Cuarto periodo ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA · FORMA PUNTO PENDIENTE PARA LA ECUACIÓN DELA...

Matemática 10 Grado. I.E. Dolores María Ucrós de Soledad. INSEDOMAU Cuarto periodo Profesor: Blas Torres Suárez. Versión 3.0

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Cuarto periodo ELEMENTOS DE GEOMETRIA ANALITICA

Derecho básico de aprendizaje: Explora y describe las propiedades de los lugares geométricos y de sus transformaciones a partir de diferentes representaciones. (ver DBA #5 grado 10º. Página 76. Ministerio de Educación Nacional (2016). Derechos Básicos de Aprendizaje. Matemáticas V.2. Bogotá Derecho básico de aprendizaje: Soluciona problemas básicos en el plano cartesiano (ver DBA #7 grado 10º. Página 2 de 5. Ministerio de Educación Nacional (2015). Derechos Básicos de Aprendizaje Matemáticas. Bogotá. Indicadores de logros:

• Hallar la distancia y el punto medio entre dos puntos del plano cartesiano

• Hallar la ecuación de la recta.

• Identificar los elementos de la circunferencia, la parábola y la elipse y hallar sus ecuaciones.

Secuencias de aprendizaje:

• Distancia y punto medio entre dos puntos.

• La Línea recta.

• La circunferencia, la parábola, concepto, gráfica y ecuaciones.

• La elipse, concepto, gráfica y ecuaciones.


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Elementos de Geometría Analítica Distancia entre 2 puntos:

Se puede demostrar con facilidad que la distancia d entre los puntos ),( 111 yxP

y ),( 222 yxP , es:

2

12

2

12 )()( yyxxd

Punto medio:

Además el punto medio entre los puntos P1 y P2 es el punto M, determinado por:

)2

,2

( 2121 yyxxM

Ejercicios:

1) En cada uno de los ejercicios del 1 al 5 realiza lo siguiente:

a) Encuentra la distancia d(A, B) entre los puntos A y B. b) Halla el punto medio del segmento AB 1) A(4,-3) ; B(6,2) 2) A(-5,0) ; B(-2,-2) 3) A(7,-3) ; B(3,-3) 4) A(-1,5) ; B(3,-5) 5) A(2,-3) ; B(-4,5)


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PENDIENTE DE UNA RECTA Definición:

Sea L una recta que no es paralela al eje y ; y sean ),(),( 221111 yxpyyxp puntos

diferentes de L . Entonces la pendiente m de la recta L se define así:

12

12

xx

yym

Si L es una recta paralela al eje Y, la pendiente no está definida. Ejercicios: Traza la recta para cada par de puntos y encuentra la pendiente. 1) A(2,3) ; B(4,8) 2) A(-6,0) ; B(0,6) 3) A(1,3) ; B(10,3) 4) A(1,7) ; B(1,-1) 5) A(-3,2) ; B(-3,-3) FORMA PUNTO PENDIENTE PARA LA ECUACIÓN DELA RECTA

Consideremos una recta que pasa por los puntos ),( 111 yxP y un punto ),( yxP

cuya pendiente es m

Por la fórmula de la pendiente tenemos que:

1

1

xx

yym

o )( 11 xxmyy


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Esta última ecuación nos permite determinar la ecuación de una recta de

pendiente m que pasa por un punto fijo ),( 11 yx

A la expresión )( 11 xxmyy se le conoce como Ecuación de la forma

Punto Pendiente. Ejercicios: I. En cada uno de los siguientes ejercicios halla la ecuación de la recta que

pasa por el punto dado y tiene la pendiente indicada (Bosqueja un gráfico en cada caso)

1) (-1,2); m=3 2) (2,-3); m=-2 3) (4,0); m=2/3 4) (0,-3); m=1/4 5) (-5,1); m=0 6) (-5,1); m=indefinida II. Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P1 y P2 : 1) P1(5,-1);P2(0,3) 2) P1(3,4);P2(3,6) 3) P1(-2,3); P2(4,3) III. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y es paralela al eje Y IV. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (2,-3) y es paralela al eje X FORMA PENDIENTE-ORDENADA AL ORIGEN O PENDIENTE-INTERSECCION La ecuación de la recta puede expresarse de distintas maneras. Supongamos que la pendiente de una recta es m y su intersección con el eje Y es ).,0( b

Si elegimos ).,0( b como ),( 111 yxP y aplicamos la fórmula punto pendiente,

obtenemos:

)0( xmby o sea bmxy ;

esta última expresión se llama ecuación de la recta en forma Punto-Ordenada al Origen o Punto-Intersección.


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Ejercicios: I. Encuentre la pendiente de cada recta y su intersección con el eje Y. 1) Y=3X+5 2) 3Y=2X-4 3) Y+2=-4(X-1) 4) 4X+5Y=-20 II. Encuentre la ecuación de la recta si se conoce su pendiente m y su

ordenada al origen (0,b) 1) m=-1; b=-4 2) m=3; b=1 FORMA GENERAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA: La gráfica de una ecuación lineal de la forma cbyax es una recta ;

y recíprocamente toda recta es la gráfica de una ecuación lineal. A la expresión cbyax se le conoce como ecuación general de la recta

(siempre que bya no sean ambos cero).

RECTAS PARALELAS: Teorema: Dos rectas (no verticales) son paralelas si y sólo si tienen la misma pendiente.

Si 21 || LL entonces 21 mm . ( 21 || LL : se

lee L1 paralela a L2) RECTAS PERPENDICULARES: Teorema: Dos rectas con pendientes m1 y m2 son perpendiculares si y sólo si m1.m2=-1

Si 21 LL entonces m1.m2=-1ó m1 =

2

1

m

. (

21 LL : Se lee 1L perpendicular a 2L )


30

Ejercicios: Determinación de la ecuación de una mediatriz.

Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une a

)3,4( con )0,1( . La mediatriz debe pasar por el punto medio del segmento,

entonces lo primero será calcular el punto medio entre los puntos.

5.1,5.12

3,2

3

2

03,

2

14

2,

2

2121

M

yyxxM

La pendiente de la recta que une los puntos (-4,3) y (1,0) es:

5

3

41

30

12

12

xx

yym ; esta recta es perpendicular a la mediatriz; por lo tanto

la pendiente de la mediatriz será 3

51 m y su ecuación será

2

3

3

5

2

3xy ;

que simplificada será 43

5 xy ó 01235 yx

En la gráfica se ilustran el segmento y su mediatriz.


31

Ejercicios diversos: I. Escribe una ecuación para la recta que satisface las condiciones dadas:

a) La recta L tiene pendiente 4 y pasa por el punto (-3,4). b) La recta L tiene pendiente 3 y pasa por el punto (-2,-1). c) La recta T pasa por el origen y tiene pendiente 4.

d) La recta L tiene pendiente 4

1 y ordenada al origen 4

e) La recta L tiene pendiente –1 y corta al eje Y en (0,-3).

f) La recta R tiene pendiente 4

1 e intersección con el eje X es –2

g) La recta R tiene una intersección con el eje X de 5 y una intersección con el eje Y de –1.

h) La recta V es vertical y pasa por el punto (-3,4). i) La recta H es horizontal y pasa por el punto (-3,4). II. ¿Qué pares de rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las

dos cosas?. a) Y=3X-2; 6X-2Y=0 b) X=-2; Y=4 c) X=2(Y-2); Y=-1/2(X-1) d) 2X+5Y=3; 10X-4Y=7 III. Encuentre la recta que pasa por (2,-1) y que: a) pasa por (-3,5) b) es paralela a 2X-3Y=5 c) es perpendicular a X+2Y=3 d) es perpendicular al eje Y IV. Encuéntrese la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas

X+2Y=1 y 3X+2Y=5 y que es paralela a la recta 3X-2Y=4 V. La recta L es perpendicular a la recta 2X+3Y=6 y pasa por el punto

)1,3( . ¿Dónde corta al eje Y?

VI. Determine la ecuación para la mediatriz del segmento de recta que une los puntos donde la recta 5Y-3X=2, intercepta a los ejes.


32

El Círculo: Un círculo se define como el conjunto de todos los puntos de un plano cuya distancia a un punto fijo es constante. El punto fijo se llama el centro, C, y la distancia constante al centro del círculo se llama el radio, r (donde r>0). Coloquemos un círculo de radio r en el plano cartesiano, con el centro en el punto

),( kh , elijamos un punto en el plano y llamémosle ),( yx . Véase en la siguiente

figura:

Círculo con centro en (h, k) y radio r La definición de un círculo nos dice que para que ),( yx esté en el círculo la

distancia del centro ),( kh a ),( yx debe ser r .

Por la fórmula de la distancia, tenemos:

rkyhx 22

Si eliminamos el radical, elevando al cuadrado ambos lados de esta ecuación se obtiene lo siguiente:

222rkyhx

A esta fórmula se le conoce como la forma canónica o forma estándar de la

ecuación de un círculo con centro ),( kh y radio r .

El centro y el radio son todo lo que se necesita para describir o graficar un círculo.


33

Ejemplo 1 Determinar la ecuación de un círculo con:

(a) Centro (2, 5) y radio 6

(b) Centro

3,

2

1y radio 2

Solución :

(a) Si observamos la forma canónica, puesto que el centro es (2, 5), tenemos h = 2 y k = 5; como el radio es 6, r = 6.

222rkyhx Sustituimos 2h , 5k , y 6r

222652 yx

36251044 22 yyxx , ordenando y reduciendo términos

semejantes nos queda:

0710422 yxyx

(b) Puesto que el centro es

3,

2

1, y el radio 2 , tenemos que:

2

1h , 3k y 2r ,

222rkyhx

22

2

232

1

yx

232

1 2

2

yx

Por lo tanto, la ecuación del círculo es

232

1 2

2

yx si desarrollamos los binomios, queda:

04

29622 yxyx

Aunque ambas formas de la respuesta son aceptables, la forma canónica de la ecuación tiene la ventana significativa de facilitar el reconocimiento del centro y del radio.


34

Ejemplo 2 Trazar la gráfica de las siguientes ecuaciones:

(a) 84322 yx (b) 922 yx

Solución

(a) Reconocemos que la ecuación dada está en la forma canónica para la

ecuación de un círculo, 222rkyhx de modo que podemos leer

los valores kh, y r , teniendo cuidado con los signos.

3 xhx , entonces 3 h y ℎ = −3

4 yky , entonces 4k

8r , entonces 8r = 22

Así, el centro del círculo es (-3, 4); el radio es .8.222 Con esta

información, podemos trazar fácilmente la gráfica del círculo, como aparece en la figura siguiente:

84322 yx


35

(b) La ecuación 922 yx también está en forma canónica. (Se puede

pensar como .300 222 yx )

En consecuencia, el centro es (0,0) y el radio es 3. La gráfica se muestra a continuación

Ejemplo 3 Determinar el centro y el radio de 58422 yxyx

Solución Determinaremos el centro y el radio completando el cuadrado.

58422 yxyx

584 22 yyxx

Sumamos 4 y 16 a los dos lados de la ecuación.

164516844 22 yyxx

Reescribimos las expresiones cuadráticas en forma factorizada.

254222 yx

Así, tenemos un círculo con centro 4,2 y radio 525 .


36

Ejercicios En los ejercicios 1-3, escriba una ecuación del círculo con el centro C y el radio r dados.

1. C = (2,3); r = 3

2. C =

4,

2

1; r = 6

3. C =

2,

2

3; r = 7

En los siguientes ejercicios, identifique el centro y el radio del círculo dado.

4. 162322 yx

5. 1622 yx

6. 72222 yx

7. 0622 yyx

8. 14 22 yxx

9. Trace la gráfica de cada uno de los siguientes círculos:

a. 43222 yx

b. 03310622 yxyx .

c. 0912422 yxyx


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La Parábola: Una parábola es el conjunto de puntos en un plano cuya distancia a un punto fijo es igual a su distancia a una recta fija. El punto fijo es el foco y la recta fija es la directriz. Véase la figura siguiente:

Figura 1

La recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz es el eje de simetría, y el punto donde la parábola interseca a su eje de simetría es el vértice. Véase la figura siguiente:

Figura 2

Analizaremos las parábolas que tienen su eje de simetría horizontal o vertical.


38

La parábola con vértice (0,0) Llamaremos p a la distancia entre el foco y el origen (p>0), de modo que la distancia entre el origen y la directriz también es p. Por lo tanto, las coordenadas del foco F son ),0( p y la ecuación de la directriz es py . Véase la figura 3

Figura 3

Por definición de una parábola, si elegimos cualquier punto ),( yxP de la

parábola, la distancia de ),( yxP al foco ),0( pF , es igual a la distancia del punto

),( yxP al punto ),( pxL . (Observe que ),( pxL es el punto que se utiliza para

determinar la distancia perpendicular a la directriz que es la recta y = -p.)

PLPF Utilizamos la fórmula de la distancia

22220 pyxxpyx elevamos al cuadrado a ambos

lados para obtener

2220 pypyx

222 pypyx

22222 22 ppyyppyyx , Lo que implica

pyx 42

A esta fórmula se le conoce como la forma canónica de la ecuación de una parábola con foco ),0( p y directriz py .

Ésta es una parábola con vértice en el origen y que tiene al eje y como su eje de simetría.

Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola 2

3

1xy .

Solución: Para una parábola dada en la forma pyx 42 , sabemos que la

ecuación de la directriz es py y el foco es ),0( p , por lo que necesitamos

identificar p.


39

Podemos escribir la ecuación 2

3

1xy en la forma pyx 42 , despejando

2x :

yxxy 33

1 22

Comparamos esto con la forma canónica para identificar p:

pyx 42

yx 32 Vemos que 4

334 pp .

Por lo tanto, el foco es

4

3,0 y la directriz es

4

3y . Véase la figura 4.

Figura 4.

Ahora analizaremos la parábola con vértice en el origen pero simétrica con respecto del eje x. El foco es )0,( pF y la directriz px , como vemos en la

figura siguiente (fig 5):

Figura 5


40

Como en el caso de la parábola simétrica con respecto al eje y , podemos

deducir la ecuación de la parábola simétrica con respecto al eje x utilizando la

fórmula de la distancia.

Obtenemos lo siguiente: pxy 42 , ésta es la parábola con vértice en el

origen y que tiene como eje de simetría al eje x

Luego: la forma canónica para la ecuación de una parábola con foco )0,( pF y

directriz px es: pxy 42

Observemos más de cerca las diferencias entre las dos formas canónicas: El elemento clave para determinar si la parábola abre hacia arriba (abajo) o hacia la derecha (izquierda) es el término de segundo grado (al cuadrado). Sólo existe un término de segundo grado en la ecuación de la parábola; si existe un término

2x , la parábola abre hacia arriba o hacia abajo (simetría con respecto del eje y),

pero si existe un término 2y , la parábola abra hacia la derecha o hacia la

izquierda (simetría con respecto del eje x).

Ejemplo: Determinar el foco y la directriz de la parábola 22yx .

Solución: Observemos que como existe término 2y (y no existe 2x ), tenemos

una parábola simétrica con respecto del eje x y utilizamos la forma pxy 42 .

Despejamos 2y , en xyyx2

12 22 .

Comparamos esto con la forma canónica de la parábola, con vértice en el origen y simétrica con respecto al eje x para identificar p:

pxy 42

xy2

12 tenemos 8

1

2

14 pp

El foco

0,

8

1 y la directriz es

8

1x . Véase la figura 6

Figura 6


41

Ejemplo: Determinar la ecuación de la parábola con vértice en el origen, si su foco es (0, -3). Solución: Como el foco (0,-3) está sobre el eje y , la parábola es simétrica con

respecto del eje y, su ecuación será de la forma pyx 42 . Como tenemos que

el foco es (0, -3), entonces 3p . Por lo tanto, la ecuación es yx 342 , o

sea yx 122

E J E R C I C I O S P R O P U E S T O S

Encuentra el vértice, foco y directriz de la parábola. Traza su gráfica, mostrando el foco y la directriz.

1. 28 xy 2. xy 32 2 3. 1822

yx

4. 22y = 341 x 5. 242 xxy 6. 10202 yx

Encuentra una ecuación para la parábola de la figura: 7.

8.


42

LA ELIPSE: Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos del plano (llamados focos) sea una constante positiva. La elipse es muy útil para proporcionar un modelo matemático de varios fenómenos físicos, como las órbitas de los planetas. Podemos construir una elipse en papel así: clava dos tachuelas en el papel en dos puntos cualesquiera F y 'F y sujeta los extremos de un trozo de hilo a las tachuelas. Tras enrollar el hilo alrededor de un lápiz y tensarlo, igual que en el punto P de la figura siguiente:

Figura 7

Mueve el lápiz de modo que el hilo se mantenga tenso, La suma de las distancias PFd , y PFd ,' es la longitud del hilo y, por lo tanto, es constante;

así, el lápiz trazará una elipse con focos en F y F `. El punto medio del segmentoFF` se llama centro de elipse. Si cambiamos las posiciones de F y 'F pero

mantenemos fija la longitud del hilo, podemos variar considerablemente la forma de la elipse. Si F y 'F están a una distancia tal que ',FFd sea casi la misma

que la longitud del hilo, la elipse es plana. Si ',FFd está cercana a cero, la

elipse es casi circular. Si F = 'F , obtendremos un círculo con centro .F

A fin de obtener una ecuación sencilla para una elipse, escojamos el eje x como

la recta que pasa por los focos F y 'F , con el centro de la elipse en el origen. Si F tiene coordenadas 0,c con c > 0, entonces, como en la figura 8,

'F Tiene coordenadas 0,c ; por lo tanto, la distancia entre F y 'F es .2c

La suma constante de las distancias de P desde F y 'F se denotará con .2a

Para obtener puntos fuera del eje x , debemos tener a2 > ;2c esto es, a > c . Por

definición, yxP , está en la elipse si y sólo si

aFPDFPd 2',,

Figura 8.

Si usamos la fórmula de la distancia y eliminamos radicales, llegamos a la siguiente ecuación:


43

12

2

2

2

b

y

a

x, en donde 2b = .22 ca

Dado que c > 0 y ,222 cab se deduce que 22 ba y, por lo tanto, a > .b

Podemos encontrar las intersecciones en x de la elipse, haciendo 0y en la

ecuación, de manera que obtendremos 1/ 22 ax o bien ;22 ax en

consecuencia, las intersecciones x son a y .a Los puntos correspondientes

0,aV y 0,aV de la gráfica se llaman vértices de la elipse (fig. 9).

El segmento de recta VV ' es el eje mayor. De igual forma, si hacemos 0x en

la ecuación obtenemos: ,1/ 22 by ó .22 by Por lo tanto, las intersecciones en

y son b y .b El segmento entre bM ,0' y bM ,0 se denomina eje menor de

la elipse.

Figura 9.

Del mismo modo, si tomamos los focos sobre el eje ,y obtenemos la ecuación

.12

2

2

2

a

y

b

x

En este caso, los vértices de la elipse son a,0 y los puntos extremos del eje

menor son 0,b según se expone en la figura 10.

Figura 10


44

Ejemplo: Graficar las siguiente elipse e identificar los focos: 1916

22

yx

.

Solución

(a) Para graficar una elipse con el centro en el origen, comparamos nuestra

ecuación con la forma canónica de la elipse .10

2

2

2

2

ba

x y obtenemos

4162 aa y 392 bb . (Recuerde que a y b son

positivos) Graficamos los vértices 0,4 y los extremos del eje menor, 3,0 y

graficamos la elipse, como se muestra en la figura 11.

Figura 11.

Observe que a > b y 77916222 cbac . Por lo

tanto, los focos son 0,7 .

Ejemplo: Graficar 16416 22 yx Identificar sus focos

Solución Primero escribiremos la ecuación en forma canónica. Para obtener un 1 del lado derecho, debemos dividir entre16.

16416 22 yx Dividimos ambos lados entre 16

16

16

16

4

16

16 22

yx

Simplificamos.

141

22

yx

La ecuación está ahora en

forma canónica. Si comparamos nuestra ecuación con ambas formas canónicas de la elipse,

observamos que el denominador de 2y es mayor que el denominador de 2x ;


45

por lo tanto, como a debe ser mayor que b, utilizamos la segunda forma

12

2

2

2

a

y

b

xuna elipse con foco en el eje y. Por lo tanto,

242 aa y 112 bb

Graficamos los vértices 2,0 y los extremos del eje menor 0,1 y trazamos

la gráfica de la elipse, Véase la figura 12.

Observe que ba y 3314222 cbac .Los focos son

3,0 .

Figura 12

Ejercicios En los ejercicios 1-5, identifique los vértices y los focos de la elipse.

1. 1949

22

yx

2. 11812

22

yx

3. 1924

22

yx

4. 225925 22 yx

5. 30302 22 xy

En los ejercicios 6-8, grafique la elipse e identifique los vértices y los focos.

6. 1949

22

yx

7. 2412 22 yx

8. 1283 22 yx


46

En los ejercicios 9-11, escriba la ecuación de la elipse utilizando la información dada.

9. La elipse tiene focos en (2, 0) y (-2, 0) y vértices en (4, 0) y (-4, 0) 10. La elipse tiene focos en (0, 3) y (0, -3) y vértices en (0, 5) y (0, -5) 11. La elipse tiene centro en el origen; su eje mayor es horizontal, con

longitud 8; la longitud del eje menor es 4.

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