos distinguir aquellos elementos que son necesarios

para tal procedimiento en un ejemplo concreto:

supongamos que quisiera medir el largo de un mueble. En

este caso tenemos:

• Magnitud a medir: Longitud del mueble

• Instrumento de medida: Cinta métrica

• Unidad de medida: Metro

En segundo lugar, podemos describir dicho proceso diciendo “coloco el extremo de la

cinta métrica donde comienza el mueble y cuento, con ayuda de la escala graduada que posee

la cinta, cuantos metros equivale su longitud. Finalmente podemos concluir que estoy

comparando la magnitud “largo del mueble” con lo que consideramos nuestra unidad de medida

“el metro”. En forma general podemos definir que:

Medir es comparar una magnitud con otra de la misma naturaleza

utilizada como unidad o patrón de medida.

¿En qué unidades debo expresar las magnitudes?

Los primeros esfuerzos por crear y establecer un sistema de unidades se convirtieron en

un proceso azaroso, convencional y confuso. Algunas unidades como el pie, la yarda, la pulgada,

el codo, etc. provenían de alguna parte del cuerpo del soberano de la nación lo que dificultaba

las transacciones comerciales entre los pueblos. Entre los siglos II a.C. y IV d.C. se realizó el

primer esfuerzo por crear un sistema de unidades más sólido. Se establecen la libra y el pie como

unidades de peso y longitud. Posteriormente entre los siglos V al XV d.C. vuelve a surgir la

Una cantidad física

es todo aquello susceptible de ser

medido y su magnitud está constituida por un número y una

unidad.

MAGNITUDES FÍSICAS Y SU MEDICIÓN

confusión hasta que en el año 1790 la Asamblea de Francia convoca a los científicos con el

objetivo de crear y unificar los sistemas de unidades a nivel mundial. Se establece el sistema

métrico decimal definiéndose patrones como el metro, litro, kilogramo, entre otros. Más tarde

con el fin de adaptar el sistema de medidas a los avances científicos en 1960 se establece el

actual Sistema Internacional (S.I.). Esto permitió mejorar la definición de las unidades patrón o

estándares para determinadas magnitudes. En la Argentina se resuelve de uso obligatorio en

1972 y rige con la sigla Si. Me. L. A.

UNIDADES DE BASE O FUNDAMENTALES Son las unidades en las que se fundamenta el sistema internacional.

UNIDADES DERIVADAS Son las unidades correspondientes a las magnitudes derivadas. A continuación, sólo se

presentarán algunas de ellas.

En Física se acostumbra a elegir magnitudes básicas, entre otras, a las de tiempo,

longitud y masa. En ingeniería, se usa a veces un sistema alternativo de unidades en el cual se


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escogen como fundamentales las magnitudes de tiempo, longitud y fuerza, pasando la masa a

ser una magnitud derivada. Este sistema es el llamado “Sistema Técnico de Unidades”.

• Equivalencias entre unidades de tiempo:

𝟏𝒉 = 𝟔𝟎𝒎𝒊𝒏 = 𝟑𝟔𝟎𝟎𝒔

• Equivalencias entre unidades de masa:

• Equivalencias entre unidades de fuerza:

𝟏𝑲𝒈 = 𝟗, 𝟖𝑵 = 𝟗, 𝟖 × 𝟏𝟎𝟓𝒅𝒚𝒏

• Equivalencias importantes entre unidades de capacidad y volumen son:

1 kilolitro = 1 metro cúbico

1 litro = 1 decímetro cúbico

1 mililitro = 1 centímetro cúbico

kl hl dal l dl cl ml

m3 dm3 cm3

NOTACIÓN CIENTÍFICA Y PREFIJOS DEL SISTEMA INTERNACIONAL En la física, es muy frecuente usar números muy grandes, pero también números muy

pequeños; para su simplificación se hace uso de los múltiplos y submúltiplos, por ejemplo:

• El número de átomos de carbono que hay en un gramo:

50 150 000 000 000 000 000 000

Este es un número muy grande, difícil de leer, nombrar y escribir; como así también recordar su

valor y para escribirlo se necesita un gran espacio.

• La masa expresada en gramos de un solo átomo de carbono:

0,00000000000000000000001994 gramos

Este es un número muy pequeño, pero también es difícil de leer, nombrar, escribir; recordar su

valor y para escribirlo así, también se necesita un gran espacio.

La Notación Científica nos permite expresar cualquier número como el producto de otro

número entre 1 y 10 multiplicado por una potencia entera de 10. Repasaremos a continuación

lo que significa la escritura de potencias de base 10 con exponente entero:

106 = 1.000.000

105= 100.000

104= 10.000

103= 1.000

102= 100

101= 10

10 0= 1

10-1= 1 / 10 = 0,1

10-2= 1/ 100 = 0,01

10-3 =1/1000 = 0,001

10-4 = 1/10.000= 0,0001

Por ejemplo, expresar en notación científica las siguientes cantidades:

5000g = 5 X 103 g 84000g = 8.4 X 104g 0,006g = 6 X10-3 g 0,00009g = 9 X 10-5g

Observa que el exponente indica los espacios que mueves la coma decimal hasta

colocarlo enseguida del primer dígito diferente de cero, si lo mueves a la izquierda el exponente

es positivo, si lo mueves a la derecha es negativo. Si deseas expresar en notación decimal un

número escrito en notación científica, sólo tienes que invertir el proceso, si el exponente de la

base 10 es positivo, mueves la coma decimal a la derecha, los espacios vacíos se llenan con ceros;

si el exponente es negativo lo mueves a la izquierda.

5 X 1000 8,4 X 10000 6 ×1

1000

9 ×1

100000


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EJEMPLOS:

6 X 105 = 600 000 8 X 10-4 = 0,0008

Para simplificar más la escritura existen prefijos que pueden utilizarse en lugar de

algunas potencias de 10.

PREFIJOS DEL S.I.

Así los ejemplos anteriormente analizados se podrán escribir con el prefijo correspondiente a la

potencia expresada en notación científica o el de la potencia más cercana:

CIFRAS SIGNIFICATIVAS Cuando un observador realiza una medición, nota siempre que el instrumento de

medición posee una graduación mínima, llamada apreciación del instrumento:

Se podrá afirmar entonces que el largo del libro mide 33 centímetros más una fracción estimada

o determinada “a ojo” así, por ejemplo, nosotros podemos estimar: L = 33,5 cm. La regla

graduada tiene como graduación mínima el centímetro. En el ejemplo del libro, la longitud de

este se puede expresar así: 33,5 cm; 335 mm; 0,335 m. Es notorio que el número de cifras

significativas en el presente ejemplo es tres.

CONCEPTO DE CIFRAS SIGNIFICATIVAS

Las cifras significativas de un valor medido están determinadas por todos

los dígitos que pueden leerse directamente en la escala del instrumento

de medición más un dígito estimado.

5000𝑔 = 5 × 103𝑔

= 5𝐾𝑔

84000𝑔 = 8,4 × 104𝑔

= 84𝐾𝑔

0,006𝑔 = 6 × 10−3𝑔

= 6𝑚𝑔

0,00009𝑔 = 9 × 10−5𝑔

= 90𝜇𝑔


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Reglas para determinar el número de cifras significativas:

• Todos los dígitos distintos de cero son cifras significativas. Ejemplo: 28235,6 g tiene seis cifras significativas.

• Los ceros que están entre dos dígitos distintos de cero son cifras significativas. Ejemplo: 2078,3006 s tiene ocho cifras significativas.

• Los ceros situados a la derecha de la coma y después de un dígito distinto de cero son cifras significativas. Ejemplo: 7,30 g tiene 3 cifras significativas.

• Los ceros situados a la izquierda de la primera cifra distinta de cero no son cifras significativas, solo indican la posición del punto decimal. Ejemplo: 0,0345 g tiene tres cifras significativas.

• Para números enteros, sin decimales, los ceros situados a la derecha del último dígito distinto de cero pueden o no ser cifras significativas. Si se utiliza las potencias de 10 (notación exponencial) se evita esta ambigüedad. Ejemplo: 2300 tiene cuatro cifras significativas. Si por alguna razón se considera que sólo tiene dos cifras significativas se deberá escribir 2,3x103.

• Las potencias de 10 se usan para expresar números en notación científica no son significativas. Ejemplo: 2,35x102 tiene tres cifras significativas; 2,4x102 tiene dos cifras significativas.

• Números que resultan de constantes definidas, tienen infinitas cifras significativas.

Ejemplo 𝜋, ℯ, √2

Cifras significativas en cálculos

Al utilizar variables (masa, temperatura, etc.) medidas en cálculos hay que tener

presente que:

• La medición menos precisa empleada en un cálculo limita la precisión del resultado

entregado.

• La respuesta final de todo cálculo debe informarse con sólo un dígito incierto.

En las multiplicaciones y divisiones, el resultado debe informarse con el mismo

número de CS que tiene la medición con menos CS. Si el resultado tiene más CS

debe redondearse de acuerdo con las reglas dadas más adelante.

Ejemplo: Determine el área de un rectángulo cuyos lados miden 3,427 cm y 7,1 cm

Solución: A = 3,427 cm × 7,1 cm = 24,3317 cm2 que redondeando a 2 CS es 24 cm2. El resultado

debe entregarse con sólo dos CS ya el dato con menor precisión tiene sólo dos CS.

Para llegar a este resultado es necesario aplicar las siguientes reglas:

1. Si el dígito que está más a la izquierda, de los que se desea eliminar, es menor que 5, el

dígito precedente no se modifica. Por ejemplo, si 6,427 se quiere expresar con 2 CS,

como el 2 es menor que 5, simplemente se elimina el 27 y queda 6,4.

2. Si el dígito que está más a la izquierda, de los que se desea eliminar, es mayor que 4, el

número precedente se incrementa en 1. Así si 2,753 se desea expresar con 2 CS, hay

que eliminar el 53 y como el 5 (el que está más a la izquierda, de los que se desea

eliminar) es mayor que 4, el número precedente (el 7) se aumenta en 1, quedando, el

resultado final en 2,8.

Al sumar y restar, el resultado no puede tener más cifras decimales que la

medición que tiene menos cifras decimales.

Ejemplo: Determine el resultado de la siguiente suma: 17,2g + 8,246g + 59g.

Solución:

1 7, 2 Una cifra decimal 8, 2 4 6 Tres cifras decimales + 7 9, Ninguna cifra decimal

1 0 4, 4 4 6

104,446 se redondea a 104 por dos razones:

1. La respuesta final de todo cálculo debe informarse con sólo un dígito incierto (aparecen

en negrita los dígitos inciertos en los sumandos y en el primer resultado).

2. El resultado no puede tener más cifras decimales que la medición que tiene menos

cifras decimales. (el 79 no tiene ninguna cifra decimal, por lo tanto, el resultado final

tampoco puede tenerla, ya que no se sabe si el 79 es 78,9 o 79,1 u otro número

parecido).


19

GUÍA Nº 1 DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE

APLICACIÓN Magnitudes y su medición

1) ¿Qué es la Física?

2) ¿Qué unidades y Subunidades conoce? ¿Cómo se relacionan con

la unidad base?

3) ¿Qué implica el prefijo “K” antes de la unidad?

4) Si delante de una unidad apare el prefijo “m” ¿Qué significa? ¿Y los prefijos “c” y “M”

que representan? Ejemplifique con unidades reales y sus respectivas conversiones.

5) Resuelve las siguientes actividades de selección múltiple:

I. Entre las alternativas, una de las unidades no corresponde a las magnitudes fundamentales del sistema internacional: a) metro (m)

b) Pascal (Pa)

c) Amperio (A)

d) candela (cd)

e) segundo (s)

II. ¿Qué magnitud está mal asociada a su unidad base en el S.I.? a) Cantidad de sustancia - kilogramo

b) Tiempo - segundo

c) Intensidad de corriente - Amperio

d) Masa - kilogramo

e) Temperatura termodinámica – kelvin

III. ¿Cuál de las unidades no corresponde a una unidad fundamental en el S.I.? a) A – Amperio

b) mol - mol

c) C - Coulomb

d) kg - kilogramo

e) m – metro

IV. Entre las unidades mencionadas, señala la que pertenece a una unidad base en el S.I. a) N – Newton

b) Pa - Pascal

c) C - Coulomb

d) A - Amperio

e) g – gramo

V. ¿Qué relación no corresponde? a) 1 GN = 109 N

b) 2 TJ = 2x1012 J

c) 1 nHz = 10-9 Hz

d) 3 MC = 3x109 C

e) 5 pA = 5x10-12 A

VI. Al convertir una señal de camino al sistema métrico, sólo se ha cambiado parcialmente. Se indica que una población está a 60 km de distancia, y la otra a 50 millas de distancia (1 milla = 1,61 km). ¿Cuál población está más distante y en cuántos kilómetros? a) 50 millas y por 2,05 x104 m

b) 20 millas y por 2,1 x 104 m

c) 30 millas y por 2,1 x 105 m

d) 40 millas y por 104 m

e) N.A.

VII. Un estudiante determinado medía 20 pulgadas de largo cuando nació. Ahora tiene 5 pies, 4 pulgada y tiene 18 años. ¿Cuántos centímetros creció, en promedio, por año? a) 6,2 cm

b) 5,3 cm

c) 5,4 cm

d) 6,7 cm

e) 4,3 cm

VIII. ¿Cuál de las siguientes alternativas tiene mayor número de cifras significativas? a) 0,254 cm

b) 0,00254 x 102 cm

1𝑝𝑢𝑙𝑔𝑎𝑑𝑎 = 2,54𝑐𝑚

1𝑝𝑖𝑒 = 30,48𝑐𝑚

1𝑦𝑎𝑟𝑑𝑎 = 91,14𝑐𝑚


21

c) 254 x 10-3 cm

d) 2,54 x 10-3 m

e) Todos tienen el mismo número

IX. Determine el número de cifras significativas en las siguientes cantidades medidas: (a) 1,007 m, (b) 8,03 cm, (c) 16,722 kg, (d) 22 m

a b c d

a) 4 3 5 3

b) 2 2 5 2

c) 4 3 5 2

d) 1 1 3 2

e) 2 1 3 2

X. ¿Cuál de las cantidades siguientes tiene tres cifras significativas? a) 305 cm

b) 0,050 0mm

c) 1,000 81 kg

d) 2 m

e) Ninguna de las anteriores es correcta

1) Lee atentamente y resuelve los siguientes problemas aplicando lo visto: 1. Juan desea conocer el espesor de una de sus hojas de carpeta, para ello se le ocurre

medir el espesor de todas las que tiene en la misma. Con ayuda de su regla común logra

medir 13mm y si sabe que colocó un repuesto de 96 hojas, ¿Cuál es el espesor estimado

para una sola hoja? Exprese el resultado en m, cm, mm y μm.

2. Cada hoja de su repuesto Rivadavia posee una longitud de 240mm y un ancho de

190mm, además se indica en el empaque que posee 88 g/m2. ¿Cuál es la masa estimada

para cada hoja? ¿y de la caja de 480 hojas? Exprese ambos resultados en gramos y en

kilogramos.

3. Hallar en Em la distancia que existe desde la tierra a una estrella, siendo esta distancia

equivalente a 2 años luz. (1 año luz = distancia que recorre la luz en un año de 365 días).

Recuerde que la luz recorre 3x108 m/s.

4. Se ha encontrado que en 1 kg de arena se tiene 6,023x1023granos de arena. ¿Qué masa

habrá en 18,069x1028granos de arena? Exprese el resultado en kg, Mg y Gg. (Averigüe

que significa 1 tonelada y compare)

5. Expresa en unidades del Sistema Internacional las siguientes medidas:

a) 20,3 dam2

b) 2 ,5 mm3

c) 1,7 g/cm3

d) 72 km/h

6. Al expresar la suma de 4.8 X 10-3 miligramos y 9.2 X105 nanogramos en miligramos,

obtenemos:

a) 9.248 X10-4

b) 4.8092 X10-3

c) 9.248 X10-1

d) 9.2 X105

e) NA

7. Una llave gotea agua a razón de 1 gota cada 1.5 segundos. Un centímetro cúbico

contiene 20 gotas. ¿Cuál será el volumen del agua desperdiciada en decímetros cúbicos

en media hora?

a) 0,06 dm3

b) 0,6 dm3

c) 60 dm3

d) 6 dm3

e) NA

8. Copia en tu capeta esta tabla y complétala según corresponda.

Expresión Decimal Notación Científica Notación con prefijos

0,073A

0,5G°K

8 x 10-7 g

180000000000s

400m

3 x 108m

700nm


23

La medida está íntimamente unida a la experimentación científica. De hecho, con el

perfeccionamiento de la medición, se desarrolla el método experimental, que tanto ha influido

en la evolución de nuestra sociedad. El científico británico William Thomson también conocido

como Lord Kelvin dijo al respecto:

“Cuando uno puede medir aquello de lo que está hablando y expresarlo en números, sabe algo acerca de ello; pero cuando no puede medirlo, cuando no puede expresarlo en números, su conocimiento es escaso e insatisfactorio: podrá ser un principio de conocimiento, pero escasamente ha avanzado a una etapa de ciencia.”

Lord Kelvin 1824-1907

Sin llegar a la rigidez de esta afirmación, las mediciones

constituyen uno de los componentes básicos de la experimentación.

No se alcanza un nivel satisfactorio de competencia en la

experimentación sin un conocimiento de la naturaleza de la

medición y lo que significa el enunciado de las mediciones.

Es nuestra intención proporcionar una introducción al tema

de la medida y al proceso de medición, así como, a la

experimentación en general. El logro de tan amplio objetivo con

nuestros experimentos elementales dependerá de la actitud con

que los abordemos.

MEDICIONES e INCERTEZAS1 MEDICIONES EN FÍSICA Las leyes de las ciencias experimentales se expresan en

término de cantidades físicas, tales como:

• La fuerza

• La temperatura

• La velocidad

• La densidad

• El campo magnético

• La carga

1 La incerteza se utiliza en la actualidad como equivalente al antiguo concepto de error, esta sustitución se hace

para evitar la connotación negativa que supone una acción incorrecta, un desliz o traspié.

CAPÍTULO 2: INTRODUCCIÓN A LAS MEDICIONES DE LABORATORIO

entre muchas otras. Estas cantidades físicas requieren de una definición clara, y de un método para medirlas.

La medición, en sí, es una técnica por medio de la cual se asigna un

número a una cantidad física, a través de la comparación entre la

cantidad considerada, y otra de la misma especie elegida como unidad de

medida o patrón.

MÉTODOS DE MEDICIÓN En el laboratorio se suele clasificar los métodos de medición en tres tipos:

❖ Método directo: Se compara la cantidad a medir con el patrón. Ejemplo: medir la longitud de una mesa en palmos.

❖ Con aparatos calibrados: Se establece, por calibración, una relación entre una escala graduada y un patrón de medida. Para comparar se mide la posición en la escala. Ejemplo: al medir la temperatura del cuerpo con un termómetro, se lee en la escala graduada del termómetro. El termómetro indica la temperatura del cuerpo que se encuentra en contacto con él.

❖ Método indirecto: Se establece el valor de la cantidad a medir, a partir de la medida de otras cantidades, las cuales están relacionadas con ella mediante una definición o una teoría. Ejemplo: para medir la densidad de un cuerpo, se mide su masa y su volumen y operando matemáticamente con estas cantidades se determina la densidad.

INCERTEZAS

INCERTEZA DE LECTURA

Todas las cantidades físicas se miden, inevitablemente, con algún grado de incertidumbre, generada por las imperfecciones de los instrumentos de medida, por fluctuaciones estadísticas incontroladas durante el proceso de medición, o por las limitaciones de nuestros sentidos. Por ende, las cantidades físicas no se pueden expresar como un número real; sino como un intervalo. Así, por ejemplo, al medir una longitud L directamente con una regla, se encuentra que es igual a 12,3cm; pero ¿podemos asegurar que ese es exactamente el valor de la longitud? Debido a nuestras limitaciones visuales es imposible decir precisamente donde cae el final del objeto sobre la regla; es entonces conveniente dar un intervalo dentro del cual podemos asegurar que se encuentra la longitud. Para determinar ese intervalo debemos preguntarnos cuales son los valores máximo y mínimo que puede tener esa longitud. Supongamos que en el ejemplo anterior se determinó que la longitud L está con toda seguridad entre 12,25cm y 12,35 cm, este resultado se expresa de la siguiente manera:

L = (12,30 ± 0,05) cm.

Lo cual muestra que al sumar o restar 0,05cm al valor central 12,30cm, obtenemos los valores límites o fronteras del intervalo. A la cantidad que sigue al símbolo “±” se le llama Incerteza absoluta de la medida de la cantidad física L o simplemente Incerteza absoluta de L. En este caso la Incerteza proviene de la lectura del instrumento, y se le clasifica como Incerteza de lectura. Es conveniente notar que es deseable que la incerteza sea lo más pequeño posible, pero, no hay reglas establecidas para determinar dicha incerteza; debemos usar el sentido común y la honestidad.


25

En general, ninguna medición física puede dar un valor absolutamente exacto de una cantidad física (un valor rigurosamente exacto tendría en principio, infinitas cifras decimales). Debido a estas limitaciones de las mediciones, cuando hablemos, en adelante, del “valor verdadero” de una cantidad física, siempre habrá que entenderlo sólo como una abstracción. Incluso con los más perfeccionados medios que nos ofrece la técnica, siempre se obtienen valores numéricos afectados de un margen de incerteza, que puede ser muy pequeño, pero nunca nulo.

APRECIACIÓN Y ESTIMACIÓN La apreciación de un instrumento es la menor medida que se puede registrar con él (el mínimo valor de una división de la escala graduada).

Por ejemplo: las reglas graduadas tienen como apreciación 1 mm (la menor división

representa 1 mm). Al medir con una de estas reglas, el observador puede leer con certeza hasta

1 mm. Por eso, al reportar una longitud medida, tiene que hacerlo con una incerteza de

fracciones de milímetro, que son las longitudes que no logra apreciar con ese instrumento.

Luego, la Incerteza en la medición debido a la apreciación del instrumento, es el menor

intervalo que el observador puede discernir en la escala de ese instrumento, y se denomina

estimación de una lectura o Incerteza de apreciación del instrumento. Muchos textos toman

como tamaño de este intervalo, la apreciación, de esta manera la estimación o Incerteza de

apreciación, es:

Así, si medimos con la regla, una longitud L de 69 mm (Fig. 1) debemos reportar una

medida de:

L mm

Figura 1

( )2

napreciació

( )5.069 =

ERRORES SISTEMÁTICOS

Son aquellos originados por imperfecciones en los instrumentos de medida o por

deficiencia en el método experimental. Pueden ser constantes o variar en forma regular.

Tienden a desviar el valor de una medida en una sola dirección, esto es, dan valores siempre

mayores o siempre menores que el valor verdadero. Son difíciles de eliminar porque no se

pueden detectar por observaciones repetidas. Sus causas principales son las calibraciones

erróneas o los defectos internos de los aparatos de medición. Así, si las divisiones de una regla

graduada son demasiado grandes o demasiado pequeñas, las longitudes que se midan con ella

tendrán sus valores numéricos mayores o menores que el valor verdadero. También es causa de

errores sistemáticas los defectos regulares en el proceso de medición, por ejemplo; la tendencia

del observador a ubicarse mal frente al instrumento (error de paralaje), lo que ocasiona que

siempre mida con exceso o con defecto. En principio se pueden minimizar este tipo de

incertezas, calibrando lo más exactamente posible los instrumentos de medición y corrigiendo

adecuadamente el método empleado para medir cada cantidad física.

ERRORES CASUALES O ACCIDENTALES

Son producidos por causas no controladas o desconocidas, siendo el propio

observador la causa más determinante; ante todo, la limitada capacidad de discriminación de su

visión al leer las lecturas y, eventualmente, la destreza de sus manos al efectuar la medida. En

la medición de la longitud de un segmento recto con una regla graduada, ponen un límite a la

exactitud, la destreza manual y la agudeza visual del operador cuando trata de hacer coincidir la

escala graduada con el borde inicial del segmento a medir. Asimismo, es inexacta la lectura del

lugar donde acaba el segmento junto a la regla. De ahí que la repetición reiterada de la medida

de la longitud del segmento no dé siempre el mismo valor. Unas veces, las pequeñas incertezas

cometidas en la lectura de los extremos obrarán casualmente en el mismo sentido sobre el

resultado y darán un aumento o una disminución de este; otras veces ocurrirá que,

eventualmente, influirán en sentidos opuestos, contrarrestándose mutuamente en mayor o

menor grado. Por consiguiente, los diversos resultados de una serie de mediciones presentarán

una dispersión en torno al valor medio.

Los distintos valores de las mediciones se acumularán en las proximidades del valor

medio y serán cada vez más escasos a mayores distancias de éste (la demostración formal de

este comportamiento, nos la da la ley de distribución de Gauss) como se ilustra en la figura 2.

La figura 3 muestra la curva normal de la distribución continua de Gauss, a la cual

tiende la distribución discreta de medidas, cuando su número es muy grande. Prescindiendo de

los errores sistemáticas, en principio, sólo podremos afirmar que el valor verdadero se halla, con

gran probabilidad, dentro del dominio de dispersión, y en la región de máxima acumulación de

las distintas medidas. Si tomamos como resultado del proceso de medición, el valor medio,

evidentemente, no tendremos la certeza de que sea igual al valor verdadero, siempre queda la

incertidumbre acerca de la discrepancia entre dicho promedio y el valor verdadero, pero, es el

mejor valor que sobre la base de nuestras medidas podemos reportar. Además, se demuestra

fácilmente que, al aumentar la cantidad de medidas, esta discrepancia se reduce

considerablemente, pudiendo ser menor que el error sistemático.


27

Figura 2

Figura 3

PROMEDIO Y DESVIO ESTANDAR: El mejor valor de una medición y la incerteza estadística.

Consideremos ahora una medición algo diferente al ejemplo anterior; supongamos

que deseamos conocer el tiempo de vuelo de un objeto en caída desde cierta altura. Al medir

con un cronómetro n veces ese tiempo, seguramente, encontraremos diversos valores t1, t2, ...,

tn. En este caso, ¿cuál es el valor del tiempo de vuelo a reportar? y ¿cuál es su Incertidumbre?

Como acabamos de ver: el tiempo de vuelo debe estar entre el máximo y el mínimo de

la serie de medidas y, tomaremos como el mejor valor la media aritmética “ ” de los valores

medidos. Esta media está dada por:

𝑡 =1

𝑛∑𝑡𝑖

𝑛

𝑖=1

Y al aumentar el número n de medidas, este promedio tiende al valor verdadero de la

medida.

¿Cuál es la desviación promedio de las medidas ti con relación al valor medio? La teoría

nos da como medida de esta desviación promedio, la desviación estándar de la distribución

de las medidas, la cual operacionalmente está dada por:

𝜎 = √∑ (𝑡𝑖 − 𝑡 )2𝑛

𝑖=1

(𝑛 − 1)

Ésta cantidad es la Incerteza estadística de cada una de las medidas ti .

t

Figura 4

La ciencia estadística afirma, que con una probabilidad del 68%, cualquiera de los

tiempos medidos difiere del valor medio en , la probabilidad de que se encuentre dentro del

intervalo es del 96.5 % y, de un 99.7 % para el intervalo ( Fig. 4).

Como cada tiempo se mide directamente, su medida tiene un Incerteza de lectura;

además, también está afectada por una Incerteza estadística o casual, ¿cuál de los dos debemos

considerar? La respuesta es: ambos. Sin embargo, suele ocurrir que uno de ellos es mucho más

grande que el otro, en ese caso tomaremos como el Incerteza de cada medida al mayor de ellos.

Respondamos ahora, la pregunta con relación al Incerteza estadística que afecta al

promedio. Una vez más recurriremos a la teoría, y esta nos dice que la desviación estándar

correspondiente a la distribución de los promedios, o sea, la desviación estándar del conjunto

de los 𝑡 (conjunto de promedios), que obtendríamos si repitiéramos muchas veces las n

mediciones, es igual a:

𝜎𝑡 =𝜎

√𝑛= √

∑ (𝑡𝑖−��)2𝑛𝑖=1

𝑛∙(𝑛−1)

A esta última cantidad se le conoce como desviación estándar del promedio o Incerteza estándar del promedio. Es claro que todas estas consideraciones, son válidas para cualquier cantidad física “x”, a medir, y no solamente para el tiempo. Igual que muchas bibliografías, tomaremos muy conservadoramente, el valor

, para el Incerteza estadística o estándar de la medida, de modo que el resultado

de la medición se reportará como:

𝑥 = �� ± 3𝜎𝑥

¿Cuántas veces debemos repetir una medición?

2t 3= tt

t

x3

Es importante advertir que, si la incerteza de lectura en las medidas individuales es mayor que el desvío estándar, entonces la incerteza del promedio será igual a la incerteza de lectura.


29

Esta es una pregunta típica del experimentador: la respuesta obvia es tantas veces como pueda, pero el esfuerzo y el tiempo en repetir muchas veces una medición normalmente no vale la pena. Una regla empírica es la siguiente: tomar un conjunto de cuatro medidas hechas cuidadosamente y observar las desviaciones. Si la desviación es pequeña comparada con la Incerteza de lectura, no debe hacer más mediciones y se toma como Incerteza del promedio la Incerteza de lectura. En caso contrario, se debe hacer tantas medidas como sea posible, para minimizar la Incerteza estadística o estándar. La teoría determina que el tratamiento estadístico de las medidas debe

hacerse cuando el número n de ellas es mayor de 29, pero en el laboratorio, bajaremos

esta condición a n 10, sin olvidar que estamos sacrificando el formalismo, en aras de

la funcionalidad. Cuando tengamos n 10, la Incerteza estadística la estimaremos como la semiamplitud de la distribución, o sea, como el promedio entre la mayor y la menor de las medidas obtenidas:

𝐼𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 =𝑋𝑚𝑎𝑥 − 𝑋𝑚𝑖𝑛

2

CONFIANZA DE UN RESULTADO Y LA DIFERENCIA ENTRE EXACTITUD Y PRECISIÓN

La confianza de un resultado viene dada por su exactitud y su precisión. Se dice que

una medida es más exacta cuanto más cerca está del valor verdadero. La exactitud está asociada

con la apreciación de los instrumentos de medición y con los errores sistemáticos. Cuanto más

aprecia el instrumento, más exactas son las mediciones y cuanto mayores son los errores

sistemáticos menor es la exactitud. La exactitud, está vinculada al promedio: mientras el

promedio esté más cerca al valor verdadero, la medida es más exacta.

Precisión se refiere a la cercanía de los valores medidos entre sí, independientemente

de los errores sistemáticas. Está relacionada con los errores casuales. Cuanto menores son los

errores casuales, mayor es la precisión. La medición es más precisa cuanto menor es la dispersión

entre los valores individuales. La precisión está ligada a la desviación estándar.

En la figura 5 se ilustra estos conceptos, haciendo la similitud con el “tiro al blanco”,

donde la diana del blanco representa el valor verdadero y los “disparos” las medidas.

Figura 5

Alta precisión y baja exactitud Alta exactitud y baja precisión Alta precisión y alta exactitud

Como ya mencionamos todos los resultados experimentales deben ser expresados con

un cierto número de cifras significativas. Por ejemplo, supongamos que al medir muchas veces

el tiempo de vuelo de un objeto que cae desde una cierta altura, encontramos que su promedio

calculado es:

𝑡 =1

𝑛∑𝑡𝑖 = 1,6321452𝑠

𝑛

𝑖=1

Mientras que la desviación estándar de los tiempos promedio, igualmente calculada, es:

𝜎𝑡 =𝜎

√𝑛= √

∑ (𝑡𝑖 − 𝑡)2𝑛𝑖=1

𝑛 ∙ (𝑛 − 1)= 0,0112132𝑠

Y, la incerteza estadística: ±3𝜎𝑡 = 0,0336396𝑠

El cual resultó mucho mayor que la incerteza de lectura de las mediciones. La pregunta

es ¿con cuántas cifras debemos expresar el tiempo promedio y la incertidumbre? En nuestro

laboratorio, para la Incerteza estadística y de lectura tomaremos una cifra significativa, este

resultado proviene de consideraciones estadísticas. Sin embargo, en ciertas ocasiones, la

incerteza estadística se puede tomar hasta con dos cifras significativas. En el ejemplo, si

medimos con un cronómetro que aprecia hasta la centésima de segundo, podemos decir que la

Incerteza es s.

Esta Incerteza determina el número de cifras significativas que tomaremos para el

promedio, en nuestro ejemplo: 𝑡 = 1,63𝑠.

El número de cifras, contado desde la izquierda, a partir de la primera cifra diferente

de cero, hasta la primera cifra afectada por el Incertidumbre, inclusive, se denomina número de

cifras significativas. En el ejemplo anterior, el tiempo (1,63s) está expresado con 3 cifras

significativas. Entonces, lo reportamos así: 𝑡 = (1,63 ± 0,03) 𝑠.

Una equivocación común es confundir cifras significativas con número de decimales.

Se debe observar que, en el ejemplo, el número de cifras significativas del tiempo promedio es

3, mientras que el número de decimales es 2.

03.03 = t


31

INCERTEZA ABSOLUTA, RELATIVA Y PORCENTUAL

Como hemos visto, podemos establecer que para especificar una cantidad física

medida se requiere de al menos tres partes:

• Un número con ciertas cifras significativas, que representa la cantidad medida

• La Incerteza que afecta a la medida.

• Las unidades de la cantidad medida y de la Incerteza de esa cantidad (deben ser iguales).

Entonces, cualquier cantidad X medida en el laboratorio debe ser reportada como:

𝑿 = (�� ± ∆𝑿)𝑼

siendo ∆𝑋 la Incerteza absoluta de la cantidad X, y U sus unidades. Este valor podrá ser:

Si medimos una sola vez con instrumento de medida ∆𝒙 es la apreciación del instrumento

Si medimos más de diez y menos de cien ∆𝒙 = 𝝈

Si medimos menos de diez veces

∆𝒙 =𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒂𝒙−𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒎𝒊𝒏

𝟐

Si medimos más de cien

𝜎𝑡 =𝜎

√𝑛

A la relación 𝜺 =∆𝑿

𝑿 se la denomina Incerteza relativa de X. Observe que tiene las

mismas unidades que X, mientras que la Incerteza relativa ε no tiene unidades. Otra manera

muy común de indicar la Incerteza relativa es mediante:

𝜺% =∆𝑿

𝑿× 𝟏𝟎𝟎%

A esta cantidad se llama el Incerteza porcentual de X.

También se podrá encontrar expresada una medición como:

𝑿 = ��𝑼 𝒄𝒐𝒏 𝒖𝒏𝒂 𝒊𝒏𝒄𝒆𝒓𝒕𝒆𝒛𝒂 𝒅𝒆 (∆𝑿

��× 𝟏𝟎𝟎) %

Así, en el ejemplo del apartado anterior, t puede ser expresado como:

t = 1.63 s con una incerteza de 0.61%

La Incerteza relativa y el porcentual se suele dar con 2 cifras significativas.

GUÍA Nº 2.1- DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE

APLICACIÓN Proceso de Medición

1) Dadas las siguientes lecturas de la longitud de un cuerpo.

A. Confeccionar la tabla de valores para calcular las Incertezas absolutas εa y sus cuadrados

B. Calcular , , Incerteza relativa e Incerteza porcentual para los siguientes valores medidos:

X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10

25mm 27,2mm 26mm 28,9mm 24,5mm 22,8mm 21,5mm 28,2mm 27,5mm 26,1mm

2) Observe las siguientes imágenes y clasifique los métodos de medición utilizados:

x


33

3) Actividad Práctica de Laboratorio: Medir 5 veces el largo de tu pie con una regla y hallar la incerteza porcentual. Repita este procedimiento con tu el perímetro craneal y tu altura.

4) Señalar verdadero o falso en las siguientes proposiciones: A. Si se mide el largo de una habitación con pasos, entonces se está realizando una

medición directa. B. Si se mide la altura de un cuerpo con un calibre, entonces se está realizando una

medición indirecta. C. Si se mide la masa de un objeto con balanza, entonces se está realizando una

medición con instrumento calibrado. D. Exactitud, es el grado de aproximación a la verdad o perfección a la que se procura

llegar. E. Precisión instrumental o procedimental, es la cercanía de los valores medidos. F. Incertidumbre, es la cuantificación de la incerteza de una medición experimental

respecto al resultado ideal.

5) ¿Cuál de las alternativas no puede ser una causa de incerteza en las mediciones? A. Condiciones ambientales. B. Instrumentales. C. Personales. D. Temperamentales. E. Proceso de medición

6) Las palabras que completan la frase: “Errores................... provienen de imperfecciones en los instrumentos o por deficiencia en el método de medición. Inciden desplazando las medidas a valores más grandes o valores más pequeños que el …………….” son:

A. Fortuitos – la Incerteza absoluta B. Sistemáticos – el desvío estándar. C. Accidentales – promedio. D. Sistemáticos – el valor verdadero. E. Casuales - el valor verdadero.

7) Se realizaron mediciones del Radio de la Tierra (RT), su distancia al Sol (dST) y la distancia entre el Sol y Marte(dSM). Los resultados fueron:

RT = (6.380.000 ± 20000) m

dST = (150. 000.000.000 ± 20.000.000.000) m

dSM = (228.000.000.000 ± 20.000.000.000) m

A. Calcule las Incertezas relativas de estas mediciones. B. ¿Cuál medición tiene la menor Incerteza absoluta? C. ¿Cuál medición tiene la menor Incerteza relativa? D. ¿Cuál de todas estas mediciones es más precisa?

8) Medir directa e indirectamente la siguiente superficie (1 cuadradito = 1cm2)


35

¿Todas las magnitudes físicas se expresan con un número y una unidad?

Hay dos tipos de cantidades físicas: las cantidades escalares y las cantidades

vectoriales. Algunos ejemplos de cantidades escalares son: el número de alumnos de tu grupo,

tu temperatura, tu edad, etc.; las puedes expresar con su magnitud: 50 alumnos, 36 grados, 16

años, etc.

Pero existen otras cantidades físicas que precisan más información, a estas se las conoce como

magnitudes vectoriales ya que para poder definirlas correctamente debemos expresarlas con

un vector. Este es un segmento orientado o “flecha” que posee punto de aplicación, dirección,

sentido, modulo y unidad.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Un vector es un segmento orientado, se representa gráficamente con

una flecha y algebraicamente con una letra con una flecha arriba (𝐴 )

En un vector podemos encontrar

los siguientes elementos:

• Punto de aplicación: es el origen del vector

• Intensidad, módulo o magnitud: es el valor del

vector, representado por la longitud de la

flecha, la cual es dibujada a escala. Se suele

representar la magnitud de una cantidad

vectorial con la misma letra que se usa para el

vector, encerrada en barras verticales.

Magnitud de A = І A I

• Dirección: la determina la línea de acción del

vector y se determina respecto a un sistema de referencia, por lo regular se da en

grados.

• Sentido: hacia donde apunta la cabeza de la flecha

La dirección y sentido de un vector se indica respecto a un sistema de referencia por ejemplo

es el plano de coordenadas cartesianas; en este sistema los ángulos se miden en contra del

movimiento de las manecillas del reloj a partir de la posición del eje X positivo y la dirección

se representa con la letra Θ(theta).

¿Por qué es tan importante el concepto de Vector?

Históricamente los vectores nacen en el siglo XVI, Simón Stevin también conocido por Stevinius

(1548 – 1620), quien, en la historia de las Matemáticas, es conocido como uno de los primeros

expositores de la teoría de las fracciones decimales y en la historia de la Física se le conoce por

sus contribuciones a la Estática e Hidrostática, es quien en su tratado de Hidrostática hace

referencia a que los fenómenos de fuerza eran explicados geométricamente por cantidades

dirigidas, a los cuales denominó VEHERE, que significa cantidad dirigida, que es de donde toma

su nombre el conocido VECTOR. Posteriormente fue Gauss en el siglo XVIII quien retoma el

concepto de VEHERE. Luego en 1843 el matemático más eminente de los pueblos de habla

inglesa, después de Isaac Newton, William Rowan Hamilton (1805-1865), sigue utilizando el

concepto, a esta época ya conocida de vectores y hace un gran descubrimiento, el cálculo de

cuaternios. Fue llevado a este descubrimiento trabajando prolongadamente sobre el problema

de buscar una regla general para calcular la cuarta proporcional, dados tres segmentos

rectilíneos, cuando las direcciones de estos segmentos han de ser tenidos en cuenta.

Posteriormente el físico británico Oliver Heaviside (1850 - 1925), contribuyendo a la teoría

electromagnética mediante la aplicación de las matemáticas al estudio de circuitos eléctricos

simplifica la operación de los denominados cuaterniones. En el siglo XX el matemático italiano

Tullio Levi-Civita (1873-1941) famoso por su trabajo sobre cálculo tensorial, discípulo de Gregorio

Ricci-Curbastro, elaboran una magnífica mecánica del concepto del vector, creando con ellos el

cálculo tensorial. Levi-Civita personalmente ayudó a Albert Einstein a entender el cálculo

tensorial, en el cual Einstein basaría su relatividad especial, y que había luchado por dominar. La

Teoría de la Relatividad plantea entre otras cosas que cualquier objeto que se mueva, y en

particular los cataclismos cósmicos como la colisión de dos agujeros negros, producen una

deformación en el espacio que se propaga. Este fenómeno se conoce como ondas gravitatorias

poseen mayor alcance que las ondas electromagnéticas, permiten detectar objetos que no

emiten luz como los agujeros negros y otros hasta hoy desconocidos.

VECTORES


37

Un siglo después de la predicción de Einstein, los observatorios LIGO de Estados Unidos

detectaron por primera vez las ondas gravitacionales provocadas por la fusión de dos agujeros

negros situados a unos 1.300 años luz de la Tierra. La detección tuvo lugar el 14 de septiembre

de 2015 pero no se anunció a la opinión pública hasta el 11 de febrero de 2016. Este

descubrimiento además de permitirle ganar el novel de física a los científicos involucrados es un

punto muy importante para los físicos en la actualidad y sin ninguna duda una ventana para mas

descubrimientos y aplicaciones tecnológicas en el futuro. (ARAGÓN, 2017)

Para leer más sobre el tema descargá el siguiente documento:

• http://www.scielo.org.mx/pdf/rmf/v49n4/v49n4a16.pdf

o visita los siguientes sitios:

• PREMIO NOBEL 2017 | ¡Ondas Gravitacionales EXPLICADAS!

https://youtu.be/HKAsFl8z6Hc

• Ondas gravitacionales: el largo viaje de la ciencia | Gabriela Gonzalez |

TEDxCordoba https://youtu.be/73QS1CCPV48

http://www.scielo.org.mx/pdf/rmf/v49n4/v49n4a16.pdf

https://youtu.be/HKAsFl8z6Hc

https://youtu.be/73QS1CCPV48

Clasificación de Vectores: Los vectores por lo general se presentan en conjunto

constituyendo un sistema y dependiendo de su disposición en el espacio son:

Vectores en el espacio Vectores en un plano o Coplanares

Para iniciar el estudio de vectores comenzaremos por los vectores coplanares, es decir aquellos

que podemos ubicar en el mismo plano y por lo tanto su definición es más simple. Para

aprovechar los conocimientos previos desarrollados en matemática se utilizarán las

coordenadas en el plano cartesiano. A su vez podemos identificar diferentes sistemas

vectoriales según su disposición en el plano y para ejemplificar usaremos vectores fuerzas, pero

esto es equivalente para cualquier magnitud vectorial.

Ejemplo en la vida cotidiana Representación gráfica Tipo de sistema vectorial

Dos hombres tirando de una misma

cuerda hacia la derecha

Son dos vectores fuerzas con dirección horizontal y sentido a la derecha

Vectores Colineales de igual sentido: Pertenecen a la misma recta de acción y poseen igual orientación

Dos perros tiran de su juguete en sentidos contrario.

Son dos vectores fuerzas con dirección horizontal y de sentidos opuestos

Vectores Colineales de opuesto sentido: Pertenecen a la misma recta de acción y poseen opuesta orientación

Personas en una tirolesa.

Podemos identificar tres vectores fuerzas con direcciones que se cortan en un punto.

Vectores Concurrentes: Pertenecen a rectas de acción que se intersecan en un punto.


39

Dos personas empujando un auto

Podemos identificar dos vectores fuerzas, las que ejercen las personas con rectas de acción paralelas e igual orientación.

Vectores Paralelos de igual sentido: Pertenecen a rectas de acción paralelas y posee igual orientación.

Dos personas usan una puerta giratoria, uno sale y otro entra al edificio

Los vectores fuerzas ejercidos por las personas son paralelos y de sentidos opuestos.

Vectores Paralelos de opuesto sentido: Pertenecen a rectas de acción paralelas y poseen opuesta orientación.

Operaciones con vectores Al existir magnitudes que se representan con vectores deberemos aprender a operar con ellos,

es decir sumar, restar y multiplicar. Podemos encontrar numerosos métodos gráficos y analíticos

para operar con vectores según el tipo de sistema que se nos presente a continuación,

describiremos algunos:

✓ Para sumar vectores colineales de igual sentido basta con realizar la suma algebraica

de las magnitudes para obtener la intensidad o módulo del vector resultante. La

dirección y sentido de esta resultante coincidirá con la de los vectores que se sumaron.

Para comprenderlo mejor lo describiremos con un ejemplo:

Si una persona se encuentra en un río cuya corriente viaja a 2m/s y nada con velocidad de 1,5

m/s con dirección y sentido a favor del río. ¿Qué

velocidad adquiere la persona en total?

Gráficamente Analíticamente:

|�� | = ∑|�� |

= |𝑽𝒑 | + |𝑽𝒓 |

= 𝟏, 𝟓𝒎

𝒔+ 𝟐

𝒎

𝒔

= 𝟑, 𝟓𝒎

𝒔

Rta.: La persona se mueve con

una velocidad total de 3,5m/s

con dirección y sentido

equivalente a la corriente del

río.

✓ Para sumar vectores colineales de sentidos opuestos basta calcular el valor absoluto de

la resta de los módulos de los dos vectores para obtener la intensidad o módulo del

vector resultante. La dirección y sentido de esta resultante coincidirá con la del vector

de mayor intensidad. Para comprenderlo mejor lo describiremos con un ejemplo:

Si una persona se encuentra en un río cuya corriente viaja a 2m/s y nada con velocidad de 1,5

m/s en sentido opuesto a la corriente del río. ¿Qué velocidad adquiere la persona en total?

Gráficamente

En términos generales para sumar varios vectores colineales será conveniente hacer uso

de un sistema de coordenadas cartesianas como

sistema de referencia, y los vectores unitarios

(vectores de longitud uno) en las direcciones x e y se

denominan versores i y j que para diferenciarlos se los

simbolizan como muestra la figura.

De esta manera el sentido del vector se podrá

identificar más fácilmente: si los vectores son

horizontales hacia la derecha se consideran vectores

positivos y si son horizontales hacia la izquierda se

pueden considerar negativos. Por ejemplo, si se tira

de una misma soga aplicando cuatro fuerzas todas

medidas en Newton dos de ellas de 4N hacia la derecha, una de 2N hacia la izquierda y otra de

1N también hacia la izquierda ¿Cuál sería la fuerza total aplicada a la soga?

Analíticamente:

|�� | = ||𝑽𝒑 | − |𝑽𝒓 ||

= |𝟏, 𝟓𝒎

𝒔− 𝟐

𝒎

𝒔|

= |−𝟎, 𝟓𝒎

𝒔|

= 𝟎, 𝟓𝒎

𝒔

Rta: La persona se mueve

con una velocidad total de

0,5m/s con dirección y

sentido equivalente a la

corriente del río.


41

Así la resultante del sistema se puede determinar como la suma algebraica (+/-) de los módulos

de los vectores:

�� = 𝐴 + �� + 𝐶 + ��

= 4𝑁𝑖 + 4𝑁𝑖 − 2𝑁𝑖 − 1𝑁𝑖

= 5𝑁𝑖

Podemos ver que la Resultante de un sistema es un único vector capaz de

reemplazar a todos los actuantes en el este.

✓ Para sumar vectores concurrentes se pueden utilizar métodos gráficos y métodos

analíticos.

Para sumar gráficamente dos o más vectores se utilizan dos métodos:

a) Método del paralelogramo, que permite sumar de a dos vectores concurrentes a la vez.

b) Método del polígono, que conviene utilizarlo para sumar más de dos vectores concurrentes

PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL MÉTODO GRÁFICO DEL PARALELOGRAMO.

a) Para sumar los vectores 𝐴 y �� se colocan los vectores con origen común representados

a escala. Asi 𝐴 es el vector con origen en el punto O y extremo en el punto A y �� es el

vector con origen en el punto O y extremo en el punto B.

b) Se construye un paralelogramo, usando OA y OB como dos lados adyacentes del

paralelogramo.

c) Se traza la diagonal del paralelogramo (la que pasa por el punto O hasta el vértice

opuesto C). La diagonal representa el módulo del vector R. Esta resultante de la suma

de los vectores 𝐴 y �� además de poseer la misma dirección que esta diagonal posee

origen en O y la punta de flecha en C, es decir sentido OC según se muestra en la

siguiente figura.

• Ejemplo Resuelto: Se tira de un carro aplicando

dos fuerzas concurrentes de 50N formando un

ángulo de 20° con la horizontal y 30N formando

un ángulo de 70° con la horizontal ¿Cuál es la

Fuerza total aplicada o Resultante del sistema?

RESOLUCIÓN GRÁFICA

Para empezar, es necesario dibujar a escala los vectores fuerza: en el problema F1=50N

y F2=30N, podemos elegir la escala 1cm→10N entonces el vector F1 deberá ser representado

con 5 cm y el vector F2 será de 3 cm de longitud.

Se miden con transportador los ángulos, colocando el centro de este instrumento en el

centro de coordenadas, la parte recta paralela al eje x y contamos 20 divisiones en sentido

antihorario ya que el ángulo es positivo. Se traza en la dirección obtenida un vector con origen

en (0,0) y extremo a los 5cm. Se repite con un angulo de 70° y longitud del vector de 3cm.


43

Se puede verificar que el ángulo comprendido entre los vectores es 70°-20°= 50°.

Se toma con el compás la longitud del vector F2 y se traslada a la punta del vector F1 y

se marca el arco correspondiente.

Repetimos el procedimiento pero ahora la longitud que trasladamos es la de F1 hasta la punta

de F2, obteniendo otro arco que cortará al ya marcado.

Si trazamos un vector con origen en (0,0) y extremo en el punto de intersección de los

arcos marcados anteriormente obtenemos el vector resultante cuya magnitud estará definida

por el largo del vector y cuya dirección se podrá determinar con el ángulo que forma con el

semieje positivo de las x.

PROCEDIMIENTO PARA APLICAR EL MÉTODO GRÁFICO DEL POLÍGONO.

a) Se dibuja el vector 𝐴 en algún punto del plano a escala y respetando su dirección2.

b) Se dibuja un vector �� cuyo punto inicial es el punto final del vector anterior

representado (en este caso el vector 𝐴 ), es decir que se coloca un vector a continuación

de otro.

c) Se dibuja un vector �� , el cual es la resultante de la suma de los vectores 𝐴 y �� , desde el

origen del primer vector y extremo en la punta del último vector representado como

muestra en la figura.

d) El módulo de �� se puede determinar midiendo el largo del vector y la dirección se puede

conocer midiendo el ángulo que forma este vector con la horizontal.

2 Para evitar inconvenientes aclaramos que la escala usada para en las representaciones con geogebra de este ejemplo corresponde 10N →1cuadrado grande de la grilla.


45

A continuación, se presenta gráficamente, utilizando el método del polígono, la suma de los

vectores 𝐴 , �� y 𝐶 cuyos módulos, direcciones y sentidos son:

𝐴 = 50𝑁 𝛼 = 20°

�� = 30𝑁 𝛽 = 70°

𝐶 = 40𝑁 𝛾 = 120°

�� = 88,2𝑁 𝛿 = 65°

Un vector lo podemos expresar en forma cartesiana como

suma de sus componentes en la dirección x y en dirección y

�� = 𝑨𝒙�� + 𝑨𝒚𝒋 = (𝑨𝒙; 𝑨𝒚)

O en forma polar dando su módulo y el ángulo que forma con

la horizontal en sentido antihorario para definir su dirección y sentido:

�� = (𝑨; 𝜶)

MÉTODOS ANALÍTICOS PARA LA SUMA DE VECTORES CONCURRENTES

• Usando el teorema del coseno y el teorema del seno

Como R es la diagonal de un paralelogramo en el ejemplo, OPQS y OPQ es triángulo

oblicuángulo podemos deducir

𝛽 − 𝛼 = 𝛿

70° − 20° = 𝛿

50° = 𝛿

Por la suma de los ángulos interiores del paralelogramo tenemos:

𝑆𝐴𝐼 = 360°

𝛿 + 휀 + 휂 + 휁 = 360°

50° + 50° + 𝑥 + 𝑥 = 360°

2𝑥 = 360° − 100°

𝑥 = 260°: 2

𝑥 = 130°

Entonces 휂 = 휁 = 130°. Teniendo dos lados y el ángulo comprendido podemos calcular la

longitud de R con el teorema del coseno

𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ cos (휁) donde el ángulo ζ es el aquel que forman los vectores

�� y �� “punta con cola”.

Pero si tenemos el ángulo que forman entre los vectores 𝐴 y �� cuando están representados

en el mismo punto origen O la resultante se calcula


47

𝑅 = √𝐴2 + 𝐵2 + 2 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵 ∙ cos (𝛿)

ya que el ángulo δ es el que forman los vectores �� y �� “cola con cola”. Esto se debe a que como

ζ y δ son suplementarios por ser conjugados internos entre paralelas, entonces

cos(휁) = −cos (𝛿)

De allí que la diferencia de tomar un ángulo o el otro solo cambie el signo del tercer término de

la expresión del teorema del coseno.

Para determinar la dirección de la resultante usamos el teorema del seno en el triángulo OPQ

𝐴

𝑠𝑒𝑛휃=

𝐵

𝑠𝑒𝑛𝜛=

𝑅

𝑠𝑒𝑛휁

Calculamos 𝜛 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (𝐵∙𝑠𝑒𝑛𝜁

𝑅) o que es lo mismo ya que sen(휁) = 𝑠𝑒𝑛 (𝛿)

𝜛 = 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 (𝐵∙𝑠𝑒𝑛𝛿

𝑅). Llamamos 𝛾 = 𝜛 + 𝛼 que es el ángulo que la resultante forma con la

horizontal y ya podemos dar toda la información del vector resultante en forma polar�� =(R; γ).

• Usando la descomposición en direcciones x e y.

El objetivo de este método es transformar todo vector del plano como suma de vectores

en direcciones x e y. Esto permitirá hallar la resultante de un sistema de vectores en forma

cartesiana y con la menor cantidad de cálculos trigonométricos posible sobre todo si son

más de dos vectores los que debemos sumar.

Se calcula con razones trigonométricas las longitudes de los segmentos 𝑂𝐶 𝑦 𝐶𝑃

correspondientes a los módulos de los vectores 𝐴𝑥 𝑦 𝐴𝑦 . Estos son conocidos también como

las proyecciones ortogonales de 𝐴 . Como constituyen los catetos de un triángulo rectángulo

de hipotenusa el largo del vector 𝐴 tenemos:

cos (𝛼) =𝐶𝐴

𝐻

=𝑂𝐶

𝑂𝑃

=𝐴𝑥

𝐴

𝑨 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜶) = 𝑨𝒙

𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝐶𝑂

𝐻

=𝑃𝐶

𝑂𝑃

=𝐴𝑦

𝐴

𝑨 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜶) = 𝑨𝒚

Repetimos el procedimiento

con todos los vectores que

necesitemos sumar siempre

conociendo su forma polar,

es decir el largo del vector y

el ángulo que forma con el

semieje positivo de las x.

Obtenemos así la

descomposición del vector

��

𝑩𝒙 = 𝑩 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜷)

𝑩𝒚 = 𝑩 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜷)


49

Sumamos las componentes en x por un lado y las componentes y por el otro para hallar

las componentes Rx y Ry o componentes totales en las direcciones x e y

Componentes en x Componentes en y

𝑨𝒙 = 𝑨 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜶) = 50𝑁 ∙ cos(20°) = 46, 98463104𝑁

𝑨𝒚 = 𝑨 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜶) = 50𝑁 ∙ 𝑠𝑒𝑛(20°) = 17,10100717𝑁

𝑩𝒙 = 𝑩 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜷) = 30𝑁 ∙ cos(70°) = 10,2606043𝑁

𝑩𝒚 = 𝑩 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜷) = 30𝑁 ∙ sen(70°) = 28,19077862𝑁

𝑹𝒙 = 𝟓𝟕, 𝟐𝟓𝑵 𝑹𝒚 = 𝟒𝟓, 𝟐𝟗𝑵

Ya tenemos a �� en coordenadas cartesianas �� = 57,25𝑁𝑖 + 45,29𝑁𝑗

Si lo deseamos en coordenadas

polares el módulo del vector �� lo

sacamos con el Teorema de

Pitágoras3:

𝑅 = √𝑅𝑥2 + 𝑅𝑦

2

= √(57,25𝑁)2 + (45,29𝑁)2

= 72,99826436𝑁

= 73𝑁

La dirección y sentido

𝑡𝑔(𝛾) =𝑅𝑦

𝑅𝑥

𝛾 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (𝑅𝑦

𝑅𝑥)

𝛾 = 38°20′50,02′′

3 El cuadrado de la hipotenusa es la suma de los cuadrados de los catetos, despejando la hipotenusa en este caso el módulo de R, obtenemos la expresión que se muestra.

Al realizar las cuentas con la calculadora científica puedes evitar inconvenientes en la entrada

de datos o interpretación de resultados si consultas previamente los manuales que vienen en su

empaque o visitas la página https://support.casio.com/es/manual/manuallist.php?cid=004, allí

podrás descargar el manual de cualquier modelo de calculadora Casio.

✓ Para sumar vectores paralelos de igual sentido el módulo de la resultante es igual a la

suma de los módulos de los vectores de este sistema. Para determinar la dirección se

utilizan métodos gráficos y analíticos de resolución y su sentido coincide con el sentido

de los vectores del sistema.

Ejemplo Resuelto: Se tira de una varilla aplicando

dos fuerzas paralelas de 30N y 20N verticalmente

hacia abajo ¿Cuál es la Fuerza total aplicada o

Resultante del sistema?

Método gráfico:

En primer lugar, se representan los vectores, en este caso las fuerzas, y las

distancias en alguna escala que se desee. Luego se traslada una copia del vector E a la

punta del vector F y lo llamaremos vector E’. A continuación, se traslada una copia del

vector F a la punta del vector E y lo llamaremos vector F’.

Se traza la recta h que pasan por las puntas de los vectores E y E’ y la recta m

que pasa por las puntas de los vectores F y F’

La dirección del vector R es la recta j paralela a los vectores dados y que pasa

por el punto P.

Como el módulo

del vector R ya lo

conocemos lo

representamos sobre la

recta j con origen en el

punto de intersección de

esta recta con la varilla y

hacia abajo ya que los

vectores tenían sentido

hacia abajo.

Método Analítico:

Para el módulo de ��

|�� | = ∑|𝐹 |

= |�� | + |𝐹 |

= 30𝑁 + 20𝑁

= 50𝑁

Para la dirección usamos la Regla de Stevin |�� |

𝑎=

|�� |

𝑎2=

|𝐹 |

𝑎1

Donde 𝑎1 es la distancia entre �� y �� o distancia al primer vector y 𝑎2 es la distancia

entre los vectores 𝐹 y �� o distancia al segundo vector.

https://support.casio.com/es/manual/manuallist.php?cid=004


51

50𝑁

5𝑚=

30𝑁

𝐺𝐵 =

20𝑁

𝐴𝐺

𝑎1 = 𝐴𝐺 =5𝑚 ∙ 20𝑁

50𝑁

𝑎1 = 𝐴𝐺 = 2𝑐𝑚

𝑎2 = 𝐺𝐵 =5𝑚 ∙ 30𝑁

50𝑁

𝑎2 = 𝐺𝐵 = 3𝑐𝑚

Estas distancias permiten identificar la dirección del vector resultante, se puede ver que

la resultante estará más cerca del vector de mayor módulo del sistema.

✓ Para sumar vectores paralelos de sentido contrario el módulo de la resultante es igual

al valor absoluto de la resta de los módulos de los vectores de este sistema. Para

determinar la dirección se utilizan también métodos gráficos y analíticos de resolución

y su sentido coincide con el sentido del vector de mayor módulo del sistema.

Ejemplo Resuelto: Se tira de una varilla aplicando dos

fuerzas paralelas de 30N y 20N verticalmente la

primera hacia arriba y la segunda hacia abajo ¿Cuál es

la Fuerza total aplicada o Resultante del sistema?

Método gráfico:

Al igual que el caso anterior en primer lugar se

representan los vectores, en este caso las fuerzas, y las distancias en alguna escala que

se desee. Luego se traslada una copia del vector opuesto al vector E en el origen del

vector F y lo llamaremos vector E’. A continuación, se traslada una copia del vector F al

origen del vector E y lo llamaremos vector F’.

Se traza la recta g que pasan por las puntas de los vectores E’ y F’ y se prolonga

el segmento AB hasta que se interseca con la recta g en el punto P.

La dirección del vector R es la recta m paralela a los vectores dados y que pasa

por el punto P.

Como el módulo del vector R ya lo conocemos lo representamos sobre la recta

m con origen en el punto P y hacia arriba ya que es el sentido del mayor vector.

Método Analítico:

Para el módulo de ��

|�� | = ||�� | − |𝐹 ||

= |30𝑁 − 20𝑁 |

= 10𝑁

Para la dirección usamos la Regla de Stevin |�� |

𝑎=

|�� |

𝑎2=

|𝐹 |

𝑎1

Donde 𝑎1 es la distancia entre �� y �� o distancia al primer vector y 𝑎2 es la distancia

entre los vectores 𝐹 y �� o distancia al segundo vector.

10𝑁

5𝑚=

30𝑁

𝐺𝐵 =

20𝑁

𝐴𝐺

𝑎1 = 𝐴𝑃 =5𝑚 ∙ 20𝑁

10𝑁

𝑎1 = 𝐴𝑃 = 10𝑐𝑚

𝑎2 = 𝐵𝑃 =5𝑚 ∙ 30𝑁

10𝑁

𝑎2 = 𝐵𝑃 = 15𝑐𝑚

Al igual que en el caso anterior estas distancias permiten identificar la dirección del

vector resultante, y también se puede ver que la resultante estará más cerca del vector

de mayor módulo del sistema.

✓ Productos en donde intervienen vectores

o Producto de un escalar por un vector: Cuando multiplicamos un escalar por un

vector obtenemos otro vector cuyo módulo es el producto del valor absoluto

del escalar por el módulo del vector su dirección coincide con la del vector

original y su sentido será igual al de éste si el escalar es positivo o será opuesto

si el escalar es negativo.

Como podemos ver en la figura, �� = 3 ∙ 𝐴 por ende, el módulo de �� es el triple

del módulo de 𝐴 y tiene la misma dirección y sentido.

En el otro ejemplo �� = (−2) ∙ 𝐶 en consecuencia, el módulo de �� es el doble

del módulo de 𝐶 con la misma dirección y de sentido opuesto.


53

o Producto Escalar: Es aquel producto de vectores cuyo resultado es una

magnitud escalar y se puede calcular como:

𝐴 ∙ �� = |𝐴 | ∙ |�� | ∙ cos (𝛼)

o Producto Vectorial: Es aquel producto de vectores cuyo resultado es una

magnitud vectorial con módulo:

|A × �� | = |𝐴 | ∙ |�� | ∙ sen(𝛼)

Con dirección y sentido según la regla de la mano derecha

Aquí te dejamos algunos sitios web y videos que puedes consultar sobre el tema

• PROYECCIÓN DE VECTORES

https://www.youtube.com/watch?v=2hkLj1EVC5M

• SUMA Y RESTA DE VECTORES MÉTODO ANALÍTICO.

https://www.youtube.com/watch?v=ycPw-c9kkZQ

• EDUCATINA https://www.youtube.com/user/educatina

https://www.youtube.com/watch?v=2hkLj1EVC5M

https://www.youtube.com/watch?v=ycPw-c9kkZQ

https://www.youtube.com/user/educatina

GUÍA Nº 2.2- DE EJERCITACIÓN Y PROBLEMAS DE

APLICACIÓN Vectores

1) Representa a escala E = 1,5 𝑐𝑚

4,5𝐾𝑔𝑓 los siguientes vectores fuerzas:

a) b) c)

2) ¿Cuál es el módulo de F en cada caso?

a) 𝐸 =1 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜

100𝑁 b) 𝐸 =

15𝑚𝑚

75𝑔𝑓 c) 𝐸 =

2𝑐𝑚

1𝑘𝑔𝑓

3) ¿Qué escala se usó en cada caso?

a) Si la longitud del vector es de 3cm y representa 90kgf

b) Si se representa un vector de 24N con una longitud de 4,8cm

c) Si la longitud del vector es de 7cm y representa 600dyn

4) Representar las siguientes velocidades a escala y determinar la suma de las mismas gráfica

y analíticamente:

5) Dadas las siguientes fuerzas representarlas a escala y resolver la suma gráficamente.

a) b) c)

‖F7‖ = 4𝑁 20° 𝑐𝑜𝑛 𝑙𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 ‖F9‖ = 5𝑁 ‖F12‖ = 2,5𝑁 ‖F8‖ = 8𝑁 ‖F10‖ = 4𝑁 ‖F13‖ = 5𝑁

‖F11‖ = 6𝑁 ‖F14‖ = 4,5𝑁

‖F15‖ = 3𝑁

6) Resolver la suma de los sistemas anteriores (ítem 5) por algún método analítico.

30°

F1 = 18Kgf

F2 = 15Kgf 140°

F3 = 22,5Kgf

F4

F5 F6

20°

225°

F7

F8

80° F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

20°

30°

V1=10m/s

V2= 4m/s

V3= - 8m/s


55

7) Un bote salvavidas posee una velocidad como muestra la

figura:

a) Representar en escala 𝐸 = 1

𝑚

𝑠

1𝑐𝑚

b) Hallar gráficamente las componentes Vx y Vy

c) Verificar analíticamente.

Respuesta: 𝑉𝑥 = 2,57𝑚

𝑠 𝑉𝑦 = 3,06

𝑚

𝑠

8) Un río fluye de Oeste a Este a una velocidad de 𝑉𝑟 = 2,5𝑚

𝑠 . El río tiene una anchura

constante de 1 km. Tú quieres cruzar el río desde el punto A (Sur) hasta un punto B (Norte) en línea recta con un bote de motor que puede alcanzar una velocidad de 5 metros por segundo. a) Si la dirección del barco es perpendicular con respecto a la orilla del río (es decir, 90

grados). ¿Cuánto tiempo tardarás en cruzar el río? ¿Qué tan lejos estará el bote del punto B?

b) ¿En qué dirección debes poner el bote de motor, para poder ir directamente del punto A al punto B? ¿Cuánto tiempo te llevará llegar del punto A al punto B, en este caso?

Respuesta: ver simulador https://www.geogebra.org/m/RghfTtMg. (Geogebra, 2019)

9) Isabel y Juan llegan al mismo tiempo a agarrar la última copia disponible en una tienda del último videojuego de moda. Si ambos agarran la caja y tiran de ella, Isabel con una fuerza de 20 N horizontal a la derecha y Juan con una de 21 N, calcula la fuerza resultante en los siguientes casos gráfica y analíticamente:

a) Tiran en sentidos contrarios

b) Tiran en direcciones perpendiculares.

c) Tiran en direcciones que forman 155° entre sí.

Respuesta a) �� = 𝟏𝑵�� b) �� = (𝟐𝟗𝑵;𝟒𝟔°𝟐𝟑′𝟒𝟗, 𝟖𝟓′′) c) �� = (𝟖, 𝟗𝟐𝑵; 𝟖𝟑°𝟒𝟓′𝟑𝟐, 𝟕′′)

10) Lucas prueba sus habilidades

como ciclista en una pista

subiendo y bajando cuestas

como muestra la figura.

Determinar el vector

desplazamiento total

teniendo en cuenta que la

escala en los ejes esta

graduada en metros.

https://www.geogebra.org/m/RghfTtMg

Hace varios siglos se pensaba que la Tierra permanecía inmóvil en el Universo y que el Sol y todas las estrellas se movían en torno a ella. Después de muchas observaciones se estableció que la Tierra orbitaba en torno al Sol. Muchos años más tarde, en 1920, el astrónomo estadounidense Edwin Hubble, apoyándose en observaciones hechas con telescopios, pudo afirmar que todas las galaxias se están moviendo, alejándose unas respecto de otras.

¿Cómo podemos afirmar que algo se encuentra en movimiento o en reposo? ¿Existirá el reposo absoluto? En el transcurso de la siguiente unidad trataremos de dar respuesta a esta y otras preguntas que puedan ir surgiendo.

“Digan lo que digan, la Tierra se mueve.” Galileo Galilei 1564-1642

CAPÍTULO 3: CINEMÁTICA, LA DESCRIPCIÓN

DEL MOVIMIENTO


57

Diagnóstico:

1. Escribe en tu cuaderno las variables asociadas al concepto de velocidad.

2. Piensa en la siguiente situación: te encuentras al interior de una nave espacial y de pronto ves pasar a alta velocidad otra nave espacial cerca de la tuya. ¿Cuál de las siguientes explicaciones a lo que observaste es más probable?

A. Tu nave se encontraba detenida mientras que la otra viajaba a alta velocidad. B. La otra nave se encontraba detenida y era tu nave la que se movía a alta velocidad. C. Las dos naves se movían a alta velocidad. D. Mientras no se disponga de más información no se puede afirmar nada.

3. Sobre un tren que viaja con velocidad constante, un niño juega con una linterna subiendo y bajando su mano, perpendicular al piso. El dibujo que haría la luz de la linterna, observado por otro niño sentado al exterior del tren, se representa mejor por:

D. masa C. tiempo B. posición A. distancia

ACTIVIDAD INICIAL: En estas páginas se presentan una serie de fotografías. Responde las siguientes actividades (Anota las respuestas en tu carpeta).

1. ¿Qué objetos de las imágenes parecen estar en reposo?, ¿cuáles crees que están en movimiento?

2. ¿Cómo podrías describir el movimiento de dichos cuerpos?

3. Al mirar el Sol, ¿podrías afirmar que se encuentra detenido?

4. Cuando el bote cruza el río (de la forma que muestra la fotografía), ¿crees que puede seguir la distancia más corta entre las dos orillas?

5. ¿Qué elemento o elementos encuentras que son comunes para todas las imágenes?

4. ¿Cuál de las siguientes explicaciones crees que es la más adecuada para afirmar que la Tierra se mueve?

5. Suponga que desea juntarse con sus compañeros en algún punto del centro de la ciudad y Juan no conoce los nombres de las calles ni el lugar del punto de encuentro. ¿Cómo podrías guiar a Juan para que llegue a destino?

6. ¿De qué manera podrías estimar el tiempo y distancia recorrida en tu trayecto de casa a la escuela sin utilizar instrumentos de medidas?

El viento y las mareas son

una prueba de que la Tierra

se mueve.

La observación del movimiento aparente

de varios cuerpos celestes, estrellas y

planetas es prueba de que la Tierra se

mueve.

Al dejar caer un cuerpo desde

un determinado lugar, este

debería caer en otro punto.

La observación del movimiento

aparente del Sol es prueba de que la

Tierra se mueve.


59

INDAGACIÓN: SISTEMAS DE COORDENADAS

¿Cómo determinarían la ubicación de tu colegio dentro de la ciudad?

Reúnete con dos o tres compañeros o compañeras y planteen, por ejemplo: cómo le indicarían

a una persona ubicada en la plaza San Martín, a otra en el Pabellón Argentina de la UNC y a otra

en la estación de trenes Mitre, el lugar exacto de tu colegio sin recurrir al nombre de las calles.

Luego, formulen una posible respuesta a la pregunta inicial.

Materiales

Un mapa de tu ciudad, lápices o fibras de diferentes colores.

(De no disponer de un mapa exacto puedes simular uno en un dibujo o imprimir una captura de

Google maps)

Procedimiento

1. Identifiquen en el mapa, con un color distinto, a cada una de las personas ubicadas en los tres

puntos.

2. Dibujen en el mapa con el color respectivo, el camino que debería seguir cada persona para

llegar hasta el colegio.

3. Para cada una de las tres personas dibujen dos ejes, uno vertical y otro horizontal, procurando

que coincidan con los puntos cardinales y que la persona quede ubicada en la intersección de

estos.

4. Dividan los ejes en cuadras o kilómetros, de forma aproximada y tracen una línea desde la

persona hasta su colegio.

5. Indiquen las coordenadas en las que se encuentra el colegio, con referencia a cada una de las

personas.

Respondan las siguientes preguntas

1. ¿Cuál de las personas se encontraba a mayor distancia del colegio?

2. Si tu sala de clases se encontrara en altura, por ejemplo, en un primer o segundo piso,

¿cuántas coordenadas serían necesarias para determinar la posición de esta?

3. Desde un punto fijo hasta tu colegio, ¿cuántos pares diferentes de coordenadas se pueden

dar para su ubicación?

4. ¿Cuántas posiciones relativas se pueden asumir respecto de un mismo lugar como el colegio?

5. ¿Verificaron su respuesta a la pregunta inicial?

SISTEMA DE COORDENADAS

En la indagación anterior se hizo necesario establecer un sistema que permitiese entregar la posición exacta de un punto en la ciudad (colegio) a una persona ubicada en cualquier otro punto, sin que ella conociera la dirección. Para ello se tomó como referencia a la persona que se encontraba fija y se construyó una cuadrícula orientada según los puntos cardinales. A esta cuadrícula la denominaremos sistema de coordenadas. En general, diremos que un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que permiten definir la posición de cualquier punto en una recta, en el plano o en el espacio y que se construye sobre la base de ejes ortogonales (existen otros sistemas de coordenadas, pero utilizaremos el cartesiano por su simpleza).

a. Sistema coordenado en el plano: Para establecer un sistema de coordenadas en el plano se requieren dos ejes: uno horizontal, llamado eje de la abscisas o eje (x), y otro vertical, llamado eje de las ordenadas o eje (y); por lo que un punto en el plano queda determinado por dos coordenadas (x, y).

b. Sistema coordenado en el espacio: Un sistema de coordenadas en el espacio requiere, aparte de las coordenadas (x) e (y), una tercera coordenada (z) que generalmente corresponde a la altura. De esta manera, un punto en el espacio queda determinado por tres coordenadas (x, y, z).


61

Marco de referencia

Actividad 1: SITUANDO UN MARCO DE REFERENCIA INFERIR-ANALIZAR Dos amigos se encuentran a las diez de la mañana en un almacén y acuerdan reunirse a las cuatro de la tarde en la oficina de uno de ellos. Al darle la indicación de la ubicación de la oficina, le dice que camine tres cuadras al norte, luego debe doblar dos cuadras al oeste, llegar al edificio que está exactamente en la esquina y subir hasta el sexto piso. a. ¿Cuál fue el punto de referencia escogido por los dos amigos? b. Si cada cuadra mide aproximadamente 100 m y cada piso mide 2,8 m de altura, ¿cuáles son las coordenadas en el espacio en las que acordaron reunirse desde el punto de referencia escogido? c. ¿Qué importancia tiene la hora señalada, para que las dos personas se puedan encontrar?

En la situación presentada en la actividad anterior, para que los dos amigos se encuentren es necesario considerar tres factores: • punto de referencia: punto a partir del cual se consideran las distancias. • sistema de ejes coordenados: se sitúa en el punto de referencia y desde él se define la posición de cualquier objeto o lugar. • origen temporal: corresponde al instante a partir del cual se mide el tiempo.

¿Cómo sabemos que un cuerpo se mueve? Observa con atención la siguiente ilustración:

Para describir el movimiento de un cuerpo, primero es necesario establecer un marco de referencia. En la ilustración, el papá (observador) se sitúa en el origen del sistema de ejes coordenados, si el punto de referencia se considera en reposo, el movimiento respecto a él se llama absoluto. El papá percibe el movimiento de su hijo debido a que la posición del triciclo varía, respecto de él en el transcurso del tiempo.

Actividad 2: DESCRIBIENDO EL MOVIMIENTO -INFERIR-ANALIZAR En la siguiente

ilustración se muestran dos marcos de referencia distintos, en los que están situados dos observadores. En un instante inicial, ambos ven a través de sus binoculares el vuelo de un ave. Observa con atención la ilustración y responde las preguntas. a. ¿Cuál es la posición del observador O’ respecto del observador O? b. ¿Cuáles serían las coordenadas del observador O respecto del observador O’? c. Determina las coordenadas del ave respecto de cada uno de los observadores en los instantes t0 y t1. d. ¿Por qué ambos observadores pueden afirmar que entre los dos instantes el ave se movió?


63

LA RELATIVIDAD DEL MOVIMIENTO

Actividad 3 a) OBSERVACIÓN EXPERIMENTAL DE MOVIMIENTOS RELATIVOS En grupos de tres integrantes con una pelota pequeña y en el patio del colegio, realicen estos pasos:

1) Un compañero tomará la pelota y la lanzará hacia arriba en línea recta, de modo que pueda atraparla al caer. Repetirá este procedimiento varias veces mientras camina con velocidad constante.

2) Los demás integrantes del grupo observarán la trayectoria que sigue la pelota lanzamiento tras lanzamiento, a medida que su compañero avanza.

3) Cuando hayan terminado, pídanle al compañero que lanzó la pelota, que relate cómo era la trayectoria de esta durante los lanzamientos.

4) Luego, el resto describirá cómo era la trayectoria de la pelota mientras su compañero la lanzaba y al mismo tiempo caminaba.

A continuación, respondan a las preguntas en sus carpetas.

a. Con respecto a la trayectoria de la pelota, ¿existen diferencias entre lo que observó el compañero que la lanzó y lo que observaron los demás integrantes del grupo? Expliquen.

b. ¿Podrían afirmar que, según el observador que se considere, la trayectoria cambia?, ¿por qué?

c. ¿Cómo podrían relacionar esta actividad con la relatividad del movimiento?

Actividad 3 b): DIBUJANDO MOVIMIENTOS RELATIVOS Desde lo alto del mástil de un barco que se mueve con velocidad constante se deja caer una piedra. ¿Cómo será el movimiento de la piedra según un observador situado en un punto de la cubierta del barco y según otro observador que se encuentra en un punto de la playa?

1) Dibuja la trayectoria del movimiento vista por cada uno de los observadores.

2) Para cada uno de los dibujos: ¿dónde situaste el marco de referencia?

Cuando se dejó caer la piedra desde el mástil del barco, un observador en la playa habría

visto que el movimiento de la piedra era parabólico y no vertical. En cambio, el observador al interior del barco vería caer la piedra de forma vertical, como si estuviera en un sistema en reposo; es más, si el barco fuera un sistema aislado, el observador al interior de este tendría muy pocas posibilidades de saber si se encuentra en movimiento. Esto nos lleva a concluir que el movimiento es relativo con respecto al marco de referencia que escojamos. Por ello, cuando afirmamos que un cuerpo se mueve con respecto a otro que está en reposo, en realidad estamos hablando de un movimiento relativo, pues no existe ningún objeto conocido que esté en reposo absoluto. Podemos decir, entonces, que un cuerpo está en movimiento respecto de un marco de referencia y, a la vez, decir que está en reposo respecto de otro marco de referencia.

Para dejar más claro el concepto de movimiento relativo, considera la siguiente situación: un colectivo va hacia el norte por la ruta:

¿Qué estudia la Cinemática?

La Cinemática es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos sin preocuparse por las causas que lo originaron; en otras palabras, nos interesará responder cómo se mueve un cuerpo y no porqué se mueve.

Cuando afirmamos que un cuerpo se mueve con respecto a otro que está en reposo, en realidad estamos hablando de un movimiento relativo, pues no existe ningún objeto conocido que esté en reposo absoluto.

El movimiento es relativo con respecto al marco de referencia que escojamos.


65

Conceptos importantes en la descripción del movimiento

POSICIÓN Es el vector que indica dónde se ubica el objeto

observado. Dependerá de un sistema de referencia y

tendrá por módulo la distancia entre el origen del sistema

de referencia y el objeto. Para simbolizarlo se suele usar

𝑟 y su unidad de medida según el S.I. es el metro (m)

DESPLAZAMIENTO Es el vector que expresa el cambio de posición de

un cuerpo y se calcula como diferencia entre los vectores

posiciones ∆𝑟 = 𝑟2 − 𝑟1 en consecuencia su unidad de

medida según el S.I. también es el metro (m).

Es importante tener en cuenta que el vector desplazamiento no necesariamente

coincide con la dirección del camino que sigue el cuerpo o trayectoria.

VELOCIDAD

Es una magnitud vectorial que indica que tan rápido cambia la posición en el tiempo y

el sentido y la dirección del movimiento. Se suele llamar rapidez al módulo de la velocidad. Para

simbolizarlo usaremos 𝑣 y su unidad de medida según el S.I. es 𝑚

𝑠. Este vector es siempre

tangente a la trayectoria ya que indica la dirección y sentido del movimiento.

ACELERACIÓN Es la magnitud vectorial que indica el cambio de la velocidad de un cuerpo. Un cuerpo

tendrá aceleración cuando el vector velocidad cambie alguno/s de los siguientes elementos

módulo, dirección y sentido. Para simbolizarlo se suele usar 𝑎 y su unidad de medida 𝑚

𝑠2.

Por esto un cuerpo que se mueve sobre una curva necesariamente tendrá aceleración

pues cambia la dirección y sentido del vector velocidad.

Sabemos que a nuestro alrededor abundan los fenómenos donde se involucra el movimiento de diferentes seres y objetos: una persona caminando, las hojas de los árboles que se dejan arrastrar por el viento, el agua del río que corre y

se arremolina, el sol que se alza sobre el horizonte en cada amanecer, un automóvil que viaja sobre una autopista, entre muchos otros. Una persona o un auto posee muchas partes en el caso de la persona: brazos, pierna, cabeza, en el caso del auto: las ruedas, la antena, los espejos. Cuando estos cuerpos se encuentran en movimiento no todas las partes se mueven de la misma manera. Por esto tomaremos un punto en particular del cuerpo para describir el movimiento; y optaremos por aquel que posee un movimiento sencillo; por ejemplo, en una persona caminando elegiremos el tronco o tórax (o el ombligo) y no las piernas o los brazos.

En algunos casos no hace falta esta elección porque los cuerpos se ven como puntos en movimientos como por ejemplo una mosca volando en el aula, una hormiga en el cordón de la vereda, un auto visto desde lo alto en una avioneta, etc.

Existen muchos tipos de movimientos, aquellos más complejos de describir como el vuelo de una gaviota y los más sencillos como aquellos que se desplazan en línea recta, el que realiza un tren o un automóvil en un camino recto. Nosotros estudiaremos este último tipo de movimiento el que corresponde a cuerpos que se desplazan en línea recta y se denomina Movimiento Rectilíneo.

Ustedes se preguntarán por qué existiendo tantos tipos de movimientos, estudiaremos el tipo de movimientos quizás más raro de observar o menos atrayente. La razón de esta elección es principalmente porque para iniciarnos en el estudio de la cinemática es el más conveniente puesto que es el más sencillo para abordar. Pero si quisiéramos por ejemplo estudiar el tipo de movimiento que corresponde al vuelo de una gaviota, este podría verse como constituido por pequeños tramos rectos y cada uno de ellos podría analizarse como un movimiento rectilíneo. Esto significa que el estudio de este tipo de movimiento no nos limita a sólo un conjunto de

fenómenos, sino que nos brinda las herramientas necesarias como para ser capaces de abordar,

con cierta aproximación, cualquier otro tipo de movimiento.

"Baile de los estorninos” época del año en el que el cielo se cubre de cientos o miles de estos pájaros que realizan una suerte de danza inexplicable, que desafía cualquier intento de descripción matemática.

MOVIMIENTOS UNIDIMENSIONALES


67

EJE DE COORDENADAS, POSICIÓN Y DESPLAZAMIENTO ¿Cuál es la posición de un objeto?

Consideremos el ejemplo de un automóvil sobre una ruta, para poder responder esta pregunta

se deberá especificar su distancia respecto a algún punto arbitrario como puede ser un peaje

(por ejemplo 30km del peaje) y el sentido hacia donde esta respecto del peaje. Esto último es

importante porque suponiendo que se trata de la ruta Córdoba – Pilar (que es un buen ejemplo

de ruta recta) el automóvil podrá estar a 3km del peaje hacia Córdoba o a 30km del peaje hacia

Pilar.

Para poder representar gráficamente la posición de un cuerpo utilizaremos un eje de

coordenadas:

DEFINICIÓN: Un eje de coordenadas es una recta (como la recta real utilizada en matemática) que cuenta con un punto de origen o y una punta de flecha que indicará el sentido en que crecen los valores de x. Tanto el punto de origen como el sentido en que crecen los valores se eligen arbitrariamente o a conveniencia

Para nuestro ejemplo de la ruta Córdoba- Pilar tomamos como punto de origen el peaje y el

sentido del peaje hacia Pilar como el sentido en que crecen los valores de X. El eje de

coordenadas de posición estaría ubicado en este caso de la siguiente manera:

Luego de definir la ubicación del eje de coordenadas podemos conocer la posición del cuerpo

mediante su coordenada.

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 X (Km.)

Córdoba Pilar Peaje

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 X (Km.)

Eje de coordenadas ▪ O Punto de Origen. ▪ → Sentido en que crecen las X.

Córdoba Pilar

Peaje

DEFINICIÓN: La coordenada de un cuerpo es un punto sobre el eje de

coordenadas que representa la posición del cuerpo. Éste dará tanto la

distancia como el sentido respecto al origen en que se encuentra el cuerpo.

Nos referiremos a éste con un número, un signo y una unidad.

Ejemplos:

Continuando con el auto en la ruta Córdoba- Pilar:

a) ¿Cuál será la coordenada correspondiente al peaje? b) ¿Qué coordenada tiene un camión que se encuentra a 56Km del peaje hacia Pilar? c) ¿Dónde se encuentra un automóvil que posee la siguiente coordenada x = -40Km? d) Indicar en el eje la coordenada del camión y el automóvil.

Supongamos ahora que observamos un automóvil que se encuentra en movimiento, este

inicialmente se encontraba en x1 y luego en x2. Para calcular el desplazamiento ocurrido o

cambio de posición definimos:

donde

▪ x representa el desplazamiento o cambio de posición ▪ x1 es la coordenada inicial o de partida ▪ x2 es la coordenada posterior o de llegada

Diremos que el cuerpo se desplazó x y las unidades correspondientes serán las de longitud:

[x]= m para el S.I. y otras km, cm, mm, yarda, milla, etc.

Por ejemplo, si conocemos las coordenadas de dos autos que se encuentran en la ruta Córdoba

– Pilar en dos instantes de tiempo:

Para el auto 1 Para el auto 2

Coordenada del cuerpo ▪ Número ▪ Signo ▪ Unidad

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 X (Km.)

Xa Xc

Xp

Córdoba Pilar Peaje

x = x2-x1


69

En t1 x1= 10 km x1= 30 km

En t2 x2= 20 km x2= 10 km

donde t2 > t1

Si calculamos los desplazamientos correspondientes tendremos:

x = x2-x1 x = x2-x1

x= 20km – 10km x=10km – 30km

x= 10Km x= - 20km

Como podemos ver el desplazamiento puede ser tanto positivo como negativo que dependerá

de cómo sean x1 y x2.

Analicemos los casos y gráficamente:

Gráficamente podemos concluir que el desplazamiento será positivo si el cuerpo se mueve en el

mismo sentido en el que crecen las x y negativo en caso contrario.

DISTANCIA Y DISTANCIA TOTAL RECORRIDA Otro aspecto que es importante conocer cuando se estudia el movimiento del cuerpo es la distancia entre dos puntos y la distancia total recorrida.

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 X (Km.)

X1

X1

X2 Córdoba Pilar Peaje

X2

Signo

de x

▪ X > 0 positivo, X2 > X1 se mueve hacia las x crecientes.

▪ X < 0 negativo, X2 < X1 se mueve en sentido contrario de las x crecientes.

DEFINICIÓN: La distancia entre dos puntos cualesquiera x1 y x2 es el valor

absoluto del desplazamiento:

𝑑 = |∆𝑥| = |(𝑥2 − 𝑥1)|

Las unidades correspondientes a esta magnitud son las de longitud y como ya vimos pueden ser:

[d]= m para S.I. y otras como Km, cm, mm, yarda, milla, etc.

Ejemplo resuelto 1:

• Ana y Beto caminan en la misma calle peatonal Obispo Trejo, para establecer sus posiciones

elegimos eje de coordenada de posición una recta sobre esta calle, con el sentido de las

coordenadas crecientes hacia el sur y con origen en el arco del Paseo de las Flores. Ana

inicialmente se encontraba a 50m del origen hacia el sur y luego es vista a 200m del origen

hacia el norte. Beto se encontraba inicialmente a 300m al norte del arco del Paseo y minutos

después a 100m del origen hacia el norte. ¿Qué distancia recorrió cada uno?

DEFINICIÓN: La distancia total recorrida por un cuerpo que se movió

de la coordenada x1 a x2 siempre en el mismo sentido, es el valor

absoluto del desplazamiento (es precisamente la distancia entre esos

dos puntos).

𝑑𝑡 = |∆𝑥| = |(𝑥2 − 𝑥1)| DEFINICIÓN: La distancia total recorrida por un cuerpo que se movió no

siempre en el mismo sentido, es la suma de los valores absolutos de todos los

desplazamientos ocurridos.

𝑑𝑡 = |∆𝑥𝐴| + |∆𝑥𝐵|

Donde |∆𝑥𝐴| 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐴 𝑦 |∆𝑥𝐵|𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑠𝑝𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎𝑙 𝑡𝑟𝑎𝑦𝑒𝑐𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑜 𝐵

𝑑𝐴 = |(𝑥𝐴2 − 𝑥𝐴1)|

= |−200𝑚 − 50𝑚| = |−250𝑚| = 250𝑚

𝑑𝐵 = |(𝑥𝐵2 − 𝑥𝐵1)|

= |−100𝑚 − (−300𝑚)| = |200𝑚| = 200𝑚


71

Ejemplo resuelto 2:

• ¿Cuál es la distancia total recorrida por un hombre que partió de x1=10m y llegó a x2=42m?

Ejemplo resuelto 3:

• ¿Cuál es la distancia total recorrida por perro que realizó la siguiente caminata?

Datos:

Para el trayecto A x1 =-10m xA = (x2-x1)

x2 = 60m = (60m-(-10m))

= 70m

Para el trayecto B x3 = 60m xB = (x2-x1)

x4 = 20m = (20m-60m))

= -40m

𝑑𝑡 = |∆𝑥𝐴| + |∆𝑥𝐵|

= |70𝑚| + |−40𝑚|

= 110𝑚

𝑑𝑡 = |∆𝑥|

= |𝑥2 − 𝑥1|

= |42𝑚 − 10𝑚|

= |32𝑚| = 32𝑚

Datos:

x1=10m

x2=42m

A

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 X (m.)

A

-70 -60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 X (m.)

B

X3

X2 X1

X4

TIEMPO Al igual que la posición el tiempo se puede representar por un eje de coordenadas (en este caso

se llamarán coordenadas temporales) cuyo origen o punto a partir del cual se miden los tiempos

es también arbitrario (elegido a conveniencia) por ejemplo para los cristianos el origen o punto

o corresponde al nacimiento de cristo (línea del tiempo utilizada en historia); para la colectividad

hebrea el punto a partir del que se miden los tiempos corresponde a la creación del mundo

según el antiguo testamento (3761Ac); para los musulmanes corresponde (622Dc) al día

posterior de la hégira o huida de Mahoma de la Meca a Medina.

Nosotros podemos elegir convenientemente el punto a partir del cual medir los tiempos,

dependiendo de la situación a estudiar: el lanzamiento de una nave espacial, el momento en el

que se comenzó a observar el fenómeno o el móvil... También es necesario indicar en el eje el

sentido en que crecen los tiempos con la punta de flecha; y el sentido contrario indicará tiempos

anteriores al considerado como origen de los tiempos y se conocerán como tiempos negativos:

Eje de las coordenadas temporales

Las unidades para esta magnitud podrán ser [t] = s para el S.I. y otras como hora, minutos, años,

etc. Dependiendo del fenómeno a estudiar.

DEFINICIÓN: Intervalo de tiempo transcurrido entre dos instantes se calcula:

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 t (h)

12ttt −=

Instante último menos el

instante inicial

Para representar un instante de tiempo se dibujará un punto en el eje de coordenadas

temporales; mientras que para representar un período de tiempo o intervalo de tiempo

transcurrido entre dos instantes se dibujará un segmento en el eje de las coordenadas

temporales que definiremos como intervalo de tiempo.


73

FUNCIÓN DE MOVIMIENTO Si utilizamos la forma de representar gráficamente el tiempo y la coordenada de

posición del cuerpo que ya conocemos, pero ahora ambas en una misma representación gráfica.

La manera más conveniente es constituyendo un sistema de ejes que forman 90º o ejes

ortogonales. Donde el eje de las coordenadas de posición constituirá el eje de las ordenadas y

el eje de las coordenadas temporales constituirá el eje de las abscisas.

Muchos aspectos cualitativos del movimiento de un cuerpo pueden conocerse mediante la

interpretación de la gráfica en un sistema de coordenadas cartesianas de la función de

movimiento.

Ejemplo: Analicemos la primera gráfica de la Guía 2 correspondiente a la función de movimiento

de una cucaracha que recorre el borde del zócalo. Este es el zócalo de una pared que según la

orientación de la casa coincide con la dirección Norte - Sur. Sabemos que el eje de coordenadas

de posición está ubicado sobre este mismo borde del zócalo, el origen se encuentra en el

escondite de la cucaracha y las x crecen hacia el sur. Teniendo en consideración esto último y la

gráfica siguiente responda:

1) ¿Dónde se encontraba en el instante t =-20s?

2) ¿A partir de este instante t = 15s, la cucaracha se dirige hacia el sur o hacia el norte?

3) ¿Dónde se encontraba en el instante t = 0s?

4) ¿En qué instante de tiempo la coordenada de la cucaracha era x = 1,5m?

5) ¿A partir del instante t = 15s hasta el instante t = 40s, la cucaracha se dirige hacia el sur o hacia

el norte?

6) ¿Dónde se encontraba en los instantes t = 40s, t = 45s, t = 50s, t = 55s y t = 60s?

7) ¿La cucaracha estuvo en movimiento en el intervalo de t = 40s a t = 60s?

8) ¿En qué instante de tiempo la cucaracha se encontraba a 2m del escondite hacia el norte?

9) ¿En qué instantes de tiempo la cucaracha pasó por el escondite?

10)Calcula la distancia total recorrida por la cucaracha desde t = -20s a t = 70s.

-20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 t(s)

x (m)

2

1

Sur

No

rte

Supongamos que quisiéramos representar gráficamente a un automóvil que se encuentra

parado en la ruta Córdoba – Pilar y sus coordenadas con el transcurso del tiempo son las

siguientes:

Para construir la gráfica de la función de movimiento debemos ubicar en el sistema de

ejes los puntos que corresponden en este caso y que se indican en la tabla. En este caso si

nosotros sabemos que el automóvil permaneció en la misma coordenada durante todo el

tiempo que fue observado, esto significa que no sólo los instantes t1 t2 t3 t4 t5 el coche se

encontraba en la coordenada x1 sino que estuvo allí durante todo el intervalo de t1 a t5. En otras

palabras, el automóvil permaneció en la coordenada x1 en cada instante del intervalo t = t1 a t =

t5.

Entonces la gráfica de la función de movimiento que representa al automóvil que permaneció

parado en la ruta de t1 a t5 es:

Tiempo Coordenada

t(h) x(km)

t1 x1

t2 x1

t3 x1

t4 x1

t5 x1

t1 t2 t3 t4 t5 t (h)

X

(km)

X1

t1 t2 t3 t4 t5 t (h)

X(km)

X1


75

Vemos ahora otros ejemplos:

Las gráficas siguientes corresponden a funciones de movimiento de distintos cuerpos:

Analicemos juntos las gráficas y resolvamos:

I)¿Alguno de estos cuerpos está en reposo?

II)Calculemos el intervalo t correspondiente a cada caso, indicado en la gráfica.

III)Calculemos el desplazamientos x ocurridos, en cada caso, en el intervalo de tiempo indicado en la gráfica.

-1 1 2 3 4 5 6 7 8 t(h)

X(km)

1200

1000

800

x

t

x1

x2

t1 t2

-0.5 1 2 3 4 t(s)

X(m)

120

100

80

x t

x2

x1

t1 t2 7.5 15 22.5 30 37.5 45 t(min.)

X(km)

105

90

75

x

t x1

x2

t1 t2

1 2 3 4 t(s)

X(cm)

12

9

x

t

x1

x2

t1 t2

VELOCIDAD MEDIA Existe una magnitud que relaciona tanto el desplazamiento como el intervalo de tiempo

utilizado para este desplazamiento. Conociendo la posición presente y otra un tiempo posterior es posible obtener una magnitud que habl de l rapidez con que se marcha y el sentido del movimiento en este intervalo de tiempo esta magnitud se denimina velocidad media. DEFINICIÓN: La velocidad media es el cociente entre el desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido.

Las unidades de la velocidad media quedan determinadas por las unidades del desplazamiento y las del intervalo de tiempo:

y esta es para el S.I.y otras como

Su signo estará dado por el desplazamiento ya que t corresponde al intervalo trsncurrido y siempre será positivo. Por lo tanto:

Ejercicios: Utilizando los ejemplos vistos anteriormente donde calculamos los desplazamientos y el intervalo de tiempo transcurrido, calculemos ahora la velocidad media para cada caso.

( )( )12

12

tt

xxV

t

xV

−

−=

=

t

xV

=

s

m,...

.min,,,

m

h

millas

s

cm

h

km

Signo de V

V>0 positiva Cuando se mueve hacia las x

crecientes.

V<0 negativa Cuando se mueve en sentido

contrario.


77

VELOCIDAD INSTANTÁNEA Veamos ahora un ejemplo correspondiente a un automóvil que se encuentra en la ruta Córdoba-Pilar y su gráfica de la función de movimiento es la siguiente:

Si calculamos la velocidad media del automóvil entre t = 5min y t = 50min nos queda:

Si calculamos la velocidad media ahora un intervalo más pequeño como por ejemplo entre t = 5min y t = 30min

y si elegimos un intervalo más pequeño como entre t = 5min y t = 10min

min2

min45

90

9020110

min45min5min50

kmV

kmV

t

xV

kmkmkmx

t

=

=

=

=−=

=−=

min2

min25

50

502070

min25min5min30

kmV

kmV

t

xV

kmkmkmx

t

=

=

=

=−=

=−=

5 10 20 30 40 50 60 t(min.)

X(km)

110

100

90

80

70

60

50

40

30

20

10

t

x

y otro más pequeño aún como t = 5min y t = 6min

Como podemos ver cuando la función de movimiento es un función lineal,

indepenmdientemente del intervalo de tiempo que elijamos obtenemos la misma velocidad media (V = cte.) Cuando hacemos cada vez más pequeño el intervalo de tiempo, tan pequeño que es casi un instante de tiempo; la velocidad que queda determinada para este intervalo pequeño

(instante) se denomina Velocidad Instantánea (v). DEFINICIÓN: Cuando la función de movimiento es una función lineal se cumple:

Obtenemos la expresión matemática o función que relaciona las coordenadas de posición del cuerpo con las coordenadas temporales. Donde:

x = Es la coordenada de posición para un tiempo t.

v = Es la velocidad en cada instante de tiempo.

t = Es el tiempo para el cual la coordenada de posición es x.

x0 = Es la coordenada de posición para t = 0.

Entonces

min2

min5

10

102030

min5min5min10

kmV

kmV

t

xV

kmkmkmx

t

=

=

=

=−=

=−=

min2

min1

2

22022

min1min5min6

kmV

kmV

t

xV

kmkmkmx

t

=

=

=

=−=

=−=

V= v =cte.

x

t

x = v.t + x0

t

x

x0

∆𝑥

∆𝑡= 𝑉 = 𝑣 = 𝑐𝑡𝑒


79

MRU Y la gráfica de la función velocidad en el tiempo (v-t) para este caso es:

En nuestro ejemplo la gráfica de (v-t) es:

Ejemplo:

La expresión matemática para la función de movimiento correspondiente a una persona

caminando es la siguiente: , para construir la gráfica de esta seguiremos los

siguientes pasos:

a) Evaluar la expresión para x = 0km, determinando el instante de tiempo para el cual la

coordenada de la persona es 0km.

kmth

kmx 14 +=

ht

t

h

km

km

th

kmkm

th

kmkmkm

kmth

kmkm

kmth

kmx

25.0

4

1

41

410

140

14

−=

=−

=−

=−

+=

+=

DEFINICIÓN DE MRU: Cuando un cuerpo recorre un camino recto a velocidad constante el movimiento se denomina Movimiento Rectilíneo Uniforme.

v

t

v = cte

𝑣 (𝐾𝑚

𝑚𝑖𝑛)

-5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 t ( )

3

2

1

b) Evaluar la expresión para t = 0h, determinando la coordenada de la persona que corresponde

al instante de tiempo 0h:

Como ya sabemos basta conocer dos puntos para poder trazar una recta y nosotros y tenemos:

Ahora grafiquemos en el sistema de ejes la función de movimiento de esta persona caminando:

y la gráfica de la velocidad en función del tiempo:

kmx

kmkmx

kmhh

kmx

kmth

kmx

1

10

104

14

=

+=

+=

+=

htkmx

htkmx

0,1

25,0,0

==

==

-1 -0,25 1 t(h)

x(km)

2

1

(-0,25h;0km)

(0h,1km)

-1 1 2 t(h)

v (km/h)

4

3

2


81

ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN VELOCIDAD EN EL TIEMPO. Si calculamos el área bajo la curva de la velocidad en función del tiempo:

Definición: El Área bajo la curva (v-t) correspondiente a un intervalo

de tiempo t representa el desplazamiento ocurrido en ese intervalo de tiempo.

Ejemplo: Un avión de pasajeros se desplaza en línea recta y sobrevuela de la ciudad A la ciudad

B a velocidad constante v = 550km/h y para ello tarda dos horas y media (2h 30min). Calcule el

desplazamiento ocurrido utilizando la gráfica (v-t).

v

t

v = cte

v

t

Á𝑟𝑒𝑎 = 𝑏 ∙ ℎ

Á𝑟𝑒𝑎 = ∆𝑡 ∙ 𝑣

Á𝑟𝑒𝑎 = ∆𝑡 ∙ 𝑉

Á𝑟𝑒𝑎 = ∆𝑡 ∙∆𝑥

∆𝑡

Á𝑟𝑒𝑎 = ∆𝑥

El área para el

rectángulo bajo

la curva (v-t).

como V= v =cte

v(km/h)

550

0 1 2 3 t(h)

2,5h

MR

UV=CONSTANTE

=V

v

t

v = cte

x= vt+

x0

x

t

x = v.t + x0

t

x

x0

t

Área=

x

V= v=x/t

ACELERACIÓN En general estamos acostumbrados a ver cambiar la velocidad de un movimiento. Por

ejemplo, vemos que cuando un paracaidista salta de un avión cae cada vez con mayor velocidad

hasta que abre el paracaídas. Otro ejemplo es cuando el semáforo se pone en verde y los

automóviles pasan del reposo a un estado de movimiento y al revés cuando el semáforo se pone

en rojo, pasando de un estado de movimiento al reposo. En ambos casos podemos ver como

aumenta y como disminuye la velocidad a medida que transcurre el tiempo, al observar el

velocímetro del auto. También cuando salimos al recreo pasamos de un estado de reposo

(algunos) a uno de movimiento.

La magnitud que nos habla o nos da información acerca de los cambios de la velocidad a medida

que transcurre el tiempo se denomina aceleración.

DEFINICIÓN: La aceleración media de un cuerpo se define como el cociente entre la variación o cambio de la velocidad y el tiempo o intervalo de tiempo que le llevó tal cambio.

𝒂𝒎 =∆𝒗

∆𝒕

𝒂𝒎 =𝒗𝟐−𝒗𝟏

𝒕𝟐 − 𝒕𝟏

[𝒂𝒎] =[∆𝒗]

[∆𝒕]

Unidades según S.I.

𝒂𝒎 =

𝒎

𝒔

𝒔

𝒂𝒎 =𝒎

𝒔𝟐

Otras unidades ...

La aceleración es la medida de cuanto y cuán rápido cambia la velocidad en el tiempo.

El signo de la aceleración media y el de la velocidad son quienes nos indicarán si la velocidad

disminuye o aumenta en el tiempo y el sentido del movimiento.

s

h

km

s

km

h

km,,

22

Signo de am a >0 si v >0, es decir v2 > v1

a <0 si v <0, es decir v2 < v1


83

Signo de v Signo de am Tipo de movimiento

+ +

Aumenta el módulo de la velocidad a medida que se desplaza en el sentido de

las coordenadas x crecientes.

Acelerado

- +

Disminuye el módulo de la velocidad a medida que se desplaza en el sentido

contrario de las coordenadas x crecientes.

Desacelerado

+ -

Disminuye el módulo de la velocidad a medida que se desplaza en el sentido de

las coordenadas x crecientes.

Desacelerado

- -

Aumenta el módulo de la velocidad a medida que se desplaza en el sentido

contrario de las coordenadas x crecientes.

Acelerado

en t1 en t2

v1 v2

x

v2 > v1 a >0 Acelerado

en t2 en t1

v2 v1

x

v2 > v1 a >0 Desacelerado

en t2 en t1

v2 v1

x

v2 < v1 a <0 Acelerado

en t1 en t2

v1 v2

x

v2 < v1 a <0 Desacelerado

ANÁLISIS DE LA GRÁFICA DE LA VELOCIDAD EN FUNCIÓN DEL TIEMPO

Si observamos la siguiente gráfica de la velocidad en función del tiempo y calculamos la aceleración media correspondiente a diferentes intervalos de tiempo elegidos, tenemos: Caso a: Caso b: Caso c: Desde t = 0s a t = 6s Desde t = 0s a t = 4s Desde t = 0s a t = 1s

Análogamente a la gráfica de la función de movimiento para el MRU; ahora la velocidad en

función del tiempo es una función lineal e independiente del intervalo de tiempo que elijamos

la am es siempre la misma, am = constante.

CONCLUSIONES:

• Cuando la velocidad en función del tiempo es una función lineal o recta, independientemente del intervalo de tiempo obtenemos siempre la misma aceleración media.

• Como am = constante, podemos asignar para un instante de tiempo t el mismo valor de aceleración a = am. La aceleración correspondiente a un instante de tiempo se denomina aceleración instantánea (a) y en este caso se cumple: am = a = constante.

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Velo

cid

ad

(m

/s)

Tiempo (s)

2

12

12

4

06

226

s

ma

ss

s

m

s

m

a

tt

vva

m

m

m

=

−

−

=

−

−=

2

12

12

4

04

218

s

ma

ss

s

m

s

m

a

tt

vva

m

m

m

=

−

−

=

−

−=

2

12

12

4

01

26

s

ma

ss

s

m

s

m

a

tt

vva

m

m

m

=

−

−

=

−

−=


85

MRUV • La gráfica de la aceleración en función del tiempo quedará:

Y para nuestro ejemplo la gráfica a-t será:

• La expresión Matemática para la velocidad en función del tiempo:

Donde

t = instante de tiempo para el cual el cuerpo posee una velocidad v.

v = velocidad del cuerpo en el instante t.

v0 = velocidad del cuerpo en el instante t=0

0vtav +=

DEFINICIÓN: Cuando la velocidad en función del tiempo es una función lineal

se cumple que:

constante.

Cuando un cuerpo recorre un camino recto con aceleración constante el

movimiento decimos que se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente

variado, también conocido como MRUV.

== aam

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

-2 0 2 4

Ac

ele

rac

ión

(m/s

2)

Tiempo(s)

t

v

v0

v

v0

t(s)

a(m/s2) a>0

t(s)

a(m/s2)

a<0

a >0

v0 >0

a<0

v0 >0

a = aceleración del cuerpo.

• La expresión matemática para la función de movimiento

Donde

t = instante de tiempo para el cual la coordenada del cuerpo es x.

x = coordenada del cuerpo correspondiente al instante t.

v0 = velocidad del cuerpo en el instante t=0

a = aceleración del cuerpo.

x0 = coordenada del cuerpo correspondiente al intente t=0

Ejemplo: Un cohete posee una aceleración constante de 60m/s2 con una velocidad inicial de 8500m/s.

a) Determine la expresión matemática para la velocidad en función del tiempo b) Grafique la velocidad en función del tiempo del cohete. c) Sabiendo que en el instante t = 0s la coordenada del cohete era x = 0m, determine la

expresión matemática para la función de movimiento del cohete y grafíquela.

Rta a)

b)

c)

00

2

2

1xtvatx ++=

s

mt

s

mv

vatv

8500602

0

+=

+=

x x

t t

a>0

x0 >0

a<0

x0 >0

848085008520854085608580860086208640866086808700

0 1 2 3 4

Velo

cid

ad

(m/s

)

Tiempo(s)

t (s) v(m/s)

0 8500 1 8560 2 8620


87

ANÁLISIS DEL ÁREA BAJO LAS CURVAS a-t Y v-t

AREA= b . h

= t . a

= t.

AREA=v = v-v0

ts

mt

s

mx

mts

mt

s

mx

850030

08500602

1

2

2

2

2

+=

++=

t

v

0

0

2

0

0

2

2

2

.2

.

xxArea

xArea

tvta

Area

tvtat

Area

tvvt

Area

hbhb

Area

−=

=

+

=

+

=

+

=

+=

-500000

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 60 120 180 240

x(m

)

t(s)

t t(s)

a(m/s2)

a

t t

v

v0

v0

v

Caída Libre Uno de los casos más familiares y que podemos considerar de aceleración constante es

la caída de los cuerpos cerca de la superficie terrestre.

Cuando dejamos caer un cuerpo es decir con velocidad inicial cero, este aumenta su

velocidad durante la caída. Este cambio de la velocidad se debe a la aceleración de la gravedad

terrestre y se puede considerar como:

𝑔 = 9,8𝑚

𝑠2

o 980 𝑐𝑚

𝑠2 , en unidades británicas 32 𝑝𝑖𝑒𝑠

𝑠2 y se dirige hacia abajo (hacia el centro de la tierra).

“Se dice que los cuerpos en movimiento sólo bajo la influencia de la gravedad están en caída libre.”

Un cuerpo cae libremente cuando lo hace en el vacío únicamente. En el aire, es éste quien se opone al movimiento de caída del cuerpo. Cuanto influye es un aspecto que dependerá de la forma geométrica del cuerpo y de la velocidad de este. Sin embargo, cuando se trata de cuerpos compactos, lisos y densos, como puede ser una piedra o un proyectil puede

despreciarse el efecto del aire. El valor de la aceleración de la gravedad no es la misma en todos lados, sino que varía de acuerdo con la distancia al centro de la tierra, algunos ejemplos son:

Lugar g(m/s2)

Ecuador 9.779

Córdoba 9,793

Buenos Aires 9.797

Polos Norte y Sur 9.832

Para alturas de hasta 60km sobre el nivel del mar, el valor de g puede considerarse

constante y esto vale para cualquier cuerpo independientemente de la masa de este. El signo de g dependerá de cómo elijamos el eje de coordenadas de posición; si lo elegimos con el sentido de las coordenadas crecientes hacia arriba la aceleración de la gravedad será negativa mientras que si elegimos con el sentido de las coordenadas crecientes hacia abajo la aceleración de la gravedad será positiva:

x g

x

g


89

EXPRESIONES MATEMÁTICAS PARA CAÍDA LIBRE

• Función de Movimiento

a= g

v0= 0 si elegimos

x0= h

si elegimos

• La velocidad en función del tiempo

• La aceleración en función del tiempo

constante constante

00

2

2xtvt

ax ++=

htg

x += 2

2

htg

x +−= 2

2

tgv = tgv −=

== ga =−= ga

x

g h

x

g h

0

x

t

h

x

t

h

v

t

v

t

a

g

a

-g

t

t

Ejemplo de aplicación: El físico Galileo, para demostrar que los cuerpos que se dejan caer desde cierta altura llegaban al mismo tiempo al suelo, eligió la torre de Pisa de uno 98m de altura aproximadamente, sabiendo que a= -g = -9,8 m/s2, que en el instante t =0s se dejan caer dos cuerpos de diferente masa y que la coordenada de posición del suelo es x=0m determine: a) La expresión matemática de la función de

movimiento y grafíquela. b) La expresión matemática de la velocidad

en función del tiempo y grafíquela. c) Grafique la aceleración en función del

tiempo Calcule: d) El tiempo que le llevó llegar al suelo. e) La velocidad con que llega al suelo.

Resolución: Datos: Incógnita: a=-g=-9,8m/s2 x(t) t=0s la x=h=98m v(t) xsuelo=0m a(t) tsuelo=? vsuelo=? a )

mts

mx

htg

x

986,4

2

2

2

2

+−=

+−=

t (s) x(m)

0 98 2 78,4

4,47 0

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5

x(m

)

t(s)


91

b)

c)

d) tsuelo=? xsuelo=0m

ts

mv

tgv

−=

−=

28,9

28,9

s

ma −=

suelo

suelo

suelo

suelo

suelo

ts

ts

t

s

m

m

ts

mm

mts

mm

mts

mx

=

=

−

−

−=−

+−=

+−=

47,4

20

6,4

98

6,498

986,40

982

8,9

2

2

2

2

2

2

2

2

2

t (s) v(m/s)

0 0

1 -9,8

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 0,5 1 1,5

v(m

/s)

t(s)

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

0 2 4 6

a(m

/s2)

t(s)

d) vsuelo=?

Lanzamientos de cuerpos hacia abajo En este caso el cuerpo cae desde cierta altura impulsada con una velocidad

inicial y a partir de entonces esta velocidad aumenta a medida que el cuerpo cae por efecto de la aceleración de la gravedad. X0=h

V0 0 a=g ó –g (dependiendo de cómo hayamos elegido el eje de coordenadas)

Ejemplo de aplicación: Un niño que está sobre un puente tira verticalmente una piedra hacia el río que esta debajo con una velocidad

inicial de . Si la piedra choca con el agua 2s

después, ¿Cuál es la altura del puente sobre el nivel del río? Datos: Inc: v0=-14,7m/s x0=? t=2s x=0m g=-9,8m/s2

s

mv

ss

mv

ts

mv

ts

mv

suelo

suelo

suelosuelo

81,43

47,48,9

8,9

8,9

2

2

2

−=

−=

−=

−=

s

mv 7,140 −=

( )

0

0

0

2

2

0

2

2

49

4,296,190

27,1426,40

7,142

8,9

xm

xmmm

xss

ms

s

mm

xts

mt

s

mx

=

+−−=

+−−=

+−−=

x h

g v0


93

Tiro Vertical Resulta quizás evidente que si el movimiento de caída libre es uniformemente acelerado

el tiro vertical o de subida será uniformemente retardado o desacelerado. Es por ello, cuando lanzamos un cuerpo hacia arriba, su velocidad disminuye

gradualmente hasta anularse alcanzando una cierta altura máxima. A partir de allí comienza a descender con movimiento de caída uniformemente acelerada hasta llegar al suelo.

𝑎(𝑡) = −9,8𝑚

𝑠2

𝑣(𝑡) = −9,8𝑚

𝑠2∙ 𝑡 + 𝑣𝑜

𝑥(𝑡) =1

2∙ (−9,8

𝑚

𝑠2) 𝑡2 + 𝑣𝑜 ∙ 𝑡 + 𝑥𝑜

Ejemplo de aplicación: Un trabajador está en un andamio frente a un anuncio y tira un balde en línea recta hacia arriba desde la parte superior del éste con una velocidad inicial (en t = 0s) de

11,2𝑚

𝑠 (ver gráfico), determine:

a) Hallar las expresiones matemáticas para x(t), v(t), a(t).

b) ¿Cuánto tiempo le toma alcanzar la altura máxima?

c) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza el balde?

Datos: Inc: v0= 11,2m/s x(t) g=-9,8m/s2 v(t) v=0m/s para x= hmax a(t) thmax=? hmax=?

x

0

h

hmax v=0

v0 -g

v0

v=0

-g

-v0

-g

-g

hmax

a)

b) Para calcular thmax sabemos que coincide con el instante de tiempo en el que la velocidad es cero entonces evaluando en la v(t) tenemos:

d) Para calcular la hmax sólo debemos evaluar la x(t) en thmax:

e) Comparemos el tiempo de viaje hacia arriba ta con el tiempo requerido para que el balde regrese al punto de partida (x=0) tb.

f) Comparemos la velocidad inicial del balde con la velocidad al pasar nuevamente por el punto de partida (x=0).

2

2

2

2

2

2

8,9

2,118,9

2,116,4

02,112

8,9

s

ma

s

mt

s

mv

ts

mt

s

mx

mts

mt

s

mx

−=

+−=

+−=

++−=

max

max

2

max

14.1

8,9

2,11

2,118,90

h

h

h

ts

t

s

ms

m

s

mt

s

mv

=

=

−

−

+−==

mh

mmh

ts

mt

s

mh hh

4,6

77,1237,6

2,116,4

max

max

max

2

max2max

=

+−=

+−=


95

Para calcular tb, observemos que cuando el balde regresa al punto de partida original, está en x=0m; entonces:

g) La velocidad del balde cuando regresa:

La velocidad con la que llega a la mano del trabajador es de igual módulo y de sentido opuesto

a la velocidad inicial o de lanzado.

s

mt

s

mm

s

mt

s

mtm

ts

mt

s

mmx

2,116,40

2,116,40

2,116,40

2

2

2

2

+−=

+−=

+−==

b

b

ts

t

s

ms

m

=

=

−

−

29,2

6,4

2,11

2

s

mv

s

ms

s

mv

s

mt

s

mv

2.11

2,1129,28,9

2,118,9

2

2

−=

+−=

+−=

Debemos recordar que tanto la caída libre de cuerpos como el tiro vertical son ejemplos de movimientos rectilíneos uniformemente variados donde la aceleración del cuerpo es la gravedad del lugar, cuyo signo sólo depende del sistema de referencia que se elija.

Situaciones de encuentro y persecución Existen situaciones para las cuales cuerpos diferentes logran tener la misma posición en

el mismo instante de tiempo, esto es lo que se define como encuentro. Así, si tenemos dos

cuerpos A y B que viajan por una misma recta, plantear que ambos cuerpos se encuentren

significa que:

𝑥𝑎(𝑡) = 𝑥𝑏(𝑡)

esta posición y tiempo de encuentro la simbolizaremos 𝑥𝑒 y 𝑡𝑒.

Ejemplo resuelto 1

Dos coches que circulan en la misma ruta en sentidos contrarios con velocidades constantes de

60 y 80 km por hora, respectivamente, se encuentran separados 50 km cuando el reloj marca la

una en punto de la tarde. Calcula a qué hora se cruzarán y qué distancia recorrió cada uno.

SOLUCIÓN

El origen del sistema de referencia se fija en el punto de partida del primer coche, y se toma como

sentido positivo el de avance del primer coche también. Utilizando este sistema de referencia las

posiciones de partida de los dos coches son xA0 = 0 km y xB0 = 50 km, y las velocidades son vA = 60

km/h y vB = - 80 km/h.

Como los movimientos de ambos coches son rectilíneos y uniformes, las posiciones en función

del tiempo son:

𝑥𝐴(𝑡) = 𝑥𝐵(𝑡)

𝑣𝐴 ∙ 𝑡+𝑥𝐴0 = 𝑣𝐵 ∙ 𝑡+𝑥𝐵0

60𝑘𝑚

ℎ∙ 𝑡 + 0𝑘𝑚 = −80

𝑘𝑚

ℎ∙ 𝑡 + 50𝑘𝑚

60𝑘𝑚

ℎ∙ 𝑡 + 80

𝑘𝑚

ℎ∙ 𝑡 = 50𝑘𝑚

140𝑘𝑚

ℎ∙ 𝑡 = 50𝑘𝑚

𝑡 = 50𝑘𝑚:140𝑘𝑚

ℎ

𝑡𝑒 = 0,357ℎ

Es decir, 21 min 25 s. Por tanto, se cruzarán a las 13 h 21 min 25 s.

La coordenada de posición será la misma, pero la distancia que recorre cada uno no

necesariamente.

El vehículo A recorrió:

𝑑𝐴 = |∆𝑥𝐴|

= |𝑥𝐴(𝑡𝑒) − 𝑥𝐴0|

= 60𝑘𝑚

ℎ∙ 𝑡𝑒

= 21,4𝑘𝑚


97

El vehículo B recorrió:

𝑑𝐵 = |∆𝑥𝐵|

= |𝑥𝐵(𝑡𝑒) − 𝑥𝐵0|

= |−80𝑘𝑚

ℎ∙ 𝑡𝑒 + 50𝑘𝑚 − 50𝑘𝑚|

= 28,6𝑘𝑚

Ejemplo resuelto 2

Una liebre corre hacia su madriguera perseguida por un galgo que trata de alcanzarla. El galgo

corre a 40 km/h, mientras que la liebre lo hace a 30 km/h. Sabiendo que la distancia inicial que

los separa es de 200 m y que de la posición inicial de la liebre a la madriguera hay 550 m, calcula

si la liebre conseguirá llegar a su madriguera antes de que el galgo la alcance.

SOLUCIÓN

Las velocidades de la liebre y el galgo en el S.I. de unidades son, respectivamente, 8,33 m/s y

11,11 m/s. Situando el origen del sistema de referencia en la posición inicial del galgo, tomando

como sentido positivo el del movimiento de ambos animales, las ecuaciones de la posición para

cada animal son:

𝑥𝑙𝑖𝑒𝑏𝑟𝑒(𝑡) = 8,33𝑚

𝑠∙ 𝑡 + 200𝑚

𝑥𝑔𝑎𝑙𝑔𝑜(𝑡) = 11,11𝑚

𝑠∙ 𝑡

En el momento en que el galgo alcance a la liebre sus posiciones serán iguales, por lo que:

8,33𝑚

𝑠∙ 𝑡𝑒 + 200𝑚 = 11,11

𝑚

𝑠∙ 𝑡𝑒

200𝑚 = 11,11𝑚

𝑠∙ 𝑡𝑒 − 8,33

𝑚

𝑠∙ 𝑡𝑒

200𝑚 = 2,78𝑚

𝑠∙ 𝑡𝑒

71,94𝑠 = 𝑡𝑒

Y la posición en ese instante será:

𝑥𝑙𝑖𝑒𝑏𝑟𝑒(𝑡𝑒) = 8,33𝑚

𝑠∙ 71,94𝑠 + 200𝑚 = 799,3𝑚

𝑥𝑔𝑎𝑙𝑔𝑜(𝑡𝑒) = 11,11𝑚

𝑠∙ 71,94𝑠 = 799,3𝑚

La liebre, por tanto, se salvará, porque su madriguera está situada a 750 m de la posición inicial

del galgo y este necesita mayor distancia para alcanzarla.

Ejemplo resuelto 3

Un automóvil está parado en un semáforo. Cuando se enciende la luz verde arranca con una aceleración constante a = 2 m/s2. En el momento de arrancar, un camión que se mueve con una velocidad constante de 60 km/h lo adelanta. Calcula: a) ¿Cuánto tiempo pasa hasta que el coche alcanza al camión? b) ¿A qué distancia del semáforo lo alcanza? c) ¿Qué velocidad tiene cada uno en ese instante? 5 SOLUCIÓN Representamos gráficamente la situación justo cuando el camión adelanta al auto (t = 0) en un sistema de referencia (eje X, y elegimos como origen el semáforo).

Indicamos el tipo de movimiento de cada uno y escribe sus ecuaciones de posición y velocidad en

función del tiempo.

• Camión (MRU):

𝑣𝑐(𝑡) = 60𝑘𝑚

ℎ= 16,67

𝑚

𝑠

𝑥𝑐(𝑡) = 16,67𝑚

𝑠∙ 𝑡

• Auto (MRUV):

𝑎𝑎(𝑡) = 2𝑚

𝑠2

𝑣𝑎(𝑡) = 2𝑚

𝑠2 ∙ 𝑡

𝑥𝑎(𝑡) =1

2∙ 2

𝑚

𝑠2 ∙ 𝑡2

Si Imaginamos lo que va a ir ocurriendo y dibujamos en el sistema de referencia el momento en

el que el auto alcanza al camión. Al principio el camión tiene ventaja, pero el auto, poco a poco,

la va reduciendo hasta alcanzarlo.

𝑥𝑎(𝑡𝑒) = 𝑥𝑐(𝑡𝑒)

1𝑚

𝑠2 ∙ 𝑡𝑒2 = 16,67

𝑚

𝑠∙ 𝑡𝑒

1𝑚

𝑠2 ∙ 𝑡𝑒2 − 16,67

𝑚

𝑠∙ 𝑡𝑒 = 0

(1𝑚

𝑠2 ∙ 𝑡𝑒 − 16,67𝑚

𝑠) ∙ 𝑡𝑒 = 0

Soluciones de esta ecuación:

• t = 0

• t − 16,67 = 0 → Rta a) te = 16,67 s


99

¿Por qué hay 2 valores para t? ¿Tienen sentido los dos? Los dos valores de t hallados tienen

sentido, puesto que hay dos instantes de tiempo en los que el auto y el camión se encuentran en

la misma posición:

• El primero es al comenzar, cuando están en el semáforo (t = 0).

• El otro es cuando el coche alcanza al camión (t = 16,67 s), que es el que nos interesa.

Con el tiempo anterior, se puede determinar la posición en la que se encuentran usando

cualquiera de las funciones de movimiento obteniendo:

𝑥𝑐(𝑡𝑒) = 16,67𝑚

𝑠∙ 16,67𝑠 = 277,89𝑚

Rta b) El auto alcanza al camión a 277,89 m del semáforo.

Y la velocidad que tiene cada uno en ese instante es:

𝑣𝑐(𝑡𝑒) = 60𝑘𝑚

ℎ= 16,67

𝑚

𝑠

𝑣𝑎(𝑡𝑒) = 2𝑚

𝑠2 ∙ 16,67𝑠 = 33,34𝑚

𝑠

Rta c) La velocidad del camión siempre es 16,67m/s y la del auto es 33,34m/s

MOVIMIENTOS BIDIMENSIONALES La trayectoria circular

Un móvil puede moverse describiendo cualquier tipo de trayectoria. Por ejemplo, en

una carretera un automóvil puede moverse describiendo una línea recta, pero cuando llega a

una curva pronunciada, generalmente su trayectoria es un arco de circunferencia. Para describir

la distancia, la posición o el desplazamiento en un movimiento rectilíneo, utilizamos como

unidad de medida el metro [m]; en cambio, en la descripción del movimiento circular usamos el

metro como unidad de distancia o arco recorrido, y para determinar la posición y el

desplazamiento utilizamos también una unidad angular, conocida como radián [rad]. Lo anterior

se debe a que en el movimiento circular es fundamental la relación entre los tres elementos que

se muestran en la Figura

el arco recorrido (Δs), el radio de curvatura (r) y el ángulo descrito (Δθ).

La posición de un móvil en movimiento

circular queda definida por el ángulo descrito respecto a un eje de referencia. Este ángulo se mide, según el S.I. en radianes.

Cuando cambia la posición del móvil, decimos que realiza un desplazamiento angular Δθ, desde un ángulo inicial θi hasta un ángulo final θf:

∆휃 = 휃𝑓 − 휃𝑖

Como se muestra en la figura de la derecha, si el objeto en movimiento describe un desplazamiento angular Δθ, expresado en radianes, hay un arco de circunferencia Δs asociado a este desplazamiento. Estos elementos se relacionan a través del radio de curvatura, de la siguiente manera:

∆𝑆

𝑟= ∆휃


101

De esta ecuación se puede despejar el arco de circunferencia, quedando la relación como sigue:

∆𝑠 = ∆휃 ∙ 𝑟

Esta muestra que la distancia recorrida es directamente proporcional al ángulo descrito por el móvil. Si ahora relacionamos el cambio de posición con el intervalo de tiempo (Δt) en que este cambio ocurre, obtenemos la siguiente relación fundamental:

∆𝑆

∆𝑡=

∆휃

∆𝑡∙ 𝑟

𝑉 = 𝜔𝑚 ∙ 𝑟

El primer miembro de esta igualdad es el módulo de la 𝜔𝑚 =∆𝜃

∆𝑡 velocidad angular media y el

segundo miembro es el módulo de la 𝑉 =∆𝑆

∆𝑡 velocidad tangencial media. De esta relación se

puede concluir que son directamente proporcionales entre sí.

La relación que vincula los vectores, velocidad tangencial y velocidad angular es:

�� = �� × 𝑟

Movimiento circular uniforme (M.C.U.) Cuando en el movimiento del móvil los módulos de estas velocidades medias se mantienen

constantes y por ende son iguales a las instantáneas, decimos que se trata de un movimiento

circular uniforme (M.C.U.).

Pero podemos ver que el vector velocidad

cambia su dirección y sentido a lo largo de

su trayectoria por lo tanto debe actuar

alguna aceleración para provocarlo. A esta

aceleración la llamamos aceleración

centrípeta y la podremos calcular como:

𝑎𝑐 =𝑣2

𝑟

O también

𝑎𝑐 = 𝜔2 ∙ 𝑟

El período Cuando un movimiento es repetitivo, es decir emplea un tiempo determinado para

completar una vuelta o ciclo. Este tiempo se denomina período (T) y su unidad de medida es el

segundo [s], en el S.I.

Así, cualquier objeto que se mueva en trayectoria circular realiza una vuelta o una

revolución en un tiempo T. Desde el punto de vista de las unidades angulares, se puede decir

también que, en un período, el móvil describe un ángulo de 360° ó 2π rad.

Por otra parte, si un objeto realiza un movimiento circular uniforme, entonces su

período de revolución es constante, es decir, demora lo mismo en dar cada vuelta.

Una de las características más importantes del movimiento circular uniforme es que el

vector velocidad angular �� es constante. Esto quiere decir que tanto su magnitud o módulo,

como su dirección y sentido permanecen invariantes. En consecuencia, el plano de giro es

siempre el mismo.

|�� | = |∆휃

∆𝑡|

=2𝜋𝑟𝑎𝑑

𝑇

La frecuencia El concepto de frecuencia es una idea muy intuitiva y de sentido común. Por ejemplo,

cuando preguntamos: “¿Con qué frecuencia pasan los trenes?”, una posible respuesta sería: “Pasan 3 trenes cada diez minutos”. Otro ejemplo se da cuando preguntamos: “¿Cuántas veces has ido al estadio este año?”. En este caso, la respuesta puede ser: “4 veces en el año”. En los ejemplos anteriores, se indica una cierta cantidad respecto a un intervalo de tiempo. En casos como estos usamos el concepto de frecuencia.

Para el caso del movimiento circular, no utilizaremos las expresiones comunes como “veces de ida al estadio” o “trenes que pasan por la estación”, sino que prestaremos nuestra atención al número de vueltas o revoluciones que realizan los objetos en movimiento.

La frecuencia se puede obtener de dos maneras: 1) contando el número de vueltas en

un determinado tiempo, ó 2) calculando el recíproco del periodo, ya que en un periodo se

efectúa una vuelta:

𝑓 =𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠

∆𝑡=

1

𝑇

La unidad de medida de la frecuencia en el sistema internacional es el Hertz [Hz], cuyo

significado operacional es el siguiente:1𝐻𝑧 =1𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

1𝑠

En M.C.U. el tiempo que demora en completar un ciclo o revolución

𝑻 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆


103

Ejemplo resuelto

El segundero de un reloj analógico tiene una longitud radial de 20 cm y describe un ángulo de 90° en un tiempo de 15 s.

a) ¿Cuál es la medida del ángulo expresada en radianes?

b) ¿Cuál es el valor del módulo de la velocidad angular media?

c) ¿Cuál es el valor del módulo de la velocidad tangencial media?

a: Una vuelta o revolución corresponde a un ángulo de 360°. Expresado en radianes, este

ángulo corresponde a 2π rad, entonces podemos establecer la siguiente proporción:

2𝜋𝑟𝑎𝑑

360°=

∆휃

90°

∆𝜽 =𝟏

𝟐𝝅𝒓𝒂𝒅

b: Como describe 1

2𝜋𝑟𝑎𝑑 en 15s entonces

𝜔 =∆휃

𝑇

𝜔 =

1

2𝜋𝑟𝑎𝑑

15𝑠

𝝎 = 𝟎, 𝟏𝒓𝒂𝒅

𝒔

c: Siendo ΔS el arco correspondiente a 90° para una circunferencia de r= 20cm = 0,2m 2𝜋𝑟

360°=

∆𝑠

90°

∆𝑠 =1

2𝜋 ∙ 0,2𝑚

∆𝑠 = 0,3𝑚

Podemos expresar el módulo de la velocidad tangencial media como:

𝑉 =∆𝑆

∆𝑡

𝑉 =0,3𝑚

15𝑠

𝑽 = 𝟎, 𝟎𝟐𝒎

𝒔


APLICACIÓN

Cinemática

1) Continuando con el ejemplo de la ruta Córdoba- Pilar:

a) ¿Cuál será la coordenada correspondiente al peaje?

b) ¿Qué coordenada tiene un camión que se encuentra a 56Km del peaje hacia Pilar?

c) ¿Dónde se encuentra un automóvil que posee la siguiente coordenada x = -40Km?

d) Indicar en el eje la coordenada del camión y el automóvil.

2) Conocemos las coordenadas de diferentes automóviles que se encuentran en la ruta

Córdoba–Pilar en dos momentos distintos. ¿Cuál es el desplazamiento correspondiente a los

siguientes casos? Graficar en el eje de coordenadas e indicar que significa el signo.

a) X1= 5km b) X1= -30km c) X1= -15km X2= -11km X2= 10km X2= -25km

d) X1= 40km e) X1= -20km f) X1= 12km

X2= 35km X2= -8km X2= 16km

3) ¿Cuál es el desplazamiento de un colectivo que inicialmente se encontraba sobre la ruta

Córdoba-Pilar a 60km del peaje hacia Pilar y luego se encontraba a 10km del peaje hacia

Córdoba?

a) ¿Qué indica el signo obtenido en el resultado?

b) Grafique en el eje de coordenadas, la coordenada de partida y de llegada del colectivo.

4) Un camión que transporta soja recorre también la ruta Córdoba-Pilar, un hombre lo observa

inicialmente a 12km del peaje hacia Córdoba, luego es visto en el peaje.

a) ¿Cuál es la coordenada del camión cuando es observado inicialmente?

b) ¿Cuál es la coordenada del camión cuando es visto luego?

c) Calcula su desplazamiento y diga hacia dónde se dirige el camión con soja.

5)

a) ¿Cuál es la distancia total b) ¿Cuál es la distancia total recorrida por una hormiga que recorrida por un colectivo que viaja

anda por el cordón de la vereda en la ruta Córdoba- Pilar de la

como muestra la gráfica? de la siguiente manera?

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 X (m.)

X1

-90 –80 –70 -60-50–40–30 –20 –10 0 10 20 30 X (Km.)

X2 X2 X1


105

c)Calcula la distancia total d) En la siguiente gráfica se recorrida por una cucaracha que representa el paseo realizado por transita por un cable como indica Juan en bicicleta. ¿Cuál es la gráfica que sigue ¿Cuál es la distancia total recorrida? distancia total recorrida?

6) Construya una línea de tiempo personal, marque en la gráfica algunos instantes e intervalos

de tiempos trascendentes de su historia personal.

7) Calcule el intervalo de tiempo transcurrido desde que comenzó la escuela (jardín) hasta hoy.

8) Un automóvil viaja por la ruta nacional 35 de Córdoba a La Pampa. El tramo entre Realicó y

Sta. Rosa es recto. De acuerdo con el sistema de coordenadas elegido la coordenada de

Realicó es x=12km y el automóvil pasa por esa coordenada en t = 0h. Teniendo en cuenta

esto y el gráfico responda:

a) ¿En qué intervalos de tiempo el auto se desplaza hacia el norte?

b) ¿En qué intervalos de tiempo el auto se desplaza hacia el sur?

c) ¿En qué intervalos de tiempo el auto no se desplaza?

d) ¿Cuántas veces pasa por Realicó?

e) ¿Cuál es la distancia total recorrida por el auto?

9) Las gráficas siguientes corresponden a funciones de movimiento de distintos cuerpos A, B,

C y D.

a) Determine la velocidad media en los puntos marcados para cada una de las funciones

de movimiento.

b) ¿Alguno de estos cuerpos está en reposo?

X2

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 X (cm.) -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X (Km.)

X1

X1 X2

X2 X2 X1

X1

c) ¿Alguno presenta MRU?

10) Calcule la velocidad media con la que viajas desde tu casa al colegio. Realiza las mediciones

necesarias.

11) Un tren que recorre un camino recto viaja a una velocidad media de V = 80 km/h.

a) Si el tren se ha desplazado 23 Km, ¿cuál es el intervalo de tiempo transcurrido?

b) Si este tren ha viajado durante 45 minutos, ¿cuál es el desplazamiento en este intervalo

de tiempo?

12) Una tortuga posee una velocidad media de 3cm/s, en t1 = 5s su coordenada era x1 = 0 cm.

¿Cuál será la coordenada x2 para t2 = 20s?

13) La velocidad del sonido, 340m/s se toma como unidad de velocidad de los aviones y se llama

“ MACH”. Un avión es supersónico cuando su velocidad es superior a un MACH. Si un avión

vuela a 700 Km/h ¿es supersónico?

14) Dos pueblos que distan 12 km están unidos por una carretera recta. Un ciclista hace el

recorrido todos los días saliendo de su casa a las 6:30 am y viaja con una velocidad constante

de 10 m/s. ¿A qué hora llega?

RTA : 6:50 am

15) Un tren, cuya longitud es de 100 m, y que se desplaza con una velocidad constante de 15 m/s, debe atravesar un túnel de 200 m. de largo. En un instante determinado, el tren está entrando al túnel. ¿Después de cuánto tiempo habrá salido completamente?

RTA : 20 s

16) Luisa sale de su casa y recorre en línea recta los 400 metros que la separan de la panadería a una velocidad constante de 2 m/s . Permanece en la tienda durante 2 minutos y regresa a casa a una velocidad constante de 4 m/s

a) ¿Cuál ha sido el desplazamiento? RTA : 0

b) ¿Qué espacio ha recorrido? RTA : 400 m

c) ¿Cuánto tiempo demoro en total? RTA : 420 s


107

17) Observe la figura de este problema y diga cuál es la velocidad del cuerpo en cada caso.

18) Trace la gráfica de la posición en función del tiempo para el movimiento que se describe enseguida: un automóvil parte del kilómetro cero de una carretera, desarrollando 100 km/h durante 1.0 h; se detiene por completo durante 0.5 h; regresa a 50 km/h durante 1.0 h, y finalmente, vuelve al punto de partida a 50 km/h.

19) El movimiento de un auto en la carretera se representa en la figura de este problema.

Entre las afirmaciones siguientes, relativa al movimiento, señale la equivocada.

a) De t= 0.2 hs. a t= 0.4 hs, el auto permanece parado. b) La distancia total recorrida por el vehículo fue de 8.0 km. c) En el instante t= 0.6 hs., el auto estaba de regreso a la posición inicial d) En el instante t= 0 el automóvil se hallaba en el kilómetro 20 y en el instante t= 0.6 hs,

en el kilómetro –20 e) El auto recorrió 4.0 km en un sentido y 4.0 km en sentido contrario.

20) Marcar la opción correcta. La diferencia entre rapidez media y velocidad media, es:

a) La rapidez media es el módulo del vector velocidad media.

b) La rapidez media es la distancia total de la trayectoria recorrida dividida entre el tiempo transcurrido. La velocidad media es un vector cuyo módulo se obtiene haciendo el cociente entre el módulo del vector desplazamiento y el tiempo empleado.

c) No se hace distinción entre velocidad media y rapidez media

d) La rapidez media tiene los significados dados en (a) y (b).

21) La trayectoria es:

a) Una longitud b) Un vector c) Una recta d) Una línea

22) El desplazamiento es:

a) Una longitud

b) Un vector que une dos posiciones distintas de un móvil.

c) Un vector que une dos posiciones de un móvil.

d) Un vector que une dos posiciones de un móvil, y su módulo es la distancia (medida sobre la trayectoria que siguió el móvil) de las posiciones en cuestión.

e) Un vector que une dos posiciones de un móvil y su módulo es la distancia (medida sobre la línea recta que pasa por las dos posiciones), entre las posiciones en cuestión.

23) En un M.R.U., la función posición es𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 · 𝑡 ; 𝑥0 es:

a) Lugar donde comienza el movimiento

b) Lugar donde está el móvil para 𝑡 = 0.

c) Punto de partida

24) Cuando v =0, esto implica que (Indique la o las correctas):

a) xo = 0

b) El móvil ocupa la misma posición xo.

c) A = 0

25) Un automóvil marcha con velocidad constante de 144 km/h, 10 min al Este, 20 min al Norte y 30 min en una dirección que forma 30º al Sur del Oeste. Determine su velocidad media.

RTA : 40m/s o 144 km/h

26) El cuenta kilómetro de un auto, marca 34315 al salir de una casa, y dos horas después, al regresar, marca 34405. ¿Cuál fue la velocidad media en ese lapso?

RTA : 45 km/h


109

27) Al estudiar el movimiento de un móvil se construyó la siguiente tabla:

t (horas) 0 1 1,5 2 3 5

x (km) 0 15 22,5 30 45 75

a) Represente gráficamente el movimiento

b) Diga si este movimiento que suponemos rectilíneo es o no uniforme.

c) Calcule la velocidad gráfica y analíticamente.

d) Construya la función posición 𝑥 = 𝑥0 + 𝑣 · 𝑡

28) Un avión parte de Mendoza y se dirige a Córdoba, el operador de la torre de vuelo de Córdoba, anota la posición a medida que se acerca y obtiene la siguiente tabla:

t (min) 0 10 15 20

x (km) 600 400 300 200

a) Represente el movimiento con origen de coordenadas en Córdoba

b) Determine donde está el avión en el instante t1=18 m y t2=50 m.

c) Determine en que instante está a la mitad de camino y cuando llega a Córdoba.

29) Un tren de juguete avanza con velocidad constante de 3m/s durante 20s. Después de detenerse en la estación durante 10s, continúa su recorrido 30s más, a una velocidad constante de 2 m/s. Su velocidad media durante todo el recorrido fue de:

a) m/s

b) m/s

c) 3.4 m/s

d) 3.0 m/s

e) m/s

f) 4.0 m/s

30) Dados los siguientes gráficos de movimiento, determinar la velocidad en cada etapa de los mismos y gratificarla en función de t. (El tiempo está en segundos y la distancia en metros)

I II III

31) Dados los siguientes gráficos, determine la distancia total recorrida en cada caso, y grafique distancia en función del tiempo, suponiendo xo= 3m.

32) Un móvil recorre 1/3 de su camino a 50km/h, 2/3 de lo que queda a 100km/h, y el resto a 25km/h. ¿Cuál es su velocidad media?

RTA : 66,6667 km/h

33) Un móvil debe recorrer una distancia de 100 km sobre un camino recto. Los primeros 15 min, se mueve a 10m/s, luego a 15m/s durante 20 min, después a 30 m/s durante 25 min. ¿Qué velocidad deberá llevara en el último tramo, para no tardar más de 2 horas desde que partió?

RTA : 7,777 m/s

34) El Crucero Sol del Atlántico, (Volumen total 4.000m3) hace una vez al mes el recorrido de 6.000 Km entre Miami y Buenos Aires, partiendo el día 5 de a las 12:00 con un máximo de 2.000 pasajeros (peso medio 70Kg c/u) moviendo sus 3.200 T a una velocidad media para todo el tiempo del viaje de 15 Km/h. Sale con todas las provisiones necesarias para completar su recorrido (le agregan 250 T al peso). La primera parada es en Cozumel, México, donde llega 18 horas después de haber partido y se detiene durante doce horas, luego recorre en dos días exactos los 1200 Km que tiene hasta Aruba donde espera un día entero; seguidamente realiza a una media de 20 KM/h los 2600 Km hasta Rio de Janeiro, lugar en el que reposa durante 36 horas para finalmente viajar hasta llegar al destino final. ¿Cuál fue la velocidad media de todo el viaje?

RTA : 15 km/h

35) Realizar los gráficos de velocidad y distancia recorrida en función del tiempo del problema anterior y calcular el área bajo el gráfico 𝑣 = 𝑓(𝑡) y la pendiente del gráfico 𝑒 = 𝑓(𝑡).

36) Un ciclista se mueve con una velocidad constante de 5 m/s. ¿Cuánto tardará en recorrer 10 km, si su trayectoria es recta?

RTA : 2.000 s

37) El tren AV543 recorre la línea entre la cuidad capital y el puerto principal. Este tren, con sus doce vagones y 250 metros de largo, atraviesa un total de 550 Km viajando a 200 km/h, con una sola parada de 30 minutos, en la estación de cruce, distante a 200 Km de la capital. En el trazado, hay un río, cuyo ancho donde se cruza con el camino es de 250 m. ¿Cuánto demora el tren en atravesarlo completamente si lo hace sobre un puente que en total mide 350 metros de largo y 30 de ancho y pasa un mínimo de 80 metros por encima de curso de agua?


111

38) Juan vive en Tinogasta, provincia de Catamarca, y debe llegar a Bs As lo antes posible. Para lograr su cometido debe optar entre las cuatro alternativas de las que dispone. La primera es tomar el ómnibus que parte a las 14:00, va por La Rioja y recorre 1600 Km a un promedio de 80 Km/h a lo que le suma 3 paradas de 30 minutos cada una y 6 paradas de 15 minutos cada una. Su segunda opción es tomar uno directo a Catamarca (parte a las 18:30 y son 3:45 horas de viaje), y desde ahí subirse a uno directo a Bs As (parten desde las 6:00 am cada cuatro horas hasta las 22:00) que demora otras 12 Hs. Otra es subirse en el de las 20:00 que utiliza 8,50 hs con 30 minutos de parada para llegar a Córdoba y de ahí hacer el tramo a Bs As (9 horas más de viaje, saliendo uno cada 60 minutos como máximo). La última opción es tomar el de las 00:00 que es expreso y demora 17 hora en total. A) Cual es el que menos tiempo de viaje tiene?

a) ¿Cuál es su mejor opción?

b) ¿A qué hora llega a Bs. As.?

39) Un tren parte desde Neuquén con destino final Córdoba, haciendo una parada de 45 minutos en la ciudad de Santa Rosa, distante a 600Km del punto de partida y desde donde aún falta un tercio del viaje La primera parte del viaje la hace a una velocidad promedio 100 Km/h y tras la parada aumenta a 120 Km/h hasta llegar a destino.

40) La empresa que edita el periódico de Madrid ha decidido hacer llegar su edición a los lectores de otras ciudades, para ello, ha contratado los servicios de un taxi aéreo, el que todos los días hace el siguiente recorrido:

◦ Sale a las 3:00 am de Madrid

◦ Durante 60 minutos viaja 400 km/h hasta llegar a Valencia.

◦ Se detiene durante 15 minutos

◦ Continua su viaje recorriendo 200 km a la misma velocidad hasta llegar a Barcelona

◦ Se detiene por un cuarto de hora

◦ Vuelve a emprender vuelo y utiliza la hora siguiente para atravesar los 400 km que lo separan de Las Baleares

◦ Utiliza 15 minutos para descargar el resto de los periódicos.

◦ Una vez que termina en Las Baleares comienza a andar los 500 km que tiene en el vuelo de regreso, que le lleva 1,25 h.

Indica:

a) ¿Cuántos Km recorre cada día?

b) ¿A qué hora regresa a Madrid?

41) Representar la función𝑒 = 𝑚𝑚 − 12𝑚

𝑠· 𝑡 , en un gráfico 𝑒 = 𝑓(𝑡). Responder:

a) ¿Cuándo la posición del móvil será nula?

b) ¿Dónde está el móvil para t = -1 s?

c) Resolver analítica y gráficamente

42) Hace ya unos años los fabricantes de automóviles indican, para cada modelo; el tiempo que le lleva alcanzar cierta velocidad partiendo del reposo, por ejemplo, de 0 Km/h a 100 Km/h en 6 segundos. Con estos datos responde: ¿Cuál es la aceleración media del automóvil?

(Calcule ens

h

km

, 2h

km y

2s

m)

43) Un automóvil en el instante t1=16hs tiene una velocidadh

kmv 801 = . El conductor ve al

semáforo ponerse en rojo y aplica los frenos de manera que en t1=16hs 7s el automóvil se detiene. Calcule la aceleración media de frenado.

44) Una bolita se mueve con velocidad 𝑣1 = −5𝑚

𝑠 y 4s más tarde su velocidad es 𝑣2 = −7

𝑚

𝑠

¿Cuál es el valor de la aceleración media que posee la bolita? 45) Una bala de rifle es disparada horizontalmente y la velocidad de salida desde el caño del rifle

es 𝑣0 = 800𝑚

𝑠. Horizontalmente lleva una aceleración media de 𝑎𝑚 = −0,4

𝐾𝑚

𝑠2 y tarda

1,25s en hacer impacto en una pared. Determine la velocidad, en s

m, que tiene al llegar a

la pared. 46) Las gráficas siguientes

corresponden a la velocidad en función del tiempo de distintos cuerpos A, B, C y D en movimiento. a) ¿Alguno de estos

movimientos corresponde a un MRU?

b) ¿Alguno de estos

movimientos

corresponde a un

MRUV?

c) Calcule la aceleración

media correspondiente

a los puntos marcados

para cada una.

47) Un hombre que parte desde la posición 𝑥𝑜 = 0𝑚 con 𝑣0 = −4𝑚

𝑠 es sometido a una

aceleración constante de 𝑎 = 1𝑚

𝑠2. Determine las funciones x(t), v(t) y a(t) y represente

gráficamente. Puede verificar su respuesta visitando el sitio

https://phet.colorado.edu/es_MX/simulation/moving-man (PhET Interactive Simulations,

2019)

https://phet.colorado.edu/es_MX/simulation/moving-man


113

48) En la siguiente gráfica se representa la velocidad en función del tiempo de un objeto que se

desplaza en línea recta.

a) Calcule la aceleración en cada

tramo.

b) Grafique la aceleración en función

del tiempo.

c) Analice la gráfica de la velocidad

en función del tiempo

identificando:

a) Los intervalos donde el módulo de la velocidad aumenta, disminuye o permanece

constante.

b) Teniendo en cuenta el signo de la velocidad, indique si el objeto se mueve hacia las

coordenadas x crecientes o en el sentido contrario.

c) El instante de tiempo en el que cambio de sentido el movimiento del objeto.

49) La función de movimiento de un automóvil que se desplaza en línea recta es:

X =1,2m/s2.t2 +12m/s t + 10m

a) Calcule el valor de la aceleración del automóvil. Grafique la aceleración en función del

tiempo.

b) Determine la expresión matemática de la velocidad en función del tiempo y grafíquela.

c) Calcule el valor del instante de tiempo en el que el automóvil alcanza una velocidad de

v = 108km/h.

50) Determine la expresión matemática de la aceleración en función del tiempo, la velocidad en

función del tiempo y la función de movimiento para los siguientes casos:

a) Una pelota es lanzada hacia arriba en t=0s con una velocidad v = 12m/s desde una altura

de 20m. Calcule el valor del instante de tiempo en el que consigue alcanzar la altura

máxima.

b) Una piedra se deja caer desde una altura de 20m en el instante t=0s. Calcule el valor del

instante de tiempo en el que llega al suelo y la velocidad que posee en dicho instante.

51) Una persona lanza un objeto desde el suelo verticalmente hacia arriba con velocidad inicial

de 20 m/s. Calcula:

a) La altura máxima alcanzada.

b) El tiempo que tarda en caer al suelo desde el instante del lanzamiento.

c) La distancia recorrida en el primer segundo de su movimiento.

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5 6 7

v(m

/s)

t(s)

52) Un motociclista viaja a 30 m/s cuando observa un obstáculo en la vía 24 metros más

adelante. El tiempo de reacción para aplicar los frenos es de 0,2 segundos. La aceleración

que imprimen los frenos a la moto es aproximadamente constante. La magnitud de la

aceleración mínima que deben imprimir los frenos a la moto para que esta se detenga justo

antes de chocar con el obstáculo es:

a) 20 m/s2

b) 25 m/s2

c) 10 m/s2

d) 15 m/s2

Asumiendo que la moto se detiene justo antes de chocar con el obstáculo, la gráfica

Velocidad vs. Tiempo que representa adecuadamente el movimiento de la moto es:

53) La siguiente gráfica representa la V(t) correspondiente al movimiento de un objeto.

I. La gráfica que representa adecuadamente el comportamiento de la aceleración para el

objeto es:


115

II. El desplazamiento en metros durante los primeros 3 segundos es:

a) -22,5

b) 45

c) 0

d) 22,5

54) Los siguientes cuadros muestran información sobre la longitud de pistas de aterrizaje de

diferentes aeropuertos de Colombia y las velocidades de aterrizaje y despegue de diferentes

tipos de aviones:

I. Si se requiere que un Concorde alcance su velocidad de despegue cuando ha recorrido

4/5 de la pista del aeropuerto el Dorado, la aceleración promedio que debe desarrollar

el avión es:

a) 2,06 m/s2

b) 3,30 m/s2

c) 1,65 m/s2

d) 4,05 m/s2

II. El tiempo que tarde en detenerse un Boeing 767 si utiliza toda la longitud de la pista del

aeropuerto Rafael Núñez es:

a) 48 s

b) 96 s

c) 72 s

d) 102 s

55) La siguiente gráfica representa la aceleración de un automóvil registrada durante 10

segundos. La velocidad inicial del automóvil es de 10 m/s.

I. La gráfica que representa correctamente la velocidad del objeto durante los primeros

10 segundos es:


117

II. Transcurridos 5 segundos, la velocidad del auto es:

a) 15,5 m/s

b) 22,5 m/s

c) 20,5 m/s

d) 17,5 m/s

56) En el siguiente diagrama se representan el vector velocidad inicial y aceleración para un

objeto dado. La aceleración es constante.

I. Se le pide a un grupo de estudiantes que prediga el desplazamiento del objeto pasados

6 segundos. Para ellos, los estudiantes toman intervalos de 2 segundos y construyen un

diagrama donde indican la posición del objeto mediante un punto y la velocidad que

este lleva mediante un vector. Cuatro grupos presentan los siguientes resultados para

t= 6 segundos:

El grupo que interpretó adecuadamente la información suministradas fue el número:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) NC

II. Si el objeto continúa moviéndose con dicha aceleración, es posible afirmar que:

i. El objeto se detendrá completamente y se quedará quieto.

ii. Pasado algún tiempo, la magnitud de la velocidad será igual a la magnitud de la

velocidad inicial.

a) i y ii son verdaderas

b) i y ii son falsas

c) i es verdadera y ii es falsa

d) i es falsa y ii es verdadera

57) Un policía realiza ronda de un lado a otro de una cuadra. Inicialmente se encuentra 10

metros al oriente de una cafetería y se mueve hacia el extremo occidental de la cuadra a 30

metros de su ubicación, gastando un tiempo de 30 segundos; una vez allí, se detiene durante

30 segundos para devolverse hasta el extremo oriental de la cuadra que se encuentra 40

metros al oriente de la cafetería, gastando 50 segundos. Tomando como punto de referencia

la cafetería y el vector unitario en dirección oriente:

a) Realiza un dibujo de la situación descrita en el ejemplo. b) Grafica la posición en función del tiempo para el movimiento del policía, asumiendo

que la velocidad es constante en cada recorrido. c) Determina la velocidad media en cada intervalo y realiza la gráfica V – t para el

movimiento del policía.

58) Un niño va desde su casa hasta la tienda para comprar un jabón. El niño camina a una velocidad media de 2 m/s y tarda un minuto y medio realizando dicho recorrido. Luego regresa a su casa empleando un tiempo de 2 minutos. Halla la distancia entre la casa y la tienda y la velocidad media del niño durante el trayecto de vuelta.

59) En un momento dado el coche de unos ladrones pasa junto a un bar de carretera con una

velocidad de 100 km/h. Diez minutos después pasa por el mismo sitio persiguiéndolo un

coche de policía con una velocidad de 120 km/h. ¿Qué tiempo tarda en alcanzar el coche de

policía al de los ladrones? ¿A qué distancia del bar de carretera estarán en ese momento?

60) Un motociclista se encuentra detenido en un semáforo arranca con aceleración constante

de 2,5m/s2. En ese instante es sobrepasado por una camioneta que va a velocidad constante

de 15m/s en su misma dirección y sentido. Suponiendo que ambos continúan sus

movimientos responde:

a) ¿En qué instante de tiempo el motociclista alcanza a la camioneta?

b) ¿A qué distancia del semáforo se produce el encuentro?

c) ¿Qué velocidad posee el motociclista en este instante?


119

61) En un duelo medieval en una película dos caballeros con sus caballos, sus armaduras y sus

espadas, separados entre sí 100 m, parten del reposo y salen uno al encuentro del otro para

luchar. Los dos se mueven con una aceleración constante: el primero, de 2 m/s2, y el

segundo, de 3 m/s2.

a) ¿A qué distancia de donde salió el primero se enzarzarán en la batalla?

b) ¿Cuánto tiempo habrán tardado en alcanzarse?

c) ¿Qué velocidad llevaba cada uno cuando se encontraron los dos actores que hacen el

papel de caballeros?

62) Se deja caer una moneda desde la baranda de un puente que está a 50 m de altura sobre el

río. Un segundo más tarde se lanza una segunda moneda hacia abajo con V = 14 m/s.

a) ¿Cuánto tiempo tarda ésta en alcanzar la primera?

b) ¿A qué altura sobre el agua la alcanza?

c) ¿Con qué velocidad impacta cada una sobre el agua?

63) Visita la página y realiza las actividades y las situaciones problemáticas que se presentan

http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/recursos_digitaltext/dt/f11e.html

64) Dos móviles distan uno del otro 100 km. Ambos se mueven en direcciones opuestas, con

velocidades de 30m/s y 20m/s, respectivamente. ¿Dónde se encontrarán y en qué tiempo?

Resolver gráfica y analíticamente.

65) Dos móviles están en los extremos de un segmento 𝑎𝑏 = 1𝑘𝑚 . El móvil que está en a, tarda

en llegar a b, 5 min; y el móvil que está en b, tarda 10 min en llegar a a. ¿Dónde se

encuentran los dos móviles?

66) De un aeropuerto sale un avión de una ciudad A, hacia otra ciudad B, a las 15 h con una

velocidad de 240 km/h. A las 17 h, sale otro avión de B hacia A, con una velocidad de 120

km/h. La distancia AB es de 400 km. ¿Dónde se encuentran ambos aviones?

67) Con el enunciado del problema anterior, con la diferencia de que el avión que parte de B, lo hace a las 16 h; Calcular la posición del encuentro.

68) Dos móviles A y B, están situados inicialmente a 30 m de distancia. ¿Cuánto tiempo tardará el móvil A en alcanzar a B, si parten ambos simultáneamente, con velocidades de 10m/s y 5m/s, respectivamente y en la misma dirección?

69) El mismo problema anterior, sólo que B parte 3s antes que A.

70) Desde A hacia B parte un móvil con velocidad de 5 m/s, simultáneamente desde B hacia A parte otro móvil a una velocidad de 3 m/s. ¿A qué distancia y tiempo se encuentran, si la distancia entre A y B son 50 m?

http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/gallery/recursos_digitaltext/dt/f11e.html

71) Para el problema anterior, si el día 3 de junio a las 14:00 de Barcelona, sale un barco en sentido opuesto, pero viajando al doble de velocidad.

a) ¿A qué hora (de Bs As) se encuentran?

b) ¿A qué distancia de Barcelona se encuentran?

72) Dados tres móviles A, B y C, con la siguiente información:

Distancias

Velocidades

Se pide

a) Tiempo y lugar de encuentro de A con C

b) Tiempo y lugar de encuentro de B con C

c) Tiempo y lugar de encuentro de A con B

73) Dos móviles parten simultáneamente hacia Río IV, uno desde Córdoba y otro desde San Agustín; el primero lleva una velocidad de 100 km/h de promedio y el segundo a 75 km/h. Si la distancia de Córdoba a San Agustín es de 50 km y de Córdoba a Río IV es de 250 km. ¿Quién llega primero?, ¿Dónde y cuándo alcanza al segundo auto el primero? (Resolver gráfica y analíticamente)

74) Dos Carreteras rectilíneas se cortan en ángulo recto. Dos autos A y B, parten simultáneamente de ese punto de encuentro, cada uno en una carretera y avanzan a velocidades constantes Va= 20m/s Vb= 15m/s. ¿Después de cuánto tiempo la distancia este los dos móviles será igual a 250m?

75) Dos móviles A y B, se cruzan en un punto, uno va a 8 m/s y el otro en dirección opuesta, a 10m/s. Calcular cuánto tardarán en estar separados 72 m?

76) En el problema anterior, ¿Cuál es la velocidad relativa de A con respecto a B, y de B respecto a A?

=

=

=

A hacia dirigido ,s

50

A que sentido igual s

50

s 100

mV

mV

mV

A

B

A

=

=

=

mAC

mBC

mAB

150

100

50


121

I II III

77) Hacer a mano alzada los gráficos 𝑣 = 𝑓(𝑡)

78) Un viajante inicia la jornada laboral saliendo en su auto a las 6:00. Durante 2h viaja a una velocidad constante de 80 km/h, se detiene durante 45 min. a desayunar, luego retoma el viaje recorriendo 200 km a la misma velocidad que antes, tras lo cual vuelve a detenerse 0,25 h. a cargar combustible para finalmente hace el recorrido faltante del viaje (otros 240 km) en 2 h.

a) ¿Cuántas horas ha empleado en total en el viaje?

b) ¿A qué hora llega a destino?

c) ¿Cuántos Kilómetros ha recorrido en total?

79) Dos atletas inician en simultaneo una carrera sobre un mismo circuito. El primero parte 1 Km delante del segundo a una velocidad de 10 km/h. 2 horas más tarde el otro lo alcanza.

a) ¿Qué distancia recorre el primero antes que lo alcancen?

b) ¿Qué distancia recorre el segundo antes de alcanzar al primero?

c) ¿A qué velocidad viaja el segundo?

80) Dos camiones parten en simultaneo desde Río Cuarto, el primero hacia Córdoba a 80 km/h y el segundo hacia Bs As a 70km/h. Ambos están equipados con radios que tiene un alcance de 100 Km. Sabiendo que las rutas a la altura de Río Cuarto y durante los primeros 100 Km después de salir de allí, son perpendiculares entre sí.

a) ¿Durante cuánto tiempo se mantienen en contacto por radio?

b) ¿A cuántos Km de Río Cuarto está el primer camión (el que va a Córdoba) cuando pierden contacto por radio?

81) El día 28 de mayo a las 10:00 pm parte desde Buenos Aires hacia Barcelona un crucero viajando a una velocidad media de 40 km/h. Sabiendo que hay cinco horas de diferencia entre ellas y que la distancia que recorre el barco entre ambos puntos es de 10.000 km.

a) ¿Cuántas horas demora en completar el recorrido?

b) ¿Cuántos días y cuantas horas demora en completar el recorrido?

c) ¿Qué día y a qué hora de Bs As llega el barco?

d) ¿Qué día y a qué hora de Barcelona llega el barco?

82) Para que un movimiento sea circular, se cumple que:

a) La trayectoria sea una circunferencia.

b) Es constante

c) Vt es constante

d) Actúa una aceleración

83) ¿Puede existir un movimiento circular, si ac = 02s

m? - Fundamente

84) Una polea A, en rotación tiene 10 cm de radio y un punto de su periferia tiene una velocidad

lineal de 50 cm/s. Otra polea, B, de 25 cm de radio, gira de modo que un punto de su periferia tiene una velocidad lineal de 75 cm/s a) Calcule la velocidad angular de cada polea. b) ¿Cuál de las dos poleas gira más rápidamente?

85) Una piedra atada a una cuerda posee un movimiento circular uniforme de periodo T= 0.20s

y su radio R= 10 cm. Calcule para tal piedra:

a) La velocidad angular, en rad/s. b) La velocidad lineal, en m/s. c) La aceleración centrípeta, en m/s2.

86) Un automóvil tiene una velocidad de 72 km/h, y toma una curva de 18 m de radio. Calcular:

a) Velocidad tangencial b) Velocidad angular c) Período d) Frecuencia e) Ángulo girado, si sale de la curva a los tres segundos. f) Longitud de la curva g) Aceleración centrípeta

87) Dos autos, A y B, van por una misma curva circular de una carretera, desarrollando ambos

40 km/h.

a) El conductor del auto A aumenta la velocidad a 80 km/h. ¿La aceleración centrípeta del auto se volverá mayor o menor? ¿Cuántas veces?

b) El auto B, manteniendo su velocidad, entra en una curva más cerrada y de radio 2 veces menor. ¿Su aceleración centrípeta se vuelve mayor o menor? ¿Cuántas veces?

88) El segundero de un reloj tiene 2 cm de longitud. Determine, para un punto en el extremo

libre de la manecilla:

a) El periodo de rotación. b) La velocidad angular. c) La velocidad lineal. d) La aceleración centrípeta. e) La aceleración tangencial.


123

89) Considere las ruedas dentadas A y B, de la transmisión de una bicicleta. Como se sabe, el engrane B está unido a la rueda trasera C, y gira junto con ella cuando el ciclista pedalea. Suponiendo que lo anterior está ocurriendo, diga si:

a) La velocidad lineal de un punto en la periferia de A, es mayor, menor o igual que la de un punto en la periferia de B.

b) La velocidad angular de A es mayor, menor o igual que la velocidad angular en B. c) La velocidad angular de B es mayor, menor o igual que la velocidad angular de C. d) La velocidad lineal de un punto en la periferia de B, es mayor, menor o igual que la de un

punto en la periferia de C.

90) El plato de un tocadiscos gira a 45 rpm.

a) Calcular la velocidad angular ω b) Ángulo girado en 20 s expresado en radianes y en vueltas giradas. c) Aceleración centrípeta de un punto situado en la periferia. Suponer 20 cm de radio. d) Velocidad tangencial de un punto situado a 20 cm de distancia del eje. e) Velocidad tangencial de un punto situado a 10 cm del eje. f) Relación entre ambas velocidades.

91) Dos poleas, de radio R1=10 cm y R2= 30cm, están acopladas por una banda de transmisión

no extensible como muestra la figura de este problema.

a) Suponiendo que la banda no se deslice sobre las poleas, ¿cree usted que la velocidad lineal v1, de un punto en la periferia de la polea R1, es mayor, menor o igual a la velocidad v2, de un punto en la periferia de la polea R2?

b) Si se sabe que la polea R1 gira con una frecuencia f1= 60 rpm, determine la frecuencia f2 de la polea R2.

92) Imagine a dos personas A y B situadas sobre la

superficie de la tierra, estando A en el ecuador y B en un paralelo del hemisferio norte y en el mismo meridiano. Usted sabe que estas personas girarán junto con la Tierra en su movimiento de rotación. Diga, de entre las siguientes afirmaciones relacionadas con el movimiento de rotación de A y B, cuales son correctas y cuales están equivocadas.

a) El periodo de rotación de A es mayor que el de B. b) La velocidad angular de A es igual que la de B. c) El radio de trayectoria de Aes igual a radio de

trayectoria de B. d) La velocidad lineal de A es mayor que la de B. e) La aceleración centrípeta de A es menor que la de B.

93) Un auto se encuentra en movimiento circular uniforme en la pista horizontal que se representa en la figura de este ejercicio. El sentido del movimiento es de A hacia B. Suponga que la pista tiene un radio R= 100 m, y que el auto le da 2 vueltas en cada minuto.

a) ¿Cuál es, en segundos, el periodo del movimiento del auto?

b) ¿Cuál es la distancia que recorre en cada revolución? c) ¿Cuál es, en hertz, la frecuencia de este movimiento? d) ¿Qué valor tiene la velocidad lineal del vehículo? e) ¿Qué expresión nos permite calcular la aceleración

centrípeta? Úsela para calcular el valor de ac, del automóvil.

f) Calcular la velocidad angular del vehículo (rad/s y grados/s).

94) Se mide el tiempo que tarda una plataforma giratoria en dar una vuelta y resulta ser de 5 s. ¿Cuál es su velocidad angular y su frecuencia?

95) Un proyectil disparado en forma paralela al eje de un cilindro hueco atraviesa las tapas del mismo, formado entre el punto de entrada y el de salida un ángulo que equivale a 2,77 vueltas, sabiendo que el cilindro mide 5 metros de altura, que las perforaciones que realiza el proyectil se encuentran a 400 mm del eje central del cilindro, que el radio del cilindro mide 60 cm y que el proyectil viaja a 3 m/s. Calcular:

a) 𝜔 del Cilindro. b) Vt de la perforación inicial. c) ac del Cilindro. d) La longitud del arco que recorre la perforación de entrada.

96) En un MCU, deducir la ac en función de la frecuencia.

97) Un automóvil cuyas ruedas tienen un radio de 30 cm, marcha a 36 km/h. Calcular ω de las ruedas, ac de un punto situado en la periferia de las gomas. Distancia recorrida por el automóvil en 10 s.

98) En los trenes de engranajes de la figura, la primera rueda gira siempre a 100 rpm Determinar en cada caso la velocidad angular y tangencial de la última rueda. Generalizar los resultados y analizar los sentidos de giro.

R1= 40

cm

R2= 80

cm

R3=40

cm

R1=10c

m R3=20c

m

R2=50c

m R4=30c

m


125

99) Sabiendo que la tierra tarda 86.400 s en dar una vuelta completa alrededor de su eje y que su radio mide 6.370 km; Calcular la velocidad tangencial de un punto situado en el ecuador.

100) Igual que el ejercicio anterior, suponiendo que el punto está situado a la latitud de 48° 24’. ¿Cuál sería su velocidad si estuviera en uno de los polos?

101) En un reloj de pared a cuerda, el minutero y el horario están superpuestos a las 12 h. ¿A qué hora se encontrarán en ángulo recto? ¿A qué hora se encontrarán con 180° de diferencias?

102) Sabiendo que la tierra en el ecuador tiene un perímetro de 45.000 Km y suponiendo que fuera una esfera perfecta, calcular cuánto (valor) y como (aumenta o disminuye) varían W y Vt de un cuerpo al pasar de un punto sobre el ecuador a un punto situado en:

a) Una ciudad a 45° sur. b) Una ciudad a 45° norte. c) El polo sur.

103) Un proyectil disparado en forma perpendicular al eje de un cilindro lo atraviesa, perforándolo por un solo lugar (utiliza la misma perforación para entrar y salir), en ese tiempo el cilindro completa media vuelta. Sabiendo que el cilindro tiene un radio de 80 cm y gira a 14 Hz

a) ¿Cuánto tiempo demora el proyectil en atravesar el cilindro? b) ¿A qué velocidad viaja el proyectil? c) ¿Cuál es la W del cilindro? d) ¿Cuál es la Vt del cilindro? e) ¿Cuál es la aceleración centrípeta del cilindro?

¿Qué es una fuerza? Cada día vemos y tocamos

multitud de objetos. Los vemos situados en un lugar concreto, los tomamos para utilizarlos, los

movemos, etc. Lo cual implica un contacto de los objetos entre sí o con nosotros, que provoca

su movimiento o bien simplemente el reposo.

Las acciones que actúan sobre los cuerpos y que provocan su movimiento o reposo se llaman

fuerzas.

Las acciones, sin embargo, también pueden ser

ejercidas a distancia, sin que haya contacto físico entre

dos cuerpos. Éste es el caso de las fuerzas entre cargas

eléctricas o entre imanes.

Las fuerzas son magnitudes vectoriales, ya que

no basta con definir el valor con un número y las

unidades correspondientes. Así, vemos que una misma

fuerza, según cómo se aplique, puede provocar efectos

muy diferentes. En la figura 6 se muestra una fuerza que

actúa sobre una mesa.

En el primer caso puede provocarle un

movimiento hacia la derecha; en el segundo, hacia la

izquierda; en el tercero puede, incluso, llegar a

levantarla, si es mayor que el peso de la mesa.

• En el caso de la fuerza aplicada en el ejemplo de

la mesa, la dirección sería la línea horizontal en

los dos primeros casos, y la línea vertical en el

tercero.

• En el primer caso el sentido es hacia la derecha;

en el segundo hacia la izquierda; en el tercero hacia arriba.

• El punto de aplicación sería en la mesa, en la arista o debajo, etcétera.

Ten presente que...

• Actualmente, las fuerzas o interacciones se clasifican en cuatro grupos: las interacciones nucleares fuertes son responsables de la estabilidad del núcleo atómico; las interacciones nucleares débiles, responsables de ciertos procesos radiactivos; las interacciones electromagnéticas, de unir átomos y moléculas para formar la materia; y las interacciones gravitacionales, que son responsables de la atracción gravitacional entre planetas, estrellas y galaxias.

CAPÍTULO 4: FUERZA Y EQUILIBRIO

Figura 6


127

Actividad Practica de Laboratorio: MIDIENDO FUERZAS

¿Es posible medir una fuerza utilizando materiales elásticos? Como seguramente sabes, el concepto de fuerza tiene muchas manifestaciones en la naturaleza, pero ¿cómo podríamos medirlas?, es decir, asignar un valor numérico que guarde relación con la magnitud de fuerza que se quiere medir. Formen grupos de tres o cuatro integrantes y planteen una posible respuesta a la pregunta inicial. A continuación, les proponemos la siguiente experiencia: Materiales • Elásticos. • 2 Resortes. • 5 Objetos de masa distinta.

• Regla

• Hoja cuadriculada o milimetrada

• Soporte universal con nuez

Procedimiento A 1. Fijen uno de los extremos del elástico y sobre el extremo libre apliquen fuerzas de distinta intensidad. 2. Repitan el procedimiento con el resorte. 3. Ahora sostengan uno de los extremos del elástico y en el extremo libre cuelguen las masas distintas. 4. Repitan el procedimiento con el resorte. Análisis (Responda en su carpeta) a. ¿Qué sucede con la elongación del elástico o resorte al aplicar sobre él una fuerza? b. ¿Qué relación pueden establecer entre la variable fuerza y la variable elongación? c. ¿Qué propiedad física posee el elástico o el resorte que les permite bajo la acción de una fuerza cambiar de forma y, en ausencia de esta, recuperar su forma original? d. ¿Qué fuerza es la que actúa cuando la masa se suspende del elástico y/o del resorte? e. ¿Se podría asignar un valor numérico que relacionara fuerza y elongación? f. Con todos los antecedentes que tienen ahora, ¿es posible medir la fuerza utilizando materiales

elásticos?

Procedimiento B

1. Usando la regla midan la longitud del resorte y registren su valor.

2. Cuelguen el resorte de un extremo a un soporte universal o al borde de una mesa.

3. Sobre el extremo libre del resorte cuelguen cada una de las masas.

4. Midan con la regla la longitud del resorte para cada una de las masas y registren los valores.

5. Repitan el procedimiento para el segundo resorte.

6. Copien en su hoja la siguiente tabla, registren en ella los valores obtenidos. (X0 es la longitud

original del resorte y Xi es la longitud total del resorte sometido a cada una de las masas).

7. Copien y completen la misma tabla, pero ahora con los datos obtenidos del segundo resorte.

8. Realicen un gráfico para cada uno de los resortes, de la masa vs. la elongación.

Análisis (Responda en su carpeta)

a. ¿Observaron diferencias entre los resortes? y de ser así, ¿a qué creen que se deben?

b. ¿Qué fuerza se relaciona a cada una de las masas suspendidas?

c. ¿Qué tipo de gráfico resultó el de la masa vs. la elongación?

d. ¿Son similares los dos gráficos?

e. ¿Qué diferencias encuentran entre ellos?

f. De haber diferencia, ¿a qué creen que se deba?

g. ¿Cómo es la relación entre fuerza y la elongación?

Fuerzas restauradoras- Fuerza elástica En la experiencia anterior pudimos observar que es posible medir la fuerza utilizando materiales con características elásticas. Al aplicar una fuerza externa sobre un material elástico, este opone una fuerza igual y contraria al sentido de la deformación. A esta fuerza contraria y que depende de la elasticidad del material la llamaremos fuerza restauradora o fuerza elástica, ya que tiende a restaurar la forma del objeto o material deformado.

Ten presente que…

• Recuerda que la fuerza es una magnitud vectorial, esto significa que no solo importa su valor numérico, sino que también la dirección y el sentido en la que actúa dicha fuerza. La fuerza en el SI se mide en N (newton).

¿Qué características tienen los materiales elásticos? Todo material elástico al ser sometido a una fuerza externa tiene la propiedad macroscópica de cambiar su forma y en ausencia de dicha fuerza puede volver a su forma original. ¿Qué ocurre microscópicamente en un material elástico? Un material se considera microscópicamente elástico si entre sus moléculas existe un mayor número de enlaces, esto le permite al material tener la propiedad de recuperar su forma gracias a la fuerza provista por el número de enlaces.


129

Esta fuerza entre las moléculas también es una fuerza restauradora. Una forma de representar los enlaces entre moléculas de un material elástico es a través de resortes, ya que ellos tienen la propiedad de estirarse en presencia de una fuerza externa y de recuperar su forma en ausencia de ella. Existen materiales, como los metales, cuya propiedad elástica es muy baja, pero, que al variar su geometría pueden adquirir propiedades elásticas. Si un filamento metálico se enrolla en forma de espiral (resorte), se consigue que adquiera propiedades macroscópicamente elásticas. Esta propiedad elástica que tienen los resortes se manifiesta bajo la acción de fuerzas cuya dirección es opuesta al sentido de la elongación. Existen resortes de: a. tracción: la fuerza restauradora se manifiesta al aumentar el tamaño del resorte. b. compresión: la fuerza restauradora se manifiesta al disminuir el tamaño del resorte.

En la investigación anterior observamos que la fuerza que actúa

sobre un resorte es directamente proporcional a la elongación que

produce para un mismo material. El físico Inglés Robert Hooke (1635-1703), publicó en 1678 un

estudio en el que llegó a una conclusión muy similar a la que obtuvimos en nuestra investigación

científica, Hooke no solo concluyó que la fuerza aplicada sobre el resorte era directamente

proporcional a la elongación, sino que modeló matemáticamente esta situación. Para alargar o

comprimir un resorte una cierta longitud x, desde su largo original, es necesario que la mano

(ver dibujo) aplique una fuerza FM sobre el resorte.

Como esta fuerza es directamente proporcional a la longitud x, ella se puede expresar:

FM = k • x Donde k es la constante de proporcionalidad y físicamente representa la constante de elasticidad del resorte y en el SI se mide en N/m. El resorte, a su vez, ejerce una fuerza restauradora FR para regresar a su largo original, fuerza ejercida en dirección opuesta al desplazamiento x, y que se expresa como:

FR = -k • x El signo menos de FR indica que es opuesta a FM, esta ecuación es conocida como la ley de Hooke. Es importante señalar que esta ley se cumple para elongaciones dentro del límite de elasticidad del resorte. Para fuerzas muy grandes que se aplican sobre un resorte, este pierde la propiedad de recuperar su forma original; en tal caso, la relación deja de ser directamente proporcional.

Ley de Hooke

Aplicaciones de la ley de Hooke

Los dinamómetros son instrumentos para medir fuerza y cuya construcción se fundamenta en la ley de Hooke. Al estar construido en base a un resorte, ya sea de compresión o expansión, la elongación del resorte se relaciona directamente con la fuerza que se quiere medir.

Otras aplicaciones indirectas de la ley de Hooke pueden ser observadas en todos los mecanismos que poseen resortes; como relojes analógicos, ellos poseen generalmente resortes de torsión, los que tienen forma de espiral, pero cumplen de igual forma con la ley de Hooke. En la suspensión de los automóviles se utilizan resortes de compresión los que tienen una constante elástica muy alta haciendo también que el valor de la fuerza restauradora sea grande ya que esta se opone al peso del automóvil.

Actividad: OBSERVANDO LOS EFECTOS QUE PRODUCE LA APLICACIÓN DE LAS FUERZAS A continuación, te proponemos tres sencillas experiencias para las que necesitas los siguientes materiales: una pelota de goma, un elástico, un trozo de plastilina, una lata de conserva y dos imanes. 1. Trata de estirar y apretar diversos objetos, como una pelota de goma, un elástico, un trozo de plastilina. • ¿Qué observas? • ¿Qué efectos producen dichas fuerzas sobre los objetos?

Ten presente que…

• En Física no todos los modelos que representan algún fenómeno adquieren la categoría de ley. Un modelo es una ley cuando es capaz de describir cualitativamente, y a través de la relación entre variables, un fenómeno de la naturaleza. El modelo es una representación aproximada de la ley. Así por ejemplo, el modelo matemático que representa la ley de Hooke es válido solo en el rango de elasticidad del material. Una teoría, en cambio, relaciona varias leyes y/o principios, con la finalidad de explicar un conjunto de fenómenos observables.


131

2. Desliza una lata de conserva en posición vertical a lo largo de una mesa. Luego, deslízala haciéndola rodar. Trata de emplear la misma fuerza que en el caso anterior. • ¿En qué caso es más fácil mover la lata? • ¿Qué cuerpos ejercen fuerza sobre la lata durante su movimiento? Analízalo para cada caso. 3. Coloca un imán sobre una superficie lisa y aproxima a él otro imán, ¿qué ocurre? Gira uno de ellos de modo de acercar ahora el otro polo, ¿qué sucede ahora? Explica tus observaciones. Cuando una fuerza actúa sobre un objeto puede producir distintos efectos: el movimiento acelerado de un cuerpo, como la fuerza del motor de un vehículo para moverlo desde el reposo y aumentar su velocidad; la deformación temporal de sólidos elásticos, como al apretar un globo o un resorte, o la deformación definitiva de un cuerpo, como al modelar un trozo de arcilla o de plastilina. Sobre los cuerpos en la naturaleza están actuando muchas fuerzas simultáneamente.

INDAGACIÓN: FUERZAS

¿Qué origina los cambios en el movimiento de los cuerpos? Hasta el momento hemos descrito el movimiento de los cuerpos, en particular el MRU y el MRUV. En dichos movimientos hemos observado que se producen ciertos cambios, como lo es, por ejemplo, el cambio producido en la velocidad a lo largo del tiempo. ¿Qué hace que un cuerpo se ponga en movimiento?, ¿qué produce que un cuerpo que viaja con cierta dirección de improviso la cambie? Formen grupos de tres o cuatro integrantes y discutan respecto de las preguntas que se les plantean. Formulen una hipótesis que responda la pregunta inicial. Materiales: • Un autito. • Varios objetos (al menos tres) de distinta masa (puede ser una goma, un lápiz, un corrector, un estuche, etc.) • Cronómetro.

• Hilo

Figura A

La suma de todas las fuerzas que se ejercen sobre un

cuerpo recibe el nombre de fuerza neta o fuerza

resultante, y corresponde a una única fuerza equivalente

a todas las demás.

Procedimiento 1 A continuación, realicen el siguiente procedimiento: 1. Clasifiquen los objetos de menor a mayor masa y enumérenlos. 2. Amarren un extremo del hilo en la parte delantera del autito y el otro extremo, al objeto Nº 1 (masa 1). 3. Pongan el autito sobre una mesa o superficie que se encuentre a cierta altura. 4. Suelten la masa de modo que el auto se ponga en movimiento (ver figura A). 5. Midan y registren el tiempo que tarda en caer. 6. Repitan el procedimiento con cada una de las masas, registrando cada vez sus observaciones. Procedimiento 2 Ahora, realicen el siguiente procedimiento: 1. Aten un extremo del hilo alrededor del autito y el otro extremo en la pata de una mesa o silla (ver figura B). 2. Empuje el autito, para que se mueva de manera que el hilo se mantenga estirado. 3. Registren sus observaciones. Respondan las siguientes preguntas: Respecto del procedimiento 1, respondan: a. ¿El movimiento del auto lo clasificarías como MRU o como un MRUV? b. Al colgar distintas masas al autito, ¿cómo fue el movimiento de él con cada una de ellas? Expliquen. c. De haber aceleración, ¿cómo crees que se podría relacionar con la masa suspendida? Respecto del procedimiento 2, respondan: d. ¿Cuál crees que es la razón de que el autito cambie su dirección? e. ¿Crees que el auto aceleraba en cada uno de los casos? Respecto de los dos procedimientos, respondan: f. ¿La misma razón determina que el autito se ponga en movimiento o cambie su dirección? g. ¿Verificaron la hipótesis planteada al empezar? Las fuerzas modifican el estado de movimiento De la experiencia cotidiana podemos inferir que debe existir un factor responsable en el cambio del estado de movimiento de los cuerpos. Este factor corresponde a fuerzas y muchos de los cambios que observamos a nuestro alrededor son el resultado de la acción de fuerzas. Por ello la Física, específicamente la dinámica es la rama que se encarga de estudiar las causas que provocan cambios en el estado de reposo o movimiento de un cuerpo. Por ejemplo, las fuerzas son responsables del movimiento del agua en los ríos, del desplazamiento de las nubes, de la caída de las hojas, del desplazamiento de los animales, etc. En el interior de nuestro cuerpo también actúan fuerzas, por ejemplo, para transportar la sangre por el sistema circulatorio y para mantener cada órgano en su ubicación, para sostener nuestra postura y para desplazarnos.

Las fuerzas son responsables de que los cuerpos se mantengan quietos o en reposo. En Física, la dinámica consiste en el análisis de la relación entre las fuerzas y los cambios que ellas producen en los movimientos.

Figura B


133

MOMENTO DE UNA FUERZA Comentamos anteriormente que el efecto que una fuerza produce a un cuerpo es

cambiar su estado de movimiento y/o deformarlo, pero además esta es capaz de producir un efecto de rotación, cuando este puede rotar alrededor de un cierto punto. Se denomina momento de una fuerza, o torque, a la magnitud vectorial que es una medida de la capacidad de rotación que dicha fuerza produce en un cuerpo, cuando este puede rotar alrededor de un punto que se considera fijo. En fórmulas, es el producto vectorial entre el vector posición del punto de aplicación de la fuerza y la fuerza:

FrM

=

M

=Momento de fuerza

r

= vector posición del punto de aplicación de la fuerza (recuerda que un vector posición siempre esta medido desde un sistema de referencia)

F

= Fuerza

El módulo de M

se puede calcular como: )(senFrM =

La dirección y sentido se determina con la regla de la mano derecha. En el caso representado es entrante al plano de la hoja.

Ejemplo: Consideremos el caso de que una persona intenta aflojar una tuerca de una llanta de un camión. En un primer caso la fuerza se aplica a 0,2 m de la tuerca y en un segundo caso se aplica a 0,3 m. ¿En cuál de los dos casos la persona, aplicando la misma fuerza, producirá mayor efecto de rotación? En el segundo caso, esto se explica por la mayor distancia que existe entre la fuerza aplicada y el eje de rotación.

El momento de una fuerza es una magnitud vectorial que nos sirve para analizar las rotaciones que producen las fuerzas aplicadas a un cuerpo.

o

Una fuerza puede hacer rotar a un cuerpo en sentido horario ó antihorario, según como esté aplicada la fuerza en el cuerpo.

LA FUERZA PESO Al observar la grabación de

los astronautas que caminaron sobre la Luna en 1969, daba la impresión de que estaban flotando. Lo que sucede es que la atracción que ejerce la Luna sobre los astronautas que están sobre su superficie es seis veces menor comparada con la que ejerce la Tierra, por lo que parecían ser mucho más livianos. La fuerza de atracción gravitatoria que ejerce un cuerpo como la Luna o la Tierra sobre los objetos o seres vivos se llama PESO.

El Peso es la fuerza con que la Tierra u otro cuerpo, como la Luna o alguna estrella, atraen a un objeto hacia su centro. El módulo del peso es directamente proporcional a la masa que tenga dicho objeto y al módulo de la aceleración gravitatoria del lugar donde se encuentre.

�� = 𝑚 ∙ 𝑔

[�� ] = 𝑘𝑔 ∙𝑚

𝑠2 = 𝑁

De acuerdo con esta ecuación, el peso de un cuerpo

es directamente proporcional a su masa, por esto, si un cuerpo posee mayor masa que otro, será atraído por la Tierra con una fuerza mayor y tendrá, por lo tanto, un peso mayor. Además, el peso también depende de la aceleración de gravedad, la cual varía de un lugar a otro de la Tierra y también varía en diferentes partes del Universo. Por esto decimos que el peso de un cuerpo no es constante, a diferencia de la masa que sí lo es.

F

F

F


135

Centro de gravedad de un cuerpo Un cuerpo sólido está formado por partículas materiales, cada una de las cuales

experimenta una fuerza (peso) al ser atraída hacia la Tierra. El peso de todas ellas son fuerzas dirigidas hacia el centro de la Tierra y la fuerza resultante es el peso del cuerpo. El punto de aplicación de la fuerza resultante, que identifica a todo el cuerpo, corresponde al llamado centro de gravedad del cuerpo (G).

En los cuerpos homogéneos, y de forma simétrica definida, el centro de gravedad estará en el centro de simetría o centro geométrico del cuerpo.

Observa que en todos estos casos el centro de gravedad está dentro del cuerpo. Pero ¿siempre es así? Fíjate ahora lo que sucede en el caso de objetos como los flotadores o los neumáticos. En estos casos, el centro de gravedad está en un punto que no pertenece al cuerpo.

En cuerpos irregulares se puede determinar experimentalmente.

Actividad: DETERMINANDO EL CENTRO DE GRAVEDAD DE UN CUERPO Reúnanse en grupos de tres o cuatro estudiantes y consigan los siguientes materiales: un trozo de cartón, un alfiler, una tuerca o cuerpo pesado, hilo, una regla, un lápiz y tijeras.

1) Recorten una figura de cartón de forma irregular y fíjenla a una pared mediante un alfiler ubicado en uno de sus extremos, de modo que pueda oscilar libremente hasta equilibrarse.

2) Usen la tuerca amarrada al hilo como una plomada (que indicará la dirección vertical). Marquen sobre la figura la línea vertical que pasa por la posición del alfiler. Usen la regla si es necesario.

3) Repitan el paso anterior, colgando la figura desde otros puntos de suspensión. 4) La posición del centro de gravedad G de la figura se encuentra en el punto de

intersección de las verticales marcadas.

G G

¿Qué sucedería con la figura si apoyas su punto de gravedad sobre un alfiler ubicado perpendicularmente a la mesa? Háganlo y describa lo que sucede.

Masa Peso

Tipo de Magnitud

Magnitud escalar Magnitud Vectorial

Definición Cantidad de materia que posee un cuerpo.

Estructura del Molibdeno

Biomaterial

Fuerza con que la Tierra u otro cuerpo atraen a un objeto hacia su centro.

El vector Peso tiene dirección radial y sentido hacia el centro de la tierra. El punto de aplicación del vector Peso es el centro de gravedad del cuerpo. Para cuerpos regulares es el centro geométrico y para irregulares se debe determinar experimentalmente.

Unidad según S.I.

Kilogramos (Kg) Newton (N)

Instrumento de medida

Balanzas

Dinamómetros


137

INDAGACIÓN: LA FUERZA DE ROCE

¿Cómo podemos subir por algunas superficies inclinadas sin resbalar? Has notado que a veces utilizando zapatillas podemos subir por distintas superficies que se encuentren inclinadas, pero, si cambiamos de calzado o la superficie se encuentra encerada, el subir por ellas resulta muy dificultoso, a tal punto que podemos resbalar y caer. ¿En qué situaciones resulta más fácil subir un piso inclinado? Formen grupos de tres o cuatro integrantes y discutan sobre este tema. Formulen una hipótesis respecto de la pregunta inicial. Para ponerla a prueba les proponemos realizar el siguiente experimento. Materiales Una tabla de madera sin cepillar. Un libro de tapa muy lisa. Tres trozos cuadrados de madera de distinto tamaño Un transportador. Cinta adhesiva. Procedimiento 1. Coloquen sobre la tabla sin cepillar uno de los trozos de madera (no importa el tamaño) y comiencen a inclinar la tabla lentamente. 2. Sitúen el transportador al borde de la tabla de modo que puedan medir el ángulo de inclinación de la tabla. Registren el ángulo en el que el trozo de madera comience a deslizarse sobre la tabla. 3. Pongan el mismo trozo de madera, ahora sobre el libro y repitan el procedimiento anterior. 4. Sobre la tabla coloquen los tres trozos de madera uno sobre otro, del más grande al más chico. Únanlos entre sí con trozos de cinta adhesiva. Repitan el procedimiento. 5. Repitan el procedimiento sobre el libro. 6. Ahora, pongan sobre la tabla y luego sobre el libro los tres trozos, uno sobre otro, pero del más chico al más grande, repitiendo el proceso de inclinación y medición. Recuerda unir o fijar los trozos de madera entre sí con cinta adhesiva. Análisis Respondan las siguientes preguntas: a. ¿En cuál de las superficies se adhirió mejor un mismo trozo de madera?, ¿a qué atribuyen eso? b. ¿Cómo fueron comparativamente los ángulos a partir de los cuales el trozo de madera se deslizó sobre la superficie inclinada? c. Los trozos puestos uno sobre otro, ¿tenían mayor o menor adherencia? Según esto, ¿la adherencia depende de la masa? d. ¿Varió la adherencia al invertir el orden de los trozos de madera?, ¿la adherencia depende del área de contacto? e. ¿Creen que la adherencia es algún tipo de fuerza? f. ¿Verificaron la hipótesis que propusieron? ¿Cómo podemos subir por algunas superficies inclinadas sin resbalar?

LA FUERZA DE ROCE En la Indagación inicial de la página anterior

pudimos observar que mientras más rugosa y áspera sean las superficies de dos cuerpos en contacto, mayor será la “adherencia”. La presencia de dicha adherencia nos indica la existencia de una fuerza que se opone al movimiento de los cuerpos en contacto y que recibe el nombre de fuerza de roce, de rozamiento, o de fricción.

La fuerza de roce tiene su origen en las pequeñas irregularidades o rugosidades existentes en cada una de las superficies en contacto. Debido a ellas, las dos superficies experimentan mayor o menor dificultad para deslizarse una sobre otra. El módulo de la fuerza de roce es proporcional a la fuerza normal (N)y se puede calcular mediante la siguiente la expresión:

𝐹𝑟 = 𝜇 ∙ 𝑁

donde la constante de proporcionalidad es el coeficiente de roce denotado por la letra griega μ. Este coeficiente depende del material y de la rugosidad de las superficies en contacto. Roce estático y cinético4

Vamos a distinguir dos tipos de roce: el roce estático y el roce cinético. Cada vez que se quiere sacar un cuerpo del reposo, existe una fuerza de roce estático;

esta es una fuerza variable y cuyo valor máximo se calcula a través de la expresión: 𝐹𝑟 = 𝜇𝑒 ∙ 𝑁

donde μe es el coeficiente de roce estático.

La fuerza de roce cinético actúa solo cuando el cuerpo se encuentra en movimiento, y está dado por:

𝐹𝑟 = 𝜇𝑐 ∙ 𝑁

donde μc es el coeficiente de roce cinético.

4 En algunas bibliografías se podrá encontrar con el nombre de dinámico en lugar de cinético.


139

Siempre se cumple que 𝜇𝑐 < 𝜇𝑒 ; por lo tanto, la fuerza de roce estático máxima es mayor que la fuerza de roce cinético.

TABLA 1: COEFICIENTES DE ROCE5

Materiales en contacto 𝜇𝑒 𝜇𝑐

Articulaciones humanas 0,02 0,003

Acero -hielo 0,03 0,02

Madera-nieve 0,08 0,06

Esquí(encerado)- nieve 0,04 0,04

Madera-madera 0,25-0,5 0,2

Madera- cuero 0,5 0,4

Acero-acero 0,75 0,57

Vidrio-vidrio 0,9 0,4

Goma-concreto 0,9 0,7

Fricción por Rodamiento

Una rueda requiere una cierta cantidad de fricción para que el punto de contacto de la

rueda con la superficie no se deslice. La cantidad de tracción que se puede obtener de un

neumático de automóvil está determinada por el coeficiente de fricción estática entre el

neumático y la calzada. Si la rueda se bloquea y desliza, la fuerza de fricción está determinado

por el coeficiente de fricción cinética, y es por lo general mucho menor. El mecanismo de

rodadura permite disminuir la fuerza de rozamiento que implicaría deslizar un cuerpo muy

grande, pues la superficie de contacto es muy pequeña. Además, en una rueda que está rodando

sin deslizar, la fricción de la superficie no la hace trabajar en contra del movimiento de la rueda.

Se cree que esta ventaja se utilizó desde la antigüedad. Una hipótesis que se maneja acerca de

cómo los pascuenses trasladaron los grandes moais hasta su ubicación definitiva, es que ponían

bajo ellos rodillos o troncos de madera, los que rodaban por el suelo y se piensa que los bloques

de piedra de las pirámides egipcias fueron movidos de igual forma.

CONDICIONES GENERALES DE EQUILIBRIO Un cuerpo está en equilibrio cuando se cumplen simultáneamente las siguientes

condiciones: 1. La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es nula

�� = 0 ó ∑𝐹 = 0 2. La sumatoria de los momentos de las fuerzas aplicadas en él es igual a cero

∑�� = 0

Éstas dos condiciones son conocidas como: Leyes de la Estática.

5 Los valores son aproximados y se dan sólo como estimaciones. Los coeficientes de fricción reales para cualquier par de superficies dependen de condiciones tales como la limpieza de las superficies, la temperatura y la humedad.

Equilibrante: Es una fuerza de igual módulo y dirección que la resultante de un sistema pero de sentido contrario.

Tipos de Equilibrio Tenemos dos posibilidades para un cuerpo en

equilibrio: a. que el cuerpo esté en reposo: Equilibrio

Estático b. que el cuerpo esté moviéndose con

velocidad constante: Equilibrio dinámico, este tipo se movimiento como vimos anteriormente se llama Movimiento Rectilíneo Uniforme, más conocido como MRU

El equilibrio de un cuerpo se puede ser:

• estable: Si al desplazarlo de su posición de equilibrio, éste retorna a la misma posición de equilibrio.

• inestable: Si al desplazarlo de su posición de equilibrio, éste no retorna al equilibrio.

• indiferente: Si al desplazarlo de la posición de equilibrio éste adopta una nueva posición de equilibrio.

En la figura7 podemos observar que el cuerpo en la posición A se encuentra en equilibrio inestable, el cuerpo en B en equilibrio estable, mientras que el cuerpo en C está equilibrio indiferente. Son comunes en la vida cotidiana los objetos con equilibrio estable como los que se muestran en las imágenes de abajo.

A

B

C

Figura 7


141

EQUILIBRIO DE CUERPOS APOYADOS Imagina un libro que yace en reposo sobre una mesa. ¿Qué

fuerzas actúan sobre él? Una es la que se debe a la gravedad y que es el peso del libro. Como el libro está en equilibrio, debe haber otra fuerza que actúa sobre él que haga que la fuerza neta sea cero: una fuerza hacia arriba, opuesta al peso. La mesa es la que ejerce esa fuerza hacia arriba. A esta fuerza se le llama fuerza normal.

¿Siempre que un cuerpo esté apoyado se encuentra en equilibrio? Un cuerpo apoyado sobre una superficie plana está en equilibrio cuando la recta de

acción de su peso pasa por la base de sustentación y la superficie sea lo suficientemente resistente para soportar el peso del cuerpo.

• Ejemplos:

Cuerpos en equilibrio

Cuerpo que no está en equilibrio:

¿La normal y el peso de un cuerpo apoyado siempre serán vectores iguales y opuestos?

No siempre el peso y la normal son vectores iguales y opuestos dado que la definición

de normal sólo expresa que es un vector perpendicular a la superficie de apoyo. Veamos los

siguientes ejemplos:

Al apoyar un cuerpo sobre una superficie, ésta aplica una fuerza sobre el

cuerpo llamada normal ( ), que es perpendicular a la superficie de apoyo.

N

1) Una persona escalando, aquí puede

verse que la Normal y el Peso poseen

diferentes direcciones.

2) Un cuerpo apoyado en un plano inclinado.

Aquí puede verse que la normal

perpendicular a la superficie de apoyo

mientras que el Peso es perpendicular al

piso.

3) Escalera apoyada. En este ejemplo puede

observarse que pueden presentarse más de una

normal, la que ejerce el piso y el muro, ya que

ambas son superficies de apoyo.

4) En este ejemplo la mujer realiza una fuerza 𝐹 como

muestra la figura y el módulo de la normal es menor al

módulo del peso.


143

EQUILIBRIO EN UN PLANO INCLINADO. Un plano inclinado es una superficie de apoyo plana que forma un ángulo con la horizontal. En un plano inclinado se puede definir dos direcciones:

➢ dirección tangencial: paralela a la superficie de apoyo ➢ dirección normal: perpendicular a la superficie de apoyo.

El peso de un cuerpo apoyado sobre un plano inclinado se puede descomponer en estas direcciones usando: Peso en la dirección tangencial: 𝑃𝑡 = 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) Peso en la dirección normal: 𝑃𝑛 = 𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛼) donde es la inclinación de plano inclinado con respecto a la horizontal.

De la representación gráfica se puede concluir que si no hay rozamiento entonces el cuerpo caerá por el efecto de la fuerza 𝑃𝑡 y ya que en la dirección normal no hay desplazamiento mientras el plano inclinado pueda soportar la fuerza 𝑃𝑛.

¿Cuándo un cuerpo apoyado en un plano inclinado está en equilibrio?

Para que un cuerpo en un plano inclinado esté en equilibrio debe

∑𝐹 = 0y ∑ �� = 0 , como los momentos son nulos ya que las fuerzas están aplicadas al centro de gravedad del cuerpo nos queda analizar la suma de las fuerzas:

∑𝐹𝑡 = 0 ∑𝐹𝑛 = 0

𝑃𝑡 + 𝐹 = 0

𝐹 = −𝑃𝑡

𝑃𝑛 + �� = 0

�� = −𝑃𝑛

De estas ecuaciones podemos concluir que para exista equilibrio en un plano inclinado los módulos de la fuerza Normal y la fuerza F deben ser:

𝑁 = 𝑃 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝛼)

𝐹 = 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼)

Estas fórmulas son muy útiles si tenemos como dato el ángulo de inclinación , si en cambio nuestros datos son la longitud del plano inclinado l, la altura h, y el largo de su base b, utilizando trigonometría podemos calcular las magnitudes de N y F como:

𝑠𝑒𝑛(𝛼) =ℎ

𝑙 cos(𝛼) =

𝑏

𝑙

𝑁 = 𝑃 ∙𝑏

𝑙 𝐹 = 𝑃 ∙

ℎ

𝑙

EQUILIBRIO DE CUERPOS SUSPENDIDOS.

Un cuerpo suspendido desde un punto del cual puede girar libremente, llamado punto de suspensión (PS), está en equilibrio si la recta de acción del peso pasa por el punto se suspensión.

• Si el centro de gravedad (CG) del cuerpo esta abajo del punto de suspensión (PS) el equilibrio será estable.

• Si el centro de gravedad del cuerpo está por arriba del punto de suspensión el equilibrio será inestable.

• Si el centro de gravedad coincide con el punto de suspensión el equilibrio será indiferente.

PS

CG

PS

CG

PS CG


145

TENSIONES EN CUERDAS.

La tensión de una cuerda ( T

) es la intensidad de la fuerza de tracción que ejerce sobre un cuerpo. A continuación, analizaremos cuerpos en equilibrio suspendidos mediante cuerdas.

1. Cuerpo suspendido de una cuerda:

En este caso observamos que el módulo del peso y la tensión son iguales.

PT

=

2. Cuerpo suspendido de dos cuerdas paralelas: Aquí cada cuerda soporta la mitad del peso, es decir:

2

PT =

3. Cuerpo suspendido de dos cuerdas no paralelas:

a. con ángulos iguales:

Dado que los ángulos que forman las cuerdas con la horizontal son iguales las tensiones que ejercen las cuerdas son iguales. Para poder calcularlas usamos:

Escriba aquí la ecuación.

)(2 sen

PT

=

b. con ángulos diferentes, con α+β=90º:

𝑇1 = 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼)

𝑇2 = 𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛽)

T

α α

α β

A continuación, desarrollaremos los casos 3 a) y 3 b).

Si trasladamos las tensiones y el peso a un sistema

de coordenadas cartesianas

Realizando la descomposición de fuerzas

Componentes en 𝑥 Componentes en 𝑦

𝑇1𝑥 = 𝑇1 · cos (𝛼) 𝑇1𝑦 = 𝑇1 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼)

𝑇2𝑥= 𝑇2 · cos(180° − 𝛼) = −𝑇2 · cos(𝛼) 𝑇2𝑦

= 𝑇2 · 𝑠𝑒 𝑛(180° − 𝛼) = 𝑇2 · 𝑠𝑒𝑛 (𝛼)

𝑃𝑥 = 0 𝑃𝑦 = −𝑃

Dado que el cuerpo está en equilibrio sabemos que:

∑𝐹𝑥 = 0 y ∑𝐹𝑦 = 0

Trabajemos primero en la componente 𝑥

𝑇1𝑥 + 𝑇2𝑥 + 𝑃𝑥 = 0

𝑇1 · cos(𝛼)−𝑇2 · cos(𝛼) + 0 = 0

Despejando obtenemos que 𝑇1 = 𝑇2 con lo cual observamos que las dos tensiones tienen el

mismo módulo porque las cuerdas tienen el mismo ángulo de inclinación y para facilitar su

comprensión llamémosle 𝑇 a las tensiones.

Ahora nos dedicaremos a trabajar las componentes en 𝑦

𝑇1𝑦 + 𝑇2𝑦 + 𝑃𝑦 = 0

𝑇1 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼)+𝑇2 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼) − 𝑃 = 0

Y recordando que 𝑇1 = 𝑇2 = 𝑇, obtenemos

𝑇 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼) + 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼) − 𝑃 = 0

2 · 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼) − 𝑃 = 0

Despejando

𝑇 =𝑃

2 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼)

𝑦

𝑥 α α

𝑇1 𝑇2

��

T

α α


147

Veamos ahora el caso especial en que las cuerdas forman un ángulo de 90o, pues al ser

𝛼 + 𝛽 = 90°

Elegimos un sistema de coordenadas solidario a las cuerdas para aprovecha que forman 90°

Realizando la descomposición de fuerzas


𝑇1𝑥 = 𝑇1 𝑇1𝑦 = 0

𝑇2𝑥 = 0 𝑇2𝑦 = 𝑇2

𝑃𝑥 = 𝑃 · 𝑐𝑜𝑠(180° + 𝛽) = −𝑃 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑃𝑦 = 𝑃 · 𝑠𝑒𝑛(180° + 𝛽) = −𝑃 · 𝑠𝑒𝑛(𝛽)

Dado que el cuerpo está en equilibrio sabemos que:

∑𝐹𝑥 = 0 y ∑𝐹𝑦 = 0

Trabajemos primero en la componente 𝑥

𝑇1𝑥 + 𝑇2𝑥 + 𝑃𝑥 = 0

𝑇1 + 0 − 𝑃 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = 0

Despejamos tenemos

𝑇1 = 𝑃 · 𝑠𝑒𝑛(𝛼)

Ahora nos dedicaremos a la componente en y

𝑇1𝑦 + 𝑇2𝑦 + 𝑃𝑦 = 0

0 + 𝑇2 − 𝑃 · 𝑠𝑒𝑛(𝛽) = 0

Despejamos tenemos

𝑇2 = 𝑃 · 𝑠𝑒𝑛(𝛽)

𝑦

𝑥 2T

1T

P

𝛼

𝛽

α β

EJERCICIO RESUELTO 1

Matías y Constanza están jugando con el dispositivo de la figura, si Constanza pesa 300N y Matías 900N, ¿a qué distancia del punto de apoyo debe colocarse Matías para lograr el equilibrio?

Como siempre el primer paso es dibujar todas las fuerzas aplicada sobre la barra.

�� 𝐶=peso de Constanza

𝐹 𝐵=reacción de la barra

�� 𝑀=peso de Matías

Ahora debemos elegir un punto de

referencia para poder determinar

los momentos de las fuerzas

aplicadas. Si elegimos el punto de

apoyo de la barra el momento de la

reacción del punto de apoyo sobre a

barra será nulo.

Dado que la barra está en equilibrio

∑�� = 0

�� 𝑀 + �� 𝐶 = 0

Utilizando la regla de la mano derecha, el momento de fuerza del peso de Matías será negativo,

mientras el momento del peso Constanza será positivo.

Las intensidades de los momentos de fuerza de cada una de las fuerzas aplicadas a la barra

resultan:

|�� 𝐶| = 𝑀𝐶 = 300𝑁 · 3𝑚 · 𝑠𝑒𝑛(90°) = 900𝑁 · 𝑚

|�� 𝑀| = 𝑀𝑀 = 900𝑁 · 𝑑 · 𝑠𝑒𝑛(90) = 𝑑 · 900𝑁

𝑀𝐶 − 𝑀𝑀 = 0

900𝑁 · 𝑚 − 𝑑 · 900𝑁 = 0

Despejando la distancia obtenemos 𝑑 = 1𝑚

�� 𝐶

�� 𝑀

𝐹 𝐵

3𝑚 𝑑?


149

EJERCICIO RESUELTO 2

La barra y la cuerda de la figura sostienen un farol ornamental que pesa 400N. La barra es

homogénea, tiene una longitud de 70cm y tiene un peso de 40N. Con estos datos y los que se

indican en la figura calcula:

a) El valor de la tensión de a cuerda

b) La fuerza de reacción de la pared sobre la barra.

Para poder resolver este problema, el primer paso es dibujar todas las fuerzas que actúan

sobre la barra.

Como la barra está en equilibrio sabemos

∑𝐹 = 0 y ∑ �� = 0

Ahora debemos elegir un punto de referencia para poder calcular para calcular los

momentos de las fuerzas aplicadas.

Elegimos el extremo de la barra que está apoyada en la pared, pues de este modo, los

momentos de la reacción de la pared sobre a barra será nulo. Consideremos los momentos de

fuerzas en sentido antihorario como positivos y los horarios negativos.

�� 𝑇 + �� 𝑃𝐵+ �� 𝑃𝐹

= 0

30o

30o ��

�� 𝐹

�� 𝐵

𝐹 𝑃𝑦

𝐹 𝑃𝑥

Calculemos las intensidades de los momentos de fuerza de cada una de las fuerzas

aplicadas a la barra.

|�� 𝑇| = 0,7𝑚 · 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛(150°)

|�� 𝑃𝐵| = 0,35𝑚 · 40𝑁 · 𝑠𝑒𝑛(90) = 14𝑁 · 𝑚

|�� 𝑃𝐹| = 0,7𝑚 · 400𝑁 · 𝑠𝑒𝑛(90) = 280𝑁 · 𝑚

Utilizando la regla de la mano derecha, el momento de fuerza de la tensión será

positivo, mientras que los momentos del peso de la barra y el peso del farol serán negativos.

𝑀𝑇 − 𝑀𝑃𝐵− 𝑀𝑃𝐹

= 0

0,7𝑚 · 𝑇 · 𝑠𝑒𝑛(30°) − 14𝑁 · 𝑚 − 280𝑁 · 𝑚 = 0

Despejando obtenemos

𝑇 =280𝑁 · 𝑚 + 14𝑁 · 𝑚

0,7𝑚 · 𝑠𝑒𝑛(30°)= 840𝑁

Para encontrar el valor de la reacción de la pared trasladaremos todas las fuerzas a un

sistema de coordenadas y realizaremos la descomposición de todas las fuerzas.


𝑇𝑥 = −840𝑁 · cos(30) = −643,48𝑁 𝑇𝑦 = 840𝑁 · sen(30) = 420𝑁

𝑃𝐵𝑥= 0𝑁 𝑃𝐵𝑦

= −40𝑁

𝑃𝐹𝑥= 0𝑁 𝑃𝐹𝑦

= −400𝑁

𝐹𝑃𝑥=? 𝐹𝑃𝑦

=?

Haciendo la sumatoria de las fuerzas en 𝑥

∑𝐹𝑥 =0

𝑇𝑥 + 𝑃𝐵𝑥+ 𝑃𝐹𝑥

+ 𝐹𝑃𝑥= 0

−643,48𝑁 + 0𝑁 + 0𝑁 + 𝐹𝑃𝑥= 0

Entonces 𝐹𝑃𝑥

= 643,48𝑁

Ahora es el turno de analizar las fuerzas en 𝑦

∑𝐹𝑦 =0

𝑇𝑦 + 𝑃𝐵𝑦+ 𝑃𝐹𝑦

+ 𝐹𝑃𝑦= 0

420𝑁 − 40𝑁 − 400𝑁 + 𝐹𝑃𝑦= 0

Entonces

𝐹𝑃𝑦= 40𝑁 + 400𝑁 − 420𝑁 = 20𝑁

Así la intensidad de la reacción de la pared es:

|𝐹 𝑃| = √𝐹𝑃𝑥

2 + 𝐹𝑃𝑦

2 = √(643,48𝑁)2 + (20𝑁)2 = 643.79𝑁


151

Actividad: MASA E INERCIA - Inferencia Se tienen dos vasos plásticos, dos metros de hilo y un poco de arena. Cuelga cada vaso plástico de aproximadamente un metro de hilo. Llena uno de los vasos con arena y deja el otro vacío. Empuja simultáneamente ambos vasos con tu mano, tratando de aplicar la misma fuerza sobre ellos. • ¿Qué vaso tiene mayor masa? • ¿Cuál de los vasos se movió con mayor facilidad?

Primera ley de Newton: principio de inercia En la actividad anterior, observaste que el vaso que contenía arena oponía mayor resistencia a moverse que el que se encontraba vacío. Esta tendencia que tienen los cuerpos a mantener su estado de reposo o movimiento en que se encuentran se llama inercia. Esta propiedad fue descrita por el físico italiano Galileo Galilei (1564-1642). Él observó que un cuerpo se detenía después de haber sido impulsado y atribuyó este efecto a una fuerza de contacto que existe entre el objeto y la superficie por la cual se desplaza. Galilei infirió también que, si fuera posible eliminar totalmente el roce, el objeto continuaría moviéndose en forma indefinida, sin ser necesario mantener la fuerza inicial. El inglés Isaac Newton (1642-1727) se basó en los trabajos de Galilei para establecer la llamada primera ley de Newton o principio de inercia, que dice que todo objeto en reposo (𝑣 = 0 ), o con movimiento rectilíneo uniforme (𝑣 =constante), mantiene

ese estado a menos que se ∑𝐹 ≠ 0. En los Principia de Newton6 (traducido del original en latín): Todo objeto continúa en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas que actúen sobre él. La palabra clave de esta ley es continúa: un objeto continúa haciendo lo que haga a menos que sobre él actúe una fuerza. Si está en reposo continúa en un estado de reposo. Esto se demuestra muy bien cuando un mantel se retira con habilidad por debajo de una vajilla colocada sobre una mesa y los platos quedan en su estado inicial de reposo. La propiedad de los objetos de resistir cambios en su movimiento se le llama inercia (ver más ejemplos de la inercia en la figura 8). La masa de un cuerpo, físicamente, es una medida de su inercia, es decir la oposición que presenta a ser acelerado linealmente. Por ello se dice que los cuerpos con mayor masa tienen más inercia que los cuerpos de menor masa. Esta es la razón por la que, en estricto rigor, la masa de un cuerpo se denomina masa inercial.

6 Documento publicado por Isaac Newton en 1667: “Philosophiae Natularis Principia Mathematica”

Figura 8

Segunda ley de Newton: principio de masa Al mirar un partido de fútbol, vemos que cuando la pelota está en movimiento cambia

constantemente su velocidad (rapidez, dirección o sentido) al ser golpeada por los jugadores. Así como la pelota de fútbol, la mayoría de los objetos que vemos moverse están continuamente cambiando su velocidad, es decir, experimentando aceleración.

La segunda ley de Newton es una de las leyes más importantes de la Física. Esta ley relaciona la aceleración experimentada por un cuerpo con la fuerza neta que actúa sobre él y con su masa. Isaac Newton planteó que la aceleración que adquiere un cuerpo no solo depende de las fuerzas que actúan sobre él, sino también de su masa. Él formuló una segunda ley o principio de masa, que establece lo siguiente: la aceleración que experimenta un cuerpo es proporcional a la fuerza neta aplicada, e inversamente proporcional a su masa inercial, lo que puede escribirse de la siguiente forma:

𝑎 =∑𝐹

𝑚

De esta relación se deduce la expresión que resume la segunda ley de Newton:

∑𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑎

La aceleración del cuerpo tiene igual dirección y sentido

que la fuerza neta. Como la masa se expresa en kg y la aceleración

en 𝑚

𝑠2 , la fuerza neta queda expresada en 𝑘𝑔 ∙𝑚

𝑠2 . Esta unidad se

llama newton (N). Es decir,1𝑁 = 1𝑘𝑔 ∙ 1𝑚

𝑠2. Físicamente, un

newton es la fuerza necesaria para que un cuerpo de masa un kilogramo cambie su velocidad en 1 m/s cada segundo. Según la segunda ley de Newton, si una misma fuerza neta (distinta de cero) se aplica sobre dos cuerpos de distinta masa, adquiere menor aceleración el que tiene más masa, debido a que mayor es la “dificultad” para moverlo y para modificar su velocidad (su inercia es mayor). También nos dice esta ley que, si la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es mayor, la aceleración que experimenta también será mayor. Ejemplo resuelto 1: Un automóvil de 500 kg es acelerado gracias a la fuerza de su motor, la que le imprime 750 N. Calcular la aceleración del auto. Como conocemos la fuerza que está imprimiendo el motor del auto y la masa de este, basta con remplazar estos datos en la relación planteada por la segunda ley de Newton.

𝑎 =𝐹

𝑚

𝑎 =750𝑁

500𝑘𝑔

𝑎 = 1,5𝑚

𝑠2

Rta: La aceleración que experimenta el automóvil debido a la fuerza del motor es de 1,5𝑚

𝑠2.


153

Ejemplo resuelto 2: Un avión jumbo viaja a la velocidad constante de 1.000 km/h cuando la fuerza de empuje de sus motores es una constante de 100.000 N. ¿Cuál es la aceleración del avión? ¿Cuál es la fuerza de resistencia del aire que actúa sobre el avión? Rta: La aceleración es cero porque la velocidad es constante. Como la aceleración es cero, por la segunda ley de Newton se sigue que la fuerza neta es cero, lo cual significa que la fuerza de resistencia aerodinámica debe ser igual a la fuerza de empuje de 100.000 N y debe actuar en la dirección contraria. Entonces, la resistencia aerodinámica sobre el avión es 100.000 N. (Observe que no necesitamos saber la velocidad del avión para contestar esta pregunta. Únicamente necesitamos saber que es constante, nuestra clave para afirmar que la aceleración y, por lo tanto, la fuerza neta, es cero.) Ejemplo resuelto 3: Un bombero de 80 kg de masa se desliza por un poste vertical con una aceleración de 4 m/s2. ¿Cuál es la fuerza de fricción entre el poste y el bombero?

𝒂 =𝑭𝒓 − 𝑷

𝒎

𝒂 =𝑭𝒓 − 𝒎 ∙ 𝒈

𝒎

𝒂 =𝑭𝒓

𝒎− 𝒈

𝒂 + 𝒈 =𝑭𝒓

𝒎

(𝒂 + 𝒈) ∙ 𝒎 = 𝑭𝒓

(𝟒𝒎

𝒔𝟐 + 𝟗, 𝟖𝒎

𝒔𝟐) ∙ 𝟖𝟎𝒌𝒈 = 𝑭𝒓

𝟏𝟏𝟎𝟒𝑵 = 𝑭𝒓 Rta: La fuerza de roce entre el poste y el bombero es de 1104N. Ejemplo resuelto 4: Un vagón de 1100 kg de masa que se ha soltado de un tren se dirige a 5 m/s hacia un gatito que duerme plácidamente en la vía. En un instante aparece Superman e intenta pararlo tirando del vagón hacia atrás con una cadena que tiene una resistencia de 450 N. No hay rozamiento.

Actividad: OBSERVANDO FUERZAS QUE ACTÚAN DE A PARES Considera las siguientes situaciones y, luego, responde las preguntas: 1. Un corredor se desplaza por una pista con una velocidad constante de 15 km/h. 2. Una persona empuja una mesa al interior de una casa. a. ¿Cuáles son las fuerzas que actúan en cada uno de los casos? b. ¿Existen fuerzas que se opongan entre sí? c. ¿Siempre una fuerza debe actuar sobre un cuerpo para que esta exista?

Tercera ley de Newton: principio de acción y reacción De la actividad anterior podemos deducir que, en general, las fuerzas no se presentan

solas, sino que forman un sistema de pares de fuerzas que actúan simultáneamente. Por ejemplo, al patear una pelota, el pie ejerce una fuerza sobre la pelota, pero, al mismo tiempo, puede sentirse una fuerza en dirección contraria ejercida por la pelota sobre el pie. Siempre la acción de una fuerza va acompañada de otra fuerza, la reacción, formando un par de fuerzas llamadas acción y reacción. Es importante señalar que, como la fuerza de acción se ejerce sobre un cuerpo y la de reacción sobre otro, dichas fuerzas no se equilibran.

Todo lo anterior es resumido en la tercera ley de Newton o principio de acción y reacción:

Siempre que un objeto ejerce una fuerza (acción) sobre otro, el segundo objeto ejerce sobre el primero una fuerza (reacción) de igual módulo, en la misma dirección, pero de sentido contrario.

Un sistema donde se puede apreciar claramente este principio son los cohetes. Un cohete ejerce una fuerza sobre los gases que expulsa y los gases ejercen una fuerza igual y opuesta sobre el cohete, lo que finalmente lo hace avanzar. ¿Conoces algún cuerpo que se mueva sin emplear este principio? Intenta buscar algún ejemplo. Ejemplo resuelto 4: Un niño de 25 kg y su padre de 75 kg están con patines mirándose de frente, se empujan con una fuerza de módulo 10 N. Determinar la aceleración de ambas personas.

Identifiquemos las masas que interactúan:

𝑚𝑛=25𝐾𝑔 𝑚𝑝=75𝐾𝑔

Las fuerzas son, respectivamente, por acción y reacción:

𝐹𝑛 = −𝐹𝑝

|𝐹𝑛 | = |𝐹𝑝 | = 10𝑁

Calculamos la aceleración de cada patinador:

𝑎𝑛 =𝐹𝑛𝑚𝑛

𝑎𝑛 =10𝑁

25𝐾𝑔

𝑎𝑛 = 0,4𝑚

𝑠2

Horizontal hacia la derecha

𝑎𝑛 =𝐹𝑛𝑚𝑝

𝑎𝑛 =−10𝑁

75𝐾𝑔

𝑎𝑛 = −0,13𝑚

𝑠2

Horizontal hacia izquierda


155

Ley de Gravitación Universal

Todo cuerpo que tiene masa genera a su

alrededor un campo gravitacional que

afecta a otros cuerpos. Esto quiere decir

que cualquier cuerpo con masa genera una

influencia en el espacio que lo rodea y si

colocamos otro cuerpo con masa se origina

entre ellos una fuerza de atracción

gravitacional.

El módulo de la fuerza de gravedad con la

que se atraen dos objetos se expresa

mediante la Ley de Gravitación Universal

de la siguiente manera:

𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑑2

En esta ecuación, m1 y m2 son las masas de

los objetos y d es la distancia entre ellos. G

es la constante de gravitación universal

cuyo valor es:

𝐺 = 6, 67 × 10−11𝑁 ∙ 𝑚2

𝐾𝑔2

Esta relación implica que la fuerza de

gravedad depende de la distancia entre los

objetos que interactúan, de modo que su

intensidad disminuye cuando la distancia

se incrementa.

Henry Cavendish, físico inglés, midió G por

primera vez, en el siglo XVIII, mucho

después de los días de Newton. Lo hizo

midiendo la diminuta fuerza entre masas

de plomo, con una balanza de torsión

extremadamente sensible. Después,

Philipp von Jolly desarrolló un método más

sencillo, al fijar un frasco esférico con

mercurio a un brazo de una balanza

sensible. Después de poner en equilibrio la

balanza, rodó una esfera de plomo de 6

toneladas bajo el frasco de mercurio. La

fuerza gravitacional entre las dos masas era

igual al peso que se había colocado en el

platillo opuesto de la balanza para

restaurar el equilibrio.

Una breve historia...

“Newton no descubrió la gravedad, pues ese descubrimiento se remonta hasta los orígenes de la humanidad, cuando los primeros pobladores constataron las consecuencias de tropezarse y luego caer. Lo que Newton descubrió fue que la gravedad es universal y que no es un fenómeno exclusivo de la Tierra, como lo habían considerado sus predecesores. Desde tiempos de Aristóteles se veía como natural el movimiento circular de los cuerpos celestes. Los pensadores de la Antigüedad creían que las estrellas, los planetas y la Luna se mueven en círculos divinos, libres de cualquier fuerza impulsora. En lo que a ellos concierne, el movimiento circular no requería explicación. Sin embargo, Isaac Newton reconoció que sobre los planetas debe actuar una fuerza de cierto tipo; sabía que sus órbitas eran elipses, o de lo contrario serían líneas rectas. Otras personas de su tiempo, influidas por Aristóteles, suponían que cualquier fuerza sobre un planeta debería estar dirigida a lo largo de una trayectoria. Sin embargo, Newton se dio cuenta de que la fuerza sobre cada planeta estaría dirigida hacia un punto central fijo: hacia el Sol. Ésta, la fuerza de gravedad era la misma que tira una manzana de un árbol. El golpe de inspiración de Newton, que la fuerza entre la Tierra y una manzana es la misma fuerza que tira de las lunas, de los planetas y de todo lo que hay en el Universo, fue una ruptura revolucionaria con la noción prevaleciente de que había dos conjuntos de leyes naturales: una para los objetos en la Tierra y otra, muy distinta, para el movimiento en los cielos. A esta unión de leyes terrestres y leyes cósmicas se le llama síntesis newtoniana.” (Hewitt, 2007) ¡Hewitt lo contó!


157

El valor de G nos indica que la fuerza de gravedad

es muy débil. Es la más débil de las cuatro fuerzas

fundamentales que se conocen hasta ahora. (Las otras tres

son la fuerza electromagnética y dos clases de fuerzas

nucleares.) Sentimos la gravitación sólo cuando intervienen

masas gigantescas, como la de la Tierra. La fuerza de

atracción entre tú y un trasatlántico, junto al cual te pares,

es demasiado débil para realizar una medición ordinaria. Sin

embargo, sí se puede medir la fuerza de atracción entre tú

y la Tierra. Es tu peso. Tu peso depende no sólo de tu masa

sino también de tu distancia al centro de la tierra. En la

cúspide de una montaña, tu masa es la misma que en

cualquier otro lugar, aunque tu peso sería ligeramente

menor que a nivel del suelo. Es así porque tu distancia al

centro de la Tierra es mayor.

Una vez conocido el valor de G se calculó con

facilidad la masa de la Tierra. La fuerza que ejerce la Tierra

sobre una masa de 1 kilogramo en su superficie es de 9.8

Newton. La distancia entre los centros de masa del cuerpo

de 1 kilogramo y la Tierra es el radio de la Tierra, 6.4 x106

metros.

En consecuencia, a partir de

𝐹 = 𝐺𝑚1𝑚2

𝑑2

donde m1 es la masa de la Tierra

9,8𝑁 = 6,67 × 10−11𝑁 ∙ 𝑚2

𝐾𝑔2∙

𝑚1 ∙ 1𝑘𝑔

(6,4 × 106𝑚)2

de aquí se calcula que la masa de la Tierra es 𝑚1 = 6 × 1024𝑘𝑔

LA LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL, LA LEY QUE CAMBIÓ EL PENSAMIENTO HUMANO POR

PAUL G. HEWITT “Todos sabemos que la Tierra es redonda. Pero ¿por qué es redonda? Es por la

gravitación. Todo atrae a todo lo demás, y la Tierra se ha atraído a sí misma ¡todo lo posible! Han sido atraídos todos los “rincones” de la Tierra y, en consecuencia, todas las partes de su superficie son equidistantes al centro de gravedad. Eso es lo que forma una esfera. Por lo tanto, vemos que de acuerdo con la ley de la gravitación que el Sol, la Luna y la Tierra son esféricos porque deben serlo. (Aunque los efectos de la rotación los hacen un poco elípticos). Si todo tira de todo lo demás, entonces los planetas deben tirar unos de otros. Por ejemplo, la fuerza que controla a Júpiter no sólo es la fuerza desde el Sol. También están los tirones de los demás planetas. Su efecto es pequeño en comparación con el tirón del Sol, que es mucho más masivo; sin embargo, se percibe. Cuando Saturno está cerca de Júpiter, su tirón perturba la trayectoria que sigue Júpiter, que por lo demás es uniforme. Ambos planetas “cabecean” respecto a sus órbitas esperadas. Las fuerzas interplanetarias que causan estos cabeceos se llaman perturbaciones. En la década de 1840, los estudios de Urano, un planeta recién descubierto en

aquel entonces, indicaban que no se podían explicar las desviaciones de su órbita mediante perturbaciones debidas a todos los demás planetas. O la ley de la gravitación fallaba a esta gran distancia del Sol, o había un octavo planeta, desconocido, perturbando a Urano. Fueron J. C. Adams y Urbain Leverrier, un inglés y un francés, quienes supusieron que la ley de Newton es válida, y calcularon dónde debería estar el octavo planeta. Más o menos al mismo tiempo, Adams mandó una carta al Observatorio de Greenwich, en Inglaterra, y Leverrier mandó la suya al Observatorio de Berlín, en Alemania, sugiriendo que se debería buscar un nuevo planeta en determinada zona del cielo. La petición de Adams demoró, por malos entendidos en Greenwich, pero la de Leverrier fue atendida de inmediato. ¡Esa misma noche fue descubierto el planeta Neptuno!

Los estudios de la órbita de Neptuno y de Urano condujeron a predecir y a descubrir Plutón, en 1930, en el observatorio Lowell, en Arizona. Gracias a la investigación reciente, muchos astrónomos consideran que Plutón es un asteroide y no un planeta verdadero. Recientemente más allá de Neptuno se han descubierto muchos asteroides con tamaños cercanos a un planeta, y ello seguramente continuará ocurriendo (Quaoar, por ejemplo, es un asteroide que tiene su propia luna). Los astrónomos se enfrentan al problema de si clasificar a la creciente lista de vecinos de Plutón o incluso a éste como planeta. En vez de considerar a Plutón como el más insignificante de los planetas, ahora muchos lo catalogan como el rey de los asteroides. En cualquier caso, el objeto al que llamamos Plutón tarda 248 años en realizar una sola revolución en torno al Sol, por lo que nadie lo verá en la posición en que fue descubierto sino hasta el año de 2178.

Evidencia reciente sugiere que el Universo se expande y acelera hacia fuera, empujado por la energía oscura de antigravedad, que constituye el 73% del mismo. Otro 23% está compuesto de partículas de materia oscura aún por descubrir. La materia ordinaria, el material de las estrellas y de todo cuanto conocemos constituye apenas el 4%. Los conceptos de energía oscura y materia oscura son confirmaciones de finales del siglo XX y principios del XXI. La actual visión del Universo ha progresado notablemente con respecto al que concibió Newton. Pocas teorías han influido tanto sobre la ciencia y la civilización como la teoría de Newton de la gravitación. Los éxitos de las ideas de Newton dieron origen al llamado Siglo de las Luces, al haber él demostrado que, si observa y razona, la gente podría descubrir la esencia de la naturaleza física. ¡Qué profundidad hay en que todas las lunas, los planetas y las estrellas, así como las galaxias, tengan esa regla tan bellamente sencilla que los rige! La formulación de esta regla sencilla es una de las razones principales de los éxitos científicos que siguieron, ya que dio la esperanza para describir también otros fenómenos del mundo mediante leyes igual de sencillas y universales. Esta esperanza nutrió el pensamiento de muchos científicos, artistas, escritores y filósofos del siglo XVIII. Uno de ellos fue John Locke, inglés, que sostenía que la observación y la razón, como lo demostró Newton, deben ser nuestro mejor juez y guía en todas las cosas, y que toda la naturaleza y hasta la sociedad se debe investigar para intentar descubrir todas las “leyes naturales” que pudieran existir. Usó la física de Newton como modelo de razonamiento. Locke y sus seguidores modelaron un sistema de gobierno que encontró partidarios en las trece colonias británicas de más allá del Atlántico. Estas ideas culminaron en la Declaración de Independencia y en la Constitución de los Estados Unidos de América.”


159

LAS MÁQUINAS SIMPLES Las máquinas simples constan sólo de un sencillo mecanismo para transformar la

energía muscular, utilizándola para producir trabajo. Todas estas máquinas trabajan con un esquema equivalente que involucra dos fuerzas: la fuerza motriz o potencia, la que se aplica sobre la máquina, indicada con una F. La fuerza resistente, la fuerza que a vencer y se representa con una R. A la relación matemática entre las dos fuerzas (F y R) se le llama ley de una máquina simple.

Cuando se habla de relaciones entre dos magnitudes, se utiliza el cociente entre las dos: una dividida entre la otra, en este caso R sobre F (R/F). A este cociente le llamamos ventaja mecánica (Vm) porque nos informa si la maquina nos ahorra esfuerzo o no.

PALANCA La palanca es una barra rígida que puede pivotear alrededor de un punto, llamado punto

de apoyo o fulcro. A la distancia entre el punto de aplicación de la fuerza motriz o potencia (F) y

el fulcro, la llamaremos brazo de potencia (bp). A la distancia entre el punto en que se aplicará

la fuerza resistente (R) -donde está el objeto a levantar- hasta el fulcro, la llamaremos brazo de

resistencia (br). La condición de equilibrio para toda palanca es

𝐹 ∙ 𝑏𝑝 = 𝑅 ∙ 𝑏𝑟

• Si hacemos fuerza en una palanca y ésta hace una fuerza resultante igual que la nuestra

(F=R), la ventaja mecánica de esta palanca es 1.

• Si la fuerza que hacemos es más pequeña que la que resulta, la relación R/F será mayor que

1 y hablaremos de palancas con ventaja mecánica (Vm).

• Si tenemos una palanca que nos devuelve una fuerza (R) más pequeña que la que nosotros

aplicamos (F), el cociente R/F será menor que 1 y, entonces, hablaremos de palancas con

desventaja mecánica.

PALANCA DE PRIMER GÉNERO: El fulcro siempre lo encontrábamos en medio, con los

puntos de aplicación de la F de la R en cada extremo. Estos tipos de palancas pueden

presentar ventajas mecánicas mayores o menores que dependiendo de la distancia del

fulcro, las palancas de primer género pueden ser eficaces o no. Las tenazas y las tijeras

también son palancas de primer género, y tienen el fulcro donde se juntan las dos piezas.

PALANCA DE SEGUNDO GÉNERO: El fulcro está situado a un extremo, y el punto de

aplicación de la fuerza resistente queda entre el fulcro y el punto de aplicación de la fuerza

motriz. Estas palancas siempre presentan ventaja mecánica, con un coeficiente R/F > 1. El

ejemplo clásico es el de la carretilla en que el fulcro es la rueda.

PALANCA DE TERCER GÉNERO: En este género de palanca volvemos a encontrar el fulcro en

un extremo, pero ahora es el punto de la aplicación de la fuerza (F) el que se encuentra en

medio del fulcro y el punto de aplicación de la fuerza resistente (R). La ventaja mecánica de

la palanca de tercer género siempre es más pequeña que 1. Las palancas de tercer género

se usan para trabajos que requieren fuerzas pequeñas, pero una buena precisión y control

(como en el caso de las pinzas) o para alargar el punto de aplicación de una fuerza (por

ejemplo, en una escoba).

EL TORNO

El torno consta de un cilindro o rodillo con una manivela que permite hacerlo girar. El rodillo

recoge la cuerda y eleva el objeto que deseamos levantar; en este caso, el balde lleno de agua.

La fuerza resistente R es la que hace la cuerda para levantar el balde, equivalente a la del peso

del balde, pero en sentido contrario. En el torno debemos tener en cuenta, además, el radio de

giro de la manivela (rm) y el radio del cilindro del torno (rc).

Ley del torno: La ley del torno relaciona las fuerzas con estos dos radios: cuanto más grande es

el radio de la manivela respecto al cilindro, menos fuerza se tendrá que realizar.

𝐹 ∙ 𝑟𝑚 = 𝑅 ∙ 𝑟𝑐

POLEA FIJA

Una polea es una rueda o estructura cilíndrica con un eje

central alrededor del que puede girar, y en que se encaja

una cuerda o cable que circula por su exterior. La Ley en

una polea fija indica que, cuando estiramos la cuerda,

nuestra fuerza se transmite íntegramente a través de la

cuerda hasta el objeto que queremos levantar. Y su

ventaja mecánica será, lógicamente Vm = 1

F = R


161

POLEA MOVIL

En este caso se presente una polea sostenida por la soga y se

cuelga la carga desde su eje. Por ello esta cuenta con la ventaja

mecánica de repartir la mitad de la carga una soportada por el

techo y la otra mitad la deberá realizar el operario. Su ventaja

mecánica es 2 por lo que me permite hacer la mitad de la

fuerza necesaria para levantar la carga R.

𝑭 =𝑹

𝟐

APAREJO FACTORIAL

Sistema de poleas consistente en igual cantidad de poleas móviles

y fijas. Permite levantar cuerpos pesados, cuantas más poleas

disponga menor será el esfuerzo. Es muy empleado y es menos

eficiente que el aparejo potencial. Su esquema básico es:

𝐹 =𝑅

2𝑛

APAREJO POTENCIAL

Sistema de poleas que consta principalmente de una polea fija y una o más poleas móviles. Permite levantar cuerpos pesados con poco esfuerzo. Su esquema básico es:

𝐹 =𝑅

2𝑛

POLIPASTOS

La ventaja mecánica de los polispastos depende

directamente del número de poleas móviles (n) del

polispasto de igual forma que los aparejos factoriales.

𝐹 =𝑅

2𝑛

Péndulo Simple Toda partícula suspendida de un cordón ligero e inextensible se denomina péndulo

simple, este es un cuerpo idealizado que al alejarlo de su posición de equilibrio y se lo suelta

este oscila en un plano vertical bajo la influencia de la gravedad.

El movimiento es periódicos y oscilatorio. Para poder estudiar este tipo de movimiento se

determina podemos identificar las fuerzas aplicadas al cuerpo la fuerza tensión �� y la fuerza

peso �� . La componente radial del peso se equilibra con la tensión y la componente tangencial

es la fuerza de restitución que provoca que el cuerpo intente volver a su posición de equilibrio.

𝐹 = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 𝑠𝑒𝑛(휃)

Cuando la amplitud del ángulo es pequeña por ejemplo 5° podemos aproximar

휃 ≈ 𝑠𝑒𝑛(휃)


163

Y obtenemos

𝐹 = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙ 휃

𝐹 = −𝑚 ∙ 𝑔 ∙𝑥

𝐿

𝐹 = −(𝑚𝑔

𝐿) 𝑥

Para desplazamientos pequeños la fuerza de restitución es proporcional al desplazamiento y

opuesta, criterio de un movimiento armónico simple como el de un resorte que oscila.

Por todo esto se puede definir el período del péndulo de la siguiente manera:

𝑇 = 2𝜋√𝑙

𝑔

Nótese que el período no depende de la masa que se suspenda, solo dependerá de la longitud

del hilo y del lugar en el que se encuentre.

Biografía

Isaac Newton fue un científico inglés, nació

en el día de navidad en 1642 del calendario

antiguo. Su madre preparó un futuro de

granjero para él, pero después se

convenció de que su hijo tenía talento y lo

envió a la Universidad de Cambridge,

donde para poder pagarse los estudios

comenzó a trabajar. Newton en la

universidad no destacó especialmente. Su graduación fue en 1665. Después de esto se inclinó a

la investigación de la física y de las matemáticas. Debido a esto a los 29 años formuló algunas

teorías que le llevarían por el camino de la ciencia moderna hasta el siglo XX. Isaac es

considerado como uno de los principales protagonistas de la "revolución científica" del siglo XVII

y el "Padre de la mecánica moderna". Pero él nunca quiso dar publicidad a sus descubrimientos.

Newton coincidió con Gottfried Leibniz en el descubrimiento del cálculo integral, lo que

contribuyó a una renovación de las matemáticas. También formuló el teorema del binomio, que

es llamado el binomio de newton. Aunque sus principales aportes fueron en el ámbito de la

ciencia. Primeras investigaciones: Las primeras investigaciones giraron en torno a la óptica,

donde explicó que la luz blanca era una mezcla de los colores que tiene el arcoíris. Con esto hizo

una teoría sobre la naturaleza corpuscular de la luz. En 1668 diseño el primer telescopio

reflector, el cual es un tipo de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios

astronómicos. Con esto escribió la obra "óptica" (1703) donde recogió su visión de esta materia.

Trabajo también en áreas como la termodinámica y la acústica. Su lugar en la historia se lo debe

a la nueva fundación de la mecánica. Donde en su obra "Principios matemáticos de la filosofía

natural" formuló las tres leyes fundamentales del movimiento: La primera: ley de inercia, la que

dice que todo cuerpo tiende a estar en movimiento uniforme o reposo si no se le aplica sobre él

alguna fuerza. La segunda: Principio fundamental de la dinámica, según el cual la aceleración

que tiene un cuerpo es igual a la fuerza ejercida sobre él, dividida por su masa. La tercera: explica

que por cada fuerza o acción que se hace sobre un cuerpo, existe una reacción igual, pero de

sentido contrario. De estas tres leyes, después él dedujo la cuarta, La ley de gravitación

universal. Descubrió que la atracción que hay entre la tierra y la luna es directamente

proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

que hay entre ellas, donde se calcula la fuerza mediante el producto del cociente por una

constante "G". Después de esto Newton se dedicó a aplicar esos principios generales y a resolver

problemas concretos, como predecir la posición exacta de los cuerpos celestes. Con esto se

convierte en el mayor astrónomo del siglo. En 1703 fue nombrado presidente de la Royal Society

de Londres. En 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana I. Falleció el 20 de marzo de 1727

de calendario Juliano.


165


APLICACIÓN

Estática (Alvarenga, 2008)

1) Realizar las siguientes conversiones de unidades

100 kgF = N

34,56 T = KgF

8,54 h = h min s

800000 mm = Km

2500 N = gF

1000 cm = m

987600 gF = KN

94876s = h min s

300 m2 = cm2

952 min = s

480 MN = N

1,5 MkgF = KgF

200dm = mm

60000 s = h

200 dm = mm

10 KN = KgF

8h 10min 15s = s

2) ¿Qué es una magnitud escalar y vectorial? ¿Cuáles son las diferencias y características de

cada una de ellas? 3) Defina y explique las características de una fuerza.

4) ¿En qué unidades se mide la Fuerza (al menos tres unidades y a que sistema de unidades

pertenece cada una)?

5) Un semáforo está sostenido por un sistema que consta de un brazo horizontal y un cable

inclinado, según se observa en la figura de este problema. En el punto A (de donde cuelga el semáforo) actúan las siguientes fuerzas: el peso del semáforo, cuyo valor es P = 20 N.; la tensión T del cable, y la fuerza F de reacción del brazo sobre el cable. Recordando que el sistema está en equilibrio, determine los valores de T y F.

6) Se desea poner en equilibrio un estante de 5 metros de largo y peso despreciable que está apoyado en un punto fijo, el cual dista 2 metros de un extremo. En ese extremo hay un peso de 30 Kg. Para lograr el equilibrio se dispone de dos cuerpos de 20 Kg y 5 Kg. ¿A qué distancia del punto de apoyo debe ubicárselos para que se logre el objetivo? (Resolución gráfica y analítica)

7) Dos personas sostienen, en equilibrio, un peso de 20N por medio de dos cuerdas separadas por un ángulo de 45º. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza F que cada persona ejerce?

(Asuma que ambas son iguales) b) Si las personas aumentarán la inclinación de las cuerdas

(en relación con la vertical) de manera que el ángulo se vuelva mayor a 45º, ¿la fuerza F que cada una debe ejercer será mayor, menor o igual que el valor calculado en (a)?

8) Un puente esta sostenido desde la parte superior de cuatro postes (dos en cada extremo) a los cuales está unido por cuerdas que forman un ángulo de 30º (respecto a la vertical). Sabiendo que cada poste mide 6 metros de altura y el peso del material del puente es 10 MN. ¿Qué fuerza vertical “hunde” al poste?

9) En el problema anterior y para evitar que se quiebren los postes, se coloca un tensor hacia afuera (una cuerda desde la parte superior de cada poste hacia el lado opuesto al puente) que se anclan (fijan al suelo) a 4 metros del poste. ¿Qué fuerza hay sobre el punto de anclaje?

10) La partícula de la figura se encuentra en equilibrio bajo la acción de un sistema de fuerzas representado. Si F4= 25 N, ¿cuál es la magnitud, la dirección y sentido de la resultante de las demás fuerzas que actúan en la partícula? (Solución Grafica)

11) Un mueble de 3 m cuyo peso es 5000 KgF es empujado sobre una superficie sin rozamiento, desde sus extremos por dos personas hacia un mismo lado, que lo hacen aplicando 500 KgF y 9.800 N c/u de ellos. Determinar la resultante en forma gráfica y analítica.

12) Una pelota de gran masa está suspendida por una cuerda desde arriba, mientras alguien tira lentamente de ella con una cuerda desde abajo. ¿Dónde es la mayor tensión: en la cuerda superior o en la inferior? ¿Cuál de ellas tiene mayor probabilidad de romperse? ¿Qué propiedad es más importante aquí: la masa o el peso?

13) Si en vez de tirar la cuerda inferior con lentitud, se tira de ella con fuerza y repentinamente, ¿cuál cuerda tiene mayor probabilidad de romperse? ¿Qué propiedad es importante en este caso: la masa o el peso?

14) Un puente colgante esta sostenido por un par de postes a los cuales está unido por cuerdas que forman un ángulo de 20º (respecto a la vertical). El peso del material del puente es 5000 KgF. y cada poste soporta en forma horizontal una fuerza máxima de 39.200 N antes de quebrarse. ¿Qué peso máximo puede sostener el puente antes de ceder?

15) Para una subestación eléctrica, se ha construido a 200 metros una similar como respaldo de la primera. Para garantizar un suministro eléctrico continuo se debe unir ambas con una línea de alta tensión, que está compuesta por 4 cables de aleación de aluminio reforzado,


167

que pesan 50 Kg por metro cada uno. Por la distancia la interconexión se realizará sin ningún punto intermedio. Sabiendo que el punto medio del cable (que es donde puede considerarse que está representado todo el peso del mismo) desciende 50 cm por cada 10 metros de separación de los puntos de apoyo calcular cual es la fuerza horizontal que debe realizar cada uno de los postes.

16) Un arado se desplaza en movimiento rectilíneo uniforme,

tirado por dos caballos que ejercen sobre él las fuerzas F1 y F2 que se indica en la figura. Cada una de ellas vale 100 N, y F es la fuerza total de resistencia que tiende a impedir el movimiento del arado. a) ¿El arado está en equilibrio?. b) ¿Cuál es valor de la resultante de las fuerzas que actúan

sobre él? c) Use el teorema de Pitágoras y calcule la resultante de F1

y F2. d) ¿Cuál es el valor de de la fuerza F?.

17) Sobre un cuerpo se están aplicando dos fuerzas con un ángulo de 30º y 50º cada una de ellas

respecto a la dirección de avance y que tienen un valor de 80 KgF y 120 KgF. Calcular gráfica y analíticamente una fuerza que reemplace esas dos.

18) Una esfera de acero, cuyo peso es P= 50 N está suspendida de una cuerda atada a un poste. Una persona, al ejercer sobre la esfera una fuerza F horizontal, la desplaza lateralmente, manteniéndola en equilibrio en la posición que se muestra en la figura. ¿Cuánto vale la tensión T y la fuerza F?

19) Un bloque, cuyo peso es de 50 N, está sostenido por dos

cuerdas verticales. Cada una de esas cuerdas es capaz de soportar una tensión hasta de 60 N, sin que se rompa. a) ¿Cuál es el valor de la tensión T en cada cuerda? b) ¿Se podría usar una de ellas sin que se rompa, para

sostener la esfera del problema anterior, en la posición mostrada? ¿Podría ser empleada por la persona para tirar lateralmente de la esfera?

20) Sobre un cuerpo se están aplicando dos fuerzas con un ángulo de 15º entre si y que tienen

un valor de 100 KgF y 150 KgF. Calcular gráfica y analíticamente una fuerza que cancela esas dos.

21) Un artista de circo, con 700 N de peso, está en equilibrio en el centro de un cable de acero. Los valores posibles de T1 y T2 son: a) T1=T2= 250 N b) T1= 250 N, T2= 450 N c) T1= 350 N, T2= 450 N d) T1= T2 = 350 N e) T1 = T2 = 500 N

22) De una balanza cuelga una roldana hay un cable con un peso en un extremo y una barra de 40 cm en el otro. De la barra (de peso despreciable y 40 cm de longitud) han colgado 8 KgF en una punta (Punto A), a 20 cm de A un peso de 4 KgF, a 30 cm de A un cuerpo de 2 KgF, en el extremo opuesto a A uno de medio KgF y a 5 cm de este uno de 1 KgF. Si el sistema está en equilibrio y la barra se mantiene horizontal, indicar a que distancia de A esta colgada la barra y que peso indica la balanza.

23) Un cuerpo de 8.7 N está sujetado por dos cuerdas: MQ, horizontal, y QN, que forma un ángulo de 60º con la horizontal según indica la figura, Las fuerzas que actúan a lo largo de las cuerdas valen: a) F1= 5 N y F2= 8.5 N b) F1= 0 N y F2= 10 N c) F1= 8.5 N y F2= 10 N d) F1= 5 N y F2= 10 N e) F1= 0 N y F2= 8.5 N

24) Para mover un carro se usan dos bueyes de tiro que empujan con una fuerza de 5 KN c/u,

los dos están unidos a la punta delantera del carro de forma que cada cuerda mide 4 metros y los animales están separados dos metros entre sí. Calcular gráfica y analíticamente la resultante.

25) De los extremos de una barra de 5m que está suspendida en el aire, cuelgan dos personas cuyos pesos son 80 KgF. y 70 KgF.; si la barra se mantiene en una horizontal perfecta, indicar gráfica y analíticamente a que distancia del más pesado de los cuerpos se encuentra colgada la barra.

26) Dos hombres tiran de una embarcación en un canal, ejerciendo sobre ella las fuerzas F1=

300 N y F2= 400 N. a) Determine las componentes de cada

una de tales fuerzas en la dirección perpendicular a las orillas del canal.

b) Para que la embarcación no se desvíe hacia una de las orillas, una tercera persona ejerce sobre ella una fuerza F3, perpendicular a aquéllas. ¿Cuál es la magnitud y el sentido de F3?

c) ¿La fuerza F3 influye en el desplazamiento de la embarcación en la dirección del canal?


169

27) Sobre un estante se han colocado tres artículos, que visto de un extremo al otro pesan 30 mil gF, 80 KgF y 490 N, respecto al del medio el de menor peso dista 5 metros y trescientos centímetros el otro. Calcular gráfica o analíticamente el valor de la resultante y su ubicación respecto al cuerpo de mayor peso.

28) A 100 metros de una planta generadora de electricidad, se ha instalado una estación transformadora. Para garantizar un suministro eléctrico continuo se debe unir ambas con una línea de alta tensión, que está compuesta por 3linea de 2 cables cada uno, de aleación de aluminio reforzado, que pesan 20 Kg por metro cada uno (cada cable de cada línea). Por la distancia la interconexión se realizará sin ningún punto intermedio. Sabiendo que el punto medio del cable (que es donde puede considerarse que está representado todo el peso de este) va a estar 1 metro por debajo de la horizontal que une los puntos de apoyo, indicar es la fuerza vertical que debe realizar cada uno de los postes.

29) Dos postes verticales de 10 metros de altura tienen en el extremo superior una soga, con la que forma un ángulo de 30º, en la otra punta de las sogas hay una persona que pesa 80KgF. Que fuerza total, vertical y horizontal está soportando c/u de los postes?

30) Sobre un cuerpo se están aplicando dos fuerzas con un ángulo de 70º entre si y que tienen un valor de 100 KgF y 150 KgF. Calcular gráfica y analíticamente una fuerza que cancela esas dos.

Dinámica

1) Un muelle con una constante de elasticidad de 75 N/m se ha alargado 4 cm.

a) ¿Qué fuerza hemos ejercido para estirarlo?

b) Si lo estiramos con una fuerza de 6 N, ¿cuántos centímetros se alargará?

2) Calcula la constante de elasticidad de cada dinamómetro.

a) Con una medida de 6 N se alarga 10 cm.

b) Con una medida de 50 N se alarga 14 cm.

c) Con una medida de 200 N se alarga 14 cm.

3) ¿Cuál es el valor de las constantes de elasticidad de los siguientes muelles? ¿Cuál es más

blando es decir más fácil de estirar?

4) Dos amigas van en un coche y de pronto se les para el motor. Una de las dos baja a empujar

ejerciendo una fuerza de 300 N hasta que consigue que el motor vuelva a arrancar con una

fuerza de 6000 N. Sabemos que la masa del coche con la conductora es de 1200 kg y que el

coeficiente de rozamiento de las ruedas con el asfalto es de μ = 0,3.

a) Dibuja las fuerzas existentes en la dirección del movimiento (eje X) y en la dirección

perpendicular al movimiento (eje Y) justo en el momento en el que el coche arranca.

b) Calcula el valor de la normal aplicando la segunda ley de Newton al eje Y.

c) Calcula el valor de la fuerza de rozamiento del coche con el asfalto.

d) Calcula la aceleración con la que arrancaría el coche aplicando la segunda ley de Newton al

eje X.

e) Si mantuviera el motor del coche la misma fuerza de 6000 N después de que la amiga dejase

de empujar, ¿con qué aceleración se movería?

5) Calcula la fuerza que hay que hacer para levantar el peso de los siguientes mecanismos.

6) Sitúa la potencia, la resistencia y el fulcro o punto de apoyo de las palancas de primer,

segundo y tercer grado.


171

7) Escribe la ley de la palanca para cada caso de los descritos a continuación y resuelve el

problema planteado.

a) Aplicamos una fuerza de 35 N en un cascanueces que mide 15 cm de largo y tiene el

punto de apoyo a 3 cm del extremo. ¿Qué fuerza opone la nuez?

b) ¿Qué fuerza hay que ejercer para levantar una piedra de 150 kg con una palanca de 3 m

de largo, cuyo punto de apoyo está a 50 cm de la piedra?

c) ¿Qué fuerza habrá que ejercer para levantar una carretilla cargada con 50 kg de piedras,

a 35 cm del eje de la rueda si los mangos están a 80 cm del mismo eje?

8) Si Ud. ve un cuerpo en reposo, puede afirmar que:

a) No hay fuerzas aplicadas sobre el cuerpo.

b) La suma de las fuerzas aplicadas es mayor que cero.

c) La suma de las fuerzas aplicadas es igual a cero.

d) La suma de las fuerzas aplicadas es menor que cero.

9) Si un cuerpo se mueve con M.R.U.V. podemos decir que:

a) La suma de las fuerzas aplicadas es igual a cero.

b) La suma de las fuerzas aplicadas es mayor o menor a cero.

c) No hay fuerzas aplicadas sobre el cuerpo en movimiento.

d) No hay suficiente información para determinar las causas del movimiento.

10) En la tabla siguiente presentamos las aceleraciones adquiridas por tres cuerpos A, B y C,

cuando las fuerzas indicadas actúan sobre ellos.

F(N) a(m/s2)

Cuerpo A 20 1.0

Cuerpo B 10 2.0

Cuerpo C 4 0.80

Basándonos en esta tabla, concluimos que entre las masas de estos cuerpos existe la

siguiente relación (indicar la o las correctas)

a) 𝑚𝐴 > 𝑚𝐵 > 𝑚𝐶

b) 𝑚𝐵 < 𝑚𝐴 < 𝑚𝐶

c) 𝑚𝐶 < 𝑚𝐴 > 𝑚𝐵

d) 𝑚𝐶 = 𝑚𝐴 = 𝑚𝐵

e) 𝑚𝐴 > 𝑚𝐵 = 𝑚𝐶

11) Un disco de hielo seco, al ser deslizado sobre una superficie horizontal por una fuerza de

tracción F, también horizontal, adquiere una aceleración a. La tabla siguiente indica diversos

valores de F y a que se obtuvieron en un experimento.

F(N) 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00

a (m/s2) 0.40 0.80 1.20 1.60 2.00

a) Con los datos de esta tabla trace el diagrama (gráfico) F x a. b) Calcule la pendiente de la gráfica.

c) Con la respuesta de la pregunta b, diga cuál es el valor de la masa del disco.

12) Un cuerpo de 2 kg de masa está sometido a una fuerza de 6 N. Calcular su aceleración

13) Calcular la fuerza necesaria para comunicar a un cuerpo que pesa 6KgF, una aceleración de 3 m/s2.

14) Una fuerza actúa sobre un cuerpo de 5 kg de masa, pasando la velocidad de éste de 7 a 3m/s

en 2 segundos. Calcular la fuerza.

15) Un automóvil que pesa 1.000 KgF, marcha a una velocidad de 90 km/h. Calcular la fuerza retardadora de los frenos para detenerlo en 70 m sobre una carretera horizontal.

16) Una locomotora de 10 Tm (tonelada métrica), empuja a otra de 50 Tm sobre una vía

horizontal y ambas adquieren una aceleración a1=1m/s2. Calcular la aceleración (a2) que adquirirían si la locomotora arrastrada fuera de 20 Tm y la primera empujara con la misma fuerza.

17) Un cuerpo de 25 KgF, cuelga del extremo de una cuerda. Hallar la aceleración de dicho

cuerpo si la tensión en la cuerda es: a) 25 KgF b) 20 KgF c) 40 KgF

18) Se desea mover un objeto cuya masa es 120 kg al techo de un edificio que está a una altura de 100 metros, para ello se dispone de un motor que tiene una fuerza máxima de 1000 N. ¿Es posible lograrlo?

19) Un proyectil de 250 kg es lanzado con un cañón y 0,4 segundos después de disparado alcanza su velocidad máxima que es 1200 m/s. ¿Qué fuerza se aplicó para lograr eso?

20) Un camión de carga pesa en total 25 Ton y viaja a 100 km/h cuando ve que delante hay un problema en el camino. ¿Si los frenos aplican una fuerza de 5 mil N? a) ¿Qué desaceleración aplican los frenos? b) ¿Cuánto tiempo demora en detener la marcha por completo? c) ¿Cuántos metros como mínimo necesita para frenar completamente?

21) Un vehículo que pesa mil KgF, viajando a 360 Km/h demora 0,5 segundos en detenerse cuando se estrella contra un muro de concreto. Calcular: a) ¿Con qué aceleración se detiene el vehículo? b) ¿Cuál es la fuerza que aplasta al vehículo?

22) Una pelota de cuya masa es 500 g es pateada de forma tal que 600 milisegundos después

alcanzan su velocidad máxima (80 km/h) ¿Qué fuerza fue necesaria para lograrlo?


173

23) Un motociclista pesa junto a su vehículo 400 KgF viaja a 100 km/h por la ruta cuando delante de él tiene una curva de 400 m de longitud y 250 m de radio.

a) ¿Qué fuerza debe hacer hacia adentro de la curva para no caerse? b) ¿Cómo lo logra? ¿Qué hace? ¿Cuánto? c) ¿Qué debe cambiar si el peso total fuera de 500 KgF?

24) Un montacargas de 3.200 KgF de peso, asciende con una aceleración de 1 m/s2. Hallar la tensión en el cable.

25) Un cuerpo de 2 kg de masa pende del extremo de un cable. Calcular la tensión de este, si la aceleración es de:

a) 5 m/s2 hacia arriba b) 5 m/s2 hacia abajo

26) La figura de este problema muestra a una persona, de peso P, en el interior de un ascensor que avanza con una aceleración a dirigida hacia arriba. La fuerza F1 es aquella con la que la persona comprime el piso del ascensor, y F2 es la fuerza del piso del mismo sobre la persona. De las afirmaciones siguientes señale las que son correctas. a) El valor de la resultante de las fuerzas que actúan sobre la

persona es F2 - P - F1. b) F2>P porque la persona posee una aceleración hacia arriba. c) F1=P, o sea, la compresión de la persona sobre el piso es igual

a su peso. d) F2=P, porque constituyen un grupo de acción y reacción. e) F1=F2, porque constituyen un grupo de acción y reacción

27) A un cuerpo pesa en la tierra 1000 Kg, durante 60s se le aplica una fuerza de 5000 N, desde ese momento viaja 5 minutos sin ninguna fuerza aplicada sobre él, tras lo cual se le opone una fuerza de 100Kg para frenarlo, la que desaparece en el momento en que el cuerpo se detiene.

a) ¿Qué velocidad máxima alcanza el cuerpo? b) ¿Qué distancia recorre hasta alcanzar esa velocidad máxima? c) ¿Qué distancia recorrer con MRU? d) ¿Cuánto tiempo actúa la fuerza de frenado hasta que el cuerpo se detiene por

completo? e) ¿Qué distancia total recorre el cuerpo desde que comienza a moverse hasta que

se detiene?

28) De una cuerda que pasa por una polea, pende dos masas, una de 7 kg y otra de 9 kg. Suponiendo que no hay rozamiento, calcular la aceleración y la tensión de la cuerda.

29) Calcular la fuerza que un hombre de 90 kg de peso ejerce sobre el piso de un ascensor cuando: a) Está en reposo b) Asciende a una velocidad constante de 1 m/s c) Desciende con una velocidad constante de 1 m/s d) Asciende con una aceleración constante de 1 m/s2 e) Desciende con una aceleración constante de 1 m/s2

30) Calcular la aceleración mínima con la que un hombre de 90 KgF de peso, puede deslizar hacia abajo por una cuesta que solo puede soportar una carga de 75 KgF.

31) Un conductor viaja en su automóvil (que pesa con la carga 1200 kg) por la ruta a 180 km/h, delante de él se produce un accidente que lo obliga a detener su marcha en el mínimo tiempo posible. Cuando ve el accidente, se encuentra a 1 Km de este y demora 10 segundos en darse cuenta de lo que es y comenzar a frenar, si se detiene por completo 200 metros antes del mismo. a) ¿Qué distancia recorre antes de frenarse? b) ¿Cuánto tiempo demora en frenarse? c) ¿Con que desaceleración se frena? d) ¿Qué fuerza aplican los frenos?

32) Se dispone de un móvil de peso 1.960 N cuyo estado inicial es reposo y al que se le aplica

una fuerza de 1.000 N durante 50 segundos. Luego el móvil continúa su viaje durante otros 200 segundos antes de comenzar a frenarse con a = -2 m/s2 hasta que detiene por completo. Indicar la distancia total que recorre el móvil (Ayuda - Realizar previamente los siguientes cálculos: a) ¿Cuál es la masa del cuerpo? b) ¿Qué aceleración adquiere el cuerpo para comenzar a moverse? c) ¿Qué velocidad máxima alcanza el cuerpo? d) ¿Qué distancia recorre en ese tiempo? e) ¿Qué velocidad tiene mientras viaja con MRU? f) ¿Qué distancia recorre con MRU? g) ¿Cuánto tiempo demora en frenar? h) ¿Qué distancia recorre durante el frenado?

33) Un ascensor arranca hacia arriba con una aceleración constante de forma que a los 0,8s ha ascendido 1m. Dentro de él va un hombre que lleva un paquete de 3 KgF colgado de un hilo. Calcular la tensión del hilo

34) Un plano inclinado forma un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular la fuerza constante paralela al plano que se necesita aplicar a un bloque de 40 KgF de peso para desplazarlo, suponiendo que no hay rozamiento, a) Hacia arriba con una aceleración de 1 m/s2. b) Hacia abajo con una aceleración de 1 m/s2.

35) Un plano inclinado que forma un ángulo de 25º con la horizontal, tiene una polea en su parte superior. Un bloque de 10 KgF de peso está apoyado sobre el plano y unido, por medio de una cuerda que pasa por la polea, a un cuerpo de 5 KgF de peso que cuelga libremente.


175

Suponiendo que no hay rozamiento, calcular el espacio que recorrerá el cuerpo de 5 en 2 KgF segundos partiendo del reposo.

36) En los siguientes sistemas, cuál cree Ud. Se movería con mayor aceleración.

37) Un cuerpo de masa m = 2.5 kg se desplazaba sobre una superficie horizontal lisa, con una velocidad v1=3.5 m/s. Al ejercerse sobre el cuerpo una fuerza F horizontal, de magnitud constante, en sentido contrario a la velocidad v1, se comprobó que después de un intervalo de tiempo Δt = 1.5 s, el cuerpo estaba moviéndose con una velocidad v2 = 2.5 m/s, en sentido contrario al movimiento inicial. a) Describa el movimiento del cuerpo durante el intervalo de tiempo t. b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración que F produce al cuerpo? c) ¿Cuál es el valor de la fuerza F?

38) Una piedra de masa m= 0.50 kg está colgada, en equilibrio, en el extremo del cordel, como muestra la figura (a) de este problema. ¿Cuál es el valor de la tensión T, del cordel? Suponga que la piedra se haga oscilar (como un péndulo) en la forma de indicada en la figura (b). Al pasar por el punto más bajo de la trayectoria, el valor de T, ¿es mayor, menor o igual de P? Explique.

39) Un bloque está siendo arrastrado sobre la superficie de una mesa por la acción de una fuerza F. Suponga que también actúa sobre el cuerpo una fuerza de fricción cinética FC = 2N. a) ¿Cuál es el cuerpo que ejerce la fuerza FC sobre el

bloque? b) ¿Cuál es la magnitud, la dirección y el sentido de la

reacción de la fuerza FC? c) ¿En qué cuerpo está aplicada esta reacción?

40) Un bloque es comprimido contra una pared por una fuerza F,

según muestra la figura de este problema. En las afirmaciones siguientes existe una equivocada. ¿Cuál es?

a) La pared ejerce sobre el bloque una reacción normal de misma magnitud y de sentido contrario a F.

b) Si el bloque permanece en reposo, existe una fuerza de fricción estática que actúa sobre él, dirigida hacia arriba.

c) Si el cuerpo permanece en reposo, podemos concluir que la fuerza de fricción estática de la pared sobre él es mayor que el peso del bloque.

d) Si el valor de F es nulo, no habrá fuerza de fricción de la pared sobre el bloque. e) Si el coeficiente de fricción entre la pared y el cuerpo es nulo, este caerá, no importa

cuán grande sea el valor de F.

41) Una persona, que pesa 60 N, está acostada en una red cuyos extremos están detenidos mediante cuerdas, a paredes verticales. Si las cuerdas forman con las paredes ángulos de 30º y 60º, calcule la tensión en cada una de estas.

42) Un bloque de peso igual a 100 N está siendo arrastrado hacia arriba con movimiento uniforme y a lo largo de un plano inclinado sin fricción, aplicándole una fuerza F (véase figura de este problema). Entre las afirmaciones siguiente, señale las que son correctas. a) El bloque ejerce sobre el plano una compresión normal

igual a 100 N. b) El componente del peso que tiende a hacer que

descienda el cuerpo vale 50 N. c) La resultante de las fuerzas que actúan sobre el bloque es nula. d) El valor de la fuerza F que la persona está ejerciendo sobre el bloque es mayor de 50 N. e) La reacción Normal del plano sobre el cuerpo

arrastrado es nula, pues no hay fricción entre ellos.

43) Un obrero trata de empujar una caja sobre un plano horizontal, como muestra la figura (a) de este problema, y no consigue ponerla en movimiento. Intuitivamente, se agacha y empuja la caja aplicando la fuerza como vemos en la figura (b), y en este caso, con el mismo esfuerzo, logra su intento. Explique la razón.

44) La figura de este problema considere que el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el plano vale μC= 0.10. Calcule el valor de la fuerza F que la persona ejerce, suponiendo que:

a) El bloque sube con velocidad constante.

b) El bloque desciende con velocidad constante.


177

45) La figura (a) de este problema muestra un cuerpo de peso P= 400 N, colgado de una polea fija y sostenido por una persona. La polea fija facilita la tarea de sostener (o levantar) el cuerpo. Pero como podrá comprobar fácilmente, la persona deberá ejercer, para equilibrarlo, una fuerza F igual al peso del cuerpo suspendido. La figura (b) muestra el mismo cuerpo atado al eje de una polea móvil, o sea, una polea que se puede desplazar hacia arriba o hacia abajo. Observe que esta polea está suspendida por una fuerza F que la persona ejerce, y por otra, también igual a F, que ejerce el apoyo fijo.

a) ¿Qué valor de la fuerza F debe ejercer la persona para sostener el peso suspendido del eje de la polea móvil? (Desprecie el peso de la polea).

b) Para facilitar la elevación de cuerpos pesados, es común combinar una polea fija y una móvil, como en la figura (c). En este caso, ¿cuál debe ser el valor de F para sostener el cuerpo suspendido? Entonces, ¿cuál es la ventaja de emplear este sistema?

46) En la figura respectiva se representa un bloque de peso igual a 1 N, apoyado sobre un plano inclinado, que forma con el plano horizontal un ángulo β=60º. Sabiendo que el coeficiente de fricción estático entre el bloque y el plano inclinado es igual a 0.50, para que el bloque quede en reposo sobre el plano inclinado, ¿Cuál debe ser el mínimo valor de la fuerza F?

47) Cuando se desea elevar un peso muy grande, normalmente se emplea un sistema de poleas como el de la figura de este problema. Recordando lo que aprendió acerca de las poleas en el problema anterior, determine el valor de la fuerza F necesaria para sostener el peso de 400 KgF (desprecie el peso de las poleas).

48) Suponga que el bloque de la figura pesa 20 KgF, los coeficientes de

fricción entre él y la superficie valen μe= 0.40 y μc= 0.20. Ejerciendo sobre el bloque una fuerza F de 5 KgF, comprobamos que permanece parado. a) ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción estática fre, que actúa

en el bloque? b) ¿Cuál debe ser el mínimo valor de F para que el bloque se ponga en movimiento? c) Una vez en que se inicie el movimiento, ¿cuál

debe ser el valor de F para mantener al cuerpo en movimiento uniforme?

49) Un bloque, cuyo peso es de 100 KgF, se encuentra en reposo sobre un plano inclinado,

siendo el ángulo de 30º. a) ¿Cuál es el valor de la componente PN del peso del bloque, en la dirección perpendicular

al plano? b) ¿Cuál es el valor de la reacción normal N del plano sobre el bloque? c) ¿Cuál es valor de la componente PT del peso del bloque en la dirección paralela al plano? d) ¿Cuál es el valor de la fuerza de fricción estática que el plano ejerce sobre el bloque? e) Suponga que una persona empieza a empujar el bloque con una fuerza F creciente

paralela al plano y dirigida hacia abajo. Siendo μe= 0.70 el valor del coeficiente de

fricción estática entre el plano y el bloque, ¿Para qué valor de F comenzará el cuerpo a descender por el plano?


179

¿Qué es un fluido? La materia se presenta en distintos estados o fases, cuyas propiedades y características son diferentes. Históricamente, se reconocieron tres estados, de acuerdo con distinciones cualitativas entre sus propiedades macroscópicas. Actualmente, las distinciones entre estados de la materia están basadas en diferencias en sus interacciones moleculares y así se pueden reconocer por lo menos cuatro estados diferentes: • Sólido. Es el estado en el cual la materia tiene forma y

volumen definidos. En este caso, la atracción intermolecular mantiene a las moléculas en posiciones relativas fijas.

• Líquido. Es el estado en el que la materia mantiene un volumen definido, pero cambia su forma de acuerdo a su contenedor. En este caso, la atracción entre las moléculas logra mantenerlas relativamente próximas, pero no lo suficiente para fijar sus posiciones relativas.

• Gas. Es el estado en el que la materia se expande hasta ocupar cualquier volumen disponible. En este caso, las moléculas están relativamente separadas y la atracción intermolecular tiene un efecto despreciable en su movimiento.

• Plasma. Se trata de una sustancia compuesta por una colección de partículas libres con carga eléctrica.

A las sustancias en estado gaseoso o en estado líquido les llamamos fluidos. Esta denominación se debe a que, en determinadas circunstancias, este tipo de sustancia tiene la propiedad de escurrir o fluir, ya que su forma se adapta cualquier contenedor sólido.

En esta unidad nos concentraremos en el estudio de las propiedades mecánicas de los fluidos que se encuentran en reposo.

¿Cuál es el estado de la materia más abundante en el Universo?

CAPÍTULO 5: HIDROSTÁTICA Y NEUMOSTÁTICA

Líquidos y gases en el Universo

Aunque los líquidos y gases son fluidos, la distinción entre fluidos y sólidos no es completamente obvia. Para hacer una distinción rigurosa, es necesario evaluar una propiedad de las sustancias conocida como viscosidad. Un caso bien documentado, por ejemplo, es el de una sustancia muy común en nuestras ciudades y carreteras, conocida como asfalto. El asfalto se puede encontrar de manera natural en depósitos de petróleo crudo, pero se obtiene también fácilmente como un subproducto en las refinerías petroleras. Se trata de una sustancia que al tacto parece dura, pero que en realidad puede fluir. Esto lo demuestra el experimento de la gota de asfalto, que se empezó en 1927 y ¡todavía continúa! Consiste en dejar caer gotas de asfalto desde un embudo a otro recipiente. 70 años después de iniciar el experimento, cayó la octava gota de asfalto, y actualmente sigue formándose la gota número 9. Pero no solo los líquidos que parecen sólidos son interesantes en el mundo de los fluidos. De hecho, gran parte del Universo está hecha de fluidos. La atmósfera y los océanos de la Tierra, son gases y líquidos, respectivamente. Incluso la roca y el metal a elevadas temperaturas son fluidos en las profundidades de la Tierra. En el Sistema Solar, Júpiter, Saturno, Urano y Neptuno son planetas gigantes gaseosos, constituidos principalmente de gases o gases comprimidos en estado líquido. Sin embargo, la materia visible más abundante en el Universo se encuentra en forma de plasma en las estrellas y en las nubes interestelares.

La forma que adoptan los fluidos está determinada por las fuerzas externas que actúan sobre ellos. En el caso de la atmósfera terrestre, por ejemplo, el gas adapta la forma de una cáscara esférica que rodea al planeta, debido a la acción de la fuerza de gravedad. Lo mismo ocurre en el caso de las estrellas y planetas gaseosos, ya que su simetría esférica obedece a la acción de la fuerza de gravedad.

En el espacio interestelar, los fluidos tienden a adoptar una forma esférica, como las gotitas microscópicas de agua que se forman en las nubes. Sin embargo, y a nivel terrestre, un líquido en un vaso, por ejemplo, adquiere su forma por la acción de la fuerza de gravedad y de las paredes del vaso.


181

Extensión y dimensionalidad de los objetos

En general, los objetos que nos rodean, independientemente de su forma, son cuerpos que ocupan un volumen determinado, distribuido en las tres dimensiones espaciales.

Sin embargo, algunos objetos pueden presentar una distribución geométrica que privilegia una, dos o tres dimensiones espaciales. Por ejemplo, una varilla cilíndrica, cuya longitud es mucho mayor que su diámetro, puede ser modelada como un objeto unidimensional. La tapa de un cuaderno, en cambio, cuyas dimensiones significativas son el largo y el ancho, en comparación con el espesor del cartón, puede ser modelada como un objeto bidimensional.

En esta unidad, solo consideramos objetos cuya masa se distribuye en una estructura geométrica que tiene dos o tres dimensiones principales, es decir: superficies y volúmenes.

Densidad volumétrica Al relacionar la masa de un objeto con sus dimensiones geométricas, se obtiene una magnitud conocida como densidad (δ). La densidad de un cuerpo se puede determinar de distintas formas, dependiendo de la geometría del objeto y su dimensionalidad.

Así, al considerar un objeto cuya masa se encuentra distribuida en una sola dimensión principal, como el caso de la varilla larga, hablamos de densidad lineal. Cuando se trata de un cuerpo cuya masa está distribuida principalmente en dos dimensiones, hacemos uso de una densidad superficial. Cuando la masa se distribuye sin privilegiar ninguna dimensión, como el caso de una roca o un cilindro, consideramos la densidad volumétrica.

Para el estudio de los fluidos, centramos nuestra atención en la comprensión de la idea de densidad volumétrica. Por eso, en adelante, cada vez que nos refiramos a la densidad de un cuerpo, estaremos hablando de su densidad volumétrica a menos que se indique otra cosa.

De acuerdo con esto, la densidad de un cuerpo cualquiera es una magnitud escalar, cuya unidad

de medida en el Sistema Internacional es 𝑲𝒈

𝒎𝟑 , y se determina de la siguiente forma:

𝜹 =𝒎

𝑽

En la ecuación m es la masa y V es el volumen del cuerpo. La densidad se simboliza con la letra griega “delta” δ. Ejemplo resuelto Un ladrillo de 5 kg tiene las siguientes dimensiones: 30 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de alto. ¿Cuál es el volumen del ladrillo y su densidad? De acuerdo con el enunciado, el ladrillo puede ser modelado como un paralelepípedo. De esta manera, el volumen del ladrillo es:

𝑉 = 30𝑐𝑚 ∙ 10𝑐𝑚 ∙ 5𝑐𝑚 𝑉 = 1500𝑐𝑚3

Para calcular la densidad volumétrica, usamos la ecuación, reemplazando el volumen y la masa conocida del ladrillo:

𝛿 =5000𝑔

1500𝑐𝑚3 = 3,3𝑔

𝑐𝑚3

Es decir, de acuerdo con la Tabla 5.1, podemos decir que el ladrillo tiene una densidad 3 veces mayor que la del agua.


183

Un hecho que quizás conozcas es que el agua, aceite y mercurio son líquidos inmiscibles, es decir, no pueden mezclarse entre sí. Si se pone en un vaso un poco de cada una de estas sustancias, ¿cuál sería su distribución, por capas, en el interior del vaso?

Presión En el estudio del movimiento, ya vimos en qué consiste una fuerza y cuáles son sus efectos. Hemos visto que la fuerza siempre es una interacción entre dos objetos. Por lo general, al modelar las interacciones, consideramos los objetos como si fueran partículas puntuales, de modo que las fuerzas actúan en un punto específico de cada objeto. Este punto se llama centro de gravedad o de masa. Es decir, es en el centro de masa del objeto donde operacionalmente se aplica una fuerza. Sin embargo, cuando dos objetos extensos interactúan mediante una fuerza, de manera que una gran cantidad de puntos de sus superficies están en contacto, decimos que los objetos ejercen presión entre sí. La presión es, entonces, una fuerza que se distribuye en una superficie y actúa en un área determinada. De acuerdo con esto, la presión se define del siguiente modo:

𝑝 =𝐹

𝐴

Donde F es el módulo de la fuerza perpendicular a la superficie cuya área de contacto es A. De acuerdo con lo anterior, la unidad de medida corresponde a la Presión según el S.I. es:

[𝑝] =[𝐹]

[𝐴]

[𝑝] =𝑁

𝑚2

[𝑝] = 𝑃𝑎

Que recibe el nombre de Pascal en símbolos Pa

Ejemplo Resuelto 1:

Supongamos que la masa del ladrillo de la Figura 5.10 es de 5 kg, y tiene las siguientes

dimensiones: 30 cm de largo, 10 cm de ancho y 5 cm de alto.

a) Entre las caras del ladrillo, ¿cuál es la de área menor y la de área mayor?

b) ¿Cuál es la presión que ejerce el ladrillo al estar apoyado en cada una de esas caras?

𝐴𝑥 = 0,1𝑚 ∙ 0,05𝑚

= 0,005𝑚2

𝐴𝑦 = 0,3𝑚 ∙ 0,05𝑚

= 0,015𝑚2

𝐴𝑧 = 0,3𝑚 ∙ 0,1𝑚

= 0,03𝑚2 Rta a) Por lo tanto, la cara de menor área es X y la de

mayor área es la Z.

La presión en el caso de área menor es:

𝑝 =𝐹

𝐴

𝑝 =𝑚𝑔

𝐴

𝑝 =5𝐾𝑔 ∙ 9,8

𝑚

𝑠2

0,005𝑚2

𝑝 = 9800𝑁

𝑚2

𝑝 = 9800𝑃𝑎

De manera análoga obtenemos la presión en el área

mayor:

𝑝 =𝐹

𝐴

𝑝 =𝑚𝑔

𝐴

𝑝 =5𝐾𝑔 ∙ 9,8

𝑚

𝑠2

0,03𝑚2

𝑝 = 1633,3𝑁

𝑚2

𝑝 = 1633,3𝑃𝑎

Rta b) La presión en la cara de mayor área es

1633,3Pa y la de área menor es 9800Pa.


185

Es importante observar que la fuerza y la presión son magnitudes diferentes. Podemos obtener

una presión muy grande a partir de una fuerza relativamente pequeña, haciendo que el área

sobre la que se aplica la fuerza sea pequeña, como es el caso de una aguja o el taco de la Figura

5.11. También podemos producir una presión pequeña a partir de una fuerza grande,

aumentando el área sobre la que actúa la fuerza, como es el caso de los esquíes en la nieve o

del globo de las figuras 5.12 y 5.9.

PRESIÓN HIDROSTÁTICA Aunque la presión no tiene una dirección específica, la fuerza que la produce sí la tiene. En el

caso de un fluido que ejerce presión sobre una superficie, hay una fuerza neta que siempre está

dirigida en una dirección perpendicular a la superficie. Analicemos esta idea considerando la

Figura 5.12. Cuando sumergimos un dedo en un vaso con agua o cuando nos sumergimos en una

piscina, podemos percibir la fuerza de contacto del agua en cada punto sumergido de nuestro

cuerpo. Al igual que en la Figura 5.12(a), las fuerzas del líquido actúan sobre nuestra piel

apuntando en todas direcciones.

Fijemos nuestra atención en el punto medio de una de las caras del bloque triangular.

En ese lugar, como en cualquier otro lugar de las superficies del bloque, actúan fuerzas que

apuntan en todas direcciones. El esquema muestra que las componentes paralelas a la superficie

del objeto se anulan entre sí (las componentes paralelas de las fuerzas azules y verdes), y sólo

queda una fuerza neta, perpendicular a cada lado, que es la suma de las componentes

perpendiculares de las fuerzas del líquido, actuando sobre las superficies del bloque. Como

muestra la Figura 5.12(b), la fuerza ejercida por el líquido sobre

las superficies del objeto es siempre perpendicular a ellas. Lo

mismo sucede en las paredes del recipiente.

Cuando nadamos con la cabeza bajo el agua, podemos

notar cómo la presión aumenta en la medida en que más nos

sumergimos. A veces, llegamos a sentir un pequeño dolor en el

oído, producto del aumento de presión sobre el tímpano. ¿Qué

provoca esa presión? Simplemente, el peso del fluido que está

sobre nosotros. ¿Y qué fluido tenemos sobre nosotros? Agua,

obviamente. Pero no solo agua. Sobre la superficie del agua hay

aire, y como tal, también es un fluido cuyo peso tenemos que

considerar.

El peso del aire de la atmósfera produce una presión sobre la superficie terrestre y sobre cualquier otra superficie que se encuentre en ella; por ejemplo, la superficie de nuestros cuerpos. Esta presión es llamada presión atmosférica. Analicemos la relación entre el peso del agua, el peso del aire y la presión, cuando un objeto se sumerge a cierta profundidad. Para esto, consideremos el diagrama de la Figura 5.14, en el que se ha representado una porción del agua en reposo, como un cilindro de masa m, cuyo volumen es:

𝑽 = 𝑨 ∙ 𝒉 Donde A es el área de la base circular del cilindro y h es la profundidad de la columna de líquido. Como el cilindro de agua está en reposo, todas las fuerzas que actúan sobre él están en equilibrio. Por una parte, actúa la fuerza de gravedad, que identificamos como el peso de la porción de agua contenida en el

cilindro imaginario �� 𝒄. Por otra parte, actúa también el peso de la columna de

aire atmosférico que se encuentra justo arriba del cilindro de

agua �� 𝒂𝒕𝒎. Ambas fuerzas actúan en dirección vertical y hacia abajo, de modo que hay una fuerza que las equilibra apuntando en sentido contrario. Esta fuerza la identificamos como la

fuerza que ejerce el resto del fluido sobre el cilindro de agua �� 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐. Aunque el cilindro de agua que estamos imaginando no es un cuerpo rígido, por un

momento supongamos que las tres fuerzas en equilibrio actúan en el centro del cilindro. De acuerdo con esto, considerando los módulos de las fuerzas, el equilibrio que hemos mencionado se puede escribir del siguiente modo:

𝑭𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 = 𝑭𝒄 + 𝑭𝒂𝒕𝒎

Para obtener el equilibrio de fuerzas expresado en la ecuación, hicimos uso de una suposición correcta, pero imprecisa. Es correcta, porque si ese equilibrio no se produjera, entonces la masa de agua contenida en el cilindro que hemos considerado se desplazaría, lo que contradice la idea de que se trata de un fluido en reposo.

Sin embargo, se trata de una suposición imprecisa, porque las fuerzas no actúan en el centro del cilindro de agua, sino que lo hacen de manera distribuida, en el área de la base del cilindro, a una profundidad h. Es decir, el concepto apropiado para establecer el equilibrio de la ecuación es el de presión.

Ya sabemos que, para obtener la presión ejercida por una fuerza, es necesario dividir la intensidad de la fuerza por el área en la que actúa. Es decir, dividiendo por A todos los términos de la ecuación anterior, obtenemos:


187

𝑭𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐

𝑨=

𝑭𝒄

𝑨+

𝑭𝒂𝒕𝒎

𝑨

Considerando lo anterior, podemos reescribir la ecuación del siguiente modo:

𝒑 =𝒎𝒈

𝑨+ 𝒑𝒂𝒕

Donde hemos considerado que FC es el peso del cilindro de agua. Haciendo uso de las relaciones de volumen y densidad, la ecuación anterior queda como:

𝒑 =𝜹 ∙ 𝑽 ∙ 𝒈

𝑨+ 𝒑

𝒂𝒕

𝒑 =𝜹 ∙ 𝑨 ∙ 𝒉 ∙ 𝒈

𝑨+ 𝒑

𝒂𝒕

𝒑 = 𝜹 ∙ 𝒉 ∙ 𝒈 + 𝒑𝒂𝒕

Es decir, encontramos que la presión del fluido a una profundidad h es:

𝒑 = 𝜹 ∙ 𝒉 ∙ 𝒈 + 𝒑𝒂𝒕

En esta expresión, el primer término del lado

derecho es la presión del fluido sobre la base del cilindro

de agua, es decir, es la presión a una profundidad h,

conocida como presión hidrostática.

Por su parte, el segundo término es la presión que ejerce

el aire de la atmósfera sobre el cilindro o, simplemente, la

presión atmosférica 𝒑𝒂𝒕 .

Por lo tanto, este resultado muestra que la presión

del fluido depende directamente de la profundidad y de la

densidad del fluido y también de la presión en su

superficie.

Además, de la ecuación se deduce que la presión

es la misma en todos los puntos del fluido situados a la

misma profundidad, independientemente de la forma del

recipiente que lo contiene.

La presión atmosférica a nivel del mar es de 1013 x102 Pa.

En sistemas alternativos de unidades, la presión se puede medir en: Torricelli (Torr), milímetros de mercurio (mmHg), atmósferas (atm), libras por pulgada cuadrada (psi), bar (bar), entre otras.

Algunas equivalencias entre estas unidades, referidas al valor de la presión atmosférica a nivel del mar, son las siguientes:

Ejemplo resuelto 1:

En el experimento de Torricelli ver figura 5.15 la altura del tubo de

mercurio era de 76 cm; en consecuencia, en primer lugar,

calculamos cuál es el valor de la presión atmosférica con este dato.

La presión ejercida por un fluido la podemos expresar como:

𝑝 = 𝛿 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

Así, en el experimento de Torricelli:

𝑝 = 13600𝐾𝑔

𝑚3 ∙ 9,8𝑚

𝑠2 ∙ 0,76𝑚

𝑝 = 101292,8𝑃𝑎

Si en vez de mercurio hubiésemos utilizado agua, habría cambiado

únicamente la altura del fluido en el tubo, debido a la diferente

densidad de los dos. Así, si P = 101 292,8 Pa, la densidad del agua

es 1000 kg/m3 y g = 9,8 m/s2, despejando h de la expresión de la

presión tenemos:

101292,8𝑃𝑎 = 1000𝐾𝑔

𝑚3 ∙ 9,8𝑚

𝑠2 ∙ ℎ

ℎ = 10,33𝑚

Esa sería la altura que hubiera alcanzado el tubo si se hubiese

utilizado agua.

Ejemplo resuelto 2:

Juan nada en una pileta en una pileta de 4m de

profundidad y percibe, a medida que se sumerge una

incomodidad y dolor en los oídos, ¿a qué se deberá

esto? Para analizar este hecho tendríamos que

determinar:

a) ¿Qué diferencia de presión existe entre la superficie

y el fondo de una pileta de 4m de profundidad?

𝑝 − 𝑝𝑎 = 𝛿 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

= 1000𝑘𝑔

𝑚3 ∙ 9,8𝑚

𝑠2 ∙ 4𝑚

= 39200𝑃𝑎

b) ¿Qué fuerza hace el agua a 4m de profundidad sobre nuestros tímpanos sabiendo que tienen

un diámetro de 10mm?

𝐹 = 𝑝 ∙ 𝐴

= (39200𝑃𝑎 + 101300𝑃𝑎) ∙ 𝜋 ∙ (0,005𝑚)2

= 11,03𝑁


189

PRINCIPIO DE PASCAL

En 1648, Blaise Pascal descubrió, realizando experimentos

con fluidos, lo siguiente:

«El incremento de presión aplicado a la superficie de un

fluido incompresible, contenido en un recipiente

indeformable, se transmite con el mismo valor a cada una

de las partes de este». Este enunciado se conoce como

principio de Pascal.

El montaje que se muestra en la Figura 5.13 también es una

demostración del principio de Pascal, ya que la presión

ejercida por la jeringa se propaga de manera constante a

cualquier lugar en el interior del líquido, lo que queda en

evidencia porque se observa que el agua sale por todos los

agujeros con la misma presión. El principio de Pascal es

utilizado en muchos objetos tecnológicos que trabajan con

líquidos. Por esta razón, estas máquinas se llaman

hidráulicas, ya que usan los fluidos para aplicar y aumentar

las fuerzas.

A continuación, analizaremos el interesante caso del gato

hidráulico, que consiste en un dispositivo capaz de levantar

un gran peso a partir de la aplicación de una fuerza

relativamente pequeña. Como se

muestra en la Figura 5.19, el

mecanismo del gato hidráulico está

compuesto por dos émbolos de

distinto diámetro conectados por un

fluido encerrado en una cavidad,

cuyo diámetro varía de un émbolo al

otro. Al mecanismo se aplica fuerza

de entrada (F1) sobre una pequeña

superficie de área A1. Esto genera una presión en el fluido que se transmite de manera constante

en todo su interior y, en particular, hasta la superficie A2, cuya área es mayor que A1. Por lo

tanto, sobre A2 el fluido aplica una fuerza de salida (F2) que es mayor que la fuerza de entrada.

La fuerza aplicada sobre el émbolo 1 provoca una presión (p1) extra sobre el fluido, que se

transmite en todo su interior; en particular, hasta el émbolo 2. Por lo tanto, por el principio de

Pascal:

𝑝1 = 𝑝2

Donde p2 es la presión extra sobre el émbolo 2.

A continuación, haciendo uso de este principio, podemos

escribir las presiones en términos de fuerza y área.

Es decir: 𝐹1

𝐴1=

𝐹2

𝐴2

𝐹1 =𝐹2

𝐴2∙ 𝐴1

𝐹2 =𝐹1

𝐴1∙ 𝐴2

Este resultado muestra claramente que el factor de

aumento del área en el émbolo 2 determina un aumento

proporcional de la fuerza de salida. Es decir, cuando

mayor es el área de salida, en comparación con el área de

entrada, mayor es la fuerza útil o de carga de la máquina

hidráulica.

Ejemplo Resuelto: Consideremos el mecanismo de un gato hidráulico en la cual la fuerza de entrada es de 100 N y se aplica sobre un área de 100 cm2 El área de la superficie de salida es de 10 000 cm2.

a) ¿Cuál es la fuerza de salida en este caso? b) ¿Es suficiente la fuerza de salida para levantar un automóvil de 1 500 kg?

a: Por el principio de Pascal, la presión ejercida por la fuerza de

entrada es la misma que se ejerce sobre la superficie de salida

entonces tenemos:

𝐹2 =𝐹1

𝐴1∙ 𝐴2

𝐹2 =100𝑁

100𝑐𝑚2 ∙ 10000𝑐𝑚2

𝐹2 = 10000𝑁

Es decir, la fuerza aumentó 100 veces en relación con la fuerza aplicada.

b: Como el peso de un automóvil de 1 500 kg es

aproximadamente 15 000 N, la fuerza de salida del gato

hidráulico del ejemplo no es suficiente para levantarlo.


191

Presión atmosférica Como los gases, a diferencia de los líquidos, pueden ser comprimidos. Nuestra

atmósfera es un fluido gaseoso en el que la densidad disminuye gradualmente con la altitud.

Entre las capas atmosféricas, la que se encuentra más próxima a la superficie del planeta es

llamada troposfera, y tiene la mayor densidad, porque está más comprimida por el peso de las

capas superiores.

De esta manera, en la medida que nos alejamos de la

superficie de la Tierra la densidad disminuye. De acuerdo con

esto, la atmósfera puede ser modelada como un fluido estático

formado por capas de distinta densidad. Si en este modelo se

considera, además, que la temperatura y la intensidad del

campo gravitatorio son constantes, entonces la densidad

atmosférica es directamente proporcional a la presión. Al

formalizar matemáticamente estas condiciones, la presión

atmosférica muestra una relación exponencial con la altitud. Es

decir, la presión atmosférica disminuye rápidamente al alejarse

de la superficie terrestre. Se puede demostrar, dadas las

condiciones anteriores, que la presión atmosférica depende de

la altura sobre el nivel del mar (h) de la siguiente forma:

𝑝 = 𝑝0 ∙ 𝑒−ℎ

8,55𝐾𝑚

Donde Po es la presión atmosférica a nivel del mar. Esta

expresión es una buena aproximación para la presión

atmosférica a alturas relativamente bajas.

A pesar de lo anterior, es evidente que la atmósfera no puede

ser considerada realmente como un fluido estático, ya que hay

una serie de factores que hacen de ella un sistema dinámico.

Por ejemplo:

• Las diferencias de temperatura entre masas de aire polar y masas de aire proveniente de los

trópicos, cuya interacción produce los denominados frentes meteorológicos.

• La diferencia de temperatura entre el mar y las montañas, que generan vientos locales.

• La rotación del planeta, que produce el efecto Coriolis sobre las masas de aire que se desplazan

siguiendo un meridiano.

• Las diferencias de temperatura entre masas de aire a diferentes altitudes, que producen zonas

de ascenso y descenso de aire, los llamados ciclones y anticiclones.

EL PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES Arquímedes de Siracusa vivió entre los años 287 y 212 A.C. Entre sus descubrimientos

más notables está el principio de flotabilidad de los cuerpos, conocido hoy como principio de Arquímedes. Arquímedes descubrió que un cuerpo, al ser sumergido parcial o totalmente en el interior de un fluido, experimenta una fuerza hacia arriba, llamada fuerza de empuje o, simplemente, empuje, cuyo módulo es igual al peso del fluido que desplaza.

En términos de módulos, el empuje se define, entonces, del siguiente modo:

𝐸 = 𝑃𝑓𝑑

Donde E es la fuerza de empuje y Pfd corresponde al peso del fluido desplazado. Es importante no confundir el peso del fluido desplazado con el peso del objeto sumergido. El primero depende de la masa del fluido desplazado (mfd):

𝑃𝑓𝑑 = 𝑚𝑓𝑑 ∙ 𝑔

Como sabemos, el peso del objeto, en cambio, es:

𝑃 = 𝑚 ∙ 𝑔 Ejemplo resuelto

Una bolita de acero se introduce en un vaso de precipitado que contiene agua pura. Una vez que la bolita está dentro del líquido se saca con una pipeta exactamente la cantidad de agua


193

desplazada por el objeto, es decir, el recipiente vuelve a tener el nivel de líquido inicial. Al medir la masa del agua extraída, se obtienen 10 g.

a) ¿Cuál es el peso del agua desplazada? b) ¿Cuál es el módulo del empuje que experimenta la bolita de acero?

a: Para encontrar el peso del agua desplazada solo necesitamos conocer su masa. De acuerdo con la definición de peso, tenemos:

𝑃𝑎𝑑 = 𝑚𝑎𝑑 ∙ 𝑔

= 0,01𝐾𝑔 ∙ 9,8𝑚

𝑠2

= 0,098𝑁 b: El módulo del empuje se puede determinar con el principio de Arquímedes de la siguiente manera:

𝐸 = 𝑃𝑎𝑑 𝐸 = 0,098𝑁

En ocasiones, se conocen las densidades del fluido y del objeto, así como el volumen de

este cuerpo. Por eso, el principio de Arquímedes también se puede aplicar considerando el concepto de densidad. En general, la densidad del fluido (ρf) es diferente de la densidad del objeto o cuerpo (ρc). Veremos a continuación que la relación entre estas cantidades determina la flotación del cuerpo.

¿Por qué un objeto se hunde o flota?

La flotación de un objeto depende de la relación entre su densidad y la densidad del fluido en el que se encuentra. Analizaremos los tres casos posibles:

• El objeto es más denso que el fluido En este caso, el objeto se va hacia el fondo del líquido en el que es sumergido, debido a

que el peso del objeto es mayor que el peso del fluido desplazado y, por lo tanto, mayor que el empuje:

𝑃 > 𝐸 La piedra sumergida completamente en la figura 5.27. es un buen ejemplo de esta

situación.

• El objeto tiene la misma densidad que el fluido.

En este caso, no podemos decir que el objeto se hunda o flote, aunque se trata de un caso particular en el que el peso del objeto es igual al peso del fluido desplazado y, por lo tanto, igual al empuje. Sin embargo, el objeto podría encontrarse igualmente en el límite de la superficie del fluido o en el fondo.

𝑃 = 𝐸 Un ejemplo de esta condición sería la situación de un globo lleno de agua en el interior de otro recipiente con agua como muestra la figura 5.28.

• El objeto tiene menor densidad que el fluido En este caso el objeto permanece parcialmente

sumergido, es decir, flota. Esto se debe a que, si el cuerpo se sumerge completamente, su peso es menor que el peso del fluido que desplaza, de manera que asciende hasta la superficie.

En estas condiciones, el objeto flotante desplaza un volumen de agua que es una fracción del volumen total del objeto, lo que permite equilibrar su peso y el empuje.

Por supuesto, los ejemplos de esta situación son numerosos. Tal vez, el más espectacular sea el de un iceberg en el mar, cuya versión doméstica podemos observar con cubos de hielo en un vaso de agua.

Como el principio de Arquímedes se puede expresar en función de la densidad del fluido del siguiente modo:

𝐸 = 𝑃𝑓𝑑

𝐸 = 𝑚𝑓𝑑 ∙ 𝑔

Así, para un cuerpo flotante, la condición de equilibrio en función de su

densidad (𝛿𝑐) y la densidad de fluido (𝛿𝑓) es:

𝑃𝑐 = 𝐸 𝑚𝑐 ∙ 𝑔 = 𝛿𝑓 ∙ 𝑉𝑓𝑑 ∙ 𝑔

𝛿𝑐 ∙ 𝑉𝑐 ∙ 𝑔 = 𝛿𝑓 ∙ 𝑉𝑓𝑑 ∙ 𝑔

𝜹𝒄 ∙ 𝑽𝒄 = 𝜹𝒇 ∙ 𝑽𝒇𝒅

𝑬 = 𝜹𝒇 ∙ 𝑽𝒇𝒅 ∙ 𝒈


195

Ejemplo resuelto:

Un iceberg, como el de la Figura 5.31, tiene una densidad de 920 kg/m3 y flota en la superficie del agua de mar, cuya densidad es de 1 030 kg/m3.

a) ¿Qué fracción del iceberg se encuentra sobre la superficie del mar?

a: Un objeto flotante experimenta un empuje igual a su peso, ya que está en equilibrio en la superficie; por lo tanto, de acuerdo con el desarrollo de las ecuaciones anteriores, tenemos:

𝛿𝑐 ∙ 𝑉𝑐 = 𝛿𝑓 ∙ 𝑉𝑓𝑑

𝛿𝑐

𝛿𝑓=

𝑉𝑓𝑑

𝑉𝑐

920𝐾𝑔

𝑚3

1030𝐾𝑔

𝑚3

=𝑉𝑓𝑑

𝑉𝑐

0,89 ∙ 𝑉𝑐 = 𝑉𝑓𝑑

Esto que determinamos es el volumen del fluido desalojado que coincide con el volumen del cuerpo sumergido que correspondería a un 89%. Entonces la fracción que se encuentra sobre la superficie es el volumen no sumergido o emergente, se puede calcular como

𝑉𝑒 = 𝑉𝑐 − 0,89 ∙ 𝑉𝑐

= 0,11 ∙ 𝑉𝑐


APLICACIÓN

Hidrostática y Neumostática

1) ¿Qué es la densidad? ¿Qué representa? ¿Qué mide?

2) ¿Qué es el peso de un cuerpo? ¿Qué representa? ¿Qué mide?

3) ¿Qué es el peso específico? ¿Qué representa? ¿Qué mide?

4) ¿Cuál es la diferencia entre la densidad de un cuerpo y su peso específico?

5) ¿Un mismo cuerpo puesto en la tierra y en la luna tiene la misma densidad? ¿Porqué?

6) ¿El mismo cuerpo del problema anterior, también puesto en la tierra y en la luna tiene

el mismo peso específico? ¿Por qué?

7) Realice las siguientes conversiones de unidad

1000 gF = KgF

1000 gF/cm2 = KgF/cm2

1000 gF/cm2 = N/cm2

1000 KgF/cm2 = N/cm2

1000 KgF/cm2 = KgF/m2

1000 gF/cm2 = KgF/m2

1000 N/cm2 = gr/cm2

1000 N/cm2 = KN/cm2

1000 N/cm2 = MN/cm2

1000 N/cm2 = Ton/cm2

1000 N/cm2 = KgF/m2

1000000 gF = Ton

1000000 gF = KN

1000000 gF/cm3 = KgF/cm3

1000000 KgF/cm3 = N/cm3

1000000 KgF/cm3 = Ton/cm3

1000000 KgF/cm3 = KgF/m3

1000000 gF/cm3 = KgF/m3

1000000 gF/cm3 = N/m3

1000000 Ton/cm3 = MN/m3

8) Explique que es la presión.

9) ¿En qué unidades se mide la presión? ¿Qué expresa esa unidad?

10) ¿Qué quería demostrar Pascal con el experimento que le encargó realizar a su cuñado en el monte Puy de Dôme?


197

11) ¿Cuál se cree actualmente que es el estado de la materia más abundante en el Universo?

12) ¿Por qué duele más un pinchazo de una aguja, aunque sea con una fuerza muy leve, que

un empujón de gran fuerza hecho con la mano extendida?

13) ¿Cómo se relaciona el principio de Pascal con el trabajo?

14) Una caja cúbica de madera que posee una masa de 50 kg y aristas de 1 m de longitud, se ubica en el piso liso de la sala. (a) ¿Cuál es el área de una de sus caras? (b) ¿Cuál es el peso de la caja? (c) ¿Cuál es la presión que ejerce la caja sobre el suelo? (d) ¿Cuál es presión de la caja sobre el suelo, si un niño de 50 kg se sube sobre ella?

15) Un ladrillo de 5 kg de masa tiene las siguientes dimensiones: 20 cm de ancho, 40 cm de

largo y 10 cm de espesor. (a) ¿Cuál es el área de la cara de mayor superficie? (b) ¿Cuál es el volumen del ladrillo? (c) ¿Cuál es valor de su densidad? (d) ¿Cuál es el módulo del peso del ladrillo? (e) ¿Qué presión ejerce el peso del ladrillo sobre el piso a través de su área mayor?

16) En su casa, un joven recibe el encargo de apilar 12 ladrillos en una habitación, pero se

le indica que no agrupe una sola columna vertical, porque el piso soporta solo la cuarta parte de la presión que esa distribución produce. (a) ¿Cuál sería la distribución más eficiente, es decir, la que ocuparía menos área, pero evitando que se rompa el piso? Explica.

17) La capa delgada de hielo que cubría un lago congelado se partió cuando una persona

intentó cruzarlo caminando sobre el hielo. Pero sí logró atravesarlo arrastrándose sobre

el mismo. Explique este hecho.

18) Un edificio está construido sobre un terreno que mide 20 metros de frente y 30 de fondo

y se construye dejando un retiro de 1000 cm. La cantidad de material utilizado para su

construcción (cemento, hierro, ladrillos, caños, etc.) sumo 4.897.959,1837 Toneladas.

¿Qué presión soporta la tierra sobre la que se apoyó la estructura?

RTA : 120 MPa

19) Si la estructura del problema anterior se apoya sobre 8 columnas con una superficie de

1 m2 c/u. ¿Qué presión hay sobre el suelo?

RTA : 600 MPa

20) Suponga que el problema anterior las columnas son 12, son rectangulares y miden 2 x 1

metros de lado. ¿Qué presión hay sobre el suelo?

RTA : 200 MPa

21) En el problema anterior que ¿Qué presión hay sobre cada una de las columnas?

RTA : 200 MPa

22) Un faquir posee dos “camas” del mismo tamaño, una con 500 clavos y otra con 1.000

clavos. Basándose en su conocimiento de presión, ¿en cuál de las camas cree usted que

estaría más cómodamente instalado? Justifique la respuesta.

23) Si se desea apoyar sobre una mesa de vidrio que soporta como máximo 100 KgF/m2 un

cuerpo cuya base mide 100 cm2. ¿Qué peso máximo (en N) debe tener el cuerpo?

24) Sobre una superficie que soporta una presión máxima de 10 KPa se debe apoyar un

cuerpo de 0,01 MN. Que superficie de apoyo mínima debe tener ?

RTA : 1m2

25) Cubriendo una superficie de 200 cm de largo x 50 de ancho y espaciados cada medio

centímetro, se han colocado clavos con una superficie de 4 mm2, esto será usado como

cama por un faquir cuyo peso es 800 N y que al acostarse lo hace sobre el 50% de la

superficie de la cama de clavos. ¿Qué presión total hace el Faquir sobre la cama?

RTA : 1m2

26) Un automóvil pesa sin pasajeros 1224,5 KgF, se suben a él cuatro adultos de peso

desconocido. Sabiendo que el automóvil se apoya sobre dos ejes, que la presión sobre

los ejes es de 750 KPa y que la superficie de apoyo del auto sobre cada par de ruedas

(tiene dos pares) es de 100 cm2. Indicar:

a) ¿Cuánto pesa el conjunto de los pasajeros?

b) Si todos los pasajeros tienen igual peso, ¿cuántos Kg pesa cada uno de ellos?

27) Una pieza de hierro (Pe = 74.480 N/m3) apoya sobre el suelo un cara cuadrada de 50 cm

de arista, y tiene una forma regular rectangular con 100 cm de altura. (volumen de la

pieza = 250.000 cm3) Indicar:

a) ¿Qué presión ejerce sobre el suelo cuando está apoyada sobre la cara cuadrada?

b) ¿Qué presión ejerce sobre el suelo cuando está apoyada sobre la cara

rectangular?

RTA A: 74,48 Kpa - B: 37.240 Pa

28) Una persona de peso 800 N cargando una mochila con 40 KgF de material se hundió en

el agua de un rio, al quebrarse el hielo que se había formado sobre el mismo, sin

embargo no había tenido problema cruzando el mismo rio con la mochila vacía como asi

tampoco cuando la cruzo llevando en una carretilla un peso de 50 KgF. ¿Por qué se

hundió? ¿Por qué no pudo cruzar con la mochila y si con la carretilla que tenía más

peso? Elabore una explicación.

29) Una empresa de trenes debe llevar una carga de un punto al otro, al medio del camino

hay un puente que soporta una presión máxima de 4,5 M Pa en cualquier punto del

mismo. Cada vagón del tren en vacío pesa 3,06 Ton. La carga que puede transportar

cada vagón es de 0,22 M N. Cada rueda del tren tiene una superficie de contacto con

la vía de 50 cm2.

a) ¿Cuántos pares de ruedas como mínimo debe tener cada vagón para poder

transportar la carga máxima?

b) ¿Cuánto es la carga máxima (en Toneladas) que puede transportar cada vagón

si tiene solo 2 pares de ruedas?


199

SECCIÓN 2 : PASCAL Y PRENSA HIDRAULICA

1. Explique que es la Hidrostática.

2. Enuncie el principio de Pascal

3. Explique el principio de Pascal de dos formas diferentes

4. En que se basa una prensa hidráulica para su funcionamiento. Porque?

5. Dada una determinada Prensa Hidráulica, complete los datos faltan:

S1 = 50 cm2 F1 = Pr1 =

S2 = F2 = 800 KgF Pr2 = 500 Pa

6. Dados los siguientes datos en una prensa hidráulica Pr1 = 1000 Pa, F2 = 100N, S1 = 1m2,

D2 = ½ D1, H2 = 40 cm. Indicar cuanto es H1.

RTA : 10 cm

7. Dada una determinada Prensa Hidráulica, complete los datos faltan:

S1 = F1 = 6,5 KN Pr1 = 50 HPa H1 =

S2 = 0,06 m2 F2 = Pr2 = H2 = 15 cm

8. Calcular la superficie del pistón menor de una prensa hidráulica, cuyo pistón mayor es

cuadrado y mide 1 metro de lado y que debe levantar un peso total de 10 MN usando como

máximo una fuerza de 500 N.

RTA : 0,5 cm2

9. Un ascensor hidráulico funciona utilizando el principio de Pascal con una versión

modificada de una prensa hidráulica. Todo el equipamiento (espacio para personas, cables,

puertas, etc) sumado a la carga máxima permitida, llega a 50 KN y lo mueve un pistón circular

de 30 cm de diámetro. El motor que lo eleva tiene especificada una fuerza máxima de 2 KN.

Que radio debe tener el pistón menor?

RTA : 3 cm

10. Para el caso del elevador anterior, si el radio del pistón menor fuera de 0,6cm, 6 cm y 60

cm. Que fuerza debe tener el motor para que funcione el sistema en cada caso ?

RTA : 40 N - 4000 N - 400 KN

11. Explique los resultados del problema anterior? Explique la relación y proporción entre

el aumento e los radios y el aumento de la fuerza necesaria. Elabore una regla general que

relaciones los radios de los pistones con las fuerzas necesarias.

12. Si usted tiene un recipiente cilíndrico sólido acostado, que mide 2 metros de largo, tiene

un base de 10 cm de radio, sobre una de las cuales se esta haciendo una fuerza de 628 N. Cuales

de estas afirmaciones son ciertas.

A) La presión existe solo sobre la cara que recibe la fuerza.

B) La presión aumenta a medida que nos alejamos de la cara que recibe la fuerza

C) Si mido la presión a la mitad de tuvo tengo el máximo valor posible.

D) El liquido absorbe la fuerza sin trasmitirla a ningún lado.

E) La presión se trasmite la fuerza en forma directa hacia la cara opuesta (a donde se esta

aplicando al fuerza)

13. Si usted tiene un recipiente cilíndrico acostado (lleno de liquido), que mide 2 metros de

largo, tiene un base de 10 cm de radio, en una de las cuales hay un pistón sobre el se esta

haciendo una fuerza de 628 N. Cuales de estas afirmaciones son ciertas.

A) La presión existe solo sobre la cara que recibe la fuerza.

B) La presión aumenta a medida que nos alejamos de la cara que recibe la fuerza

C) Si mido la presión a la mitad de tuvo tengo el máximo valor posible.

D) El liquido absorbe la fuerza sin trasmitirla a ningún lado.

E) La presión se trasmite la fuerza en forma directa hacia la cara opuesta (a donde se esta

aplicando al fuerza)

14. Nombre y explique 4 casos reales de la vida diaria donde se utilice el principio de Pascal.

Indique en forma precisa donde los vio y que función cumplía, donde esta el pistón menor, el

mayor, etc.

15. Un persona puede ejercer un fuerza de 200 N y debe levantar un cuerpo de 5020 KgF a

una altura de 2m y dispone de una prensa hidráulica con un relación de radio de 1/200

A. Le sirve la prensa? Justificar.

B. Que peso máximo puede levantar esa persona con esa prensa?

C. Si el pistón menor recorre un máximo de 50cm. Cuantas veces debe hacerse el

recorrido para poder elevar el cuerpo a los 2 m

SECCIÓN 3 : PRESIÓN HIDROSTÁTICA

1. Que es la presión Hidrostática?

2. Porque existe la presión hidrostática? Que la produce?

3. Que dice la “Ley general” o “Principio fundamental” de la hidrostática?

4. Que regula la presión hidrostática? (de que factores depende?)

5. Realice las siguientes conversiones de unidad

1000 gF/cm3 = KgF/cm3

1000 gF/L = KgF/cm3

1000 KgF/cm3 = N/cm3

1000 KgF/cm3 = Ton/cm3

1000 N/L = KgF/m3

1000000 KgF/L = KgF/m3


201

1000000 KgF/HL = Ton/cm3

1000000 KgF/cm3 = KgF/m3

1000000 gF/cm3 = KgF/m3

1000000 gF/cm3 = N/m3

1000000 KgF/cm3 = KgF/HL

1000000 KgF/cm3 = N/L

1000000 Ton/cm3 = MN/m3

1000000 Ton/HL = MN/m3

1000000 Ton/HL = MN/L

6. Un recipiente cúbico tiene 10 cm de arista. Señale cuáles de las afirmaciones siguientes

son correctas.

A. El volumen del recipiente es de 1 litro.

B. La máxima cantidad de nafta que puede contener el recipiente son 700 gramos.

C. Si el recipiente estuviese lleno de mercurio, contendrá 13.6 Kg. de este líquido.

D. Si 2 Kg. de arena llenan completamente este recipiente, la densidad de la arena es de 2

gr/cm3

E. Colocando 800 g de agua en el recipiente, ésta llegará a una altura de 8 cm.

7. Un tubo está sumergido en un recipiente que contiene cierto líquido. Conectando el

tubo a una bomba de vacío, como indica la figura de este problema, el líquido subirá en el tubo

hasta una determinada altura h. El valor de h será tanto mayor que cuanto mejor sea la

rarefacción lograda por la bomba.

A. Explique porqué sube el líquido en el tubo.

B. Comprobamos que aunque se tenga un vacío perfecto, el líquido no subirá en el tubo

sino hasta cierta altura hm. ¿Cuál sería este valor si el líquido fuera mercurio?

8. Un batiscafo esta construido con un material que soporta una diferencia presión (entre

el interior y el exterior) de 12,948 MPa antes de quebrarse. Hasta que profundidad puede

sumergirse en agua salada (Pe = 9,96 N/dm3) sin destruirse ? (suponga que esta vacío por

dentro)

RTA : 1300 m

9. Si en el batiscafo del problema anterior, se mantiene la presión interior en 720 hPa, que

presión mínima, antes de quebrarse, debe poder resistir el material exterior, para poder llegar

hasta los 8.200 metros profundidad en el mismo mar?

RTA : 81,6 MPa

10. La presión que ejerce una columna de agua de 50 cm de altura, es la misma que ejerce

una columna de una solución salina de 40 cm de altura. Hallar la presión que ejercen ambas

columnas sobre su base y la densidad de dicha solución.

RTA : 4.9 KPa y 1,25 g/cm3

11. El laboratorio de ensayo de equipos del grupo de estudio de energías renovables de la

UNC esta ubicado en el 3er piso (10 metros sobre la calle) de la FCEFyN. Este grupo se dedica al

estudio y desarrollo de equipos para energías alternativas y renovables para uso domiciliario.

En la actualidad están haciendo investigación de equipos de generación hidroeléctrica. El

aparato que han diseñado funciona con un caudal de agua equivalente a una presión de 192

KN/m2, por lo que deben montar un tanque especial, con agua común, para sus pruebas. A que

altura sobre el nivel de la calle deben ubicar dicho tanque?

RTA : 30 m

SECCIÓN 4 : ARQUIMIDES

1. Que dice el principio de Arquimides ?

2. Que es el empuje?

3. En que se mide el empuje?

4. Que tipo de magnitud es el empuje?

5. Explique como influye la densidad del liquido en el Empuje

6. Explique como influye el peso especifico del cuerpo en el empuje

7. Todo cuerpo sumergido en un liquido (hundido, a dos aguas, flotando) esta recibiendo

el máximo empuje que ese cuerpo puede recibir en ese liquido? Porque?

8. Como se puede determinar el Pe medio de una persona si solo se dispone de un

recipiente (suficientemente grande para contener el cuerpo, aproximadamente 30 metros

cúbicos), un bascula (que pesa desde 1gr has 1000 Toneladas) y miles de litros de agua.

9. Un bloque de madera compacto, con Pe = 0.6 gr/cm3 no se hunde porque esta esta

recibiendo un empuje de 1Ton. Cual es el peso del bloque de madera (en N)?

RTA : 9800 N

10. Un tempano de hielo (0,8 gr/cm3), tiene por encima de la superficie del agua en la que

flota (pe = 1gr/cm3), un volumen 250 m3. Cual es el peso total del tempano?

RTA : 10 MN

11. Que empuje recibe un cilindro sumergido completamente en agua (Pe = 1grF/cm3) si

mide 10 cm2 de base y 10 cm de altura?

RTA : 100 grF

12. Cuanto pesa un cuerpo que, sumergido en mercurio (Pe = 13,6 grF/cm3) hasta

exactamente la mitad de su altura, recibe un empuje de 10 N.?

RTA : 10 N

13. Si el cuerpo del problema anterior es de un material masizo (es todo del mismo

material). Cual es el Pe de ese cuerpo?

RTA : 6,8 grF/cm3


203

14. Un “iceberg, con forma aproximada a la de un paralelepípedo, flota en el mar de modo

que la parte fuera del agua tiene 10 m de altura. ¿Cuál es la altura h de la parte sumergida del

iceberg?

Utilice como Pe del mar = 1 gr/cm3 y Pe hielo = 0,8 gr/cm3

RTA : 40 m

15. Que porcentaje, del volumen total de un cuerpo de un determinado metal (Pe = 5

grF/cm3), debe dejarse hueco para que flote en agua (Pe = 1 grF/cm3) ?

RTA : 80%

16. Un tempano de hielo (0,8 gr/cm3) que tiene un peso total 50000 KgF flota en agua (pe

= 1gr/cm3) Cual es el empuje total que ejerce el agua sobre el tempano?

RTA : 490 KN

17. Que porcentaje del tempano anterior esta fuera del agua?

RTA : 20%

18. Una esfera, cuyo volumen es de 2000 cm3 y está hecha de un material cuya densidad es

de 0.80 g/cm3, es sumergida totalmente en un tanque lleno de agua y luego se suelta.

A) Exprese, en N, el valor del empuje ascendente que la esfera recibe del agua.

B) Determine, en N, el valor, dirección y sentido de la fuerza resultante qué actúa sobre la

esfera después que es soltada (tenga en cuanta que la esfera tiene un peso propio y que el

liquido le ejerce un determinado empuje)

RTA : A) 19,6 N

1. B) 1,96N vertical ascendente

19. Un globo, lleno de cierto gas, tiene un volumen de 5 m3. La masa total del globo

(incluyendo el gas) es de 4 Kgm. Considere la densidad del aire igual a 1.3 Kg/m3. ¿Cuáles de las

afirmaciones siguientes son correctas?.

A) El peso del globo es 40 N.

B) El empuje ascendente que el objeto recibe del aire es de 65 N.

C) Si el globo fuera soltado caería, porque su densidad es mayor que la del aire.

D) Para que una persona sostenga el globo debe ejercer en él una fuerza igual y contraria

al empuje que recibe el aire.

E) Si este globo se dejara caer en la superficie de la luna, no recibiría empuje ascendente,

pues allá no hay atmósfera.

20. Un barco especial esta dividido en veinte secciones iguales aisladas una de la otra (todas

son del mismo peso y tamaño), cada una de ellas pesa 90.000 N y tiene un volumen interior de

20 m3. A eso se le agrega una cabina de control en el medio que tiene 50 m3 con un peso de

16,32653 toneladas. Considere que todo el volumen de las secciones (no de la cabina) esta bajo

agua (Pe del agua= 1grF/cm3).

A) Cual es el peso total de barco? RTA : 1960 KN

B) Cual es el volumen total del barco? RTA : 230 m3

C) Cual es el empuje máximo que puede recibir? RTA : 4,41 MN

D) Flota el vehículo? Justifique la respuesta.

E) En caso que no flote, Cuanto peso se debería sacar para que logre flotar?

F) En caso que si flote, Cuanto peso extra se le puede agregar antes de que se hunda?

G) En caso que si flote, cuantas secciones se pueden inundar antes que se hunda el

vehículo, caso contrario cuantas hay que agregar para que flote?

21. Un recipiente se encuentra vacío en su interior. Estando al aire libre al nivel del mar,

hará falta una determinada fuerza para poder abrirlo? Si se lo lleva a 1.000 metros bajo el nivel

del mar, hará falta mas o menos fuerza para mantenerlo cerrado? Explique el porque utilizando

algún principio físico. Justifique la respuesta.

22. Una pieza fundida pesa 40 kg y ocupa un volumen de 5 dm3. Por medio de una cuerda

se suspende en un líquido de densidad 0.76 Kgm/m3. Hallar la fuerza de flotación (Empuje).

RTA :

23. Un cubo de madera de 10 cm de arista está inmerso en un recipiente que contiene

aceite y agua teniendo la cara inferior situada a 2.0 cm debajo de la superficie de separación de

los 2 líquidos. Sabiendo que la densidad del aceite es 0.6 gF/cm3 y la del agua 1 gF/cm3.

A) Recibe empuje del agua? Cuanto? RTA : Si, 1,96 N

B) Recibe empuje del aceite? Cuanto? RTA : Si, 4,71 N

C) Cuanto es el empuje total? RTA : 6n63 N

D) Cuanto pesa el cuerpo? RTA : 6,63 N

24. Una pieza de determinada aleación pesa 5 KgF en el aire y cuando se la sumerge en

agua pesa 4.5 KgF, Hallar el volumen de la pieza y la densidad de la aleación.

RTA : 0,5 dm3 y 10 gF/cm3

25. Por el Oceano Atlántico Norte navega un barco de metal (Pe=7,8 gr/cm3) cuyo peso es

12.000 Toneladas. Cerca del mismo, a penas unos metros fuera de su recorrido, se encuentra

un iceberg de 1000 MN flota con el 10% de su volumen fuera del agua. (Pe agua = 10 KN/m3).

Que empuje recibirá el iceberg si el barco tiene 1.200 metros cubico bajo el agua y transporta

una carga total de 6.000MN?

26. Un submarino para facilitar la flotación e inmersión, dispone de una serie de cámaras de

intercambio. Estas cámaras de intercambio al entrar en funcionamiento comprimen el aire

interior, ocupando ese espacio con agua de mar (Pe = 10N/dm3). Cuando desea salir a flote,

realiza el proceso inverso. Uno de esos submarinos, que se puede hundir hasta los 4000 metros

en el mar, tiene un volumen total de 2000 m3, de los cuales 500 m3 esta utilizado en las cámaras

de intercambio; el peso de la estructura y la carga es 15.500 MN (eso incluye personal, utilería,

accesorios, provisiones, aire, etc.). Para comprimir el aire de las cámaras de intercambio se

utiliza una prensa hidráulica cuyo pistón mayor tiene una superficie 200 veces más grande que

la del pistón menor (5 cm2), que pueden comprimir el aire hasta ocupar solo el 10% del volumen

total de la cámara (el resto se llena con agua).


205

En el estado inicial el submarino esta flotando y las cámaras llenas de aire sin comprimir (1 at =

100.000 Pa). ¿Cuál es la presión máxima a la que puede estar sometido el submarino y qué

empuje está recibiendo en ese momento?

SECCIÓN 4 : NEUMOSTATICA, PRESIÓN ATMOSFÉRICA

1. ¿Qué es la neumostática?

2. ¿Qué uso cotidiano (de la vida diaria) tiene la neumostática?

3. ¿Cuáles son las diferencia y similitudes entre la neumostática y la Hidrostática?

4. ¿Qué formulas y leyes se aplican a ambas por igual (hidrostática y neumostatica)?

5. ¿Qué es la presión atmosférica?

6. ¿Por qué se utiliza mercurio, cual seria el problema de utilizar otro liquido como por

ejemplo agua?

7. ¿Cuál es la diferencia entre presión atmosférica relativa y absoluta?

8. ¿La presión atmosférica aumenta o disminuye con la altura? ¿Por qué? Explique y

justifique su respuesta.

9. Para las mismas condiciones de clima, en cual de estas ciudades hay mayor presión

atmosférica. (Marcar el que corresponde)

Bs As : 0,03 kmsnm Córdoba : 400 msnm

Jujuy : 1,1kmsnm Mendoza : 1000 msnm

Mar del Plata: 2000 cmsnm La quiaca : 4 kmsnm

10. Un recipiente al aire libre a nivel del mar esta vacío en su interior. Porque será necesaria

aplicar determinada fuerza para poder abrirlo? (no mas de 5 renglones por respuesta)

11. En cual de estas ciudad es mayor la Presión Atmosférica (msnm = metros sobre el nivel

del mar) (Marque la que corresponda)

Bs As : 10000 cmsnm México 4 : kmsnm

Londres : 50 msnm La Paz : 4500 msnm

12. Dentro de un recipiente vacío el peso de un cuerpo es de 80 N cuanto pesará si se saca

del vacío y se mide al aire libre sobre el nivel del mar donde tiene influencia la presión

atmosférica? El cuerpo mide 2cm de alto, 10 cm de largo y 20 cm de ancho.

13. Un dirigible esta compuesto de cuatro secciones de igual peso (10 MN c/u) y volumen

(3000 m3 c/u) aisladas entre si en las cuales hay un vacío total. Adicionalmente hay una sección

de carga y control cuya estructura pesa también 10 MN (el volumen es despreciable), en la cual

se esta transportando 40 MN de carga. En medio del viaje y a 5000 metros de altura, se produce

un accidente y se rompen dos secciones, por lo que rápidamente van perdiendo el vacío; como

consecuencia de ello el dirigle comienza a perder altura y el capitán decide que la única forma

de no caer a tierra es arrojar parte de la carga para poder recuperar altura. (Pe del aire = 10

N/m3).

A) ¿Cuál es el volumen total del dirigible?

B) ¿Cuál es el peso total del dirigible sin carga?

C) ¿Cuál es el peso total del dirigible con carga?

D) ¿Cuál es el empuje total que recibe el dirigible completo?

E) ¿Cuál es el Volumen tras el accidente?

F) ¿Cuál es el empuje que recibe después del accidente?

G) ¿Cuánta carga debe tirar para evitar caer a tierra?


207

A comienzos del siglo XVIII ocurrió algo nuevo en la faz de la Tierra: el hombre inventó máquinas que trabajaban por él usando el poder del fuego. Las máquinas eran alimentadas con carbón, y gracias a lo que se llamó la fuerza motriz del fuego, hacían el trabajo: primero bombearon agua para desagotar las minas de carbón, luego movieron cosas, después comenzaron a propulsar vehículos, y definitivamente pusieron en marcha una revolución, la Revolución Industrial.

En el proceso de tratar de que las máquinas hicieran más cosas con menos gasto de carbón se desarrolló uno de los conceptos más fecundos de la física, el concepto de energía, que luego desbordó el marco de la física, y ahora trata con todas las ciencias.

En la base misma del concepto de trabajo hay una idea estrechamente relacionada con las necesidades de la Revolución Industrial: la idea de desplazar un objeto una cierta distancia por medio de la aplicación de una fuerza, expresada a través del producto de ambos: Todo trabajo realizado implica la utilización de cierta cantidad de energía, por ahora imaginémosla como algo que inevitablemente hay que gastar para realizar estos procesos. Algo que se necesita tener previamente para hacer el trabajo, en cantidad proporcional a la cantidad de trabajo que se desea realizar.

Una fuerza se puede mantener aplicada durante un tiempo ilimitado, sin gastar nada. Por ejemplo, con un tornillo ajustado, o con un cuerpo pesado que se coloca sobre algo para mantenerlo aplastado. Se entiende que puede haber cierto “gasto” para ajustar el tornillo, o para colocar el cuerpo pesado en el lugar deseado, pero nada debe gastarse luego, mientras la fuerza permanece aplicada durante años. Pero ésta no es la situación cuando es necesario aplicar fuerza para desplazar un objeto. En esos casos habrá que gastar algo que, por ahora, llamaremos energía, pero definiremos con más detalle más adelante.

TRABAJO MECÁNICO Cuando se diseña una máquina que debe mover un cuerpo se trata de que aplique la

fuerza de la mejor manera posible, es decir, bien alineada con el movimiento que se quiere producir.

No obstante, sabemos que la dirección del movimiento de un cuerpo no tiene por qué coincidir en todo instante con la de la fuerza resultante, ni con la de alguna fuerza particular que le aplica algún agente determinado. Por lo tanto, la definición de trabajo hecho por una fuerza debe servir para el caso general, y debe contemplar cualquier orientación de la fuerza respecto del movimiento.

Comencemos considerando el caso de un móvil que sufre un desplazamiento rectilíneo bajo la acción de un sistema de fuerzas que se mantienen constantes en todo el intervalo (oportunamente extenderemos las ideas para cualquier caso general). De todo el sistema de fuerzas elegimos una cualquiera para definir el trabajo que realiza. La definición vale para cada fuerza, y es independiente de que haya o no otras fuerzas actuando.

CAPÍTULO 6: TRABAJO, ENERGÍA Y POTENCIA

Si bien en la definición de trabajo intervienen dos vectores (fuerza y desplazamiento), es importante notar que el trabajo no es vector, es una cantidad escalar, que puede tener signo positivo, o negativo. Una fuerza con componente tangencial positiva (α < 90º) hace trabajo positivo, el cual suele denominarse motriz, mientras que si esta componente es negativa (α > 90º), el trabajo es negativo, y suele denominarse resistente. La unidad SI de trabajo es el joule, símbolo J, denominado así en honor al físico inglés James Prescott JOULE (1818-1889):

1 J = 1 N ∙ 1 m 1 J = 1 N ∙ m

Ésta es una unidad pequeña, ya que equivale aproximadamente al trabajo que se hace levantando una pesa de 100 g a una altura de 1m, veremos más adelante la equivalencia con otras unidades de trabajo o energía de uso común.

De acuerdo con la definición de trabajo en términos vectoriales se puede expresar como el producto escalar entre la fuerza y el desplazamiento, siempre que ésta sea constante:

𝑊 = 𝐹 ∙ ∆𝑥

𝑊 = |𝐹 | ∙ |∆𝑥 | ∙ cos (𝛼)

7 Se utiliza casi universalmente la letra W para designar el trabajo (por trabajo en inglés, “work”). En algunos textos

puede verse L, por “lavoro”, que es trabajo en italiano. No utilizaremos la T, de nuestro idioma, porque la reservamos para el tiempo, de manera que adheriremos al uso inglés.

El trabajo mecánico W7 hecho por la fuerza F aplicada sobre un punto mientras éste se desplaza desde A hasta B en una dirección que forma un ángulo α con la fuerza, es el producto de la distancia recorrida por la componente tangencial de la fuerza.


209

Recordar: El producto escalar de dos vectores cualesquiera, 𝑎 y �� , es una cantidad escalar igual al producto de los módulos de los dos vectores por el coseno del ángulo que forman entre ellos:

𝑎 ∙ �� = |𝑎 | ∙ |�� | ∙ cos (𝛼)

En esta ecuación, α se mide respetando la convención matemática.

ENERGÍA

Para elevar un objeto hasta una cierta altura, se debe realizar trabajo sobre el objeto. En consecuencia, el objeto también adquiere la capacidad para realizar trabajo. Por ejemplo, consideremos el siguiente experimento: elevamos una naranja hasta 2 m de altura y luego la dejamos caer sobre el émbolo extendido de una jeringa. Primero, la naranja adquiere velocidad mientras cae y, luego, empuja el émbolo al impactar con él, dejándolo comprimido. Podríamos reemplazar la jeringa por un huevo, y observaríamos cómo la naranja rompe el huevo con facilidad. En ambos casos, la naranja realiza trabajo, ya sea sobre el émbolo o sobre la cáscara del huevo, y su capacidad para realizar trabajo provino del trabajo realizado inicialmente al levantarla.

Un balón de fútbol en reposo adquiere la capacidad para realizar trabajo después de que un jugador lo impulsa con fuerza. El balón adquiere velocidad y puede incluso llegar a empujar las manos de un arquero que trate de detenerlo.

Se efectúa trabajo al dar cuerda a un reloj mecánico, y el mecanismo de cuerda adquiere la capacidad de realizar trabajo al mover los engranajes y las piezas del reloj.

Cuando calentamos el agua de una tetera, podemos usar el vapor para hacer girar las aspas de un molino de papel. ¿De dónde provino esta capacidad del vapor para realizar trabajo sobre el molino?

A la capacidad de un sistema para realizar trabajo la denominamos energía. Al igual que el trabajo, la energía se mide en joule [J] y se manifiesta de muchas formas.

Aquí estudiaremos una forma de energía relacionada con la posición y el movimiento de los objetos, la energía mecánica. Veremos que la energía mecánica puede estar en forma de energía potencial o de energía cinética, o de ambas.

En la actualidad se considera a la energía como la capacidad que tiene la materia de producir trabajo, luz, calor, etc. Existen diferentes tipos de energía: energía Nuclear, energía hidráulica, energía eléctrica, energía eólica, energía mecánica como son: la energía cinética y energía potencial.

ENERGÍA CINÉTICA Los cuerpos en movimiento tienen energía por el solo hecho de estar en movimiento. Para comprobarlo, basta que imaginemos que somos el blanco de un pequeño proyectil lanzado hacia nosotros con cierta velocidad; por ejemplo, una pelota de tenis.

Cuando mayor es la rapidez del proyectil mayor es el efecto de su impacto. Y también los efectos son mayores cuando la masa del proyectil es mayor. Así, una bala de revólver, por ejemplo, tiene pequeña masa, pero tan grande rapidez que su impacto puede tener efectos notables. O un camión de gran masa apenas en movimiento, puede también provocar efectos cuantiosos al impactar un automóvil más pequeño.

Los ejemplos anteriores sirven para comprender que la energía de un objeto en movimiento depende de su rapidez y de su masa. A esta forma de energía la denominamos energía cinética de traslación (EC).

La energía cinética de traslación se expresa formalmente como:

𝐸𝑐 =1

2∙ 𝑚 ∙ 𝑣2

Vemos que EC es directamente proporcional al cuadrado de la rapidez. También debe advertirse que siempre es una cantidad positiva.

El trabajo y la energía cinética se relacionan mediante el teorema del trabajo y la energía cinética. Veamos cómo podemos obtener este resultado:

𝑊 = |�� 𝑇| ∙ |∆𝑥 |

𝑊 = 𝑚 ∙ |�� | ∙ |∆𝑥 |

𝑊 = 𝑚 ∙ |�� | ∙(𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑖2)

2 ∙ |�� |

𝑊 = 𝑚 ∙(𝑣𝑓

2 − 𝑣𝑖2)

2

𝑊 = 𝐸𝑐𝑓 − 𝐸𝑐𝑖

𝑊𝑅 = ∆𝐸𝑐

Por lo tanto, hemos demostrado el enunciado del teorema del trabajo y la energía cinética. ENERGÍA POTENCIAL

Pensemos nuevamente en el ejemplo de la naranja que elevamos hasta 2 m de altura y dejamos caer justo sobre un huevo, para romperlo. De acuerdo con la definición de trabajo, realizamos un trabajo para levantar la naranja hasta su posición en altura. Supongamos que la mantenemos quieta varios segundos antes de soltarla. Cuando la soltamos, la naranja adquiere velocidad al caer y, por lo tanto, tiene energía cinética. Después, realiza trabajo al romper el cascarón.


211

Si la naranja adquirió la capacidad para realizar trabajo debido al trabajo que hacemos al elevarla, ¿dónde estaba esa capacidad mientras la mantuvimos quieta en altura? ¿De dónde salió la energía cinética de su movimiento de caída?

Ambas preguntas tienen la misma respuesta: la capacidad para realizar trabajo que adquiere la naranja estaba “almacenada” en su posición respecto a la Tierra. En ese estado, la naranja tiene el “potencial” de efectuar trabajo, y por ello le asociamos una forma de energía conocida como energía potencial.

Un resorte estirado o comprimido tiene el potencial de efectuar trabajo, al igual que el elástico estirado de una honda, por lo tanto, ambos tienen energía potencial.

Existen varios tipos de energía potencial, entre otros, tenemos:

a) Energía potencial gravitatoria: debida a la posición de un objeto masivo respecto a otro. Este es el caso de la naranja de nuestro ejemplo respecto a la Tierra.

b) Energía potencial elástica: debida a la deformación de un cuerpo elástico respecto a su posición de equilibrio.

ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA CERCA DE LA SUPERFICIE DE LA TIERRA

Ya sabemos que se requiere trabajo para elevar un objeto contra la fuerza de gravedad ejercida por la Tierra. Esta es la razón por la que el objeto adquiere la capacidad para realizar trabajo a causa de su posición elevada. En estas condiciones, se dice que el objeto adquiere energía potencial gravitatoria.

La energía potencial gravitatoria, por supuesto, no solo la adquieren los objetos bajo la atracción de la gravedad terrestre, sino que también se trata de una condición general que experimenta un objeto bajo la interacción gravitatoria de cualquier otro objeto.

En general, la energía potencial gravitatoria asociada a un objeto elevado es igual al trabajo efectuado para elevarlo en contra de su peso, hasta una altura h respecto a su posición inicial:

𝑊 = |𝐹 𝑇| ∙ |∆𝑥 |

𝑊 = |�� | ∙ |∆𝑦 |

𝑊 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ

En la ecuación hemos considerado F = mg, ya que elevamos el objeto con una fuerza igual y opuesta a su peso para que el movimiento se realice con velocidad y energía cinética constantes. Y también Δy = h, ya que el desplazamiento se produce en la dirección vertical y tiene un módulo igual a la altura.

Si establecemos la posición inicial del objeto como el nivel de referencia de la energía potencial (EP = 0), entonces la ecuación última define la energía potencial gravitatoria de un objeto de masa m a una altura h:

𝐸𝑝𝑔 = 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = −𝑊𝑝𝑒𝑠𝑜

ENERGÍA POTENCIAL ELÁSTICA La Figura muestra un sistema masa-resorte, sobre el cual actúa un agente externo para mover la masa y comprimir el resorte. Si es necesario realizar trabajo para que el sistema pase del estado (a) al estado (b), ¿a dónde va este trabajo cuando la masa se encuentra en su nueva posición?

En el caso de un resorte, la fuerza variable que aplica depende de su compresión y se puede expresar, como ya vimos, a través de la Ley de Hooke:

𝐹 = −𝐾 ∙ ∆𝑥

Donde k es la constante elástica del resorte, x corresponde a su compresión o elongación y el signo indica que la fuerza se opone a la deformación. Gráficamente, el módulo de esta fuerza tiene la siguiente forma:

Por lo tanto, el trabajo realizado sobre un resorte al deformarlo una distancia x, es igual al área bajo la curva en el gráfico anterior, la cual corresponde a un triángulo de base x y altura k · x:

𝑊𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑚𝑎𝑛𝑜 =1

2∙ 𝐾 ∙ (∆𝑥)2=−𝑊𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒

De manera análoga al caso gravitacional, el sistema adquiere energía potencial debido a un cambio de posición. Así, el trabajo realizado por la fuerza variable al comprimir el resorte se convierte en energía potencial elástica (Epe), que está almacenada en el resorte deformado.

La energía potencial elástica se expresa como:

𝐸𝑝𝑒 =1

2∙ 𝐾 ∙ (∆𝑥)2 = −𝑊𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒

FUERZAS CONSERVATIVAS Y NO CONSERVATIVAS Condición necesaria para que una fuerza sea consecutiva: Si consideramos la definición

de fuerza conservativa, WFc(A→B) = - WFc(B→A), para dos puntos A, B, muy próximos, nos damos cuenta de que Fc debe estar igualmente definida en cada posición, independientemente de con qué rapidez o con qué sentido se pase por allí. En cada posición debe actuar siempre de la misma manera, con igual intensidad y sentido, independientemente de cómo sea el


213

movimiento. Así vemos que fuerzas como la gravitatoria, siempre vertical hacia abajo y de módulo constante, independientemente de que el objeto sobre el que actúa suba o baje, o la elástica, siempre hacia la posición de equilibrio del resorte, independientemente de que éste se esté estirando o acortando, cumplen con esta condición y son típicos ejemplos de fuerzas conservativas.

En cambio, encontramos que la fuerza de rozamiento invierte su sentido cuando invertimos el sentido en que recorremos un trayecto cualquiera AB, y esto la califica automáticamente como fuerza no conservativa: quita energía a la ida (WA→B < 0), y la vuelve a quitar a la vuelta (WB→A < 0).

Supongamos un sistema que consiste en una partícula sobre la que actúa una fuerza conservativa FC, y alguna otra fuerza no conservativa, FNC (que podría ser aplicada por algún agente, o deberse al rozamiento, o a un motor, etc.). La fuerza resultante sobre la partícula está dada por:

𝐹𝑅 = 𝐹𝑁𝐶

+𝐹𝑁𝐶 ,

y por lo tanto WR = WNC + WFc . Ahora bien, según el teorema del trabajo y la energía cinética,

𝑊𝑅 = ∆𝐸𝑐 𝑊𝑁𝐶 + 𝑊𝐶 = ∆𝐸𝑐

Cuando actúa una fuerza conservativa podemos definir una energía potencial asociada

como:

WFc = -ΔEp

entonces sustituyendo esto en la expresión anterior queda:

𝑊𝑁𝐶 − ∆𝐸𝑝 = ∆𝐸𝑐

Esta expresión nos invita a agrupar todas las energías en el miembro derecho: Y llamando energía mecánica total, Em, a la suma de la cinética y la potencial, podemos escribir: Em= Ep + Ec

𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑐 + ∆𝐸𝑐

𝑊𝑁𝐶 = ∆𝐸𝑚

POTENCIA

Existe una magnitud que nos permite cuantificar la energía utilizada por unidad de tiempo. Este concepto nos permite comprar entre dos artefactos cual realizará más rápido el trabajo.

𝑃𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 =𝑊

𝑡

Donde la unidad de medida según el S.I. 1 Joule/1segundos= 1 Watt J/s=W

Esto significa que, si adquirimos dos secadoras de pelo una de 1350W y 2100W me secaré más rápido con la de mayor potencia, pero ojo también consumirá más energía. Finalmente, como pudimos ver en esta clase el trabajo se transforma en energía y viceversa

La energía no se crea ni se destruye, sino que se transforma

Unidades

La unidad S.I. de potencia es el watt, castellanizado como vatio, que se simboliza con W, denominado así en honor al ingeniero escocés James WATT (1736-1819), inventor de las principales mejoras de las primeras máquinas de vapor: 1 watt es la potencia mecánica correspondiente a la realización de 1 joule en 1 segundo:

1W =1J / 1s (No confundir la letra “W” utilizada para trabajo, con el símbolo del watt).

Dado que el joule es una unidad relativamente pequeña de energía, el watt también resulta una unidad más o menos pequeña de potencia para los artefactos utilizados en el hogar. Una lámpara pequeña consume 20 W, una muy luminosa como para una habitación 100 W, y una lámpara de alumbrado público cerca de 200 W. Un motor eléctrico de cortadora de césped pequeña puede consumir 250 W, y un motor de automóvil puede estar alrededor de 70 kW.

Las empresas distribuidoras de energía eléctrica facturan a sus usuarios un monto correspondiente a toda la energía (eléctrica) suministrada en un mes, y utilizan una unidad particular para ello, denominada kilowatt-hora (kWh), para reemplazar al joule que es demasiado pequeño (aunque lo que correspondería científicamente sería utilizar múltiplos del joule).

De manera que en la práctica industrial se define: 1 watt-hora = trabajo que se hace en 1 hora trabajando con una potencia de 1watt. 1 kWh = trabajo que se hace en una hora trabajando con una potencia de 1kW.

Según las fórmulas anteriores y equivalencias entre unidades, resulta:

1 Wh = 1W× 3.600 s 1 Wh = 3.600 J 1 kWh = 1.000 W × 3.600 s 1 kWh = 3,6×106 J 1 kWh = 3,6 MJ

Un hogar mediano consume unos 200 kWh por mes lo que serían 720MJ.

Otras unidades industriales de potencia, que no son S.I., son el HP (horse-power: caballo

de potencia) y el CV (caballo de vapor). Ambas unidades surgieron durante la Revolución Industrial, y como sus nombres lo indican, toman como patrón la capacidad de ritmo promedio de trabajo de un caballo. Ambas equivalen aproximadamente a ¾ de kW, y van cayendo en desuso.


215

De las fuerzas vivas a la energía

“El origen del concepto de trabajo mecánico como equivalente al producto de la fuerza por el desplazamiento se remonta a la Antigüedad. Aparece de modo implícito en los estudios relativos a las palancas llevados a cabo por Arquímedes (287 a. C. – 212 a. C.). El concepto de energía hace su aparición de forma clara e inequívoca a finales del siglo XVIII y principios del XIX cuando, como consecuencia del desarrollo de la termodinámica, toma cuerpo el principio de conservación de la energía en su acepción más amplia. Sin embargo, desde los tiempos de Galileo (1564–1642), y sobre todo desde Christiaan Huygens (1629 – 1695) y Gottfried Leibniz (1646-1716), se hacía uso del confuso concepto de vis viva (“fuerza viva”), hoy conocido como energía cinética. Galileo, en su obra Dos nuevas ciencias, describe lo que ocurre cuando sobre una estaca ligeramente clavada en el suelo se deja caer una piedra. La estaca se clava más en el suelo si se lanza la piedra desde una mayor altura. Por tanto, una combinación de peso (fuerza) y altura (desplazamiento) es la responsable de que la estaca se clave más, o menos. Este es justamente el concepto de trabajo que usamos actualmente. Los estudios de Huygens sobre colisiones elásticas entre bolas duras, como las del pool, le llevaron a la consideración de que, además de conservarse el momento lineal (p = m · v), se conservaba la cantidad m · v2. Leibniz demostró que esta nueva cantidad aparecía también al resolver el problema de la estaca de Galileo, por lo que supuso que debía tener una gran trascendencia en la explicación de los movimientos. La cantidad m · v2 fue denominada vis viva (fuerza viva), y se consideró que todos los cuerpos en movimiento estaban dotados de una vis viva que era capaz de hacer que una estaca se clavara en el suelo o de poner en movimiento cuerpos que estaban en reposo. Leibniz consideró que era la vis viva la magnitud que definía el estado de movimiento de los cuerpos y no el momento lineal que defendía René Descartes (1596 – 1650). En 1743, fue Jean le Rond dʼAlembert (1717 – 1783) quien propuso que ninguna de las dos cantidades se designara con el nombre de fuerza (vis), para evitar confusiones, y que se limitara el ámbito de aplicación de cada una. Sugirió el nombre de momentum para la magnitud de Descartes (p = m · v). Por fin, a principios del siglo XIX, Thomas Young (1773-1829) definió la cantidad mv2 como “energía”. Poco tiempo después, William Thomsom (1824 – 1907), conocido como Lord Kelvin, le pondría el apellido con la que la conocemos hoy: energía cinética.” (Pavez, 2009)


APLICACIÓN

Trabajo, Energía y Potencia

1) Históricamente, ¿cómo se relaciona la idea de las “fuerzas vivas” con nuestro actual

concepto de energía mecánica?

2) ¿Cuándo realiza más trabajo una pesista profesional: al levantar desde el suelo una pesa de

70 kg o al mantener en altura una pesa de 100 kg?

3) ¿Realiza trabajo una fuerza que es paralela al desplazamiento?

4) ¿Realiza trabajo el peso de una naranja que cae sobre la superficie terrestre?

5) Calcular el trabajo que realiza la fuerza indicada en el grafico suponiendo que tiene un valor de

100KgF.

6) Un cuerpo cae de una altura de 10 m. Si su peso es de 100 N, calcule qué trabajo realizó la

fuerza peso.

7) Un cuerpo de peso (P) 100 N, es levantado por una fuerza (F) de 200 N, hasta una altura de

10m en 100 segundos. Calcular (Modulo y dirección):

a) El trabajo de la fuerza F b) El trabajo de la fuerza c) La suma de los trabajos

8) Para empujar su bicicleta, a través de una calle de 15 m de ancho, un peatón aplica una

fuerza constante de 20 N, en dirección paralela al piso.

a) ¿Cuál es el trabajo mecánico aplicado a la bicicleta por el peatón al cruzar la calle?

b) ¿Cuál es el trabajo mecánico realizado por la fuerza normal que actúa sobre la

bicicleta?

9) ¿Cuánto trabajo (energía) se necesita para subir un objeto que pesa 200 N a una altura de

4 m?


217

10) El bloque de hielo pesa 500 newton.

a) ¿Cuánta fuerza se necesita para empujarlo

cuesta arriba por la rampa (sin tener en

cuenta la fricción)?

b) ¿Cuánto trabajo se requiere para empujarlo

cuesta arriba por la rampa, en comparación

con subirlo verticalmente 3 m?

11) De acuerdo con la Figura, un hombre aplica una fuerza sobre un carro de supermercado, con

un ángulo de 30° con respecto a la horizontal, para arrastrarlo 5 m en línea recta. Si la fuerza

aplicada por el hombre es de 300N, (a) ¿cuál es el

módulo de la componente de la fuerza que es

paralela al desplazamiento? (b) ¿Cuál es el

trabajo realizado por el hombre sobre el carro?

12) Observa la Figura del plano inclinado con un ángulo de 20° respecto al suelo. Para subir la

caja de 50 kg, arrastrándola por la rampa, la persona aplica una fuerza constante de 500 N,

desplazando la caja 4 m desde la base hasta el extremo superior. El módulo de la fuerza de

roce es de 300 N. (a) ¿Cuál es el trabajo que realiza la persona sobre la caja al empujarla por

la rampa? (b) ¿Cuál es el trabajo realizado por la fuerza de roce en el ascenso? (c) ¿Cuál es

el trabajo realizado por el peso de la caja en el ascenso?

13) ¿Cómo se relaciona la energía cinética de un automóvil y las posibles consecuencias de un

accidente en el que puede estar involucrado?

14) ¿Tiene energía mecánica un resorte estirado? ¿Por qué?

15) ¿Cuál es la energía mecánica, respecto al suelo, de un vaso de 300 g apoyado sobre una

mesa a 70 cm del piso?

16) ¿Cuál es la energía mecánica de un gorrión de 0,03 kg en el instante en que su rapidez es

de 4 m/s y se encuentra a 15 m sobre el suelo? ¿Depende la energía cinética del gorrión de

la dirección y el sentido de su velocidad?

17) Calcular la energía cinética de un cuerpo de 5 kg que cae en el vacío desde una altura de 80m.

18) Calcular la energía mecánica en A, B y C, del cuerpo que se encuentra sobre la montaña rusa.

Calcular la velocidad máxima a la que subirá, así como VB y VC; suponiendo ausencia de

rozamiento.

=

=

=

=

mh

kgm

mh

s

mV

8'

000.1

10

10

19) Por un plano inclinado de base 80 m y altura de 10 m desciende un cuerpo de 60 kg sin que se modifique su velocidad. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, calcular la variación de energía mecánica y la fuerza constante de frenado que el plano inclinado ejerce sobre el cuerpo.

20) Un cuerpo de masa M está sujeto a la acción de una fuerza F constante, en la misma dirección en la cual se está moviendo. Muestre que el trabajo hecho por la fuerza es igual al incremento de la energía del cuerpo.

21) Desde el punto más alto de un edificio de 50 pisos (4 m cada piso) cae un cuerpo de 100 N. Calcular la Ec , Ep y EM y velocidad del cuerpo al inicio, a la mitad de la caída y en el instante justo ante de tocar el piso.

22) ¿Cuánta energía hay que entregarle a un cohete de 0,675Kg de masa para que alcance 1500m de altura? ¿Con qué velocidad se habrá lanzado el cohete? Desprecie el rozamiento con el aire.

23) Un joven de 60kg se deja caer desde una altura de 0,8m sobre una cama elástica. ¿Cuánta

energía se almacena en la cama en el instante en que el chico alcanza el reposo parado sobre

ella? ¿A qué velocidad será lanzado al aire nuevamente?

24) Un carrito de montaña rusa comienza a subir la cuesta con una velocidad de 9m/s;

despreciando las pérdidas por el rozamiento, ¿podrá pasar la primera cima si esta tiene 5,3m

de altura? En caso afirmativo indique si le sobra energía y en caso de no ser posible averigüe

¿cuánto debe valer la velocidad para que esto se consiga?


219

25) El carrito de una montaña rusa parte de A con una velocidad v0. Determine la velocidad en

B y C. (Expresen en términos algebraicos dependientes de v0).

26) Todas las rampas tienen 5 m de alto. Se sabe que la Ec del bloque en el piso será igual a la pérdida de Ep (conservación de la energía). Calcula la rapidez del bloque cuando llega al piso en cada caso. [Sugerencia: ¿recuerdas, en los capítulos anteriores cuánto tarda algo en caer 5 m de distancia vertical desde una posición de reposo (suponiendo que g= 10 m/s2)? ¿Y cuánto aumenta la rapidez de un objeto que cae durante este tiempo? Eso da la respuesta en el caso 1. Analiza con tus compañeros sobre cómo la conservación de la energía da las respuestas en los casos 2 y 3.]

27) Una caballería arrastra una piedra de una tonelada tirando con una fuerza constante de 500

N y formando un ángulo de 30° con la horizontal sin rozamiento.

a) Realiza la descomposición de esta fuerza en sus componentes cartesianas: Fx, Fy.

b) ¿Qué aceleración adquiere?

c) ¿Cuánto vale el trabajo realizado en un recorrido de 100 m?

28) Un móvil de 3.200 kg, sube por un plano inclinado que asciende 5 m cada 100 m medidos

sobre el plano. Calcular la fuerza motriz, sabiendo que la velocidad:

a) Se mantiene constante. b) En 200 m pasa de 40 a 60 km/h c) En el mismo camino disminuye de 40 km/h a 20 km/h

29) El pilón de un martinete para hundir pilotes, pesa 600 kg y se lo deja caer desde 800 cm de altura. Calcular la resistencia media que se opone a la penetración, si después de 10 golpes, el pilote se hundió 5 cm.

V0

A

B

C H

H/2 H/3

30) Las primeras montañas rusas

procedían de la Rusia zarista.

Eran sencillos toboganes de

hielo por los que se podían

deslizar los niños dentro de un

cajón; pero no fue hasta 1884

cuando un ingeniero

estadounidense ideó una

atracción sin motor con vagones

que había que empujar cuesta

arriba para luego dejar caer por

una pendiente. Aunque han

pasado más de cien años, todas

las montañas rusas del mundo

siguen funcionando gracias al

mismo principio de

conservación de la energía

mecánica. Cuando tenemos en

cuenta factores como el rozamiento, parte de la energía mecánica se transforma en energía

calorífica, energía que se disipa en el ambiente.

a) Completa la tabla de datos de una montaña rusa por la que circula un tren con

pasajeros, de masa 1500 kg, aplicando el principio de conservación de la energía

mecánica:

Δh=h-h0 40m 30m 20m 10m 0m

EP

EM

EC

V(m/s)

b) ¿Por qué la primera cima de las montañas rusas siempre es la más alta? ¿Puede

ser mayor o igual la altura del rizo B que la del rizo A?

c) ¿Qué sucede con la energía potencial cuando el desplazamiento del tren es

horizontal? ¿Y cuando la velocidad que lleva es constante?

d) ¿En qué montaña rusa, A, B o C, ¿se alcanza mayor velocidad? ¿En qué punto

del recorrido?

Montaña Rusa Altura inicial (m)

Velocidad final (m/s)

Velocidad final (km/h)

A

B

C

e) La montaña rusa más alta y rápida del mundo está en Nueva Jersey (EE UU).

Para lograr el impulso necesario que los catapulte hasta la máxima altura, sus

vagones necesitan alcanzar una velocidad de 128 km/h en 3,5 s por un carril

horizontal. Una vez alcanzada la cima, giran 90° y descienden 125 m en vertical.

¿Cuál es la aceleración que adquieren los vagones al ascender y qué velocidad

máxima alcanzan cuando descienden desde dicha altura máxima?


221

f) Realiza el mismo cálculo de la velocidad máxima utilizando las ecuaciones del

MRUA.

g) ¿Señala en qué posiciones del rizo B tienen los pasajeros la misma energía

mecánica (sin considerar pérdidas por rozamiento)?

h) Si al final del recorrido se ha disipado un 20% de la energía inicial en forma de

rozamiento, ¿cuál será la energía final del tren y qué valor tendrá la energía

disipada?

31) Se lanza hacia arriba un proyectil de 150 g con velocidad inicial de 300 m/s. Calcular su energía cinética inicial y la misma a 50 m de altura.

32) Un cuerpo de 28 kg, cae libremente (sin rozamiento) por un plano con una

inclinación de 30o con respecto a la horizontal, partiendo del reposo. Calcular su energía cinética cuando ha recorrido 16 m sobre el plano.

33) ¿En cuánto se incrementó su altura un avión cuya energía potencial aumentó en 4,45 x 107J, si su peso es de 2.500 kg?

34) Calcular la masa de un cuerpo que al caer desde una altura de 10 m llega al suelo con una energía cinética de 0,800 kgm.

35) Una lanza pelota de resorte tiene una constante elástica de 1000 N/m. ¿Cuánto se lo habrá

comprimido si logró que una pelota 150g saliera despedida con una velocidad de 20 m/s?

36) ¿Cuánta potencia se necesita para subir el objeto de 200 N a la altura de 4 m en 4 s?

37) Se poseen dos motores, uno de 70 HP y otro de 50 HP. Calcular el tiempo que tardará cada uno en subir un peso de 1.000 kg a una altura de 10

38) ¿Cuál es la potencia de un motor que hace 60000 J de trabajo en 10 s?

39) Una máquina de 100 CV funciona durante 30 min.

a) Indica la potencia de la máquina expresada en vatios.

b) Calcula el trabajo que realiza y exprésalo en unidades del Sistema Internacional.

c) Exprésalo en Wh y en kWh.

40) Un objeto de 400 g atraviesa una pared de 0,5 m de grosor con una velocidad de 400 m/s,

saliendo con otra velocidad menor, de 100 m/s. Calcula:

a) El trabajo realizado por el objeto. ¿En qué te has basado?

b) La resistencia de la pared.

41) Por un plano inclinado de base 80 m y altura de 10 m desciende un cuerpo de 60 kg sin que se modifique su velocidad. Aplicando el teorema de las fuerzas vivas, calcular la variación de energía mecánica y la fuerza constante de frenado que el plano inclinado ejerce sobre el cuerpo.

42) Desde una altura de 100 m se deja caer una pelota de 100 g. Contesta:

a) ¿Cuánto valdrá su energía potencial en el punto más alto?

b) ¿Cuánto valdrá su energía cinética al llegar al suelo?

c) ¿Cuál será la velocidad con la que llegará al suelo?

43) Un coche de una tonelada circula a 36 km/h por una carretera horizontal. De repente se

para el motor y circula en punto muerto durante 10 s hasta detenerse. El coeficiente de

rozamiento con el suelo es de 0,5. Calcula:

a) El espacio que recorre antes de pararse.

b) El trabajo que realiza la fuerza de rozamiento.

c) ¿Qué sucedería si no existiese rozamiento?

44) Mediante una cinta transportadora se debe subir arena desde el fondo de una cantera hasta el camión que la transportara hasta el destino final. El camión tiene una capacidad máxima de carga de 6 Ton y la cinta recorre 110 metros con una inclinación de 55º respecto al suelo. La cinta es movida por un motor que al ser utilizado tiene una pérdida del 40% de su potencia.

a) ¿Qué distancia recorre la arena en contra de la fuerza de gravedad? (verticalmente)

b) ¿Qué trabajo realiza el motor para subir toda la arena? (Analizar detenidamente cual es la distancia)

c) ¿Qué potencia es necesaria para subir la carga en 0,15 horas? (en HP) d) Si se compra un motor cuya potencia (sin perdidas) es la obtenida en el punto

anterior. ¿Cuánto tiempo demora ese motor en subir toda la arena? e) ¿Qué energía potencial tiene la carga completa del camión con relación al punto

de partida de la arena? (altura hasta el fondo de la cantera) f) Si toda la arena se la considera como un solo punto ¿A qué velocidad recorre la

cinta? (La veloc. es constante) g) Con la suposición del punto F ¿Cuál es la energía cinética (Ec) de la arena al

iniciar el recorrido por la cinta? h) Con la suposición del punto F ¿Cuál es la Ec de la arena justo antes de terminar

el recorrido por la cinta?

45) Eficiencia de los electrodomésticos

El rendimiento de los motores de los electrodomésticos se describe comercialmente con las

letras A, B, C, D, E, F y G según su eficiencia en convertir la energía eléctrica en mecánica. Las

etiquetas energéticas se implantaron en 1989, momento en el que la Comisión de Energía

decidió informar a los usuarios de la eficiencia en el consumo de energía de los

electrodomésticos, que supone, aproximadamente, la tercera parte de la energía consumida en

los hogares. Se estudió el consumo para cada grupo de electrodomésticos: frigoríficos,

lavadoras..., y se asignó la letra D al consumo medio de cada grupo.

• Las letras A, B, y C designaron electrodomésticos más eficientes que la media, con un ahorro

de hasta el 50 % del consumo medio.

• Las letras E, F y G designaron los electrodomésticos menos eficientes. Como la asignación de

etiquetas la controlan los fabricantes de electrodomésticos, el margen de error puede llegar a

ser de hasta un 15 %.


223

Los electrodomésticos más eficientes, A o B, suelen ser más caros. Sin embargo, a medio

o a largo plazo suelen resultar una buena inversión económica, y en todos los casos son un

beneficio para el medio ambiente.

Teniendo en cuenta el texto anterior responda:

a) Una familia consume 150 kWh de energía eléctrica en un mes. ¿Cuántos kWh emplea

en el uso de los electrodomésticos?

b) Si la familia posee electrodoméstico de etiqueta energética D, ¿cuántos kWh ahorraría

en un mes con electrodomésticos de etiqueta A?

c) Si el kWh cuesta $5,2 ¿Cuánto ahorra la familia en un mes? ¿Y en un año?

d) ¿Cuántos años tardaría en amortizar electrodomésticos (frigorífico, lavadora y

lavaplatos) más eficientes $7500 más caros cada uno?

46) La subida al Hotel Bali de Benidorm se celebra cada año. El ganador de 2007 empleó 4

minutos y 53 segundos en subir corriendo los 52 pisos del hotel. En total, 930 escalones que

le llevaron hasta la azotea. Si cada escalón tiene 22 cm de alto y suponemos que el ganador

tiene una masa de 63 kg, calcula la potencia que desarrollaron sus piernas.

47) Antonio arrastra su trineo de 80 kg de masa por un plano horizontal en el que el coeficiente de

rozamiento es 0,1. Para ello tira de él mediante una cuerda que forma un ángulo de 30° con la

horizontal. Si la fuerza que aplica es de 100 N, ¿qué trabajo ha realizado después de recorrer 100

m?

48) Se lanza un cuerpo de 2 kg por un plano horizontal en el que el coeficiente de rozamiento

vale 0,2. Si la velocidad inicial es de 4 m/s, calcula el trabajo total realizado por la fuerza de

rozamiento hasta pararse.

49) Un coche circula a la velocidad de 90 km/h durante un tramo recto de 800 m. Calcula la

potencia desarrollada por el motor del coche si la masa del coche es de 1000 kg y el

coeficiente de rozamiento entre el suelo y las ruedas es μ = 0,2.

50) Un motor sube un peso de 1.000 N a una velocidad de 10 m/s. ¿Cuál es la potencia del motor en HP?

51) Un vehículo que pesa mil KgF, viajando a 360 Km/h demora 0,5 segundos en detenerse cuando se estrella contra un muro de concreto. Calcular a) ¿Con qué aceleración se detiene el vehículo? b) ¿Cuál es la fuerza que aplasta al vehículo? c) ¿Qué potencia se disipa en el impacto?

52) Un vehículo que pesa 10 KN y lleva 4 personas (750 N c/u), viajando a 120 Km/h de repente ven un obstáculo en la ruta, sabiendo que el freno aplica una fuerza de 5KN a) ¿Cuánto tiempo demora en detenerse? b) ¿Qué distancia recorre desde que aprieta el freno hasta que se detiene por completo?

53) Se debe subir una carga de 9.000 N hasta una altura de 100 metros. Para ello se dispone de un motor de 6 HP con un rendimiento del 66%. ¿Cuánto tiempo se necesita para subir la carga?

54) Un camión de 5 T lleva un acoplado de 4 T con una carga de 11 T y viaja a 100 Km/h cuando aplica los frenos y se detiene 20 segundos después. ¿Cuál es la potencia que se utilizó en el frenado?

55) En el ejercicio anterior suponga que el cuerpo se deforma de manera tal que se detiene por completo en 0,5 segundos (es decir qué pasa de su velocidad máxima a detenido en ese tiempo). ¿Cuál es la potencia disipada? ¿Qué trabajo se utilizó para ello?

56) Calcular la potencia necesaria para elevar un montacargas de peso total 3.000 kg a 6 m de altura en 30 s. ¿Qué motor debe aplicarse si el rendimiento total es del 70%?

57) Un proyectil de 5000 Kgm es impulsado mediante una explosión de pólvora que genera una

fuerza de 1 MN durante 2 segundos. ¿Cuál es la Ec del proyectil cuando deja de recibir el impulso? Con esa misma energía, ¿durante cuánto tiempo se podría iluminar una institución que utiliza 400 lámparas de 50W?

58) Para mantener con agua corriente a un barrio se construyó un tanque de reserva, cuyas

medidas son 3 m de radio, 5 m de altura y su base se ubica a 25 metros sobre el nivel del piso. En el barrio hay 2000 personas cuyo consumo medio es de 400 litros por habitante por día. Si una bomba no pude trabajar más de 20 horas al día, ¿qué potencia debe tener esta para mantener el tanque siempre con agua?


225

Bibliografía Alvarenga, A. M. (2008). Fisica General. Mexico DF: Oxford.

ARAGÓN, M. L. (2017). http://www.uca.edu.sv. Obtenido de

http://www.uca.edu.sv/matematica/upload_w/file/TEORIA%20VECTORES%20EN%20E

L%20PLANO%202012.pdf

Geogebra. (2019). https://www.geogebra.org/m/RghfTtMg.

Hewitt, P. G. (2007). Física Conceptual (Décima ed.). México: PEARSON EDUCACIÓN.

Pavez, L. A. (2009). Física 3º año medio. Santiago de Chile, Chile: Mc Graw-Hill.

PhET Interactive Simulations. (2019). https://phet.colorado.edu/.

Organización de la carpeta Todos los alumnos deben entregar al final de cada trimestre en las fechas designadas, una carpeta de prácticos con las siguientes características Carátula con

• Titulo (nombre de la materia) • Nombre de los Profesores • Curso y Sección • Apellido y Nombre y Número de Banco

Cada Trimestre debe con un separador/carátula que contenga • Numero de Trimestre • Apellido y Nombre del Alumno y su Numero de Banco • Fecha de Inicio y Final del Trimestre • Lista de Temas tratados en el trimestre

Todas las hojas de la carpeta deben Tener Apellido y Nombre, Curso, Sección, Número de banco y Número de Hoja Notas

• Esta copia debe ser la primera hoja después de la carátula principal • La presentación de la carpeta con Ejercicios y Trabajos prácticos es OBLIGATORIA y con NOTA • SOLO debe presentarse la parte práctica y resolución de ejercicios, la parte teórica es de presentación OPCIONAL • TODOS los ejercicios deben estar correctamente numerados y con los respectivos enunciados y su resolución. • Cada nuevo tema que se inicia, debe estar con un título o separación que deje ver claramente el tema que se trabaja • Los enunciados pueden ser fotocopias, la resolución de todos los ejercicios debe ser manuscrita SI o SI • La entrega debe hacerse SIN falta el día designado, en caso de no asistir el alumno debe enviarla con alguien más. • La no presentación de la carpeta a término puede significar un 1 (uno) para el Alumno

Trabajos de Laboratorio – Informes Los informes de los trabajos deben entregarse en hoja separada. • Los mismos son INDIVIDUALES aun en el caso de trabajos prácticos grupales. • Los informes en TODOS los casos debe contener al menos las siguientes secciones • Encabezado (Numero, Nombre y fecha de realización del Practico) • Descripción de los elementos • Descripción de la experiencia • Opcionalmente, si corresponde Tablas y cálculos • Conclusiones • Todas las hojas que se entreguen deben Tener • Apellido y Nombre • Curso y Sección • Numero de banco • Numero de Hoja • Numero de Practico • Las tablas y gráficos que eventualmente pueda haber pueden en algunos prácticos de laboratorio pueden ser presentados impresos las restantes secciones deben ser manuscritas e INDIVIDUALES • La entrega debe hacerse SIN falta el día designado, en caso de no asistir el alumno debe enviarla con alguien • La fecha de entrega del informe es siempre 7 días corridos después de la realización del practico, en caso de no ser un día de clase, la entrega se pospone para la case inmediata siguiente.

FECHAS DE ENTREGA CARPETA Primer Trimestre : ________________ de ____________ Segundo Trimestre : ________________ de ____________ Tercer Trimestre : ________________ de ____________

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