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Diseño de experimentos – p. 1/111

Diseño completamente al azar


Ejemplo

Suponga que tenemos 4 dietas diferentes que queremoscomparar. Las dietas están etiquetadas A,B,C y D.Estamos interesados en estudiar si las dietas afectan la tasade coagulación en conejos. La tasa de coagulación es eltiempo en segundos que tarda una cortada en dejar desangrar.Tenemos 16 conejos para el experimento, por lo que usaremos4 en cada dieta.Los conejos están en una jaula grande hasta que se inicie elexperimento, momento en que se transferirán a otras jaulas.

Cómo asignamos los conejos a los cuatro grupostratamiento?


Método 1

Supongamos que los conejos se atrapan "al azar". Atrapamoscuatro conejos y los asignamos a la dieta A. Atrapamos otroscuatro y los asignamos a la dieta B y así sucesivamente.

Dado que los conejos fueron "atrapados al azar", estoproducirá un diseño completamente al azar.


Método 1

No es necesariamente cierto.

Los primeros cuatro conejos atrapados pueden ser los máslentos y débiles, aquellos menos capaces de escapar. Estopuede sesgar los resultados.

Si los resultados del experimento dan desventaja a la dieta A,no habrá forma de determinar si los resultados son aconsecuencia de la dieta A o del hecho de haber asignado losconejos más débiles a esa dieta por nuestro "proceso dealeatorización".


Método 2

Atrape a todos los conejos y etiquételos del 1 al 16.

Seleccione cuatro números aleatorios (sin reemplazo) del 1 al16 y ponga los conejos con esa etiqueta en una jaula querecibirá la dieta A.

Entonces, seleccione otros cuatro números aleatorios y pongalos conejos correspondientes en otra jaula que recibirá la dietaB.

Así sucesivamente hasta tener cuatro jaulas con cuatroconejos en cada una.


Método 2

No hay repeticiones.

El diseño es un diseño completamente al azar pero no tienerepeticiones.

Hay 16 conejos, pero los conejos en cada jaula no sonindependientes. Si un conejo come mucho, los otros en lajaula tienen menos para comer.

La unidad experimental es la menor unidad de materialexperimental a la cual se le aplica un tratamiento en formaindependiente. En este caso, las jaulas son las unidadesexperimentales. Para un diseño completamente al azar conrepeticiones, cada conejo debe estar en su propia jaula.


Método 3

En una urna ponga las letras A,B,C y D en pedazos de papelseparados.

Atrape un conejo, saque un pedazo de papel al azar de la urnay asigne el conejo a la dieta que indique el papel. Noreemplace el papel. Atrape el segundo conejo y seleccione alazar otro pedazo de papel de la urna de los tres que quedan.Asigne el conejo a la dieta correspondiente.Continue hasta que los primeros cuatro conejos seanasignados a una de las cuatro dietas. De esta manera, todoslos conejos lentos tienen diferentes dietas.

Coloque otra vez los cuatro pedazos de papel en la urna yrepita el procedimiento hasta que los 16 conejos esténasignados a una dieta.


Método 3

Este no es un diseño completamente al azar.

Ya que se seleccionaron los conejos en bloques de 4, y cadauno asignado a una de las dietas, el diseño es el bloques alazar.

El tratamiento es Dieta pero se ha bloqueado a través delgrado de "atrapabilidad".


Método 4

Atrape a todos los conejos y márquelos del 1 al 16. Ponga 16piezas de papel en una urna, con las letras A, B, C y Drepetidas cuatro veces cada una.

Ponga otros 16 pedazos de papel numerados del 1 al 16 enotra urna. Tome un pedazo de papel de cada urna. El conejocon el número seleccionado es asignado a la dietaseleccionada.

Para hacer más fácil de recordar cuál conejo tiene cuál dieta,las jaulas se acomodan como se muestra abajo:

A A A A

B B B B

C C C C

D D D D


Método 4

El método 4 tiene algunas deficiencias. La asignación de losconejos a los tratamientos es un diseño completamente alazar. Sin embargo, el arreglo de las jaulas crea un sesgo enlos resultados.

Puede haber cambios climáticos y de luz que afecten de formadiferencial a los tratamientos, de tal manera que, cualquierdiferencia observada no puede ser atribuida a la dieta, sinoque podría ser resultado de la posición de la jaula.

La posición de la jaula no es parte del tratamiento, pero debeser considerada. En un diseño completamente al azar, todoslos conejos tienen la misma probabilidad de recibir cualquierdieta y en cualquier posición de la jaula.


Método 5

Marque las jaulas del 1 al 16.

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 11 15

4 8 12 16

Ponga 16 pedazos de papel en una urna, numerados del 1 al16. En otra urna ponga 16 pedazos de papel, marcados conlas letras A, B C y D.

Atrape un conejo. Seleccione un número y una letra de cadaurna. Ponga el conejo en la jaula indicada por el númeroescogido y asígnelo a la dieta indicada por la letra.

Repita sin reemplazo hasta que todos los conejos hayan sidoasignados a una dieta y una jaula.


Método 5

Si, por ejemplo, el primer número seleccionado fué 7 y laprimera letra B, entonces el primer conejo se pone en la jaula7 y se alimenta con la dieta B.

1 5 9 13

2 6 10 14

3 7 B 11 15

4 8 12 16


Método 5

Un ejemplo de asignación completa es el siguiente:

1 C 5 A 9 B 13 D2 D 6 B 10 D 14 C3 C 7 B 11 A 15 D4 A 8 A 12 C 16 B

Note que el diseño completamente al azar no toma en cuentalas diferencias en la altura de las jaulas. Es solamente unaasignación completamente al azar.

En este ejemplo vemos que la mayoría de los conejos con ladieta A están en jaulas de la parte de abajo y los de la dieta Destán en la parte superior. Un diseño completamente al azarsupone que estas posiciones no producen una diferenciasistemática en la respuesta (tiempo de coagulación).

Si creemos que la posición afecta la respuesta, deberíamosusar un diseño de bloques al azar.


Diseño completamente al azar, un factor

Ejemplo: Disminución del crecimiento de bacterias en carnealmacenada.

La vida en estante de carne almacenada es el tiempo en queel corte empacado se mantiene bien, nutritivo y vendible.

El empaque estándar con aire del medio ambiente tiene unavida de 48 horas. Después se deteriora por contaminaciónbacterial, degradación del color y encogimiento.

El empaque al vacío detiene el crecimiento bacterial, sinembargo, se pierde calidad.

Estudios recientes sugieren que al controlar ciertos gases dela atmósfera se alarga la vida en estante.



Hipótesis de investigación: Algunas formas de gasescontrolados pueden mejorar la efectividad delempacamiento para carne.

Diseño de tratamientos: Un factor con 4 niveles:

1. Aire ambiental con envoltura plástica2. Empacado al vacío3. Mezcla de gases:

■ 1% CO (monóxido de carbono)■ 40% O2 (oxígeno)■ 59% N (nitrógeno)

4. 100% CO2 (bióxido de carbono)

Diseño experimental: Completamente al azar.



Tres bisteces de res, aproximadamente del mismo tamaño (75grs.) se asignaron aleatoriamente a cada tratamiento. Cadabistec se empaca separadamente con su condición asignada.

Variable de respuesta: Se mide el número debacterias psichnotropicas en la carne después de 9días de almacenamiento a 4◦C.

Estas bacterias se encuentran en la superficie de lacarne y aparecen cuando la carne se echó a perder.La medición fué el logaritmo del número debacterias por cm2.



Cómo aleatorizar?

Se obtiene una permutación aleatoria de los números 1 a 12. Para esto setoma una secuencia de números de 2 dígitos de una tabla de númerosaleatorios y se les asigna el rango que les corresponda.Por ejemplo:

# aleatorio 52 56 20 99 44 34 62 60 31 57 40 78

rango 6 7 1 12 5 3 10 9 2 8 4 11

trat 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4

u.e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12trat 1 3 2 4 2 1 1 4 3 3 4 2



Modelo estadístico para el experimento

El modelo estadístico para estudios comparativos supone quehay una población de referencia de u.e. En muchos casos lapoblación es conceptual. En el ejemplo, es posible imaginaruna población de carne empacada.

Cada unidad de la población tiene un valor de la variable derespuesta, y, la cual tiene media µ y varianza σ2.

Se supone una población de referencia para cada tratamientoconsiderado en el estudio, y las variables en el experimento sesuponen seleccionadas aleatoriamente de dicha población dereferencia, como resultado de la aleatorización.

Nota. Para estudios observacionales, suponemos que lasunidades observadas se seleccionaron aleatoriamente decada una de las poblaciones.



Modelo estadístico lineal para un diseño completamente alazar.

Modelo de medias:

yij = µi + ǫij i = 1, 2, . . . , t j = 1, 2, . . . , r

dondeyij es la observación de la j-ésima u.e. del i-ésimo tratamiento,µi es la media del i-ésimo tratamiento,ǫij es el error experimental de la unidad ij.Suponemos que hay t tratamientos y r repeticiones en cadauno.

En el ejemplo de la carne empacada, tenemos:



bistec trata obser log yij Modelomiento vación (conteo/cm2)

6 1 1 7.66 y11 µ1 + ǫ11

7 1 2 6.98 y12 µ1 + ǫ12

1 1 3 7.80 y13 µ1 + ǫ13

12 2 1 5.26 y21 µ2 + ǫ21

5 2 2 5.44 y22 µ2 + ǫ22

3 2 3 5.80 y23 µ2 + ǫ23

10 3 1 7.41 y31 µ3 + ǫ31

9 3 2 7.33 y32 µ3 + ǫ32

2 3 3 7.04 y33 µ3 + ǫ33

8 4 1 3.51 y41 µ4 + ǫ41

4 4 2 2.91 y42 µ4 + ǫ42

11 4 3 3.66 y43 µ4 + ǫ43



El modelo:yij = µi + ǫij

lo llamaremos modelo completo ya que incluye una mediaseparada para cada una de las poblaciones definidas por lostratamientos.

Si no hay diferencia entre las medias de las poblaciones, esdecir,

µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ

se genera el modelo reducido

yij = µ + ǫij

que establece que las observaciones provienen de la mismapoblación con media µ.



El modelo reducido representa la hipótesis de no diferenciaentre las medias

H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4 = µ

El modelo completo representa la hipótesis alternativa:

Ha : µi 6= µk i 6= k

El investigador debe determinar cuál de los dos modelosdescribe mejor a los datos en el experimento.



yij = µ + ǫij yij = µi + ǫij



Pregunta de investigación: Hay más crecimiento bacterialcon algunos métodos de empacado que con otros?

Pregunta estadística: Cuál modelo describe mejor losresultados del experimento?

Se requiere un método para estimar los parámetros de los dosmodelos y con base en algun criterio objetivo determinar cuálmodelo o hipótesis estadística se ajusta mejor a los datos delexperimento.


Diseño completamente el azar, un factor

Los estimadores de mínimos cuadrados son aquellos queresultan de minimizar la suma de cuadrados de los erroresexperimentales.

Si los errores experimentales son independientes con mediacero y varianzas homogéneas, los estimadores de mínimoscuadrados son insesgados y tienen varianza mínima.

Nota. El muestreo aleatorio en los estudios observacionales yla aleatorización en los experimentales aseguran la suposiciónde independencia.


Estimadores para el modelo completo

yij = µi + ǫij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , r

ǫij = yij − µi

SSEc =t∑

i=1

r∑

j=1

ǫ2ij =t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − µi)2

La SSEc es una medida de qué tan bien se ajusta el modelo alos datos.

Queremos determinar los estimadores µi tales que seminimice esta SSEc.

Vamos a tener t ecuaciones normales, una para cadatratamiento, encontradas a partir de derivar la SSEc conrespecto a cada µi e igualarlas a cero.



Para una i:

∂

∂µi

r∑

j=1

(yij − µi)2

= −2r∑

j=1

(yij − µi)

igualando a cero

−2r∑

j=1

(yij − µi) = 0

r∑

j=1

yij − rµi = 0

µi =

∑rj=1 yij

r= yi.



Por lo tanto,µi = yi i = 1, . . . , t

Entonces,

SSEc =

t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − µi)2

=t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − yi.)2

=t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − yi.)2



La varianza muestral del i-ésimo tratamiento es:

S2i =

∑rj=1 (yij − yi.)

2

r − 1

es una estimador de σ2 de los datos del i-ésimo grupo.

S2 =

∑ti=1

[∑r

j=1 (yij − yi.)2]

t(r − 1)=

SSEc

t(r − 1)

es un estimador combinado (pooled) de σ2 de todos losdatos del experimento.

Es un buen estimador si podemos hacer la suposición de queσ2 es homogénea en todos los grupos.



Para los datos del ejemplo:

tratamiento comercial vacío mezcla CO2

7.66 5.26 7.41 3.516.98 5.44 7.33 2.917.80 5.80 7.04 3.66

µi = yi. 7.48 5.50 7.26 3.36∑r

j=1 (yij − yi.)2 0.3848 0.1512 0.0758 0.3150

SSEc = 0.3848 + 0.1512 + 0.0758 + 0.3150 = 0.9268

S2 =SSEc

t(r − 1)=

0.9268

4(2)= 0.11585


Estimadores para el modelo reducido

yij = µ + ǫij

ǫij = yij − µ

SSEr =t∑

i=1

r∑

j=1

ǫ2ij =t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − µ)2

∂

∂µ

t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − µ)2

= −2

t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − µ)

igualando a cerot∑

i=1

r∑

j=1

µ =t∑

i=1

r∑

j=1

yij

rtµ = y..

µ =y..

rt= y..


Estimadores para el modelo reducido

Entonces,

SSEr =

t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − µ)2

=

t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − y..)2

Para el ejemplo,

µ = y.. =70.80

12= 5.90


Modelo reducido Modelo completoyij = µ + ǫij yij = µi + ǫij

Observado Estimado Diferencia Estimado Diferencia

Tratamiento y µ (yij − µ) µi (yij − µi)

Comercial 7.66 5.90 1.76 7.48 0.186.98 5.90 1.08 7.48 -0.507.80 5.90 1.90 7.48 0.32

Vacío 5.26 5.90 -0.64 5.50 -0.245.44 5.90 -0.46 5.50 -0.065.80 5.90 -0.10 5.50 0.30

Mezcla 7.41 5.90 1.51 7.26 0.157.33 5.90 1.43 7.26 0.077.04 5.90 1.14 7.26 -0.22

CO2 3.51 5.90 -2.39 3.36 0.152.91 5.90 -2.99 3.36 -0.453.66 5.90 -2.24 3.36 0.30

SSEr = 33.7996 SSEc = 0.9268



Siguiendo con el ejemplo:

Modelo completo yij = µi + ǫij SSEc =∑

i

∑

j(yij − yi.)2 = 0.9268

Modelo reducido yij = µ + ǫij SSEr =∑

i

∑

j(yij − y..)2 = 33.7996

Diferencia:

SSEr − SSEc =∑

i

∑

j

(yij − y..)2 −

∑

i

∑

j

(yij − yi.)2

haciendo álgebra

=∑

i

∑

j

(yi. − y..)2 = r

∑

i

(yi. − y..)2

En el ejemplo: SSEr − SSEc = 32.8728



SSEr − SSEc = SSt suma de cuadrados de tratamientos.

Representa la reducción en SSE al haber incluidotratamientos en el modelo, también se le conoce comoreducción en suma de cuadrados debida a tratamientos.

Llamaremos SStotal = SSEr ya que es la suma de cuadradosde las diferencias de cada observación y la media general y..

Entonces, tenemos la partición:

SStotal = SSt + SSEc∑

i

∑

j

(yij − y..)2 =

∑

i

∑

j

(yi. − y..)2 +

∑

i

∑

j

(yij − yi.)2

desviación de la desviación de la desviación de laobservación ij media del grupo observación ij

con respecto a con respecto a con respecto ala media general la media general la media de su grupo



∑

i

∑

j

(yij − y..)2 =

∑

i

∑

j

[(yij − yi.) + (yi. − y..)]2

=∑

i

∑

j

(yij − yi.)2 +

∑

i

∑

j

(yi. − y..)2

+2∑

i

∑

j

(yij − yi.)(yi. − y..)

∑

i

∑

j

(yij − yi.)(yi. − y..) =∑

i

(yi. − y..)∑

j

(yij − yi.)

=∑

i

(yi. − y..)(yi. − ryi.) = 0



Grados de libertad. Representan el número de piezas deinformación independientes en las sumas de cuadrados.

En general, es el número de observaciones menos el númerode parámetros estimados de los datos.

Sea n = rt, el tamaño de muestra total.

Así, SStotal =∑t

i

∑rj(yij − y..)

2 donde y.. es el estimador deµ, tiene n − 1 g.l.

SSE =∑t

i

∑rj(yij − yi.)

2 se estimaron t parámetros(µ1, µ2, . . . , µt) por lo tanto tiene n − t g.l.

SSt = SStotal − SSE = (n − 1) − (n − t) = t − 1 g.l.


Tabla de Análisis de Varianza

ANOVA

F.V. g.l. SS CM

Tratamientos t − 1 SSt CMt = SSt/t − 1

Error n − t SSE CME = SSE/n − t = σ2

Total n − 1 SStotal

Se puede demostrar que:

E (CME) = σ2

E (CMt) = σ2 +1

t − 1

t∑

i=1

r(µi − µ)2; µ =∑

i

µi/t



Si suponemos ǫij ∼ NID(0, σ2) i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ren el modelo completo yij = µi + ǫij

Entonces, yij ∼ NID(µi, σ2).

Se puede demostrar que:

SStotal

σ2=

∑

i

∑

j(yij − y..)2

σ2∼ χ2

n−1

SSE

σ2=

∑

i

∑

j(yij − yi.)2

σ2∼ χ2

n−t

Cuando H0 : µ1 = µ2 = . . . = µt es cierta

SSt

σ2=

∑

i r(yi. − y..)2

σ2∼ χ2

t−1



Por el Teorema de Cochran (Montgomery, 2001, pág. 69), SSt

y SSE son independientes, por lo tanto cuando H0 es cierta,

F0 =SSt/σ2(t − 1)

SSE/σ2(n − t)=

CMt

CME∼ Ft−1,n−t

Además, E (CMt) = σ2 + θ2t = σ2 cuando θ2

t = 0 que escuando H0 es cierta. Es decir,

E (CMt) = E (CME) cuando H0 es cierta

E (CMt) > E (CME) cuando H0 no es cierta

Entonces, si CMt > CME, o sea, valores grandes de F0

llevan a rechazar la hipótesis nula H0 : µ1 = µ2 = . . . = µt.Por lo tanto, la región de rechazo es:

F0 > Fαt−1,n−t



ANOVA

F.V. g.l. SS CM F E(CM)

Tratamientos t − 1 SSt CMt = SSt

t−1CMt

CME σ2 + θ2t

Error n − t SSE CME = SSEn−t σ2


SSt =

t∑

i=1

r (yi. − y..)2

SSE =

t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − yi.)2

SStotal =

t∑

i=1

r∑

j=1

(yij − y..)2



En el ejemplo de empacado de carne:

F.V. g.l. SS CM F Pr > F

trat 3 32.8728 10.958 94.55 0.000error 8 0.9268 0.1159total 11 33.7996

Por lo tanto, se rechaza la hipótesis H0 : µ1 = µ2 = . . . = µ4,es decir, hay algún método de empaque que tiene diferentecomportamiento en promedio.



Se quieren comparar t niveles de un factor, lo que implica ttratamientos y se dispone de ni u.e. para el tratamiento i,i = 1, . . . , t. Hay dos situaciones:

1. Los t tratamientos son escogidos específicamente por elinvestigador. En esta situación deseamos probar hipótesisacerca de las medias de los tratamientos y nuestrasconclusiones se aplicarán solamente a los niveles delfactor considerados en el análisis. Las conclusiones no sepueden extender a tratamientos similares que no fueronexplícitamente considerados. Este es el modelo deefectos fijos .

2. Los t tratamientos son una muestra aleatoria de unapoblación de tratamientos. En esta situación nos gustaríapoder extender las conclusiones (las cuales están basadasen la muestra de tratamientos considerada) a todos lostratamientos de la población. Este es el modelo deefectos aleatorios .



A las cantidades n1, n2, . . . , nt se les llama repeticiones decada tratamiento.

Si ni = r ∀i se dice que el diseño es balanceado .

yij es la respuesta de la u.e. j del tratamiento i,i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni.



Estructura de los datos.

tratamientos1 2 3 ... t

y11 y21 y31 ... yt1

y12 y22 y32 ... yt2

y13 y23 y33 ... yt3

. . . ... .

. . . ... .

. . . ... .y1n1

y2n2y3n3

... ytnt

y1. y2. y3. ... yt. totalesy1. y2. y3. ... yt. medias



n =

t∑

i=1

ni

yi. =

ni∑

j=1

yij i = 1, . . . , t total tratamiento i

yi. =

∑ni

j=1 yij

nii = 1, . . . , t media tratamiento i

y.. =

t∑

i=1

ni∑

j=1

yij =

t∑

i=1

yi. total de las observaciones

y.. =y..

nmedia general



Se tienen t muestras aleatorias independientes de tamañosn1, n2, . . . , nt respectivamente.

y11, y12, . . . , y1n1es una muestra aleatoria de N(µ1, σ

2)

y21, y22, . . . , y2n2es una muestra aleatoria de N(µ2, σ

2)

yt1, yt2, . . . , ytntes una muestra aleatoria de N(µt, σ

2)



Las observaciones en cada una de estas muestras se puedenrepresentar por el modelo lineal simple

yij = µi + ǫij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni

con ǫij error experimental en la observación j-ésima deltratamiento i-ésimo.

Estamos suponiendo independencia entre y dentro de lasmuestras, es decir, ǫij son independientes y ǫij ∼ N(0, σ2).



Otra forma de verlo

Como suponemos que las u.e. son homogéneas, es decir, elpromedio de respuesta de todas las u.e. es el mismo (µ) antesde aplicar los tratamientos, y si se observan en condicionessimilares, las respuestas las podemos modelar como

yij = µ + ǫij


Modelo de efectos

Entonces al aplicar el tratamiento i-ésimo a un grupo (detamaño ni) de u.e. se introduce un efecto (τi) de esetratamiento en las variables por observar.

El modelo se puede escribir como:

Modelo de efectos

yij = µ + τi + ǫij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni

donde

µ es la media general, común a todas las u.e.τi es el efecto del tratamiento i-ésimo


Modelo de efectos


Modelo de efectos

El modelo de efectos implica que se empieza el experimentocon u.e. con la misma capacidad de respuesta (µ) y con lamisma varianza (σ2).

La aplicación de los tratamientos tiene el efecto de alterar lasmedias, que ahora son µi = µ + τi, pero supone que no semodifican las varianzas.

En este caso, la hipótesis a probar es:

H0 : τ1 = τ2 = . . . = τt = 0

Ha : τi 6= 0 para al menos una i


Modelo de efectos

Estimadores de mínimos cuadrados:

yij = µ + τi + ǫij i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni

SSE =

t∑

i=1

ni∑

j=1

ǫ2ij =

t∑

i=1

ni∑

j=1

(yij − µ − τi)2

∂

∂µ

t∑

i=1

ni∑

j=1

(yij − µ − τi)2 = −2

t∑

i=1

ni∑

j=1

(yij − µ − τi)

∂

∂τi

t∑

i=1

ni∑

j=1

(yij − µ − τi)2 = −2

ni∑

j=1

(yij − µ − τi) i = 1, . . . , t


Modelo de efectos

Igualando a cero:

t∑

i=1

ni∑

j=1

yij = nµ +

t∑

i=1

niτi

n1∑

j=1

y1j = n1µ + n1τ1

n2∑

j=1

y2j = n2µ + n2τ2

. . . . . .nt∑

j=1

ytj = ntµ + ntτt

Las ecuaciones normales no son linealmente independientes,por lo tanto no hay una solución única. Esto ocurre porque elmodelo de efectos está sobreparametrizado.


Modelo de efectos

Se añade una ecuación linealmente independiente:

a)∑t

i=1 τi = 0

µ = y..

τi = yi. − y.. i = 1, . . . , t

b) µ = 0

µ = 0

τi = yi. i = 1, . . . , t

c) τ1 = 0

µ = y1.

τi = yi. − y1. i = 2, . . . , t


Modelo de efectos

Hay un número infinito de posibles restricciones que sepueden usar para resolver las ecuaciones normales. Entonces

Cuál usar?

No importa ya que en cualquier caso

µ + τi = yi.

Aunque no podemos obtener estimadores únicos de losparámetros del modelo de efectos, podemos obtenerestimadores únicos de funciones de estos parámetros.

A estas funciones se les llama funciones linealeslinealmente estimables.


Diseño completamente al azar, Tabla de ANOVA

F.V. g.l. SS CM F E(CM)

Tratamientos t − 1 SSt CMt = SSt

t−1CMt

CME σ2 +∑

i ni(τi−τ)2

t−1

Error n − t SSE CME = SSEn−t σ2


SSt =

t∑

i=1

ni (yi. − y..)2

=

t∑

i=1

y2i.

ni− y2

..

n

SSE =

t∑

i=1

ni∑

j=1

(yij − yi.)2

=

t∑

i=1

ni∑

j=1

y2ij −

t∑

i=1

y2i.

ni

SStotal =

t∑

i=1

ni∑

j=1

(yij − y..)2

=

t∑

i=1

ni∑

j=1

y2ij −

y2..

n

n =

t∑

i=1

ni


Intervalos de confianza

µi = yi. S2yi.

=S2

nicon S2 = CME = σ2 Syi.

=

√

CME

ni

Como suponemos que

yij ∼ N(µi, σ

2)

entoncesyi. ∼ N

(µi, σ

2/ni

)

como estimamos la varianza:

yi. − µi

Syi.

∼ tn−t

Por lo tanto, un intervalo del (1 − α)100% de confianza para µi

esyi. ± t

1−α/2n−t (Syi.

)


Contrastes

En el ejemplo del empacado de carne teníamos:

Comercial Al vacío CO,O2,N CO2µi = yi. 7.48 5.50 7.26 3.36

S2 = CME = 0.116 con 8 g.l.

Una vez que rechazamos la hipótesis H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4

Qué sigue?


Contrastes

Se podrían contestar preguntas como:

■ Es más efectiva la creación de una atmósfera artificial que elaire ambiente con plástico para reducir el crecimiento debacterias?

■ Son más efectivos los gases que el vacío?■ Es más efectivo el tratamiento de CO2 puro que la mezcla

CO,O2 y N?

Un contraste es una función lineal de los parámetros µi

definido como

C =

t∑

i=1

kiµi = k1µ1 + k2µ2 + . . . + ktµt

donde∑t

i=1 ki = 0.


Contrastes

Los contrastes para las preguntas anteriores son:

■ comercial vs. atmósfera artificial

C1 = µ1 −1

3(µ2 + µ3 + µ4)

■ vacío vs. gases

C2 = µ2 −1

2(µ3 + µ4)

■ mezcla de gases vs. CO2 puro

C3 = µ3 − µ4


Contrastes

El estimador del contraste

C =

t∑

i=1

kiµi es C =

t∑

i=1

kiµi =

t∑

i=1

kiyi.

Si suponemos queyij ∼ N

(µi, σ

2)

entoncesyi. ∼ N

(µi, σ

2/ni

)

Por lo tanto,

C =

t∑

i=1

kiyi. ∼ N

(t∑

i=1

kiµi, σ2

t∑

i=1

k2i

ni

)


Contrastes

Ya que:

E

(t∑

i=1

kiyi.

)

=

t∑

i=1

kiE (yi.) =

t∑

i=1

kiµi

V

(t∑

i=1

kiyi.

)

=︸︷︷︸

m.indep

t∑

i=1

k2i V (yi.) =

t∑

i=1

k2i

σ2

ni= σ2

t∑

i=1

k2i

ni

V(

C)

= σ2t∑

i=1

k2i

ni= CME

t∑

i=1

k2i

ni


Contrastes

Entonces,∑t

i=1 kiyi. −∑t

i=1 kiµi√

CME∑t

i=1 k2i /ni

∼ tg.l.error

De aquí un intervalo del 100(1 − α)% de confianza para elcontraste C es:

C ± t1−α/2g.l.error

√√√√CME

t∑

i=1

k2i /ni


Contrastes

Además,C − C

√

σ2∑t

i=1 k2i /ni

∼ N (0, 1)

Si H0 :∑t

i=1 kiµi = 0, es decir, H0 : C = 0 es cierta, entonces,

C2

σ2∑t

i=1 k2i /ni

∼ χ21

Sea

SSc =C2

∑ti=1 k2

i /ni

entonces

SSc/σ2

SSE/σ2(n − t)=

C2/∑t

i=1 k2i /ni

CME∼ F1,n−t

Por lo tanto, para probar H0 : C = 0 se rechaza si Fc > Fα1,n−t


Contrastes

El número de contrastes que se pueden hacer es muy grande,sin embargo, esta técnica tiene su mayor utilidad cuando seaplica a comparaciones planeadas antes de realizar elexperimento.

Una clase de contrastes, conocida como Contrastesortogonales (como son los del ejemplo anterior) tienenpropiedades especiales con respecto a la partición de sumasde cuadrados y grados de libertad y con respecto a su relaciónentre ellos. La ortogonalidad implica que un contraste noaporta información acerca de otro.

Dos contrastes, con coeficientes {ki}, {li} son ortogonales si

t∑

i=1

kilini

= 0


Contrastes

Para t tratamientos existe un conjunto de t − 1 contrastesortogonales, los cuales hacen una partición de la suma decuadrados de tratamientos en t − 1 componentesindependientes, cada uno con 1 g.l. Por lo tanto las pruebasrealizadas con contrastes ortogonales son independientes.

En el ejemplo anterior, los contrastes son ortogonales.

k1 k2 k3 k4

C1 1 -1/3 -1/3 -1/3C2 0 1 -1/2 -1/2C3 0 0 1 -1


ANOVA

La tabla de ANOVA incorporando las pruebas de hipótesis delos 3 contrastes es:

F.V. g.l. SS CM F Pr > F

trat 3 32.8728 10.958 94.55 0.000C1 1 10.01 10.01 86.29 0.000C2 1 0.07 0.07 0.62 0.453C3 1 22.82 22.82 196.94 0.000error 8 0.9268 0.1159total 11 33.7996

Se rechaza H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4

Se rechaza H01 : µ1 = 13 (µ2 + µ3 + µ4)

No se rechaza H02 : µ2 = 12 (µ3 + µ4)

Se rechaza H03 : µ3 = µ4

SSC1 =C1

2

1r

∑4i=1 k2

i

=(2.11)2

12+3(−1/3)2

3

=4.4521

0.4444= 10.01


Otro ejemplo

Los siguientes datos son los tiempos de coagulación desangre para 24 animales que fueron aleatoriamente asignadosa una de cuatro dietas (A,B,C,D)

Dieta A Dieta B Dieta C Dieta D

62 63 68 5660 67 66 6263 71 71 6059 64 67 61

65 68 6366 68 64

6359


Otro ejemplo

■ Pruebe la hipótesis de igualdad de mediasH0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4.

■ Pruebe el siguiente contraste: (pendiente)

El promedio de la dieta A y B es igual al promedio de la C yD

El análisis en R:

■ Los datos están en el archivo coag.txt

■ El programa está en anova_coag.txt


Comparaciones múltiples

En muchas situaciones prácticas, se desea comparar pares demedias. Podemos determinar cuáles medias difieren probandolas diferencias entre todos los pares de medias detratamientos.

Es decir, estamos interesados en contrastes de la forma

Γ = µi − µj ∀i 6= j

Lo primero que se nos viene a la mente es hacer una prueba tpara cada par de medias, es decir, probar

H0 : µi = µj

Ha : µi 6= µj ∀i 6= j



Si suponemos varianzas iguales, se tiene la estadística deprueba

tc =yi. − yj.

sp

√1ni

+ 1nj

y se rechaza H0 al nivel de significancia α si

tc ≤ tα/2ni+nj−2 ó tc ≥ t

1−α/2ni+nj−2

Esto es equivalente a decir que se rechaza H0 si

|tc| =|yi. − yj.|

sp

√1ni

+ 1nj

> t1−α/2ni+nj−2

o equivalente a

|yi. − yj.| > t1−α/2ni+nj−2 sp

√

1

ni+

1

nj



Esta prueba conocida como Diferencia Mínima Significativa(DMS ó LSD) en el contexto de ANOVA, lo que hace escomparar el valor absoluto de la diferencia de cada par demedias con DMS:Si

|yi. − yj.| > DMS = t1−α/2glerror

√

CME

(1

ni+

1

nj

)

se rechaza H0 : µi = µj .

CME es el cuadrado medio del error que es una estimaciónponderada de la varianza basada en t estimaciones de lavarianza.

El utilizar este procedimiento no es conveniente por que elnivel de significancia global, es decir, para el conjunto de todaslas pruebas, resulta muy superior al nivel de significancia (α)planeado.



Por ejemplo, si se tienen 4 medias de tratamientos, entoncesse tienen (

4

2

)

=4!

2!2!= 6

pares a comparar, es decir, 6 pruebas de hipótesis a realizar,con lo que se pueden cometer 0, 1, 2, 3, 4, 5, ó 6 errores Tipo I,si todas las medias son iguales.

Se define otra forma de error tipo I basado en los riesgosacumulados asociados a la familia de pruebas bajoconsideración.

Este es el error tipo I del experimento αE que es el riesgo decometer el error tipo I al menos una vez.

La probabilidad de error tipo I del experimento puedeevaluarse para una familia de pruebas independientes.



Sin embargo, todas las pruebas a pares usando la DMS noson independientes, puesto que el CME es el mismo en cadauna de las estadísticas de prueba y el numerador contiene lasmismas medias en varias de las estadísticas de prueba.

Aún así, se puede evaluar el límite superior de la probabilidadde error tipo I del experimento, suponiendo n pruebasindependientes.

Suponga que la H0 es cierta para cada una de las n =(

t2

)

pruebas y que son independientes.

Sea αc = P (error tipo I) en una sola prueba (comparación)con (1 − αc) = P (decisión correcta).



La probabilidad de cometer x errores tipo I está dada por ladistribución binomial como:

P (X = x) =

(n

x

)

αxc (1 − αc)

n−x

P (X = x) =n!

(n − x)!x!αx

c (1 − αc)n−x x = 0, 1, 2, . . . , n

La probabilidad de no cometer ningún error tipo I es

P (X = 0) = (1 − αc)n



La probabilidad de cometer al menos 1 error tipo I es

P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − (1 − αc)n

es decir, la máxima probabilidad de cometer al menos un errortipo I entre las n comparaciones es:

αE = 1 − (1 − αc)n de aquí

αc = 1 − (1 − αE)1/n



# de pruebas αE cuando αc cuandoindep. n αc = 0.05 αE = 0.05

1 0.05 0.052 0.098 0.0253 0.143 0.0174 0.185 0.0135 0.226 0.010

10 0.401 0.005

Por el razonamiento anterior es que han surgido una serie depruebas de diferentes autores para hacer comparacionesmúltiples tratando de mantener la

P (error tipo I del experimento) = α


Bonferroni

αE ≤ nαc

n comparaciones, la igualdad se dá cuando las pruebas sonindependientes.

Entonces,αc = αE/n

Si queremos αE = 0.05 entonces, αc = 0.05/n y se hacen laspruebas t para los pares de medias con un nivel designificancia αc en cada una de ellas.


Tukey

Conocida como la prueba de la Diferencia Mínima SignificativaHonesta (DMSH)

DMSH = qαt,glerror

√

CME

rsi ni = r ∀i

DMSH = qαt,glerror

√

CME

2

(1

ni+

1

nj

)

Si |yi. − yj.| > DMSH se rechaza H0 : µi = µj .

qαν1,ν2

se obtiene de las "tablas de rangos estudentizados".


Tukey

Para el ejemplo del empaque de carne:

Comercial Al vacío CO,O2,N CO2yi. 7.48 5.50 7.26 3.36

S2 = CME = 0.116 con 8g.l. t = 4, r = 3

DMSH = q0.054,8

√

0.116

3= (4.53)(0.197) = 0.891

|y1. − y2.| = 1.98∗∗

|y1. − y3.| = 0.22

|y1. − y4.| = 4.12∗∗

|y2. − y3.| = 1.76∗∗

|y2. − y4.| = 2.14∗∗

|y3. − y4.| = 3.90∗∗


Student-Newman-Keuls (SNK)

Se calcula un conjunto de valores críticos

kp = qαp,fSyi. p = 2, 3, . . . , t

donde qαp,f es el percentil 1 − α de la distribución del rango

estudentizado para el número p de medias involucradas en la

comparación y f g.l. del error, y Syi.=

√CME

r

Para el ejemplo de la carne empacada:

p 2 3 4q.05p,8 3.26 4.04 4.53

kp 0.642 0.796 0.892


Student-Newman-Keuls (SNK)


Medias ordenadas:

y4. = 3.36 y2. = 5.50 y3. = 7.26 y1. = 7.48

|y4. − y1.| = 4.12 > k∗∗4

|y4. − y3.| = 3.90 > k∗∗3

|y4. − y2.| = 2.14 > k∗∗2

|y2. − y1.| = 1.98 > k∗∗3

|y2. − y3.| = 1.76 > k∗∗2

|y3. − y1.| = 0.22 < k2(N.S.)


Duncan

Es similar a la de SNK. Los promedios de los t tratamientos seordenan en forma ascendente y el error estándar de cadapromedio se determina con

Syi.=

√

CME

rsi ni = r ∀i

Para muestras de diferente tamaño, se reemplaza la r por lamedia armónica (nh) de los {ni}

nh =t

∑ti=1

(1ni

)


Duncan

De las tablas de Duncan de rangos significativos se obtienenlos valores de rα

p,f para p = 2, 3, . . . , t.p es el número de medias involucradas en la comparación, αes el nivel de significancia y f los grados de libertad del error.

Se calculanRp = rα

p,fSyi.p = 2, 3, . . . , t

Para el ejemplo de la carne empacada:

p 2 3 4r.05p,8 3.26 3.39 3.47

Rp 0.642 0.668 0.684


Duncan


Medias ordenadas:

y4. = 3.36 y2. = 5.50 y3. = 7.26 y1. = 7.48

|y4. − y1.| = 4.12 > R∗∗4

|y4. − y3.| = 3.90 > R∗∗3

|y4. − y2.| = 2.14 > R∗∗2

|y2. − y1.| = 1.98 > R∗∗3

|y2. − y3.| = 1.76 > R∗∗2

|y3. − y1.| = 0.22 < R2(N.S.)


Dunnett

Para comparar las medias de los tratamientos con la media deltratamiento control.Suponga que el tratamiento t es el control, queremos probarlas hipótesis

H0 : µi = µt

Ha : µi 6= µt i = 1, 2, . . . , t − 1

H0 : µi = µt se rechaza si|yi. − yt.| > D = dα(t − 1, glerror)

√

CME

r

con dα(k, ν) es el percentil 1 − α de las tablas de Dunnett.Para el ejemplo de la carne empacada, el tratamiento 1 es elcontrol.



Dunnett

d0.05,3,8 = 2.42

D = 2.42

(√

CME

r

)

= 0.477

|y2. − y1.| = 1.98 > D∗∗

|y3. − y1.| = 0.22 < D(N.S.)

|y4. − y1.| = 4.12 > D∗∗


Scheffé

Scheffé (1953) propuso un método para probar todos losposibles contrastes.

Considere cualquier contraste

C =

t∑

i=1

kiµi estimado con C =

t∑

i=1

kiyi.

con error estándar

SC =

√√√√CME

[t∑

i=1

k2i

ni

]

La hipótesis nula pra el contraste H0 : C = 0 se rechaza si

|C| > S(αE)

donde

S(αE) = SC

√

(t − 1)FαE

t−1,g.l.error


Análisis de residuales

Tenemos el modelo

yij = µi + ǫij ó yij = µ + τi + ǫij

ǫij ∼ NID(0, σ2

)

Suposiciones:

■ errores normales■ independientes■ varianza constante

La prueba F del análisis de varianza es robusta a falta denormalidad.


Análisis de residuales

Si los errores experimentales están correlacionados, el errorestándar estará mal estimado. La independencia se justificaaleatorizando las u.e. a los tratamientos en experimentos yseleccionando muestras aleatorias en estudiosobservacionales.

Si no hay homogeneidad de varianzas el estimador de σ2 esmalo, aunque se ha visto en estudios que si el diseño esbalanceado no efecta mucho. También si los tamaños demuestra mayores corresponden a las poblaciones con mayorvarianza.


Análisis de residuales, Normalidad

Residuales

eij = yij − yij

yij = µ + τi = µi = yi.

eij = yij − yi.

■ Prueba no parámetrica ( Kolmogorov-Smirnov )■ Histograma (muestras grandes)■ gráfica en papel normal■ análisis de residuales estandarizados para detectar outliers.

Si ǫij ∼ N(0, σ2) entonces ǫij−0σ ∼ N(0, 1). Sean

dij =eij√CME

, esperamos que:68% de los residuales estandarizados estén entre -1 y 195 % estén entre -2 y 2Virtualmente todos estén entre -3 y 3.


Análisis de residuales, Homogeneidad de varianzas

Prueba de Bartlett

H0 : σ21 = σ2

2 = . . . = σ2t

Ha : no H0

Estadística de Prueba:

U =1

C

[

(n − t)ln(σ2) −∑

i

(ni − 1)ln(σ2i )

]

donde σ2 =∑

i

(ni − 1)σ2i

n − tσ2

i =∑

j

(yij − yi.)2

ni − 1

C = 1 +1

3(t − 1)

(∑

i

1

ni − 1− 1

n − t

)

H0 se rechaza si U > χ2α,t−1 (prueba sensible a falta de

normalidad)


Análisis de residuales, Homogeneidad de varianzas

Prueba de Levene

Se calcula

dij = |yij − yi.| i = 1, . . . , t j = 1, . . . , ni

donde yi. es la mediana de las observaciones en eltratamiento i.

Se evalúa si el promedio de estas observaciones dij es igualpara todos los tratamientos, es decir, se hace un ANOVA paraprobar igualdad de medias de dij .


Prueba de Welch

La prueba F usual es robusta ante heteroscedasticidad(varianzas diferentes) si los tamaños de muestra son muyparecidos o, si los tamaños de muestra más grandescorresponden a las poblaciones con varianzas más grandes.

Sin embargo, se han construído algunas procedimientos deprueba de igualdad de medias (H0 : µ1 = µ2 = . . . = µt) comopor ejemplo el desarrollado por Welch, conocido como laprueba de Welch, utilizada cuando no hay homoscedasticidad.

Sean Wi = ni/σ2i y∗ =

∑

i Wiyi./∑

i Wi y

Λ =∑

i

(1 − Wi/W.)2

ni − 1

donde W. =∑

i Wi.


Prueba de Welch

Entonces

Fc =

∑

i Wi(yi.−y∗)2

t−1

1 + 2(t − 2)Λ/(t2 − 1)

tiene aproximadamente una distribución F conν1 = t − 1 y ν2 = (t2 − 1)/3Λ grados de libertad.

H0 : µ1 = µ2 = . . . = µt se rechaza al nivel de significancia α si

Fc > Fαν1,ν2

.


Transformaciones

Se utilizan las transformaciones para cambiar la escala de lasobservaciones para que se cumplan las suposiciones delmodelo lineal y dar inferencias válidas del análisis de varianza.

Cuando las transformaciones son necesarias, se hace elanálisis y se hacen las inferencias en la escala transformadapero se presentan tablas de medias en la escala de mediciónoriginal.

1. Distribución Poisson. Mediciones que son conteos(número de plantas en cierta área, insectos en plantas,accidentes por unidad de tiempo) tienen distribución Poisson.

La transformación x =√

y + a, a ∈ ℜ es la adecuada.


Transformaciones

2. Distribución binomial. Observaciones del número deéxitos en n ensayos independientes tiene distribución binomial(proporción de semillas germinadas, proporción de plantascon flores en un transecto). π = y/n

La transformación x = sin−1√

π es la adecuada.

Las transformaciones del tipo potencia alteran la simetría oasimetría de las distribuciones de las observaciones.

Si suponemos que la desviación estándar de y es proporcionala alguna potencia de la media, es decir,

σy ∝ µβ

Una transformación de las observaciones, del estilo:

x = yp


Transformaciones

Da una relaciónσx ∝ µp+β−1

Si p = 1 − β entonces la desviación estándar de la variabletransformada x será constante, ya que p + β − 1 = 0 y σx ∝ µ0.

La transformación de Box-Cox

x = (yp − 1)/p p 6= 1

x = logey p = 1

El estimador de p se encuentra maximizando

L(p) = −1

2loge [CME(p)]

donde CME(p) es el cuadrado medio del error del análisis devarianza usando la transformación x = (yp − 1)/p para el valordado p.


Transformaciones

Se determina CME(p) para un conjunto de valores de p, segrafica CME(p) vs. p y se toma el valor de p que correspondeal valor mínimo de CME(p).

JMP calcula la transformación de Box-Cox, da una gráfica de pvs. CME y da la opción de guardar los datos transformadosen el archivo.

La dificultad de utilizar esta transformación es la interpretación.


Ejemplo

Los siguientes datos son el número de errores en un examende sujetos bajo la influencia de dos drogas. El grupo 1 es ungrupo control (sin droga), a los sujetos del grupo 2 se les dió ladroga 1, a los del grupo 3 la droga 2 y a los del grupo 4 las dosdrogas.

Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4(sin droga) (droga 1) (droga 2) (dos drogas)

1 12 12 138 10 4 149 13 11 149 13 7 174 12 8 111 10 10 141 12 13

5 14


Ejemplo

Correr el ejemplo con R y JMP.

1. Probar homogeneidad de varianzas. (Bartlett y Levene)

2. Hacer prueba de Welch

3. Probar con algunas transformaciones, checandonormalidad y homogeneidad de varianzas

ej2_1_messy.jmp

ej2_1_messy.txt


Relación entre Regresión y ANOVA

Cualquier modelo de ANOVA se puede escribir como unmodelo de regresión lineal.

Suponga el ejemplo de la carne empacada

tratamiento comercial vacío mezcla CO2

7.66 5.26 7.41 3.516.98 5.44 7.33 2.917.80 5.80 7.04 3.66

Un diseño completamente al azar con un solo factor (métodode empacado) con 4 niveles (4 tratamientos) y 3 repeticionesen cada tratamiento (diseño balanceado).



Modelo ANOVA completamente al azar un solo factorbalanceado:

yij = µi + ǫij = µ + τi + ǫij

{

i = 1, 2, 3, 4

j = 1, 2, 3

El modelo de regresión equivalente es:

yij = β0 + β1x1j + β2x2j + β3x3j + ǫij

{

i = 1, 2, 3, 4

j = 1, 2, 3



Donde las variables x1j , x2j , x3j están definidas como:

x1j =

{

1 si la observación j es del tratamiento 10 en otro caso

x2j =

{


x3j =

{




La relación entre los parámetros del modelo ANOVA y elmodelo de regresión es:

Si la observación viene del tratamiento 1, entoncesx1j = 1, x2j = 0, x3j = 0 y el modelo de regresión es

y1j = β0 + β1(1) + β2(0) + β3(0) + ǫ1j

= β0 + β1 + ǫ1j

y el modelo ANOVA es:

y1j = µ1 + ǫ1j = µ + τ1 + ǫ1j

Por lo tanto:β0 + β1 = µ1 = µ + τ1



Similarmente, para las observaciones del tratamiento 2

y2j = β0 + β1(0) + β2(1) + β3(0) + ǫ2j

= β0 + β2 + ǫ2j

y la relación entre los parámetros es:

βo + β2 = µ2 = µ + τ2

Lo mismo para las observaciones del tratamiento 3

y3j = β0 + β1(0) + β2(0) + β3(1) + ǫ3j

= β0 + β3 + ǫ3j

y la relación entre los parámetros es:

βo + β3 = µ3 = µ + τ3



Finalmente, considere las observaciones del tratamiento 4,para las cuales el modelo de regresión es:

y4j = β0 + β1(0) + β2(0) + β3(0) + ǫ4j

= β0 + ǫ4j

entonces β0 = µ4 = µ + τ4

Por lo tanto,

β0 = µ4

β1 = µ1 − µ4

β2 = µ2 − µ4

β3 = µ3 − µ4



Entonces, para probar la hipótesis H0 : µ1 = µ2 = µ3 = µ4

tendríamos que probar H0 : β1 = β2 = β3 = 0, lo cual se puedehacer con cualquier paquete de cómputo estadístico.Para el ejemplo de la carne empacada:

tratamiento y x1 x2 x3

1 7.66 1 0 0

1 6.98 1 0 0

1 7.80 1 0 0

2 5.26 0 1 0

2 5.44 0 1 0

2 5.80 0 1 0

3 7.41 0 0 1

3 7.33 0 0 1

3 7.04 0 0 1

4 3.51 0 0 0

4 2.91 0 0 0

4 3.66 0 0 0



Si pedimos una regresión y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ǫ ypedimos una tabla de análisis de varianza del modeloyij = µ + τi + ǫij las dos tablas ANOVA son idénticas.

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