Diseæo óptimo de un manipulador móvil Tesis

INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONALCENTRO DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO

TECNOLÓGICO EN CÓMPUTO

Diseño óptimo de un manipulador móvil

Tesisque para obtener el grado de

Maestría en Tecnología de Cómputo

Presenta:Daniel De La Cruz Muciño.

Directores de tesis:

Dr. Miguel Gabriel Villarreal Cervantes.Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores.

México, D.F., Diciembre 2013.

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Dedicatoria

En primer lugar dedico este logro a Dios porque en su voluntadme ha permitido alcanzar todas mis metas. Brindándomesalud y llenando mi vida del amor de una buena familia.

A mi padre Félix Nabor De La Cruz Antonia, por que con su ejemplo de valory perseverancia me enseño a mí y a todos en su camino, lo que es el compromiso,

la honradez, el respeto, la bondad y la justicia. Porque gracias a suejemplo, he aprendido que no existe ningún obstáculo que me

pueda separar de mis metas.

A mi madre Aurora O. Muciño Mares, porque siempre me ha brindadosu apoyo y amor, porque me dio la con�anza en mí mismo, así como la

fortaleza de seguir siempre adelante y nunca a quedarme en elpiso derrotado.

A mi hermana Rosa Karina González Muciño, que siempre ha sido micon�dente y mi mejor amiga tanto en buenos como malos tiempos y,a mis sobrinas Emma y Daniela, que con su cariño alejaron mis

penas y tristezas cuando existieron tiempos difíciles.

Por último pero no menos importante.A mi novia Aurea Ramírez Sánchez que con su compañíay ayuda he alcanzado mis más grandes metas, porque meinspira a dar lo mejor de mí y a su lado soy el hombremás feliz. Y porque mis sueños e ilusiones residen en ella.

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Agradecimientos

Agradezco al Dr. Miguel Gabriel Villarreal Cervantes, por la oportunidad de trabajo que me dio,por su apoyo y paciencia brindada desde el inicio, por guiarme y aconsejarme durante mi estancia en lamaestría. Y por siempre exigir dar lo mejor de uno, que gracias a eso se ha logrado esta meta.

Al Dr. Edgar Alfredo Portilla Flores, por compartir sus conocimientos y apoyarme, que gracias a susconsejos y recomendaciones me es posible �nalizar exitosamente este trabajo.

A mis revisores de tesis Dr. Gabriel Sepúlveda Cervantes, Dra. Paola Andrea Niño Suárez, M. enC. Juan Carlos González Robles, M. en C. Eduardo Vega Alvarado, por las críticas constructivas yacertadas que me han ayudado a mejorar la calidad de este trabajo.

A mis amigos y compañeros Ana, Donna, Jenny, Bárbara, Noemi, Pato, Mario, Gaby, Marcel, Tachi,Moya, Butrón, Robot, Said y Jesús Said, George, Naim, Charly, Diego y. . . todos con los que he convividoen este centro porque junto a ellos mi paso por la maestría ha sido muy grato.

Al personal administrativo del CIDETEC-IPN, por su apoyo y paciencia en todos los trámites reali-zados a lo largo de la maestría.

A CONACYT y a la SIP-IPN, por las becas otorgadas y brindarme la facilidad para realizar misestudios.

Al proyecto CONACYT 182298 y al proyecto SIP 20131053 por el �nanciamiento de este trabajo.

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Resumen

En este trabajo, se establece el problema del diseño mecánico de un manipulador móvil como unproblema de optimización numérica con el objetivo de minimizar la energía mecánica del sistema yconsecuentemente disminuir el consumo de energía eléctrica que necesita el sistema durante su operación.Para el desarrollo del problema se detallan los modelos dinámico y cinemático del manipulador móvil,necesarios para la formulación matemática del problema de optimización.

Por otra parte, la técnica de optimización que se implementa para dar solución al problema deoptimización, incorpora un mecanismo de explotación exhaustiva en el algoritmo tradicional de evolucióndiferencial. Esta propuesta, permite al algoritmo una mejor exploración sobre una vecindad en busca dela mejor solución dentro de la vecindad.

Se realiza la comparación en simulación entre los resultados adquiridos a través del algoritmo deevolución diferencial con mecanismo de explotación exhaustiva y los resultados obtenidos del algoritmotradicional de evolución diferencial, �nalmente el diseño del manipulador móvil, se realiza a partir de lamejor solución encontrada.

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Abstract

In this research work, the problem of the mechanical design of a mobile manipulator is addressedas a numerical optimization problem. The objective of this optimization problem is minimizing themechanical energy of the system and consequently decreases the consumption of electrical energy neededby the system during operation. Dynamic and kinematic models of mobile manipulator are necessaryfor the mathematical formulation of the optimization problem.

Moreover, the di¤erential evolution algorithm implemented to solve the above problem, incorporatesthe use of metaheuristic mechanism This mechanism incorporates information of the base and thedi¤erence vectors of good trial vector, in an attempt to generate better individuals in the same direction.This mechanism guides the evolution of the population toward a better zone without sacri�cing thesearch capabilities of the DE algorithm.

The comparison between the simulation results obtained through metaheuristic algorithm with ex-haustive exploitation mechanism and the results of the traditional di¤erential evolution algorithm areshown. Finally the design of mobile manipulator, is performed considering the best found solution.

Índice general

Resumen V

Abstract VII

1. Introducción 11.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3. Contribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Organización del Documento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Análisis Cinemático y Dinámico del manipulador móvil 92.1. Arquitectura del Manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1. Grados de Libertad del Mecanismo (G.D.L.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Cinemática del manipulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Cinemática Directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2. Cinemática Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3. Modelo Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.1. Modelo Dinámico del manipulador móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2. Dinámica del robot móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.4. Acoplamiento Dinámico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Formulación del Problema de Diseño Óptimo 253.1. Variables de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Función Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.4. Problema de Optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Técnica de Optimización 334.1. Evolución Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.1.1. Algoritmo de Evolución Diferencial con Mecanismo de Explotación Exhaustiva . . 35

5. Resultados 395.1. Análisis de Resultados del Algoritmo de Optimización EDMEE . . . . . . . . . . . . . . 395.2. Validación del diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1. Simulación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6. Conclusiones 556.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2. Trabajos Futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

ix

x ÍNDICE GENERAL

A. Matrices M, C y G 61

B. Planos de los componentes del sistema 67

C. Diseño del eslabón 81

D. Publicaciones 87

Índice de �guras

1.1. Integración de la mecatrónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Clasi�cación de los Robots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. Vista en isométrico del brazo robótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Prototipo del robot móvil, vista isométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5. Robot móvil de ruedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6. Representación esquemática del manipulador móvil de ruedas. . . . . . . . . . . . . . . . 51.7. Modelo Tridimencional del robot de soldado de RRP(Kaita) . . . . . . . . . . . . . . . . 61.8. Montaje experimental del prototipo del manipulador planar. . . . . . . . . . . . . . . . . 71.9. Representación esquemática de los eslabones del robor paralelo del 5 barras . . . . . . . . 7

2.1. Modelo del mecanismo de 5 barras con efector �nal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2. Modelo esquemático de la asociación de ejes a los eslabones . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Vista lateral del manipulador con acotaciones auxiliares para el cálculo de la cinemática

inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Modelo esquemático del manipulador móvil propuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Diagrama esquemático de la dinámica de las ruedas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6. Modelo dinámico del móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.1. Espacio de trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2. Representación esquemática del manipulador móvil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3. Esquema del i-ésimo eslabón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.1. Espacio de diseño en dos dimensiones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2. Arreglo tridimencional de la población en ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3. Pseudocódigo del algoritmo EDMEE, donde J es la función objetivo y g la suma de

restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.4. Pseudocódigo del Mecanismo de Explotación Exhaustiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.1. Esquema del eslabón 1 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2. Esquema del eslabón 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.3. Esquema del eslabón 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.4. Esquema del eslabón 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.5. Espacio de Trabajo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.6. Desempeño en simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, sin

carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.7. Señales de control en simulación de los diseños EDMEE y NOED, sin carga . . . . . . . . 475.8. Desempeño en simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, con

carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.9. Señales de control en simulación de los diseños EDMEE y NOED, con carga . . . . . . . 495.10. Error en Simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, sin carga . . 50

xi

xii ÍNDICE DE FIGURAS

5.11. Error en Simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, con carga . 515.12. Resultados en simuación del Par uT acumulado total de los actuadores . . . . . . . . . . 525.13. Resultados en simuación de la Energia total ET de los actuadores . . . . . . . . . . . . . 535.14. Diferencia de la Energía total del manipulador móvil obtenida en simulación, entre el

diseño óptimo EDMEE y el diseño NOED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

C.1. Con�guración del eslabón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82C.2. Pasos 1,2 y 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82C.3. Pasos 4 y 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83C.4. Paso 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83C.5. Paso 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84C.6. Pasos 8 y 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84C.7. Paso 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85C.8. Geometria �nal del eslabón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Índice de Tablas

1.1. Características de los arreglos topológicos de los robots móviles de llantas . . . . . . . . . 4

2.1. Parámetros de Denavit-Hartenberg del robot con mecanismo de 5 barras . . . . . . . . . 12

3.1. Velocidades relativas del robot móvil y de los eslabones del manipulador . . . . . . . . . 293.2. Cotas mínimas y máximas de las variables de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.1. Métodos de Busqueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.1. Resultados del algoritmo EDMME y del algoritmo ED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.2. Parámetros pa del J� individuo para los algoritmos EDMEE y ED . . . . . . . . . . . . . 405.3. Parámetros pb del J� individuo para los algoritmos EDMEE y ED . . . . . . . . . . . . . 425.4. Energía Cinética K y Potencial V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.5. Comprobación del Espacio de Trabajo Diestro del manipulador . . . . . . . . . . . . . . . 445.6. Parámetros del controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 455.7. Consumo de Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

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xiv ÍNDICE DE TABLAS

Capítulo 1

Introducción

Durante los años recientes, el desarrollo de sistemas electromecánicos más completos y de mejorcalidad ha generado la necesidad de integrar conceptos de diferentes áreas de la ingeniería, como ingeniríamecánica, electrónica, computación y control, como se muestra en la �gura 1.1, que tienen como objetivocrear sistemas o productos más completos y automatizados, que como resultado facilitan las tareas delser humano, mediante procesos electrónicos principalmente en el campo de la mecánica. Debido a lacombinación de distintas áreas, su característica principal es la versatilidad.

Figura 1.1: Integración de la mecatrónica

En el diseño de sistemas mecatrónicos existen diferentes metodologías para su realización. La metodolo-gía más comúnmente usada es conocida como secuencial o tradicional que consiste en que cada parte deun sistema se realiza por separado en distintas etapas, es decir, primero se realiza el diseño del sistemamecánico y después se desarrolla el diseño del sistema electrónico y de control como se hace en [1] y [2],esto conlleva de varias sub-etapas de rediseño para alcanzar el objetivo.

Otra metodología es el diseño concurrente o simultáneo que analiza la interacción del sistema mecáni-co con el sistema electrónico y de control desde el inicio del diseño y lleva el desarrollo de los dos almismo tiempo, evitando así pasar por sub-etapas de rediseño, alcanzando directamente el objetivo comoen [3] y [4].

Por otro lado, el hombre siempre se ha sentido interesado por máquinas o dispositivos capaces deimitar a seres vivos y que sean autónomas (sin intervención del hombre en la realización de tareas), es

1

2 CAPÍTULO 1. INTRODUCCIÓN

así que con el �n de satisfacer este interés, varios investigadores han llevado a cabo diversos estudiosy trabajos para realizar máquinas que puedan efectuar tareas que faciliten las labores del ser humano,dando paso a la robótica.

La construcción de los robots modernos tuvo lugar gracias al desarrollo de la ingeniería. Sin embargo,la investigación no se limita a la ingeniería sino que involucra a las matemáticas y la física teórica, incluso,formulaciones de Lagrange, Newton y Euler, que son fundamentales para desarrollar las ecuaciones queexplican la dinámica de los robots. Por último, los avances en la computación de las última décadasson el impulso de�nitivo que permite desarrollar máquinas muy cercanas al ideal de automatismo yautonomía que se persigue por los diseñadores de robots [5].

Según la Robotic Industries Association (RIA), un robot se de�ne como un manipulador diseñadopara mover materiales, piezas, herramientas o dispositivos especializados, a través de movimientos varia-bles, programados para la realización de una serie de tareas. En general, existen diversos tipos de robotsque son clasi�cados de acuerdo a su movilidad, destreza y autonomía. En la �gura 1.2, se presenta laclasi�cación de la robótica.

Figura 1.2: Clasi�cación de los Robots

En el contexto actual la noción de robótica implica una idea preconcebida de una estructura mecánicauniversal, capaz de adaptarse como el hombre a muy diversos tipos de acciones y en las que concurrenen mayor o menor grado, según los casos de aplicación, las características de movilidad, programación,autonomía y multifuncionalidad. Los robots abarcan una amplia gama de sistemas con muy diversascaracterísticas físicas y funcionales, asociados a la estructura mecánica diseñada, a sus característicasoperativas y al campo de aplicación para el que se han desarrollado [6].

La primer aplicación registrada de un robot industrial, fue usada en la General Motor Company en1961, usado para cargar una máquina de fundición. En la actualidad, la demanda de un sistema quepueda trabajar de una manera e�ciente en áreas peligrosas para el humano ha crecido considerablementegracias a la versatilidad de éstas máquinas. Un caso en particular de sistemas electromecánicos es elrobot manipulador, cuya demanda para una o un par de tareas especí�cas se ha incrementado. Unacaracterística principal de los robots manipuladores, es el poder desarrollar diferentes tareas con tan

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solo cambiar su programación, sin embargo, los manipuladores en la actualidad son destinados a realizaralgunas cuantas tareas, desperdiciando así la capacidad para la cual fueron diseñados [7].

Una etapa importante que permite explotar las capacidades del robot de una manera más e�cientees la etapa de control, que regula el movimiento y la fuerza del robot manipulador, así de esta manerase modi�ca el comportamiento del sistema. En [6] se presenta el control de un robot de dos grados delibertad mostrado en la �gura 1.3 para realizar las tareas de regulación y seguimiento de trayectorias,donde la posición del extremo del robot se controla indirectamente a través del control de la posición delas articulaciones.

Figura 1.3: Vista en isométrico del brazo robótico

Por otro lado, el objetivo de un robot móvil es que pueda moverse y desarrollar tareas en formaautónoma con un propósito determinado, realizando una tarea especí�ca y en bene�cio del usuario[8]. Para lograr el ideal de autonomía de los robots la programación e instrumentación de estos esfundamental, es así que son dotados de sensores y de un centro de procesamiento encargado de analizary enviar al orden con las acciones necesarias que deben de ser ejecutadas por los actuadores para realizarla tarea encomendada, otro factor importante que repercute en la autonomía de un robot móvil es elorigen de la fuente de energía que lo abastece.

En [8] se presenta el trabajo de un control punto a punto para el seguimiento de trayectorias deun robot móvil de ruedas tipo diferencial mostrado en la �gura 1.4, en donde se aplica un algoritmogenerador de trayectorias a un prototipo de robot móvil de ruedas y toma el modelo dinámico para eldesarrollo de la ley de control y para realizar las simulaciones de desempeño.

Por otra parte, el control de un robot móvil de ruedas mediante campos potenciales arti�ciales yprocesamiento digital de imágenes en la evasión de obstáculos se presenta en [9], como una soluciónal problema de evasión de obstáculos empleando un control automático en un robot móvil de ruedastipo diferencial de la �gura 1.5 , considerando el modelo cinemático en un controlador por linealizaciónentrada-salida que hace, junto con el método de campos arti�ciales, seguir una trayectoria para evadirobstáculos estáticos en el mismo espacio de trabajo .

Una forma de clasi�car a los robots móviles terrestres es según su forma de locomoción, esta puedeser: locomoción por patas, llantas u orugas. En particular los diferentes arreglos topológicos de los


Figura 1.4: Prototipo del robot móvil, vista isométrica

robots móviles de llantas, presentan características y ventajas particulares en cada caso, en la Tabla 1.1se muestran las características mas sobresalientes de las topologías más usadas.

Es así que la unión de los dos sistemas mecatrónicos, un brazo robótico y un robot móvil dan lugara los manipuladores móviles, que juntos adquieren las características de poder manipular su entorno, asícomo desplazarse sobre un espacio limitado únicamente por la arquitectura propia del robot u obstáculosimposibles de esquivar. Gracias a esto, un robot manipulador móvil es un sistema mecatrónico de altae�ciencia y de gran versatilidad, que puede realizar diversas tareas como trasladar, soldar, ensamblar,etc. Con esto mismo existen manipuladores móviles para diferentes entornos como son: submarinos,terrestres o aéreos. Debido a que la solución más simple para conseguir una buena movilidad en terrenossu�cientemente duros y libres de obstáculos(permitiendo conseguir velocidades relativamente altas [10]),en el presente trabajo se propone como sistema mecatrónico a diseñar un manipulador móvil terrestreomnidireccional de locomoción por llantas, que pueda desplazarse sobre una super�cie plana y manipularobjetos en su entorno.

En [11], se propone una técnica computacional para determinar el máximo peso permitido en el mani-pulador móvil de llantas mostrado en la �gura 1.6 dada una trayectoria deseada, , donde la redundanciade GDL (Grados De Libertad) de la dinámica de este sistema fue resuelta imponiendo restricciones

Con�guración Características

Ackerman� 2 ruedas de tracción trasera y 2 ruedas delanteras de direccionamiento� Maniobrabilidad Limitada

Triciclo clásico� Rueda delantera de tracción y direccionamiento� Ruedas traseras pasivas� Tracción de�ciente

Diferencial� Dos ruedas para tracción y direccionamiento individuales� Cambiar orientación sin desplazamiento� Restricción no holonómica

Omnidireccional� 3 ruedas directrices y motrices� Posicionamiento en cualquier orientación� Amplio rango de movimiento

Tabla 1.1: Características de los arreglos topológicos de los robots móviles de llantas

5

Figura 1.5: Robot móvil de ruedas

adicionales al sistema, además expone que el peso puede maximizar la productividad y la economía delos manipuladores.

Figura 1.6: Representación esquemática del manipulador móvil de ruedas.

Por otro lado, la competencia mundial, ha incrementado la necesidad de disminuir los gastos deproducción en los diseños de ingeniería, lo que ha llevado a los ingenieros a buscar métodos rigurososde toma de decisiones, tal es el caso de la optimización que busca el mejor compromiso de los recursosque necesita un sistema para cumplir con un funcionamiento deseado. Logrando de esta manera unincremento de la productividad y la e�ciencia de un producto o sistema, disminuyendo la inversión [12],ejemplo de algunos recursos pueden ser: consumo eléctrico, material requerido, tiempo de proceso, costode producción, etc.

Es por esta razón que en años recientes diversos problemas de diseño en ingeniería, se han formuladocomo problemas de optimización numérica debido a que este tipo de técnicas ofrecen al diseñador unconjunto de herramientas que le permite alcanzar un diseño con mejores características que se ven


Figura 1.7: Modelo Tridimencional del robot de soldado de RRP(Kaita)

re�ejadas en la calidad y versatilidad de los productos y servicios. En [13] se muestra un algoritmogenético que fue utilizado en la optimización de los parámetros de diseño de un proceso altamente nolineal de producción de objetos metálicos a través del prensado de polvo (metalico), logrando así un mejorcontrol de calidad, ahorro de material y reducción de los costos de materiales. En [14], se implementaun método de programación cuadrática secuencial (SQP) para realizar el diseño óptimo de un scannerXY de alta precisión, sin afectar drásticamente la respuesta en velocidad. Dentro del mismo campo en[15] se desarrolla el diseño óptimo de un robot de soldado con seis grados de libertad mostrado en la�gura 1.7, basado en el análisis de su espacio de trabajo, donde el objetivo a optimizar son las variablescinemáticas del robot considerando una reducción de la masa, y la relación entre los parámetros dediseño y el espacio de trabajo, con restricciones de márgenes del espacio de trabajo.

En [16], se presenta el diseño de un manipulador planar paralelo de la �gura 1.8, para un sistemade empaquetado de dispositivos semiconductores, la propuesta mejora un sistema tradicional XY conrespecto a la velocidad y precisión, además para este trabajo es esencial la repetitividad. Con técnicasde modelado matemático de Newton Euler, además de la implementación de un control PID computa-cional se modula el torque de los actuadores. Como logros generales se obtuvieron un movimiento deposicionamiento más preciso, un menor tiempo de posicionamiento y una mayor estabilidad, además elcontrol de torque proporciona un movimiento efectivo y con esto un menor consumo de energía que elsistema tradicional XY .

La implementación de un algoritmo evolutivo se desarrolla en [17], para realizar el diseño concurrentede un robot paralelo de 5 barras, con la �nalidad de encontrar un compromiso entre el sistema de controly el sistema mecánico. Donde las variables de diseño son de�nidas por los parámetros que de�nen lageometría de cada eslabón como se muestra en la �gura 1.9 y las ganancias de los controladores PID.En la misma área en [18] se propone integrar el modelo dinámico y cinemático, así como el modelodel controlador y el criterio de desempeño, bajo el mismo problema de optimización, para obtener losparámetros mecánicos y del controlador óptimos al mismo tiempo.

1.1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA 7

Figura 1.8: Montaje experimental del prototipo del manipulador planar.

Figura 1.9: Representación esquemática de los eslabones del robor paralelo del 5 barras

El objetivo que se busca durante el diseño de los manipuladores móvil es la total autonomía de estos,donde un aspecto importante, consiste en la energía eléctrica que proveerá al sistema, por lo que un factorimportante a considerar es la corriente total consumida. Por lo tanto en este trabajo de investigación sepropone diseñar la estructura mecánica de un manipulador móvil como un problema de optimización detal manera que la energía mecánica del sistema al realizar tareas sea la menor, por lo que la duraciónde la fuente de energía eléctrica sera mayor.

1.1. Planteamiento del problema

Si bien en la actualidad existen diversos desarrollos de robots móviles terrestres, estos se enfocanprincipalmente a dar solución a problemas de seguimiento de trayectorias y evasión de obstáculos. Porotro lado, existen pocos trabajos de manipuladores móviles que consideren un modelo acoplado entresus dos sistemas y su interacción, con el objetivo de disminuir el consumo de energía como un factorque puede dotar de una mayor autonomía al robot.De lo anterior se observa la carencia de la autonomía de un robot móvil con respecto al suministro

de corriente que puede proporcionar una batería.


1.2. Objetivo

Establecer el problema de diseño del manipulador móvil como un problema de optimización numéricaen donde se considere minimizar el uso de energía.

1.3. Contribuciones

Propuesta y desarrollo de un problema de optimización donde se diseña un manipulador móvilconsiderando minimizar su consumo de energía.

Desarrollo y comprobación de un algoritmo de optimización que resuelve el problema de opti-mización antes mencionado.

1.4. Organización del Documento

En el Capítulo 2 se detalla la arquitectura del sistema mecatrónico propuesto donde se desarrollansus modelos cinemático y dinámico. El problema de diseño mecánico y la formulación del problemade optimización numérica se desarrolla en el Capítulo3. En el Capítulo 4 se describe el algoritmo deEvolución Diferencial y el Mecanismo de Explotación Exhaustiva. En el Capítulo 5 se realiza el análisisde los resultados del desempeño del algoritmo de optimización, la simulación y validación el modelocon los parámetros óptimos, �nalmente en el Capítulo 6 se dan las conclusiones �nales del trabajo yperspectivas a futuro.

Capítulo 2

Análisis Cinemático y Dinámico delmanipulador móvil

Un robot móvil es un dispositivo versátil que tiene la capacidad de manipular objetos y desplazarsesobre un espacio de trabajo, teniendo por límites únicamente las restricciones derivadas de la arquitecturapropia del robot. El robot ideal, es aquel sistema que pueda realizar distintas tareas de manera autónomacon el único objetivo de obedecer las órdenes humanas, en la actualidad las actividades o tareas querealizan los robots están limitadas por la capacidad de la unidad de control que de�ne cada acción omovimiento a realizar. La unidad de control de todo sistema robótico es una computadora, a través dela cual se de�nen todas aquellas características necesarias para lograr un desempeño correcto del robot.Muchas de las tareas realizadas por los robots corresponden a labores repetitivas, tediosas, peligrosas ode gran precisión donde la e�ciencia del humano pudiera ser pobre, como: el traslado y desactivación deuna bomba, soldado de dispositivos electrónicos de pequeñas dimensiones, exploración de otros planetaso exploración submarina de grandes profundidades. Es importante destacar que para realizar todas estastareas se necesita de un conocimiento concreto de la arquitectura y características del robot con el quese trabaja, para esto el estudio de la cinemática y la dinámica brindan las herramientas necesarias paraentender el funcionamiento, capacidades, cualidades y limitantes del robot, que permitirá obtener unbuen desempeño durante la realización de las tareas.

2.1. Arquitectura del Manipulador

Un brazo manipulador está constituido por una cadena de eslabones rígidos (cadena cinemática),unidos por articulaciones que generan movimiento de traslación (articulaciones P), de rotación (articula-ciones R) o esférico, siendo este último una combinación de dos rotacionales. Así mediante estas unionesse conforma la arquitectura que rige el movimiento del robot y es el objeto de estudio durante el procesode diseño, simulación, implementación y control del robot.

Se considera el robot manipulador mostrado en la �gura 2.1, conocido como mecanismo de 5 barras alcual se le ha incluido un efector �nal, dicho mecanismo tiene por espacio de trabajo el plano comprendidopor los ejes XZ con origen en el punto Oo. La arquitectura mostrada es un robot de cadena cinemáticacerrada descrita por el arreglo generado por los eslabones E1, E2, E3 y E4 con base en el eslabón E0que generan un paralelogramo en su interior siendo paralelos los eslabones E1 con E3 y E2 con E4.Esta arquitectura ofrece una mayor rigidez y precisión en movimiento pero al mismo tiempo sufre unareducción en el rango del espacio de trabajo, en comparación con una arquitectura de cadena cinemáticaabierta. Al mismo tiempo el estudio de la cinemática y dinámica de estas dos arquitecturas debe tratarsediferente.

9

10 CAPÍTULO 2. ANÁLISIS CINEMÁTICO Y DINÁMICO DEL MANIPULADOR MÓVIL

Figura 2.1: Modelo del mecanismo de 5 barras con efector �nal

2.1.1. Grados de Libertad del Mecanismo (G.D.L.)

El criterio de Glüber-Kutzbach es la herramienta que permite identi�car de forma general los gradosde libertad para mecanismos espaciales, con base en su movimiento relativo y restricciones que involucracada eslabón [19]. El grado de libertad son todas aquellas formas libres de movimiento y orientación quetiene un robot. Y se puede calcular de acuerdo a la ecuación (2.1)

F = �(n� 1)�jXi=1

Ci (2.1)

Donde:F , es la movilidad total del mecanismo.�, es el grado de libertad en el cual trabaja el mecanismo, � = 3 para mecanismos planares y � = 6

para mecanismos espacialesn, número de elementos (eslabones, barras, piezas, etc.) que conforman el mecanismo.Ci, número de restricciones impuestas por la unión.j, es el número de uniones o articulaciones del mecanismo.Si � = Ci + fi entonces:

F = �(n� 1)�jXi=1

(�� fi) (2.2)

F = �(n� j � 1) +jXi=1

fi (2.3)

2.2. CINEMÁTICA DEL MANIPULADOR 11

Donde fi, es el grado de movimiento relativo permitido en el i� �esimo.eslabón.

Para este caso en particular se presenta el mecanismo mostrado en la �gura 2.1, al cual se deseacalcular el grado de libertad.

Entonces aplicando la fórmula anteriormente descrita y si se considera que el mecanismo trabaja enun espacio planar es decir de 3 grados de libertad, entonces � = 3, además se observa que el mecanismose encuentra formado por 6 eslabones, debido a que la base se considera como un eslabón más.

Entonces desarrollando la ecuación (2.1) con � = 3, n = 6, j = 6, resulta

F = �(n� j � 1) +jXi=1

fi (2.4)

F = 3(6� 6� 1) +6Xi=1

fi (2.5)

F = 3(�1) + f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 (2.6)

Donde cada unos de los eslabones, tiene un solo grado de movimiento relativo permitido esto esf1 = f2 = f3 = f4 = f5 = f6 = 1 De esta manera se obtiene el grado de libertad del sistema mecánicocomo:

F = �3 + 6 = 3 (2.7)

Así de acuerdo al criterio de Glüber-Kutzbach el sistema antes propuesto tiene 3 grados de libertad.

2.2. Cinemática del manipulador

2.2.1. Cinemática Directa

La cinemática directa de un robot describe mediante una matriz A 2 R4�4 la posición y orientacióndel efector �nal en el espacio cartesiano, a partir de un conjunto de variables independientes entre síconocidas como coordenadas generalizadas. El modelo cinemático de un sistema mecatrónico no involucralas fuerzas que generan el movimiento, únicamente toma en cuenta la posición de cada articulación. Elnúmero de eslabones, forma de los eslabones y tipo de articulaciones de�nen el modelo cinemático decualquier sistema, por lo tanto es importante identi�car cada uno de estos parámetros.

Para el desarrollo del modelo cinemático se usará la convención descrita por Denavit-Hartemberg,que describe la relación que existe entre dos sistemas coordenados asociados a eslabones, y enuncia quecualquier robot puede ser modelado cinemáticamente proporcionando cuatro parámetros identi�cadosde cada eslabón(�i, ai�1, di, �i�1). Dos describen el eslabón en sí y los otros dos describen la conexiónde un eslabón con otro eslabón adyacente, En el caso de una articulación angular, �i se llamada variablede articulación y los otros tres parámetros, tienen valores �jos. Para articulaciones prismáticas, di es lavariable de articulación y los otros tres parámetros tienen valores �jos del eslabón [20]. Esta convección


representa una transformación homogénea Ai como el producto de cuatro transformaciones básicas,traslación y rotación sobre el eje X, y rotación y traslación sobre el eje Z; descritas en la ec(2.8).

i�1i A = Trasx;ai�1Rotx;�i�1Rotz;�i Trasz;di

i�1i A =

26641 0 0 ai�10 1 0 00 0 1 00 0 0 1

377526641 0 0 00 cos�i�1 � sin�i�1 00 sin�i�1 cos�i�1 00 0 0 1

3775�2664cos �i � sin �i 0 0sin �i cos �i 0 00 0 1 00 0 0 1

377526641 0 0 00 1 0 00 0 1 di0 0 0 1

3775i�1i A =

2664cos �i � sin �i 0 ai�1

cos�i�1 sin �i cos �i cos�i�1 � sin�i�1 �di sin�i�1sin �i sin�i�1 cos �i sin�i�1 cos�i�1 di cos�i�1

0 0 0 1

3775 (2.8)

La forma de identi�cación de estos cuatro parámetros para el eslabón i con respecto al eslabón i� 1se obtiene de la siguiente forma:

ai�1 corresponde a la distancia desde Zi�1hacia Zi sobre el eje Xi�1, que es la longitud del eslabóni� 1.

�i�1 es el ángulo medido de Zi�1 hacia Zi a través de Xi�1, que se puede describir como el ángulode torsión del eslabón.

di es la distancia medida entre Xi�1 hacia Xi a través de Zi, es la desviación de o¤set del eslabón.

�i es el ángulo medido de Xi�1 hacia Xi a través de Zi, es el ángulo de rotación del eslabón i.

Considerando que el eslabón 3 se mueve paralelo al eslabón 1 y de igual manera el eslabón 2 y 4,únicamente serán objetos de estudio los eslabones 1, 4 y 5 del modelo mostrado en la �gura 2.2 donde seasocia un sistema coordenado a cada eslabón con origen en Oi 8 i = 1; 2; 3, adicionalmente un sistemaO4 para el efector �nal y dos sistemas adicionales O0; Om asociados a la base del manipulador y alcentro del robot movil respectivamente, así obtenemos 6 sistema coordenados asociados.

Retomando la convención antes mencionada se obtienen los cuatro parámetros para cada eslabónmostrados en la Tabla 2.1 y sustituyendo estos parámetros de cada eslabón en la ecuación (2.8), seobtienen las transformaciones homogéneas que relacionan los sistemas asociados al mecanismo como sedescribe en las ecuaciones (2.10)-(2.13)

eslabón �i�1 ai�1 di �i0 �

2lmx 0 �

2

1 0 lmz 0 q1 � �2

2 0 L1 0 q2 � q1 � �3 0 L4 0 q34 0 L5 0 0

Tabla 2.1: Parámetros de Denavit-Hartenberg del robot con mecanismo de 5 barras


Figura 2.2: Modelo esquemático de la asociación de ejes a los eslabones

m0 A =

26640 �1 0 lmx

0 0 �1 01 0 0 00 0 0 1

3775 (2.9)

01A =

2664cos�q1 � 1

2�� sin

�q1 � 1

2��0 lmz

sin�q1 � 1

2��

cos�q1 � 1

2��

0 00 0 1 00 0 0 1

3775 (2.10)

12A =

2664� cos (q2 � q1) sin (q2 � q1) 0 L1� sin (q2 � q1) � cos (q2 � q1) 0 0

0 0 1 00 0 0 1

3775 (2.11)

23A =

2664cos q3 � sin q3 0 L4sin q3 cos q3 0 00 0 1 00 0 0 1

3775 (2.12)

34A =

26641 0 0 L50 1 0 00 0 1 00 0 0 1

3775 (2.13)

La obtención del modelo cinemático resulta de la pos multiplicación de las matrices de transformacióndescritas en las ecuaciones (2.9) - (2.13), entonces la ecuación (2.14) describe el modelo cinemático delmecanismo propuesto.


A = m4 A =

m0 A

01A

12A

23A

34A

A =

2664� cos (q2 + q3) sin (q2 + q3) 0 lmx � L5 cos (q2 + q3) + L1 cos q1 � L4 cos q2

0 0 �1 0� sin (q2 + q3) � cos (q2 + q3) 0 lmz � L5 sin (q2 + q3) + L1 sin q1 � L4 sin q2

0 0 0 1

3775 (2.14)

El análisis de la ecuación (2.14) muestra que el espacio de trabajo del manipulador sobre el espaciocartesiano se encuentra limitado por el plano comprendido por los ejes XZ, mientras que la orientación� del efector �nal está dada por una rotación sobre el eje Y dependiendo únicamente de los valoresarticulares de q2 y q3, así quedan de�nidos los tres grados de libertad del robot manipulador.

2.2.2. Cinemática Inversa

La cinemática inversa es el modelo matemático que determina la con�guración necesaria en cadavariable articular qn, correspondiente con una posición y orientación especí�ca deseada del efector �nalcon respecto a la estación de trabajo.

La principal problemática en el cálculo de la cinemática inversa es que en la mayoría de las ocasionesno existe solución única para lograr una posición deseada, mientras que en otras ocasiones se producensingularidades que indeterminan el resultado, incluso algunos resultados violan restricciones físicas delas articulaciones, aunque matemáticamente estos resultados sean correctos.

Para el desarrollo de la cinemática inversa, existen diferentes enfoques que proporcionan solucionesexplicitas mediante el uso de álgebra o geometría, también existen soluciones numéricas por aproxi-maciones sucesivas, pero estas son poco e�cientes durante el control de un robot en tiempo real. Acontinuación se desarrolla la cinemática inversa cerrada del manipulador propuesto mediante un en-foque algebráico y geométrico.

Se considera la matriz H 2 R4�4 como una matriz de transformación homogénea descrita en laecuación(2.15), que está compuesta por la orientación deseada �d 2 R3�3 y posición deseada Pd 2 R3del efector �nal, retomando la ecuación (2.14), se obtiene un sistema de seis ecuaciones no linealessimultaneas con 3 incógnitas.

H =

��d Pd0 1

�(2.15)

donde:�d11 = � cos (q2 + q3)�d12 = sin (q2 + q3)�d31 = � sin (q2 + q3)�d32 = � cos (q2 + q3)Pdx = lmx � L5 cos (q2 + q3) + L1 cos q1 � L4 cos q2Pdz = lmz � L5 sin (q2 + q3) + L1 sin q1 � L4 sin q2

Para hallar la solución de la cinemática inversa, se propone realizar el desacoplamiento mecánicoentre el efector �nal y el cuarto eslabón, así mismo el análisis se realiza a partir del sistema Om. Deesta forma el problema para encontrar la con�guración necesaria en las articulaciones q1, q2 y q3 quesatisfacen la posición y orientación es descrito en las ecuaciones (2.16) y ( 2.17), donde se considera que:


Figura 2.3: Vista lateral del manipulador con acotaciones auxiliares para el cálculo de la cinemáticainversa


P 0dx = P00dx + L5 cos(�d) (2.16)

P 0dz = P00dz + L5 sin(�d) (2.17)

y de acuerdo a la �gura 2.3:

P 0dx = Pdx � lmx es la distancia entre la base del manipulador al punto deseado PdxP 0dz = Pdz � lmz es la distancia entre la base del manipulador al punto deseado PdzP 00dx = L1 cos q1 � L4 cos q2 es la distancia sobre ele eje X, entre la base del manipulador al inicio del

eslabón 5P 00dz = L1 sin q1 � L4 sin q2 es la distancia sobre ele eje Z, entre la base del manipulador al inicio del

eslabón 5� = q1 � (q2 � �) es el ángulo formado por la separación de los eslabones 1 y 4k1 = L4 cos(�) es la proyección del eslabón 4 sobre la prolongación del eslabón 1k2 = L4 sin(�) es la proyección del eslabón 4 sobre la línea perpendicular al eslabón 1�d = q2 � � + q3 es la orientación deseada del eslabón �nal, yr es la hipotenusa del triángulo rectángulo formada por los catetos P 00dx y P

00dz, equivalentemente r

tambien puede ser de�nida por las longitudes y con�guración de los eslabones 1 y 4. entonces:

r2 = (P 00dx)2 + (P 00dz)

2 (2.18)

r2 = L21 � 2 (cos (q1 � q2))L1L4 + L24 (2.19)

Aplicando propiedades trigonométricas de la función coseno se comprueba que:

cos(a� �) = � cos(a) (2.20)

Entonces:

� cos (q1 � q2) = cos(q1 � q2 + �) (2.21)

Realizando un cambio de variable � = q1 � (q2 � �), igualando términos y despejando las variablesde estudio, obtenemos:

cos(�) =(P 00dx)

2 + (P 00dz)2 � L21 � L24

2L1L4(2.22)

Aplicando la identidad trigonomética sin(�) =p1� cos2(�) sustituimos en la función A tan 2 obte-

nemos el ángulo formado por los eslabones 1 y 4.

� = A tan 2

p1� cos2(�)cos(�)

!(2.23)

Para hallar el valor de la articulación q1, se observa la relación entre � y � con con los dos triángulosrectángulos formados por (P 00dx ; P

00dz; r) y (L1 + k1; k2; r) donde � = A tan 2( k2

L1+k1), � = A tan 2(

P 00dxP 00dz);

q1 = �+ �:

2.3. MODELO DINÁMICO 17

Finalmente q1 = �+ �: Retomando � = q1� (q2� �), entonces q2 = q1� �+ �: De las misma forma�d = q2 � � + q3, se obtiene q3 = �d � q2 + �:

Resumiendo:La con�guración que satisface la cinemática inversa del manipulador queda descrita como en la

ecuaciones (2.24), (2.25) y (2.26).

q1 = A tan 2

�k2

L1 + k1

�+ A tan 2

�P 00dxP 00dz

�(2.24)

q2 = q1 � � + � (2.25)

q3 = �d � q2 + � (2.26)

Donde:P 00dx = Pdx � lmx � L5 cos(�d)P 00dz = Pdz � lmz � L5 sin(�d)k1 = L4 cos(�)k2 = L4 sin(�)

� = A tan 2

�p1�cos2(�)cos(�)

�cos(�) =

(P 00dx )2+(P 00dz )

2�L21�L242L1L4

2.3. Modelo Dinámico

El modelo dinámico de cualquier sistema, es la representación matemática que expresa la relaciónentre el movimiento y las fuerzas que lo generan. Esta representación se conoce como ecuación demovimiento y es parte fundamental durante el diseño, simulación, animación e incluso en el desarrollode estrategias de control de cualquier robot. Para el desarrollo propuesto, se utlizará el modelado deEuler-Lagrange, que involucra la energia potencial y cinética de todos los componentes del sistema.

2.3.1. Modelo Dinámico del manipulador móvil

Para desarrollar el modelo dinámico del robot mostrado en la �gura 2.4, correspondiente con un robotmanipulador de cadena cinemática cerrada, que está montado sobre una plataforma móvil se consideraque Oi 8i = 0; : : : ; 5 es el origen del sistema de coordenadas del sistema inercial del i� �esimo eslabóny del efector �nal, respectivamente. La longitud, la masa, longitud del centro de masa y el tensor deinercia expresada en el centro de masa del i � �esimo eslabón se expresan como Li 2 R;mi 2 R; lci 2R;ci Ii 2 R3�3, respectivamente, �i 2 R es el ángulo de desfasamiento entre el centro de masa y el origendel sistema coordenado del i� �esimo eslabón y lmz 2 R es la distancia de la base al primer eslabón.

Es importante de�nir al manipulador como un robot paralelo de 5 barras, donde los eslabones 1 y 3son paralelos y de la misma longitud, por lo tanto L1 = L3 y las uniones del eslabón 4 con los eslabones1 y 3 están a la misma distancia que las uniones del eslabón 2 con los eslabones 1 y 3.

La formulación para la obtención del modelo dinámico a partir del método desarrollado por Euler-Lagrange, involucra el conocimiento de la energía cinética K y potencial V de cada parte que conformaal manipulador móvil, es así que se considera la masa del i � �esimo eslabón como una masa puntual


Figura 2.4: Modelo esquemático del manipulador móvil propuesto


mi, cuya posición es descrita como OiPci =�Pcix Pciy Pciz

�T. Entonces las velocidades de los centros

de masa de cada eslabón estan dadas por las ecuaciones (2.27) - (2.32):

mvc0 = vOm + w0 �m Pm0 (2.27)

mvc1 =m vc0 + w0 �Om PO0 +OwOm R

Tw1 �Om1 RO1Pc1 (2.28)


Tw2 �Om2 RO2Pc2 (2.29)


Tw2 �Om2 RO2PO3 +OwOmRTw3 �Om3 RO3Pc3 (2.30)


Tw1 �Om1 RO1PO4 +OwOmRTw4 �Om4 RO4Pc4 (2.31)

mvc5 =m vc0+w0�Om PO0+OwOmR

Tw1�Om1 RO1PO4+OwOmRTw4�Om4 RO4PO5+

OwOmRTw5�Om5 RO5Pc5 (2.32)

donde,vOm =�_xm _ym _�m

�T, w0 =

�0 0 _�m

�T, OmPO0 =

�lmx lmy lmz

�, O2PO3 =

�L2 0 0

�T,

O1PO4 =�L1 0 0

�T, O4PO5 =

�L4 0 0

�T, OiPci =

�Pcix Pciy Pciz

�T 8i = 1; : : : ; 5, Omi R = OmO0RO0i R,

w1 = w3 = w0+Ow1 R _q1Z, w2 = w0+

Ow2 R _q2Z, w4 = w0+

Ow4 R _q2Z, w5 = w4+

Ow5 R _q3Z, Z =

�0 0 1

�T,

OmO0R = Rx(

�2), OwOmR = Rz(;m),

01R =

03R = Rz(q1),

02R = Rz(q2),

04R = Rz (q2+�),

05R = Rz(q2+ q3+�),

Rx=y=z(�) 2 R3�3 es la matriz de rotación en el eje x o y o z, de � radianes.

Entonces, la energía cinética K y potencial V estan dadas por las ecuaciones (2.33) y (2.34), Dondeiwi 8i = 0; : : : ; 5 es la velocidad angular del centro de masa escrita en su mismo sistema de coordenadas.J = diag(J; J; J) 2 R3�3, es la matriz diagonal con los momentos de inercia de las ruedas del móvil,_� =

�_q4 _q5 _q6

�Tes el vector de velocidades de las ruedas del móvil y hi 8i = 0; : : : ; 5 la altura en Zom

del centro de masa del i� �esimo eslabón.

K =5Xi=0

1

2miv

Tcivci +

5Xi=0

1

2iwTi

iIiiwi +

1

2_�T �J _� (2.33)

V =

5Xi=0

mighi (2.34)

donde:h0 = 0hi = Z(

OmPO0+Omi ROiPci)8i = 1; 2

h3 = Z(OmPO0+

Om2 RO2PO3+

Om3 RO3Pc3)

h4 = Z(OmPO0+

Om1 RO1PO4+

Om4 RO4Pc4)

h5 = Z(OmPO0+

Om1 RO1PO4+

Om4 RO4PO5+

Om5 RO5Pc5)

De las ecuaciones (2.33) y (2.34), se obtiene el Lagrangeano L que está dado por la ecuación(2.35) y la ecuación de movimiento de Lagrange es expresada en la ecuación (2.36). Donde F =�� 1 � 2 � 3 � 4 � 5 � 6

�Tes el vector de pares y fuerzas de entrada y � =

�xm ym �m q1 q2 q3

�Tes

el vector de coordenadas generalizadas del manipulador móvil. El modelo dinámico del robot se expresacomo (2.37).


L = K � V (2.35)

�F =d

dt(dLd _�)� dL

d�(2.36)

�F =M(�)�� + C(�; _�) _� +G (2.37)

De�niendoM 2 R3�3 es la matriz de inercia, C _� 2 R3 es el vector de fuerzas centrífugas y de Coriolis,G 2 R3 es el vector de gravedad, _� =

�_xm _ym _�m _q1 _q2 _q3

�Ty �� =

��xm �ym ��m �q1 �q2 �q3

�Tson

los vectores de velocidad y aceleración.

2.3.2. Dinámica del robot móvil

2.3.2.1. Dinámica de la llanta

En la �gura. 2.5 se muestra el esquema que relaciona el conjunto de fuerzas que interactúan en ladinámica de cada rueda. Donde _�i, �ri, Fi, Fri ymi, son la velocidad, el radio, la fuerza externa aplicada enla periferia, la fuerza de fricción resultante y la masa de la i� �esima rueda 8i = 1; 2; 3 respectivamente.Entonces la energía cinética queda descrita por la ecuación (2.38) donde Ji es el momento i � �esimarueda y la ecuación de Lagrange se puede expresar únicamente en términos de su energía cinética comose muestra en (2.39) considerando que las ruedas tienen contacto en todo momento con el suelo y sedesplazan sobre una super�cie plana y horizontal, es decir la energía potencial es cero. Así la ecuaciónde movimiento de Lagrange es descrita en la ecuación (2.40)

Figura 2.5: Diagrama esquemático de la dinámica de las ruedas

Ki =1

2_�2

i Ji (2.38)

Li = Ki (2.39)


d

dt(dLid _�i) = Ji��i (2.40)

Por otra parte, la sumatoria de momentos en el origen de la rueda se describe en la ecuación (2.41)

Ji��i = Fi�ri � Fri�ri (2.41)

Si el par � i esta descrito por la fuerza externa aplicada Fi con un radio �ri, entonces la ecuación (2.42)se sustituye en (2.41), como se muestra en (2.43)

Fi�ri = � i (2.42)

Ji��i = � i � Fri�ri (2.43)

Generalizando el modelo dinámico de las ruedas queda descrito en la ecuación (2.44)

J�� = � � �RFr (2.44)

donde �R = diag(�r1; �r2; �r3) y J = diag(J1; J2; J3) son la matriz diagonal con los radios y momentos delas ruedas, mientras que � =

�� 1 � 2 � 3

�Tes el vector de momentos de las ruedas.

2.3.2.2. Análisis de fuerzas, momentos y velocidad del robot móvil

Para realizar el análisis de las fuerzas y momentos, así como la velocidad resultante en el centrodel robot móvil omnidireccional, se considera el esquema mostrado en la �gura 2.6, donde el centro delrobot móvil tiene origen en Om y Ow es el marco inercial, siendo �Li y �i 8i = 1; 2; 3, la distancia y elángulo entre el origen Om y la i � �esima rueda. Además se supone una fuerza Fri aplicada sobre cadaorigen O0i debido al giro de la i � �esima rueda, asá la ecuación (2.45) describe el análisis de fuerzas ypares resultantes sobre el punto Om producido por la fuerza Fri y arreglo topológico de cada rueda.

24Fmx

Fmy

�m

35 =24Fr1 cos �1 � Fr2 sin �2 � Fr3 sin �3Fr1 sin �1 + Fr2 cos �2 � Fr3 cos �3

�L1Fr1 + �L2Fr2 + �L3Fr3

35 =24cos �1 � sin �2 � sin �3sin �1 cos �2 � cos �3�L1 �L2 �L3

3524Fr1Fr2Fr3

35 = �AFr (2.45)

De la misma forma el análisis de velocidad del móvil se realiza de acuerdo con la �gura 2.6, dondeque cada rueda tiene un vector de velocidad asociado vi 8i = 1; 2 y 3, entones la velocidad de cada ruedapuede ser descompuesta en sus componentes x; y y � como se muestra en la ecuación (2.46).

v1 = _xm cos �1 + _ym sin �1 + �L1 _�mv2 = � _xm sin �2 + _ym cos �2 + �L2 _�mv3 = � _xm cos �3 � _ym sin �3 + �L3 _�m (2.46)

Si la velocidad lineal de cada llanta está dada por vi = _�i�ri y se realiza el mapeo de transformaciónde velocidad angular de la rueda al espacio de velocidad angular del móvil como _�m =

�_xm _ym _�m

�Tentonces la ecuación (2.46) puede reescribirse como (2.47).


Figura 2.6: Modelo dinámico del móvil

�R _� =

24 cos �1 sin �1 �L1� sin �2 cos �2 �L2� sin �3 � cos �3 �L3

3524 _xm_ym_�m

35_� = �R�1 �AT _�m (2.47)

Recíprocamente d _�dt= �� = �R�1 �AT ��m, donde ��m =

��xm �ym ��m

�T2.4. Acoplamiento Dinámico

Los modelos antes descritos forman parte de un sistema total, ya se ha descrito el modelo dinámico delmanipulador móvil sin considerar las causas que generan su desplazamiento, así mismo ,se ha desarrolladoel análisis de los pares y fuerzas que generan el desplazamiento del robot móvil, por último el modelodinámico de la rueda sin considerar deslizamiento ha sido descrito. Finalmente estos modelos deben serintegrados en uno solo, para describir el comportamiento total del robot manipulador móvil, como semuestra a continuación:

Se reescribe el vector de coordenadas generalizadas como � =��m 2 R3 � 2 R3

�T=�xm ym �m q1 q2 q3

�T,

� =�q4 q5 q6

�T. entonces la ecuación acoplada de movimiento del manipulador móvil esta dado por

la sustitución de las ecuaciones (2.44) y (2.47) en (2.37). Donde � =�� 1 � 2 � 3

�Tes el vector de pares

en las articulaciones del manipulador, �� =�� 4 � 5 � 6

�T; Fr =

�Fr1 Fr2 Fr3

�Tes el vector de pares y

fuerzas del móvil.

M�� + C _� +G = �F1 (2.48)

�F1 =

��A 00 I

� �Fr�

�(2.49)

2.5. RESUMEN 23

M�� + C _� +G =

��A 00 I

� ��R�1(�� J �R�1 �AT ��m)

�

�(2.50)

Transformando ��m en el espacio de coordenada inercial ��w =��x �y ��

�Tal considerar (2.51) resulta

la ec(2.52).

_�m =OwOmRT _�w (2.51)

��m =OwOmRT ��w +

OwOm_RT _�w (2.52)

Incorporando (2.51) y (2.52) en (2.50) obtenemos la ecuación (2.53) de movimiento del manipuladormóvil acoplada.

M

��m��

�+

�H��m

0 2 R3�3�+ C

�_�m_�

�+G =

��A �R�1 2 R3�3 0 2 R3�30 2 R3�3 I 2 R3�3

� ��

�

M

�OwOmRT ��w +

OwOm_RT _�w

��

�+

�H(OwOmR

T ��w +OwOm_RT _�w)

0 2 R3�3�+ C

�OwOmRT _�w_�

�+G =

��A �R�1 00 I

� ��

��( �Ma +H)

OwOmRT �Mb

�McOwOmRT �Md

� ��w��

�+

�( �Ma +H)

OwOm_RT + �Ca

OwOmRT �Cb

�McOwOm_RT + �Cc

OwOmRT �Cd

� �_�w_�

�+G =

��A �R�1 00 I

� ��

�(2.53)

donde H = �A �R�1J �R�1 �AT , �Ma 2 R3�3 � fMij8i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3g, �Mb 2 R3�3 � fMij8i = 1, 2, 3,j = 4, 5, 6g, �Mc 2 R3�3 � fMij8i = 4, 5, 6, j = 1, 2, 3g, �Md 2 R3�3 � fMij8i = 4, 5, 6, j = 4, 5, 6g,

�Ca 2 R3�3 � fCij8i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3g, �Cb 2 R3�3 � fCij8i = 1, 2, 3, j = 4, 5, 6g,�Cc 2 R3�3 � fCij8i = 4, 5, 6, j = 1, 2, 3g, �Cd 2 R3�3 � fCij8i = 4, 5, 6, j = 4, 5, 6g.

2.5. Resumen

La ecuación (2.53) describe el comportamiento total del manipulador móvil observado desde el ejecoordenado inercial Ow, de�niendo cada término: �m =

�X Y �

�T, es el vector de posición y ori-

entación del móvil, por consiguiente sus vectores de velocidad y aceleración son descritos como por_�m =

�_X _Y _�

�Ty ��m =

��X �Y ��

�T; � =

�q1 q2 q3

�T, es el vector de posiciones angulares de

las articulaciones del manipulador, a su vez _� =�_q1 _q2 _q3

�Ty �� =

��q1 �q2 �q3

�Tson los vectores de

velocidades y aceleraciones angulares de las articulaciones.De�niendo las Matrices importantes en el sistema:

La matriz de rotación del espacio de trabajo Om al Ow esta dado por:OwOmR =

24 cos ;m sin ;m 0� sin ;m cos ;m 00 0 1

35�R = diag(�r1; �r2; �r3) y J = diag(J1; J2; J3) son la matriz diagonal con los radios de las ruedas y

momento de las llantas.

�A =

24 cos �1 sin �1 �L1� sin �2 cos �2 �L2� sin �3 � cos �3 �L3

35 es la matriz resultante del análisis de fuerzas y momentos en el móvil,provocado por la arquitectura de las llantas.donde �i y Li 8i = 1; 2; 3 es el ángulo y distancia entre elorigen Om y la i� �esima llanta.


M 2 R6�6 es la matriz de inercias del manipulador móvil. donde: Ma � M =

24M11 M12 M13

M21 M22 M23

M31 M32 M33

35;Mb �M =

24M14 M15 M16

M24 M25 M26

M34 M35 M36

35; Mc �M =

24M41 M42 M43

M51 M52 M53

M61 M62 M63

35; Md �M =

24M44 M45 M46

M54 M55 M56

M64 M65 M66

35C 2 R6�6 es la matriz de fuerzas centrífugas y de Coriolis donde: Ca � C =

24C11 C12 C13C21 C22 C23C31 C32 C33

35;Cb � C =

24C14 C15 C16C24 C25 C26C34 C35 C36

35; Cc � C =24C41 C42 C43C51 C52 C53C61 C62 C63

35; Cd � C =24C44 C45 C46C54 C55 C56C64 C65 C66

35G 2 R6�1es el vector de gravedad.� =

�� 1 � 2 � 3

�Tes el vector de pares de entrada en las articulaciones del manipulador.

�� =�� 4 � 5 � 6

�Tes el vector de pares de entrada en las llantas móvil.

Se de�nen los valores propios de las matrices M , C y G en el apéndice A.

Capítulo 3

Formulación del Problema de DiseñoÓptimo

La creciente demanda en ingeniería de producciones a menores costos para mantenerse dentro de lacompetitividad global, ha creado la necesidad de implementar estrategias, métodos o procedimientos queaseguren un bene�cio constante y progresivo, es así que la integración de métodos numéricos durantela solución a una problemática es la herramienta que puede auxiliar al diseñador, durante la etapa detoma de decisiones, a seleccionar el mejor conjunto de valores que garanticen la mejor solución.

A pesar de que los primeros métodos numéricos de optimización fueron propuestos en la época deNewton, Lagrange y Cauchy, no es hasta la mitad de los años veintes cuando gracias a la velocidad de lastecnologías digitales, se descubre el potencial de la implementación de los métodos numéricos durante labúsqueda de soluciones a problemas. Por otra parte, el auge de la optimización surge del hecho de quecualquier sistema puede ser modelado matemáticamente a partir de un conjunto de variables (variableso parámetros de diseño), y es a través de la manipulación de estas variables que se puede alterar elcomportamiento del sistema.

En la actualidad podemos de�nir la optimización numérica como un proceso o método computacionaliterativo, mediante el cual se busca encontrar un conjunto de valores que dan solución a un problemaobteniendo el mínimo o máximo de una función [12]. Existen diversos métodos de optimización quehan demostrado ser efectivos en distintas áreas de la ingeniería pero no existe un método universal queresuelva todos los problemas de optimización de la forma esperada, ya que no todos los problemas son dela misma naturaleza ni complejidad y por lo mismo no pueden ser abordados bajo los mismos conceptosy enfoques.

Como se ha dicho anteriormente que todo sistema puede ser representado por un modelo matemáticoy que al manipular las variables involucradas en el sistema se puede modi�car el comportamiento delsistema, se expone la factibilidad de implementar un método de optimización durante el diseño de unrobot manipulador móvil omnidireccional.El objetivo del presente trabajo se enfoca en obtener con base en un problema de optimización los

parámetros cinemáticos y dinámicos óptimos en el diseño de un robot manipulador móvil mostrado enla �gura 3.2, con el �n de reducir el consumo de energía mecánica, además de lograr un espacio detrabajo de�nido por los vértices

��xdi;j;k ; �zdi;j;k

�8i; j = 1; 2; donde el efector �nal (descrito por el punto

(�xi;j;k; �zi;j;k) en el plano X � Z) alcance por lo menos 3 diferentes orientaciones (descrito por ��i;j;k conrespecto al eje Y del sistema coordenado O0) para cada punto, y con esto asegurar un espacio de trabajodiestro comprendido por el área formada por lx = 0:40 m y lz = 0:30 m, con un distancia de separaciónde �x = 0:25 m y �z = 0:10 m con respecto al origen O0 como se muestra en la �gura 3.1.

25

26 CAPÍTULO 3. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE DISEÑO ÓPTIMO

Figura 3.1: Espacio de trabajo

En las siguientes secciones se detallarán las varibales de diseño, la función objetivo y las restriccionesque involucra el problema de optimización.

3.1. Variables de Diseño

Las variables o parámetros de diseño, son un conjunto de parámetros que describen al sistema y notienen un valor �jo preasignado o conocido.

En la �gura 3.2 se muestra una representación esquemática del manipulador móvil, se puede observarque la longitud, la longitud de centro de masa, la masa y la velocidad de cada eslabón afectan directa-mente al modelo cinemático, la energía potencial y cinética (que a su vez afectan al modelo dinámico,ver capitulo 2). Es así que para el problema propuesto, se consideran como variables de diseño la lon-gitud y la posición del centro de masa de cada eslabón, como se muestra en la �gura 3.3, donde Li esla longitud del eslabón comprendido por la distancia entre el centro de los círculos a y b, Pcix y Pciy esla distancia entre el sistema coordenado de referencia y el centro de masa mi del eslabón, representadopor el diamante sobre el eje x y y respectivamente.Por lo tanto, se de�ne el vector de diseño como pa = [Li; pcix ; pciy ] 2 R12 8i = 1; 2; 4; 5. Se considera

que el tercer eslabón tiene los mismos parámetros de diseño que el eslabón 1. Cabe señalar que lageometría de cada eslabón no está de�nida a una forma geométrica en particular por lo que sólo seconsidera la posición del centro de masa y la longitud del eslabón.Por otra parte, se involucran las posiciones angulares de cada eslabón necesarias para alcanzar

los vértices del espacio de trabajo diestro deseado como otro vector de variables de diseño: pb =[q1xd;yd;�d ; q2xd;yd;�d ; q3xd;yd;�d ] 2 R

36.

Así, el vector de variables o parámetros de diseño p que involucra tanto el diseño de la estructuramecánica como la con�guración del espacio articular se propone como:

p = [pa; pb]T 2 R48 (3.1)

3.1. VARIABLES DE DISEÑO 27

Figura 3.2: Representación esquemática del manipulador móvil

Figura 3.3: Esquema del i-ésimo eslabón


3.2. Función Objetivo

La función objetivo, es la formulación matemática del o los criterios que se desean minimizar omaximizar. Con el propósito de reducir la energía eléctrica consumida en el manipulador móvil cuandoéste realiza una tarea, se propone diseñar su estructura de tal forma que genere la menor cantidad deenergía mecánica.

Se parte del hecho que todo sistema mecánico posee energía cinética K y energía potencial V . Laenergía cinétic se de�ne como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo con una masa determinadam desde el reposo hasta una velocidad deseada v, y energía potencial V que es la capacidad que tieneun cuerpo de una masa de�nida m para realizar un trabajo dependiendo de su altura relativa h y dela aceleración debida a la fuerza gravitatoria g, entonces se puede describir la energía mecánica de unsistema como la suma de la energía cinética y la suma de la energía potencial de cada componentedel sistema, como se muestra en la ecuación (3.2), donde ml,es la masa del l � �esimo eslabón y vl yhl son la velocidad y la altura relativa del centro de masa del l � �esimo con respecto al sistema O0respectivamente. La energía potencial y cinética del móvil es descrita por el subindice l = 0:

ET =nXl=1

Ki +mXl=1

Vl (3.2)

donde:Kl =

12mlv

2l

Vl = mlghlEs importante destacar que para realizar el cálculo de la energía cinética, es necesario conocer la

velocidad relativa con la que se mueve cada eslabón y también la velocidad del móvil. Se calcula laenergía cinética en cuatro puntos principales del espacio de trabajo considerando velocidades constantescomo se muestra en la Tabla 3.1.

Con el �n de asegurar una función convexa, se propone el cuadrado de la energía cinética y elcuadrado energía potencial como se expresa en la ecuación (3.3).

Et(p) =5Xi=0

(K2i (p) + V

2i (p)) (3.3)

Sin embargo, esta ecuación es válida sólo para una posición y una oreientación del efector �nal. Dadoque la altura relativa del centro de masa de cada eslabón varía conforme el manipulador se coloca en lasdistintas posiciones, se propone la función objetivo de acuerdo a la ecuación (3.4) donde se involucran los4 vértices

��xdi;j;k ; �zdi;j;k

�8i; j = 1; 2.del espacio de trabajo deseado, así como las 3 orientaciones deseadas

��di;j;k8k = 1; 2; 3.

J(p) =

3Xk=1

2Xi;j=1

Eti;j;k (3.4)

3.3. Restricciones

Las restricciones son un conjunto de condiciones que se deben de cumplir para poder decir que se haalcanzado una solución factible. El espacio de trabajo alcanzable de un robot se de�ne como el conjuntode todos los puntos que pueden ser alcanzados por el efector �nal, mientras que el espacio de trabajo

3.3. RESTRICCIONES 29

Movimiento Velocidad_x 2:77 m=s_y 2:77 m=s_� 10

12� rad=s

_q1�2rad=s

_q2�2rad=s

_q3�2rad=s

Tabla 3.1: Velocidades relativas del robot móvil y de los eslabones del manipulador

diestro es el conjunto sólo de aquellos puntos sobre los que el efector �nal puede alcanzar con diferentesorientaciones. Así que para asegurar el espacio de trabajo diestro en el diseño del robot manipulador, seasume lo siguiente:

a) El espacio de trabajo diestro es un cuadrado limitado por los 4 vértices��xdi;j;k ; �zdi;j;k

�8i; j = 1; 2.

b) Si el efector �nal alcanza los cuatro vértices del espacio de trabajo diestro deseado con tresorientaciones distintas ��di;j;k8k = 1; 2; 3, entonces se puede alcanzar cualquier punto interno delespacio de trabajo con al menos tres orientaciones por lo tanto un espacio de trabajo diestro esgarantizado.

Partiendo de las premisas descritas anteriormente, la función de restricción será establecida como lasuma de los cuadrados del error de la posición en el espacio cartesiano entre el vértice del espacio detrabajo deseado y la posición del efector �nal, más el cuadrado del error de la posición angular entrela orientación deseada y la orientación real del efector �nal. Así la función objetivo puede ser descritacomo en (3.5). Las posiciones de los vértices que limitan el espacio de trabajo diestro deseado sonescogidos como

��xd1;1;k ; �zd1;1;k

�= (0:25; 0:10);

��xd1;2;k ; �zd1;2;k

�= (0:65; 0:10);

��xd2;1;k ; �zd2;1;k

�= (0:25; 0:40)

y��xd2;2;k ; �zd2;2;k

�= (0:65; 0:40) como se describe en la �gura 3.1.El subíndice k indica las tres diferentes

orientaciones de la posición para cada vértice. Las orientaciones son de�nidas como ��di;j;1 = ��2; ��di;j;2 = 0

y ��di;j;3 =�28i; j = 1; 2:

g1 :

Zw

��xdi;j;k � �xi;j;k

�2dw +

Zw

��zdi;j;k � �zi;j;k

�2dw +

1:8

�

Zw

��di;j;k � ��i;j;k

�2dw � 1� 10�4 (3.5)

En la ecuación (3.5) los primeros dos términos expresan el error de la posición en el espacio cartesianoambos con la misma ponderación, mientras que el tercer término expresa el error angular en radianes,por lo tanto se propuso la siguiente equivalencia en el término del error de posición angular, donde ungrado (1�) es proporcional a un milímetro (0:001m), lo que resulta en el valor del factor de peso delúltimo término como 1:8

�, necesario para obtener mejores soluciones. Se emplea la cinemática directa del

robot descrita en las ecuaciones (3.6)-(3.8) para de�nir la posición (�xi;j;k; �zi;j;k) y la orientación ��i;j;k delefector �nal en el espacio cartesiano mostrado en la ecuación (3.5).

�xi;j;k = L1 cos q1i;j;k � L4 cos q2i;j;k � L5 cos�q2i;j;k + q3i;j;k

�(3.6)

�zi;j;k = L1 sin q1i;j;k � L4 sin q2i;j;k � L5 sin�q2i;j;k + q3i;j;k

�(3.7)


��i;j;k = q2i;j;k + q3i;j;k � � (3.8)

Por otra parte, la estructura paralela del robot formada por los eslabones 1, 2 ,3 y 4 presentarestricciones de movimiento relativo. Estas restricciones deben ser consideradas durante el diseño delrobot ya que se presenta cuando los eslabones 1 y 2 colisionan entre ellos. Las restricciones de movimientoson de�nidas por 3.9- 3.10, donde TolMax1 =

�36[rad] (5�) y TolMax2 =

5�36[rad] (25�) son los ángulos

mínimos de seguridad que deben separar a los eslabones para prevenir una colisión. En total se involucran24 restricciones de desigualdad.

g2�13 : TolMax2 � q2i;j;k + q1i;j;k � 0 (3.9)

g14�25 : q2i;j;k � q1i;j;k � � + TolMax2 � 0 (3.10)

De forma complementaria, otras 39 restricciones son incluidas como limites de las variables del vectorde diseño p: el ángulo máximo y mínimo en las articulaciones y la longitud permitida de los eslabones.En (3.11)-(3.17) se muestran estas restricciones, donde las cotas máximas y mínimas se pueden observaren la Tabla 3.2.

g26�37 : 0 < q1i;j;k < � � TolMax2 (3.11)

g38�49 : TolMax2 � q2i;j;k �3

2� � TolMax2 (3.12)

g50�61 : �� + TolMax1 � q3i;j;k � � � TolMax1 (3.13)

g62 : L1Min� L1 � L1Max

(3.14)


(3.15)


(3.16)


(3.17)

3.4. Problema de Optimización

El problema de optimización para el manipulador móvil consiste en encontrar el vector de parámetrosde diseño óptimo p� (longitudes de los eslabones, posiciones de centro de masa y las posiciones angulares)de tal manera que la energía mecánica del sistema sea minimizada y el efector �nal alcance un espacio detrabajo diestro deseado. Entonces el problema de optimización se puede establecer generalmente comola expresión (3.18) y (3.19), donde J 2 R (3.4) es la función objetivo a minimizar y la ecuación g 2 R65es el vector de restricciones de desigualdad (3.5),(3.9) - (3.17).

3.4. PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN 31

Variable de Diseño Min Maxq1 [rad] 0 � � 5�

36

q2 [rad]5�36

32� � 5�

36

q3 [rad] �� + �36

� � �36

L1 [m] 0:1 0:5L2 [m] 0:03 0:3L4 [m] 0:1 0:5L5 [m] 0:02 0:2

Tabla 3.2: Cotas mínimas y máximas de las variables de diseño

Minp2R48

J (3.18)

Sujeto a:

g(p) � 0 2 R65 (3.19)

Capítulo 4

Técnica de Optimización

Las primeras técnicas de optimización surgen alrededor de la segunda guerra mundial cuando, de lanecesidad de repartir un limitado número de recursos y suministros, se pide a un equipo de matemáticosque desarrollaran un método para resolver el problema de la asignación de suministros de manerasistemática, es así que se desarrollaron las primeras técnicas de programación lineal para la soluciónde problemas de optimización. A través de los años muchas y muy diversas técnicas de optimizaciónhan sido desarrolladas con el �n de mejorar o dar solución a diferentes problemas no sólo en el áreamilitar sino incluso en diferentes disciplinas de la ingeniería. La existencia de las diversas técnicas deoptimización se justi�ca en el hecho en que no todos los problemas tienen las mismas características, nobuscan los mismos objetivos, incluso la naturaleza y complejidad varían entre ellos, en la Tabla 4.1 sepuede observar una clasi�cación de las técnicas de optimización.

Programación Matemática Procesos Estocásticos Métodos EstadísticosTécnicas Modernaso no Tradicionales

Programación no lineal Procesos de Markov Análisis de regresión Algoritmos GenéticosProgramación geométrica Teoría de Queueing Diseño de experimentos Evolución diferencialProgramación lineal Teoría de Renewal Análisis de discriminación Colonia de hormigasTeoría de juegos Métodos de Simulación Reconocimiento de patrones Redes neuronalesMétodos de cálculo Teoría de la con�abilidad Nube de partículas

Optimización difusa

Tabla 4.1: Métodos de Busqueda

Una buena selección del método o técnica que se implementará para dar solución al problema deoptimización, es un factor muy importante que permite alcanzar los objetivos deseados durante elplanteamiento del problema. Para realizar dicha selección es necesario identi�car las características delproblema como: la existencia de restricciones, la naturaleza de las variables de diseño y de las ecuacionesinvolucradas, la separabilidad y número de funciones, estructura física del problema, entre otras.

Para el presente trabajo, se propone la implementación de una técnica moderna para dar solución alproblema descrito en el capítulo anterior, debido a algunas ventajas que presentan este tipo de técnicascomo son:

i) Métodos basados en población, por lo que pueden generar varias soluciones posibles.

ii) No requieren de información adicional durante la búsqueda de soluciones por ejemplo, el gradi-ente, matriz Hessiana, condiciones iniciales de búsqueda, etc.

33

34 CAPÍTULO 4. TÉCNICA DE OPTIMIZACIÓN

iii) No es necesario que las funciones objetivo y las restricciones sean continuas ni diferenciables.

iv) Pueden ser usadas o adaptadas a un gran conjunto de problemas, debido a que no se necesitauna formulación matemática especi�ca (transformación del problema) para obtener un conjuntode soluciones.

4.1. Evolución Diferencial

El algoritmo de Evolución Diferencial (ED) ha demostrado ser una poderosa herramienta computa-cional desde que Storn y Price propusieron este algoritmo a mediados de la década de los 90�s. Este éxitose debe a la fácil implementación computacional, la gran adaptabilidad ante diferentes tipos de proble-mas de optimización y a un razonable tiempo de cómputo, entre otros. Sin embargo, un inconvenientede este algoritmo es que no garantiza la convergencia a un resultado óptimo global. Debido a esto, envarios trabajos de investigación se detalla la implementación de mecanismos para asegurar una mejorexploración y explotación, así como la búsqueda en el espacio factible para alcanzar una convergenciaal óptimo global [21], [22], [23]. La �g. 4.1, muestra la representación hipotética de la super�cie de unafunción f , donde se puede observar el espacio de la región factible, limitado por las retricciones g1, g2 yg3.

Figura 4.1: Espacio de diseño en dos dimensiones.

Uno de los enfoques más utilizados es el de manipular o controlar los parámetros del algoritmo deED. Estos enfoques pueden ser descritos como una solución complementaria o algoritmo de modi�caciónexterna debido a que los parámetros de ED solo son alterados. Esto signi�ca que los parámetros delfactor de cruza (CR) y del factor de escala (F) son modi�cados mientras que la población se mantieneconstante durante la ejecución del algoritmo. Así mismo, es importante destacar que el algoritmo deED debe ser ejecutado varias veces con diferentes valores de los parámetros con el �n de analizar su

4.1. EVOLUCIÓN DIFERENCIAL 35

desempeño [24]. Por otra parte, una propuesta distinta, consiste en integrar un mecanismo de búsquedaexhaustiva. En este caso, se ejecuta en una primera etapa, una versión estándar del algoritmo ED paradirigir la búsqueda hacia una zona de posibles soluciones. Cuando las posibles soluciones son detectadas,el mecanismo de búsqueda exhaustiva es activado para realizar búsquedas locales dentro de la zona deposibles soluciones [25].

Una exploración e�ciente en el espacio de búsqueda y una explotación efectiva en la región debúsqueda, son propiedades deseables de un algoritmo de optimización. Durante la exploración, se buscaampliamente entre las diferentes regiones del espacio de búsqueda por posibles soluciones, mientras queuna explotación exhaustiva acelera la convergencia hacia una solución óptima, dentro de un espacio deposibles soluciones. Diversos investigadores han explicado la relación entre la exploración y la explotación[23], [26]. Existen muchas variantes del algoritmo ED [27] que permiten la exploración y explotaciónen el espacio de búsqueda. La principal diferencia entre ellas, radica en la selección de los factores demutación y de cruza. El uso de las variantes del algoritmo de ED depende en gran medida del tipo deproblema como se muestra en [25] y [28].

En este trabajo, se propone un enfoque distinto en el algoritmo de evolución diferencial llamadoEvolución Diferencial con Mecanismo de Explotación Exhaustiva (EDMEE). Este mecanismo puedeconsiderarse como un método de búsqueda local en donde se asegura la explotación de las mejoressoluciones encontradas. Por otra parte, el mecanismo de exploración del espacio de búsqueda es elmismo que en el algoritmo de DE/Rand/1/Bin.

4.1.1. Algoritmo de Evolución Diferencial con Mecanismo de ExplotaciónExhaustiva

El algoritmo de evolución diferencial consta de un arreglo tridimensional, donde cada generación G =0; 1; :::GMax esta conformada por una población de NP individuos ~xG = [~xG;1; ~xG;2; :::; ~xG;i; :::; ~xG;NP ]T

llamados población objetivo, cada individuo ~xG;i 8i = 1; 2; :::; NP agrupa en un vector D las variablesde diseño ~xG;i = [xG;i;1; xG;i;2; :::; xG;i;j:::; xG;i;D]T como se puede observar en la �g.4.2, siendo cada unode estos indivuiduos una solución al problema. La población inicial ~xG=0 es generada aleatoriamenteconsiderando únicamente los límites inferior y superior xminj ,xmaxj 8j = 1; 2; : : : ; D de las variables comose muestra en la ecuación (4.1), donde randj es una distribución aleatoria uniforme en el intervalo [0; 1].

xG=0;i;j = xminj + randj(0; 1)(x

maxj � xminj ) 8i = 1; 2; :::; NP: 8j = 1; 2; :::; D (4.1)

En cada generación G, una nueva población de individuos es creada a partir de un vector de mutación~vi y del factor de cruza CR, esta nueva población es llamada población de prueba descrita por ~uG;i =[uG;i;1; uG;i;2; :::; uG;i;j:::; uG;i;D]

T 8i = 1; 2; : : : ; NP entonces, se realiza un proceso de selección entre eli��esimo vector (individuo) de prueba ~uG;i y el i��esimo vector (individuo) objetivo ~xG;i para determinarque individuo pasa a la siguiente generación ~xG+1;i. Si el vector de prueba es seleccionado para pasar ala siguiente generación, el mecanismo de explotación exhaustiva analiza y selecciona la información deeste vector, en busca de una mejor solución. De esta forma se podrá encontrar mejores soluciones encada generación. El pseudocódigo del algoritmo EDMEE se muestra en la �gura 4.3.Los procesos que se realizan en el algoritmo de evolución diferencial con el mecanismo de explotación

exhaustiva y manejo de restricciones, se detalla a continuación.

4.1.1.1. Mutación

El vector de mutación ~vG;i es generado a partir de la selección aleatoria de tres vectores (individuos)~xG;r1 ; ~xG;r2 ; ~xG;r3, y se obtiene como la suma del vector de diferencia generado por ~xG;r2 � ~xG;r3 mas el


Figura 4.2: Arreglo tridimencional de la población en ED

1 BEGIN2 G = 03 Creación aleatoria de la población ~xG;i 8i = 1; :::; NP4 Evaluación J(~xG;i); g(~xG;i); 8i = 1; :::; NP5 Do6 For i = 1 to NP Do7 Selección aleatoria fr1 6= r2 6= r3 6= ig 2 ~xG.8 jrand =randint(1; D)9 For j = 1 to D Do10 Mutación y Cruza11 End For12 Evaluación J(~uG;i); g(~uG;i)13 If ~uG;i si es mejor que ~xG;i (Basado en MSR) Then15 Mecanismo de Explotación Exhaustiva Local14 ~xG+1;i = ~uG;i16 Else17 ~xG+1;i = ~xG;i18 End19 G = G+ 120 While (G � GMax)21 END

Figura 4.3: Pseudocódigo del algoritmo EDMEE, donde J es la función objetivo y g la suma de restric-ciones

4.1. EVOLUCIÓN DIFERENCIAL 37

vector base ~xG;r1,el vector de mutación es distinto para cada individuo de la población objetivo en lageneración G, su obtención se detalla en (4.2), (4.3), donde r1 6= r2 6= r3 6= i y F 2 [0; 1] es el factor deescala que controla la incluencia del vector de diferencia sobre la adición con el vector ~xG;r1, en 4.3 serealiza un acotamiento de vG;i;j cuando �vG;i;j sobrepasa los límites inferior y superior de la variable dediseño pj.

�vG;i;j = xG;r1;j + F (xG;r2;j � xG;r3;j) 8 i = 1; :::; NP 8 j = 1; :::; D (4.2)

vG;i;j =

8<:2xminj � �vG;i;j si �vG;i;j < xminj

2xmaxj � �vG;i;j si �vG;i;j > xmaxj

�vG;i;j de otra manera

9=; 8 j = 1; :::; D (4.3)

4.1.1.2. Factor de Cruza

El factor de cruza CR es el parámetro que determina aleatoriamente, que elemento j del vector demutación ~vG;i se sustituirá con el elemento j del vector objetivo ~xG;i, para generar un nuevo vectorde prueba ~uG;i con la información combinada de los dos vectores, entonces la in�uencia del vector demutación y del vector objetivo sobre el nuevo vector de prueba, depende de la probabilidad del factorCR. El proceso de cruza se describe en (4.4). Existen variantes del algoritmo de evolución diferencial,donde el factor de cruza puede variar por individuo, o por generación.

uG;i;j =

�vG;i;j si (rand(0; 1) � CR ó j = jrand)

xG;i;j de otra manera

�(4.4)

4.1.1.3. Proceso de Selección con Restricciones

En el proceso de selección se decide el vector (individuo) que formará parte de la población objetivo~xG+1;i de la siguiente generación. Esta selección se realiza entre el i� �esimo vector de prueba ~uG;i y eli� �esimo vector objetivo ~xG;i, donde el mejor vector es el que pasa a la siguiente generación. Teniendoen consideración que el algoritmo tradicional de ED [27] no cuenta con un manejo de restricciones parala solución de problemas de optimización, en [29] se incorpora un mecanismo de selección con manejode restricciones (MSR) para mejorar el algoritmo de ED. El mecanismo de selección con manejo derestricciones decide el vector que pasa a la siguiente generación. Esta decisión se fundamenta sobre lassiguientes bases:

Cualquier solución factible tiene preferencia sobre una no factible.

Si dos soluciones son factibles, se da preferencia a la solución con el mejor funcional.

Si dos soluciones son no factibles, se da preferencia a aquella que viola en menor medida lasrestricciones.

4.1.1.4. Mecanismo de Explotación Exhaustiva

El mecanismo de explotación exhaustiva (MEE) consiste en realizar una búsqueda más profunda enla misma dirección del vector de prueba ~uG;i cuando éste ha sido elegido para pertenecer a la poblaciónobjetivo ~xG+1;i de la siguiente generación durante el proceso de selección. Este mecanismo realiza unabúsqueda alrededor de la vecindad del vector de prueba promoviendo así una explotación local máse�ciente. La capacidad de exploración del algoritmo EDMEE no sacri�ca las cualidades del algoritmotradicional DE/rand/1/bin, porque se activa solo cuando el vector de prueba es seleccionado sobreel vector objetivo. Cuando el MEE es activado, un nuevo individuo ~ui se genera a partir de la misma


1 For w = 1 to Nw Do2 For j = 1 to D Do3 If uG;i;j == xG;i;j Then4 ui;j = xG;i;j5 Else6 F2 = F � w

Nw+1F

7 ui;j = xG;r1;j + F2(xG;r2;j � xG;r3;j)8 End If9 End For10 If ~ui es mejor que ~uG;i (basado en MSR) Then11 ~uG;i = ~ui12 Else13 ~uG;i = ~uG;i14 Break15 End If16 End For

Figura 4.4: Pseudocódigo del Mecanismo de Explotación Exhaustiva

combinación generada por CR para el individuo ~uG;i, pero el vector de mutación pese a tener los mismostres vectores base y mantener la misma con�guración es diferente debido a la modi�cación del factor deescala propuesto como F2 = F � w

Nw+1F . Entonces, si el nuevo individuo ~ui mejora al individuo anterior

~uG;i, este se convierte en parte de la población objetivo de la siguiente generación. Este algoritmo, serepite hasta alcanzar el número máximo de búsqueda Nw o cuando el nuevo individuo ~ui no es mejor alindividuo anterior. Es importante hacer notar que el algoritmo de ED con explotación exhaustiva quese propone requiere de un parámetro adicional que modi�ca el factor de escala y con esto al vector demutación. El pseudocódigo del mecanismo de explotación exhaustiva se muestra en la �gura 4.4.Una vez que la población de la nueva generación ~xG+1;i 8i = 1; :::; NP es creada, se repite el proceso

de mutación, cruza, selección y explotación exhaustiva, hasta que el criterio de paro se satisface. Paraeste caso en particular se seleccionó el número máximo de generaciones GMax = 60000, para tal efecto.

Capítulo 5

Resultados

5.1. Análisis de Resultados del Algoritmo de OptimizaciónEDMEE

La plataforma sobre la que se desarrolla el presente trabajo consta de una PC con procesador core 2Duo a 1.83 GHz y 3 GB de RAM, con plataforma Windows. El algoritmo de optimización EDMEE seprograma en Matlab Versión 7.9, se realizaron un conjunto de 3 corridas con una población NP = 200individuos, factor de cruza CR = 0:5, factor de escala F en el intervalo abierto (0:5,0:9) y factor debúsqueda Nw = 6, el criterio de paro queda establecido por la generación máxima GMax = 60; 000. Deigual forma se ejecutan 3 corridas una versión tradicional de ED, con factor de escala F en el intervaloabierto (0:4,0:9) y sin factor de búsqueda Nw, ya que dicho algoritmo no implementa una búsquedaexhaustiva, siendo los demás parámetros los mismos que EDMEE.

mean(J) J� �(J) tiempoEDMEE ED EDMEE ED EDMEE ED EDMEE ED

Run1 1711:52 2042:30 1710:86 1711:26 0:318 1764:17 2h 25min 2h 26minRun2 1729:54 1721:37 1729:16 1720:76 0:2387 0:3781 6h 59min 2h 26minRun3 2323:38 1734:62 1712:40 1734:08 2706:17 0:3288 2h 46min 2h 21min

Tabla 5.1: Resultados del algoritmo EDMME y del algoritmo ED

En la Tabla 5.1 se muestran los resultados del desempeño de los algoritmo de EDMEE y de ED,donde mean(J) es el promedio de la función objetivo de la población total en la última generación, J�

es el mejor individuo, �(J) es la desviación estándar de la función objetivo en la última generación.Se puede observar que el algoritmo de EDMEE genera una mejor convergencia hacia un valor óptimo,además de entregar un resultado menor en la función objetivo, teniendo por única desventaja un mayortiempo de cómputo debido al número de veces que es necesario evaluar la función objetivo dentro delMEE.

Los resultados de los parámetros de diseño pa del mejor individuo J� de las diez corridas para losalgoritmos EDMEE y ED son descritos como (EDMEEpa , EDpa), y se muestran en la Tabla 5.2, mientrasque en la Tabla 5.3 se muestran los resultados de los parámetros pb (EDMEEpb , EDpb).En las �guras 5.1, 5.2, 5.3 y 5.4 se muestran las formas de los eslabones obtenidas a partir de los

parámetros EDMEEpa, donde la separación entre los ejes de unión es la longitud del eslabón L y el centrode masa está representado por la forma octagonal con coordenadas pcx;y . El método implementado para

39

40 CAPÍTULO 5. RESULTADOS

Eslabón 1 y 3 Eslabón 2Algoritmo Longitud [m] pcx [m] pcy [m]EDMEE 0:3889 0:0999 0:0999ED 0:4154 0:0996 0:0999

Algoritmo Longitud [m] pcx [m] pcy [m]EDMEE 0:0709 0:0999 �0:0998ED 0:0591 0:0999 �0:0868

Eslabón 4 Eslabón 5Algoritmo Longitud [m] pcx [m] pcy [m]EDMEE 0:4299 �0:0999 0:0440ED 0:4198 �0:0999 �0:0464

Algoritmo Longitud [m] pcx [m] pcy [m]EDMEE 0:0452 �0:0402 0:0206ED 0:0869 �0:0780 0:0381

Tabla 5.2: Parámetros pa del J� individuo para los algoritmos EDMEE y ED

Figura 5.1: Esquema del eslabón 1 y 3

obtener la forma de los eslabones, se detalla en el apéndice C, mientras que en el apéndice B se detallanlos planos de los eslabones.

En la Tabla 5.4 se muestra la energía cinética y potencial del manipulador cuando el efector �nal seencuentra sobre cada uno de los cuatro vértices del espacio de trabajo deseado con sus tres orientaciones��xdi;j;k ; �zdi;j;k

�8 i; j = 1; 2:8k = 1; 2; 3. Para cuatro diferentes diseños:

a) Diseño óptimo EDMEE: Se consideran los parámetros de diseño pa y pb obtenidos del algoritmoEDMEE

b) Diseño ED: Se consideran los parámetros de diseño pa y pb obtenidos del algoritmo ED

c) Diseño NOEDMEE: Solo se consideran las longitudes de los eslabones sin el desplazamiento delos centros de masa de los eslabones y los parámetros pb obtenidos del algoritmo EDMEE, es decirpcix =

Li2; y pcy = 0

5.1. ANÁLISIS DE RESULTADOS DEL ALGORITMO DE OPTIMIZACIÓN EDMEE 41

Figura 5.2: Esquema del eslabón 2




EDMEE

(xd1;1 ; zd1;1) (xd1;2 ; zd1;2) (xd2;1 ; zd2;1) (xd2;2 ; zd2;2)�d -90 0 90 -90 0 90 -90 0 90 -90 0 90

q1 107.22 110.28 93.18 115.69 124.08 117.50 50.23 53.63 44.21 50.98 62.84 55.23

q2 148.18 142.03 129.20 192.78 190.49 181.39 159.02 150.32 149.84 199.45 187.25 184.72

q3 -59 .23 37.95 141.79 -103.73 -10.50 89.60 -69.97 29.65 121.11 -110.45 -7 .28 86.22

ED

(xd1;1 ; zd1;1) (xd1;2 ; zd1;2) (xd2;1 ; zd2;1) (xd2;2 ; zd2;2)�d -90 0 90 -90 0 90 -90 0 90 -90 0 90

q1 105.33 109.63 76.52 112.06 127.22 113.12 52.11 57.28 40.20 50.10 69.90 55.93

q2 149.32 136.00 111.52 194.14 189.35 170.55 160.47 143.58 142.61 203.68 181.34 175.84

q3 -60 .29 44.02 159.50 -105.15 -9 .31 100.42 -71.48 36.42 128.38 -114.70 -1 .30 95.19

Tabla 5.3: Parámetros pb del J� individuo para los algoritmos EDMEE y ED

d) Diseño NOED: Solo se consideran las longitudes de los eslabones sin el desplazamiento delos centros de masa de los eslabones y los parámetros pb obtenidos del algoritmo ED, , es decirpcix =

Li2; y pcy = 0

5.2. Validación del diseño

Figura 5.5: Espacio de Trabajo

Para comprobar la destreza del manipulador generado a partir de las longitudes de los eslabonesobtenidos de los parámetros EDMEEpa, se propone generar 58 puntos de comprobación Pdi = (xdi ; zdi) 8 i =1; :::; 58; distribuidos de forma aleatoria sobre el espacio de trabajo diestro deseado con una orientaciónaleatoria �di 2 �135� 8 i = 1; :::; 58. En la �gura 5.5 se muestra el espacio de trabajo (ET) alcanzable

5.2. VALIDACIÓN DEL DISEÑO 43

K21;1;1 = 131:3023 V 21;1;1 = 2:7915

K21;1;2 = 129:6616 V 21;1;2 = 2:5701

K21;1;3 = 135:3476 V 21;1;3 = 2:5961

K21;2;1 = 127:9849 V 21;2;1 = 2:9810

K21;2;2 = 125:9357 V 21;2;2 = 2:5855

K21;2;3 = 128:6471 V 21;2;3 = 2:5637

K22;1;1 = 152:3225 V 22;1;1 = 2:9370

K22;1;2 = 148:9412 V 22;1;2 = 2:8568

K22;1;3 = 155:3320 V 22;1;3 = 2:4001

K22;2;1 = 149:4213 V 22;2;1 = 3:3447

K22;2;2 = 143:2465 V 22;2;2 = 3:4555

K22;2;3 = 148:5791 V 22;2;3 = 3:0605KT = 1676:7218 VT = 34:1424

ET = 1710:8642

K21;1;1 = 130:8097 V 21;1;1 = 2:8496

K21;1;2 = 127:6690 V 21;1;2 = 2:4905

K21;1;3 = 139:2135 V 21;1;3 = 2:4179

K21;2;1 = 128:8945 V 21;2;1 = 3:0681

K21;2;2 = 125:0036 V 21;2;2 = 2:3225

K21;2;3 = 129:9924 V 21;2;3 = 2:3233

K22;1;1 = 152:0581 V 22;1;1 = 2:9389

K22;1;2 = 145:4502 V 22;1;2 = 2:7815

K22;1;3 = 157:4996 V 22;1;3 = 1:9503

K22;2;1 = 151:9510 V 22;2;1 = 3:2849

K22;2;2 = 140:1503 V 22;2;2 = 3:3597

K22;2;3 = 150:1146 V 22;2;3 = 2:6690KT = 1678:8065 VT = 32:4562

ET = 1711:2627a) Diseño óptimo EDMEE b) Diseño ED

K21;1;1 = 139:0202 V 21;1;1 = 2:3366

K21;1;2 = 137:8070 V 21;1;2 = 2:2043

K21;1;3 = 141:7818 V 21;1;3 = 2:2253

K21;2;1 = 134:7081 V 21;2;1 = 3:4679

K21;2;2 = 133:1224 V 21;2;2 = 3:1696

K21;2;3 = 134:6352 V 21;2;3 = 3:1909

K22;1;1 = 169:4324 V 22;1;1 = 1:9725

K22;1;2 = 167:1920 V 22;1;2 = 1:9489

K22;1;3 = 171:5116 V 22;1;3 = 1:6665

K22;2;1 = 165:6702 V 22;2;1 = 3:1650

K22;2;2 = 160:8640 V 22;2;2 = 3:3166

K22;2;3 = 164:5383 V 22;2;3 = 3:0344KT = 1820:2833 VT = 31:6986

ET = 1851:9819

K21;1;1 = 138:9912 V 21;1;1 = 2:5647

K21;1;2 = 136:8573 V 21;1;2 = 2:3065

K21;1;3 = 145:9848 V 21;1;3 = 2:1718

K21;2;1 = 134:6962 V 21;2;1 = 3:8261

K21;2;2 = 131:7100 V 21;2;2 = 3:2246

K21;2;3 = 134:8973 V 21;2;3 = 3:2971

K22;1;1 = 169:5104 V 22;1;1 = 2:1921

K22;1;2 = 165:5574 V 22;1;2 = 2:1006

K22;1;3 = 173:8891 V 22;1;3 = 1:5511

K22;2;1 = 166:5552 V 22;2;1 = 3:4015

K22;2;2 = 157:9853 V 22;2;2 = 3:5964

K22;2;3 = 165:0674 V 22;2;3 = 3:0722KT = 1821:7017 VT = 33:3045

ET = 1855:0062c) Diseño NOEDMEE d) Diseño NOED

Tabla 5.4: Energía Cinética K y Potencial V

del manipulador, obtenido a partir de los parámetros EDMEEpa, en donde se consideran las restriccionesmecánicas del sistema que se involucraron para impedir la colisión entre los eslabones, así como losángulos mínimos y máximos de cada articulación.

En la Tabla 5.5, se muestran los ángulos (q1; q2; q3), necesarios para alcanzar las 58 posiciones yorientaciones deseadas (Pdi ; �di). Los ángulos se calculan a través de la cinemática inversa descrita enlas ecuaciones (2.24) - (2.26).

Del análisis de los resultado mostrados en la Tabla 5.3 y la Tabla 5.5, asi como de la �gura 5.5, sepuede observar que las posiciones xd y zd, son alcanzadas con la orientación �d, sin violar alguna de lasrestricciones físicas del sistema, por lo tanto podemos asegurar que se ha satisfecho el requerimiento delespacio de trabajo diestro.


Pdi (xdi ; zdi) [m] �di� q1

� q2� q3

�

1 (0.27,0 .30) -117.56 110.68 176.55 -114.11

2 (0.47,0 .19) -7 .93 83.74 153.50 18.58

3 (0.38,0 .13) 26.71 88.08 140.36 66.35

4 (0.49,0 .36) -39.55 86.37 179.81 -39.35

5 (0.53,0 .19) -18.58 75.88 155.86 5.56

6 (0.27,0 .35) 95.41 113.42 173.16 102.25

7 (0.36,0 .19) 34.51 97.40 149.03 65.48

8 (0.56,0 .22) -113.10 65.61 168.18 -101.28

9 (0.49,0 .12) 32.48 71.91 141.24 71.24

10 (0.27,0 .23) -94.04 112.12 168.08 -82.12

11 (0.48,0 .27) -88.99 81.90 170.86 -79.85

12 (0.51,0 .38) 18.73 84.38 177.78 20.96

13 (0.44,0 .32) -56.48 91.49 175.73 -52.21

14 (0.33,0 .33) 36.07 110.15 171.73 44.34

15 (0.43,0 .30) -38.17 95.05 172.66 -30.83

16 (0.42,0 .22) -62.56 91.17 163.08 -45.65

17 (0.59,0 .16) -19.09 66.85 155.31 5.60

18 (0.31,0 .19) 97.44 95.08 144.89 132.55

19 (0.46,0 .16) -132.91 75.38 155.47 -108.39

20 (0.39,0 .16) 46.85 87.61 142.13 84.72

21 (0.27,0 .17) -46.32 115.55 160.33 -26.65

22 (0.41,0 .11) -117.40 80.05 147.49 -84.89

23 (0.25,0 .20) -125.79 109.78 162.77 -108.56

24 (0.63,0 .23) -107.57 55.69 173.60 -101.17

25 (0.58,0 .32) -15.32 73.37 174.40 -9 .72

26 (0.45,0 .18) -98.64 81.16 158.21 -76.85

27 (0.51,0 .34) -5 .66 84.07 173.94 0.39

28 (0.64,0 .11) 132.68 42.64 154.17 158.50

29 (0.60,0 .31) -74.21 66.78 178.87 -73.09

Pdi (xdi ; zdi) [m] �di� q1

� q2� q3

�

30 (0.51,0 .34) 120.47 74.42 170.59 129.88

31 (0.45,0 .13) 5.84 80.43 142.37 43.47

32 (0.41,0 .30) 101.68 88.55 161.26 120.41

33 (0.44,0 .19) -114.43 81.52 159.21 -93.65

34 (0.30,0 .26) 8.43 114.13 165.74 22.69

35 (0.63,0 .11) -5 .02 56.33 150.20 24.79

36 (0.45,0 .18) -75.52 84.01 157.07 -52.59

37 (0.27,0 .27) 115.30 107.10 160.53 134.77

38 (0.53,0 .39) -6 .88 81.75 181.00 -7 .88

39 (0.36,0 .27) 48.97 100.96 160.12 68.85

40 (0.36,0 .26) 17.64 104.03 161.64 36.00

41 (0.47,0 .11) 108.95 64.11 138.02 150.94

42 (0.45,0 .17) -4 .47 85.21 149.98 25.55

43 (0.56,0 .14) -46.50 68.86 154.18 -20.69

44 (0.63,0 .37) 25.65 65.85 179.58 26.07

45 (0.38,0 .30) -29.14 102.01 172.14 -21.28

46 (0.50,0 .26) 125.15 71.84 160.06 145.09

47 (0.32,0 .22) -49.53 107.75 164.46 -33.98

48 (0.54,0 .36) 39.88 77.95 172.75 47.13

49 (0.28,0 .18) 70.86 103.63 146.53 104.33

50 (0.35,0 .35) -105.04 100.02 180.99 -106.03

51 (0.44,0 .14) 126.25 70.68 142.43 163.82

52 (0.53,0 .15) -95.13 69.33 156.22 -71.36

53 (0.56,0 .24) 67.68 68.07 158.37 89.31

54 (0.63,0 .15) -26.89 60.28 156.41 -3 .30

55 (0.29,0 .38) 118.35 107.37 175.44 122.91

56 (0.65,0 .28) -130.60 50.57 182.22 -132.82

57 (0.52,0 .15) -14.69 74.30 150.64 14.67

58 (0.38,0 .29) -71.06 99.65 173.61 -64.68

Tabla 5.5: Comprobación del Espacio de Trabajo Diestro del manipulador


señal de control kp ki kdu1 1:3 0 2:6u2 1:3 0 2:6u3 3 0 2:6u4 3:8 1 0:5u5 1:25 0:051 0:1999u6 3:9 0:08 0:14

Tabla 5.6: Parámetros del controlador PID

5.2.1. Simulación numérica

Para validar el modelo del manipulador móvil se realiza una simulación numérica del diseño óptimoEDMEE y se compara contra una simulación del diseño NOED. Para realizar las simulaciones se incluyendos casos:

a) cuando el efector �nal sujeta en su extremo una carga de 1 kg.

b) cuando el efector �nal está libre de carga.

Se propone un controlador PID sintonizado de forma experimental para regulación en un punto parael modelo óptimo, mismo que es implementado para los demas diseños. Durante la simulación se deseaque el móvil alcance la posición descrita por la ecuación (5.1), donde Xd y Yd son la posición deseada delmóvil en el plano y �d su orientación sobre el mismo, mientras que la con�guración articular deseada delmanipulador esta descrita por la ecuación (5.2). Las ganancias de controlador se muestran en la Tabla5.6. 24Xd

Yd�d

35 =24 0:15 [m]0:1 [m]736� [rad]

35 (5.1)

24q1dq2dq3d

35 =2416� [rad]� [rad]0 [rad]

35 (5.2)

La simulación se realiza en el entorno de Matlab Simulink, con método de integración de cuartoorden Runge-Kutta.y paso �jo de 5� 10�3 segundos

En la �gura 5.6, se muestra la comparación del desempeño en simulación del manipulador móvil parael diseño óptimo EDMEE y para el diseño NOED cuando no existe carga en el efector �nal, así mismolas señales de control en simulación para este caso, se muestran en la �gura 5.7.

La comparación del desempeño en simulación del manipulador móvil para el diseño óptimo EDMEEy para el diseño NOED cuando existe una carga en el efector �nal se muestra en la �gura 5.8, y en la�gura 5.9 se muestran sus señales de control simuladas.

Se muestra el error entre la posición deseada y simulada, del diseño óptimo EDMEE y del diseñoNOED en la �gura 5.10, cuando no existe carga en el efector �nal, mientras que en la �gura 5.11, semuestra el error entre la posición deseada y simulada, del diseño óptimo EDMEE y del diseño NOED,cuando existe una carga en el efector �nal.


0 5 10 15 200.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

tiempo t [s]

x [m

]

ÓptimoNo óptimoDeseada

Desempeño del móvil al desplazarse hacia Xd

0 5 10 15 200.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

tiempo [s]

y [m

]


Desempeño del móvil al desplazarse hacia Yd

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tiempo [s]

φ [r

ad]


Desempeño del móvil al rotar hacia �d

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tiempo [s]

q 1 [ra

d]


Desempeño del manipulador al desplazarse hacia q1d

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

tiempo [s]

q 2 [ra

d]



0 5 10 15 200.04

0.03

0.02

0.01

0

0.01

0.02

tiempo [s]

q 3 [ra

d]



Figura 5.6: Desempeño en simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, sin carga


0 5 10 15 200.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tiempo [s]

u 1 [N

m]

ÓptimoNo óptimo

Señal de control u1, del robot móvil

0 5 10 15 200.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

tiempo [s]

u 2 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 200.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo [s]

u 3 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 201.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo [s]

u 4 [N

m]

ÓptimoNo óptimo

Señal de control u4, del robot manipulador

0 5 10 15 201

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

tiempo [s]

u 5 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 200.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

tiempo [s]

u 6 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


Figura 5.7: Señales de control en simulación de los diseños EDMEE y NOED, sin carga


0 5 10 15 200.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

tiempo [s]

x [m

]


Desempeño del móvil al desplazarse hacia Xd

0 5 10 15 200.06

0.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

tiempo [s]

y [m

]


Desempeño del móvil al desplazarse hacia Yd

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tiempo [s]

φ [r

ad]


Desempeño del móvil al rotar hacia �d

0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo [s]

q 1 [ra

d]



0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

tiempo [s]

q 2 [ra

d]



0 5 10 15 200.25

0.2

0.15

0.1

0.05

0

0.05

0.1

tiempo [s]

q 3 [ra

d]



Figura 5.8: Desempeño en simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, con carga


0 5 10 15 201.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo [s]

u 1 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 200.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tiempo [s]

u 2 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 200.5

0

0.5

1

1.5

2

tiempo [s]

u 3 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 203

2

1

0

1

2

3

tiempo [s]

u 4 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 202

1

0

1

2

3

4

tiempo [s]

u 5 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


0 5 10 15 200.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

tiempo [s]

u 6 [N

m]

ÓptimoNo óptimo


Figura 5.9: Señales de control en simulación de los diseños EDMEE y NOED, con carga


0 5 10 15 200.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

tiempo [s]

Err

or e

n x

[m]

Error EDMEEError NOED

Error de posición del móvil al desplazarsehacia Xd

0 5 10 15 200.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

tiempo [s]

Erro

r en

y [m

]


Error de posición del móvil al desplazarsehacia Yd

0 5 10 15 200.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tiempo [s]

Erro

r en

φ [ra

d]


Error de orientación del móvil al moversehacia �d

0 5 10 15 200.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

tiempo [s]

Erro

r en

q1 [r

ad]


Error de posición del manipulador aldesplazarse hacia q1d

0 5 10 15 200.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

tiempo [s]

Erro

r en

q2 [r

ad]



0 5 10 15 200.02

0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

tiempo [s]

Erro

r en

q3 [r

ad]



Figura 5.10: Error en Simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, sin carga


0 5 10 15 200.2

0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

tiempo [s]

Err

or e

n x

[m]


Error de posición del móvil al desplazarsehacia Xd

0 5 10 15 200.04

0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

tiempo [s]

Err

or e

n y

[m]


Error de posición del móvil al desplazarsehacia Yd

0 5 10 15 200.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tiempo [s]

Erro

r en

φ [ra

d]


Error de orientación del móvil al moversehacia �d

0 5 10 15 200.8

0.6

0.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

tiempo [s]

Err

or e

n q 1 [r

ad]



0 5 10 15 201.5

1

0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

tiempo [s]

Erro

r en

q2 [r

ad]



0 5 10 15 200.1

0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

tiempo [s]

Err

or e

n q 3 [r

ad]



Figura 5.11: Error en Simulación del manipulador móvil de los diseños EDMEE y NOED, con carga


0 5 10 15 200

200

400

600

800

1000

1200

tiempo t [s]

par τ

[N

m]

ÓptimoNo óptimo

a) Sin carga

0 5 10 15 200

1000

2000

3000

4000

5000

6000

tiempo t [s]

par τ

[N

m]

ÓptimoNo óptimo

b) Con carga

Figura 5.12: Resultados en simuación del Par uT acumulado total de los actuadores

En la Tabla 5.7 se muestra el par total ejercido por cada actuador del manipulador móvil de acuerdoa la ecuación (5.3).

jjuijj =

vuut tfXt=0

u2i (5.3)

Diseño jju1jj jju2jj jju3jj jju4jj jju5jj jju6jj totala) Óptimo EDMEE 2:4324 1:9537 3:7048 7:6378 12:7515 0:8977 29:3777b) ED 5:4925 2:0064 3:8480 12:5160 12:8240 0:8912 37:5780c) NOEDMEE 20:7321 6:3604 6:0153 36:0489 38:3120 2:7596 110:2284d) NOED 23:1070 7:5304 6:5175 39:9413 43:1443 8:0704 128:3109

Tabla 5.7: Consumo de Energía

En la �gura 5.12 se muestran las grá�cas del acumulado del par total simulado de todos los actuadoresen el tiempo t de la simulación, para el modelo óptimo y el modelo no óptimo con carga y sin carga.Mientras que la �gura 5.13, muestra la energia total ET simulada en el tiempo t del manipulador móvilpara el modelo óptimo y el modelo no óptimo con carga y sin carga. Finalmente la �gura 5.14 muestrala diferencia entre la energia total del manipulador móvil entre el modelo óptimo y el modelo no óptimocuando tiene carga y cuando no.En resumen con las grá�cas mostradas anteriormente en esta sección así como con las Tablas 5.4 y

5.7, se demuestra que el diseño óptimo del sistema que considera los parámetros de diseño EDMMEpa,tiene un mejor desempeño además de poseer una menor energía total en el sistema en comparación conun modelo no óptimo NOED, en donde solo se consideran las longitudes de los eslabones. Con esto, secumple el objetivo de reducir la energía eléctrica que consume el manipulador móvil y se valida el diseño�nal resultante.


0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

2.5

tiempo t [s]

E T [J]

ÓptimoNo óptimo

a) Sin carga

0 5 10 15 200

1

2

3

4

5

6

7

8

tiempo t [s]

E T [J]

ÓptimoNo óptimo

b) Con carga

Figura 5.13: Resultados en simuación de la Energia total ET de los actuadores

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

tiempo t [s]

E [

J]

a) Sin carga

0 5 10 15 200.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

tiempo t [s]

E [

J]

b) Con carga

Figura 5.14: Diferencia de la Energía total del manipulador móvil obtenida en simulación, entre el diseñoóptimo EDMEE y el diseño NOED

Capítulo 6

Conclusiones

6.1. Conclusiones

En este trabajo se desarrolla una metodología para el diseño de un robot manipulador móvil omnidi-reccional, en donde un robot manipulador 3R de arquitectura paralela de 5 barras es montado sobre unrobot móvil omnidireccional. Se considera la interacción entre los 2 robots de tal forma que el movimien-to generado en cualquiera de estos, afecta el desempeño del otro. Con el �n de describir la relación entrelos sistemas, se desarrolla el modelo dinámico acoplado que describe matemáticamente en una ecuaciónla relación entre el movimiento de los robots y las fuerzas que lo provocan.

Por otra parte, el modelo cinemático de cada robot es analizado individualmente ya que el espaciode trabajo es diferente para los 2, y su interacción conjunta se puede describir como la adición de losdos modelos cinemáticos.

Es a partir del modelo dinámico y cinemático que el problema de diseño de ingeniería se formula comoun problema de optimización matemática en donde se desea encontrar las longitudes y las posicionesóptimas del centro de masa de los eslabones, con el objetivo de garantizar un espacio de trabajo diestroy de disminuir el consumo de energía eléctrica.

Es así, que para dar solución al problema de optimización se implementa un Mecanismo de Ex-plotación Exhaustiva (MEE) en el algoritmo de Evolución Diferencial (ED), que permite realizar unamejor búsqueda sobre un espacio de diseño local con el �n de encontrar mejores soluciones. El MEEmejora la convergencia hacia la solución optima, en comparación con un algoritmo tradicional de ED,teniendo por desventaja un pequeño aumento en el tiempo de cómputo debido al número de veces quese evalúa la función objetivo y la necesidad de sintonizar el factor de búsqueda Nw que pudiera afectarel desempeño del algoritmo.

Finalmente, se simula el modelo con los parámetros de diseño óptimos con y sin carga, para evaluarsu desempeño y validar el modelo del robot manipulador móvil. Estos resultados se comparan contra eldesempeño en simulación de un robot con la misma arquitectura con y sin carga, el cual no fue sometidoa algún proceso de optimización y el cual solo cumple con el criterio del espacio de trabajo diestro.Entonces a través de la comparación se observa que el modelo óptimo sufre una menor variación en laenergía mecánica del sistema y consecuentemente el consumo de energía eléctrica es menor, por lo tantose comprueba que el diseño con parámetros óptimo cumple con el objetivo deseado.

55

56 CAPÍTULO 6. CONCLUSIONES

6.2. Trabajos Futuros

Como trabajos a futuro se pretende introducir como variables de diseño en el problema de opti-mización, las longitudes del centro del móvil hacia sus llantas, así como el radio propio de cada llanta,con el �n de obtener un diseño óptimo completo.

Así mismo, queda pendiente realizar un diseño robusto integrado del manipulador móvil, donde seconsidere minimizar el efecto de alteraciones externas en el desempeño del manipulador móvil, ademásde obtener simultáneamente, los parámetros óptimos del sistema de control del manipulador móvil.

El estudio más profundo del desempeño del mecanismo de explotación exhaustiva en el algoritmo deevolución diferencial, con el �n de obtener los parámetros propios del algoritmo que aseguren un correctodesempeño y convergencia hacia un resultado óptimo.

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57

58 REFERENCIAS

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[26] E. A. Portilla-Flores, E. Mezura-Montes, J. Alvarez-Gallegos, C. A. Coello-Coello, C. A. Cruz-Villar, and M. G. Villarreal-Cervantes, �Parametric recon�guration improvement in non-iterativeconcurrent mechatronic design using an evolutionary-based approach,�Engineering Applications ofArti�cial Intelligence, vol. 24, no. 5, pp. 733�918, 2011.

[27] K. V. Price, R. M. Storn, and J. A. Lampinen, Di¤erential evolution: A practical approach to globaloptimization. Springer, December 2005.

REFERENCIAS 59

[28] E. Mezura-Montes, J. Velázquez-Reyes, and C. A. C. Coello, �A comparative study of di¤erentialevolution variants for global optimization,�Genetic And Evolutionary Computation Conference,pp. 485�492, 2006.

[29] K. Deb, �An e¢ cient constraint handling method for genetic algorithms,�Computer methods inapplied mechanics and engineering, vol. 186, no. 2/4, pp. 311�338, 2000.

60 REFERENCIAS

Apéndice A

Matrices M, C y G

M =

26666664M11 M12 M13 M14 M15 M16

M21 M22 M23 M24 M25 M26

M31 M32 M33 M34 M35 M36

M41 M42 M43 M44 M45 M46

M51 M52 M53 M54 M55 M56

M61 M62 M63 M64 M65 M66

37777775

M11 = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5

M12 = 0M13 = m1pc1z � lmym2 � lmym3 � lmym4 � lmym5 � lmym1 + m2pc2z + m3pc3z + m4pc4z +

m5pc5zM14 = � m1pc1y cos(q1) � m3pc3y cos(q1) � m1pc1x sin(q1) � m3pc3x sin(q1) � L1m4 sin(q1) �

L1m5 sin(q1)M15 = m4pc4y cos(q2) � m2pc2y cos(q2) � m2pc2x sin(q2) + m4pc4x sin(q2) + m5pc5y cos(q2 + q3) +

m5pc5x sin(q2 + q3) � L2m3 sin(q2) + L4m5 sin(q2)M16 = m5

�pc5y cos(q2 + q3) + pc5x sin(q2 + q3)

��

M21 = 0M22 = m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5

M23 = lmxm1 + lmxm2 + lmxm3 + lmxm4 + lmxm5 + m1pc1x cos(q1) + m2pc2x cos(q2) +m3pc3x cos(q1) � m4pc4x cos(q2) � m1pc1y sin(q1) � m2pc2y sin(q2) � m3pc3y sin(q1) +m4pc4y sin(q2) � m5pc5x cos(q2 + q3) + L1m4 cos(q1) + L1m5 cos(q1) + L2m3 cos(q2) �L4m5 cos(q2) + m5pc5y sin(q2 + q3)

M24 = 0M25 = 0M26 = 0

61

62 APÉNDICE A. MATRICES M, C Y G

M31 = m1pc1z � lmym2 � lmym3 � lmym4 � lmym5 � lmym1 + m2pc2z + m3pc3z + m4pc4z + m5pc5zM32 = m1(lmx + pc1x cos(q1)� pc1y sin(q1)) + m2

�lmx + pc2x cos(q2)� pc2y sin(q2)

�+

m3

�lmx + L2 cos(q2) + pc3x cos(q1)� pc3y sin(q1)

�+

m4

�lmx + L1 cos(q1)� pc4x cos(q2) + pc4y sin (q2)

�+

m5

�lmx � pc5x cos(q2 + q3) + L1 cos(q1)� L4 cos(q2) + pc5y sin(q2 + q3)

�M33 = I0zz + I5xy sin(2q2 + 2q3) + m1

��lmx + pc1x cos(q1)� pc1y sin(q1)

�2+ (lmy � pc1z)2

�+

m2

��lmx + pc2x cos(q2)� pc2y sin (q2)

�2+�lmy � pc2z

�2�+ I5yy cos(q2 + q3)

2 +

I5xx sin(q2 + q3)2 + m3(lmy � pc3z)2 + m4(lmy � pc4z)2 + m5(lmy � pc5z)2 +

m3(lmx + L2 cos(q2) + pc3x cos(q1) � pc3y sin(q1))2 + m4(lmx + L1 cos(q1) � pc4x cos(q2) +pc4y sin(q2))

2 + I1yy cos(q1)2 + I2yy cos(q2)

2 + I3yy cos(q1)2 + I4yy cos(q2)

2 + I1xy sin(2q1) +I2xy sin(2q2) + I3xy sin(2q1) + I1xx sin(q1)

2 + I4xy sin(2q2) + I2xx sin(q2)2 + I3

xxsin(q1)

2 +I4

xxsin(q2)

2 + m5(lmx � pc5x cos(q2 + q3) + L1 cos(q1) � L4 cos(q2) + pc5y sin(q2 + q3))2M34 = I1yz cos(q1) + I3yz cos(q1) + I1xz sin(q1) + I3xz sin(q1) + m1(lmy � pc1z)(pc1y cos(q1) +

pc1x sin(q1)) + m3(lmy � pc3z)(pc3y cos(q1) + pc3x sin(q1)) + L1m4 sin(q1)(lmy � pc4z) +L1m5 sin(q1)(lmy � pc5z)M35 = I2yz cos(q2) � I5xz sin(q2 + q3) � I5yz cos(q2 + q3) � I4yz cos(q2) + I2xz sin(q2) � I4xz sin(q2) +

m2(lmy � pc2z)(pc2y cos(q2) + pc2x sin(q2)) � m4(lmy � pc4z)(pc4y cos(q2) + pc4x sin(q2)) �m5(lmy � pc5z)(pc5y cos(q2 + q3) + pc5x sin(q2 + q3) + L4 sin(q2)) + L2m3 sin(q2)(lmy � pc3z)

M36 = � I5yz cos(q2 + q3) � I5xz sin(q2 + q3) � m5(pc5y cos(q2 + q3) + pc5x sin(q2 + q3))(lmy � pc5z)

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �M41 = � m1pc1y cos(q1) � m3pc3y cos(q1) � m1pc1x sin(q1) � m3pc3x sin(q1) � L1m4 sin(q1) �

L1m5 sin(q1)M42 = 0M43 = I1yz cos(q1) + I3yz cos(q1) + I1xz sin(q1) + I3xz sin(q1) + L1lmym4 sin(q1) + L1lmym5 sin(q1) �

L1m4pc4z sin(q1) � L1m5pc5z sin(q1) + lmym1pc1y cos(q1) + lmym3pc3y cos(q1) �m1pc1ypc1z cos(q1) � m3pc3ypc3z cos(q1) + lmym1pc1x sin(q1) + lmym3pc3x sin(q1) �m1pc1xpc1z sin(q1) � m3pc3xpc3z sin(q1)

M44 = I1zz + I3zz + L21m4 + L

21m5 + m1p

2c1x+ m1p

2c1y+ m3p

2c3x+ m3p

2c3y

M45 = L2m3pc3x cos(q1 � q2) � L1L4m5 cos(q1 � q2) � L1m5pc5y sin(q1 � q2 � q3) �L1m5pc5x cos(q1 � q2 � q3) � L1m4pc4x cos(q1 � q2) � L2m3pc3y sin(q1 � q2) �L1m4pc4y sin(q1 � q2)

M46 = �L1m5(pc5x cos(q1 � q2 � q3) + pc5y sin(q1 � q2 � q3))

M51 = m4pc4y cos(q2) � m2pc2y cos(q2) � m2pc2x sin(q2) + m4pc4x sin(q2) + m5pc5y cos(q2 + q3) +m5pc5x sin(q2 + q3) � L2m3 sin(q2) + L4m5 sin(q2)

M52 = 0M53 = I2yz cos(q2) � I5xz sin(q2 + q3) � I5yz cos(q2 + q3) � I4yz cos(q2) + I2xz sin(q2) � I4xz sin(q2) �

lmym5pc5y cos(q2 + q3) + m5pc5ypc5z cos(q2 + q3) � lmym5pc5x sin(q2 + q3) +m5pc5xpc5z sin(q2 + q3) + L2lmym3 sin(q2) � L4lmym5 sin(q2) � L2m3pc3z sin(q2) +L4m5pc5z sin(q2) + lmym2pc2y cos(q2) � lmym4pc4y cos(q2) � m2pc2ypc2z cos(q2) +m4pc4ypc4z cos(q2) + lmym2pc2x sin(q2) � lmym4pc4x sin(q2) � m2pc2xpc2z sin(q2) +m4pc4xpc4z sin(q2)

M54 = L2m3pc3x cos(q1 � q2) � L1L4m5 cos(q1 � q2) � L1m5pc5y sin(q1 � q2 � q3) �L1m5pc5x cos(q1 � q2 � q3) � L1m4pc4x cos(q1 � q2) � L2m3pc3y sin(q1 � q2) �L1m4pc4y sin(q1 � q2)

M55 = m3L22 + m5L

24 + 2m5 cos(q3)L4pc5x � 2m5 sin(q3)L4pc5y + m2p

2c2x+ m2p

2c2y+ m4p

2c4x+

m4p2c4y+ m5p

2c5x+ m5p

2c5y+ I2zz + I4zz + I5zz

M56 = m5p2c5x+ L4m5 cos(q3)pc5x + m5p

2c5y� L4m5 sin(q3)pc5y + I5zz

63

M61 = m5(pc5y cos(q2 + q3) + pc5x sin(q2 + q3))M62 = 0M63 = m5pc5ypc5z cos(q2 + q3) � I5xz sin(q2 + q3) � lmym5pc5y cos(q2 + q3) � I5yz cos(q2 + q3) �

lmym5pc5x sin(q2 + q3) + m5pc5xpc5z sin(q2 + q3)M64 = �L1m5(pc5x cos(q1 � q2 � q3) + pc5y sin(q1 � q2 � q3))M65 = m5p

2c5x+ L4m5 cos(q3)pc5x + m5p

2c5y� L4m5 sin(q3)pc5y + I5zz

M66 = m5p2c5x+ m5p

2c5y+ I5zz

C=

26666664C11 C12 C13 C14 C15 C16C21 C22 C23 C24 C25 C26C31 C32 C33 C34 C35 C36C41 C42 C43 C44 C45 C46C51 C52 C53 C54 C55 C56C61 C62 C63 C64 C65 C66

37777775

C11 = 0

C12 = � _�(m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5)C13 = 0C14 = � _q1(m1pc1x cos(q1) + m3pc3x cos(q1) � m1pc1y sin(q1) � m3pc3y sin(q1) + L1m4 cos(q1) +

L1m5 cos(q1))C15 = � _q2(m2pc2x cos(q2) � m4pc4x cos(q2) � m2pc2y sin(q2) + m4pc4y sin(q2) � m5pc5x cos(q2 + q3) +

L2m3 cos(q2) � L4m5 cos(q2) + m5pc5y sin(q2 + q3))C16 = m5(pc5x cos(q2 + q3) � pc5y sin(q2 + q3))(2 _q2 + _q3)

C21 = _�(m0 + m1 + m2 + m3 + m4 + m5)C22 = 0C23 = 0

C24 = � _�(m1pc1y cos(q1) + m3pc3y cos(q1) + m1pc1x sin(q1) + m3pc3x sin(q1) + L1m4 sin(q1) +L1m5 sin(q1))

C25 = _�(m4pc4y cos(q2) � m2pc2y cos(q2) � m2pc2x sin(q2) + m4pc4x sin(q2) + m5pc5y cos(q2 + q3) +m5pc5x sin(q2 + q3) � L2m3 sin(q2) + L4m5 sin(q2))

C26 = _�m5(pc5y cos(q2 + q3) + pc5x sin(q2 + q3))

C31 = 2 _�(lmxm1 + lmxm2 + lmxm3 + lmxm4 + lmxm5 + m1pc1x cos(q1) + m2pc2x cos(q2) +m3pc3x cos(q1) � m4pc4x cos(q2) � m1pc1y sin(q1) � m2pc2y sin(q2) � m3pc3y sin(q1) +m4pc4y sin(q2) � m5pc5x cos(q2 + q3) + L1m4 cos(q1) + L1m5 cos(q1) + L2m3 cos(q2) �L4m5 cos(q2) + m5pc5y sin(q2 + q3))

C32 = 2 _�(lmym1 + lmym2 + lmym3 + lmym4 + lmym5 � m1pc1z � m2pc2z � m3pc3z � m4pc4z � m5pc5z)


C33 = 4I1xy _q1 cos(q1)2 � 2I2xy _q2 � 2I3xy _q1 � 2I4xy _q2 � 2I5xy _q2 � 2I5xy _q3 � 2I1xy _q1 + 4I3xy _q1 cos(q1)2 +

4I2xy _q2 cos(q2)2 + 4I4xy _q2 cos(q2)

2 + I1xx_q1 sin(2q1) � I1yy _q1 sin(2q1) + I3xx _q1 sin(2q1) �

I3yy _q1 sin(2q1) + I2xx _q2 sin(2q2) � I2yy _q2 sin(2q2) + I4xx _q2 sin(2q2) � I4yy _q2 sin(2q2) +I5

xx_q2 sin(2q2 + 2q3) � I5yy _q2 sin(2q2 + 2q3) + I5xx _q3 sin(2q2 + 2q3) � I5yy _q3 sin(2q2 + 2q3) +

4I5xy _q2 cos(q2 + q3)2 + 4I5xy _q3 cos(q2 + q3)

2 � L21 _q1m4 sin(2q1) � L21 _q1m5 sin(2q1) �L22 _q2m3 sin(2q2) � L24 _q2m5 sin(2q2) � _q1m1p

2c1xsin(2q1) + _q1m1p

2c1ysin(2q1) �

_q1m3p2c3xsin(2q1) + _q1m3p

2c3ysin(2q1) � _q2m2p

2c2xsin(2q2) + _q2m2p

2c2ysin(2q2) �

_q2m4p2c4xsin(2q2) + _q2m4p

2c4ysin(2q2) � _q2m5p

2c5xsin(2q2 + 2q3) + _q2m5p

2c5ysin(2q2 + 2q3) �

_q3m5p2c5xsin(2q2 + 2q3) + _q3m5p

2c5ysin(2q2 + 2q3) + 2 _q1m1pc1xpc1y + 2 _q2m2pc2xpc2y +

2 _q1m3pc3xpc3y + 2 _q2m4pc4xpc4y + 2 _q2m5pc5xpc5y + 2 _q3m5pc5xpc5y �4 _q2m5pc5xpc5y cos(q2 + q3)

2 � 4 _q3m5pc5xpc5y cos(q2 + q3)2 � 4 _q1m1pc1xpc1y cos(q1)

2 �4 _q1m3pc3xpc3y cos(q1)

2 � 4 _q2m2pc2xpc2y cos(q2)2 � 4 _q2m4pc4xpc4y cos(q2)

2 +2 _q2lmxm5pc5y cos(q2 + q3) + 2 _q3lmxm5pc5y cos(q2 + q3) + 2 _q2lmxm5pc5x sin(q2 + q3) +2 _q3lmxm5pc5x sin(q2 + q3) � 2L1 _q1lmxm4 sin(q1) � 2L1 _q1lmxm5 sin(q1) �2L2 _q2lmxm3 sin(q2) + 2L4 _q2lmxm5 sin(q2) � 2 _q1lmxm1pc1y cos(q1) �2 _q1lmxm3pc3y cos(q1) � 2 _q2lmxm2pc2y cos(q2) + 2 _q2lmxm4pc4y cos(q2) �2 _q1lmxm1pc1x sin(q1) � 2 _q1lmxm3pc3x sin(q1) � 2 _q2lmxm2pc2x sin(q2) + 2 _q2lmxm4pc4x sin(q2) +2L1 _q2m5pc5y cos(q2 + q3) cos(q1) + 2L1 _q3m5pc5y cos(q2 + q3) cos(q1) �2L4 _q2m5pc5y cos(q2 + q3) cos(q2) � 2L4 _q3m5pc5y cos(q2 + q3) cos(q2) +2L1 _q1m5pc5x cos(q2 + q3) sin(q1) + 2L1 _q2m5pc5x sin(q2 + q3) cos(q1) +2L1 _q3m5pc5x sin(q2 + q3) cos(q1) � 2L4 _q2m5pc5x cos(q2 + q3) sin(q2) �2L4 _q2m5pc5x sin(q2 + q3) cos(q2) � 2L4 _q3m5pc5x sin(q2 + q3) cos(q2) +2L1L4 _q1m5 cos(q2) sin(q1) + 2L1L4 _q2m5 cos(q1) sin(q2) � 2L1 _q1m5pc5y sin(q2 + q3) sin(q1) +2L4 _q2m5pc5y sin(q2 + q3) sin(q2) � 2L2 _q1m3pc3y cos(q1) cos(q2) +2L1 _q2m4pc4y cos(q1) cos(q2) � 2L2 _q1m3pc3x cos(q2) sin(q1) + 2L1 _q1m4pc4x cos(q2) sin(q1) �2L2 _q2m3pc3x cos(q1) sin(q2) + 2L1 _q2m4pc4x cos(q1) sin(q2) � 2L1 _q1m4pc4y sin(q1) sin(q2) +2L2 _q2m3pc3y sin(q1) sin(q2)

C34 = _q1(I1xz cos(q1) + I3xz cos(q1) � I1yz sin(q1) � I3yz sin(q1) + L1lmym4 cos(q1) + L1lmym5 cos(q1) �L1m4pc4z cos(q1) � L1m5pc5z cos(q1) + lmym1pc1x cos(q1) + lmym3pc3x cos(q1) �m1pc1xpc1z cos(q1) � m3pc3xpc3z cos(q1) � lmym1pc1y sin(q1) � lmym3pc3y sin(q1) +m1pc1ypc1z sin(q1) + m3pc3ypc3z sin(q1))

C35 = _q2(I5yz sin(q2 + q3) � I5xz cos(q2 + q3) + I2xz cos(q2) � I4xz cos(q2) � I2yz sin(q2) + I4yz sin(q2) �lmym5pc5x cos(q2 + q3) + m5pc5xpc5z cos(q2 + q3) + L2lmym3 cos(q2) � L4lmym5 cos(q2) �L2m3pc3z cos(q2) + L4m5pc5z cos(q2) + lmym5pc5y sin(q2 + q3) � m5pc5ypc5z sin(q2 + q3) +lmym2pc2x cos(q2) � lmym4pc4x cos(q2) � m2pc2xpc2z cos(q2) + m4pc4xpc4z cos(q2) �lmym2pc2y sin(q2) + lmym4pc4y sin(q2) + m2pc2ypc2z sin(q2) � m4pc4ypc4z sin(q2))

C36 = �(2 _q2 + _q3)(I5xz cos(q2 + q3) � I5yz sin(q2 + q3) + lmym5pc5x cos(q2 + q3) �m5pc5xpc5z cos(q2 + q3) � lmym5pc5y sin(q2 + q3) + m5pc5ypc5z sin(q2 + q3))

65

C41 = 0

C42 = 2 _�(m1pc1y cos(q1) + m3pc3y cos(q1) + m1pc1x sin(q1) + m3pc3x sin(q1) + L1m4 sin(q1) +L1m5 sin(q1))

C43 = _�(I1xy + I3xy � 2I1xy cos(q1)2 � 2I3xy cos(q1)2 �I1xxsin(2q1)

2+

I1yy sin(2q1)

2� I3

xxsin(2q1)

2+

I3yy sin(2q1)

2� m1pc1xpc1y � m3pc3xpc3y +

L21m4 sin(2q1)

2+

L21m5 sin(2q1)

2+

m1p2c1x sin(2q1)

2�

m1p2c1y sin(2q1)

2+

m3p2c3x sin(2q1)

2�

m3p2c3y sin(2q1)

2+ L1lmxm4 sin(q1) + L1lmxm5 sin(q1) +

lmxm1pc1y cos(q1) + lmxm3pc3y cos(q1) + lmxm1pc1x sin(q1) + lmxm3pc3x sin(q1) +2m1pc1xpc1y cos(q1)

2 + 2m3pc3xpc3y cos(q1)2 � L1L4m5 cos(q2) sin(q1) +

L2m3pc3y cos(q1) cos(q2) + L2m3pc3x cos(q2) sin(q1) � L1m4pc4x cos(q2) sin(q1) +L1m4pc4y sin(q1) sin(q2) � L1m5pc5x cos(q2) cos(q3) sin(q1) +L1m5pc5y cos(q2) sin(q1) sin(q3) + L1m5pc5y cos(q3) sin(q1) sin(q2) +L1m5pc5x sin(q1) sin(q2) sin(q3))

C44 = 0C45 = _q2(L1m5pc5y cos(q1 � q2 � q3) � L1m5pc5x sin(q1 � q2 � q3) � L1L4m5 sin(q1 � q2) +

L2m3pc3y cos(q1 � q2) + L1m4pc4y cos(q1 � q2) + L2m3pc3x sin(q1 � q2) �L1m4pc4x sin(q1 � q2))

C46 = L1m5(2 _q2 + _q3)(pc5y cos(q1 � q2 � q3) � pc5x sin(q1 � q2 � q3))

C51 = 0

C52 = 2 _�(m2pc2y cos(q2) � m4pc4y cos(q2) + m2pc2x sin(q2) � m4pc4x sin(q2) � m5pc5y cos(q2 + q3) �m5pc5x sin(q2 + q3) + L2m3 sin(q2) � L4m5 sin(q2))

C53 = �_�2(2I5xy cos(2q2 + 2q3) + I5xx sin(2q2 + 2q3) � I5yy sin(2q2 + 2q3) + 2I2xy cos(2q2) +

2I4xy cos(2q2) + I2xx sin(2q2) � I2yy sin(2q2) + I4xx sin(2q2) � I4yy sin(2q2) �m5p

2c5xsin(2q2 + 2q3) + m5p

2c5ysin(2q2 + 2q3) � L22m3 sin(2q2) � L24m5 sin(2q2) �

m2p2c2xsin(2q2) + m2p

2c2ysin(2q2) � m4p

2c4xsin(2q2) + m4p

2c4ysin(2q2) �

2m5pc5xpc5y cos(2q2 + 2q3) + L1L4m5 sin(q1 + q2) � L2m3pc3y cos(q1 + q2) +L1m4pc4y cos(q1 + q2) � L2m3pc3x sin(q1 + q2) + L1m4pc4x sin(q1 + q2) +2lmxm5pc5y cos(q2 + q3) + L1m5pc5y cos(q1 � q2 � q3) + 2lmxm5pc5x sin(q2 + q3) �2L2lmxm3 sin(q2) + 2L4lmxm5 sin(q2) � L1m5pc5x sin(q1 � q2 � q3) � L1L4m5 sin(q1 � q2) �2lmxm2pc2y cos(q2) + 2lmxm4pc4y cos(q2) + L2m3pc3y cos(q1 � q2) +L1m4pc4y cos(q1 � q2) � 2L4m5pc5y cos(2q2 + q3) � 2lmxm2pc2x sin(q2) +2lmxm4pc4x sin(q2) + L2m3pc3x sin(q1 � q2) � L1m4pc4x sin(q1 � q2) �2L4m5pc5x sin(2q2 + q3) + L1m5pc5y cos(q1 + q2 + q3) + L1m5pc5x sin(q1 + q2 + q3) �2m2pc2xpc2y cos(2q2) � 2m4pc4xpc4y cos(2q2))

C54 = _q1(L1m5pc5x sin(q1 � q2 � q3) � L1m5pc5y cos(q1 � q2 � q3) + L1L4m5 sin(q1 � q2) �L2m3pc3y cos(q1 � q2) � L1m4pc4y cos(q1 � q2) � L2m3pc3x sin(q1 � q2) +L1m4pc4x sin(q1 � q2))

C55 = (�2)L4 _q3m5(pc5y cos(q3) + pc5x sin(q3))C56 = �L4 _q3m5(pc5y cos(q3) + pc5x sin(q3))


C61 = 0

C62 = (�2) _�m5(pc5y cos(q2 + q3) + pc5x sin(q2 + q3))

C63 = �_�2(2I5xy cos(2q2 + 2q3) + I5xx sin(2q2 + 2q3) � I5yy sin(2q2 + 2q3) � m5p

2c5xsin(2q2 + 2q3) +

m5p2c5ysin(2q2 + 2q3) � 2m5pc5xpc5y cos(2q2 + 2q3) + 2lmxm5pc5y cos(q2 + q3) �

L4m5pc5y cos(q3) + L1m5pc5y cos(q1 � q2 � q3) + 2lmxm5pc5x sin(q2 + q3) �L4m5pc5x sin(q3) � L1m5pc5x sin(q1 � q2 � q3) � L4m5pc5y cos(2q2 + q3) �L4m5pc5x sin(2q2 + q3) + L1m5pc5y cos(q1 + q2 + q3) + L1m5pc5x sin(q1 + q2 + q3))

C64 = L1 _q1m5(pc5x sin(q1 � q2 � q3) � pc5y cos(q1 � q2 � q3))C65 = L4 _q2m5(pc5y cos(q3) + pc5x sin(q3))C66 = 0

G =

26666664G1G2G3G4G5G6

37777775G1 = 0G2 = 0G3 = 0G4 = g(m1pc1x cos(q1) +m3pc3x cos(q1)�m1pc1y sin(q1)�m3pc3y sin(q1) + L1m4 cos(q1)+

L1m5 cos(q1))G5 = g(m2pc2x cos(q2)�m4pc4x cos(q2)�m2pc2y sin(q2) +m4pc4y sin(q2)�m5pc5x cos(q2 + q3)+

L2m3 cos(q2)� L4m5 cos(q2) +m5pc5y sin(q2 + q3))G6 = g(m5pc5y sin(q2 + q3)�m5pc5x cos(q2 + q3))

Apéndice B

Planos de los componentes del sistema

67

Eslabón 1Eslabón 5

Eslabón 5

Eslabón 4

Eslabón 1

Eslabón 2

Eslabón 4

Eslabón 3

Eslabón 2

Eslabón 3

Ensamblaje del ManipuladorNombre de pieza:

Propiedades:

PLANO 1

Escala:1:5

TECNOLÓGICO EN CÓMPUTOCIDETEC-IPN CENTRO DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO

Unidades:

Eslabón 1

0.0

3

0.0

1

Eslabón 1

Unidades:1:5

TECNOLÓGICO EN CÓMPUTOCIDETEC-IPN

Nombre de pieza:Eslabón 1 y 3

Propiedades:

CENTRO DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO

Escala:

PLANO 2

=0.0999Pcx=0.0999, Pcy

Metros

Eslabón 1

Eslabón3

Eslabón 3 0

.01

0.0

3

Eslabón 3

0.34

0.08

R0.02 R0.02

0.01

0.01

45.02° R0.02 0

.05

0.13

0.11

0.30

0.02 0.03

y

MetrosUnidades:

1:2Escala:

PLANO 3

CIDETEC-IPN

Nombre de pieza:Eslabón 2

Propiedades:

=-0.0998Pcx=0.0999, Pc

CENTRO DE INNOVACIÓN Y DESARROLLOTECNOLÓGICO EN CÓMPUTO

106.25°

0.07

0.01

R0.02

0.01

R0.

02 0.06

0.07 0.06

0.03

0.0

9

0.0

2 0.0

5

0.0

1

Unidades:1:5

TECNOLÓGICO EN CÓMPUTOCIDETEC-IPN


Propiedades:

CENTRO DE INNOVACIÓN Y DESARROLLO

Escala:

PLANO 4=0.0440Pcx=-0.0999, Pcy

Metros

0.12

0.01

R0.02

0.01 0.01

0.08

0.43 0.07

156.23° 0.43

0.11

R0.02

0.0

3 R0.

02

0.0

6

0.03 0

.01

0.0

1

y

MetrosUnidades:

1:2Escala:

PLANO 5

CIDETEC-IPN


Propiedades:

=0.0206Pcx=-0.0402, Pc

CENTRO DE INNOVACIÓN Y DESARROLLOTECNOLÓGICO EN CÓMPUTO

0.01

0.01

R0.01

0.05

R0.01

0.04

0.04 R0.03 0.02

172.46°

0.0

3

0.08

0.0

1

80 APÉNDICE B. PLANOS DE LOS COMPONENTES DEL SISTEMA

Apéndice C

Diseño del eslabón

Ya que se ha mencionado que la forma de cada eslabón no está de�nida a una �gura geométrica enparticular y solo se conocen los parámetros de la posición del centro de masa y la longitud del eslabón quefueron encontrados por el algoritmo de optimización, en esta sección se detalla el método implementadocon auxilio de la herramienta de SolidWorks 2012, para realizar el diseño de los eslabones.

Supóngase que los parámetros del eslabón obtenidos por el algoritmo de optimización son descritospor la longitud del eslabón Le y la posición del centro de masa pcdx y pcdy . Entonces se realizan lossiguientes pasos, considerando la con�guración mostrada en la �gura C.1:1.- Se dibuja un sistema coordenado A que será asociado al origen del eslabón.2.- Se dibujan los barrenos de diámetro d1 donde se pondrán las uniones del eslabón, a la distancia

Le, es necesario que el centro de un barreno este sobre el sistema A asociado al origen.3.- Se dibujan los contornos del eslabón por medio de circunferencias de diámetro d2 que de�nirá el

ancho de éste, como se observa en la �gura C.2.4.- Se dibuja una circunferencia del mismo diámetro d2 que corresponde al ancho del eslabón, con

centro en el punto descrito por pcdxy pcdy , medido a partir del sistema A asociado al origen.(ver �guraC.3).5.- Se unen las circunferencias por los extremos con líneas tangentes a cada una de ellas, como se

muestra en la �gura C.36.- Se recortan los contornos internos del dibujo del eslabón como se muestra en la �gura C.47.- Se extruye hasta el espesor deseado y se calculan las propiedades físicas del eslabón con auxilio

de la herramienta que provee SolidWorks, se observa la posición del centro de masa del eslabón conrespecto al sistema A, que denotaremos como pcmx y pcmy como se observa en la �gura C.5.8.- Entonces se regresa al dibujo sin extrucción y se dibuja la posición del centro de masa obtenida

a través del cálculo realizado previamente (ver .�gura C.6).9.- Se traza una línea recta que se prolonga del centro de masa calculado pcmx, pcmy hacia centro de

masa deseado pcdx, pcdy , como en la �gura C.6.10.- Entonces será sobre la prolongación de esa línea donde se deberá colocar una extensión del

eslabón con el propósito de desplazar el centro de masa. Dependiendo de la longitud de esta extensión�L o del grosor de esta �d (ver �gura C.7), se logra desplazar el centro de masa del eslabón sobrela línea que une el centro de masa calculado pcmx, pcmy y el centro de masa deseado pcdx, pcdy . Por lotanto, sólo se necesita ajustar gradualmente la longitud �L o densidad de la extensión �d para colocarel centro de masa en la posición deseada.Con este método se logra colocar de forma experimental el centro de masa real del eslabón sobre el

centro de masa deseado como se observa en la �gura C.8, este método se puede generalizar para obtenerla geometria de cada eslabón, a apartir del conocimiento de su longitud Le y la posición del centro demasa deseado.

81

82 APÉNDICE C. DISEÑO DEL ESLABÓN

Figura C.1: Con�guración del eslabón

Figura C.2: Pasos 1,2 y 3

83

Figura C.3: Pasos 4 y 5

Figura C.4: Paso 6


Figura C.5: Paso 7

Figura C.6: Pasos 8 y 9

85

Figura C.7: Paso 10

Figura C.8: Geometria �nal del eslabón

Apéndice D

Publicaciones

Como resultado del presente trabajo, se han realizado artículos en diferentes foros a nivel Nacionale Internacional.

Revista Indexada en: Journal Citation Report (JCR)

Miguel G. Villarreal-Cervantes, Daniel De la Cruz-Muciño, Edgar A. Portilla-Flores, �OptimumDesign of Parallelogram Five-bar Manipulator for Dexterous Workspace by using ELEMAEF inDi¤erential Evolution�, Applied Mathematics & Information Sciences, Vol. X, Pag. xx-xx, ISSN:1935-0090 (En prensa).

Factor de impacto: 0.731

Publicaciones Indizada en: LatIndex

Daniel De la Cruz-Muciño, Miguel G. Villarreal-Cervantes, Jesús Said Pantoja-García, NancyDonají Hidalgo-Vázquez, �Desacoplamiento dinámico y control de un robot RRR de arquitecturaabierta�, Research in Computing Science, Special Issue: Advances in Intelligent and InformationTechnologies, Vol. 60, pp. 111-119, ISSN: 18770-4069, Octubre 2012.

Participación en Congresos Internacionales

Daniel De la Cruz-Muciño, Miguel G. Villarreal-Cervantes, Edgar A. Portilla-Flores, �Optimumdesign of a 3R robot with a parallelogram �ve-bar mechanism for dexterous workspace by us-ing metaheuristic algorithm�, IEEE International Conference on Mechatronics, Electronics andAutomotive Engineering, Cuernavaca, Morelos, Noviembre 2013.

Daniel De la Cruz-Muciño, Miguel G. Villarreal-Cervantes, Edgar A. Portilla-Flores, �Mecanismode explotación exhaustiva en el algoritmo de evolución diferencial para el diseño óptimo de unrobot�, IEEE International Engineering Summit, Coatzacoalcos, Veracruz, Octubre 2013.

Publicaciones de Difusión Intitucional

Javier De La O Ortiz, Karla Pérez Anaya, Daniel De La Cruz Muciño, M. G. Villarreal-Cervantes,"Módulo de Adquisición y Procesamiento de Señales Mioeléctricas", Boletín UPIITA, No. 38, Julio2013.

87

Diseæo óptimo de un manipulador móvil Tesis

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