CENTRO DE INVESTIGACIÓN EN CIENCIA APLICADA Y TECNOLOGÍA AVANZADA

CICATA-IPN

Trabajo que presenta

Héctor Hernández Guzmán

P R E S E N TA C I Ó N D E L A T E S I S

Diseño de una secuencia didáctica para el estudio de la Transformación Lineal en R2

México, D. F. octubre de 2013Directores de tesisM.C. Juan Gabriel Molina ZavaletaDr. Alejandro Miguel Rosas Mendoza

En este trabajo se plantea el diseño de una secuencia

didáctica para el estudio, en alumnos de nivel superior,

del concepto de Transformación Lineal (TL) en R2,

y que se estudia en la materia de

Álgebra Lineal,

idea que nace ante la dificultad en estudiantes

para aceptar la existencia de ciertas

transformaciones lineales en contexto geométrico.

Creemos que algunas de esas dificultades que los estudiantes

enfrentan se deben a la influencia de modelos tácitos intuitivos

presentes en ellos,

por lo que este trabajo se basa en la

Teoría de los modelos intuitivos de Fischbein (1989),

quien considera que los modelos que crean

los estudiantes son, casi siempre, representaciones imperfectas

de los conceptos modelados.

Las consideraciones teóricas en que fundamentamos

nuestro trabajo se centran en aspectos

tácitos del conocimiento

es decir

los modelos tácitos.

En relación a la intuición, Fischbein señala que su papel

es el de crear una apariencia de certeza

sobre las interpretaciones o representaciones, y

considera que la intuición o conocimiento intuitivo es

un tipo de cognición, el cual se acepta de forma

inmediata por ser evidente, confiriéndole un carácter de

certeza intrínseca.

Respecto al tema de la transformación lineal esta es una clase

especial de función, definida como T:U U sobre el conjunto R

misma que cumple con las siguientes dos propiedades

1. ( ) ( ) ( ), ,T u v T u T v u v T en el dominio de

2. ( ) ( ),T cu cT u u c y todos los escalares

En esta presentación planteamos lo que se hizo,

cómo se hizo y qué se logró al aplicar a cinco

estudiantes una secuencia sobre la TL.

e identificar si el diseño de la misma conduce a los

estudiante a adquirir un conocimiento sobre la TL en

función de sus modelos tácitos.

Para esta investigación, se consideró un resultado del

trabajo de Molina (2004) donde se concluyó que los

estudiantes entrevistados no reconocieron la

transformación lineal de corte.

Por lo anterior, nos planteamos la tarea de diseñar una

secuencia cuyo propósito didáctico es que el estudiante

construya un modelo

que incluya más características de la TL en R2,

es decir, que no sólo considere expansiones,

contracciones, rotaciones y las combinaciones de éstas.

Este modelo lo concebimos bajo dos formas explícitas:

1

La transformación en R2 como el

cambio de forma

de objetos representados en el plano, generado

como consecuencia de

mover los ejes x y y del

plano cartesiano

2

La transformación en R2 como un

modelo algebraico

que representa el cambio de forma de los objetos en

R2 debido al movimiento de los ejes.

El modelo algebraico es el siguiente:

El análisis a priori de las

dos actividades propuestas

para la secuencia didáctica

se desarrollaron

conforme

a lo siguiente:

Actividad 1

Para que el estudiante construya tal conocimiento

proponemos involucrarlo en la realización de cuatro

tareas (ver secuencia didáctica), éstos son

problemas matemáticos que involucran

figuras geométricas en R2.

Las tareas están pensadas desde la teoría de la intuición

de Fischbein (1987, 1989),

por lo siguiente:

Asumimos que algunas representaciones observables

que se pueden manipular, favorecen la percepción de

ideas intuitivas. Por lo anterior, un

modelo explícito

como una figura, es un objeto concreto (observable),

y partimos del supuesto de que puede ser

manipulado mentalmente.

Actividad 2

Para que el estudiante construya dicho modelo

algebraico proponemos involucrarlo en la realización

de tres tareas (ver secuencia didáctica).

Las tareas están íntimamente relacionadas porque

cada solución de ellas es

una de las etapas

para determinar el modelo en cuestión.

En esta segunda actividad estamos considerando

que el alumno ya ha construido un

modelo mental

sobre la TL, el cual se generó durante el

desarrollo de la actividad 1.

SECUENCIA DIDÁCTICA

EL diseño de la secuencia consta de

siete tareas

en las cuales a partir de la observación de ciertos

dibujos o modelos explícitos

se les pide a los estudiantes una respuesta

detallada en relación a la explicación dada, y

se muestran a continuación:

Tarea 1. Observe el triángulo de la figura 1:

Figura 1

Si se mueve el eje x y el eje y como en la figura 2, ¿cómo queda dibujado el triángulo?

Elabore una respuesta y explique detalladamente.

Figura 2

Tarea 2. Si se mueve el eje x y el eje y como en la figura 3, ¿cómo queda dibujado el triángulo de la figura 1? Elabore una respuesta y explique detalladamente.

Figura 3

Tarea 3. Si se mueve el eje y como en la figura 4, ¿cómo quedaría dibujado el triángulo de la figura 1 (nota: el eje x' queda en el mismo lugar que el eje x)?

Elabore una respuesta y explique detalladamente.

Figura 4

Tarea 4. Observe el vector de la figura 5:

Figura 5

Si se mueve el eje x y el eje y como en la figura 6, ¿cómo queda dibujado el vector?

Elabore una respuesta y explique detalladamente.

Figura 6

Tarea 5. Se ha movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4,7) se ha dibujado como el vector C, ver la figura 7. ¿Cuál es la coordenada del punto (x’

1, y’1) en el plano x - y?

Elabore una respuesta y explique detalladamente.

Figura 7

Tarea 6. Se ha movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4,7) se ha dibujado como el vector C, ver la figura 8. ¿Cuál es la coordenada del punto (x’

2, y’2) en el plano x - y?

Elabore una respuesta y explique detalladamente

Figura 8

Tarea 7. Se ha movido el eje x y el eje y de tal manera que el vector (4,7) se ha dibujado como el vector C, ver la figura 9. ¿Cuál es la coordenada (x’, y’) del vector C en el plano x - y?

Elabore una respuesta y explique detalladamente.

Figura 9

PUESTA EN ESCENA

Se seleccionaron cinco alumnos de la carrera de

Ingeniería Industrial del Tecnológico de Estudios

Superiores de Cuautitlán Izcalli (TESCI).

Los estudiantes contaron para la solución de la

secuencia con hojas blancas y bolígrafos.

El no darles lápices a los estudiantes fue para que no

borraran lo hecho conservándose las evidencias de

los intentos en la solución de las tareas.

Para trabajar, cada uno de los estudiantes ocupó una mesa

donde se dispuso para su uso de hojas blancas y bolígrafos.

El profesor proporcionó a cada estudiante la primera tarea a resolver, y posteriormente les explica en qué consiste

ésta.

Nosotros consideramos que no era forzoso que respondieran correctamente la actividad, pues

queríamos observar cómo respondían los estudiantes la secuencia.

Antes que los estudiantes resolvieran la secuencia se les comentó que podían hacer preguntas, mismas

que serían contestadas por el profesor, en el sentido de clarificar el contenido de la pregunta, pero no la

forma de resolverla.Como ninguno de los estudiantes preguntó, no se

efectuó dicha intervención.La no intervención del profesor, fue un hecho intencional, se deseaba constatar hasta dónde

podían responder los estudiantes la secuencia solos, para examinar las interpretaciones que ellos hacían

de los modelos explícitos.

Para ejemplificar los resultados

presentamos de manera particular lo

realizado por el estudiante Andrés.

Tarea 1

Andrés identificó tanto el plano cartesiano como el triángulo rectángulo, intuye que el triángulo gira junto con los ejes coordenadosmanteniéndose los catetos del triánguloparalelos a los nuevos ejes

Tarea 2

Identifica la posición de los nuevos ejes, pero no ubica el primer

cuadrante en este sistema, por lo que no dibuja al triángulo. Extrapola la

posición del eje x’ de la tarea anterior así como al correspondiente eje y’

(ortogonal) y también lo dibuja.

El modelo coercitivo que tiene de R2

hace que dibuje otro eje x’

ortogonal al eje y’ de esta

tarea 2, haciendo coincidir

la hipotenusa del triángulo

con este eje x’.

Tarea 3

Identifica la posición de los nuevos ejes x’- y’. Se ve que

extrapola el modelo mental generado en las tareas

anteriores y dibuja otro eje y ortogonal al original y’.

Aunque confunde los ejes,

extrapola la idea de que la

hipotenusa del triángulo

está sobre un eje coordenado x’.

Tarea 4

El nuevo modelo explícito (un vector) influye en él pues no logra ubicarlo en el nuevo sistema coordenado x’- y’. Considera que el

lado opuesto de x’ es x, y el de y’ es y. Luego intuye que estos ejes

son como los originales, por lo que,

si el vector mostrado esta entre

el eje x y el eje y, también

lo estará entre sus nuevos

ejes x, y.

Para ubicarlo gradúa a los ejes

y así lo posiciona en lugar que

considera es el correcto

Tarea 5

Extrapola la idea de cómo se posiciona un vector

de la tarea anterior y de

inmediato ubica al

vector (4,7)

haciendo

graduaciones en los ejes del sistema original x – y.

Luego, en otro dibujo termina de dibuja el modelo

explicito de la tarea 5.

Como su modelo mental se basa en los ejes coordenados también

dibuja al ángulo de 45° fijando así al eje x’, por lo que solo mueve

(o gira) al eje y’. No logra ubicar al vector C.

Basándose en la posición que guarda

el vector C con el eje x intuye

se nueva posición y lo dibuja.

Su modelo mental no contempla al

punto ni a sus coordenadas (x’1,y’1) por

lo que no las calcula. Se aprecia una reflexión.

Tarea 6Extrapola lo hecho en la tarea anterior y agrega un nuevo dato el ángulo de 60°, y considera que ambos ejes x’ y y’ quedan fijos.Asigna los valores del vector (4,7) a los ejes primos correspondientes.Pensamos que ya esta presente elpunto (x’2,y’2) en su modelo y lo calcula dando para x’2 el valor de – 4 (tal vez considerando quela distancia a medir parte de C hacia y’1 por lo que le cambia el signo).

Tarea 7

Igual que en las dos tareas anteriores dibuja el modelo

explícito de la tarea. Extrapola la idea de la tarea

anterior de cómo obtuvo el punto (-4,7)

y asigna las coordenada (4,-7) al

punto (x’2,y’2). Finalmente

resuelve la tarea y asigna las

coordenadas (-4,-7) al vector C.

A continuación se presenta un análisis de

la puesta en escena de la secuencia

didáctica,

considerando cada una de las las tareas

resueltas por los estudiantes.

Tarea 1

Los modelos explícitos de la figura 1 son entendidos por los estudiantes pues se aprecia que han

identificado que el ángulo recto está en ambos modelos (figuras 1 y 2) y que los catetos son

paralelos a los ejes coordenados. Identifican el movimiento

de los ejes junto con el triángulo como un giro, manteniéndose la perpendicularidad de R2.

Tarea 2

Los estudiantes identifican que los ejes se movieron. No todos dibujan al triángulo y quienes

lo hacen lo presentan sindeformarlo

pues aparentemente no hay nada que les haga suponer que cambia de forma.

Otra razón puede ser que un rasgo del modelo mental que tienen del triangulo no les permite

deformarlo.

Tarea 3

Se aprecia que los estudiantes intuyen que los ejes se mueven, pero no cómo lo hacen, por lo

que no identifican la posición correcta del triángulo, y aunque lo dibujan

tampoco lo deformanPensamos que el modelo mental que ellos tienen

del triángulo es el de una figura que no se deforma

coaccionando su respuesta implícitamente.

Tarea 4

Se ve que los estudiantes identifican al nuevo modelo explícito (vector) pero no pueden

manipularlo conjuntamente con R2

Se aprecia que tratan de ubicar al vector en función de cómo sus modelos mentales intuyen el

movimiento de los ejes por lo que no lo ubican en la posición correcta.

Es posible también que el modelo explícitoal no proporcionarles la dirección de éste, tampoco puedan determinar su sentido.

Tarea 5

Los estudiantes identifican al vector (4,7) en el plano x - y, se aprecia que no han construido un modelo

mental de la forma en que giran los ejes, por lo que no pueden determinar la dirección del vector

respecto al nuevo sistema coordenado.Posiblemente el modelo explícito de la figura 5 coaccione las respuestas de lo estudiantes pues

todos ellos no calcularon las coordenadas del punto (x1

’,y1’)

que se les piden, y proceden a calcular las coordenadas de punto (x’,y’)en función del único dato

numérico en el modelo, el vector (4,7).

Tarea 6

Los estudiantes extrapolan la solución que dieron en la tarea anterior y proceden a calcular las

componentes de C en función del par ordenado(4,7)

Posiblemente un modelo mental generado en las dos tareas anteriores coaccione sus respuestas, pues igual que en la tarea anterior la mayoría de los estudiantes no calcularon las coordenadas del

punto (x2’,y2

’)

Tarea 7

Tratan de posicionar al vector C, sin hacer cálculos, pues no consiguieron determinar

correctamente las coordenadas de los puntos(x’1,y’1) y (x’2,y’2)

Los estudiantes extrapolan la idea generada en las dos tareas anteriores y tratan de obtener las componentes del vector C definidas por (x’,y’),

nuevamente en función del único dato numérico que es el vector (4,7).

Al observar lo realizado por los estudiantes notamos

que ellos se enfocan en

encontrar el vector C.

Puede ser error del modelo explícito mostrado a los

estudiantes, pues en el dibujo resalta el vector C

mientras que los puntos que se desean encontrar no

resaltan. Entonces implícitamente le estamos diciendo

al estudiante que "lo importante es el vector C".

CONCLUSIONES

En la solución de esta secuencia emergen ideas intuitivas que se convierte en un obstáculo para

que el estudiante resuelva adecuadamente tareas posteriores, como la perpendicularidad

entre ejes o el mismo triángulo rectángulo,

pues no es sencillo que los estudiantes perciban que una figura se tiene que deformar.

Posiblemente se requiera un conocimiento previo para que lleguen a la conclusión de que el triángulo

también cambia de forma.

Otra situación que se pudo haber presentado en la

tareas 1 es que los estudiantes la resolvieron por ser

simple o intuitiva, y se pudo haber convertido en

una técnica que al extrapolarla les impidió resolver

las siguientes tareas.

Lo anterior surge porque la solución de la tarea 1

implica que los ejes se pueden mover y el triángulo

junto con ellos, pero sin deformarse éste último.

Algunos modelos explícitos usados resaltaron, sin

darnos cuenta, elementos que alteraron el orden

deseado en la solución de las tareas, e incluso la

interpretación de la misma.

Por lo anterior, es conveniente que los modelos

explícitos empleados contribuyan implícitamente a

la solución de una tarea específica a resolver.

Situaciones como la anterior podrían solventarse si se hace presente

la

participación del profesor con la intención de que los modelos de los

estudiantes se vean coaccionados o motivados por su influencia al

resolverse la secuencia.

Al usar un modelo explícito para comunicar

alguna idea,

implícitamente

le podemos estar comunicando otra a los estudiantes, lo que pudo ser un obstáculo en

la solución

de la secuencia didáctica.

Por ejemplo, en la expresión “Plano x – y”

el modelo algebraico pudo haber

coaccionado sus respuestas,

al interpretar a éste como las coordenadas de un punto en el cuarto cuadrante.

También debe de tenerse cuidado en la redacción de las preguntas para separar la idea que se quiere que

manipulen los estudiantes.

En nuestro caso, aunque estamos planteando la idea

de movimiento, esta no implica necesariamente una

deformación o cambio de forma como nosotros lo

habíamos considerado.

Gracias por su atención

.