Conceptos de Confiabilidad

7/29/2019 Conceptos de Confiabilidad

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1-1

1. CONCEPTOS DE

CONFIABILIDAD


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1-2

Objetivo: Presentar los conceptosindispensables para entender la

confiabilidadPropsitos

presentar el concepto de tiempo de vida y falla

exponer el concepto de distribucin deprobabilidad

definir confiabilidad

definir MTBF - MTTF

explicar el tiempo de misin visualizar la velocidad de falla grficamente

presentar los elementos de estadstica descriptiva

obtener una distribucin empricamente


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1-3

CONFIABILIDAD PARA QU?

Cul es la vida promedio del producto?

Cuntas fallas espera el prximo ao?

Cunto nos costar desarrollar y dar servicio a esteproducto?

Cmo podemos hacerlo ms efectivo en costo?


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TIEMPO DE VIDA Y FALLA

La confiabilidad es una medida del Tiempo de Vida tilde un producto. Durante este perodo el cliente obtienelas caractersticas ofrecidas intencionalmente.

Cuando cesa la capacidad del producto para entregar lacaracterstica ofrecida al cliente, se considera que hahabido unaFalla del producto. Esto representa eltrmino del tiempo de vida.


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1-5

MODELOS DE TIEMPO DE VIDA

Para modelar el tiempo de vida se asigna unamedida: La frecuencia relativa o laprobabilidad con que ocurrir el evento.

La regla que asigna valores de frecuenciarelativa o probabilidades a los valores de una

variable se llama Distribucin deProbabilidad


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1-6

Funcin de Densidad de Probabilidad (pdf), f(t) Predice el comportamiento de cualquier situacin

probabilstica Probabilidad de t de caer en algn punto del rango t1 a t2

p t t t f t d tt

t( ) ( )1 2

1

2

t1 t2

DISTRIBUCIONES DEPROBABILIDAD

t

f(t)

El rea total bajo lacurva siempre es 1 o

100%


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1-70 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

f(t)

0 100 200 300

0

10

20

30

OBS

1.6667

8.3333

30.0000

15.000013.3333

6.66676.66678.3333

3.33333.3333

0.00000.0000

3.3333

EJEMPLOS DE DISTRIBUCIONES

DE PROBABILIDAD56.399 138.573 172.78 39.65556.554 132.988 45.735 9.5235.389 234.234 62.171 29.374

56.215 63.378 78.558 46.076

188.26 28.855 75.812 193.45

90.882 49.089 75.492 103.507

132.312 123.442 27.978 107.717

60.465 49.526 145.911 179.036

301.525 71.698 95.475 61.099

302.01 45.352 175.935 46.613101.978 182.344 34.899 82.272

98.37 225.349 43.461 176.949

64.026 137.758 52.311 145.45

43.881 93.901 49.619 73.873

53.358 77.471 92.019 117.592

PDF Weibull

Histograma


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DISTRIBUCION ACUMULADA DE

PROBABILIDADSi acumulamos las probabilidades desde el inicio hasta

un tiempo t1, obtenemos la Distribucin deProbabilidad Acumulada {CDF F(t)}.

F(t1) = P(t t1)


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1-9

Funcin de Distribucin Acumulada La Probabilidad de una variable es menor o igual a un valor

especfico, e.g., t1

Cuando la variable es tiempo de falla, esto

representa la no confiabilidad o laprobabilidad de que una unidad falle

antes del tiempo t1

1

0

1 )()0()(

t

dttfttPtF


PROBABILIDAD


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1-10

F t P t t f t dtt

( ) ( ) ( ) 0 10

1


PROBABILIDAD

t

f

(t)

t1

No confiabilidad, F(t)

Funcin de Densidad de Probabilidad

t

F

(t)

t1

Funcin de Distribucin Acumulada

0

1

0


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DEFINICIN DE CONFIABILIDAD

Confiabi l idades la probabilidad de que un sistemaejecute su funcin de intencin sin fallar para unintervalo especfico, bajo condiciones establecidas.

Se define como la Probabilidad de Supervivencia en undeterminado tiempo.

R(t) = 1 - F(t)

Algunos autores presentan como sinnimosSupervivencia y Confiabilidad


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1-12

t

R

(t)

DEFINICIN DE CONFIABILIDAD

R t F t f t d t f t d tt

t

( ) ( ) ( ) ( )

1 10

t1

Funcin de Densidad de Probabilidad Funcin de Confiabilidad

00

1

t

f(t)

t10


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MTBF - MTTFSi el tiempo de vida para una caracterstica de calidad

es una variable aleatoria y conocemos su distribucinde probabilidad , podemos calcular una medida delocalizacin, por ejemplo el valor de su media.

El valor medio del Tiempo de Vida se denomina TiempoPromedio entre Fallas, MTBF es el acrnimo enIngls, y se refiere a una medicin bsica deconfiabilidad para artculos que se pueden reparar.

MTTF se refiere al Tiempo Promedio de Fallas, esto espara artculos que no pueden ser reparados.


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1-14

0 100 200 300

0

10

20

30

tiempo

1.6667

8.3333

30.0000

15.000013.3333

6.66676.66678.3333

3.33333.3333

0.00000.0000

3.3333

MTBF - MTTF

La media estimada deltiempo de vida est marcadacon la lnea punteada es de98.932, se obtuvocalculando el promedio de

los tiempos

98.932

0 5 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

f(t)

N

t

m

N

i

i 1

La media calculada para esta

distribucin Weibull es funcinde sus parmetros h=2 y b=2

1.77245

b

h1

1MEDIA


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1-15

TIEMPO DE MISIN

Tiempo de Misin se refiere al tiempo intentado duranteel cual el producto entrega la caracterstica decalidad satisfactoriamente.

El Tiempo de Misin es una decisin de negocios ysirve para establecer una meta de logro por parte del

producto en cuanto a sus caractersticas.

Tiempo de Misin

Qu confiabilidad lograremos?, R(tiempo de misin)


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VELOCIDAD DE FALLALa Velocidad de Falla Tasa de Riesgo o tambin

Tasa de Falla es la fraccin de fallas probables entrela proporcin de supervivientes al tiempo t. Cuandose conoce la Distribucin de Probabilidad de t, secalcula a partir de

h(t) = PDF / R(t)Es una medida de la mortalidad entre los artculosque quedan.

La tasa de falla representa la propensin a la falla de un

producto como una funcin de su edad o tiempo enoperacin. La tasa de falla en cualquier tiempo dado es laproporcin que caer en la siguiente unidad de tiemporespecto a aquellas unidades que han sobrevivido a estetiempo.


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1-17

TASA DE FALLA O TASA DE RIESGOPor ejemplo, 1000 motores elctricos se ponen a prueba

en el tiempo CERO. Cuatrocientos de ellos estntrabajando a las 2000 horas, 50 de ellos fallaron en lassiguientes 100 horas y otros 50 fallaron en las siguienteshoras como lo ilustra la figura.

0 2000 2100 2200 horas tiempo

1000 400 350 300

No. de

sobrevivientes

La tasa de falla para los motores a las 2000 horas es:h(2000) = (nmero de fallas por hora posteriores a las 2000 horas)

nmero de sobrevivientes a las 2000 horas

= (50/100)/400 = 0.00125 unidades/hora

Similarm ente, la tasa de fal la a las 2100 ho ras es:

h(2100) = (50/100)/350 = 0.0014 unidades/hora


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1-18

CURVA DE LA BAERA

Si se dibuja la tasa de riesgo o falla para una poblacina travs del tiempo se observa un comportamientodescrito como la Curva de la Baera

t

h(t)

Fallas constantes

Fallas por deterioro o desgasteFallas infantiles


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1-19

0 100 200 300

0

10

20

30

OBS

1.6667

8.3333

30.0000

15.000013.3333

6.66676.66678.3333

3.33333.3333

0.00000.0000

3.3333

La Estadstica Descriptiva seorienta a proporcionar unadescripcintil, clara einformativa de una masa dedatos numricos.

Esto se hace al considerar

tpicos como:la coleccin y procesamiento dedatos originales,

presentacin tabular y grfica,

fuentes de datos,distribucin de frecuencias,

medidas de tendencia central y

medidas de dispersin.

ESTADISTICA DESCRIPTIVA

Un histograma es una descripcintil, clara e informativa de ladistribucin de frecuencias


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1-20

Un estadstico es cualquier funcin de las observaciones en unamuestra aleatoria, que no dependa de parmetros desconocidos

Obsrvese que como un estadstico es una funcin de los datosprovenientes de una muestra aleatoria, es a su vez una variablealeatoria.

Es decir, si se obtuvieran dos muestras aleatorias diferentesprovenientes de la misma poblacin y se calcularan las mediasmuestrales, podra esperarse que los valores obtenidos fuerandiferentes.

ESTADISTICOS

La media muestral, la varianza muestral, la desviacin estndarmuestral y los coeficientes de variacin, sesgo y curtosis son

algunos de los estadsticos ms comunes.


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1-21

Medidas

DescriptivasDescripcin POBLACION

MEDIA

VARIANZA

COEFICIENTE DEVARIACIN

COEFICIENTE DESESGO

COEFICIENTE DECURTOSIS

Estadstica Descriptiva

MUESTRA

dtttftE )()(

n

i

ixn

xm1

1Medida detendenciacentral

dttft )(22

n

i

i xxn

s1

22

1

1Medida dedispersin

la desviacin estndar es laraz cuadrada de la varianza

Medida delgrado devariabilidad

CV

2/32

3)(

3

dttft

2/32

1

3

3s

n

xxn

i

i

Medida deSimetra

Medida deAgudeza

22

4)(

4

dttft

22

1

4

4s

n

xxn

i

i

La Normal tiene un rango0.05


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1-22

Porqu son importantes losestadsticos?

Describen completamente los datos

Coeficiente de Variacin CV comnmente utilizado para describir propiedades

mecnicas de los materiales.

aproximadamente 15% para fractura

aproximadamente 7% para resistencia a la cedencia

ayudan a determinar la distribucin apropiada

la distribucin normal tiene un rango 0.05 < CV < 0.25

Exponencial CV = 1



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1-23

Porqu son importantes los estadsticos? Coeficiente de sesgo

medida de simetra

3 < 0 distribucin sesgada a la izquierda(tiene una cola a la

izquierda) 3 = 0 distribucin simtrica

Distribucin Normal 3 = 0

3 > 0 distribucin sesgada a la derecha (tiene una cola a laderecha

Coeficiente de curtosis medida de agudeza (puntiaguda)

4 < 3 distribucin menos aguda que la Normal

4 = 3 distribucin Normal

4 > 3 distribucin ms aguda que la Normal



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1-24

Porqu son importantes los estadsticos los tres ayudan a determinar los parmetros de la

distribucin CV

La Exponencial tiene un CV constante

El parmetro de forma de la distribucin Weibull es bienestimado con el coeficiente de variacin CV

coeficientes de sesgo y curtosis

la relacin entre ellos ayuda a determinar la distribucin que mejorse ajusta



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1-25

EJEMPLO DE DISTRIBUCIN

l

lh

l

l

l

l

1MEDIA

)(FALLADETASA

)(DADCONFIABILI

1)(CDF)(PDF

t

etR

etF

etf

t

t

t

Distribucin

Exponencial

Funcin de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000

Tiempo

f(t)

l= 0.003, MEDIA = 333

l= 0.002, MEDIA = 500

l= 0.001, MEDIA = 1,000


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1-26

EJEMPLO DE DISTRIBUCIN

bh

hhbh

hh

b

b

h

h

h

b

b

b

b

11MEDIA

)(FALLADETASA

)(DADCONFIABILI

1)(CDF

)(PDF

1

1

tt

etR

etF

et

tf

t

t

t

Distribucin

Weibull 2

parmetros


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1-27

EJEMPLO DE DISTRIBUCINAbra el archivo Distribucin.xls Seale la columna de

tiempo y pongala enorden ascendente

Veamos cmo se construyen lascurvas de distribucin usando elEXCEL


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1-28

EJEMPLO DE DISTRIBUCINAgregue unrengln inicial

con cero y unacolumna con uncontador queinicie en cero

Agregue una columnadonde estime F(t)usando la frmula deKaplan Meier*:

( F(t) = i/N)

Obtenga R(t) por la

diferencia R(t) = 1-F(t)

Note que puede estimar laConfiabilidad de 90% paraun tiempo de 35.389

* La frmula de Kaplan Meier se recomienda para muestras grandes


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1-29

EJEMPLO DE DISTRIBUCINSe estima la tasa de falla para lostiempos observados, con el inverso delnmero de supervivientes 1/(N+1-i)

Por ltimo se estimael intervalo de

confianza normal al95% para laconfiabilidad

NtFtRZtRtR

NtFtRZtRtR

LI

LS

)()()()(

)()()()(

2

2


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1-30

EJEMPLO DE DISTRIBUCINR(ti)= 1-F(ti)

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

0 50 100 150 200 250 300 350

R(ti)= 1-F(ti)

F(ti)= i/N

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0.8000

0.9000

1.0000

0 50 100 150 200 250 300 350

F(ti)= i/N

Grficas deConfiabilidad R(t) y dela Funcin AcumuladaF(t) generadas enEXCEL

Recuerde que:R(t) = 1- F(t)


31/275

1-31

EJEMPLO DE DISTRIBUCION

Use el archivo: distribucin.mtw

Ahora en Minitab...


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1-32

Distribution AnalysisVariable: tiempo

Censoring Information Count

Uncensored value 60

Nonparametric Estimates

Characteristics of Variable

Standard 95.0% Normal CIMean Error lower upper

98.9320 8.4776 82.3162 115.5478

Median = 75.8120

IQR = 83.4620 Q1 = 49.5260 Q3 = 132.9880

Kaplan-Meier Estimates

Number Number Survival Standard 95.0% Normal CI

Time at Risk Failed Probability Error Lower Upper

9.5200 60 1 0.9833 0.0165 0.9509 1.0000

27.9780 59 1 0.9667 0.0232 0.9212 1.0000

28.8550 58 1 0.9500 0.0281 0.8949 1.0000

29.3740 57 1 0.9333 0.0322 0.8702 0.9965

34.8990 56 1 0.9167 0.0357 0.8467 0.9866

35.3890 55 1 0.9000 0.0387 0.8241 0.9759

39.6550 54 1 0.8833 0.0414 0.8021 0.9646

43.4610 53 1 0.8667 0.0439 0.7807 0.9527

43.8810 52 1 0.8500 0.0461 0.7597 0.9403

45.3520 51 1 0.8333 0.0481 0.7390 0.9276

45.7350 50 1 0.8167 0.0500 0.7188 0.9146

46.0760 49 1 0.8000 0.0516 0.6988 0.9012

46.6130 48 1 0.7833 0.0532 0.6791 0.8876

49.0890 47 1 0.7667 0.0546 0.6596 0.8737

49.5260 46 1 0.7500 0.0559 0.6404 0.8596

49.6190 45 1 0.7333 0.0571 0.6214 0.8452

52.3110 44 1 0.7167 0.0582 0.6026 0.8307

Para un tiempo

de 35.389 la

confiabilidad es

del 90%

Clculo de R(t) para un tiempo

INTERPRETACION DE


33/275

1-33

0 100 200 300

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Time to Failure

Rate

Nonparametric Hazard P lot for tiempoEmpirical Hazard Function

Complete Data

Mean

Median

IQR

98.932

75.812

83.462

0 100 200 300

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Time to Failure

Nonparametric Survival Plot for tiempoKaplan-Meier Method-95.0% Confidenc e Intervals

Complete Data

Mean

Median

IQR

98.932

75.812

83.462

INTERPRETACION DERESULTADOS

Observamos lasgrficas de lasdistribucionesempricas de: riesgoy confiabilidad

Las asignaciones deprobabilidades se basan sloen las frecuenciasobservadas, y no suponenningn modelo especial.


34/275

1-34

PUNTOS CLAVE

tiempo de vida til y falla

distribucin de probabilidad

confiabilidad MTBF - MTTF

tiempo de misin

velocidad de falla estadstica descriptiva

distribucin emprica


35/275

1-35

2. MODELOS DE

CONFIABILIDADDistribuciones de Probabilidad

Exponencial

Weibull

Lognormal


36/275

1-36

OBJETIVO

Presentar los modelos Exponencial, Weibull yLognormal para la confiabilidad, sus caractersticasprincipales y guas para su empleo

Puntos: Modelos Paramtricos de Confiabilidad

Distribuciones de Probabilidad

Parmetros

Propiedades Situaciones para modelar

Gua para eleccin del modelo


37/275

1-37

Modelos Paramtricos de

ConfiabilidadDistribuciones Paramtricas

Algunas Distribuciones de Probabilidad se puedenexpresar como una funcin matemtica de la variable

aleatoria. La funcin tiene adems de la variable aleatoria,

constantes que le dan comportamientos especficosa las distribuciones

Los parmetros definen:FORMA

ESCALA

LOCALIZACION


38/275

1-38

Los Parmetros definen lo que esta detrs de cadadistribucin.

Conociendo los parmetros de una distribucin podemosinferir el comportamiento de la confiabilidad

La Forma de la distribucin

La Escala de la distribucin

La Localizacin de la distribucin

Qu hay atrs de una distribucin?


39/275

1-39

Distribucin Normal

La Normal o Distribucin Gaussiana es la distribucinms conocida

Tiene Media = Mediana = Moda

La Media , es tambin su parmetro de localizacin La PDF normal tiene forma de una campana con

simetra sobre su media

La normal no tiene parmetro de forma. Esto significaque la PDF normal slo tiene una forma, la campana

y esta forma no cambia La desviacin estndar, es el parmetro de escala

de la PDF normal


40/275

1-40

f tt

( ) e x p

1

2

1

2

2

Distribucin de la Funcin Normal

Funcin de Densidad de Probabilidad Normal

Distribucin Normal

= 500 = 30 = 50 = 70

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0.0080

0.0100

0.0120

0.0140

200 400 600 800 1000

Tiempo

f(t)


41/275

1-41

R t f t d t z d z

t z t

( ) ( ) ( )

( )

Funcin de Distribucin Normaldonde z(t) = (t-/ y (z) = normal estandarizada pdfFuncin de Confiabilidad Normal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

200 400 600 800 1000

Tiempo

R(t)

= 500 = 30 = 50 = 70

Distribucin Normal


42/275

1-42

Funciones de Distribucin Normaldonde (z) =normal estandarizada pdf

Funcin Normal de Tasa de Falla

0.0000

0.0500

0.1000

0.1500

0.2000

0.2500

200 400 600 800 1000Tiempo

h(t)

= 500 = 30 = 50 = 70

Distribucin Normal

)(

)(

)( zR

z

th


43/275

1-43

Distribucin Normal

Tienden a seguir una distribucin normal los ciclos de falla encomponentes mecnicos sometidos a niveles altos de estrs

Es til si el coeficiente de variacin es pequeo (


44/275

1-44

El modelo exponencial, con un solo parmetro, es el ms

simple de todo los modelos de distribucin del tiempo devida. Las ecuaciones clave para la exponencial se muestran:

Distribucin Exponencial

lh

l

ll

l

l l

l

l

@

)(:FALLADETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

t

m

etf

etR

etF

t

t

t

Funcin de Densidad de Probabilidad Exponencial

0.0000

0.0005

0.0010

0.0015

0.0020

0.0025

0.0030

0.0035

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

f(t)

l= 0.003, MEDIA = 333

l= 0.002, MEDIA = 500

l= 0.001, MEDIA = 1,000


45/275

1-45

R(t) = e(-lt) (Confiabilidad)

Funcin de Confiabilidad Exponencial

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

1.200

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

R(t)

l= 0.003, MTBF = 333

l= 0.002, MTBF = 500

l= 0.001, MTBF = 1,000



46/275

1-46

h(t) = lMEDIA(Velocidad de Falla)

Funcin de la Tasa de Falla Exponencial

0.000

0.001

0.002

0.003

0.004

0 500 1,000 1,500 2,000Tiempo

h(t)

l= 0.001, MTBF = 1,000

l= 0.002, MTBF = 500

l= 0.003, MTBF = 333


Note que la tasa defalla tiende a ser unaconstante l paracualquier tiempo. La

distribucin exponenciales la nica que tieneuna velocidad de fallaconstante


47/275

1-47

Distribucin Exponencial Es usada como el modelo, para la parte de vida til de la

curva de la baera, i.e., la tasa de falla es constante

Los sistemas complejos con muchos componentes ymltiples modos de falla tendrn tiempos de falla quetiendan a la distribucin exponencial

desde una perspectiva de confiabilidad, es la distribucinms conservadora para prediccin.


La forma de la exponencialsiempre es la misma


48/275

1-48


La Distribucin exponencial de 2 parmetros tiene las siguientes ecuaciones:

lh

l

l

g

l

g

lg

l gl

gl

gl

@

)(:FALLADETASA

1:VARIANZA

693.02ln:MEDIANA

1:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

2

)(

)(

)(

t

m

etf

etR

etF

t

t

t g es el parmetro delocalizacin, si es positivo,cambia el comienzo de la

distribucin por una distancia ga la derecha del origen,significando que lasposibilidades de falla empiezana ocurrir slo despus de g

horas de operacin, y nopueden ocurrir antes.

Note que la varianza y la tasa de falla son

iguales a las de la exponencial de un parmetro


49/275

1-49

Distribucin Weibull La distribucin de

Weibull es un

modelo dedistribucin de vidatil muy flexible,para el caso de 2parmetros:

1

22

1

1

:FALLADETASA

11

21:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

b

b

h

b

h

h

bh

b

bh

bh

h

bh

hh

bb

b

b

t

et

tf

etR

etF

t

t

t

Donde h es unparmetro de escala (lavida caracterstica) y bse conoce como el

parmetro deforma(pendiente) y es lafuncin Gamma con(N)=(N-1)! para Nentero


50/275

1-50

Distribucin Weibull

1

22

1

1

:FALLADETASA

11

21:VARIANZA

2ln:MEDIANA

11:MEDIA

)(:PDF

)(:DADCONFIABILI

1)(:CDF

b

b

h

gb

h

g

h

g

b

g

h

b

bh

bh

hg

bhg

h

g

h

bb

b

b

t

et

tf

etR

etF

t

t

t

Una forma ms general de3 parmetros de la Weibullincluye un parmetro detiempo de espera(localizacin desplazamiento). Lasfrmulas se obtienen

reemplazando t por (t-g).

No puede ocurrir una fallaantes de g horas, el tiempocomienza en g no en 0.

Di ib i W ib ll


51/275

1-51

Funcin de Distribucin Weibull f tt t

( ) exp

b

h h h

b b1

Funcin de Densidad de Probabilidad Weibull

0.0000

0.0010

0.0020

0.0030

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Tiempo

f(t)

b = 0.5h = 1000

b = 1.0h = 1000

b = 3.4h = 1000

Distribucin Weibull

Di t ib i W ib ll


52/275

1-52

Funciones de Distribucin WeibullR t

t( ) exp

h

b

Funcin de Confiabilidad Weibull

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Tiempo

R(t)

b = 0.5h = 1000

b = 1.0h = 1000

b = 3.4h = 1000

Distribucin Weibull

Di t ib i W ib ll


53/275

1-53

Funciones de Distribucin Weibullh

b

h h

b

( )tt

1

Funcin Tasa de Falla Weibull

0.0000

0.0020

0.0040

0.0060

0 500 1000 1500 2000 2500 3000Tiempo

h(t)

b = 3.4h = 1000

b = 1.0h = 1000

b = 0.5h = 1000

Distribucin Weibull

Di t ib i W ib ll


54/275

1-54

Distribucin Weibull mientras la funcin pdf de la distribucin exponencial

modela la caracterstica de vida de los sistemas, la Weibull

modela la caracterstica de vida de los componentes ypartes

modela fatiga y ciclos de falla de los slidos

es el traje correcto para datos de vida La funcin de distribucin Weibull pdf es una distribucin de la

confiabilidad de los elementos de una muestra muy flexible y puede tomar diferentes formas

Distribucin Weibull

Di t ib i W ib ll


55/275

1-55

Distribucin Weibull

Tiene usted una Distribucin Weibull con b=2y h=2, Cul es la media y la varianza?

2

2 1

1

2

1varianza

11

bhbh

bhm

1

23

Archivo

Weibull.xls


56/275

1-56

tiempo

Tiempo de vida tilFallas

tempranasDesgaste

ldecreciente

b< 1

lconstante

b= 1

lcreciente

b> 1

b < 1 disminuye la tasa de riesgo, implica mortalidad infantilb = 1 tasa de riesgo constante, fallas aleatorias1< b < 4 aumenta la tasa de riesgo, fallas por corrosin, erosinb > 4 aumenta rpidamente la tasa de riesgo, implica fallas por desgaste y

envejecimiento

Las tres porciones de la curvade tina de la baera tienen

diferentes ndices de falla.Las fallas tempranas secaracterizan por un ndice defalla decreciente, la vidatilpor un ndice de fallaconstante y el desgaste se

caracteriza por un ndice defalla creciente. La distribucinde Weibull puede modelarmatemticamente estas tressituaciones.

Distribucin Weibull

La Distribucin Weibull - Interpretacin


57/275

1-57

b < 1(Tasa de riesgo decreciente)Implica mortalidad infantil

Si esto ocurre, puede existir:-Carga, inspeccin o prueba inadecuada-Problemas de Manufactura-Problemas de reparacin

Si un componente sobrevive la mortalidadinfantil , la resistencia a fallar mejora con laedad.

b = 1 (Tasa de riesgo constante)Implica fallas aleatorias(DistribucinExponencial)

Una parte vieja es tan buena como unanueva

Si esto ocurre:-Mezcla de modos de falla-Las fallas pueden deberse a eventos

externos, como:luminosidad o erroreshumanos

-Fundido y removido antes de sudesgaste1


58/275

1-58

Cuando b = 2.5 la Weibull se aproxima a ladistribucin Lognormal(estas distribuciones son tancercanas que se requieren tamaos de muestramayores a 50 para distinguirlas).

Cuando se modela el tiempo que se necesita para

que ocurran reacciones qumicas, se ha mostradoque la distribucin Lognormal usualmenteproporciona un mejor ajuste que la Weibull.

Cuando b = 5 la Weibull se aproxima a una Normal

puntiaguda.

Distribucin Weibull

Distribucin Weibull


59/275

1-59

Debido a su flexibilidad,hay pocas tasas de fallaobservadas que no pueden modelarseadecuadamente mediante la Weibull. Algunosejemplos son.

1.La resistencia a la ruptura de componentes o el

esfuerzo requerido para la fatiga de metales.2.El tiempo de falla de componentes electrnicos.

3.El tiempo de falla para artculos que se desgastan,tales como las llantas de un automvil.

4.Sistemas que fallan cuando falla el componente msdbil del sistema(la distribucin Weibull representauna distribucin de valor extremo).

Distribucin Weibull

Distribucin Weibull


60/275

1-60

Qu pasa en una distribucin Weibull si el tiempotiene el valor de la vida caracterstica, t = h?

Distribucin Weibull

6321.0)(1)(

3678.0exp)(

tsi

exp)(

1

hh

h

hh

h

h

b

b

tRtF

etR

ttR

Al llegar altiempo de vidaigual a la vidacaracterstica el

63.2% de loselementos habrfallado. Estehecho se usa enlas grficas paraidentificar el valorde h (eta)

Este mismo resultado se obtiene para el caso exponencial,

recordando que la Weibull se puede reducir a una exponencial cuandob = 1.

Distribucin Lognormal


61/275

1-61

Un tiempo de falla se distribuye segn una Lognormal si ellogaritmo del tiempo de falla est normalmente distribuido.

La Distribucin Lognormal es una distribucin sesgada hacia laderecha.

La PDF comienza en cero, aumenta hasta su moda y diminuyedespus.




62/275

1-62

Si un tiempo t est distribuido Lognormal,

t~LN(t, t) y si Y = ln(t) entonces Y~N(y, y)


2

2

1

2

1)(

yyy

y

et

tf

2

2

1

2

1)(

yyy

y

eyf

y

TttF

)ln()( 50

y

yyyF)(

2exp

2

50

y

yt T

)ln( 50Ty

2

250

1)exp(

t

t

t

yT

y

PDF

CDF

MEDIA

MEDIANA

t y = ln(t)

2

2

1lnt

t

1)exp()exp( 22250 yyT VARIANZA

(z) es la CDF de la Normal estndar



63/275

1-63

La Distribucin de vida Lognormal, como la Weibull, es un modelo

muy flexible que puede empricamente ajustar a muchos tipos dedatos de falla. En su forma de dos parmetros tiene losparmetros ln(t) = yparmetro de forma, y T50 = la mediana (unparmetro de escala)

Si el tiempo para la falla t, tiene una distribucin Lognormal,

entonces el logaritmo natural del tiempo de falla (y =ln(t)) tieneuna distribucin normal con media y = ln T50 y desviacinestndary.

Esto hace a los datos lognormales convenientes para trabajarlosas: determine los logaritmos naturales de todos los tiempos de

falla y de los tiempos censurados (y = ln(t)) y analice los datosnormales resultantes. Posteriormente, haga la conversin atiempo real y a los parmetros lognormales usando y como laforma lognormal y T50 = exp(y como (mediana) el parmetro deescala.




64/275

1-64

Funcin de Distribucin

Lognormal

f tt

t( ) e xp

ln ( )

1

2

1

2

2

donde y son funciones de lns

Funcin de Densidad de Probabilidad Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo

f(t)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1




65/275

1-65

R t f t d t f t d t z d zt t z t

( ) ( ) [ ln ( ) ] [ln ( ) ] ( )ln ( ) [ ln ( ) ]

Funcin de Distribucin

Lognormal donde z[ln(t)] = [ln(t)-/](z) = normal estandarizada normal pdf

Funcin de Confiabilidad Lognormal

0.000

0.200

0.400

0.600

0.800

1.000

0 1 2 3 4 5 6 7Tiempo

R(t)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1




66/275

1-66

h( )( )

( )

tf t

R t

Funcin de Distribucin Lognormal

Funcin Tasa de Falla Lognormal

0.0000

0.1000

0.2000

0.3000

0.4000

0.5000

0.6000

0.7000

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo

h(t)

= 0 = 0.5

= 0 = 1

= 1 = 0.5

= 1 = 1




67/275

1-67


Ejemplo: Dado t~LN(25,4), encuentre P(t


68/275

1-68

Distribucin Lognormal Nmero de ciclos de falla en la fatiga de los metales y partes

metlicas, niveles de tensin significativamente menores que suslmites

Representa bien el tiempo de falla de los dispositivos mecnicos,especialmente en el caso de uso

La resistencia de materiales frecuentemente sigue una distribucinLognormal

Las variables de peso son frecuentemente bien representadas conuna distribucin Lognormal

Es una buena distribucin para cualquier variable

La medida de cualquier resultado el cual es el resultado de unaproporcin o efecto multiplicativo es Lognormal




69/275

1-69

Confiabilidad Ventajas

Usados cuando la distribucin subyacente de los tiempos defalla se conoce o puede ser supuesta

Datos de prueba previos Parmetros de industria aceptados (v.g., MIL-HDBK-217) Conocimiento Ingenieril del mecanismo de falla

Tiene ms poder para hacer una decisin correcta que enlas pruebas no-paramtricas Rinde informacin ms precisa que los mtodos no-

paramtricos Los intervalos de confianza son ms amplios usando no-

paramtricas

Permite extrapolar fuera del rango de los datos



70/275

1-70

Confiabilidad Desventajas

El uso no apropiado delmodelo puede llevar aconclusiones incorrectas

Implica un conocimientoprevio del comportamientode los mecanismos de fallay su efecto en laobservacin estadstica

Si no se conoce nadasobre la falla debe tenersecuidado en unprocedimiento paraseleccionar un modeloadecuado.

Cuadro de Distribuciones


71/275

1-71

h() ()()

t f t

Rt

f tt

( ) exp

1

2

1

2

2

Rt zdzzt

() ()()

h

( ) (

)( )

t z

R z

f tt t

( ) exp

bh h h

b b1

Modelos Comunes

de Confiabilidad

f tt

t( ) exp

ln( )

1

2

1

2

2

R t z dzz[ln(t

( ) ( ))]

R t t( ) exp

h

b

h bh h

b

()tt

1

f(t) = lexp(-lt)

R(t) = exp(-lt)

h(t) = l

Exponencial Weibull Normal Lognormal

Funcin de Densidadde Probabilidad (pdf),f(t)

Funcin deConfiabilidad, R(t)

Funcin de Tasa deFalla, h(t)

Tiempo Medio EntreFallas (MTBF)

T 1

lT h

b( )

11 mediaT

ln(t)funcionlaesT'donde

)2

1'exp( '

2TTT

Parmetros 1/l= escalasin forma

h = escala

b = forma, opendiente Weibull

media = localizacin= escala media de lns = escalade lns= forma

Aplicaciones Sistema complejovida tilelectrnica

b < 1, fallas infantilesb = 1, exponencialb > 1, desgasteb app 3.4, app. normalmuy flexiblebien para fatiga encomponentes mecnicos

z(t) = (t - )/(z) = pdf normal std.desgaste altoefectos aditivos (CLT)

z[ln(t)] = (ln(t) - )/donde = media de lns

= desv. std. de lns(z) = pdf normal std.fatiga en metalesdesgaste de partes mecnicasefectos multiplicativos

Cuadro de Distribuciones

Identificacin de Modelos


72/275

1-72


Debemos de elegircuidadosamente el modeloapropiado de distribucin de vida Cualquiera que sea el mtodo usado

para escoger el modelo, debemosverificar:

que tenga sentido - por ejemplo no usarun modelo exponencial que tiene una

tasa de falla constante para modelar unafalla de desgaste.

Pasar las pruebas estadsticas y visualespara ajuste de datos



73/275

1-73

Identificacin de Modelos Grficas, Abrir: identificacin.mtw

0 100 200 300 400 500

95% Confidence Interval f or Mu

48 58 68 78 88 98 108 118 128 138

95% Confidence Interv al for Median

Variable: T

A-Squared:P-Value:

MeanStDev

VarianceSkewnessKurtosisN

Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum

72.713

84.475

53.078

2.3390.000

101.453101.127

10226.72.008375.38151

50

0.12430.89882.077

124.588520.432

130.193

126.018

102.444

Anderson-D arling N orm alit y Test


95% Confidence Interv al for Sigma

95% Confidence Interv al f or Median

Descriptive Statistics

Seguir la secuencia STAT>Basic Statistics>Display Descriptive Statistics

No pasa el criteriode normalidad

=0.9966, elcoeficiente devariacin esprcticamente 1

Media y desviacin

estndar soniguales

Sesgo >0distribucin sesgadaa la derecha

Curtosis >3, tiene

ms agudeza queuna normal


74/275

1-74


Grficas

Abrir:identificacin.mtw



75/275

1-75


1

5

10

20

3040506070

80

90

95

99

-100 0 100 200 300 400 500

Normal

1

5

10

20

3040506070

80

90

95

99

0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0

Lognormal

1

2

3

5

10

20

3040

60

75

9095

99

0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0

Weibull

1030

50607080

90

95

97

98

99

0 100 200 300 400 500

Exponential

Four-way Probability Plot for TNo censoring

Cul ajusta mejor...?

Id tifi i d M d l


76/275

1-76


El modelo

exponencial



77/275

1-77


0 100 200 300 400 500

1510203040506070

80

90

95

99

Exponential Probability

Percent

0 100 200 300 400 500

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Survival Function

0 100 200 300 400 500

0.00980

0.00985

0.00990

Hazard Function

0 100 200 300 400 500 600 700

0.000

0.005

0.010

Probability Density Function

Overview Plot for TNo censoring

Exponential

ML Estimates

Mean: 101.453

Fail. Rate: 9.86E-03

MTBF: 101.453


78/275

1-78

Ahora Usted... Abra los datos en distribucin.mtw (los

del captulo 1) y proponga qu modelo de

distribucin los representa mejor. Analice los datos en la columna C5

Obtenga las grficas

Calcule los estadsticos descriptivos

Utilice algn procedimiento automatizado paraidentificacin de distribucin

proponga una distribucin

Ejercicio

Ej i i


79/275

1-79

0 50 100 150 200 250 300

95% Confidence Interv al f or Mu

60 70 80 90 100 110 120

95% Conf idence Interv al f or Median

Variable: tiempo

A-Squared:P-Value:

MeanStDevVariance

SkewnessKurtosisN

Minimum1st QuartileMedian3rd QuartileMaximum

81.968

55.662

61.055

2.3460.000

98.932065.66714312.17

1.303991.49195

60

9.52049.54976.642

136.566302.010

115.896

80.092

98.620

Anderson-Darling Normality Test


95% Confidence Interv al for Sigma

95% Conf idence Interv al f or Median

Descriptive Statistics

Ejercicio

Ej i i


80/275

1-80

Ejercicio

1

5

10

20

3040506070

80

90

95

99

0 100 200 300

Normal

1

5

10

20

3040506070

80

90

95

99

10 100

Lognormal

1

2

3

5

10

20

3040

60

75

9095

99

10 100

Weibull

1030

506070

80

90

95

97

98

99

0 100 200 300 400

Exponential

Four-way Probability Plot for tiempoNo c ensoring

Ej i i


81/275

1-81

Ejercicio

10 100

1

5

10

20

3040506070

80

90

95

99

Lognormal Probability

Percent

0 100 200 300 400

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Survival Function

0 100 200 300 400

0.005

0.010

0.015

Hazard Function

R

ate

0 100 200 300 400 500 600

0.000

0.005

0.010

Probability Density Function

Overview Plot for tiempoNo censoring

Lognormal

ML Es timates

Location: 4.38759

Scale: 0.66066

MTBF: 100.066

MTBreporta la

media y la

desviacin

estndar

de loslogaritmos

de los

tiempos


82/275

1-82

Puntos Clave

Los modelos paramtricos tienen muchas ventajaspara modelar situaciones de confiabilidad.

Es necesario asegurar cul es el modelo msapropiado para modelar

La decisin depende del conocimiento delmecanismo de falla y la forma en que se observa.

Las distribuciones tienen parmetros que le danciertas caractersticas: forma, escala, localizacin.

Recuerde siempre confirmar el modelo dedistribucin a usar y ver que las propiedadescorrespondan a lo conocido sobre la falla


83/275

1-83

3. DEFINICIN DE

PROYECTOS DE

CONFIABILIDAD

Objetivo


84/275

1-84

jPropsitos: Conocer las herramientas utilizadas en la identificacin

de proyectos de confiabilidad. Asegurar el control del impacto en el sistema bajo

estudio, en un proyecto de confiabilidad a travs del usode las herramientas para la identificacin de proyectos.

Aprender de un proyecto real la secuencia e integracinde las herramientas para la identificacin de proyectos deconfiabilidad.


85/275

1-85

DMAIC Y Confiabilidad

Definicin Anlisis

Obj ti d t i l

Medicin

Identificar Obj ti d t i l

Mejora

O


86/275

1-86

Objetivo: determinar las"X" vitales

Pruebas Estadsticas:Comparacin deConfiabilidad actualcontra propuesta:

Anlisis Paramtrico,Anlisis No Paramtrico.Diseo de experimentospara eliminar X's.Regresin de parmetrosObservacin de tiemposde falla o degradacin deY

Sistema de Medicin,Calibrado, Lineal,Estable, Gage RyR

Conceptos de Confiabilidad

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