CONJUNTOS I

1. Si: A ;a; a ; a,b ;

Indicar las proposiciones que son

verdaderas.

I. a A {a, b} A

II. { } A { } A

III. A A

A) solo I B) solo II C) solo III D) II y IV E) II y III

RESOLUCIÓN

A ;a; a ; a,b ;

I. a A {a, b} A

F F = F

II. { } A { } A F V = V

III. A A

V V = V

I y III son verdaderas

RPTA.: D

2. Dados los conjuntos:

A x N 2x 13

B x A x² 2x A

Indicar si es verdadero o falso, las

siguientes proposiciones.

I. x A / x² 5 > 4

II. x (A B) / 2x + 5 < 8

III. x (A B) / x² B

A) VVF B) FVF C) VFV D) VFF E) VVV

RESOLUCIÓN

A x N 2x 13

A 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

B x A x² 2x A

x = 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

x² 2x = 0 ; 1; 0 ; 3 ; 8; 15; 24

B = {1; 4; 5; 6}

I. x A / x² 5 > 4

(V)

II. x (A B)/2x + 5 < 8 (F)

III. x (A B) / x² B (V)

RPTA.: C

3. Sea A n Z n 600

Calcule la suma de elementos del conjunto B; si

3B a 2 a A a A

A) 1000 B) 1296 C) 1312

D) 1424 E) 1528

RESOLUCIÓN

3

a es cubo perfecto

A n Z n 600 1,2,3,4,5,...,600

B a 2 a A a A

a = 1³ ; 2³; 3³; ...; 8³

2

B 1³ 2 ; 2³ 2 ; 3³ 2 ;....; 8³ 2

elementos 8x92 8

2de B

1312

Nota: 3

2

N

n n 1S

2

RPTA.: C

4. Halle el cardinal del conjunto B e

indicar el número de subconjuntos ternarios que tiene.

CONJUNTOSLÓGICA

B x Z x 8 x 2

siendo : p q p q A B

A) 48 B) 42 C) 63

D) 56 E) 45

RESOLUCIÓN

B x Z x 8 x 2

(x > 8) (x = 2)

(x> 8) (x = 2)

x = 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

n(B) = 8

#Subconjuntos 8 8!C

3! 5!3Ternarios de B

6x7x856

6

RPTA.: D

5. Dados los conjuntos unitarios

A = {a + b; a + 2b 3; 12} y

B = {xy ; yx ; 16};

halle el valor de (x + y + a² + b)

A) 81 B) 92 C) 96 D) 87 E) 90

RESOLUCIÓN

A y B son unitarios:

* A = {a + b; a + 2b 3; 12}

a + b = 12

a + 2b 3 = 12 a + 2b = 15

como: a + b = 12

b = 3 a = 9

* B = {xy; yx; 16}

xy = yx = 24

x = 2 ; y = 4

x + y + a² + b = 90

RPTA.: E

6. Calcular el número de subconjuntos binaros del conjunto D, si:

D = {(x² 1) Z / 0 < x 4} A) 132 B) 126 C) 105

D) 124 E) 120

RESOLUCIÓN

D = {(x² 1) Z / 0 < x 4}

0 < x 4 0 < x² 16

1 <x² 1 15

D = {0; 1; 2; 3; ...;15} n(D)= 16

#Subconjuntos 16 16!C

2! 14!2Binarios de D

15x16

215x8

120

RPTA.: E

7. Si: n [P(A)]= 128; n[P(B)]= 32 y

n [P(A B)] = 8

Halle el cardinal de P(A B) sumado

con el cardinal de:

C = 5

3x 1 Z x3

A) 521 B) 517 C) 519 D) 512 E) 520

RESOLUCIÓN

´

* nP(A) = 128 = 27 n(A) = 7

nP(B) = 32 = 25 n(B) = 5

nP(A B) = 8 = 23 n(A B) = 3

n(A B) = 7 + 5 3 = 9

nP(A B) = 29 = 512

* C = 5

3x 1 Z x3

5x

3

5x 3 1 3 1

3

(3x + 1) < 6

C = {1; 2; 3; 4; 5} n(C) = 5

nP(A B) + n(C) = 517

RPTA.: B

8. Oscar compra 9 baldes de pinturas de diferentes colores. Los mezcla en

igual proporción. ¿Cuántos nuevos matices se pueden obtener?

A) 512 B) 246 C) 247 D) 503 E) 502

RESOLUCIÓN

# de colores = 9

# de nuevos matices= 29 1 9

= 512 10 = 502

RPTA.: E

9. El conjunto A tiene 200 subconjuntos no ternarios. ¿Cuántos

subconjuntos quinarios tendrá?

A) 64 B) 56 C) 48 D) 21 E) 35

RESOLUCIÓN

Sea n(A) = x

x x

3

x

x

Subconjuntos2 C 200

no ternarios

x!2 200

3! x 3

x 2 x 1 x2 200

6

x 8

Luego :

#Subconjuntos 8 8!C

5! x 3!5Quinarios

8 x 7 x 656

6

RPTA.: B

10. Si el conjunto “C” tiene (P + 1) elementos y (2P + 3) subconjuntos propios; además:

n(A) = 4P + 2 ; n(B) = 3P + 6 y

n(A B) = 2P 2

Halle n(A B)

A) 14 B) 16 C) 18 D) 17 E) 20

RESOLUCIÓN

n(C) = P + 1

# subconjuntos2P 3

propios de C

P + 1

2P + 1 1 = 2P + 3

P = 2 Luego:

n(A) = 4(2) + 2 = 10 n(B) = 3(2) + 6 = 12

n(A B) = 2

n (A B) = 18

RPTA.: C

11. Sean los conjuntos A E ; B E y

C E; E conjunto universal, tal que:

E = {x Z+ / x < 10}

A = x E x 7

A B = {x E / x 9 x > 2}

B C = {3}

B C = {x E / x 7}

A C = A B C

Determinar n(A) + n(B) + n(C)

A) 9 B) 12 C) 10 D) 13 E) 11

RESOLUCIÓN E={x Z+/x<10} = {1,2,3,4,5,6,7,8,9}

A x E / x 7 1,2,3,4,5,6

A = {7, 8, 9} De:

A C A B C A B C

A B = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

B C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

n(A) + n(B) + n(C) = 3 + 5 + 3 = 11

RPTA.: E

12. Sean A, B y C tres conjuntos no

vacíos que cumplen las condiciones:

* A B B A

* si x C x B Determinar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones.

I) A y B son disjuntos

II) (A B) C

III) C (A B)

IV) C (A B)

A) FVVF B) FFVV C) FFFF

D) VFVF E) FFFV

RESOLUCIÓN

A B B A

x C x B

Graficando las dos condiciones:

I) A y B son disjuntos (F)

II) (A B) C (F)

III) C (A B) (F)

IV) C (A B) (V)

RPTA.: E

13. Sean A y B dos conjuntos finitos tales que:

* A B = * n(B) = 2 . n(A)

* B tiene 128 subconjuntos.

´

´ ´ ´

´

1028

A = 10 B = 12

. 1

. 2. 3

. 4

. 5

. 6. 7

. 8

. 9

CBA

´

C

B

A

El número de subconjuntos de B

excede al número de subconjuntos propios de A en 993.

¿Cuántos subconjuntos propios tiene

A ?

A) 28 1 B) 210 1 C) 211 1

D) 212 1 E) 213 1

RESOLUCIÓN

Sean n(A) = x n(B) = 2x

# subconjuntos # subconjuntos993

de B propios de A

22x (2x 1) = 993

2x(2x 1) = 992 = 25 x 31

x = 5

Luego:

# subconjuntos de 7B 128 2

12#subconjuntos propios de A 2 1

RPTA.: D

14. Dados los conjuntos:

3x 5A x N / N

4

x 1 xB N / N

2 2

C x N /2x 25

Halle: n[(A B) C ]

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

RESOLUCIÓN

* 3x 5

A x N / N4

3x 5 4N 5N x

4 3

N = 2; 5; 8 ......

X = 1; 5; 9 ......

A = {1, 5, 9, 13, 17, 21, .....}

* x 1 x

B N / N2 2

NATURAL

x 1 x 1No existe natural

2 2 2

B =

* C x N /2x 25

C = {13, 14, 15, 16, 17, .....}

n(A B) C A B (DIFERENCIA SIMÉTRICA)

n (A C ) = n(A C)

= n {1, 5, 9} = 3

RPTA.: B

15. Para los conjuntos A, B y C

afirmamos:

I. Si A B C C B A

II. A A

III. A B A B

IV. Si A B B A

V. A B A B A

Son verdaderas: A) todas

B) solo II y III C) todas excepto V

D) solo II, III, IV y V E) solo I, II y V

RESOLUCIÓN

I. Si A B C C B A (V)

´

´ ´ ´ ´

´ ´

´ ´ ´ ´

2

5 10

B = 10A = 5

U

´ ´ ´ ´

II. A A (V)

III. A B A B (V)

IV. Si A B B A (V)

V. A B A B A (V)

RPTA.: A

16. Si A y B son dos conjuntos finitos, tal que, el número de subconjuntos de A y de B suman 320, los

conjuntos A y B tienen 2 elementos

comunes; determine n(A B)

A) 14 B) 13 C) 12

D) 11 E) 10

RESOLUCIÓN

320 = n(PA) + n (PB) 320 = 2n(A) + 2n(B)

320 = 26 + 28 Luego:

n(A) = 6 n(B) = 8

n(A B) = 10

RPTA.: E

17. Sean A, B y C conjuntos no vacíos

diferentes dos a dos, tales que:

B A ; C B

A C

Al simplificar:

[B (C A)] [A (B C)] se

obtiene:

A) A B) B C) A B

D) A C E)

RESOLUCIÓN

B A ; C B ; A C

A B ; C B ; A C

Graficando y enumerando las

regiones:

B C A A B C

[2] [1; 3] =

RPTA.: E

18. Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, simplificar:

A B A B A B

A) A B B) A B

C) A B D) A B

E)

RESOLUCIÓN

Graficando los conjuntos A y B

A B A B A B

(A B) (B A)

´

´ ´ ´ ´

´ ´ ´ ´ ´

4 62

A B

2

BC

A

1

2 3

´ ´ ´ ´

2 31

4

A B

´

´ ´ ´ ´

´ ´

1,2,3 2,3

1,2,3 1,4 1 A B

RPTA.: A

19. En el gráfico, las zonas sombreadas

están representadas por:

I) [A (B C)] [C D]

II) (A B) (B C)

III) [(A D) C] [A (B C)]

A) solo I B) solo II C) solo I y II D) solo II y III E) todos

RESOLUCIÓN

I) [A (B C)] [C D]

[{1,2,3} {2,6,5}] {7} =

{1,3,7}: si

II) (A B) (B C)

{1,2,3,4,5,6,7} {2,5,6} =

{1,3,4,7} no

III) [(A D) C] [A (B C)]

{1,2,5} {1,3} = {1} no

RPTA.: A

20. Dado 3 conjuntos A; B y C:

Si n(A) = m ; n(B) = m + r

n(C) = m + 2r ; además: n[P(A)] + n[P(B)]+ n[P(C)] = 896

Se sabe además que A, B y C son disjuntos.

Calcule n(A B C)

A) 16 B) 22 C) 24

D) 32 E) 48

RESOLUCIÓN n(A) = m ; n(B) = m + r ; n(C) = m + 2r

A B CnP nP nP 896

2m + 2m+r + 2m+2r = 896

2m [1 + 2r + 22r] = 896 = 27 x 7

m = 7 r = 1

A B C

7 8 9

n(A B C) = 24

RPTA.: C

B

CD

A

´

B

CD

A

1 2 34

5

6

7