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1. Carga Eléctrica y Electricidad. 1.1 Introducción

Los estudios de la electricidad tienen su inicio allá por los años 600 A.C. por parte de Tales de Mileto.

La palabra electricidad proviene del griego elektron que significa ámbar y esta propiedad resulta ser, en sus interacciones, mucho mayor que las interacciones gravitacionales.

Experimentos simples, como el frotar una varilla de ámbar (o de ebonita) con una paño de lana (o frotar una varilla de vidrio con un pedazo de piel), al acercarla a una bolita de corcho, ésta es atraída. Se dice entonces que tanto la varilla como la bolita de corcho están electrizadas o cargadas.

1.2 Teoría Electrónica

Además de poseer masa y ocupar un lugar en el espacio, la materia tiene una naturaleza eléctrica.

Esa naturaleza eléctrica está asociada a partículas elementales que poseen una determinada carga eléctrica y que constituyen el átomo, siendo éste la pieza fundamental de la construcción de todo lo que nos rodea; en otras palabras, de la materia.

La palabra “átomo” proviene del griego “á-tómo” que significa “sin división” y a través de la historia, varios han sido los modelos adoptados para el átomo en los que podemos distinguir:

El Modelo Atómico de Demócrito de Abdera (460 – 370 a.c). Demócrito postulaba que los átomos son eternos, inmutables e indivisibles, las partículas más pequeñas que pueden existir; imposible de dividirlas en partículas más pequeñas y, además, invisible. Demócrito postuló lo que se llamó “La teoría Atómica del Universo”.

El Modelo Atómico de Dalton (1766 – 1844). Dalton toma la idea de Demócrito, la desarrolla científicamente y establece que el átomo es similar a una diminuta esfera compacta y postula que: la materia está compuesta de átomos; que los átomos de un mismo elemento son iguales; que los átomos son indivisibles que al combinarse, forman los distintos compuestos químicos.

El Modelo Atómico de Thomson (1856 – 1940). En su teoría, Thomson postula que el átomo estaba compuesto de electrones, de carga negativa, incrustados en una masa esférica de carga positiva. Esto provocó que su modelo sea conocido como el Modelo del Pudin De Pasas.

El Modelo Atómico Cúbico de Lewis (1875 – 1946). Lewis postula que el átomo es un cubo, en cuyos vértices estaban ubicados los electrones. Esta teoría no tuvo asidero pero es un paso importante en el estudio del átomo, porque a partir de este modelo, se establece lo que hoy se conoce como “valencia de un electrón” y la capacidad energética que tiene un electrón para unirse a otros electrones y producir nuevos elementos.

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El Modelo Atómico de Rutherford (1871 – 1937). A diferencia de los modelos anteriores, Rutherford basa su modelo en el estudio de partículas radioactivas, postulando que el átomo estaba compuesto de un núcleo, cargado positivamente y una corteza con electrones, de carga negativa, los que giran a gran velocidad alrededor de ese núcleo. Además, demostró que debido a la pequeña masa de los electrones, comparada a la que posee el núcleo, prácticamente toda la masa estaba contenida en el núcleo.

El Modelo Atómico de Bohr (1885 – 1962). Bohr toma los postulados de Rutherford para establecer que los electrones giran alrededor del núcleo, en órbitas perfectamente circulares y que si un átomo cambia de una órbita más interna a otra más externa, gana energía y, al contrario libera energía en forma de radiación electromagnética, cuando salta de una órbita más externa a otra más interna, de modo que cada órbita tiene un nivel distinto de energía.

El Modelo Atómico de Sommerfeld (1868 – 1951). Basado en el modelo atómico de Bohr, Sommerfeld cambia las órbitas circulares por órbitas elípticas, dando paso a lo que se conoce como “Número Cuántico Secundario”, de modo que a mayor número cuántico, mayor era la excentricidad de la órbita de los electrones.

El Modelo Atómico de Schrödinger (1887 – 1961). Aplicando teoría cuántica, Schrödinger desarrolla una formulación matemática que finalmente elimina las órbitas definidas tanto por Bohr como por Sommerfeld, estableciendo que no se pueden determinar las órbitas y tampoco se puede determinar la posición de un electrón en esa órbita no definida. Así, Schrödinger formula una ecuación que se conoce como la “ecuación de Schrödinger” que corresponde a la ecuación de una onda, mediante la cual se podría predecir las regiones donde se encuentra el electrón.

Para simplificar el estudio del comportamiento eléctrico de la materia, podemos considerar la teoría de Bohr, considerando que el átomo es la partícula más pequeña de ciertas clases de materia, que no se pueden descomponer en otras y a las cuales se les llama elementos químicos, aunque se ha probado que muchos de ellos son mezclas de isótopos.

Podemos imaginar a un átomo como una esfera con un núcleo central, con partículas que tienen carga positiva, denominadas protones y también partículas sin carga, llamadas neutrones. Envolviendo al núcleo se encuentran los electrones, que son las partículas con carga negativa y de masa prácticamente despreciable, girando en torno al núcleo, en trayectorias casi circulares, denominadas orbitales.

Ejemplo de átomo: el átomo de Helio (He)

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El átomo de He, posee dos electrones, uno en cada órbita y en el núcleo coexisten dos protones y dos electrones. En un átomo neutro (la suma algebraica de cargas positivas y negativas, es cero), el número atómico representa el número de protones del núcleo y a la vez el número de electrones de los átomos y se representa por la letra Z.

En todo átomo normal o eléctricamente neutro, la carga negativa es equivalente a la carga positiva, es decir, el número de electrones es igual al número de protones, ya que se considera que la carga de un protón es cuantitativamente igual a la de un electrón.

Isótopos de un elemento son átomos cuyos núcleos contienen el mismo número de protones, pero distinto número de neutrones, es decir, aunque tienen el mismo número atómico, presentan diferente peso atómico.

Cuando los átomos ganan o pierden electrones se produce la ionización. Si un átomo o grupo de átomos ha perdido uno o más de sus electrones, es un ión positivo y si ha ganado uno o más electrones, es un ión negativo. Así, si un cuerpo tiene todos o algunos de sus átomos ionizados, se dice que está electrizado o cargado.

Por el contrario, si un átomo de un elemento gana un electrón, se convierte en un anión de ese elemento.

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1.3 Cuantificación de la carga

Existe una cierta carga eléctrica mínima, la cual es llamada carga fundamental, de símbolo e y cualquier carga q que exista físicamente, cualquiera sea su origen, es un múltiplo de la carga fundamental, esto es, q = ne, siendo n un número entero positivo o negativo.

En 1909, Robert A. Millikan estudió la caída en el aire de minúsculas gotas cargadas eléctricamente. Mediante un par de electrodos podía introducir un campo eléctrico vertical y así estudió el movimiento de las gotas, con y sin el campo eléctrico. De esta forma mostró que se puede calcular la carga de las gotas individuales. Lo que encontró Millikan es que dichas cargas son siempre múltiplos enteros de la carga más pequeña que puede llevar una gota. De este modo quedó demostrado que la carga está cuantificada. Así, el valor del cuanto de carga es: e= 1.60206x10

-19 Coulomb.

Masa y Carga de un protón, de un electrón y de un neutrón

1.4 Principio de interacción eléctrica

Si se frota una varilla de vidrio y se toca una esferita de corcho (Vea en la figura, A) y luego se frota una varilla de ámbar y se toca otra esferita de corcho (vea en la figura, B), ambas esferas quedan electrizadas y al acercarlas, éstas se atraen; pero si ambas esferitas se electrizan con la misma varilla (sea la de ámbar o la de vidrio), al acercarlas entre sí, éstas se repelen.

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Este experimento muestra que hay dos tipos de electrización o carga: una positiva y otra negativa, cuyas interacciones pueden ser de atracción o de repulsión.

Convencionalmente, el caso de electrización con la varilla de vidrio se le denomina positiva y para el caso de la varilla de ámbar, negativa. Esta denominación fue sugerida por Benjamín Franklin y permanece como tal hasta los días de hoy.

El principio de interacción eléctrica establece que:

‘Si dos cuerpos poseen la misma clase de electrización, se repelen y si poseen distinta clase de electrización, se atraen’.

1.5 Métodos de electrización

Un cuerpo se puede electrizar de variadas formas o causas como, por ejemplo, el ya mencionado roce entre los átomos y moléculas de un cuerpo y otro, por el incremento de la energía cinética de sus átomos y moléculas debido al incremento de calor, por disolución de un sólido, por efecto de otro cuerpo electrizado, por influencia de un campo magnético, etc.

Una persona puede ser cargada eléctricamente por medio de un generador electrostático (generador de Whimsurt o generador de Van der Graff), pudiéndose observar varios efectos interesantes.

Veamos tres casos muy sencillos:

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Frotación: Al frotar un cuerpo contra otro y separarlos, quedan electrizados con signos diferentes; uno positivo y el otro negativo, pero la carga total es la misma. La electrización se produce porque los electrones de un cuerpo pasan al otro, producto de las alteraciones en las órbitas electrónicas de los átomos en cada cuerpo. Algunos ejemplos sencillos de electrización por frotamiento, los podemos observar al deslizar una peineta por el cabello seco; el aire que roza en un vehículo (el cual se visualiza por una pequeña chispa o ‘descarga’); al sacarse un jersey de lana, etc.

Contacto: Cuando un cuerpo eléctricamente neutro se pone en contacto con otro cargado positivamente o negativamente, se produce una transferencia de cargas y, al igual que en el caso anterior, la carga total permanece constante. Si el cuerpo que está cargado tiene exceso de carga positiva, entonces el neutro le cede electrones en tanto que si está cargado negativamente, hay carga negativa que es cedida al cuerpo neutro.

Inducción: Si, en el caso anterior, los cuerpos se acercan sin entrar en contacto, entonces las cargas positivas, del cuerpo cargado positivamente, ejercen una atracción de las cargas negativas del cuerpo neutro de modo que las cargas negativas se aglomeran en un extremo del cuerpo (cerca de las positivas del cuerpo cargado) y las positivas en el extremo opuesto. Si se retira el cuerpo inductor entonces las cargas del cuerpo neutro se redistribuyen volviendo al equilibrio inicial, pero si el extremo opuesto al lado del inductor está conectado a ‘tierra’, ésta le cederá cargas negativas de modo que al retirar el cuerpo inductor, el cuerpo neutro se transformará en uno cargado negativamente.

Se frota con un paño un globo inflado y se puede observar que atrae pequeños trozos de un material liviano. También se puede observar que se adhiere a una superficie, como por ejemplo el

Varillas de diferentes materiales previamente cargadas por frotamiento le transmiten carga por contacto al electroscopio, la cual se detecta por la separación de las láminas del mismo.

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2. Fuerza electrostática: Ley de Coulomb 2.1 Introducción Charles A. Coulomb (1736-1806) estableció experimentalmente la ley (que lleva su nombre) de interacción entre partículas cargadas y que es una analogía de la ley de Newton, para la gravitación universal. Para su verificación, Coulomb utilizó una balanza de torsión, que consiste de una barrita de vidrio suspendida de un hilo de cuarzo. En un extremo de la barra hay una pequeña esfera y un contrapeso en el extremo opuesto. Con este instrumento se puede obtener el ángulo de torsión y determinar la fuerza eléctrica (fuerza electrostática) que actúa sobre la esferita al acercarle un cuerpo cargado. Verificación de la ley de Coulomb con la balanza de torsión de Schürholz. Con ésta, se mide la fuerza electrostática entre dos esferas cargadas mediante una balanza de torsión. La pieza básica de este sensible instrumento de medición es un cuerpo giratorio elástico, tenso entre alambres de torsión, al cual se sujeta una de las esferas. Si la segunda bola se acerca a la primera, la fuerza entre las esferas cargadas actúa torciendo los alambres, la cual es indicada y medida con ayuda de un indicador luminoso.

Esta ley se puede enunciar de la siguiente manera: “La intensidad de la fuerza de interacción entre dos cargas puntuales es directamente proporcional al producto de dichas cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de separación entre ellas”

En este experimento se usan dos esferas conductoras con mango aislante y el generador de Van der Graff. Se pueden obtener distintas combinaciones de carga eléctrica de las esferas conductoras en dependencia del procedimiento seguido.

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2.2 Cálculo de la fuerza electrostática Matemáticamente, la intensidad (o magnitud) de la fuerza de interacción eléctrica, queda expresada por:

2rq' . q

K = F

[2.1]

en donde F es la intensidad de la fuerza de interacción eléctrica; q y q’ son las cargas, que se encuentran separadas una distancia r y K es una constante que juega un papel similar al de la constante G en la ley de gravitación universal. En el sistema c.g.s se utiliza la unidad de carga statcoulomb de modo que K = 1. Para el caso del sistema m.k.s, la unidad de medida es el coulomb. Es éste caso, se sustituye K por 1/(4є0), expresión en la cual se ha considerado el medio, siendo є0 una constante llamada

constante de permitividad, cuyo valor aproximado en el vacío es de 8.9x10-12

C2/N·m

2, con lo

que el valor de la constante K tiene un valor aproximado a 9x109 N·m

2/C

2.

Por lo anterior, 1 Coulomb (C) = 10×c Statcoulomb (STC), donde c es el módulo de la velocidad de la luz en el vacío (3x108 m/s). Así, al utilizar el sistema m.k.s, la ley de coulomb también puede ser escrita como:

2rq' . q

41 = F

[2.2]

Si q y q’ son de igual signo, entonces la fuerza es de repulsión, de lo contrario, la fuerza es de atracción. 2.3 Determinación del vector fuerza electrostática

Siendo la fuerza una cantidad vectorial, es necesario determinar el vector F. Para ello, consideremos un sistema de referencia cualquiera, de modo que O sea el punto origen de ese sistema. Observando la figura de la izquierda, establecemos:

ˆqq'

qq'

qq'

qq'rqq'qq'qq' r

rrrr

u ; r r ; rr r

9

La carga q ejerce una fuerza F

sobre la carga q’; es decir qq'F = F

y como r2 ur

q' . qK = F ˆ

, entonces:

qq'

qq'2

qq'

r2qq' rrr

r

q' . qK = ur

q' . qK = F

ˆ

Luego,

qq'3qq'

qq' rr r

q' . qK = F

[2.3]

La expresión [2.3] corresponde a la expresión de la fuerza que ejerce q sobre q’, en tanto que las expresiones [2.1] y [2.2], sólo determinan la intensidad de esa fuerza. Para el caso de un sistema de N partículas cargadas: q1, q2, q3, …, qN, cuyos vectores posición son: 1r

, 2r

, 3r

, …, Nr

, respectivamente, entonces la fuerza resultante del sistema de partículas cargadas, sobre otra partícula cargada, q0, cuyo vector posición es 0r

, se obtiene

sumando las fuerzas que ejercen cada una de las partículas qi, sobre q0. Esto es:

N03N0

0N303

30

03203

20

02103

10

01

qqqqqqqq

rr r

q . qKrr r

q . qKrr r

q . qKrr r

q . qK

F . . . F F F F 0N030201

. . .

Por lo tanto,

N

1 ii03

i0

i0 rr

r . qKqF

[2.4]

Ejemplo de aplicación: Para la distribución de cargas en la figura, determinar la fuerza resultante sobre la carga q0, ejercida por q1 y q2,

si q0 = -1.6x10-6

C, q1 = 3.2x10-6

C y q2 = -4.8x10-6

C, si cada cuadro en el sistema de referencia, tiene lado igual a 1cm. Solución:

- Los vectores posiciones de q0, q1 y q2, son:

r0= 0, -4, 0 cm, r1= 4, -4, 0 cm y r2= -5, 2, 0 cm

- Las distancias respectivas son: r10 = √80cm y r20 = √61cm.

- Aplicando la expresión [2.4], resulta:

10

3.554)N- , (9.831 F

N 6 5, 1.451 8 4,0.644

Nx106 5, x1061

4.8x10 x108 4, x1080

3.2x10 1.6x10 9x10 = F 2-32-

6--2-

32-

6- 6--9

- La magnitud o intensidad de ésta fuerza

es F10.45N y su dirección respecto a X+ es =arctg(-3.554/9.831) -200.

3. Campo eléctrico e intensidad de campo eléctrico.

3.1 Introducción

El campo eléctrico corresponde al espacio en que actúan las fuerzas electrostáticas. Este espacio juega un papel intermedio en las fuerzas que obran entre las cargas, distinguiéndose dos situaciones:

el cálculo de campos establecidos a partir de distribuciones de cargas,

el cálculo de las fuerzas que determinados campos ejercen sobre cargas colocadas en ellos.

Para definir operacionalmente el campo eléctrico, se coloca una carga de prueba qo, supuestamente positiva y muy pequeña, en un punto del espacio que se va a examinar y se observa la fuerza eléctrica F

que actúa sobre esta carga. Así el vector campo eléctrico

,

queda determinado por:

0qF

ε [3.1]

El vector campo eléctrico posee la misma dirección de la fuerza eléctrica y el sentido dependerá del signo de la carga fuente, es decir, la que produce el campo eléctrico.

La unidad de medida, en el sistema M.K.S, es el Newton/Coulomb (N/C) existiendo otras unidades de medida; en general, unidad de fuerza dividida por unidad de carga.

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3.2 Postulados fundamentales de la electrostática en el espacio libre

Los dos postulados fundamentales de la electrostática, en el espacio libre, quedan especificados por la divergencia y el rotacional. Esto es:

Un campo electrostático NO ES SELENOIDAL; vale decir, la divergencia de un campo electrostático, en el espacio libre, es distinto de cero. Matemáticamente esto queda expresado por:

0 vε

[3.2]

en la cual, v es la densidad volumétrica de carga y 0, la permitividad del espacio libre, cuyo valor aproximado en el vacío es de 8.9x10-12 C2/N·m2.

Los campos electrostáticos son IRROTACIONALES, vale decir, no rotan, lo que matemáticamente queda expresado por:

0

ε [3.3]

Las expresiones anteriores son las formas diferenciales de los dos postulados fundamentales de la electrostática y son parte de las ecuaciones de Maxwell. Los mismos pueden ser expresados en la forma integral, como:

0 vε

Q s sd

ε [3.4]

0

ε 0 c ldε [3.5]

3.3 Cálculo de la intensidad del campo eléctrico

Usando los postulados fundamentales de la electrostática, a partir de la expresión [3.4] y el esquema de la figura, resulta:

0

0

0

0

0

ˆˆ

Q

Q

Q

Q

Q

2

2

RR

R4

R4

uu

ε

ε

ε

ε

ε

ss

s

s

s

dsds

ds

ds

sd

;

12

De esta, se desprende que:

ε= Q4ϵ0R2 [3.6] ; 휺 = Q

4ϵ0R2 uR [3.7]

Recuerde que ûR es un vector unitario, en la misma dirección de la fuerza; el sentido del campo, lo determinará el signo de la carga Q. Para expresar el vector campo eléctrico en términos de la posición que tiene la carga Q en el espacio y la posición del punto P en el espacio, en donde se quiere evaluar el campo eléctrico, entonces se hace necesario expresar el vector unitario ûR, en términos de los vectores posición. De acuerdo a la figura de la izquierda, se obtiene:

ˆQo

QoRQo rr

rrrr u ; R r ; rr r

Sustituyendo estas expresiones en la expresión [3.7], resulta:

Qo

Qo

Qorrrr

rr

24Q

ε

Luego, la expresión vectorial del campo electrostático, en términos de los vectores posición en el espacio, es:

Qo

Qo

rrrr

34

Q

ε [3.8]

siendo 0r

el vector posición del punto P, donde se desea evaluar el campo electrostático y Qr

es el vector posición de la carga Q. Observe que si la expresión anterior se multiplica por q0 (la carga de prueba colocada en el punto P), resulta la fuerza electrostática con la que Q atrae o repele a q0.

3.4 Campo eléctrico debido a una distribución discreta de carga

El campo eléctrico resultante de un sistema compuesto de N cargas puntuales, esto es, una distribución discreta, se puede hallar componiendo las fuerzas que obran sobre la carga de prueba qo, debido a cada una de las cargas del sistema. Esto obedece al principio de superposición de los campos. Luego, podemos escribir:

N321

... [3.9]

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de modo que utilizando la expresión [3.8], el campo electrostático producido en un punto P del espacio, debido a esa distribución discreta, es:

N

1iio3

io

i rr rr

Q4

1 ε [3.10]

siendo 0r

el vector posición del punto en el cual se desea evaluar el campo electrostático y ir

es el vector posición de la carga Qi.

3.5 Campo eléctrico debido a una distribución continua de carga

Si la distribución de cargas es continua, es decir, la carga total Q se distribuye a lo largo de una línea, superficie o volumen, entonces la intensidad en un punto cualquiera se determina dividiendo la carga total en elementos infinitesimales de carga dq y para cada una de ellas se calcula un diferencial de intensidad de campo d. El campo electrostático total Τ

, en el punto en cuestión, será la suma infinitesimal de los

d , es decir:

FFdd RΤ u

[3.11]

En la expresión anterior, la integral es sobre toda la forma F de la distribución. Normalmente, la distribución de carga es homogénea y se definen la distribución lineal de carga, a través del coeficiente de distribución lineal de carga ; similarmente, la distribución superficial de carga, a través del coeficiente y la distribución volumétrica de carga, cuyo coeficiente es , de modo que:

dl dqdldq

LQ

total LongitudQ total Carga

ds dqdsdq

SQ

total SuperficieQ total Carga

dv dqdvdq

VQ

total VolumenQ total Carga

Al introducir éstas últimas expresiones en la expresión [3.7], el diferencial de campo electrostático para las distintas distribuciones resulta ser:

Para la distribución lineal de carga : Ru 2R4dl

d

ε

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Para la distribución Superficial de carga: Ru 2R4ds

d

ε

Para la distribución Volumétrica de carga: Ru 2R4dV

d

ε

Luego, haciendo uso de la expresión [3.11], el campo electrostático total para cada distribución, queda establecida por:

Distribución lineal de carga : ˆ L

2L R4

dld Ru

εε [3.12]

Distribución Superficial de carga : ˆ

S2

S R4dsd Ru

εε [3.13]

Distribución Volumétrica de carga: ˆ

L2

V R4dVd Ru

εε [3.14]

Componentes rectangulares del vector unitario ûR:

ûR = (cos sen, sen sen, cos)

3.6 Líneas de Fuerza Eléctrica y Espectros del Campo Eléctrico

Se llama línea de fuerza en un campo eléctrico a la línea imaginaria trazada de tal modo que la dirección de su tangente en cada punto coincide con la dirección del vector intensidad de campo eléctrico. Estas líneas son generalmente curvas y no se cortan puesto que por cada

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punto del campo sólo puede pasar una línea a consecuencia de que el campo sólo puede tener una dirección en cada punto. El número de líneas de fuerza de un campo es infinito, sin embargo, por convención, el número de líneas que atraviesan una unidad de superficie perpendicular al campo, en cada punto, sea proporcional a la intensidad del campo. Por otro lado, las líneas de fuerzas son continuas y necesariamente parten de una carga de signo positivo y van a otra de signo negativo.

Ejemplo de aplicación 1: Para la distribución de cargas en la figura, determinar el campo eléctrico resultante en el origen del sistema, si q1 = 3.2x10

-6C; q2 = -4.8x10

-6C y cada

cuadro en el sistema de referencia, tiene lado igual a 1cm. Solución:

- Los vectores posiciones en el origen; para q1 y q2, son respectivamente:

r0=(0, 0)cm ; r1= (4, 4)cm y r2=(-5, 2)cm

- Las distancias respectivas son:

r10 = √32cm ; r20 = √29cm.

- Aplicando la expresión [3.10], resulta:

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N/C100) , (-2

N/C 10.6 1.4, 0 ,0

N/Cx102 5, x1029

4.8x10 x104 4, x1032

3.2x10 9x10 =

7

7

2-32-

6--2-

32-

6-9

06.6.

- La magnitud o intensidad del campo eléctrico es = 2x107N/C y su dirección es en

sentido contrario al eje X+.

Ejemplo de aplicación 2:

Determinar el campo eléctrico a una distancia x del centro de un hilo de longitud L, perpendicular al hilo y cargado con una densidad lineal de carga .

Solución: Dividamos el hilo en pequeños segmentos, cada uno de longitud dl, que contendrá una cantidad de carga dq, como mostrado en el esquema. Por la expresión [3.11], resulta:

L

yL

x dd εεε

Debido a la simetría del problema, para cada elemento dl a una distancia y por encima de O, existe otro elemento simétrico, a la misma distancia, por debajo de O. Por lo tanto, cuando se sumen todas las componentes verticales, el valor resultante de la integral en la dirección vertical, será cero. Así, sólo se debe considerar la suma de las componentes horizontales, con lo que resulta:

εε LL

ii ˆ ˆ cosdd x

Además,

2r4dld

ε ; dl = dy ; x2 + y2 = r2 ;

22 yxx

rxcos

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Realizando las respectivas sustituciones:

ˆ

2L

2L

22220

2L

2L

20 yx

xyx4

dy cosr4

dyii

0

ˆˆ

2L

23

220

2L

2L

23

220 yx

dy4

xyx

dy4

x 2ii

Resolviendo la integral, se obtiene:

ii ˆˆ 1x2

L1x4

L

002x

4

2L 24x2L

Si el hilo es muy largo, x <<< L; entonces, el resultado de la raíz es “L”, resultando:

i x2 0

Ejemplo de aplicación 3:

Un electrón se mueve a una velocidad v

, horizontalmente hacia la derecha y entra en una región donde el campo eléctrico ε es uniforme, en la misma dirección y sentido del movimiento del electrón. Si el electrón se detiene después de haber recorrido una distancia d (dentro del campo eléctrico) y luego se devuelve, ¿cuál es la intensidad del campo eléctrico?

- Al ingresar el electrón en la región del campo eléctrico, sobre él actúa la fuerza eléctrica, que por ser una carga negativa, se opone a su movimiento, tal como se muestra en el esquema:

- Como el campo eléctrico es uniforme, entonces la fuerza eléctrica que actúa sobre el electrón

es constante y contraria al movimiento de éste, de modo que el electrón disminuye uniformemente su rapidez, hasta detenerse, experimentando una aceleración escalar, dada por:

Vf2 = Vi

2 + 2a(r – r0) → a = -Vi

2

2(r – r0) = -v2

2d

- Por la segunda ley de Newton, se tiene:

F = Ma Fe = Me a y además, Fe = qe

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- Sustituyendo, resulta:

qe ε=Me-v2

2d

- Se deduce entonces que:

ε=MeV2

2d qe

siendo Me la masa del electrón y qe su carga.