Matemática Aplicada 2013

Ing. Silvana Edith Lazarte

FUNCIONES

Dados dos conjuntos: A y B

Se llama FUNCIÓN de A en B a una correspondencia tal que a cada

elemento de A le corresponde un único elemento del conjunto B

x A variable independiente y B variable dependiente

f

A B

xx y=f(x)

Cuando A y B son subconjuntos de los números reales se dice que las

funciones son ESCALARES o NUMÉRICAS

x y=f(x)

Identifiquemos las funciones:

a) No es función porque a un elemento de A le pertenecen dos elementos

del conjunto B

b) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde un

elemento de B

c) Es función porque a cada uno de los elementos de A le corresponde el

elemento de B

BA BA A B

b)a) c)

Formas de expresar una función:

Imagen de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011

Dominio de f: Dom f

Conjunto de valores que toma la variable independiente

Rango de f: Rgo f

Conjunto de valores que toma la variable dependiente

Ejemplos:

BA

1

2

3

4

m

n

p

q

Dom f={ 1,2,3,4}

Rgo f={ m,n,p,q}

BA

s

t

u

r

fg

Dom f={ s,t,u,}

Rgo f={ r}

Forma explícita: Cuando tiene la forma

y= f(x)

Ejemplo: y=2x

Forma implícita: Cuando tiene la forma

F(x,y)=0

Ejemplo: 3x+y-5=0

Fórmulas:

Notación de Conjuntos:

Por numeración o extensión

Se enumeran Todos los pares de

valores relacionados por medio de la

función.

Ejemplo: f={(1,2);(2,4);(3,6);(4,8)}

Por Propiedad o Comprensión:

Se indica con una fórmula la propiedad

que cumplen los pares (x,y)

Ejemplo: f={(x,y)/y=2x}

Funciones dadas por tablas:

Se utilizan cuando los datos son pocos porque las tablas pueden ser muy extensas

y difíciles de manejar

Formas Gráficas:

Diagrama de Venn:

Es posible utilizar esta forma de

representación cuando los valores son

pocos

En un sistema de ejes cartesianos:

En el eje horizontal van los valores

posibles de la variable

independiente y en el eje de las

ordenadas va el valor de

y=f(x).Obtenemos un punto en el

plano

Ejemplo: Ganancias de una empresa en función del precio del producto que

comercializa

Imágenes de cuadernillo de Ingreso UTN FRT 2011

Intersección con los ejes coordenados

Intersección con el eje de las abscisas:

Son los puntos de la forma P(x,0). Pueden no existir.

A los valores de x que satisfacen esta condición se los denomina ceros de la

función x=a es un cero de f si y solo si f(a)=0

Intersección con el eje de

las ordenadas:

Es el punto Q(0,y).

Puede existir o no existir;

es el valor de y

que satisface la condi-

ción f(0)

Ceros de una función

Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento de

una función

Una función se dice creciente en el intervalo (a,b) si se

cumple que:

x1<x2 f(x1)<f(x2) para todo x1, x2 a,b)

Una función se dice decreciente en el intervalo (a,b) si

se cumple que:

x1<x2 f(x1)>f(x2) para todo x1, x2 a,b)

Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes

La siguiente gráfica representa la tasa de crecimiento de una

población determinada. Vemos que es una función creciente

Gráfica realizada con Graphmática

Ejemplos de Funciones Crecientes y Decrecientes

La gráfica representa la demanda de un producto en función del precio. Esta

función es decreciente en el intervalo (o,)

Gráfica realizada con Graphmática

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la

función:

Hasta el punto 0,83 la función es creciente y el mínimo valor es 3.

Desde 0,83 en adelante la función es decreciente

Máximos y Mínimos Absolutos

Una función f alcanza un máximo absoluto en el punto a del dominio si

para todo x perteneciente al dominio, xa, entonces la imagen de x es

menor que la de a.

Simbólicamente:

x Domf , xa , f(x)<f(a)

Una función f alcanza un mínimo absoluto en el punto a si para todo

x perteneciente al dominio, xa, la imagen de x es mayor que la de a.

Simbólicamente:

x Domf , xa , f(x)>f(a)

Ejercicios: Determinar máximos y mínimos absolutos

Respuestas:

a) La función de la gráfica no alcanza máximo ni mínimo

absoluto ya que no existe un valor del dominio que

cumpla la definición

b) La función sólo alcanza mínimo absoluto en x=0, ya

que f(0)<f(x), x Domf

c) Sólo posee máximo absoluto en x=2 , ya que f(x)<f(2) ,

x Dom f

d) Sólo posee mínimo absoluto en x=1 , ya que f(1)<f(x) ,

x dom f