Contenido

Capítulo 0 Probabilidad y estadística 1 0.1 Observaciones, fenómenos y sucesos 1 0.2 En el origen de las palabras 5 0.3 Breve historia de la Estadística 6

0.3.1. Estadística 6 0.3.2. Probabilidad 10 0.3.3. Probabilidad y Estadística: Estadística

matemática 23

Apéndice: Alfabeto griego 26

Capítulo 1 Probabilidad 27 1.1 Experimento aleatorio 27 1.2 El azar 28 1.3 La probabilidad 30 1.4 Sucesos 30 1.5 Operaciones con sucesos 31

1.5.1. Unión de sucesos 32 1.5.2. Intersección de sucesos 33 1.5.3. Propiedades de la unión e intesección de

sucesos 34 1.5.4. Diferencia de sucesos 3.4-. 1.5.5. Suceso complementario 35

1.6 Concepto de probabilidad 37 1.6.1. Probabilidad clásica 37 1.6.2. Probabilidad frecuentista 40

1.7 Axiomática del cálculo de probabilidades 44 1.7.1. Introducción 44 1.7.2. Álgebra de sucesos 45 1.7.3. Axiomática de Kolmogorov 47

IX

X • ESTADISTICA. PROBABILIDAD

1.8 Teoremas del cálculo de probabilidades 49 1.9 Probabilidad condicional 54 1.10 Independencia de sucesos 60 1.11 Probabilidad lógica 66 1.12 Probabilidad subjetiva 68

Ejercicios resueltos 75

Capítulo 2 Variable aleatoria unidimensional 95 2.1 Variable aleatoria 95 2.2 Función de distribución 100

2.2.1. Propiedades de la función de distribución . . . . 101 2.3 Variables aleatorias discrelas 102 2.4 Variables aleatorias continuas 104 2.5 Distribuciones truncadas 112

2.5.1. Distribuciones truncadas discretas 113 2.5.2. Distribuciones truncadas continuas 115

2.6 Transformaciones de variables aleatorias unidimensionales 116 2.6.1. Variables discretas 116 2.6.2. Variables continuas 118

Ejercicios resueltos 123

Capítulo 3 Variables aleatorias bidimensionales y a-dimensionales 137

3.1 Introducción 137 3.2 Función de distribución bidimensional conjunta . . . 138

3.2.1. Funciones de distribución marginales 139 3.3 Variables aleatorias bidimensionales discretas 140 3.4 Variables aleatorias bidimensionales continuas 141 3.5 Variables aleatorias bidimensionales condicionales. 144 3.6 Variables aleatorias bidimensionales independientes 150 3.7 Variables aleatorias /¡-dimensionales 154

3.7.1. Distribuciones marginales 154 3.7.2. Distribuciones condicionales 155 3.7.3. Independencia de variables aleatorias 155 3.7.4. Variables aleatorias discretas 156 3.7.5. Variables aleatorias continuas 157

3.8 Transformación de variables aleatorias bidimensionales 160

CONTENIDO • XI

3.8.1. Variables aleatorias bidimensionales discretas . 161 3.8.2. Variables aleatorias bidimensionales continuas 162

3.9 Variables aleatorias /^-dimensionales 175

Ejercicios resueltos 177

Capítulo 4 Características de las distribuciones de probabilidad 203

4.1 Esperanza matemática 203 4.1.1. Introducción 203 4.1.2. Esperanza matemática: concepto 205 4.1.3. Existencia de la esperanza matemática 206 4.1.4. Propiedades de la esperanza matemática 209

4.2 Esperanza de una función de una variable aleatoria 213 4.3 Momentos 214

4.3.1. Momentos respecto al origen 214 4.3.2. Momentos respecto a la media 216

4.4 Dispersión 218 4.4.1 Desviación media respecto a la media 219 4.4.2. Varianza 219 4.4.3. Propiedades de la varianza 220 4.4.4. Desviación típica o estándar 225 4.4.5. Tipificación de una variable aleatoria 226

4.5 Teorema de Markov: Desigualdad de Chebichev . . 227 4.5.1. Teorema de Markov 227 4.5.2. Desigualdad de Chebichev 228

4.6 Asimetría y curtosis 231 4*6*1* .A.siroctnä « t * * « * * * » * * * * * * • « * * * * * • • * 232 4.6.2. Curtosis... 233

4.7 Momentos bidimensionales 235 4.7.1. Momentos respecto al origen 235 4.7.2. Desigualdad de Schwarz 236 4.7.3. Momentos respecto a las medias 237 4.7.4. Matriz de covarianzas 242

4.8 Esperanza y varianza condicionada 245 4.8.1. Esperanza condicionada 245 4.8.2. Varianza condicionada 247

4.9 Otros parámetros característicos de una distribución de probabilidad 248 4.9.1. Moda 248 4.9.2. Mediana ; 248 4.9.3. Cuantiles 249

Ejercicios resuellos 251

XII • ESTADÍSTICA, PROBABILIDAD

Capítulo 5 Función característica 271 5.1 Función característica 271 5.2 Propiedades de la función característica 272 5.3 Funciones generatrices de momentos 278 5.4 Función característica bidimensional 279

5.4.1 Funciones características marginales 282 5.5 Función característica «-dimensional 282

Ejercicios resueltos 283

Capítulo 6 Regresión y correlación 291 6.1 Regresión entre dos variables aleatorias 291 6.2. Regresión I 292

6.2.1 Regresión í cuando es lineal 295 6.3 Regresión II o mínimo-cuadrática 296

6.3.1. Regresión mínimo-cuadrática lineal — 297 6.4 Correlación 300

6.4.1. Coeficiente de correlación lineal 301 6.4.2. Interpretación estadística de p 303

6.5 Descomposición de la varianza en la regresión lineal 307 6.6 Regresión y correlación múltiple 313

6.6.1. Regresión I múltiple 313 6.6.2. Regresión II o mínimo-cuadrática múltiple . . . 313 6.6.3. Coeficientes de correlación lineal 314

Ejercicios resueltos 317

Capítulo 7 Modelos de probabilidad discretos (I) 335 7.1 Introducción 335 7.2 Modelos discretos elementales 336

7.2.1. Distribución degenerada o causal 336 7.2.2. Distribución en dos puntos 337 7.2.3. Distribución uniforme discreta 338

7.3 Distribución binomial (0; 1) o de Bernoulli 341 7.4 Distribución binomial (/?;/?) 343 7.5. Distribución de Poisson 349

Ejercicios resueltos 357

Capítulo 8 Modelos de probabilidad discretos (II) 363 8.1 Distribución geométrica 363

CONTENIDO • Xill

8.2 Distribución binomial negativa o de Pascal 366 8.3 Distribución de Pólya o de contagio 371 8.4 Distribución hipergeométrica 373 8.5 Distribución hipergeométrica multivariate 376 8.6 Distribución multinomial 379 8.7 Relaciones entre los modelos discretos 383

Ejercicios resueltos 385

Capítulo 9 Distribuciones de probabilidad continuas univariantes 393

9.1 Distribución uniforme 393 9.2 Distribución normal 396

9.2.1 Distribución MO; 1) 599 9.2.2. Distribución N(& o) 400 9.2.3. Manejo de tablas de la distrihución N(Q; I). 405

9.3 Distribuciones derivadas de la distribución normal. 411 9.3.1. Distribución lognormal o de Viae Alisier 411 9.3.2. Distribución x 2 de Pearson 412 9.3.3. Distribución i de Student 419 9.3.4. Distribución F de Fisher-Snedecor 422

9.4 Otras distribuciones continuas 425 9.4.1 Distribución de Cauchy 425 9.4.2. Distribución de Lapiace 427 9.4.3. Distribución logística 428 9.4.4. Distribución de Pareto 429

9.5 Distribución gamma 430 9.5.1. Distribución de Maxwell 433 9.5.2. Distribución de Rayieigh 434 9.5.3. Distribución de Weibull 434

9.6 Distribución beta 434 9.7 Relaciones entre distribuciones continuas 436 9.8 Familia exponencial 438

Ejercicios resueltos 441

Capítulo 10 Distribución normal multivariante 459 10.1 Distribución normal bidimensional 459

10.1.1. Distribución normal bidimensional no singular 460 10.1.2. Distribución nromal bidimensional singular . . . 471

10.2 Distribución normal /í-dimensional 472 10.2.1. Distribución normal /í-dimensional no singular 473

XIV • ESTADÍSTICA. PROBABILIDAD

10.3 Distribución normal «-dimensional singular 486 10.4 Distribución de formas cuadráticas 487

10.4.1. Independencia de formas cuadráticas 489 10.4.2. Esperanzas y varianzas de formas cuadráticas 490

Ejercicios resueltos 491

Capítulo 11 Convergencia 497 11.1 Introducción 497 11.2 Convergencia de variables aleatorias 501 11.3 Tipos de convergencia 501

11.3.1. Convergencia casi segura 502 11.3.2. Convergencia en probabilidad 503 11.3.3. Convergencia en distribución 505 11.3.4. Convergencia en media de orden r 506 11.3.5. Relaciones entre los distintos tipos de

convergencia 508 11.3.6. Convergencia de las funciones características 509

11.4 Leyes límite 509 11.5 Ley débil de los grandes números 510

11.5.1. Teorema de Chebichev 510 11.5.2. Teorema de Khintchine 512 11.5.3. Teorema de Slutsky' 514 11.5.4. Teorema de Bernoulli 514

11.6 Ley fuerte de los grandes números 518 11.6.1. Teoremas de Kolmogorov 518 11.6.2. Teorema de Glivenko-Cantelli 519

11.7 Teorema central del límite 520 11.7.1. Teorema de Lindeberg-Lévy 521 11.7.2. Teorema de Moivre 525 11.7.3. Teorema de Lindeberg-Feller 525 11.7.4. Otras convergencias en distribución 527

Ejercicios resueltos 529

Capítulo 12 Procesos estocásticos 535 12.1 Procesos estocásticos 535

12.1.1. Concepto y clasificación de procesos estocásticos 535

12.1.2. Función de distribución de un proceso estocástico 537

12.2 Características de un proceso estocástico 538

C O N T E N I D O • X V

12.3 Procesos estocásticos estacionarios 542 12.3.1. Procesos estacionarios en sentido estricto 542 12.3.2. Procesos estacionarios en sentido amplio 545

12.4. Principales procesos estocásticos 545 12.4.1. Margingala 545 12.4.2. Procesos de innovación 546 12.4.3. Proceso gaussiano 546 12.4.4. Proceso de Wiener o de movimiento

browniano 547 12.4.5. Ruido blanco 547 12.4.6. Paseo aleatorio 548

12.5 Procesos estocásticos lineales 548 12.5.1. Procesos estocásticos autorregresivos 551

12.5.1.1. Proceso AR(l) 551 12.5.1.2. Proceso AR(2) 554

12.5.2. Procesos de medidas móviles 559 12.6 Procesos de Markov 561

Ejercicios resueltos 563

Apéndice matemático 577 A . Análisis matemático 579

Potencias 579 Logaritmos 580 Trigonometría 581 Números complejos 582 Sucesiones 584 Combinatoria 585 Binomio de Newton 588 Fórmula de Leibniz 590 Desigualdades: Leyes de monotonía 591 Interpolación lineal 592 Ecuaciones en diferencias finitas 594

B . Cálculo diferencial 597 Funciones de variable real 597 Cálculo integral 601 Optimización 608

C . Álgebra matricial 615 Matriz 615 Álgebra de matrices 616 • Determinante 621

XVI • ESTADISTICA. PROBABILIDAD

Rango de una matriz 624 Matriz inversa Autovalores Autovectores

Matriz Jacobiana

Tablas estadísticas

Bibliografía

Indice analítico

626 628 629 631 Traza

Formas cuadráticas 632 Derivación de matrices 634

638

639 Tabla 1. Probabilidades de la distribución binomial [n\p) 641 Tabla 2. Probabilidades de la distribución de Poisson . . 644 Tabla 3. Probabilidades de la distribución normal N(0; 1) 648 Tabla 4. Probabilidades de la distribución %(rí) 650 Tabla 5. Probabilidades de la distribución t(n) 652 Tabla 6. Probabilidades de la distribución F(m\ n) 654

669

679