Cuaderno de Trabajo_geometria Analitica

7/25/2019 Cuaderno de Trabajo_geometria Analitica

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COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS

Módulo de aprendizaje

Geometría Analítica

DEL ESTADO DEQUINTANA ROO



Registro ISBN:

DIRECCIÓN ACADÉMICADepartamento de Desarrollo Curricular

Cuaderno de Trabajo.

Todos los derechos reservados

Copyright ©, 2009 por Asesoría Empresarial, Compra y Venta de Material Didáctico Da' Vinci

Segunda edición 20 10 . Impreso en México

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE QUINTANA ROO

Chetumal,

Quintana Roo , México. CP. 77020 Av.4 de Marzo # 23

,Col. Gonzalo Guerrero

, Municipio Othon P. Blanco

GEOMETRÍA ANALÍTICA



Director de Planeación

Director Académico y VinculaciónSergio Abraham Chulim Alpuche

Director General

DIRECTORIODireccción General

Prof. Raúl Armando Contreras Castillo

Lic. Elías José Abuxapqui AdamSecretario Técnico

Lic. Manuel Pech Cabañas

Directora de Administración y Finanzas

M.I. Amir Efrén Padilla Espadas

Lic. Azael Jiménez Sauri

Contralor Interno

PLANTELES

CHETUMAL

M.I. Rocío Barboza CaamalCalle Tecnológico de Tuxtla

Gutiérrez S/N. Col. Magisterial.Tel. y Fax (01 983) 8320384

CANCÚN II

Lic. Lizbeth Rocío Carrillo Alcocer Av. Cancún x Av. 135.

SMza. 527, Mza 1, Lote 1.Teléfono: (045 998) 8450152

TULUM

Lic. Dora María Chulim García

CANCÚN III

Profa. Martha Ruth Velasco Góngora Av. 20 de Noviembre S/N,Calle 4 Poniente S/N entre

Alfa y Júpiter Norte.Tel. y Fax (01 984) 8712198

Región 203, Mza 1, Lote 187.Teléfono: (045 998) 1517444

PLAYA DEL CARMEN CANCÚN IV

Ing. Isaías Armando Zafra RodríguezIng. Pedro Enrique Sierra Pacheco Av. Constituyentes S/N. Mza. 1 Lote 1, Escuela Primaria Guillermo Prieto

Región 93, Mza. 111, Col. Sánchez Madariaga.entre Av. 105 y 110 Norte. Col. Ejidal.Teléfono: (01 984) 8793484 Teléfono: (01 998) 8404628

CANCÚN I LEONA VICARIO

Ing. Gladys Eneyda Gómez Kú Dr. Javier Camacho Cabañas

Reg. 229, Mza. 28 Lote 1. Carretera Federal Cancún-Mérida km 273Calle 71 S/N esq. Av. Leona Vicario Teléfono: (045998) 8450156

y (01 998) 8926645Teléfonos: (01 998) 8926646



Nombre _____________________________________________Nombre _____________________________________________

Plantel _______________________________________________


Plantel _______________________________________________

Grupo ______ Turno _________ Teléfono __________________

Correo Electrónico _____________________________________

Domicilio _____________________________________________

Datos del alumnoDatos del alumno

5



José Carlos Aguirre RosasCoordinación general

Sandra Elivia Becerril LópezCoordinación técnica

Elisa Sofía Valdez AlcornEdición y diseño

Rocío Abigail Toledo ValenzuelaJesús Enrique Córdova BustamanteMaría Asunción Santana RojasSupervisión académica

Francisco Javier Cruz Barra Gilberto Perea MendozaJorge Luis Figueroa ArceElaboradores

Tercer semestreMódulo de aprendizaje


DIRECCIÓN ACADÉMICADepartamento de Desarrollo Curricular

COLEGIO DE ESTUDIOS CIENTÍFICOS Y TECNOLÓGICOS DEL ESTADO DE QUINTANA ROO

#, ,

, , México. CP.



Ubicación Curricular

Componente:Formación Básica

Campo de Conocimiento:Matemáticas

Créditos:8

Horas:4 HSM

Asignatura Antecedente:Geometría y Trigonometría

Asignatura Consecuente:Cálculo



5

ESTRUCTURA GENERAL DE LA MATERIA DE GEOMETRÍAANALÍTICA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

Sistemas Coordenados Lugares Geométricos

Rectangulares Polares Recta Cónicas

Puntos en el plano

Distancia entrepuntos

División de unsegmento en unarazón dada

Punto medio

Perímetros y áreas

Elementos

Transformaciones

Propiedades

Ecuaciones y

transformaciones

Intersección de

rectas

Relación entre rectas

Rectas notables enel triángulo

Circunferencia

Parábola

Elipse

Hipérbola



6



9

INDICE

Presentación………………………………………………………………………………………. 11

Recomendaciones para el alumno ……………………………………………………………..... 12

Competencias………………………………………………………………………………………. 14

UNIDAD I: SISTEMAS COORDENADOS 17

Evaluación diagnóstica………………………………………………………………………. 19

1.1 Sistema Rectangular 21

1.1.1. Puntos en el plano y distancia entre dos puntos ………………………………….… 21

1.1.2. División de un segmento en una razón dada y punto medio….……………..……

1.1.3. Perímetros y áreas …………………………………………………..……………..

33

40

1.2 Sistema Polar 45

1.2.1. Elementos……………....….…………………………………………………………… 45

1.2.2. Transformaciones……………………….………………………………………………

Autoevaluación………………………..…………………….………………………………….

Instrumentos de Evaluación……………………………….………………………………….

49

55

59

UNIDAD II: LUGARES GEOMÉTRICOS 61

2.1 Recta 63

2.1.1 Propiedades……………………..……………………… ……….…………………….. 63

2.1.2 Ecuaciones y transformaciones………………………………………………………. 70

2.1.3 Intersección de Rectas…………….…………………………………………………….

2.1.4 Relaciones entre rectas…...………….…………………………………………………….

2.1.5 Rectas notables en el triángulo…….…………………………………………………….

85

95

1062.2 Circunferencia 120

2.2.1. Propiedades y ecua ciones.………………………………………………………….. 120

2.2.2. Condiciones geométricas y analíticas……………………………………………… 125



10

Autoevaluación………………………………………….………………………………………

Instrumentos de Evaluación……………………………………………………………………

136

139

UNIDAD III: C NICAS 141

Evaluación diagnóstica…………………………………………………………………………. 1433.1 Parábola 145

3.1.2 Propiedades y ecuaciones…………………………………………………………….. 145

3.1.2. Condiciones geométricas y analíticas…………………………….………………… 151

3.2 Elipse 168

3.2.1. Propiedades y ecuac iones…………….……………………………………………… 168

3.2.2. Condiciones geométricas y analíticas……………………………………………….. 1763.3 Hipérbola 194

3.3.1. Propiedades y ecuaciones…………….……………………………………………… 194

3.3.2. Condiciones geométricas y analíticas………………………………………………. 201

Autoevaluación…………………..……………………….…………………………………….. 224

Instrumentos de Evaluación…………………………….…………………………………….. 228

Criterios de evaluación...………….……………………….………………………………….. 230

Respuestas a las autoevaluaciones…………………………………………………………. 230

Glosario…………………………………..……………………… ……….…………………….. 231

Bibliografía………………………………………………………………………………………. 233



11

PRESENTACIÓN

La asignatura de Geometría Analítica, tiene como propósito desarrollar las capacidadesdel razonamiento matemático y la orientación espacial, mediante la resolución deproblemas que implican modelos matemáticos representados en el plano cartesiano, enun ambiente propicio para el aprendizaje colaborativo.

Para lograr lo anterior, éste módulo de aprendizaje se conforma de tres unidades,descritas a continuación:

UNIDAD I. Sistemas coordenados.

UNIDAD II. Lugares geométricos.

UNIDAD III. Cónicas.

En el contenido de estas unidades, se relaciona la teoría con la práctica, a través deejercicios, encaminados a apoyarte en el desarrollo de las competencias requeridas paralos alumnos que cursan esta asignatura.

Seguros de que harás de este material, una herramienta de aprendizaje, te invitamos arealizar siempre tu mayor esfuerzo y dedicación para que logres adquirir las basesnecesarias, para tu éxito académico.

Republica Mexicana A. C. , comprometido con la calidad educativa, ha implementadoLa Asociación Nacional de Colegios e Institutos de Educación Media Superior de la

acciones que apoyan tu desarrollo académico, siendo una de éstas, la elaboración delGeometría Analítica,presente módulo de aprendizaje, el cual pertenece a la asignatura de

que cursarás durante este tu tercer semestre.



12

RECOMENDACIONES PARA EL ALUMNO

Los contenidos de Geometría Analítica, serán abordados a través de diversos textos,ejercicios, evaluaciones, entre otras actividades. Cabe mencionar, que algunas de lasactividades propuestas las deberás realizar de manera individual mientras que en algunasotras, colaborarás con otros compañeros formando equipos de trabajo bajo la guía de tuprofesor.

Para lograr un óptimo uso de este módulo de aprendizaje, deberás:

Considerarlo como el texto rector de la asignatura, que requiere sin embargo, ser

enriquecido consultando otras fuentes de información. Consultar los contenidos, antes de abordarlos en clase, de tal manera que tengasconocimientos previos de lo que se estudiará.

Participar y llevar a cabo cada una de las actividades y ejercicios de aprendizaje,propuestos.

Es muy importante que cada una de las ideas propuestas en los equipos detrabajo, sean respetadas, para enriquecer las aportaciones y lograr aprendizajessignificativos.

Considerarlo como un documento que presenta información relevante en el áreade las Matemáticas, a ser utilizado incluso después de concluir esta asignatura.

Identificar las imágenes que te encontrarás en los textos que maneja el módulo deaprendizaje, mismas que tienen un significado particular:

El presente módulo de aprendizaje, representa un importante esfuerzo queNacional de Colegios e Institutos de Educación Media Superior de la Republica Mexicana

A.C. ha realizado, para brindarte un material didáctico que te permita abordar loscontenidos de la asignatura de Geometría Analítica.



13

Esperando que este material de apoyo, sea de gran utilidad en tu proceso de aprendizaje,y así mismo despierte el interés por conocer y aprender más sobre esta ciencia, tedeseamos el mayor de los éxitos.

Evaluación diagnóstica que cada estudiante debe responder al inicio decada unidad o temas para saber su grado de conocimiento.

Ejercicio que se elaborará en equipo.

Ejercicio que se elaborará de manera individual.

Ejemplo del tema tratado en clase.

Tarea que se elaborará en casa, relacionada con el tema visto en clase.

Tarea de investigación.

Material recortable que se utilizará para resolver algunas de las tareas aelaborar en casa.

Ejercicios que se elaborarán para aplicar lo aprendido en casos de la vidacotidiana.

Examen de autoevaluación que se resolverá al final de cada unidad.

Aprendizajes a lograr al inicio de cada subtema.



14

COMPETENCIA DE LA ASIGNATURA

Desarrollar las capacidades del razonamiento matemático y la orientación espacial,mediante la resolución de problemas que implican modelos matemáticosrepresentados en el plano cartesiano, en un ambiente propicio para el aprendizajecolaborativo.



15

COMPETENCIAS

Genéricas:

Disciplinarias:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación deprocedimientos aritméticos, geométricos y variacionales.

Argumenta la solución obtenida con métodos numéricos, gráficos, analíticos yvariacionales.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Utiliza reglas modelos algebraicos para resolver problemas geométricos.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientosmatemáticos.

Explicar e interpretar los resultados obtenidos mediante procedimientosmatemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuentalos objetivos que persigue.

Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextosmediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.

Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos .



16



17

Unidad ISISTEMAS

COORDENADOS



18

COMPETENCIAS

Al término de esta unidad, el estudiante:

Aplica los sistemas de coordenadas en la orientación espacial y el cálculo de distancia entre puntos, paresolver situaciones reales relacionadas con su entorno.

TEMARIO

1.1. Sistema Rectangular1.1.1. Puntos en el plano y distancia entre dos puntos1.1.2. División de un segmento en una razón dada y punto medio1.1.3. Perímetros y áreas

1.2. Sistema Polar1.2.1. Elementos1.2.2. Transformaciones



19

1. ¿Cómo se representan las parejas ordenadas?

2. Escribe los nombres de los elementos que forman un par ordenado.

3. Hallar los valores de x, y que hacen que las parejas ordenadas sean iguales:1. (2, 8) = (x, 8) 2. (2x, y) = (x-8, 3y+2)

4. Dibuja un plano cartesiano, identifica los cuadrantes, el nombre de sus ejes y sussignos.

5. Encuentra la distancia entre cada par de puntos.a) A(2,1) y (B(7,2) b) C(-4,4) y D(4,4)

6. ¿Qué es una razón?

7. ¿Qué es un lugar geométrico?

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opciónmúltiple relacionadas con operaciones básicas y algunos temasde geometría analítica que profundizarás con más detalle a lo

largo a las actividades del cuaderno de trabajo. Esfuérzate porcontestarlas subrayando la respuesta correcta. Las respuestaspodrás encontrarlas al final del cuaderno de trabajo.

Evaluación diagnóstica



20

8. Encontrar el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A(3,-1) yB(-7,2)

9. ¿Cuáles son los puntos que dividen en tres partes iguales al segmento A (3,4) y

B (-3,-4)?

10. Representa en un sistema de coordenadas los polígonos con los siguientesvértices:

a) A (3,4), B(-2,1), C(-5,1)

b) A (-9,-3), B (-5,1), C(4,0)

11. Gráfica cada uno de los siguientes lugares geométricos:a) x – 4b) x + 2y – 8 = 0

.



21

1.1 SISTEMA RECTANGULAR

1.1.1. Puntos en el plano y distancia entre dos puntos.

Esta actividad la realizarán en conjunto con el profesor. Supón queestás en un aula. En el piso puedes dibujar perfectamente un SistemaCoordenado Cartesiano, de la siguiente manera coloca unos mesa-bancos en diferentes lugares, lo puedes hacer físicamente poniendoalrededor del aula a la mayoría de estudiantes y colocando a algunos

en el espacio restante del centro para medir distancias entre ellos).

Sesión1

Identificar parejas ordenadas en el plano cartesiano. Localizar puntos en el plano cartesiano. Diferenciar los ejes de coordenadas. Determinar la posición de un punto mediante sus coordenadas. Determinar las coordenadas de un punto a partir de su posición.

Aprendizajes a lograr

Entonces tienes una situación física quepuedes convertir a una situaciónmatemática dibujando un SistemaCoordenado Cartesiano como en lafigura de al lado.

Ahora calcula la distancia que hay entrelos dos mesa-bancos indicados concolor amarillo. Considera que cadacuadro del piso tiene lados de 1 Metro.



22

Las siguientes actividades te ayudarán a comprender mejor el tema desistemas de coordenadas, el profesor te guiará y explicará para quepuedas resolverlas.

Al introducir un sistema rectangular de coordenadas en el plano euclidiano se obtiene elplano cartesiano, al que se nombró en honor del matemático René Descartes (1596-1650), a quién se considera el inventor de la geometría analítica.

En este plano, un punto se identifica como una pareja ordenada de números que indica suposición con respecto a dos rectas llamadas ejes del sistema. Al representarlos de estamanera se realiza una conexión que permite interrelacionar la geometría euclidiana y elálgebra.

Definición:

Un sistema Coordenado Unidimensional : es el que se forma por dos rectas numéricasperpendiculares donde el punto en que se cruzan se le llama origen, formando cuatropartes en el plano llamadas cuadrantes.

El eje horizontal (eje equis) recibe el nombre de eje de las abscisas.El eje vertical (eje ye) recibe el nombre de eje de las ordenadas.Para ubicar un punto en el plano cartesiano se utiliza la notación P(x,y).

Ubicar los puntos en el plano cartesiano.

a) P1 (2,4)

b) P2 (-1,1)

c) P3 (3,4)

d) P4 (0,2)

EJEMPLO.



23

Solución:

Al localizarlos en el plano quedan representados de la siguiente manera:

En esta parte, se presenta la longitud de un segmento que lleva al concepto de distanciaentre dos puntos utilizando el teorema de Pitágoras, se obtiene la fórmula de la distancia.

Dados dos puntos P(x 1,y1) y Q(x2,y2), se obtiene que la distancia que los separa estádada por:

212212 )()( y y x x PQ distancia entre dos puntos

Un conejo se encuentra en el punto P (-5,6) mientras un coyote lo observa desde el puntoQ (2,3). ¿Cuál es la distancia entre el conejo y el coyote, si las unidades de distanciacorresponden en metros?

Solución:Construimos un triángulo rectángulo que tiene como hipotenusa el segmento que une lospuntos P (-5,6) y Q (2,3), como se muestra a continuación:

EJEMPLO

Sesión2



24

Las longitudes de los catetos del triángulo son: 7)5(2 y 363 , y tomando encuenta el Teorema de Pitágoras.

“En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de loscuadrados de los catetos”.

Por lo que: 22 73 PQ = 499 = 58 = 7.6

Entonces el coyote y el conejo se encuentran a una distancia de 7.6 metros.

Otra forma de resolver el problema es utilizando la fórmula que se presentó anteriormentepara la distancia entre dos puntos la cual se obtiene utilizando el teorema de Pitágoras demanera más general.

Fórmula de la distancia :2

122

12 )()( y y x x PQ

Si los puntos son P (-5.6) y Q (2,3), al sustituir estos valores en la fórmula de la distanciase tiene:

22 ))5(2()63( PQ Simplificar, sumando y restando.

22 )7()3( PQ Elevar al cuadrado.

499 PQ Resolver la suma.

58 PQ Encontrar el valor de la raíz cuadrada.

6.7 PQ Lo que indica que el conejo y el coyote están a 7.6 metros de distancia.



25

En el plano de coordenadas cartesianas que se presenta a continuación, localiza lossiguientes puntos:

a) P1(2,5) b) P2(-3,1) c) P3(-7,0)

d) P4 (0.5, -3) e) P5 (0,-6) f) P6 (0,-2)

Ejercicio no. 2

Reunidos en equipos de tres integrantes analizar la forma de cómoencontrar la distancia entre dos puntos mostrado en el ejemploanterior y, resolver el siguiente ejercicio.

Grupo

De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y comparatus resultados al final con un compañero:

Individual Ejercicio no. 1



26

Localiza los siguientes puntos en el plano coordenado, unir con un segmento de recta lospares de puntos y en cada caso encontrar la distancia que existe entre los puntos.

a) P(7,1) y Q(2,3)

b) P(-2,6) y Q(2,1)

c) P(4,0) y Q(3,4)

d) P(0,0) y Q(1,6)



27

Espacio destinado para realizar las operaciones al encontrar la distancia entre los puntos:

a) P(7,1) y Q(2,3)

Distancia =

b) P(-2,6) y Q(2,1)

Distancia =

c) P(4,0) y Q(3,4)

Distancia =

d) P(0,0) y Q(1,6)

Distancia =



28



29

Desarrolla las siguientes actividades para evaluar los aprendizajeslogrados durante el desarrollo de la secuencia anterior, deberásentregarlas a tu profesor para su evaluación.

Trazar un plano cartesiano y en localiza los siguientes puntos:a) A(1,-2)

b) B(10.0)

c) C(3,8)

d) D(-5,8)

e) E(-11,-4)

f) F(0.4,-2.5)

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no.1



30



31

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no.2

Localiza los siguientes puntos en un plano coordenado, unir con un segmento derecta los pares de puntos y en cada caso encontrar la distancia que existe entrelos puntos.

a) P(0,1) y Q(1,2)

b) P(-1,6) y Q(3,5)c) P(-2,1) y Q(5,3)

d) P(0,5) y Q(1,0)



32



33

1.1.2. División de un segmento en una razón dada y punto medio.

Dos hormiguitas (igual pueden ser dos planetas, dos personas, dosautos) salen de su residencia (en este caso un agujero) y se disponen atomar el Sol colocándose a unos cuantos centímetros de él, tal como semuestra en la figura. Una tercera hormiguita no quiere alejarse muchode su “casa” y se acomoda exactamente en el punto medio de la recta

que se forma con las otras dos. ¿Puedes determinar las coordenadas del lugar (Puntomedio) en donde se colocó la última hormiguita?

TEOREMA. Si P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) son los extremos de un segmento P 1 P2, lascoordenadas (x, y) de un punto P que divide a este segmento en la razón dadar = P2 P: P P 1 son:

Sesión3

Identifica segmentos que unen dos puntos dados. Determina las coordenadas del punto que divide a un segmentoen una razón dada, cuando conoce las coordenadas de los

extremos y su razón.


Evidentemente la “casa” de lahormiguita es el punto dereferencia, por lo tanto ahícolocaremos nuestro punto deorigen de un SistemaCoordenado Cartesiano.

Proyectando los catetos deltriángulo rectángulo que seforma hacia sus respectivos ejessimplemente calculamos elPunto Medio para cada caso.



34

El punto medio de un segmento es un caso particular del problema de encontrar un puntoP(x,y) que divida a un segmento en una razón dada. En este caso indicado ahora r = 1,teniendo entonces las expresiones para encontrar las coordenadas de este punto mediocomo:

11)1( 21 x x

x 11)1( 21 y y

y , al simplificar los denominadores se obtiene:

221 x x x

221 y y y

Donde para encontrar la coordenadas del punto medio de un segmento cuyos extremosson P 1 (x1, y1) y P2 (x2, y2), solo basta con encontrar las semisumas de las coordenadas“x” y “y” de los extremos.

Hallar las coordenadas de un punto P(x,y), quedivida al segmento determinado por P 1 (5,-2) yP 2 (2.5), si la r azón es r = 2.

EJEMPLO

Solución:Utilizando las fórmulas presentadas anteriormente yhaciendo la sustitución correspondiente, se tiene losiguiente:Como r = 2, indica que el segmento PP 1 es el doble delsegmento PP 2.

r rx x x 1

21 r

ry y y 121

339

345

21)2(25 x

38

3102

21)5(22 y

Luego las coordenadas que se piden en el problema

son ),3( 38 P

EJEMPLO

Trazar el segmento cuyos extremos son A (4,2) y B (-2,-1) y calcula las coordenadas del punto medio dedicho segmento.



35

Solución:

La solución se encontrará solo sustituyendo los valores de las coordenadas en lasfórmulas siguientes:

221 x x x

221 y y y

2)2(4 x 2

)1(2 y , donde al simplificar se obtiene la solución:

22 x 2

1 y

1 x 21 y

Coordenadas del punto medio PM (1,1/2)

Gráficamente se tiene:



36

Realiza los siguientes ejercicios, con los cuales comprenderás mejor eltema, sigue las instrucciones dadas al respecto.

1. Hallar las coordenadas del punto P(x,y), que divide al segmento determinado porlos puntos P1(-2,-1) y P2(3,3), si la razón es r = 3.

2. Encontrar las coordenadas de un punto P(x,y) que divide con una razón de r = 4 alsegmento que une los puntos A (3,2) y B (0,8).

3. Determina las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento que une lospuntos Q (-2,-5) y U (3,-4) en una razón de r = 6.

4. Trazar un plano cartesiano y determina las coordenadas del punto P(x,y), quedivida al segmento determinado por los puntos P 1(7,5) y P2(-4,-4) en relación

31

1

2

PP P P r

Sesión

4

De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y utilizandouna regla, traza la gráfica correspondiente en el plano cartesiano.




37

1. Determinar las coordenadas del punto medio de el segmento con extremos estándados por los puntos A (2,-4), B (-2,2).

2. Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento que inicia en el punto

P (2,7) y termina en Q (10,1).

3. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos A(0,4) y B(-3,-7)

4. Encuentra el centro del segmento que une los puntos D(0.5,8) y E(-2,-3)

De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y traza lagráfica correspondiente en un plano cartesiano utilizando unaregla para trazar el plano.




38

Realiza las siguientes actividades, para que logres reafirmar losconocimientos adquiridos, tu profesor las revisará de acuerdo a losinstrumentos de evaluación que se encuentran en este módulos deaprendizaje.

De manera individual, resuelve el ejercicio siguiente y utilizando una regla, traza lagráfica correspondiente en el plano cartesiano.

1. Hallar las coordenadas del punto P(x,y), que divide al segmento determinado porlos puntos P1(0,0) y P2(9,6), si la razón es r = 3.

2. Encontrar las coordenadas de un punto P(x,y) que divide con una razón de r = 3 alsegmento que une los puntos A (2,2) y B (6,8).

3. Determina las coordenadas del punto P(x,y) que divide al segmento que une lospuntos Q (-1,4) y U (2,-4) en una razón de r = 2.

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no.3



39

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no.4

A continuación se te presentan una serie de ejercicios. Utilizando los temas vistosanteriormente encuentra lo que se te indique. Traza la gráfica en el plano cartesianocorrespondiente a cada ejercicio.

1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que une a los puntos A (9,3) y B (-2,0).

2. Dados los puntos B (-1,4) y C (5,2), obtener las coordenadas del puntoequidistante entre B y C que está sobre el segmento que los une.

3. Dados dos puntos M (2,2) y N (5,-2), hallar el punto medio.

4. Los extremos de una varilla homogénea (igual en todas partes) son A (3,-5) yB (-1,1). Determina las coordenadas de su centro de gravedad.



40

1.1.3. Perímetros y áreas

Ubica los puntos P(0,0); Q(8,0); R(4,5) en un sistema coordenadocartesiano, únelos por medio de rectas y calcula al área del triánguloque se forma y su perímetro.

Para encontrar el perímetro de cualquier triángulo en el plano cartesiano cuandoconocemos las coordenadas de sus vértices, se necesita tener la medida de sus lados (a,b y c) para utilizar la fórmula:

cba P

Sesión5

Localiza los vértices de triángulos en el plano cartesiano cuandoconoce sus coordenadas.

Traza triángulos en el plano cartesiano a partir de lascoordenadas de sus vértices. Determina el perímetro de triángulos a partir de las coordenadas

de sus vértices. Determina el área de triángulos a partir de las coordenadas de

sus vértices.


Determinar Determinemos la longitud de sus tres lados,calculando la distancia entre dos puntos, por lo tanto:

1. Distancia entre los puntos P(0, 0); Q(8, 0), queda:

D=√((8-0)2+(0-0)2) =8; que es la base del triángulo.

2. Distancia entre los puntos P(0, 0); R(4,5). Sustituyendocoordenadas queda: D=√((4-0)2+(5-0)2) = 6.43

Distancia entre los puntos Q(8, 0); R(4,5). Sustituyendocoordenadas queda: D=√((4-8)2+(5-0)2)= 6.43

Al analizar los tres resultados puedes observar que se trata deun triángulo isósceles.

De la fórmula:A=b*h/2

A es el área, b es la base y h es la altura.

Para calcular la altura (h), simplemente determina lascoordenadas del punto medio de la base del triángulo y luegocalcula la distancia desde el punto medio hasta el vérticesuperior. Los puntos que conforman el segmento del cual ha de

determinarse el Punto Medio son P(0, 0); Q(8, 0).



41

Pueden utilizarse diferentes formas de encontrar el área de un triángulo, cuando seconocen sus vértices en el plano cartesiano, en este caso para utilizar lo antes visto dedistancia entre dos puntos, utilizaremos la fórmula de Herón para hallar el área de untriángulo conociendo sus lados:

))()(( c pb pa p p A

En donde a, b y c corresponden a la longitud de los lados del triángulo y P al semi-perímetro del triángulo que es igual a la mitad de la suma de sus lados:

2cba p

Solución:

El perímetro del triángulo ABC es: AB + BC + AC, en donde para calcular las longitudesde los segmentos utilizamos la fórmula de la distancia:

AB = 5220416)2()4()35()15( 2222

EJEMPLO Calcule el perímetro y el área del triángulo ABC, dondelos vértices son A (1,3); B (5,5) y C (1,1) como semuestra en la figura:



42

BC = 24321616)4()4()15()15( 2222

AC = 2440)2()0()13()11( 2222

Entonces el perímetro es : AB + BC + AC = 22452

Y su semi-perímetro es: p = 13.15222452

Utilizando la fórmula de área de Herón con el semi-perímetro obtenido, además de losdatos ya obtenidos:

P = 15.13, AB = 52 ; BC = 24 y AC = 2

)213.15)(2413.15)(5213.15(13.15 A

)2)(47.9)(67.10(13.15 A

61.3057 A

A = 55.29

Por lo tanto el perímetro del triángulo es P =22452

Y su área es A = 55.29



43

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a áreas y perímetros.. Realiza cada una de ellas de acuerdoa como se te indique en cada caso.

1. Tiene vértices en los puntos A (0,0); B (6,0) y C (3,6).

2. Sus vértices son los puntos P(-2,4); Q(3,-2) y R(6,8)

Ejercicio no. 5

Reunidos en equipos de tres integrantes analizar detenidamente laforma que se presentó anteriormente de encontrar el perímetro yel área de un triángulo, para después resolver los siguientesejercicios para los vértices de los triángulos indicados. Dibujar lostriángulos en el plano cartesiano.

Grupo



44

Desarrolla las siguientes actividades para evaluar los aprendizajeslogrados durante el desarrollo de la secuencia anterior.

1. El triángulo tiene como vértices los puntos A (8;0); B (-8,0) y C (0, 8).

2. Los vértices del triángulo son F(0,1); L(3,-1) y U(-4,-5)

Sesión6

De manera individual, traza los triángulos en un plano cartesiano,que tienen como vértices los puntos indicados y encuentra elperímetro y su área correspondiente.




45

1.2. SISTEMA POLAR

1.2.1. Elementos

En clase con tus compañeros contesta expresa tu opinión acerca de lassiguientes preguntas: ¿Qué es un sistema?, describe un sistema decoordenadas polares, ¿Conoces algunas gráficas de sistemas de

coordenadas polares, si es así puedes dibujarla?

Un sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas de dos dimensiones,en donde cada punto en ese plano está determinado por un ángulo llamado ángulo polar,formado desde un eje (llamado eje polar, equivalente al eje x del sistema coordenado) yuna distancia de un punto al origen llamado polo.

Esto indica que los puntos representados en este sistema polar corresponden a un par decoordenadas ( r , θ)

Sesión7

Describe lo que es un sistema polar. Traza planos polares. Identifica los elementos básicos del sistema polar. Localiza puntos a partir de coordenadas polares.


EJEMPLO

Representa en un sistema de coordenadas polares enel plano, el centro de referencia (punto O) y la líneaOL sobre la que se miden los ángulos y los puntos(3,60º) y (4,210º).

Comentarios

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________



46

El punto (3, 60º) indica que está a una distancia de 3 unidades desde O, medidascon un ángulo de 60º sobre OL.

El punto (4, 210º) indica que está a una distancia de 4 unidades desde O y unángulo de 210º sobre OL.

El siguiente ejercicio retoma el tema visto, por lo cual, es importante lorealices correctamente a partir de las instrucciones previstas para ello.

1. Traza un plano de coordenadas polares en cada caso y localizar los puntos cuyascoordenadas se indican:

a) A(4,45º)

b) B(3, 23

)

De acuerdo a la forma de localizar puntos en el plano de un sistemapolar, resolver el siguiente ejercicio.




47

c) C(2, 47

)

d) D( 5, 170º)

El siguiente ejercicio, deberás realizarlo en conjunto con un equipo detrabajo.

CIERR

Considerando que si r es negativa y θ positiva, el radio vector se traza en sentidocontrario a lo que se hace cuando r es positiva. A continuación te mostramos un dibujodonde se representa lo escrito para localizar el punto M cuando r es negativa.

Sesión8

Ejercicio no. 8

Reunidos en equipos de tres integrantes resolver las siguientesactividades utilizando un transportador para medir los ángulosindicados.

Grupo



48

Utilizando esta información, resolver los ejercicios siguientes.

1. En la siguiente figura se han trazado circunferencias de radio 1, 2, 3 y 4, y el planopolar, en ella localiza los siguientes puntos A (1,90°), B (1,135°), C (1,-120°), D (-1,-135°) y E (-1,225°). En caso de tener dudas pregúntale a tu profesor, para que teayude.

2. En una figura como la anterior localiza además los siguientes puntos F(2,90°),G(3,135°), H(2,-120°), K(-3,-135°) y M (-4,225°).



49

1.2.2. Transformaciones

Existe una relación entre las coordenadas cartesianas y las polares.Esta relación nos permite transformar las coordenadas rectangularesen coordenadas polares y puntos dados de coordenadas polares acoordenadas cartesianas.

Solución:

Primero se traza un dibujo del punto en el plano.

Utilizando las funciones trigonométricas seno y coseno se puede encontrar la abscisa y laordenada del punto en el plano cartesiano.

Sen60º = 598.23 y

hipotenusauestoccattetoop

Sen60º = 3 y

y = 3Sen30º

Sesión9

Localiza los vértices de triángulos en el plano polar. Cuando seconocen sus coordenadas. Realiza transformaciones de las coordenadas polares acoordenadas rectangulares.

Realiza transformaciones de las coordenadas rectangulares acoordenadas polares.


EJEMPLO Representa como coordenadas cartesianas elpunto (3,60º) del plano polar.



50

Cos60º = 3 x

hipotenuzacentecatetoadya

Cos60º = 3 x

x = 3Cos60º

Entonces el punto (3,60º) del plano polar trasformado es:

(x, y) = (3Cos60º, 3Sen60º)

(x, y) = (1.5, 2.59)

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a los sistemas polares. Realiza cada una de ellas deacuerdo a como se te indique en cada caso.

Transforma de coordenadas polares a coordenadas cartesianas y determina larepresentación gráfica en el plano cartesiano a los siguientes puntos:

a) A (3,45°) b) B (1,30°) c) C (-2,30°) d) D (2,135°)e) E (2,-30°) f) F (-1,-225°) g) G (-2,60°) h) A (1,45°)

De acuerdo a la forma de localizar puntos en el plano de unsistema polar resolver el siguiente ejercicio.




51

Para determinar la representación de un punto en coordenadas polares, si se conocen lascoordenadas cartesianas (x, y), primero se utiliza el teorema de Pitágoras:

Donde 22 y xr y considerando el triángulo rectángulo que se forma en el plano

se determina que )(tan 1 x y , debido a que x

yacenteccatetoady

estoCatetopopu tan

Entonces se puede determinar que el punto (x, y) en el plano cartesiano, se transforma enel punto ,( 22 y x ))(tan 1

x y

Solución:

4.641251654 22r

Como 45tan

acenteccatetoadyestoCatetopopu se tiene que º34.51)(tan 4

51

Entonces se puede indicar que el punto (4,5) se transforma en º34.51,5.6

EJEMPLORepresentar el punto (4,5) del plano cartesiano a laforma de punto en el plano polar .



52

Transforma de coordenadas cartesianas a coordenadas polares y determina larepresentación gráfica en el plano polar a los siguientes puntos:

a) A (3,4) b) B (1,1) c) C (-2,3) d) D (2,-3)

e) E (2,-1) f) F (-1,-1) g) G (-2,-3) h) A (4,-4)

De acuerdo a la forma de localizar puntos en el plano de unsistema polar, resolver el siguiente ejercicio.




53

Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema,realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tusconocimientos y tener una idea de lo aprendido y reforzar para logrartus aprendizajes.

1. ¿A qué altura del piso se encuentra la punta del papalote, cuando el hilo que losostiene mide 60 m y forma con el piso un ángulo de 53º? Para resolver el problema,traslada el dibujo a un plano cartesiano, y dar las coordenadas del lugar que ocupa elpapalote en el plano cartesiano.

2. Cuánto vale la pendiente de del ángulo de inclinación que forma el cable que sostiene auna torre.

BC

A

60 m

53º

?

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ________________________ Turno: __________________

Fecha: _________________________________________________

Instrumento de Evaluación: __________________ Página: _______

Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida



54

3. Imaginemos que las dimensiones de una mesa de billar son 2m de ancho por 3 m delargo y que la carambola que se desea realizar es como se muestra:

Si colocamos la mesa sobre un sistema de referencia (plano cartesiano) asignandocoordenadas a la ubicación de las bolas y si no hubiera banda inferior, la bola seguiríahasta el punto B’ simétrico al punto B.

a) ¿Cuál es la distancia que tendrá que recorrer la bola en A para llegar hasta elpunto B?

b) Encontrar la pendiente del segmento que une los puntos A con el punto B ’.c) Encontrar el ángulo de inclinación que tiene la trayectoria de la bola negra cuando

choca con la banda inferior.d) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los lugares A y B ’.

e) Escribe esta ecuación de la recta en la forma general.



55

Instrucciones: Utilizando la información presentada en esta unidad de acuerdo a lainformación que se utilizó para resolver los ejercicios, responder lo que se indica encada actividad.

1. Encuentra la distancia que separa los puntos A(20.6) y B(-7,4)

a) 2.87 b) 1.78 c) 28.7 d) 18.7 e) 20.17

2. Calcular la distancia que existe entre los puntos P(0,5) y Q(-3,-2)

a) 2.7 b) 7.8 c) 8.7 d) 1.7 e) 7.6

3. Hallar las coordenadas del punto que divide al segmento que une a los puntos M(1,1) y N (8,10) en una razón de 1/5.

a) (1.95,5.22) b) (1.95,2.25) c) (7,9) d) (4.5,5.5) e) (8.1,6.5)

4. Calcula las coordenadas del punto que divide al segmento con extremos A (0,0) yB (-3,9), en una razón de 2/3.a) (-1.8,-5.4) b) (3.2,3.9) c) (2,3) d) (-3.9,-9.3) e) (3.1,-2.5)

5. Determina las coordenadas del punto medio del segmento que une los puntosR (-4,-3) y H (3,6).

a) (-8.1,-1.4) b) (3.5,3.7) c) (-1.5,1.5) d) (-3.2,-5.3) e) (5.1,-1.5)

6. Encuentra el punto medio del segmento si los extremos del segmento son lospuntos A (10,2) y B (-2,-4).

a) (-1,-4) b) (2,2.5) c) (2,-3) d) (-3,-3) e) (4,-1)7. Encuentra el perímetro del triángulo cuyos vértices son los puntos A (10,1), B (1,7)

y C (5,-2).

a) 2.4 b) 7.28 c) 12.4 d) 26.4 e) 18.5

Nombre _________________________________________________

Grupo _________________________ Turno __________________

Fecha __________________________________________________

Autoevaluación



56

8. Calcula el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A (0,0), B (-3,8) y C(3,5).

a) 19.7 b) 16.5 c) 10.2 d) 5.32 f) 10.5

9. Determina el perímetro del triángulo con vértices en V (-3,-5), G (1.7) y V (4,2).

a) 17.21 b) 12.8 c) 15.12 d) 28.36 e) 12.21

10. Encuentra el área del triángulo con vértices en los puntos R (2,-2), D (4,-6) y K(8,-4).

a) 19.72 b) 38.56 c) 10.21 d) 12.32 f) 10.51

11. Cambiar las coordenadas del punto (3,4) a coordenadas polares.

a) (5,53.130) b) (2,13.150) c) (4.3.250) d) (4,3.40) e) (3,35.430)

12. Cambiar las coordenadas del punto (5, 600) a coordenadas cartesianas.

a) (5.2,3.4) b) (2.25,4.32) c) (2.5,4.33) d) (3.42, 3.34) e) (5.27,4.12)

13. Determina la pendiente de la recta que pasa por los puntos P (3,5) y Q (6,8).

a) 1 b) 2 c) -5 d) -1 e) 3

14. Encuentra la pendiente de la recta que forma un ángulo de 120 0 con el eje “x”.

a) -1.18 b) 2.61 c) -1.73 d) -1.18 e) 3.5

15. Escribe la forma de la ecuación de la recta de la forma puno-pendiente si pasa porel punto A (3,4) y que tiene pendiente 8.

a) y – 4 = 8(x – 3)

b) y – 4 = 3(x – 8)

c) y – 3 = 8(x – 4)

d) y – 8 = 4(x – 3)

e) y – 4 = 8(x – 3)

16. Escribe la forma de la ecuación punto-punto de la recta que pasa por A (8,2) y porB (-3,-8).

a) )2(8 8823 x y



57

b) )8(3 3828 x y

c) )8(2 8382 x y

d) )3(2 3828

x y

e) )3(3 8328 x y

17. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por le punto (3,4) y que formaun ángulo de inclinación con el eje “x” de 450.

a) X + y – 1 = 0

b) –x + y + 1 = 0

c) X + y + 1 = 0d) x – y + 1 = 0

e) X – y – 1 = 0

18. Hallar la ecuación general de la recta con m = 10 y que pasa por el punto (7,6).

a) 10X +6y – 7 = 0

b) –6x + 10y + 63 = 0

c) -10X +7y + 63 = 0d) 7x – 10y + 36 = 0

e) 10x – y – 63 = 0

19. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por los punto (2,8) y (-4, 2).

a) x – y + 6 = 0

b) -x – y + 6 = 0

c) x – y - 6 = 0

d) x + y + 6 = 0

e) -2x + y + 6 = 0



58

20. Encuentra la ecuación general de la recta que pasa por (2,8) y con una inclinaciónde 720.

a) 3x – y + 14 = 0

b) -3.07x – y + 14.14 = 0

c) -3x + y – 6.14 = 0

d) 3.07x - y 14.14 = 0

e) -2x + y + 6 = 0



59

INSTRUMENTOS DE EVALUACIÓN

Evaluación del desempeño (ejercicios)

En equipo

No. Indicador Cumplió Ejecución ObservacionesSí No Ponderación Calif.

1 Se integró al equipo. 0.6

2 Mostró interés por eltema.

0.7

3 Mostró conocer losconceptos que utilizó

0.6

4 Mostró habilidad pararesponder a losejercicios

0.8

5 Aplicó correctamente

el procedimiento0.8

Calificación de esta evaluación 3.5

Individual



0.8


0.8


0.9

4 Aplicó correctamenteel procedimiento

1.0


Tabla de ponderación1 = sí cumplió 0 = no cumplióEjecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación



60

Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana):


1 Resolvió el total de losejercicios

0.75

2 Resolvió correctamente

los ejercicios

0.75

3 Entregó en tiempo yforma indicada losejercicios.

0.75

4 Realizó correctamentelas operaciones.

0.75

Calificación de esta evaluación 3

Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplióEjecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación de Productos (investigaciones):


1Entregó en tiempo yforma 0

2 La información fue claray acorde al tema

0

3 Presentación del trabajo 0Calificación de esta evaluación 0

Tabla de ponderación 1 = sí cumplió 0 = no cumplióEjecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación



61

Unidad IILUGARES

GEOMÉTRICOS



62

COMPETENCIAS

Al término de esta unidad el alumno:

Utiliza las representaciones geométricas y analíticas en la solución de problemas involucrados en difererepresentaciones de la recta y la circunferencia.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con mod

establecidos o situaciones reales.

TEMARIO

2.1. Recta 2.1.1. Propiedades2.1.2. Ecuaciones y transformaciones

2.1.3. Intersección de rectas2.1.4. Relación entre rectas2.1.5. Rectas notables en el triángulo

2.2. Circunferencia2.2.1. Propiedades y ecuaciones2.2.2. Condiciones geométricas y analíticas



63

2.1. RECTA2.1.1 Propiedades

Una característica importante de las rectas, es su inclinación quepueden tener con el eje x que puede ser medida de diferentes formas.

La pendiente de una recta, es una medida de la inclinación de una rectacon respecto al eje x. La pendiente de una recta es el cociente de dos incrementos ocambios: el de las ordenadas de dos puntos distintos sobre la recta, entre el de lasabscisas de éstos. Si las coordenadas de los puntos extremos son A( x

1,y

1) y B( x

2,y

2), lo

que hemos dicho se puede expresar como sigue:

12

12

x x y y

enxincrementoenyincremento

ABm

Supongamos los extremos de un segmento son: A (4,2) B (5,3), por lo que su pendientese calcula como:

12

12 x x y y

ABm

11

4523

ABm

1 ABm

Sesión11

EJEMPLO

Conocer e identificar a la recta, así como el ángulo deinclinación y su pendiente.

Determina la pendiente de una recta cuando conoce lascoordenadas de dos puntos por donde pasa.

Determina el valor de la pendiente a partir de su ángulo deinclinación y viceversa.

Relaciona la posición de la recta en el plano con el valor de lapendiente.




64

Gráfica correspondiente:

Toda recta tiene o no un ángulo de inclinación en el plano cartesiano con el eje “x”, el cuales medido en sentido contrario al avance de las manecillas del reloj hasta la recta.

Si trasladamos una recta horizontal y una vertical, es decir paralelas a los ejes “x ” e “ y ” formamos un triángulo rectángulo y el ángulo de inclinación “α ” puede expresarse como:

12

12

x x y yTan

Sesión12



65

Y este cociente, como se estableció anteriormente es el valor de la pendiente de la recta.Por lo que:

Tanα= m

Para determinar el ángulo “α ” de inclinación: α−=tan -1 m

Solución:

12

12

x x y yTan

188

26311 Tan

1 Tan

)1(1 Tan

o45

EJEMPLO Determinar el ángulo de inclinación de la recta que pasapor los puntos A (2,3) y B (-6,11).



66

El siguiente ejercicio deberás realizarlo en equipo y corresponde al temavisto hasta el momento.

Trazar la recta que pasa por cada par de puntos en el plano cartesiano y encontrar lapendiente de la recta.a) A (3,4) y B (5,-3) b) B (1,1) y V (8,1) c) C (-2,3) y F (-2,-3)

d) D (2,-3) y E (0,0) e) E (2,-1) y H (-2,-1) f) F (-1,-1) y G (6,6)

g) G (-2,-3) y S (10,1) h) A (4,-4) y U (-2,0)

1. Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación que forman con el eje “x”, las rectasque pasan por cada par de puntos siguientes:

a). A (1,3), B (5,9)

b). A (1,1), B (-4,-4)

Ejercicio no. 1

Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma deencontrar la pendiente de una recta cuando se tienen dos puntos deella, resolver el siguiente ejercicio:

Grupo

Ejercicio no. 2

Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma deencontrar el ángulo de inclinación de una recta cuando se tienen dospuntos de ella, resolver el siguiente ejercicio.

Grupo



67

c). A (2,6), B (-6,7)

2. ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de las rectas horizontales?

3. ¿Cuál es la pendiente y ángulo de inclinación de los segmentos verticales?

4. Determinar la pendiente de la recta que forma un ángulo de inclinación de 60º con eleje “x”.

5. Determina la pendiente de la recta que forma un ángulo de inclinación de 120º con eleje “x”.



68

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: _______________________________________________

Tarea no. 1

Realiza las siguientes actividades correctamente.

A continuación se te presentan una serie de ejercicios. Utilizando la fórmula de lapendiente y con ayuda del plano cartesiano, trazar la recta correspondiente a cada par depuntos y encontrar su pendiente:

1. Los puntos A (9,3) y B (-2,0).

2. Dados los puntos B (-1,4) y C (5,2)

3. Los puntos A (-6,-4) y B (-5,3)

4. Los puntos A (1,4); B(7,3) y C (-2,-2)

5. La recta que pasa por los puntos A (-4,7) y B (6,3)



69

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no.2

De manera individual, responde lo que se indica a continuación:

1) ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por el origen y que tiene un ángulode inclinación de 060 ?

2) Si la pendiente de la recta es 3/2, ¿Cuál es el ángulo de inclinación?

3) Dado los puntos 1,15,2 B y A . Determina la pendiente de la recta que pasapor estos.

4) Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación del segmento definido por lospuntos 5,23,5 B y A

5) Determina la pendiente para cada uno de los siguientes incisos:a) 3,29,5 B y A b) 4,47,6 B y A c) 3,78,7 B y A

6) Hallar el valor de la pendiente y el ángulo de inclinación para cada uno de lossiguientes casos:a) 2,13,3 y b) 7,24,2 y c) 1,45,2 y

d) 7,45,1 y e) 8,48,1 y f) 2,62,5 y



71

Que se conoce como ecuación punto pendiente.

Solución:Se tiene que la forma de la ecuación punto pendiente es y – y1 = m (x – x1), solo bastacon sustituir el punto (x1,y1) = (1,1) y m = 1.5 en la forma de la ecuación, obteniendoentonces:

y – 1= 1.5 (x – 1)

Se llama ecuación principal o ecuación pendiente-ordenada de una recta a una expresiónde la forma:

En donde “m” representa la pendiente de la recta y “b” es el coeficiente de posición y esel número en que la recta corta al eje de las ordenadas.

Solución: Se tiene que encontrar la ecuación de la recta de la forma y = m x + b.

Utilizando la información que te da:m = 5 y b = 6 solo se sustituye en la ecuación,obteniendo entonces:

y = 5x + 6.

La ecuación pendiente-ordenada que te pide el ejemplo es y = 5x + 6.

EJEMPLO.

Si se tiene el punto (1,1) de una recta con m = 1.5escribe la forma de la ecuación punto pendiente de la

recta.

EJEMPLO

y = mx + b

Encontrar la ecuación pendiente-ordenada de larecta, que tiene pendiente m = 5 e intercepta al eje “y”en b = 6.



72

De acuerdo a las instrucciones proporcionadas, realizar los siguientesejercicios.

a) La recta pasa por el punto A (2,3) y tiene pendiente 10.

b) La recta pasa por el punto B (-3,-1) y tiene pendiente -2.

c) La recta pasa por el origen y tiene pendiente 2.

d) La recta pasa por el punto D (4,0,) y tiene pendiente 4.

Ejercicio no. 3

Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma deencontrar la ecuación de la recta punto-pendiente, encontrar estaecuación encada caso para el siguiente ejercicio:

Grupo



73

Otra de las formas, es la ecuación de la recta que pasa por dos puntos:

Si conocemos dos puntos de la recta, P 1(x1,y1) y P2(x2,y2), la pendiente es:

12

12

x x

y ym

Sustituyendo esta forma de la pendiente en la ecuación punto-pendiente de la recta,y – y1 = m (x – x1)

se obtiene:

112

121 x x

x x

y y y y

Conocida como la ecuación punto-punto de la recta, que es la forma más habitualde expresar la Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Solución:

Se obtiene con solo sustituir los puntos en la ecuación punto-punto, para obtener la formade la ecuación: Se puede considerar (x 1,y1) = (0,1) y (x2,y2) = (3,3)

)0(1 0313 x y

Otra opción sería que se escribiera considerado (x1,y1) = (3,3) y (x2,y2) = (0,1)

EJEMPLO. Encontrar la ecuación de la recta que pasa por lospuntos (3,3) y (0,1)

Sesión14



74

)3(3 3031 x y

Las cuales son ecuaciones equivalentes a la recta que pasa por los puntosindicados.

1. Encontrar la ecuación punto-punto de la recta que pasa por los puntos A (2,5)y B (6,4). Grafica la recta.

2. Hallar la ecuación de la recta punto-punto que pasa por P (-3,6) y Q (1.10).Traza la gráfica de la recta.

a) Escribir la forma de la ecuación de la recta punto –punto que pasa por el origeny el punto H (3,6). Graficar la recta.

Ejercicio no. 4Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma deencontrar la ecuación de la recta punto-punto, resolver el siguienteejercicio:

Grupo



75

1. Tiene pendiente 4 intercepta al eje “y” en b = 4.

2. Su pendiente es - 8 y atraviesa al eje “y” en y =-3.

3. Intercepta al eje “y” en y = 3 y su pendiente es -10.

Utilizando lo que se explica en el ejemplo anterior, encontrar laecuación pendiente-ordenada de las rectas que cumplen con lainformación que se indica.




76

Otra forma de expresar la ecuación de una recta es en la forma general, la cual paraobtenerla, basta con pasar todos los términos al primer miembro, quitando denominadoressi es necesario.

ax + by + c = 0 donde m = -a/b

A esta ecuación se le denomina ecuación general de la recta.

Solución:

Basta con pasar todos los términos 2x y 4 al primer miembro de la ecuación con elsigno diferente, quedando de la siguiente manera:

y = 2x + 4-2x + y -4 = 0

1. Y = 2x -11

2. y = -8x

3. y = x -7

4. y = 3x + 9

EJEMPLO.

De acuerdo a la forma de encontrar la ecuación general de la rectaa partir de la forma pendiente ordenada, encontrar la ecuacióngeneral para cada ecuación indicada.


Dada la ecuación de la recta y = 2x + 4, encontrar laecuación general de la recta.

Sesión15



77

A continuación se muestran otras formas de transformaciones de ecuaciones derectas.

Solución:y – 4 = 3(x – 2) resolver la multiplicación.y – 4 = 3x – 6 pasar los términos 3x y 6 al primer miembro con signo diferente.-3x + y – 4 + 6 = 0 simplificar términos semejantes.-3x + y + 2 = 0 respuesta

Si es conveniente se multiplica por (-1) ambos miembros, cambiando el signo,entonces la solución también podría ser: 3x - y - 2 = 0

Solución:

)3(330

31 x y Simplificar el valor de la pendiente.

)3(3 32 x y Eliminar el cociente del segundo miembro pasando hacia el

primer miembro mediante una multiplicación.3(y – 3) = 2(x – 3) Resolver las multiplicaciones.3y – 9 = 2x - 6 Pasar los miembros 2x y - 6 al primer miembro de la ecuación.-2x + 3y – 9 + 6 = 0 Simplificar términos semejantes.-2x + 3y – 3 = 0

La solución es -2x + 3y – 3 = 0, o bien es 2x – 3y + 3 = 0

EJEMPLO

EJEMPLO.

Encontrar la ecuación general de la recta y – 4 = 3(x – 2).

Hallar la ecuación de general de la recta:

)3(3 3031 x y



78

Para cada recta expresada por las formas siguientes, encontrar la ecuación generalde las rectas.

1. y – 1 = 2(x – 2)

2. y = -1(x – 1)

3. y – 10 = 5(x + 3)

4. )1(1 3041 x y

5. )7(4 2020 x y

6. )9(3 7245 x y

Ejercicio no. 7

Reunidos en equipos de tres integrantes y de acuerdo a la forma deencontrar la ecuación general de la recta, resolver el siguienteejercicio:

Grupo



79

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no. 3

Realiza la siguiente tarea, que te permitirá llevar a la práctica losaprendizajes logrados en el tema abordado en clase.

De manera individual, encontrar la ecuación de la recta que se indica en cadacaso.

1. Encontrar la ecuación de la recta punto-pendiente de la recta que pasa por el punto(9,2) y con m = 4.

2. Escribe la ecuación punto-pendiente de la recta con pendiente 2 y que pasa por elorigen.

3. Hallar la ecuación de la recta punto-pendiente con pendiente 6 y que pasa por lepunto (4,-2).

4. Determina la ecuación punto-punto de la recta que pasa por los puntos A(3,6) yB(2,7)

5. Encuentra la ecuación punto-punto de la recta que pasa por el origen y el punto (-

3,4)

6. Hallar la ecuación punto-punto de la recta que pasa por los puntos P (3,-4) yQ (-5, 6)



80



81

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no. 4

Encontrar la ecuación general de las rectas que cumplen con la información que seindica.

a) Tiene pendiente 3 intercepta al eje “y” en b =-2.

b) Su pendiente es 2 y atraviesa al eje “y” en y = 8.

c) Intercepta al eje “y” en (0,5) y su pendiente es-10.



82



83

Nombre: ________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no. 5

Escribe de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por lospuntos A (1,2) y B (-2,5).

Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos A (1,3) y B (-2,1).Determine la intersección de la recta con el eje Y.

Determinar la ecuación general de la recta que pasa por los puntos P 1 (-1, -4) yP2 (5, 1)

Encuentre la ecuación de la recta que pasa por los puntos P ( 0,1) y Q(-1,4).

Usando la forma general, determine la ecuación de la recta que pasa por los

puntos P 1 (-1, -4) y P2 (5, 1)

Hallar la ecuación de la recta que tiene pendiente m = 3 e intercepto b = 10.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto A (2, - 4) y que tiene unapendiente de - 1/3.



84



85

2.1.3 Intersección de rectas

Dos rectas se pueden intersecar, a lo más, en un punto en común entreambas rectas.

En la siguiente gráfica observamos dos rectas que se intersecan en unpunto. Las coordenadas del punto de intersección deben satisfacer adichas ecuaciones. Gran cantidad de problemas se pueden resolver a

partir de su planteamiento como un sistema de dos ecuaciones simultáneas ya vistosanteriormente en la asignatura deálgebra.

Las rectas graficadas son: x+y=2 y x-y=4

La solución de ambas rectas es el punto de intersección que tiene por coordenadas (3, -1), lo que podemos comprobar al sustituir las coordenadas en cada ecuación:

x + y = 2 x – y = 43 + (-1) = 2 3 - (-1)= 4

3 - 1 = 2 3 + 1 = 4

2 = 2 4 = 4

Sesión16

x +y =2

x-y=4

Determina las coordenadas del punto de intersección entre dosrectas.

Identifica rectas paralelas y perpendiculares a partir de suspendientes.

Determina si dos rectas son paralelas o perpendiculares a partirde sus ecuaciones.

Determinar el ángulo formado por dos rectas a partir de suspendientes.

Determina la distancia entre dos rectas a partir de sus




86

Existen rectas en la cual no existe intersección entre ellas llamadasparalelas, las cuales no existe solución. En este caso no es posibleaplicar el sistema de ecuaciones por no existir intersección entre ellas.

x

y

Cuando se tiene un sistema de ecuaciones simultáneas, se puede construir la gráfica decada una de ellas. Con eso, podemos establecer un método para resolver el sistema.

Método gráfico o método analítico.

Método gráfico:

Sean las ecuaciones: 2x + y = 10 (1) y x – y = 2 (2)Encontramos las intersecciones con los ejes coordenados de ambas rectas, haciendo x=0y y=0

Ecuación (1) Ecuación (2)

x=0, y=10;punto (0,10) x=0, y= -2;punto (0, -2)

y=0, x= 5; punto ( 5, 0) y=0, x= 2; punto ( 2, 0)

EJEMPLO



87

X

Y

El punto de intersección tiene por coordenadas x=4 ; y = 2 ( 4 , 2 )

Estos valores son la solución del sistema de ecuaciones.

Método analítico :

Resolviendo el sistema de ecuaciones por el método que más convenga.

En este caso lo resolveremos por sustitución:

2x + y = 10 (1)

x – y = 2 (2)

Paso no 1.- Despejamos una de las incógnitas en cualquiera de las ecuaciones

2x + y = 10

Despejamos y = 10 - 2x (3)

Sustituimos la incógnita despejada “y “en la ecuación (2)

x – y = 2

x – (10 -2x) = 2

Eliminando paréntesis

x -10 + 2x = 2

Uniendo términos semejantes

3x=12

x=4

2x+y=10 x-y=2



88

Una vez calculada una de las incógnitas en este caso “x” se sustituye en la ecuació n (3)

y= 10-2x

y= 10-2(4)

y=10-8y=2

Llegamos a las mismas coordenadas (4, 2 )

Y + 3 = 0 , 2x + y + 3 =0Método gráfico método analítico

x

y

Sesión17

Ejercicio no. 8Aquí se describen las indicaciones para el ejercicioDespués de la exposición del profesor, en equipos de cuatrointegrantes resolver los siguientes sistemas de ecuacionesencontrando su intersección. Verificando su respuesta graficandoambas rectas.

Grupo



89

4x + y = 12 , x + y = 7Método gráfico método analítico

x

y

2x + 3y = 8 , 2 x – y = 3 método analítico

x

y



90



91

Realiza la siguiente tarea según se indica.

Obtén las coordenadas del punto de intersección de las rectas resolviendo el sistema deecuaciones simultáneas. Verifica tu respuesta graficando ambas rectas.

X – 3y + 9 =0 , 5x + 8y -1 = 0 método analítico

x

y

X + 6y = 0 , 2x + 7y -5 =0 método analítico

x

y

Nombre: _________________________________________________

Grupo: ____________________ Turno: ______________________

Fecha: __________________________________________________

Tarea no. 6



92



93

X + y-1=0 , x + 3y – 3=0 método analítico

x

y



94



95

2.1.4 Relación entre rectas

¿Has visto las vías del Ferrocarril? ¿Qué representan, pueden serrectas?, comenta con tus compañeros de grupo.

Un ejemplo de rectas paralelas son las vías del ferrocarril, observa la siguiente imagen:

.

Dos rectas son paralelas o perpendiculares entre sí, si cumplen con las condiciones deperpendicularidad y paralelismo.

1.- Dos rectas L1 y L2 son paralelas si y solo si, si sus pendientes son iguales

m1 = m2

Sesión18

Identifica rectas paralelas y perpendiculares a partir de suspendientes.

Determina si dos rectas son paralelas o perpendiculares a partir desus ecuaciones.

Determinar el ángulo formado por dos rectas a partir de suspendientes.

Determina la distancia entre dos rectas a partir de sus ecuaciones.




96

Y L1 L2

m1 m2

θ 1 = θ 2θ 1 θ 2 x

2.- Dos rectas L1 y L2 son perpendiculares entre sí, y solo si, sus pendientes sonrecíprocas y con signo distinto, o sea que el producto de sus pendientes es igual a -1.m1 m2 = - 1 m1 = -1/m2

Las rectas perpendiculares son aquellas que al cortarse forman ángulos rectos.

Recuerda qué para comprobar que un triangulo es rectángulo las pendientes de sus ladosdeben ser recíprocas.

Recordando la ecuación general de la recta es de la forma ax + by + c = 0 , de donde lapendiente es igual a:



97

Es momento de revisar un ejemplo y realizar ejercicios que te permitanllevar a la práctica lo aprendido.

Clasifica cada pareja de las siguientes ecuaciones como paralelas, perpendiculares uoblicuas según sea al caso:

6x + 5y + 6 = 0

5x + 8y +7 = 0

Procedimiento:

Pendiente de la ec. 6x + 5y + 6 = 0 es:

m = -6/5

Pendiente de la ec. 5x + 8y +7 = 0

m = -5/8

Las rectas son oblicuas porque no cumplen conlas condiciones de perpendicularidad y

paralelismo.

EJEMPLO

Calcula la pendiente de la siguiente ecuación:4x+3y-12= 0

a=4, b=3 sustituyendo

Ejercicio no. 9Después de abordar el tema del día, en equipos de dosintegrantes completar la siguiente tabla según se indica.

Grupo



98

-10x + 2y -6 = 0

5x – y +7 = 0

X + 3y – 6 = 0

3x – y – 5 = 0

Y = -2/3 x + 5

Y= 3/2x – 3/2

4x + 2y + 3 = 0

X + 4y 6 = 0



99

A continuación se presenta una actividad, en la cual deberás realizaruna tarea de investigación.

Completa la siguiente tabla investigando las características e interpretaciones de lacolumna izquierda.

Forma General: Ax + By + C = 0

Su pendiente es m = ____ , B≠0 Su abscisa en el origen es a=_____ , A≠0 Su ordenada en el origen es b = -C/B, B=_____

Ax + C = 0 ó X=-C/A Recta paralela al eje ________, que pasa por el punto(-C/A, 0)B=0

By + C =0 ó y=-C/B Recta paralela al eje_________, que pasa por el punto( 0 , -C/B)

A=0

Ax + By = 0 Recta que pasa _____________

Forma pendiente ordenada enel origenY= mx + b

Donde m es la _______________b es la ordenada al origen ( intersección con el eje ___)

Realiza de manera individual una investigación bibliográfica.

Tarea de investigación no. 1



100

Ángulo formado por dos rectas

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que formanéstas y está asociado a la inclinación de cada una de ellas. Si m y mson las pendientes de dichas rectas. Se pueden obtener a partir de lasiguiente expresión.

Calcula el ángulo formado por las siguientes rectas:x+3y-2= 0 y 2x-3y+5= 0

El primer paso es calcular las pendientes de dichas rectas.

m 1 = m 2 = =

Aplicando la fórmula:

α = 52⁰ 8‘

Sesión19

EJEMPLO



101

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientos enrelación a los ángulos formados por una recta. Realiza cada una de ellasde acuerdo a como se te indique en cada caso.

l 1→ X – 3y +4 = 0

l 2 →X + 2y + 4 = 0

X+ 3y = 0

X – 2y = 0

3x + 4y = 12

3x – 8y = 12

Ejercicio no. 10 Grupo

Haciendo uso de las pendientes encuentra el ángulo agudo de lassiguientes pares de rectas.



102

Distancia entre un punto y una recta

Una de las aplicaciones de la forma normal de la ecuación de la recta, es el cálculo de ladistancia de un punto a una recta, observa el dibujo:

Fórmula para calcular la distancia entre un punto a una recta:

Encuentra la distancia en cada caso de un punto a una recta.

(-3,5) , 3x-2y-8=0

(6,-2) , 5x-6y-1=0

Sesión20

Ejercicio no. 11

Aplicando la fórmula anterior, resuelve los siguientes ejercicios enequipos conformados por 2 integrantes.

Grupo



103

Encuentra el valor del radio deuna circunferencia, cuyo centroes el punto C (-2, 4) y estangente a la recta x – 4y +6 =

0

(-3 , 2) , x+y-2=0

Realiza el siguiente ejercicio de manera individual. De tal manerapuedas retroalimentar tus aprendizajes.

Aplicando la fórmula de distancia de un punto a una recta, determina la distancia entre larecta 5x+3y+4=0 y el punto (2,5)

De manera individual, resuelve el siguiente ejercicio segúncorresponda.




104

Distancia entre rectas paralelas

Para calcular la distancia entre dos rectas paralelas: R: 2x – y + 1 = 0 y S: - 4x +2y – 3 = 0.

Relacionando ambas rectas con la fórmula general

R: Ax + By + C = 0 y S: Ax + By +C ’ = 0 , los coeficientes de “x ” y de“y ” son iguales, si las rectas son paralelas y sus coeficientes no son iguales esto se puedeconseguir que el coeficiente de la x y de y sea el mismo, siendo únicamente el términoque varía es el independiente C y C’. La fórmula es:

d(R, S) = | C – C ’ | / √ ( A 2 + B 2 )

Por lo tanto, nuestras rectas R y S son paralelas y los coeficientes no coinciden; lo quetenemos que hacer es hacer coincidir los coeficientes tanto de x como de y .

Dividimos la primera ecuación entre el coeficiente de x

R : = 0 R: = 0

Dividimos la segunda ecuación entre el coeficiente de x

S : S: x – ½ y + ¾ = 0

Entonces ya tenemos la forma deseada, los coeficientes de x y de y coinciden y lostérminos independientes son diferentes. Eso es lo que ocurre cuando las rectas sonparalelas. Entonces calculamos la distancia de R a S:

d(R,S) = d(R,S) =

d(R,S) = d(R,S) =

d(R,S) =

Sesión21



105

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a la distancia entre rectas. Realiza cada una de ellas deacuerdo a como se te indique en cada caso

a) x + 2 y + 3 = 0 x + 2y -13 = 0

b) x - 3 y + 5 =0 x – 3 y – 2 = 0

c) -10 x + 2 y - 6 = 0. 5 x – y + 7 = 0

d) -6 x -2 y + 19 = 0- 3 x – y + 7 = 0

Realizar el siguiente ejercicio, considerando cada una de las actividadesque se proporcionan en el mismo.

Encuentra la distancia entre las siguientes rectas:

5x-y-22=0

5x-y+20=0

Reúnete en pareja y encuentra la distancia entre los siguientes paresde rectas paralelas que a continuación se enlistan.

Grupo Ejercicio no.13

De forma individual resuelve el siguiente ejercicio, de acuerdo a lo quese te indica.

Individual Ejercicio no.14



106

2.1.5 Rectas notables en el triángulo

Es muy importante que logres identificar las rectas notables en eltriángulo, las cuales son las siguientes:

Mediatrices:La mediatriz de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular a dicholado que pasa por su punto medio.

Todo triángulo ABC, tiene tres mediatrices que denotaremos como sigue:

La mediatriz del lado a perpendicular al lado BC, se denota por Ma La mediatriz del lado b perpendicular al lado AC, se denota porMb

La mediatriz del lado c perpendicular al lado AB, se denota porMc Ver las sig uientes figuras:

"Los puntos de la mediatriz de un lado de un triángulo equidistan de los vértices quedefinen dicho lado".

Sesión22

Identifique las rectas notables en el triangulo.

Determine la pendiente de la mediatriz, altura y mediana a partirde los vértices del triángulo.


Mediatriz

Mediana

Altura

Bisectriz



107

Ahora, es momento de responder las siguientes preguntas.

En relación a la primer gráfica Ma

¿Qué ángulo forman la recta Ma, y el segmento BC?. ¿Cómo es la recta Ma, respecto alsegmento BC?____________________________________________________________

________________________________________________________________________

El punto de intersección de Ma con BC, ¿a qué distancia se encuentra de los extremos deBC? ¿Qué nombre recibe este punto con respecto al segmento?

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

A partir de los datos obtenidos, define “mediatriz de un segmento ”.

________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________

Alturas:La altura de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la rectaperpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene tres alturas que denotaremos como sigue:

La altura respecto del lado 'a' es perpendicular al lado BC, se denota por ha La altura respecto del lado 'b' es perpendicular al lado AC, se denota por hb La altura respecto del lado 'c' es perpendicular al lado AB, se denota por hc



108

Una altura puede ser interior al triángulo, exterior al mismo, o incluso, coincidir con algunode sus lados (según el tipo de triángulo):

Si el triángulo es RECTÁNGULO:

"La altura respecto a la hipotenusa es interior, y las otras dos alturas coinciden con _____________________________________ del triángulo".

Si el triángulo es ACUTÁNGULO:"Las tres alturas son_____________________________ al triángulo".

Si el triángulo es OBTUSÁNGULO:"La altura respecto al mayor de sus lados es interior, siendo las otras dos alturasexteriores al triángulo".

"En un triángulo isósceles, la altura correspondiente al lado _______________ divide eltriángulo en _____________________________ iguales".

Medianas:La mediana de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como larecta que une dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Todo triángulo ABC, tiene tres medianas (una por cada vértice) que denotaremos comosigue:

Mediana correspondiente al vértice A, se denota por mA Mediana correspondiente al vértice B, se denota por mB Mediana correspondiente al vértice C, se denota por mC

"Las tres medianas de un triángulo ______________________________,independientemente del tipo de triángulo que sea".

"Cada mediana de un triángulo divide a éste en ____________________ de igual área".



109

Bisectrices:La bisectriz de un triángulo, correspondiente a uno de sus vértices, se define como larecta que, pasando por dicho vértice, divide al ángulo correspondiente en dos partesiguales.

Todo triángulo ABC, tiene tres bisectrices (una por cada ángulo) que denotaremos comosigue:

Bisectriz correspondiente al ángulo A, se denota por bA Bisectriz correspondiente al ángulo B, se denota por bB Bisectriz correspondiente al ángulo C, se denota por bC

"Los puntos de la bisectriz equidistan _________________ del ángulo"

Es decir: si trazamos perpendiculares desde un punto a los dos lados, los segmentos quese forman son de la misma _______________________.

Sesión23



110

________________ _________________ _________________ ___________________

m (A-B) = = = -6

Haciendo uso de las condiciones de perpendicularidad, la mediatriz es perpendicular adicho segmento, entonces su pendiente es recíproca y con signo distinto.

La pendiente de la mediatriz es m ( AB) =

En forma individual identifica cada una de las siguientes gráficas.


Determina la pendiente de la ecuación de la mediatriz del segmento AB de extremos A (2,5) y B (4, -7). Calculando la pendiente del segmento AB tenemos:



111

Calcula la pendiente de la ecuación de la mediatriz del segmento AB que tiene porextremos (-2,0) y (3,10).

Alturas:

Para calcular las alturas de un triángulo identificamos primero la altura del lado que sequiere calcular.

x

y

Ya que tenemos el triángulo, para sacar la altura primero es determinar su pendiente allado opuesto de su vértice C. Su vértice es C (3,2). Entonces se van a tomar los puntos Ay B. La fórmula para sacar la pendiente es :

Que sustituida quedaría :

B (-1,-4)

A -5,6

C (3, 2)

EJEMPLO

En forma individual realiza el siguiente ejercicio, segúncorresponda.


Calcular la altura del lado AB del siguiente triángulo devértices: A (-5, 6), B (-1,-4) y C (3,2). Lo primero queharemos será graficar el triángulo.

m (A-B) = = =



112

La altura es perpendicular al segmento AB opuesto al vértice, entonces la pendiente esrecíproca y con signo distinto:

m =

x

y

Mediana:

Para calcular la pendiente de la ecuación de la recta notable mediana hay que tomar encuenta su definición que es la recta que une el punto medio de un segmento al vérticeopuesto. Lo primero que se hace es calcular el punto medio del segmento después aplicarla fórmula de la pendiente.

EJEMPLO

Sesión24

De manera individual, calcula la altura del siguiente triángulo.




113

Calcula la pendiente de la mediana del siguiente triángulo:

x

y

Calculamos el punto medio del segmento BC aplicando la fórmula del punto medio:Xm = (X1 + X2 )/2 Xm = (-1 + 3)/2 X m = ( 2 )/2 X m = 1

Ym = (Y1 + Y2 )/2 Ym = ( -4 + 2 )/2 Y m = ( -2 )/2 Y m = -1

Las coordenadas del punto medio son: (1, -1)

Procedemos a calcular la pendiente tomando en cuenta el punto medio y el vérticeopuesto.

Pm (1, -1) y vértice (-1, -4)

M = =

B (-1,-4)

C 3, 2

A -5,6

Pm 1, -1



114



115

A continuación se presenta una tarea a realizar a partir de lasinstrucciones dadas, de tal manera puedas retroalimentar tusaprendizajes en relación a las rectas notables del triángulo.

1. Señala la figura que representa la mediatriz

2. Señala la figura que representa la mediana

Nombre _________________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha __________________________________________________

Tarea no. 7



116



117

3. Señala la figura que representa la bisectriz



118



119

Ecuaciones en Nuestra Vida

Muchas situaciones de la vida diaria pueden plantearse como ecuaciones de la recta. Amodo de ejemplo vamos a crear la ecuación de la recta de “La cantidad que se compra de

pan en mi casa, según la cantidad de personas que se encuentran en esta ”.

“En mi casa cada persona se come dos panes al día, además, mi madre siempre compratres panes extra para que la bolsa del pan nunca quede vacía ”.

Es decir, vamos a crear la función P(n) que representa la cantidad de pan a comprar, y “n”la cantidad de personas que se encuentran en la casa.

Con una persona en la casa la cantidad de pan a comprar sería:P (1) =

De la misma forma si fueran 2, 3, o 4 personas

P (2) = P (3) = P (4) =

Por lo tanto podemos deducir que P(n) = ___________________ representa la cantidad acomprar cuando en mi casa se encuentran “n” Personas.

De esta forma __________________ representa la ecuación de la recta, la cual nosmuestra la cantidad de pan que debe comprarse en mi casa.

Calcula la pendiente_________________________

En qué eje debes representar cada una de las variables p (número de personas) y c(cantidad de panes):

x

y

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida cotidiana



120

De la misma forma, en la casa de Andrés el promedio de panes por persona es de 3, perosu madre compra solo un pan extra, es decir:

P (1) = 3(1) + 1 = 4 P (2) = P (3) =

Por lo tanto: P(n) = 3( ) + 1

Finalmente la ecuación de la recta que representa la cantidad de pan en la casa de Andrés es: Y = 3x + 1

Gráficamente:

Preguntas:

Calcula su pendiente____________________________

¿Existe alguna cantidad de personas con la cual en ambas casas deba comprarse lamisma cantidad de pan? Auxíliate del sistema de ecuaciones simultáneas.

Que significa el valor encontrado______________________________________________

Gráficamente:

x

y

x

y



121

2.2 CIRCUNFERENCIA

2.2.1 Propiedades y ecuaciones

Es importante retomar información acerca del tema y a su vez, realizaruna serie de actividades que te permitan adquirir aprendizajessignificativos.

Ya en la antigua Grecia, se creía que la Tierra era una esfera perfecta, pero solo porcuestiones filosóficas. Platón y Pitágoras no podían concebir la figura de la misma, quealbergaba el pensamiento humano, como algo no perfecto. Y por supuesto, establecierondicha idea de una esfera perfecta, aunque sin fundamentos. Y es Aristóteles quien aportaevidencias de los dichos de su maestro Platón, al observar que en los eclipses lunares, lasombra proyectada sobre la luna, tenía en forma circular.

Pero las preguntas continuaban, y llegó el turno del tamaño. ¿Cuán grande era la Tierra?Eratóstenes, filósofo, astrónomo, matemático, geógrafo, fue uno de los grandespensadores de la antigüedad, sus contemporáneos lo apodaron Beta, porque afirmabanque era en todo el segundo mejor del mundo. Pero fue el primero en determinar lacircunferencia de la Tierra, y debido a que vivió en el siglo III a.c., sus herramientas sólofueron palos, ojos, pies y su cerebro.

Siendo director de la biblioteca de Alejandría, leyó en un papiro que en Siena,actualmente Asuán, Egipto, en el mediodía del 21 de Junio un palo vertical no proyectabasombra. Pero en Alejandría no sucedía esto, un palo vertical sí proyectaba sombra. Y sepreguntó por qué. La primera conclusión que determinó fue que definitivamente la Tierrano podía ser plana, porque si así lo fuera, el Sol produciría sombras de igual longitud paraambos palos, sin importar de la distancia que los separaran (el Sol esta tan lejos que susrayos son paralelos cuando llegan a la Tierra).

Comprendió entonces que la única respuesta posible era que la superficie de la Tierra

estaba curvada, y cuanto mayor sea la curvatura, mayor iba a ser la diferencia entre laslongitudes de la sombra. Y quiso determinar la circunferencia de la Tierra.

Sabía que la distancia entre Siena y Alejandría era de aproximadamente unos sietegrados a lo largo de la superficie de la Tierra, por la diferencia entre las longitudes de lassombras de los palos; si imaginamos los palos prolongados hasta llegar al centro de laTierra, formaran un ángulo de siete grados. Este resultado es aproximadamente unacincuentava parte de los trescientos sesenta grados que contiene la circunferencia entera

Sesión25

Conoce e identifica la ecuación de la circunferencia, así comosu radio y centro.


http://es.wikipedia.org/wiki/Alejandr%C3%ADa

http://es.wikipedia.org/wiki/Asu%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Circunferencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Asu%C3%A1n

http://es.wikipedia.org/wiki/Alejandr%C3%ADa



122

de la Tierra. Pero le faltaba un dato, la distancia entre Siena y Alejandría, por lo quecontrató a un hombre para que lo midiera a pasos.

El resultado era aproximadamente 5040 estadios egipcios, siendo un estadio egipcio157,2 metros. Una distancia de 792,29 kilómetros. Entonces, esta distancia entre Siena y

Alejandría siendo igual a la cincuentava parte de la circunferencia (como habíadeterminado por las sombras de los palos) da como resultado, multiplicando ambos,39614,4 kilómetros. Esta debía ser la circunferencia de la Tierra. Solo un error deaproximadamente 1%, ya que la verdadera circunferencia es 40008 kilómetros.Impresionante.

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a los tipos de respiración y en general, a la anatomía y

fisiología de sistema respiratorio. Realiza cada una de ellas de acuerdoa como se te indique en cada caso.

Elementos de la circunferencia y del círculo

Circunferencia es el conjunto de todos los puntos del plano queequidistan de un mismo punto llamado centro de lacircunferencia. El punto centro no pertenece a la circunferencia.La circunferencia se nombra con la letra del centro y un radio.Círculo es la figura plana formada por una circunferencia más

toda su región o área interiorEjemplos prácticos de una circunferencia : Aro, anillo, hula-hula, borde de vaso, la orilla de un plato, etc.

Perímetro de la circunferencia: 2 r ó · dElementos de la circunferencia



123

Rectas en la circunferencia

Radio: Es un segmento que une el centro de lacircunferencia con cualquier punto de ella.El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos

extremos.La medida del radio es constante.

Cuerda: es el segmento que une dos puntos de lacircunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de lacircunferencia.El diámetro es la cuerda de mayor medida.El diámetro se nombra con la letra “d”. El diámetro siempre es el doble del radio:d = 2r r = d/2 .

Tangente: es la recta que intersecta en un solo punto a lacircunferencia.

Secante: es la recta que intersecta en dos puntos a lacircunferencia.

Arco: es una parte de la circunferencia comprendidaentre dos puntos de ella.



124

Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema,realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tusconocimientos y tener una idea de lo aprendido y de lo que aundebes reforzar para lograr tus aprendizajes.

x

y

O

A

BC

D

E

F

G

Relaciona ambas columnas.

Radio ( )

Tangente ( )

Cuerda ( )

Diámetro ( )

Secante ( )

A continuación se presenta un ejercicio en el cual deberás calcularla altura del siguiente triángulo.




125

2.2.2 Condiciones geométricas y analíticas

Ecuación en coordenadas cartesianas

En realidad solo existe una ecuación ordinaria de la circunferencia con2 representaciones: para la circunferencia con centro en el origen ypara la de centro fuera del origen. Cuan do el c entr o est á en el orig en

suele l lamarse c anónica.

Si se ha definido a la circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes de otropunto llamado centro, todos en el mismo plano; para decir exactamente dónde está esacircunferencia habrá que especificar 2 cosas: las coordenadas del centro y la longitud desu radio.

Circunferencia con centro en el origen.

Como su nombre lo dice su centro es el origen decoordenadas (0,0), lo que faltaría por conocer essu radio. Usando un punto arbitrario decoordenadas P(x,y) sobre la circunferencia yaplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que elradio r es la hipotenusa.

Cuando el centro está en el origen (0, 0), laecuación anterior se simplifica a:

Ambas variables están elevadas a l cuadrado y sus coeficientes son siempre la unidad, siesto no se presenta, al dividir ambos miembros de la igualdad por tal coeficiente deberáde llevar la ecuación a la forma conocida.

En el segundo miembro de la igualdad aparece el radio con signo positivo. Si el radiofuera cero, entonces no sería una circunferencia, solo indicaría el origen.

Sesión26

Determina ecuaciones de la circunferencia con centro en elorigen y fuera del origen (Ordinaria y general)




126

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a circunferencia. Realiza cada una de ellas de acuerdo acomo se te indique en cada caso. Es momento de realizar el siguienteejercicio, según se indica.

x

y

(A)

x

y

(B)

x

y

(C)

X2 + y2 = 4 ( )

7x2 + 7y2 = 9 ( )

X2 + y2 – 9 =0 ( )

X2 + y2 = 1 ( )

9X2 + 9y2 =25 ( )

4X2 + 4y2 = 25 ( )

Relaciona cada una de las siguientes ecuaciones con su figurarepresentativa correspondiente.




127

x

y

(D)

x

y

(E)

x

y

(F)



128

Realiza el siguiente ejercicio según se indica, de tal manera que logresretroalimentar lo visto en clase.

1. (x-h)2 + (y-k)2 =0

2. (x-3)2 + (y-2)2 =9

3. Y2= 12x

4. Y2= 12x+4

Identifica cuál de las siguientes ecuaciones representa a lacircunferencia en el origen.




129

Responde de manera concreta a cada uno de los cuestionamientos quese te presentan sobre los tipos de respiración, así como la anatomía yfisiología del sistema respiratorio. Cuando termines se verificaran tusrespuestas con una lluvia de ideas organizada por el profesor. Laspreguntas

De la ecuación ordinaria de una circunferencia,

desarrollamos los binomios:

x2 – 2xh + h 2 + y2 -2ky + k2 = r2

O bien, x2 – 2xh + h 2 + y2 -2ky + k2 - r2 = 0

Ordenando, x2 + y2 – 2xh -2ky + (h 2 + k2 - r2 ) = 0

Y si, D= -2h, E=-2k y F= h 2 + k2 - r2

La ecuación anterior se transforma en:

Ecuación General de la circunferencia.

Sesión27

EJEMPLO

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y , lacircunferencia con centro en el punto (h, k ) y radior consta de todos los puntos ( x , y ) que satisfacenla ecuación.

Ecuación Ordinaria de la circunferencia o formacanónica con centro fuera del origen.

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Radio_(geometr%C3%ADa)

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianas



130

Encontrar la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro C (4,-5) y deradio =3

Procedimiento:

Sustituimos los valores correspondientes en la ecuación tendremos lo siguiente:

Como h =4 y k=-5( x – 4 )2 + ( y – (-5))2 = 32

( x – 4 )2 + ( y + 5 )2 = 9

Ahora calcularemos la ecuación general de la circunferencia desarrollando losbinomios de la ordinaria:

( x – 4 )2 + ( y + 5 )2 = 9

X 2

– 8x + 16 + y 2

+10y + 25 -9 = 0 X 2 + y 2 – 8x + 10y+ 32 = 0 Ecuación general de la circunferencia

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a la circunferencia. Realiza cada una de ellas de acuerdo acomo se te indique en cada caso.

CentroC(h,k)

Radior

Ecuación de lacircunferencia CentroC(h,k)

Radior

Ecuación de lacircunferencia

C(0,0) 9 X 2 + y 2 = 81 C(0,0) 3

C(0,0) C(0,0) 6

Ejercicio no. 21

Reúnete en equipos de dos integrantes para completar la siguientetabla.

Grupo



131

C(0,0) 12 X 2 + y 2 = 625

X 2 + y 2 = 4 C(2,4) 5 (x-2)2 +(y-4)2 =25

C(0,3) 7 (x-4)2 +(y-2)2 =64

C(2,4) 4 (x-3)2 +(y-4)2 =10C(2,1) 3 (x+2)2 +(y-

3)2 =39

(x-7)2 +(y+10)2 =100

(x-1)2 +(y-4)2 =25

(x+2)2 +(y+1)2 = 5 C(0,0) 7

(x-9)2 +(y-3)2 =32 C(0,0) 1

Transformaciones de la ecuación ordinaria a la forma general y viceversa.

Forma ordinaria

(x-4)2 +(y+5)2 = 9

Forma general

X 2 + y 2 -8x+10y+32=0

Procedimiento : (x-4)2 +(y+5)2 = 9

Desarrollando los binomios: x 2 - 8x + 16 + y 2 + 10y + 2 5 – 9 = 0

Reduciendo términos semejantes x 2 + y 2 -8x + 10y+32 =0

Forma ordinaria

(x+1)2 +(y-5)2 = 16

Forma general

Sesión28

Después de la exposición del profesor, en equipos de dosintegrantes completa la siguiente tabla.

Grupo Ejercicio no. 22



132

Forma ordinaria

(x-7)2 +(y-6)2 = 89

Forma general

Forma ordinaria

(x+3)2 +(y+5)2 = 49

Forma general

Forma ordinaria(x-2)2 +(y-1)2 = 1

Forma general

Forma ordinaria

(x+2)2 +(y-3)2 = 20

Forma general

Forma ordinaria

(x-7)2 +(y)2 = 45

Forma general

Forma ordinaria

(x-4)2 +(y+1)2 = 25

Forma general



133

Forma general

x 2 + y 2 - 4x - 2y - 5 = 0

Forma ordinaria

(x-2) 2 +( y-1)2 =10

Procedimiento x 2 + y 2 - 4x - 2y - 5 = 0

Completando cuadrados x 2 - 4x+___+ y 2 - 2y+___=5

x 2 - 4x+ (4) + y 2 - 2y+ 1 =5+4+1

(x-2) 2 +( y-1)2 =10

Forma general

x 2 + y 2 - 12x - 16y = 0

Forma ordinaria

Forma general

x 2 + y 2 + 5x + 6y - 9 = 0

Forma ordinaria

Forma general

x 2 + y 2 + 6x - 14y - 64 = 0

Forma ordinaria

Forma general

x 2 + y 2 + 4x - 8y = 0

Forma ordinaria

Sesión29

Ejercicio no. 23Reunidos en equipos de dos integrantes, completar la siguientetabla con la información correspondiente.

Grupo



134

Forma general

x 2 + y 2 - 10y = 0

Forma ordinaria

Sesión30

Ejercicio no. 24Calcular el radio de una circunferencia si se quiere construir unarco en la entrada principal de una residencia, si se sabe que elarco tiene una longitud de 3m.

Individual



135

En los siguientes párrafos, se abordará el tema de la circunferencia demanera práctica a través de un ejemplo muy cotidiano.

Es casi seguro que cuando eras niño, alguna vez te subiste a la Rueda de la Fortuna,como la que se muestra en la imagen. Observa que la estructura metálica que sostiene acada uno de los asientos es una circunferencia, y los brazos metálicos son radios de lamisma.

¿Puedes calcular el valor del radio si se sabe que la longitud de la rueda es de 50m?

Suponiendo que el centro de la rueda de la fortuna es el origen de coordenadas ¿sepuede calcular la ecuación de la circunferencia?



136

Instrucciones: A continuación se te presentan una serie de preguntas de opciónmúltiple relacionadas con los temas de la unidad. Esfuérzate por contestarlassubrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final delcuaderno de trabajo .1. Encuentra el ángulo de intersección entre las rectas 5x-y-1 =0 y 2x+3y-2 =0

A) 67.62°B) 77.72°C) 65°D) 64.35°

2. Encuentra el punto de intersección entre las siguientes rectas:2x-7y+18=04x-y-16=0

A) (5,4)B) (5,-4)C) (-5,-4)D) (-5,4)

3. Señala la frase verdadera:a) Todas las medianas van desde un vértice al punto medio del lado opuesto.b) Todas las mediatrices van desde un vértice al punto medio del lado opuesto.c) Todas las mediatrices van desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto.d) Todas las medianas son perpendiculares en el punto medio de cada lado.

4. Señala la frase verdadera:a) Todas alturas van desde un vértice al punto medio del lado opuesto.b) Todas las alturas son perpendiculares a los lados.c) Todas las bisectrices dividen al ángulo en dos partes iguales.d) Las bisectrices no siempre pasan por los vértices.

5. Señala la frase verdadera:a) Las medianas dividen al triángulo en dos partes iguales.b) Las bisectrices van desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto.c) Las alturas van desde un vértice perpendicularmente al lado opuesto.d) Las mediatrices dividen a los ángulos en dos ángulos iguales.

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno ___________________

Fecha _________________________________________________

Autoevaluación



137

6. Señala la frase verdadera:a) Las mediatrices son perpendiculares en el punto medio de un segmento.b) Las medianas todas pasan por los vértices.c) Las bisectrices pasan por los vértices algunas veces.d) Las alturas son perpendiculares en los puntos medios de los lados.

7. Señala la frase verdadera:a) Todas alturas siempre pasan por los vértices.b) En un triángulo hay cuatro alturas. c) Una de las alturas de un triángulo rectángulo coincide con la hipotenusa.d) La hipotenusa de los triángulos rectángulos son el radio de la circunferenciacircunscrita.

8. Señala la frase verdadera:a) El punto donde se encuentran las medianas se llama ortocentro.b) El punto donde se encuentran las alturas se llama baricentro.c) El punto donde se encuentran las mediatrices se llama circuncentro.d) El punto donde se encuentran las bisectrices se llama bisector.

9. ¿Cuál es la forma ordinaria o canónica de la circunferencia con centro en el punto (-2,3)y que pasa por el punto (5,7)?a) (x-2)2 + (y-7)2 = 65b) (x+2)2 + (y-3)2 = 65c) (x-5)2 + (y-7)2 = 65d) (x-2)2 + (y-3)2 = 65

10. La ecuación de la circunferencia representada en la gráfica es:

A) (x+2)2 + (y-1)2 =4B) (x-2)2 + (y-1)2 =16C) (x+2)

2

+ (y-1)2

=4D) (x+2)2 + (y-1)2 =4

11. Los extremos del diámetro de una circunferencia son A (1,1) y B (7,5); entonces sucentro y su radio, son:

A) C(3,4), r=13 C) C(3,4), r=√13 B) C(4,3), r=√13 D) C(4,3), r=13

x

y



138

12. El valor del radio de una circunferencia es r=5 y las coordenadas de su centro son C (-3,2). Identifique la ecuación que la representa.

A) (x+3)2 + (y-2)2 = 25B) (x+3)2 + (y-2)2 = 5C) (x-2)2 + (y+3)2 = 25D) (x-2)2 + (y+3)2 = 5

13. Una circunferencia tiene su centro en (-2,-2) y pasa por el punto (1,-2) ¿cuál es suecuación?

A) (x-2)2 + (y-2)2 = 3B) (x-1)2 + (y+2)2 = 3C) (x+1)2 + (y-2)2 = 9D) (x+2)2 + (y+2)2 = 9

14. Determina la ecuación general de la circunferencia de centro en C (4,-5) y radio 3. A) X2 + y2 – 8x + 10y + 32 = 0B) X2 + y2 – 8x - 10y + 32 = 0C) X2 + y2 + 8x + 10y + 32 = 0D) X

2 + y

2 – 8x + 10y - 32 = 0

15. Transformar la ecuación general X2 + y2 – 8x + 10y - 32 = 0, a la forma ordinaria de lacircunferencia.

A) (x+5)2 + (y-4)2 = 25 C) (x+5)2 + (y- 4)2 = 73B) (x- 4)2 + (y+5)2 = 73 D) (x-4)2 + (y+5)2 = 20



139


Evaluación del desempeño (ejercicios):En equipo


1 Se integró al equipo. 0.2


0.2


0.3


0.5

5 Aplicó correctamente elprocedimiento

0.5



Evaluación del desempeño (ejercicios):Individual


1 Mostró interés por eltema. 0.3


0.4


0.5


0.5





141

.

Unidad IIICÓNICAS



142

Competencias de la Unidad: COMPETENCIAS

Al término de esta unidad el estudiante será capaz de:

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, geométy variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales relacionada con las curvas cónicas.

Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.

Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modestablecidos o situaciones reales.

3.1 Parábola3.1.1. Propiedades y ecuaciones3.1.2. Condiciones geométricas y analíticas

3.2. Elipse3.2.1. Propiedades y ecuaciones3.2.2. Condiciones geométricas y analíticas3.3. Hipérbola3.3.1. Propiedades y ecuaciones3.3.2. Condiciones geométricas y analíticas

TEMARIO



143

X

Y

1. La siguiente figura corresponde a una:a) Elipseb) Circunferenciac) Parábolad) Rectae) hipérbola

2. La siguiente figura corresponde a una:a) Elipseb) Circunferenciac) Parábolad) Rectae) hipérbola

3. La siguiente figura corresponde a una:

a) Elipseb) Circunferenciac) Parábolad) Rectae) hipérbola

4. ¿Cuál es el valor de la expresión ; si a=2 y b= 3?a) 4b) 2c) 2d)6

e) 95. Si desarrollamos la ecuación (x-2)2 = 3(y+2) se obtiene:a) x2 + 4x -3y -2 =0b) x2 + 4x - 3y -2 =0c) x2 + 4x -3y -2 =0d) x2 +4x -3y -2 =0e) x2 +4x -3y -2 =0

A continuación se te presentan una serie de preguntas de opciónmúltiple relacionadas con los temas de la unidad III, mismos queprofundizarás con más detalle a lo largo a las actividades delcuaderno de trabajo. Esfuérzate por contestarlas subrayando larespuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final delcuaderno de trabajo.

Evaluación diagnóstica



144

6. Si desarrollamos la ecuación 3(x +3)2 + 2(x-4)2 = 6, se obtiene:a) 3x2+2y2 +18x-16y +53 = 0b) 3x2+2y2 +18x+16y +53 = 0c) 3x2+2y2 + 9x-16y +53 = 0d) 3x2+2y2 +18x-16y +33 = 0e) 3x2+2y2 +18x-16y +43 = 0

7. Si desarrollamos la ecuación 2(x -1)2 – 4(y +2)2 = 8 se obtiene:a) 2x2 -4y2 -4x -16y -12 = 0b) 2x2 -4y2 +4x -16y -22 = 0c) 2x2 -4y2 -4x -16y -22 = 0d) 2x2 -4y2 -4x -16y +22 = 0e) 2x2 -4y2 -4x +16y -22 = 0



145

3.1 PARÁBOLA

3.1.1 Propiedades y ecuaciones

La parábola

Elementos de la parábola: vértice, foco, directriz, parámetro y el lado recto.

Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una seriede elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definena continuación:

Sesión31

Esta curva llamada cónica, se describe geométricamente como la curva que resulta alinterceptar un cono recto circular y un plano paralelo a la generatriz del cono. Como semuestra en la siguiente figura:

Conoce e identifica los elementos de la parábola. Identifica y relaciona la posición de la parábola con sus

ecuaciones. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.


Definición:Es el conjunto de puntos del plano que está a la misma distancia deun punto, su foco, y de una recta fija, su directriz.



146

Vért ic e (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.

Eje focal : Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas ypasa por el vértice.

Foco (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje focal alinterior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice.

Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia pdel vértice y fuera de las ramas de la parábola.

Parámetro (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entrevértice y directriz.

Cuerda focal: Segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por elfoco.

Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Para ilustrar las definiciones anteriores, se ejemplifica con la siguiente gráfica de unaparábola.

EJEMPLO La parábola tiene vértice en el origen y su foco es el punto(0,2), determinar su ecuación y representarla gráficamenteen el plano identificando sus elementos.



147

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a la parábola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a comose te indique en cada caso.

1. ¿Qué nombre recibe el punto donde la parábola corta al eje X?

2. Nombre que recibe el segmento que une dos puntos de la parábola y que pasa por elfoco. ______________________

3. La parábola es una curva que se forma al intersectarse un ___________ con unplano.

4. Es el nombre que se le da a la recta que es perpendicular al eje focal y cuya distancia ala parábola es la misma que la de la parábola al foco.

5. La parábola es el lugar geométrico de todos aquellos puntos que están a la ___________distancia de una _____________que de un punto fijollamado_____________.6. Es el nombre que recibe la distancia del vértice a la directriz como al foco:

________________

7. Es la medida del lado recto ____________

Con ayuda de la información anterior, contesta correctamente lassiguientes preguntas.




148

Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema,realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tusconocimientos y tener una idea de lo aprendido y de lo que aun debesreforzar para lograr tus aprendizajes.

1. ¿Cuáles son las ecuaciones que representa a las parábolas de la figura?

Sesión32

Ejercicio no.2

Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y a partir de lainformación obtenida en tu investigación, contesta cada una de lassiguientes preguntas.

Grupo

Investiga las distintas ecuaciones que adopta la parábola cuandosu vértice está en el origen y fuera del origen. Con esta

información contesta el ejercicio no. 1 de grupo.

Tarea de investigación no.1



149






150

5. ¿En cuales de los casos el parámetro “p” se considera positivo y en cualesnegativo? Explica.

6. ¿En cuales de los casos podemos utilizar la ecuación de la forma y 2 =4px?

7. ¿En cuales de los casos podemos utilizar la ecuación (x-h) 2 = 4p (y-k)?

8. Si el vértice está en el origen y su foco está en el punto (-2, 0), ¿cuál es la ecuaciónque más nos conviene utilizar?

9. Si el vértice está en el origen y su foco está en el punto (0, 1), ¿cuál es la ecuaciónque más nos conviene utilizar?

10. Si el vértice está fuera del origen y su eje focal es paralelo al eje X, ¿cuál es laecuación que representa a estas parábolas?



151

X

Y

X

Y

3.1.2 Condiciones Geométricas y Analíticas

Si representamos el vértice y su foco en el plano; como lo muestra la figura (1), podemosdeterminar que la parábola se abre hacia arriba (figura 2) y que el valor del parámetro “p”es positivo p = 2.

La parábola tiene vértice en el origen y su foco es el punto (0,2),determinar su ecuación y representarla gráficamente en el planoidentificando sus elementos.

Sesión33

Determina la ecuación ordinaria y la gráfica de la parábola a partirde elementos conocidos.

A partir de la ecuación identifique algunos de sus elementos. A partir de la ecuación identifica la forma y posición gráfica. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos

teniendo en cuenta los objetivos que persigue. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.


V

F

Figura 1

p =2

Figura 2

Directriz y = -2

LR = 8



152

La ecuación de la parábola con vértice en el origen y eje focal sobre el eje Y tiene la formax2 = 4py; en este caso p = 2; la ecuación de la parábola está representada por:

x2 = 4(2)y = 8y


1. Determina la ecuación de la parábola con vértice en el origen y el foco en el punto:

2. Determine la longitud del lado recto en los casos anteriores:

a) LR = _________b) LR = ________c) LR = ________

3. Determine la ecuación de la directriz en los tres casos de la actividad no.1a) Directrizb) Directrizc) Directriz

4. Asocia las ecuaciones obtenidas en la actividad no. 1 con las gráficas de cada una delas siguientes parábolas:

a) (0,-3) Ecuación:

b) (2,0) Ecuación:

c) (- 1,0) Ecuación:

Ejercicio no.3

Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y contesten lassiguientes actividades.

Grupo



153

Sesión34

EJEMPLO

El vértice de una parábola esté en el punto (2,3) y su foco es el punto (3, 3). Determina laecuación ordinaria de la parábola, la gráfica ysus elementos.

Ecuación:

Ecuación:

Ecuación:

x

y

Directrizx= -2

X

Y

Directriz y= 3

X

Y

Directriz x= 1



154

Primero que nada localicemos el vértice y el foco en el plano cartesiano figura (#3). Comopuedes observar, el eje focal pasa por estos dos puntos y es paralelo al eje X. En estecaso la ecuación ordinaria de la parábola está determinada por la ecuación:

( y – k)2 = 4p (x-h)

Las coordenadas del vértice son V (2, 3) en este caso V ( h, k ), tenemos que h =2 y k = 3

La gráfica correspondiente a esta ecuación se muestra en la figura #4.

De acuerdo a la posición del vértice y elfoco, el parámetro p = 1 por ser ladistancia entre estos dos puntos.Sustituyendo estos valores en la ecuaciónordinaria:

(y - 3)2 =4 (x - 2)

V F

Y

FV

Directriz x

LR

Figura # 4

Y

Figura # 3

Eje focal



155


1. Si el vértice y el foco de tres parábolas son los puntos:

V(0, 2) y F( -3 , 2)

V( 3, -2) y F(3 ,0) V( 0, 4) y F(0 , 2)

a) Localiza los puntos en el plano cartesiano y determina la posición de cada eje focal ; esdecir si es paralelo al eje X o al eje Y.

b) Determina el valor del parámetro “p” en cada caso; tomando como referencia laposición del vértice y el foco.

c) Determina el valor del“lado recto” en cada cado.d) Obtener la ecuación ordinaria respectiva; sustituyendo en la ecuación ordinaria los

valores correspondientes

ó ; según sea el caso.(x –

h)2

= 4p (y-k) (y –

k)2

= 4p(x-h)

Ejercicio no.4

Reúnete en equipo con la ayuda de tu profesor y realicen lassiguientes actividades.

Grupo



156



157

X

Y

X

Y

X

Y

Realiza la gráfica de cada una de las parábolas anteriores, identificando cada uno desus elementos.

Nombre _________________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha __________________________________________________

Tarea no. 1



158



159

Ecuación de la forma

Toda ecuación de segundo grado de la formarepresenta una parábola.

Si A = 0, C 0 y D 0, la ecuación representa un parábola con eje paralelo (o coincidecon) el eje X.

Si A 0, C = 0 y E , la ecuación representa una parábola con eje paralelo(ocoincide con) el eje Y.

Desarrollando el binomio del lado izquierdo(x +2)2 = x2 +4x +4; el producto del ladoderecho queda como: 4 (y -3) =4y -12.

Al igualar los dos miembros, la ecuación anterior se transforma en: x2 +4x +4 = 4y -12;haciendo la transposición de términos al lado izquierdo se obtiene:

x2 +4x +4 -4y +12 = 0; por último reduciendo los términos semejantes (4 + 12); laecuación general de la parábola queda determinada por: x2 +4x - 4y +16 = 0Otro caso similar es la ecuación ordinaria (y – 3)2 = - 8(x + 1); desarrollando el binomioy el producto de la ecuación.

La ecuación se transforma en: y2 -6y +9 = -8x – 8; realizando la transposición detérminos hacia la izquierda tenemos la ecuación y2 -6y +9 +8x + 8 = 0, reduciendo lostérminos semejante (-6+8) y reagrupando los términos, la ecuación general de laparábola queda determinada por: y2 +8x -6y +17 =0

Determinar la ecuación general de la parábola cuyaecuación ordinaria es (x +2) = 4(y – 3)

EJEMPL

Ax +Cy + D x +E y +F = 02 2

35

Sesión

2 2Ax +Cy + D x +E y +F =2 2Ax +Cy + D x +E y +F =

Sesión

35



160

1. ( x -3)2 = 2( y + 8)

2. x2 = 3( y -6)

3. (y +1)2 = 5x

4. ( y – 3)2 =4 ( x- 2)

5. ( y + 5)2 = -4 (x +2)

Ejercicio no.5 Grupo

ecuación general de la parábola a partir de su ecuación ordinaria. Reunirse en quipos según lo indique el profesor y determinar la



161

Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema,realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tusconocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar paralograr tus aprendizajes.

Determina la ecuación general de la parábola, teniendo en cuenta cada una de las

siguientes situaciones.

1. El vértice de la parábola está en el origen y el foco es (0, -3)

2. El eje focal es paralelo al eje X, el vértice es el punto (2, 1) y“p = -1”

3. El vértice es el punto (3, -1), la parábola se abre hacia arriba y la longitud del lado rectoLR = 6

4. La parábola tiene por gráfica:

X

Y

Nombre _________________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha __________________________________________________

Tarea no. 2



162



163

x

y

Directriz = -3

Lado Recto = 12

Al analizar la ecuación x2 = 12y; podemos verificar que concuerda conla ecuación de la forma x2 = 4py que corresponde a una parábola convértice en el origen y que se abre hacia arriba; 4p = 12, por lo que elparámetro p =3; lo cual indica que el foco está localizado en el punto (0,3), longitud del lado recto es 12; la directriz es la recta horizontal y = -3

como se muestra en la figura.

Por otro lado, la ecuación (y +1)2 = 2(x -1) representa la ecuación ordinaria de unaparábola de la forma (y – k)2 = 4p(x – h).

La parábola tiene su vértice fuera del origen, en el punto V (h, k), por la forma de la

ecuación, los valores de (h, k) son h = 1, k = -1. Por lo tanto el vértice es el punto (1, -1).El lado recto es 4p = 2, despejando el parámetro “p”; p = 2/4 = ½La parábola se abre hacia el lado derecho y la ecuación de la directriz es x = ½ como semuestra en la figura.

Sesión36

X

Y

EJEMPLO



164

X

Y

Otro caso es cuando tendemos la ecuación general de la parábola, como el ejemplosiguiente:

La ecuación general de una parábola es x 2 -4x - 4y – 8 = 0 .Podemos identificar que laecuación se deriva de la ecuación ordinaria (x –h)2 = 4p (y –k), porque la variable conexponente cuadrado es “x”.

Reagrupando los términos de la ecuación como sigue:x2 - 4x = 4y +8 Sumando 4 en ambos miembros de la ecuación para completar el trinomiocuadrado perfecto en el primer miembro.x2 -4x +4 = 4y +8+4

La ecuación es equivalente a: (x -2) 2 = 4y+12; factorizando “4” en el segundo miembro:(x-2)2 = 4(y+3) la cual corresponde a la ecuación ordinaria de la parábola con eje focalparalelo al eje Y, vértice en el punto (2, -3), lado recto LR = 4 como lo muestra la figura



165


1. Determina las coordenadas del vértice, foco y la longitud del lado recto si la ecuaciónde la parábola es : y2 = 2x

2. Determina las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz; si la ecuación de laparábola es x2 = 16y

3. Determina las coordenadas del vértice y el foco si la ecuación de la parábola es(X -3)2 = -4(y -2)

4. Determina la ecuación de la directriz de la parábola que tiene por ecuación ordinaria(y -1)2 = -8(x +4)

5. Determina las coordenadas del vértice si la parábola tiene por ecuación generalx2 +6x -2y + 5 = 0

A continuación se presenta un ejercicio que te permitirá aplicar loaprendido en situaciones cotidianas, por lo cual, deberás leer ycontestar con mucha atención lo que se presenta.

Ejercicio no.6

Organizados en pareja, determinar los elementos que se te pidenen cada uno de los siguientes casos.

Grupo



166

Se tiene un puente colgante como lo muestra la figura, el cable central que soporta lasdos torres del puente tiene forma de parábola y este está ligado a la estructura del puentepor medio de cables tensores cada uno de ellos está separado una distancia de 2 metros.

Las torres tienen una altura de 30 metros a partir del tablero del puente y el cable colgante

está a una altura de 5 metros del puente.

Si construimos un plano de coordenadas como el que se muestra a continuación sobre laparte central del puente, ¿cuál será la ecuación que mejor represente a la parábolaformada?

a) ¿Cuál es la distancia de las torres al eje Y? ______________

b) ¿Qué altura sobresale de la torre del eje X ?______________

X

Instrumento de Evaluación __________________ Página ________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________

Nombre ________________________________________________


P ( , )Y



167

c) ¿Cuáles serían las coordenadas del punto P en la figura anterior? _______

d) De acuerdo a la posición de la parábola, la ecuación que representa la situación,es:

Como las el punto P de la gráfica está sobre la parábola de nuestro problema,entonces las coordenadas del mismo satisfacen a la ecuación de la parábola. Eneste caso si (x 0, y0) son las coordenadas del punto P que están identificadas en elinciso(c), el valor del parámetro p está determinado por:

¿Cuál es el valor de p? _______________

¿Cuál es la ecuación de la parábola que representa al cable colgante del puente? ____________________



168

3.2 ELIPSE

3.2.1 Propiedades y Ecuaciones

La elipse es otra de las curvas que se obtiene al cortar una figura

cónica con un plano (figura A) de ahí el nombre de cónica. En el plano de coordenadas, la elipse se define como “el lugargeométrico de los puntos, tales que las suma de sus distancias a dos

puntos fijos, llamados focos, es siempre constante” .

Sesión37

Conoce e identifica los elementos de la Elipse. Identifica y relaciona la posición de la elipse con sus ecuaciones. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos





169

Elementos de la Elipse:

De acuerdo a su definición, la elipse consta de los siguientes elementos:

V1 y V2 son llamados vértices.

F1 y F2 son llamados focos(Constante)

= Eje menor

= eje mayor

= Eje Focal

De acuerdo a la figura siguiente (figura B)

= Eje menor = 2b

= eje mayor = 2a

= Eje Focal = 2c

Cuando el punto “P” está en uno de los extremos del eje menor, como se muestra en lafigura (figura C)

Se puede demostrar que:

a2 = b2 + c2

B´

B

V 2V 1

ac

F 1 F 2

b

P

V 2

bV 1

a

c

F 1 F 2

Figura A

Figura C

Figura B



170

B

A

LRF

Un segmento que une dos puntos cualesquiera de la elipse, recibe el nombre de cuerda( ); un elemento importante de la elipse es el lado recto (LR), el cual consiste en uncaso especial de cuerda que pasa por uno de los focos y es perpendicular al eje mayor ofocal (figura D).

Los arcos elípticos son usados desde la antigüedad hasta las épocas modernas a través

de sofisticadas estructuras.

EJEMPLO

La longitud del lado recto es; otra característica de la

elipse, es su excentricidad ( e) la cual sedetermina por la expresión: comoen este caso (c < a) la excentricidadsiempre es menor de la unidad ( e < 1).

Desde la antigüedad, el hombre se ha preocupadopor el estudio de formas elípticas y las ha utilizadoen sin fin de situaciones, tal y como lo ilustran lassiguientes figuras.

Figura D



171


1. En la elipse, ¿qué nombre recibe el punto donde se intersectan los ejes mayor ymenor?

2. ¿Qué nombre recibe el segmento que une los dos vértices longitud tiene?

3. Nombre que se le da a cualquier segmento que une dos puntos de la elipse:

4. ¿Cuál es la distancia entre los focos de la elipse y que nombre recibe el segmento quelos une?

5. ¿Qué longitud tiene el eje menor?

6. ¿Cuál es la relación entre a, b y c ?

7. Esta característica de la elipse se puede definir como la razón entre el semi-eje mayor yel semi eje focal.

8. Es la longitud del lado recto:

9. En la elipse son dos puntos fijos interiores a ella y cuya suma de las distancias acualquier punto de la misma es siempre constante:

10. ¿Con qué nombre particular es conocida la elipse?

A partir de la información revisada anteriormente, contesta lassiguientes preguntas.




172

Ecuación de la elipse de centro en el origen:

Consideremos a la elipse en el plano coordenado con su centro en el origen , el ejemayor sobre el eje X y el eje menor sobre el eje Y.

La elipse de la figura anterior se representa analíticamente por la ecuación:

Cuando la elipse tiene su centro en el origen , el eje mayor sobre el eje Y; y el eje menorsobre el eje X, como se muestra en la figur a.

Sesión38

Y

B(0, b)

V 1 (-a ,0) V 2 (a ,0) X F 2 (c,0)

B´(0, - b)

F 1 (-c,0)

C (0,0)



173

La elipse de la figura tiene por ecuación:

Ecuación de la elipse de centro fuera del origen:

Cuando la elipse tiene centro fuera del origen C (h, k) , y los eje mayor está sobre el eje Xo es paralelo a él , y el eje menor está sobre él eje Y o es paralelo al mismo, como semuestra en la figura; la elipse tiene por ecuación :

Esta ecuación también esllamada ecuación ordinaria.

V 2 (a ,0)

V 1 (0,a)

B´(0, - b) B (0, b) X

F 1 (0,c)

F 2 (0,-c)

C (0,0)

Y

X

Y

Origen

B

B

V

V

F

F

C



174

De manera similar, si el eje mayor está sobre o es paralelo al eje Y y el eje menor estásobre el eje o es paralelo al eje X .

La ecuación ordinaria de la elipsees:

.

Este ejemplo se refiere al primer caso de la elipse; sus vértices estaríanrepresentados por las coordenadas (-a ,0) y (a, 0).

La ecuación que representa a esta familia de elipses, es

X

Y

Origen (0,0)

B

B´

V 1 V2

F 2

F 1

C (h,k)

EJEMPLO Si una elipse tiene centro en el origen, su eje mayorestá sobre el eje X. ¿cuáles serían las coordenadasde sus vértices y su ecuación?



175

Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema,realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tusconocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar para logrartus aprendizajes.

1. Si la ecuación de la elipse es , ¿cuáles son las coordenadas del centro?

2. Si el eje mayor de la elipse está sobre el eje Y, ¿cuál ecuación es la que la representa?

3. Si la elipse por ecuación ¿cuáles son las coordenadas del

centro?

4. ¿Qué ecuación representa a la elipse de la figura A?

5. ¿Qué ecuación representa a la elipse de la figura B?

X

Y

Figura BFigura A

X

Y

Contesta cada una de las siguientes proposiciones, relacionadascon las ecuaciones de la elipse.




176


La posición del centro y el vértice se ilustra en la (figura A), de acuerdo a los datos el ejemayor está sobre el eje X, por lo tanto la ecuación de la elipse está determinada por :

La distancia del vértice al centro está determinada por el parámetro “a” en este caso a = 5.Como el eje menor es 6 podemos concluir que 2b = 6 por ser la longitud del eje menor.

En consecuencia .

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, la ecuación de la elipse quedadeterminado por :

La relación entre a, b y c, está dada por la expresión Pitagórica a 2 = b2 +c2. En este casoes necesario obtener el valor de “c” por representar la distancia entre el foco y el centro.

Despejando “c” se obtiene ; sustituyendo los valores de a y b :

Sesión39

Si una elipse tiene centro en el origen, uno de sus vértices es elpunto (5, 0) y la longitud del eje menor 6, ¿cuál sería su ecuación y sugráfica?

Determina la ecuación ordinaria y la gráfica de la elipse a partirde elementos conocidos.

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retosteniendo en cuenta los objetivos que persigue.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.




177

X

Y

Por lo tanto las coordenadas de los focos son: F 1 (4,0) y F2 (-4,0). Otro elementoimportante para la obtención de la gráfica, es la longitud del lado recto.

, tal como se muestran en la figura B:

V1V1

Eje menor

Figura A Figura B

X

Y

1.8

1.8

V F



178

De forma similar se grafica el lado recto en el foco (-4, 0) y se traza la grafica de la figura:

La excentricidad de la elipse es:


1. Una elipse tiene centro en el origen, uno de los vértices es el punto (0, -3)

a) ¿Cuáles son las coordenadas del otro vértice?

b) ¿Cuál es valor del parámetro a?

c) ¿Cuál es la longitud del eje mayor?

X

Y

Ejercicio no.9

Reunidos en equipos, contestar las siguientes preguntas segúnconsideren correcto.

Grupo



179

d) Si uno de los focos de la elipse es el punto (0, 2), ¿cuáles son las coordenadas del otrofoco?e) ¿Cuál es el valor del parám etro “c”?

f) ¿Cuál es la longitud del eje focal?

g) ¿Cuál es el valor de b 2 ?

i) ¿Cuál es la ecuación de la elipse?

k) ¿Cuál es la longitud del lado recto?

l) Representar gráficamente la elipse .

X

Y



180



181

X

Y

Nombre _________________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha __________________________________________________

Con base en la información y actividades desarrolladas en este tema,realiza los siguientes ejercicios, que te permitirán reafirmar tusconocimientos y tener una idea de lo aprendido y de reforzar para lograr tusaprendizajes.

1. Determina la ecuación de la elipse en cada uno de los siguientes casos:

a) Centro en el origen, eje focal sobre el eje Y, eje mayor 4 y eje menor 3.b) Centro en el origen, foco en el punto (-3, 0) y excentricidad e =3/4

2. Determina la longitud del lado recto de la elipse si tiene centro en el origen, vértice en(0, 2) y excentricidad e = ½.

3. Determina la ecuación de cada una de las siguientes gráficas.a) ___________________

b) ___________________

X

Y

Tarea no.2

Figura A Figura B



182



183

x

y

centro

vértice

vértice

Eje mayor

Eje menor

Figura A

Ecuación de la elipse de la forma

Al representar estos elementos en el plano cartesiano, como se muestra en la figura A,podemos verificar que el eje mayor es paralelo al eje Y, el vértice está fuera del origen,entonces la ecuación ordinaria de la elipse que se utilizará, es:

Por la posición del centro y uno de losvértices, podemos determinar que el otrovértice es el punto (2,0) y el valor deparámetro a = 3; recordando que es ladistancia del vértice al centro.

La longitud del eje menor es 4 lo queimplica que b = 4/2 =2

Por las coordenadas del centro (2 ,3),podemos deducir que los valores de h = 2 yk =3. Al sustituir estos valores en laecuación ordinaria anterior .

La ecuación de esta elipse es :

Para obtener la grafica, es necesario determinar el valor de “c”recordemos que la relación pitagórica nuevamente: a 2 = b2 + c2.Despejando el valor de c; y sustituir los valores de “a” y “b”, se obtiene la expresión:

Las coordenadas de los focos son: F 1 (2, 5.23) y F2(2, 0.77); la longitud del lado rectoy la excentricidad es .

Sesión40

Si una elipse tiene centro en el punto (2, 3), uno de sus vérticeses el punto (2,6) y la longitud del eje menor 4, ¿cuál sería suecuación y su gráfica?



184

Trazando los focos en el plano y los lados rectos, la gráfica de la elipse se representa enla siguiente figura B.

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a la elipse. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como sete indique en cada caso.

1. Determina la ecuación ordinaria de la elipse, en cada uno de los siguientes casos:

a) Centro en (-1,2), eje mayor igual a 8 y uno de los extremos del eje menor es el punto(-1, 4)b) Centro en (2,0), eje mayor paralelo al eje X y excentricidad e = ¾

x

y

Figura B

Ejercicio no.10

Reúnete en equipo y contesta correctamente las siguientespreguntas.

Grupo



185

2. Determina la ecuación ordinaria de las siguientes elipses:a)

b)

Al desarrollar cualquier ecuación ordinaria de la elipse de la forma:

;

Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el producto a2b2, se obtiene:

Cancelando los denominadores de los términos del primer miembro:

, desarrollando los binomios al cuadrado:; realizando los productos indicados:

; reagrupando términos:

X

Y

Sesión41

Figura A Figura B



186

Redefiniendo las constantes:

A = b2, C = a2, D = -2b2h, E = -2a2k y F= ; la ecuación setransforma en: Ax2 +Cy2+Dx+Ey+F = 0

Las constantes A y C son valores diferentes de cero y de igual signo. Esta ecuaciónrecibe el nombre de ecuación general de la elipse .

Solución:

Multiplicando ambos miembros por “36”, la ecuación se transforma en:

Simplificando los coeficientes para eliminar denominadores, la ecuación se transforma en:

9(x-3)2 + 4(y-1)2 = 36; desarrollando los binomios; se obtiene la ecuación:

9(x2-6x+9) + 4(y2-2y+1) =36, desarrollando los productos indicados obtenemos:

9x2-54x+91+4y

2-8y+4=36, reorganizado los términos e igualando a cero:

9x2 +4y2-54x-8y +91+4-36 =0

Por último reduciendo los términos constantes obtenemos la ecuación general de laelipse:

9x2 +4y2-54x-8y +59 =0

EJEMPLO

Obtener la ecuación general de la elipse, si tiene porecuación ordinaria:



187


1.

2.

3.

4.

Ejercicio no.11

En parejas, determinar la ecuación general de la elipse, a partirde su ecuación ordinaria.

Grupo



188

En este punto estamos en posibilidad de identificar algunos elementosde la elipse que nos permitan determinar su forma y posición .

Solución:

Por los denominadores, podemos identificar como a2

= 9 y b2

= 5, recordemos que “a” esel parámetro mayor pues corresponde al semi eje mayor, mientras que “b” es la medidadel semi eje menor. En consecuencia podemos determinar que la ecuación es de laforma:

Es una elipse con centro en el origen y eje mayor sobre el eje Y. en este caso el valor delvértice lo determina el parámetro “a”. Los vérticesson los puntos (0,3) y (0,-3).

El valor de “b” nos da las coordenadas de los extremos del eje menor, en este caso B( ,0) y B (́- ,0). La longitud del lado recto corresponde a:

Para obtener las coordenadas de los focos, es nece sario determinar el valor de “c”.

Recordemos que: ; sustituyendo los valores ya conocidos en estaexpresión, tendremos que:

Las coordenadas de los focos son los puntos (0, 2) y (0,-2) y la excentricidad es :

Sesión42

EJEMPLO

Determinar los elementos de la elipse, si su ecuación es :



189

Por lo tanto la grafica correspondiente es:

Otro caso lo encontramos en la ecuación ordinaria de la elipse:

El valor de a2 = 25 despejando , el valor de b 2 = 16, despejando el valor de

b, tenemos que:

La medida del lado recto corresponde a :

La ecuación es de la forma :

Esta corresponde a una elipse con centro fuera del origen C (h, k) y eje mayor paralelo aleje X.

La coordenadas del centro corresponden a C (1, -2); y los vértices son los puntos (-4, -2)y (6,-2) y los extremos del eje menor son los puntos (1, 2) y (1,-6)

Para determinar el valor del parámetro “c”, utilizaremos nuevamente la expresión:

y sustituiremos lo valores de a y b.

; en este caso el podemos determinar elvalor de la excentricidad: y las coordenadas de los focos:(4,-2) y (-2,-2).

X

Y



190

X

Y

La gráfica de la elipse es la siguiente:

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a la elipse. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como sete indique en cada caso.

1.

2.

Ejercicio no.12

En equipo, determina los elementos de la elipse y construye sugráfica; considerando para ello las siguientes ecuaciones.

Grupo



191

.

En la siguiente tarea, se te presentan gráficas de diferentes elipses y una serie deecuaciones. Relaciona cada una de las ecuaciones con las gráficas

( ) ( )

( ) ( )

X

Y

X

Y

X

Y

X

YFigura 2Figura 1

Figura 3 Figura 4

Nombre _______________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha _________________________________________________

Tarea no.3



192



193

Una de las características más significativas de la elipse, es que tienen la propiedad dereflexión.

Particularmente esta propiedad se utiliza desde la antigüedad al construir cúpulaselípticas; ya que si una persona se sitúa en uno de los focos, la persona que se sitúe en elotro foco la escuchará con mayor claridad aunque la primera hable en voz baja .

Si una cúpula de forma elíptica tiene una longitud de 90 metro y una altura de 30 metros.

Aplicando la propiedad de reflexión de las elipses, ¿A qué distancia del centro de lacúpula deben situar dos personas para que al hablar se escuchen perfectamente?

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________





194

3.3 HIPÉRBOLA

3.3.1 Propiedades y Ecuaciones

La hipérbola se define como el lugar geométrico de los puntos, cuyo valor absoluto de ladiferencias de sus distancias a dos puntos fijos (llamados focos) es siempre constante(figura adjunta).

Dentro de los primeros elementos de la hipérbola, consideraremos los que se muestranen la siguiente figura:

Sesión43

La hipérbola es considerada una más de las curvas cónicas, formadapor la intersección entre dos conos y un plano.

EL valor absoluto de la diferencia de las

distancias es siempre constante:| d2 – d1 | = K

Los puntos F1 y F2 son llamados focos de lahipérbola y los puntos V1 y V2 los vértices.

Conoce e identifica los elementos de la hipérbola. Identifica y relaciona la posición de la hipérbola con sus

ecuaciones. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos





195

Elementos de la hipérbola:

Los elementos principales de la hipérbola se muestran en la figura

A diferencia de la elipse, la excentricidad en este caso es mayor que 1 (e 1) porque ladistancia “c” de los focos al centro es mayor que la distancia “a”del vértice al centro.

En el caso de los parámetros, a, b y c; el parámetro “c” es el mayor por estar másalejados los focos del centro que los vértices.

La relación pitagóricas entre estos elementos es: c2 = a2+ b2

EJEMPLO En el caso de construcción, existen diversasestructuras hiperbólicas en todo el mundo como lasque se muestran a continuación.

El punto C se llama centro; las rectas m

y n se llaman asíntotas de la hipérbola.Los segmentos:

; se llama eje transverso.

; se llama eje Focal.

; se llama eje conjugado.

; se llama lado recto.

; se llama excentricidad.

La primera estructura hiperboloide del mundo, construida en Nizhny Nóvgorod, Rusia, en 1896.

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura

http://es.wikipedia.org/wiki/Hiperboloide

http://es.wikipedia.org/wiki/Mundo

http://es.wikipedia.org/wiki/Nizhny_N%C3%B3vgorod

http://es.wikipedia.org/wiki/Rusia

http://es.wikipedia.org/wiki/1896

http://es.wikipedia.org/wiki/1896

http://es.wikipedia.org/wiki/Rusia

http://es.wikipedia.org/wiki/Nizhny_N%C3%B3vgorod

http://es.wikipedia.org/wiki/Mundo

http://es.wikipedia.org/wiki/Hiperboloide

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura



196

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a la hipérbola. Realiza cada una de ellas de acuerdo a comose te indique en cada caso.

1. Es el nombre que recibe el punto de intersección del eje conjugado y transverso:

2. Es el nombre que recibe el segmento que une los vértices de la hipérbola:

3. Nombre que recibe el punto donde la hipérbola corta al eje transverso:

La Catedral de Brasilia -situada en Brasil- esuna grandiosa obra definida como unaestructura hiperboloide de revolución consecciones asimétricas; construida enhormigón y con un espectacular techo devidrio.

Vista nocturna de la torre hiperboloide deKōbe, Japón.

De acuerdo a la lectura anterior, contesta acertadamente lossiguientes cuestionamientos.




197

4. Nombre que recibe el segmento que pasa por el centro y es perpendicular al ejetransverso, además su longitud es 2b:

5. La diferencia de las distancias a los focos de cualquier punto en la hipérbola es siempreigual a:

6. Son dos rectas de la hipérbola que actúan como límite de la curva, no permitiéndolecruzarlas:

7. En la hipérbola a diferencia de la elipse, el valor de la excentricidad es:

8. Es el valor de la longitud del eje conjugado:

9. Es el valor del lado recto:

10. Es el nombre que recibe el punto por donde pasa el lado recto :



198

De acuerdo a la forma y posición de la hipérbola en el plano de coordenadas, esta tienediferentes representaciones analíticas a las que llamamos ecuaciones de la hipérbola.

El primer caso corresponde a la hipérbola con centro en el origen y eje focal sobre uno delos ejes .

Si el eje focal está sobre el eje X, la ecuación de la hipérbola está representada por laexpresión:

Las ecuaciones de las asíntotas son:

y= b/a xy= - b/a x

Si el eje focal está sobre el eje Y, la ecuación de la hipérbola está representada por:

Estas ecuaciones reciben el nombre de primera ecuación ordinaria de la hipérbola

Sesión44



199

Cuando la hipérbola tiene su centro en un punto de coordenadas C (h, k) y el eje focal esparalelo al eje X, la ecuación ordinaria de la hipérbola está determinada por la expresión :

Cuando la hipérbola tiene su centro en un punto de coordenadas C (h, k) y el eje focal es

paralelo al eje X, la ecuación ordinaria de la hipérbola está determinada por la expresión :

h

k

C(h,k)

X

Y

h

k

C(h,k)

X

Y



200


1. Si una parábola tiene su centro en origen y el eje focal sobre el eje Y. ¿Cuál es la

ecuación que la representa?

2. ¿Qué ecuación utilizarías en la hipérbola de la figura?

3. Si una hipérbola tiene centro fuera del origen y su eje transverso es paralelo al eje Y.¿Cuál es la ecuación que la representa?

4. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola que tiene centro en el origen y foco sobre el eje Y?

5. ¿Cuál es la ecuación de las asíntotas que limitan a una hipérbola con centro en elorigen y eje focal sobre el eje Y?

De acuerdo a la lectura anterior, contesta acertadamente lassiguientes preguntas.


C X

Y



201


Al representar los puntos en el plano coordenado, podemos identificar el valor de losparámetros a y c; en este caso a = 1 y c = 2; mientras que el vértice y el foco restante son(-1, 0) y (-2, 0).

Falta determinar el valor del parámetro “b”. Este lo obtenemos de la relación Pitagórica c 2 = a2 –b2. Despejando b 2 = c2 –a2 = (2)2 – (1)2 = 4 -1 = 3.

En este caso b 2 = 3, sacando raíz cuadrada en ambos miembros, obtenemos el valor de.

Sesión45

Determina la ecuación ordinaria de la hipérbola, obtén surepresentación geométrica si tiene centro en el origen, vértice en (1,0)y foco en (2,0).

Determina la ecuación ordinaria y la gráfica de la hipérbola apartir de elementos conocidos.

Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retosteniendo en cuenta los objetivos que persigue.

Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.


x

y

V1V2F1F2



202

La longitud del lado recto es .

.

Para obtener la grafica de lahipérbola, localizaremos losextremos del eje conjugado ytracemos los lados rectos en cadafoco.

Dibujemos un rectángulo quepase por los puntos V 1, V2, B1 y B2 y tracemos las asíntotaspor los vértices del rectángulo.

x

y

V1V2 F1F2

B1

1.5 1.7

x

y



203

Por último tracemos la hipérbola, partiendo del vértice y haciéndola pasar por losextremos de cada lado recto.

Por la posición del eje focal, la ecuación ordinaria de la hipérbola que utilizaremos es:

Al sustituir los valores de a2 = 1 y b2 =3 obtenemos la ecuación:

Las ecuaciones de las asíntotas son:

El valor de la excentricidad es:

x

y



204


El centro de la hipérbola está en el origen, uno de los vértices es el punto (0, 2) y lalongitud de su eje conjugado es 4.

1. ¿Cuál es la coordenada del otro vértice?

2. ¿Cuál es el valor de los parámetros a y b?

3. ¿Cuál es el valor del parámetro c?

4. ¿Cuál es la longitud del lado recto?

5. ¿Cuál es el valor de su excentricidad?

6. ¿Cuál es la ecuación de la hipérbola?

7. ¿Cuáles son las ecuaciones de sus asíntotas?

Ejercicio no. 15

Reúnete en equipos de tres integrantes y determina la ecuación dela hipérbola y obtén su gráfica.

Grupo



205

8. Localiza los elementos de la hipérbola en el plano y obtén su gráfica.

X

Y



206

En la siguiente tarea, deberás obtener la ecuación ordinaria de la hipérbola con centro enel origen y las siguientes opciones.

1. El eje transverso está sobre el eje X y su excentricidad es e = 3 / 2

2. El eje focal mide 8 y uno de los vértices es el punto (0,-2)

3. Uno de los vértices es el punto (-3,0) y la ecuación de una de las asíntotas es y = 2/3 x .

Nombre _______________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha _________________________________________________

Tarea no.4



207

Por las coordenadas del centro, podemos determinar los valores de h = 2 y k =3. EL ejefocal es paralelo al eje X por lo tanto la ecuación que describirá a nuestra hipérbola es laecuación:

Recordemos que la distancia del vértice al centro la representa el pa rámetro “a” en estecaso a = 3.

La longitud del eje conjugado es 2b = 4, por consiguiente b = 4/2 = 2.

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior, esta queda determinada por:

Para obtener la gráfica de la hipérbola, iniciaremos con la determinación del parámetro“c”;

Sesión46

Determina la ecuación ordinaria de la hipérbola, con centro en elpunto (2, 3), uno de los vértices es el punto (5, 3) y la longitud del ejecon u ado es 4



208

Representemos primeramente el centro de la hipérbola, los vértices, focos y extremos deeje conjugado como se muestra en la gráfica .

Recordemos que el lado recto es el segmento perpendicular a cada uno de los focos yque su longitud está determindad por :

Realicemos los trazos de cada uno de los lados rectos, y dibujemos un rectángulo quepase por los extremos del eje conjugado y por los vértices .

X

Y

V1 V2 F1 F2

B1

B2

C

X

Y



209

Por último tracemos las asíntotas y la hipérbola.

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación a el tema visto. Realiza cada una de ellas de acuerdo a

como se te indique en cada caso.

X

Y

Determina la ecuación ordinaria con centro fuera del origen de lahipérbola, en cada uno de los siguientes casos.




210

1. El centro es el punto (1, 2), uno de los vértices es el punto (-1,2) y la longitud deleje conjugado es 4.

2. El centro es el punto (3, 1) uno de los vértices es el punto (3, 2) y uno de los focoses el punto (3, 3).

3. Los vértices de la hipérbola son los puntos (1, 0) y (5,0); su eje conjugadomide 6 unidades.



211


1. Obtén la gráfica de la hipérbola si el centro es el punto (-1, 1), uno de los vérticeses el punto (-1, -1) y uno de los focos es el puntos es (-1, -2).

X

Y

Nombre _______________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha _________________________________________________

Tarea no.5



212

2. El centro de la hipérbola es el punto (2,2), uno de los extremos del eje conjugadoes el punto (2, 3) y la longitud del eje transverso es 4. Determine la longitud del ladorecto.

3. El centro de una hipérbola es el punto (3, 0), uno de los vértices es el punto (3,2) yuno de los focos es el punto (3,5).



214

Para el caso de la ecuación ordinaria:

Multiplicamos ambos miembros de la ecuación por 12

Simplificando los cocientes obtenemos:

3(x-3)2 - 4(y+1)2 = 12 Desarrollando los binomios la ecuación se convierte en:

3(x2 -6x+9) – 4(y2 +2y+1) =12 Realizando los productos indicados:

3x2-18x+27 - 4y2- 8y- 4 = 12 Ordenando los términos e igualando a cero.

3x2 -4y2 -18x -8y +27- 4-12 = 0 Reduciendo los términos semejantes:

3x2 -4y2 -18x -8y +11 = 0 representa la ecuación general.

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación al tema. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se teindique en cada caso.

1.

Ejercicio no.17

Reúnete en equipos de tres integrantes y determina la ecuacióngeneral de la hipérbola a partir de la ecuación que se presenta.

Grupo



215

2.

3.

4.



216



217

Nombre _______________________________________________

Grupo ____________________ Turno ______________________

Fecha _________________________________________________

Basándote en lo aprendido en clase, realiza correctamente cada uno delos siguientes ejercicios

1. Una hipérbola tiene centro en el origen uno de sus vértices es el punto (2,0) y el ejeconjugado mide 6. Determine su ecuación general.

2. EL centro de una hipérbola es el punto (-2 ,1), uno de sus vértices es el punto (0 ,1) y lalongitud del eje conjugado es 2. Determine su ecuación general.

3. Los focos de una hipérbola son los puntos (2,-2) y (2, 4). La longitud del eje conjugadoes 4, determine la ecuación general.

Tarea no.5



218



219

Por la forma de la ecuación, podemos determinar que es de la forma:

La cual representa una hipérbola con eje focal paralelo al eje X, las

coordenadas de su centro están en (-2,-4). El valor de y el valor de.

Las coordenadas de los vértices son (-0.27,-4) y (-3.73, -4); las coordenadas de losextremos del eje conjugado son (-2, -2.59) y (-2, - 5.41).

Para obtener las coordenadas de los focos es necesario determinar el valor de “c”

.

Las coordenadas de los focos son: (0.23,-4) y (-4.23.-4)

La longitud del lado recto es:

Sesión48

Determinar los elementos de la hipérbola y su gráfica si tiene porecuación:



220

Representando estos valores en el plano de coordenadas, la gráfica de la hipérbola quedadeterminada por la figura siguiente.

X

Y



221

Las actividades siguientes te permitirán desarrollar tus conocimientosen relación al tema. Realiza cada una de ellas de acuerdo a como se teindique en cada caso.

1. La ecuación ordinaria de la hipérbola es:

Determinen los elementos de la hipérbola y representen su gráfica en el plano decoordenadas.

X

Y

Ejercicio no.18

Con ayuda de tu profesor, reúnete en equipos y resuelvan cadauna de las siguientes situaciones.

Grupo



222

2. Determine las coordenadas del centro de la hipérbola si esta tiene por ecuación:

3. Determine la longitud del lado recto de la hipérbola si tiene por ecuación ordinaria:

4. Determine el valor de la excentricidad de la hipérbola si esta tiene por ecuación:



223

La realización de los siguientes ejercicios, te permitirá llevar a lapráctica tus aprendizajes adquiridos.

Uno de los comportamientos de algunos cuerpos celestes del espacio, es que siguentrayectorias hiperbólicas con relación a un punto determinado.

Supongamos que un grupo de meteoros siguen una trayectoria hiperbólica como semuestra en la figura. La tierra en este caso representa el centro de la hipérbola y está auna distancia 6.5x106 km de distancia del vértice que representa el punto de retorno máscercano por donde pasa el meteoro y el sol representa uno de los focos de la hipérbolacuya distancia a la tierra es de 150x10 6 km.

¿Cuál sería una ecuación que nos describiera la trayectoria de los meteoros si tomamos

un plano de coordenadas con centro en la tierra?

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno __________________

Fecha _________________________________________________


Ejercicios para aplicar lo aprendido en casos de la vida



224

Instrucciones: A continuación se te presentan una serie de preguntas de opciónmúltiple relacionadas con los temas de la Unidad. Esfuérzate por contestarlassubrayando la respuesta correcta. Las respuestas podrás encontrarlas al final delcuaderno de trabajo.

1. Es el lugar geométrico de todos aquellos puntos que equidistan tanto de un punto fijollamado foco, como de una recta fija llamada directriz.

a) Rectab) Elipsec) Parábolad) Hipérbolae) Circunferencia

2. Todas ellas corresponden a las cónicas, excepto:

a) Circunferenciab) Rectac) Elipsed) Hipérbolae) Parábola

3. Es el lugar geométrico de todos aquellos puntos cuya suma de las distancias a dospuntos fijos llamados focos es siempre constante:

a) Circunferenciab) Rectac) Elipsed) Hipérbolae) Parábola

4. La ecuación x2 = 4py es la representación analítica de la:a) Rectab) Elipsec) Parábolad) Hipérbolae) Circunferencia

Nombre ________________________________________________

Grupo ________________________ Turno ___________________

Fecha _________________________________________________

Autoevaluación



225

5. La ecuación es la representación analítica de una:

a) Rectab) Elipsec) Parábola

d) Hipérbolae) Circunferencia

6. La ecuación de una parábola con vértice en el origen y foco en (-2, 0) corresponde a:

a) x2 = 8yb) x2 = -8yc) y2 = 8xd) y2 = -8xe) y2 = -4x

7. Una elipse tiene centro en el origen; uno de sus vértices es el punto (-2, 0) y la longituddel eje conjugado es 4. Su ecuación ordinaria corresponde a:

a)

b)

c)

d)

e)

8. La ecuación general de la elipse que tiene por ecuación corresponde a:

a) 2x2 +4y2 = 8b) 4x2 + 2y2 = 0c) 4x2 + 2y2 + 8 = 0d) 4x2 + 2y2 -8 = 0e) 2x2 + 4y2 -8 = 0



226

9. El centro de una elipse es el punto (-3, 2), uno de sus vértices es el punto (2, 2) y lalongitud del eje conjugado es 6. ¿Cuál es su ecuación ordinaria?

a)

b)

c)

d)

e)

10. El vértice de una parábola es el punto (0, 2), si el foco está en el origen, ¿cuál es suecuación ordinaria?

a) x2 = 8yb) x2 = -8c) y2 = 8xd) y2 = -8xe) y2 = -4x

11. Si una cúpula de forma elíptica tiene una longitud de 90 metro y una altura de 30metros. Aplicando la propiedad de reflexión de las elipses, ¿A qué distancia del centro dela cúpula se deben situar dos personas para que al hablar se escuchen perfectamente?a) 33.5mb) 40 mc) 25.3 md) 34.4me) 28.9 m

12. La excentricidad de una elipse es ¾ mientras que la longitud del eje mayo es 8. ¿Cuáles la longitud del eje menor?

a) 4.32b) 5.29c) 2.2d) 1.56e) 6.31



227

13. Es el lugar geométrico de todos los puntos cuyo valor absoluto de la diferencia de lasdiferencias de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre constante.

a) Rectab) Hipérbolac) Elipsed) Circunferenciae) Parábola

14. Determine el valor de la excentricidad de la hipérbola si esta tiene por ecuación:

a) 2.23b) 3.21c) 1.29d) 1.45e) 6.78

15. La ecuación ordinaria de la hipérbola es determine su ecuacióngeneral.

a) x2 + y2 -18x .16y - 53 = 0b) x2 + y2 -18x .16y - 42 = 0c) x2 + y2 -18x .16y - 24 = 0d) x2 + y2 -18x .16y+ 43 = 0e) x2 + y2 -18x .16y - 43 = 0



228


Evaluación del desempeño (ejercicios):

En equipo

No. Indicador Cumplió Ejecución ObservacionesSí No Ponderación Calif.1 Se integró al equipo. 0.4


0.4


0.4


0.4


0.4

Calificación de esta evaluación 2


Evaluación del desempeño (ejercicios):

Individual

No. Indicador Cumplió Ejecución ObservacionesSí No Ponderación Calif.1 Mostró interés por el

tema.0.4


0.4


0.4


0.3





229

Evaluación de productos (tareas y ejercicios aplicados a la vida cotidiana):


1 Resolvió el total de losejercicios

0.3

2 Resolvió correctamentelos ejercicios

0.5

3 Entregó en tiempo yforma indicada losejercicios.

0.4


Tabla de ponderación1 = sí cumplió 0 = no cumplió

Ejecución: multiplicación del cumplimiento por la ponderación

Evaluación de productos (investigaciones):


1 Entregó en tiempo yforma

0.1

2 La información fueclara y acorde al tema

0.1

3 Presentación deltrabajo 0.1Calificación de esta evaluación 0.3




230

CRITERIOS DE EVALUACIÓNCRITERIO: PORCENTAJE:Producto 15%

Desempeño 35%Conocimiento 50%

Total: 100%

RESPUESTAS A LAAUTOEVALUACIÓN

UNIDAD IREACTIVO: OPCI N

CORRECTA:1 C2 E3 B4 A

5 C6 E7 D8 A9 D

10 B11 A12 C13 A14 C

15 A16 C17 D18 E19 A20 D


UNIDAD 3REACTIVO: OPCI N

CORRECTA:1 C2 B3 C4 C

5 D6 D7 B8 E9 E

10 B11 A12 A13 B14 C

15 E


UNIDAD 2REACTIVO: OPCI N

CORRECTA:1 A2 A3 A4 C5 C6 A7 A8 C9 B10 B11 B12 A13 D14 A

15 B



231

GLOSARIO

Abscisa: Nombre que se le da a la coordenada en x de un punto en el plano coordenado.

Altura: La altura de un triángulo, respecto de uno de sus lados, se define como la rectaperpendicular a dicho lado que pasa por el vértice opuesto .

Ángulo de inclinación: Ángulo formado por una recta y el eje X y que se mide a partirdel eje X en el sentido contrario a las manecillas del reloj.

Área: Medida de la superficie de una figura plana.

Baricentro: Es el punto en el que se encuentran las medianas. En un cuerpo real deforma triangular, el baricentro es el centro de masa (de ahí su nombre, gr. baros ="gravedad"), es decir, el punto desde el cual se puede tomar el cuerpo sin que manifiestetendencia a girar. El baricentro es siempre interior al triángulo.

Bisectriz: La bisectriz de un triángulo se define como la recta que pasa por uno de susvértices, dividiendo al ángulo en dos partes iguales.

Centro: Nombre que se le da al punto de intersección de los ejes coordenados.

Circuncentro: Es el punto en el que se encuentran las mediatrices. Este punto nosiempre es interior al triángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior; en elcaso de los triángulos rectángulos, pertenece a la hipotenusa.)

Circunferencia: Lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia a un punto fijollamado centro es siempre constante.

Coordenadas: Valores específicos para localizar un punto determinado.Distancia: Espacio o separación entre dos puntos.

Ecuación: Expresión algebraica que representa analíticamente a una figura geométrica yque es válida para determinados valores de las variables.

Eje Conjugado: Segmento perpendicular en el punto medio del eje focal y transverso dela hipérbola.

Eje mayor: Nombre que se le da al segmento que los vértices de la elipse.

Eje Transverso: Segmento que une los vértices de la hipérbola y que pasa pos su centro.Elipse: Lugar geométrico de todos los puntos cuya suma de las distancias a dos puntofijos llamados focos es siempre constante.

Equidistante: La misma distancia.

Focos: Puntos particulares de la parábola, elipse e hipérbola.



232

Grado: Unidad de medida de los ángulos.

Hipérbola: Lugar geométrico de los puntos cuyo valor absoluto de la diferencia de susdistancias a dos puntos fijos llamados focos, es siempre constante.

Incentro : Es el punto en el que se encuentran las bisectrices. El incentro es siempreinterior al triángulo, de ahí su nombre.Mediana: La mediana correspondiente a uno de sus vértices, se define como la recta queune dicho vértice del triángulo con el punto medio del lado opuesto.

Mediatriz: La mediatriz de un lado de un triángulo se define como la recta perpendicular adicho lado que pasa por su punto medio.

Ortocentro : Es el punto de encuentro de las alturas. Este punto no siempre es interior altriángulo. (En los triángulos con un ángulo obtuso, es exterior. En el caso de los triángulosrectángulos, coincide con el vértice del ángulo recto).

Pendiente: Se define como la tangente del ángulo de una recta, mide el grado deinclinación de la misma con respecto a su ángulo de inclinación.

Radio vector: Segmento de recta con una flecha en un extremo indicando una dirección.

Razón: Es la comparación entre dos cantidades mediante una división o una diferencia.

Recta: Conjunto de puntos que pertenecen al mismo lugar geométrico y que tiene lamisma pendiente.

Rectas paralelas: Nombre que reciben dos rectas que no se intersectan por más que seprolongan y que tienen la misma pendiente.

Rectas perpendiculares: Nombre que reciben las rectas que al intersectarse formanángulos de 90 ° y cuyo producto de sus pendientes es igual a -1.

Recta de Euler: (Pronúnciese óiler ) es la recta que contiene al ortocentro, el baricentro yel circuncentro.

Regla: Instrumento utilizado para trazar rectas.

Segmento de recta : Parte proporcional de una recta.

Semisuma: Es la mitad de una suma.

Transportador: Instrumento utilizado para medir en grados el tamaño de un ángulo.

Triángulo: Polígono de tres lados.



233

B I B L I O G R A F I A

1. Lheman, H. Charles.Geometría Analítica Ed. Limusa. México.

2. Swokowski, Earl W. \ Cole, Jeffery A., Coaut. \ Muñoz, Jorge Humberto(1998). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica.9a. ED. México.

3. Leithold, Louis. (1994). Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Editorial OXFORD UNIVERSITY PRESS. México.

4. Fleming, W. (1991). Algebra y Trigonometría con Geometría Analítica. PRENTICE-HALL. México.

5. Peterson, John (1998). Matemáticas básicas. Álgebra, trigonometría ygeometría analítica. Compañía editorial Continental (CECSA), México.

6. Stanley A. Smith, Randall I. Charles, John A. Dossey, Mervin L. Keedy L.Bittinger. (1998). Algebra, Trigonometría y Geometría Analítica.ED.Pearson.



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Cuaderno de Trabajo_geometria Analitica

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