Contribuciones a la Estadística Espacial No Paramétrica

Contribuciones a la Estadıstica Espacial No Parametrica

Sergio Castillo Paez (UVIGO, ESPE)

II CONFERENCIA DE MATEMATICOS ECUATORIANOS

Parıs, Abril 2016

Contribuciones a la Estadıstica Espacial No Parametrica 1 / 21

Indice

1 IntroduccionModelo geoestadısticoObjetivos principalesEnfoque parametrico y no parametrico

2 Estimacion no parametrica de la tendenciaEstimador lineal local multivarianteSeleccion de la ventana

3 Estimacion no parametrica de la dependenciaEstimacion NP del variograma

4 Inferencias sobre el proceso espacial

5 Nuevas contribucionesSeleccion de ventana para estimacion lineal localMetodo Bootstrap No ParametricoMapas de riesgo geoestadıstico no parametricoEstimacion NP en procesos espaciales heterocedasticos


Un ejemplo introductorio

concentración de zinc (ppm)

330000

331000

332000

333000

179000 179500 180000 180500 181000

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[113,197.4](197.4,344.9](344.9,602.5](602.5,1053](1053,1839]

Figura 1. Concentracion de zinc medida sobre la superficie de las riberas del rıo Meuse

(Pebesma, 2004)Contribuciones a la Estadıstica Espacial No Parametrica 3 / 21

Modelo geoestadıstico

Proceso espacial:{Y (x), x ∈ D ⊂ Rd

}, con dominio D continuo.

Modelo:Y (x) = µ(x) + ε(x), (1)

µ(·) funcion tendencia (determinıstica).

ε(·) proceso de error estacionario de segundo orden, de media cero ycovariograma:

C (u) = Cov(ε (x) , ε (x + u))

Usualmente, la dependencia se modela a traves del variograma:

γ(u) =1

2Var(ε (x)− ε (x + u)) (2)


Objetivos principales

A partir de n valores observados Y = (Y (x1), . . . ,Y (xn))t , puedeinteresar:

Estimar la tendencia del proceso: µ(·)

Obtener la dependencia estimada: γ(·)

Realizar inferencias sobre el proceso espacial:

Predicciones en regiones no observadas: Y (x0).

Intervalos de confianza para µ(·) y γ(·).

Mapas de riesgos: P(Y (x0) ≥ c).


Enfoque parametrico y no parametrico

Enfoque parametrico tradicional:

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

178500 179000 179500 180000 180500 181000 181500

3300

0033

1000

3320

0033

3000

(a) Predicción paramétrica de la tendencia

x

y

++ + +++

+++ +++

++++

++

++ +++

++++

+++

+++ ++++

+++

+++

+

+++++

++

++++++ +

++

+++

++

++

++

+++

+ ++++

++

+ +

+

+

+

++

++

++ ++

+

++

+++

+

+ + +

+

++ +

++

+++

++++

++

+

++

+++

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+++

+++

+ ++

++++

+ ++

+++ +

+

(b) Estimación paramétrica del Variograma

distance

sem

ivar

ianc

e

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

500 1000 1500

●

●

●

●

●

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● ●

● ●

Figura 2. (a) Prediccion parametrica de la tendencia de Log(Zinc) tomando como

variable explicativa la raız cuadrada de la distancia al rıo, y (b) Estimacion parametrica

del variograma de los residuos a partir de un modelo Exponencial


Enfoque parametrico y no parametrico

Enfoque no parametrico:

No estan expuestos a problemas de mala especificacion .

Obtienen estimaciones mas flexibles.

De utilidad en inferencia parametrica y facilitan la seleccion de unmodelo.

Requieren la seleccion de un parametro de suavizado (ventana).

Se propone utilizar el estimador lineal local por sus propiedades teoricas(reduccion efecto frontera) y son mas faciles de implementar (paquetenpsp de R).


Estimacion NP de la tendenciaEstimador lineal local multivariante:

Se obtiene por suavizado lineal de los datos (xi ,Y (xi )), tal que:

µH(x) = et1(Xt

xWxXx

)−1Xt

xWxY = stxY, (3)

e1 = (1, 0, .., 0)t .

Xx matriz cuya i-esima fila es (1, (xi − x)t).

Wx = diag {KH(x1 − x), . . . ,KH(xn − x)} ,

KH(u) = |H|−1K (H−1u), donde K es una funcion tipo nucleod-dimensional.

H es una matriz definida positiva de orden d , y representa el parametrode suavizado o ventana.

Matriz de suavizado S: matriz n × n con stxi en la fila i tal que:

Y = SY.


Criterios para seleccion de la ventana

Validacion cruzada tradicional (VC), suponiendo independencia:

CV (H) =1

n

n∑i=1

(Y (xi )− m−i (xi ))2

siendo m−i (xi ) la estimacion obtenida eliminando el dato i .

VC generalizada con correccion de sesgo para dependencia(Francisco-Fernandez y Opsomer, 2005):

CGCV (H) =1

n

n∑i=1

(Y (xi )− m(xi )

1− 1n tr (SR)

)2

siendo R la matriz de correlaciones (estimada).


Influencia de la ventana en la estimacion NP

4

5

6

7

8

179.0 179.5 180.0 180.5 181.0

330

331

332

333

(a) Estimación de la Tendencia bajo independencia

(120x120)Easting (km)

Nor

thin

g (k

m)

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

179.0 179.5 180.0 180.5 181.0

330

331

332

333

(b) Estimación de la tendencia bajo dependencia

(120x120)Easting (km)

Nor

thin

g (k

m)

Figura 3. (a) Estimacion NP de la tendencia de Log(Zinc) con ventana

H = diag(0,5329, 0,5683) bajo independencia y (b) Estimacion NP de la tendencia de

Log(Zinc) con ventana H = diag(1,0945, 1,5631) bajo dependencia de los datos.

La matriz ventana H controla el grado de suavizado de la estimacionlineal local.


Estimacion NP del variograma

Se realiza a partir de los residuos: r(xi ) = Y (xi )− µ(xi ).

Si la media se supone constante: r(xi ) = Y (xi )

Puede verse como un caso particular de regresion:

γ(u) =1

2E(ε(x)− ε (x + u))2

La estimacion se puede obtener por suavizado lineal utilizando (3)sobre los datos (||u||, 1

2 (r(x)− r (x + u))2), usando una ventanaseleccionada por VC.

Estos estimadores no son condicionalmente definido-negativos (no esfactible realizar predicciones kriging), por lo que se debe ajustar unmodelo de variograma valido.

Modelo ”no parametricos”de Shapiro - Botha (paquete npsp).


Correccion del sesgo de variograma

●

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●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

●●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Nonparametric bias−corrected semivariogram and fitted models

distancias

sem

ivar

ianzas

corregidosesgado

Figura 4. Variograma sesgado y corregido de los residuos estimados luego de eliminar la

tendencia del Log(Zinc).

La correccion del sesgo se realiza mediante un proceso iterativobasado en la relacion: Σr = Σ + SΣSt −ΣSt − SΣ, siendo Σr lamatriz de covarianza de los residuos.


Inferencias sobre el proceso espacial

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●● ●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●

178500 179000 179500 180000 180500 181000 181500

3300

0033

1000

3320

0033

3000

Predicción paramétrica por kriging universal

x

y

++ + ++ +

+++ +++

+++

++

++

+ +++

++++

+++

+++ ++++

+++

+++

+

+++++

++

++++++ +

++

+++

++

++

++

+++

+ ++++

++

+ +

+

+

+

++

++

++ ++

+

++

+++

+

+ + +

+

++

+

++

+++

++++

++

+

++

+++

++

++

+

+

+

+

+

+

+

+++

+++

+ ++

++++

+ ++

+++ +

+

Figura 5. Prediccion de Log(Zinc) mediante kriging no parametrico.

Se pueden construir predicciones, intervalos de confianza, mapas deriesgo, etc.

Aplicaciones en minerıa, monitoreo ambiental, procesamiento deimagenes satelitales, meteorologıa, etc.


Nuevos criterios para la seleccion de ventana

Propuestas para seleccionar H del estimador lineal local de latendencia de un proceso espacial (Fernandez-Casal, Castillo-Paez yGarcıa-Soidan, 2016):

CCV (H) =1

n

n∑i=1

(Y (xi )− m−i (xi ))2 +2

ntr (S−N1Σ)

o mas generalmente:

CMCV (H) =1

n

n∑i=1

(Y (xi )− m−N(i)(xi)

)2+

2

ntr (S−NΣ)

para algun vecindario N y siendo Σ la matriz de covarianzas de Y.


Metodo Bootstrap No Parametrico (NPB)

Realizar inferencias sobre la variabilidad del estimador lineal local delvariograma de un proceso espacial con y sin tendencia.

Proponer un metodo bootstrap, basado en la descomposicion deCholesky de la matriz de covarianzas Σ = LLt .

1 A partir de una ventana H, obtener el estimador lineal local de latendencia, tal que: Y = SY.

2 Calcular los residuos r = Y − SY y estimar el variograma sesgado γ(u)

3 Obtener Σr y Lr ajustando un Modelo Shapiro - Botha a γ(u).

4 Corregir el sesgo de Σr para ası obtener Σ y L.

5 Generar e∗ por remuestreo independiente de e = L−1r r.

6 Construir la muestras bootstrap Y∗ = SY + r∗, donde r∗ = Le∗.


Metodo Bootstrap No Parametrico (NPB)

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●

●●

●●

●●

● ● ● ● ● ● ● ● ●

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

Variogramas

distancias

sem

ivar

ianz

as

● NP est. variog. correct. variog. IC (95%) - NPB

Figura 6. Intervalo de confianza al 95 % para el estimador lineal local del variograma de

los residuos de datos ”meuse”, utilizando el NPB.

Estudios numericos muestran que el NPB conduce a mejoresresultados que otros metodos bootstrap como el MBB o SPB(Castillo-Paez, S., Fernandez-Casal, R., y Garcıa-Soidan, P., 2016).


Mapas de riesgo geoestadıstico no parametrico

A partir del NPB es factible contruir mapas de riesgo basados en laprediccion kriging.

Se estima a partir de la probabilidad de que la variable Y exceda unvalor crıtico c en un ubicacion especıfica x0:

rc (x0) = P (Y (x0) ≥ c) .

El proceso propuesto por Fernandez-Casal, R., Castillo-Paez, S., yFrancisco-Fernandez, M. (2016), implica:

1 Aplicar el metodo NPB para construir B replicas bootstrapY ∗(xi ), i = 1, . . . , n del proceso espacial original.

2 Obtener la prediccion kriging Y ∗(x0) en cada localizacion nomuestreada x0 a partir de cada muestra bootstrap.

3 El mapa para rc (x0) se construye mediante las frecuencias observadasen las que Y ∗(x0) ≥ c .


Mapas de riesgo geoestadıstico no parametrico

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

179.0 179.5 180.0 180.5 181.0

330

331

332

333

Threshold = 6

x1

x2

Figura 7. Mapa de probabilidad estimada de observar una concentracion de log(zinc)

mayor o igual a un valor crıtico de c = 6,0 ppm.


Estimacion NP en procesos espaciales heterocedasticos

Se considera el modelo:

Y (x) = µ(x) + σ(x)ε(x),

µ(·) funcion tendencia, σ(·) funcion varianza (determinısticas).

ε(·) proceso de error estacionario de segundo orden, de media cero,varianza unitaria y correlograma:

ρ(u) = Cov(ε (x) , ε (x + u))

En este caso: γ(u) = 1− ρ(u).

Objetivo: Estimar no parametricamente las caracterısticas del proceso,i.e., µ(x), σ(x) y γ(u).

Se proponen nuevos estimadores para σ(x) y una modificacion delproceso iterativo para la correccion del sesgo del variograma bajoheterocedasticidad.


MUCHAS GRACIAS


Referencias

Fernandez-Casal R, Francisco-Fernandez M (2014) Nonparametric bias-correctedvariogram estimation under non-constant trend. Stoch Environ Res Risk Assess 28.

Francisco-Fernandez M, Opsomer JD (2005) Smoothing paremeter selectionmethods for nonparametric regression with spatially correlated errors. Canadian JStat 33:279-295.

Garcıa-Soidan, P., Gonzalez-Manteiga, W., Febrero-Bande, M. (2003) Local linearregression estimation of the variogram. Stat Prob Lett 64.

Pebesma, E.J. (2004) Multivariable geostatistics in S: the gstat package.Computers & Geoscience 30: 683-691.

Nuevas contribuciones pendientes de publicacion.

Fernandez-Casal, R., Castillo-Paez, S. y Garcıa-Soida, P. (2016) Bandwidthselection for local linear trend estimation, presentado en el Congreso InternacionalMETMA 2104, Turın, Italia.

Castillo-Paez, S., Fernandez-Casal, R., y Garcıa-Soidan, P. (2016) Bootstrapmethods for inference on the variogram, presentado en el Congreso SEIO 2015,Pamplona, Espana.

Fernandez-Casal, R., Castillo-Paez, S., y Francisco-Fernandez, M. (2016)Nonparametric geostatistical risk mapping, presentado en el CongresoInternacional METMA 2104, Turın, Italia.


Contribuciones a la Estadística Espacial No Paramétrica

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