DINMICA

DINMICAUNIDAD 5

CINTICA DE CUERPOS RIGIDOS

POR:EDUARDO MENESES SOLIS

Contenido5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO25.2 MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO55.3 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO75.3.1 PRINCIPIO DALEMBERT95.3.2 TRASLACIN, ROTACION CENTROIDAL Y MOVIMIENTO GENERAL105.4 TRABAJO Y ENERGIA135.4.1 TRABAJO DE UNA FUERZA145.4.2 ENERGIA CINTICA155.4.3 PRINCIPIO DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA165.4.4 POTENCIA175.4.5 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO19EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS21EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS POR EL ALUMNO23CONCLUSIONES PERSONALES26BIBLIOGRAFIA27

5.1 ECUACIONES DE MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

CUERPO RIGIDOUn cuerpo rgido es una agrupacin, usualmente continua, de partculas con una propiedad fundamental: La distancia entre dos partculas cualesquiera del cuerpo rgido permanece invariable; es decir, constante.Otra manera de definir un cuerpo rgido es decir que es un cuerpo que no admite deformacin alguna; es decir, es indeformable.Las Ecuaciones de Movimiento de Un Cuerpo Rgido podemos dividirlas de acuerdo al tipo de movimiento, en tres bsicamente:TRASLACIONALROTACIONAL PLANO GENERAL ECUACIONES DE MOVIMIENTO TRASLACIONALPara el movimiento traslacional podemos considerar el siguiente cuerpo rgido en el cual podemos observar distintas fuerzas aplicadas:

La Ecuacin de Movimiento para el Movimiento Traslacional es:

Establece que la suma de todas las fuerzas externas que actan sobre el cuerpo es igual a la masa del cuerpo multiplicada por la aceleracin de su centro de masa G.

El Movimiento Traslacional puede ser de dos tipos: TRASLACIONAL RECTILINEO TRASLACIONAL CUVILINEO TRASLACIONAL RECTILINEO Cuando el Movimiento es Rectilneo todas las partculas viajan a lo largo de trayectorias paralelas, por lo tanto se aplican las siguientes ecuaciones de movimiento:

TRASLACIONAL CURVILINEO Cuando el Movimiento es Curvilneo, la ecuacin de movimiento es la siguiente:

ECUACIONES DE MOVIMIENTO ROTACIONALEsta ecuacin de movimiento rotatorio establece que la suma de los momentos de todas las fuerzas externas calculadas con respecto al centro de masa G es igual al producto del momento de inercia del cuerpo respecto a un eje que pase por G y a la aceleracin angular del cuerpo.

ECUACIONES DE MOVIMIENTO PLANO GENERAL Para las ecuaciones de movimiento plano general podemos considerar un cuerpo rgido como se muestra en la imagen sometido a un movimiento plano general, podemos asociar las ecuaciones anteriores y podemos decir que las ecuaciones de movimiento plano general son:

5.2 MOVIMIENTO ANGULAR DE UN CUERPO RIGIDO EN EL PLANO

Se definemomento angularde una partcula al producto vectorial del vector posicin por el vector momento lineal:

Las partculas de un slido rgido en rotacin alrededor de un eje fijo describen circunferencias centradas en el eje de rotacin con una velocidad que es proporcional al radio de la circunferencia que describen

En la figura se muestra el vector momento angularde una partcula de masamicuya posicin est dada por el vectory que describe una circunferencia de radioRicon velocidadvi.

El mdulo del vector momento angular valeLi=rimiviSu proyeccin sobre el eje de rotacin Z vale Liz=ricos(90-qi)mivi,es decir,

El momento angular de todas las partculas del slido vale

La proyeccinLzdel vector momento angular a lo largo del eje de rotacin es

El trmino entre parntesis se denomina momento de inercia

En general, el vector momento angularno tiene la direccin del eje de rotacin, es decir, el vector momento angular no coincide con su proyeccinLza lo largo del eje de rotacin. Cuando coinciden se dice que el eje de rotacin es un eje principal de inercia.Para estos ejes podemos relacionar el momento angular y la velocidad angular, dos vectores que tienen la misma direccin, la del eje de rotacin

El momento de inercia no es una cantidad caracterstica como puede ser la masa o el volumen, sino que su valor depende de la posicin del eje de rotacin. El momento de inercia es mnimo cuando el eje de rotacin pasa por el centro de masa.

5.3 MOVIMIENTO DE UN CUERPO RIGIDO

El cuerpo rgido es un caso especial de un sistema de partculas. Es un cuerpo ideal en el cual las partculas que lo componen no modifican su posicin relativa entre ellas, cualquiera sea la fuerza o torque a la que est sometido. Es decir, ninguna fuerza y/o torque que acte sobre el slido rgido ser capaz de modificar la distancia que guarda cada una de las partculas que componen al slido con todas las dems. Esta es su caracterstica distintiva. Existen distintos modos de movimiento de un cuerpo rgido:TRASLACIONALROTACIONAL PLANO GENERAL TRASLACIONALUn cuerpo slido rgido realiza un movimiento de traslacin cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, este se mantiene siempre paralelo a s mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rgido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describir, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los dems puntos materiales describirn trayectorias equidistantes entre s.Si la traslacin es rectilnea, las trayectorias son rectas y paralelas entre s (equidistantes), y si la traslacin es curvilnea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o alabeadas equidistantes entre s.

TRASLACIN RECTILNEA

TRASLACIN CURVILNEA

ROTACIONALSi el nico movimiento del cuerpo rgido es de rotacin alrededor de un eje, decimos que el movimiento es de rotacin pura; en este caso, las trayectorias de todas las partculas del slido son circunferencias concntricas; la velocidad de cada partcula tendr la direccin y sentido del vector tangente a la circunferencia en cada instante de tiempo. Asimismo, las velocidades de las distintas partculas que integran el slido no sern las mismas; la nica velocidad comn ser la velocidad angular del cuerpo.

PLANO GENERALMovimiento plano general se considera la suma de traslacin y rotacin.5.3.1 PRINCIPIO DALEMBERT

El principio de D Alembert enunciado por Jean D Alembert en su obra maestra Tratado de dinmica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este equilibrio se le denomina equilibrio dinmico.El principio de D'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un sistema:

Donde la suma se extiende sobre todas las partculas del sistema, siendo: Momentum de la partcula i-sima.Fuerza externa sobre la partcula i-sima.Cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de partculas que sea compatible con los enlaces y restricciones de movimiento existentes.El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de lasleyes de Newtoncuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La derivacin resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partculas tal que sobre la partcula i-sima acta una fuerza externams una fuerza de ligaduraentonces la mecnica newtoniana asegura que la variacin de momentum viene dada por:

Si el sistema est formado porNpartculas se tendrnNecuaciones vectoriales de la formasi se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

Donde el segundo trmino se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemticamente compatible implica que el segundo trmino es un producto escalar nulo. Finalmente sumando lasNecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D'Alembert.5.3.2 TRASLACIN, ROTACION CENTROIDAL Y MOVIMIENTO GENERAL

TRASLACIONComo el cuerpo no tiene movimiento rotacionala=0entonces

La fuerza resultante pasa por el centro de masa y se debe cumplir que

ROTACION CENTROIDALSe llama rotacin centroidal a la rotacin de un cuerpo alrededor de un eje fijo que pasa por su centro de masa y es perpendicular al plano de movimiento.

En este caso el sistema equivalente de las fuerzas aplicadas es un par y por consiguiente la fuerza resultante es cero. El par resultantees igual a

MOVIMIENTO GENERALSi se toman momentos con respecto a un punto que no tenga aceleracin pero que se puede estar moviendo.Cuando se toman momentos con respecto a un punto cuya aceleracin est dirigida hacia el centro de masa.VEAMOSSi el puntoOno tiene aceleracin, al tomar momentos con respecto a O se tiene

Si el puntoOtiene aceleracin dirigida hacia C, la aceleracin de C es:

Tomando momentos con respecto a O se tiene:

5.4 TRABAJO Y ENERGIA

TRABAJOEnmecnica clsica, se dice que unafuerzarealizatrabajocuando altera el estado de movimiento de un cuerpo. El trabajo de la fuerza sobre ese cuerpo ser equivalente a laenerganecesaria paradesplazarlo de manera acelerada. El trabajo es una magnitud fsicaescalarque se representa con la letra(del inglsWork) y se expresa en unidades de energa, esto es enjuliosojoules(J) en elSistema Internacional de Unidades.Ya que por definicin el trabajo es un trnsito de energa, nunca se refiere a l comoincrementode trabajo, ni se simboliza comoW.

ENERGASe define como la capacidad para realizar untrabajo. Entecnologayeconoma, energa se refiere a unrecurso natural(incluyendo a su tecnologa asociada) para extraerla, transformarla y darle un uso industrial o econmico.

5.4.1 TRABAJO DE UNA FUERZA

El trabajoWes unamagnitud escalarque, como veremos, da la cantidad de energa cinticatransferida por una fuerza.En la siguiente figura se ha representado una partcula que se desplaza por una trayectoriaCentre los puntos A y B. Sobre ella acta una fuerzaF. Su vector desplazamiento, tangente a la trayectoria en cada punto, es dr.

El trabajo de dicha fuerza se define:

Trabajo de Una Fuerza

5.4.2 ENERGIA CINTICA

Laenerga cinticade un cuerpo es aquellaenergaque posee debido a su movimiento. Se define como eltrabajonecesario para acelerar un cuerpo de una masa determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada. Una vez conseguida esta energa durante laaceleracin, el cuerpo mantiene su energa cintica salvo que cambie su velocidad. Para que el cuerpo regrese a su estado de reposo se requiere un trabajo negativo de la misma magnitud que su energa cintica. Suele abreviarse con letraEcoEk(a veces tambinToK).En lamecnica clsica, la energa cintica de una masa puntual depende de sumasay sus componentes del movimiento. Se expresa en julios (J). 1J = 1kgm2/s2. Estos son descritos por lavelocidadde la masa puntual, as:

5.4.3 PRINCIPIO DE LA CONSERVACION DE LA ENERGIA

Afirma que la cantidad total deenergaen cualquiersistema fsico aislado(sin interaccin con ningn otro sistema) permanece invariable con el tiempo, aunque dicha energa puedetransformarse en otra forma de energa. En resumen, la ley de la conservacin de la energa afirma que la energa no puede crearse ni destruirse, slo se puede cambiar de una forma a otra, por ejemplo, cuando la energa elctrica se transforma en energa calorfica en uncalefactor.

En el caso de la energa mecnica se puede concluir que, en ausencia de rozamientos y sin intervencin de ningn trabajo externo, la suma de las energas cintica y potencial permanece constante. Este fenmeno se conoce con el no En todos los casos donde acten fuerzas conservativas, la energa mecnica total, es decir, la energa cintica ms la energa potencial en cualquier instante de la trayectoria es la misma; por ejemplo, la fuerza gravitacional, pues en cualquier trabajo que realice un cuerpo contra la fuerza de gravedad dela Tierra, la energa se recuperar ntegramente cuando el cuerpo descienda.

5.4.4 POTENCIA

Potencia(smboloP) es la cantidad detrabajoefectuado por unidad detiempo.SiWes la cantidad detrabajorealizado durante un intervalo detiempode duracin t, lapotencia mediadurante ese intervalo est dada por la relacin:

Lapotencia instantneaes el valor lmite de la potencia media cuando el intervalo de tiempo tse aproxima a cero. En el caso de un cuerpo de pequeas dimensiones:

DondePes la potenciaWes eltrabajotes eltiempores elvector de posicinFes lafuerzaves lavelocidadLapotencia mecnicaaplicada sobre un slido rgido viene dado por el producto de la fuerza resultante aplicada por la velocidad:

Si adems existe rotacin del slido y las fuerzas aplicadas estn cambiando su velocidad angular:

Donde, son lafuerza resultantey el momento resultante., son la velocidad del punto donde se ha calculado la resultante efectiva y lavelocidad angulardel slido.Para un slido deformable o un medio continuo general la expresin es ms compleja y se expresa como producto del tensor tensin y el campo de velocidades. La variacin de energa cintica viene dada por:

Donde, son las componentes deltensor de tensionesde Cauchy., son las componentes deltensor de velocidad de deformacin.

5.4.5 PRINCIPIO DEL IMPULSO Y DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

IMPULSOEl impulso es el producto entre unafuerzay el tiempo durante el cual est aplicada. Es una magnitud vectorial. Elmdulodel impulso se representa como el rea bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto si la fuerza es constante el impulso se calcula multiplicando la F por t, mientras que si no lo es se calcula integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer el impulso.

CANTIDAD DE MOVIMIENTO La cantidad de movimiento es el producto de la velocidad por la masa. La velocidad es un vector mientras que la masa es un escalar. Como resultado obtenemos un vector con la misma direccin y sentido que la velocidad. La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendr mayor cantidad de movimiento.

m = Masav = Velocidad (en forma vectorial)p = Vector cantidad de movimiento

RELACION ENTRE IMPULSO Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO El impulso aplicado a un cuerpo es igual a la variacin de la cantidad de movimiento, por lo cual el impulso tambinpuede calcularse como:

Dado que el impulso es igual a la fuerza por el tiempo, una fuerza aplicada durante un tiempo provoca una determinada variacin en la cantidad de movimiento, independientemente de su masa:

EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS

1.- Calcular la potencia de una gra que es capaz de levantar 30 bultos de cemento hasta una altura de 10 metros en 2 segundos, si cada bulto tiene una masa de 50 kg.

2.- .Calcular el tiempo que requiere un motor de un elevador cuya potencia es de 37,500 Watts. Para elevar una carga de 5,290 N hasta una altura de 70 mt.

EJERCICIOS PROPUESTOS Y RESUELTOS POR EL ALUMNO

1.- Calcular la potencia de una mquina que eleva 20 ladrillos de 500 g cada uno a una altura de 2 m desde el suelo en 1 minuto. Se considera que no hay cambio de velocidad al levantar los ladrillos.

2.- Cul ser la potencia necesaria para elevar un ascensor de 45.000 N de peso hasta 8 m de altura en 30 s?. Cul ser la potencia del motor aplicable si el rendimiento es de 0,65?. Se considera que no hay cambio de velocidad.

3.- Qu potencia tiene el motor de una bomba que eleva 18000 litros de agua por hora de un pozo que tiene 30m de profundidad? (Considere a g=10m/s) (1HP=746 watts)Aproximadamente 10 HP3 HP1.5 HP2 HP1.6 HP

CONCLUSIONES PERSONALES

En esta unidad hemos podido aprender, comprender y analizar conceptos y temas que tienen que ver con la CINETICA DE LOS CUERPOS RIGIDOS.Conocimos que los movimientos del cuerpo rgido se clasifican en tres tipos bsicamente Rotacional, Traslacional y Plano General, vimos las caractersticas de cada movimiento y cada una de sus ecuaciones correspondientes.Tambin estudiamos el principio DAlembert un filsofo y matemtico francs que nos dice Que la suma de las fuerzas externas que actan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio.En esta unidad tambin vimos los conceptos de TRABAJO y ENERGIA, as como el Trabajo de una Fuerza, la Energa Cintica, el Principio de la Conservacin de la Energa, Potencia y los principios de Impulso y de la Cantidad de Movimiento.En especial en el subtema de Potencia revisamos unos ejemplos que previamente ya estaban resueltos y pusimos en prctica lo aprendido con una serie de 3 ejercicios ms que resolvimos personalmente aplicando formulas analizadas en este subtema.En conclusin La Cintica de los Cuerpos Rgidos estudia bsicamente los movimientos que un Cuerpo Rgido puede experimentar Rotacin, Traslacin y Plano General, partiendo del concepto de que un Cuerpo Rgido aquel que no sufre deformaciones por efecto de fuerzas externas, es decir un sistema de partculas cuyas posiciones relativas no cambian.Entonces podemos deducir que un cuerpo rgido es una idealizacin, que se emplea para efectos de estudios de cinemtica, ya que esta rama de la mecnica, nicamente estudia los objetos y no las fuerzas exteriores que actan sobre de ellos.

BIBLIOGRAFIA

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