- 3.1 -30 DE INGENIERA INDUSTRIALELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONESSistemas de1 Grado deLibertadDEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES TEMA 3 - SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

- 3.2 -30 DE INGENIERA INDUSTRIALELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONESDEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES TEMA 3 - SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

- 3.3 -30 DE INGENIERA INDUSTRIALELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONESFigura 6.b - Suspensin de una motocicleta modelizada como un sistema de 1 gdlFigura 6.a - Farola modelizada como un sistema de 1 gdlSon los sistemas ms sencillos, lo que hace pedaggicamente necesario comenzarpor su estudio.Muchos problemas prcticos pueden ser suficientemente aproximados por sistemas con 1 gdl (Fig. 6).Muchas de las propiedades de estos sistemas se presentan tambin en sistemas con ms grados de libertad.Mediante la tcnica del "anlisis modal" los sistemas lineales con n gdl pueden resolverse superponiendo n sistemas con 1 gdl.Se estudian aqu las vibraciones de sistemas con un grado de libertad, al tiempo que seintroducen algunos conceptos importantes a los que se har referencia posteriormente. Los sistemas con un grado de libertad (1 gdl) tienen una excepcional importancia en la Teora de las Vibraciones porque:Introduccin3.1DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES TEMA 3 - SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

m x t cx t kx f t - 3.4 -30 DE INGENIERA INDUSTRIALELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONESSi se aplica una fuerza f(t) sobre la masa m, en la direccin positiva de x, la ecuacin delmovimiento del sistema discreto bsico, comn a todos los sistemas lineales con 1 gdl, puede establecerse aplicando D'Alembert, introduciendo la fuerza de inercia, y estableciendo el equilibrio de fuerzas en la direccin x:Figura 8 - Fuerzas actuantesproporcionalidad c.El sistema queda totalmente definido mediante la coordenada x (Figura 7). Para que el sistema sea lineal los parmetros k, m, y c deben ser constantes y no depender de la variable x. Las fuerzas presentes sin la accin de una accin exterior son las de la Figura 8.Figura 7 - Sistema discreto bsico de 1 gdldeconstanteconfuerza,lamueve con velocidad proporcional acapacidad de disipacin de energaen el amortiguador viscoso que sem, la energa potencial elstica en elresorte sin masa de constante k, y laSe conoce como sistema discreto bsico de un grado de libertad al sistema de parmetrosconcentrados que puede observarse en la Figura 7.La energa cintica del sistema se almacena en la masa indeformableComponentes delsistema discreto bsico de 1 gdl3.2DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES TEMA 3 - SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

c 2m k m2 k m- 3.5 -30 DE INGENIERA INDUSTRIALELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONESs 2 iEn tal caso, la solucin general de la ecuacin diferencial vendr dada por la expresin:x(t) = C1eit + C2e-itdonde C1 y C2 son constantes que pueden ser reales o complejas.Teniendo en cuenta la relacin de Euler (eit = cost isent), la solucin general puede ponerse en la forma:x(t) = Acost + Bsenty en la ecuacinComo k1m es una constante positiva, podemos hacercaracterstica resultan para s los valores:VIBRACIONES LIBRES NO AMORTIGUADAS2ms 2cDerivando y sustituyendo en la ecuacin diferencial resulta:C(ms2 + cs + k) est = 0La expresin x(t) = Cest representar una solucin para todos aquellos valores de s que satisfagan la ecuacin anterior. Estos valores son las races de la ecuacin caracterstica ms2 + cs + k = 0:x 0Cuando se trata de un caso de vibraciones libres, en las que no existen accionesexteriores sobre el sistema, f(t) = 0, y s unas condiciones iniciales distintas de la trivial nula, x 0 xt 0 , x t 0 , se buscan soluciones en la forma: x(t) = Cest2 vista en el apartado anterior:m x t cx t kxt f t Todos los sistemas lineales con 1gdl conducen a la ecuacin diferencial ordinaria de ordenVibraciones libres ensistemas de 1 gdl3.3DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES TEMA 3 - SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

xt X cost xt x 2 x 0 cos1 t arctg x 0 1 k m c k m c 2m- 3.6 -30 DE INGENIERA INDUSTRIALELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONES2m2mdistintas, reales e iguales, o complejas conjugadas, segn el signo del radicando. El caso lmite es aqul en el que dicho radicando es cero. Entonces,2cVolviendo a la expresin s c 2m k m , las dos races pueden ser reales yVIBRACIONES LIBRES CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSOEl sistema siempre vibrar en la misma frecuencia, que por esta razn se denominaFRECUENCIA PROPIA o NArURAL.Figura 9 - Vibraciones libres no amortiguadas:Respuesta armnicadepende slo de los parmetrosfsicos del problema k y m, pero no del tiempo ni de las condiciones iniciales.que,frecuenciaLa solucin de las vibracioneslibres no amortiguadas es (Figura9) una funcin armnica de x002 12 y determinando X y a partir de A y B, 0 xt x cos t x 0 sen tA x0B x 0 x0 x 0 A.1 B.0x 0 x 0 A..0 B..1Luego la solucin del problema ser:Las constantes A, B, X y son siempre reales y sern determinadas con ayuda de lascondiciones iniciales. Por ejemplo, para determinar A y B:Y haciendo A=X'cos, B=X'sen:DEPARTAMENTO DE INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES TEMA 3 - SISTEMAS DE 1 GRADO DE LIBERTAD

c c 1 2xt e t X cos t - 3.7 -30 DE INGENIERA INDUSTRIALELEMENTOS DE MQUINAS Y VIBRACIONESDDse obtiene para la solucin general la expresin:haciendoPara amortiguamiento subcrtico (21), se podr hacer 2 1 , y la solucin general es:xt e t A cosh t B senh t Figura 10 - Respuestas no oscilatoriasoscilatorio (Fig. 10) y nopresenta mayor inters para la dinmica de mquinas.problema tiene la forma:x(t) = (c1 + c2t)e-tsolucin que no tiene carcterdelsolucinlaquelocrtico (=1), resulta el casoen que s=- (raiz doble), conamortiguamientoPararadicando es negativo y las races son complejas conjugadas) y si >1 ( c c ) en un casode amortiguamiento supercrtico (races reales y distintas):s 2 2 2 2 1Si