TEORA DEL INTERS II

El dinero no da la felicidad, pero procura una sensacin tan parecida, que se

necesita un especialista muy avanzado para verificar la diferencia

Oscar Wilde

LICENCIATURA EN ACTUARA

BENEMRITA UNIVERSIDAD AUTNOMA DE PUEBLA

ACTM-005

Anualidades continuas

Las anualidades continuas son un caso especial de las anualidadespagaderas ms frecuentemente que la convertibilidad de la tasa, en este

caso, los pagos se hacen en intervalos continuos de tiempo.

Es muy difcil encontrar este tipo de anualidades en la prctica, sin

embargo, algunas veces se usan como aproximacin de anualidades

pagaderas diariamente.

Por la misma naturaleza de una anualidad continua, los pagos son muypequeos, entonces, en este tipo de anualidades se opera con la suma delos pagos continuos en un intervalo determinado de tiempo (en el tiempode conversin de la tasa), a esta suma se le conoce como velocidad depago. Dado que los pagos continuos son R y m en el nmero de pagos porconversin de la tasa, entonces Rm es la velocidad del pago.

Anualidades continuas

Las anualidades continuas se denotan de la siguiente manera:

Podemos encontrar la frmula del valor presente de unaanualidad continua partiendo del hecho de que es un casoespecial de las pagaderas ms frecuentemente que laconvertibilidad de la tasa cuando m tiende a infinito:

F.1.

Tambin podemos deducirla trayendo a valorpresente todos los pagos continuos de unaunidad monetaria.

Para VP Para VF

Anualidades continuas

Sabemos que la suma de los pagos continuos trados a valorpresente lo podemos determinar con integrales, entonces:

F.1.

Para el valor futuro, en lugar de factor de descuento usamos

factor de acumulacin, entonces:

F.2

ax dx= ax

ln a

Anualidades continuas Sabemos que la suma de los pagos continuos trados a valor

presente lo podemos determinar con integrales, entonces:

F.1.

Para el valor futuro, en lugar de factor de descuento usamos

factor de acumulacin, entonces:

F.2

ax dx= ax

ln a

Para IS: (1 + it)-1 dt

Para IS: (1 + it) dt

F.3

F.6

Para DS: (1 - dt) dt F.4

Para DS: (1 dt)-1 dt F.7

Para DC: El integrando es (1-d)-t

Para DC: El integrando es (1-d)t F.5

F. 8

cuando el inters es compuesto

cuando el inters es compuesto

Anualidades continuas

Si deseamos expresar una anualidad continua estrictamente entrminos de la fuerza de inters, tenemos:

F. 9 y 10

Ejemplos:

1.- Sandra Talamantes desea calcular el VP de pagos continuoscuya velocidad de pago es de $1,200 anuales y se van arealizar durante 10 aos a una tasa de inters del 20%

a) Simple

b) Compuesto

Los estudiantes deben demostrar las relaciones anteriores a partir de las frmulas F.1 y F.2

Anualidades que crecen como

progresin geomtrica

Las anualidades que crecen como progresin geomtrica tienenla caracterstica de que los pagos se van incrementandoconforme a un factor.

Ejemplo: Dibuje el diagrama en el tiempo de una anualidadcuyos 4 pagos anuales crecen como una progresin geomtricaa razn del 10%. El primer pago es de $1,000.

Anualidades que crecen como

progresin geomtrica

Solucin: En forma general el diagrama en el tiempo va as

x1

0 1 2 3 4

x2 x3 x4

Ahora demos valores a las variables, sabemos que el primer pagox1=1,000 y que la razn de crecimiento g=10%, entonces lospagos seran

x1 = 1,000x2 = 1,000 (1+g) = 1,000 (1.10) = 1,100

x3 = 1,100 (1+g) = 1,100 (1.10) = 1,210

x4 = 1,210 (1+g) = 1,210 (1.10) = 1,331

El diagrama en el tiempo queda:

1,000

0 1 2 3 4

1,100 1,210 1,331

Anualidades que crecen como

progresin geomtrica

En trminos generales, el diagrama en el tiempo queda:

x1

0 1 2 3 4

x1 (1+g) x1(1+g)2 x1(1+g)

3Ntese que cada pago se obtienemultiplicando el primer pago por (1+g)elevado a un exponente menor enuna unidad que el nmero de pago.

x n = x1 ( 1+g)n-1

Supuestos que se manejan en anualidades que crecen como progresin

geomtrica:

1.- La tasa de inters permanece constante para todo el plazo de la anualidad.

2.- Debe existir correspondencia entre la frecuencia de la tasa y los periodos de

pago.

3.- La tasa de crecimiento es constante.

4.- Siempre debemos buscar la correspondencia entre la razn de crecimiento y

los periodos de pagos.

Los estudiantes deben deducir la frmula del VPG y VFG de unaanualidad de plazo n cuyos pagos crecen como progresin geomtrica auna razn k y con primer pago de una unidad monetaria.

5.- El VP de una anualidad creciente se evala un periodo antes del primer pago

Perpetuidades que crecen como

progresin geomtrica

Sean tres casos:

Caso 1: Cuando la tasa de crecimiento es igual a la tasa de inters g=i, el VP de

la perpetuidad no puede ser calculada, ya que es infinito o diverge.

Caso 2: Cuando la tasa de crecimiento es mayor a la tasa de inters g>i

VPG=

Si g>i entonces el trmino (1+g)/(1+i) > 1 y al elevarlo a cualquier nmero enteropositivo mayor que 1 se va haciendo cada vez ms grande, al ser muy grande, eltrmino (1+g)n/(1+i)n se hace muy grande, y nuevamente el VP diverge y no puedeser calculado.

x1

Perpetuidades que crecen como

progresin geomtrica

Caso 3: Cuando la tasa de crecimiento es menor que la tasa de inters g

Anualidades cuyos pagos forman

una serie aritmtica

Ya vimos que las anualidades pueden crecer conforme a unaprogresin geomtrica.

Puede suceder tambin que la serie de pagos formen una

progresin aritmtica, es decir, cuyos pagos crecen conforme a

un sumando

Ejemplo: Dibuje el diagrama en el tiempo de una anualidadcuyos 4 pagos anuales crecen como una progresin aritmticade tal manera que cada pago sea igual al anterior ms unacantidad constante de $100. El primer pago es de $1,000.

Solucin: En forma general el diagrama en el tiempo va as

x1

0 1 2 3 4

x2 x3 x4

Anualidades cuyos pagos forman

una serie aritmtica

Ahora demos valores a las variables, sabemos que el primer

pago x1=1,000 y que la cantidad constante de crecimiento es

de $100, entonces los pagos seran

x1 = 1,000

x2 = 1,000 + 1(100) = 1,000+ 100 = 1,100

x3 = 1,100 + 1(100) = 1,000 + 2(100) = 1,000+2(100) = 1,200

El diagrama en el tiempo queda:

1,000

0 1 2 3 4

1,100 1,200 1,300

x4 = 1,200 + 1(100) = 1,000 + 3(100) = 1,000+3(100) = 1,300

Anualidades cuyos pagos forman

una progresin aritmtica

P

0 1 2 3 4

P+Q P+2Q Ntese que cada pago se obtienesumndole al primer pago n-1veces la constante aritmtica.

P+ (n-1) Q

Actividad para los estudiantes: Deduccin de las frmulas del

VPA y VFA

P+3Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q

n-1 n

Se debe llegar a las siguientes expresiones:

VPA =

VFA =

F.1

F.2

En trminos generales, el diagrama en el tiempo de una anualidadcuyos pagos forman una progresin aritmtica, se representara de lasiguiente manera:

Casos especiales de anualidades cuyos

pagos forman una serie aritmtica

Primer caso: Situacin en la que una anualidad cuyos pagos formanuna serie aritmtica de tal forma que P=Q=1 (increasing annuity).Las anualidades van creciendo de 1 en 1 hasta llegar a n.

P

0 1 2 3 4

P+Q P+2Q P+3Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q

n-1 n

1

0 1 2 3 4

2 3 4 n-1 n

n-1 n

Si P=Q=1, la representacin en el diagrama en el tiempo queda de la siguientemanera:

La representacin para el VP de esta anualidad es y para VF

Ejercicios para los estudiantes

Se debe llegar a las siguientes expresiones:

F.3

F.4

Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=Q=1

Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=Q=1

Casos especiales de anualidades cuyos

pagos forman una serie aritmtica

Segundo caso: Situacin en la que una anualidad cuyos pagosforman una serie aritmtica de tal forma que P=n y Q= -1 (decreasingannuity). Las anualidades decrecen de 1 en 1 empezando en n yterminando en 1.

P

0 1 2 3 4

P+Q P+2Q P+3Q P+(n-2)Q P+(n-1)Q

n-1 n

n

0 1 2 3 4

n - 1 n - 2 2 1

n-1 n

Si P=n y Q=-1, la representacin en el diagrama en el tiempo quedade la siguiente manera:

La representacin para el VP de esta anualidad es y para VF

n - 3

Ejercicios para los estudiantes

Se debe llegar a las siguientes expresiones:

F.5

F.6

Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=n y Q=-1

Actividad para los estudiantes: Deduccin de sustituyendo P=n y Q=-1

Perpetuidades: Ejercicio para los

estudiantes

Actividad para los estudiantes: Deduccin de VPPA.

Se debe llegar a la siguiente expresin:

VPPA=

Valores conmutados

Los valores conmutados se utilizan para simplificar expresiones deanualidades incluyendo las aritmticas y se definen como sigue:

Primer valor conmutado: Valor presente un pago de unaunidad monetaria hecho al final de n aos.

Segundo valor conmutado: Valor presente de una perpetuidad que

paga una unidad monetaria donde el primer pago empieza en n.

Tercer valor conmutado: Valor presente de una perpetuidadcreciente de 1,2,3 (P=Q=1), el primer pago se empieza en n.

Ejercicios para los estudiantes

1.- Demuestre que la frmula del VP de una anualidad

creciente (increasing annuity ) donde P=Q=1, puede ser

representado como H1-Hn+1- n Gn+1.

2.- Demuestre que la frmula del VP de una anualidad

decreciente (decreasing annuity ) donde P=n y Q= -1,

puede ser representado como n G1-H2+ Hn+2.

3.- Haga un resumen del tema valores conmutados

(incluyendo ejemplos) de la tercera edicin del Kellison

pginas 144 y 145.