Decisiones bajo incertidumbre - nota de clase

[opacity=1]

Decision bajo incertidumbre

Mauro Gutierrez Martınez

Universidad Nacional Mayor de San Marcos

gutierrez [email protected]

septiembre de 2016

Mauro Gutierrez Martınez (UNMSM) Decision bajo incertidumbre septiembre de 2016 1 / 27

[opacity=1]

Decisiones bajo incertidumbre (intuicion)

Los agentes economicos toman decisiones bajo entornos en los cualesno conocen los resultados exactos de sus decisiones.

Consideremos el siguiente ejemplo:Un individuo debe decidir si sale a la calle abrigado (a), o no abrigado (na).La naturaleza puede tomar 2 estados: que haga frıo (f ), o que haga calor(nf ).Dependiendo de la combinacion de la accion tomada por el individuo y elestado de la naturaleza, se produce un resultado. En este ejemplo, seproducen 4 posibles resultados { {a, f } , {a, nf } , {na, f } , {na, nf }}.(...)


[opacity=1]

Decisiones bajo incertidumbre (intuicion)

Consideremos el siguiente ejemplo:(...)

El individuo tiene preferencias sobre estos resultados. Asumiendo que prefierael invierno, pero que no le gustarıa enfermarse, una secuencia de preferenciapodrıa ser la siguiente sobre los resultados podrıa ser la siguiente:{a, f } � {a, nf } � {na, f } � {na, nf }. Una forma sencilla de lograr esteordenamiento, es a traves de una funcion de utilidad sobre estos resultados.Sin embargo, el individuo no decide sobre las consecuencias o resultados, sinosobre las acciones; es decir, si abriga o no. Por tanto, debe evaluar losposibles resultados de sus acciones y la ocurrencia de los eventos de lanaturaleza. Ello implica que deba tener conocimiento de las probabilidadesde ocurrencia de los estados de la naturaleza.


[opacity=1]

Decisiones bajo incertidumbre

Un individuo puede tomar decision bajo incertidumbre si dispone de lossiguientes elementos:

Un conjunto de acciones disponibles A = {1, ..., a, ...,A}.Un conjunto de estados de la naturaleza S = {1, ..., s, ...,S}.Una funcion de resultados C (a, s) = cas que muestra todos losresultados surgidos de combinar acciones con los diferentes estados dela naturaleza.

Una funcion de utilidad sobre los resultados v(cas) que permiteordenar las preferencias sobre los resultados.

Una distribucion de probabilidades Π(s) sobre los distintos estados dela naturaleza.


[opacity=1]

Utilidad esperada y utilidad de Bernulli

Definicion: Funcion de utilidad de Bernulli.

Es una funcion v(.) que otorga un nivel de utilidad a una consecuenciacas .

Definicion: Funcion de utilidad esperada.

Es una funcion U(.) definida sobre el espacio de acciones A, que permitecomparar distintas acciones, dada una distribucion de probabilidad sobre elconjunto de estados de la naturaleza.Matematicamente esta definida como:

U(a) = π1v(ca1) + ...+ πSv(caS) =∑S

s=1 πsv(cas)


[opacity=1]

Loterıa

Definicion: Loterıa.

Una loterıa (l) es un conjunto de resultados posibles, donde a cadaresultado se le asocia una probabilidad de ocurrencia.Matematicamente esta definida como:

l = (ca1, ..., caS︸︷︷︸consecuencias

; π1, ..., πS︸︷︷︸probabilidades

)

Definicion: Utilidad esperada de una loterıa.

Es la esperanza matematica de las utilidades de los resultados v(cas)asociada a una loterıa l .


[opacity=1]

Actitudes frente al riesgo

Definicion: Resultado cierto.

Dada una loterıa l1 = (c1, c2;π1, π2), un resultado cierto (c), se definecomo:

c = π1c1 + π2c2

Definicion: Aversion, neutralidad y afinidad al riesgo.

Un agente es:

adverso al riesgo si prefiere c a l1.

neutral al riesgo si le resultan indiferentes c y l1.

amante al riesgo si prefiere l1 a c .


[opacity=1]

Ejemplo

Sea una loterıal1 = {0, 500; 0.5, 0.5}

El resultado ciertoc = 0.5x0 + 0.5x500 = 250M = (c , v(c)) = (250, v(250))N = (c , 0.5v(0) + 0.5v(500))

En este caso (adverso al riesgo)M � N

Figure: Loterıa l1


[opacity=1]

Desigualdad de Jensen

Figure: Aversion al riesgo y concavidad


[opacity=1]

Desigualdad de Jensen

Si v ′′(c) < 0⇒ Ev(c) < v(c) el agente es adverso al riesgo

Si v ′′(c) = 0⇒ Ev(c) = v(c) el agente es neutral al riesgo

Si v ′′(c) > 0⇒ Ev(c) < v(c) el agente es amante al riesgo


[opacity=1]

Equivalente cierto y premio al riesgo

Equivalente cierto.

el valor cierto cEC que dejaal individuo indiferente entrejugar una loterıa y tenerdicho pago fijo.

Premio al riesgo.

Es el pago p que unindividuo esta dispuesto apagar (o dejar de ganar)para no enfrentar un juegojusto y tener un pago fijo(cEC ).

Figure: Premio al riesgo y equivalente cierto


[opacity=1]

Concavidad de la funcion de utilidad Bernulli y aversion alriesgo (I)

Sabemos que:

v(c − p)︸︷︷︸Q′

=∑

πsv(cs)︸︷︷︸N′

Expandiendo ambos lados de esta equivalencia tenemos:

Para el lado izquierdo, asumiendo x = c − p y x0 = c

v(c − p) = v(c)− v ′(c)p


[opacity=1]

Concavidad de la funcion de utilidad Bernulli y aversion alriesgo (II)

Para el lado derecho, asumiendo x = cs y x0 = c

v(cs) = v(c) + v ′(c)(cs − c) + 12v′′(c)(cs − c)2∑

πsv(cs) = v(c) + v ′(c)∑

πs(cs − c)︸︷︷︸0

+ 12v′′(c)

∑πs(cs − c)2

∑πsv(cs) = v(c) + 1

2v′′(c)

∑πs(cs − c)2∑

πsv(cs) = v(c) + 12v′′(c)σ2

c

Uniendo el lado derecho e izquierdo:

v(c)− v ′(c)p = v(c) + 12v′′(c)σ2

c


[opacity=1]

Concavidad de la funcion de utilidad Bernulli y aversion alriesgo (III)

Por tanto:

La prima de riesgo es igual a p = − v ′′(c)v ′(c)

σ2c

2

Si el agente es adverso al riesgo, la prima de riesgo es positiva.

Si la dispersion de la loterıa es amplia, la prima sera alta.


[opacity=1]

Aversion absoluta y aversion relativa al riesgo

Coeficiente de aversion absoluta - Arrow Prat.

A(c) = − v ′′(c)v ′(c)

σ2c

2

Coeficiente de aversion relativo.

R(c) = − v ′′(c)v ′(c) c

Es interesante notar que el premio de riesgo relativo al valor cierto c puedeexpresarse como:

pc = − v ′′(c)

v ′(c) cσ2c

2c2 = R(c)σ2c

2c2

Nota:Cuanto mas rapida la caıda de la utilidad marginal mayor la aversion al riesgo.R(c) puede entenderse como la elasticidad de la utilidad marginal.Mauro Gutierrez Martınez (UNMSM) Decision bajo incertidumbre septiembre de 2016 15 / 27

[opacity=1]

Eleccion optima de bienes estado contingente

Supongamos que un consumidor deriva su utilidad de un unico bien”c”. Por simplicidad podemos pensar que este unico bien es suriqueza en cada estado de la naturaleza.

Este consumidor se enfrenta a 2 estados de la naturaleza s = 1, 2.

Es decir, en el estado s = 1, se se consume c1, mientras que en elestado s = 2 se consume c2.

Supongamos que los resultados que enfrenta el consumidor puedenser representados por una loterıa l = {c1, c2;π1, π2}Por tanto, la utilidad espera de esta loterıa es:

U(l) = π1v(c1) + π2v(c2) con π1 + π2 = 1


[opacity=1]

Eleccion optima de bienes estado contingente (II)

Las curvas de indiferencia de lafuncion de utilidad esperada puedeser representada en un plano querepresenta los consumos en ambosestados de la naturaleza.

Por tanto, la pendiente de las curvasde indiferencia (U = U) es igual a:

∂c2∂c1|U

= −π1v ′(c1)π2v ′(c2)

Por tanto, si el consumidor seubicara en la lınea de certeza (esdecir cuando c1 = c2) entonces:

∂c2∂c1|U

= −π1π2

Figure: Eleccion entre bienesestado-contingente


[opacity=1]

Eleccion optima de bienes estado contingente (III)

Un individuo adverso al riesgo (v ′(.) > 0 y v ′′(.) < 0), presenta curvas deindiferencia convexas al origen. Lo anterior se demuestra analizando lasegunda derivada de la pendiente de la curva de indiferencia.

∂2c2

∂c21

= −π1π2

[v ′′(c1)v ′(c2)−v ′′(c2)

∂c2∂c1

v ′(c1)

[v ′(c2)]2

]∂2c2

∂c21

= −π1π2

[v ′′(c1)v ′(c2)+v ′′(c2)

π1v′(c1)

π2v′(c2)

v ′(c1)

[v ′(c2)]2

]> 0

En la curva de certeza, la convexidad de la curva es igual a:

∂2c2

∂c21

= −π1

π22

v ′′(c)v ′(c) = π1

π2A(c)

Por tanto, mayor A(.)→ mayor convexidad de la curva de indiferencia.


[opacity=1]

Eleccion optima de bienes estado contingente (IV)

Un individuo adverso nunca aceptara una apuesta justa

Dada un dotacion intertemporal{c0

1 , c02

}con ocurrencia probable dada por las

siguientes probabilidades {π1, π2}, la recta de loterıas justas (c0) esta definida por:

π1c1 + π2c2 = π1c01 + π2c

02

Por tanto

∂c2

∂c1|c0 = −π1

π2

El punto preferido por el consumidor se produce en el punto de tangencia entre lacurva de indiferencia y la recta c0

∂c2

∂c1|c0 = ∂c2

∂c1|U

Por tanto, este punto solo se obtiene en la recta de certeza:

∂c2

∂c1|U = −π1

π2


[opacity=1]

Asignacion optima de riesgo (I)

Sea un consumidor que puede trasladar consumos entre estados dado un vectorde precios {p1, p2}

Maxc1,c2U(l) = π1v(c1) + π2v(c2)

s.a.

p1c01 + p2c

02 ≥ p1c1 + p2c2

Por tanto el lagrangiano es definido como:

L = π1v(c1) + π2v(c2) + λ{p1c

01 + p2c

02 − p1c1 − p2c2

}Lo que conlleva a que las cpo sean:

L1 : π1v′(c1)− λp1 = 0

L2 : π2v′(c2)− λp2 = 0

Lλ : p1c01 + p2c

02 − p1c1 − p2c2

Por tanto:

π1v′(c1)p1

= π1v′(c1)p1

= λ

(...)Mauro Gutierrez Martınez (UNMSM) Decision bajo incertidumbre septiembre de 2016 20 / 27

[opacity=1]

Asignacion optima de riesgo (II)

Si el juego es justo, se cumple que: π1dc1 + π2dc2 = 0

Por su parte, en el mercado los intercambios se realizan considerandola siguiente regla:

p1dc1 + p2dc2 = 0

Si el mercado permite intercambiar de manera justa, tenemos:

p1p2

= π1π2

En dicho caso, se cumple que:

v ′(c1) = v ′(c2)⇒ c1 = c2

Si el precio relativo del mercado no representa una apuesta justa, elindividuo aceptara algun riesgo en direccion de la apuesta favorable.


[opacity=1]

Asignacion optima de riesgo (III)

Figure: Eleccion optima: seguro total


[opacity=1]

Contratacion de un seguro (I)

El individuo tiene una riqueza”w”.

Hay un probabilidad π de perder”l”.

Si contrata un seguro puedecubrir ”K” pagando ”γK”.

Por tanto, la dotacion inicial ese = (w − l ,w).

Cuando se asegura, se reasignaγK en s = 2, a cambio deK − γK en s = 1.

−∂c2∂c1

= γKK−γK = γ

1−γ Figure: Riqueza en ambos estados


[opacity=1]

Contratacion de un seguro (II)

El problema de maximizacion queda expresada como:

Maxc1,c2U(c1, c2) = πv(c1) + (1− π)v(c2)

donde

c1 = w − l − γK + Kc2 = w − γK

Por tanto el problema queda definido como:

MaxKU(K ) = πv(w − l − γK + K ) + (1− π)v(w − γK )∂U∂K = (1− γ)πv ′(c1)− γ(1− π)v ′(c2) = 0

πv ′(c1)(1−π)v ′(c2) = γ

1−γ


[opacity=1]

Contratacion de un seguro (III)

Por parte de la empresa:

MaxγB = γK − πK

Si se cobra un γ = π (loterıa justa) ⇒ U ′(c1) = U ′(c2), lo que implica que:

c1 = c2

Notese que

c1 = w − l − γK + Kc2 = w − γK

Por tanto, si es justa la loterıa, hay cobertura completa:

K∗ = l

Antes c2 > c1 → pero en el optimo c1 = c2, ello implica que hay reasignacion derecursos de s = 2 a s = 1.


[opacity=1]

Contratacion de un seguro (IV)

Si no hay un juego justo:γ > π ⇒ γ(1− π) > π(1− γ),por tanto la condicion deoptimizacion del consumidorgenera:

v ′(c1) > v ′(c2)c1 < c2

Es decir:

w − l − γK + k < w − γKK∗ < l

Cuando no se cobra unaloterıa justa, se produce unseguro parcial de la posibleperdida.

Figure: Equilibrio: seguro parcial y total


[opacity=1]

Referencias

Camilo Rubbini (2005)

Decisiones bajo incertidumbre

Trabajo docente 10, Departamento de Economıa-Universidad Nacional de la Plata.


Decisiones bajo incertidumbre - nota de clase

Economy & Finance

Transcript of Decisiones bajo incertidumbre - nota de clase