CAPTULO 10De dos dimensiones, flujo subsnico con pequeas perturbaciones10,1. Observaciones introductoriasA pesar de las ecuaciones diferenciales en trminos del potencial de velocidad para la constante, el movimiento irrotacional, isentrpico se obtuvieron con bastante facilidad en el captulo anterior, las soluciones exactas de las ecuaciones para problemas de flujo de particulares a menudo implican estos procedimientos matemticos complejos o aburrido como para ser prctico. Dos campos de entonces parecen ser abierta ya sea (i) para encontrar soluciones exactas para una relativamente pocos problemas en la esperanza de obtener una comprensin cualitativa de la naturaleza de los patrones de flujo de otras soluciones para la que no se pueden obtener, o (ii) para encontrar sencillo, aunque aproximadas, las soluciones adecuadas para los clculos prcticos. Ambos mtodos de enfoque proporcionar informacin til y, en cierto sentido, se complementan entre s, como las soluciones exactas pocos servir como un control de la exactitud y fiabilidad de los mtodos aproximados. En este captulo veremos cmo el segundo mtodo se puede aplicar a algunos problemas importantes de dos dimensiones, flujo subsnico.La suposicin de flujo bidimensional sirve como una primera aproximacin para el flujo que pasa por las alas de los aviones y para el flujo a travs de los sistemas de cuchilla de hlices y de compresores de flujo axial y turbinas. En muchas de estas aplicaciones las perturbaciones de velocidad producidas por el cuerpo o cuerpos sumergidos en la corriente que fluye son pequeas, porque los cuerpos son muy finos. Aqu tenemos la esencia del mtodo-linealizado que el patrn de flujo puede ser pensado como la combinacin de una velocidad uniforme, paralelo en el que se superpone pequeas velocidades de perturbacin.La ventaja de hacer tal suposicin, veremos, reside en el hecho de que la ecuacin de movimiento se simplifica en gran medida y tambin se convierte en lineal. A partir de este mtodo, que se llama la teora linealizado o el mtodo de pequeas perturbaciones, se elaborar informacin til aproximada acerca de los efectos de nmero de Mach del flujo subsnico. La teora linealizado tambin hace evidente una ley de similitud aproximada del flujo subsnico, es decir, una regla que conecta el campo de presin de un flujo compresible dado con la de un flujo incompresible relacionado. Leyes anlogas similitud de flujo transnico, supersnico, hipersnico se derivan en captulos posteriores.

Nomenclatura

10,2. Linealizacin de la ecuacin del potencialLa ecuacin de movimiento. Para estable, de dos dimensiones, irrotacional, movimiento Isentrpico, la ecuacin diferencial para el potencial de velocidades est dada por las ecuaciones. 9,34 y 9,35:

donde el smbolo representa el potencial de velocidad completa como se define en el captulo 9, y se distingue de la perturbacin potencial de velocidad indicada por en este captuloLos componentes de la perturbacin Imaginemos ahora la velocidad en cualquier punto que se obtiene por la suma de un vector V a velocidad constante a lo largo del eje x, junto con velocidades de perturbacin u y v en el eje x e y de direcciones, respectivamente. Como ejemplo, para un perfil delgado en movimiento a travs de un medio infinito (Fig. 10,1) a la velocidad - V, la velocidad del gas en relacin con el perfil sera V en puntos muy lejos del perfil, y el perfil cerca de la componentes x e y sera (V+ u) y v, respectivamente.Las velocidades de perturbacin, U y V, se considera que son pequeas en comparacin con la velocidad de corriente libre, V.Siguiendo esta lnea de pensamiento, podemos expresar el potencial de velocidad como la suma del potencial debido a la velocidad Vx principal y de un potencial de perturbacin asociado a la perturbacin velocidades u y v:

Tomando derivados, y observando que V es una constante, se obtiene:

Las comparaciones de los rdenes de magnitud. Queremos simplificar la ecuacin. 10.1 dejando caer esos trminos que, de acuerdo con la asuncin de pequeas perturbaciones, pueden considerarse insignificantes en comparacin con los restantes trminos. Los derivados de segundos en la ec. 10,1, de acuerdo con las Ecs. 10,5, 10,7, y 10,8, se dan por:

Ahora las velocidades de perturbacin u y v son del mismo orden de magnitud. Tambin, puesto que la ecuacin. 10,1 ha de aplicarse a lo largo de todo el campo de flujo, las longitudes de los denominadores de du / dx, dv / dy, y dv / dx todos deben considerarse del mismo orden de magnitud. Por lo tanto, los derivados de xx, xy, yy son todas del mismo orden de magnitud.Examinamos a continuacin las magnitudes relativas de los coeficientes de xx, xy, yy. Utilizando las ecuaciones. 10,2, 10,4, y 10,6, se obtiene, al notar que c0 es constante,

donde c es la velocidad del sonido en los puntos donde la velocidad de la corriente es V.Simplificando y reorganizando esta expresin, nosotros obtenemos

Donde es el flujo libre del numero de Mach, definido en

Expandiendo la Eq. 10.9 con la ayuda de el teorema binomial, nosotros obtenemos

Donde el smbolo quiere decir del orden de las magnitudes . Para el coeficiente de nosotros tenemos, usando la Eq. 10.4,

Introduciendo la Eq. 10.10 en la 10.11, esta expresin llega a ser

Junto con los trminos de orden superior. Nosotros ahora asumimos una pequea velocidad de perturbacin comparado con nosotros podemos escribir

Consecuentemente la ecuacin anterior Eq. 10.12 podra ser aproximado en

Ahora tomando el segundo termino de la Eq. 10.1, nosotros tenemos

Introduciendo Eqs. 10.10 en 10.11 como antes, nosotros obtenemos

Sin embargo, con la Eq, 10.13, llega a ser

Para el coeficiente del tercer trmino de la Eq. 10.1, nosotros obtenemos

Introduciendo de nuevo la Eqs. 10.10 en 10.11, nosotros obtenemos

Usando la Eq. 10.14, esto llega a ser

Sustituyendo las ecuaciones 10.5, 10.7, 10.8, 10.15, 10.16 y 10.17 en la ecuacin 10.1, obtenemos

La ecuacin lineal de la velocidad potencial. Desafortunadamente, a pesar de los ya supuestos, esta ecuacin no es lineal, desde que quedan las ecuaciones de segundo termino and . Nosotros por lo tanto introducimos las suposiciones adicionales

y as obtenemos la siguiente ecuacin diferencial lineal:

donde

FLUJO SUBSNICO DE DOS DIMENSIONES

El examen de las hiptesis que subyacen ecuaciones linealizadas. lossupuestos que subyacen a la ecuacin diferencial lineal se encarnan en las ecuaciones. 10.12, 10.13, 10.14, 10.19, y 10.20. El examen de estas ecuaciones indica que los dos ltimos incluyen los tres primeros, y son, por lo tanto, el ms riguroso.Como se aproxima a la unidad, la ec. 10.19 deja de ser vlida. Por lo tanto, excepto para las perturbaciones extraordinariamente pequeas, las conclusiones expuestas en el resto del captulo no son vlidas para el flujo transnico, es decir, para valores de , mayor que aproximadamente 0.8.Las relaciones de perturbacin dependen principalmente de la relacin de espesores del cuerpo. La precisin de las Ecs. 10.19 y 10.20, para perfiles delgados, son buenos hasta subsnica alta (pero no transnico) Los nmeros de Mach. Para los perfiles de espesor, por otro lado, las hiptesis son razonablemente vlidos slo para nmeros de Mach muy bajos.10. 3 LINEALIZACION DEL COEFICIENTE DE PRESIN.La distribucin de la presin en un patrn de flujo dada es de primordial importancia prctica. El conocimiento de la distribucin de la presin es necesaria para el clculo de las fuerzas y momentos producidos por el fluido sobre lmites slidos. Por otra parte, el gradiente de presin en un lmite slido influye en el desarrollo de la capa lmite, y la naturaleza de la gradiente de presin debe ser conocida antes del comportamiento de la capa lmite puede ser predicho.Anlisis Dimensional. Puesto que se trata de un fluido no viscoso, el movimiento de una partcula de fluido est determinado por un equilibrio entre las fuerzas de presin y fuerzas de inercia. Supongamos que estamos tratando con el flujo de un gas particular pasado una serie de cuerpos geomtricamente similares, de modo que en cualquier experimento particular, la especificacin de una dimensin caracterstica L (tal vez la longitud del cuerpo) basta para determinar la geometra del cuerpo.Las fuerzas de presin sobre una partcula de fluido dado se deben a las diferencias de presin que actan sobre las diversas caras de la partcula. Ellos pueden, por lo tanto, ser representado por una cierta diferencia de presin caracterstica, , y por la longitud caracterstica L. Aqu es la presin en el punto deseado en el patrn de flujo y es la presin esttica a corriente libre.

La fuerza de inercia de la partcula depende de la densidad local y la aceleracin local, as como del tamao de partcula. La densidad local se caracteriza por la densidad de corriente libre , junto con algn ndice de compresibilidad que est convenientemente toma como la velocidad de corriente libre de sonido . La aceleracin local puede estar caracterizado por la velocidad caracterstica y la longitud caracterstica . El tamao de partcula es, por supuesto, que se caracteriza por .

Linealizacin del coeficiente de presin

A partir de las consideraciones anteriores, podemos escribir una ecuacin fsica en forma implcita

que puede ser reorganizado para dar, implcitamente

Desde el lado izquierdo tiene cero dimensiones, el lado derecho tambin debe ser adimensional. Pero , no puede de ninguna manera ser formado en un grupo adimensional. De esto concluimos que, cuando la ecuacin fsica se reorganiza como se indica, estos tres trminos de la ecuacin desaparecen excepto en la medida como y aparecen en los grupos adimensionales.

COEFICIENTE DE PRESIN. El grupo que contiene la presin local se denomina coeficiente de presin, y puede ser escrito como diversamente

A partir del anlisis dimensional se concluye que el coeficiente de presin local en un punto dado depende solamente en corriente libre del nmero de Mach . El tamao del cuerpo se ve que no entra en absoluto. Para la misma corriente libre Nmero Mach las presiones en los puntos correspondientes en dos flujos son, por lo tanto, relacionados a travs de la condicin de que el valor de Cp es el mismo en ambos puntos.El coeficiente de presin para las pequeas perturbaciones. Vamos a desarrollar una forma especial de la ecuacin. 10.22 cual es consistente con los supuestos de la teora lineal. De la ecuacin de la energa y el diagrama de vector de velocidad de la fig. 10.1, podemos escribir

Ahora resolver esta expresin para , y, despus de emplear las relaciones

Obtenemos:

Ya que el flujo es isentrpico, la relacin de presin se puede escribir como:

Observamos ahora que el segundo trmino en el soporte es menor que la unidad, por lo que desarrollamos una expansin en serie para con la ayuda del teorema binomial:

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin 10.22. y simplificando, obtenemos:

Ahora introducimos los supuestos de las ecuaciones 10.12, 10.14, y 10.19, y, desde la simplicidad matemtica es el propsito principal de la teora linealizada, hacemos la suposicin adicional de que

La expresin final para el coeficiente de presin de la teora linealizada es luego:

La ecuacin. 10,25 es una restriccin ms severa que la ecu. 10.19. Sin embargo, en muchas aplicaciones, la ec. 10,26 por Cp se usa slo cuando se comparan los correspon-dientes valores de Cp para dos flujos en donde los dos valores de Cp no difieren en mucho. Tal es el caso, por ejemplo, en la formulacin de las reglas similitud de Gothert y Prandtl Glauert-que se discutirn ms adelante en este captulo. En casos de este tipo, puede ser demostrado por detallado con-consideracin que el uso de la ec. 10,26 en el clculo de la relacin de dos valores de Cp implica la suposicin de que slo , en lugar de la suposicin de la ecuacin. 10,25.

10,4. Flujo que rodea un muro en forma ondulada

Vamos ahora a investigar una solucin particular (1) de las ecuaciones linealizadas, el significado prctico que se basa en el hecho de que de una manera relativamente simple nosotros podemos demostrar los efectos cuantitativos y cualitativos de la compresibilidad en el patrn de lnea de flujo y de la presin de distribucin.Potencial de velocidad. Consideremos la siguiente expresin para el potencial de velocidades de perturbacin:(10.27)Donde h e I son constantes de longitud, cuyo significado fsico ser evidente ms tarde y se define por la ecuacin. 10.21b. Sea o no esta funcin supone que satisfacer las condiciones de continuidad, momento, energa y la irrotacionalidad depende de si se satisface la ecuacin 10.21a. Para determinar esto, primero tomamos derivadas de la siguiente manera:

La sustitucin de las ecuaciones. 10,29 y 10,31 en la ecuacin. 10.21a muestra que la funcin (x, y) de la ecuacin. 10,27 satisface la Ec. diferencial. 10.21a idnticamente. Por lo tanto concluimos que la ec. 10,27 representa un patrn de flujo que cumple las condiciones de continuidad, momento, energa e irrotacionalidad.Lnea de corriente. Para determinar la forma de las lneas de corriente, se hace uso de la definicin que la pendiente de la lnea de corriente es idntica a la pendiente del vector de velocidad, de modo que, en referencia a la fig. 10,1, escribimos

Los valores de y son conocidos en trminos de x e y a travs de las ecuaciones. 10,28 y 10,30, pero en sustituir estos valores en la ecuacin. 10,32, parece que no hay manera fcil de separar variables e integrando encontrar las ecuaciones de las lneas de corriente. Sin embargo, esta dificultad puede evitarse mediante la introduccin de aproximaciones de acuerdo con los supuestos de las pequeas perturbaciones. Escribimos la identidad:

Ahora, de acuerdo con la hiptesis de la ecuacin. 10,19, el valor de es insignificante en comparacin con la unidad, por lo tanto

Ahora, sustituyendo y a partir de las ecuaciones. 10,28 y 10,30 en la ecuacin. 10.33, y reordenando, obtenemos:

Esto ahora puede integrarse directamente para dar la ecuacion de la lnea de corriente

Donde cada lnea de flujo est asociada con un determinado valor de la constante de integracin.Supongamos que la lnea de corriente para la que la constante de integracin es cero se toma para ser una pared slida, definida por las coordenadas . Si se estipula tambin que la pared slida se encuentra muy cerca del eje x (es decir, Y, es muy pequeo), el valor del trmino exponencial de la ecuacin. 10.34 es casi la unidad, y por lo tanto la forma de la pared slida puede ser expresada por la relacin.

A distancias muy grandes de la pared (es decir, valores muy grandes de y), es evidente a partir de la ecuacin. 10,34 que las lneas de corriente tienen valores constantes de y y son por lo tanto paralelo al eje x. La naturaleza fsica del patrn de flujo definido por la ecuacin. 10,27 Ahora est claro. Se trata con el flujo pasado una pared en forma de onda que tiene la forma de una curva de coseno. Haciendo referencia a la ecuacin. 10,35 y a la figura. 10,2, vemos que I y h son la longitud de onda y amplitud lateral, respectivamente, de la pared ondulada.

De las ecuaciones. 10,28 y 10,30 vemos que la perturbacin velocidades Ti y V son cero a valores muy grandes de y. Esto significa que a una distancia infinita desde la pared el flujo es paralelo al eje Z y tiene la velocidad uniforme .

Fig.10.2. flujo por una pared ondulada, mostrando lneas de corriente y distribucin de presin en la superficie. Amplitud de la onda en la pared es una exageracin.(a) Flujo incompresible (M=0).(b) Flujo subsnico (M < 1).Distribucin de Presin: La perturbacin de velocidades en la pared, de acuerdo a la ecuacin 10.28 y 10.30, son:

Utilizando la expresin aproximada para el coeficiente de presin dado por la ecuacin 10.26, obtenemos:

De la ecuacin 10.38 es evidente que en la pared slida la presin es mxima en los puntos ms bajos de las depresiones y es mnima en los puntos ms altos de las crestas. La variacin en la presin a lo largo del contorno es la mitad de la longitud de onda fuera de fase con la forma de la pared (fig. 10.2).Trazando el rea de seccin transversal de un tubo de corriente formado por dos lneas de corriente cercana, se observ que la presin es mxima en la mayor rea de seccin transversal y es mnima en la menor rea de seccin transversal, un resultado que se ajusta a consideraciones unidimensionales.Las lneas de corriente a cualquier distancia de la pared son tambin aproximadamente en forma de coseno y estn en fase con la pared ondulada, pero la amplitud de la onda en la forma de lnea de corriente va terminando al aumentar la distancia desde la pared, de acuerdo con el trmino exponencial negativa de la ecuacin 10.34. Del mismo modo, la perturbacin producida por la pared, como se mide por la velocidad de perturbacin u y por el coeficiente de presin decae con la distancia creciente de la pared de acuerdo con el factor.

Efecto del nmero de Mach.

Cmo la compresibilidad influye en el patrn de flujo? Supongamos que tenemos una pared cuyo contorno est dado por la ecuacin. 10,35, con valores fijos de h y l. Ahora, para altos nmeros de Mach, es pequea, mientras que para bajos nmeros de Mach, aproxima a la unidad. Por lo tanto, vemos en primer lugar de la ecuacin. 10,38 que la diferencia entre la presin de flujo libre y la presin de la pared aumenta con el nmero de Mach de acuerdo con el factor . Examinando las Ecs. 10,34 y 10,37 muestran tambin que al aumentar el nmero de Mach de la perturbacin producida por la pared en el decaimiento de la corriente que fluye a una velocidad ms lenta. Por lo tanto, aumentando el nmero de Mach no slo acta para aumentar la diferencia de presin actuando sobre el cuerpo slido, pero los efectos de que el cuerpo slido se senta a mayores distancias laterales del cuerpo. Las conclusiones alcanzadas en los prrafos anteriores se ilustran en las Figs. 10,2 y 10,3.

Figura. 10,3. El Efecto del Nmero Mach sobre la presin de perturbacin para el flujo que pasa en forma ondulada de corriente.

(a) Coeficiente de presin mximo en la pared.(b) Decaimiento del coeficiente de presin lateral mxima.

- Si bien el flujo pasado por una superficie de forma ondulada no es en absoluto el mismo que el flujo que pasa por un perfil fino, sin embargo, parece plausible que los efectos del nmero de Mach sera mucho ms el mismo y que puede utilizar el ejemplo de la pared en forma ondulada como una gua en la estimacin de efectos de compresibilidad. As, desde el ascensor y momento que acta sobre un perfil se encuentran por integracin adecuada de las presiones que actan sobre la superficie del perfil, se podra esperar a partir de la ecuacin. 10,38 que como una primera aproximacin de los coeficientes de sustentacin y momento sera inversamente proporcional a , i, e.

Otra importante conclusin que puede todava extraerse de este ejemplo simple es que en experimentos de tnel de viento los efectos de la interferencia debido a las paredes del tnel son probablemente cada vez ms importante en los altos nmeros de Mach, debido a la influencia lateral de un perfil slido sumergido en una corriente aumenta al aumentar el nmero de Mach. Por razones similares, los efectos de la interferencia mutua entre palas en una turbina de flujo axial o compresor se puede esperar que se hacen ms grandes como el nmero de Mach se incrementa.Una conclusin interesante es que pequeas perturbaciones para el efecto del nmero de Mach en el coeficiente de presin es independiente de la relacin especfica de calor. Por supuesto, esto slo es vlido para la orden de aproximacin del mtodo linealizado.

10,6. Regla de GothertObservaciones generales sobre las leyes de similitud. En este artculo vamos a derivar una expresin que relaciona el flujo compresible subsnico ms all de un determinado perfil para el flujo incompresible pasado un segundo perfil derivada de la primera a travs de una transformacin afn. Tal expresin se denomina una ley de similitud. Puesto que posteriormente se derivan otras leyes de similitud para flujo transnico, supersnico, e hipersnicos, es apropiado discutir la filosofa que subyace a dichas leyes de similitud.Si las ecuaciones de movimiento podra ser resuelto fcilmente, las propias soluciones indicara muy claramente la naturaleza de cualquier similitud que puedan existir entre los miembros de una familia de patrones de flujo. Una derivacin separada de leyes de similitud sera, por lo tanto, ser superfluo.Estamos, de hecho no puede, en la mayora de los casos, para resolver las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, aunque se carece de soluciones, que pueden explotar el conocimiento de las formas de las ecuaciones diferenciales (y las condiciones de contorno asociadas), y por lo tanto derivar las leyes de similitud que necesariamente apareceran en las soluciones si este ltimo se pudo encontrar.La derivacin de leyes de similitud es una forma de anlisis dimensional con modelos distorsionados en lugar de modelos geomtricamente similares,Leyes de similitud puede ser til en un nmero de maneras prcticas. Por ejemplo, la regla Gothert para flujo subsnico, que se deriva en este artculo, nos permite predecir los detalles del flujo subsnico pasado un cuerpo a velocidades subsnicas si conocemos los detalles ltimos de un flujo incompresible en un cuerpo finalmente relacionado. Del mismo modo, las reglas de similitud transnicas e hipersnicos mostrar cmo los datos experimentales para un cuerpo determinado en un determinado , pueden ser aplicables a un organismo relacionado a un diferente .Transformacin de variables que conducen a la ecuacin de Laplace: Supongamos que una delgada, de dos dimensiones superficie de sustentacin est moviendo a la velocidad constante - a travs de un medio infinito gas que est en reposo a grandes distancias de la superficie de sustentacin. Para un observador que viaja con la velocidad uniforme de la superficie de sustentacin, la superficie de sustentacin es estacionaria, y el gas a grandes distancias de los flujos de la superficie de sustentacin ltimos la superficie de sustentacin con el uniforme, velocidad paralela (Fig. 10,1).El patrn de flujo es en primera aproximacin mediante la ecuacin diferencial lineal de la perturbacin potencial de velocidad,

Esta ecuacin, sin embargo, no es una descripcin completa del problema, ya que es necesario tambin para especificar las condiciones de contorno. A una distancia infinita en cualquier direccin desde la superficie de sustentacin de la velocidad es y la velocidad de perturbacin es cero. Por lo tanto podemos escribir

Adems, el vector de velocidad en la superficie del perfil debe ser tangente al propio perfil. Denotando las coordenadas de la superficie del perfil por , queremos expresar esta condicin de contorno (Fig. 10,1) por la relacin

Donde el subndice 8 indica las condiciones en la superficie del perfil. De acuerdo con la ec.10.25, sin embargo, estamos de acuerdo en la teora linealizada de ignorar en comparacin con la unidad. De ah que la condicin de frontera en el perfil se convierte en

Para un perfil de forma determinada, es decir, con un contorno determinado por una cierta funcin , la solucin de la ecuacin. 10.21a, sujeto a los lmites

condiciones dadas por la ec. 10.40 y 10.41, es en el mejor no es fcil. Sin embargo, se observ que la ecuacin 10.21a no es muy diferente en la forma de la ecuacin exacta para flujo incompresible, siendo este ltimo encontrado simplemente por ajuste igual a la unidad. Tambin, se puede recordar que uno de los dispositivos utilizados para la resolucin de ecuaciones diferenciales desconocidas es la bsqueda de una transformacin de variables que reduce la ecuacin diferencial de un familiar de una solucin para la que est disponible. Estas observaciones sugieren que por una transformacin adecuada podra ser posible para reducir la Eq. 10.21a a la ecuacin de Laplace, abriendo as la posibilidad de emplear la tienda bien desarrollado de teora y experimento para flujo incompresible. Una transformacin generalizada que conduce al resultado deseado se encontr mediante la definicin de nuevas variables x, y y (x ,y) como sigue:

donde x, y y son constantes cuyos valores se han de determinar. ahora transformar la ecuacin. 10.21a en el x, y y sistema de variables a travs de las siguientes relaciones:

sustitucin de stos en la ecuacin. 10.21a, se obtiene

Ahora, si ponemos

obtenemos

cual significa que el x, y y sistema de variables describe el movimiento de un fluido incompresible si x y y se eligen de manera que TRANSFORMADO CONDICIONES DE CONTORNO. Conocer la relacin completa entre el flujo compresible (x, y) y el flujo incompresible (x, y) tenemos que ver qu forma las condiciones de contorno transformadas tomar.a una distancia infinita de la superficie de sustentacin, mediante el empleo de la ecuacin. Con la ecuacin 10.40. 10,45, vemos que

a partir de estas relaciones se concluye que en el flujo incompresible no hay perturbaciones de velocidad a grandes distancias de la superficie de sustentacin y por lo tanto la velocidad es uniforme y paralela en el infinito.Volviendo ahora a la condicin de contorno en la superficie de sustentacin, observamos en primer lugar que las pendientes de perfil estn relacionados por

donde xs y ys representan las coordenadas del perfil transformado como propuesta por

Adems, observamos que las frmulas de transformacin dar

sustituyendo las ecuaciones. 10,52 y 10,50 en la condicin de contorno de la ecuacin. 10.41, llegamos despus de reordenamiento

si ahora establecido

y si tambin definir para ser igual a (lo cual puede hacerse sin prdida de generalidad), se obtiene

Comparacin de la ecuacin. Con la ecuacin 10.55. 10,41 muestra que la condicin de contorno para el flujo incompresible pasado un nuevo perfil definido por xs, ys estn satisfechos cuando y para recapitular lo que se ha logrado hasta ahora, se ha encontrado que la funcin ..... describe el flujo uniforme, incompresible paralelo pasado un nuevo perfil ...... a condicin de que ... y .... se eligen de manera como para satisfacer las Ecs. 10,47 y 10,54 y la velocidad en el infinito es el mismo para ambos flujos.Relacin entre geometras de perfiles correspondientes. Cmo funciona el flujo incompresible recin encontrado compara con el flujo compresible para el que est relacionado? lo vemos en las Ecs. 10,50 y 10,47 que

lo que significa que la pendiente del perfil en el patrn de flujo compresible es mayor por el factor de .... de la pendiente del perfil correspondiente en el patrn de flujo incompresible relacionada. Pero si la pendiente del perfil en cada punto es mayor por el factor de ...., tambin es cierto que la relacin de ngulo de cada, ngulo de ataque, y la relacin de espesor de todo debe ser mayor para la superficie de sustentacin compresible por el factor ... .. as, que denota la relacin de ngulo de cada por ...., el ngulo de ataque por "a" y la relacin de espesor por ...., hemos

para demostrar esta relacin para la relacin de espesor, por ejemplo, observamos que

donde .... es la diferencia de las ordenadas de perfil en el punto de grosor mximo del perfil, y .... es la longitud de la cuerda (que se encuentra en la direccin x). pero, a partir de la ecuacin. 10,51

y por lo tanto

que iba a ser probado.los resultados geomtricos expuestos anteriormente, se ilustra, de forma exagerada en la figura. 10,4, se observar que las relaciones de contraccin individuales ... y ..... no son importantes, ya que es la relacin de los dos que determina cambiado en la forma del perfil. por lo tanto, podemos establecer .... y ....., manteniendo as el mismo acorde pero cambiando las ordenadas, o podemos obtener resultados equivalentes por ajuste .... y ....., manteniendo las mismas coordenadas pero cambiando el acorde. el tipo de transformacin geomtrica involucrado aqu se denomina afn, lo que significa que todos los cordinates en un direcction dada se cambian en una proporcin uniforme. si un perfil se imprimieron en una goma delgada lmina uniforme, y la goma se estira con la tensin uniforme en ambos x e y direcciones, el perfil puede cambiar de forma de manera afn

Fig. 10.4 la transformacin de coordenadas para Gotherts rule.

Relacin entre las fuerzas en los perfiles correspondientes. La sustentacin en el perfil es determinado por la distribucin de la presin en la superficie del elemento aerodinmico, que a su vez se puede expresar en trminos del coeficiente de presin en la superficie. De la Ecuacin. 10.26 tenemos:

Del mismo modo, teniendo en cuenta que ya hemos establecido

Pero

A valores iguales de , y estn relacionados por la Eq. 10.58. Por lo tanto, la proporcin debe ser la misma que la proporcin . Un argumento similar conduce a la misma conclusin para el coeficiente de momento,

Lo que significa que si los dos perfiles estn relacionados de manera afn como se describe anteriormente, los coeficientes de sustentacin y de momento para el modelo de flujo compresible ser mayor que para el modelo de flujo incompresible relacionados con el factor de .Podramos preguntar si estos resultados tienen un significado prctico. Se ha acumulado informacin terica y experimental bastante extensa sobre las propiedades de las clases de perfiles afines relacionados en el flujo compresible, con variaciones sistemticas en el camber, relacin de espesor, y ngulo de ataque. Si se desea encontrar el coeficiente de elevacin de uno de estos perfiles en un nmero finito de Mach , uno encuentra primero (terica o experimentalmente) el coeficiente de elevacin en el flujo incompresible de un perfil afn relacionado cuyo Camber, relacin de espesor, y el ngulo de ataque son ms pequeos que los valores correspondientes para el perfil original de la relacin . A continuacin multiplicando el coeficiente de elevacin por , se encuentra el coeficiente de elevacin deseada para el flujo compresible.Este mtodo de proyeccin de los datos experimentales para flujo incompresible es a veces difcil, ya que requiere datos para una amplia gama de relaciones de espesor. Sera ms conveniente en muchos casos, saber como el nmero de Mach afecta al rendimiento de un perfil de forma fija. Las reglas de Prandtl - Glauert, que se discuten en el artculo siguiente dan informacin de este tipo.10.6la regla de Prandtl- GlauertLey de la semejanza para flujo incompresiblePor el momento vamos a considerar el fluido incompresible y bidimensional pasado de una familia afn de perfiles delgados. Se sabe que para tales perfiles afines relacionados con los coeficientes de presin en puntos correspondientes son aproximadamente proporcionales a las proporciones de grosor (y, por supuesto, de forma simultnea a las proporciones de camber y los ngulos de ataque). Por ejemplo, si en el caso de la pared ondulada consideramos h / l como la "relacin de espesor" es evidente de la Ec. 10.37 y 10.38 que el coeficiente de presin es proporcional a la relacin de espesor. Como segundo ejemplo, consideramos un flujo incompresible en una placa plana inclinada: la teora aerodinmica clsica muestra que la elevacin es proporcional al ngulo de ataque.

Siguiendo este orden de ideas, consideramos dos perfiles afines el flujo incompresible que se relacionan de la siguiente manera:

Entonces se deduce que, por lo menos aproximadamente

Combinacin de la regla Gothert con la ley de semejanza incompresibleLa regla anterior para flujo incompresible nos da la oportunidad de obtener otros criterios de semejanza entre flujo incompresible y compresible. Ya que si combinamos las relaciones anteriores con las Ec. 10,57, 10,58 y 10,59, encontramos que si el perfil compresible (sin prima) se relacionada con un perfil afn incompresible (doble prima) de tal forma que:

Entonces la accin de las fuerzas in los dos fluidos son relacionados a travs de

Estas ecuaciones significan que para el mismo perfil en el mismo ngulo de ataque el coeficiente de presin, coeficiente de elevacin y coeficiente de momento se ven afectados por nmero de Mach en proporcin al factor .De la ecuacin. 10,60 y 10,61 se deduce tambin que para un perfil dado, la pendiente de la curva elevacin es proporcional a :

Es provechoso llevar esta lnea de ataque un paso ms all. Ahora vamos a considerar dos perfiles afines relacionados en el flujo incompresible, para los que

de modo que, por lo menos aproximadamente,Ahora vamos a combinar estas relaciones con las Ec. 10,57, 10,58, y 10,59.Se encuentra que si el perfil compresible (sin prima) se relacionada con el perfil afn incompresible (3 prima) de tal forma que

Entonces

Estas ecuaciones significa que la distribucin de la presin adimensional, coeficiente de elevacin y coeficiente de momento ser el mismo para flujo compresible e incompresible si los perfiles son afinamente relacionados de tal forma que el perfil compresible es ms pequeo en relacin camber, relacin de espesor, y el ngulo de atacar por el factor Esta forma de la regla de similitud es a veces til para hacer predicciones acerca de la capa lmite de separacin, para el ltimo es en gran parte dependiente de la gradiente de presin adimensional en la superficie del perfil. Si el efecto del nmero de Mach en la separacin de la capa lmite se supone que son pequeas, por ejemplo, entonces las ec. 10,63 y 10,64 muestran que, con el fin de evitar que se cale el perfil en un flujo compresible, el perfil debe ser ms delgadas, tienen un menor valor de , y estar a un ngulo de ataque menor de lo que sera admisible con un flujo incompresible.Resumen de las leyes de similitud. Las tres leyes de similitud puede ser convenientemente resumirse en los siguientes enunciados simblicos:

Afirmaciones idnticas se aplican a y.Ec. 10,65 corresponde a las ecuaciones. 10,57 y 10,58, y se debe leer: "El coeficiente de presin en un punto determinado para flujo compresible con Nmero Mach pasado un perfil que tiene parmetros geomtricos de magnitud , y es mayor por el factor de que el coeficiente de presin en el punto correspondiente para el flujo incompresible ( ) pasado un perfil affinely relacionados que tienen parmetros geomtricos de la magnitud y .Las tres reglas se ilustran en la figura. 10,5 regla I es la regla de Gothert, y es el ms exacto de los tres. Reglas II y III se conoce como la regla de Prandtl-Glauert, y se derivaron originalmente incorrectamente, dado que las condiciones de contorno transformadas no se tuvieron en cuenta. Para flujos bidimensionales este descuido no era grave, o al menos introducir errores no es peor que ya sean inherentes a las ecuaciones linealizadas. El descuido no fue apreciado durante aproximadamente veinte aos, hasta que resultados anmalos fueran obtenidos en la comparacin de la regla II con resultados experimentales y exactos tericos para el flujo los cuerpos delgados pasados de revolucin.

Para tales axi-simtrica fluye el coeficiente de presin incompresible no es proporcional a la relacin de espesor, y por lo tanto Reglas II y III no son aplicables. Gothert formul la regla ms general I y mostr la manera correcta de extenderlo a tres dimensiones corrientes (captulo 13).Efecto del Nmero Mach sobre el flujo Lejos de perfil. Hasta ahora hemos considerado la influencia de en la distribucin de la presin en la superficie del perfil. A grandes distancias de un perfil dado se puede demostrar que, en un punto dado (vase el problema 10.6)

Modificacin Laitone de Prandtl-Glauert Regla. Una mejora en la Regla II ha sido sugerida por LaitoneLa teora de linealizacion es evidentemente no aplicable para perturbaciones grandes. O, dicho diferentemente, es solo aplicable para regiones dondees muy pequeo y para valores bajos de . Una mejor aproximacin es obtenida escribiendo la regla II en trminos del nmero de Mach local en vez de en trminos de la libre- corriente del nmero de Mach . Este procedimiento implica que las ecuaciones de linealizacion no son aplicadas para el campo entero del flujo pero en lugar de eso para el campo local del flujo que es considerado aproximadamente uniforme in una pequea regin.Deje ser el coeficiente de presin en un cierto punto del flujo compresible despus de un perfil, y deje ser el coeficiente de presin en el mismo punto del flujo compresible despus del mismo perfil. Entonces, por la hiptesis de Laitone

Eq.10.22 de es en este caso escrito con en el lado derecho.La relacin es dada por la relacin isoentropica del captulo 4 como

Sustituyendo esto dentro la Eq.10.22, y resolviendo para , obtenemos

Sin embargo, desde que la teora de linealizacion ignora condiciones de ms grande que primer orden in , la anterior expresin puede ser expandida por el teorema binomial para dar

Sustituyendo esto dent de la Eq.10.68, y resolviendo para , obtenemos finalmente

Para muy pequeos valores de , Se ve que esto es sustancialmente idntico con la regla Prandtl-Glauert. Usualmente estamos interesados in regiones donde el coeficiente de presin es negativo. Para tales regiones Eq.10.69 indica una mayor influencia de Nmero de Mach en que hace la regla Prandtl-Glauert. Adems, Eq.10.69 est conforme con resultados experimentales en predecir que los efectos de compresibilidad son proporcionadamente mayores para regiones de coeficiente negativo alto de presin que regiones de coeficiente negativo bajo de presin.La regla de correccin de presin de Eq.10.69 no puede ser extendida para la prediccin de Fuerzas, porque el efecto del Numero de Mach en es diferente en cada punto del perfil.Si la distribucin de presin para el flujo incompresible es conocida, entonces, la distribucin de presin del flujo compresible puede ser encontrada de la Eq.10.69. Entonces, por integracin, el levantamiento y los coeficientes de momento del flujo compresible pueden ser estimados.10.7. Resultados experimentales para delgados perfiles

Fig.10.6. comparacin de las medidas de elevacin curva de pendiente para NACA 4412 Perfil (12% de espesor) con regla Prandtl-Glauert (despus de Stack, Lindsey y Littell)

Fig.10.7. Comparacin de la medida de elevacin curva de pendiente para la seccin de la hlice de un 6% de espesor con regla Prandtl-Glauert (despus Ferri)Es evidente que las suposiciones en las cuales la regla es basada estn en la mayora de casos prcticos y satisfechos nicamente en una forma muy aproximada. Por ejemplo, aunque la velocidad de perturbacin es tomada como insignificante comparado con la velocidad de corriente libre, en el punto de estancamiento la velocidad de perturbacin es exactamente igual a la velocidad de corriente libre.Fig.10.6 Demuestra en una forma tpica el efecto experimental de en la cuesta de la curva de alza para un perfil de 12 % de grueso. Los datos similares para una hlice de seccin de6% de espesor la relacin se muestra en la Fig.10.7.Hasta el Numero de Mach donde el alza comienza a descender agudamente por "el borboteo de compresibilidad", la regla Prandtl-Glauert predice el efecto general de pero menosprecia la magnitud del efecto. Como pudiera esperarse de la naturaleza de la teora lineal, la regla Prandtl-Glauert es ms exacta para el perfil del solvente. El burbujeo de compresibilidad

es asociado con respecto a la de ondas de choque cerca del perfil que, en virtud de gradientes de presin adversos, la separacin de flujo de productos. Este efecto es muy similar al parar en los altos ngulos de ataque. Fig 10.8 muestra el efecto sobre el coeficiente de presin en el acorde del 30 % sobre la superficie superior de NACA 4412 funcionando con un ngulo de ataque de 2. Aqu otra vez es evidente que la regla de Prandtl-Glauert es correcta en cuanto a la orden de magnitudes, pero subestima los efectos de compresibilidad. De estos resultados tpicos podemos concluir que Prandtl - Glauert predice la regla de los efectos de con una buena exactitud para perfiles muy delgados en los nmeros de Mach. Para perfiles gruesos y altos los Nmeros de Mach, proporciona una gua a las rdenes de magnitud, pero no es bastante exacta para objetivos de diseo.Para datos adicionales experimentales que ilustran la validez de la regla de Prandtl-Glauert, el lector se remite a los Captulos 11 y 12. La modificacin de Laitone de la regla de Prandtl-Glauert es vista en la Fig. 10.8 predice que la variacin de Cp con el es algo mejor que hace la regla de Prandtl-Glauert. Debera ser notado aqu que ningn similitud de la regla puede ser correcto para todos los perfiles, y de ah el diferente similitud en las leyes se comparan ms o menos favorablemente con el experimento, dependiendo la forma de perfil, el ngulo de ataque, posicin de medida, etc.No debe a mal aqu indicar que la frmula de correccin de presin de Karman-Tsien (el Captulo 11) es generalmente en el mejor acuerdo con el experimento que es la regla de Prandtl-Glauert.

10.8 Correcciones de Tnel aerodinmico

Definicin del Problema. Cuando un perfil de ala es probado en un tnel aerodinmico, las correcciones deben ser hechas al levantamiento moderado y coeficientes de momento para obtener los coeficientes correspondientes para el mismo perfil en una corriente de aire infinita. Estas correcciones son necesarias porque las condiciones divisorias del flujo en un tnel son diferentes de aquellos en una corriente de aire grande. Para pruebas bidimensionales, con el ala que atraviesa una seccin rectangular de prueba, la correccin de tnel depende principalmente de la l/h de proporcin, donde es el acorde del perfil y la h es la media altura del tnel (la fig 10.9a). En incompresible fluyen los mtodos de fabricacin

tales correcciones son bien desarrolladas. Ahora sacaremos las reglas de semejanza que muestran en el efecto de compresibilidad sobre los factores de correccin del tnel. Transformaciones de Semejanza. La ecuacin diferencial que describe el flujo es, como antes, Eq. 10.21a. Introduccin de las frmulas de transformacin, Eqs. 10.42, 10.43, y 10.44, conseguimos Eq. 10.46 y hallamos como antes de esto representa un modelo de flujo de incompresible si .Lejos de la corriente de arriba y lejos de la corriente de abajo del perfil, la condicin divisoria es:

Utilizando las Eqs. 10.42 y 10.45, nosotros vemos que la condicin correspondiente divisoria en el flujo incompresible es:

Que quiere decir que en el flujo incompresible de la corriente est tranquila. La condicin divisoria en la pared de tnel es:

Para el caso incompresible, la condicin de contorno corresponde, de acuerdo con las siguientes frmulas de transformacin:

De la que se sigue que v es cero y y= h en donde:

En el flujo incompresible la condicin de frontera en las paredes del tnel, se satisface cuando la altura media es yPor lo tanto, se deduce que:

Con respecto a las condiciones de contorno en el perfil, las Ecs. 10,50 a 10,55 son aplicables aqu, y se da el requisito de que:Escriba aqu la ecuacin.Del mismo modo, la ecuacin 10.58 que muestra la conexin entre los respectivos coeficientes de presin, es vlida tambin para este caso.Reglas de similitud: De la combinacin de las anteriores consideraciones, se obtiene la siguiente regla de similitud.Similitud I:

Si h/l es considerablemente mayor que la unidad, entonces, como en el caso de un nico perfil en un flujo infinito, existe una ley de similitud para los estados de flujo incompresible

Donde n es una constanteMediante el empleo de esta regla aproximada para el flujo incompresible, se puede derivar de la ecuacin 10.70 las siguientes reglas:

Similitud II:

Similitud III:

En ninguna de estas ecuaciones, se muestra el efecto de Ms sobre un dispositivo de ensayo de geometra fija. Estas reglas se ilustran en la figura 10,9. Estas mismas normas se aplican a los coeficientes de sustentacin y el momento La interferencia de coeficiente de presin Cp se define como el valor de Cp en las paredes presentes del tnel menos el valor de Cp de las paredes ausentes del tnel. Se puede demostrar (vase el problema 10.10) que el efecto de la compresibilidad en el coeficiente de presin de interferencia en un punto fijo, en un perfil de forma fija, en un tnel de tamao fijo, est dado aproximadamente por:

10.9 FLUJO BIDIMENSIONAL EN EL INTERIOR DE PASAJESTomando en cuenta un flujo bidimensional dentro de un conducto, como se muestra en la figura. 10.10. Supondremos que los contornos de la pared son tales que las perturbaciones de la velocidad son lo suficientemente pequeos para permitir la aplicacin de la teora lineal

Fig. 10.10 flujo bidimensional en un ductoAplicacin de la regla de Gotherts: Se predisponen a utilizar las reglas de anlisis de similitud, para este caso la similitud I (regla de Gotherts) es admisible, ya que las aproximaciones involucradas en las condiciones de frontera cerca de los perfiles delgados son aplicables, a diferencia de las reglas de similitud II y III que no son aplicables a las condiciones de contorno en las paredes del conducto, como se aprecia en la figura 10.10.

Con los resultados anteriores, el Estado Gotherts para el caso que se nos presenta puede ser fcilmente aplicado. Consideramos una transformacin afn del conducto, tal que:

Este es el orden en que estas cantidades dadas debern corresponder al flujo incompresible, por ello estipulamos que:

En los puntos correspondientes al flujo incompresible o compresible, se imponen las siguientes relaciones:

Por lo tanto, utilice uno de los muchos mtodos para la obtencin de los patrones de flujo incompresible, con esta regla es posible construir aproximadamente una serie de patrones correspondientes para flujo compresible.Flujo Unidimensional. El mtodo dado aqu se refiere a los flujos que son esencialmente de dos dimensiones y no sirve a ningn propsito til para flujo unidimensional porque en este ltimo caso hay mtodos mas sencillos precisos a la mano. Sin embargo, muchas veces empleamos consideraciones unidimensionales para verificar para un caso lmite la validez de la regla proporcionada anteriormente. Supongamos que tenemos un largo conducto de anchura uniforme seguido por un ligero cambio en su rea, despus de lo cual el conducto es de nuevo constante en anchura (Figura 10,11). Lejos aguas arriba y aguas abajo de la medida del cambio, el flujo es casi unidimensional, y por lo tanto, podemos utilizar para una sola dimensin, frmulas para el clculo de los cambios entre las dos secciones.

Fig. 10.11. Ilustra la verificacin de regla Gothert para flujo unidimensionalQu regla de Gothert nos habla sobre este problema? En primer lugar, ya que la transformacin es afn, la ec. 10,73 muestra que el cambio fraccional en el rea, dA / A, tomada en un sentido unidimensional, es el mismo para los patrones compresible e incompresible que se van a comparar. La ec. 10,75 luego, indica que, para el mismo cambio fraccional en el rea, Utilizando la ecuacin de Euler, el coeficiente de presin para cambios pequeos puede escribirse = = = Ahora, empleando las consideraciones unidimensionales anteriormente mencionados, se encuentra en la Tabla 8,1 que para flujo isentrpico, = Y, en consecuencia, = Lo que demuestra que el coeficiente de presin es de hecho proporcional a para una relacin de rea dada. Por lo tanto hemos verificado Gothert regla para el caso lmite considerado aqu.REFERENCIAS Y BIBLIOGRAFIA SELECCIONADA1. ACKERET, J. 1. GOTHERT, B.1. STACK, J. LINDSEY, W.E, and LITTELY, R.E1. FERRI, A.1. TSIEN, H.S and LEES, L.1. HUNSAKER, J.C1. GLAUERT, H.1. GOLDSTEIN,S.1. LAITONE, E.V.PROBLEMAS10,1. Considere flujo subsnico bidimensional con pequeas perturbaciones, y suponiendo que la regla Prandtl - Glauert es vlida. Si la corriente libre de nmero de Mach en el que la velocidad local en un primer perfil se convierte en snico es 0,8, Cual el coeficiente mximo de presin negativa en el perfil para nmeros de Mach muy bajos?10.2. El coeficiente de presin local se define como = Demostrar que el valor del coeficiente de presin correspondiente a la velocidad crtica sobre la superficie de un perfil aerodinmico est dada por* = Grafica * versus con valores entre 0 y 1 para k=1.4.