7/17/2019 Dinamica Final

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FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

INFORME ACADÉMICO

“VIBRACIÓN EN SISTEMAS CONTINUOS”

AUTORES:

Héctor Manue A!a"#$uén Poo

Ga%r#e A%ra&'n Ra!(re) Pe)o *u+#t& Paoa ,artra Meén+e)

V(ctor Manue Enr(-ue) S'nc&e)

A"e"or:

In./ Geo0re1 2/ Saa" De.a+o

 TRARAPOTO 3 PER4

56789

INTRODUCCIÓN

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Lo" "#"te!a" !ater#ae" e"t'n co!;ue"to" ;or un n<!ero tan

.ran+e +e ;art(cua" -ue =#%ran +e $or!a aco;a+a> -ue re"utar(a

a%"ur+o #ntentar +eter!#nar e co!;orta!#ento +e una "oa +e a"

;art(cua" +e "#"te!a? a n#=e !#cro"c@;#co e" =#"#%e a

#rre.uar#+a+ +e a e"tructura +e o" !ater#ae"? #rre.uar#+a+ -ue

+e"a;arece !uc&a" =ece" a n#=ee" !acro"c@;#co" +on+e e

;ro!e+#o +e "#"te!a +e ;art(cua ;re+o!#na "o%re o" ca"o"

#n+#=#+uae"/

La" =#%rac#one" en "#"te!a" cont#nuo" e"t'n re.#+a" ;or a

ecuación de la Onda? #n#c#are!o" !ue"tro e"tu+#o +e te!a>

+e"cartan+o un ;oco e or#.en 1 eten"#@n +e o -ue re;re"enta 1

a%arca e"ta ecuac#@n +#$erenc#a ;arc#a? "oo no" #!#tare!o" en

e"te te!a a e"tu+#ar o" ca"o" !'" "#!;e" +e a" on+a"

e"tac#onar#a" 1 co!o +a+a c#erta" con+#c#one" o" "#"te!a"!ater#ae" 5"@#+o" o Bu#+o"/

Lo" !o+eo" cont#nuo" "e $or!uan !e+#ante ecuac#one" en

+er#=a+a" ;arc#ae" -ue #!;#can una !a1or +#cuta+ +e

re"ouc#@n> 1 "@o en ca"o" "#!;e" ;ue+en "er re"ueto" +e $or!a

ana(t#ca/ Para "#"te!a" !'" co!;eo" &a1 -ue recurr#r a a

re"ouc#@n +e +#c&a" ecuac#one" a;#can+o !éto+o" nu!ér#co"> o e

Méto+o +e o" Ee!ento" F#n#to"/ Una ecuac#@n +#$erenc#a ;arc#a

#n=oucra +o" o !'" =ar#a%e" 1 !uc&a" $unc#one" +#$erente"

;ue+en "er "ouc#@n? ;or eo ;ara +eter!#nar "u "ouc#@n no "e

;ue+e ;roce+er co!o una ecuac#@n +#$erenc#a +e una "oa =ar#a%e

1 e#"t#r'n =ar#o" t#;o" +e con+#c#one"> #n#c#ae" "# +e;en+en +e

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t#e!;o o con+#c#one" +e $rontera" "# +e;en+en +e a ;o"#c#@n?

con+#c#one" -ue ;er!#t#r'n +eter!#nar a" +#"t#nta" $recuenc#a"

nor!ae" +e =#%rac#@n 1 o" !o+o" +e =#%rac#@n corre";on+#ente"/

VIBRACIONES MECANICAS.

¿Qué e una !i"#ación$

Una !anera "enc#a +e +e"cr#%#r o -ue e" e"te conce;to "er(a: e

!o=#!#ento cont#nuo 1 re;et#t#=o +e un o%eto are+e+or +e una

;o"#c#@n +e e-u##%r#o/ La ;o"#c#@n +e e-u##%r#o e" a a -ue "e e.ar'

cuan+o a $uer)a -ue act<a "o%re e o%eto "ea cero/

E $en@!eno +e =#%rac#@n e" %enéco ;ara a.una" "#tuac#one" co!o

e ca"o +e $unc#ona!#ento +e #n"tru!ento" !u"#cae" con cuer+a"

co!o a .u#tarra 1a -ue ;or !e+#o +e e"te "e ;ro+uce e "on#+o 1 "e

&ace tra%aar +#c&o #n"tru!ento? "#n e!%ar.o a !a1or(a +e a" =ece"

e"to no re"uta +e"ea%e ;ue" en otro" ca"o" ;or e contrar#o

;eru+#ca "#"te!a" e='n+oo" a ;er+er ;arte"> aBoar un#one" o

#ncu"o +e"en"a!%ar"e ;or cau"a +e !#"!o !o=#!#ento/

E"te t#;o +e =#%rac#@n "e a!a =#%rac#@n +e cuer;o entero> o -ue

-u#ere +ec#r -ue to+a" a" ;arte" +e cuer;o "e !ue=en unta" en a

!#"!a +#recc#@n 1 en cua-u#er !o!ento/

E !o=#!#ento =#%rator#o +e un cuer;o entero "e ;ue+e +e"cr#%#r

co!;eta!ente co!o una co!%#nac#@n +e !o=#!#ento" #n+#=#+uae"

+e t#;o" +#$erente"/ E"o" "on tra"ac#one" en a" tre" +#recc#one"

orto.onae" 5> 1> ) 1 rotac#one" are+e+or +e o" ee" 5> 1> )>

cua-u#er !o=#!#ento co!;eo -ue e cuer;o ;ue+a re;re"entar "e

;ue+e +e"co!;oner en una co!%#nac#@n +e e"o" "e#" !o=#!#ento"/

De un ta cuer;o "e +#ce -ue ;o"ee "e#" .ra+o" +e #%erta+/

E" #!;ortante !enc#onar -ue ;ara ;o+er enten+er o -ue oca"#onan

o" +#$erente" t#;o" +e =#%rac#one" "e +e%e conocer "u" co!;onente"

%'"#co" -ue "on: "u !a"a 1 "u $uer)a re"taura+ora/

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O%#a &ane#a de e'(lica#l) e" -ue o" !o=#!#ento" =#%rator#o" en

!'-u#na" "e ;re"entan cuan+o "o%re a" ;#e)a" e'"t#ca" act<an

$uer)a" =ar#a%e"/ Genera!ente e"to" !o=#!#ento" "on #n+e"ea%e">

aun cuan+o en a.uno" ca"o" "e +#"ean +e !anera +e#%era+a en a

!'-u#na/

E an'#"#" +e a" =#%rac#one" re-u#ere e "#.u#ente ;roce"o .enera:

• E=auar a" !a"a" 1 a ea"t#c#+a+ +e a" ;#e)a" a e"tu+#o/• Cacuar a cant#+a+ +e ro)a!#ento actuante/• I+ea#)ar e #!;e!ento !ec'n#co rea> ree!;a)'n+oo ;or un

"#"te!a a;ro#!a+a!ente e-u#=aente +e !a"a"> re"orte" 1

a!ort#.ua+ore"/• E"cr#%#r a ecuac#@n +#$erenc#a +e !o=#!#ento +e "#"te!a

#+ea#)a+o/• Re"o=er a ecuac#@n e #nter;retar o" re"uta+o"/

E "#"te!a #+ea !'" "enc#o con"#"te +e una !a"a <n#ca> un re"orte

<n#co 1 un a!ort#.ua+or co!o "e !ue"tra en a .ura/ E"te "#"te!a

"e +ene co!o un "#"te!a +e un .ra+o +e #%erta+/

m x ´ ´ +c x ´ +kx= f (t )

Cua-u#er "#"te!a +e un "oo .ra+o +e #%erta+ ;ue+e +e"cr#%#r"e ;or

!e+#o +e a !#"!a $or!a +e ecuac#@n +#$erenc#a e"cr#ta

anter#or!ente> "# a $uer)a +e re"orte e" ;ro;orc#ona a

+e";a)a!#ento 1 a $uer)a +e ro)a!#ento e" ;ro;orc#ona a a

Dónde*&* !a"a+* con"tante +e re"orte 5$uer)a ;orun#+a+ +e +e$or!ac#@nc*  con"tante +e a!ort#.ua!#ento5$uer)a ;or un#+a+ +e =eoc#+a+/ Se"u;one -ue e a!ort#.ua!#ento e"=#"co"o> e" +ec#r> -ue a $uer)are"#"tente e" ;ro;orc#ona a a=eoc#+a+/, -%*  $uer)a eterna> $unc#@n +e

t#e!;o/* +e";a)a!#ento +e a !a"a +e"+ea ;o"#c#@n +e e-u##%r#o e"t't#co

: +er#=a+a" ;r#!era 1 "e.un+are";ect#=a!ente +e con re";ecto a

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=eoc#+a+/ Para e "#"te!a .enera +e un "oo .ra+o +e #%erta+

;o+e!o" e"cr#%#r:

me x´´ +ce x

´ +k e x= f (t )

Don+e !e>ce>e "on a !a"a e-u#=aente> a con"tante +e

a!ort#.ua!#ento e-u#=aente 1 a con"tante +e re"orte e-u#=aente>

re";ect#=a!ente/ E +e";a)a!#ento ;ue+e "er #nea o an.uar/

IM0ORTANCIA DE 1AS VIBRACIONES MEC2NICAS

En a era !o+erna> .ran+e" a;ortac#one" !ate!'t#ca" =#n#eron are"o=er a.uno" ;ro%e!a" en e ca!;o +e a" =#%rac#one"!ec'n#ca"/

En e ca"o +e o" !éto+o" +e Ra1e#.& -ue "#r=en ;ara +eter!#nar a"$recuenc#a" +e re"onanc#a +e a.uno" ee!ento" %a"'n+o"e enecuac#one" +e ener.(a> a" =ar#a%e" +e e"ta+o -ue ;er!#tenJre"o=erK 1 ana#)ar ;ro%e!a" %a"a+o" en ecuac#one" +#$erenc#ae"

no #neae"/

Ee!;o:

C1ASI,ICACIÓN DE 1AS

VIBRACIONES.

1a !i"#aci)ne )n li"#e/3 Cuan+o no e#"ten $uer)a" o acc#one"eter#ore" +#recta!ente a;#ca+a" a "#"te!a a o ar.o +e t#e!;o/

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V#%rac#one"L#%re"

A!ort#.ua+a"

No A!ort#.ua+a"

V#%rac#one"For)a+a"

A!ort#.ua+a"

No A!ort#.ua+a"

1a !i"#aci)ne )n 3)#4ada/3 Cuan+o e#"ten acc#one" oec#tac#one" +#recta!ente a;#ca+a" a "#"te!a a o ar.o +e t#e!;o>a+e!'" +e a" $uer)a" o !o!ento" #nterno"/

 Tanto a" =#%rac#one" li"#e co!o a" 3)#4ada ;ue+en "u%+#=#+#r"e>

+e;en+#en+o +e a e#"tenc#a o no +e $uer)a" re"#"tente" -uea!ort#.uan e !o=#!#ento =#%rator#o> en:

Sin a&)#%i5ua&ien%). No e#"te re"#"tenc#a ;a"#=a a !o=#!#ento+e "#"te!a/

C)n a&)#%i5ua&ien%). E#"ten re"#"tenc#a" ;a"#=a" a !o=#!#ento+e "#"te!a> e" +ec#r> $uer)a" o !o!ento" +#"#;at#=o" -ue a!ort#.uane !o=#!#ento =#%rac#ona/

De6nición de una !i"#ación li"#e

Una e"tructura e"t' en =#%rac#@n #%re cuan+o e" ;ertur%a+a +e "u

;o"#c#@n e"t't#ca +e e-u##%r#o 1 co!#en)a a =#%rar "#n a ec#tac#@n +e

una $uer)a eterna a.una 5P   5t7/ E"ta" =#%rac#one" "e ;re"entan

cuan+o +e";ué" +e una ;ertur%ac#@n #n#c#a> no e#"te $uer)a eterna

+e ec#tac#@n> e"to e"> F 5t 7/ La ecuac#@n +#$erenc#a e":

me x´´ +ce x

´ +k e x=0

Se %u"can "ouc#one" +e a $or!a: C e"t

A"(> a "ouc#@n +e e"ta ecuac#@n ;ue+e e"cr#%#r: Ae"8t ,e"6t/

D@n+e: S1=

−C e

2me +

√(  ce

2me )− k e

me   1 S2=

−C e

2me −

√(  ce

2me )− k e

me

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  A81 A6 Son con"tante" +eter!#na+a" ;or a" con+#c#one" #n#c#ae"/

A =aor 2√ k e ∙me  "e +eno!#na a&)#%i5uad) c#7%ic) Cc.

Se +ene e a!ort#.ua!#ento reat#=o co!o e coc#ente entre e

a!ort#.ua!#ento rea 1 e a!ort#.ua!#ento cr(t#co/   ξ=C e

C c

Se (ueden di%in5ui# 8 ca)*

8/ A!ort#.ua!#ento "u;ercr(t#co/6/ A!ort#.ua!#ento cr(t#co/

/ A!ort#.ua!#ento "u"cr#t#co/Q/ A!ort#.ua!#ento nuo 5ee"/

Vi"#ación li"#e a&)#%i5uada

Con o +e"cr#to en a +en#c#@n anter#or no" ;o+e!o" +ar una %re=e

#ntro+ucc#@n a o -ue e" una =#%rac#@n #%re a!ort#.ua+a> ;ero e"

nece"ar#o -ue +ena!o" +e !anera !'" ;ro$un+a e"te conce;to +e

!o=#!#ento +e un o%eto/

En to+o" o" !o=#!#ento" o"c#ante" reae"> "e +#"#;a ener.(a

!ec'n#ca +e%#+o a a.<n t#;o +e $r#cc#@n o ro)a!#ento> +e $or!a -ue

+ea+o #%re!ente a "( !#"!o un !uee o ;én+uo na!ente +ea +e

o"c#ar/ E"te !o=#!#ento "e +eno!#na a!ort#.ua+o 1 "e caracter#)a

;or-ue tanto a a!;#tu+ co!o a ener.(a !ec'n#ca "e +#"!#nu1en

con e t#e!;o/

La ecuac#@n +#$erenc#a -ue +e"cr#%e e !o=#!#ento e":

m x´ ´ +c x

´ +kx= f (t )

La "ouc#@n +e e"ta ecuac#@n +e !o=#!#ento no" ;er!#te o%tener e

+e";a)a!#ento en $unc#@n +e t#e!;o:

 X  (t )= xm∗e−(   c

2m ) t 

sen ( wd∗t +δ )

Dónde*

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2+ e" a $recuenc#a an.uar +e a =#%rac#@n a!ort#.ua+a/

C e" e coec#ente +e a!ort#.ua!#ento/

  co!o "e +#o anter#or!ente e#"te un =aor C a!a+o coec#ente +e

a!ort#.ua!#ento cr(t#co 5Cc> e cua "e o%t#ene +e a "#.u#ente

$or!ua:

C c=2m ωn

Dónde*

2n e" a $recuenc#a natura +e "#"te!a "#n ro)a!#ento/

La con"tante 5ccc "e conoce co!o $actor +e a!ort#.ua!#ento/ En

.raco "#.u#ente "e re;re"enta una t(;#ca .raca +e !o=#!#ento

a!ort#.ua+o +é%# 1 "e o%"er=a -ue aun cuan+o a a!;#tu+ e"

+ecrec#ente> e ;er(o+o +e a =#%rac#@n "e !ant#ene con"tante/

Gr'co +e una =#%rac#@n a!ort#.ua+a

E coec#ente +e a!ort#.ua!#ento cr(t#co> Cc 1 a ra)@n o reac#@n +e

a!ort#.ua!#ento cr(t#co> "on ;ar'!etro" -ue +eter!#nan e t#;o +e

!o=#!#ento +e "#"te!a/

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Co!o e;u"#!o" ante" en =#%rac#one" #%re e#"ten Q n#=ee" +e

a!ort#.ua!#ento o" cuae" e;#care!o" a cont#nuac#@n:

A&)#%i5ua&ien%) 3ue#%e ) u(e#c#7%ic)

Se ;ro+uce cuan+o CCC  1 corre";on+e a un !o=#!#ento no

=#%rator#o> ;or-ue e "#"te!a recu;era "u ;o"#c#@n +e e-u##%r#o "#n

o"c#ar/

La ecuac#@n +e e"te ca"o e":

(   C e

2me )2

> K e

me

→ C e>2√  K e∗me

La" ra(ce" +e a ecuac#@n "on +o" "ouc#one" +#"t#nta"> reae" 1

ne.at#=a":

 X = A∗es1∗t +B∗e

s2∗t 

La "ouc#@n no e" +e t#;o on+uator#o "#no -ue e" +e t#;o e;onenc#a

+ecrec#ente> 1 t#en+e ante" a cero con$or!e !a1or e" e

a!ort#.ua!#ento Ce:

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A&)#%i5ua&ien%) c#7%ic)

Se ;ro+uce cuan+o CCC 1 a-u( e !o=#!#ento ta!;oco e" =#%rator#o/

La ecuac#@n ;ara e"te "e.un+o ca"o e" a "#.u#ente:

(  C e

2me )2

=

 K e

me →C e>2√  K e∗me

La" ra(ce" +e a ecuac#@n "on +o" #.uae"> reae" 1 ne.at#=a":

 X =( A+B)∗e

−C e2m e

∗t 

S# e a!ort#.ua!#ento e" #.ua o !a1or -ue e cr(t#co> entonce" a

"ouc#@n +e a ecuac#@n ;ara =#%rac#one" #%re" no cont#ene tér!#no";er#@+#co"/ La !a"a> +e";ué" +e a ;ertur%ac#@n #n#c#a> re.re"a a a

;o"#c#@n +e e-u##%r#o ;ero no o"c#a/ E" +ec#r> en e"te ca"o> a #.ua

-ue en e ca"o 8> a "ouc#@n no e" +e t#;o on+uator#o "# no +e t#;o

e;onenc#a +ecrec#ente/

E ca"o 8 corre";on+e con 8 1 e ca"o 6 con 8/

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A&)#%i5ua&ien%) u"c#7%ic)

Se ;ro+uce cuan+o CCC 1 en e"te ca"o e !o=#!#ento e" =#%rator#o

+e a!;#tu+ +ecrec#ente/

(  C e

2me )2

< K e

me

→ C e>2√  K e∗me=C C 

E"te ca"o corre";on+e con 8/

La" ra(ce" +e a ecuac#@n "on +o" "ouc#one" +#"t#nta" 1 co!;ea"/

 K e

2me

¿2

¿ K eme

−¿

 j∗√ ¿

 X =− A∗e

−C e

2me

∗t 

∗e¿

 X = X ∗e∝∗t ∗sin (w d t +γ )

Don+e a" con"tante" > "e +eter!#nan +e a" con+#c#one" #n#c#ae"/

∝=  C e

2me

C e

2me

¿2

 K e

me

−¿

w d=√ ¿

2+ e" a $recuenc#a a!ort#.ua+a +e "#"te!a/ S# e a!ort#.ua!#ento

$uera cero> a $recuenc#a "er#a W n=√ K eme

 > a cua "e a!a $recuenc#a

natura/

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A&)#%i5uad)# nul) -e9e.

En e"te ca"o>  x= x∗sin (wd t +γ )

E "#"te!a tra" a ;ertur%ac#@n #n#c#a "e -ue+a o"c#an+o +e $or!a

#n+en#+a 1a -ue no &a ro)a!#ento/ La $recuenc#a +e o"c#ac#@n e":

w d=√ K eme

=wn

Vi"#ación 1i"#e n):a&)#%i5uada.

En e"te ca"o "e e"tu+#ara "#!;e +e una =#%rac#@n #%re> +e ta !o+o

-ue una ecuac#@n !ate!'t#ca +enotara "u co!;orta!#ento/

A a ecuac#@n +#$erenc#a -ue +eter!#na "u co!;orta!#ento "e e

a!a $or!a can@n#ca +e un "#"te!a #%re no a!ort#.ua+o/

La ecuac#@n +#$erenc#a +e !o=#!#ento e":

  m x´ ´ +kx=0

Su ecuac#@n caracter("t#ca e":

mr2+k =0

S#en+o "u" ra(ce" #!a.#nar#a" conu.a+a":

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r=±√ k 

mi

La "ouc#@n .enera e" +e a $or!a:

wn t +φ

 x= sen¿

D@n+e a 5a!;#tu+ 1 φ 5$a"e #n#c#a "on con"tante" -ue "e ;ue+en

+eter!#nar> en ca+a ca"o ;art#cuar> con a" con+#c#one" #n#c#ae"/

La $recuenc#a natura +e a =#%rac#@n 1 e ;er#o+o "on:

w n=√ k m   1 ! =2" 

√mk 

En e"te t#;o +e =#%rac#one" "e cu!;e e ;r#nc#;#o +e a con"er=ac#@n

+e a ener.(a !ec'n#ca> e" +ec#r> a "u!a +e a ener.(a c#nét#ca 1 e

;otenc#a e'"t#co e" con"tante e #.ua a a ener.(a tota co!un#ca+a

#n#c#a!ente a "#"te!a> ;or o -ue "e =er#ca a ecuac#@n:

m2

 x´ 2+ k 2

 x2=cte=12

k 2

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1. VIBRACIONES EN

BARRAS.

VIBRACIONES EN BARRAS.

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Con"#+ere!o" a =#%rac#@n +e una %arra e'"t#ca +e ar.o 1 "ecc#@n

=ar#a%e> co!o "e #n+#ca en a 5.ura 8/8/ La +en"#+a+ +e a %arra

"e +enota ;or W 1 e aréa +e a "ecc#@n co!o A5/ U"an+o e

"#"te!a +e coor+ena+a" #n+#ca+o en a .ura> a "u!a +e $uer)a"

en un ee!ento #nte"#!a en a +#recc#@n e"/

 58/8

+on+e X5>t e" a +eBecc#@n +e a %arra en a +#recc#@n > F +enota

a $uer)a -ue actua ;or a #)-u#er+a +e ee!ento> !#entra" -ue F

+ e" a $uer)a actuan+o ;or a +erec&a/ Reor+enan+o a ecuac#on

anter#or "e t#ene -ue: 

58/6

8/8/ ,arra e!;otra+a con

=#%rac#on on.#tu+#na

en a

+#recc#@n /

De re"#"tenc#a +e

!ater#ae" a $uer)a F =#ene +a+ ;or FY e" a ten"#@n un#tar#a en a

+#recc#@n 1 t#ene e =aor EZ> +on+e E e" e !o+uo +e 1oun. 1 Z

e" a +e$or!ac#@n un#tar#a/ E"to e=a a:

  58/

Ree!;a)an+o 8/ en a ecuac#on 8/6:

58/Q

En o" ca"o" en -ue A5 e" con"tante> a ecuac#@n anter#or "e

;ue+e e"cr#%#r co!o:

 

58/9

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En a ecuac#@n "e conocr co!o a ecuac#on +e on+a c   √  #/ $

corre";on+e a a =eoc#+a+ +e ;ro;a.ac#@n $r a +e$or!ac#@n en a

%arra/

La ecuac#@n 8/9 "e re"ue=e con un !eto+o +e "e;arac#@n +e

=ar#a%e"/ En e"te !éto+o "e a"u!e -ue a "ouc#@n X5>t "e ;ue+e

e"cr#%#r co!o a !ut#;#cac#@n +e +o" $unc#one"> una -ue +e;en+e

"oo +e 1 otra -ue +e;en+e "oo +e t/ Por o tanto:

58/

Ree!;a)an+o en a ecuac#@n 8/9:

58/[

reor+enan+o>

58/\

+a+o -ue a!%o" a+o" +e a ecuac#on "on $unc#one" +e una

=ar#a%e +#"t#nta> entonce" ;ara -ue "e cu!;a a reac#on 8/\>

a!%o" +e%en "er #.uae" a una con"tante:

58/]

en e"te ca"o> a con"tante ^Y "e e#.e ;ara a"e.urar -ue "ea un

nu!ero ne.at#=o/ En rea#+a+ "e +e%en con"#+erar to+a" a"

o;c#one" 5ne.at#=o> ;o"#t#=o o cero/ S#n e!%ar.o> con a" otra" +o"

o;c#one" "e e.an a re"uta+o" #"#ca!ente #!;o"#%e"/

Reor+enan+o 8/]> "e t#ene -ue 5 +e%e "at#"$acer:

58/87

La -ue t#ene "ouc#@n +e a $or!a:

58/88

Son _8 1 _6 "on con"tante" +e #nte.rac#on 1 +e;en+en +e a"

con+#c#one" +e %or+e/

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S# con"#+era!o" e ca"o +e una %arra e!;otra+a ;or a #)-u#era 1

#%re en e etre!o +erec&o> "e t#enen a" "#.u#ente" con+#c#one" +e

%or+e:

58/86

A;#can+o a ;r#!era ecuac#@n "e o%t#ene -ue _6 7> +e !anera

-ue 5 t#ene a $or!a:

58/8

A;#can+o a "e.un+a con+#c#@n:

58/8Q

Da+o -ue _8 no ;ue+e "er #.ua a cero> entonce" "e +e%e cu!;#r

-ue:

58/89

Lo" !o+o" +e =#%rac#on "on entonce" +e a $or!a:

58/8

Con"#+ere!o" a&ora a ecuac#@n ;ara T5t:

58/8[

a -ue t#ene "ouc#on +e a $or!a:

58/8\

a "ouc#on na e" ;or o tanto +e a $or!a:

58/8]

E "et +e con"tante" cn 1 +n "e ;ue+e +eter!#nar a a;#car a"

con+#c#one" #n#c#ae" +e X5>t/ con"#+ere!o" e +e";a)a!#ento

#n#c#a:

58/67

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58/68

58/66

58/6

58/6Q

58/69

58/6

58/6[

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En a ta%a 8/8 1 8/6 "e re+u!en +#"t#nta" con+#c#one" +e %or+eu"uae" en %arra" con "u" re";ect#=o" !o+o" 1 $recuenc#a"caracter#"t#ca"/

 Ta%a 8/8 : re"u!en +e =ar#a" con+#c#one" +e %or+e ;ara a=#%rac#@n on.#tu+#na +e una %arra/

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 Ta%a 8/6 : D#"t#nta" con.ac#one" ;ara una %arra con =#%rac#@n

on.#tu+#na #u"tran+o "u" !o+o" 1 $recuenc#a" caracter#"t#ca/

2.  VIBRACIÓN TORSIONAL.

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VIBRACIÓN TORSIONA1.

La %arra +e ca;#tuo anter#or ;ue+e =#%rar ta!%#en en a +#recc#on

tor"#ona co!o "e !ue"tra en e ee c#rcuar +e a F#.ura 6/8/ En

e"te ca"o> a =#%rac#@n ocurre en a +#recc#@n an.uar en torno a

centro +e ee/ La rotac#@n +e ee> `> e" una $unc#@n +e a ;o"#c#@n a

o ar.o> > 1 e t#e!;o> t/ La ecuac@n +e !o=#!#ento "e o%t#ene a

con"#+erar e %aance +e !o!ento +e un ee!ento #nte"#!a +e

ar.o +> co!o e #u"tra+o en a F#.ura 6/8/ E tor-ue a a +erec&a+e ee!ento e" > !#entra" -ue e tor-ue a a #)-u#er+a =#ene +a+o

;or % r

% x +/

  F#.ura 6/8/ 

56/8

56/6

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56/

56/Q

56/9

En a ta%a 6/8

La "ouc#@n +e a ecuac#@n /8 +e;en+e +e +o" con+#c#one" #n#c#ae"

en e t#e!;o 5`5>7 1 %& 5>7   % t ¿  1 +o" con+#c#one" +e %or+e>una en ca+a etre!o +e ee/ La" eecc#one" ;o"#%e" +econ+#c#one" +e %or+e "on "#!#are" a a" +e a %arra/ En a ta%a 6/6"e entre.an a.una" con+#c#one" +e %o+e u"uae"/

En a ta%a 6/ "e entre.an a" $recuenc#a" naturae" 1 !o+o" +e=#%rac#@n ;ara +#"t#nta" con.urac#one"/ Notar a "#!##tu+ con eca"o +e a %arra con !o=#!#ento on.#tu+#na/ La <n#ca +#$erenc#ae"t' en a #nter;retac#@n $("#ca +e !o=#!#ento/

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 Ta%a 6/8: A.uno" =aore" +e a con"tante tor"#ona ;ara +#"t#nta""ecc#one"/

 Ta%a 6/6: Re"u!en +e =ar#a" con+#c#one" +e %or+e ;ara a=#%rac#@n tor"#ona +e un ee/

7/17/2019 Dinamica Final

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 Ta%a 6/: D#"t#nta" con.urac#one" ;ara una ee con =#%rac#@ntor"#ona #u"tran+o "u" !o+o" 1 $recuenc#a" caracter("t#ca"/

3. VIBRACIÓNTRANSVERSAL EN VIGAS.

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VIBRACIÓN TRANSVERSA1 EN VI;AS.

En a F#.ura /8 "e #u"tra una con =#%rac#@n en a +#recc#@ntran"=er"a? +eBe#@n X5>t en a +#recc#@n 1/ La =#.a t#ene "ecc#@nA5 1 ar.o / A"oc#a+a a a =#.a "e +ene a r#.#+e) ;or Be#@n EI5> +on+e E e" e !@+uo +e oun. ;ara a =#.a e I5 a #nerc#a +ea "ecc#@n con re";ecto a ee )/ De re"#"tenc#a +e !ater#ae"> e!o!ento "o%re a =#.a> M5> t> "e reac#ona con a +eBe#@n> X5>t>;or:

5/8

Un !o+eo ;ara =#%rac#one" en Be#@n "e ;ue+e +er#=ar a

ea!#nar un ee!ento #nn#te"#!a co!o e +e a F#.ura /8/ De a"u!a +e $uer)a" en a +#recc#@n 1 "e o%t#ene

5/6

5/

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F#.ura /8: V#.a +e ar.o en a =#%rac#@n tran"=er"a 1 +e$or!a+a;or una $uer)a ;or un#+a+ +e ar.o +enota+a $5>t

5/Q

5/9

5/

5/[

5/\

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5/]

5/87

5/88

5/86

5/8

5/8Q

5/89

5/8

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5/8[

  a"u!#en+o una "ouc#@n +e a $or!a Aea> a "ouc#@n .enera +ea ecuac#@n Q/8 t#ene a $or!a:

5/8\

En e etre!o e!;otra+o "e +e%en cu!;#r a" con+#c#one" +e%or+e +a+a" en /87:

b

F#.ura /6: V#.a +e ar.o e!;otra+a en un etre!o 1 con una;o1o "#!;e en e otro etre!o/

De !anera "#!#ar> en e etre!o +e a +erec&a "e +e%en cu!;#ra" reac#one" +a+a" en /88:

E"ta" cuatro con+#c#one" +e %or+e entre.an cuatro ecuac#one" ;ara o"cuatro coe$#c#ente" +e"conoc#+o" _8> _6> _ > 1 _Q/ E"to "e ;ue+e e"cr#%#r+e $or!a !atr#c#a/

 

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La -ue "e "at#"$ace ;ara un n<!ero #n$#n#to +e =aore" +e >+enota+a ;or n/ La "ouc#@n "e ;ue+e =#"ua#)ar a .racar a!%o"tan d 1 tan& d =er"u" d en e !#"!o .r'$#co> co!o !ue"tra en aF#.ura //

F#.ura /: Gra$#co tan d 1 tan& d =er"u" d

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En a F#.ura /Q "e !ue"tra o" ;r#!ero" tre" !o+o" +e =#%rac#@n;ara 5_Qn 8

F#.ura /Q: Graco +e o" ;r#!ero" tre" !o+o" +e =#%rac#@n +e una

=#.a e!;otra+a a;o1a+a/

5/8]

 

5/67

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En a Ta%a /8 "e re"u!en a" $recuenc#a" naturae" 1 !o+o" +e=#%rac#@n ;ara una =#.a con +#"t#nta" con+#c#one" +e %or+e/ Lo"coe$#c#ente" Yn $ueron +eter!#na+o" a ;art#r +e a" ecuac#one"

+a+a" en a ta%a /6/

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 Ta%a /8: D#"t#nta" con.urac#one" ;ara una =#.a con =#%rac#@ntran"=er"a #u"tran+o "u" !o+o" 1 $recuenc#a" caracter("t#ca"/ La

$recuenc#a natura =#ene +a+a ;or /

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 Ta%a /6: Ecuac#one" ;ara o" coe$#c#ente" Yn u"a+o" en a ta%a/8/

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Q/ MODELOS DE AMORTIGUAMIENTO.

MODE1OS DE AMORTI;UAMIENTO.

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5Q/8

5Q/6

5Q/

5Q/Q

  Se !ue"tra en a F#.ura Q/8/

5Q/9

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5Q/

F#.ura Q/8: ,arra en =#%rac#@n on.#tu+#na "ueta ;or un "#"te!are"orte a!ort#.ua+or en a!%o" etre!o"/

7/17/2019 Dinamica Final

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5. ECUACIÓN DE LA ONDA

ECUACIÓN DE 1A ONDA

  ONDA*: En $("#ca> una )nda con"#"te en a ;ro;a.ac#@n +e una;ertur%ac#@n +e a.una ;ro;#e+a+ +e un !e+#o> ;oree!;o> +en"#+a+> ;re"#@n> ca!;o eéctr#co o ca!;o !a.nét#co> a

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tra=é" +e +#c&o !e+#o> #!;#can+o un tran";orte +e ener.(a "#ntran";orte +e !ater#a/ E !e+#o ;ertur%a+o ;ue+e "er +e naturae)a+#=er"a co!o a#re> a.ua> un tro)o +e !eta e> #ncu"o> #n!ater#aco!o e =ac(o/

La !a.n#tu+ $("#ca cu1a ;ertur%ac#@n "e ;ro;a.a en e !e+#o "e

e;re"a co!o una $unc#@n tanto +e a ;o"#c#@n co!o +e t#e!;o/ Mate!'t#ca!ente "e +#ce -ue +#c&a $unc#@n e" una on+a "# =er#caa ecuac#@n +e on+a":

Don+e e" a =eoc#+a+ +e ;ro;a.ac#@n +e a on+a/ Por ee!;o>

c#erta" ;ertur%ac#one" +e a ;re"#@n +e un !e+#o> a!a+a" "on#+o>=er#can a ecuac#@n anter#or> aun-ue a.una" ecuac#one" no #neae"ta!%#én t#enen "ouc#one" on+uator#a"> ;or ee!;o> un "o#t@n/

SO1ITÓN*: Un )li%ón e" una on+a "o#tar#a -ue "e ;ro;a.a "#n+e$or!ar"e en un !e+#o no #nea/ Se encuentra en $en@!eno" $("#co"co!o "ouc#@n a ecuac#one" +#$erenc#ae" no #neae"/

DE,INICIONES*

Una =#%rac#@n ;ue+e +en#r a" caracter("t#ca" nece"ar#a" 1

"uc#ente" -ue caracter#)an un $en@!eno co!o on+a/ E tér!#no"uee "er enten+#+o #ntu#t#=a!ente co!o e tran";orte +e;ertur%ac#one" en e e";ac#o> +on+e no "e con"#+era e e";ac#o co!oun to+o "#no co!o un !e+#o en e -ue ;ue+en ;ro+uc#r"e 1;ro;a.ar"e +#c&a" ;ertur%ac#one" a tra=é" +e é/

E1EMENTOS DE UNA ONDA*

• C#e%a* La cre"ta e" e ;unto +e !'#!a eon.ac#@n o !'#!aa!;#tu+ +e on+a? e" +ec#r> e ;unto +e a on+a !'" "e;ara+o +e

"u ;o"#c#@n +e re;o"o/

• 0e#7)d) - * E ;er#o+o e" e t#e!;o -ue tar+a a on+a en #r +e

un ;unto +e !'#!a a!;#tu+ a "#.u#ente/

• A&(li%ud - * La a!;#tu+ e" a +#"tanc#a =ert#ca entre una

cre"ta 1 e ;unto !e+#o +e a on+a/ N@te"e -ue ;ue+en e#"t#r

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on+a" cu1a a!;#tu+ "ea =ar#a%e> e" +ec#r> cre)ca o +ecre)ca con

e ;a"o +e t#e!;o/

• ,#ecuencia - * N<!ero +e =ece" -ue e" re;et#+a +#c&a

=#%rac#@n ;or un#+a+ +e t#e!;o/ En otra" ;aa%ra"> e" una "#!;ere;et#c#@n +e =aore" ;or un ;er(o+o +eter!#na+o/

• Valle* E" e ;unto !'" %ao +e una on+a/

• 1)n5i%ud de )nda - * E" a +#"tanc#a -ue &a1 entre e !#"!o

;unto +e +o" on+uac#one" con"ecut#=a"> o a +#"tanc#a entre

+o" cre"ta" con"ecut#=a"/

• N)d)* e" e ;unto +on+e a on+a cru)a a (nea +e e-u##%r#o/

• El)n5ación - *  e" a +#"tanc#a -ue &a1> en $or!a

;er;en+#cuar> entre un ;unto +e a on+a 1 a (nea +e

e-u##%r#o/

• Cicl)* e" una o"c#ac#@n> o =#ae co!;eto +e #+a 1 =ueta/

• Vel)cidad de (#)(a5ación - * e" a =eoc#+a+ a a -ue "e

;ro;a.a e !o=#!#ento on+uator#o/ Su =aor e" e coc#ente +e

a on.#tu+ +e on+a 1 "u ;er(o+o/

CARACTER<STICAS*

La" on+a" ;er#@+#ca" e"t'n caracter#)a+a" ;or crestas o

montes 1 valles> 1 u"ua!ente e" cate.or#)a+a co!o on.#tu+#na otran"=er"a/ Una on+a tran"=er"a e" a-uea con a" =#%rac#one";er;en+#cuare" a a +#recc#@n +e ;ro;a.ac#@n +e a on+a? ee!;o"#ncu1en on+a" en una cuer+a 1 on+a" eectro!a.nét#ca"/ On+aon.#tu+#na e" a-uea con =#%rac#one" ;araea" en a +#recc#@n +e a;ro;a.ac#@n +e a" on+a"? ee!;o" #ncu1en on+a" "onora"/

Cuan+o un o%eto corte &ac#a arr#%a 1 a%ao en una on+a en un

e"tan-ue> e;er#!enta una tra1ector#a or%#ta ;or-ue a" on+a" no"on "#!;e" on+a" tran"=er"ae" "#nu"o#+ae"/

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On+a" en a "u;erc#e +e una cu%a "on rea!ente una co!%#nac#@n+e on+a" tran"=er"ae" 1 on.#tu+#nae"? ;or o tanto> o" ;unto" en a"u;erc#e "#.uen ca!#no" or%#tae"/

 To+a" a" on+a" t#enen un co!;orta!#ento co!<n %ao un n<!ero +e

"#tuac#one" e"t'n+ar/ To+a" a" on+a" ;ue+en e;er#!entar a""#.u#ente":

• Di3#acción. Ocurre cuan+o una on+a a to;ar con e %or+e +e

un o%"t'cuo +ea +e #r en (nea recta ;ara ro+earo/

• E3ec%) D)((le#. E$ecto +e%#+o a !o=#!#ento reat#=o entre a

$uente e!#"ora +e a" on+a" 1 e rece;tor +e a" !#"!a"/

• In%e#3e#encia.  Ocurre cuan+o +o" on+a" "e co!%#nan aencontrar"e en e !#"!o ;unto +e e";ac#o/

• Re=e'ión.  Ocurre cuan+o una on+a> a encontrar"e con un

nue=o !e+#o -ue no ;ue+e atra=e"ar> ca!%#a +e +#recc#@n/

• Re3#acción. Ocurre cuan+o una on+a ca!%#a +e +#recc#@n a

entrar en un nue=o !e+#o en e -ue =#aa a +#"t#nta =eoc#+a+/

• Onda de c>)?ue. Ocurre cuan+o =ar#a" on+a" -ue =#aan en

un !e+#o "e "u;er;onen $or!an+o un cono/

0O1ARI@ACIÓN

 Artículo principal: 0)la#i4ación elec%#)&a5né%ica

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Una oa ro!;#en+o contra a" roca"/

Una on+a e" ;oar#)a+a> "# "oo ;ue+e o"c#ar en una +#recc#@n/ La;oar#)ac#@n +e una on+a tran"=er"a +e"cr#%e a +#recc#@n +e a

o"c#ac#@n> en e ;ano ;er;en+#cuar a a +#recc#@n +e =#ae/ On+a"on.#tu+#nae" tae" co!o on+a" "onora" no e&#%en ;oar#)ac#@n>;or-ue ;ara e"ta" on+a" a +#recc#@n +e o"c#ac#@n e" a o ar.o +e a+#recc#@n +e =#ae/ Una on+a tran"=er"a> co!o a u) ;ue+e "er;oar#)a+a u"an+o un tro ;oar#)a+or o a "er reBea+a ;or un+#eéctr#co #nc#na+o> e/./ =#+r#o +e =entana/

E9e&(l)

Ee!;o" +e on+a":

• Ola> -ue "on ;ertur%ac#one" -ue "e ;ro;a.an ;or e a.ua/

• Onda de #adi) &ic#))nda )nda in3#a##)9a lu4

!ii"le lu4 ul%#a!i)le%a #a) / #a) 5a&&a c)n3)#&an

la #adiación elec%#)&a5né%ica. En e"te ca"o> a ;ro;a.ac#@n e"

;o"#%e "#n un !e+#o> a tra=é" +e =ac(o/ La" on+a"

eectro!a.nét#ca" !ia9an a 6]] []6 Q9\ !" en e =ac(o/

• S)n)#a  una on+a !ec'n#ca -ue "e ;ro;a.a ;or e a#re> o"

(-u#+o" o o" "@#+o"/

• Onda de %#6c) 5e"to e"> a ;ro;a.ac#@n +e +#$erente"

+en"#+a+e" +e =e&(cuo"> etc/ e"ta" ;ue+en !o+ear"e co!o

on+a" c#ne!'t#ca" co!o &#)o Si# M. . 1i5>%>ill

  Onda 7&ica en %e##e&)%).

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• Onda 5#a!i%aci)nale -ue "on Buctuac#one" en a cur=atura

+e e";ac#o3t#e!;o ;re+#c&a" ;or a #ela%i!idad 5ene#al. E 8[ +e

!ar)o +e 678Q "e anunc#@ a o%"er=ac#@n e;er#!enta +e o"

re"to" +e on+a" .ra=#tac#onae" +urante e ;er#o+o +e e;an"#@n

+e un#=er"o tra" e Bi5 Ban5> ;ero e +e"cu%r#!#ento "e ;u"o enentre+#c&o ;o"ter#or!ente/

DESCRI0CIÓN MATEM2TICA*

De"+e un ;unto +e =#"ta !ate!'t#co> a on+a !'" "enc#a o$un+a!enta e" a onda sinusoidal +e"cr#ta ;or a $unc#@n

Don+e e" aa&(li%ud

 +e una on+a 5a eon.ac#@n !'#!a o atura+e a cre"ta +e a on+a/ La" un#+a+e" +e a!;#tu+ +e;en+en +e t#;o+e on+a a" on+a" en una cuer+a t#enen una a!;#tu+ e;re"a+aco!o una +#"tanc#a 5!etro"> a" on+a" "onora" co!o ;re"#@n5;a"cae" 1 on+a" eectro!a.nét#ca" co!o a a!;#tu+ +e ca!;oeéctr#co 5=ot#o"!etro"/ La a!;#tu+ ;ue+e "er con"tante> o ;ue+e=ar#ar con e t#e!;o 1o ;o"#c#@n/ La $or!a +e a =ar#ac#@n +e a!;#tu+e" a!a+a a envolvente +e a on+a/

La l)n5i%ud de )nda 5"#!%o#)a+a ;or e" a +#"tanc#a entre +o"

cre"ta" o =ae" "e.u#+o"/ Se !#+e en un#+a+e" +e on.#tu+> tae"co!o e !etro 5!> "u" !<t#;o o "u%!<t#;o" "e.<n con=en.a/ A"(>en a @;t#ca> a on.#tu+ +e on+a +e a u) "e !#+e en nan@!etro"/

Un n&e#) de )nda an5ula#  ;ue+e "er a"oc#a+o con a on.#tu++e on+a ;or a reac#@n:

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E (e#i)d)  e" e t#e!;o re-uer#+o ;ara -ue e !o=#!#ento +eo"c#ac#@n +e a on+a +e"cr#%a un c#co co!;eto/ La 3#ecuencia  e"e n<!ero +e c#co" co!;eto" tran"curr#+o" en a un#+a+ +e t#e!;o5;or ee!;o> un "e.un+o/ E" !e+#+a en &erc#o"/ Mate!'t#ca!ente

"e +ene "#n a!%#.fe+a+ co!o:

En otra" ;aa%ra"> a $recuenc#a 1 e ;er#o+o +e una on+a "onrec(;roca" entre "(/

La frecuencia angular   re;re"enta a $recuenc#a en ra+#ane" ;or"e.un+o/ E"t'reac#ona+a con a$recuenc#a ;or

Ha1 +o" =eoc#+a+e" +#$erente" a"oc#a+a" a a" on+a"/ La ;r#!era e"a !el)cidad de 3ae> a cua #n+#ca a ta"a con a -ue a on+a "e;ro;a.a> 1 e"t' +a+a ;or:

La "e.un+a e" a !el)cidad de 5#u()> a cua +a a =eoc#+a+ con a-ue a" =ar#ac#one" en a $or!a +e a a!;#tu+ +e a on+a "e ;ro;a.an;or e e";ac#o/ E"ta e" a ta"a a a cua a #n$or!ac#@n ;ue+e "er

tran"!#t#+a ;or a on+a/ E"t' +a+a ;or:

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Ca+a ;art(cua +e un !e+#o !ater#a en e -ue "e ;ro;a.a una on+a!ec'n#ca +e +e";a)a!#ento tran"=er"a rea#)a una o"c#ac#@nar!@n#ca "#!;e en +#recc#@n tran"=er"a a a +#recc#@n +e;ro;a.ac#@n +e a on+a

ECUACIÓN DE ONDA

La ecuación de )nda e" un t#;o +e ecuac#@n +#$erenc#a -ue +e"cr#%ea e=ouc#@n +e una on+a ar!@n#ca "#!;e a o ar.o +e t#e!;o/ E"taecuac#@n ;re"enta #.era" =ar#ante" +e;en+#en+o +e c@!o "etran"!#te a on+a> 1 +e !e+#o a tra=é" +e cua "e ;ro;a.a/ S#con"#+era!o" una on+a un#+#!en"#ona -ue "e tran"!#te a o ar.o +euna cuer+a en e ee x > a una =eoc#+a+ 1 con una a!;#tu+ 5-ue.enera!ente +e;en+e tanto +e 1 +e > a ecuac#@n +e on+a e":

 Tra"a+a+o a tre" +#!en"#one"> "er(a

Don+e e" e o;era+or a;ac#ano/

La =eoc#+a+ +e;en+e +e t#;o +e on+a 1 +e !e+#o a tra=é" +e cua=#aa/

 *ean e Ron+ +gAe!%ert o%tu=o una "ouc#@n .enera ;ara a ecuac#@n+e on+a en una +#!en"#@n:

E"ta "ouc#@n ;ue+e #nter;retar"e co!o +o" #!;u"o" =#aan+o a o

ar.o +e ee x  en +#recc#one" o;ue"ta": F  en e "ent#+o +x  1 G en e -

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 x / S# .enera#)a!o" a =ar#a%e x > ree!;a)'n+oa ;or tre"=ar#a%e" x > y > z > entonce" ;o+e!o" +e"cr#%#r a ;ro;a.ac#@n +e unaon+a en tre" +#!en"#one"/

La ecuac#@n +e Sc&rh+#n.er +e"cr#%e e co!;orta!#ento on+uator#o+e a" ;art(cua" ee!entae"/ La" "ouc#one" +e e"ta ecuac#@n"on $unc#one" +e on+a" -ue ;ue+en e!;ear"e ;ara &aara +en"#+a+ +e ;ro%a%##+a+ +e una ;art(cua/

ONDA SIM01E

E" una ;ertur%ac#@n -ue =ar(a tanto con e t#e!;o co!o con a+#"tanc#a +e a "#.u#ente !anera:

Don+e e" a a!;#tu+ +e a on+a> e" e número de onda 1e" a fase/ La =eoc#+a+ +e $a"e v f  +e e"ta on+a e"t' +a+a ;or

Don+e e" a longitud de onda/

ONDA ESTACIONARIA

On+a e"tac#onar#a 5en ne.ro or#.#na+a ;or a #nter$erenc#a entre +o"on+a" ;ro.re"#=a" en +#recc#one" o;ue"ta": en a)u a -ue a=an)a&ac#a a +erec&a 1 en roo a -ue "e ;ro;a.a &ac#a a #)-u#er+a/ Lo";unto" roo" re;re"entan o" no+o" +e a on+a e"tac#onar#a/

Una on+a e"tac#onar#a e" a-uea -ue ;er!anece a> "#n ;ro;a.ar"ea tra=é" +e !e+#o/ E"te $en@!eno ;ue+e +ar"e> %#en cuan+o e!e+#o "e !ue=e en "ent#+o o;ue"to a +e ;ro;a.ac#@n +e a on+a> o%#en ;ue+e a;arecer en un !e+#o e"t't#co co!o re"uta+o +ea #nter$erenc#a entre +o" on+a" -ue =#aan en "ent#+o" o;ue"to"/

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La "u!a +e +o" on+a" -ue "e ;ro;a.an en "ent#+o" o;ue"to"> con#+ént#ca a!;#tu+ 1 $recuenc#a> +an u.ar a una on+a e"tac#onar#a/ La"on+a" e"tac#onar#a" nor!a!ente a;arecen cuan+o una $rontera%o-uea a ;ro;a.ac#@n +e una on+a =#aera 5co!o o" etre!o" +e

una cuer+a> o e %or+#o +e una ;#"c#na> !'" a' +e o" cuae" a on+ano ;ue+e ;ro;a.ar"e/ E"to ;ro=oca -ue a on+a "ea reBea+a en"ent#+o o;ue"to e #nterera con a on+a #n#c#a> +an+o u.ar a unaon+a e"tac#onar#a/ Por ee!;o> cuan+o "e ra".a a cuer+a +e un=#o(n> "e .eneran on+a" tran"=er"ae" -ue "e ;ro;a.an en+#recc#one" o;ue"ta" ;or to+a a cuer+a &a"ta e.ar a o" etre!o"/Una =e) a-u( "on reBea+a" +e =ueta &a"ta -ue #ntereren a una cona otra +an+o u.ar a una on+a e"tac#onar#a> -ue e" o -ue ;ro+uce "u"on#+o caracter("t#co/

La" on+a" e"tac#onar#a" "e caracter#)an ;or ;re"entar re.#one" +on+ea a!;#tu+ e" nua 5no+o" 1 otra" +on+e e" !'#!a 5=#entre"/ La

+#"tanc#a entre +o" no+o" o =#entre" con"ecut#=o" e" u"ta!ente >+on+e e" a on.#tu+ +e on+a +e a on+a e"tac#onar#a/

A contrar#o -ue en a" on+a" =#aera"> en a" on+a" e"tac#onar#a" no"e ;ro+uce ;ro;a.ac#@n +e ener.(a/

Para cacuar a =eoc#+a+ +e on+a e"tac#onar#a "e a;#ca a $@r!ua:

 Don+e

Don+e

 E" a a!;#tu+ +e a on+a +e ca+a ;unto +e !e+#o 1 e" a;u"ac#@n en ca+a ;unto +e !e+#o/

Co!o a a!;#tu+ +e a on+a +e;en+e +e ten+re!o" -ue "eanuar' cuan+o ;ara

Por o tanto> co!o e n<!ero +e on+a> "u"t#tu1en+o ten+re!o" -ue

> ;or o -ue ;ara

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E*ERCICIO PROPUESTOS

 ECUACION DE UNA ONDA

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