DISEÑO Y AJUSTE DE CONTROLADORES PID

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DISEO Y AJUSTE DE CONTROLADORES PID

1.

OBJETIVOS:

1.1 Disear controladores PID para plantas en las que se conoce el modelo matemtico y utilizar las reglas de Ziegler- Nichols para sintonizar controladores PID en plantas en las que el modelo matemtico es complejo o no se conoce.

1.2 Utilizar el programa TANKSIM para simular el proceso de control de un tanque.

2.

FUNDAMENTO TERICO

Los controladores PID son ampliamente utilizados en la industria, principalmente por que son ajustables en el sitio de la planta, incluso algunos controladores PID se ajustan automticamente.

El control tipo PID es:

[pic][pic]

donde: u(t) = seal de control e(t) = seal de error Kp, Ti, Td = constantes proporcional y tiempo integral y derivativa respectivamente. Gc(s) = funcin de transferencia del controlador PID.

-

S Ti tiende al infinito el controlador es de tipo PD. Si Td es cero el controlador es de tipo PI.

Existen varias estrategias para disear controladores PID, la ms fcil y de comn utilizacin es la de cancelacin de polos indeseables de la planta con uno o dos ceros del control tipo PID y la utilizacin del LGR.

Si se desea mejorar el transitorio se cancela el cero del control PD con un polo indeseable de la planta (cercano al eje imaginario) y utilizando LGR se ajusta la ganancia Kp.

Si se desea mejorar el error en estado estable se utiliza el control PI, se hace la cancelacin y utilizando el LGR se ajusta Td.

Para mejorar tanto el transitorio como el error se utiliza el control PID que permite cancelar dos ceros del control con dos polos indeseables de la planta. El ajuste de Kp igualmente se hace con el LGR.

1.1

EL PROGRAMA TANKSIM

Es un programa de simulacin, utilizado para entrenamiento de personal en las tcnicas de control sobre un proceso relativamente sencillo pero que rene muchas de las caractersticas del sistema real; de esta forma el usuario puede familiarizarse con el

proceso y con el mtodo de ajuste del regulador PID, sin necesidad de hacerlo sobre la planta, evitando los posibles problemas que esto pueda presentar.

El proceso simulado es el control de nivel en un tanque, que es alimentado por un caudal de entrada variable Qi(t); el elemento de control es una vlvula neumtica que regula el caudal de salida Qo(t). El nivel es medido y transmitido hacia un controlador PID, el cual ejecuta el algoritmo de control y genera una seal de control elctrica la misma que es convertida a una

seal neumtica proporcional, que determinar el grado de apertura o cierre de la vlvula.

Para ejecutar el programa, dentro del directorio donde se encuentre ste, teclear:

TANK (enter)

Se tiene cuatro opciones: - F Indica que se puede introducir fallas. - V Permite trabajar con la simulacin, pudiendo cambiar el tamao de la vlvula existente a la salida del tanque. - T Permite trabajar con diferentes capacidades para el tanque, cambiando el rea transversal. - D Permite introducir retardos en el dispositivo de medida que est formando parte del controlador. [pic]

Figura 1 Esquema del control de nivel

[pic]

Figura 2 Grfico de la respuesta dinmica.

Cuando se ha seleccionado una de ellas, el programa requiere que se escoja el sistema de unidades, que puede ser mtrico < M > o ingls < E >. Realizado este paso, se inicia la simulacin con el controlador en operacin MANUAL. Se puede observar el tanque, ciertas variables del sistema y el controlador, como indica la figura 1.

En la lnea final se indican las funciones asignadas a las teclas F1 F10, las mismas que conjuntamente con las teclas de movimiento del cursor (usar la de los nmeros) pueden variar las condiciones de la simulacin.

Una opcin interesante del programa es la visualizacin de cmo varan las variables del proceso con respecto al tiempo, aspecto de mucha utilidad cuando se requiere aplicar el procedimiento de Ziegler-Nichols. Esto se ilustra en la figura 2.

Por ltimo cabe mencionar que presionando la tecla t, se cambia la velocidad de operacin del paquete, as como presionando Pause se puede interrumpir la operacin y continuar con Enter, lo que muchas veces facilita la medicin de valores.

Las reglas de sintonizacin de Ziegler Nichols y sus modificaciones se han utilizado durante muchos aos. Entre los principales mtodos se tiene:

La curva de reaccin: que consiste en una prueba de lazo abierto, en la cual se somete al sistema a una perturbacin (entrada escaln) y se obtiene su respuesta. En base a la respuesta, se traza la pendiente en el punto de inflexin con lo cual se determina el retardo L y la constante de tiempo correspondientes a una aproximacin a un sistema de primer orden con retardo de transporte. En base a los valores L, se determinan los parmetros del control PID.

Ultimo perodo: que consiste en una prueba de lazo cerrado en la cual se vara la ganancia del sistema hasta que su respuesta presente una oscilacin sostenida, sobre la cual se puede medir el periodo de oscilacin Tc que junto con la ganancia crtica Kc permite calcular los parmetros del control PID.

3.

TRABAJO PREPARATORIO

3.1 Consulte los mtodos de sintonizacin de Ziegler Nichols.

3.2 Para las plantas que se indican a continuacin disee un controlador PID utilizando la cancelacin de polos y ceros y las reglas de sintonizacin de Ziegler y Nichols. Para mejorar las caractersticas a valores prximos a Mp < 20%, ts > 4 seg, Ep < 10%.

a) [pic] b) [pic]

4.

TRABAJO PRCTICO

4.1 Compruebe el funcionamiento de los controladores diseados en el trabajo preparatorio. 4.2 Con la utilizacin del programa TANKSIM 4.3 Con la utilizacin del programa TANSINM, escoger la opcin V y sintonizar un controlador P, PI y PID.

4.4 Explicar los tipos de fallas que se puede simular en TANKSIM y su efecto sobre el sistema. 4.5 Explicar los efectos de utilizar las opciones T y D.

5.

BIBLIOGRAFIA

-Ogata Katsuhiko, Ingeniera de Control Moderna, Pentice Hall, Tercera edicin, 1999

Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

Captulo 2 DISEO DE SISTEMAS DE CONTROL CLSICOS 2.1 Introduccin

El uso de controladores clsicos o convencionales en el control de procesos industriales es todava vigente, fundamentalmente por razones de contar con tecnologas no tan modernas. El uso extendido de los PLC en la industria, es quiz los mayores aportes de los controladores clsicos tales como los PI, PD y PID. Sin embargo en muchas industrias del mbito nacional, ya comenzaron hace algunos aos a introducir tcnicas y equipamiento moderno, tales como los IPC (computadores industriales), que conjuntamente con el uso de PLCs, conforman una estructura mixta gobernadas por red. La tendencia al uso de tecnologas de avanzada (modernas) es cada vez mayor en el mundo industrial, y ya se empiezan a sentir esos cambios en la industria nacional. En los ltimos aos, algunos fabricantes de PLC, frente a la aparicin y el desarrollo de los DSP (Procesadores Digitales de Seales) en aplicaciones de control de procesos, robtica, etc., han logrado evolucionar las bondades que ofrecen los PLC en relacin a la programacin, tal es el caso que puede programarse en lenguaje de alto nivel, como es el caso del Texto Estructurado (Structured Text, ST), lo que abre el camino a implementar cualquier tcnica o estrategia de control.

En tal sentido, considerando que todava estos sistemas clsicos tienen determinado nivel de importancia en nuestra realidad industrial, consideraremos su estudio abarcando fundamentalmente a los controladores industriales PI, PD y PID, y haremos una breve introduccin a los compensadores.

Los controladores industriales, de acuerdo a su accin de control, pueden clasificarse de la siguiente forma: 1. Controladores proporcionales (P) 2. Controladores proporcional-integral (PI) 3. Controladores proporcionalderivativo (PD) ____________________________________________________________

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4. Controladores proporcional-integral-derivativo (PID)

El tipo de controlador a usar se decide en base a la naturaleza de la planta y las condiciones de operacin, incluyendo consideraciones tales como seguridad, costo, disponibilidad, confiabilidad, exactitud, peso y tamao.

Un sistema de control clsico o convencional se muestra en el diagrama de bloques de la figura 2.1.

Controlador automtico Salida

Ref + _

e

Amplificador

Actuador

Planta

Sensor

Figura 2.1 Diagrama de bloques de un sistema de control industrial.

2.2

Consideraciones Preliminares de Diseo

Todo diseo de sistemas de control convencional involucra algunos de los mtodos grficos, tales como el Lugar Geomtrico de las Races y Respuesta en Frecuencia, con la finalidad de obtener un control sobre el comportamiento de un proceso o planta, de modo que se cumplan con las especificaciones de diseo. Al disear controladores P, PD, PI, PID y compensadores por el mtodo del Lugar de las races, tenemos que tener presente el efecto de la adicin de polos y ceros a la funcin de transferencia de lazo abierto. El agregar un polo a la funcin de transferencia de lazo abierto tiene el efecto de mover el lugar de las races a la derecha del plano s, con lo

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que se disminuye la estabilidad relativa y aumenta el tiempo de establecimiento; sin embargo, se obtiene error estacionario nulo si por ejemplo se agrega un polo en el origen. Al agregar un cero a la funcin de transferencia de lazo abierto tiene el efecto de mover el lugar de las races hacia la izquierda, haciendo al sistema ms estable y disminuyendo el tiempo de establecimiento o de asentamiento. Un procedimiento comn en el mtodo de respuesta en frecuencia, especficamente el del diagrama de Bode, consiste en ajustar primero la ganancia de lazo abierto, de modo que se satisfagan los requerimientos de diseo, tales como margen de ganancia y margen de fase; luego se trazan las curvas de magnitud y ngulo de fase de lazo abierto no compensado. Si no se satisfacen las especificaciones, se determina un compensador que modifique la forma de la funcin de transferencia de lazo abierto.

2.3 Controlador proporcional (P) En este controlador, la relacin entre la salida del controlador u(t) y la seal de error e(t), es u (t ) = K p e(t ) Tomando transformada de Laplace, se obtiene U ( s ) = K p E ( s ) y la funcin de transferencia es: (2.1)

U ( s) = Kp E ( s) donde Kp se denomina ganancia proporcional. El controlador proporcional es esencialmente un amplificador con ganancia ajustable. En la figura 2.2 se puede observar un diagrama de bloques de un controlador proporcional.

+_

E(s)

Kp

U(s)

Figura 2.2 Diagrama de bloques de un controlador proporcional. ____________________________________________________________

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2.4

Controlador proporcional e integral (PI) Kp Ti

En este caso la accin de control queda definida por la ecuacin u (t ) = K p e(t ) + y la funcin de transferencia del controlador es

e(t )dt 0

t

(2.2)

U ( s) 1 = K p (1 + ) E ( s) Ti s donde Kp es la ganancia proporcional y Ti es el tiempo integral. En la figura 2.3a se presenta el diagrama de bloques de un controlador PI, y en las figuras 2.3 (b) y (c) los diagramas que representan una entrada escaln unitario y la salida del controlador.

+ _

E(s)

K p (1 + Ti s) Ti s

U(s)

(a) e(t) u(t) 2Kp 1 Kp 0 (b) t 0 (c) Solo proporcional t Accin de copntrol PI

Figura 2.3 (a) Diagrama de bloques de un controlador PI; (b) Entrada escaln unitario; (c) Salida del controlador PI.

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2.5 Controlador proporcional derivativo (PD) La accin de este controlador se define por la siguiente ecuacin: u (t ) = K p e(t ) + K p Td y la funcin de transferencia es de(t ) dt (2.3)

U ( s) = K p (1 + Td s ) E ( s) donde Kp es la ganancia proporcional y Td es una constante denominada tiempo derivativo o tiempo de adelanto, ambos regulables.

La accin de control derivativa (control de velocidad), se presenta cuando el valor de salida del controlador es proporcional a la velocidad de variacin de la seal de error. El tiempo derivativo Td es el intervalo de tiempo en el que la accin derivativa se adelanta al efecto de la accin proporcional.

En la figura 2.4 se observa el diagrama de bloques del controlador PD, la entrada rampa unitaria y la salida del controlador.

+_

E(s)

K p (1 + Td )

U(s)

(a) e(t) Rampa unitaria u(t) Accin de control PD

Slo proporcional 0 t (b) (c) Figura 2.4 (a) Diagrama de bloques de un controlador PD; (b) Entrada rampa unitaria; (c) Salida del controlador PI. ____________________________________________________________

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La ventaja de la accin derivativa es la de anticiparse al error. Las desventajas son que amplifica las seales de ruido y produce un efecto de saturacin en el actuador.

2.6

Controlador proporcional integral - derivativo (PID)

La combinacin de los tres efectos tiene la ventaja de las acciones de cada uno de ellos. La ecuacin del controlador PID es: u (t ) = K p e(t ) + y la funcin de transferencia es Kp Ti

e(t )dt +K 0

t

pd

T

de(t ) dt

(2.4)

U ( s) 1 = K p (1 + + Td s ) E ( s) Ti s En la figura 2.5 se puede observar el diagrama de bloques, la entrada rampa unitaria y la salida del controlador PID.

+ _

E(s)

K p (1 + Ti s + Ti Td s 2 ) Ti s

U(s)

(a) e(t) u(t) Accin de control PID Rampa unitaria Accin de control PD Slo proporcional 0 t 0 t

(b) (c) Figura 2.5 (a) Diagrama de bloques de un controlador PID; (b) Entrada rampa unitaria; (c) Salida del controlador PID. ____________________________________________________________

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Ejemplo 2.1 Considere un sistema de horno tubular mostrado en la figura 2.6, definido por:

q(t ) + 2q (t ) = (t ) & &(t ) + 0.5 (t ) = 2q (t ) v(t ) = 0.25 (t ) Horno tubular (t)

(I ) ( II ) ( III )

q Fuel Sensor de temperatura

v(t) Figura 2.6: Sistema de Horno tubular.

Donde: (t) : Desplazamiento angular

q(t) : Flujo del caudal de combustible (t) : Temperatura del horno

v(t) : Lectura del transductor de temperatura

Se pide, disear un Controlador PID, de tal manera que la respuesta y(t) presente aproximadamente las siguientes especificaciones: MP 5 %, ts = 4 seg. ante entradas de referencia tipo escaln. Considere el tercer polo ubicado a 10 veces la parte real de los polos dominantes. Considere adems

u = (variable de entrada o de control), y = v (variable de salida), y las siguientes variables de estado: x1 = ; x2 = q .

Solucin

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Pasos de diseo: 1. Determinacin de la funcin de transferencia de la planta. Aplicando transformada de Laplace a las ecuaciones (I), (II), y (III), se obtiene:

Q( s) 1 2 V ( s) ( s) = ; = ; = 0.25 ( s ) s + 2 Q ( s ) s + 0. 5 ( s ) Entonces la funcin de transferencia del sistema horno tubular ser:

(s) (s) Q(s ) 2 1 2 = = = ( s ) Q( s ) ( s ) ( s + 0.5) ( s + 2) ( s + 0.5)( s + 2) (s) = 2 (s) ( s + 0.5)( s + 2) V ( s ) = 0.25 ( s ) ( IV ) (V )

Reemplazando la ecuacin (IV) en la (V) se obtiene:

(s) =

2 (s) ( s + 0.5)( s + 2) 2 0.5 V ( s ) = 0.25 ( s) = 2 ( s + 0.5)( s + 2) s + 2.5s + 1 Y ( s) 0.5 G p ( s) = = 2 U ( s ) s + 2.5s + 1

(V )

2. Determinacin de los polos dominantes Considerando las especificaciones de funcionamiento, se obtienen:

MP = 100e 1 = 5 = 0.707 4 ts = = 4 n = = 1 n = 1.41 rad / s 2

n

d = n 1 2 1 rad / s Los polos dominantes se pueden calcular de: s1, 2 = j d = 1 j1 El tercer polo ser: s 3 = 10

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3. Determinacin de la funcin de transferencia de lazo cerrado en funcin del comportamiento deseado La funcin de transferencia de lazo cerrado de tercer orden viene dada por: 2 n p Y (s) 1.9881 10 = 2 = 2 2 R( s ) ( s + 2 n s + n )( s + p) ( s + 2 s + 1.9881)( s + 10)

Y (s) 20 = 3 2 R( s ) s + 12 s + 22s + 20 Entonces la ecuacin caracterstica deseada es: s 3 + 12s 2 + 22 s + 20 = 0 (VI )

4. Determinacin de la funcin de transferencia de lazo cerrado en funcin de los parmetros del controlador PID La funcin de transferencia de lazo cerrado en funcin de los parmetros del controlador es:

Gc ( s )G p ( s ) Y (s) = R( s ) 1 + Gc ( s )G p ( s ) siendo : Kd s2 + K p s + Ki Ki Gc ( s ) = K p ( s ) + + Kd s = s s 0.5 G p (s) = 2 s + 2.5s + 1 Reemplazando cada una de las funciones de transferencia particulares en la funcin de transferencia de lazo cerrado, se obtiene: 0.5 K d s 2 + 0.5 K p s + 0.5 K i Y ( s) = R( s ) s 3 + (2.5 + 0.5 K d ) s 2 + (1 + 0.5 K p ) s + 0.5 K i

Entonces la ecuacin caracterstica de lazo cerrado es:

s 3 + (2.5 + 0.5K d ) s 2 + (1 + 0.5 K p ) s + 0.5 K i = 0

(VII )

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5. Determinacin de los parmetros del Controlador PID Igualando coeficientes de las ecuaciones (VI) y (VII) se obtienen: 0.5 K i = 20 1 + 0.5 K p = 22 K i = 40 K p = 42

2.5 + 0.5 K d = 12 K d = 19

Ejemplo 2.2 Considere los sistemas que se muestran en la figura 2.7. El sistema I es un servo posicional (control de Posicin) que utiliza una accin proporcional. El sistema II es un servo posicional que utiliza una accin de control proporcional derivativa (PD). Compare las respuestas a un salto unitario de los dos sistemas.

R(s) + _

5

1 s (5s + 1)

Y(s)

Sistema I 1 s (5s + 1)

R(s) + _

5(1 + 0.8s )

Y(s)

Sistema II Figura 2.7 Sistemas de control P y PD.

Solucin Para el sistema I (control proporcional) La funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema es

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos Y (s) 1 = 2 R( s ) s + 0.2 s + 1

y la ecuacin caracterstica de un sistema de segundo orden es

s 2 + 2 n s + 2 = 0 n Comparando la ecuacin caracterstica con la ecuacin del sistema I, se obtiene:

n= 1

;

= 0.1

;

d = 0.995

La salida del sistema de segundo orden para una entrada escaln unitario est dada por

y (t ) = 1 y (t ) = 1

e nt 1 2

sen( d t + tan 1

1

2

)

;

para t 0

e 0.1t sen(0.995t + tan 1 9.95) 0.995

Evaluando para diferentes valores de t se obtiene:

Tiempo: t 0 1 2 3 4

Salida: y(t) 1.25x10-5 0.4310 1.2581 1.7201 1.4983

10

1.3368

Para el sistema II (control PD) Para este caso, la funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema es Y (s) 0.8s + 1 = 2 R( s) s + s + 1 Efectuando el mismo procedimiento que para el caso anterior, se obtiene:

n= 1

;

= 0.5

;

d = 0.866

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La salida del sistema II para una entrada escaln unitario viene dada por

y (t ) = 1

e 0.5t sen(0.866t + tan 1 1.7320) 0.866

Evaluando para diferentes valores de t se obtiene:

Tiempo: t 0 1 2 3 4 10

Salida: c(t) -2.2x10-5 0.3403 0.8494 1.1243 1.1531 1.0022

La representacin en MATLAB de las dos curvas de respuesta a un escaln unitario se muestra en la figura 2.8 Respuesta a un escaln unitario pa ra los sistemas I y II 1.8 1.6 Sistema I 1.4 1.2 Amplitud 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 t (seg) 6 8 10 Sistema II

Figura 2.8 Curvas de respuestas de los sistemas de control P y PD. ____________________________________________________________

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El programa correspondiente se lista a continuacin

2.6.1 Efectos del control integral En el control proporcional de una planta cuya funcin de transferencia no posee un integrador 1/s, hay un error de estado estacionario, o corrimiento, en la respuesta a la entrada escaln. Tal corrimiento se puede eliminar incluyendo un integrador en el controlador. En el control integral de una planta, la seal de control (salida del controlador), es el rea bajo la curva del error actuante. La seal de control u(t) puede ser no nulo cuando e(t) es cero.

2.6.2 Efectos del control derivativo Al agregar la accin derivativa al controlador proporcional, se obtiene un controlador de alta sensibilidad, velocidad de respuesta al ritmo de la variacin del error ____________________________________________________________

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Puede producir una correccin significativa antes que la magnitud del error sea muy grande. Tiene una accin anticipatoria al error actuante. Tiende a incrementar la estabilidad del sistema. Introduce amortiguamiento al sistema y permite as usar valores elevados de K, redundando en una mejora de la exactitud en estado estacionario. Este modo se usa en combinacin con la accin de control proporcional mnimamente.

2.7

Mtodos de Sintonizacin de controladores PID

La figura 2.9 muestra el control PID de una planta. Si se puede obtener un modelo matemtico de la planta, es posible aplicar diversas tcnicas de diseo con el fin de determinar los parmetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. Sin embargo, si la planta es muy complicada que no es fcil obtener su modelo matemtico, tampoco es posible un enfoque analtico para el diseo de un controlador PID. En este caso, debemos recurrir a los enfoques experimentales para la sintonizacin de los controladores PID.

R(s)

+_

K p (1 +

1 + Td s ) Ti s 1

G p (s )

Y(s)

Figura 2.9 Control PID de una planta.

2.7.1 Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, basadas en las caractersticas de respuesta transitoria de una planta especfica. La sintonizacin de los controladores PID se realizan experimentalmente sobre la planta. Existen dos mtodos de sintonizacin, los cuales pretenden obtener un sobrepaso mximo de 25% en la respuesta a un escaln. ____________________________________________________________

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Estas reglas de sintonizacin se han aplicado, en general, para plantas con dinmica complicada y sin integradores. La utilidad de estas reglas se vuelve evidente cuando no se conoce la dinmica de la planta.

Primer mtodo de sintonizacin (mtodo de la Curva de Reaccin) En este mtodo, la respuesta de la planta a una entrada escaln unitario se obtiene de una manera experimental, como se observa en la figura 2.10.

1 Planta

u(t)

y(t)

Figura 2.10 Respuesta escaln unitario de una planta. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escaln unitario puede tener forma de S, como se observa en la figura 2.11. Si la respuesta no presenta esta forma, entonces no se debe aplicar este mtodo. Las curvas de respuesta frente a una entrada u(t) escaln unitario se generan experimentalmente o a partir de una simulacin dinmica de la planta. y(t) Lnea tangente en el punto de inflexin K

0 L T Figura 2.11 Curva de respuesta con forma de S.

t

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Dicha curva presenta dos parmetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. Ambos parmetros se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexin de la curva S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la lnea y(t) = K. En este caso, la funcin de transferencia Y(s)/U(s) se aproxima mediante un sistema de primer orden con un retardo de transporte, as:

Y ( s ) Ke Ls = U ( s ) Ts + 1

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la frmula que se indica en la tabla 2.1

Tabla 2.1 Regla de sintonizacin Ziegler-Nichols basada en la respuesta al escaln.

Tipo de controlador Kp P PI PID T L 0.9 1.2 T L T L

Ti L 0. 3 2L

Td 0 0 0 .5 L

De la tabla, para el controlador PID sintonizado tenemos:

Gc ( s ) = K p (1 + = 1.2

1 + Td s ) Ti s

T 1 (1 + + 0.5 Ls ) L 2 Ls 1 (s + ) 2 L = 0.6T s Se puede observar que el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = - 1/L.

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Segundo mtodo de sintonizacin a) Se estable que Ti = y Td = 0, es decir se est suponiendo un controlador proporcional de ganancia Kp. b) Usando slo la accin proporcional, incrementar Kp de 0 a un valor crtico Kcr que permita observar oscilaciones sostenidas en la salida. Si no se presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor de Kp, no se aplica este mtodo. Por consiguiente, la ganancia Kcr y el periodo Pcr se determinan experimentalmente (ver figura 2.12). c(t)

Pcr

0

t Figura 2.12 Oscilacin sostenida con periodo Pcr.

c) De acuerdo con Ziegler-Nichols, los parmetros Kp, Ti y Td se obtienen con la frmula que se presenta en la tabla 2.2.

Tabla 2.2 Regla de sintonizacin Ziegler-Nichols basada en la ganancia crtica Kcr y en el periodo crtico Pcr. Tipo de controlador P PI PID

Kp 0.5 K cr 0.45 K cr 0.6 K cr

Ti 1 Pcr 12 0.5 Pcr

Td 0 0 0.125Pcr

d) Usando la tabla 2.2, la ecuacin para el controlador sintonizado es

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos Gc ( s ) = K p (1 + 1 + Td s ) Ti s 1 + 0.125Pcr s ) 0.5 Pcr s (s + = 0.075K cr Pcr 4 2 ) Pcr s

= 0.6 K cr (1 +

Por consiguiente, el controlador PID presenta un polo en el origen y cero doble en s = -4/Pcr.

Ejemplo 2.3 Considerar el sistema de control de la figura 2.13, en el cual se usa un controlador PID para controlar el sistema. El controlador PID tiene la funcin de transferencia siguiente: Gc ( s ) = K p (1 + 1 + Td s ) Ti s

Aplicar una regla de sintonizacin de Ziegler-Nichols para la determinacin de los valores de los parmetros Kp, Ti y Td. A continuacin, obtenga una curva de respuesta escaln unitario y verifique si el sistema diseado presenta un sobrepaso mximo de aproximadamente 25%. Si el sobrepaso mximo es excesivo (40% o ms), haga una sintonizacin fina y reduzca la cantidad del sobrepaso mximo aproximado de 25%.

R(s) +

Gc(s) -

1 s ( s + 1)( s + 5)

Y(s)

Controlador PID Figura 2.13 Sistema con un controlador PID.

Solucin

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a) Debido a que la planta tiene un integrador, usamos el segundo mtodo. Considerar Ti = , Td = 0. b) Considerando tan slo la accin proporcional (Kp), obtenemos la funcin de transferencia de lazo cerrado siguiente: Kp Y (s) = R( s ) s ( s + 1)( s + 5) + K p El valor de Kp que hace al sistema marginalmente estable para que ocurra una oscilacin sostenida se obtiene mediante el criterio de estabilidad de Routh. La ecuacin caracterstica para el sistema de lazo cerrado es s 3 + 6 s 2 + 5s + K p = 0 Entonces el arreglo de Routh viene a ser:

s3 s2 s1 s0

1 6 30 K p 6 Kp

5 Kp

De la primera columna se encuentra que ocurrir una oscilacin sostenida si Kp = 30. Por consiguiente, la ganancia crtica es Kcr = 30, entonces la ecuacin caracterstica es

s 3 + 6 s 2 + 5s + 30 = 0 Sustituyendo s = jw en la ecuacin caracterstica, as: ( j ) 3 + 6( j ) 2 + 5( j ) + 30 = 0 6(5 2 ) + j (5 2 ) = 0 encontramos que la frecuencia de oscilacin sostenida es w2 = 5 o w = 5. Luego, el periodo de la oscilacin sostenida es

Pcr =

2

=

2 = 2.8099 5

c) De la tabla 2.2, se determinan Kp, Ti y Td de la siguiente manera:

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos K p = 0.6 K cr = 18 Ti = 0.5Pcr = 1.405 Td = 0.125Pcr = 0.35124

d) Entonces la funcin de transferencia del controlador PID resulta en

Gc ( s ) = K p (1 + = 18(1 +

1 + Td s ) Ti s

1 + 0.35124s ) 1.405s 6.3223( s + 1.4235) 2 = s El controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s = -1.4235. En la figura 2.14 se muestra el diagrama de bloques del sistema de control con el controlador PID diseado.

R(s) + 6.3223( s + 1.4235) 2 s _ 1 s ( s + 1)( s + 5)

Y(s)

Figura 2.14 Diagrama de bloques del sistema de control con el controlador PID diseado. La funcin de transferencia en lazo cerrado Y(s)/R(s) se representa as:

Y (s) 6.3223s 2 + 18s + 12.811 = 4 R( s ) s + 6s 3 + 11.3223s 2 + 18s + 12.811

La respuesta al escaln unitario de este sistema se obtiene fcilmente con MATLAB, segn puede apreciarse en la figura 2.15.

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Respuesta al escaln unitario 1.8 1.6 1.4 1.2 Amplitud 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 2 4 6 8 Tiempo (seg) 10 12 14

Figura 2.15 Respuesta al escaln unitario del sistema de control, usando un controlador PID.

De la figura 2.15 se aprecia que el sobrepaso mximo es de aproximadamente 62%, que resulta excesivo. Por consiguiente se reducen los parmetros del controlador mediante una sintonizacin fina en la computadora. Si se conserva Kp = 18 y se mueve el cero doble del controlador PID a s = -0.65, entonces debemos determinar el nuevo valor para Pcr, as:

4 = 0.65 Pcr = 6.1538 Pcr Luego los parmetros Ti y Td sern: Ti = 0.5Pcr = 0.5(6.1538) = 3.0769 3.077 Td = 0.125Pcr = 0.125(6.1538) = 0.7692

Entonces estaremos usando el controlador PID con la siguiente funcin de transferencia: Gc ( s ) = 18(1 + 1 ( s + 0.65) 2 + 0.7692s ) = 13.846 3.077 s s

Enseguida, la funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema de control ser:

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos Y (s) 13.846s 2 + 18s + 5.85 = 4 R( s ) s + 6 s 3 + 18.846s 2 + 18s + 5.85

Usando MATLAB para esta nueva funcin de transferencia, se obtiene la respuesta a un escaln unitario como se muestra en la figura 2.16. Respuesta al escaln unitario 1.2

1

0.8 Amplitud

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3 4 Tiempo (seg)

5

6

7

Figura 2.16 Respuesta al escaln unitario del sistema de control, con parmetros Kp = 18, Ti = 3.077 y Td = 0.7692.

Si incrementamos la ganancia proporcional a Kp = 39.42, sin modificar la ubicacin del cero doble (s = -0.65), es decir, K p = 0.6 K cr = 39.42 K cr = 65.7 ; sin embargo no afecta a los parmetros Ti ni Td, por lo que la funcin de transferencia del controlador PID es: Gc ( s ) = 39.42(1 + 1 ( s + 0.65) 2 + 0.7692s ) = 30.322 3.077 s s

obtenindose la funcin de transferencia de lazo cerrado siguiente:

C ( s) 30.322s 2 + 39.4186s + 12.811045 = 4 R ( s ) s + 6 s 3 + 35.322s 2 + 39.4186s + 12.811045

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Nuevamente usando MATLAB, se obtiene la grfica que se muestra en la figura 2.17, en la que se puede distinguir un aumento en la velocidad de respuesta, lo que implica un menor tiempo de establecimiento, pero el valor del sobrepaso mximo aumenta a aproximadamente 28%, valor que se encuentra alrededor del 25% requerido. Respuesta al escaln unitario 1.4 1.2 1 Amplitud 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0

1

2 3 Tiempo (seg)

4

5

Figura 2.17 Respuesta al escaln unitario del sistema de control con parmetros Kp = 39.42, Ti = 3.077 y Td = 0.7692.

De las tres respuestas se escoge la ltima que corresponde a una respuesta ms rpida y un sobrepaso mximo bastante cerca al 25%. Por consiguiente, los parmetros sintonizados son: Kp = 39.42, Ti = 3.077, Td = 0.7692

Nota: Si se desea tener una mayor aproximacin al 25% de sobrepico, se podra disminuir ligeramente Kp, manteniendo la ubicacin del cero doble (s = -0.65).

2.7.2 Modificaciones del controladores PID Considerar el sistema de control PID bsico de la figura 2.18(a), sujeto a perturbaciones, y el diagrama de bloques modificado de la figura 2.18(b). ____________________________________________________________

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

Si la entrada de referencia es un escaln, debido a la presencia del trmino derivativo en la accin de control, la variable manipulada u(t) contendr una funcin impulso. En un controlador PID real, en lugar del trmino derivativo puro Tds se emplea

Td 1 + Td s

Perturbacin D(x) Ent. de ref. R(s) +

Controlador PID

+

+ Planta Gp(s)

Y(s)

Seal observada B(s)

Ruido N(s)

(a)

1

D(s)

+ R(s) + _ E(s) 1 Ti s

++

Kp

U(s) +

+ G p (s )

Y(s)

Td s B(s) (b)

+

+ N(s)

Figura 2.18 (a) Sistema con un controlador PID; (b) diagrama de bloques equivalente.

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

El valor de est alrededor de 0.1. Por consiguiente, cuando la referencia sea un escaln, u(t) no contendr la funcin impulso, sino una funcin de pulso aguda. A este efecto se le denomina reaccin del punto de ajuste.

Controlador PI-D Una forma de evitar la reaccin del punto de ajuste, es operar la accin derivativa slo en la trayectoria de realimentacin, de tal manera que no afecte a la referencia. A este sistema modificado se le denomina PI-D, y se muestra en la figura 2.19.

1

D(s)

+ R(s) + _ E(s) 1 T+ is

+ Kp U(s) + G p (s )

+ _

Y(s)

Td s

B(s) B(s)

+

N(s)

+ Figura 2.19 Sistema con un controlador PI-D.

De la figura 2.19 se observa que la seal manipulada U(s) se obtiene as:

U ( s ) = K p (1 +

1 1 ) R( s ) K p (1 + + Td s ) B ( s ) Ti s Ti s

En ausencia de perturbaciones y ruido, la funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema de control PID bsico de la figura 2.18 (b) es: Y (s) 1 = (1 + + Td s ) R( s) Ti s K p G p (s) 1 1 + (1 + + Td s ) K p G p ( s ) Ti s

y la funcin de transferencia en lazo cerrado del sistema de control PI-D de la figura 2.19 es

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos Y (s) 1 = (1 + ) R( s) Ti s K p G p (s) 1 1 + (1 + + Td s ) K p G p ( s ) Ti s

Asimismo, la funcin de transferencia en lazo cerrado entre la salida Y(s) y la perturbacin D(s) en ausencia de la entrada R(s) y la entrada de ruido N(s) es igual en cualquier de los casos, y est dada por:

Y ( s) = D( s )

G p (s) 1 + K p G p ( s )(1 + 1 + Td s ) Ti s

Controlador I-PD

Como en el caso anterior, suponer que la entrada de referencia es una funcin escaln. Los controles PID y PI-D implican una funcin escaln en la seal manipulada. Tales cambios escaln en la seal manipulada pueden ser grandes, produciendo saturacin dentro del sistema. El criterio bsico para evitar este inconveniente es llevar las acciones de control proporcional y derivativo a la trayectoria de realimentacin, que permitan elegir valores ms altos para Kp y Td. El esquema de control I-PD se muestra en la figura 2.20. D(s)

+ R(s) + _

1 Ti s

+_ 1

Kp _

U(s) +

G p (s )

Y(s)

Td s + B(s) N(s) +

B(s)

Figura 2.20 Sistema con un controlador I-PD.

De la figura 2.20, se puede determinar que la seal manipulada est dada por:

U ( s) = K p

1 1 R( s ) K p (1 + + Td s ) B( s ) Ti s Ti s

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

En ausencia de la perturbacin y ruido, la funcin de transferencia en lazo cerrado Y(s)/R(s) est dada por: Y (s) 1 =( ) R( s) Ti s K p G p (s) 1 1 + (1 + + Td s ) K p G p ( s ) Ti s

Asimismo, en ausencia de las seales de referencia y ruido, la funcin de transferencia en lazo cerrado de la salida frente a la perturbacin es:

Y ( s) = D( s )

G p (s) 1 + K p G p ( s )(1 + 1 + Td s ) Ti s

que es la misma para los controladores PID y PI-D.

Ejemplo 2.4 Considere el controlador electrnico PID modificado de la figura 2.21. La

funcin de transferencia incluye un integrador y un trmino de atraso de primer orden. Obtenga la funcin de transferencia de este controlador PID.

Z1 R2 C1 R1 Ei(s) R3

Z2 R5

C2

R4 E(s) Eo(s)

Figura 2.21 Control PID modificado.

Solucin

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Control II Considerando que: Z1 = 1

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

1 + C1 s R1

+ R3 =

R1 + R3 + R1 R3 C1 s 1 + R1C1 s 1 C2 s

Z 2 = R2 + Entonces

E (s) Z ( R C s + 1)( R1C1s + 1) = 2 = 2 2 Ei ( s) Z1 C2 s ( R1 + R3 + R1 R3C1s ) y

Eo ( s) R = 5 E (s) R4

Entonces la funcin de transferencia del controlador PID es Eo ( s) Eo (s ) E ( s) R5 ( R1C1 s + 1)( R2 C 2 s + 1) = = Ei ( s) E ( s ) E i ( s ) R4 ( R1 + R3 )C 2 RR s 1 3 C1 s + 1 R +R 3 1 1 1 s + s + R1C1 R2 C 2 RR = 5 2 R4 R3 R + R3 s s + 1 R1 R3C1

R1C1 y R2C2 determinan las ubicaciones de los ceros del controlador, mientras que R3 afecta la ubicacin del polo en el eje real negativo. R5/R4 ajusta la ganancia del controlador.

2.8 Breve Introduccin a Compensadores de Adelanto y Atraso

El objetivo de esta seccin es presentar algunos procedimientos para el diseo y la compensacin de sistemas de control lineales, invariantes en el tiempo, con una entrada y una salida (SISO).

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

La compensacin es la modificacin de la dinmica del sistema para satisfacer las especificaciones requeridas. Los procedimientos para el diseo y compensacin que se describen en este captulo, son el mtodo del lugar geomtrico de las races y el mtodo de respuesta en frecuencia. Las especificaciones de comportamiento toman la forma de especificaciones de funcionamiento, que en general estn relacionadas con la exactitud, estabilidad relativa y velocidad de respuesta. En trminos generales, las especificaciones de funcionamiento no deben ser ms restrictivas de lo necesario para cumplir determinada tarea. Si en determinado sistema de control fuera de gran importancia la exactitud en estado estacionario, no se deberan exigir especificaciones muy rgidas de funcionamiento en respuesta transitoria, pues tales especificaciones requeriran componentes muy costosos.

2.8.1 Compensacin del sistema Ajustar la ganancia es el primer paso para que el sistema logre su funcionamiento satisfactorio. Sin embargo, en muchos casos prcticos, no basta ajustar la ganancia del sistema para cumplir con las especificaciones dadas. Con frecuencia aumentar el valor de la ganancia mejora el funcionamiento estacionario, pero redunda en una estabilidad pobre, o hasta en inestabilidad. En tal caso es necesario redisear el sistema, de manera que el sistema se comporte en la forma deseada. Tal rediseo se denomina compensacin.

2.8.2 Configuraciones de compensacin Las configuraciones de compensacin tpicas son: 1) compensacin en cascada (serie), 2) compensacin mediante realimentacin (paralelo), y 3) compensacin en serie-paralelo. En el caso de la configuracin en cascada, puede existir dos casos, a saber: a) el compensador actuando en serie con un controlador original, y b) el compensador actuando directamente sobre la planta. En las figuras 2.22 (a1) y (a2), se presentan los dos casos de configuracin en cascada. En las figuras 2.22 (b) y (c) se muestran las configuraciones en paralelo y serieparalelo, respectivamente.

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

Compensador R(s) + Gc1 (s)

Controlador original Gc2(s)

Planta Gp(s) Y(s)

_ H(s) Sensor

(a1) Compensador R(s) + Gc(s)

Planta Gp(s) Y(s)

_ H(s) (a2) Figura 2.22 (a) Configuraciones de compensadores en cascada. (a1) compensador en cascada actuando sobre un controlador original, (a2) Compensador en cascada, actuando directamente sobre la planta. Sensor

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

Controlador original R(s) + Gc1(s)

Planta Gp(s) Y(s)

_

Compensador Gc2(s) (b) Compensador Planta

R(s) +

Gc1(s)

+_ Sensor H(s) (c)

Gp(s)

Y(s)

_

Compensador Gc2(s)

Figura 2.22 (b) Compensacin en paralelo; (c) compensacin en serieparalelo.

2.8.3 Compensador en adelanto En la figura 2.23 se muestran una red elctrica y otra mecnica, as como sus respectivas funciones de transferencia. Circuito elctrico de adelanto

c R1

Z1

Z2 ei R2 eo

Z1 =

R1 R1Cs + 1

Z 2 = R2

Figura 2.23 Circuito elctrico de adelanto ____________________________________________________________

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

La funcin de transferencia entre la salida Eo(s) y la entrada Ei(s) es:

Eo (s) Z2 R2 = = E i ( s ) Z 1 + z 2 R1 + R2 Se define

R1Cs + 1 R1 R2 Cs + 1 R1 + R2

(2.5)

R1C = T ,

R2 = 1 R2

Figura 2.25 Circuito elctrico de atraso.

Idnticamente que para el caso del compensador en adelanto, se debe usar

un

Amplificador con ganancia ajustable Kc de modo que la funcin de transferencia del compensador sea:

1 Ts + 1 T Gc ( s ) = K c = Kc 1 Ts + 1 s+ T s+ El siguiente es una red mecnica en atraso Como en el caso elctrico, si esta red desea usarse como compensador en atraso, es necesario agregar una ganancia ajustable Kc de modo que la funcin de transferencia del compensador sea:

(2.7)

xi k b2

1 Ts + 1 T Gc ( s ) = K c = Kc 1 Ts + 1 s+ T Con s+

(2.8)

b1

xo

Figura 2.26 Red mecnica de atraso.

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b2 b +b = T , 1 2 = >1 k b2

2.8.5 Diseo de compensadores en adelanto por el mtodo del Lugar Geomtrico de las Races (LGR) Este mtodo para disear compensadores es muy poderoso cuando las especificaciones se dan en trminos de magnitudes en el dominio del tiempo, como la accin de amortiguamiento y la frecuencia natural no amortiguada de los polos de lazo cerrado, sobreimpulso mximo, tiempo de crecimiento y tiempo de establecimiento. Dado el diagrama de bloques del sistema de control de la figura 2.27, los procedimientos para disear dicho compensador en adelanto, se pueden especificar como sigue:

R(s) + _

E(s)

Gc(s)

U(s)

G(s)

Y(s)

Figura 2.27 Sistema de control.

Procedimientos de diseo: 1. De las especificaciones del sistema encontrar la ubicacin deseada de las races dominantes. 2. Trazar el lugar geomtrico

de las races (LGR) sin considerar todava el compensador. Slo ajustar la ganancia. 3. En caso de ser necesario el compensador, colocar el cero de ste bajo la ubicacin deseada de las races. 4. Determinar la ubicacin del polo del compensador aplicando la condicin del ngulo del LGR. 5. Calcular la ganancia del compensador mediante la condicin de magnitud.

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

6. Si existe un requerimiento de error estacionario, comprobar si se cumple con el valor de K encontrado. En caso de no cumplir, repetir el proceso, cambiando la ubicacin del cero.

Ejemplo 2.5 Considerando la figura 2.27, con la funcin de transferencia de la planta: G( s) = 1 s2

y las especificaciones de funcionamiento : t s 3 seg . PO 30% ( = 5%)

Disear el compensador en adelanto. Solucin Pasos de diseo: 1. De las especificaciones del ejemplo: t s = 3seg = 3 n= 1 n (

1 2

PO = 30 = 100 e

)

= 0.3568

reemplazando (2.2) en (2.1) se obtiene :

n = 2.803 rad / seg Ubicacin de las races dominantes: s1, 2 = n j n

1

2

= 1 2 j

2. Sistema sin compensar:

R(s) + _

E(s)

K

1 s2

C(s)

donde: ____________________________________________________________

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos GH ( s ) = K s2

LGR:

jw

El sistema sin compensar es oscilatorio

j2

K>0 Se observa que una

-1

red en adelanto puede satisfacer los re -

-j2

querimientos.

3. Colocar el cero del compensador en lnea con las races deseadas: Z = -1

jw

j2

-1

-j2

4. Clculo del polo. Aplicando condicin de ngulo:

ceros polos = 180

0

90 0 (116 0 + 116 0 + p ) = 180 0 LGR del sistema compensado.

p = 38 0

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

jw se determina que: p = 3.6

j2 p -p -1

-j2 5. Clculo de K para que las races se ubiquen en: -1j2

jw d2=2.23 dz=2 d1=3.25 p

j2 -1 -j2

-p -3.6

Esta grfica representa el LGR del sistema compensado final. Asimismo, el sistema compensado final se representa con el siguiente diagrama de bloques: R(s) + E(s) 8( s + 1) s + 3.6 Gc(s) U(s) 1 s2 G(s) Y(s)

-

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

Nota: El controlador proporcional derivativo (PD) es una versin simplificada del compensador en adelanto.

2.8.6 Diseo de compensadores en atraso por el mtodo del Lugar Geomtrico de las Races (LGR) Considerando el diagrama de la figura 2.27 y suponiendo que el sistema no compensado cumple las condiciones de respuesta transitoria por simple ajuste de la ganancia, se sigue el procedimiento siguiente:

1. Trace el diagrama del LGR para el sistema no compensado cuya funcin de transferencia de lazo abierto es G(s). Basado en las especificaciones de respuesta transitoria,

ubique los polos dominantes de lazo cerrado en el lugar de las races. 2. Suponga que la funcin de transferencia del compensador en atraso es:

1 Ts + 1 T Gc ( s ) = K c = Kc 1 Ts + 1 s+ T s+ Entonces la funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es Gc(s)G(s). 3. Evale el coeficiente de error esttico particular especificado en el problema. 4. Determine la magnitud del aumento en el coeficiente de error esttico para satisfacer las especificaciones. 5. Determine el polo y cero del compensador en atraso que produce el aumento necesario en el coeficiente de error esttico particular sin alterar, en forma notoria, el lugar de las races original. 6. Trace un nuevo lugar de las races para el sistema compensado. Ubique los polos dominantes de lazo cerrado en el LGR. 7. Ajuste la ganancia Kc del compensador partiendo de la condicin de magnitud de que los polos dominantes de lazo cerrado queden en las ubicaciones deseadas.

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Control II Nota:

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

El controlador proporcional e integral es un ejemplo tpico de compensador en atraso.

Ejemplo 2.5: Considere el sistema de la figura 2.28(a). La funcin de transferencia directa es:

G(s) =

1.06 s ( s + 1)( s + 2)

El diagrama del lugar de las races para el sistema se muestra en la figura 2.28(b).

R(s) + _

1.06 s ( s + 1)( s + 2)

Y(s)

(a)

jw j2 Polos de lazo cerrado

j1

-3 -2 -1 0 -j1

(b)

-j2

Figura 2.28(a) Sistema de control original; (b) diagrama del LGR

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

La funcin de transferencia de lazo cerrado es:

Y (s) 1.06 = R( s ) s ( s + 1)( s + 2) + 1.06 = 1.06 ( s + 0.33 j 0.58)( s + 0.33 + j 0.58)( s + 2.33)

Los polos dominantes de lazo cerrado son s = 0.33 j 0.58

La relacin de amortiguamiento de los polos dominantes de lazo cerrado es = 0.5. La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes de lazo cerrado es n = 0.67 rad/s. La constante de error esttico de velocidad Kv =0.53 s-1. Se desea incrementar Kv hasta casi 5 s-1 sin cambiar en forma notable la ubicacin de los polos dominantes de lazo cerrado.

Solucin

Pasos de diseo: 1. El diagrama del LGR para el sistema no compensado, y la ubicacin de los polos dominantes de lazo cerrado, ya fueron dados en el enunciado del problema (ver figura 2.28(b)). 2. Para cumplir con las especificaciones, se inserta un compensador en atraso como el de la ecuacin mostrada en el paso 2 en cascada con la funcin de transferencia directa. Para incrementar Kv a un valor de 5, se elige = 10 y se coloca el cero y el polo del compensador en atraso en s = -0.1 s = -0.01, respectivamente. La funcin de transferencia del compensador en atraso es

Gc ( s ) = K c

s + 0.1 s + 0.01

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

Entonces, la funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es

Gc ( s )G ( s ) = K c donde K = 1.06Kc

s + 0.1 1.06 K ( s + 0.1) = s + 0.01 s ( s + 1)( s + 2) s ( s + 0.01)( s + 1)( s + 2)

3. Kv = 0.53 s-1 (enunciado del problema) 4. El incremento del coeficiente de error esttico de velocidad es Kv 5 s-1 (enunciado del problema) 5. El cero y el polo del compensador en atraso son s = -0.1 y s = -0.01, respectivamente (determinado en el paso 2) 6. En la figura 2.29(a) se muestra el diagrama de bloques del sistema compensado, y en la figura 2.29(b) el diagrama del LGR para el sistema compensado cerca de los polos dominantes de lazo cerrado, junto con el LGR original.

+ _

Kc

s + 0.1 s + 0.01

1.06 s ( s + 1)( s + 2)

(a)

jw

Sistema no compensado Polo original de lazo cerrado Sistema compensado

j1 Nuevo polo de lazo cerrado

-2

-1

0

1

-j1 (b)

Figura 2.29 (a) Sistema compensado; (b) LGR para el sistema compensado y no compensado ____________________________________________________________

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

La ganancia K de lazo abierto es K= s ( s + 0.01)( s + 1)( s + 2) s + 0.1 = 0.98 s = 0.28+ j 0.51

7. La ganancia Kc se obtiene como

Kc =

K 0.98 = = 0.925 1.06 1.06 s + 0.1 10 s + 1 = 9.25 s + 0.01 100s + 1

Por consiguiente la funcin de transferencia del compensador en atraso diseado es: Gc( s ) = 0.925

y el sistema compensado tiene la siguiente funcin de transferencia de lazo abierto: Gc ( s )G ( s ) = G1 ( s ) = 0.98( s + 0.1) 4.9(10s + 1) = s ( s + 0.01)( s + 1)( s + 2) s (100s + 1)( s + 1)(0.5s + 1)

El coeficiente de error esttico de velocidad es

K v = lim sG1 ( s ) = 4.9seg 1 s 0

logrndose que el coeficiente de error esttico de velocidad en el sistema compensado, se incremente 9.25 veces (de 0.53 a 4.9). Observe que el LGR de los sistemas compensado y sin compensar es muy similar y slo difiere en la presencia de una rama del LGR cerca del origen en el sistema compensado; sin embargo, el valor del coeficiente de error esttico de

velocidad es 9.25 veces el del sistema sin compensar. Los otros dos polos de lazo cerrado del sistema compensado se encuentran en: s 3 = 2.31 ; s 4 = 0.137 con efectos muy pequeos de ambos polos, ya que s3 se encuentra muy alejado del origen y s4 muy cerca del origen; pudiendo entonces, descartarse, con pequeo error. Podemos decir entonces que los dos polos de lazo cerrado s1 y s2 son dominantes.

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

2.9

Diseo de compensadores por el mtodo de respuesta en frecuencia

En esta seccin trataremos el diseo de compensadores haciendo uso de la tcnica de respuesta en frecuencia.

2.9.1 Diseo de compensadores en adelanto por el mtodo de respuesta en frecuencia Si un sistema presenta un atraso de fase excesivo asociado con los componentes que lo conforman, entonces se debe usar un compensador en adelanto para modificar la curva de respuesta en frecuencia, contribuyendo con suficiente adelanto de ngulo de fase. Considerando el diagrama de la figura 3.30 y suponiendo que las especificaciones de funcionamiento estn dadas en trminos de margen de fase, margen de ganancia, coeficiente de error esttico de velocidad, etc., el procedimiento para disear un compensador en adelanto por el mtodo de respuesta en frecuencia es:

1. Suponiendo el siguiente compensador en adelanto: 1 Ts + 1 T Gc ( s ) = K c = Kc 1 Ts + 1 s+ T s+ Con K c = K Entonces Ts + 1 Ts + 1

(0 < < 1)

Gc ( s ) = K

La funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema compensado es

Gc ( s )G ( s ) = K

Ts + 1 Ts + 1 Ts + 1 G p ( s) = KG p ( s ) = G (s) Ts + 1 Ts + 1 Ts + 1 1

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Control II siendo

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

G1 ( s ) = KG ( s ) Determinar la ganancia K para satisfacer el requisito de coeficiente de error esttico. 2. Utilizando la ganancia K determinada, trazar el diagrama de Bode de G1(jw), del sistema no compensado. Hallar el margen de fase. 3. Determinar el ngulo de fase en adelanto necesario para agregarlo al sistema. 4. Determinar el factor de atenuacin usando la ecuacin sen m = 1 1+

luego, determinar la frecuencia en que la magnitud del sistema no compensado G1(jw) es igual a 20 log (1/). Esta frecuencia es

m =

1

T

para un desplazamiento de fase mximo m. 5. Determinar las frecuencias de cruce del compensador en adelanto como: Cero del compensador en adelanto: Polo del compensador en adelanto:

=

1T

=

1 T

6. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de hallado en el paso 4, calcular la constante Kc, as: Kc = K

7. Verificar el margen de ganancia para asegurar que sea satisfactorio. En caso que no lo fuera, repetir el proceso de diseo modificando la ubicacin del polo y cero del compensador hasta que se logre el resultado esperado.

Ejemplo 2.6 Considerar el sistema que se muestra en la figura 2.30. La funcin de

transferencia de lazo abierto es: G( s) = 4 s ( s + 2)

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

+ _

4 s ( s + 2)

Figura 2.30 Sistema de control. Disear un compensador para el sistema tal que el coeficiente de error esttico de velocidad Kv sea 20 s-1, MF no menor a 50, y el MG sea por lo menos de 10 db.

Solucin

Pasos de diseo: 1. Se usar el siguiente compensador en adelanto

1 T = K Ts + 1 1 Ts + 1 s+ T La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es Gc(s)G(s), y Ts + 1 Gc ( s ) = K c = Kc Ts + 1 s+ el sistema no compensado es

G1 ( s ) = KG ( s ) =

4K s ( s + 2)

El coeficiente de error esttico de velocidad para el sistema compensado es: K v = lim sGc ( s )G ( s ) = lim s s 0 s 0

Ts + 1 s4K G1 ( s ) = lim = 2 K = 20 s 0 s ( s + 2) Ts + 1

entonces K=10

2. El diagrama de Bode del sistema no compensado G1(jw):

G1 ( j ) = se muestra en la figura 2.31.

40 j ( j + 2)

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos Diagramas de Bode (Magnitud y fase) 50 Magnitud en dB

0

-50 0 10

10 Frecuencia (rad/seg)

1

10

2

Fase en grados

-120 -150 -180 10 0

10 Frecuencia (rad/seg)

1

10

2

Figura 2.31 Diagrama de Bode de G1(jw) Del diagrama se puede determinar que el MF = 17 y el MG = + db. Un MF de 17 hace al sistema bastante oscilatorio. 3. El MF solicitado es de por lo menos 50, entonces el adelanto de fase adicional necesario para satisfacer la especificacin es = 33. 4. Al aadir un compensador en adelanto, se modifica la curva de magnitud en el diagrama de Bode, observndose que la frecuencia de cruce de ganancia se desplaza a la derecha; por consiguiente, se puede suponer que el mximo adelanto de fase requerido es m=38 (se agregaron 5 para compensar el desplazamiento en la frecuencia de cruce de ganancia). Entonces: 1 = sen 38o 1+

sen m = Evaluando se obtiene = 0.24.

5. El mximo ngulo de fase en adelanto m se produce a la frecuencia media geomtrica entre las dos frecuencias de cruce, o

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

m =

1

T

El tamao de la modificacin en la curva de magnitud en wm debido a las frecuencias de cruce del compensador en adelanto son:

1 + j T 1 + j T

1+ j = = m =1 /( T )

1

1

1 + j

=

1

=

1 1 = = 6.2db 0.24 0.49

Necesitamos encontrar el punto de frecuencia donde, al aadir el compensador de adelanto, la magnitud total sea 0 db. De la grfica para | G1(jw)| = -6.2 db encontramos w=9 rad/seg. La frecuencia de 9 rad/seg es la nueva frecuencia de cruce de ganancia wc, es decir wc=1/ T. Luego:

Cero del compensador en adelanto:

=

1 = c = 4.41 T

Polo del compensador en adelanto:

=

1 = c = 18.4 T s + 4.41 0.227 s + 1 = K c s + 18.4 0.054s + 1 K 10 = 41.17 0.24

El compensador en adelanto determinado es:

Gc ( s ) = K c

6. La constante Kc se determina como

Kc =

=

Por consiguiente, la funcin de transferencia del compensador es:

Gc ( s ) = 41.7

s + 4.41 0.227 s + 1 = 10 s + 18.4 0.054s + 1

El sistema compensado tiene la siguiente funcin de transferencia:

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Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos Gc ( s )G ( s ) = 41.7 s + 4.41 4 s + 18.4 s ( s + 2)

y su correspondiente diagrama de bloques es:

+ _

41.7( s + 4.41) s + 18.4

4 s ( s + 2)

Figura 2.32 Sistema compensado.

El diagrama de Bode del sistema compensado Gc(s)G(s) se muestra en la figura 2.33. En dicho diagrama se puede comprobar que el MF del sistema compensado es 50 y el MG es infinito, satisfacindose los requerimientos de estado estacionario y de estabilidad relativa.

Diagramas de Bode (Magnitud y fase) 50 Magnitud en dB

0

-50 0 10

10 Frecuencia (rad/seg)

1

10

2

Fase en grados

-120 -150 -180 10 0

10 Frecuencia (rad/seg)

1

10

2

Figura 2.33 Diagrama de Bode para el sistema compensado Gc(s)G(s). El programa en MATLAB que permite graficar el diagrama de Bode de Gc(s)G(s) se presenta a continuacin:

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

2.9.2 Diseo de compensadores en atraso por el mtodo de respuesta frecuencia La importancia principal de un compensador en atraso es atenuar en el rango de alta frecuencia para proveer a un sistema suficiente margen de fase (MF).

Procedimiento de diseo: 1. Suponer el siguiente compensador de atraso: Ts + 1 Gc ( s ) = K c = Kc Ts + 1 con Kc = K La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es 1 T 1 s+ T s+ ( > 1)

Gc ( s )G ( s ) = K donde

Ts + 1 Ts + 1 Ts + 1 G( s) = KG ( s ) = G ( s) Ts + 1 Ts + 1 Ts + 1 1 G1 ( s ) = KG ( s )

Determinar la ganancia K para satisfacer los requerimientos de la constante de error esttico dada. ____________________________________________________________

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

2. Si el sistema no compensado G1(jw) no satisface las especificaciones de mrgenes de fase y ganancia, hallar el punto de frecuencia donde el ngulo de fase de Gc(jw)G(jw) sea 180 + MF requerido. El margen de fase requerido es el margen de fase especificado ms 5 a 12. Se elige esta frecuencia como la nueva frecuencia de cruce de ganancia. 3. Para evitar efectos perjudiciales de atraso de fase por el uso del compensador en atraso, el polo y cero del compensador deben ubicarse por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Elegir la frecuencia de cruce w = 1/T (correspondiente al cero del compensador en atraso) una octava a una dcada por debajo de la nueva frecuencia de cruce de ganancia. 4. Determinar la atenuacin necesaria para bajar la curva de magnitud a o db en la nueva frecuencia de cruce de ganancia. Esta atenuacin es 20 log . Determine el valor de . La otra frecuencia de cruce (correspondiente al polo del compensador) se determina de w = 1/(T). 5. Usando el valor de K determinado en el paso 1 y el de determinado en el paso 5, calcular la constante Kc de

Kc =

K

Ejemplo 2.7 Considerar el sistema que se muestra en la figura 2.34. La funcin de transferencia de lazo abierto es:

G( s) = R(s) + _

1 s ( s + 1)(0.5s + 1) 1 s ( s + 1)(0.5s + 1) Y(s)

Figura 2.34 Sistema de control.

Compensar el sistema de modo que el coeficiente de error esttico de velocidad Kv sea 5 seg 1, el MF sea por lo menos de 40 y el MG por lo menos de 10 db. Solucin ____________________________________________________________

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Control II Pasos de diseo:

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

1. Se usar el compensador en atraso Ts + 1 Gc ( s ) = K c = Kc Ts + 1 Adems 1 T 1 s+ T s+ ; ( > 1); K = K c

G1 ( s ) = KG ( s ) =

K s ( s + 1)(0.5s + 1) Ts + 1 G1 ( s ) = lim sG1 ( s ) s 0 Ts + 1

Ajustar la ganancia K para cumplir con Kv requerido: K v = lim sGc ( s )G ( s ) = lim s s 0 s 0

= lim s 0

sK =K =5 s ( s + 1)(0.5s + 1)

Con este valor de K el sistema compensado satisface el requisito de funcionamiento en estado estacionario. 2. Trazar el diagrama de Bode de G1 ( j ) = 5 j ( j + 1)(0.5 j + 1)

Ver diagrama que se muestra en la figura 2.35. Diagramas de Bode de G1(s)=5/(s(s+1)(0.5s+1)) 50 Magnitud en dB

0

-50 -1 10 0 Fase en grados -90 -180 -270 10 -1

10 Frecuencia (rad/seg)

0

10

1

10 Frecuencia (rad/seg)

0

10

1

Figura 2.35 Diagrama de bode del sistema no compensado G1(s).

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

Del diagrama se puede observar que el MF es de 20, entonces el sistema es inestable. Como no cumple con las especificaciones aadir 12 al margen de fase especificado, lo que significa un margen de fase requerido de 52. Como la frecuencia correspondiente a un MF de 40 es 0.7 rad/seg., la nueva frecuencia de cruce de ganancia (del sistema compensado) debe elegirse cerca de este valor. 3. Para evitar valores extremadamente grandes de constantes de tiempo para el compensador en atraso, elegir la frecuencia de cruce w = 1/T (correspondiente al cero del compensador en atraso) de un valor de 0.1 rad/seg. Como se mencion en el paso 2, se agregan 12 al margen de fase requerido como holgura para considerar el ngulo de atraso introducido por el compensador. Ahora el margen de fase requerido es de 52, luego el ngulo de fase de la funcin de transferencia de lazo abierto no compensado es 128 a w = 0.5 rad/seg. Elegir la frecuencia de cruce de ganancia de 0.5 rad/seg. 4. Para bajar la curva de magnitud a 0 db, en esta nueva frecuencia de cruce de ganancia, el compensador en atraso debe producir la atenuacin necesaria, la que, en este caso , es de 20 db. Entonces, como 20 log = 20 db, se obtiene = 10. La otra frecuencia de cruce w = 1/(T) que corresponde al polo del compensador en atraso, se determina como w= 1 1 1 = = 0.01 rad / seg. 10 10 100

Luego, la funcin de transferencia del compensador en atraso es

1 10 s + 1 10 Gc ( s ) = K c (10) = Kc 1 100s + 1 s+ 100 s+ 5. Se calcula Kc, as: Kc = K

=

5 = 0.5 10

La funcin de transferencia de lazo abierto del sistema compensado es:

Gc ( s )G ( s ) =

5(10 s + 1) s (100s + 1)( s + 1)(0.5s + 1)

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Control II

Captulo 2: Diseo de Sistemas de Control Clsicos

En la figura 2.36 se presentan los diagramas de Bode del sistema no compensado G1 y del compensador Gc(s). Diagramas de Bode (Magnitud y fase) 100 Magnitud en dB 50 0 -50 -3 10 0 Fase en grados -90 -180 -270 10 -3

G1 Gc

10 Gc G1

-2

10 Frecuencia (rad/seg)

-1

10

0

10

1

10

-2

10 Frecuencia (rad/seg)

-1

10

0

10

1

Figura 2.36 Diagramas de Bode de G1(s) y de Gc(s).

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Controladores PID

Objetivos de la actividad: | * Conocer las caractersticas de los controladores proporcionales (P), integrativos (I) y derivativos (D). * Utilizar Scilab para estudiar grficamente el comportamiento de cada uno de estos controladores. | I. Introduccin

Consideraremos el siguiente sistema de estudio:

El controlador de tres trminos

La funcin de transferencia de un controlador PID posee la siguiente forma:

* Kp = ganancia proporcional * KI = ganancia integral * Kd = ganancia derivativa

Inicialmente, se ver el modo en que el controlador PID trabaja en un sistema de lazo cerrado, utilizando el esquema mostrado ms arriba. La variable (e) representa el error, es decir, la diferencia entre la entrada de referencia (R) y la salida medida del sistema (Y). Esta seal de error (e) se enva al controlador PID, donde el mismo computa tanto la derivada como la integran de esta seal. La seal (u) a la salida del controlador es igual a (Kp) por el error mas (Ki) por la integral del error mas (Kd) por la derivada del error.

La seal (u) se enva a la planta, para obtener as una nueva salida (Y). Esta nueva salida (Y) se enva nuevamente al sensor para calcular la nueva seal de error (e). El controlador toma esta nueva seal y calcula nuevamente la integral y la derivada del mismo.

El texto gua para el trabajo en estos laboratorios ser Fundamentos de Scilab y Aplicaciones (Andrs Alfonso Caro, Cesar Valero Seplveda), disponible en el sitio oficial de Scilab: http://www.scilab.org/doc/fundamentos_app_scilab.pdf

Actividad 1: Caractersticas de los controladores P, I, y D |

Actividad previa: Inicio de sesin y encabezado Inicie su sesin de Scilab y construya un encabezado para la sesin de trabajo utilizando comentarios. Este encabezado permitir identificar su trabajo para efectos de evaluacin:

// Laboratorio de Control de Sistemas // Operaciones bsicas en Scilab // Alumno: // Seccin: // Fecha:

Copie las lneas de la consola y pguelas en un documento Word. Nmbrelo de la siguiente forma: Nombre.Apellido-Lab3.doc En este documento se irn guardando los resultados de su trabajo. Guarde peridicamente para evitar prdida de informacin.

1.- Definicin de controladores y sus propiedades Un controlador proporcional (Kp) tendr el efecto de reducir el tiempo de crecimiento y reducir (pero no elimina) el error de estado estable. Un control integrativo (Ki) tendr el efecto de eliminar el error de estado estable, pero sin embargo podra empeorar la respuesta transitoria. Un control derivativo (Kd) tendr el efecto de aumentar la estabilidad del sistema al disminuir el sobrepico, mejorando la respuesta transitoria. Los

efectos de cada uno de los controladores Kp, Kd, y Ki en un sistema de lazo cerrado estn resumidos en la tabla 1, al final de esta gua. Ntese que estas correlaciones podran no ser exactamente precisas, ya que el efecto de cada controlador ser dependiente de los otros. Por este motivo, la tabla mostrada solo debe ser utilizada como referencia para determinar los valores de Ki, Kp y Kd.

2.- Problema Ejemplo Supngase un sistema compuesto por una masa, un resorte y un amortiguador.

La ecuacin que modela el sistema es

La funcin de transferencia entre el desplazamiento X(s) y la entrada F(s) ser entonces

Sea M = 1kg b = 10 N.s/m k = 20 N/m F(s) = 1 Reemplazando estos valores en la funcin de transferencia arriba, tenemos

La meta en este caso es mostrar cmo cada uno de los parmetros Kp, Ki y Kd contribuyen a obtener: * Tiempo de crecimiento rpido * Mnimo sobrepico * Eliminacin de error de estado estable

3.- Respuesta de lazo abierto al escaln

Se ver, inicialmente la respuesta de lazo abierto al escaln. Para esto, se creara un nuevo archivo y se incluir en el mismo el siguiente cdigo:

// se define la variable s=poly(0,"s"); // definicin de los polinomios numerador y denominador num=poly([1],"s","coeff"); den=poly([20 10 1],"s","coeff"); // se define el sistema basado en los polinomios [sistema1]=syslin('c',num/den); // intervalo de tiempo t=0:0.005:2; // respuesta a funcin escaln [y X]=csim("step",t,sistema1); plot2d(t,y); Al ejecutar el script por medio del comando

-->exec('pdi1.sce')

La ganacia DC de la funcin de transferencia de la planta es igual a 1/20, de modo tal que el valor final de la salida para una entrada unitaria sera 0.05. Esto corresponde a un error de estado estable de 0.95, lo que en realidad es bastante grande. Puede apreciarse tambin que el tiempo de crecimiento es aproximadamente igual a un segundo, con un tiempo de establecimiento de 1.5 segundos aproximadamente. Procederemos ahora a disear un controlador que reduzca el tiempo de crecimiento y el tiempo de establecimiento, al mismo tiempo que elimina el error de estado estable.

4.- Control Proporcional De la tabla presentada con anterioridad, se ve que el controlador proporcional (Kp) reduce el tiempo de crecimiento, aumenta el sobrepico y reduce el error de estado estable. La funcin de transferencia de lazo

cerrado del sistema presentado con la inclusin de un controlador proporcional ser:

Sea la ganancia (Kp) igual a 300. En el archivo script, la definicin del numerador deber ser modificada: Kp=300; num=poly([Kp],"s","coeff"); den=poly([20+Kp 10 1],"s","coeff"); El grafico muestra como el controlador proporcional reduce tanto el tiempo de crecimiento y el error de estado estable, mientras aumenta el sobrepico y disminuye ligeramente el tiempo de establecimiento.

5.- Control Proporcional - Derivativo Analizaremos ahora el control PD. De la tabla mostrada arriba, se recuerda que el controlador derivativo (Kd) reduce tanto el sobrepico como el tiempo de establecimiento. La funcin de transferencia de lazo cerrado del sistema con el controlador PD incluido ser entonces:

Sea Kp igual a 300 y sea Kd igual a 10. El archivo script deber ser modificado como se muestra: // Inclusion de un controlador PD Kp=300; Kd=10; num=poly([Kd Kp],"s","coeff"); den=poly([20+Kp 10+Kd 1],"s","coeff"); [sistema3]=syslin('c',num/den); [y X]=csim("step",t,sistema3); plot2d(t,y); Este grafico muestra que la parte derivativa del controlador reduce tanto el sobrepico como el tiempo de establecimiento, con poca influencia en el tiempo de crecimiento y el error en estado estable.

6.- Control Proporcional Integrativo Antes de analizar el controlador PID propiamente dicho, nos detendremos en un controlador del tipo PI. De la tabla, puede verse que un controlador integral (Ki) disminuye el tiempo de crecimiento, aumenta tanto el sobrepico como el tiempo de establecimiento, y elimina el error de estado estable. Para el sistema dado, la funcin de transferencia de lazo cerrado con la adicin del controlador ser:

Establecemos Kp = 30, y Ki =70. Las modificaciones en el archivo script sern las siguientes:

// Inclusion de un controlador PI Kp=30; Ki=70; num=poly([Kp Ki],"s","coeff"); den=poly([Ki 20+Kp 10 1],"s","coeff"); [sistema4]=syslin('c',num/den); [y X]=csim("step",t,sistema4); plot2d(t,y); Se ha reducido la ganancia proporcional (Kp) debido a que el controlador integrativo tambin reduce el tiempo de crecimiento y aumenta el sobrepico al igual que el controlador proporcional (doble efecto). La respuesta de arriba muestra como el controlador integral elimino el error en estado estable. 7.- Controlador Proporcional, Integrativo y Derivativo Ahora, trabajaremos sobre el controlados PID propiamente dicho. La funcin de transferencia de lazo cerrado, en este caso ser:

Luego del proceso de ensayo y error (fcilmente implementable gracias a SCILAB), las ganancias Kp=350, Ki=300, y Kd=50 proveen la respuesta deseada. Para verificar esto, incluya las siguientes lneas en el archivo: // Inclusin de un controlador PDI Kp=350; Ki=300;

Kd=50; num=poly([Ki Kp Kd],"s","coeff"); den=poly([Ki 20+Kp 10+Kd 1],"s","coeff"); [sistema5]=syslin('c',num/den); [y X]=csim("step",t,sistema5); plot2d(t,y); As, se ha obtenido un sistema sin sobrepico, con rpido tiempo de establecimiento y crecimiento, y sin error de estado estable.

Consejos generales para el diseo de un controlador PDI

En el proceso de determinar un controlador PID con SCILAB para un sistema dado, los siguientes pasos son tiles para obtener una respuesta deseada. 1. Obtenga la respuesta la lazo cerrado y determine las caractersticas a ser mejoradas 2. Agregue un control proporcional para mejorar el tiempo de crecimiento 3. Agregue un control derivativo para mejorar el sobrepico 4. Agregue un control integrativo para eliminar el error de estado estable 5. Ajuste cada una de las ganancias Kp, Ki, y Kd hasta que se obtenga la respuesta deseada. Utilice para esto la tabla de referencia. Finalmente, debe tenerse en cuenta que no es necesario implementar los 3 controladores en todo caso. Por ejemplo, sin un controlador PI ofrece una buena respuesta, no es necesario adicionar el control derivativo. Debe mantenerse el controlador lo mas simple posible.

Graficos en scilab

3.- Respuesta de lazo abierto al escaln s=poly(0,"s"); num=poly([1],"s","coeff"); den=poly([20 10 1],"s","coeff");

[sistema1]=syslin('c',num/den); t=0:0.005:2; [y X]=csim("step",t,sistema1); plot2d(t,y);

4.- Control Proporcional

Kp=300; s=poly(0,"s"); num=poly([300],"s","coeff"); den=poly([20+Kp 10 1],"s","coeff"); [sistema1]=syslin('c',num/den); t=0:0.005:2; [y X]=csim("step",t,sistema1); plot2d(t,y);

5.- Control Proporcional - Derivativo

// Inclusion de un controlador PD Kp=300; Kd=10; num=poly([Kd Kp],"s","coeff"); den=poly([20+Kp 10+Kd 1],"s","coeff"); [sistema3]=syslin('c',num/den); [y X]=csim("step",t,sistema3); plot2d(t,y);

6.- Control Proporcional Integrativo

// Inclusion de un controlador PI Kp=30; Ki=70; num=poly([Kp Ki],"s","coeff"); den=poly([Ki 20+Kp 10 1],"s","coeff"); [sistema4]=syslin('c',num/den); [y X]=csim("step",t,sistema4); plot2d(t,y);

7.- Controlador Proporcional, Integrativo y Derivativo

// Inclusin de un controlador PDI Kp=350; Ki=300; Kd=50; num=poly([Ki Kp Kd],"s","coeff"); den=poly([Ki 20+Kp 10+Kd 1],"s","coeff"); [sistema5]=syslin('c',num/den); [y X]=csim("step",t,sistema5); plot2d(t,y);

REGLAS DE SINTONIZACION PARA CONTROLADORES PID

Control PID de plantas. Si se puede obtener un modelo matemtico de una planta, es posible aplicar diversas tcnicas de diseo con el fin de determinar los parmetros del controlador que cumpla las especificaciones en estado transitorio y en estado estable del sistema en lazo cerrado. Sin embargo si la planta es tan

complicada que no es fcil obtener su modelo matemtico, tampoco es posible un enfoque analtico para el diseo de un controlador PID. En este caso, debemos recurrir a los enfoques experimentales para la sintonizacin de los controladores PID. El proceso de seleccionar los parmetros del controlador que cumplan con las especificaciones de desempeo se conoce como sintonizacin del controlador. Ziegler y Nichols sugirieron ms reglas para sintonizar los controladores PID ( lo cual significa establecer Kp, Ti y Td) con base en las respuestas escaln experimentales o basadas en el valor de Kp que se produce en la estabilidad marginal cuando slo se usa la accin de control proporcional. Las reglas de Ziegler-Nichols son muy convenientes cuando no se conocen los modelos matemticos de las plantas.

Reglas de Ziegler-Nichols para sintonizar controladores PID. Ziegler y Nichols propusieron unas reglas para determinar los valores de la ganancia proporcional Kp, del tiempo integral Ti y del tiempo derivativo Td, con base en las caractersticas de respuesta transitoria de una planta especifica. Tal determinacin de los parmetros de los controladores PID o de la sintonizacin de los controles PID la realizan los ingenieros en el sitio mediante experimentos sobre la planta. Existen dos mtodos denominados reglas de sintonizacin de ZieglerNichols. En ambos se pretende obtener un 25% de sobrepaso mximo en la respuesta escaln.

Figura 1. Primer mtodo. En el primer mtodo, la respuesta de la planta a una entrada escaln unitario se obtiene de manera experimental. Si la planta no contiene integradores ni polos dominantes complejos conjugados, la curva de respuesta escaln unitario puede tener forma de S, como se observa en la figura 2. Si la respuesta no exhibe una curva con forma de S, este mtodo no es pertinente. Tales curvas de respuesta escaln se generan experimentalmente o a partir de una simulacin dinmica de la planta. La curva con forma de S se caracteriza por dos parmetros: el tiempo de retardo L y la constante de tiempo T. El tiempo de retardo y la constante de tiempo se determinan dibujando una recta tangente en el punto de inflexin de la curva con forma de S y determinando las intersecciones de esta tangente con el eje del tiempo y la lnea c(t)=K, como se aprecia en la figura 2. En este caso, la funcin de transferencia C(s)/U(s) se aproxima mediante

un sistema de primer orden con un retardo de transporte del modo siguiente:

Figura 2.

Ziegler y Nichols sugirieron establecer los valores de Kp, Ti y Td de acuerdo con la frmula que aparece en la siguiente tabla.

Tipo de controlador P PI PID | | | | | | 2L |0 |0

| Kp | |

| Ti

| Td

|

| 0.5L |

Observe que el controlador PID sintonizado mediante el primer mtodo de las reglas de Ziegler-Nichols produce

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y un cero doble en s=-1/L.

Segundo mtodo. En el segundo mtodo, primero establecemos Ti= y Td=0. Usando slo la accin de control proporcional, se incrementa Kp de 0 a un valor crtico Kcr en donde la salida exhiba primero oscilaciones sostenidas. Si la salida no presenta oscilaciones sostenidas para cualquier valor que pueda tomar Kp, no se aplica este mtodo. Por tanto, la ganancia critica Kcr y el periodo Pcr

correspondiente se determinan experimentalmente. Ziegler-Nichols sugirieron que se establecieran los valores de los parmetros Kp, Ti y Td de acuerdo con la frmula que aparece en la siguiente tabla.

Tipo de controlador P PI PID | 0.5Kcr | 0.45Kcr | 0.6Kcr | |

| Kp |0 |0

| Ti | |

| Td

|

| 0.5Pcr

| 0.125Pcr

|

Se debe observar que el controlador PID sintonizado mediante el segundo mtodo de las reglas de Ziegler-Nichols produce:

Por lo tanto, el controlador PID tiene un polo en el origen y cero doble en s=-4/Pcr.

Comentarios. Las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols se han usado, junto con otras reglas, ampliamente para sintonizar controladores PID en los sistemas de control de procesos en los que no se conoce con precisin la dinmica de la planta. Tales reglas de sintonizacin han demostrado ser muy tiles durante muchos aos. Por supuesto, las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols se aplican a las plantas cuya dinmica se conoce. En estos casos, se cuenta con muchos enfoques analticos y grficos para el diseo de controladores PID, adems de las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols. Si se conoce la funcin de transferencia de la planta, se calcula la respuesta escaln unitario o la ganancia critica Kcr y el periodo critico Pcr. Sin embargo, la utilidad real de las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols se vuelve evidente cuando no se conoce la dinamica de la planta, por lo que no se cuenta con enfoques analticos o grficos para el diseo de controladores. En general, para aquellas plantas con una dinamica complicada y sin integradores, se han aplicado las reglas de sintonizacin de Ziegler-Nichols. Sin embargo, si la planta tiene un integrador, en algunos casos estas reglas no son pertinentes. Para ilustrar una situacin en las que las reglas de Ziegler-Nichols no se aplican, consideremos el caso donde un sistema de

control con realimentacin unitaria tiene una planta cuya funcin de transferencia es de la siguiente manera:

Debido a la presencia de un integrador no se aplica el primer mtodo. Como se sabe la respuesta escaln de esta planta no tendr una curva de respuesta con forma de S; ms bien, la respuesta se incrementa con el tiempo. Asimismo, si se intenta el segundo mtodo, el sistema en lazo cerrado con un controlador proporcional no exhibir oscilaciones sostenidas, sin importar el valor que pueda tomar la ganancia Kp. Si es posible aplicar en la planta las reglas de Ziegler-Nichols, la planta con un controlador PID sintonizado mediante estas reglas exhibir un sobrepaso mximo aproximado de10% a 60% en la respuesta escaln. En promedio el sobrepaso mximo aproximado es de 25%. En un caso especifico, siempre es posible en forma experimental hacer una sintonizacin precisa para que el sistema en lazo cerrado exhiba respuestas transitorias satisfactorias.

BIBLIOGRAFIA - OGATA, H. Ingenieria de control moderna.

IMPLEMENTACION DE CONTROLADORES PID ANALOGOS

1. Planteamiento del problema Se requiere disear y construir un controlador PID para regular la posicin de un servomotor de corriente directa. La figura 1 muestra el diagrama de bloques del sistema controlado, en donde: | La seal de salida, y, corresponde a la salida del terminal mvil del potencimetro. Si ste se alimenta con 5 voltios en sus terminales fijos (a y b), producir un voltaje en su terminal mvil (c) equivalente a su posicin. Podemos decir entonces que cuando produce 0 voltios esta en la posicin equivalente a 0 grados, 1.25 voltios corresponder a 90 grados, 2.5 voltios a 180 grados, etc. |

| La seal de referencia, r, corresponde a la posicin deseada. Es decir, si queremos que el motor alcance la posicin 180 grados debemos

colocar una referencia de 2.5 voltios, si queremos 270 grados colocamos referencia de 3.75 voltios, etc. |

| La seal de error, e, corresponde a la diferencia entre la seal de referencia y la seal de salida. Por ejemplo, si queremos que el motor alcance la posicin de 90 grados colocamos una seal de referencia de 1.25 voltios y esperamos dnde se ubica exactamente. Si se posiciona en 67.5 grados el potencimetro entregar una seal de salida de 0.9375 voltios y la seal de error, e, ser de 0.3125 voltios (22.5 grados). |

| La seal de control, u, corresponde al voltaje producido por el controlador para disminuir o anular el error. Si la seal de error es positiva indica que la referencia es mayor que la salida real, entonces el controlador coloca un voltaje positivo al motor para que contine girando hasta minimizar o anular el error. Si por el contrario la seal de error resulta negativa indica que la salida sobrepas la referencia entonces el controlador debe poner un voltaje negativo para que el motor gire en sentido contrario hasta minimizar o anular el error. |

Figura 1. Diagrama de bloques del sistema controlado

3. Construccin del prototipo La figura No. 2 muestra el sistema de posicin al cual se le implementar el controlador y consta, bsicamente, de un motor de corriente directa (cd) de imn permanente, al cual se le ha acoplado en el eje un potencimetro lineal de 0 a 10 K . El potencimetro es alimentado con 5 voltios de cd en sus terminales fijos para obtener, de su terminal mvil, una seal que vara de 0 a 5 voltios durante todo el recorrido en sentido dextrgiro (asumamos 360 grados). 3.1 Elementos | Un motor de cd de imn permanente de 3,6 9 o 12 voltios que no consuma ms de 1 amperio con el potencimetro acoplado. Los motores de cd de imn permanente comerciales normalmente no giran a la misma velocidad en sentido dextrgiro que en sentido levgiro por lo que el controlador no tendr la misma respuesta en ambos sentidos. Si requiere un mejor funcionamiento del controlador se recomienda conseguir de aquellos motores empleados en robtica, aunque seguramente no ser necesario teniendo en cuenta que se persigue un fin acadmico. |

| Potencimetro lineal de 10