Distribución normal estándar · · 2016-01-22DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL ( usual o...
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Distribución normal estándar Juan José Hernández Ocaña
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Distribución normal estándar Juan José Hernández Ocaña
Tipos de variables
•Cualitativas • Son las variables que expresan distintas cualidades,
características o modalidades . Cada modalidad que se presenta se denomina atributo o categoría y la medición consiste en una clasificación de dichos atributos. Las variables cualitativas pueden ser ordinales y nominales
• Por ejemplo • Colores : rojo, azul , blanco …
• Profesiones : Ingeniería, Médico, Administrador
• Genero : Hombre o mujer
Variables Cuantitativas
• Discretas • Son aquellas que toman normalmente valores enteros positivos .
• Por ejemplo número de alumnos de FACS; número de autos en el estacionamiento; número de reactivos en un examen …
• Asociadas con el proceso de contar
• Continuas.
• Son aquellas que pueden tomar numero enteros o fracciones de éstos • Peso, volumen
• Asociadas con el proceso de medir
Variable aleatoria
• Una variable aleatoria es una variable con un valor numérico único, que se determina al azar, para cada resultado de algún procedimiento.
• Podemos clasificar a las variables aleatorias como: • Discretas • Continuas
Tipos de variables
Las Variables aleatorias continuas pueden tomar un número infinito de posibles valores y los valores pueden diferir unos de otros de manera infinitesimal
Por ejemplo: el peso, la estatura…
Distribución Probabilística teórica
•Una distribución probabilística es una distribución de probabilidades y sí cada una de las cuales está asociada con cada uno de los posibles valores diferentes de la variable aleatoria, entonces podemos decir que es una distribución teórica •La probabilidad de cualquier valor particular de x es una “proporción en la población”
Propiedades
1. ∑ P(x) = 1 la suma de las probabilidades de todos los valores posibles de la variable aleatoria debe
ser igual a 1
2. 0 ≤P(x) ≤1 P(x) debe estar entre 0 y 1 para cualquier valor de x
0
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
0.0277778 0.0555556 0.0833333 0.1111111 0.1388889 0.1666667 0.1388889 0.1111111 0.0833333 0.0555556 0.0277778
Título
del eje
Al tirar dos dados la probabilidad de obtener la suma de 7 es de 0.166, ya
que implica todas las siguientes posibilidades 1+6; 6+1; 2+5; 5+2; 3+4 y 4+3
La probabilidad de obtener la suma de 12 al tirar dos dados es sólo de
0.277
Distribución uniforme
• Distribución uniforme • Una variable aleatoria continua tiene una distribución uniforme sí sus valores
se dispersan uniformemente a través del rango de posibilidades
• Podemos tener en el caso de una distribución uniforme las siguientes funciones :
• una distribución exponencial
• una distribución uniforme
• una distribución normal uniforme
Distribución exponencial
Distribución uniforme
Distribución normal uniforme
Si la distribución de los datos sigue una distribución
normal uniforme entonces podríamos calcular el
área bajo la curva de una curva que se distribuye
simétricamente
Todas las distribuciones de los datos siguen un patrón de una distribución normal uniforme?
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0.02
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MENOS
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334 A 409 409 A 484 484 A 558 MAYOR A
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DISTRIBUCIÓN DE RESULTADOS
MEXICO 2006 CIENCIAS
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MENOS
DE 334
334 A 409 409 A 484 484 A 558 MAYOR
A 558
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DISTRIBUCIÓN DE RESULTADOS
FINLANDIA 2006
CIENCIAS
TEOREMA DEL LIMITE CENTRAL
Cómo estandarizar las mediciones sí para cada distribución de datos tendríamos un tipo diferente de distribución?
DISTRIBUCION PROBABILISTICA NORMAL ( usual o típica)
• La variable aleatoria normal es de naturaleza continua debido a que su espacio muestral consiste en un número infinitamente grande de valores reales que pueden arreglarse de acuerdo a una escala continua.
• El TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE ( video) • Nos dice que la distribución de las medias muestrales es
aproximadamente normal sin importar la formar de distribución de la población, siempre y cuando el tamaño de la población sea relativamente grande.
Teorema del límite central
• Si empleamos valores de medias muestrales
• 1.- La dispersión de los datos es relativamente pequeña, esto es, los datos individuales tienen una mayor dispersión que los datos de medias muestrales.
• 2.- Cuando el tamaño de las muestras de las medias es grande, la distribución de los datos seguirá una distribución normal
La distribución normal es una distribución de datos continuos que produce una curva simétrica en forma de campana
Si un histograma de eventos al azar se divide en clases cada vez más pequeñas y sí se tiene un número grande de eventos tendríamos una curva como la que vemos
La gráfica de una distribución de probabilidad continua se llama curva de densidad
Sí una curva de densidad satisface las siguientes propiedades:
1.- El área total bajo la curva es igual a 100%
2.- Cada punto de la curva tiene una altura vertical superior
a 0
Entonces hay una correspondencia entre área y probabilidad
Una distribución de
probabilidad normal es
simétrica .
La desviación estándar
determina el ancho de la
curva
La curva se extiende
desde menos infinito a
mas infinito
Consideremos que la
mayoría de los valores se
encuentran cerca del
valor medio
Una distribución normal estándar es una distribución normal de probabilidad con una
media de cero y una desviación estándar de 1.
Sí consideramos que el área total debajo de la curva es igual al 100% entonces en
términos de probabilidad podemos afirmar que la probabilidad de encontrar un valor
bajo la curva es mayor a cero y su sumatoria de 1
Curva normal estándar
Hay que considerar que en el punto más alto de la curva normal se tiene la media, la moda y la mediana
En ese punto el valor de la puntación z es igual a cero
La base está dada en unidades de desviación estándar (puntuaciones “Z”) y es la coordenada sobre el eje horizontal entre el promedio y el valor observado en un elemento de la población
Las puntuaciones Z son las distancias a lo largo de la
escala horizontal de un punto en particular respecto a la
media en términos de desviación estándar
Aplicaciones de las distribuciones normales
MEDIDAS DE POSICIÓN RELATIVA
Relación entre Tendencia Central y la Simetría de la distribución
Debido a que la curva normal presenta la distribución probabilística de una variable aleatoria continua es imposible referirse a un punto en particular, sólo se puede calcular la probabilidad cuando se hace referencia al cálculo de intervalos
Podemos medir el área bajo la curva siempre y cuando se emplee un intervalo
Si una variable aleatoria continua tiene una distribución
con una gráfica simétrica en forma de campana y puede
ser descrita por la siguiente ecuación, entonces decimos
que tiene una distribución normal y podemos calcular el
área mediante la siguiente ecuación
f(x)=
Afortunadamente para una curva normal estandarizada ya se han realizado los
cálculos para una infinidad de valores y los podemos encontrar empleando
tablas o mediante el empleo de software como SPSS ,EXCEL MINITAB
Calculo del área bajo la curva
Uso de tablas
http://www.stat.berkeley.edu/~stark/Java/Html/NormHiLite.htm
Ejercicios USO DE TABLA
puntuación z
1.- Cuál es la probabilidad de encontrar un valor entre el intervalo de
valores de z de: z= – 1.98, y de z = + 1.2. Realice la gráfica
correspondiente.
2.- Cuál es la probabilidad de encontrar un valor entre el intervalo de
los valores de z = - 1.0 y z= + 1.7
3.-¿ Cuál es la probabilidad de encontrar un valor menor a Z= - 2.0
Ejercicios USO DE TABLA
puntuación z
4.- Cuál es la probabilidad de encontrar un valor de z menor o igual a 1.20.
Realice la gráfica correspondiente.
5.- Cuál es la probabilidad de un encontrar un valor de z mayor o igual a z= -1.
4
6.- Cuál es la probabilidad de encontrar un valor entre el intervalo de valores
de z de : z = +0.52 y de . z =+ 1.22. Realice la gráfica correspondiente
7.- Cuál es la probabilidad de encontrar un valor entre el intervalo de valores
de z de: z = - 1.75 .y z= - 1.04
Todas las curvas normales
tienen la misma forma?
F(x)= Dado que ∏ y e son constantes,
para cada combinación de la media y la desviación estándar tendríamos una curva diferente por lo que es necesario estandarizar
Distribución normal estándar
Si consideramos que los datos de una variable aleatoria
tienen una media igual a cero y una desviación estándar
igual a uno , entonces podríamos estandarizar las
mediciones para una curva que tiene una distribución
normal
Utilidad de la curva normal estándar
• Hay que considerar que las distribuciones normales reales no tienen una desviación estándar de 1 y una media de 0.
• Por lo que se hace necesario transformar cualquier distribución normal en una distribución estándar para poder seguir realizando los cálculos relacionando área bajo la curva con probabilidad
• Esta formula nos permite convertir una distribución normal no estándar de una variable a una distribución estándar
• Esencialmente lo que hacemos es transformar un valor de una variable x en una puntuación z equivalente.
• La ecuación nos dice que tanto se aleja un valor de x respecto a su media en términos de desviación estándar
EJERCICIOS PARA RESOLVER EN CLASE
Ejercicio Z1
• Según una encuesta sobre adicción al empleo de medios electrónicos, los estudiantes a nivel universitario emplean la computadora para actividades no escolares en un promedio de 27 horas por semana. Suponga que aplica la distribución normal y que la desviación estándar es de 8 horas.
• Cuál es el porcentaje de la población estudiantil que utiliza la computadora MENOS de 11 horas.
• Cuál es el porcentaje de la población estudiantil que usa la computadora entre 25 y 35 horas.
• Cuál es el porcentaje de población estudiantil que usa la computadora entre 30 y 35 horas.
• Cual es el porcentaje de la población estudiantil que utiliza mas de 28 horas la computadora.
Z2
• EL profesor de estadística ha determinado que el tiempo necesario para que los estudiantes concluyan un examen final se distribuye normalmente con una media de 100 minutos y una desviación típica de 10 minutos. • ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido al aleatoriamente
concluya el examen en menos de dos horas?
• ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente concluya el examen en 125 minutos o más?
• Si hay 50 estudiantes en la clase, ¿cuántos de ellos concluirán el examen antes de una hora y 50 minutos?
Z3
• El salario semanal para un obrero no calificado en Estados Unidos fue de $ 440 el año anterior. Suponga que los datos disponibles indican que los salarios tienen una distribución normal con una desviación estándar de 90 dólares. • 1.- ¿ cuál es la probabilidad de que gane entre 400 y 500?
• 2.- ¿Cuánto tiene ganar un obrero para ser considerado entre el 20% de los que ganan más’
• 3.- ¿ cuánto tiene que ganar para que le den un bono para vivienda. Se da a los obreros que están en el 5% de los que menos ganan?
Z4
• Una persona debe tener una puntuación en el 2% superior de la población en un prueba de CI para calificar como miembro de MITAL. Si las puntuaciones de CI tienen un distribución normal con una media de 100 y una desviación estándar de 15 ¿ qué puntación debe obtener una persona para ser miembro de MITAL?
Un estudio de investigación de mercado revela que una familia típica en
la zona norte de la ciudad de México, gasta en promedio 490 pesos
cuando acude al cine en los fines de semana. Si los datos siguen una
distribución normal y considerando que los datos tienen una desviación
estándar de 90 pesos .
Cuál es el porcentaje de las familia que gastan más de 200 pesos y
menos de 490 pesos?
Cuál es el porcentaje de familias que gastan menos de 430 pesos
Cuál es el porcentaje de familias que gastan entre 500 y 600 pesos?
Cuál es el porcentaje de las familias que gastan más de 550 pesos?
Cómo estrategia de mercadotecnia, Cinevamos está pensando
ofrecer un par de boletos de regalo para aquellas familias que se
encuentran en el 2% de las que más gastan en sus visitas al cine.
Cuál sería el consumo mínimo en la visita al cine para poder aspirar a
dicho beneficio?
Dudas ??
• .- Estudios realizados en la Universidad revelan que el promedio general obtenido por los alumnos (as) de las carreras de Psicología , Pedagogía Y Administración en las asignaturas cursadas en el año 2009 fue de 8.00, y presentan una desviación estándar de 1.5. Si consideramos que la población de LAS TRES carreras es de 480 alumnos (as) y consideramos que los datos se distribuyen normalmente.
• Que porcentaje de la población obtuvo calificaciones menores a 8.5
• Si se otorga una beca al 10% de los alumnos con mejores calificaciones, cuál es el promedio mínimo que debieron obtener para conseguir dicha beca?.
• Si el CADE está considerando implementar un plan de apoyo para aquellos alumnos que obtuvieron un promedio de 7 o menor, a cuántos alumnos atenderá?
• La universidad ha decidido que los alumnos que se encuentren dentro del 5% con los peores resultados, cursen programas de recuperación en clases sabatinas. Cuál sería la calificación promedio mínima que se requiere para evitar ser enviado a dichos cursos?
Bibliografía empleada
•
• Triola,Mario: Estadística Pearson Education. Novena edición. México, 2004.
