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PDN COMPLEMENTO DE MATEMÁTICA UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Facultad de Negocios Facultad de Ciencias de la Salud Facultad de Derecho y Ciencias Políticas Facultad de Ciencias de la Comunicación

UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE Departamento de Ciencias Lima-Norte

COMEPLEMENTO DE MATEMÀTICA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [2] NEGOCIOS_HUMANIDADES

INDICE

SESIONES CONTENIDOS Páginas

UNIDAD 1: Lógica Proposicional 4

Sesión 1:

Lógica. Proposiciones lógicas. Conectivos lógicos y

tablas de verdad. Formalizaciones lógicas.

Ejercicios propuestos 1


4

10

14

Sesión 2:

Equivalencias e inferencias lógicas.



19

27

30

UNIDAD 2: Aritmética 35

Sesión 3:

Números reales: Potenciación y radicación de números

reales. Operaciones con números reales.



35

44

47

Sesión 4: Teoría de Conjuntos. 50

Sesión 5:

Operaciones entre Conjuntos. Problemas aplicativos.



54

58

63

Sesión 6:

Magnitudes proporcionales. Regla de tres simple



67

70

73

Sesión 7:

Porcentajes. Problemas de porcentajes del tipo ABP.



76

79

82

UNIDAD 3: Álgebra 84

Sesión 8:

Polinomios.

Operaciones con polinomios



84

88

90

Sesión 9: Productos notables y división algebraica

Ejercicios propuestos

93

94

Sesión 10: Factorización de polinomios.


97

102

Sesión 11: Ecuaciones. Ecuaciones lineales de una variable


104

114

Sesión 12: Aplicaciones de ecuaciones lineales. 117




Sesión 13: Ecuaciones cuadráticas de una variable.


123

127

Sesión 14:

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas a la

gestión.


128

131

UNIDAD 4: Geometría 134

Sesión 15:

Figuras planas. Aplicaciones de Áreas y perímetros de

figuras planas.


134

138



UNIDAD I: LÓGICA PROPOSICIONAL

SESIÓN 1: ENUNCIADOS, PROPOSICIONES Y FORMALIZACIONES

1. LOGROS DE APRENDIZAJE

Identifica enunciados y proposiciones lógicas de forma clara y precisa.

Formaliza proposiciones simples y compuestas haciendo uso de las variables

proposicionales y conectivos lógicos.

Resuelve problemas vinculados a su entorno haciendo uso las herramientas

básicas de la lógica proposicional, como la formalización de proposiciones.

2. INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA

Cuando deseamos establecer una verdad, cuando queremos convencer a alguien de

que nuestra posición o nuestras ideas son las correctas, recurrimos a un

razonamiento o presentamos evidencia que respalda nuestras opiniones.

Este razonamiento o evidencia presentada con el propósito de demostrar algo, es un

argumento. Por su puesto hay argumentos buenos y malos.

Entonces podemos decir que la lógica es la ciencia que estudia el pensamiento

humano de tal manera que se puedan producir razonamientos correctos, tomando

como base la estructura de nuestros pensamientos.

Leibniz dijo que: "las leyes de la lógica no son sino las reglas del buen

sentido puestas en orden por escrito".

3. ENUNCIADOS Y PROPOSICIONES

3.1. ENUNCIADO: Se denomina enunciado a toda frase, oración o expresión

gramatical y/o matemática.

Ejemplos:

a) 5 es un número primo.

b) ¡Hola!

c) 3 ≤ 5

d) ¿Cuál es tu nombre?

e) x2

+ y2 = 7



Según el uso del lenguaje puede cumplir las siguientes funciones:

a) Directiva: Su objeto es dar órdenes o hacer pedidos. Los enunciados pueden

ser

1. Interrogativos, su propósito es averiguar algo.

Ejemplos: ¿Qué hay hoy de almuerzo?, ¿Qué hora es?, ¿Cuándo es el

examen de matemática básica? Etc.

2. Imperativos o exhortativos originan o cumplen una acción

Ejemplos: No vayas, ¡alto!, abre la puerta, etc.

b) Expresiva: Expresa sentimientos, deseos o actitudes. Los enunciados

pueden ser:

1. Exclamativos o admirativos, expresan emociones

Ejemplos: ¡Que bella es!, ¡viva el Perú!, por fin aprobé, etc.

2. Desiderativos, señalan deseos o anhelos.

Ejemplos: Quiero casarme de blanco, Deseo ser un profesional de éxito,

ojala no desapruebe el curso, etc.

c) Informativa: busca afirmar algo.

Ejemplos:

- El calentamiento de la tierra produce desastres naturales

- El Támesis es un río del sur de Inglaterra que atraviesa Londres.

d) Enunciados abiertos: Cuando el valor de la incógnita o variable no

satisface un único valor de verdad.

Ejemplos: x + 4 > 15, x2 – x < 0

3.2. PROPOSICIÓN LÓGICA O PROPOSICIÓN: Es todo enunciado que

puede ser calificada como verdadera (V) o falsa (F), pero no ambas a la vez.

Las proposiciones lógicas son representadas generalmente por letras

minúsculas como: p ; q ; r ; s ; …x; y; z.

Ejemplos:

a) p: 8 > 5 ……………………………….. ( V )

http://enciclopedia.us.es/index.php/Inglaterra

http://enciclopedia.us.es/index.php/Londres



b) q: 3 + 4 = 9 …………………..………. ( F )

c) r: 7 es un número primo……..……….. ( V )

Podemos clasificar a los enunciados y las proposiciones lógicas por la

siguiente tabla:

Son Proposiciones No son Proposiciones

Enunciados

aseverativos Personajes o hechos literarios

Leyes científicas Supersticiones

Fórmulas Matemáticas Dudas, súplicas, deseos, órdenes

Fórmulas lógicas Refranes, proverbios

Enunciados cerrados Enunciados abiertos

Creencias religiosas

Enunciados interrogativos

Apreciaciones personales

Personajes ficticios, absurdos.

4. CLASES DE PROPOSICIONES

4.1 PROPOSICIÓN SIMPLE O ATÓMICAS: Son aquellas proposiciones que

no pueden descomponerse en otras, se les representa mediante variables

proposicionales.

Ejemplos:

a) p : 12 – 3 = 8

b) q : el cuadrado tiene cuatro lados.

4.2 PROPOSICIONES COMPUESTAS O MOLECULARES : Son aquellas

proposiciones que están compuestas por dos o más proposiciones simples, o

aquellas en las cuales está presente al menos un conectivo lógico.

Ejemplos:

a) “ 32 es potencia de 2 y múltiplo de 16 ”

b) Si Manuel aprueba lenguaje entonces podrá viajar y le regalaran un libro.

c) Juan no es el contador de la empresa A & E.



CONECTIVOS LÓGICOS:

Son signos que sirven para relacionar las variables proposicionales o para cambiar el

valor de verdad de una proposición.

SÍMBOLOS NOMBRE LENGUAJE COMÚN

, ~, – Negador o negación “No”

Conjuntor o conjunción “y”

Disyuntor Incluyente o débil “o”

, Disyuntor Excluyente o fuerte “O ….o …”

, Implicador o condicional “Si ….., Entonces …”

, Replicador “…… porque…..”

, , , Biimplicador o Bicondicional “ …… si y sólo si ……”

Inalternador “ Ni …… y ni ……”

Incompatibilizador “ No ….. o no …….”

5. FORMALIZACIÓN DE PROPOSICIONES:

Es el proceso por el cual una proposición escrita en el lenguaje natural es traducido a

un esquema (lenguaje) lógico; para ello cada proposición es remplazada por una

variable proposicional ( p , q , r , etc. ) y el conector lógico por el operador

correspondiente.

Ejemplos:

Formalizar las siguientes proposiciones:

1. No es cierto que soy disciplinado

p : “ Soy disciplinado”, – : No es cierto

Entonces la proposición se formaliza: – p

2. Carlos y Daniel son docentes de la UPN de la sede en Trujillo

p : “ Carlos es docente de la UPN de la sede en Trujillo

q: Daniel es docente de la UPN de la sede en Trujillo

: y

Entonces la proposición se formaliza: p q

3. Ni las ballenas son peces ni tienen branquias para respirar.

p: Las ballenas son peces

q: Las ballenas tienen branquias para respirar

: Ni …… y ni

Entonces la proposición se formaliza: –p –q = p q



4. Las drogas son dañinas porque destruyen las neuronas

p: Las drogas son dañinas

q: Las drogas destruyen las neuronas

: Porque

Entonces la formalización: p q

TRADUCCIONES VERBALES DE LOS CONECTORES LÓGICOS

NEGADOR: CONJUNTOR: DISYUNTOR

INCLUYENTE:

No p ,

No ocurre que p,

No es cierto que p,

No es verdad que p,

No acaece que p,

No siempre que p,

No es que p,

Nunca p,

Nadie que sea p,

Es absurdo que p,

Es inconcebible que p,

Es imposible que p,

Es mentira p,

Es inadmisible que p,

Es negable que p,

Es erróneo que p,

Es incierto que p,

Es incorrecto que p,

Es objetable que p,

Es falaz que p,

En modo alguno que p,

En forma alguna p,

De ninguna forma se da p,

Jamás p,

p y q

p incluso q

p pero q

p aunque q

p al igual que q

p tal como q

p tanto como q

p también q

p así como q

p vemos que también q

p al mismo tiempo que q

p sin embargo q

p es compatible con q

p aún cuando q

p del mismo modo q

p de la misma manera q

p no obstante q

p empero q

p así mismo q

p a pesar que q

p igualmente q

p de la misma manera q

Tanto p como, cuando q

Siempre ambos p con q

No sólo p sino también q

Sin que p tampoco q

Cierto que p lo mismo que

q

Simultáneamente p con q

p o q

p a menos que q

p salvo que q

p y bien, o también q

p excepto que q

p o incluso q

p o a la vez q

p ya bien q

p y/o q

p o no es que q

p o en todo caso q

p alternativamente q

A menos que p, q

DISYUNTOR

EXCLUYENTE:

O p o q

O bien p o bien q

p o solamente q

p o únicamente q

p o solo q

p no es equivalente a q

p salvo que tan solo q

No es equivalente p con q

Ya bien p ya bien q

O siempre p o siempre q

Solo p solo q

Salvo que solamente p

ocurre q

En que ocurra p excluya q

IMPLICADOR:

Si p entonces q

Apenas p inmediatamente q

Siempre que p por consiguiente

q



Ya que p bien se ve que q

Con tal que p es obvio que q

Cuando p así pues q

Toda vez que p en

consecuencia q

Dado p por eso q

En cuanto p por tanto q

Cada vez que p

consiguientemente q

Ya que p es evidente q

De p derivamos q

como quiera que p por lo cual

q

En el caso de que p en tal

sentido q

Una condición necesaria para p

es q

ya que p por ende q

Apenas p inmediatamente q

Siempre que p y sólo si q

En virtud de que p es evidente

que q

p es condición suficiente para q

p sólo si q

p solo si cumple q

p da lugar a q

p es necesario para q

p es innecesario y q es

insuficiente

p implica q

REPLICADOR: BICONDICIONAL:

Solo si p, q

Es condición necesaria p

para q

Para p es suficiente q

Únicamente si p entonces

q

El que p depende de q

Es necesario p para q

Si solamente p cada vez

que q

No es suficiente que p y

no es

necesario que q

p porque q

p siempre que q

p puesto que q

p dado que q

p supone que q

p pues q

p en vista de que q

p cada vez que q

p es necesario para q

p es insuficiente para q

p es insuficiente y q es

innecesario

p se sigue de q

p si y sólo si q

p siempre y cuando q

p se define lógicamente

como q

p es equivalente, equivale q

p por lo cual por la misma

forma q

p si de la misma forma q

p es idéntica q

p es igual (es igual,

entonces) q

p cada vez que y sólo si q

p es equipolente a q

p es condición necesaria y

suficiente para q

p siempre que y sólo cuando

q

p sea la misma que q

p por lo cual y según lo cual

q

p cada una de las veces que

y todas las veces que q

p es la definición lógica de

q

Cuando y sólo cuando p

luego q

Sólo si p y sólo si q

Sólo que p luego es porque

q

Siempre que p y siempre

que q



EJERCICIOS PROPUESTOS 1

ENUNCIADOS, PROPOSICIONES Y FORMALIZACIONES

NIVEL I

1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. La Administración es la ciencia social y técnica encargada de la planificación,

organización, dirección y control de los recursos (humanos, financieros,

materiales, tecnológicos, el conocimiento, etc.) de una organización. (…...)

b. La psicología forense es la unión de la psicología con el derecho, y sirve como

instrumento de consulta para el sistema judicial. (……)

c. El 30 de agosto del 2000 fue martes. (..…)

d. Machu Picchu es considera una de las 7 maravillas modernas del mundo. (……)

e. Alejandro Toledo gobernó el Perú en los años 2000 y 2005 (……)

2. De los enunciados siguientes, determine por qué no son proposiciones:

a. ¿Cuál es tu nombre?

b. Estudiarás solo los sábados

c. Espero que baile conmigo.

d. Raúl es muy rápido nadando.

e. ¡UPN siempre la mejor!

f. A caballo regalado no se le mira el diente.

3. En las siguientes proposiciones compuestas subraya los conectivos lógicos:

a. Roberto no es honesto.

b. Pedro y Raúl son abogados.

c. No es cierto que María no sea administradora.

d. Voy al cine o estudio.

e. Los mamíferos son vertebrados y carnívoros.

f. Si estudio negocios, trabajaré en la mejor empresa del país.

4. Realiza la formalización lógica de cada una de las frases siguientes de acuerdo con

las siguientes proposiciones:

p : Facundo es gracioso.

q : Facundo es muy sabio.

r : Facundo es abnegado.

a. Facundo es gracioso, sabio y abnegado.

b. Facundo es sabio o es gracioso.

c. Facundo o es gracioso, o es abnegado.

d. Si Facundo es gracioso entonces es sabio.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ciencia_social

http://es.wikipedia.org/wiki/T%C3%A9cnica

http://es.wikipedia.org/wiki/Organizaci%C3%B3n



5. Formalice las siguientes proposiciones:

a. Juan estudia turismo así mismo que es estudiante.

b. Si Raúl trabaja en la UPN entonces estudia la carrera de administración.

c. Juan terminará satisfactoriamente sus estudios de negocios si y sólo si logre

sacar buenas notas en sus exámenes.

d. Si Marco no va a la universidad y Pedro tampoco, jamás podrán ser buenos

profesionales.

e. Es imposible que si Juan y Raúl estudian para arquitectura, no consigan trabajo.

NIVEL II

1. Si “p” representa a la proposición: “Angélica estudia turismo”, y “q” representa:

“Luis culminó sus estudios de negocios”. Transcriba cada proposición simbólica en

palabras.

a. q p

b. p q

c. p q

d. (p q) p

e. (p q) q

f. (p q) (q p)


a. Es absurdo que Martín no sea empresario.

b. Es mentira que Santiago no irá hoy a la universidad.

c. Ni Raúl ni Rolando son administradores, pero son estudiantes.

d. Pedro y Raúl no son aficionados al cine.

e. Carlos así como Andrea son estudiantes de cocina y administración.

3. Con las siguientes proposiciones simples:

p : Manuel es negociante.

q : Ricardo es estudiante de turismo.

r : Rosa estudia la carrera de administración.

s : María es estudiante de derecho.

Transcriba cada proposición simbólica en palabras.

a. p q r

b. r ( q s )

c. [ ( p s )]



d. r ( q s )

e. ( p s )

4. Formalice los siguientes enunciados:

a. Si Julián termina sus estudios en la universidad, podrá lograr una buena posición

en el trabajo.

b. Pedro podrá estudiar en la universidad, pero también podrá trabajar en el banco.

c. Ana terminará de estudiar en la universidad con mucho esfuerzo así mismo

tendrá una graduación maravillosa.

d. Terminar satisfactoriamente la universidad es condición necesaria y suficiente

para ser un buen profesional

e. Es absurdo que después de estudiar al igual que madrugar, no pueda sacar mejor

nota que todos mis compañeros.

5. Formalice el siguiente párrafo:

“Si María estudia la carrera de administración y Marco no, entonces María

trabajará en la mejor empresa del país. Pero si Antonio es asesor legal, María

trabajará en la mejor empresa del país a menos que Marco estudie la carrera de

administración”

NIVEL III

1. Dadas las proposiciones:

p : María hará una fiesta.

q : María aprueba lógica.

r : María aprueba matemática.

s : María se irá de viaje.

t : María estudiará durante sus vacaciones.

Formalice las siguientes proposiciones:

a. María estudiará durante sus vacaciones si no aprueba lógica ni matemática.

b. Si María aprueba lógica hará una fiesta y si no, estudiará durante sus vacaciones.

c. Si María aprueba lógica hará una fiesta pero si aprueba matemática entonces se

irá de viaje.

2. Sea:

p : Andrés es un próspero empresario.

q : Andrés tiene una empresa.

r : Pedro es negociante.

s : Pedro es docente de una prestigiosa universidad.



Exprese cada proposición compuesta en palabras:

a. (s r ) p

b. s (q p)

c. (s p ) (s p)

d. ( p r ) s

e. ( q p) ( s r)

3. Gabriela mira fijamente a Juan Andrés y esta le dice: “Si te tengo bajo mi piel,

entonces estás en lo profundo de mi corazón. Si estás en lo profundo de mi corazón,

entonces realmente no eres parte de mí. Estás en lo profundo de mi corazón o

realmente eres parte de mí. Por lo tanto, si te tengo bajo mi piel, entonces eres parte

de mí”.

4. Siendo:

p : Pablo atiende en clase.

q : Pablo estudia en casa.

r : Pablo fracasa en los exámenes.

s : Pablo es aplaudido.

Formaliza las siguientes expresiones:

a. Si Pablo no atiende en clase o no estudia en casa, fracasará en los exámenes y

no será aplaudido

b. Si no es el caso que Pablo atiende en clase y estudia en casa, entonces fracasará

en los exámenes o no será aplaudido

c. Pablo atiende en clase y estudia en casa o, por otra parte, fracasa en los

exámenes y no es aplaudido

d. Únicamente, si Pablo atiende en clase y estudia en casa, no se dará que fracase

en los exámenes y no sea aplaudido.

# CÓDIGO-L AUTOR TITULO PÁGINAS

1 510

MILL/M-2006

Miller/Heeren/Ho

rsnby

“Matemática: Razonamiento y

Aplicaciones ” 94 – 150

2 160

TREL

Trelles Montero

Oscar “Inducción a la Lógica” 15 – 48

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA:




SESIÓN 1: PROPOSICIONES LÓGICAS

NIVEL I

1. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

a. La psicología clínica es el campo que dirige el estudio, diagnóstico o tratamiento

de problemas o trastornos psicológicos o conducta anormal (…...)

b. El Receptor es aquella persona a quien va dirigida la comunicación (……)

c. El 13 de noviembre del 2011 fue jueves. (…)

d. La comunicación es el intercambio de sentimientos, opiniones, o cualquier otro

tipo de información mediante habla, escritura u otro tipo de señales". (……)

e. Un abogado es aquella persona que ejerce profesionalmente la defensa jurídica

de una de las partes en juicio (……)

2. De los enunciados siguientes, determina por qué no son proposiciones:

a. La mariposa es muy hermosa.

b. ¡Arriba el Perú!

c. Ojos que no ven corazón que no siente.

d. Ojala llueva café en el campo.

e. Limpia tu cuarto.

3. En las siguientes proposiciones compuestas subraya los conectivos:

a. Juan o Andrés rompió el florero.

b. María y Marco son abogado y comunicador respectivamente.

c. O ganas o pierdes.

d. De ninguna manera no dejaré de ir a misa.

e. Juan será honesto si devuelve la cartera de María.

f. Los obreros son fuertes y ordenados en su trabajo

g. Si estudio derecho, trabajaré en un estudio jurídico.

4. Realiza la formalización lógica de cada una de las frases siguientes de acuerdo con

las siguientes proposiciones:

p : Facundo es gracioso.

q : Facundo es muy sabio.

r : Facundo es abnegado.

http://www.monografias.com/trabajos15/diagn-estrategico/diagn-estrategico.shtml

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

http://www.monografias.com/trabajos/conducta/conducta.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Juicio



a. Facundo es gracioso, muy sabio así mismo que abnegado.

b. Facundo es sabio pero además gracioso.

c. Si Facundo es gracioso, es muy sabio.

d. Facundo es gracioso siempre y cuando sea muy sabio.


a. Roberto estudia derecho al mismo tiempo que es empresario.

b. María estudia comunicaciones salvo que tan solo estudie para abogada.

c. Es imposible que Manuel le guste la natación, a menos que sea de la costa.

d. Si Marco no va a la universidad y Pedro si, no es cierto que podrán ser buenos

profesionales.

e. Pedro no irá a la fiesta de la misma manera que Roxana si irá.

NIVEL II

1. Si “p” representa a la proposición: “Karen es enfermera”, y “q” representa: “Allison

es feliz”. Transcriba cada proposición simbólica en palabras.

a. q p

b. p q

c. p q

d. (p q) p

e. (p q) q

f. (p q) (q p)

g. (p q) (p q)


a. Es absurdo que Martín no sea abogado penalista.

b. No es mentira que Santiago no irá hoy a la universidad.

c. Ni Raúl ni Rolando son comunicadores, pero son estudiantes.

d. Pedro y Raúl no son aficionados al cine.

e. Carlos así como Andrea son estudiantes de psicología y derecho.

3. Con las siguientes proposiciones simples:

p : Manuel es psicólogo forense.



q : Ricardo es estudiante de derecho.

r : Rosa estudia la carrera de comunicaciones.

s : María es estudiante de derecho.

Transcriba cada proposición simbólica en palabras.

a. p q r

b. ( r q ) s

c. [ ( p s )]

d. p ( q s )

e. ( p s )

4. Formalice los siguientes enunciados:

a. Si Pedro va al campo del mismo modo que Roberto va la río, entonces ambos

serán felices.

b. En el caso de María pierda el juego así como Marcela, en tal sentido perderían

dinero.

c. Estudiar todos los días es condición necesaria y suficiente para aprobar los

cursos.

d. Juan, Raúl o Pedro seguirán estudiando en las mañanas.

e. Susana triunfará siempre y cuando estudie toda la semana.

5. Formalice el siguiente párrafo:

“Si usted utiliza su cinturón de seguridad, estará más seguro. Pero usted no utiliza

su cinturón de seguridad. Por lo tanto usted no está seguro”.

NIVEL III

1. Dadas las proposiciones:

p : Hará una fiesta.

q : Aprueba lógica.

r : Aprueba matemática.

s : Se ira de viaje.

t : María estudiará durante sus vacaciones.

Formalice las siguientes proposiciones:



a) María no se irá de viaje siempre que apruebe lógica y matemática.

b) Si María aprueba lógica o matemática, no estudiará durante sus vacaciones o se

irá de viaje.

c) Si María no aprueba lógica, tampoco matemática y además se va de viaje,

entonces es imposible que haga una fiesta.

2. Sea:

p : Marco es accionista mayoritario.

q : Marco es empresario.

r : Roberto es psicólogo.

s : Roberto es rector de una prestigiosa universidad

Exprese cada proposición compuesta en palabras:

a. (s r ) p

b. s (q p)

c. (s p ) (s p)

d. ( p r ) s

e. ( q p) ( s r)

3. Formalice la siguiente proposición:

“Si María no estudia la carrera de derecho y/o Marco si, entonces María trabajará

en un estudio de abogados. Sin embargo si Antonio es asesor legal, María trabajará

en un estudio de abogados siempre y cuando Marco estudie la carrera de derecho”

4. Gabriela mira fijamente a Juan Andrés y esta le dice: “Si no te tengo bajo mi piel,

entonces nunca estarás en lo profundo de mi corazón. Si estás en lo profundo de mi

corazón, entonces realmente eres parte de mí. No estás en lo profundo de mi

corazón o realmente no eres parte de mí. Por lo tanto, si te tengo bajo mi piel,

entonces eres parte de mí”.

5. Siendo:

p : Pablo atiende en clase.

q : Pablo estudia en casa.

r : Pablo fracasa en los exámenes.

s : Pablo es aplaudido.



Formaliza las siguientes expresiones:

a. Si no es cierto que, Pablo atiende en clase o estudia en casa, fracasará en los

exámenes y no será aplaudido.

b. En el caso que Pablo atienda en clase y estudie en casa, en tal sentido no

fracasará en los exámenes.

c. Si Pablo atiende en clase y/o estudia en casa, fracasa en los exámenes y no será

aplaudido.

d. Apenas Pablo atienda en clase, estudie en casa o no fracasara en los exámenes

inmediatamente será aplaudido.

Bibliografía


1

510

MILL/M

2006

Miller/Heeren/Horsn

by


Aplicaciones ”

94 – 150

2 160

TREL

Trelles Montero

Oscar “Inducción a la Lógica” 15 – 48



SESIÓN 2: EQUIVALENCIAS E INFERENCIAS


Identifica equivalencias e inferencias lógicas mediante el uso de la lógica

proposicional.

Analiza situaciones de equivalencias e inferencias haciendo uso de la tabla de

verdad.

Resuelve problemas vinculados a su entorno, haciendo uso de las equivalencias

e inferencias lógicas.

2. INTRODUCIÓN A LAS EQUIVALENCIAS E INFERENCIAS

El concepto de verdad y el principio de no contradicción

"Verdadero" y "falso" son adjetivos que se aplican a enunciados. En palabras de

Aristóteles:

“Decir de lo que es que no es, o de lo que no es que es, es falso. Decir de lo que no

es que no es, y de lo que es que es, es verdadero”.

El significado de la expresión anterior, una vez descifrada, resulta para nosotros

completamente trivial. Podríamos decir que un enunciado es verdadero cuando expresa

cómo son las cosas y es falso en caso contrario. Esto parece sugerir que las distintas

partes de nuestros enunciados corresponden con objetos o relaciones en el mundo y que,

por lo tanto, nuestras frases son verdaderas en ciertas situaciones (cuando aquello a lo

que se refieren nuestras palabras está dispuesto como en nuestra frase) y falsas en otras.

Wittgenstein llevó esta intuición hasta sus últimas consecuencias en su famoso

Tractatus lógico-philosophicus.

La proposición es una figura de la realidad. La proposición es un modelo de la realidad

tal como nos la pensamos.

A primera vista parece que la proposición (tal como viene impresa sobre el papel) no

es figura alguna de la realidad de la que trata. Pero tampoco la notación musical parece

ser a primera vista figura alguna de la música, ni nuestra escritura fonética (el alfabeto)

figura alguna de nuestro lenguaje hablado. Y, sin embargo, estos lenguajes sígnicos se

revelan también en el sentido corriente como figuras de lo que representan.

Los comentarios precedentes indican que la verdad no es una propiedad de las cosas

mismas, sino que tiene que ver con la adecuación entre las palabras y las cosas (o el

pensamiento y las cosas).

La verdad no se da, pues, en las cosas (como si lo bueno fuese verdadero y lo malo

inmediatamente falso), sino en el pensamiento.



3. FUNDAMENTO TEÓRICO

3.1 EQUIVALENCIAS LÓGICAS

Cuando sus tablas de verdad de dos fórmulas lógicas A y B son idénticas, se

denominan equivalentes ( o lógicamente equivalentes ). En este caso se simboliza en la

forma: A ≡ B.

I. Método de Tablas de Verdad

Es uno de los métodos para determinar si dos enunciados o fórmulas lógicas son

equivalentes o no. Para ello se formalizan y luego se evalúan aplicando las tablas de

verdad. Se puede proceder de 2 maneras:

A) Evaluando independientemente cada fórmula lógica. Si al evaluarlos, tienen

matrices principales exactamente iguales, entonces las fórmulas son

equivalentes.

Ejemplo:

p q

V V

V F

F V

F F

p q

V

F

F

F

p q

V V

V F

F V

F F

V

F

F

F

( p q)

F

F

V

V

F

V

V

V

F

V

F

V

Son equivalentes

B) Uniendo ambas fórmulas lógicas mediante el símbolo del bicondicional ( ). Si

al evaluarlas se obtiene la matriz principal con todos sus valores verdaderos,

entonces la equivalencia formada es una tautología. En consecuencia las

fórmulas dadas son equivalentes.

Ejemplo:

p q

V V

V F

F V

F F

(p q)

V

F

F

F

V

F

F

F

( p q)

Son equivalentes

V

V

V

V

II. Método Abreviado

En este método se deducen los valores de cada variable, partiendo del supuesto de

que toda la fórmula es falsa, si alguna de las variables tienen valores contradictorios

entonces las fórmulas son equivalentes. Si cada variable tiene un solo valor: las

fórmulas no son equivalentes.



F

V F

[(p q) r] [(p q) r ]

V V V F(V)

p = V q = V, F r = V

En este caso la variable “q” puede tener 2 valores: V y F. En consecuencia las fórmulas

dadas son equivalentes.

III. Método de Equivalencias Lógicas (Leyes Lógicas)

Son razonamientos inmediatos conocidos también como leyes lógicas que se

fundamentan en las propiedades que tiene los conectores tales como la

conmutación, transposición, asociación, etc.

Es decir dada una proposición cualquiera (premisa) se buscará un equivalente

aplicando estas leyes lógicas, el cual constituirá su conclusión.

1. Doble Negación (D.N.) (p) p

Regla: "Dos negaciones de igual alcance equivalen a una afirmación"

Ejemplo: No es el caso que la tierra no sea un planeta; EQUIVALE A: La tierra

es un planeta.

2. Conmutación (Conm.)

p q q p p q q p

p q q p p / q q / p

p q q p

p q q p

Regla: "Si en las proposiciones conjuntivas, disyuntivas, etc. se permutan sus

respectivos componentes, sus equivalentes significan lo mismo".

Ejemplo: La tierra es redonda y se mueve; EQUIVALE A: La tierra se mueve y

es redonda.

3. Idempotencia (Idem.)



Regla: "En una cadena de conjunciones o de disyunciones débiles, las variables

redundantes se eliminan".

Ejemplo: Pedro estudia o Pedro estudia; EQUIVALE A: Pedro estudia

4. Asociación (Asoc.)

p q r p (q r)

p q r (p q) r

p q r p (q r)

p q r (p q) r

Regla: "Si en un esquema hay más de una conjunción, disyunción, etc. con la

misma jerarquía, las variables pueden agruparse indistintamente"

Ejemplo: Luis canta, estudia y trabaja; EQUIVALE A: Luis canta y estudia,

además trabaja

5. Distribución (Dist.)

p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

Regla: "Uno de los miembros de una esquema, se distribuye a cada miembro de

otro esquema diferente".

Ejemplo: Roberto postulará a la UPN y Juan postulará a la PUCP o a la "César

vallejo", EQUIVALE A: Roberto postulará a la UPN y Juan a la PUCP; o

Roberto postulará a la UPN y Juan a la "César Vallejo"

6. Leyes de Morgan (D.M.)



Regla: "Las proposiciones conjuntivas o disyuntivas forman sus equivalentes,

negando cada uno de sus miembros, cambiando la conjunción a disyunción (o

viceversa) y finalmente negando toda la proposición".

Ejemplo: El tigre es un felino y es un carnívoro; EQUIVALE A: Es falso que, el

tigre no sea un felino o no sea un carnívoro.

7. Transposición (Transp.)

(Contraposición) p q q p

p q q p

p q q p p q

p q q p

Regla: "Los miembros de una proposición implicativa pueden ser transpuestas,

si se niegan cada uno de ellos".

Ejemplo: Si el sol es una estrella entonces posee luz propia; EQUIVALE A: Si

el sol no posee luz propia entonces no es una estrella.

8. Mutación (Mut.)

p (q r) q (p r)

Regla: "En dos implicaciones encuadernadas, el antecedente de la segunda

implicación puede pasar a ser el antecedente de la primera implicación".

Ejemplo: Voy al cine; por consiguiente si me entretengo entonces me relajo;

EQUIVALE A: Me entretengo; por consiguiente si voy al cine entonces me

relajo.

9. Exportación (Export.)

(p q) r p (q r)

Regla: "En una proposición implicativa cuyo primer miembro es una

conjunción, puede cambiarse la conjunción por una implicación cambiando

también la jerarquía de los conectores".

Ejemplo: Puesto que Manuel es médico y Luis es profesor, es obvio que los

hijos de Rita son profesionales; EQUIVALE A: Manuel es médico; por

consiguiente si Luis profesor entonces los hijos de Rita son profesionales.



10. Absorción (Abs.)

p (p q) p

p (p q) p

p ( p q) p q

p ( p q) p q

Regla:

1er Caso: Si una de las variables del esquema absorbente se repite

idénticamente en el esquema menor, entonces se absorbe todo el esquema

menor. (esquema absorbido)

2do. Caso: Si una de las variables del esquema absorbente se repite en forma

diferente en el esquema menor, entonces se absorbe solamente la variable que se

repite diferente.

Ejemplo: Roberto trabaja en Carsa, pero Roberto trabaja en Carsa o en

Yompian; EQUIVALE A: Roberto trabaja en Carsa.

El ganso es una palmípeda, a menos que el ganso no sea una palmípeda y sea un

ave rapaz; EQUIVALE A: El ganso es una palmípeda a menos que sea un ave

rapaz.

4. INFERENCIAS LÓGICAS

Al proceso de pasar de un conjunto de premisas a una conclusión se denomina

inferencia lógica o argumento lógico. La inferencia lógica es una condicional de la

forma:

( p1 p2 … pn ) q

Donde las proposiciones: p1 p2 … pn , son llamadas premisas y que originan como

consecuencia otra proposición: q llamada conclusión.

OBSEVACIÓN: Una inferencia lógica puede ser una tautología, una contingencia o

una contradicción y por lo tanto se tiene:

Si la condicional de una inferencia es una tautología se denomina argumento

válido o inferencia válida.

Si la condicional de una inferencia no es una tautología se denomina

FALACIA.

1er caso

2do caso



4.1 REGLAS DE INFERENCIAS NOTABLES

Son tautologías en las cuales a partir de ciertas premisas dadas y aplicándoles

determinadas reglas podemos implicar o derivar una conclusión. Son conocidas también

como "reglas de inferencia". Sean p, q, r y s proposiciones.

1. SIMPLIFICACIÓN

p q

p

o

p q

q

2. ADICIÓN O NUEVO FACTOR

F

p

p N

3. CONJUNCIÓN O ADJUNCIÓN

p

q

p q

4. MODUS PONENDO PONENS

(MPP)

p q

p

q

p q

p

q

p q

q

p

p q

q

p

6. MODUS PONENDO

TOLLENDO (MPT)

p q

p

q

p q

q

p

7. MODOS TOLLENDO

PONENS (MTP)

p q

p

q

p q

q

p

p q

p

q

p q

q

p

8. SILOGISMO HIPOTETICO

PURO

p q

q r

p r

p q

r p

r q

p q

p r

q r

p q

r q

p r



5. MODUS TOLLENDO TOLLENS

(MTT)

p q

q

p

p q

p

q

p q

p

q

p q

q

p

9. DILEMAS

p q

r s

p r

q s

p q

r s

q s

p r

Constructivo Destructivo




EQUIVALENCIAS E INFERENCIAS

NIVEL I

1. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones lógicas.

a) – q – p

b) – (q – p)

c) p ( q – p)

d) ( q p) – q

e) – ( p q ) p

2. Cuáles de las siguientes fórmulas son equivalentes a: p (¬ p q )

a) p ( q p )

b) ¬ p ( p ¬ q )

c) p ¬ ( p ¬ q )

d) ¬ p ( p q )

3. Dada la proposición: “Si Juan estudia administración entonces trabaja en el

Ministerio de Justicia ”, diremos que es equivalente a:

a) Juan no estudia administración o trabaja en el Ministerio de Justicia.

b) Es absurdo pensar que, Juan estudie administración o trabaje en el Ministerio de

Justicia.

c) Juan trabaja en el Ministerio de justicia o no estudia administración.

d) Si Juan no trabaja en el Ministerio de Justicia, entonces no estudia

administración.

4. La proposición: “ No es cierto que, si María es administradora entonces es una

profesional ” diremos que es equivalente a:

a) No es cierto que, María sea administradora y tampoco una profesional.

b) María no es administradora o es una profesional.

c) Si María no es administradora, es una profesional.



d) María es administradora y no es cierto que sea profesional.

5. Determine la validez de las siguientes inferencias:

a) Si Pedro es empresario, entonces Carlos es su asesor comercial. Pero Carlos no

es su asesor comercial. Por lo tanto Pedro no es empresario.

b) Si los administradores saben de organización, entonces los empresarios saben de

negocios. Pero los empresarios no saben de negocios. Por lo tanto los

administradores saben de organización.

c) Si estudio, seré profesional. Estudio. Por lo tanto seré profesional.

d) Si Andrés estudia en la semana, aprobará el curso. Pero aprobó el curso y no

estudió en la semana. Por lo tanto aprobó el curso.

NIVEL II

1. De la premisa “ Angélica pasea por las tardes en el parque ” podemos deducir

correctamente:

a) Angélica pasea por las tardes en el parque o va de compras.

b) Angélica no pasea por las tardes en el parque.

c) Angélica pasea por las tardes en el parque y va de compras.

d) Angélica no pasea por las tardes en el parque y no va de compras

2. De las premisas: “Si viajo a Ica, disfruto de mi tiempo libre. Si disfruto de mi

tiempo libre entonces desaparece el stress” podemos deducir correctamente

a) Si no ha desaparecido el stress entonces no viajé a Ica.

b) He viajado a Ica por consiguiente ha crecido mi stress.

c) No he viajado a Ica salvo que haya crecido mi stress.

d) Ha desaparecido mi stress de la misma manera como viajé a Ica.

3. La premisa: “Estudio si y solo si hay examen”, se puede equiparar a:

a) No hay examen y no estudio o no estudio y no hay examen.

b) Estudio o hay examen y no estudio o hay examen

c) Si estudio, luego hay examen y si hay examen, estudio.

d) Si no estudio, no hay examen.




a) Carlos compra un terreno y Juan es su asesor comercial. Pero Carlos no compra

el terreno. Por lo tanto Juan no es su asesor comercial.

b) Marco trabaja en la empresa Gloria si y solo si estudia la carrera de negocios.

Pero Marco no estudia la carrera de negocios. Por lo tanto Marco trabaja en la

empresa Gloria.

c) Si Pedro y Daniel van de compras entonces Pedro no irá de compras. Por lo

tanto Daniel no irá de compras.

d) Si Manuel no estudia entonces fracasará en los exámenes. Pero Manuel estudia.

Por lo tanto no fracasará en los exámenes.

5. “Ricardo aprueba el examen o dará un examen sustitutorio. Pero Ricardo no aprueba

el examen”. Podemos concluir que:

a) No es innegable que Ricardo dé un examen sustitutorio.

b) De todas maneras Ricardo dará un examen sustitutorio.

c) Siempre que Ricardo apruebe el examen y solo así dará un examen sustitutorio.

d) No dará un examen sustitutorio.

6. La premisa: “No estudio o me voy de viaje”, se puede equiparar a:

a) Estudio y no me voy de viaje.

b) Estudio o no me voy de viaje y no estudio o me voy de viaje.

c) Si estudio, no me voy de viaje.

d) Si estudio, me voy de viaje.

NIVEL III

Analiza las siguientes inferencias.

1. Antes de un examen un profesor le dice a uno de sus estudiantes: “Si copias en el

examen entonces llevarás el curso nuevamente. Pero si no copiaste en el examen.

Por lo tanto no llevarás el curso nuevamente”. Determine si lo dicho por el docente

es un argumento válido.

2. Roberto le dice a su enamorada: “Si me regalas una sonrisa entonces yo seré feliz.

Pero yo no soy feliz. Por lo tanto no me regales una sonrisa”. Determine si el

argumento dado por Roberto es válido.



3. Juan piensa lo siguiente: “Si me levanto temprano entonces llegaré a clase. Además

si llego a clase, me sentaré adelante. Por lo tanto si me levanto temprano, me sentaré

adelante”. Determine si el argumento dado por Juan es válido.

4. En una cena de gala Andrea le increpa a Manuel diciéndole lo siguiente: “Si yo

fuera su mujer y usted fuera mi marido, entonces yo nunca dejaría de amarlo. Pero

yo he dejado de amarlo. Por lo tanto, yo no soy su mujer o usted no es mi marido”.

Determine si el argumento de Andrea es válido.

5. Gabriela mira fijamente a Juan Andrés y esta le dice: “Si te tengo bajo mi piel,

entonces estás en lo profundo de mi corazón. Si estás en lo profundo de mi corazón,

entonces realmente no eres parte de mí. Estás en lo profundo de mi corazón o

realmente eres parte de mí. Por lo tanto, si te tengo bajo mi piel, entonces eres parte

de mí”. Determine si el argumento dicho por Gabriela es válido

Referencias Bibliográficas


SESIÓN 2: EQUIVALENCIAS E INFERENCIAS

NIVEL 1

1. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones lógicas.

a) – q p

b) – (– q p)

c) p ( – q– p)

d) ( q – p) q

e) – ( pq ) p

2. Cuáles de las siguientes fórmulas son equivalentes a: ¬ p ( p q )

a) p( q ¬ p )


1

510

MILL/M

2006

Miller/Heeren/Horsnby “Matemática: Razonamiento y Aplicaciones ” 94 – 150

2 160

TREL Trelles Montero Oscar “Inducción a la Lógica”

15 – 48



b) ¬ p ( p ¬ q )

c) p q

d) p ¬ q

3. Dada la proposición: “Marco irá a la fiesta solo si cumple su promesa de estudiar”,

diremos que es equivalente a:

a) Marco irá a la fiesta o no promete estudiar.

b) Si Marco no promete estudiar, entonces irá la fiesta.

c) Marco no irá a la fiesta o promete estudiar.

d) Es absurdo pensar que, Marco irá a la fiesta o prometa estudiar.

4. La proposición: “ No es cierto que, si María es comunicadora social entonces será es

una profesional ” diremos que es equivalente a:

a) No es cierto que, María sea comunicadora social y una profesional.

b) María no es comunicadora social o es una profesional.

c) Si María no es comunicadora social, es una profesional.

d) María no es una profesional y es comunicadora social.


a) Si llueve no se moja el auto. Llueve. Por lo tanto no se moja el auto.

b) Si Andrés no estudia en la semana, no aprobará el curso. Pero desaprobó el curso

y estudió en la semana. Por lo tanto aprobó el curso.

c) Dado que Pedro es abogado por eso Carlos es su asistente legal. Pero Carlos es su

asistente legal. Por lo tanto Pedro es abogado.

d) Si los psicólogos no saben de conductas, entonces los pacientes no tienen

alteraciones mentales. Pero los pacientes no tienen alteraciones mentales. Por lo

tanto los psicólogos no saben de conductas.


a) Si Pedro y Daniel van de compras entonces Pedro irá de compras. Por lo tanto

Daniel o Daniel no van de compras.

b) Si Manuel estudia entonces de ninguna manera fracasará en los exámenes. Pero

Manuel no estudia. Por lo tanto fracasará en los exámenes.

c) Carlos gana el juicio y Juan no es su abogado. Pero Carlos pierde el juicio. Por lo

tanto Juan es su abogado.



d) Marco no trabaja en la TV siempre y cuando no estudie la carrera de

comunicaciones. Pero Marco estudia la carrera de comunicaciones. Por lo tanto

Marco trabaja en la TV.

NIVEL 2

1. De la premisa “ Juan Andrés viaja a Londres ” podemos deducir correctamente:

a) Juan Andrés viaja a Londres y visita a su hermana.

b) Juan Andrés no viaja a Londres y no visita a su hermana.

c) Juan Andrés viaja a Londres o visita a su hermana.

Es absurdo que Juan Andrés viaje a Londres.

2. De las premisas: “Si apruebo matemática, viajaré al norte. Si viajo al norte entonces

disfrutaré de mis vacaciones” podemos deducir correctamente

a) No apruebo matemática salvo que disfrute de mis vacaciones.

b) Disfruto de mis vacaciones de la misma manera como aprobé matemática.

c) Si no disfrute de mis vacaciones entonces no aprobé matemática.

d) He aprobado matemática por consiguiente disfruté de mis vacaciones.

3. La premisa: “Almuerzo si y solo si tengo hambre”, se puede equiparar a:

a) No tengo hambre y no almuerzo o no almuerzo y no tengo hambre.

b) Almuerzo o tengo hambre y no almuerzo o hay hambre.

c) Si almuerzo, luego tengo hambre y si tengo hambre, almuerzo.

d) Si no almuerzo, no tengo hambre.

4. “Juan estudia en una universidad o en un instituto. Pero Juan no estudia en

universidad”. Podemos concluir que:

a) Siempre que Juan estudie en una universidad y solo así estudiará en un instituto.

b) Juan no estudia en un instituto.

c) No es innegable que Juan estudie en un instituto.



d) De todas maneras Juan estudia en un instituto.

5. “Jorge consume mucha harina y es obeso. Pero Jorge consume harina”. Podemos

concluir que:

a) No es innegable que Jorge es obeso.

b) De todas maneras Jorge es obeso.

c) Siempre que Jorge consuma harina o es obeso.

d) Jorge no esta obeso.

6. La premisa: “No estudio o apruebo”, se puede equiparar a:

a) Estudio o no apruebo y no estudio o me apruebo.

b) Si estudio, no apruebo.

c) Estudio y no apruebo.

d) Si estudio, apruebo.

NIVEL 3

Analice las siguientes inferencias.

1. El papá de Marco le dice a este: “Si terminas de estudiar entonces saldrás a la fiesta.

Pero no terminaste de estudiar. Por lo tanto no saldrás a la fiesta”. Determine si lo

dicho por el papá es un argumento válido.

2. Manuel le dice a su hermano: “Si me ayudas con mi tarea, te lavo el auto. Pero no te

lavé el auto. Por lo tanto no me ayudaste con mi tarea”. Determine si el argumento

dado por Manuel es válido.

3. Andrés piensa lo siguiente: “Si me enamoro Juana entonces la recogeré todos los

días de su trabajo. Pero si la recojo todos los días su trabajo, gastaré. Por lo tanto si

me enamoro de Juana, gastaré”. Determine si el argumento dado por Andrés es

válido.



4. En una reunión Karla le increpa a Raúl diciéndole lo siguiente: “ Si tu me valoraras

y me quisieras, entonces yo sería feliz contigo. Pero yo no soy feliz contigo. Por lo

tanto tu no me valoras o no me quieres”. Determine si el argumento de Karla es

válido.

5. Gabriela mira fijamente a Juan Andrés y esta le dice: “Si Valeria cena, comerá

postre. Además si come postre, no dormirá temprano. Pero come postre o dormirá

temprano. Por lo tanto si Valeria cena entonces dormirá temprano”. Determine si el

argumento dado por Gabriela es válido.

Bibliografía

# CÓDIGO-L AUTOR TÍTULO PÁGINAS

[1]

510

MILL/M

2006

Miller / Heeren /

Hornsby.

Matemáticas: Razonamiento y

Aplicaciones. 95 – 150

[2]

510

VENE/I

2009

Alejandro Venero Análisis Matemático 1 – 24



UNIDAD II: ARITMÉTICA

SESIÓN 3: NÚMEROS REALES


Al finalizar la unidad el estudiante resuelve problemas vinculados a su entorno,

haciendo uso de los principios básicos de la aritmética como el de los números

reales, permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para

aplicarlo en resolver situaciones problemáticas diversas en forma individual y

grupal.

PROPUESTA DE INTERVENCIÓN PEDAGÓGICA PARA COMPRENDER

EL SIGNIFICADO DEL NÚMERO ENTERO

Mira la siguiente situación y responde dentro del cuadro, como se muestra en el

ejemplo. Recuerda poner el signo + ó el signo -.

Usted se encuentra en el tercer piso de un edificio, sube a un ascensor que lo lleva 2

pisos más arriba, luego baja 4 niveles, nuevamente sube 1 piso y finalmente baja 2 pisos

más. Después de este pequeño viaje ¿en qué nivel se encuentra?



MAPA CONCEPTUAL DE LOS NÚMEROS REALES

2. OPERACIONES COMBINADAS CON LOS NÚMEROS REALES

Para resolver operaciones combinadas con números reales, se debe respetar la prioridad

de las operaciones, es decir, cuando voy a resolver una expresión en la cual hay varias

operaciones indicadas, debo proceder a resolverlas con un determinado orden, que se

denomina la prioridad de las operaciones:

1. Resuelvo las potencias y los radicales

2. Resuelvo las multiplicaciones y divisiones en el orden que aparezcan.

3. Reduzco las sumas y restas



Existe una segunda prioridad, que es dada por la utilización de los paréntesis, dentro de

los cuales, se debe cumplir con la prioridad de las operaciones. La prioridad de los

paréntesis está dada por el siguiente orden:

1. ( ) paréntesis redondos

2. [ ] paréntesis cuadrados o corchetes

3. { } paréntesis de llave

A continuación se presentan algunos ejemplos para mostrar las prioridades antes

mencionadas, donde se justifica en la columna de la izquierda el proceso utilizado:

a) 3

3 3 5 3 2 6 1 9

Resuelvo potencias y raíces……………….. 3 15 3 8 6 1 3

Resuelvo multiplicaciones.………………… 3 15 24 6 1 3

Resuelvo divisiones………………………….. 3 15 4 1 3

Convierto las restas.……………………… 3 15 4 1 3

Reduzco…………………………………….19 7 12

b) 2

5 (2 3 2) [3 (2 3 4)]

Resuelvo multiplicaciones………………2

5 (2 6) [3 (6 4)]

Resuelvo las restas….……………………2

5 ( 4) [3 2]

Potencias y paréntesis………………………… 5 16 1

Reduzco…………………………………………… 22

RECORDEMOS ALGUNAS PROPIEDADES IMPORTANTES DE LOS NÚMEROS

REALES:

1) Suma y resta de números racionales con el mismo denominador

Se suman o se restan los numeradores y se mantiene el denominador.

; 0a c a c

bb b b

Ejemplos:

a) 5 1 5 1 6

7 7 7 7

b) 5 1 5 1 4

7 7 7 7

c) 5 8 5 8 3

13 3 3 3

d) 7 1 7 1 6

32 2 2 2 2



2) Suma y resta de números racionales con distinto denominador

En primer lugar se reducen los denominadores a común denominador, y se

suman o se restan los numeradores de las fracciones equivalentes obtenidas.

También se puede aplicar las propiedades:

, ; 0a c a d b c

b db d b d

; ; 0

b a c ba c

c c

Ejemplos:

a) 5 1 30 4 34 17

4 6 24 24 12

b) 5 1 30 4 26 13

4 6 24 24 12

c) 7 30 7 37

56 6 6

d) 1 30 1 29

56 6 6

3) Multiplicación de números racionales

; ; 0a c a c

b db d b d

Ejemplos:

a) 5 1 5 1 5

4 6 24 24

b)

3 2 3 2 6

5 7 5 7 35

4) División de números racionales

; , ; 0a c a d

b d cb d b c

Ejemplos:

a)

5 1 5 6 30 15

4 6 4 1 4 2

b)

3 2 3 7 21

5 7 5 2 10

3. FRACCIÓN GENERATRIZ

Fracción generatriz de un número decimal es aquella que lo genera, es decir, la fracción

irreducible tal que si divides numerador entre denominador obtienes dicho número

decimal



Un número decimal exacto o periódico puede expresarse en forma de fracción, llamada

fracción generatriz, de las formas que indicamos:

Pasar de decimal exacto a fracción

Si la fracción es decimal exacta, la fracción tiene como numerador el número dado

sin la coma, y por denominador, la unidad seguida de tantos ceros como cifras

decimales tenga.

113 1877 225711.13 ; 0.1877 ; 2257.1

100 10000 10

Pasar de periódico puro a fracción generatriz

Si la fracción es periódica pura, la fracción generatriz tiene como numerador el

número dado sin la coma, menos la parte entera, y por denominador un número

formado por tantos nueves como cifras tenga el período.

113 1 1121.13

99 99

17690.1769

9999

22341 2234 200172234.1

9 99

Pasar de periódico mixto a fracción generatriz

Si la fracción es periódica mixta, la fracción generatriz tiene como numerador el

número dado sin la coma, menos la parte entera seguida de las cifras decimales no

periódicas, y por denominador, un numero formado por tantos nueves como cifras

tenga el período, seguidos de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal no

periódica.

113 11 102 171.13

90 90 15

1769 17 1752 4380.1769

9900 9900 2475

22341 22 223192.2341

9990 9990



4. LEYES EXPONENCIALES

Son definiciones y teoremas ligadas a las operaciones de potenciación y radicación

en el campo de los números reales.

El conocimiento del tema garantiza que el desarrollo de los demás temas sea de la

mejor manera.

2.1 OBJETIVOS:

Aplica las leyes exponenciales al reconocimiento y solución de ejercicios,

que rigen en la potenciación de monomios.

Mediante las leyes reconoce las clases de exponentes en la radicación de

monomios.

Relaciona las leyes exponenciales de la potenciación y radicación de

monomios en la resolución de ejercicios.

2.2 INTRODUCCIÓN

Veremos la necesidad e importancia de éste capítulo a través de algunos ejercicios.

Los números 10, 100, 1000, etc. Juegan un papel importante en la notación decimal

y se llaman potencias de 10. Un modo conveniente de indicar estas potencias es

mediante el uso de los exponentes:

1

2

3

4

5

10 10

10 10 10 100

10 10 10 10 1000

10 10 10 10 10 10000

10 10 10 10 10 10 100000

Y así sucesivamente tenemos el 5

10 como “diez a la quinta potencia”. El número 5

en 5

10 se llama exponente.

2.3 POTENCIACIÓN:

Es la operación matemática que permite la presencia del exponente afectando a una

expresión llamada base y cuyo resultado se denomina potencia.

... ; ; ;n

nveces

a a a a P a n P

Donde:

a : Base n : Exponente P : Potencia



2.3.1 DEFINICIONES IMPORTANTES:

1) Exponente Natural:

En la potenciación, si el exponente “n” es un número natural y la

base “a” es un número real se define:

a) Exponente Cero:

Toda cantidad real a excepción del cero elevada al exponente

cero es igual a la unidad.

0a 1 , a R a 0

Ejemplo: Dar el valor si existe en:

02 2 8

23 5 3

E

Solución:

¡CUIDADO! previamente debemos analizar la base para

verificar si es distinto de cero.

2 2 8 10 6 30 40 6 2

23 5 3 15 15 5

0

21

5E

b) Exponente Uno:

Toda cantidad real elevada al exponente natural uno es igual a la

misma cantidad.

1,a a a R

Ejemplo: Reduce la expresión:

932 7

1

1 512 1

5

Solución:

1 1 162 1 3

5 5 5

c) Exponente Entero Positivo:

Una cantidad real elevada a un exponente “n” natural mayor que

uno (1), equivale a multiplicar “n” veces dicha cantidad (base).

; ; 1n

a a a a a a R n N n

Ejemplos:

i. 5

5 3

3 3 3 3 3 3 243

veces



ii. 3

3 5

( 5) ( 5) ( 5) ( 5) 125

veces

2) Exponente Entero Negativo:

Nos indica que la base diferente de cero afectada de exponente

negativo se invierte. (inverso multiplicativo)

0 :

1 1n

n

n

Si a n N se define

aaa

Ejemplos:

i. 2

2

1 13

93

ii. 6

6 6

1 1 12

64( 2) 2

iii. 33 3

3

3 5 5 125

5 3 273

Observación: n

0 , No definido

2.3.2 LEYES EXPONENCIALES DE LA POTENCIACIÓN

Sea: {a; b} R {m; n; p} Z

i. m n m n

a .a a

ii.

mm n

n

aa ; a 0

a

iii.

pn

m m.n .pa a

iv.

n n na .b a .b

v.

nm p m.n p.n

a . b a .b

vi.

n n

n

a a, b 0

b b

vii.

nm mn

p p.n

a a, b 0

b b

viii. , ; 0

nn n

n

a b ba b

b a a

2.4 RADICACIÓN EN R .

Es una operación inversa a la potenciación, donde a partir de dos cantidades:

Índice y Radicando obtendremos otra cantidad llamada raíz. La operación de

radicación la definimos, así:

; 1nn

a r a r n N n



Donde:

an

= r

Indice (n N)

Raíz enésimaRadicando

Como se trabaja únicamente en R se establece (observe el cuadro anterior).

Si n es par a 0 r 0raíz principal

Si n es par a < 0 rR

Si n es impar a 0 r 0

Si es impar a < 0 r < 0

Ejemplos:

a) 44 81 3 3 81

raíz real

principal

b) 55 32 2 2 32

c) 333 125 125 5 ( 5) 125

Definición de Exponente Fraccionario:

mmnna a ;

m

n es una fracción irreductible

Ejemplos:

a) 1

338 8 2

b) 1

4 1 14 181 81 3

3

c) 3

5 35 55 5 125

d) 5

7572 2

2.4.1 LEYES EXPONENCIALES DE LA RADICACIÓN

A continuación enunciamos los siguientes teoremas:

i. .n n n

ab a b

ii. ; 0 ; 0

nn

n

aaa b

b b

iii. m n p mnp

a a

¡IMPORTANTE!

La radicación es distributiva con

respecto a la multiplicación y división



iv. 2 12 1 nn a a

v. ac cab bx x


NIVEL 1:

1) Completa la siguiente tabla utilizando números enteros.

Posición

inicial

Movimiento

que haces

Operación

Posición

final

Sales de la primera planta y

bajas 3 plantas

Estábamos a 6 grados bajo

cero y la temperatura subió

8 grados

Sales del segundo sótano y

subes 5 plantas

Estábamos a 2 grados bajo

cero y la temperatura bajó 5

grados

Estabas a 6 m debajo del

nivel del mar y subes 2m

Estábamos a 4 grados y la

temperatura bajó 3 grados

2) Realizar las operaciones combinadas en: 15 3 6 2 10 8 12

3) Determinar la fracción canónica correspondiente a:

a) 4 7

3 5

b) 1

34

c) 1

14

d) 7 1 3

5 5 5

e) 7 1 3

2 3 5

f) 1 7 1

3 2 5

g) 4 1 2

3 3 15

4) Escribe las potencias como radicales y los radicales como potencias:

a) 5

2

b) 3

52

c) 5 2

d) 1

35



5) En cada caso calcular el valor de E:

a) E =

2 3 41 1 1

3 2 2

b)

12 2 21 3

3 2E

6) Hallar la fracción generatriz

a) 0,125 =

b) 0,00025 =

c) 1,347=

d) 0,4444…=

e) 0,1844.....=

f) 2,6666.....=

g) 0,222... – 0,12555...

NIVEL 2:

1) "Miguel tiene $657, gasta cierta cantidad y le quedan $120; ¿cuánto gastó (le

queda)?

2) Un asistente de Administración gastó $32 comprando dos cuadernos, un bolígrafo y

dos libros. Los libros cuestan 6 veces más el valor de los cuadernos y el bolígrafo

dos veces más el valor de los cuadernos; cuánto cuesta cada objeto?

3) Contesta a las siguientes preguntas resolviendo mentalmente:

a) En la clase de negocios hay 20 alumnos y alumnas, 2 / 5 son chicos, ¿cuántas

son las chicas?

b) Me he gastado, primero, la mitad de lo que llevaba y, después, la mitad de lo

que me quedaba. ¿Qué fracción total me he gastado?

4) De un depósito con agua se sacan 25,5 litros y después 12,75 litros; finalmente se

sacan 8,5 litros. Al final en el depósito quedan 128 litros. Por tanto la capacidad del

depósito es:

5) Un agricultor ha recolectado 1.500 kg de trigo y 895 kg de cebada. Ha vendido el

trigo a 0,26 $/kg y la cebada a 0,145 $/kg. La diferencia entre lo que ha recibido por

la venta del trigo y lo que ha recibido por la venta de la cebada es:

7) Hallar el valor de E:

E=4 2 - 9 18 + 15 50



NIVEL 3:

1) De compras en el mercado hoy gasté un 1/3 de lo que no gasté. De haber disminuido

mi gasto en un 1/3, me hubiera quedado S/. 120 más que lo que no gasté. ¿Con

cuánto de dinero cuento actualmente?

2) Un empleado público ahorra los 2/5 de su sueldo mensualmente. Hasta el mes

pasado ahorraba S/. 750 y ahora después de un aumento salarial ahorra S/. 950.

¿Cuál ha sido el aumento?

3) Un espectáculo público cubre sus gastos con las entradas de 30 adultos más 70 niños

o de 42 adultos más 18 niños. Si entraron sólo niños, ¿con cuántas entradas cubrirá

sus gastos?

4) En un banco existen 4 ventanillas, surtidos por una sola cola, a lo más se demora por

cada persona 2 minutos. Pedro se puso en la cola y se dio cuenta que delante de él

habían 20 personas. ¿Cuánto tendrá que esperar Pedro para ser atendido?

5) Un grupo de 13 personas van a comer a un restaurante, la cuenta asciende a 1 040

soles y todos tienen que pagar en partes iguales.

Luego algunas de las personas dejan de pagar, con lo cual las restantes pagan 24

soles más. ¿Cuántas personas no pagaron?

6) Una librería tiene para la venta un cierto número de libros de Contabilidad, vende

primero las 3/5 partes y después le hacen un pedido de los 7/8 de lo que le queda

pero antes de servir este pedido se le inutilizan 240 libros, por lo tanto al enviar

todos los libros útiles que le quedan, sólo se cubre los 4/5 de la cantidad pedida.

¿Qué cantidad de libros se vendieron?



1

510

MILL/M

2006

Miller/Heeren/Horsnby “Matemática: Razonamiento y Aplicaciones ” 94 – 150

2 160

TREL Trelles Montero Oscar “Inducción a la Lógica”

15 – 48



PROBLEMAS PROPUESTOS 2

NIVEL I:

1) Realizar las operaciones combinadas en:

20 12 8 10 1 2

2) Determinar la fracción canónica correspondiente a:

a) 3

14

b) 1 3

2 4

c) 1 3 10

7 7 7

d) 5 1 3

2 4 5

e) 4 1 2

3 3 15

f) 1 1

54 3

3) Hallar la fracción generatriz

a) 0,075 =

b) 0,0155 =

c) 1,347=

d) 0,77777…=

e) 0,163333.....=

f) 5,44444.....=

g) 0,5555... – 0,354444...

4) Efectuar: A =

2 3 41 1 1

3 2 2

5) Hallar el valor de E:

E=4 2 - 9 18 + 15 50

6) De acuerdo esquema mostrado, utilizar los números enteros y averiguar a qué nivel

se llega en cada caso.



Posición

inicial

Movimiento

que haces

Operación

Posición

final

Luis está en el nivel +1 y

baja 2 niveles.

Olga está en el nivel +3 y

baja 4 niveles

Eva está en el nivel -2 y

sube 3 niveles

Juan está en el nivel -1 y

baja 2 niveles

Sara está en el nivel -3 y

sube 3 niveles

Estábamos a 4 grados y la

temperatura bajó 3 grados

NIVEL II:

1) Con un recipiente que contenía 3 / 4 de litro de agua, hemos llenado un vaso de 2 / 5

de litro de capacidad. ¿Qué fracción de litro queda en el primer recipiente?

2) Para hacer una torta necesitamos 1

14

kg de harina y sólo tenemos 3

4. ¿Cuánto nos

falta para poder hacer la torta.

3) Contesta a las siguientes preguntas resolviendo mentalmente:

a) Rafael tenía $50 y se ha gastado $20. ¿Qué fracción le queda de lo que tenía?

b) ¿Cuánto es un tercio de los dos tercios de nueve?

4) Un coche ha dado 47 vueltas a un circuito y ha recorrido 168’025 km. En

consecuencia el circuito tiene una longitud de:

5) Una persona echa 60 soles de carburante, estando el litro del mismo a1,25 soles. Ha

recorrido 800 kilómetros. Por tanto el gasto por kilómetro es de:

6) Calcular:

E = 0,23 0,34

0,21 0,32

NIVEL III:

1) Se compró una lavadora por $ 600. El pago se realizaría en tres plazos. El primero

sería de 1

5 del total, el segundo de

1

3 y en el tercero se abonaría el resto. ¿Cuántos

dólares se pagarán en el tercer plazo?



2) Un vendedor compró manzanas a s/. 2,50 cada una. Si vende los 3/7 de ellas a s/.

2,80 Y luego los 3/5 de 10 que le queda a s/. 3,00 perdería hasta ese momento s/.

114. ¿Cuántas manzanas compró?

3) A la presentación de una película de acción asistieron doscientas personas. El costo

de los boletos para adultos fue de 15 soles, mientras que los niños pagaron 10 soles.

Si la taquilla del cine fue 2 600 soles, ¿cuántos niños y cuántos adultos asistieron a

la función?

4) El cociente de inteligencia (CI) se determina multiplicando el cociente de la edad

mental y la edad cronológica de una persona, por cien.

a) Calcule el CI de un niño de 12 años con edad mental de 15 años.

b) Encuentre la edad mental de una persona de 15 años de edad que tiene un CI de

140.

5) Una notaría cobra 15 soles por legalizar una copia fotostática de un documento y

cobra 50 soles por legalizar una carta notarial. Después de un día de trabajo se

hicieron 45 legalizaciones entre copias de documentos y cartas notariales que

dejaron un ingreso total de 1 900 soles. ¿Cuántas cartas notariales se legalizaron en

ese día?

REFERENCIAS ELECTRÓNICAS:

1) http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-

expresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node30.html.

2) http://www.vitutor.com/di/e/a_10.html

3) http://www.vitutor.net/1/0_7.html

4) http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-

tic/04700107/helvia/aula/archivos/repositorio/0/45/3ESO_1.pdf

5) http://cv.uinteramericana.edu/cv/cv_data/uicr/av_materiales/mate_catedra/docu

mentos/resumenes/mate_basica/NUMEROS_REALES.pdf

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node30.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/MATEGENERAL/t1-reales-expresionesalgebraicas/T1-1-numeros-reales-julioetall/node30.html

http://www.vitutor.com/di/e/a_10.html

http://www.vitutor.net/1/0_7.html

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/04700107/helvia/aula/archivos/repositorio/0/45/3ESO_1.pdf

http://www.juntadeandalucia.es/averroes/centros-tic/04700107/helvia/aula/archivos/repositorio/0/45/3ESO_1.pdf

http://cv.uinteramericana.edu/cv/cv_data/uicr/av_materiales/mate_catedra/documentos/resumenes/mate_basica/NUMEROS_REALES.pdf

http://cv.uinteramericana.edu/cv/cv_data/uicr/av_materiales/mate_catedra/documentos/resumenes/mate_basica/NUMEROS_REALES.pdf



SESIÓN 4: TEORÍA DE CONJUNTOS



haciendo uso de los principios básicos de la aritmética como conjuntos,

representándolos por comprensión y extensión, discriminándolos y clasificándolos,

establecer relaciones de pertenencia e inclusión, operar con conjuntos; permitiendo

al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para aplicarlo en Situaciones

diversas en forma individual y grupal.

2. INTRODUCCIÓN

CONCEPTO Y EJEMPLOS DE ESTRATEGIAS DE MARKETING

Las estrategias de Marketing, también conocidas como Estrategias de Mercadotecnia,

Estrategias de Mercadeo o Estrategias Comerciales, consisten un conjunto de acciones

que se llevan a cabo para lograr un determinado objetivo a mediano y largo plazo según

los requerimientos del mercado.

El conjunto de acciones dentro de los objetivos del marketing pueden ser: captar un

mayor número de clientes, incentivar las ventas, dar a conocer nuevos productos, lograr

una mayor cobertura o exposición de los productos, etc.

Dentro del conjunto de estrategias de marketing en el ámbito comercial, se pueden

visualizar cuatro elementos "claves" que componen la estructura básica dentro del

conjunto de estrategia de la mercadotecnia:

3. IDEA DE CONJUNTO Y CONJUNTOS ESPECIALES

CONJUNTO: Es una lista, clase o colección de objetos bien definidos, objetos que,

pueden ser cualesquiera: números, personas, letras, etc. Estos objetos se llaman

elementos o miembros del conjunto.

Estrategias de Marketing

Gastos de Mercadotecnia

Combinación de la Mercadotecnia

Posicionamiento Meta del Mercado

http://www.crecenegocios.com/concepto-y-ejemplos-de-estrategias-de-marketing/



Ejemplos:

2

1,3,7,10

/ 3 2 0

, ,

x x x

Inglaterra Francia Dinamarca

CONJUNTOS ESPECIALES

Antes de analizar el conjunto potencia es, es de mucha utilidad conocer todos los

subconjuntos de un conjunto o llamada "Familia de Conjuntos". Dado un conjunto A,

los subconjuntos se construyen por todos los conjuntos, cuyos elementos están

formados por la combinación de elementos del conjunto A. Convencionalmente se

considera al conjunto vacio como un subconjunto de cualquier otro conjunto.

Es decir: A.

CONJUNTO VACÍO: es aquel que no posee elementos y es subconjunto de cualquier

otro conjunto.

Notación: = { x / x x } ó

Ejemplo: B= {x/x2 = 4, x es impar}. B es entonces un conjunto vacío.

CONJUNTO UNITARIO: Es aquel conjunto que posee 1 elemento.

Notación: A a

Ejemplo: 2/ 1 0A x x . A es un conjunto unitario.

CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel conjunto que no puede ser considerado un

subconjunto de otro conjunto, excepto de sí mismo. Todo conjunto se debe considerar

un subconjunto del Conjunto Universal.

Notación: U

Ejemplo:

A = {1, 3,5} B = {2, 4, 6,8}

U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9}



CONJUNTOS FINITOS O INFINITOS: Los conjuntos serán finitos o infinitos, si

sus elementos son o no factibles de contar.

Ejemplo: M= {a, e, i, o, u}, M es finito.

N= {1, 3, 5,7...}, N es infinito.

CONJUNTOS DISJUNTOS: Dos conjuntos son disjuntos si no tienen elementos

comunes.

Gráficamente:

Ejemplo: A= {1, 3,8}, B = {2, 4,9}; A y B son conjuntos disjuntos.

RELACIÓN DE PERTENENCIA

La relación de pertenencia es una relación natural entre elemento y conjunto. Para

indicar que un elemento “x” pertenece a un conjunto A usaremos el símbolo de

pertenencia (x A) o en caso contrario usaremos el símbolo de no pertenencia (x A).

Ejemplo:

A= {a; e; i; o; u}

a A, se lee “a pertenece al conjunto A”.

b A, se lee “b no pertenece a A”.

SUBCONJUNTO:

A es un subconjunto de B si todo elemento de A lo es también de B.

Notación: A B x A x B

Ejemplo:

El conjunto 1,3,5C es un subconjunto del 5,4,3,2,1D 1} ya que todo elemento

de C pertenece al conjunto D.

U

A B



DIAGRAMA DE VENN: Los diagramas de Venn permiten visualizar gráficamente

las nociones conjuntistas y se representan mediante círculos inscritos en un rectángulo.

Los círculos corresponden a los conjuntos dados y el rectángulo al conjunto universal.

Ejemplo: A B

3.1 DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO

POR EXTENSIÓN. Es aquella forma mediante la cual se escriben o se listan cada uno

de los elementos del conjunto.

Ejemplo: 2

A= {lunes; martes, miércoles; jueves; sábado; domingo}

C= {2; 4; 6; 8}

POR COMPRENSIÓN O CONSTRUCCIÓN. Es aquella forma mediante la cual

escribimos o se indica una característica que cumplen todos los elementos del

conjunto.

Ejemplo: 3 A = {x/ x es un día de la semana}

B = {x/ x es un número mayor que 1 y menor que 9}

CARDINAL DE UN CONJUNTO

El cardinal de un conjunto A es el número de elementos que tiene dicho conjunto.

La notación apropiada para indicar el cardinal de un conjunto A es: Card(A) o n(A).

EJEMPLOS:

Conjunto Cardinal

A={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} Card(A)=8

B={Arquitectura, Ing. Civil; Ing. Industrial; Administración} Card(B)=4

C={esfuerzo; orden; triunfo, éxito} Card(C)=4

D={1; 4; 7; 10; 14; 18} Card(D)=6

U

B A



2.5 RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS

IGUALDAD DE CONJUNTOS. Intuitivamente dos conjuntos A y B son iguales

cuando tienen los mismos elementos.

Es decir: ABBABA

Si alguna de las contenciones anteriores no cumple diremos escribiremos A≠B, se lee

“A es diferente de B”.

EJEMPLO:

El conjunto A= {1; 3; 4} es igual al conjunto B= {4; 3; 1; 3}, ya que tienen los mismos

elementos.

EJEMPLO:

El conjunto A= {1; 6; 4} es disjunto al conjunto B= {3; 5; 7; 7}, ya que no tienen

elementos en común.

SESIÓN 5: OPERACIONES ESTRE CONJUNTOS

UNIÓN O REUNIÓN (AB). Es aquel conjunto formado por todos los elementos que

pertenecen al conjunto A y/o al conjunto B.

/A B x x A x B

INTERSECCIÓN (AB). Es aquel conjunto que tiene como elementos a aquellos

elementos que pertenecen al conjunto A y B (son elementos comunes o ambos)

/A B x x A x B

DIFERENCIA (A-B). La diferencia A y B es el conjunto cuyos elementos pertenecen

al conjunto A pero no al conjunto B.



BxAxxBA /

DIFERENCIA SIMÉTRICA (AB). La diferencia simétrica de A y B está formada

por todos los elementos del conjunto A que no son elementos de B. También en posible

decir que es el conjunto de elementos que pertenecen a A ó B pero no a ambos

conjuntos.

/ ( ) ( )A B x x A B x A B

También: )()()()( BABABAóABBABA

COMPLEMENTO (A'). El complemento del conjunto A es aquel conjunto cuyos

elementos pertenecen al conjunto universal, pero no al conjunto A.

}/{' AxUxxAA c

EJERCICIOS RESUELTOS

Expresar el conjunto 4}x-2,x/{xA 2 Z por extensión.

Solución:

Los elementos del conjunto A son números enteros con siguiente propiedad -2x

4x, se tiene:

4x2 Entonces 2x toma los siguientes valores: 1, 0, 4, 9 los cuales son

elementos del conjunto A.

Por lo tanto A= {1; 0; 4; 9}



Del diagrama adjunto:

a) Halle: AB

b) Halle: )( BC

c) Halle: cAB )(

d) Halle:c)( BC Halle: )()( BC cAB

e) Hallar:Cc BAA )()( C

Solución:

a) BAB }8;1;3{ , pues A y B son conjuntos disjuntos

b) }8;4;3;2;0;3{BC

c) }9;7;5;4;3;2;0;2{)( cAB

d) }9;7;5;1;2{)( cBC

e) }9;7;5;2{)()( BCcAB

f) }{)()( Cc BAA C

Para generar iluminaciones de diferentes colores, se realiza un inspección de 100

circuitos eléctricos se encontró: 49 emiten color azul, 55 emiten color amarillo, 43

emiten color rojo, 23 emiten luz de color azul y amarillo, 18 emiten luz de color azul

y rojo, 28 emiten luz de color amarillo y rojo. Además 8 circuitos emiten los tres

colores. ¿Cuántos circuitos emiten solo luz azul?, ¿Cuántos circuitos emiten luz

amarilla pero no azul?, ¿Cuántos circuitos emiten solo dos colores de luces?,

¿Cuántos circuitos no emiten luz?, ¿Cuántos circuitos no emiten luz roja ni luz azul?

Solución:

Card(Azul)=49 focos, Card(Amarillo)=53 focos, Card(Rojo)=43 focos

Card(Azul Amarillo)=23 focos

Card(Azul Rojo)=18 focos

Card(Amarillo Rojo)=28 focos

Card(A B C)=8 focos

Con la información organizada llenar cada uno de los conjuntos.

-3

-2

C B

U

A

0

7

1 8 4

3 2

5

9



16 focos emiten luz azul.

30 focos emiten luz amarilla, pero no azul.

45 focos solo emiten dos colores de luces.

16 focos no emiten luz.

26 focos no emiten luz roja no azul.

Elegir acertadamente una carrera implica no sólo escuchar tu vocación y ser

consciente de tus habilidades innatas, sino además tener una visión del futuro, no

basta el éxito sino consiste en saber proyectarnos al mundo dentro de 20 años.

Un estudiante de comunicación de la UPN al terminar su carrera, se dedica a

producir programas de TV educativos que impacté en la sociedad. En una encuesta

realizada a un grupo de 1000 personas para saber que programa prefieren ver, se

obtiene los siguientes resultados: 310 personas prefieren ver el programa Salud, 500

personas prefieren ver el programa educativo, 170 personas prefieren ver el

programa educativo y cultural, 210 personas sólo prefieren ver el programa

educativo y es el mismo de los que prefieren ver el programa de cultura, pero el triple

de los que prefieren ver sólo el programa de salud. Además 30 personas prefieren ver

los programas de salud y cultura, pero no educación; 80 personas prefieren ver los

programas de educación y cultura, pero no salud.

a) El número de personas que prefieren ver el programa de cultura.

b) ¿Cuántas personas no prefieren ninguna de los tres programas mencionados?

c) ¿Cuántas personas sólo prefieren dos de los tres programas?

Solución:

Azul(49) Amarillo(53)

Rojo(43)

16

8

15 10

20

16

5

10

U(100)



Personas sólo prefieren ver el programa educativo, es el mismo de los que

prefieren ver el programa de cultura, pero el triple de los que prefieren ver sólo

el programa de salud

Entonces se tienes210

6, ( ) 210, 703

y n C e .

30 personas prefieren ver los programas de salud y cultura, pero no educación

entonces 30z

80 personas prefieren ver los programas de educación y cultura, pero no salud

entonces 80b

170 personas prefieren ver el programa educativo y cultural entonces

170 90a b a

210 170 30 210 10a b x z x x

310 90 70 30 310 120, 390a s e z s s w

210 personas que prefieren ver el programa de cultura.

390 no prefieren ninguna de los tres programas mencionados.

230 personas sólo prefieren dos de los tres programas.


NIVEL I

1) Expresar por extensión o compresión los siguientes conjuntos según corresponda:

a) { / , 12}B x x N x es divisor de

b) { 1/ , ; 8}M x x Z x es impares x

c) {1; 4; 7; 10}E

d) ;...}625;64;27;8{D

2) Identificar las dos columnas.

Definición Relación

a) Es una relación entre elementos con los conjuntos. Cardinal ( )

b) Es una relación entre dos conjunto. Pertenencia ( )

c) El número de elementos de un conjunto. Inclusión ( )



2

-2

7

6 9

8

5 1 4

-3

3

-1

20

U B

A

C


Definición Conjuntos

a) Un conjunto que carece de elementos. Disjuntos ( )

b) Un conjunto que tiene un sólo elemento. Unitario ( )

c) Un conjunto formado por todos los subconjuntos del

mismo. Vacio ( )

d) Conjuntos que no tienen elementos en común. Comparables ( )

e) Un conjunto A es parte de un conjunto B. Potencia ( )


Definición Operación entre

conjuntos

a) Los elementos que pertenecen a dos conjuntos. Unión ( )

b) Dados dos conjuntos Ay B. Los elementos de A o B. Diferencia ( )

c) Dados dos conjuntos Ay B. Los elementos de sólo A. Intersección ( )

d) Dados dos conjuntos Ay B. Los elementos de sólo A o

sólo B.

Complemento ( )

e) Dado el conjunto A. Los elementos que no están en A. Simétrica ( )

5) Dado el gráfico. Realizar las siguientes operaciones entre conjuntos:

a) A B

b) A B

c) A B

d) B A

e) cB

f) B C



g) B C

h) cA

i) A C

NIVEL II

1) Si los conjuntos A, B y C representan tres evaluaciones psicológicas, que

determinan el comportamiento de un individuo, simbolizar en un diagrama de Venn

los siguientes análisis:

a) Personas que presentan el comportamiento A y B.

b) Personas que presentan sólo el comportamiento A y B.

c) Personas que presentan el comportamiento A y B, pero no C.

d) Personas que presentan los tres comportamientos analizados.

e) Personas que presentan sólo uno de los tres comportamientos.

f) Personas que presentan al menos dos de los tres comportamientos en análisis.

2) Una empresa financiera S.A&C decide contratar analistas de crédito, ofreciendo dos

opciones de contrato. Si al analizar sus datos informativos de los postulantes se

obtiene: 6 postulantes deciden la opción A y B, 10 deciden la opción A, 9 la opción

B. ¿Cuántas postulantes solo prefieren una de las opciones? ¿Cuál es el número de

postulantes?

3) Una agencia de Turismo convocó a un concurso para administradores con

conocimientos de algún idioma extranjero. De los que se presentaron, 25 saben

inglés, 21 francés y 17 alemán. Además 17 saben inglés y francés; 14 saben inglés y

alemán; 11 saben francés y alemán; 9 saben inglés, francés y alemán.

a) ¿Cuántas personas se presentaron al concurso?

b) ¿Cuántas personas de los que se presentaron saben, por lo menos dos idiomas?

4) Para obtener un puesto de trabajo, en una conocida empresa de Lima, se tiene que

pasar por tres evaluaciones: La psicológica, la de conocimientos y entrevista personal.

Si en un grupo de 200 personas se sabe que aprobaron el examen psicológico son el

cuádruple de los que aprobaron el examen de conocimientos. Aprobaron la entrevista

personal 65 personas. Aprobaron el examen de conocimientos 40 personas. Aprobaron

el examen psicológico y conocimientos 10 personas. Aprobaron entrevista personal y

examen psicológico pero no el examen de conocimientos 6 personas. Aprobaros el

examen de conocimientos y entrevista personal 12 personas. Además 3 aprobaron el

examen psicológico y conocimientos, pero la entrevista personal. ¿Cuántas personas

obtienen el puesto de trabajo?, ¿Qué postulante elegirá la empresa, si uno de los que

gano el concurso no desea el trabajo?

NIVEL III

1) El crecimiento de una empresa se ve reflejado en la contratación de nuevos

trabajadores. Si el número de contratos en este año son: 0 personas en enero, 2


DEPARTAMTO DE CIENCIAS [61] HUMANUIDADES

persona en febrero, 5 personas en marzo, 9 personas en abril, 14 personas en mayo y

20 personas en junio. Expresar por extensión el conjunto que representa los contratos

en los 7 primeros meses. ¿Cuántas personas se contrató en agosto?

2) En un departamento de control de calidad de un producto se consideran tres defectos

A, B y C como los más importantes. Se analizaron 100 productos con el siguiente

resultado: 21 productos tienen el defecto A, 18 productos tienen el defecto B y 10

productos tienen el defecto C. Además 10 productos poseen el defecto A y el defecto

B, pero no el defecto C. 6 productos poseen el defecto B y el defecto C. 8 productos

poseen sólo el defecto A. El número de productos que poseen exactamente los tres

defectos es la quinta parte de la cantidad de productos que tiene el defecto C.

Determine:

a) ¿Cuántos productos tienen exactamente dos defectos?

b) ¿Cuántos productos poseen por lo menos dos defectos?

ACTIVIDAD PARA TRABAJAR EN EQUIPOS

El aseguramiento de la calidad, se asocia con alguna actitud de medición e inspección

que garantice el éxito y crecimiento de la empresa. Dentro de los mecanismos que

trataremos en el control de calidad, lo enfocaremos de tres aspectos importantes para los

administradores de mano factura y servicios:

Calidad del diseño: es sumamente importante porque los defectos de diseño no se

eliminarán en las etapas de producción. Es sumamente importante planificar el diseño,

documentar los requisitos que debe cumplir el producto, realizar planos, dibujos y

prototipos del producto. La etapa de diseño debe proveer información documentada.

Calidad de fabricación: el producto debe ser fácil de usar, seguro, fiable, etc.

Muchas veces la calidad del producto va relacionado con el precio, pues su calidad es

el prestigio del producto en el mercado. Para controlar la calidad de un producto se

realizan inspecciones o pruebas de muestreo para verificar que las características del

mismo sean óptimas. El único inconveniente de estas pruebas es el gasto que conlleva

el control de cada producto fabricado, ya que se eliminan los defectuosos, sin

posibilidad de ser reutilizable.

http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_(objeto)




# Código UPN-L AUTOR TÍTULO PÁGINAS

1 510

TIMO Salvador Timoteo “Razonamiento Matemático” 521 – 540

2 510 MILL/M

2006

Miller / Heeren /

Hornsby


Aplicaciones” 50 – 83

Calidad que desea el cliente: Las nuevas teorías sitúan al cliente como parte activa de

la calificación de la calidad del producto, intentando crear un estándar en base al punto

subjetivo de un cliente. La calidad de un producto no solo va a determinado por

parámetros puramente objetivos si no incluyendo las opiniones de un cliente que usa

determinados productos o servicios.

En un departamento de control de calidad evalúa tres aspectos importantes, para

lograr éxito en la venta de un producto, en un estudio de muestreo de 105 productos

se obtiene: Si 97 productos pasan por control de calidad de diseño, 93 productos

pasan por control de calidad de fabricación y 94 productos pasan por control de

calidad que desea el cliente, de estos últimos 89 pasan el control de calidad de

fabricación y Calidad que desea el cliente.

Además 3 productos tiene una satisfacción evitable por parte del cliente, y estos son

el triple de los productos que tienen una insatisfacción inevitable de los clientes. Dos

productos tienen un trabajo de fabricación inútil, y estos son la mitad de los

productos que tiene un esfuerzo inútil de diseño.

1. ¿Cuántos productos pasaron al menos uno de los tres controles de calidad?

2. ¿Qué debería sugerir usted, para mejorar el control de calidad de la empresa?

3. ¿Cuántos productos pasaron el control de calidad?

4. ¿Cuántos productos tienen una calidad amenazada?

5. ¿Cuántos productos tienen una satisfacción inútil para el cliente?

6. Según su control de calidad, se puede decir que la empresa es exitosa.




NIVEL I

1. Expresar por extensión o compresión los siguientes conjuntos según corresponda:

a) 2 8}2

xx M { / x N, -2

b) { 1/ , 12 }M x x Z x es pares x

c) { 2; 2; 6; 10; 14}E

d) {9; 28; 65; 626;...}D

2. Expresar por compresión los siguientes conjuntos:

i. El conjunto de los números impares.

ii. El conjunto de los números pares.

iii. El conjunto de los números racionales.

iv. Los estudiantes que estudian derecho y psicología.

3. Si , 9 z -1}x 2+M {2 1 , es un conjunto unitario. Halla el valor de 23 zx .

4. Si los conjuntos 2 1, }a z-1E {11 6 y , 216}E {121 son iguales, halle 5 5 4z a .

5. Expresar en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos.

1. Los abogados que estudian, derecho penal y derecho tributario.

2. Los psicólogos que estudian, psicología educativa y psicología clínica.

3. Los alumnos que estudian derecho y psicología.

4. Los estudiante la carrera de ciencias de la comunicación que se especializan en

periodismo o audiovisuales.

6. Dado el conjunto 2 { }; }e mM {1; ; , indicar cuál de las siguientes expresiones

son verdaderas o falsas.

a) { }e M .................. ( )

b) {{ }}e M ……... ( )

c) { ; 1; 2} ( )m P M ( )

d) {1} M .................( )

e) { } ( )e P M ……... ( )

f) {1; }m M … ( )

g) M}{ ………….( )

h) ( )M P M ……..( )



7. Dado los siguientes conjuntos como se muestra en el gráfico. Indicar el valor de

verdad según corresponda.

i. {1} A C

ii. 9 cA

iii. ( ) 8nP B A

iv. B}{

v. {4} A B

vi. {6; 7; 9} cA

vii. C B B

viii. ( )C A P B

8. Dado el conjunto }3,2,3,1{E , determine el número de subconjuntos de E y P(E).

NIVEL II

1. Determine por extensión los conjuntos:

a) El conjunto formado por todos los exámenes (Ts) evaluados en el período 2012-

1 en el curso de MB0.

b) El conjunto formado por los objetivos de la sesión de conjunto.

c) 2/ ; es impar menor que 11E x x Z x

d) El conjunto formado por los tipos de personalidad del ser humano.

e) El conjunto formado por las especializaciones que puede realizar un psicólogo.

2. Calcular el valor de 23 3 7x x , si el conjunto { 25 ; 3 2}E x es unitario.

3. Si ( ) 26n A , 19)( Bn y ( ) 8n B A , calcula el número de elementos de

BA .

4. Si (A C) tiene 64 subconjuntos, ( ) 12n A elementos y ( ) 11n C elementos.

¿Cuántos subconjuntos tiene C-A?



NIVEL III

1. Se realizada una encuesta a los alumnos de MB0 en el ciclo 2012-2, para orientarlos

sobre los perfiles de las carreras profesionales de ingeniería, negocios y

humanidades. Simbolizar en un diagrama de Venn los siguientes conjuntos:

a) Los alumnos que les gusta estudiar carreras de Negocios e Humanidades.

b) Los alumnos que les gusta estudiar carreras de Ingeniería e Humanidades.

c) Los alumnos que les gusta estudiar carreras de Negocios e Ingeniería.

2. El crecimiento de una empresa se ve reflejado en la contratación de nuevos

trabajadores, y según el departamento psicológico, encargada de analizar el perfil

de cada postulante, registra los siguientes contratos: 1 personas en enero, 3

persona en febrero, 6 personas en marzo, 10 personas en abril, 15 personas en

mayo y 21 personas en junio. Expresar por extensión el conjunto que representa los

contratos en los 7 primeros meses. ¿Cuántas personas se contrató en agosto?

3. El departamento de Psicología decide analizar el comportamiento de los individuos,

que serán contratados por un estudio jurídico, que ofreciendo dos opciones de

contrato (A y B) según el perfil del postulante. Si al analizar sus datos test

psicológico se tiene los siguientes resultados: 7 postulantes pueden ocupar el

cargo A y B, 14 postulantes pueden ocupar la opción A, 12 la opción B. ¿Cuántas

postulantes sólo pueden ocupar una de las dos opciones? ¿Cuál es el número de

postulantes?

4. En una encuesta realizada a un grupo de estudiantes de UPN, para analizar tres tipos

de temperamento (sanguíneo, colérico y flemático), se obturó los siguientes

resultados: 276 estudiantes responden que presentan un temperamento sanguíneo,

231 estudiantes responden que presentan un temperamento colérico, 404

estudiantes responden que presentan un temperamento flemático, 164 estudiantes

responden que presentan un temperamento colérico y flemático, 115 estudiantes

responden que presentan un temperamento colérico y sanguíneo, 180 estudiantes

responden que presentan un temperamento sanguíneo y flemático. Además 100

estudiantes responden que presentan los tres temperamentos. Si todos los

encuestados responden que tiene uno de estos tres temperamentos. Determine:

a) ¿Cuántos estudiantes fueron encuestados?



b) ¿Cuántos estudiantes presentan sólo el temperamento sanguíneo?

c) ¿Cuántos estudiantes presentan sólo los temperamentos sanguíneo y flemático?

5. En una encuesta realizada a 100 viviendas para saber la preferencia de tres

programas de televisión se obtuvo que: 60 viviendas ven el programa A, 30

viviendas ven el programa B, 20 viviendas ven el programa C, 21 viviendas ven el

programa A y B, 15 viviendas ven el programa A y C, 4 viviendas ven el

programa B y C. ¿Cuántas viviendas como máximo, no ven estos programas?

Bibliografía

César Carranza, Maynard Kong. Teoría de Conjuntos y Números Naturales

Lima Perú Prolongación Lucanas N° 278.

Ernest. Haeussler, Jr. Richard S. Paul (2003). Matemáticas para

administración y economía México Pearson Educación.



SESIÓN 6: MAGNITUDES PROPORCIONALES

1. LOGROS DE APRENDIZAJE:

Reconoce, identifica y diferencia las magnitudes proporcionales.

Relaciona las magnitudes proporcionales de forma inversa o directa.

Establece de forma correcta el algoritmo de la Regla de Tres simple.

Solucionan situaciones problemáticas usando la Regla de Tres.

2. INTRODUCCIÓN:

¿Sabías qué puedes mejorar tu fotografía con la proporcionalidad áurea?

La proporcionalidad áurea se trata de la

relación entre elementos por medio de un

número algebraico irracional (decimal

infinito no periódico) que posee muchas

propiedades interesantes y que fue

descubierto en la antigüedad, no como

“unidad” sino como relación o proporción

entre segmentos de rectas. Se le llama Phi

(φ) y es aproximadamente 1,618…

Existe un carácter estético en los objetos

cuyas medidas guardan la proporción

áurea. De tal manera que si quisieras

mejorar tus fotografías puedes realizar los siguientes pasos:

Imagina dos líneas diagonales en el visor de tu cámara de una esquina a la

otra como se muestra en la figura arriba.

Luego trazas líneas imaginarias desde las otras dos esquinas para que se

encuentren con la diagonal formando un ángulo recto.

Las líneas que se forman te servirán de guía para tu composición

garantizando un equilibrio estético y agradable al ojo humano.

Los cuatros puntos de intersección se llaman puntos áureos, sobre uno ellos

deberás colocar el elemento principal de tu composición y si existe un

segundo elemento importante deberías colocarlo en alguno de los otros

puntos creados.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO:

3.1. MAGNITUDES PROPORCIONALES

Las magnitudes son todo aquello que pueden medirse, cuantificarse,

representarse con un número y una unidad. Por ejemplo la velocidad (120

kph), la masa (25 Kg), la fuerza laboral (23 obreros), el tiempo (5 s), el dinero

(350 soles), etc.

Veamos ahora cuándo dos magnitudes son directamente proporcionales,

observe el siguiente cuadro:



Salario obrero (soles) 30 120 180 240 360

Tiempo laborado (horas) 1 4 6 8 12

¿Qué ocurre con el cociente entre las cantidades, salario y tiempo laborado:

laboradotiempo

salario?

En este caso se dice que las magnitudes son directamente proporcionales.

¿Podría usted definir cuándo dos magnitudes son directamente

proporcionales?......................................................................................................

Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes M y 'M cuyas

cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud M a b c d e

Magnitud'M 'a 'b 'c 'd 'e

Verificándose que: ke

e

d

d

c

c

b

b

a

a

'''''

Se dice que son directamente proporcionales. En este caso a k se le llama

constante de proporcionalidad.

Observe ahora la siguiente tabla:

Número de obreros 3 6 9 12 18

Tiempo de la obra (días) 24 12 8 6 4

¿Qué ocurre con el producto entre las cantidades, número de obreros y tiempo

de la obra: )()( obraladetiempoobrerosdeNùmero ?

En este caso se dice que las magnitudes son inversamente proporcionales.

¿Podría usted definir cuándo dos magnitudes son inversamente

proporcionales?......................................................................................................

Magnitudes directamente proporcionales. Dos magnitudes M y 'M cuyas

cantidades se corresponden según la siguiente tabla:

Magnitud M a b c d e

Magnitud'M 'a 'b 'c 'd 'e



Verificándose que: keeddccbbaa '''''

Se dice que son inversamente proporcionales.

3.2. REGLA DE TRES

Inicialmente conocidos tres de los cuatro elementos de una proporción, la

operación que nos permite encontrar el cuarto elemento desconocido

(Incógnita) se le llamó Regla de Tres.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se

establecen las relaciones de proporcionalidad directa:

A más más.

A menos menos.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando entre las magnitudes se

establecen las relaciones de proporcionalidad inversa:

A más menos.

A menos más.

Hoy en día, a este tipo de regla de tres se le conoce regla de tres simple.

4. EJERCICIOS RESUELTOS:

NIVEL I

La constante de proporcionalidad directa entre dos números es 6/5 y el mayor

es 12. ¿Cuál es el menor?

Solución:

Número mayor: 12 y Número menor: x

De acuerdo a la definición de magnitudes directamente proporcionales:

menor el es106

512

5

612

x

x

Si al repartir cierta cantidad de dinero entre 6 personas cada uno recibe 20

soles. ¿Cuánto recibirán si se repartiese entre 15 personas? ¿Cuál es la

constante de proporcionalidad inversa?

Solución:

Lo que se reparte es 20 soles a 6 personas, se reparte un total de 120 soles:

solesxx

unocadarecibequemontopersonasdenùmero

815

120*15120

)()(12020.6

Para comprar 300 g de queso necesito 6 soles. ¿Cuánto podré comprar con

4,50 soles?

Solución:

Las magnitudes son: masa y precio y son directamente proporcionales a

mayor masa, mayor precio.

solesx

solesg

preciomasa

5.4

6300



NIVEL II

En un bizcocho para 10 personas se tenían que emplear 5 huevos, 2 vasos y

medio de leche, 75 gramos de mantequilla y 8 cucharadas de azúcar. ¿Qué

cantidad de cada ingrediente habrá que emplear para 8 personas?

Solución:

Huevos

x

huevoscantpersonasN

8

510

.º

huevosxx

45

8

10

Leche

y

lechecantpersonasN

8

5.210

.º

lechedevasosyy

25.2

8

10

Mantequilla

m

manteqcantpersonasN

8

7510

..º

gramosmm

6075

8

10

Azúcar

z

azúcarcantpersonasN

8

810

.º

azúcardecucharadaszz

4.68

8

10


NIVEL I

1) ¿Qué números completan la tabla si se sabe que las magnitudes son directamente

proporcionales?

Magnitud 1º 4 8 12

Magnitud 2º 6

2) ¿Qué números completan la tabla si se sabe que las magnitudes son inversamente

proporcionales?

Magnitud 1º 4 12

Magnitud 2º 6 5

300 300.4,5225

6 4,5 6

g xx x g

soles soles



3) El gasto de una persona es D.P a su sueldo, siendo el resto ahorrado. Un señor cuyo

sueldo mensual es de S/. 1 200 ahorra S/. 200. ¿Cuál será su sueldo cuando su gasto

sea de S/. 1 300?

4) Si el precio de cierto artículo es IP con el número de artículos que se desea comprar.

Determine el precio de cada artículo cuando se desea comprar 1500, si se sabe que

al comprar 600 artículos el precio de cada uno de ellos es de 25 soles.

5) Los días que trabaja una persona es DP al sueldo que recibe por esos días de trabajo.

Si por un mes de trabajo una persona recibe 1200 soles. ¿Cuánto recibirá si sólo

trabajaría 20 días?

6) Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 210 litros de

capacidad cada uno. Se quiere envasar la misma cantidad de vino, pero empleando

15 toneles. ¿Cuál debería ser la capacidad de ellos?

NIVEL II

1) Si por un pedido de 12 kg de café me cobran 74,4 soles. ¿Cuánto debería pagar, si

por error me envían 4,5 kg menos?

2) Economía. El aumento salarial de un obrero es proporcional al índice del costo de

la vida. Si el obrero recibió un aumento de 12.50 dólares a la semana cuando el

índice era de 6.5, ¿de cuánto será el aumento cuando el índice sea de 9.6?

3) Para enviar un paquete de 12 kg a una población que está a 60 km de distancia una

empresa de transporte me ha cobrado 9 soles. ¿Cuánto me costaría enviar un

paquete de 15 kg a unos 200 km?

4) Impuesto sobre las ventas. Si el impuesto sobre la venta de un disco que cuesta $

16.00 es de $ 1.32, ¿Cuánto sería dicho impuesto por un reproductor de DVD de $

120?

5) Para trasladar 45 toneladas de desmonte se contrata un camión que carga 3

toneladas y costará 1 200 soles por los 5 días de trabajo. ¿Cuánto costará

transportar el doble de desmonte con un camión cuya carga es 5 t en tan sólo 2

días?

6) Tres amigos deciden invertir en un negocio y cada uno aportó $500, $800; $1000

respectivamente. Si al final obtienen una ganancia total de $6900. ¿Cuánto le

corresponde de ganancia a cada uno?

NIVEL III

1) Una fortaleza sitiada tiene víveres para 500 hombres durante tres meses. ¿Cuántos

días podrán resistir con ración normal de comida si se incorporan 150 hombres?



2) Si 20 obreros se demoran 15 días de 7 h/d de trabajo en sembrar 50m² de terreno.

¿cuántos días de 8 h/d de trabajo se demorarán en sembrar 80m² 15 peones

doblemente eficientes?

3) Tasa de cambio (Estados Unidos e Inglaterra). En un año reciente, el tipo de

cambio promedio entre dólares de Estados Unidos y libras de Inglaterra era de 1

libra por 1.6762 dólares. Margaret fue a Londres y cambió sus dólares por libras y

recibió 400 de éstas. ¿Cuánto dinero estadounidense cambió? (Nota: Inglaterra y

Suiza se encuentran entre las naciones europeas que no utilizan el euro).

4) Índice de masa corporal. Los médicos utilizan el índice de masa corporal, o IMC,

para evaluar el nivel de obesidad de una persona.

Un IMC de 10 a 25 se considera ideal. El IMC varía directamente con el peso en

libras del individuo e inversamente con el cuadrado de su estatura expresada en

pulgadas. Una persona cuyo peso es de 118 libras y mide 64 pulgadas tiene un IMC

de 20 (el IMC se redondea al número entero más cercano). Calcule el IMC de una

persona que pesa 165 libras y mide 70 pulgadas

5) En unas elecciones municipales, votaron 34 120 hombres y 22 256 mujeres. Si

en la ciudad habían censados 109 527 personas, de las cuales 31 227 eran menores

de edad, ¿cuál fue el porcentaje de personas con derecho a voto (> de 18 años) que

no participaron en las elecciones?

6) Doce secretarias tardan en organizar la documentación de la empresa en siete horas,

¿cuánto tiempo hubieran tardado en llenarlo entre dos secretarias? ¿Y si hubieran

sido tres secretarias?

Referencia bibliográfica:


[1] 510 HAEU Haeussler, Ernest; Richard

Paul.

Matemáticas para

administración y economía. 221-224

[2] 516

SWOK202 Swokowski, Earl W.

Álgebra y trigonometría con

geometría Analítica. 152-154


DEPARTAMENTO DE CIENCIAS [73] NEGOCIOS_HUMANIADDES


NIVEL I

1. Un coche ha dado 60 vueltas a un circuito en 105 minutos. Calcula el tiempo que

tardará en recorrer en el mismo circuito 40 vueltas.

2. A cierta hora del día un palo de 1,5 metros de largo proyecta una sombra de 60

centímetros. ¿Cuánto mide un árbol que a la misma hora proyecta una sombra de

2,40 metros?

3. Un coche circulando a 90 km/h ha tardado 12 horas en realizar un viaje. ¿Cuánto

tiempo tardará en el mismo trayecto a una velocidad de 80 km/h?

4. 6 fotocopiadoras tardan 6 horas en realizar un gran número de copias, ¿cuánto

tiempo tardarían 4 fotocopiadoras en realizar el mismo trabajo?

5. Con 12 kilos de pienso 9 conejos comen durante 6 días. ¿Cuántos días tardarán 4

conejos en comerse 8 kilos de pienso?

6. Tres motores iguales funcionando 6 horas necesitan

9000 litros de agua para refrigerarse. ¿Cuántos litros de

agua necesitarán 5 motores funcionando 8 horas?

7. Por un reportaje fotográfico tres fotógrafos cobraron 6720 euros. Del reportaje, 14

fotos eran del primer fotógrafo, 18 del segundo y 24 del tercero. ¿Qué cantidad de

euros le corresponde al tercer fotógrafo?

8. Según un testamento una fortuna de 65000 euros se reparte entre tres personas en

partes inversamente proporcionales al sueldo de cada una que es 900, 1350 y 1800

euros. ¿Cuánto corresponde a la primera persona?

NIVEL II

1. Un grifo echa 20 litros de agua por minuto y tarda en llenar un depósito una hora

y 30 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenar el mismo depósito un grifo que

eche 30 litros de agua por minuto?



2. Seis obreros enlosan 1200 m2 de suelo en 4 días. ¿Cuántos metros cuadrados de

suelo enlosarán 12 obreros en 5 días?

3. En una campaña publicitaria 6 personas reparten 5000 folletos en 5 días. ¿Cuántos

días tardarán 2 personas en repartir 3000 folletos?

4. Veinte obreros han colocado durante 6 días 400 metros de

cable trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántas horas diarias

tendrán que trabajar 24 obreros durante 14 días para

tender 700 metros de cable?

5. Tres socios pusieron en marcha un negocio aportando, 5000 euros el primero,

25000 euros el segundo y 20000 euros el tercero. El primer año se obtienen 60000

euros de beneficio, ¿Cuánto recibe el primer socio?

6. Un profesor entrega una relación de 86 ejercicios a cuatro alumnos para que se los

repartan con la condición de que cada uno resuelva una cantidad inversamente

proporcional a las calificaciones obtenidas en un examen. Las calificaciones han

sido 2, 4, 5 y 8. ¿Cuántos ejercicios resuelve el primer alumno?

7. En una caja hay 200 bolas de las cuales 60 son rojas y el resto blancas. ¿Cuántas

bolas blancas se deberán agregar, si se quiere que por cada 3 bolas blancas hayan

20 blancas?

8. 40 Kg de miel contiene 24 Kg de azúcar, ¿Cuántos Kg de agua hay que agregar a

esta miel para que 5 Kg de mezcla contengan 2 Kg de azúcar?

NIVEL III

1. 35 obreros pueden terminar una obra en 27 días. Al cabo de 5 días de trabajo se

les junta cierto número de obreros de otro grupo, de modo que en 15 días más

terminan la obra ¿Cuántos obreros eran del segundo grupo?

2. Un muro de 50 metros de largo, 8,80 metros de alto y

30 centímetros de espesor ha sido construido en 18

días por 6 hombres que trabajan 8 horas diarias. ¿Qué

altura tendrá otra pared que debe ser construida en 30



días por 3 hombres que trabajan 10 horas por día si va tener 70 metros de largo y

45 centímetros de espesor?

3. Para una construcción de una cerca de 84 metros de longitud, 3metros de altura y

0,6 metros de espesor, se hizo un presupuesto de 43848 soles. Al ejecutar la obra

se rebajo en 1 metro, se disminuyo el espesor en 10 centímetros y en la longitud

había un error por exceso de dos metros ¿Qué economía se obtuvo?

4. Un cuartel tiene 13500 hombres que tiene víveres para 8 meses. El comandante

recibe órdenes de despedir algunos hombres para que los víveres duren 4 meses

más dándoles la misma ración ¿Cuántos hombres serán despedidos?

5. Una zanja de 20 metros de profundidad puede ser acabada en 12 días por 10

obreros. Después de cierto tiempo de trabajo se decide aumentar la profundidad en

10 metros para lo cual se contrata 8 obreros más terminándose la obra a los 15

días de empezado ¿A los cuantos días se aumentó el personal?

6. 25 cajistas en 27 días de 9 horas pueden componer 18 pliegos de 24 páginas con 2

columnas cada página y 30 letras en cada línea ¿Cuántas horas al día tendrán que

trabajar 8 cajistas durante 28 días para componer 32 pliegos de 36 páginas con

una columna de 49 líneas y 40 letras cada línea?

7. Un ingeniero industrial invento una máquina para pelar papas y empezó un

negocio para fabricarlas. Impuso como capital inicial 60000 soles y seis meses

después entro al negocio un segundo socio aportando un capital de 40000 soles.

Un año más tarde un tercer socio se incorporo a la fabrica con una capital de

25000 soles se liquido el negocio al cabo de 5 años obteniéndose una utilidad de

290000 soles. ¿Cuánto es la utilidad que le corresponde al tercer socio?

8. Cuatro capitales suman 56480 soles; el primero es de 1 es a 3 con el segundo, este

es al tercero como 4 es a 7 y el de este último es al de cuarto como 5 es a 8. Hallar

el capital que aporto el primer socio.

BIBLIOGRAFÍA:

Jiménez, René (2008) Álgebra. Pearson Educación México

Lázaro, María Lourdes. (2003). Refuerzo de Matemáticas. Madrid. Narcea



SESIÓN 7: PORCENTAJE


Obtienen exactamente el porcentaje de un número.

Solucionan situaciones problemáticas usando la Regla de Porcentaje.

2. INTRODUCCIÓN:

¿Cuántas veces has observado estas tentadoras ofertas en los centros comerciales?

¿Qué representa cada uno de ellos?...................................................................

¿En dónde más o en qué casos has observado estas tasas o descuentos?..........

3. TEORÍA:

3.1. REGLA DE PORCENTAJE

Un porcentaje es un tipo de regla de tres directa en el que uno de los elementos

es 100. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de forma que el

tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte

proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. Se

expresa:

3.2. DESCUENTOS Y AUMENTOS SUCESIVOS

Dos descuentos sucesivos de a % y b % pueden ser reemplazados por un

descuento único, determinado por:

Sean a % y b % dos



En forma análoga se pueden dar los aumentos sucesivos o aumento único de

dos porcentajes mediante:

4. EJERCICIOS RESUELTOS:

NIVEL I

Un reloj-cronómetro valía ayer 320 soles. Si hoy me han comentado que le

han subido el precio un 24 %, ¿Cuánto vale hoy?

Solución:

El aumento es 24% más de lo que valía el día de ayer que representa el

100%, entonces hoy vale 124% de los 320 soles:

soleshoydevalor 8.396320.100

124)320%(124

En una clase de secundaria hay 21 niñas y 9 niños. ¿Cuál es el porcentaje

de niñas que hay en dicha clase?

Solución:

Número total de niños en la clase=21+9=30. Nos preguntan por el

porcentaje %x que representa el número de niñas=21:

21.100

. 21 9 21 .30 21 70 70%100 100 30

x xx x

Unas zapatillas deportivas están etiquetadas con 50 soles y tienen un

descuento del 30%. ¿Cuántos soles se descuentan? ¿Cuánto hay que

pagar?

Solución:

El descuento es el 30% del total, 50 soles:

30.50 15

100 Soles de descuento 50 soles – 15 soles= 35 soles se

pagan.

NIVEL II

Un jugador profesional de baloncesto estuvo tirando “tiros libres” durante

algo más de 1 hora. En ese tiempo lanzó sin encestar 420 y “encestó” 273.

¿Cuál fue su porcentaje de acierto?

Solución:

Nos preguntan por el porcentaje %x que representa 273, del total 693:

273.100

. 693 273 39,393939... 39,39%100 693

xx x

Sean a % y b % dos



Un reloj-cronómetro valía ayer $80, y hoy $96. ¿Cuál ha sido el

porcentaje de subida?

Solución:

En total subió $16, nos preguntan por el porcentaje %x que representa 16,

de valor original $80:

16.10096 80 16 .80 16 20%

100 80

xx x

Un reloj-despertador vale con IGV 80,25 soles. Si el IGV que se le ha

aplicado es del 18 %, ¿Cuánto costaría sin este impuesto?

Solución:

80,25 80,25.10067.99

118% 100% 118

xx x soles sin impuesto.

¿A cuánto realmente equivale dos descuentos sucesivos de 10% y 20%?

Solución:

Reemplazando en la fórmula: 20,10 ba

%28%100

20.102010DU

¿A cuánto realmente equivale dos aumentos sucesivos de 20% y 30%?:

Solución:

Reemplazando en la fórmula: 30,20 ba

%56%100

30.203020AU

NIVEL III

Si 3 alumnos reprobaron un curso corresponden al 10%, ¿cuántos alumnos

aprobaron el curso?

Solución:

Nos solicitan el número de alumnos que aprobaron el curso:, x . Entonces el

número total de alumnos es, 3x . Por lo tanto:

3 3 3.1003 30 3 27

10% 100% 10

xx x x

alumnos aprobaron el

curso.

Durante la primera cuarta parte de la liga, un equipo de fútbol ha ganado el

40% de los puntos posibles. ¿Qué porcentaje de puntos debe ganar en

las tres cuartas partes restantes para que al finalizar la liga tenga el

70% de los puntos posibles?



Solución:

1 3 440% % 70% 40% 3 % 280% 3 % 240% 80%

4 4 4x x x x

Un artículo que vale 120 soles, ante la excesiva demanda, sube un 20%.

Luego, cuando se reduce la demanda, se rebaja un 20%. ¿Sigue valiendo lo

mismo que antes?

Solución:

Primero aumenta 20% del precio original, 120 soles:

100% 20% 120%

120%(120) 144

Después del aumento vale 144 soles

Luego se rebaja 20% del valor anterior, 144 soles:

100% 20% 80%

80%(144) 115,2

Después del descuento vale 115, 2 soles

Por lo tanto no vale lo mismo que antes

¿Quién es mayor, el 20% del 50% de 80 o el 250% del 5% de 50?

Solución:

20 5020%(50%(80)) . .80 8

100 100

250 5

250%(5%(50)) . .50 6,25100 100

El primero es el mayor.


NIVEL I

1. Complete la tabla:

Porcentaje Cantidad Resultado

20 % 800

40 % 3 650

33, 3 % 426 000

12, 5 % 20

7 000 35

120 400 21 672

17 524 4 030,5

1 800 000 18 000

124 % 135,16

71 % 1 999,99

19 % 9,5

132 % 858



2. Una moto cuyo precio era de 5 000 soles, cuesta en la actualidad 250 soles más.

¿Cuál es el porcentaje de aumento?

3. Al adquirir un vehículo cuyo precio es de 8 800 soles, nos hacen un descuento del

15 %. ¿Cuánto hay que pagar por el vehículo?

4. El precio de una laptop es de 1 200 soles sin IGV. ¿Cuánto hay que pagar si el IGV

es del 18%?

5. En las cosas que yo vendo tengo un beneficio del 7 % ¿Cuánto ganaré si mi

volumen de ventas ha sido de 20 000 soles en el mes?

6. Por un reportaje fotográfico tres fotógrafos cobraron 6 720 soles. Fue tan bueno el

trabajo que recibieron un bono del 15 %. ¿Qué cantidad de soles les corresponde

recibir a cada uno?

7. Isaac recibe un aumento de volumen de trabajo del 20 %. Si anteriormente producía

350 carpetas unipersonales. Determina cuál es la nueva producción de Isaac.

8. Una librería ofrece sus libros con diferentes descuentos dependiendo del día en que

se realiza la compra. Los días lunes ofrece el 25% de descuento, los martes el 15% y

los días jueves el 20% de descuento sobre su precio. Un estudiante hace la siguiente

compra.

Día Número de

artículos

Costo por

unidad

Lunes 5 36,45

Martes 12 35,12

Jueves 27 41,50

¿Cuánto es lo que paga finalmente?

NIVEL II

1. Dos aumentos sucesivos del 20% y 50% equivale a uno de…:

2. Tres descuentos sucesivos del 20%, 30% y 50% equivale a uno de…:

3. ¿Qué precio debe fijarse a un artículo que costó S/.350, sabiendo que se va hacer

una rebaja del 10% de dicho precio y aun así se ganará el 40% del costo?

4. Dos incrementos sucesivos de 20% y 30%, ¿a qué aumento único equivale?



5. Tres aumentos sucesivos de 10%, 60% y 80%, equivalen a un incremento único

de…:

6. ¿Qué precio de costo tuvo un artículo que se vendió en 399, 99 soles, sabiendo que

se hizo un descuento del 20% del precio de lista y aun así se ganó el 20% del costo?

7. Después que me hicieron dos descuentos sucesivos del 10% y el 40% pagué por una

computadora $1 080. ¿Cuál fue el precio que tenía antes de dichos descuentos?

8. Se vende un artículo con una ganancia del 15% sobre el precio de costo. Si se ha

comprado en 1 280 soles. Halla el precio de venta.

NIVEL III

1. Cuatro amigos acordaron ahorrar, según sus posibilidades económicas, para

comprarse una carpa que cuesta $ 2100. Juan y Pedro se comprometieron en pagar

cada uno ¼ del total. Luis se comprometió en pagar la tercera parte (1/3). El resto le

correspondió pagar a Carlos. ¿Cuánto tuvo que pagar cada uno de ellos?

2. ¿Cuál será el precio que hemos de marcar en un artículo cuya compra ha ascendido

a 180 soles para ganar al venderlo el 10%?

3. ¿Qué precio de venta hemos de poner a un departamento comprado a 320 800 soles,

para ganar el 12% y recuperar el 5 % de la depreciación?

4. Se vende un objeto perdiendo el 20% sobre el precio de compra. Hallar el precio de

venta del citado artículo cuyo valor de compra fue de 150 soles.

5. ¿Qué porcentaje se pierde cuando se vende en 13 soles, lo que había costado 65

soles?

6. Calcula el descuento obtenido en la tienda SERMÁS, si compramos tres prendas por

900 soles y pagamos solamente 765 soles.

7. Para la construcción de una cerca de 90 m. de longitud, 2,5 m. de altura y 0,80 m. de

espesor se hizo un presupuesto de 10 800 soles. Al ejecutar la obra se quiere ahorrar

el 10 %, por lo que se disminuyó la altura medio metro, pero el espesor aumentó 25

% ¿Cuál debe ser la variación porcentual de la longitud, para cumplir con el ahorro?

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA


[1] 513 TIMO Salvador Timoteo Aritmética. 136--155

[2] 510 TIMO Salvador Timoteo Razonamiento Matemático 638-650




NIVELI

1. Calcular el 20% del 40% de 40 000

2. Calcular el 40% del 7% de 2 500

3. ¿Qué tanto por ciento de 320 es 64?

4. ¿Qué porcentaje representa 19 de 380?

5. Hallar un número, si los 2/3% de éste es 30

6. Calcular el 6% del 9% del 20% de 900 000.

NIVELII

1. El 35 % de un queso es materia grasa. Un queso de 2 kilos y 600 gramos, ¿Qué

cantidad de grasa contiene?

2. Hallar el 4% de 16 % de la quinta parte de 60 000.

3. Calcule el 0,02% del 25% de 180 000.

4. Para vender un artículo a $ 48 000 se ha tenido que hacer dos descuentos

sucesivos de 20% y 40% sobre su precio de lista. ¿Cuál es su precio de lista?

5. Pagando $ 2 700 por cierto artículo se está pagando el 10% en recargo. ¿A cuánto

asciende el costo sin recargo?

6. Para vender un artículo a $ 1 200 se ha tenido que hacer un descuento del 40%

sobre su precio de lista. ¿Cuál es su precio de lista?

NIVELIII

1. El precio de un artículo ha tenido tres aumentos sucesivos del 20% cada uno y tres

descuentos sucesivos también del 20% cada uno. ¿En qué porcentaje aumenta o

disminuye el precio original?

2. Dos descuentos sucesivos del 20% y 30%, seguidos por un incremento de 50%,

¿a qué V. P. U. equivale?

3. En una oficina hay 16 personas de las cuales el 25% son mujeres. Si se desea que

el 60% del personal sean hombres, ¿cuántas mujeres se deben contratar?



4. ¿Qué porcentaje del cuádruplo de la mitad del 60% de un número es el 30% del

20% de los 2/5 del número?

5. Si la base de un triángulo aumenta en 30% y su altura en 50%. ¿En qué porcentaje

aumentara el área?

6. Se tiene 10 litros de solución alcohólica al 40% de pureza. Para obtener una

solución al 60% de pureza. ¿Qué volumen de solución al 70% de pureza se debe

agregar?

BIBLIOGRAFÍA:

Miller, Charles D. 2009 Matemática: Razonamiento y Aplicaciones.

Venero, Armando. 2008. MatemáticasBásicas



UNIDAD 3: ÁLGEBRA

SESIÓN 8: POLINOMIOS


Identificar una expresión algebraica.

Comparar y clasificar las expresiones algebraicas.

Reconocer Monomios y Polinomios.

Operar Polinomios: Suma, Sustracción, Multiplicación y División de

Polinomios.

Resolver situaciones problemáticas que implican operaciones con polinomios.

2. INTRODUCCIÓN

Los Polinomios tienen una diversidad de aplicaciones, como la Modelación de

expresiones Matemáticas que ayudan medir la presión arterial de una persona, calcular

el área de diferentes figuras planas, calcular el número de productos a producir o

vender.


DEFINICIONES BÁSICAS

3.1 EXPRESIÓN ALGEBRAICA (E.A.)

Es el conjunto de números y letras unidas entre sí por las operaciones fundamentales

(Adición, Sustracción, Multiplicación, División, Radicación y Potenciación) o alguna

combinación de estas en un número limitado de veces y sin variables como exponentes.

Nota: Cualquier expresión que no cumpla con los requisitos mencionados se denomina

expresión no algebraica o trascendente.

CONSTANTES: Son símbolos que representan a una cantidad definida, es decir, su

valor es fijo.

VARIABLES: Son símbolos utilizados para representar a un elemento cualquiera de

algún conjunto, es decir, su valor no es fijo, puede tomar cualquier valor que se le

asigne.

3.2 TÉRMINO ALGEBRAICO: Es la mínima expresión algebraica, cuyos

números y letras, no están separados ni por el signo más ni por el signo menos.

EJEMPLOS

1) 5x2 y

3 2) 2xy

En un término algebraico se distinguen las siguientes partes:



3.3 TÉRMINOS SEMEJANTES: Dos o más términos son semejantes si sus

variables están elevadas al mismo exponente.

EJEMPLOS:

5 x3yz

5; -2 x

3yz

5; 7 x

3yz

5;

53

5

1yzx ; son términos semejantes.

Solo se pueden sumar o restar términos semejantes.

4. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS

4.1 Por la naturaleza de los exponentes: Una expresión algebraica puede ser:

Expresión Algebraica Racional (EAR): Son aquellas cuyas variables están

afectadas por exponentes enteros. A su vez pueden ser:

a) Expresión Algebraica Racional Entera (EARE): Los exponentes de sus

variables son enteros positivos (no tienen variables en el denominador),

incluyendo el cero.

EJEMPLO:

3xy2 + 7xy

5 + x

5 - 3

2 x + 5

y+ 3

b) Expresión Algebraica Racional Fraccionaria (EARF): Los exponentes de sus

variables son enteros negativos o al menos tiene una variable en el denominador.

EJEMPLOS:

3x2 y

-5 + 7xy +

x

1+3

5 xy4 -

xy

1

y

7

x

3

2

Expresión Algebraica Irracional (EAI): Son aquellas cuyas variables están

afectadas de radicales o exponentes fraccionarios.

EJEMPLO:

1

2 32 5 2x xy x 5 3 x27

4



4.2 Expresión trascendente.

Son todas aquellas expresiones no algebraicas.

EJEMPLO:

a) 2

5xy

4 + x

y + 4. (Exp. exponencial)

b) 3log x + log2x2 + xy. (Exp. Logarítmica)

c) 1 + x + x2 + x

3 + … (Exp. Ilimitada)

5. POLINOMIO

Un polinomio es una expresión algebraica racional entera. Cuando los coeficientes son

reales, se dice que es un polinomio en el conjunto de los números reales R.

Monomio: Expresión algebraica racional entera de un solo término.

Binomio: Es el polinomio de dos términos.

Trinomio: Es el polinomio de tres términos.

Notación: P(x) : Es un polinomio que tiene una sola variable x.

P(x;y) : Es un polinomio que tiene dos variables x e y.

EJEMPLO

1) P(x;y) = 3222 27 xyyxyx Trinomio

2) M(x;y;z) = 3xy2z

2 Monomio

3) M(x;y;z) = 5x2yz

4 Monomio

4) P(x;y) = 3527 yxyx4 Binomio

5) R(x) = a0 + a1 x + a2 x2 Trinomio

Representación general de un polinomio en una variable.

P(x) = anxn + an-1x

n-1 + an-2x

n-2 + ...+ a2x

2 + a1x + a0 con 0na y n N

Representación general de polinomios de acuerdo al grado

Considerando la variable "x" y las constantes a, b, c y d tal que a 0, tenemos:

Polinomio de grado cero: a

Polinomio de grado uno : bax

Polinomio de grado dos : cbxax 2



6. GRADOS EN OPERACIONES CON POLINOMIOS

Sean los polinomios P(x) de grado m, y Q (x) de grado n (con m> n), entonces:

1. G.A. [P(x) Q (x) ] = m

2. G.A. [P(x) . Q(x) ] = m + n

3. G.A.

)x(Q

)x(P= m - n

4. G.A. [P(x) ]r = r m

5. G.A. r

m)x(Pr

7. VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO

Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le asigna determinados valores a sus

variables.

EJEMPLO:

a) Si P(x) = x3 – 5x

2 + 7, entonces

P(0) = (0)3 – 5(0)

2 + 7 = 7

P(1) = (1)3 – 5(1)

2 + 7 = 3

P(-2) = (-2)3 – 5(-2)

2 + 7 = -21

b) Si P(x, y) =3x - 2y + 1, hallar: P(0, -1) .

Solución:

Haciendo x = 0 y = -1, se tiene que:

P(0, -1) = 3(0) - 2(-1) + 1 = 3

Nota :

La suma de los coeficientes de P(x) = P(1), esto es,

coef. de P(x) = P(1)

El término independiente de P(x) = P(0), esto es

T. I. de P(x) = P(0)

8. OPERACIONES CON POLINOMIOS

7.1 ADICIÓN: Para sumar polinomios, identificamos términos semejantes y los

ordenamos para poder alinearlos verticalmente de tal manera que se pueda operar.

EJEMPLO: sumar 2 33 7x x x y 2 34 1x x x



3 23 7x x x

3 24 1x x x

3 25 2 8 1x x x

7.2 SUSTRACCIÓN: Para restar polinomios, identificamos términos semejantes de

cada uno para ordenarlos y cambiar de signo de cada coeficiente del segundo polinomio

y así poder operar.

EJEMPLO: restar 2 33 7x x x y 2 34 1x x x

3 23 7x x x

3 24 1x x x

3 23 4 6 1x x x

7.3 MULTIPLICACIÓN: Para multiplicar polinomios, multiplicamos los factores

numéricos y los factores variables aplicando la propiedad distributiva.

EJEMPLO: multiplicar 3 2( ) 2 5 6 3P x x x x y

2( ) 3 4Q x x x

5 4 3 2( ). ( ) 6 13 31 23 27 12P x Q x x x x x x

EJERCICIOS PROPUESTOS

NIVEL I

1. Identifique los términos semejantes:

a) 2 2 2 23 ;2 ; ;4x y xy x y xy b) 2 2 2;3 ; ;4x y xy xy xy

2. Señale Verdadero o Falso:

I. 24 x2 y es una E.A. racional fraccionaria.

II. 1

3x

3y

2 es una E.A. racional entera.

III. xx+2x es una expresión algebraica.

IV. 1

25x x es E.A Irracional.

3. Realizar las siguientes operaciones:

a) 3 2 3 22 8 7 5x x x x

b) 2 2 2 25 2 3 2 1x y xy yx xy

c) 4 3 23(5 7 4 2)x x x

d) 2( 3 1)x x x



4. Dado el polinomio 5 3 42P x x y . Hallar:

a) xGR P x b) yGR P x c) GA P x

5. Dado el polinomio 4 6 3 5 2 75 2 3P x x y x y xy . Hallar:

a) xGR P x b) yGR P x c) GA P x

6. Si 2 3 1P x x x ( ) . Hallar:

a) 0P

b) 1P

c) 5P

d) 10P

NIVEL II

1. Si: (a+2) x3a+6

y2b-2

; (b-3)xa+8

y3a+b-3

son semejantes; su suma es:

2. Si 2 23 7 4 3P x x x Q x x x ( ) y ( ) halla1 1

2

P Q

P

( ) ( )

( )

3. Multiplique los siguientes monomios:

a) ( a2 x) (2a x

2) b) ( 3 y

2) ( b

2 y )

c) (6 a x ) ( 7a x2) d) (5 b y) (3 b

2 y)

e) ( 3 x w3 z ) (-3 x

2 w) f) (-4ya

2b) (6y

2b)

g) (2 x) (3 a x) (- 3x2 b)

h) (4 y) ( 3 y2 b) (-5 b y

2)

4. Dados los polinomios: 2P(x) 6x 3x 2 ; 3Q(x) x 2x 1 y R(x) 2x 1 , halle:

a) P(x) + Q(x) b) Q(x)-R(x) c)

P(x).Q(x)

NIVEL III

1. Ernesto tiene 28 6 2x x soles, recibe de propina 23 5 4x x soles de su padre y

4 3x soles de cada uno de sus tres tíos. Si gasta 28 3 5x x soles, ¿cuánto le

queda?

2. Ernesto tiene 28 6 2x x soles, recibe de propina 23 5 4x x soles de su padre y


queda?

3. Roberto, con la ayuda de un estudiante de negocios modela una expresión

Matemática de tal manera que cuando quiera vender sus productos sólo remplace

la cantidad. Sus ingresos totales a partir de “x” productos son dados por el



polinomio: ( ) 200 150R x x Cuánto de ingreso tendrá cuándo venda una

Docena de sus productos.

4. Juan es un goleador neto y cobra por la cantidad de goles que hace en un

campeonato de futbol. ( ) 20 2000S x x expresa los ingresos totales (en nuevos

soles) en hacer “x” goles. ¿Cuántos goles hizo si recibió S/. 70 00?

5. Un grupo de Empresarios se interesa en formar una compañía para producir

detectores de humo. Han desarrollado un diseño y estiman que los costos variables

por unidad, incluyendo materiales, trabajo y costos de comercialización son S/.

22.5. Los costos fijos asociados con la formación, operación y administración de la

compañía y la compra de equipo y maquinaria ascienden a un total de S/. 450 000.

Estiman que el precio de venta por detectores será de S/. 30 por detector. ¿Cuántos

detectores de humo que se deben vender para que la empresa no gane ni pierda?



NIVEL I

1. Con respecto al monomio: 2 3 7; , 6M x y z x y z .Halle el xGR , y

GR , zGR y

GA(M).

2. En el siguiente polinomio: 2 3 5 3 2 4 13; , 5P x y z x y z x y z x yz .

Halle el xGR , y

GR , zGR y GA(P).


[1] 510 HAEU Haeussler, Ernest;

Richard Paul.

Matemáticas para administración

y economía. 221-224

[2] 516 PRAD

202 Del Prado Matemática Básica 162-174



3. Halle el valor de “a” para que el grado del siguiente polinomio:

1 2; 3 16 5a aP x y x y x y x sea 9.

4. Halle el grado del producto: 3 5

2 2 36 1 1 8P x x x x x

NIVEL II

1. Si: (a+2) x2a+3

y3b-1

; (b-3)xa+5

y2a+b-3

son semejantes; su suma es:

2. Halla n, si el grado de E es 3. 17

6 3

n x xE

x

3. Halle m y n para que: E(x, y)= 1 3 2 1 3 23 7 11m n m n m nx y x y x y sea de grado absoluto

igual a 8 y grado relativo a y igual a 5.

4. Si 2 43 7 4 3P x x Q x x x ( ) y ( ) halla2 0

1

P Q

P

( ) ( )

( )

5. Multiplique los siguientes monomios:

a) ( a2x) (a x

2) b) ( b y

2) ( b

2y )

c) (3 a x ) ( 2 a x2) d) (5 b y) (3 b

2y)

e) ( 2 x w2z ) (-3 x

2w) f) (-4ya

2b) (6y

2b)

g) (3 x) (4 a x) (- 2 x2b) h) (4 y) ( 3 y

2b) (-5 b y

2)

6. Dados los polinomios: 2P(x) 6x 3x 3 ; 3Q(x) x x 1 y R(x) 2x 1 , halle:

a) P(x) + Q(x) b) Q(x)-R(x) c) P(x).Q(x)

NIVEL III

1. Calcule “a” en el polinomio: ( ) 2 1P x x si: ( ( )) 5P P a .

2. Rubén tiene 27 6 3x x soles, recibe de propina 22 6 4x x soles de su padre y


queda?

3. Juan es un goleador neto y cobra por la cantidad de goles que hace en un

campeonato de futbol. ( ) expresa los ingresos totales (en nuevos

soles) en hacer “x” goles. ¿Cuántos goles hizo si recibió S/. 90 00?

4. Un grupo de Empresarios se interesa en formar una compañía para producir

detectores de humo. Han desarrollado un diseño y estiman que los costos variables



por unidad, incluyendo materiales, trabajo y costos de comercialización son S/.

4.5. Los costos fijos asociados con la formación, operación y administración de la

compañía y la compra de equipo y maquinaria ascienden a un total de S/. 225 000.

Estiman que el precio de venta por detectores será de S/. 35 por detector.

¿Cuántos detectores de humo que se deben vender para que la empresa no gane

ni pierda?

Bibliografía

Jerome E. Kaufmann , Octava Edición(Álgebra)

Salvador Timoteo V (Álgebra)



SESIÓN 9: PRODUCTOS NOTABLES Y DIVISION ALGEBRAICA


Aplicar el algoritmo tradicional para Dividir Polinomios.

Resolver situaciones problemáticas que implican división de polinomios.

Identificar y usar Productos Notables, Binomio al Cuadrado, Diferencia de

Cuadrado.

2. INTRODUCCIÓN

La división de Polinomios se origina con la división entera de números naturales y hay

una relación directa entre las propiedades de ambas divisiones. Así las operaciones

algebraicas de Polinomios, son análogas a las operaciones de los números Naturales.


3.1 DIVISIÓN DE POLINOMIOS

Para dividir dos monomios se divide los coeficientes y la parte literal y se tiene en

cuenta la división de potencia de bases iguales.

Toda división tiene las siguientes características.

Dividendo ( ) ( )D x d x divisor

Residuo ( )r x ( )q x cociente

3.2 DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR EL MÉTODO CLÁSICO

Ordenar tanto el dividendo como el divisor en potencias descendentes de la

variable.

Encontrar el primer término del cociente al dividir el primer término del

dividendo por el primer término del divisor.

Multiplique todo el divisor por el término del cociente que encontró en el paso

anterior, y coloque el producto a restar del dividendo.

Reste y sume el opuesto.

Repetir el proceso comenzando con el paso 2.

Ejemplo.

Dividir 25 6 8x x entre 2x

25 6 8x x 2x

25 10x x 5 4x

4 8x

4 8x

0



3.3 PRODUCTOS NOTABLES

Se denomina Producto Notable porque cada vez que se presenta, no se requiere efectuar

la operación sino directamente se escribe el resultado.

Principales Productos Notables

Binomio al Cuadrado

2 2 22a b a a b

2 2 22a b a a b

Suma por diferencia

2 2a b a b a b


Nivel I

1. Dividir por el Método clásico los siguiente Polinomios:

a) 3 25 2x x x entre x - 3

b) 4 3 28 2 3 13 8x x x x entre x –1

2. Indique el resto en: 4 24 4 8 2x x x ( usando el método clásico)

3. Indique la suma de coeficientes del cociente al dividir: 4 3 26 12 2 4 15

2 3

x x x x

x

4. Desarrolle:.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

5. En el producto de: , señale el término independiente.

Nivel II

1. Si la suma de dos números es 8 y su producto es 3, calcule el cociente entre la suma

de sus cuadrados y diferencia de dichos números.

2

2a

2

8a

2 2a b a b

21

22

a

7 7a a

3

3a

5 7a a

2 2

2 3 2 3x x



2. Indica el valor de verdad para cada una de las siguientes proposiciones:

a) 2 2 2a b a b

b) 2

2 8 2 8 2

c) 2 22 2 4a b a b a ab b

d) 2 22 2 4 8 4x x x

e) 27 7 49x x x

3. Si la suma de dos números es 8 y su producto es 3, calcular el cociente entre la suma

de sus cuadrados y diferencia de dichos números.

4. Si (x+3) personas donaron (x-3) billetes de 2 9x soles cada billete. ¿Cuánto se

recaudó?

5. Las Fabricas A y B producen pantalones, Si se conoce que en la fabrica A, produce

(3x-2) pantalones al día y que la fabrica B produce el triple; además cada pantalón

de la fábrica A se vende a $ (6x-4) y cada pantalón de la fábrica B a $(9x+6).

¿Cuál es el ingreso total si se vende el 100% de A y B?

Nivel III

1. La diferencia de los cuadrados de las edades de María y Lizet es 23 años. Si sus

edades corresponden a dos números consecutivos y María es la mayor, hallar la

suma de sus edades

2. En un esfuerzo por complacer la demanda de muchos clientes con el fin de mejorar

en el ahorro de espacio que ocupan actualmente las cajas de cereales, Kellogg's ha

decidido sacar como prueba una nueva caja en cuyo diseño se utiliza 8% menos

material que en las cajas convencionales, y de acuerdo a las dimensiones de esta se

espera mejorar la distribución en espacio de las mismas en las tiendas. comerciales.

Halle las dimensiones de la nueva caja si se sabe que el nuevo volumen es 5120

cm3 y que además se tiene: 2(x-2) cm. de alto, 2(x+2) cm. de ancho y x

2+4cm. de

largo (x 2)

3. La empresa gráfica Imagen Virtual ha recibido como un pedido

especial la elaboración de 40 foto retratos de la ciudadela de

Machu Picchu para ser entregada a una comisión de diplomáticos



argentinos que vinieron al Perú para tratar asuntos económicos. Si se sabe que el

marco con el que cuentan tiene forma cuadrada de lado x+4 cm. y que la foto es

también cuadrada de lado x-4 cm. Determine el área de la región sombreada, ya que

se desea saber la cantidad de material que se usará para adornar dicho marco.

4. Se quiere obtener una utilidad de 2000 soles por la venta de vestidos de gala, si se

sabe que el ingreso esta dado por la siguiente expresión (40x+100) en soles, el

precio de costo es de 30 soles la unidad y el costo fijo es de 1000 soles. ¿Cuántos

vestidos debe producir y vender para obtener dicha utilidad?

5. Las dimensiones de una piscina rectangular son:

(3x-12) m de ancho y (5x+20) m de largo. Se

quiere reducir la tercera parte del ancho y la

quinta parte del largo. Mencione las dimensiones

de cada lado si se sabe que el área ya reducida es

de 20 m2.

Referencia bibliográfica:


[1] 512.5

BELL/B Ignacio Bello Álgebra 290-339

[2] 515 Matella Antonyan, Linda Medina,

Piotr Winsniewswi

Precálculo

25-54



SESIÓN 10: FACTORIZACIÓN: ASPA SIMPLE Y MÉTODO DE RUFFINI


Reconoce un polinomio factorizado.

Identifica los métodos para factorizar.

Aplica los métodos de factorización para resolver ejercicios en un ambiente

matemático.

2. INTRODUCCIÓN

La factorización ha sido un tema del cual han tratado numerosos matemáticos

importantes, haciendo un recorrido por la historia de las matemáticas, específicamente

con la solución de ecuaciones polinómicas con coeficientes racionales. La factorización

es una de las herramientas más empleadas en el trabajo matemático para “transformar”

una expresión algebraica de manera conveniente, para resolver algún problema. Tiene

una importancia apreciable a través de la historia, es la solución de ecuaciones

algebraicas; de hecho, en un primer momento, la factorización surge ante la necesidad

de solucionar ecuaciones de segundo grado. Los babilonios, fueron los primeros que

resolvieron, ecuaciones cuadráticas. En unas tablillas descifradas por Neugebaveren

1930, cuya antigüedad es de unos 4000 años, se encontraron soluciones a varias de estas

ecuaciones, empleando el método conocido actualmente como “completar el cuadrado”.

Hace unos 4.000 años, los babilonios conocían la manera de encontrar la solución

positiva de ciertos tipos de ecuaciones cuadráticas. Tenían una "receta" muy precisa

para resolver ecuaciones del tipo x2 – bx = c.

3. FACTORIZACIÓN

3.1 DEFINICIÓN

Es el proceso por el cual un polinomio se expresa como una multiplicación de sus

factores primos (o potencias de sus factores primos) sobre un determinado conjunto

numérico.

3.2 OBSERVACIÓN

Generalmente la factorización se dará en el conjunto de los números racionales

(Q), pero debe tener en cuenta lo siguiente:

P(x) = (x2

+ 1)(x2 – 2) está factorizado sobre Q

P(x) = (x2

+ 1) )(x + √ )(x – √ ) está factorizado sobre R

P(x) = ( 2)( 2)( )( )x x x i x i está factorizado sobre C

4. CONTEO DE FACTORES

El número de factores primos de un polinomio (factorizado) se obtiene contando los

factores primos.



Ejemplos

a) P(x) = 3(x -1)3 (x+2)

4 (x+y)

5 tiene 3 factores primos que son: x – 1; x+2; x + y

b) Q(x) = ( 5x )(x - 4)2

(x2 +1)

5 (x

2 + y

2) tiene 4 factores primos que son: 5x, x – 4,

x2 +1; x

2 + y

2

5. MÉTODOS PARA FACTORIZAR

Existen diversos métodos para factorizar polinomios, entre ellos tenemos: factor

común y/o agrupación, identidades, aspa simple, completando cuadrados y Ruffini.

En este caso nos centraremos a factorizar polinomios por aspa simple y Ruffini.

5.1 MÉTODO DEL ASPA SIMPLE

Se aplica para factorizar polinomios de la forma:

P(x) = Ax2n

+ Bxn + C o P(x) = Ax

2m + Bx

my

m + Cy

2n

donde: ABC 0 {m,n} N

Procedimiento P(x) = Ax

2m + Bx

my

m + Cy

2n

A1xm C1y

n

A2xm C2y

n

Debe cumplirse: A1xm C2y

n +A2x

mC1y

n

Ejemplo 1: Factorizar el polinomio P(x,y) = 3x2 + 7x – 20

Solución 3x2 + 7x – 20

3x - 5 12x

x 4 - 5x

7x

Luego el polinomio queda factorizado de la siguiente manera

P(x, y) = (3x – 5)(x+4)

Ejemplo 2: Factorizar el polinomio Q(x,y) = 8x2 + 215xy – 27y

2

Solución 8x2 + 215xy – 27y

2

8x - y 216xy

x 27y - xy

215xy

Luego se obtiene el polinomio factorizado Q(x,y) = (8x – y) (x + 27y)

5.2 METODO DE RUFFINI

Se trata de buscar, para un polinomio P(x), factores de la forma ( x - a.). Para

hallar el posible valor de "a" se escogen los submúltiplos o divisores del término

independiente entre el coeficiente del primer término.



Si al reemplazar “x” por “a”, se obtiene que el valor numérico del polinomio

P(x) es cero, (P(a)=0) entonces (x – a) es un factor de P(x). y se factoriza:

P(x) = (x – a)Q(x), donde Q(x) es el cociente.

Para determinar los posibles divisores se toma todos los divisores del término

independiente divididos por el coeficiente del término principal.

Ejemplo 3: Factorizar: x3 + 2x2 - 17x + 6

Solución: Los posibles divisores de 6 son 1, 2¸ 3

1 2 -17 6 +

3 3 15 -6

* 1 5 -2 0

x2 + 5x – 2 este polinomio no se puede factorizar en Q

Luego tenemos (x - 3) (x2 + 5x - 2)

Ejemplo 4: Factorizar E(x) = x5 + 6x

4 + x

3 - 36x

2 - 20 x + 48

Solución:

Posibles divisores de 48: 1, 2¸ 3, 4, 6, 8, 12, 24, 48

Aplicando el método de Ruffini, en forma sucesiva:

1 6 1 -36 -20 48

1 1 7 8 -28 -48

1 7 8 -28 -48 0 (x - 1) es un factor

2 2 18 52 48

1 9 26 24 0 (x - 2) es un factor

-2 -2 -14 -24

1 7 12 0 (x + 2) es un factor

-3 -3 -12

1 4 0 (x + 3) es un factor

Obtenemos que:

E(x) = (x - 1) (x -2) (x +2) (x + 3) (x + 4) posee 5 factores primos.




1. Factorizar :

P(x, y) = x3y

2 + x

2y + x

2y

3 + xy

2

RESOLUCIÓN

Extraemos las letras comunes con menor exponente de cada término.

P(x,y) = xy (x2y + x + xy

2 + y)

Agrupamos convenientemente los términos del paréntesis.

P(x,y) = xy [(x+y) + xy (x + y)]

Extraemos el factor común:

P(x,y) = xy (x + y) (1 + xy)

2. Factorizar :

P(x, y) = (x2 - y)2 - (x - y2)2

RESOLUCIÓN

Reconocemos que se trata de una "Diferencia de cuadrados".

P(x,y) = (x2-y+x-y2)(x2-y-x+y2)

Agrupamos convenientemente el primer paréntesis.

P(x,y)=[(x+y)(x-y)+(x-y)](x2-x-y +y2)

Extraemos el factor común:

P(x,y)=(x-y)(x+y+1)(x2-x-y+ y

2)

3. Factoriza :

P(x) = x4 y - 2x3 y2 + x2 y3

RESOLUCIÓN

Extraemos el factor común de cada término.

P(x,y) = x2y (x2 - 2xy + y2)



Reconocemos en el paréntesis un "Trinomio cuadrado perfecto".

P(x,y) = x2y (x - y)2

de donde, los factores primos son:

x ; y ; (x - y)

4. Factoriza :

P(x) = xm+3 + xm + x5 + x2 - x3 – 1

RESOLUCIÓN

Agrupamos convenientemente por parejas, ya que la división en los tres grupos da x3.

P(x) = (xm+3+xm)+(x5+x2)-(x3+1)

Extraemos el factor común en cada paréntesis.

P(x) = xm (x3+1)+x2 (x3+1)-(x3+1)

al extraer el factor común se obtiene:

P(x) = (x3 + 1) (xm + x2 - 1)

Por suma de cubos, tenemos:

P(x) = (x+1) (x2-x+1) (xm+x2-1)

5. Factoriza :

P(x,y) = x2 - y2 - 8x + 16

RESOLUCIÓN

Se agrupa el trinomio cuadrado perfecto:

P(x,y) = (x2 - 8x + 16) - y2

Obteniéndose una expresión de la forma: P(x,y) = (x - 4)2 - y2

Aplicando la diferencia de cuadrados.

P(x,y) = (x - 4 + y)(x - 4 - y)




NIVEL I

1) Indicar los polinomios que estén factorizados.

(x+2)2+x B) x(x-3)+2 C) x–(x+1)

2 D) x(x+1)+x+2 E) (x+3)(x+4)

2) Sea P(x) = x(x-3)(x+1) ¿Cuál de las alternativas no es un factor algebraico de

P(x)?

A) x2 +3x B) x

2 – 1 C) x

2 + x D) x-2 E) x

2 - 2x - 3

3) ¿Cuál de las siguientes expresiones es un factor de k2 + 2k – 8?

A) k + 1 B) k + 2 C) k – 6 D) k – 3 E) k – 2

4) Factorice P(x)=x2 +(x - 2)

2 - (x+2)

2 – 9, e indique la suma de factores primos.

5) Factorizar el polinomio 225 – 30b + b2

y dar como respuesta la suma de sus

factores primos.

NIVEL II

1) Factorizar el polinomio (a + b)2 – 12(a + b) + 20

2) Factorizar el polinomio 36n2 + 84pn + 49p

2

3) Al factorizar los polinomios P(x) = ax2 + bx + c y Q(x) = ax

2 + cx + b tiene

un factor primo en común (ax – 1). Indique el valor de verdad de las siguientes

proposiciones:

I) Si a = 1 entonces a + b + b = 0

II) Si a = 1 entonces b = c

III) Si b = c entonces a/b = 2

A) VVV B) VFV C) VVF D) FFF E) VFF

4) Dado el polinomio P(x) = 3x2 + mx – 6; m E Z. Si es factorizable halle el menor

valor de m.

5) Al factorizar el polinomio por el método de aspa simple se obtuvo

P(x) = mx2 + 3x – 5

2x + 5

nx - 1 Halle m + n

6) Simplifique las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización

que corresponde:



a)

b)

( )

( )

NIVEL III

1) Factorizar P(x) = (x2 + 2x – 3)(x

2 + 2x + 2) – 6

2) Factorizar P(x) = x4 – 4x

3 – 3x

2 + 14x – 8

3) Dados los polinomios P(x) = 3x3

– 5x2 + ax – 6 y Q(x )= 2x

3 + bx

2 – x + 5.

Sabiendo que a,b E Z, Si posee un factor primo lineal en común. Halle el menor

valor de a + b.

4) Factorizar P(x) = x5 – 2x

4 - 3x

3 – x

2 + 2x + 3

5) Si: (x + m) y (nx + 2), son factores de: 3x2 +5x+2. Halle: (m – n) ; m, n Z

+

6) Al factorizar el polinomio P(x) = x4 + x

3 + x

2 + 3x – 6, determinar el valor de

verdad de los siguientes enunciados:

I) Posee 4 factores primos ( )

II) Posee dos factores primos lineales y un factor primo cuadrático ( )

III) Posee dos factores primos cuadráticos ( )



[1] 512.9

GUST

GUSTAFSON,

DAVID ÁLGEBRA INTERMEDIA 308 - 319

[2] 512.5

BELL/B BELLO, IGNACIO ÁLGEBRA 290 -335

LIBROS: Peterson, Jhn C. (2005). Matemática Básica: Álgebra, trigonometría y

geometría analítica.

PÁGINA ELECTRÓNICA: www.fices.unsl.edu.ar/.../matematica-GuiaN2-

ExpresionesAlgebraic.

http://es.scribd.com/doc/40098/GUIA-EJERCICIOS-DE

FACTORIZACION

http://www.fices.unsl.edu.ar/.../matematica-GuiaN2-ExpresionesAlgebraic

http://www.fices.unsl.edu.ar/.../matematica-GuiaN2-ExpresionesAlgebraic

http://es.scribd.com/doc/40098/GUIA-EJERCICIOS-DE



SESIÓN 11: ECUACIÓN LINEAL EN UNA VARIABLE

1. OBJETIVOS:

Identifica una ecuación lineal en una variable.

Plantea y resuelve una ecuación lineal de primer grado.

Traduce una situación problemática del lenguaje cotidiano al lenguaje

matemático.

2. LOGROS DE APRENDIZAJE: Al finalizar la unidad el estudiante resuelve

problemas vinculados a su entorno haciendo uso de las herramientas básicas del

álgebra como los polinomios, métodos de factorización y resolución de ecuaciones

lineales y cuadráticas, permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y

síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal.

Tenemos los siguientes casos:

EJEMPLO 1. ¿Cuánto debe de pesar una ficha de dominó, para que la balanza esté en

equilibrio?

Una forma de representarlo es 4D + 3 = 1D + 6

EJEMPLO 2. En el mismo sentido, ¿Cuánto pesa cada candado?

Una forma de representarlo es…………………………………………

EJEMPLO 3. Y por último, ¿Cuánto vale cada lupa?

Otra forma de representarlo es…………………………………………………………



En cada uno de ellos, tenemos la necesidad de representar a las cantidades y objetos por

medio de símbolos (letras o variables), entonces definiremos algunos conceptos

previamente para definir lo que es una ecuación.


DEFINICIONES.

VARIABLE O INCÓGNITA. Una variable es un símbolo o letra que sirve para

representar números o cantidades en una determinada expresión matemática.

Ejemplo. Sea la expresión matemática 12 5xy a . Las variables son las letras , ,x y a .

ECUACIÓN. Una ecuación es aquella igualdad entre expresiones matemáticas, en las

cuales posee al menos una variable o incógnita.

Observación. La palabra ecuación proviene del latin “aequare” que en español significa

igualar.

Ejemplos de ecuaciones:

a) 12 5 19x ecuación lineal en una variable.

b) 24 4 0x ecuación no lineal (cuadrática) en una variable.

c) 2 5 1x y ecuación lineal en dos variables.

d) 2 22 1x y ecuación no lineal (cuadrática) en dos variables.

e) 3 6x x ecuación lineal en una variable.

f) 6x y z ecuación lineal en tres variable.

Las ecuaciones reciben distinto nombre según las operaciones que afectan a las

incógnitas.

TIPOS DE ECUACIONES

Algebraicas

Trascendentales

La incógnita está afectada por relaciones trigonométricas, logarítmicas, etc.

A las ecuaciones la podemos clasificar como sigue:

Lo veremos en la sesión



ECUACIÓN ALGEBRAICA

Si la ecuación tiene una sola variable, incógnita ó cantidad desconocida diremos que

es una ecuación en una variable ó incógnita.

Si la incógnita está afectada por las operaciones de suma, resta, producto, potencia o

cociente se llama ecuación algebraica racional

ECUACIÓN ALGEBRAICA RACIONAL

Una ecuación algebraica racional es entera si la incógnita no está en ningún

denominador.

Ejemplos

(5 1)( 1) 0x x

13 3

2

xx

Una ecuación algebraica racional es fraccionaria si la incógnita está en algún

denominador.

Ejemplo 2

3 13

1

x

x

SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

El valor o valores de las incógnitas (variables) que hacen cierta la ecuación, se llaman

solución(es).

Ejemplos:

1. Sea la ecuación 4 3 5x , el valor 2x es la solución de la ecuación, pues

4 2 3 5

8 3 5

5 5

2. La ecuación 2 9 0x , tiene las soluciones 3, 3x x .

CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN

Es aquel conjunto de soluciones que tiene la ecuación.

EJEMPLOS:

1. De la ecuación 6 30 6x , el conjunto solución es . . 6C S .

2. De la ecuación 2 64 0x , el conjunto solución es . . 8, 8C S .



ECUACIONES EQUIVALENTES

Dos ecuaciones son equivalentes, si tiene el mismo conjunto solución.

ECUACIÓN LINEAL

Se denominan ecuaciones lineales o ecuaciones de primer grado a las igualdades

algebraicas con incógnitas de exponente 1.

Ejemplos:

1. 2 8 0x ecuación lineal en la variable x.

2. 6 7 4x x y ecuación lineal en las variable x, y.

3. 2 8 16q p ecuación lineal en las variables p, q.

ECUACIÓN LINEAL EN UNA VARIABLE

Dados los números reales a y b , una ecuación con una variable o incógnita se dice

lineal si es de la forma: 0ax b .

PROPIEDADES

1. Si a b entonces

a c b c ,

a c b c

Podemos sumar o restar cualquier número real c sin que altere la ecuación.

2. Si a b entonces

a c b c , se cumple para cualquier número real c sin que altere la

ecuación.

a c b c , se cumple para cualquier número real 0c sin que altere

la ecuación.

EJEMPLOS:

1.

2.

3.

4.

5.

Las primeras 4 ecuaciones son ejemplos

de ecuaciones lineales o ecuaciones de

primer grado.

Las ecuaciones 1, 2 y 3 tienen una

variable, mientras que las ecuaciones 4 y

5, tienen dos variables.



Para pensar…

Estas ecuaciones no son lineales. ¿Por qué?

MÁS EJEMPLOS

Resolvamos las siguientes ecuaciones

1. 3 1 8x

Una vez resuelta la ecuación es conveniente verificar que el o los valores obtenidos sean

soluciones de la ecuación, para ello se debe sustituir el valor o valores hallado en la

ecuación. La ecuación 3 1 8x tiene solución única 3x .

2. 3 4 7x x x

Para pensar…

En éste ejemplo, observamos que se obtiene

0. 0x . ¿Cuántas soluciones tiene esta igualdad?

3. 2 4 2x x

Para pensar…

En éste ejemplo, se obtiene

0 4 . ¿Tiene solución esta igualdad?

1.

2.

3.

4.

Aplicando propiedades

Se puede resolver “despejando”



4. 4 2

3 4

x x

Para pensar…

La solución es

100

7 , pertenece al conjunto de los números reales,

por tanto tiene solución en los reales.

En resumen, podemos concluir que una ecuación lineal o de primer grado puede tener:

a) La ecuación 2 5 25x tiene solución única 10x

b) La ecuación 0. 5x , no tiene solución, pues es imposible

que obtengamos una igualdad.

c) La ecuación 2 2x x x tiene infinitas soluciones, pues

es válida la igualdad para cualquier valor de x.

Podemos resumir, preguntándonos lo siguiente

¿Cuántas soluciones tiene una ecuación lineal?

Solución única

Ninguna

solución

Infinitas

soluciones



¿Cómo resolvemos problemas utilizando las ecuaciones lineales?

Para ello, debemos de tener en cuenta los siguientes pasos:

EJEMPLO.

De un depósito lleno de líquido se saca la cuarta parte del contenido; después la mitad

del resto y quedan aún 1500 litros. Calculemos la capacidad del depósito.

Lectura

comprensiva del

enunciado

Traducción al

lenguaje

simbólico

Capacidad del

depósito x

Un cuarto del

contenido

Mitad del resto

Quedan aun

1

4

1 1

2 4

1500

x

x x

litros

Expresión de la

ecuación

correspondiente

1 1 3

15004 2 4

x x x

Resolución de la

ecuación

1 31500

4 8

31500 4000

8

x x x

x x

Verificación del

resultado

obtenido

1 1 31500

4 2 4

1 34000 4000 4000 1500

4 8

4000 4000

x x x

Algunos ejemplos clásicos de ecuaciones lineales que se presenta del lenguaje

coloquial, al lenguaje simbólico.



Lenguaje coloquial Lenguaje simbólico

La suma de un número y su consecutivo 1x x

Un número par 2x

El siguiente de un número par 2 1x

La suma de tres números consecutivos 1 2x x x

La mitad de un número 2

x

La tercera parte de la diferencia entre dos

números 2

a b

El perímetro de un rectángulo 2 2l b

PASOS PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN LINEAL CON UNA VARIABLE

1. Se eliminan denominadores, multiplicando ambos miembros por el

mínimo común múltiplo de todos los denominadores que aparezcan.

2. Se eliminan los paréntesis, teniendo en cuenta que un signo negativo

delante de un signo de colección cambian de signo a todos los términos

que se encuentran dentro.

3. Se transponen términos, agrupando los que tengan la incógnita en un

miembro y los que no la tengan en el otro.

4. Se reducen los dos miembros.

5. Se despeja la incógnita; para tener la seguridad que el valor hallado es

el correcto, se comprueba la solución sustituyéndola por la incógnita en la

ecuación inicial.



EJERCICIOS RESUELTOS:

1. Traducir cada una de las siguientes expresiones verbales en expresiones matemáticas,

usando alguna variable para las cantidades desconocidas.

a ) El duplo de un número………2x b) La quinta parte de un

número……x/5………

c) Tres números consecutivos: x, x+1, x + 2 d) El doble de un número, mas siete: 2x + 7

2. Traducir las expresiones verbales en expresiones matemáticas, usando la variable “x”

a) El doble de un número, mas 7 : 2x + 7

b) El doble de un número más 7 : 2(x + 7)

c) El triple de un número, disminuido en 6 : 3x – 6

d) El triple de un número disminuido en 6 : 3(x – 6)

3. Si al doble del dinero que tengo, le aumento cuatro soles, tendría S/. 40 ¿Cuánto es la

fue la cantidad inicial?

Solución:

Sea “C” la cantidad inicial

El doble de la cantidad inicial: 2C

El doble de la cantidad inicial, aumentado en 4: 2M + 4…. Planteando la ecuación:

2M + 4 = 40 2M = 40-4 2M = 36 M = 18

4. Alberto tiene 40 años y su hijo Juan 12 años. ¿Cuántos años hace que la edad de

Alberto era 5 veces la de Juan?



Solución:

Para ordenar mejor los datos, podemos distribuirlos en una tabla:

Edades hace “x” años Edades actuales

Alberto 40 – x 40 años

Juan 12 – x 12 años

40 – x = 5(12 – x)

40 – x = 60 – 5x 4x = 20 x = 5

Hace 5 años la edad de Alberto era 5 veces la edad del Juan

5. Un reloj marca las 3 en punto. ¿A qué hora entre las 3 y las 4 se

superpondrán las agujas?

Solución.

Observación: El ángulo o arco descr i to que recorre el minutero

es s iempre 12 veces mayor que el arco que describe la aguja

horaria.

x es el arco que describe la aguja horaria.

(15 + x) es el arco que describe el minutero.

15 + x = 12x

x = 15/11 min

Las agujas se superpondrán a la 3 h 16 min 21 s




NIVEL I

1) Traducir cada una de las expresiones verbales en expresiones matemáticas, usando

la variable x para la cantidad desconocida.

a) El cuadrado de la mitad de un número: …………………..….…..………….

b) La suma de tres números impares consecutivos: …………..…...…….……..

c) Siete veces el exceso de un número sobre ocho: ………….…….…..….…..

d) El doble del cubo de un número: ………………………………….….……..

e) Un número disminuido en sus dos novenos: …………………….………….

f) El cuadrado de la mitad de un número: ………………………………….…

g) La altura de un niño aumentada en 10 cm. ………………………………….

h) El cuadrado de la cantidad de enfermos de una clínica, aumentado en

30………

i) El peso de una persona aumentada en sus 2/3 .……….………….………

j) El doble, de la mitad más la tercera parte, más la cuarta parte de mi

dinero…….

2) Identifique una ecuación lineal en una variable:

a) 2 4 12x

b) 2 4 6 0x x

c) 2 4 12p q

d) 12 5p q

e) 4 5q p

f) 20 6 12q q

g) 30 5 120 2q q q

3) Resuelva las siguientes ecuaciones lineales:

a) 2x + 3= x + 6

b) 9x + 9 = -3x +25

c) 4x + 6 – 2x = x – 6 + 24

d) 300x – 250 = 150x + 750

e) 2,5x+0,5x=1,5x+4,5

f) 15y – (3 – (4y + 4) ) = 2 – y

g) 4

5 03

x

h) 1

32 5

xx



NIVEL II

1) Qué número hay que restarle a los dos términos de la fracción 9

7para que el valor de

ella sea 5

3 .

2) Un número aumentado en sus 7

3 es igual a 20. ¿Cuál es ese número?

3) Me falta “a” soles para comprar “m” pares de zapatos y me sobra “b” soles si

compro “m-1” pares, luego el costo de un par de zapatos es:

4) Un padre tiene 30 años y su hijo 4. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era tres

veces la del hijo.

5) Un paciente de esquizofrenia debe tomar 410 pastillas para un determinado

tratamiento, si cada 2 horas debe tomar 2 pastillas, ¿Cuántos días duro el tratamiento?

6) Una persona depositó en un banco S/. 1480. Si su depósito consistió en 60 billetes,

algunos de 10 nuevos soles y el resto de cincuenta nuevos soles. ¿Cuántos billetes de

mayor denominación depositó?

NIVEL III

1) Una compañía fabrica dos productos, A y B. Cada unidad de A requiere tres horas de

trabajo y cada unidad de B requiere cinco horas de trabajo. La capacidad de

producción diaria es de 240 horas laborales.

a) Si se producen cada día x unidades del producto A y y unidades del producto B y

se aprovechan todas las horas laborales, determine la ecuación lineal que requiere

el uso de 240 horas de trabajo por día.

b) ¿Cuántas unidades de A se pueden hacer cada día si se producen 30 unidades de B

a diario?

c) ¿Cuántas unidades de A se pueden hacer por semana si cada día se producen 12

unidades de 5? (Suponga una semana de cinco días laborales.)

2) La ciudad de Nueva York recibió una donación federal de $100 millones para

mejorar el transporte público. Los fondos se usarán sólo para la compra de nuevos

autobuses, la compra de nuevos carros de transporte subterráneo o la

repavimentación de las calles de la ciudad. Los costos estimados son $250 000 por

autobús, $200 000 por carro de transporte subterráneo y $500 000 por milla

repavimentada. Los funcionarios de la ciudad quieren determinar diferentes maneras

de gastar el dinero donado.

a) Defina las variables de decisión y escriba la ecuación que asegura el gasto

completo del donativo federal.



b) Si se determinó comprar 100 autobuses y 200 carros de transporte subterráneo

nuevos, ¿cuántas millas de calles de la ciudad se pueden repavimentar?

c) Si los funcionarios desean gastar todo el dinero en un solo tipo de mejora, ¿cuáles

son las diferentes posibilidades?

3) Una empresa nacional inicia una campaña publicitaria por televisión, radio y

periódicos. El objetivo es que 10 millones de personas vean los anuncios. La

experiencia pasada indica que por cada $ 1 000 asignados a la publicidad en

televisión, radio y periódicos, 25 000, 18 000 y 15 000 personas respectivamente

verán la publicidad. Las decisiones que se deben tomar son cuánto dinero se debe

asignar a cada tipo de publicidad con el fin de llegar a 10 millones de personas.

Determine la ecuación cuyo conjunto solución especifique todas las diferentes

asignaciones publicitarias que darán como resultado el logro de este objetivo. Si

sólo se debe usar un medio, ¿cuánto dinero se debe invertir en cada medio para

llegar a 10 millones de personas?


# CÓDIGO-L AUTOR TÍTULO

[1] 512.9 GUST Gustafson, David Álgebra Intermedia

[2] 512.13 SULL Sullivan, Michael “Algebra Y Trigonometría”



SESIÓN 12. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES LINEALES EN UNA

VARIABLE

1. OBJETIVOS:

Reconoce e interpreta la incógnita de un problema cotidiano dado.

Traduce una situación problemática del lenguaje cotidiano al lenguaje matemático

A partir de una situación real, plantea y resuelve problemas utilizando ecuaciones

lineales.



haciendo uso de las herramientas básicas del álgebra como los polinomios, sus

propiedades, métodos de factorización y resolución de ecuaciones lineales y

cuadráticas; permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y síntesis, para

aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal.


En la producción de cualquier bien por una empresa, intervienen dos tipos de costos; que

se conocen como los costos fijos y costos variables.

Costo fijo: Es el monto total en la cual no se modifica de acuerdo con la actividad de

producción. En otras palabras, se puede decir que los costos fijos varían con el tiempo

más que con la actividad.

Ejemplos. Las rentas, intereses sobre préstamos y salarios de administración.

Costo unitario: es el costo de producir cada unidad.

Costo variable: son aquellas cantidades que dependen mucho del nivel de producción,

es decir de la cantidad de artículos producidos.

Todo aquel costo que aumenta o disminuye según la producción, se le conoce como costo

variable. El costo variable nos permite maximizar los recursos de la empresa, puesto que

esta sólo requerirá de los costos que estrictamente requiera la producción, según su nivel.

Ejemplos. Los costos de los materiales y de la mano de obra.

MODELOS DE COSTO LINEAL

Costo total ( ) = Costo fijo ( ) + Costo variable ( )

ó



Sea p , el precio de venta unitario; q el número de unidades producidas y/o vendidas

Ejemplo 1. Sea la ecuación del costo de una cierta empresa 200 25C q . Diga cuál es

el costo fijo, el costo unitario. ¿Cuál es el costo para 10 unidades?

fC =…… vC ……. (10)C ……

Es el dinero que entra en poder de una persona o de una organización. Un sujeto puede

recibir ingresos (dinero) por su actividad laboral, comercial o productiva.

Ejemplo 2. Sea la ecuación del ingreso de una cierta empresa 60I q . Diga ¿cuál es el

precio de venta unitario?, y ¿cuál es el ingreso para 15 unidades?

p =…… (15)I ……

Beneficio, lucro o provecho que se obtiene de la realización de una actividad.

Específicamente, en las actividades comerciales es el beneficio obtenido como diferencia

del precio de compra y venta de un producto.

ANÁLISIS DEL PUNTO DE EQUILIBRIO

Si el costo total de producción excede al de los ingresos obtenidos por las ventas,

entonces el negocio sufre una pérdida. Por otro lado, si los ingresos son mayores a los

costos, esto quiere decir que hay ganancia, que existe utilidad en el negocio.

Si el costo de producción es igual a los ingresos obtenidos por las ventas (C = I), no hay

pérdida ni ganancia, entonces el negocio está en el punto de equilibrio. El número de

unidades producidas y vendidas en éste caso se denomina punto de equilibrio (o

cantidad de equilibrio) y al precio, se le denomina precio de equilibrio. Con esta

INGRESO TOTAL

Ingreso total = precio de venta unitaria el número de unidades vendidas

UTILIDAD TOTAL

Utilidad total = Ingreso total – Costo total



información nos permite saber que produciendo y vendiendo una unidad mas, la empresa

estaría ganando, caso contrario, la empresa estaría perdiendo.

CONTENIDOS BÁSICOS

¿Qué es ABP?

El ABP es un método de enseñanza - aprendizaje llamado Aprendizaje Basado en

Problemas cuya característica es que primero se presenta el problema, se identifican las

necesidades de aprendizaje, se busca la información necesaria y finalmente se regresa al

problema para darle solución.

Nota: La forma más eficiente de desarrollar un ABP es trabajando en equipo y siguiendo

los siguientes pasos:

1. Leer hasta la comprensión del problema

2. Recolectar la información proporcionada en el texto.

3. Ampliar la información buscando en libros, bibliotecas, internet, etc.

4. Discutir sobre la información obtenida, plantear el problema.

5. Resolver el problema, concluir.

EJEMPLOS RESUELTOS

1. Un fabricante puede vender cierto producto en S/. 60 la unidad. El costo total consiste

de un costo fijo indirecto de S/. 1 200 más los costos de producción de S/. 20 la

unidad. ¿Cuántas unidades debe de vender el fabricante para no perder ni ganar?

Solución.

Según los datos expuestos, podemos plantear las ecuaciones del ingreso total y del

costo total:

xIxCCC VF 60,120020 . Para que no haya ganancia ni pérdida, el

ingreso debe ser igual al costo, es decir:

.3012004060120020 xxxx Por tanto, el fabricante debe producir y

vender 30 unidades para que no pierda ni gane.

2. Para una compañía que fabrica zapatillas, el costo combinado de mano de obra y

material es $10 por zapatilla. Los costos fijos (los costos de un período dado sin

importar la producción) son de $80000. Si el precio de venta de una zapatilla es de



$30, ¿Cuánto unidades se debe vender para que la compañía tenga utilidades de $

10,000?

Solución.

Según los datos del problema, podemos plantear las ecuaciones del costo, ingreso y

utilidad de la empresa como sigue:

.000,8010,30 CIUxCxI Reemplazando y simplificando se tiene:

.4500000,10000,8020000,10 xxU Se debe de producir y vender 4500

unidades para llegar a una utilidad de 10, 000 dólares.


NIVEL I

De la pregunta 1 al 5 resuelva individualmente.

1. ¿Cuál es el número cuyo triplo es igual a su duplo más de 20?

2. Sea la ecuación del costo de una cierta empresa 24 5C x . Diga cuál es el costo fijo,

el costo unitario. ¿Cuál es el costo para 10 unidades?

3. Sea la ecuación del ingreso de una cierta empresa 40I q . Diga ¿cuál es el precio de

venta unitario?, y ¿cuál es el ingreso para 15 unidades?

4. El ingreso mensual de una guardería por el cuidado de x niños esta dado por

450I x , y los costos mensuales totales están dados por 380 3500C x . ¿Cuántos

niños se necesitan inscribir mensualmente para llegar al punto de equilibrio?

5. Una compañía de refinación de maíz produce gluten de maíz para alimento de ganado

con un costo variable de $ 76 por tonelada. Si los costos fijos son $ 110,000 por mes y el

alimento se vende en $ 126 por tonelada. ¿Cuántas toneladas deben venderse para que la

compañía tenga utilidad mensual de $ 540,000?

6. Un fabricante de cartuchos para juego de videos, vende cada cartucho en $ 20. El

costo de fabricación de cada cartucho es de $ 12. Los costos fijos mensuales son de

$ 8000. Durante el primer mes de ventas de un nuevo juego ¿Cuántos cartuchos debe

vender el fabricante para llegar al punto de equilibrio?

7. El fabricante de cierto producto puede vender todo lo que produce al precio de $ 20

cada uno. Le cuesta $ 12 producir cada artículo por los materiales y la mano de obra, y

tiene un costo adicional de $ 7 000 al mes con el fin de operar la planta. Encuentre el



número de unidades que debe producir y vender para obtener una utilidad de $ 4 000 al

mes.

NIVEL II

1. Un comerciante t iene dos clases de café, la primera a 40 € el kg y

la segunda a 60 € el kg. ¿Cuántos ki logramos hay que poner de

cada clase de café para obtener 60 ki los de mezcla a 50 € el kg?

2. La compañía de cosméticos “Naturaleza” vende 300 unidades de un perfume cuyo

precio unitario es de $60. Por cada disminución de $5 en el precio se venderán 45

unidades más. Determine el precio que tenga ingresos de $19500.

3. Suponga que los consumidores comprarán “q” unidades de un producto al precio de

10002

q dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberán vender para obtener un

ingreso de $ 5000?

4. Se sabe que los consumidores comprarán “q” unidades de un producto al precio de

20010

q dólares por unidad. ¿Cuántas unidades deberán vender para obtener un ingreso

de $ 4000?

5. Anita acaba de ingresar a trabajar en Hipermercados Montecarlo. Usted está

comprando 15 pijamas para caballeros. El precio de venta de cada pijama es de S/. 71,40

y en este precio está incluido el IGV del 19%. Anita, dada su falta de experiencia, le

solicita que le ayude a llenar la boleta de venta.

a) Calcule el precio unitario sin IGV.

b) Calcule el valor de venta sin IGV.

c) Calcule el subtotal.

d) Calcule el IGV.

6. Si C es igual a grados Celsius y F equivale a grados Fahrenheit, suponga que la

relación entre las dos escalas es lineal y se gráfica con F en el eje vertical. Dos puntos de

datos en la línea que relacionan C y F son (5, 41) y (25, 77). Usando estos puntos,

determinar la ecuación de la pendiente-intercepción que permite transformar de

temperatura Celsius a temperatura Fahrenheit. Identifique e interprete el significado de la

pendiente, de la intercepción de C y la intercepción de F.

NIVEL III



1. El precio de un medicamento, sin IGV, es de 18,75 soles. Sabiendo que el IGV es el

4%, ¿cuál será su precio con IGV?.Si otro medicamento cuesta 23,4 soles con IGV,

¿cuál será su precio sin IGV?

2. Un distribuidor de automóviles paga al fabricante $85,000 por un modelo estándar.

Juan acaba de comprar uno de estos autos en $92,000 y debe pagar 15% de impuesto

sobre este precio. Por otra parte el distribuidor debe pagar sobre su utilidad un

impuesto federal de 22% y un impuesto estatal de 11%. Calcula los impuestos que

deben pagar el distribuidor y el comprador.

3. Determine una ecuación cuyo conjunto solución contenga todas las combinaciones

posibles de los cuatro artículos que ocupará en su totalidad la capacidad de volumen

del avión.

Artículo Vol./contenedor, pie³

Sangre 20

Paquetes de medicina 30

Alimentos 8

Agua 8

4. La Cruz Roja Internacional planea hacer un puente aéreo de emergencia para

transportar alimentos y medicamentos a una gran ciudad de Sudamérica que sufrió

una extensa inundación en fechas recientes. Se transportarán cuatro artículos en

contenedores para ayudar en la recuperación de la inundación. En la tabla siguiente

aparecen los cuatro artículos y sus volúmenes respectivos por contenedor. El primer

avión que se enviará al área tiene una capacidad de volumen de 6000 pies cúbicos.

5. El costo unitario de publicación de una revista es de $ 0.65 se vende al distribuidor

en $ 0.60 cada una, y la cantidad que recibe por publicidad es el 10% de la recibida

por todas las revistas vendidas arriba de 10000. Diga cuantas revistas tiene que

producir y vender para que sus ganancias sea de 1000 dólares.

REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA


[1] 512.9 GUST GUSTAFSON, DAVID ÁLGEBRA INTERMEDIA




SESIÓN 13: ECUACIONES CUADRÁTICAS


Identifica y clasifica una ecuación cuadrática.

Determina los métodos de solución de una ecuación cuadrática.

Analiza la naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática.

Establece y utiliza las propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática.

2. INTRODUCCION

NOTA HISTÓRICA

Alrededor del siglo I dC. los matemáticos chinos escribieron el libro Jiu zhang suan

shu ( que significa El Arte del cálculo), en el que plantearon diversos métodos para

resolver ecuaciones de primero y segundo grado, así como sistemas de dos

ecuaciones con dos incógnitas. Con su ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de

representar números positivos y negativos.

Diofanto es uno de los matemáticos que dio fama a Alejandría, trabajó con gran

perfección en la resolución de ecuaciones cuadráticas.

CONCEPTUAL

La ecuación cuyo primer miembro es un polinomio de segundo grado, con respecto a

la incógnita x, y el segundo miembro es igual a cero, se denomina cuadrática. La

forma general de la ecuación cuadrática (o ecuación de segundo grado) es: 2 0ax bx c . Los números a, b y c se denominan coeficientes de la ecuación

cuadrática. Donde “a” es el primer coeficiente, o coeficiente del término principal;

”b”, el segundo coeficiente, o coeficiente de la incógnita de primer grado; y “c” el

término independiente.

3. APLICACIÓN

Suponga que un comerciante venderá q unidades de

impresoras láser, cuando el precio es de (110-q) dólares

por unidad. Determine el número de unidades que debe

vender a fin de obtener un ingreso por ventas de 3000

dólares. Además se sabe que debe vender más de 50

unidades.



4. TEORÍA

4.1 Definición:

Son aquellas ecuaciones que adquieren la forma general: 2 0ax bx c .

Donde: 2 se denomina término cuadráticoax

se denomina término linealbx

se denomina término independientec

Se debe cumplir que: 0 ; ;a a b c R

Observación (1): Si en la ecuación cuadrática de la forma general 2 0ax bx c uno de los coeficientes, b ó c, es igual a cero, o ambas a la vez

son iguales a cero, la ecuación cuadrática, se denomina incompleta.

Ejemplos:

Ecuaciones de segundo

grado completas

Ecuaciones de segundo

grado incompletas 2 3 2 0x x

23 4 0x x 22 3 0x x

2 5 0x x 24 25 0x

2 8 0x

4.2 Métodos de Solución:

Toda ecuación de segundo grado tiene dos soluciones o raíces, las que

obtendremos aplicando los dos métodos siguientes.

4.2.1 Por factorización: Consiste en factorizar por el método apropiado y luego

se iguala cada factor a cero, despajando en cada caso el valor de la variable.

Ejemplos:

Resuelva 2) 9 18 0a x x

2)7 5 0b x x

Solución:



4.2.2 Por fórmula: Dada la ecuación de segundo grado 2 0ax bx c

podemos obtener sus dos raíces o soluciones aplicando la siguiente fórmula:

2

1,2

4

2

b b acx

a

Observación (2): Se recomienda aplicar esta fórmula cuando el polinomio no es

factorizable por los métodos conocidos.

Ejemplo: Resuelva: 2 2 4 0x x

En esta ecuación 1, 2, 4a b c aplicando la fórmula

2

2 2 4 1 ( 4) 2 4 16 2 20 2 2 5

2 1 2 2 2x

1

2

1 5

1 5

x

x

. 1 5,1 5C S


Ejercicio 1. Resuelva: 25 1 2(2 7 ) 8x x x x

Resolución:

2

2 2

2

2

5 1 2(2 7 ) 8

5 5 4 14 8

9 8

9 8 0

+8

+1

( 8)( 1) 0

8 1

. 8; 1

x x x x

x x x x

x x

x x

x

x

x x

x x

C S

Ejercicio 2. Resuelva: 23 3 2x x

Resolución: ordenando se tiene

23 2 3 0x x



2

2 2 4 (3) ( 3) 2 4 36 2 40 2 2 10

2 3 6 6 6x

1 10

3

1 10

3

1 10 1 10. ;

3 3C S

Ejercicio 3. Resuelva: 2

31 1

x x

x x

Resolución:

2

2

2

2

2

2

31 1

Restricciones: 1

31 1

31

3 3

0 2 3

2 3 0

+3

1

3 1 0

3 1

. 3

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

x x x

x x

x x

x

x

x x

x x

C S




Nivel I

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1) 2 2x x

2) 236 25x

3) 2 16 0x

4) 2 0x x

5) 4100 0x

6) 2 4 0x x

7) 2 40 0x x

8) 2 20 0x

Nivel II

Resuelva las siguientes ecuaciones cuadráticas:

1) 2 5 6 0x x

2) 2 12 36 0x x

3) 2 2 15 0q q

4) 2 10 25 0p p

5) 2 7 3 0q q

6) 2 2 3 3x x

7) 212 19 10x x

8) 2 3 1

2 05 5

x x

Nivel III

1) Para vallar una finca de 750 m2 se han utilizado 110 m de cerca. Calcular las

dimensiones de la finca.

2) Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de ancho está rodeado por un

camino de área uniforme. Hallar la anchura de dicho terreno si se sabe que su

área es de 540 m2.

3) Se debe preparar un terreno cuadrado para sembrarlo y cercarlo con alambre. Si

el cesto por preparar el terreno es de $0.5 dólares por metro cuadrado, y la cerca

cuesta $1 dólar el metro lineal. Determinar las dimensiones del terreno si el

costo por prepararlos y cercarlo es de $120 dólares.

Bibliografía:


[1] 512.9

GUST Gustafson, David “Álgebra Intermedia”

[2] 512.13 SULL Sullivan, Michael “Algebra y Trigonometría”



SESIÓN 14: PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS

VINCULADOS A LA GESTIÓN


Plantea y resuelve problemas de contexto real relacionados con su especialidad

haciendo uso de la teoría de ecuaciones cuadráticas.

2. INTRODUCCIÓN

Por lo analizado la sesión anterior, una ecuación de segundo grado o cuadrática es

aquella de la forma: 2 0ax bx c Los números a, b y c se denominan

coeficientes de la ecuación cuadrática. Donde “a” es el primer coeficiente, o

coeficiente del término principal; ”b”, el segundo coeficiente, o coeficiente de la

incógnita de primer grado; y “c” el término independiente. En esta sesión

estableceremos la utilidad de la solución de una ecuación cuadrática al analizar,

plantear y resolver una situación de contexto real vinculado a su especialidad. Las

ecuaciones cuadráticas presentan un sin número de aplicaciones, entre ellos

tenemos algunos problemas de economía que dan lugar a una ecuación de segundo

grado.

3. FUNDAMENTO TEÓRICO:

Necesitaremos hacer uso de los dos métodos de resolución de una ecuación

cuadrática analizados en la sesión anterior:

Método de factorización.

Método de la fórmula cuadrática.

También es importante recordar algunos conceptos económicos que utilizaremos

al abordar algunos tipos de problemas aplicativos.

U I C Donde:

:

:

:

U Utilidad

I Ingreso Total

C Costo Total

.VI p q Donde: :

:

vp Precio de venta unitario

q cantidad de artículos



F VC C C Donde: : cos

: cos var

F

V

C to fijo

C to iable

: .V UC C q Donde: : cos

:

UC to unitario

q cantidad de artículos

4. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Con fines de determinar los montos de prima que debe pagar un asegurado, una

compañía aseguradora de salud necesita conocer la edad del afiliado; si se sabe

que dentro de 11 años la edad de este será la mitad del cuadrado de la edad que

tenía hace 13 años. Determine la edad actual del afiliado.

Solución:

Sea x: edad actual

x-13: edad hace 13 años

x+11:edad dentro de 11 años

Luego:

2

2

2

1311

2

2 22 26 169

28 147 0

21

7

21 7

xx

x x x

x x

x

x

x x

Por lo tanto la edad actual del afiliado es 21 años. (No puede ser 7 pues

hace 13 años tendría -6 años, lo cual es imposible, la edad nunca es

negativa.)

2. Un artículo de venta de una conocida tienda por departamentos tiene forma

rectangular y se sabe que es 4cm. Más larga que ancha. Además con ella se

construye una caja de 840 cm3 cortando un cuadrado de 6 cm. de lado en cada

esquina y doblando los bordes. Determine las dimensiones de la caja construida.

Solución:

Luego:



2

2

6 12 4 12 840

( 12)( 8) 140

20 96 140

20 44 0

22

2

22 2

x x

x x

x x

x x

x

x

x x

Por lo tanto las dimensiones de la caja construida serán: 6cm., 26 cm. y 22 cm.

3. Mensualmente una compañía puede vender “x” unidades de cierto artículo a p

soles cada uno, donde p = 1400-40x. Determine el número de artículos que debe

vender la compañía para obtener un ingreso de 12000 soles, si se sabe que la

cantidad por vender debe ser mayor a 17 unidades.

Solución:

Sean

x: # de unidades vendidas.

P=1400-40x

I=12000

Se sabe que .VI p q luego:

2

2

2

(1400 40 ) 12000

1400 40 12000

40 1400 12000 0

35 300 0

20

15

20 15

x x

x x

x x

x x

x

x

x x

Por lo tanto el número de artículos por vender será 20.




PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS VINCULADOS A LA

GESTIÓN

Nivel I

1. Si se multiplica el menor y el mayor de tres números pares consecutivos, se

obtiene un número que es el cuádruple del mayor. Halle la suma de los 3

números.

2. Para cercar un terreno rectangular de 72m2, se han utilizado 36m de cerca.

Determine las dimensiones del terreno.

3. Una compañía ha decidido comprar un terreno para las nuevas instalaciones del

departamento de almacén, si se sabe que el largo del terreno de forma

rectangular excede en 6 metros al ancho. Además si el ancho del terreno fuera el

doble y el largo 8 metros menos de lo que es, el área no variaría. Determine el

perímetro de dicho terreno.

4. Suponga que los clientes comprarán q unidades de memorias USB, si el precio

es de nuevos soles cada uno. ¿Cuántas unidades deben venderse para que el

ingreso por ventas sea de 400 nuevos soles?

Nivel II

5. El denominador de una fracción es 5 unidades más que su numerador. Si se

suma 3 al numerador y al denominador, la fracción resultante es más que la

fracción original. Halle la fracción original.

6. ¿Cuál es el número natural cuyo cuadrado excede a su triple en 28? Dé como

respuesta el resultado que se obtiene a elevar el número pedido al cuadrado y

restarle 28.

7. Se quiere usar un terreno rectangular de 4m. de ancho y 8m. de largo para

plantar un jardín. Si se desea construir una vereda de ancho constante en todo el

http://www.google.com.pe/imgres?q=memorias+usb&hl=es&gbv=2&biw=1366&bih=673&tbm=isch&tbnid=8Zw3K0caCjmKlM:&imgrefurl=http://limacallao.olx.com.pe/venta-de-memorias-usb-kingston-y-data-traveler-rematazo-iid-113026761&docid=o591cZbKhVLEdM&imgurl=http://images04.olx.com.pe/ui/8/68/61/1281371601_113026761_1-Venta-de-Memorias-Usb-Kingston-y-Data-Traveler-Rematazo-San-Martin-de-Porres-1281371601.jpg&w=625&h=461&ei=ASvHT5xKpNXRAZCDma4P&zoom=1&iact=hc&vpx=584&vpy=171&dur=111&hovh=193&hovw=261&tx=168&ty=115&sig=110690709004870533019&page=2&tbnh=150&tbnw=206&start=21&ndsp=24&ved=1t:429,r:8,s:21,i:195



borde de manera que quede 12m2 para dicho jardín. Determine cuál debe ser el

ancho de la vereda.

8. Una compañía de muebles para computadoras tiene la ecuación de ingresos

mensuales dada por I= (450p - 9p²), donde p es el precio en dólares de cada

mueble. Determine el precio de cada mueble, para que el ingreso mensual sea de

5400 dólares, si el precio debe ser mayor de 25 dólares.

Nivel III

1. Se tiene un terreno rectangular ABCD, en el que se desea plantar un jardín y

construir una vereda de ancho constante e igual a 2m. y que atraviese el centro

del jardín, tal como se indica en la figura. Si el área de todo el jardín es de

672m2, determine el perímetro del terreno ABCD.

2. Un fabricante de pantalones puede vender q unidades semanales al precio de p

dólares por unidad, en donde p = (185-q).El costo total de producir q unidades

de pantalones es de (2800+45q) dólares .Halle el número de pantalones que

debe venderse a la semana para obtener una utilidad de 2000 dólares, si el

número de pantalones debe ser mayor de 70.

2 (x+2) (x+2)

x x

x x

2 (x+2) (x+2)



3. Esteban es propietario de un edificio de apartamentos que tiene 60 habitaciones.

Él puede alquilar todas las habitaciones si fija un alquiler de $180 al mes. Al

subir el alquiler, algunas de las habitaciones quedarán vacías; en promedio, por

cada incremento de $5, una habitación quedará vacía sin posibilidad de

alquilarse. Determine el alquiler que debería cobrar con el fin de obtener un

ingreso total de $11475.

4. Un fabricante de relojes de pared tiene un ingreso de I (q)= 100q2, donde “q”

representa la cantidad de relojes producidos y vendidos. Si el costo total está

dado por la ecuación C (q)=36q2 + 4096q. Calcule la cantidad de relojes de

pared que se debe vender para obtener el punto de equilibrio.

5. Un fabricante puede vender “x” unidades de un producto cada semana al precio

de p dólares por unidad, donde p = 200 – x. El costo de producir “x” unidades es

2800+45x. Determine:

a. ¿Cuántas unidades debería vender a la semana si desea generar ingresos por

$9600?

b. ¿A qué precio por unidad generaría un ingreso semanal de $9900 ?

c. ¿Cuántas debería producir y vender el fabricante a la semana para obtener

una utilidad de $3200?

d. ¿A qué precio por unidad generaría el fabricante una utilidad semanal de

$3150?

Bibliografía:


[1] 512.9

GUST GUSTAFSON, DAVID ÁLGEBRA INTERMEDIA




UNIDAD IV: GEOMETRÍA

SESIÓN 15: PERÍMETROS Y ÁREAS DE FIGURAS PLANAS

1. LOGRO DE APRENDIZAJE


haciendo uso de los principios básicos de la geometría, como el cálculo de perímetros y

áreas de figuras planas; permitiendo al estudiante incrementar su nivel de análisis y

síntesis, para aplicarlo en situaciones diversas en forma individual y grupal.

INVESTIGANDO EL NÚMERO:

Seguramente hayas realizado alguna vez algún cálculo con el número pi; por ejemplo,

calcular la longitud de alguna circunferencia o el área de un círculo. En estos cálculos

habrás utilizado valores como 3,14 ó 3,1416 ó 3,141592.

En Matemáticas e innumerables situaciones de la vida diaria, está presente este famoso

número que se simboliza por la letra griega (pi).

A continuación realizaremos una actividad experimental con los envases cilíndricos que

se solicitó en la sesión anterior. Con una cinta de papel rodea cada objeto cilíndrico y

marca sobre ella una vuelta. Luego extiende la cinta y mide con una regla la longitud de

una vuelta. Además, mide el diámetro de este objeto y registra los valores de las

mediciones en la siguiente tabla:

Objeto Longitud de

una vuelta( p)

Longitud del

diámetro (d)

Cálculo de

p

d

Calcula el promedio de las 6 divisiones realizadas (P: d) ¿Cuál es su valor? ¿Cómo es

este valor con respecto al que obtuvo el resto de los compañeros del curso?



2. DEFINICIONES BÁSICAS SOBRE ÁREAS Y PERÍMETROS DE FIGURAS

PLANAS

Perímetro (2p) : Es el resultado de sumar la longitud de los lados de un

polígono; o es la medida del contorno de la figura; o también, la longitud total

de la línea poligonal cerrada.

Área (A) : Es la superficie que queda limitada por el perímetro; es la

superficie que ocupa una figura plana.

CUADRO: ÁREAS Y PERIMETROS

NOMBRE FIGURA PERIMETRO

(2p) ÁREA

Rectángulo

2p = 2b + 2h A = b x h

Cuadrado

2p = 4a A = a

2 ó A =

2

D2

Triángulo

2p = a + b + c A =

2

hb x

Paralelogramo

A = b x h

Trapecio

h2

bBA x

Rombo

2p = 4L 2

dDA

x

Círculo

L = 2r

(longitud de la

circunferencia)

A = r2

Corona

Circular

A = (R2 – r

2)

h

b

a

a

D

b

h

h

b

B

r

R r

h

b

a c

d D

L



Sector Circular

A = º360

r xx2


Ejemplo 1:

Un terreno tiene la forma de un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos miden 110 m

y 30 m, y el lado oblicuo mide 89 m. Determina su perímetro y su área.

Solución

Ejemplo 2:

La plaza de mi distrito tiene el siguiente diseño, donde la parte semicircular está

ornamentada con baldosas, la cual está destinada para la realización de eventos

públicos. Calcula el perímetro y el área de la figura sombreada:

Solución

r

r



Ejemplo 3. Observa la figura y calcula el área total.

Solución:

o Área del cuadrado = 2

2cm = 4 cm2

o Área del trapecio = 10 2

42

= 24 cm

2

o Área del rectángulo = 8 5cm cm = 40

cm2

o Área total de la figura = 4+24+40 = 68 cm2

Ejemplo 4: A Elías le venden un rancho que tiene las medidas que se muestran en el

siguiente plano.

Si le piden $1,675,000.00 por toda la propiedad, ¿en cuánto le están vendiendo cada

metro cuadrado?



Solución:

Lo primero que hace Elidermao es obtener el área de toda la propiedad. Como sabe que

el área de un rectángulo se obtiene multiplicando sus dos lados, hace lo siguiente:

A = 90 m x 150 m = 13,500 m2

Posteriormente, divide los 1,675 000 dólares entre los 13,500 m2 que tiene la propiedad,

para conocer cuánto vale cada metro cuadrado (use su calculadora).

2 2

$1,675000 $124.07

13500m m

Esto quiere decir que cada metro cuadrado vale $124.07.


NIVEL 1

1) Queremos enmarcar un cuadro cuyas dimensiones totales son 103 cm de base por

63 cm de alto. ¿Qué longitud deberá tener la moldura que debemos usar? Si la

moldura cuesta a 7,2 euros el metro, calcula el precio de dicho marco.

2) El gerente de una empresa compró un terreno rectangular y desea cercarlo; si el

metro de malla tiene un costo de $ 250.00 por metro lineal y su terreno tiene 30 m

de ancho y 100 m de largo. ¿Cuál será el gasto que tiene que realizar para cercarlo

por completo?

3) En las fiestas de un pueblo han montado una carpa para las verbenas, cuya forma

es la de un polígono regular de 11 lados. La carpa está rodeada por una guirnalda

con bombillas que tiene una longitud total de 68 m. ¿Cuánto mide el lado de la

carpa?

4) A un fabricante de vidrio le encargaron una pieza triangular, indicándole que tenía

3.5 m de alto y 2.4 m de base, si vende a $85.00 el metro cuadrado. ¿Cuánto debe

cobrar?

5) A Laura le venden un terreno rectangular cuyo perímetro es de 96 m, necesita

conocer sus dimensiones, conociendo que el largo del terreno es 12 metros mayor

que el ancho. ¿Cuáles son sus dimensiones y cuál es su área total?



6) Elena quiere alfombrar su recámara, la cual tiene forma cuadrada, midiendo por

lado 3.5 m. ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra necesita?

7) Don Francisco quiere comprar un terreno rectangular en la nueva colonia, pero le

interesa saber las dimensiones del mismo para construir un local, los únicos datos

que conoce son el perímetro que mide 120 m y su área es de 875 m2

¿Cuánto mide

el ancho y el largo del terreno?

8) Una vela triangular de una barca se ha estropeado y hay que sustituirla por otra.

Para confeccionar la nueva vela nos cobran 21 euros por m2. ¿Cuánto costará esa

nueva vela si debe tener 8 m de alto y 4 m de base?

9) Un rollo de tela de 2 m de ancho se ha usado para cortar 1050 pañuelos cuadrados

de 20 cm de lado. ¿Qué longitud de tela había en el rollo si no ha faltado ni

sobrado tela?

10) Calcula el área de la siguiente figura

11) ¿Cuánto valdrá una vidriera de esta forma (un rectángulo junto a un semicírculo) a

250 dólares el m2?

NIVEL 2

1) Un señor tiene un terreno cuadrado de 600 m de perímetro, mientras que otro señor

tiene uno rectangular del mismo perímetro, siendo la base de éste el triple del ancho.

El dueño del terreno rectangular propone al otro cambiarlo, ¿le interesa el cambio?

¿Ocurre siempre lo mismo con cualquier rectángulo y cualquier cuadrado con el

mismo perímetro?



2) A Don Juan lo contratan en Rosarito, junto a Tijuana, para colocar una cerca de

alambre en un terreno que tiene las dimensiones señaladas en el croquis.

¿Cuánto debe cobrar por su trabajo si le pagan a $40.00 la yarda?

Recuerde que la yarda (yd) es una medida de longitud del sistema inglés, y

equivale a 0.914 m en el sistema métrico decimal.

3) Alma va a pintar en su casa, las dos paredes y el techo de su sala. Una de las

paredes mide 10.5 m de largo y 2 m de ancho, la otra 3

74

m de largo y 2 m de

alto. El techo mide 10.5 m de largo y 1

54

m de ancho. Alma tiene un bote de

pintura que le alcanza para pintar 65 metros cuadrados. ¿Qué cantidad de metros

cuadrados se quedarán sin pintar?

4) A Luis le han dejado en herencia un terreno con la extraña forma que se ve en el

dibujo. ¿Cuánto obtendrá con su venta a 180 euros/m2?

5) Se tiene una bodega cuyas medidas se indican en la figura:



a) ¿Cuál es el perímetro de la puerta?

b) ¿Cuál es el perímetro de la ventana?

c) El frente de la bodega se pinta color amarillo .Cuánto mide la superficie

a pintar?

NIVEL 3

1) Pintando la fachada de una iglesia

Se debe pintar la fachada de una iglesia y la pintura se vende en dos tipos de

envase:

Determine la cantidad de tarros que deben comprarse, ya sea en tarros de un

mismo tamaño o una combinación de ellos, de modo que el costo sea mínimo.

2) ¿Cuál tendedero me conviene comprar?

Una persona necesita comprar un tendedero para secar la ropa y en el comercio

encuentra dos modelos. Antes de comprarlos hace un dibujo (ver figura) detallado



de cada uno de ellos y se lo lleva a casa para poder investigar en cuál de ellos es

posible colgar más ropa, es decir, cuál tiene mayor longitud de alambre.

¿Qué tendedero es más conveniente? Justifique su decisión mediante fórmulas

conocidas.

3) La piscina de un club mide 40 metros de largo y 30 metros de ancho. Los socios

quieren que haya una franja de césped con ancho uniforme alrededor de la piscina.

Si el área de dicha franja de césped debe medir 296 m 2, ¿cuánto debe medir el

ancho uniforme?

4) Francisco desea fabricar un marco de madera rectangular de dimensiones 6 m y

12 m para colocar una pintura en su interior. Considerando que la longitud del

ancho del marco de madera debe ser constante, responde lo siguiente:

a) Si Francisco coloca una pintura de 40 m2 de área, ¿cuál será la longitud del

ancho del marco?

b) Si Francisco desea colocar otra pintura, cuyo largo mide el triple de su ancho,

¿cuál será la longitud del ancho de este nuevo marco?

ACTIVIDADES PARA TRABAJAR EN EQUIPOS

ACTIVIDAD 1: La figura representa un plano, donde se indican las

dimensiones (medidas) de cada habitación de una casa.

a) ¿Cuál es el perímetro de la terraza?

b) Calcular el perímetro del living – comedor.

c) ¿Cuál es el área de la terraza?



d) Si se instala cerámica en el piso del baño y cocina. ¿Qué cantidad de

metros cuadrados de cerámica que se necesitan?

e) Si se instala cubre piso en los dormitorios, (donde el largo del dormitorio

1 y 2 es de 4 metros) y living – comedor. ¿Qué cantidad de metros

cuadrados de cubre piso se necesitan?

ACTIVIDAD 2: Esta es la Piscina Municipal de Los Olivos. En verano voy a

bañarme y a hacer cursos de natación. Dicha piscina tiene forma de

rectángulo y las siguientes medidas:

a) En el curso de natación que hacemos en verano, para calentar damos una

vuelta completa a la piscina andando y otra corriendo. ¿Cuántos metros

recorreremos en el calentamiento?

b) El que más nada del curso de natación ha realizado en una hora 4 anchos

de la piscina y 15 largos. ¿Cuántos metros ha nadado?

c) Si hago tres veces el largo de la piscina, (tanto la ida como la vuelta).

¿Cuántos metros recorreré?

d) Calcular el área de la piscina.

Bibliografía:


[1] 510 TIMO

EJ.2 Salvador Timoteo Razonamiento Matemático 999 – 1066

[2]

510

MILL/M

2006

Miller / Heeren /

Hornsby

Matemática: “Razonamiento

y aplicaciones” 491 - 544

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