“Año de la Diversificación Productiva y del Fortalecimiento de la

Educación”

Facultad de Ingeniería, Arquitectura y Urbanismo

Escuela Profesional de Ingeniería Mecánica

Estudiante : Gamarra Miranda Ángel Brady

Curso : TRANSFERENCIA DE CALOR

Profesor : Dr. Jorge A. Olortegui Yume.

Tema : Conducción en cilindros huecos, radio crítico

Año Académico : 2015 - II

Ciclo : VI

Pimentel, Chiclayo- 2015

CONDUCCION EN ESTADO ESTACIONARIO UNA DIMENCIÓN

CILINDROS HUECOS.

Considere la conducción estacionaria de calor a través de un tubo de agua

caliente. El calor se pierde en forma continua hacia el exterior a través de la pared del

tubo e, intuitivamente, se siente que la transferencia de calor a través de éste se efectúa

en la dirección normal a su superficie y no se tiene alguna transferencia significativa en

otras direcciones.

La pared del tubo, cuyo espesor es más bien pequeño, separa dos fluidos a

temperaturas diferentes y, en consecuencia, el gradiente de temperatura en la dirección

radial es relativamente grande. Además, si las temperaturas de los fluidos, dentro y fuera

del tubo, permanecen constantes, entonces la transferencia de calor a través de ese tubo

es estacionaria. Por lo tanto, la transferencia de calor a través del tubo se puede

considerar estacionaria y unidimensional. En este caso, la temperatura del tubo depende

sólo de una dirección (la dirección r radial) y se puede expresar como T T(r). La

temperatura es independiente del ángulo azimutal o de la distancia axial. Esta situación se

presenta aproximadamente en la práctica en los tubos cilíndricos largos y en los

recipientes esféricos.

En operación estacionaria no se tiene cambio en la temperatura del tubo con el

tiempo en cualquier punto. Por lo tanto, la razón de la transferencia de calor hacia el tubo

debe ser igual a la razón de la transferencia hacia afuera de él. En otras palabras, la

transferencia de calor a través del tubo debe ser constante, Q°cond, cil = constante

Un ejemplo común es el cilindro

hueco, cuyas superficies interna y externa

se exponen a fluidos con diferentes

temperaturas. Para condiciones de

estado estable sin generación de calor, la

forma apropiada de la ecuación de calor

es:

1r

ddr

¿

Ilustración 1 cilindro hueco trasferencia de calor

Donde, k se trata como una variable. El significado físico de este resultado se vuelve

evidente si consideramos también la forma apropiada de la ley de Fourier. La rapidez a la

que se conduce la energía a través de cualquier superficie cilíndrica en el sólido se

expresa como:

Q°=−K AdTdr

=−K (2πrL ) dTdr

…2

Donde A = 2πrL es el area normal a la dirección de la transferencia de calor. Como la

ecuación anterior 1 dicta que la cantidad kr (dT /dr) es independiente de r, se sigue de

la ecuación de la transferencia de calor por conducción Q° (no el flujo de calor Q ) es una

constante en la dirección radial.

Al separar las variables de la ecuación antes dada e integrar desde r = r1, donde

T(r1)=T1, hasta r = r2, en donde T(r2) = T2, da:

∫r=r 1

r2 Q°con , cil4 π

dr=− ∫T=T1

T2

K d T…3

Y al sustituir A =2πrL y realizar la integración se obtiene.

Q°cond ,cil=4 π LK(T 1−T2 )

ln( r2r1 )…… .4

dado que Q°cond, cil = constante. Esta ecuación se puede reacomodar para que quede:

Q°cond ,cil=(T 1−T 2 )

Rcil

… .. 5

Donde la resistencia del cilindro queda expresada como:

: Rcil=

ln( r2r1 )2 πLk

…… .. 6

r2. Radio exterior, r1 Radio interior, k conductividad térmica, L longitud del tubo

cilíndrico.

Considere ahora el flujo unidimensional de

calor en estado estacionario a través de

una capa cilíndrica o esférica que está

expuesta a la convección en ambos lados

hacia fluidos que están a las temperaturas

T∞1 y T∞2, con coeficientes de

transferencia de calor h 1 y h 2,

respectivamente,. En este caso, la red de

resistencias térmicas consta de una

resistencia a la conducción y dos a la

convección, en serie, precisamente como

aquélla para la pared plana y la razón de la

transferencia de calor en condiciones

estacionarias se puede expresar como:

Q°=T∞1−T∞2

R total

….7

Rtotal=Rconv, 1+Rcil+Rconv ,2

Rtotal=1

(2 π r1L )h1+

ln( r 2r1 )(2π L ) k

+ 1(2π r2L )h2

… ..8

Cilindros y esferas con capas múltiples.

La transferencia de calor estacionaria a través de capas cilíndricas o esféricas múltiples

se puede manejar como en el caso de las paredes planas de capas múltiples que se

discutió antes, simplemente al sumar una resistencia adicional en serie por cada capa

adicional. Se puede expresar como:

Q°=T∞1−T∞ 4

R total

Ilustración 2 diagrama de resistencias de transferencia de calor

Donde R total es la resistencia térmica total, expresada como:

Rtotal=Rconv, 1+Rcil , A+Rcil , B+Rcil ,C+Rconv, 2

Rtotal=1

h1 A1+

ln( r2r1 )(2π L ) k A

+

ln( r3r 2 )(2π L ) kB

+

ln( r 4r 3 )(2π L ) kC

+ 1h2 A4

…….9

Una vez que se conoce Q° se puede

determinar cualquier temperatura intermedia.

T al aplicar la relación Q° = (T∞1 _ T) / R total,

de esa sección a través de cualquier capa o

cualesquiera capas, en tal forma que T∞1 sea

una temperatura conocida en la ubicación R

total, sea la resistencia térmica total entre las

ubicaciones.

La ecuación para determinar las nuevas temperaturas se expresa de esta forma:

Q=T ∞1−T 2

Rconv ,1+Rcil, 1

=T ∞1−T2

1h1 (2π r1 L )

+

ln( r2r1 )(2π L ) k A

……… 10

EJEMPLO 1

Ilustración 3 transferencia de calor varias capas cilibndricas

Un tubo de acero inoxidable de pared gruesa [18% Cr, 8% Ni, k = 19 W/m.°c] con 2 cm de diámetro

interno y 4 cm de diámetro externo, está cubierto con una capa aislante de asbesto de 3 cm [k =

0.2 W/m.°C]. Si la temperatura de la pared interna del tubo se mantiene a 600 °C y el exterior del

aislante de 100 °C. calcule la pérdida de calor por

metro de longitud.

Solución

La figura a continuación muestra el sistema

térmico para este problema sin tener en cuenta la

transferencia por conducción. El flujo de calor se

expresa por:

Q°=T1−T 2Rtotal

Rtotal=

ln( r 2r 1 )(2π L ) KS

+

ln( r3r2 )(2π L )K A

=¿ln( 0.040.02 )(2π 1 )19

+ln( 0.070.04 )(2π 1 )0.2

=0.4511

Q°=T1−T 2Rtotal

=(600−100)° C

0.4511=1108.4016W /m

RADIO CRITICODE ALISLAMIENTO EN CILINDROS HUECOS.

Consideremos una capa de aislante que podría intalarse alrededor de una tubería circular. La

temperatura interior del aislante se fija en T1 , y la superficie exterior está expuesta a un medio de

convección en T ∞. A causa de la red térmica, la transferencia de calor es:

Q.=T 1−T ∞

Rais+Rconv

=T 1−T ∞

ln (r2r1

)

2πLK+ 1h (2π r2 L)

En la figura se tiene la gráfica de la

variación de Q con el radio exterior del

aislamiento r 2. El valor de r 2 al cual Q

alcanza un máximo se determina a partir

del requisito de que dQ /d r2 = 0 (pendiente

cero). Al derivar y despejar r2 resulta que el

radio crítico de aislamiento para un

cuerpo cilíndrico es:

rcr ,cilindro=kh

Note que el radio crítico de aislamiento

depende de la conductividad térmica del aislamiento k y del coeficiente externo de

transferencia de calor por convección h. La razón de la transferencia de calor del cilindro

aumenta con la adición de aislamiento para r2 ˂ rcr, alcanza un máximo cuando r2 = rcr y

empieza a decrecer para r2 ˃ rcr. Por lo tanto, en realidad, aislar el tubo puede aumentar

la razón de la transferencia de calor del tubo en lugar de disminuirla cuando r2 ˂ rcr

El valor del radio crítico rcr alcanzará un máximo cuando k sea grande y h sea

pequeño. Dado que el valor más bajo de h que se encuentra en la práctica es de

alrededor de 5W/m^2 ·°C, para el caso de convección natural de los gases y que la

conductividad térmica de los materiales aislantes comunes es alrededor de 0.05 W/m ·

°C, el valor más grande del radio crítico que probablemente se encuentra es:

rcr ,max=kmax ,ais

hmin

=0.05w /m2 . ° C5w /m .°C

=0.01m=1cm

Este valor incluso sería más pequeño si se consideraran los efectos de la radiación. Los

radios críticos serían muchos menores en la convección forzada, con frecuencia menores

a 1 mm, debido a los valores mucho más grandes de h asociados con la convección

forzada.

Ilustración 5 variacion de trasferencia con aislante

Ejemplo 2.

Calcule el radio crítico de aislamiento para asbesto [k = 0.17 W/m.°C] que rodea a una

tubería y que está expuesto al aire de un cuarto a 20 °C con h = 5.0 W/m^2. °C. Calcule la

pérdida de calor de una tubería de 5.0 cm de diámetro a 200 “C, cuando se encuentra

cubierta con el radio crítico de aislamiento y sin el aislante.

Solución.

Calculamos el radio critico del aislante.

rcr ,cilindro=kh=0.17w /m.°C

5w /m2=0.034m=3.4cm

El radio interno del aislante es 5.0/2 = 2.5 cm, de manera que la transferencia de calor se

calcula en la ecuación. Teniendo transferencia de calor por convección en el exterior:

Q°=T0−T∞

R total

Rtotal=

ln( r0r1 )(2π L ) k

+ 1(2π r0 L )h

=ln( 0.0340.025 )(2 π1 )0.17

+ 1(2π 0.034 x 1 )5

=1.2240

Q°=T0−T∞

R total

=(200−20)°C1.2240

=147.0588W /m

Sin aislante, la convección de la superficie externa de la tubería es:

Q°=h A (T 0−T ∞ )=5 (2 π x 0.025 ) x (200−20 )=141.37w /m

Entomces con ese espesor de aislante aumenta la transferencia de calor.

Ejemplo 3:

Se transporta vapor de agua sobrecalentado, a una temperatura promedio de 200°C, por

un tubo de acero (k = 50 W/m · K, Do = 8.0 cm, Di _=6.0 cm y L = 20.0 m). El tubo está

aislado con una capa de 4 cm de espesor de argamasa de yeso (k = 0.5 W/m · K), y se

encuentra colocado en forma horizontal en el interior de un almacén en donde la

temperatura promedio del aire es de 10°C. Se estima que los coeficientes de transferencia

de calor del vapor de agua y del aire son 800 y 200 W/m2 · K, respectivamente. Calcule

a) la transferencia de calor por día desde el

vapor de agua sobrecalentado y b) la

temperatura de la superficie exterior del

material aislante de argamasa de yeso

Q°=T0−T∞

R total

Ri=1

hi Ai

+ 1

(800W /m2 .° C)(πx0.06mx20m)=0.0003316 °C /w

R steel=

ln(D 2

D1)

(2 π L )k=

ln( 86 )(2π 20 )50

=0.00004587 ° C /w

Rins=

ln( D3

D2)

(2π L ) k=

ln( 168 )(2 πx0.5 )20

=0.011031°C /w

R0=1

h0 A0+ 1

(200W /m2 . °C)(πx 0.16mx 20m)=0.004973 °C /w

Encontramos la resistencia total equivalente:

Rtotal=R i+R steel+Rins+R0

Rtotal=0.01190

Q°=T0−T∞

R total

=200−100.01190

=15.957W

b).- la temperatura de la superficie exterior del material aislante de argamasa

de yeso

Q°=T s−T o

R0

15957w=T s−100.0004974

=17.9 ° C