DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

Prof. Luis Martínez Catalán Prof. Luis Martínez Catalán 20082008

DERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICASDERIVADAS DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

TEOREMA:TEOREMA:Si la función tiene derivada en “a”;entonces, es continua en “a”

f f

Nota: 1) El recíproco del teorema anterior, no siempre es válido, es decir, una función continua en un punto no implica que tenga derivada en el punto.

2) Una función es diferenciable en si tiene derivada en ese punto y es única.

0xx

3) Una función es diferenciable en un intervalo cerrado , si

tiene derivada en cada punto del intervalo abierto

bxa

bxa

FORMULAS DE DERIVACIONFORMULAS DE DERIVACION

Derivación es el proceso de hallar la derivación de una función diferenciable

- Derivada de la función CONSTANTE

ctec ;cxfySí )( -

Entonces, )(xf 0)(

dxcd

- Derivada de la función POLINOMIAL

Una expresión de la forma

donde es un entero positivo y los coeficientes

son números. Se llama polinomio en x

012

21

1)( axaxaxaxaxP nn

nn

nn

n 0121 ,,...,, aaaaa nnn

El grado de un polinomio es el de la mayor potencia en el polinomio.

Una expresión del tipo , con , que puede escribirse

como el cuociente de dos polinomios, se define como una función racional en x.

)()(xQxP

0)( xQ

Si se tiene una función polinomial en que

entonces se tiene:

;0...;1 0121 aaaaa nnn

nxxfy )( y su derivada es

1)()( nn nxxfxdxd

- Si tiene derivada entonces, , tiene

por derivada

Es decir, “la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de una función”.

- Si y tienen derivadas y si , entonces,

)()( xgxfF

,)(xf )(xf )()( xfcxg

)()( xfcxg

)(xf )(xg

)()( xgxfF

- Derivada de un producto

En general

Si )(...)()()( 321 xfxfxfxfy n

Entonces )(...)()()( 321 xfxfxfxf ndxdy

Es decir, combinando las fórmulas anteriores podemos calcular la derivada de cualquier función polinomial en x.

Ej: Hallar la derivada de 52723)( 245 xxxxxf

Solución:

214815)( 34 xxxxf

- Derivada de un producto

Si y y

entonces,

)(xuu )(xvv ,)()()( xvxuxf

)()()()()( xvxuxvxuxf

Ej: Hallar la derivada de )62()23()( 232 xxxxxxf

y evaluar para 2x

Solución:

)62()32()643()23()( 2322 xxxxxxxxxf

Si 4)2(2 fx

- Derivada de un cuociente

Si )(xf ,)()(xvxu 0)( xvcon

entonces, )(xf 2)(

)()()()(xv

xvxuxuxv

Ej: Determinar la derivada de )(xf332

2

2

xxx

Solución:

)(xf

22

2

22

2323

22

22

)3(9123

)3(6493124

)3(2)32()34()3(

xxx

xxxxxx

xxxxxx

)(xf

)(xf

- Si es un entero positivo, , entonces, la derivada de

es

n 0xynxxf )( 1)( nxnxf

- Si nxxfy )( n, entero positivo o negativo,

entonces,dxdy 1)( nxnxf

Ejemplos: Derivar:

1)

612128)(

9642)(257

368

xxxxf

xxxxxf

2)854

745

3512125)(

53112)(

xxxxf

xxxxxf

3)

4)

30308456)(

)57()66()62(7)(

)57()62()(

23

23

3

xxxxf

xxxxxf

xxxxf

52

43

833)(

23)(

xxxf

xxxxf

TEOREMA (REGLA DE LA CADENA)TEOREMA (REGLA DE LA CADENA)

Supóngase que , con , es decir, ,

y que y son derivables.

)()( ugxf )(xuu )()( xugxf g )(xu

entonces, es derivable y es válida la fórmulaf

)()()( xuugxfdxdu

dudg

dxdf

Corolario:

Sí , entero, entonces, nxuxf )()( n 1)()( nxunxfdxdu

Sí , con , entonces,)(ufy )(xuu dxdu

dudy

dxdy

En la regla de la cadena, es la variable independiente, es la variable

intermedia, e es la variable dependiente.

x uy

La regla de la cadena, se puede extender a funciones del tipo siguiente:

Sí , con y con)(vfy )(uvv )(xuu dxdu

dudv

dvdy

dxdy

Ej: Encontrar endxdy 42 )23()( xxvfy

Solución: Nótese que si se puede escribir232 xxu 4uy

Derivando 34ududy

, pero 232 xxu

Además, 32 xdxdu

Entonces, por la Regla de la Cadena

)32()23(4

)32(4

32

3

xxxdxdy

xudxdy

dxdu

dudy

dxdy

232 xxu, pero

Ejercicios

I) Calcular los siguientes límites

1)1x

lím23

xx

2)

3)

4)

5)

6)

7)

2xlím

0xlím

0hlím

hlím

1xlím

8xlím

)82()2(

2 xx

x

xx 55

7233

2

23

hhh

11

xx

21

211hh

8423

xx

2.R

61.R

521.R

41. R

.R

).( 2 xyIND

).( 3 xyIND

II) Estudie la continuidad de las siguientes funciones en todo su dominio.

Redefina si es necesario.

i)

ii)

iii)

)(xf64

2

xx

5221

xx,

,

)(xf2

42

x ,

, 22

xx

)(xf 362

xxx

, Sí

, Sí

3x

5 3x

R. es continua en todo su dominio

R. es discontinua en Hay que redefinir

R. es continua en todo su dominio

f

f

f

2x

III) Obtenga la derivada de las siguientes funciones

1)x

xxy

4

)(3

2)

3)

)1()2()( 32 xxxxy

2

32)(xx

xy

R.

2

32

)4(212xxx

22

2

)1(14

xxxx

R.

32

62xx

R.

4)52 )3()( xxy

5) )51()23()( 22 xxxy

R.

42 )3(10 xx

2

22

51

)23(5516x

xxxx

R.