Comunicaciones Digitales_CLASE Nº3 _CODIGOS [Modo de Compatibilidad]

Algunos Códigos Usados en Sistemas Digitales

Código BCD (Binary Code Decimal):

Cada cifra decimal se codifica según una serie de bits binarios ¿Cuantos?,

como existen diez cifras del 0 al 9 necesitamos 4 bits por cifra. Ahora resultaque con 4 bits podríamos codificar hasta 16 cifras, luego vemos que hay 6

combinaciones (de 1010 a 1111) que nunca se utilizan en el código BCD; de

ahí que este código sea menos compacto que el binario puro.

Comunicaciones Digitales

1

ahí que este código sea menos compacto que el binario puro.

Algunos ejemplos:010001001101

010100110001

531)135(

10==

00100101010011101001100000110101

9835)5389( 10 ==

10011000010000000110001000000001

6201)1026( 10 ==

Clase N°3

Código BCD

Decimal BCD Decimal BCD Decimal BCD Decimal BCD

00 0000 0000 10 0001 0000 20 0010 0000 30 0011 0000

01 0000 0001 11 0001 0001 21 0010 0001 31 0011 0001

02 0000 0010 12 0001 0010 22 0010 0010 32 0011 0010

03 0000 0011 13 0001 0011 23 0010 0011 33 0011 0011


2

04 0000 0100 14 0001 0100 24 0010 0100 34 0011 0100

05 0000 0101 15 0001 0101 25 0010 0101 35 0011 0101

06 0000 0110 16 0001 0110 26 0010 0110 36 0011 0110

07 0000 0111 17 0001 0111 27 0010 0111 37 0011 0111

08 0000 1000 18 0001 1000 28 0010 1000 37 0011 1000

09 0000 1001 19 0001 1001 29 0010 1001 39 0011 1001

Clase N°3

Código BCD

Exprese en BCD las siguientes cantidades:

1. 23567

2. 1267

3. 87643

4. 102349


3

5. 23578

6. 7654

7. 90876

8. 8070

9. 1245

10. 367890

Clase N°3

Código Gray

El código Gray es otro tipo de código basado en un sistema binario.

Su principal característica es que 2 números sucesivos, cualesquiera,solo varían en 1bit.

Un Código Gray de 2 bits sería: de 4 bits :

00 0000

01 0001

11 0011

10 0010


4

10 0010

0110

0111

0101

0100

1100

1101

1111

1110

1010

1011

1001

1000Clase N°3

Código Gray

Una forma sencilla de construir un código Gray de “n” bits es tomarun código Gray de “n-1” bits y agregarle un “0” por la izquierda, luegopara completar el código se traza una línea imaginaria (línea o eje desimetría) y se agrega un “1” y se copian los bits de código de “n-1”bits como espejo:

0 00


5

0 00

0 01

0 11

0 10

1 10

1 11

1 01

1 00

Clase N°3

Código Graydecimal hexadecimal binario Gray 2 bits Gray de 3 bits Gray de 4 bits

0 0 0000 00 000 0000

1 1 0001 01 001 0001

2 2 0010 11 011 0011

3 3 0011 10 010 0010

4 4 0100 110 0110

5 5 0101 111 0111

6 6 0110 101 0101


6

7 7 0111 100 0100

8 8 1000 1100

9 9 1001 1101

10 A 1010 1111

11 B 1011 1110

12 C 1100 1010

13 D 1101 1011

14 E 1110 1001

15 F 1111 1000

Clase N°3

Conversión Binario a Gray

Sea un Número Binario :

El mismo número en Código Gray:

Donde : ,

0121... bbbbb nnn −−

0121..... ggggg nnn −−

11 −−⊕= iii bbg ni <<0


7

Y

Es la suma módulo dos

11 −− iii ni <<0

nn bg =

""⊕

011

101

110

000

=⊕

=⊕

=⊕

=⊕

Clase N°3


• Ejemplos: convertir (10111001) en binario a Gray:

10011101

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

10100111


8

• Otros ejemplos:

• Comprobar:

0101⊕⊕⊕

1111

gray

gray

gray

)011011111110()011101010100(

)010101()011001(

)100100()111000(

2

2

2

=

=

=

Clase N°3

Convertir los siguientes números binarios en Código Gray:

1. 111000111000

2. 1010101010

3. 11111111



9

4. 1000011

5. 100100100100

6. 110110110110

7. 1111100001

Clase N°3

Conversión Gray a Binario

Sea un número Gray:

El mismo número Binario:

0121 ... ggggg nnn −−

0121 ... bbbbb nnn −−


10

El procedimiento se comienza por el bit más significativo, donde

si el número de unos (“1”) que preceden a es par,

y si el número de unos (“1”) es impar, para

y

,ii gb =

ig

ii gb = ni <<0

nn gb =

Clase N°3

1,21º11101

0,11º1110

1,11º001

1711

444

555

666

777

==⇒==

==⇒==

==⇒==

==⇒==

gbpardeng

gbimpardeng

gbimpardeng

gbng


Ejemplo: convertir (10111001) en Gray a Binario:


11

1,41º111011100

0,41º00101110

0,41º0010111

0,31º111011

1,21º11101

000

111

222

333

444

==⇒==

==⇒==

==⇒==

==⇒==

==⇒==

gbpardeng

gbpardeng

gbpardeng

gbimpardeng

gbpardeng

Entonces: 2

)11010001()10111001( =gray

Clase N°3


Convertir los siguientes números en Código Gray a su equivalente en Binario:

1. 111000111000

2. 1010101010


12

3. 11111111

4. 1000011

5. 100100100100

6. 110110110110

7. 1111100001

Clase N°3

CÓDIGO ASCII


13Clase N°3

Asumiremos que se trata de transmitir información que ha sidodigitalizada en forma de una secuencia de ceros y unos. Esto no es

difícil de hacer si la información es numérica, porque podemosrepresentar los números en notación binaria, usando 2 como base delsistema de numeración en vez del sistema decimal habitual construido

sobre el 10, lo que requiere sólo los dígitos 0 y 1. También es posible

traducir caracteres de texto, imágenes, música, etc, en listas de ceros

Detección de Errores y Codificación

traducir caracteres de texto, imágenes, música, etc, en listas de cerosy unos.

Llamaremos palabras a las listas de unos y ceros de longitud k ,que podremos utilizar en un mensaje, disponemos de un conjuntode palabras o diccionario P que, en general, será una familia delistas de longitud k formadas por ceros y unos.


Clase N°3 14


En un esquema general de transmisión de la información, tendríamos los siguientes elementos:

• Un emisor, que desea mandar un cierto mensaje.• Un codificador, que transformaría el mensaje original de manera que pudiera ser transmitido • Un canal físico por el que se transmita el mensaje codificado. • Un decodificador, que recibe el mensaje y realiza el proceso de detección • Un decodificador, que recibe el mensaje y realiza el proceso de detección de los errores.• Por último, el receptor final del mensaje.

27/03/2012 15clase N°3

En la memoria de los computadores PC se agrega un bit de paridad por

cada byte (8bits) de datos, de esta forma al leer la memoria se compara laparidad almacenada con la paridad calculada de los datos leídos, si estas

son distintas, significa que existe un mal funcionamiento de la memoria, estoes una verdadera catástrofe para el sistemas operativo y termina con el

computador detenido y el mensaje “Parity Error System Halted “ enpantalla.


pantalla.

En un proceso de codificación general ocurre algo parecido. Una vez

escrito el mensaje en los términos adecuados, el codificador transformarácada una de las palabras de longitud k del mensaje en otra lista de ceros y

unos, que tendrá en general una longitud distinta, n > k.

La información introducida en los n — k dígitos que se agregan en el

proceso de codificación crea la redundancia que nos permitirá detectar ycorregir errores.


Clase N°3 16

¿Cuál es la utilidad de todo esto? Cuando queramos transmitir p la

codificaremos y enviaremos en su lugar c. ¿Por qué? Porque si se

producen errores en la transmisión sabremos corregirlos, al menos enalgunos casos, a partir de la redundancia que el código introduce. No

seríamos capaces de eliminar errores, ni siquiera de enterarnos de que un

error se produjo, si enviáramos la palabra p sin procesar.


Subrayemos que en todo esto el código cumple una función auxiliar que

consiste en ayudarnos a transmitir de forma fiel las palabras del

diccionario original P, que son los objetos que realmente nos interesan.

Por lo tanto, cada vez que el receptor de un mensaje tenga una palabra cdel código deseará saber cuál es la palabra p de la que proviene. Hay un

requisito obvio que debe satisfacer entonces la función de codificación: no

puede enviar dos palabras diferentes de V a la misma palabra de C. Siesto ocurriera no podríamos decodificar. Por lo tanto, la función f tiene

que ser inyectiva.


Clase N°3 17

El segundo requisito que impondremos es que toda palabra del código C

provenga de una palabra de P a través de la función de codificación, cosaque permitirá determinar p para cualquier c. Este segundo requisito implica

que la función f debe ser sobreyectiva. Estas dos condiciones aseguran que

la codificación puede deshacerse para cualquier palabra c perteneciente a C.Naturalmente, esta decodificación de palabras código es equivalente a

invertir la función f para obtener:


Por lo tanto, si se recibe c debemos interpretar que se está enviando la

palabra p = (c) del diccionario P.

El diseño de buenos códigos depende de una correcta elección de f lo que

incluye fijar los valores de k y n, en el marco del las listas de ceros y unostendremos una estructura geométrica de la que asirnos, y la posibilidad de

operar algebraicamente con las palabras de nuestro diccionario.


Clase N°3 18

Comencemos con un sencillo ejemplo: supongamos que tenemos tres

secuencias de ceros y unos de longitud 5,

1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1


Cualquier persona diría que las dos primeras secuencias se parecen entre

sí, que están mas "cerca" entre ellas que con respecto a la tercera. Si

aplicamos como criterio de comparación el número de posiciones en que lassecuencias difieren, entonces, las dos primeras sólo difieren en la segunda

posición, mientras que, en relación a la tercera, difieren en más posiciones.

Lo que vamos a hacer es nombrar la forma de medir cuan distintas son dossecuencias como "distancia “.


Clase N°3 19

Códigos y la corrección de errores

• La función principal de las técnicas de control de errores es introducirredundancia controlada permitiendo que los mensajes transmitidos que

hayan sido corrompidos sean corregidos antes de ser procesados. Con

esta redundancia controlada sólo un subconjunto de todos los posiblesmensajes (secuencias de bits) contiene mensajes válidos. Esto quiere decirque si formamos secuencias de 7 bits, podremos recibir 27=128 secuencias

distintas, pero los posibles mensajes transmitidos no serán 128 sino unsubconjunto de ellos, luego si no hemos recibido una secuencia de 7 bitssubconjunto de ellos, luego si no hemos recibido una secuencia de 7 bitsque coincida con uno de los posibles mensajes transmitidos, habremos

recibido una secuencia con errores.

• Este subconjunto de posibles mensajes transmitidos se llama código y a

los mensajes válidos que lo forman los llamamos codewords o

codevectors.

• Pues bien, un buen código es aquel en el que los codewords están tanseparados que la probabilidad de que los errores conviertan al codeworddeseado en otro codeword es muy pequeña.


Clase N°3 20

Códigos y la corrección de errores

• Según esto, la detección de errores se limita a responder a la pregunta :"¿Es el mensaje recibido un codeword o no ?" Si es un codeword, uno

supone que no hay errores, de esta manera la probabilidad de no detectar

un error es la probabilidad de que los posibles errores conviertan uncodeword en otro.

• Cuando se detecta un error existen dos métodos para corregirlo :• Cuando se detecta un error existen dos métodos para corregirlo :

• 1º.- El receptor rechaza el mensaje recibido y solicita al transmisor que

retransmita el mensaje.

• 2º.- El receptor corrige el error al encontrar el codeword válido más próximo

al mensaje recibido. Este procedimiento se llama forward error correction

(FEC).


Clase N°3 21

Códigos correctores de errorCuando se transmite una información binaria desde un emisor a unreceptor a través de un medio susceptible a perturbaciones o ruido, aparece

el problema que algunos bits de la palabra original pueden modificarse yden lugar a una nueva combinación que será una información errónea


Clase N°3 22

ejemplo

• Los códigos de distancia mínima 2 pueden ser de peso constante, por ejemplo 2 unos de entre 5 bits, o bien de paridad constante


Clase N°3 23

Ejemplo 2


Clase N°3 24

Limitaciones de los códigos detectores de errores

En las figuras anteriores se observa la transmisión de una combinación binaria a

la que se le ha añadido un bit de paridad par (BPP).Si el código original es el

binario de cuatro bits, el nuevo código formado en el sistema serpa de 5 bits y la

recepción de una palabra con un número de bits impar indica a recetor que es

errónea.

Para que el sistema receptor detecte el bit erróneo hay que analizar la palabra

recibida y ver cual es la palabra que pertenece al código original y que se ha

transmitido. El problema es que hay tantas combinaciones posibles correctas


Clase N°3 25

transmitido. El problema es que hay tantas combinaciones posibles correctas

como bits tiene la palabra recibida

Esta tabla pone de manifiesto

esto, al comprobar que con

códigos de distancia mínima 2

y tomando todas las

combinaciones posibles es

imposible detectar el bit

erróneo.

Limitaciones de los códigos detectores de errores


Clase N°3 26

Para corregir un error binario es suficiente con la inversión lógica del valor recibido

por la línea de datos. En la figura B no hay suficiente información para saber cual

de los hilos ha sufrido un cambio de valor, por este motivo, el segundo envío de la

información se efectúa codificando a través de bits de paridad para que la línea de

datos sea única.

Distancia Hamming y distancia de código

Sean los mensajes secuencias binarias de n bits, esto hace que los

mensajes o vectores de n bits formen un conjunto de 2n posibles.

La distancia Hamming o distancia entre dos vectores es el número deposiciones de bits en los cuales dichos vectores toman valores diferentes.

Por ejemplo, sean 2 vectores de 4 bits :

c1 = 0 1 0 1 y c2 = 1 1 0 0

la distancia entre c1 y c2 es 2.la distancia entre c1 y c2 es 2.

Supongamos que de entre los 2n posibles vectores elegimos un subgrupo

que constituyen nuestro código. Pues la distancia del código será la mínimadistancia Hamming entre todas las posibles combinaciones de codewords.

Se demuestra que si la distancia de un código es d, entonces podemos

detectar y corregir los errores que afecten a t bits de cada codeword,

siendo :

Así si la distancia de un código es 5 entonces podemosdetectar y corregir errores en 2 bits.


Clase N°3 27

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