Un Diagrama de Bode es una representación gráfica que sirve para caracterizar la respuesta en frecuencia de un sistema. Normalmente consta de dos gráficas separadas, una que corresponde con la magnitud de dicha función y otra que corresponde con la fase.

Diagramas de Bode: Se basa en que cuando se introduce una señal sinusoidal en un sistema lineal se obtiene, tras un periodo transitorio, una respuesta sinusoidal de la misma frecuencia pero de amplitud diferente y desfasada. También se la conoce como análisis de frecuencia. Sea la siguiente entrada sinusoidal y su correspondiente transformada de Laplace:(𝑡) = 𝐴·sin(𝜔𝑡) →{L} = 𝑋 (𝑠) =𝜔 · 𝐴/s2+w2

Donde  ω es la frecuencia de la señal no del sistema. La salida será: (𝑡)=𝐵·sin(𝜔𝑡) + 𝜑        𝜑 →ángulo de fase 

Se define que para un sistema como el indicado, la transferencia sinusoidal se obtiene cuando se reemplaza «s» por «jω», lo que equivaldría a decir que la transferencia sinusoidal tiene en cuenta solo la parte imaginaria de «s», o que toma un imaginario puro.

Analizando la expresión, vemos que G(jω) es un número complejo y como tal posee módulo y argumento. Podemos demostrar que: La respuesta final, cuando 𝒕 → 8, a una entrada sinusoidal de frecuencia angular ω es una sinusoidal de la misma frecuencia.

Relación entre las amplitudes de salida y entrada.

ángulo de desfase entre las señales de salida y entrada.Por lo tanto conociendo la transferencia sinusoidal del sistema puedo saber como será la amplitud de la salida y el ángulo de desfase.El análisis que realizaremos presupone:  Régimen permanente.  Entrada sinusoidal.  La salida mantiene la frecuencia pero no la amplitud ni la fase (Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales).  Existe G(jω).Sistemas lineales de 1er orden:  Para un sistema de primer orden de ganancia k y constante de tiempo t :

Para separar la parte real de la imaginaria es necesario dividir y multiplicar por el conjugado del denominador:

Por tanto, la función de transferencia se puede expresar en función de r y 𝝋 (forma polar) como:

Razón de amplitudes de entrada y salida.

De esta manera se logra obtener el desfasaje y la razón de amplitudes sin tener que obtener la respuesta en tiempo real para una entrada sinusoidal de amplitud A y frecuencia angular ω.Una manera conveniente de representar la razón de amplitudes y el desfase son los diagramas de Bode. Estos diagramas consisten en representar la razón de amplitudes frente a la frecuencia angular utilizando escalas logarítmicas y el desfase en una escala lineal frente a la frecuencia angular en una escala logarítmica.

 

A partir del análisis de la figura se observa que:La razón de amplitudes tiende a 1 cuando la frecuencia tiende a 0.  Existe para bajas frecuencias una asíntota horizontal que para por el punto (1,1) de la gráfica de razón de amplitudes frente a la frecuencia, es la asíntota de baja frecuencia (ABF). También existe una asíntota de alta frecuencia (AAF).Es una recta de pendiente -1 que pasa por el punto (1,1). Este es el punto en el que la diferencia entre el valor de la asíntota y el de la curva es máxima. A partir del estudio de la gráfica de desfase frente a frecuencia se observa que el desfase tiende a 0 cuando la frecuencia tiende a 0.  Si la frecuencia tiende a ∞, el desfase tiende a -90º.Sistema lineal de segundo orden:  Para un sistema lineal de 2do orden se puede demostrar que la razón de amplitudes y el desfase se expresan como:

Para este caso nuevamente obtenemos las asíntotas de altas y bajas frecuencias.

A partir del análisis de las gráficas de la figura anterior se observa que el desfase máximo posible es de -180º. Existe un máximo en la razón de amplitudes, si el sistema es subamortiguado, cuando ωτ=1:Retraso En el caso del retraso la razón de amplitudes y el desfase son: RA = 1 𝜑 = 𝜏𝑑· 𝜔

Controladores:  A continuación se muestra para diferentes controladores las fórmulas utilizadas para la construcción de los diagramas de Bode.  Controlador proporcional:  Para un controlador proporcional la razón de amplitudes es:

Controlador proporcional+integral:

Controlador proporcional+derivativo:

En este caso el desfase aparece adelantado a la entrada. Se comprueba que la acción derivativa se adelanta al comportamiento futuro de las perturbaciones. Controlador proporcional+integral+derivativo:

Controlador integral

Controlador PD

Controlador PID

Criterio de estabilidad de Bode:  Sea el sencillo bucle de retroalimentación de la figura. La función de transferencia de lazo abierto de este bucle es:

El criterio de estabilidad de Bode se basa en abrir el bucle e introducir una función sinusoidal para poder estudiar el comportamiento del sistema. En primer lugar se abre el bucle y se introduce una señal sinusoidal de amplitud M y frecuencia angular ω.

Una vez introducida la señal sinusoidal se cierra el bucle y se devuelve la consigna a su valor inicial ySP =0. Entonces.

De esta manera se ha logrado atrapar la señal sinusoidal dentro del bucle de retroalimentación. Esta señal tiene un desfase de -180º y una amplitud que depende de la ganancia K. Se puede comprobar fácilmente que la razón de amplitudes de la función de la transferencia de lazo abierto (GOL), entre la entrada e(t) y la salida y(t), es K:

Se puede comprobar de manera muy sencilla que si la razón de amplitudes de lazo abierto es superior a la unidad (RA >1) el sistema será inestable ya que para cada vuelta del bucle la señal se ve amplificada. Si RA= 1, el sistema se encontrará al límite de la estabilidad. Si RA< 1, la respuesta del sistema global tenderá a cero cuando el tiempo tienda a infinito. Este razonamiento es la base del criterio de estabilidad de Bode:Un bucle de control por retroalimentación es inestable si la razón de amplitudes de su función de transferencia de lazo abierto es mayor que la unidad en la frecuencia de cruce ωco (crossover frequency, aquella que hace que el desfase sea -180º).Para aplicar el criterio de Bode es necesario disponer de los diagramas de Bode de la función de transferencia de lazo abierto del bucle.

Tal como se ha visto el criterio de estabilidad de Bode se puede utilizar para sistemas intratables: a) Sistemas con función de transferencia compleja.b) Sistemas de los que no se conoce la función de transferencias. Además proporciona más información para realizar una correcta sintonía del controlador.Aunque también existen sistemas para los que no es aplicable el criterio de estabilidad de Bode.Márgenes de ganancia y de fase:  Para aplicar el criterio de estabilidad hay que dibujar los diagramas de Bode de la función de transferencia de lazo abierto. En el diagrama se consideran dos puntos críticos según el criterio de Bode (RA=1 y 𝜑 =-180º).   Según la figura, M es la razón de amplitudes para la frecuencia de cruce. Según el criterio de ode, M debe ser menor o igual a 1 para que el sistema sea estable. Se puede definir:

Lógicamente debe tomar valores por encima de la unidad para que el sistema sea estable.Representación gráfica del margen de ganancia y de fase

Además del margen de ganancia se puede establecer otro factor de seguridad:

Donde (1) es el desfase para RA =1. El margen de fase representa en cuanto hay que aumentar el desfase para inestabilizar el sistema. Se recomienda normalmente valores mayores de 30º.El margen de ganancia es una medida importante del sistema ya que: Constituye una medida de la proximidad del sistema de la zona de inestabilidad. Cuanto mayor de la unidad sea el margen de ganancia, más seguro será el sistema controlado. Normalmente se diseñan los controladores para que el margen de ganancia sea mayor de 1.7. Es decir, la razón de amplitudes puede crecer 1.7 veces antes de que el sistema se vuelva inestable. Si los parámetros del sistema son poco conocidos, se recomienda un factor de seguridad entre 1.7 y 3.0.Aplicación en Matlab comando bode(num,den):