Derivada

 la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. En términos físicos, representa la cuantía del cambio que se produce sobre una magnitud.

La mayor parte de los cálculos de derivadas requieren tomar eventualmente la derivada de algunas funciones comunes. La siguiente lista incompleta proporciona algunas de las más frecuentes funciones de una variable real usadas y sus derivadas.

Derivada de potencias: si

Donde r es cualquier número real, entonces

Donde quiera que esta función sea definida. Por ejemplo, si  , entonces

Y la función derivada es definida sólo para números positivos x, no para x = 0. Cuando r = 0, esta regla implica que f′(x) es cero para x ≠ 0, lo que la convierte en la regla de la constante (expuesta abajo).

Funciones exponenciales y logarítmicas:

Ejercicios

Razón de cambio

El procedimiento para esto es deducir una ecuación que relacione las cantidades y

después derivar aplicando la regla de la cadena y por ultimo despejar para

encontrar la incógnita.

Se está inflando un globo esférico. Encuentre la razón de aumento del área

superficial  con respecto al radio  , cuando este es de (a)1 pie, (b)2

pies, (c)3 pies.

Sustituimos (a)(b)y(c) en la derivada

Promedio

Suma de todos los valores numéricos dividida entre el número de valores para obtener un número que pueda representar de la mejor manera a todos los valores del conjunto.

Por ejemplo, el promedio de 6 números (3, 4, 2, 2, 5, 2) es

(3 + 4 + 2 + 2 + 5 + 2) ÷ 6 = 3

El promedio de un grupo de números es el mismo que la media aritmética. El promedio entre varias cantidades se obtiene dividiendo la suma de estas cantidades entre el número de ellas.

Ejemplo: Un comerciante tuvo las siguientes ventas: lunes, $ 750; martes, $ 600; miércoles, $ 720; jueves, $ 680; viernes, $ 840, y sábado $ 910. ¿Cuál fue el promedio de las ventas en la semana? 

Promedio =

750 + 600 + 720 + 680 + 840 + 910 = 4500 750

6 6

Promedio = $ 750 diarios

Otra manera de estimar un promedio es localizando la moda, es decir, el dato que tiene la mayor frecuencia o se repite más en una tabla.

Ejemplo 1: En una cena, 19 personas tomaron leche, 23 café, 14 té, 12 atole y 7 chocolate. Poner los datos en una tabla. ¿Cuál es la moda?

Bebida Frecuencias

Leche 19

Café 23

Té 14

Atole 12

Chocolate 7

Total 75

Moda=café

La bebida que tuvo la mayor frecuencia durante la cena correspondió al café.

También por medio de la mediana se puede estimar un promedio. La mediana representa el dato que se encuentra a la mitad de los valores mínimo y máximo de los datos.Dicho de otro modo, es el dato donde arriba de él se halla 50% del total y abajo se encuentra el otro 50%.Cuando el número de casos resulta par, la mediana se determina dividiendo la suma de las frecuencias entre 2, y cuando el número de casos es non, se le suma 1 a la suma de las frecuencias.

Ejemplo 2: De acuerdo con los sueldos que ganan mensualmente los trabajadores de un taller, calcular la mediana. Ya que se trata de 26 trabajadores, se divide entre 2.

La mediana se localiza contando 13 frecuencias de arriba abajo o de abajo hacia arriba.

Sueldos Frecuencias

$ 7 000 1

$ 6 750 2

$ 6 250 6

$ 5 000 8

$ 4 000 4

$ 3 500 3

$ 2 000 2

Total 26

Mediana = $ 5 000

Tablas y gráfica

Para demostrar la distribución de valores relacionados entre sí y para registrar y organizar la información de manera clara y sencilla, nos servimos de diversos instrumentos como tablas y gráficas. Éstos ayudan a que nuestras apreciaciones se efectúen objetivamente.

Las tablas nos permiten ver la frecuencia con que se llevan a cabo ciertas actividades.

Reglas de la multiplicación

Si dos eventos no son independientes, se dice que son dependientes. Se considera que elprimer evento determina la probabilidad del segundo.Si dos eventos, A y B son dependientes, la probabilidad conjunta de que ambos ocurran sedetermina multiplicando la probabilidad de que ocurra el evento A por la probabilidadcondicional de que ocurra el evento B, dado que A ha ocurrido Lo anterior se lee "la probabilidad conjunta de A y B es igual al producto de la probabilidadde A por la probabilidad de B, dado que ha ocurrido A".

Las relaciones   y   son casos especiales de la llamada Regla de la multiplicación, la cual es útil para:

Calcular probabilidades de intersecciones de eventos  con base en probabilidades condicionales.

Esta regla de manera general se puede expresar como:

Sea   eventos tales que  . Entonces

Ejemplo

1. (Inspección de Lotes)

Un lote contiene   items de los cuales   son defectuosos. Los items son seleccionados uno despues del otro para ver si ellos son defectuosos. Suponga que dos items son seleccionados sin reemplazamiento(Significa que el objeto que

se selecciona al azar se deja por fuera del lote). ¿ Cúal es la probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos?.

Solución

Sea los eventos

entonces dos items seleccionados seran defectuosos, cuando ocurre el

evento   que es la intersección entre los eventos   y  . De la información dada se tiene que:

 

así probabilidad de que los dos items seleccionados sean defectuosos es

Ahora suponga que selecciona un tercer ítem, entonces la probabilidad de que los tres  ítems seleccionados sean defectuosos es

1. La probabilidad de que un jefe de familia esté en casa cuando un representante de MCI llame es de 0.40. Dado que el jefe de familia está en casa, la probabilidad de que ocurra un cambio de compañía para las llamadas de larga distancia es de 0.30. Encuentre la probabilidad de que el jefe de familia esté en casa y cambie a MCI para el servicio de llamadas de larga distancia.

P(Casa) = 0.40 ; P(MCI | Casa) = 0.30; P(Casa y MCI) = P(Casa)P(MCI | Casa) = (0.40) (03.0) = 0.12

2. La probabilidad de que cierta persona salga a desayunar es de 0.40 y la probabilidad de que si sale a desayunar gaste más de $5.00 es de 0.75. ¿Cuál es la probabilidad de que salga a desayunar y gaste más de $5.00?

P(Des) = 0.40; P(Gaste | Des) = 0.75 ; P(Des y Gaste) = P(des) P(gaste | Des) = (0.40)(0.75) = 0.30

3. La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad en particular es de 0.7. Dado que el doctor hace un diagnóstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es de 0.9. ¿Cuál es la probabilidad de que el doctor haga un diagnóstico incorrecto y el paciente lo demande?

P(Correcta) = 0.70; P(Incorrecto) = 1- 0.70 = 0.30; P(Demande | Incorrecto) = 0.90; P(Incorrecto y demanda) = (0.30)(0.90) = 0.27

4. Se extraen cinco cartas con reemplazo de una baraja normal de 52 cartas. Encuentre la probabilidad de obtener en todas las extracciones un as.

P(AS y AS y AS y AS y AS) = (4/52) (4/52) (4/52) (4/52) (4/52) = 0.0000027

Nótese que al reponer la carta se generan eventos independientes.

5. Se sabe que la probabilidad de que un jugador de baloncesto enceste en un tiro libre es de 0.40. Si hace 4 intentos de tiro libre

a) ¿Cuál es la probabilidad de que todos sean encestes?

Nótese que el encestar o no es independiente entre un intento y otro

P(Todos encestes) = P(E) P(E) P(E) P(E) = (0.40) 4 = 0.0256

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos un tiro sea enceste?

Usando la regla del complemento, La probabilidad de al menos un enceste es 1 – P(Cero encestes)

P(Cero encestes) = (0.6) 4 = 0.1296

P(Al menos un enceste) = 1 -0.1296 = 0.8704

6. Un estudiante tiene problemas para despertarse en la mañana y llegar a tiempo a clases. Él tiene 3 despertadores puestos con tiempo suficiente para llegar puntual a clases. Si la probabilidad de que funcionen correctamente es de 0.95 y cada despertador funciona de manera independiente,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que sólo uno de los despertadores falle?

Como son 3 despertadores Hay tres formas posibles de que sólo un despertador falle. Pero como funcionan de manera independiente entonces,

P(Sólo uno falle) = 3 (.05)(0.95)(0.95) = 0.1354

b) Si el estudiante depende únicamente del funcionamiento de los despertadores para que llegue a tiempo a clases. ¿cuál es la probabilidad de que llegue puntual a clases?

El estudiante llegará al tiempo si al menos un despertador funciona. Por lo tanto

P(llegar a tiempo)= P(Al menos un despertador funcione) = 1 – P(ninguno funcione) por la ley del complemento.

P(ninguno) = (0.05) (0.05) (0.05) = 0.000125

P(Al menos 1) = 1- P(ninguno) = 1 – 0.000125= 0.999875

Derivada de una constante

Cuando una función esté representada por medio de  , su derivada

equivale a   de la siguiente manera:

Consideremos la siguiente función:  , lo primero a hacer es "bajar" al exponente a multiplicar por la variable y el coeficiente que la acompaña, y de nuevo se halla un nuevo exponente de la misma manera explicada anteriormente:

Para obtener

Cuando una constante acompaña a una variable cuyo exponente es 1 su derivada será el valor de la constante:

Entonces su derivada con respecto a esta variable será:

Puesto que 

Ejemplo:

Si   donde   es un número, entonces 

 

Ejemplos:

Si   entonces 

Si   entonces 

NOTA: La regla dice que la derivada de   es 0.

Nosotros sabemos que la gráfica de   es una horizontal de pendiente cero. También sabemos que la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de su gráfica en ese punto. Esta regla confirma que cada horizontal tiene pendiente cero en cada punto.

Si   donde   es una constante, entonces 

 

 

Ejemplos

Si  , entonces  .

Si  , entonces 

Si  , entonces  .

La pendiente de la gráfica de   en el punto donde   

es   Dado que 

NOTA 1: Esta regla dice en palabras que la derivada de una constante multiplicada por una función es la constante multiplicada por la derivada de la función. En particular,

 

NOTA 2: Suponer que la población de una colonia animal en cualquier momento es 10 veces mayor que la de otra colonia. Si interpretamos la derivada de la función de población como la tasa de crecimiento de la población, entonces, esta regla nos dice que la tasa de crecimiento de la primera población es en cualquier instante 10 veces mayor que la tasa de crecimiento de la población pequeña.

 Derivada de un exponente

Aplicando la definición de la derivada se tiene:

Ejercicios: