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Notas de clase del profe nacho

Conjuntos

Primera edicin Versin beta.3 Enero de 2013

ii Lgica

Notas de clase del profe nacho Conjuntos Primera edicin Versin beta.3 Enero de 2013 Documento gratuito www.nacho.unicauca.edu.co [email protected]

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Prefacio La discusin matemtica de los conjuntos puede considerarse como una muestra elemental e ilustrativa, entre varias posibles, de la naturaleza de las matemticas. En efecto, tal discusin le dar a usted la oportunidad de experimentar un primer acercamiento a la forma bastante particular en que los matemticos tratan los asuntos que les conciernen. En particular, tendr la ocasin de familiarizarse con los aspectos tcnicos del mtodo estndar de las matemticas. Desde el comienzo, reconocer el lenguaje con el cual se comunican los matemticos y confirmar que no es otro sino el lenguaje de la lgica. De hecho, constatar el uso intensivo de ciertos tipos de argumentos vlidos en la elaboracin continua de razonamientos propios de las matemticas. Todo esto se revelar ante usted como una asombrosa fuente de complejas ideas construidas a partir de conceptos extremadamente elementales. Desde otra perspectiva, el tema es de carcter fundamental puesto que en la actualidad prcticamente todas las reas de las matemticas hacen uso, ms o menos extenso, del lenguaje, la notacin y los resultados bsicos en relacin con los conjuntos. La forma en que presento el tema en este documento presupone el conocimiento del documento titulado Lgica. En particular, presupone el conocimiento de las reglas de inferencia, incluida su nomenclatura, presentadas all. Como un pequea recurso tipogrfico, utilizo la denominada tumba de Halmos (un pequeo cuadrado que tradicionalmente indica la finalizacin de la demostracin de un teorema) en forma un tanto liberal: indicar la finalizacin de todo bloque de texto que, a semejanza de las demostraciones de teoremas, exprese la justificacin total no solo de teoremas sino tambin de ejemplos.

iv Lgica

Contenido Prefacio ................................................................................................................. iii 1. El concepto de conjunto ................................................................................... 1

1.1. Conjuntos ...............................................................................................................................................1 1.2. Elementos ...............................................................................................................................................1 1.3. Formas de definir un conjunto ................................................................................................................2 1.4. Igualdad de conjuntos .............................................................................................................................4 1.5. El conjunto vaco ....................................................................................................................................6 1.6. Conjuntos unitarios .................................................................................................................................7 1.7. Parejas ....................................................................................................................................................7 1.8. Ternas .....................................................................................................................................................8 1.9. Diagramas de Venn ................................................................................................................................8 1.10. Ejercicios ................................................................................................................................................9 El smbolo del conjunto vaco ............................................................................................................................. 11

2. Inclusin ......................................................................................................... 13 2.1. Inclusin ............................................................................................................................................... 13 2.2. Propiedades bsicas de la inclusin ...................................................................................................... 15 2.3. Inclusin propia .................................................................................................................................... 16 2.4. Pertenencia e inclusin ......................................................................................................................... 17 2.5. Conjuntos universales ........................................................................................................................... 18 2.6. Ejercicios .............................................................................................................................................. 19 Aunque usted no lo crea ..................................................................................................................................... 20

3. Colecciones .................................................................................................... 21 3.1. Colecciones .......................................................................................................................................... 21

4. Conjuntos de partes ........................................................................................ 25 4.1. Conjuntos de partes .............................................................................................................................. 25 4.2. Ejercicios .............................................................................................................................................. 26

5. Unin .............................................................................................................. 29 5.1. Unin .................................................................................................................................................... 29 5.2. Propiedades bsicas de la unin ........................................................................................................... 32 5.3. Otras propiedades de la unin............................................................................................................... 40 5.4. Uniones generalizadas .......................................................................................................................... 44 5.5. Ejercicios .............................................................................................................................................. 47

vi Lgica

6. Interseccin .................................................................................................... 49 6.1. Interseccin .......................................................................................................................................... 49 6.2. Propiedades bsicas de la interseccin ................................................................................................. 52 6.3. Dos leyes distributivas ......................................................................................................................... 57 6.4. Intersecciones generalizadas ................................................................................................................ 61 6.5. Ejercicios ............................................................................................................................................. 64

7. Diferencia ....................................................................................................... 67 7.1. Diferencia ............................................................................................................................................ 67 7.2. Ejercicios ............................................................................................................................................. 74

8. Diferencia simtrica ....................................................................................... 77 8.1. Diferencia simtrica ............................................................................................................................. 77 8.2. Propiedades de la diferencia simtrica ................................................................................................. 80 8.3. Ejercicios ............................................................................................................................................. 89

9. Complementacin .......................................................................................... 93 9.1. Complementacin ................................................................................................................................ 93 9.2. Propiedades de la complementacin .................................................................................................... 96 9.3. Ejercicios ........................................................................................................................................... 105

10. Producto cartesiano ...................................................................................... 107 10.1. Parejas ordenadas ............................................................................................................................... 107 10.2. Producto cartesiano ............................................................................................................................ 109 10.3. tuplas ordenadas ............................................................................................................................ 112 10.4. Producto cartesiano generalizado ....................................................................................................... 114 10.5. Ejercicios ........................................................................................................................................... 116

Respuestas a los ejercicios .................................................................................. 119

1. El concepto de conjunto

1.1. Conjuntos Los seres humanos adquirimos intuitivamente el concepto de conjunto cuando observamos un rebao de ovejas en una pradera, o una bandada de pjaros volando, o un banco de arenques en el mar, o un grupo de ciclistas pedaleando por una carretera, o una multitud de rboles en un bosque, o un grupo de estudiantes en un saln asistiendo a clase, etc. Intuitivamente, un conjunto es una agrupacin, o colectividad, o totalidad, o congregacin, de objetos de cualquier naturaleza. Letras como , , , representarn conjuntos. Eventualmente, otros tipos de smbolos podrn tambin representar conjuntos. Por ejemplo, un poco ms adelante usaremos letras como A ,B ,C, para representar cierto tipo de conjuntos. 1.2. Elementos Cada uno de los objetos que constituyen un conjunto se denomina un elemento (o un miembro) de dicho conjunto. El smbolo

significa que es un elemento de . Por su parte, el smbolo

significa que no es un elemento de . La relacin entre objetos y conjuntos simbolizada por se denomina la relacin de pertenencia y el smbolo se llama el smbolo de pertenencia. En lugar de la expresin es un elemento de se usan tambin las siguientes:

es un miembro de

2 Lgica

pertenece a

est en

posee a

est contenido en

contiene a No es muy recomendable el uso de las dos ltimas expresiones ya que ms adelante usaremos las palabras contenido y contiene con otro sentido.

Ortografa matemtica: El smbolo de pertenencia

Observe con atencin el smbolo de pertenencia:

Note que tiene la forma de una herradura abierta hacia la derecha con una barrita adicional en el centro. Es como la cabeza de un tridente. No debe confundirse con ninguno de los dos smbolos

los cuales son dos versiones de la letra griega psilon que tambin se usa en matemticas pero con otros fines. Tampoco debe confundirse con la letra e mayscula:

E Si usted se est preguntando qu tienen que ver estas observaciones con el tema en discusin, considere lo siguiente: Qu tal si todos tuvisemos la libertad de escribir los smbolos matemticos como nos gustase a cada uno? Las matemticas se convertiran en una torre de Babel! Tenemos que procurar escribir los smbolos matemticos lo mejor que podamos, aproximndonos cuanto podamos a su forma correcta. En otras palabras, quizs le resulte inesperado pero el lenguaje escrito de las matemticas tiene su propia ortografa.

1.3. Formas de definir un conjunto Hay dos formas de definir un conjunto. La primera se denomina por extensin. Se dice que un conjunto se define por extensin cuando se hace un listado explcito de todos sus elementos. Estos se escriben entre llaves separados por comas. Por ejemplo,

Correcto

Incorrectos

Incorrecto

3 2. Inclusin

{Mateo, Marcos, Lucas, Juan}

es un conjunto definido por extensin. La segunda se denomina por comprensin o por abstraccin. Se dice que un conjunto se ha definido por comprensin cuando sus elementos, en lugar de listarse explcitamente, se especifican mediante una condicin que los caracteriza. Por ejemplo,

{ es uno de los evangelistas} es un conjunto definido por comprensin. Observe la forma en que est escrito este smbolo: Dentro de un par de llaves se escriben sucesivamente una variable (en este caso ), dos puntos y, finalmente, la condicin que caracteriza los elementos del conjunto escrita en forma de proposicin abierta en dicha variable (en este caso x es uno de los evangelistas). En lugar de los dos puntos tambin se usa una barrita vertical:

{ es uno de los evangelistas} Note que la intuicin nos dice que el conjunto { es uno de los evangelistas} es en realidad el mismo conjunto {Mateo, Marcos, Lucas, Juan}. En efecto, se trata del mismo conjunto definido de dos maneras distintas. Algo as no siempre es posible. Lo cierto es que la mayora de conjuntos solo pueden definirse por comprensin. Por ejemplo, el conjunto

{ es un nmero natural} es un conjunto definido por comprensin, pero que no puede definirse por extensin por la sencilla razn de que posee una cantidad infinita de elementos! y por tanto es imposible para nosotros hacer un listado explcito de todos esos elementos. No obstante, en casos como este se hace uso de una notacin que parece por extensin pero que en realidad no lo es y, adems, tampoco es por comprensin:

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, } La idea es escribir explcitamente una cantidad suficiente de elementos del conjunto de tal manera que ellos sugieran cules son todos los elementos de dicho conjunto.

Ortografa matemtica: La notacin de los conjuntos

El uso de parntesis en modalidad de llaves es obligatorio en la notacin de los conjuntos. As, el conjunto

{0, 1, 2, 3} no debe escribirse como

Correcto

4 Lgica

(0, 1, 2, 3) ni como

[0, 1, 2, 3] ya que estas notaciones, adems de ser incorrectas en el caso de los conjuntos, se usan para otros fines. Igualmente incorrecta es la notacin

{0 1 2 3} en la que se han omitido las comas que separan los elementos del conjunto. Estas deben escribirse en todos los casos.

1.4. Igualdad de conjuntos Dado que lo que finalmente caracteriza a un conjunto son sus elementos y nada ms, la igualdad de conjuntos se define precisamente con base en ese hecho.

Definicin Se dice que es igual a , y se escribe

= si posee exactamente los mismos elementos que . En caso contrario, se dice que es diferente de , o que es distinto de , y se escribe

Puesto que el conjunto

{Mateo, Marcos, Lucas, Juan} posee exactamente los mismos elementos que el conjunto

{ es uno de los evangelistas}

Ejemplo

Incorrecto

Incorrecto

Incorrecto

5 2. Inclusin

entonces

{Mateo, Marcos, Lucas, Juan} = { es uno de los evangelistas} El orden en que se escriban los elementos de un conjunto es irrelevante. As, tenemos que

{, } = {, } Tambin son irrelevantes las repeticiones de elementos:

{, } = {, , } = {, , } = {, , , } = {, , , , , , } etc. En consecuencia, una igualdad como

{, , , , , , , , , } = {, } es correcta. Los tres teoremas siguientes establecen propiedades fundamentales de la relacin de igualdad entre conjuntos.

Teorema (Propiedad reflexiva de la igualdad)

=

Demostracin posee exactamente los mismos elementos que .

Teorema (Propiedad simtrica de la igualdad)

Si = entonces =

Demostracin Si posee exactamente los mismos elementos que entonces posee exactamente los mismos elementos que .

Teorema (Propiedad transitiva de la igualdad)

Si = y = entonces =

Demostracin Si posee exactamente los mismos elementos que y posee exactamente los mismos elementos que entonces los tres conjuntos, , y ,

6 Lgica

poseen exactamente los mismos elementos. En particular, posee exactamente los mismos elementos que . 1.5. El conjunto vaco

Definicin El conjunto vaco es aquel que no posee elementos. Se nota por cualquiera de los dos smbolos

{ }

Lo cierto es que actualmente el smbolo es mucho ms utilizado que { }. Tan solo ocasionalmente, algunos autores prefieren { }. Resulta curioso observar que el smbolo { } no representa otra cosa sino la definicin por extensin! del conjunto vaco. Por otra parte, tambin es posible definirlo por comprensin en forma por dems ingeniosa como

{: }

Conjunto vaco? Es una broma? Cmo puede ser un conjunto si no posee elementos? El papel del conjunto vaco en matemticas se parece un poco al del nmero natural cero. Los nmeros naturales 0, 1, 2, ... , etc., se originaron en el proceso de contar. Podramos preguntarnos: Entonces, qu hace el nmero 0 en la lista de nmeros naturales si l no se usa para contar? Bueno, la verdad es que, histricamente, al comienzo los nmeros naturales no incluyeron al cero. Pero ms

adelante fue incluido para ciertos propsitos que tienen que ver con el proceso de contar. Por ejemplo, en el proceso de contar, comenzamos con 1, 2, 3, ... , etc., y despus del 9 sigue el 10. Ah est el cero! 10 significa 1 decena y 0 unidades. El cero aqu est contando el nmero de unidades que llevamos cuando completamos la primera decena. Y, de ah en adelante, el cero est presente, por ejemplo, en cada mltiplo de 10. Se puede ver que, en tratamientos rigurosos del concepto de conjunto, el conjunto vaco est presente en la construccin de muchos conjuntos. Por otra parte, en matemticas el conjunto vaco no se entiende como nada (como podra sugerir la palabra vaco) sino como algo que simplemente no posee elementos. Quizs una analoga til es pensar en los conjuntos como en cajas (de cartn, si usted desea) que contienen a sus propios elementos. En el contexto de esta analoga podemos pensar en el conjunto vaco como en una caja ... vaca! De este modo, estamos pensando en el conjunto vaco como en un objeto concreto, una situacin muy diferente a la pensarlo como nada. (No obstante, conviene advertir que este tipo de analogas deben tomarse con cuidado. Por ejemplo, mientras que en el mundo real hay muchas cajas vacas diferentes, en el mundo de las matemticas hay un nico conjunto vaco.)

7 2. Inclusin

1.6. Conjuntos unitarios

Definicin Un conjunto se llama unitario (o singular) si posee un nico elemento.

Por consiguiente, todo conjunto unitario es de la forma

{} donde es su nico elemento. {3} es un conjunto unitario. Entonces podemos escribir 3 {3} y afirmar que 3 es el nico elemento del conjunto {3}. 1.7. Parejas

Definicin Una pareja es un conjunto de la forma

{, } donde los objetos y no necesariamente son distintos.

{2 , 6} es una pareja que posee exactamente dos elementos:

2 {2 , 6} 6 {2 , 6} Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, una pareja! En efecto:

{} = { , } Aqu no hay ninguna contradiccin. La definicin de pareja incluye esta posibilidad.

Ejemplo

Ejemplo

8 Lgica

1.8. Ternas

Definicin Una terna es un conjunto de la forma

{ , , } donde los objetos , y no necesariamente son todos distintos entre s.

El conjunto {4 , 6 , 8} es una terna que posee exactamente tres elementos:

4 {4 , 6 , 8}

6 {4 , 6 , 8}

Note que todo conjunto unitario es, al mismo tiempo, una terna. En efecto:

{} = {, , } Note tambin que toda pareja es, al mismo tiempo una terna:

{, } = {, , } 1.9. Diagramas de Venn Resulta til disponer de una forma general de representar grficamente los conjuntos. La posibilidad de visualizarlos, por medio de dibujos, constituye un valioso apoyo a la intuicin. En ocasiones, un dibujo es capaz de sugerir, en forma instantnea y con claridad meridiana, una idea abstracta, difcil de captar de otra manera, acerca de los conjuntos. Un diagrama de Venn (o de VennEuler) es una representacin grfica de un conjunto mediante una regin plana limitada por una curva cerrada. Lo usual es que dicha curva cerrada sea una circunferencia, o una elipse o un rectngulo. Cada punto de la regin plana representa un elemento del conjunto. En particular, cada punto de la curva que limita dicha regin representa un elemento del conjunto. Se acostumbra escribir la letra que identifica al conjunto en el interior o fuera de la regin plana. As

8 {4 , 6 , 8}

Ejemplo

9 2. Inclusin

mismo, las letras que representan elementos del conjunto se escriben cerca de los puntos respectivos. La figura siguiente muestra algunos diagramas de Venn:

Diagramas de Venn

1.10. Ejercicios

Respuestas 1. Sea

A = {1 , {2 , 3}} Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y justifique su respuesta:

a. 1 b. 2 c. {1}

d. {2} e. {2 , 3} f. {{2 , 3}}

g. h. {} i. {}

j. {2 , 2 , 3} k. {3 , 3} l. {1 , 2} 2. De nuevo sea

A

B

C

x

y

z

Dw

10 Lgica

= {1 , {2 , 3}}

Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa y justifique su respuesta:

a. posee exactamente tres elementos que son 1, 2 y 3. b. posee exactamente cuatro elementos que son , 1, 2 y 3. c. posee exactamente dos elementos que son 1 y {2 , 3}. d. posee exactamente tres elementos que son 1, {2 , 3} y e. posee un nico elemento que es 1. f. posee un nico elemento que es {2 , 3}.

3. Sea

= {1 , {1} , {1 , {1}}} (Analice cuidadosamente este pequeo conjunto porque tiene una estructura complicada.) Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es verdadera o falsa y justifique su respuesta:

a. 1 b. {1} c. {{1}}

d. {1 , {1}} e. {1} , 1 , {1} f. {1 , 1}

g. {1}, {1} h. 11 i. {{1 , 1}}

4. De nuevo sea

= {1 , {1}, {1 , {1}}} Para cada una de las afirmaciones siguientes, responda si es verdadera o falsa y justifique su respuesta: a. tiene en realidad un nico elemento que es 1. b. tiene en realidad exactamente dos elementos distintos que son 1 y {1}. c. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son 1, {1} y

{{1}}.

d. tiene en realidad exactamente tres elementos distintos que son 1, {1} y {1 , {1}}

e. tiene exactamente cuatro elementos distintos que son 1, {1}, {1 , {1}} y {{1} , {1}}.

11 2. Inclusin

f. A tiene exactamente cuatro elementos distintos que son 1, {1}, {{1}} y

{1,{1}}

El smbolo del conjunto vaco Aunque oficialmente hay dos smbolos para representar el conjunto vaco, la verdad es que el uso de uno de ellos es prcticamente universal y por eso nos referimos a l como el smbolo del conjunto vaco. Se trata de la letra . Letra? En efecto, es una letra de los alfabetos de lenguas de pases del norte de Europa como Noruega y Dinamarca.

El smbolo del conjunto vaco en el campeonato mundial de ftbol de Sudfrica 2010

El primer uso registrado de este smbolo para representar el conjunto vaco data de 1939 en una pequea obra sobre teora de conjuntos publicada por el seminario Bourbaki en Francia. Uno de sus integrantes, el famoso matemtico Andr Weil (1906 1998), afirma en su autobiografa haber sido l precisamente quien sugiri al seminario la adopcin del smbolo.

12 Lgica

Incorrectos

Ortografa matemtica: El smbolo del conjunto vaco

Observe con atencin el smbolo del conjunto vaco:

Note que tiene la forma de una pequea elipse cruzada por una barra diagonal sin adornos. No debe confundirse con el smbolo

el cual es en realidad la letra griega fi mayscula. Por supuesto, tampoco debe confundirse con ninguno de los dos smbolos

que son dos variantes de la letra griega fi minscula. Mucho menos con

que es la letra griega psi en sus versiones minscula y mayscula, respectivamente. Por ltimo, aunque no ocurre con frecuencia, algunos creen que el smbolo del conjunto vaco es

que en realidad es la letra griega omega mayscula.

Incorrectos

Incorrecto

Correcto

Incorrecto

13 2. Inclusin

2. Inclusin 2.1. Inclusin

Definicin Se dice que es subconjunto de , y se escribe

si cada elemento de es elemento de . El smbolo

significa que no es subconjunto de .

es subconjunto de

La relacin entre conjuntos simbolizada por se llama la relacin de inclusin (o de contenencia). El smbolo se denomina el smbolo de inclusin (o de contenencia). En lugar de la expresin es subconjunto de se usan tambin las siguientes:

est incluido en

est contenido en

es una parte de

14 Lgica

Adems, el smbolo

significa lo mismo que , en cuyo caso se usan las expresiones siguientes:

es superconjunto de

incluye a

contiene a Podemos expresar la definicin de la relacin de inclusin y su negacin mediante el lenguaje simbolizado de la lgica:

,

, Los dos enunciados cuantificados involucrados son traducciones literales de las respectivas definiciones originales en lenguaje natural. En ocasiones resulta ms apropiado expresar estas mismas traducciones en forma menos literal:

,

,

Ortografa matemtica: El smbolo de la inclusin

Observe con atencin el smbolo de la inclusin:

Note que tiene la forma de una pequea herradura, abierta hacia la derecha, con una rayita horizontal en su parte inferior. La herradura no es una letra c (como creen algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra contenido), ni minscula ni mayscula:

c C

Incorrectos

Correcto

15 2. Inclusin

Sean

= 42

, 9 , 1 + 3 = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6} Entonces puesto que cada elemento de es elemento de :

42

= 2 9 = 3 1 + 3 = 4 En cambio, porque hay elementos en que no estn en . Por ejemplo, 0 pero 0 .

Cuidado! Algunos autores prefieren usar el smbolo en lugar de para representar la relacin de inclusin. En el presente documento usaremos el smbolo para representar otro concepto (la inclusin propia) que estudiaremos un poco ms adelante. Mi preferencia por el smbolo para la inclusin se basa en que, en un contexto apropiado,

tanto como son smbolos que representan relaciones de orden dbil y, por su parte, tanto < como son smbolos que representan las respectivas relaciones de orden fuerte. Me gusta la analoga tanto en el significado como en la forma de estos smbolos. Este desacuerdo en asuntos de notacin es un ejemplo de algo que desafortunadamente ocurre con alguna frecuencia en matemticas. No debera pasar algo as pero el hecho es que pasa y, en consecuencia, no nos queda otro camino que convivir con ello. Cuando usted consulte otras fuentes sobre el tema de los conjuntos deber tener la precaucin de indagar, en el momento oportuno, sobre las preferencias del autor en materia de conceptos, notaciones, etc.

2.2. Propiedades bsicas de la inclusin Vamos a discutir ahora algunas propiedades bsicas importantes de la relacin de inclusin. La primera de ellas establece un hecho sorprendente: El conjunto vaco es subconjunto de cada conjunto:

Teorema (Propiedad minimal del conjunto vaco)

Ejemplo

16 Lgica

Demostracin Supongamos que para algn se tiene . Entonces existe tal que . Pero esto es absurdo puesto que no posee elementos.

Teorema (Propiedad reflexiva de la inclusin)

Demostracin Cada elemento de es elemento de .

Teorema (Propiedad transitiva de la inclusin)

Si y entonces

Demostracin Supongamos que y . Sea . Como entonces y como entonces . Esto muestra que cada elemento de es elemento de . Por tanto, .

Teorema (Caracterizacin de la igualdad en trminos de la inclusin)

= si y solo si y

Demostracin () Supongamos = . Entonces posee exactamente los mismos elementos que . En particular, cada elemento de es elemento de , esto es, . Por la misma razn, cada elemento de es elemento de , esto es, . Tenemos por consiguiente y . () Supongamos y . Entonces cada elemento de es elemento de y cada elemento de es elemento de . Por tanto, posee exactamente los mismos elementos que , esto es, = . 2.3. Inclusin propia

Definicin Se dice que es subconjunto propio de , y se escribe

o tambin

si se cumple que

17 2. Inclusin

y El smbolo

significa que no es subconjunto propio de .

Entonces, en el lenguaje simbolizado de la lgica, tenemos

=

{0 , 1 , 2} porque {0 , 1 , 2} y {0 , 1 , 2}

{0 , 1 , 2 , 3 , 4} {0 , 2 , 4} porque {0 , 1 , 2 , 3 , 4} {0 , 2 , 4}

42

, 9, 1 + 3 {2 , 3 , 4} porque 42 , 9, 1 + 3 = {2 , 3 , 4}

2.4. Pertenencia e inclusin El teorema siguiente formula una caracterizacin de la relacin de pertenencia en trminos de la relacin de inclusin:

Teorema (Caracterizacin de la pertenencia en trminos de la inclusin)

si y solo si {}

Demostracin () Supongamos . Sea {}. Dado que el nico elemento que posee {} es entonces = . Ahora bien, por hiptesis, . En consecuencia, . Esto prueba que {} . () Supongamos {} . Entonces cada elemento de {} es elemento de . Pero es elemento de {}. Por consiguiente, .

Ejemplo

18 Lgica

Algunos resumen la implicacin de izquierda a derecha en el teorema anterior diciendo: Si en una relacin de pertenencia encerramos el elemento entre llaves, la relacin se convierte en inclusin. Como 2 {0 , 1 , 2 , 3} entonces {2} {0 , 1 , 2 , 3}. 2.5. Conjuntos universales En cada tema de discusin en matemticas normalmente hay un cierto conjunto denominado conjunto universal o conjunto referencial de la discusin. (Algunos lo llaman tambin el universo de la discusin.) Este conjunto tiene la propiedad de que muchos de los conjuntos que se mencionan en la discusin, si no se dice otra cosa, se entienden como subconjuntos de l. Supongamos que nuestro tema de discusin es nmeros naturales. Como conjunto universal tomemos, precisamente, el conjunto de todos los nmeros naturales. (Generalmente, esto es lo que ocurre. Hay un conjunto que espontneamente todos coincidimos en tomar como el conjunto universal obvio.) Supongamos que mencionamos un conjunto, como por ejemplo,

{: es mayor que 5} Este conjunto puede entenderse como subconjunto del conjunto de todos los nmeros naturales pero tambin puede entenderse como subconjunto de todos los nmeros enteros, o racionales, o reales, etc. Incluso puede entenderse como subconjunto del conjunto de los totales, ao por ao, de alumnos que reprobaron Matemticas Generales en los ltimos diez aos en la Universidad de la Vida. Sin embargo, como ya hemos seleccionado un conjunto universal, a saber el conjunto de todos los nmeros naturales, entonces solamente entendemos el conjunto {: es mayor que 5} como subconjunto del conjunto de todos los nmeros naturales. Una de las ventajas de disponer de un conjunto universal de la discusin es simplificar la descripcin de muchos conjuntos. As, en el caso del Ejemplo anterior, si no hubisemos seleccionado un conjunto universal de la discusin entonces el conjunto {: es mayor que 5} tendra que describirse en forma ms explcita:

{: es un nmero natural mayor que 5}

Ejemplo

Ejemplo

19 2. Inclusin

puesto que, de otro modo, no sabramos si la variable est representando nmeros naturales, o enteros, o racionales, o reales, o totales de alumnos reprobados en Matemticas Generales, etc. Es frecuente simbolizar el conjunto universal mediante la letra (algunos usan la letra griega ) y representarlo grficamente, en los diagramas de Venn, mediante una regin rectangular:

El conjunto universal y algunos de sus subconjuntos

2.6. Ejercicios

Respuestas 1. Sea

A = {1 , {2 , 3}} Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:

a. {1} b. {1} c. {2} d. {2}

e. {2 , 3} f. {2 , 3} g. {{2 , 3}} h. {{2 , 3}}

i. j. k. {} l. {}

m. n. o. {} p. {1 , 2}

q. {1 , 2}

2. Sea

= {1 , {1} , {1 , {1}}}

20 Lgica

Para cada una de las afirmaciones siguientes determine si es verdadera o falsa:

a. {1} b. {1} c. {1 , {1}} d. {1 , {1}}

e. {{1 , {1}}} f. {{1 , {1}}} g. {1 , {1} , {1 , {1}}}

h. {1 , {1} , {1 , {1}}} Aunque usted no lo crea El concepto matemtico de conjunto parece inocente pero en ocasiones puede burlarse de nuestra intuicin. Por ejemplo: Es posible que un elemento de un conjunto sea, al mismo tiempo, un subconjunto del mismo conjunto? La intuicin de muchas personas les dice que no es posible. Pero examinemos el conjunto

= 2 , {2} Observamos que este conjunto posee exactamente dos elementos:

2 {2} En particular, el conjunto unitario {2} es un elemento de . Pero, al mismo tiempo, {2} es tambin un subconjunto de puesto que 2 ! El mismo conjunto = 2 , {2} ilustra otro hecho que a primera vista podra parecer improbable: Un elemento, de un elemento, de un conjunto puede ser, al mismo tiempo, elemento de dicho conjunto? (Asegrese de que ley correctamente. Principalmente, note que la pregunta comienza diciendo: Un elemento, de un elemento, ...) La respuesta es s. En efecto, en el conjunto = 2 , {2} ocurre que 2 es un elemento del conjunto unitario {2} que, a su vez, es otro elemento de . (Esto es, 2 es un elemento, de un elemento, del conjunto .) Y 2 es, al mismo tiempo, un elemento del mismo !

3. Colecciones 3.1. Colecciones

Definicin Un conjunto se llama una coleccin si todos sus elementos son conjuntos. Letras como A ,B ,C, representarn colecciones.

El conjunto

A = {1,2}, {3}, es una coleccin. Ella posee exactamente tres elementos:

{1,2} A {3} A A Es importante observar que

1 A 2 A 3 A

Un momento. Usted logr confundirme. Entonces, cmo reconozco los elementos de una coleccin? Observemos nuevamente la coleccin

A = {1,2}, {3}, Los elementos de A se reconocen porque son los que estn separados por las comas ms externas. Volvamos a observar la coleccin A, esta vez un poco ms grande:

A = {1,2}, {3},

Ejemplo

22 Lgica

Las dos comas en color rojo son las ms externas. Ellas estn separando los tres elementos de A :

{1,2} {3} Los nmeros 1, 2 y 3 no son, en este caso, elementos de A. Lo nico que podemos decir es que ellos son elementos de elementos! de A.

Tengo otra inquietud: Pienso que la coleccin {1,2}, {3}, es lo mismo que la coleccin {1,2}, {3} porque el conjunto vaco es vaco, o sea que donde est el conjunto vaco es como si no hubiera nada. Estoy mal? Ests mal. No debes olvidar que el conjunto vaco no es lo mismo que nada. En realidad es algo que, por definicin, no posee elementos. Aqu de nuevo puede ser til la analoga de pensar en los conjuntos como cajas que contienen sus propios elementos. As,

pensamos en la coleccin {1,2}, {3}, como en una caja que contiene tres cajas, una de las cuales est vaca. En cambio, pensamos en la coleccin {1,2}, {3} como en una caja que contiene dos cajas ninguna de las cuales est vaca. En la caja {1,2}, {3}, hay algo (la caja vaca!) que no est en la caja {1,2}, {3}. Por eso las dos colecciones son diferentes:

{1,2}, {3}, {1,2}, {3}

El conjunto

B = {1}, {2}, {1,2}, {1,2} es otra coleccin. Ella posee exactamente cuatro elementos:

{1} B {2} B {1,2} B {1,2} B El conjunto

C = {}

Ejemplo

Ejemplo

23 3. Colecciones

es una coleccin muy particular. En primer lugar, se trata de una coleccin unitaria puesto que posee un nico elemento, a saber el conjunto :

{} Por consiguiente, C es una coleccin no vaca!:

{}

{} ? Me est costando entender este asunto. Yo hubiera jurado que {} es lo mismo que . . . Es porque sigues pensando en el conjunto vaco como en nada. Una vez ms la analoga de conjuntos con cajas te puede ayudar. Piensa en {} como en una caja que solo contiene en su interior otra caja y esta ltima est vaca. Entonces {} no es una caja vaca puesto que tiene algo adentro: una caja vaca!

Conjuntos como

= {1 , 2 , 3} = 0 , {1} , 2 , {3 , 4} , 5 , {6} no son colecciones dado que contienen elementos que no son conjuntos como, por ejemplo, 1 en el conjunto y 0 en el conjunto .

Ejemplo

24 Lgica

4. Conjuntos de partes 4.1. Conjuntos de partes

Definicin Se define el conjunto de partes de , notado

P () como la coleccin de todos los subconjuntos de . Tambin se llama el conjunto potencia de y se nota

2

El nombre conjunto potencia y el smbolo 2 pueden parecer extraos para el concepto en cuestin. Pronto veremos que hay algo de razonable en ellos. Una definicin por comprensin del conjunto de partes de es:

P () = {: } Sea = {, , } donde los elementos , y son todos distintos entre s. Vamos a calcular el conjunto P (). [El trmino calcular significa aqu encontrar todos los elementos de P () y, si es posible, definir a P () por extensin.] Se trata entonces de hacer un listado completo de todos los elementos del conjunto P () o, en forma equivalente, de todos los subconjuntos del conjunto . Con el fin realizar esta tarea en una forma ordenada, comenzaremos por los subconjuntos ms sencillos e iremos avanzando hacia los ms complejos. Concretamente, como criterio de ordenamiento, tomaremos el tamao (el nmero de elementos) de los subconjuntos: iremos desde los ms pequeos hacia los ms grandes:

El conjunto vaco. El conjunto es un subconjunto de . (Ya sabemos que el conjunto vaco es subconjunto de todos los conjuntos.)

Subconjuntos de un elemento (es decir, subconjuntos unitarios). Tenemos exactamente tres:

Ejemplo

26 Lgica

{} {} {}

Subconjuntos de dos elementos (es decir, parejas de elementos distintos). Tambin encontramos exactamente tres:

{, } {, } {, }

Subconjuntos de tres elementos (es decir, ternas de tres elementos distintos). Hay exactamente uno:

{, , }

Es obvio que no hay subconjuntos de cuatro elementos, ni de cinco, etc., de modo que hemos hecho una lista completa de todos los subconjuntos de . En consecuencia ya podemos definir por extensin el conjunto de partes de :

P () = , {}, {}, {}, {, }, {, }, {, }, {, , }

Esta coleccin posee exactamente 8 elementos o, en forma equivalente, 23 elementos. Es posible demostrar la siguiente afirmacin de carcter general:

Si posee elementos entonces P () posee 2 elementos Este puede ser el origen del nombre alternativo conjunto potencia para el conjunto de partes de y del smbolo 2 para representarlo. Note que, por propiedades bsicas de la inclusin, y tambin . Esto significa que para todo conjunto , se tiene que P (A) y tambin P (A). Dicho de otro modo, en cada conjunto de partes siempre tendremos dos elementos notables: el conjunto vaco y el conjunto original, los cuales, de paso, son, respectivamente, los subconjuntos ms pequeo y ms grande de . 4.2. Ejercicios

Respuestas 1. Sea

= {1,2} Para cada uno de los literales siguientes, encuentre lo que se pide o responda la pregunta respectiva. Explique sus respuestas a las preguntas de modo que todo quede bien claro.

a. Calcule P (P ()), esto es el conjunto de partes, del conjunto de partes, del conjunto .

b. Cuntos elementos tiene P (P ())? c. Es cierto que P () P (P ())?

27 4. Conjuntos de partes

d. Es cierto que P () P (P ())?

28 Lgica

5. Unin Una prctica rutinaria en matemticas es, una vez definida una totalidad de objetos matemticos, definir operaciones con ellos. Por ejemplo, una operacin binaria en una totalidad de objetos matemticos es una regla o correspondencia o asociacin que a cada par de objetos y de la totalidad le hace corresponder un nico tercer objeto de la misma totalidad. As, por ejemplo, en la totalidad de los nmeros naturales, la operacin suma, representada por el smbolo +, es una operacin binaria puesto que ella hace corresponder a cada par de nmeros naturales y un nico nmero natural + denominado la suma de y . Las operaciones binarias se llaman as porque en cada caso son dos objetos los que se operan para obtener el tercero. De manera similar se describen las operaciones ternarias, cuaternarias y, en general, arias. Un caso especial son las operaciones unarias, las cuales solo operan sobre un objeto para obtener un nico segundo objeto. Las operaciones entre objetos matemticos son de gran importancia. Cuando comenzamos a estudiar una totalidad de objetos matemticos, rpidamente notamos la conveniencia de poder manipular, de diversas formas, grupos de ellos para obtener otros. Las operaciones ponen tales formas de manipulacin en un contexto preciso, mediante definiciones y simbologas apropiadas. De este modo, podemos explorar confiable y seguramente muchas propiedades de dichos objetos. En relacin con los conjuntos, discutiremos, en este y en los siguientes captulos, seis operaciones bsicas, cinco de las cuales son binarias (unin, interseccin, diferencia, diferencia simtrica y producto cartesiano) y solo una es unaria (complementacin). 5.1. Unin

Definicin Se define la unin de y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a al menos uno de los dos conjuntos y . Se nota

Entonces, por comprensin,

= {: }

30 Lgica

En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia

es verdadera y, en consecuencia, las implicaciones

son tambin ambas verdaderas. El siguiente diagrama de Venn muestra dos conjuntos y :

Vamos calcular grficamente . Primero, coloreamos la regin que representa al conjunto . (En la figura siguiente he utilizado una tonalidad en amarillo para tal efecto.)

31 5. Unin

Ahora, coloreamos la respectiva regin que representa al conjunto :

La regin coloreada total representa entonces al conjunto . De este modo, el diagrama de Venn para es

Ortografa matemtica: El smbolo de la unin Observe con atencin el smbolo de la unin:

Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia arriba, sin adornos. No se trata de la letra u (como creen algunos que piensan que proviene de la inicial de la palabra unin), ni minscula ni mayscula,

u U

Correcto

Incorrectos

32 Lgica

Sean

= {0 , 1 , 2 , 3 , 4} = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} El clculo de es un procedimiento muy sencillo: Abrir un par de llaves, dentro de estas llaves escribir todos los elementos de separados por comas, a continuacin escribir todos los elementos de tambin separados por comas y, por ltimo, simplificar las repeticiones que se presenten de elementos en el conjunto resultante:

{ }

{0 , 1 , 2 , 3 , 4 , }

{0 , 1 , 2 , 3 , 4, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8}

{0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} Entonces

= {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} La operacin unin tiene varias propiedades bsicas muy importantes que discutiremos mediante los teoremas siguientes. 5.2. Propiedades bsicas de la unin

Teorema (Ley conmutativa de la unin)

=

Demostracin Como mtodo de demostracin usaremos la caracterizacin de la igualdad en trminos de la inclusin. Esta caracterizacin se puede resumir como dos conjuntos son iguales si y solo si cada uno de ellos es subconjunto del otro. En consecuencia, probaremos las dos inclusiones

con lo cual quedar probada la igualdad = . Para probar la inclusin aplicaremos la definicin de inclusin. Tomaremos, por tanto, un elemento arbitrario en el conjunto y probaremos que dicho elemento est en el conjunto .

Ejemplo

33 5. Unin

Sea

Entonces, por la definicin de unin,

Ahora bien, por la ley conmutativa de la disyuncin inclusiva,

Finalmente, de nuevo por la definicin de unin,

As, queda probada la inclusin . Anlogamente se prueba la inclusin .

Teorema (Ley asociativa de la unin)

( ) = ( )

Antes de proceder a demostrar formalmente este teorema, haremos una demostracin grfica del mismo. En el diagrama siguiente tenemos tres conjuntos , y :

Primero coloreamos la regin que representa a :

34 Lgica

Enseguida agregamos el coloreado de la regin que representa a . De este modo, obtenemos coloreada la totalidad de la regin que representa a ( ):

Ahora, regresamos al diagrama original y reiniciamos el proceso de coloreado, comenzando esta vez con la regin que representa a :

( )

35 5. Unin

Enseguida agregamos el coloreado de la regin que representa a . Obtenemos entonces, coloreada en su totalidad, la regin que representa a ( ) :

Ambas regiones, la que representa a ( ) y la que representa a ( ) , son exactamente la misma. Veamos ahora la demostracin del teorema.

( )

36 Lgica

Demostracin Usaremos nuevamente la caracterizacin de la igualdad en trminos de la inclusin, de modo que procederemos, como en la demostracin del teorema anterior, a probar las dos inclusiones

( ) ( ) ( ) ( ) Sea

( ) Entonces, por la definicin de unin,

y, nuevamente por la misma definicin,

( ) Aplicando ahora la ley asociativa de la disyuncin inclusiva, obtenemos

( ) De nuevo, por la definicin de unin:

y una vez ms por la definicin de unin:

( ) De este modo, hasta aqu hemos demostrado la inclusin ( ) ( ) . La segunda inclusin, ( ) ( ) se demuestra en forma similar.

Seamos claros: Me gust ms la demostracin con diagramas de Venn. Esa otra demostracin me pareci enredada. No puedo hacer siempre las demostraciones con dibujitos? Pongmonos de acuerdo. La demostracin con diagramas de Venn no es realmente una demostracin por dos motivos. Primero, porque ese no es el formato adoptado por la comunidad de matemticos para las demostraciones matemticas. Tal formato consiste en una cadena de afirmaciones verdaderas cada una de las cuales resulta de aplicar una definicin o una regla de inferencia o

un teorema ya demostrado, etc., de tal manera que la ltima afirmacin de la cadena es, precisamente, aquella que se pretende demostrar. Por el momento, este es el nico formato aceptado y es al que tendrs que acostumbrarte si deseas comunicarte con otros matemticos. Segundo, porque la demostracin, por diagramas de Venn, de la ley a

37 5. Unin

asociativa de la unin, aunque quisiramos aceptarla en contra del resto del mundo matemtico, tiene el inconveniente de que se tratara de una demostracin, mediante un caso particular, de un enunciado cuantificado universalmente. En efecto, los matemticos sabiamente acostumbran a omitir los cuantificadores universales con el fin de simplificar. As el enunciado

( ) = ( ) es realmente una abreviatura del enunciado triplemente cuantificado

, , , ( ) = ( ) En consecuencia, este tipo de enunciados no pueden ser demostrados mediante casos particulares. Y, si observas con cuidado, notars que el diagrama de Venn con el que se inicia la demostracin corresponde precisamente a un caso particular puesto que solo se refiere a los tres conjuntos particulares dibujados. Existen infinitas ternas de conjuntos que no son consideradas en la demostracin.

A ver si entend bien. Me queda claro lo de los diagramas. Pero est usted diciendo que para demostrar una identidad como, por ejemplo, = , no puedo reemplazar y por dos conjunticos como, por ejemplo, = {1} y = {2,3}, calcular ={1,2,3} y ={2,3,1}, verificar que {1,2,3} = {2,3,1} y ya? Porque yo estaba convencidsimo de que as estaba bien. No puedes. Si eso se pudiera hacer, las matemticas seran muy distintas de como son en realidad. Por ejemplo, la identidad

=

sera verdadera puesto que reemplazando = {1,2} y = {2} obtendras que ={1,2} = . Pero sabemos que dicha identidad es falsa porque existen contraejemplos. Por ejemplo, si reemplazas = {1} y = {2} obtienes = {1,2} . De modo que no te queda otra alternativa. Si quieres demostrar una afirmacin cuantificada universalmente, no puedes hacerlo mediante un caso particular. Tienes que elaborar tu demostracin en forma completamente general.

Teorema (Ley modulativa de la unin)

= =

Demostracin La igualdad = se tiene por la ley conmutativa de la unin. Luego, ser suficiente probar que = . Sea

38 Lgica

Por definicin de unin,

Pero, dado que no posee elementos,

Entonces, por modus tollendo ponens,

Esto prueba la inclusin

Ahora sea

Por la ley de adicin,

y, por la definicin de unin,

Queda as demostrada la segunda inclusin

y, en consecuencia, hemos demostrado la igualdad

=

Teorema (Ley de absorcin de la unin)

= =

Demostracin La igualdad = se tiene por la ley conmutativa de la unin. Luego ser suficiente demostrar que = . Sea


39 5. Unin

Ahora bien, la implicacin

es verdadera por ser una tautologa. Por otra parte, dado que es el conjunto universal, se tiene que . Entonces, por definicin de inclusin, la implicacin

tambin es verdadera. Por consiguiente, en virtud del dilema constructivo,

de donde, por simplificacin trivial,


Ahora sea

Entonces, por la ley de adicin,


Queda as demostrada la inclusin

Por consiguiente,

=

Teorema (Ley de idempotencia de la unin)

=

Demostracin Sea


40 Lgica

y, por simplificacin trivial,

Luego,

Ahora, sea

Entonces, por la ley de redundancia,


Por tanto,

De este modo, hemos probado que

=

5.3. Otras propiedades de la unin Adems de las bsicas, discutidas en la seccin anterior, hay muchas otras propiedades interesantes y tiles de la unin. Los teoremas siguientes ilustran este aspecto.

Teorema

Si entonces =

Demostracin Supongamos

Sea

41 5. Unin

Entonces, por definicin de unin,

Ahora bien, puesto que hemos supuesto , la implicacin

es verdadera. Adems, la implicacin

tambin es verdadera por ser una tautologa. Luego, por dilema constructivo,



Ahora, sea

Entonces, por ley de adicin,

As, por definicin de unin,

Se tiene por tanto la inclusin

En consecuencia,

= con lo cual queda demostrada la implicacin enunciada.

42 Lgica

Teorema

Si y entonces

Demostracin Supongamos

Sea

Entonces, por definicin de unin,

Ahora bien, dado que ,

y, dado que ,

Luego, por dilema constructivo,

de modo que, por definicin de unin,


As queda demostrada la implicacin propuesta.

Teorema

Demostracin Sea

43 5. Unin

Entonces, por ley de adicin,

y, por definicin de unin,

Esto demuestra que todo elemento de es elemento de . En otras palabras,

Teorema

P () P () P ( )

Demostracin Sea

X P () P ()

Entonces, por definicin de unin

X P () P () y, por definicin de conjunto de partes,

X X

Supongamos que X . Como, por el teorema anterior, A entonces tenemos

X y A Luego, por la propiedad transitiva de la inclusin,

X y, por la definicin de conjunto de partes,

X P ( ) Por tanto, tenemos que la implicacin

X X P ( ) es verdadera.

44 Lgica

Anlogamente tenemos que la implicacin

X X P ( ) es verdadera. En consecuencia, por dilema constructivo,

X P ( ) X P ( )


X P ( ) De este modo, hemos demostrado que todo elemento de P () P () es elemento de P ( ). En otras palabras, hemos demostrado que

P () P () P ( ) 5.4. Uniones generalizadas

Definicin Sean 1, 2, 3, , conjuntos. Se define la unin de los conjuntos 1, 2, 3, , como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a al menos uno de los conjuntos 1, 2, 3, , . Hay dos smbolos para representar esta unin. Uno que llamaremos expandido:

1 2 3 y otro que llamaremos compacto:

=1

Ambos smbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar las notaciones, naturalmente el smbolo compacto resulta apropiado. Pero, en ocasiones, el smbolo compacto esconde aspectos que queremos apreciar explcitamente. En tal caso, el smbolo expandido se adapta mejor a este ltimo propsito. El tipo de unin descrita en la Definicin anterior se llama generalizada. Evidentemente, se trata de una generalizacin de la unin binaria ya que se reduce a esta ltima cuando = 2. Tambin, hay dos maneras de definir la unin generalizada por comprensin. Una en que se usa el conectivo generalizado de la disyuncin inclusiva:

1 2 3 = {: 1 2 3 }

45 5. Unin

y otra en que se usa el cuantificador existencial:

=1

= {: para algn }

En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos 1, 2, 3 y 4:

y en el siguiente tenemos la unin generalizada respectiva:

1

2

3

4

4

=1

46 Lgica

Sean

1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2 = {2 , 4 , 6, 8} 3 = {1, 2, 4, 7} 4 = {2 , 4}

Entonces

4

=1

= {0, 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Sean

A1 = , {1}, {1,2}, {3,4,5} A2 = {1}, {2}, {1,2}, {1,3}

A3 = , {}, {1}, {5}, {1,2} Entonces

A

3

=1

= , {1}, {1,2} , {3,4,5}, {2}, {1,3}, {}, {5}

Un caso especial importante de unin generalizada es la representada por el smbolo

1

=1

que evidentemente no significa otra cosa sino 1:

1

=1

= 1

Ejemplo

Ejemplo

47 5. Unin

5.5. Ejercicios

Respuestas 1. Sean

A1 = A = , {} A = , {} , , {}

A = , {} , , {}, , {} , , {} Calcule

A

4

=1

2. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a. b. Si entonces c. Si entonces d. Si entonces e. Si y entonces f. { , } si y solo si {} y {} g. si y slo si P () P ()

3. Demuestre que la identidad

P ( ) = P () P () es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos particulares y que no satisfagan la identidad). Para su informacin, hay contraejemplos muy pequeos que usted puede encontrar rpidamente.

4. Considere la identidad

P () = P () Si es verdadera, demustrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.

48 Lgica

6. Interseccin 6.1. Interseccin

Definicin Se define la interseccin de y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen simultneamente a ambos conjuntos y . Se nota


= {: } En otras palabras, tenemos que, dado cualquiera, la equivalencia


son tambin ambas verdaderas. Consideremos ahora el siguiente diagrama de Venn en el que se muestran dos conjuntos y :

50 Lgica

Vamos a calcular grficamente . Primero coloreamos la regin que representa a .

Ahora coloreamos la regin que representa a . (La idea aqu es colorear esta segunda regin usando un color distinto del anterior).

51 6. Interseccin

Aquella regin en donde se superponen ambos colores (coloreada en un tono de amarillo en el diagrama anterior) es, precisamente, la regin que representa a . As, el diagrama de Venn para es entonces

Ortografa matemtica: El smbolo de la interseccin

Observe con atencin el smbolo de la interseccin:

Note que tiene la forma de una herradura, abierta hacia abajo, sin adornos. No se trata de la letra n minscula:

n Sean

= {0 , 1 , 2 , 3 , 4} = { 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} El siguiente es un procedimiento para efectuar el clculo de :

Seleccionar el conjunto ms pequeo. En este caso es . Abrir un par de llaves. Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si

pertenece o no a . Escribir dentro de las llaves, separados por comas, aquellos elementos que, en el

paso anterior, pertenezcan a .

Correcto

Incorrecto

Ejemplo

52 Lgica

El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de . Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante. El conjunto simplificado es . Aplicando este procedimiento a los dos conjuntos dados, obtenemos

= {3 , 4} 6.2. Propiedades bsicas de la interseccin La operacin interseccin tiene tambin varias propiedades bsicas importantes. Algunos de los enunciados como las respectivas demostraciones son muy parecidos a los correspondientes en el caso de la unin.

Teorema (Ley conmutativa de la interseccin)

=

Demostracin Similar a la del Teorema que establece la ley conmutativa de la unin.

Teorema (Ley asociativa de la interseccin)

( ) = ( )

Demostracin Similar a la del Teorema que establece la ley asociativa de la unin. Veamos una prueba grfica del teorema anterior. En el diagrama siguiente observamos tres conjuntos , y :

53 6. Interseccin

Comenzamos coloreando la regin que representa a :

Enseguida coloreamos la regin que representa a ( ):

54 Lgica

Ahora, reiniciamos el proceso de coloreado comenzando esta vez con :

Finalmente coloreamos la regin que representa a ( ) :

55 6. Interseccin

Ambas regiones, la que representa a ( ) y la que representa a ( ) , son exactamente la misma.

Teorema (Ley modulativa de la interseccin)

= =

Demostracin La igualdad = se cumple por la ley conmutativa de la interseccin. Luego, ser suficiente demostrar que = . Sea

Por definicin de interseccin,

y, por ley de simplificacin,

Esto prueba la primera inclusin:

Ahora, sea

Dado que, por definicin del conjunto universal, entonces

56 Lgica

Ahora bien, por la ley de la conjuncin,

de donde, por la definicin de interseccin,


y, de este modo, hemos probado

=

Teorema (Ley de absorcin de la interseccin)

= =

Demostracin La igualdad = se tiene por la ley conmutativa de la interseccin. Luego ser suficiente demostrar que = . Sea

Por definicin de interseccin,

y, por ley de simplificacin,


La segunda inclusin,

es una consecuencia inmediata del hecho de que el conjunto vaco es subconjunto de todo conjunto. Por consiguiente, hemos demostrado

=

57 6. Interseccin

Teorema (Ley de idempotencia de la interseccin)

=

Demostracin Similar a la del Teorema que establece la ley de idempotencia para la unin. 6.3. Dos leyes distributivas Los dos teoremas siguientes formulan identidades que relacionan entre s las operaciones de unin e interseccin.

Teorema (Ley distributiva de la unin con respecto a la interseccin)

( ) = ( ) ( )

Haremos primero una demostracin grfica de este teorema. En el diagrama siguiente tenemos tres conjuntos , y :

Primero coloreamos la regin que representa a :

58 Lgica

A continuacin agregamos el coloreado de la regin que representa a . De este modo obtenemos el coloreado de la regin que representa a ( ):

Ahora, vamos a colorear la regin que representa a ( ) ( ). Para ello, comenzamos coloreando la regin que representa a :

( )

59 6. Interseccin

Coloreamos tambin (por separado y con otro color) la regin que representa a :

Finalmente coloreamos simultneamente las dos ltimas regiones. La regin en la que se superponen los dos colores (coloreada en amarillo en el siguiente diagrama), es entonces la que representa a ( ) ( ):

60 Lgica

Esta es exactamente la misma regin que representa a ( ). Pasemos ahora a la demostracin del teorema en consideracin. Demostracin Sea

( ) Por definicin de unin,

( ) y, por definicin de interseccin,

( ) Ahora, aplicando la ley distributiva de la disyuncin inclusiva con respecto a la conjuncin,

( ) ( ) Enseguida aplicamos la definicin de unin,

( ) ( ) y, a continuacin, la de interseccin,

( ) ( ) Esto prueba la inclusin

( ) ( ) ( )

( ) ( )

61 6. Interseccin

Mediante el mismo razonamiento en reversa se prueba la inclusin

( ) ( ) ( ) con lo cual queda probada la identidad

( ) = ( ) ( )

Teorema (Ley distributiva de la interseccin con respecto a la unin)

( ) = ( ) ( )

Demostracin Similar a la del Teorema anterior. Debido a los dos ltimos teoremas, se dice que las operaciones de unin e interseccin son mutuamente distributivas. 6.4. Intersecciones generalizadas Definicin Sean 1, 2, 3, , conjuntos. Se define la interseccin de los conjuntos 1, 2, 3, , como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen simultneamente a todos los conjuntos 1, 2, 3, , . Hay dos smbolos para representar esta interseccin. Uno que llamaremos expandido:

1 2 3 y otro que llamaremos compacto:

=1

Ambos smbolos se utilizan dependiendo de las circunstancias. Si se desea abreviar las notaciones, naturalmente el smbolo compacto es el ms apropiado. Pero, en ocasiones, el smbolo compacto esconde aspectos que queremos apreciar explcitamente. En tal caso, el smbolo expandido es preferible. El tipo de interseccin descrita en la definicin anterior se llama generalizada. Evidentemente, se trata de una generalizacin de la interseccin binaria ya que se reduce a esta ltima cuando = 2. Tambin, hay dos maneras de definir la interseccin generalizada por comprensin. Una en que se usa el conectivo generalizado de la conjuncin:

62 Lgica

1 2 3 = {: 1 2 3 } y otra en que se usa el cuantificador universal:

=1

= {: para todo }

En el diagrama siguiente tenemos cuatro conjuntos 1, 2, 3 y 4:

y en el siguiente tenemos coloreada en amarillo la regin que representa la interseccin generalizada respectiva:

1

2 3

4

63 6. Interseccin

As, el siguiente es el diagrama de Venn de dicha interseccin generalizada:

Sean

1 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} 2 = {2 , 4 , 6, 8} 3 = {1, 2, 4, 7} 4 = {2, 4} Entonces

4

=1

= {2 , 4}

4

=1

4

=1

Ejemplo

64 Lgica

Sean

A1 = , {1}, {1,2}, {3,4,5} A2 = {1}, {2}, {1,2}, {1,3}

A3 = , {}, {1}, {5}, {1,2}

Entonces

A

3

=1

= {1}, {1,2}

Un caso especial importante de interseccin generalizada es la representada por el smbolo

1

=1

que evidentemente no significa otra cosa sino 1:

1

=1

= 1

6.5. Ejercicios

Respuestas 1. Sean

= {, , , } = {, , }

= {, , , } = {, , }

Demuestre que en este caso se tiene

3

=1

= ( )3

=1

calculando ambos lados de la igualdad por separado y verificando que en efecto son iguales.

Ejemplo

65 6. Interseccin

2. Sean

= {1 , 2} = {2 , 3 , 4} Calcule

P () P () P ( ) P ( ) 3. Sean

= {, } = {, } en donde se supone que los objetos , y son todos distintos entre s. Compruebe que en este caso se tiene

a. P () P () P ( ) b. P ( ) = P () P ()

4. Demuestre las siguientes afirmaciones: a. b. c. d. Si entonces y e. Si y entonces f. Si entonces g. Si y entonces h. Si entonces = i. P ( ) = P () P ()

5. Demuestre, mediante un contraejemplo, que la siguiente afirmacin es falsa:

Si = entonces = 6. Demuestre que si , , y son conjuntos cualesquiera entonces

3

=1

= ( )3

=1

66 Lgica

7. Demuestre las siguientes generalizaciones de las leyes distributivas de la unin

con respecto a la interseccin y de la interseccin con respecto a la unin: a.

=1

= ( )

=1

b.

=1

= ( )

=1

7. Diferencia 7.1. Diferencia

Definicin Se define la diferencia entre y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a pero no pertenecen a . Se nota por cualquiera de los tres smbolos




son tambin ambas verdaderas. El siguiente diagrama muestra dos conjuntos y :

68 Lgica

En el siguiente diagrama se ha coloreado en color amarillo la regin que representa la diferencia entre y :

La curva segmentada indica que los puntos sobre ella no forman parte de la diferencia entre y (puesto que pertenecen a ). As, el diagrama de Venn de dicha diferencia es

Sean


Abrir un par de llaves. Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si


paso anterior, no pertenezcan a . El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de . Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante.

Ejemplo

69 7. Diferencia

El conjunto simplificado es . En el caso de los conjuntos y dados, obtenemos

= {0 , 1 , 2} En comparacin con las operaciones unin e interseccin, la operacin diferencia no tiene, a primera vista, propiedades interesantes. Ella es el patito feo de las operaciones con conjuntos. (Lo cual no quiere decir que no sea una operacin importante para ciertos propsitos como, por ejemplo, su intervencin en la definicin de otras operaciones que s tienen propiedades interesantes.) Veamos:

La diferencia no satisface la ley conmutativa. Esto significa que la identidad

= no es vlida.

En efecto, consideremos los dos conjuntos y del siguiente diagrama:

Coloreamos (con colores diferentes) las regiones que representan, respectivamente, a y a :

70 Lgica

Vemos claramente que dichas dos regiones son distintas. Ahora, para demostrar con ms formalidad la afirmacin de que la operacin diferencia no satisface la ley conmutativa, bastar un contraejemplo. Sean

= {1} = Entonces

= {1} = {1}

= {1} = As, .

La diferencia no satisface la ley asociativa. En otras palabras, la identidad

( ) = ( ) es falsa.

Consideremos, por ejemplo, los tres conjuntos , y representados en el diagrama siguiente:

Comenzamos por colorear la regin que representa a :

71 7. Diferencia

y, a continuacin coloreamos la regin que representa a ( ):

Ahora, retomamos el diagrama original y comenzamos por colorear la regin que representa a :

( )

72 Lgica

Finalmente, coloreamos la regin que representa a ( ) :

Las regiones que representan a ( ) y a ( ) son distintas. Con esto concluimos una demostracin grfica de que la identidad ( ) =( ) es falsa, de modo que ciertamente la operacin diferencia no satisface la ley asociativa. Por otra parte, como una demostracin formal de la afirmacin anterior, aqu tambin ser suficiente exhibir un contraejemplo. Tomemos

= {0 , 1 , 2} = {1 , 2} = {1}

( )

73 7. Diferencia

Entonces

( ) = {0 , 1 , 2} ({ 1 , 2} {1}) = {0 , 1 , 2} {2} = {0 , 1}

( ) = ({0 , 1 , 2} { 1 , 2}) {1} = {0} {1} = {0} Tenemos as que, en este caso particular, ( ) ( ) . Por tanto, la operacin diferencia no satisface la ley asociativa.

La diferencia no satisface la ley modulativa. En otras palabras, no existe un conjunto tal que

= = para todo conjunto .

En efecto, supongamos que tal existe. Entonces las dos identidades

= (1) y

= (2) deben cumplirse para todo conjunto . En particular, (1) debe cumplirse para = precisamente. Esto es

= lo cual dice que necesariamente = . Pero entonces la identidad (2) se convierte en

= y debe cumplirse tambin para todo conjunto . En particular, debe cumplirse, por ejemplo, para = {1}:

{1} = {1} Pero esto dice que

= {1} lo cual es un absurdo. Hemos demostrado que la suposicin de que existe conduce lgicamente a un absurdo. Por tanto, es imposible que exista y as queda demostrado que la operacin diferencia no satisface la ley modulativa.

74 Lgica

La diferencia no satisface la ley de absorcin. Es decir que no existe un conjunto tal que

= = para todo conjunto .

Puede probarse esta afirmacin mediante un razonamiento completamente similar al que acabamos de hacer para el caso de la ley modulativa.

La diferencia no satisface la ley de idempotencia. Esto es, la identidad

= no es vlida.

Como contraejemplo, basta tomar = {1}. En efecto:

= {1} {1} = de modo que, en este caso particular,

y queda demostrado que la operacin diferencia no satisface la ley de idempotencia. 7.2. Ejercicios

Respuestas

1. Sean

= {1, 2 , 3} = {1 , 2} Calcule

P ( ) P () P () Para este caso particular, cul de las cuatro afirmaciones siguientes es verdadera?:

a. P ( ) = P () P () b. P ( ) P () P ()

c. P ( ) P () P () d. P () P () P ( )

75 7. Diferencia

2. Sean

= {0, 1 , 2} = {1 , 2} Calcule

P (P () P ()) Este ejercicio es muy fcil pero tenga cuidado! No se acelere y asegrese de escribir bien y en orden todo lo que debe escribir. Si no saba escribir llaves, aqu va a aprender.

3. Demuestre las siguientes identidades:

a. = ( ) b. = ( ) ( ) c. ( ) = d. ( ) ( ) = e. ( ) = ( ) ( ) f. ( ) = ( ) g. ( ) = ( ) ( )

4. Compruebe la validez del argumento

~

y selo en algn momento para demostrar la identidad

( ) = ( ) ( ) 5. Compruebe la validez del argumento

~

y selo en algn momento para demostrar la identidad

( ) = 6. Demuestre que la identidad

( ) = ( ) ( ) es falsa. Esto es, encuentre un contraejemplo (en este caso un par de conjuntos particulares y que no satisfagan la identidad). Para su informacin, hay contraejemplos muy pequeos que usted puede encontrar rpidamente.

76 Lgica

7. Considere la identidad

P ( ) = P () P ()

Si es verdadera, demustrela. Si es falsa, exhiba un contraejemplo.

8. Demuestre las siguientes afirmaciones:

a. b. Si entonces c. Si y entonces d. Si = entonces = e. Si entonces f. Si entonces ( ) g. Si = entonces h. Si entonces = i. P ( ) P ()

8. Diferencia simtrica 8.1. Diferencia simtrica

Definicin Se define la diferencia simtrica entre y como el conjunto de todos aquellos elementos que pertenecen a alguno de los dos conjuntos y pero no pertenecen al otro. Se nota por el smbolo




son tambin ambas verdaderas. En el siguiente diagrama se muestran dos conjuntos y :

78 Lgica

y en el siguiente se ha coloreado la regin que representa la diferencia simtrica entre y :

As, el diagrama de Venn de dicha diferencia simtrica es

79 8. Diferencia simtrica

Sean


Abrir un par de llaves. Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si


paso anterior, no pertenezcan a . Recorrer uno por uno los elementos de y verificar, para cada uno de ellos, si

pertenece o no a . Continuar escribiendo dentro de las llaves, separados por comas, aquellos

elementos que, en el paso anterior, no pertenezcan a . El procedimiento termina cuando termine el recorrido por los elementos de los

dos conjuntos y . Simplificar, si es necesario, las repeticiones en el conjunto resultante. El conjunto simplificado es . Obtenemos

= {0 , 1, 2 , 5 , 6 , 7 , 8}

Ortografa matemtica: El smbolo de la diferencia simtrica

Observe con atencin el smbolo de la diferencia simtrica:

Note que tiene la forma de un pequeo tringulo issceles. Se trata de la letra griega delta mayscula (cuya minscula es ). La letra delta mayscula corresponde, en espaol, a la letra D, inicial de la palabra Diferencia. El smbolo no debe confundirse con otro smbolo parecido, llamado nabla,

Correcto

Ejemplo

80 Lgica

que se usa con otros fines en otras reas de las matemticas.

8.2. Propiedades de la diferencia simtrica En contraste con la operacin diferencia (que, como ya vimos, es el patito feo de las operaciones con conjuntos), la diferencia simtrica es una operacin muy bonita debido a que posee varias propiedades interesantes.

Diferencia Diferencia simtrica En primer lugar, los dos teoremas siguientes muestran formas alternativas de entender la diferencia simtrica. Dependiendo de las circunstancias y el propsito, una de las tres formas (la original y las dos alternativas) puede resultar ms apropiada que las otras dos.

Incorrecto


Teorema

= ( ) ( )

Demostracin Sea

Entonces, por la definicin de diferencia simtrica,

y, por las leyes del significado de los conectivos,

( ) ( ) As, por las definiciones de unin e interseccin,

Luego, por definicin de diferencia,

( ) ( ) Esto prueba la inclusin

( ) ( ) El mismo razonamiento anterior, aplicado en reversa, muestra que la inclusin

( ) ( ) tambin es verdadera. En consecuencia,

= ( ) ( ) El teorema siguiente justifica el nombre diferencia simtrica:

Teorema

= ( ) ( )

Demostracin Sea

Entonces, por la definicin de diferencia simtrica,

82 Lgica

y, por las leyes del significado de los conectivos,

( ) ( ) Ahora bien, por las definiciones de diferencia y unin,

( ) ( ) Tenemos as demostrada la inclusin

( ) ( ) El mismo razonamiento, aplicado en reversa, prueba la inclusin

( ) ( ) Por consiguiente,

= ( ) ( ) Los siguientes teoremas muestran que la diferencia simtrica satisface por lo menos tres de las propiedades bsicas que satisfacen la unin y la interseccin.

Teorema (Ley conmutativa de la diferencia simtrica)

=

Demostracin Similar a la del teorema que establece la ley conmutativa de la conjuncin

Teorema (Ley asociativa de la diferencia simtrica)

( ) = ( )

Demostracin Similar a la del teorema que establece la ley asociativa de la conjuncin Resulta ilustrativo efectuar una demostracin grfica de esta ley. En el siguiente diagrama tenemos tres conjuntos , y :


Coloreamos primero la regin que representa a :

A continuacin, coloreamos la regin que representa a ( ). Haremos esto en tres pasos. Primero coloreamos la regin que representa a ( ), luego la que representa a ( ) y, finalmente, la que representa a [ ( )] [( ) ]:

84 Lgica

A continuacin, coloreamos la regin que representa a ( ) . Lo haremos en cuatro pasos. Primero, coloreamos la regin que representa a , luego la que representa a ( ) , luego la que representa a ( ) y, finalmente la que representa a [( ) ] [ ( )]:

( )

( )

[ ( )] [( ) ]

= ( )


( )

( )

86 Lgica

que es exactamente la misma regin que representa a ( ).

Teorema (Ley modulativa de la diferencia simtrica)

= =

Demostracin Por la ley conmutativa de la diferencia simtrica, la igualdad = es verdadera. Luego, ser suficiente demostrar que la identidad = es verdadera. Sea

Por definicin de diferencia simtrica,

Pero, por definicin del conjunto vaco,

Entonces, por modus tollendo ponens,


[( ) ] [ ( )]

= ( )


Ahora, sea

Como, por definicin del conjunto vaco,

entonces, por la ley de la conjuncin,

y, por la ley de adicin,

( ) ( ) De este modo, por la ley del significado de la disyuncin exclusiva,

y, por definicin de diferencia simtrica,


De este modo, queda probada la identidad

=

Teorema

= =

Demostracin Por la ley conmutativa de la diferencia simtrica, la igualdad = es verdadera. Luego, basta demostrar que la identidad = es verdadera. Sea

Entonces, por definicin de diferencia simtrica,

Ahora bien, por las leyes del significado de la disyuncin exclusiva,

88 Lgica

( ) ( ) (1) Pero, dado que estamos en presencia de un conjunto universal , se tiene

y, por tanto, no puede ocurrir que un elemento que pertenezca a no pertenezca a . En particular,

( ) (2) As, de (1) y (2), por la ley del modus tollendo ponens,

y, por la definicin de la operacin diferencia,

Por consiguiente, hasta aqu hemos demostrado que

si entonces Esto es, hemos demostrado la inclusin

Ahora, vamos a probar la inclusin . Supongamos que

Entonces, por definicin de diferencia,

y, por la ley de adicin,

( ) ( ) As, por la ley del significado de la disyuncin exclusiva,

Luego, de acuerdo con la definicin de diferencia simtrica,

De este modo, hemos demostrado la inclusin

con lo cual queda demostrada la identidad


=

Teorema (Ley de nilpotencia de la diferencia simtrica)

=

Demostracin Basta probar que el conjunto no posee elementos. Supongamos que posee alguno:

Entonces, por definicin de diferencia simtrica,

Pero, dado el significado de las disyunciones exclusivas, esta es una contradiccin. Por consiguiente, es imposible que posea elementos. 8.3. Ejercicios

Respuestas 1. Sean

= {1, 2 , {2}} = {2 , , 3} = {1, {2} , 3}

Calcule

[( ) ] [( ) ] 2. Sean

= {, , , } = {, , , } = {, , , } donde los objetos , , , , , y se suponen todos diferentes entre s. Calcule

[( ) ( )] ( ) 3. Sean

= { , , {}} = {{ , } , {} , } = { , , {}} donde los objetos , , y se suponen todos diferentes entre s. Calcule

[( ) ] [( ) ] 4. Sean A, B y C las colecciones definidas as:

A = { , {5} , {0 , 1 ,2}} B = { , {} , {1, 2} , {0 , 2 , 3 , 4}}

90 Lgica

C = { , {} , {5, 1 , 3}} Calcule

[(A B ) (B C )] [A B C ] 5

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