CNICAS ROTADAS

CLCULO VECTORIAL

ROTACIN DE EJES

Ax2 +By2 +Dx +Ey+F = 0

Ecuacin cannica de una cnica trasladada:

Crculo Si A = B Parbola Si A o B es cero. Elipse Si A y B Ienen mismo signo. Hiprbola Si A y B Ienen diferente signo.

Ax2 +Bxy+Cy2 +Dx +Ey+F = 0

Ecuacin cannica de una cnica rotada:

Formulas de rotacin de ejes: y = Xsen! +Y cos!

Parbola Si D = 0 Elipse Si D < 0 Hiprbola Si D > 0

(D = B2 - 4AC)

sen(! +" ) = yr

sen! = Yr

cos! = Xr

cot 2! = A!CB

ngulo agudo de rotacin:

cos(! +" ) = xr

x = X cos! !Y sen!

EJEMPLO IdenIfique y trace la curva correspondiente: 6 3x2 + 6xy+ 4 3y2 = 21 3

D = B2 - 4AC = 62 ! 4 6 3( ) 4 3( ) = !252 < 0" Elipse

cot 2! = A!CB

=6 3 ! 4 3

6=

33

Eliminacin del trmino xy:

! =

arccot 33

!

"#

$

%&

2= 30o

y = Xsen! +Y cos! = X 12!

"#$

%&+Y

32

!

"#

$

%&

x = X cos! !Y sen! = X 32

"

#$

%

&'!Y 1

2"

#$%

&'

SusItuyendo en las ecuaciones de rotacin de ejes: cos! = 32

;sen! = 12

SusItuyendo en las ecuacin dada:

6 3x2 + 6xy+ 4 3y2 = 21 3

6 3 X 32

!

"#

$

%&'Y 1

2!

"#$

%&

!

"##

$

%&&

2

+ 6 X 32

!

"#

$

%&'Y 1

2!

"#$

%&

!

"##

$

%&& X

12!

"#$

%&+Y

32

!

"#

$

%&

!

"##

$

%&&+ 4 3 X

12!

"#$

%&+Y

32

!

"#

$

%&

!

"##

$

%&&

2

= 21 3

Al desarrollar y agrupar trminos semejantes:

7 3X 2 +3 3Y 2 = 21 3

X 2

3+Y 2

7=1

Dividiendo por 21 3 :

EJEMPLO IdenIfique y trace la curva correspondiente: 64x2 + 96xy+36y2 !15x + 20y! 25= 0

D = B2 - 4AC = 962 ! 4 64( ) 36( ) = 0" Parbola

cot 2! = A!CB

=64!3696

=2896

=724

Eliminacin del trmino xy:

cos2! = 725sen! = 1! cos2!

2=1! 7252

=925

=35

cos! = 1+ cos2!2

=1+ 7252

=1625

=45

(frmulas de ngulo medio)

y = Xsen! +Y cos! = X 35!

"#$

%&+Y

12!

"#$

%&

x = X cos! !Y sen! = X 45"

#$%

&'!Y

35"

#$%

&'

SusItuyendo en las ecuaciones de rotacin de ejes:

64 X 45!

"#$

%&'Y

35!

"#$

%&

!

"#

$

%&

2

+ 96 X 45!

"#$

%&'Y

35!

"#$

%&

!

"#

$

%& X

35!

"#$

%&+Y

12!

"#$

%&

!

"#

$

%&+36 X

35!

"#$

%&'Y

12!

"#$

%&

!

"#

$

%&

2

'15 X 45!

"#$

%&+Y

35!

"#$

%&

!

"#

$

%&+ 20 X

35!

"#$

%&+Y

12!

"#$

%&

!

"#

$

%&' 25= 0

64x2 + 96xy+36y2 !15x + 20y! 25= 0SusItuir en la ecuacin original:

Al desarrollar y agrupar trminos semejantes:

100X 2 + 25Y ! 25= 0

X 2 = 25100

(Y !1)

X 2 = 14(Y !1) ! = cos!1

45"

#$%

&'= 37o